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MEMORIAS DEL XIX CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 25 al 27 DE SEPTIEMBRE, 2013 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO
Brazo RRR didáctico con adquisición de datos por FPGA. José Colín Venegas1, Erick Alejandro Mosqueda Moreno1, José Ángel Colín Robles1, Eugenio Ramírez Durán1
1 Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de Guanajuato,
Carretera Salamanca–Valle de Santiago km. 3.5 + 1.8 km, Comunidad de Palo Blanco, Salamanca, Gto., MEXICO
Teléfono: 01 464 64 79940 ext. 2437
[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
RESUMEN.
El siguiente artículo presenta una
plataforma para la enseñanza práctica de
la robótica en sistemas articulados, en
este caso particular un brazo de tres
grados de libertad dados por tres
revolutas (tipo RRR), utilizando un
sistema de adquisición de datos emitidos
por codificadores rotatorios generadores
de pulsos, controlado por un Arreglo de
Compuertas Lógicas Programables
(FPGA por sus siglas en inglés) y en
comunicación con un ordenador para
generar la gráfica de la trayectoria del
efector final.
ABSTRACT.
Following article present a robotics
teaching platform in articulated systems,
in this particular case a 3 degrees of
freedom given by three joints arm (RRR
type), using rotatory pulse generator
encoders for data acquisition to a Field
Programmable Gate Array (FPGA)
control system embedded connected to a
computer to generate final effector’s
path plot.
NOMENCLATURA
𝐷𝑒𝑛𝑐𝑜𝑑𝑒𝑟𝑖 Cantidad de cuentas adquiridas por
el encoder del 𝑖-ésimo nodo.
𝜃𝑖 Ángulo en el plano de rotación del 𝑖-ésimo nodo, entre los eslabones 𝑖 e
𝑖 + 1.
𝐴𝑖 Matriz característica del 𝑖+1-ésimo
nodo respecto a su marco 𝑖.
𝐴 Matriz característica de cinemática
directa para el mecanismo definido.
𝑣 Cuaternión de marco de referencia.
𝑝 Cuaternión de posición del efector
final.
𝑎𝑖 Longitud del 𝑖-ésimo eslabón
𝛼𝑖 Desfase angular del 𝑖-ésimo eslabón
𝑑𝑖 Desplazamiento del origen del 𝑖-ésimo eslabón en el sentido del eje
de rotación.
INTRODUCCIÓN
El sistema surge de la necesidad de facilitar la
comprensión de la cinemática directa para
alumnos de ingeniería Mecánica, Mecatrónica y
Electrónica en asignaturas relacionadas con la
robótica y la comprensión de su dinámica y los
parámetros a medir en el caso de su
instrumentación.
Su función principal es interpretar el
desplazamiento angular de las rótulas de un
mecanismo robótico RRR y obtener una gráfica
que represente el desplazamiento del efector final
en el espacio tridimensional.
La construcción del sistema comprende cinco
entidades fundamentales:
1) El mecanismo (ver Figura 1),
compuesto de cuatro eslabones unidos
por tres rótulas, acondicionadas para
conservar su ángulo una vez que el
operador deje de moverlo manualmente.
2) El arreglo de encoders, empleados para
emitir pulsos eléctricos en función de la
variación angular de su respectiva
rótula.
3) La tarjeta de adquisición de datos,
responsable de recibir las señales de los
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encoders y amplificarlas de manera que
sean adecuadas para ser enviadas al
FPGA.
4) La plataforma de percepción de giro,
programado en un FPGA, distingue los
pulsos recibidos por la tarjeta de
adquisición y el instante de tiempo a
partir del inicio de la adquisición,
genera una tabla con estos datos y la
almacena en una memoria RAM. Este
proceso ocurre simultáneamente para
cada vector de señales de encoder.
Figura 1: Diseño 3D del Mecanismo didáctico.
5) La interfaz de usuario en un ordenador,
el cual se comunica con el FPGA de
forma serial empleando protocolo de
comunicación RS232. Éste software
procesa la información almacenada en
las memorias RAM utilizando arreglos
matriciales de la cinemática directa a
través de cálculos de matrices
homogéneas de transformación para
representar matemáticamente la
motricidad de rotación y traslación
empleando los parámetros de Denavit-
Hartenberg para obtener los vectores-
posición 𝑋, 𝑌 y 𝑍 del efector final del
brazo, y a su vez, representarlos
gráficamente.
DESARROLLO
Se diseñó y construyó un brazo robótico de 3
grados de libertad y se le implementaron 3
encoders para poder conocer la posición y la
orientación de los eslabones. Para poder adquirir
los datos de estos encoders, se utilizó la tarjeta
Spartan-3, un FPGA de Xilinx®, en la cual se
programó el sistema embebido de la Figura 2. En
resumen, las funciones del FPGA fueron:
Obtener los datos de los encoders,
Almacenar los datos adquiridos en la
memoria RAM de la FPGA,
Transmitir ordenadamente las tablas de
datos por medio del protocolo RS232 a
la computadora
Figura 2: Diagrama de bloques para la configuración del
FPGA.
Figura 3: Representación de las señales de entrada y salida para la Máquina de Estados Finitos del intérprete de
encoders.
Para probar el funcionamiento del sistema, se
creó una aplicación con la cual fueron calculadas
las coordenadas del efector final respecto al
marco inicial implementando 3 funciones
anidadas que siguen el flujo del diagrama de la
Figura 4.
La función de conversión de datos del encoder
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asume la relación establecida por el fabricante,
𝜃 =2𝜋
400𝐷𝑒𝑛𝑐𝑜𝑑𝑒𝑟 (1)
Dado que una revolución (2𝜋 radianes) equivale
a 400 cuentas del encoder, debido a que su
resolución es de 100 pulsos por vuelta completa.
Para determinar las triadas ordenadas de la
posición del efector final, los parámetros de
Denavit-Hartenberg constantes de cada eslabón
fueron determinados por medición física.
Tabla 1: Parámetros Denavit-Hartenberg
𝑖 𝒂 𝜶 𝒅 𝜽
1 𝑎1 = 0 𝛼1 =𝜋
2 𝑑1 = 18 𝜃1
∗
2 𝑎2 = 18 𝛼2 = 𝜋 𝑑2 = 3.19 𝜃2∗
3 𝑎3 = 21.5 𝛼3 = 0 𝑑3 = 3.28 𝜃3∗
* Variable
Figura 4: Diagrama de flujo de la interfaz de software
matemático.
Para el cálculo del vector de posición, el
software requiere realizar procedimientos de
álgebra lineal a entidades conocidas como
Matrices de Transformación Homogénea. Como
se mencionó anteriormente, éstas representarán
matemáticamente los movimientos de rotación y
traslación ejecutados por el sistema mecánico.
Las expresiones genéricas requeridas para los
cálculos se expresan como sigue:
Vector de transformación homogénea para
traslaciones:
𝑇𝑖,𝑞𝑛= [
𝑞𝑛,𝑥
𝑞𝑛,𝑦
𝑞𝑛,𝑧
]
Donde 𝑞𝑛 = 𝑞𝑛,𝑥î + 𝑞𝑛,𝑦𝑗̂ + 𝑞𝑛,𝑧�̂�
(2)
Matrices de transformación homogénea para
rotaciones:
𝑅𝑥,𝜃𝑛= [
1 0 00 cos 𝜃𝑛 − sin 𝜃𝑛
0 sin 𝜃𝑛 cos 𝜃𝑛
]
(3)
𝑅𝑦,𝜃𝑛= [
cos 𝜃𝑛 0 sin 𝜃𝑛
0 1 0− sin 𝜃𝑛 0 cos 𝜃𝑛
]
(4)
𝑅𝑧,𝜃𝑛= [
cos 𝜃𝑛 − sin 𝜃𝑛 0sin 𝜃𝑛 cos 𝜃𝑛 0
0 0 1
] (5)
La matriz de rotación total de la 𝑖-ésima rótula
respecto al 𝑖 − 1-ésimo marco de referencia 𝑅𝑖,
debe determinarse por medio de productos de las
matrices correspondientes a cada giro en lo
particular. Sin embargo, es posible determinar la
rotación característica de los marcos
coordenados para todos los ángulos
simultáneamente en una sola matriz de rotación a
través del análisis de espacio cartesiano.
La matriz de transformación homogénea para la
cinemática requerida se determina como sigue:
𝐴𝑖 = [𝑅𝑖 𝑇𝑖,𝑞𝑛
0𝑇 1]
(6)
Las matrices de transformación homogénea que
representan los cambios de marco provocados
por los eslabones, son:
𝐴1 = [
− sin 𝜃1 0 cos 𝜃1 0cos 𝜃1 0 sin 𝜃1 0
0 1 0 180 0 0 1
] (7)
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𝐴2
= [
cos 𝜃2 sin 𝜃2 0 18 cos 𝜃2
sin 𝜃2 −cos 𝜃2 0 18 sin 𝜃2
0 0 −1 3.190 0 0 1
] (8)
𝐴3
= [
cos 𝜃3 − sin 𝜃3 0 21.5 sin 𝜃3
sin 𝜃3 cos 𝜃3 0 −21.5 cos 𝜃3
0 0 1 3.280 0 0 1
]
(9)
Figura 5: Comprobación gráfica de la conversión de cuentas
del encoder a posición del efector final para la rotación
teórica independiente de las rótulas 1 (azul), 2 (rojo) y 3(negro).
Para obtener la matriz de transformación
homogénea del efector final con respecto a la
base, es necesario multiplicar estas 3 matrices.
𝐴 = 𝐴1𝐴2𝐴3 (10)
Por último, para determinar las coordenadas del
vector-posición del efector final respecto a la
base, es necesario multiplicar La matriz de
transformación homogénea 𝐴 por un vector que
defina el último marco de referencia, ya que al
considerarse que la punta libre del mecanismo
articulado será tal efector, su vector respecto a su
último marco de referencia será 𝑣 =[0 0 0 1]𝑇. Entonces,
𝑝 = [𝑥 𝑦 𝑧 𝑜] = (𝐴𝑣)𝑇 (11)
De tal modo que las salidas de la función de
conversión de datos del encoder a coordenadas
espaciales serán los vectores que almacenen los
valores de [𝑥, 𝑦, 𝑧] para graficar.
Con esta información, es posible crear la
aplicación de trazado de trayectorias utilizando
una herramienta de procesamiento de matrices
capaz de adquirir la información procedente del
FPGA. Para tal efecto, fue desarrollada una
aplicación GUI con funciones anidadas en
MATLAB®. Adicional a la función de
conversión de datos del encoder a coordenadas
cartesianas, debe considerarse en la
programación la función de adquisición de
cuentas del encoder desde el FPGA y la función
generadora de la gráfica.
RESULTADOS
El brazo construido (Figura 6) es de aluminio
6061-T6, con rótulas reconstruidas en acero A-
36, fundamentalmente manufacturado con
material residual reciclable obtenido del taller
mecánico para la minimización de costos. Tiene
2 eslabones, cada uno con un grado de libertad, y
una base que gira horizontalmente 360 grados, el
cual es otro grado de libertad. En el alcance del
proyecto no se contempló mover de forma
automática los eslabones con la intención de
generar en próximos proyectos un sistema
Maestro-Esclavo, por lo cual se diseñó un
sistema mecánico por fricción en los rotores para
preservar el ángulo los eslabones cuya posición
puede verse afectada por efectos de la gravedad
(Ver Figura 7). Por supuesto los ejes de cada
rótula están anclados al eje del correspondiente
encoder, el cual no soporta ninguna carga en el
mecanismo.
Figura 6: Mecanismo RRR con encoders instalados en
configuración inicial (HOME).
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-10
0
10
20
30
40
50
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Figura 7: Vista del rotor frenado por fricción.
Figura 8: Dispositivo FPGA Xilinx™ Spartan-3 en prueba
de adquisición de datos de los encoders.
La tarjeta de adquisición de datos tiene dos
etapas de regulación de señal (buffering), la
primera, que se encuentra en la plantilla de
experimentos (Figura 9) recibe las señales de los
encoders en un rango de amplitudes de 0-200mV,
para amplificarlas entre 0-5V, óptimo para
electrónica de Lógica Transistor a Transistor
(TTL por sus siglas en inglés). La segunda etapa,
construida en la PCB, lleva las señales a un
rango de 0-3.3V especial para electrónica de
componentes de simetría complementaria metal-
óxido-semiconductor (CMOS por sus siglas en
inglés).
Figura 9: Prototipo de Tarjeta de Adquisición de Datos.
Se realizaron pruebas iniciales sin efectuar
desplazamiento alguno. Los datos obtenidos
generaron la gráfica mostrada en la Figura 10,
comprobando que el sistema no genera o falsos
cambios de estado en ninguna etapa.
Figura 10: Representación de datos obtenidos sin variación
angular.
La Figura 11 presenta la gráfica de medias
obtenidas en la repetición de una rpueba
dedesplazamiento de 1 grado de libertad.
Se pudo apreciar que la representación del
desplazamiento del efector final en la gráfica es
aceptablemente precisa. Al realizar seguimiento
sobre objetos de dimensiones conocidas,
obtuvimos un error relativo de 0.009%,
posiblemente generado por el error acumulado de
las señales en los encoders, sumado a errores de
medición y al factor de error humano, ya que la
operación del mecanismo es completamente
manual.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 117
17.2
17.4
17.6
17.8
18
18.2
18.4
18.6
18.8
19Plano XY
Eje X
Eje
Y
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 138.5
39
39.5
40
40.5Plano XZ
Eje X
Eje
Z
38.5 39 39.5 40 40.517
17.2
17.4
17.6
17.8
18
18.2
18.4
18.6
18.8
19Plano ZY
Eje Z
Eje
Y
-1.5-1
-0.50
0.51
17
17.5
18
18.5
1938.5
39
39.5
40
40.5
Eje
Z
Espacio
Eje XEje Y
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MEMORIAS DEL XIX CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 25 al 27 DE SEPTIEMBRE, 2013 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO
Figura 11: Media del Experimento 1, actuando un grado de
libertad (rotor 1) partiendo de la configuración inicial.
Repetido 50 veces.
La Figura 12 demuestra que, si bien el
mecanismo debe encontrarse en su configuración
de cinemática inicial en el momento que kla
tarjeta de adquisición se enciende, la adquisición
converge al desplazamiento físico aún cuando
inicie con el mecanismo fuenra de HOME. En
este caso, los eslabones fueron cambiado de
posición antes de iniciar la adquisición, de
manera que el efector final no inicia en las
coordenadas (-0.9, 18.0, 39.5).
Figura 12: Representación de desplazamiento del efector final en tres dimensiones con variación angular en dos
grados de libertad (rotores 2 y 3).
En la Figura 13 se logran apreciar las variaciones
generadas por intervención humana en un
experimento con desplazamiento espacial no
guiado. Éste factor es decisivo para la
determinación del error.
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0-15
-10
-5
0
5
10
15
20Plano XY
Eje X
Eje
Y
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 038.5
39
39.5
40
40.5Plano XZ
Eje X
Eje
Z38.5 39 39.5 40 40.5
-15
-10
-5
0
5
10
15
20Plano ZY
Eje Z
Eje
Y
-20
-15
-10
-5
0
-20
-10
0
10
2038.5
39
39.5
40
40.5
Eje
Z
Espacio
Eje XEje Y
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0-15
-10
-5
0
5
10
15
20Plano XY
Eje X
Eje
Y
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 038.5
39
39.5
40
40.5Plano XZ
Eje X
Eje
Z
38.5 39 39.5 40 40.5-15
-10
-5
0
5
10
15
20Plano ZY
Eje Z
Eje
Y
-20
-15
-10
-5
0
-20
-10
0
10
2038.5
39
39.5
40
40.5
Eje
Z
Espacio
Eje XEje Y
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0-15
-10
-5
0
5
10
15
20Plano XY
Eje X
Eje
Y
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 038.5
39
39.5
40
40.5Plano XZ
Eje X
Eje
Z
38.5 39 39.5 40 40.5-15
-10
-5
0
5
10
15
20Plano ZY
Eje Z
Eje
Y
-20
-15
-10
-5
0
-20
-10
0
10
2038.5
39
39.5
40
40.5
Eje
Z
Espacio
Eje XEje Y
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0-15
-10
-5
0
5
10
15
20Plano XY
Eje X
Eje
Y
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 038.5
39
39.5
40
40.5Plano XZ
Eje X
Eje
Z
38.5 39 39.5 40 40.5-15
-10
-5
0
5
10
15
20Plano ZY
Eje Z
Eje
Y
-20
-15
-10
-5
0
-20
-10
0
10
2038.5
39
39.5
40
40.5
Eje
Z
Espacio
Eje XEje Y
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30Plano XY
Eje X
Eje
Y
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 1015
20
25
30
35
40
45
50Plano XZ
Eje X
Eje
Z
15 20 25 30 35 40 45 50-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30Plano ZY
Eje Z
Eje
Y
-6-4
-20
24
68
10
-20
-10
0
10
20
3015
20
25
30
35
40
45
50
Eje X
Espacio
Eje Y
Eje
Z
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30Plano XY
Eje X
Eje
Y
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 1015
20
25
30
35
40
45
50Plano XZ
Eje X
Eje
Z
15 20 25 30 35 40 45 50-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30Plano ZY
Eje Z
Eje
Y
-6-4
-20
24
68
10
-20
-10
0
10
20
3015
20
25
30
35
40
45
50
Eje X
Espacio
Eje Y
Eje
Z
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30Plano XY
Eje X
Eje
Y
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 1015
20
25
30
35
40
45
50Plano XZ
Eje X
Eje
Z
15 20 25 30 35 40 45 50-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30Plano ZY
Eje Z
Eje
Y
-6-4
-20
24
68
10
-20
-10
0
10
20
3015
20
25
30
35
40
45
50
Eje X
Espacio
Eje Y
Eje
Z
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30Plano XY
Eje X
Eje
Y
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 1015
20
25
30
35
40
45
50Plano XZ
Eje X
Eje
Z
15 20 25 30 35 40 45 50-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30Plano ZY
Eje Z
Eje
Y
-6-4
-20
24
68
10
-20
-10
0
10
20
3015
20
25
30
35
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45
50
Eje X
Espacio
Eje Y
Eje
Z
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MEMORIAS DEL XIX CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 25 al 27 DE SEPTIEMBRE, 2013 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO
Figura 13: Adquisición de desplazamiento no guiado del
efector final con rotación en las tres juntas.
CONCLUSIONES
Se desarrolló un sistema con el potencial de
simplificar el aprendizaje de los modelos
matemáticos utilizados para el cálculo de
parámetros en cinemática directa, con versatilidad
para la programación de aplicaciones debido a su
comunicación RS232 abierta, permitiendo al
estudiante desarrollar sus propias aplicaciones para
la elaboración de ejercicios o proyectos de
robótica.
El sistema tiene áreas de desarrollo versátiles. Se
están realizando trabajos en la ampliación del
alcance de ésta plataforma a otras configuraciones
robóticas, como el SCARA o el cartesiano,
también en el desarrollo del sistema de
procesamiento digital de señales en hardware
implementando plataformas tecnológicas
diferentes al FPGA para simplificar su desarrollo,
como el DSPIC o el ARDUINO, los cuales
también permitirán el desarrollo de sistemas en
tiempo real que permitan programar aplicaciones
de software para simulación en 3D que permitan
almacenar las secuencias de estados del robot para
emularlas a través de cinemática inversa en otros
mecanismos, incluso con configuraciones
robóticas distintas.
REFERENCIAS
(1) J. Angeles, “Fundamentals of Robotic
Mechanical Systems, Theory, Methods and
Algorithms”, Tercera edición, Editorial
Springer, 2007.
(2) M. W. Spong, M. Vidyasagar, “Robot
Modeling and Control”, Segunda edición,
Editorial Wiley, 2006.
(3) R. J. Romero-Troncoso, “Sistemas Digitales
con VHDL”, Primera edición, Legaria
Ediciones.
(4) S. A. Khan, “Digital Design of Signal
Processing Systems. A Practical Approach”,
Primera edición, Editorial Wiley & Sons,
2011.
(5) J. J. Craig, “Robótica”, Tercera edición,
Pearson, 2006.
-15 -10 -5 0 5 10 15 20-5
0
5
10
15
20Plano XY
Eje X
Eje
Y
-15 -10 -5 0 5 10 15 2038
40
42
44
46
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50
52
54Plano XZ
Eje X
Eje
Z38 40 42 44 46 48 50 52 54
-5
0
5
10
15
20Plano ZY
Eje Z
Eje
Y
-15-10
-50
510
1520
-5
0
5
10
15
2035
40
45
50
55
Eje X
Espacio
Eje Y
Eje
Z
-15 -10 -5 0 5 10 15 20-5
0
5
10
15
20Plano XY
Eje X
Eje
Y
-15 -10 -5 0 5 10 15 2038
40
42
44
46
48
50
52
54Plano XZ
Eje X
Eje
Z
38 40 42 44 46 48 50 52 54-5
0
5
10
15
20Plano ZY
Eje Z
Eje
Y
-15-10
-50
510
1520
-5
0
5
10
15
2035
40
45
50
55
Eje X
Espacio
Eje Y
Eje
Z
-15 -10 -5 0 5 10 15 20-5
0
5
10
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20Plano XY
Eje X
Eje
Y
-15 -10 -5 0 5 10 15 2038
40
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44
46
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54Plano XZ
Eje X
Eje
Z
38 40 42 44 46 48 50 52 54-5
0
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20Plano ZY
Eje Z
Eje
Y
-15-10
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5
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2035
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Eje X
Espacio
Eje Y
Eje
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Eje X
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Eje X
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38 40 42 44 46 48 50 52 54-5
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5
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2035
40
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Eje X
Espacio
Eje Y
Eje
Z
ISBN 978-607-95309-9-0 Página | 522 Derechos Reservados © 2013, SOMIM
