BLOQUE 2g

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA

“Año de integración nacional y reconocimiento de nuestro

diversidad”

6 . Hallar el area de la regionlimitada por y=sen (2 x ) , x=−2 π , y=0

A=A1+A2+A3+A4…A1=A3 ; A2+A4

A=2 A1+2 A2

A1=2 ∫−2 π

−32

π

sen(2x )

A1=−2( cos (2 x)2 )|−2π

−32

π

A1=−cos (2x )|−2π−32

π

A1=−cos [2(−32 π )]−[−cos (2 (−2 π ) ) ]

A1=−cos (−3 π )+cos (−4 π )

Análisis Matemático Lic. Cesar Castañeda Campos


ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA A1=−(−1 )+1

A1=2u2

A2=2 ∫−32

π

−π

sen(2x )

A1=−2( cos (2 x)2 )|−32

π

−π

A1=−cos (2x )|−32

π

−π

A1=−cos [2 (−π ) ]−[−cos (2(−32 π ))]A1=−cos (−2π )+cos (−3 π )

A1=−1−1

A1=|−2|u2

A1=2u2

A=2 A1+2 A2

A=2u2+2u2

A=4u2

7.Hallar el área de laregion limitada por y=sen (2 x ) , y=cos (3x /2)x=−2π




10.Hallar el area de laregion limitada por x2+ y2=5( x2

x2+ y2 )

Solucion:

Despejandola variable y

x2+ y2=5( x2

x2+ y2 )(x2+ y2 )2=5 x2

x2+ y2=±√5|x|

y2=−x2±√5|x|…………….(1)

De laecuacion (1 ) sacamosdos ecuaciones :

y2=−x2+√5|x|…………… ..(2)

y2=−x2−√5|x|…………… ..(3)

De laecuacion (2 ) podemosdeducir dosecuaciones :

y2=−x2+√5|x|

y=±√−x2+√5|x|

y=√−x2+√5|x|………….. (a)

y=−√−x2+√5|x|………….(b)



ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA De laecuacion (3 ) podemosdeducir dos ecuaciones :

y2=−x2−√5|x|

y=±√−x2−√5|x|

y=√−x2−√5|x|…………… ..(c )

y=−√−x2−√5|x|…………… ..(d )

Por lo tanto tenemos :

y=√−x2+√5|x|………….. (a)

y=−√−x2+√5|x|………….(b)

y=√−x2−√5|x|…………… ..(c )

y=−√−x2−√5|x|…………… ..(d )

Analizandola ecuacion(a) y=√−x2+√5|x|

−x2+√5|x|≥0

x2−√5|x|≤0

***Si x≥0entonces|x|=x

x2−√5 x≤0

x (x−√5)≤0

x∈ [0 ;√5 ] Λ ¿

***Si x<0entonces|x|=−x

x2+√5 x ≤0

x (x+√5)≤0

x∈ [−√5; 0 ] Λ←∞;0>¿ x∈ ¿

Analizandola ecuacion (c ) y=√−x2−√5|x|

−x2−√5|x|≥0

x2+√5|x|≤0



ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA ***Si x≥0entonces|x|=x

x2+√5 x ≤0

x (x+√5)≤0

x∈ [−√5; 0 ] Λ ¿

***Si x<0entonces|x|=−x

x2−√5 x≤0

x (x−√5)≤0

x∈ [0 ;√5 ] Λ←∞;0>¿∅

Enla forma general tenemos :

y=√−x2−√5 x ; x∈¿

y=√−x2+√5x ; x∈ [0 ;√5 ]

y=−√−x2−√5 x ; x∈¿

y=−√−x2+√5 x ; x∈ [0 ;√5 ]

Graficando las siguientes funciones :


R1


ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA Hallando el areade laregion :

Comoes simétrico hallamos solo esl primer cuadrante

Área (R1 )=∫0

√5

f ( x )dx

Área (R1 )=∫0

√5

(√−x2+√5 x )dx

Área (R1 )=∫0

√5 (√( √52 )

2

−(x−√52 )

2)dxUsando la propiedad∫ √a2−u2du=u

2√a2−u2+ a

2

2arcsen ( ua )+c

Área (R1 )=∫0

√5 (√( √52 )

2

−(x−√52 )

2)dx

Área (R1 )=[ (x−√52 )2 √(√52 )

2

−(x−√52 )

2

+(√52 )

2

2arcsen( x−√5

2√52

)]Área (R1 )=[ (2x−√5 )

2√− x2+√5 x+ 5

8arcsen( 2 x−√5

√5 )]Área (R1 )=[ (2√5−√5 )

2√−√52+√5√5+ 5

8arcsen (2√5−√5

√5 )]−[ (2(0)−√5 )2

√−(0)2+√5(0)+ 58arcsen( 2(0)−√5

√5 )]Área (R1 )=[ 58 arcsen (1 )]−[ 58 arcsen (−1 )]Área (R1 )=[ 58 ( π2 )]−[ 58 (−π

2 )]Área (R1 )=5 π

16+ 5 π16

Área (R1 )=5 π8u2

Comohay cuatroregiones igualesmultiplicamos por cuatro


0

√5



Área (R )=4 (5 π8 )u2

11.Hallar el area de la region limitadapor : x2+ y2=6( y2

x2+ y2 )

Solución:

x2+ y2=6( y2

x2+ y2 )(x2+ y2 )2=6 y2

x2+ y2=√6 yx2=√6 y− y2

x2= y (√6− y )

x=√ y (√6− y ) x=0 √ y (√6− y )=0

y=0; y=√6

Area (R )=∫0

√6

√ y (√6− y )dy

Area (R )=∫0

√6

√√6 y− y2dy

Desarrollo por sustitucióntrigonométrica


Área (R )=5 π2u2



∫0

√6

√√6 y− y2dy

Dando forma :

∫0

√6

y1 /2(√6− y )1/2dy

sen (θ )=√ y4√6

y= [sen (θ ) . 4√6 ]2

θ=arcsen(√ y4√6 ) dy=√6 .2 . sen (θ ) .cos (θ)dθ

cos (θ )=√√6− y4√6

Reemplazando :

∫0

√6

y1 /2(√6− y )1/2dy=∫

0

√6

sen (θ ) . 4√6 .cos (θ ) . 4√6 .√6 .2 . sen (θ ) .cos (θ)dθ

∫0

√6

y1 /2(√6− y )1/2dy=12∫

0

√6

sen (θ ) .cos (θ ) . sen (θ ) .cos (θ)dθ

∫0

√6

y1 /2(√6− y )1/2dy=12∫

0

√6

[ sen (θ ) ]2 . [cos (θ)]2dθ

Mediante integrales trigonométricas

sen(θ)2=12(1−cos (2θ))

cos (θ)2=12(1+cos (2θ))

sen(θ)2+cos (θ)2=1

12∫0

√6

[sen (θ ) ]2. [cos (θ)]2dθ=12 {∫0

√612(1−cos (2θ)) . 1

2(1+cos (2θ))dθ}

12∫0

√6

[sen (θ ) ]2. [cos (θ)]2dθ=12 {∫0

√614sen(2θ)2dθ}




12∫0

√6

[sen (θ ) ]2. [cos (θ)]2dθ=3 {∫0

√6

sen (2θ)2dθ}12∫

0

√6

[sen (θ ) ]2. [cos (θ)]2dθ=32 {∫

0

√6

[1−cos (4θ)]dθ }∫0

√6

y1 /2(√6− y )1/2dy=3

2θ−38sen (4θ )+C

Reemplazandoθ :

∫0

√6

y1 /2(√6− y )1/2dy={32 [arcsen(√ y4√6 )]−38 sen (4 [arcsen(√ y4√6 )])}|0

√6

¿ {32 [arcsen( 4√64√6 )]−38 sen (4 [arcsen( 4√64√6 )])}¿135u2

14.Hallar el area de laregion limitrada por x=−12 y2 ,4 y2

Solución:

¿∗x=8−12 y2

12 y2=8−x

12 y2=−(x−8)

y2=−112

(x−8)

( y−0)2=4 (−148 )(x−8)Susvértices

V (h; k)

V (8 ;0)

LR=|4 P|= 112




Focoes igual F ( p+h ;0)⟹F (−148

+8 ;0)

La parábola seabre a laizquierda

¿∗x=4 y2

y2=14x

( y−0)2=4 ( 116 )(x−0)Susvértices

V (h; k)

V (0 ;0)

LR=|4 P|=14

Focoesigual F ( p ;0)⟹ F ( 116

;0)

La parábola abre a la derecha

Graficando :

Calculando los valores de loslímites inferiores

Igulando las siguientes funciones

x=8−12 y2 , x=4 y2

8−12 y2=4 y2


x=4 y2

x=8−12 y2


ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA 8=16 y2

12= y2

±(√ 12 )= y

Hallando el área :

Área(R)=∫−√ 12

√ 12((8−12 y2)−(4 y2 ))dy

Área(R)=∫−√ 12

√ 12(8−16 y2)dy

Área(R)=(8 y−16 y33 ){ √ 12−√ 12

Área (R )=[8(√ 12 )−163 (√ 12 )3]−[8(−√ 12 )−163 (−√ 12 )

3]Área (R )=[8(√ 12 )−163 (√ 12 )

3]−[8(−√ 12 )−163 (−√ 12 )3]

Área (R )=[ 8√2− 163√8 ]−[−8√2

+ 163√8 ]

Área (R )= 8

√2− 163√8

+ 8

√2− 163√8

= 8

√2− 83√2

+ 8

√2− 83√2

= 323√2

.- x=12− y2 ; x=4 y2


Área (R )=16√23

u2



(485, √125

)

0 12

(−485

,−√125

)

Hallamosel puntode intersección :

12− y2=4 y2

12−5 y2=0

Y=√ 125 , x=485

Hallamosel volumenal rotar en y=6

V=π ⟦∫485

12

( (√12−x−(−6))2−(−√12−x−(−6))2 )dx+∫0

485 ((√ x4−(−6))

2

−(−√ x4−(−6))2)dx ⟧

V=

π ⟦∫485

12

(12−x+12√12−x+36−12+x+12√12−x−36 )dx+∫0

485

( x4 +12√ x4 +36− x4+12√ x4−36)dx ⟧

V=π ⟦∫485

12

(24 √12−x )dx+∫0

485

(24√ x4 )dx ⟧Escriba aquí la ecuación.



ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA Resolvemosla primera integral :

u=12

du=−dx

V=π ⟦−24∫485

12 (u 12)du+ 242 ∫

0

485 (x 12 )dx⟧

V=π ⟦−24 (u 3232 )485

12

+12( x32

32

)0

485 ⟧

Reemplazamos :

V=π ⟦−16 (12−x )32485

12 +8( x32)0

485 ⟧

Procedemos areemplazar los valoresde x :

V=π ⟦+16(12−485 )32+8( 48

5)32⟧

V=π ⟦+16( 125 )32+8( 48

5)32⟧

V=π ⟦80 √123

√53 ⟧

Respuesta :

V=π ⟦ 80125 √603⟧u315 . Hallar el área de laregión limitada por y=x2−12 , y=8−x2 .

Solución:

y=x2−12

x2−12= y

( x−0 )2= y+12




( x−0 )2=4 ( 14 ) ( y−(−12 ) ) Si : ( x−h )2=4 P ( y−k )

V (0 ,−12 ) P=14>0concavahacia arriba

Tabulando :

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y -3 -8 -11 -12

-11 -8 -3

y=8−x2

8−x2= y

−x2= y−8⇒ x2=− y+8

( x−0 )2=4 (−14 ) ( y−8 ) Si : ( x−h )2=4 P ( y−k )

V (0,8 ) P=−14

<0concavahacia abajo

Tabulando:

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y -1 4 7 8 7 4 -1

⇒ x2−12=8−x2

2 x2=20

x2=10 x=±√10




Área= ∫−√10

√10

[ (8−x2)−(x2−12 ) ]dx

Área= ∫−√10

√10

[−2x2+20 ]dx

Área=[−2 x33 +20 x ]|−√10

√10

Área=[(−2 (√10 )3

3+20 (√10 ))−(−2 (−√10 )3

3+20 (−√10 ))]

Área=40√103

−(−40√103 )=80√103 u2





Documents

BLOQUE 2g