Sveu£ili²te Josip Jurja

Strossmayera Osijek

Odjel Za Fiziku

Zavr²ni rad

Seminar

Brza Fourierova Transformacija

Autor:

Matej Kasa

Mentor:

Doc. dr. sc. Zvonko

Glumac

U Osijeku, 11. rujna 2015.

Sadrºaj

1 Uvod 21.1 Predgovor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Fourierova preobrazba 32.1 Op¢enito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Upotrijebe preobrazbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Diskretni sustavi 83.1 Uzorkovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 DFT 104.1 DFT matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Kori²tenje algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Sloºenost algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 FFT 145.1 Izvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Sloºenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3 Izvorni kod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.4 Primjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.5 Zero padding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.6 Windowing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.7 Primjena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6 Kraj 266.1 Zaklju£ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.2 Popis literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1

1 Uvod

1.1 Predgovor

Ovaj rad je pisan kao dio preddiplonmkog studija na Sveu£ili²tu Josipa Jurja

Strossmayera, Odjela za �ziku. Ovu temu sam odabrao jer u dana²nje doba

digitalna tehnologija prodire sve dublje u na²e ºivote. FFT algoritam je 1994.

god Gilbert Strang opisao kao najvaºniji numeri£ki algoritam dana²njeg doba

²to on uistinu jeste. Njegova primjena je ogromna tolika da je te²ko navesti

gdje se sve moºe koristiti i za ²ta.

1.2 Uvod

U dana²nje vrijeme postoji velika potreba za obraivanjem velikih koli£ina

informacija u malom vremenu. To se moºe uraditi na dva na£ina. Prvi jest

da izgradimo brza ra£unala koja ¢e mo¢i obraivati podatke izuzetno velikim

brzinama dok drugi na£in jest osmi²ljavanjem e�kasnijih algoritama koji ¢e

u manje vremena obraditi ve¢u koli£inu informacija. U dana²nje vrijeme se

koristimo s obije metode, ali svakako trebamo shvatiti da je daleko vaºnije

osmi²ljavati e�kasnije algoritme. Brute force algoritmi nerijetko su i preko

deset puta sporiji od e�kasnih algoritama. Uzmimo primjer algoritama za

sortiranje: Bubble sort sa sloºeno²¢u n2 i Merge sort sa sloºeno²¢u n log n.

Kod malih polja razlika u vremenu izvoenja nije pretjerano velika, ali u

realnosti polja su £esto velika. Samo za polje od 1000 elemenata brute-

force algoritam zahtijeva stotisu¢a puta vi²e operacija. Naºalost tehnolo²ke

inovacije ne mogu rasti tolikom brzinom koliko moºe opadati sloºenost al-

goritama. Pove¢anje procesorske snage ra£unala je nelinearan proces koji u

praksi zahtjeva brojne komplicirane tehnologije. Tu postoje razni problemi:

napajanje, voltaºa, hlaenje, memorija, paralelizacija, komunikacija izmeu

2

jezgri i dr. Danas smo dosegli limit koliko brzo jezgre mogu obraivati po-

datke. Pove¢avanje procesorske snage ra£unala postiºemo paralelizacijom tj.

dodavanjem vi²e procesorskih jezgri u jedno ra£unalo. Time ra£unalo stje£e

mogu¢nost odraivanja vi²e zadataka u isto vrijeme. Da bismo iskoristili tu

arhitekturu moramo pisati paralelne algoritme. Drugi na£in jest kori²tenje

vektorskih algoritama koje obavljaju jednu instrukciju nad vi²e podataka.

Najpoznatiji na£in jest SIMD (eng. Single instruction, multiple data) dok

najpoznatiji setovi instrukcija su SSE, SSE2, SSE3 gdje se jedna operacija

moºe obaviti nad 4 broja. Sre¢om broj algoritama kojeg moºemo ubrzati

na ovaj na£in je velik. Svi gra�£ki algoritmi su izrazito paralelni u svojoj

prirodi stoga se oni izvode gra�£koj kartici koja sadrºi procesor (GPU, eng.

graphics processor unit) koji u sebi sadrºi preko 100 jezgri. Algoritam koji

¢emo obraditi u ovom radu takoer se moºe ubrzati koriste¢i SSE instruk-

cije. Algoritmi mogu iskoristiti cache memoriju procesora te tako jo² vi²e

ubrzati rad procesora. Mi se ne¢emo baviti optimizacijom algoritma po²to

ona uvelike ovisi o platformi na kojoj se kod izvodi. Ve¢inom se FFT (eng.

Fast Fourier Transform) izvodi na DSP-u (eng. digital signal processor) ²to

je u biti procesor koji je specijalno dizajniran za obradu signala.

2 Fourierova preobrazba

2.1 Op¢enito

U matematici se £esto nailazi na parove funkcija j i J , vezanih relacijom

oblika

J(ω) =

∫ ba

j(t)K(ω, t)dt.

Funkcija J(ω) se zove (integralna) preobrazba funkcije j(t), a K(ω, t) se

naziva jezgra preobrazbe. Preobrazba se takoder moºe shvatiti i kao pres-

3

likavanje funkcije j(t) zadane u t prostoru, u funkciju J(ω) zadanu u ω

prostoru

j(t)→ J(ω).

Neke preobrazbe imaju svoje inverze pomo¢u kojih prelazimo iz ω prostora

natrag u t prostor.

Jedna od naj£e²¢ih preobrazbi jeste Fourier-ova preobrazba. Fizikalni

proces moºe biti opisan ili u vremenskoj domeni h(t) ili u frekvencijskoj do-

meniH(f) gdje je za svaku frekvenciju−∞ < f

∫ ∞−∞

r3(t)e−i2πωtdt =

∫ ∞−∞

[ar1(t) + br2(t)] e−i2πωtdt

= a

∫ ∞−∞

r1(t)e−i2πωtdt+ b

∫ ∞−∞

r2(t)e−i2πωtdt

= aR1(ω) + bR2(ω)

= R3(ω)

�

Vremenski pomak: za bilo koji realni broj t0 vrijedi, ako je r3(t) = r1(t−

t0), onda je R3(ω) = e−i2πt0ωR1(ω).

Dokaz:

∫ ∞−∞

r3(t)e−i2πωtdt =

∫ ∞−∞

r1(t− t0)e−i2πωtdt

=

∫ ∞−∞

r1(u)e−i2πω(u+t0)du

= e−i2πωt0∫ ∞−∞

r1(u)e−i2πωudu

= e−i2πωt0R1(ω)

= R3(ω)

�

Frekvencijski pomak: za bilo koji realni broj ω0 vrijedi, ako r3(t) =

ei2πtω0r1(t), onda je R3(ω) = R1(ω − ω0).

Dokaz:

5

∫ ∞−∞

r3(t)e−i2πωtdt =

∫ ∞−∞

ei2πω0tr1(t)e−i2πtωdt

=

∫ ∞−∞

r1(t)e−i2πt(ω−ω0)dt

= R1(ω − ω0)

= R3(ω)

�

Vremensko skaliranje: za realni broj a razli£it od nule vrijedi, ako je

r3(t) = r1(at), onda je R3(ω) = 1|a|R1(ωa ).

Dokaz:

∫ ∞−∞

r3(t)e−i2πωtdt =

∫ ∞−∞

r1(at)e−i2πωtdt

=

∫ ∞−∞

r1(u)

ae−i2πω

uadu

Za c > 0 ∫ ∞−∞

r1(u)

ae−i2πω

uadu =

1

aR1

(ωa

)=

1

|a|R1

(ωa

)Za c < 0

∫ −∞∞

r1(u)

ae−i2πω

uadu = −

∫ ∞−∞

r1(u)

ae−i2πω

uadu

=1

−aR1

(ωa

)=

1

|a|R1

(ωa

)�

6

2.2 Upotrijebe preobrazbi

Nalazimo se u Bijeloj Ku¢i i ºelimo prenijeti tu informaciju. Moºemo re¢i

da se nalazimo:

1. u Bijeloj Ku¢i

2. na adresi: 1600 Pennsylvania Ave NW, Washington, DC 20500, United

States

3. GPS koordinatama 38.897726, -77.036508

Na£in broj 1 ¢emo koristiti ako ºelimo re¢i da smo posjetili tu graevinu

jer svi znaju za nju ali rijetko tko zna njenu adresu. Ukoliko ºelimo do¢i do

nje traºimo adresu jer nam ona govori gdje se to£no nalazi ta zgrada. Iako

sva tri na£ina prenose istu informaciju nije svaki oblik pogodan za svaku

upotrebu. Sli£na stvar je i u matematici. Odreene probleme je jednos-

tavno rje²avati u odreenoj domeni a te²ko ili gotovo nemogu¢e u drugoj.

Konvolucija bi u vremenskoj domeni zahtjevala rje²avanje kompliciranih in-

tegrala dok u frekvencijskoj domeni se svodi na mnoºenje dviju funkcija. U

digitalnoj komunikaciji koriste se vi²e kanala koji svaki zasebno modulira

signal. Primatelj mora analizirati signal kako bi utvrdio koju informaciju

mu je po²iljatelj poslao. Signal se pretvara u frekvencijsku domenu te se

dijeli na kanale kako bi se iz njih izvuklo poslani simbol. Navedeni zadatak

je daleko teºe obaviti u vremenskoj domeni. Uzmimo obrnuti slu£aj kada po-

²iljatelj mora poslati signal. Prvo podatke pretvara u paralelni oblik koji je

pogodniji za slanje kroz vi²e kanala. Zatim svaku skupinu bitova pretvara u

signale. Ti signali se spajaju u jedan te ih se prebacuje u vremensku domenu

koja je pogodnija za slanje podataka. Signal u vremenskoj domeni ²alje na

ureaj koji ¢e slati elektri£ne impulse preko antene. Problem se pretvara u

7

drugu domenu u kojoj je lak²e rje²iv. Nakon ²to se problem rije²i inverznom

preobrazbom ga se vra¢a u originalnu domenu.

3 Diskretni sustavi

Do sada opisane preobrazbe bavile su se preobrazbom kontinuiranih funkcija.

Izmeu svaki dvije razli£ite to£ke postoji beskona£no mnogo to£aka. Ve£ina

dogaaja u prirodi su kontinuirani. Meutim ra£unala su diskretni strojevi

tj. oni sve operacije obavljaju u diskretnim koracima zvanim instrukcija.

Kako bi mogli obraivati podatke iz okoline potrebno ih je diskretizirati.

Obi£no imamo senzor koji neku �zikalnu pojavu (temperaturu, tlak, zvuk,

ja£inu svjetla itd. ) pretvara u napon ili struju. Na senzor spajamo ADC

ureaj (eng. Analog - To - Digital converter) koji pretvara kontinuirani signal

u diskretni. Op¢enito govore¢i mi moºemo diskretizirati neku kontinuiranu

funkciju h(t). Iako je prvi na£in daleko £e²¢i u praksi mi ¢emo se zadrºati

na op¢enitom slu£aju i razmatrat ¢emo diskretizaciju kontinuirane funkcije

h(t) u procesu zvanom uzorkovanje.

3.1 Uzorkovanje

Uzorkovanje je proces svoenja kontinuiranog signala na diskretni. U pra-

vilnim vremenskim intervalima T 1 biljeºimo vrijednosti funkcije h(t) te tako

imamo

hn(t) = h(nT ).

Ukoliko T mjerimo u sekundama onda fs = 1T predstavlja frekvenciju uzor-

kovanja u hercima. Zanima nas kolika mora biti frekvencija uzorkovanja fs

da bismo bez gre²ke uzorkovali signal frekvencije f . Najbolje bi bilo uzeti1U realnim sustavim T oscilira oko neke vrijednosti. Time se pojavljuje problem jittering-a.

8

²to ve¢i fs, ali vi²e uzoraka zauzima vi²e memorije i zahtjeva skupe ureaje.

Nyquist je dao odgovor na to pitanje. Za svaku frekvenciju uzorkovanja fs,

postoji kriti£na frekvencija fc:

fs = 2fc.

Ako signal uzorkujemo frekvencijom fs, onda ¢emo bez gre²ke mo¢i re-

konstruirati signal frekvencije ne ve¢e od fc. U praksi se £esto frekvencija

digne za otprilike 15% kako bi se osigurala bolja reprodukcija signala. Ta

tehnika se zove oversampling.

3.2 Aliasing

Pokaºimo najjednostavniji primjer aliasinga, tek toliko da shvatimo pojam.

Uzmimo da nam je frekvencija uzorkovanja fs = 4KKHz. Time moºemo

uzorkovati signal frekvencije f1 = 2KHz. irina signala kojeg uzorkujemo

nije ograni£ena (tzv. bandwidth unlimited) tj. signal sadrºi frekvencije ve¢e

od f1. Sada uzmimo signal bilo koje frekvencije f2 izmeu 0Hz i f1. to se

dogaa kada se na ulazu pojave cijelobrojni harmonici signala f2 £ije frek-

vencije prelaze f1? Zbog niske frekvencije uzorkovanje ureaj ¢e "misliti" da

uzorkuje signal frekvencije f2 iako se na ulazu nalaze signali frekvencije ve¢e

od f1. Time smo efektivno visoke frekvencije preslikali u niºe frekvencije Ta

pojava se zove aliasing. Ona se manifestira time da gubimo mogu¢nost raz-

likovanja razli£itih signala, a pojavljuje se zbog gubitka informacija prilikom

diskretiziranja kontinuiranih pojava. Koje su mogu¢nosti rje²avanja ovog

problema? Jedan na£in je pove¢ati f1. Taj na£in ima svojih ograni£enja

prvenstveno jer su ADC ureaji skupi i ograni£eni u svojim mogu¢nostima.

Drugi na£in jest postavljanja nisko propusnih �ltera (eng. low-pass �lter).

9

To su analogni ureaji koje karakterizira frekvencija fco. Sve signale s ma-

njom od te frekvencije ureaj propu²ta dok signale s ve¢om frekvencijom

prigu²uje. Time ograni£avamo ²irinu pojasa signala te se osiguravamo da u

ulaznom signalu nema frekvencija ve¢ih od fs2 .

4 DFT

Prethodno obraena Fourierova preobrazba je kontinuirana odnosno ona dje-

luje na analiti£ke funkcije. U praksi se funkcije zadaju pomo¢u to£aka npr.

prilikom snimanja zvuka ili nekog drugog signala mi dobivamo niz diskretnih

vrijednosti koje je senzor zabiljeºio. Kako bi mogli obraivati diskretne po-

datke treba nam diskretna Fourierova transformacija ili DFT (eng. Discrete

Fourier Transform). DFT pretvara kona£nu listu jednako udaljenih uzo-

raka2 u listu koe�cijenata. I ulaz i izlaz DFT-a su kompleksni brojevi. Niz

od N kompleksnih brojeva x0, x1, . . . , xN−1 preobraºavamo u N-periodi£ni

niz kompleksnih brojeva pomo¢u formule

Xk =N−1∑n=0

xne−i2πkn/N . (1)

Za svaki Xk, jednadºba 1 usporeuje ulazne podatke s testnim signalom

odreene frekvencije koja ovisi o k. Moºemo re¢i da DFT dijeli (zbog minusa

u eksponentu) ulazni signal s nizom testnih signala kako bi otkrio koliko je

pojedini testni signal prisutan u ulaznom signalu. DFT ima svoj inverz koji

je dan s formulom:2u praksi uzorci nisu jednako udaljeni stoga se javlja prije spomenuti problem jitter-a.

10

xn =1

N

N−1∑k=0

Xnei2πkn/N .

4.1 DFT matrica

DFT se moºe iskazati pomo¢u jednadºbe

X = Wx, (2)

gdje je x jednostup£ani vektor, koji predstavlja ulazni signal, W je N ×

N kvadratna DFT matrica te X je jednostup£ani vektor koji predstavlja

rezultat. Matrica se moºe de�nirati kao

W =1√N

1 1 1 1 · · · 1

1 ω ω2 ω3 · · · ωN−1

1 ω2 ω4 ω6 · · · ω2(N−1)

1 ω3 ω6 ω9 · · · ω3(N−1)... ... ... ... . . . ...

1 ωN−1 ω2(N−1) ω3(N−1) · · · ω(N−1)(N−1)

,

gdje je ω = e−2πiN .

Jednadºba 2 i jednadºba 1 daju isti rezultat. Pogledajmo matricu malo

detaljnije. Koliko puta se pojedini £lanovi pojavljuju? Tu redundanciju

¢emo izbaciti kako bismo izbjegli nepotrebne ra£unske operacije i u kona£nici

ubrzali algoritam.

4.2 Kori²tenje algoritma

Iz de�nicije DFT-a znamo da algoritam uzima polje kompleksnih brojeva te

da vra¢a polje kompleksnih brojeva. Nas zanima kako se koristiti tim algorit-

11

mom odnosno kako mu se zadaju ulazne vrijednosti te kako se interpretiraju

izlazne vrijednosti. Kod izlaznih vrijednosti nas zanima

1. kolika je frekvencija pojedinog vala

2. kolika je amplituda i fazni pomak pojedinog vala

Po£nimo prvo s ulazom. Ulazni podaci su naj£e²¢e realni (uzorci zvuka,

slike itd. ) stoga imaginarne dijelove postavljamo na 0. Algoritam ne obra-

uje cijelobrojne podatke pa ako nam je ulaz cijeli broj onda ih trebamo

prevesti u druga£iji zapis broja, naj£e²¢e IEEE 754. To nam je bitno jer

su izlazni podaci ADC ureaja cijeli brojevi koji se prikazuju u PCM3 (eng.

pulse code modulation) formatu. Ulazni podaci mogu biti kompleksni, a naj-

£e²¢e je to slu£aj kada obavljamo inverzni DFT. Kod izlaznih podataka stvar

je malo kompliciranija. Kako odreujemo amplitudu i fazni pomak? Zapis

je dan u kartezijevim koordinatama te ukoliko ºelimo doznati amplitudu i

fazni pomak koristimo malo izmjenjene dobro poznate formule za prijelaz

u polarne koordinate. Razlika je ²to amplitudu dijelimo s polovicom broja

uzoraka tj. N2 .

r = 2√Re(Xk)2 + Im(Xk)2/N

φ = atan2(Im(Xk),Re(Xk)

)atan2 je arkus tanges funkcija s dva argumenta koja ura£unava u kojem

se kvadrantu nalazimo te rezultat vra¢a unutar [0, 2π].

Uzmimo da nam je frekvencija uzorkovana fs te da imamo ukupno N

uzoraka tada se na k−tom indeksu nalazi frekvencija. Radi jednostavnosti

rezultate ¢emo u tekstu zvati bin u £ijem ¢e indeksu biti broj koji odgovara3metoda za digitalno prikazivanje analognih signala

12

rezultatu.2kfsN

, k ∈ [0, N/2− 1]

Vidimo da se u nultom elementu nalazi signal frekvencije 0 ²to predstav-

lja DC (eng. direct current, istosmjerna struja) kompomentu. Primjetimo

da k ide do N2 − 1. Na k ∈ [N/2 + 1, N − 1] se nalaze negativne frek-

vencije. U njihovo zna£enje ne¢emo ulaziti. Ostaje nam jo² k = N2 . To

je kombinacija negativne i pozitivne frekvencije pa prilikom izra£unavanja

njegove amplitude trebamo uzeti u obzir da je ona dva puta ve¢a od stvarne

dakle amplitudu tog signala treba dijeliti s 2. Ista stvar vrijedi i za DC kom-

ponentu. Ona je kombinacije dvije iste DC komponente stoga i nju treba

podijeliti s 2. Ako polje u memoriji zamislimo kao liniju onda je izlaz ovog

algoritma ta linija savijena u kruºnicu.

4.3 Sloºenost algoritma

Pitanje sloºenosti algoritma jedno je od najvaºnijih kada se bavimo njima.

Ovdje ¢emo spomenuti Big-O notaciju ili asimptotsku sloºenost algoritma.

Ona opisuje pona²anje algoritma kada broj podataka koje obraujemo teºi ka

beskona£nosti ili nekom velikom broju. Postoje memorijska i vremenska slo-

ºenost. Memorijska sloºenost nam govori koliko memorije zauzima algoritam

dok nam vremenska sloºenost govori koliko je operacija potrebno za izvoe-

nje algoritma. Pogledajmo prvo memorijsku sloºenost. AlgoritamN uzoraka

sprema u polje veli£ine N . Na isti na£in sprema izlazne podatke. Ulazni i

izlazni podaci su kompleksni brojevi, a oni se prikazuju kao dva realna broja

(ra£unalo poznaje cijele brojeve, realne brojeve i znakove). Dolazimo do toga

da nam treba sveukupno 4N realnih brojeva kako bi izvodili algoritam. Pra-

vilo kod asimptotske analize jest da se sve konstante izbace. Tako dobivamo

memorijsku sloºenost N . To nam ne govori koliko ¢e on byte-ove zauzeti u

13

memoriji nego samo kako raste potreba za memorijom u ovisnosti o broju

ulaznih podataka (uzoraka). Da smo algoritam implementirali pomo¢u DFT

matrice sloºenost bi bila N 2 jer broj elemenata kvadratne matrice raste s

kvadratom broja stupaca. Kod vremenske sloºenosti trebamo vidjeti koliko

operacija algoritam treba uraditi. Proalnalizirajmo sumu u jednadºbi 1. U

svakoj iteraciji sume obavljamo kompleksno mnoºenje (koje zahtjeva 4 mno-

ºenja i 2 zbrajanja). Za k = const imamo N kompleksnih mnoºenja te N−1

kompleksnih zbrajanja. Nadalje k ide od 0 do N − 1 ²to zna£i da prethodni

korak ponavljamo N puta. To nas dovodi do kona£ne sloºenosti od N 2 (izba-

cujemo sve konstante iz krajnjeg zapisa). Ovaj zapis nam ne moºe to£no re¢i

koliko traje izvoenje algoritma jer u igru ulazi dizajn samog ra£unala kojim

se moºe ubrzati ili usporiti izvoene. Ono ²to nam moºe re¢i jest kako broj

operacija ovisi o broju ulaznih podataka. N 2 sloºenost uop¢e nije poºeljna

pogotovo u ovom slu£aju gdje se algoritam izvodi nad velikim brojem po-

dataka. Na svu sre¢u postoji e�kasnija implementacija ovog algoritma koja

¢e nam omogu¢i izvoenje u N logN vremenskoj sloºenosti, dok memorijska

ostaje ista.

5 FFT

U prethodnom odjeljku vidjeli smo da je ra£unanje DFT-a pomo¢u de�nicije

vremenski zahtjevan proces. U DFT matrici moºemo vidjeti da je ve£ina

mnoºenja koje obavljamo redundantna te da se ona mogu izbaciti iz ra£una.

Fast Fourier transform (hrv. brza fourierova preobrazba) je algoritam (ili

pak skupina algoritama) koji ra£una DFT. Razlika je ta ²to FFT koristi

tehniku divide-and-conquer (hrv. podjeli pa vladaj) u kojoj se originalni

problem dijeli na dva pod-problema koji su lak²e rje²ivi. Nadalje svaki pod-

problem moºemo na isti na£in nastaviti dalje dijeliti sve dok ne doemo do

14

polja veli£ine 1. Tako dobivena rje²enja se spajaju kako bi dobili kona£no

rje²enje. Time ¢emo eliminirati redundantne operacije te u kona£nici ubrzati

algoritam. Mi ¢emo opisati opisati i korisitit Cooley-Tukey FFT algoritam.

5.1 Izvod

Op¢enito FFT je skupina algoritama, a mi ¢emo se zadrºati na Cooley-

Tukey algoritmu. I taj algoritam se moºe dijeliti na radix-x implementacije.

Ugrubo re£eno to je kolika ¢e biti veli£ina polja u zadnjem pozivu rekurzije.

Mi ¢emo se bazirati na radix-2 algoritmu jer je on najjednostavniji. Radix-

4, radix-8 su e�kasniji algoritmi jer obavljaju operacije na ve¢em polju, ali

su teºi za implementirati. Mi se ovdje ne¢emo bazirati na implementaciji

brzih algoritama te ¢emo £itatelja uputiti da na internetu pronae e�kasne

implementacije FFT algoritma. Jedna od takvih biblioteka je i FFTW (eng.

Fastest Fourier Transform in the West). Uzmimo da je N potencija broja

2 (u tom slu£aju rekurzivno dijeljenje polja na 2 dijela postaje trivijalno).

Algoritam prvo ra£una DFT parnih podataka (x2m = x0, x2, . . . , xN−2) a

zatim neparnih podataka (x2m+1 = x1, x2, . . . , xN−1) te zatim ih kombinira

kako bi dobili kona£ni rezultat. Pogledajmo formulu

Xk =N/2−1∑m=0

x2me− 2πiN (2m)k +

N/2−1∑m=0

x2m+1e− 2πiN (2m+1)k.

Iz drugog izraza moºemo izlu£iti e−2πiN k. Vidimo da su te dvije sume

DFT-ovi parnih ulaza te DFT neparnih ulaza. S F ek ozna£imo DFT parnih

ulaza te s F ok DFT neparnih ulaza. Na kraju dobivamo:

15

Xk =

N/2−1∑m=0

x2me− 2πiN/2mk︸ ︷︷ ︸

DFT parno indeksiranih vrijednosti

+ e−2πiN k

N/2−1∑m=0

x2m+1e− 2πiN/2mk︸ ︷︷ ︸

DFT neparno indeksiranih vrijednosti

.

Na kraju dobivamo izraz pomo¢u kojeg ra£unamo k−tu komponentu

izlaza. Taj postupak se provodi sve dok ne doemo do pod-polja veli£ine 1.

Xk = Fek + e

− 2πiN kF ok

5.2 Sloºenost

Kad je k = const takvih podjela ima 2 log2N . Znamo da je k ∈ [0, N − 1]

²to zna£i da gornji postupak provodimo N puta. To nas dovodi do kona£ne

sloºenosti algoritma od N log2N . Uzimaju¢i za primjer N = 220, dolazimo

da je FFT algoritam brºi odprilike za 52 428 puta ²to je velika razlika. Da

kojim slu£ajem nismo otkrili FFT algoritam mnoge tehnologije koje danas

imamo ne bi postojale.

5.3 Izvorni kod

Dan je primjer izvornog koda koji ra£una FFT i inverzni FFT (u daljnjem

tekstu IFFT). Program je pisan u jeziku C++ a koristi gotove klase koje

predstavljaju kompleksne brojeve i polja podataka

#inc lude

#inc lude

#inc lude

us ing namespace std ;

16

const double PI = 3.141592653589793238460;

typede f std : : complex Complex ;

typede f std : : va larray CArray ;

void f f t (CArray& x)

{

const s i ze_t N = x . s i z e ( ) ;

i f (N

{

x = x . apply ( std : : conj ) ;

// f f t

f f t ( x ) ;

x = x . apply ( std : : conj ) ;

x /= x . s i z e ( ) ;

}

i n t main ( )

{

const i n t N = 32 ;

Complex t e s t [N ] ;

f o r ( i n t i = 0 ; i < N; i++)

{

t e s t [ i ] = cos (2 ∗ PI ∗ 3 .0 f ∗ i / N) ;

}

CArray data ( t e s t , N) ;

f f t ( data ) ;

f o r ( i n t i = 0 ; i < N; i++)

{

18

i f ( log10 ( fabs ( data [ i ] . r e a l ( ) ) ) < −3)

data [ i ] . r e a l ( ) = 0 .0 f ;

i f ( l og ( fabs ( data [ i ] . imag ( ) ) ) < −3)

data [ i ] . imag ( ) = 0 .0 f ;

}

f o r ( i n t i = 0 ; i < N; ++i )

{

cout

5.4 Primjer

/ 1/

1

Slika 1: Primjer na kojem pokazujemo FFT

Prikaºimo FFT na konkretnom primjeru. Generirajmo neki proizvoljno

signal. Ulazni signal ima N = 32 uzoraka. Uzmimo da signal ima DC

komponentu iznosa 2. Zatim mu dodajemo kosinusoidu koja ima 3 ciklusa

u N uzoraka. Dodajmo mu jo² dvije kosiusoide s 5 odnosno 16 ciklusa u N

uzoraka. Kosinusoidu uzimamo jer sa stanovi²ta FFT algoritma nema fazni

pomak. Ulazne podatke moºemo opisati donjim izrazom,

20

xn = 2 + cos(2π3n

N) + 2 cos(2π5

n

N) + cos(2π16

n

N)

Prikazat ¢emo samo realni dio rezultata po²to je imaginarni dio nula.

Kao izlaz dobili smo niz od 32 realna broja. U bin0 se nalazi razina DC

signala no na njega ¢emo vratiti kasnije. U bin3 se nalazi broj 16. Vidimo

da u ulazu imamo kosinusoidu koja ima 3 ciklusa u N uzoraka te da mu

je amplituda 1. U prethodnom odjeljku smo naveli da amplitudu dobivamo

tako da izra£unamo modul realnog broja te ga podjelimo s N2 . Time bi

smo dobili amplitudu od 1 ²to se slaºe s na²om formulom ulaznog signala.

Takoer signal ima "frekvenciju" 3 a broj se nalazi u bin3 ²to je opet u

skladu s na²om formulom. U bin5 imamo broj 32. U ulazom signal se nalazi

kosinusoida "frekvencije" 5 te amplitude 2. Dijele¢i 32 s N/2 dobivamo

2 ²to je u skladu s formulom. Sada dolazimo do bin16. Dijele¢i 16 s N2dobivamo 2 no ne zaboravimo da taj broj predstavlja dva vala stoga jo²

moramo podjeliti s 2 kako bi dobili ispravnu amplitudu. Isto moramo u£initi

i s DC komponentom koja se nalazi u bin0. Vidimo da se u bin27 i bin29

nalaze kopije prethodnih signala koji smao imaju negativnu frekvenciju, ali

na isti na£in dolazimo do iste amplitude. Primjetimo da fs nije zadan pa u

ovom slu£aju ne moºemo govoriti o frekvenciji u hercima, nego govorimo o

frekvenciji kao "ciklusa u N uzoraka".

21

5.5 Zero padding

Do sada smo imali slu£aj kada su se u signalu nalazile sinusoide koje su imale

cijelobrojni broj ciklusa u N uzoraka. Time se signal poklapao s barem jed-

nom testnom sinusoidom. Time smo u kona£nici dobili £ist frekvencijski

spektar odnosno u grafu smo dobili ²iljak na mjestu te frekvencije. U stvar-

nosti to ne¢e uvijek biti slu£aj nego ¢e signali imati prozvoljan necijelobrojni

broj ciklusa u N uzoraka. U tom slu£aju ne¢emo dobiti £isti spektar nego

¢emo dobiti ²iroki spektar frekvencija.

/ 1/

1

Slika 2: Signal s 3.5 ciklusa u N uzorka. Primjetimo da bi na donjem grafubin4 trebao imati vrijednost 512.

Taj problem se moºe rje²iti upotrijebom zero-padding-a (hrv. dodavanje

nula). Signalu na kraju (ili po£etku) dodajemo niz nula kako bi pove¢ali

22

broj uzoraka. Time smo pove¢ali N , a ako pogledamo u formulu 1 vidimo

da ve¢i N zna£i vi²e testnih sinusoida. Pove¢ani broj testnih sinusoida nam

pove¢ava ²ansu za postojanje sinusoide sli£ne frekvencije kao ²to se nalazi

u signalu. Obi£no signal pove¢avamo za dva, £etiri ili vi²e puta kako bi

osigurali ve¢u preciznost. Na slici 2 vidimo da amplituda u frekvencijskoj

domeni ne odgovara stvarnoj amplitudi signala. Kao ²to ¢emo vidjeti na

sljede¢oj slici, upotrijeba zero-paddinga uvelike pobolj²ava situaciju.

/ 1/

1

Slika 3: Dodavaju¢i nule na kraj signala, pove¢ali smo N za dva puta. Sadase ²iljak premjestio na bin7.

Razlog pojavljivanja tih problema je diskretizacija. Mi kontinuirani sig-

nal poku²avamo prikazati pomo¢u kona£nog broja to£aka £ime se gube in-

formacije.

23

5.6 Windowing

FFT moºemo ra£unati samo nad kona£nim dijelom podataka. Matematika

FFT-a se bazira na pretpostavci da je vremenski signal periodi£an tj. da se

na²i podaci ponavljaju u vremenu. To uzrokuje prekid na krajevima funk-

cije. Windowing je metoda s kojom se to sprje£ava. To je funkcija koja

ima vrijednost nula van odreenog intervala. Primjenjivanjem te funkcije

na podacima se osiguravamo da su uzlani podaci neprekidni na rubovima.

No mnoºenje u vremenskoj domeni je konvolucija u frekvencijskoj domeni a

rezultat toga jest ²irenje spektralnih linija. Postoji mno²tvo window funkcija

a odabir prikladne zna£i odvagivanje prednosti i nedostataka svake od nje.

Ne postoji jedna funkcija koja je prikladna za sve slu£ajeve. Mi ¢emo spo-

menuti naj£e²¢u od njih tj. onu koja se naj£e²¢e koristi kad ne moºemo na¢i

prikladniju. Ta funkcija se zove Hanningova funkcija, a zadana je formulom

w(n) = 0.5

(1− cos

(2πn

N − 1

)).

Slika 4: Na x-osi se nalazi broj uzorka dok na y-osi nam je prikazan faktors kojim mnoºimo uzorak.

24

5.7 Primjena

Gotovo je svaki £ovjek barem jednom direktno do²ao u doticaj s FFT al-

goritmom. Radi se o xDSL4 tehnologiji. Telefon koristi 4KHz signala za

svoj rad a bakrena ºica obi£no ima propusnost oko 1MHz. Cilj je isko-

ristiti preostalu propusnost za prijenos podataka kako bi se ostvario ²iroko-

pojasni pristup internetu. xDSL tehnologija koristi OFDM (eng. Orthogonal

frequency-division multiplexing, hrv. ortogonalno frekvencijsko multipleksi-

ranje). Sastoji se u dijeljenju dostupnog pojasa na N kanala jednake frek-

vencije koji su meusobno udaljeni za neki iznos. Ureaju dajemo podatke

koje ºelimo slati. On ih podjeli na N dijelova te ih priprema za slanje. Preko

svakog kanala se ²alje b bitova istovremeno. Ureaj zatim pretvara bitove

u val odreene amplitude i faznog pomaka koriste¢i odreenu modulaciju,

naj£e²¢e QAM5. Dobivene signale spajamo u jedan signal. Signal pomo¢i

IFFT-a pretvaramo iz frekvencijske u vremensku domenu. Takav signal ²a-

ljemo na DAC ureaj6 koji ²alje elektri£ne impulse preko bakrene ºice, gdje

se na drugoj strani nalazi prijemnik. Prijemnik prvo ra£una FFT dobivenog

signala te kada pretvori signal u frekvencijsku domenu gleda sadrºaj sva-

kog kanala. U frekvencijskom zapisu lagano je vidjeti koji su podaci poslani

odreenim kanalom. Na kraju se niz paralelnih bitova pretvara u serijski tok

podataka koji se ²alju korisniku.4eng. digital subscriber line.5eng. Quadrature amplitude modulation, modulira amplitudu i fazu signala kako bi prenio dva digi-

talna toka.6eng. digital to analog converter, ureaj koji pretvara broj u digitalnom zapisu u napon.

25

6 Kraj

6.1 Zaklju£ak

Pokazali smo da se od kontinuirane Fourierove preobrazbe lagano dolazi do

diskretne Fourierove preobrazbe. No ra£unanje DFT-a pomo¢u de�nicije je

bilo vremenski sporo te smo stoga upotrijebili programersku tehniku podjeli-

pa-vladaj kako bi ubrzali rad algoritma. U svojoj srºi vidjeli smo da je algo-

ritam veoma jednostavan. Za e�kasnu implementaciju algoritma morat ¢emo

u detalje poznavati ra£unalo na kojem radimo. Postoje gotove, optimizirane

biblioteke za ra£unanje FFT-a, koje se mogu na¢i na internetu. Daleko vi²e

problema ¢emo imati prilikom upotrebe algoritma. Mi smo pokazali dva

takva problema i rekli smo da je njihov uzrok diskretizacija kontinuirane

pojave. Dali smo dva mogu¢a rje²enja za te probleme: zero-padding i win-

dowing. Najve¢i problem je ²to ne postoji univerzalni FFT koji bi imao

odli£ne karakteristike u svim slu£ajevima. Zato je na korisniku da odabere

ispravne metode i ispravni algoritam. U nekim slu£ajevima brzina izvoe-

nja je vaºnija od to£nosti rezultata dok je u nekim slu£ajevima obrnuto, no

te²ko da ¢emo uspjeti ostvariti oboje istovremeno. Neki algoritmi zato ne

koriste £isti FFT nego ga modi�ciraju kako bi dobili na performansama ili

na preciznosti. De�nitivno je da FFT ima nezamjenjivu ulogu na²em te da

se dosta truda ulaºe u pronalaºenja univerzalnijih metoda za ra£unanje ili

kako bi se na engleskom to nazvalo one size �ts all.

26

6.2 Popis literature

Literatura

[1] Wiliam H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P.

Flannery, Numerical Recipes in C, Cambridge University Press, 2nd edi-

tion, 1992,

[2] Eric Postpischil, Construction of a High-Performance FFT, 2004.

[3] George B. Arfken, Hans J. Weber, Mathematical methods for physicist,

6th edition, 2005

[4] Zvonko Glumac, Matemati£ke metode �zike, Odjel za Fiziku, 2013.

[5] https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform

[6] https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_Fourier_transform

[7] https://en.wikipedia.org/wiki/Cooley%E2%80%93Tukey_FFT_algorithm

[8] David Dorranov youtube kanal, ht-

tps://www.youtube.com/user/ddorran

[9] Stack Exchange, Q and A stranica http://dsp.stackexchange.com

27

UvodPredgovorUvod

Fourierova preobrazbaOpcenitoUpotrijebe preobrazbi

Diskretni sustaviUzorkovanjeAliasing

DFTDFT matricaKorištenje algoritmaSloženost algoritma

FFTIzvodSloženostIzvorni kodPrimjerZero paddingWindowingPrimjena

KrajZakljucakPopis literature