Booleova algebra i logički

sklopovi (1)

Teme

• Logička ili Booleova algebra

• Digitalna računala

• Izjava

• Logička operacija NE (engl. NOT)

• Logička operacija I (engl. AND)

• Logička operacija ILI (engl. AND)

• Logička operacija implikacije

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 2

Teme

• Logička operacija ekvivalencije

• Složene logičke operacije

• Osnovna pravila pojednostavljivanja

• De Morganova pravila

• Komutacija i distribucija

• Tautologija

• Kontradikcija

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 3

Teme

• Normalne forme

• Konjunktivna normalna forma

• Disjunktivna normalna forma

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 4

Logička ili Booleova algebra

• Logička ili Booleova algebra je sustav teorema koji rabe simboličku logiku da bi opisali skupove elemenata i odnose među njima

• Booleova algebra dobila je naziv prema svom tvorcu, engleskom matematičaru George Booleu (1815.-1864.)

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 5

George Boole (1815.-1864.)

• U svom djelu Matematička analiza logike želio je matematički obraditi postupke deduktivnoga logičkog zaključivanja, pri čemu su ulazni podaci mogli imati samo dva stanja: točno i netočno

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 6

Digitalna računala

• Razvojem digitalnih računala otkriveno je da je Booleova algebra vrlo dobro primjenjiva u konstruiranju i analizi rada računala jer takva računala također imaju samo dva stanja:

– Uključen – isključen

– Napon maksimalan – napon minimalan i sl.

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 7

Izjava

• Osnovni element logičke algebre je IZJAVA.

• Izjava može biti istinita ili lažna.

• Izjave su:

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 8

“Danas je vedar dan”

”Medvednica je viša od 1000

metara“

“1+1=3”.

Istinita izjava

• Istinitost izjave označava se pojmom "istina" ili engl. true.

• Zbog jednostavnosti i kratkoće istinitost izjave često se označava slovom T ili oznakom 1.

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 9

= "Danas je subota” (1) P

Lažna izjava

• Lažnost izjave označava se pojmom "laž" ili engl. false.

• Zbog jednostavnosti i kratkoće lažnost izjave često se označava slovom F ili oznakom 0.

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 10

= “Pročitao sam knjigu” (1) __

P

Logička operacija NE (engl. NOT)

• Logička operacija NE zove se još i negacija, a uključuje jedan operand i jedan operator.

• Negacija izjave nova je izjava, zasnovana na postojećoj izjavi, koja je lažna ako je postojeća izjava istinita, odnosno istinita je ako je postojeća izjava lažna.

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 11

NE

Logička operacija NE (engl. NOT)

"Danas je subota"

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 12

negacija

"Danas nije subota"

Logički operator NE (engl. NOT)

• Operator NE predočuje se jednim od simbola:

~ ili ¯ ili ’. • Rabit ćemo simbol ¯.

• Označimo li zbog kratkoće postojeću izjavu jednim slovom onda se negacija izjave označava s

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 13

P

je negacija izjave __

P P

Tablica stanja ili tablica istinitosti

• Tablica stanja izražava odnose između operanda ovisno o logičkoj operaciji.

• Tablica stanja definicija je logičke operacije i mora sadržavati sva moguća stanja operanada i logičke operacije.

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 14

Tablica stanja logičkog operatora NE

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 15

1 0

0 1

P__

P

Logička operacija I (engl. AND)

• Logička operacija I naziva se konjunkcija.

• Uključuje dva operanda i jedan operator.

• Operator se naziva I (engl. AND)

• Cjelokupna logička operacija I istinita ako i samo ako su istinite obje izjave uključene u tu operaciju.

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 16

Logički operator I (engl. AND)

• Operator I predočuje se jednim od simbola: ili ili .

• Rabit ćemo simbol .

• Rabe li se slova kao simbolički prikaz izjava, operacija I piše se:

i čita “P i Q”.

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 17

QP

Tablica stanja logičkog operatora I

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 18

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

P QP Q

Logička operacija ILI (engl. OR)

• Logička operacija ILI naziva se inkluzivna disjunkcija, a uključuje dva operanda i jedan operator.

• Operator se naziva ILI (engl. OR).

• Cjelokupna logička operacija ILI istinita ako je istinita bilo koja izjava uključena u tu operaciju.

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 19

Logički operator ILI (engl. OR)

• Operator ILI predočuje se jednim od simbola ili ili +.

• Rabit ćemo simbol +.

• Operacija ILI piše se simbolički:

i čita “P ili Q”

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 20

QP

Tablica stanja logičkog operatora ILI

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 21

P Q P + Q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Složene logičke operacije

• Osnovne logičke operacije mogu se kombinirati u složene operacije, pa tako npr. možemo sastaviti složenu logičku operaciju:

"Danas je sunčan dan" ILI "Danas je oblačan dan" I "Iz oblaka pada kiša".

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 22

Složene logičke operacije

• Zamijene li se izjave slovnim oznakama, ta logička operacija poprima oblik:

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 23

RQP

Složene logičke operacije

• Često je složene logičke operacije moguće pojednostavniti služeći se nizom jednostavnih pravila.

• Pojednostavniti logičku operaciju znači smanjiti broj operanada u logičkoj operaciji ne mijenjajući pritom tablicu stanja te operacije.

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 24

Osnovna pravila pojednostavljivanja

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 25

QP)QP(P

P)QP(P

P1P

0PP

PPP

00P

__

__

Osnovna pravila pojednostavljivanja

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 26

QP)QP(P

P)QP(P

11P

1PP

PPP

P0P

__

__

De Morganova pravila

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 27

QPQP

QPQP

Komutacija i distribucija

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2005 28

komutacija

distribucija

PQQP

PQQP

SQRQSPRP)SR()QP(

RPQP)RQ(P

Tautologija

• Složeni logički izraz čiji je rezultat istinit bez obzira na istinitost izjava od kojih se sastoji naziva se tautologija.

• U tablici stanja složenog izraza rezultat je uvijek istinit (T), tj. ima sve vrijednosti 1.

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 29

Kontradikcija

• Složeni logički izraz čiji je rezultat lažan bez obzira na istinitost izjava od kojih se sastoji naziva se kontradikcija.

• U tablici stanja složenog izraza rezultat je uvijek lažan (F) tj. ima sve vrijednosti 0.

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 30

Primjer 1. (pojednostavljivanje)

Pojednostavnimo logičku operaciju Y = A · B + A · B + A · C + C

1. korak (distribucija – izlučivanje A):

Y = A · (B + B) + A · C + C

2. korak (pravilo B + B = B):

Y = A · B + A · C + C

3. korak (distribucija – izlučivanje C)

Y = A · B + C · (A + 1)

4. korak (pravilo A + 1 = 1 i C · 1 = C )

Y = A · B + C

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 31

Primjer 2. (tablica stanja)

Nacrtajmo tablicu stanja za logičku operaciju:

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 32

BBAY

A B A A B

A B +B

0 0 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 1 0 0 1

Zadatak 1.

Pojednostavniti izraz i napisati tablicu stanja za logičku operaciju:

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 33

QPQPQPY

Rješenje

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 34

QPY

Tablica stanja za Zadatak 1.

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 35

A

P Q P P + Q

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 1 0 1

Primjer 2. • Nacrtajmo tablicu stanja za logičku operaciju

Y= (A + B ) C

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 36

A B C A + B

(A +B) C

0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 1 1

1 0 0 1 0

1 0 1 1 1

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

Zadatak 2.

• Nacrtajte tablicu stanja za logičku operaciju:

Y= (A+B) (A+C)

(c) L. Blagojević i D.Grundler 2009 37

A B C A A + B A+C (A+B) (A+C)

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0