BÖLÜM XIV FREKANS SEÇİCİ DEVRELERE GİRİŞ sabit …R L Hs s RL (7) Devrenin ... analiz gibi RC devresinin davranışını tanımlamak için 3 frekans bölgesi kullanırız:

Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ

1

BÖLÜM XIV

FREKANS SEÇİCİ DEVRELERE GİRİŞ

Önceki bölümlerde yapılan sinüzoidal devre analizlerimizde kaynak frekansı

sabit tutulmuştu. Bu bölümde ise değişen kaynak frekansının devre akımlarını

ve gerilimleri nasıl etkilediğini analiz edeceğiz. Bu analizin neticesinde, bir

devrenin frekans cevabı elde edilecektir.

Devre elemanlarının ve değerlerinin dikkatli bir şekilde seçimi ve diğer

elemanlarla bağlantıları bize devre çıkışında yalnızca istenen frekans

aralığında kalan giriş sinyallerini geçirme olanağı sağlayacaktır. Bu

devreler frekans seçici devreler olarak adlandırılır. Örneğin, telefon,


2

radyo, televizyon ve uydular gibi elektrik sinyalleri ile iletişim kuran

birçok aygıt frekans seçici devreler kullanır.

Frekans seçici devreler belirli giriş sinyallerini süzme özelliğinden dolayı

aynı zamanda filtre olarak da adlandırılırlar.

Filtreler, belirli bir frekans bandı dışında frekans içeriğine sahip her hangi

bir giriş sinyalini zayıflatır (etkisini azaltır veya söndürür).

Şekil 14.1 Filtrenin çıkış sinyali üzerindeki etkisi çıkış sinyaliyle sonuçlanır.


3

Bu bölümde 4 ana filtre devresi incelenecektir. Bunlar, alçak geçiren, yüksek

geçiren, bant geçiren ve bant durduran filtre devreleridir. Ayrıca belirtmek

gerekir ki; Şekil 14.2’de verilen devreye ait giriş ve çıkışın gerilim olduğu

durumlar ele alınacaktır. Böylece analiz edilecek devrelere ait transfer

fonksiyonumuz ( ) ( ) ( )o iH s V s V s olacaktır. Fakat bazı uygulamalarda akımda

istenilen giriş ve çıkış sinyali olabilir.

Şekil 14.2 Giriş ve çıkışın gerilim olduğu bir devre yapısı


4

Girişten çıkışa gönderilen sinyaller geçirme bandı olarak isimlendirilen

frekans bandı aralığına düşer. Bu bandın dışında kalan giriş gerilimleri ise

devre tarafından sönümlenir. Böylece devrenin çıkış uçlarına ulaşması

engellenmiş olur. Bir devrenin geçirme bandında olmayan frekanslar devrenin

durdurma bandı kısmında yer alır. Frekans seçici devreler yani filtreler

durdurma bandının bulunduğu yere göre sınıflandırılır.

Şekil 14.3 ideal dört ana filtre devresine ait filtre cevabı yer almaktadır. Bu

grafiklerden biri ( )H jw ’nın frekansa göre değişimi olup genlik cevabıdır.

Diğeri ise ( )jw ’nın frekansa göre değişimidir ve faz cevabıdır.


5

Şekil 14.3 Dört çeşit filtre devresinin ideal filtre cevapları. (a) İdeal alçak geçiren filtre. (b) İdeal yüksek

geçiren filtre. (c) İdeal bant geçiren filtre. (d) İdeal bant durduran filtre


6

Şekil 14.4 (a) Seri RL alçak geçiren filtre. (b)

0 ’da devrenin eşdeğeri. (c) ’da devrenin eşdeğeri.

14.1 Alçak Geçiren Filtreler

Burada seri RL ve RC devrelerini

inceleyeceğiz ve bu devrelerin hangi

özelliklerinin kesim frekansını

belirlediğini öğreneceğiz.

14.1.1 Seri RL Devresi

Şekil 14.4’de seri RL devresi yer

almaktadır. Bilindiği üzere bir bobinin

empedansı j L ’dir.


7

Düşük frekanslarda, direncin empedansı

ile karşılaştırıldığında bobinin empedansı

çok düşüktür ve bobin uygulamada kısa

devre özelliği gösterir.

Yüksek frekanslarda, direncin empedansı

ile karşılaştırıldığında bobinin empedansı

çok büyüktür ve bobin uygulamada açık

devre özelliği gösterir.

Yandaki şekilde bir seri RL devresine ait genlik ve faz cevabı yer

almaktadır. Burada c filtre kesim frekansıdır. Bu frekansın tanımlanması


8

gerekmektedir. Kesim frekansı bilindiği üzere transfer fonksiyonun

maksimum genliğinin 1 2 katı olduğu frekanstır.

max1( )2cH j H (1)

Daha önceden bildiğimiz üzere bir devreden yüke aktarılan ortalama güç, 2

YV ile orantılıdır, burada YV yük üzerindeki gerilim düşümüdür: 21

2YVPR

(2)

Yük geriliminin genliğinin maksimum olduğu durumda ise 2max1

2YVPR

(3)


9

Sinüzoidal gerilim kaynağı ( )iV j ’nın frekansını değiştirerek çıkış

geriliminin maksimum olduğu anda devrenin transfer fonksiyonun genliği

de maksimumdur.

max maxY iV H V (4)

Kesim frekansında ise:

max max

( ) ( )1 12 2

Y c c i

i Y

V j H j V

H V V

(5)

Denklem (5) kullanılarak kesim frekansındaki ortalama güç:

max( )2c

PP j . (6)


10

Denklem (6), kesim frekansında devre tarafından aktarılan ortalama gücün

maksimum ortalama gücün yarısı olduğunu gösterir. Bu yüzden c , yarı

güç frekansı olarak da adlandırılır.

Kesim frekansı tanımladığına göre artık RL devresini analiz edebiliriz.

Öncelikle seri RL devresini, başlangıç koşullarını sıfır kabul ederek

aşağıdaki gibi s-düzleminde eşdeğerini oluşturmamız gerekir.


11

Ardından oluşturulan bu devre için transfer fonksiyonu ise aşağıdaki gibi

elde edilir.

( ) R LH ss R L

(7)

Devrenin frekans tepkisini bulabilmek için s j değişimi yaparız:

( ) R LH jj R L

(8)

Böylece transfer fonksiyonun genliği ve fazı aşağıdaki gibi tanımlanır.

22( ) R LH j

R L

(9)


12

1( ) tan LjR

(10)

Denklem (9)’da, 0 olduğunda ( 0) 1H j ’dır. Buda giriş geriliminin

çıkış uçlarına gerilim genliğinde bir değişim olmadan doğrudan

aktardığı anlamına gelir. Faz açısı 0 derecedir ve frekans arttıkça

negatiftir.

Denklem (9)’da, frekans arttığında ( )H j azalır. Hatta

olduğunda ( ) 0H j ’dır. Bu durumda giriş gerilimi, çıkış uçlarına

genliği sönümlenerek aktarıldığı anlamına gelir. Faz açısı -90 derece

sınırına ulaşır.


13

Ayrıca Denklem (9)’u kullanarak kesim frekansı c ’yi hesaplayabiliriz.

22

1( ) 12c

c

R LH jR L

(11)

Denklem (11)’den c ’yi aşağıdaki gibi elde ederiz.

cRL

(12)

Denklem (12) sayesinde kesim frekansı c değeri, R ve L değerlerinin

uygun bir şekilde seçimiyle ayarlanabilir. Böylece gerek duyulan her hangi

bir kesim frekansında alçak geçiren bir filtre tasarımı gerçekleştirebiliriz.


14

Örnek 14.1 (Alçak Geçiren Filtre Tasarımı): Elektrokardiyoloji kalp

tarafından üretilen elektrik sinyallerinin incelendiği bir alandır. Bu sinyaller

kalbin ritmik atışının devamlılığını sağlar ve elektrokardiyograf denen cihaz

vasıtasıyla ölçülür. Bu cihazın, frekansları 1 Hz civarında olan periyodik

sinyalleri (normal kalp hızı dakikada 72 atımdır) tespit etme kabiliyetine sahip

olması gerekir.

Elektrokardiyograf cihazı, etraftaki elektrik ortamından oluşan ve temel

frekansı elektriksel gücün sağlandığı frekans olan 60 Hz’deki sinüzoidal

gürültü varlığında çalışmaktadır.

a) Öyle bir seri RL devresi tasarlayınız ki sonuçta tasarlanan devre

elektrokardiyograf cihazında 10 Hz üzerindeki her gürültüyü


15

filtrelemekte ve kalpten 1 Hz veya yakınındaki elektrik sinyallerini

geçirmekte kullanılabilsin.

b) Filtrenin çıkışı ne kadar iyileştirdiğini görmek için çıkış genliğini 1, 10

ve 60 Hz’de hesaplayınız.

Çözüm:

a) Buradaki problem, 10 Hz’lik kesim frekansına sahip bir seri RL alçak

geçiren filtre tasarlamaktır.

Kesim frekansı denklemi cRL

’den R ve L’nin c ’yi oluşturmak için

bağımsız olarak seçilemeyeceğini biliyoruz. Bundan dolayı L için

genelde pratikte bulanabilir bir değer olan 100 mH’yi seçelim. İstenen


16

kesim frekansını elde etmede gerekli olan R değerini hesaplamak için

önce kesim frekansını Hertz’den radyan/saniye’ye çevirmemiz gerekir:

2 (10) 20 /c rad s .

Daha sonra gerekli olan R değeri bulunacak olur ise: 3(20 )(100 10 ) 6.28cR L olarak buluruz.

b) Çıkış gerilimi oV ’ın genliği ( )o iV H j V eşitliğini kullanarak

hesaplayabiliriz:

2 2 2 2

20( )( ) 400

o i iR LV V V

R L

.

Yukarıdaki çıkış gerilimi oV ; 1, 10 ve 60 Hz için aşağıdaki tabloda

hesaplanmıştır.


17

Frekans (Hz) iV (Volt) oV (Volt) 1 1.0 0.995

10 1.0 0707 60 1.0 0.164

Yukarıdaki tablodan görüldüğü üzere, tasarlanan filtre kesim

frekansında, çıkış geriliminin genliğini geçiş bandının birim genliğinden

1 2 oranında azaltılmıştır. 60 Hz’de ise çıkış geriliminin büyüklüğü

yaklaşık 6 kat azaltılarak elektrokardiyograf cihazının etkilendiği frekans

bileşenleri yok edilmiştir.


18

Şekil 14.5 Seri RC alçak geçiren filtre

14.1.2 Seri RC Devresi

Şekil 14.5’de verilen seri RC

devresi aynı zamanda alçak geçiren

bir filtre özelliği gösterir. Bir

önceki yaptığımız analizler gibi bu

devreyi de kolaylıkla analiz

edebiliriz. Burada devrenin

çıkışının kapasitör üzerinden tanımlandığına dikkat edelim. Önceki yaptığımız

analiz gibi RC devresinin davranışını tanımlamak için 3 frekans bölgesi

kullanırız:


19

1) Sıfır frekansı ( 0 ): Kapasitörün empedansı sonsuzdur ve kapasitör

açık devre davranışı sergiler. Böylece giriş ve çıkış gerilimleri eşittir.

2) Sıfırdan artan frekanslar: Kapasitörün empedansı direncinkine göre

azalır, çıkış gerilimi de direnç ve kapasitör empedansları arasında

paylaşılır. Böylece çıkış gerilimi kaynak geriliminden daha düşüktür.

3) Sonsuz frekans ( ): Kapasitörün empedansı sıfırdır ve kapasitör kısa

devre davranışı sergiler. Böylece çıkış gerilimi sıfır olur.

Çıkış geriliminin frekansın bir fonksiyonu olarak nasıl değiştiğinin analizi

yapıldığında, seri RC devresi bir alçak geçiren filtre işlevi görür. Örnek

14.2’de bu devrenin nicel analizi yapılacaktır.


20

Örnek 14.2 (Alçak Geçiren Seri RC Filtre Tasarımı): Şekildeki seri RC

devresi için:

a) Kaynak gerilimi ile çıkış gerilimi arasındaki transfer fonksiyonunu ifade

ediniz.

b) Seri RC devrede kesim frekansı için bir eşitlik belirleyiniz.

c) Devre 3 kHz kesim frekansına sahip olabilmesi için R ve C değerlerini

belirleyiniz.


21

Çözüm:

a) Öncelikle devre yandaki şekilde

sunulduğu gibi s-düzleminde ifade

edilir. Böylece devrenin transfer

fonksiyonu:

1( )1RCH s

s RC

olarak elde edilir.

Ardından s j ’yı yerine yazarak transfer fonksiyonun genliğini

aşağıdaki gibi buluruz.


22

22

1

( )1

RCH j

RC

.

b) Bildiğimiz üzere c ’de max1( )2

H j H ’dır. Alçak geçiren filtre için

max ( 0) 1H H j ’dir. Böylece R, C ve c arasındaki ilişki aşağıdaki gibi

tanımlanır.

22

11( ) (1)2 1

c

c

RCH j

RC


23

Yukarıdaki eşitlikten c elde edilir ise:

1c RC

olarak bulunur.

c) Yukarıda elde edilen kesim frekansı denkleminden R ve C’nin

birbirinden bağımsız hesaplanamayacağını görmekteyiz. 1C F

seçelim. Böylece R’yi aşağıdaki gibi kolaylıkla bulabiliriz.

3 6

1 1 53.05(2 )(3 10 )(1 10 )c

RC

.

Not: Unutmayalım ki C değerinin seçilmesinin temel sebebi mevcut

kapasitör değerleri direnç veya bobin değerlerinden daha azdır.


24

14.1.3 Frekans Bölgesini Zaman Bölgesiyle İlişkilendirmek

Ayrıca birinci dereceden RL ve RC devreleri için önemli bir değişken zaman

tepkisini analiz etmemizi sağlayan zaman sabiti ’dur.

RL devresi için zaman sabiti L R iken, RC devresi için zaman sabiti R C

değerine sahiptir.

Böylece hem RC hem de RL devresi için zaman sabiti aslında kesim

frekansı ile ilişkilendirilebilir. Bu ilişki:

1

c

(10)

olarak tanımlanır.


25

Özet (Alçak Geçiren Filtreler)

( ) c

c

H ss


26

14.2 Yüksek Geçiren Filtreler

Bu bölümde yüksek geçiren filtre davranışı gösteren iki adet devreyi

inceleyeceğiz. Bunlar sırasıyla seri RC ve RL devreleridir. Böylece çıkış

geriliminin tanımlandığı yere göre aynı devrenin hem alçak hem de yüksek

geçiren bir filtre gibi davrandığını analiz etmiş olacağız. Ayrıca bir önceki

analizlerimizde gibi benzer çözüm yolları kullanacağız.


27

Şekil 14.6 (a) Seri RC yüksek geçiren filtre.

(b) 0 ’da devrenin eşdeğeri. (c) ’da devrenin eşdeğeri.

14.2.1 Seri RC Devresi

Şekil 14.6’da seri RC devresi yer

almaktadır. Alçak geçirenin aksine çıkış

gerilimi kapasitör üzerinden değil direnç

üzerinden alınmıştır.

1) Sıfır frekansı ( 0 ):

Kapasitörün empedansı sonsuzdur

ve kapasitör açık devre davranışı

sergiler. Böylece direnç üzerinden

akım geçmez. Bu yüzden direnç

üzerinde gerilim yoktur ve devre


28

alçak frekanslı kaynak gerilimini çıkışa ulaştırmadan filtreler.

2) Sıfırdan artan frekanslar: Kapasitörün empedansı direcinkine göre

azalır, çıkış gerilimi de direnç ve kapasitör empedansları arasında

paylaşılır. Böylece çıkış gerilimin genliği artmaya başlar.

3) Sonsuz frekans ( ): Kapasitörün empedansı sıfırdır ve kapasitör kısa

devre davranışı sergiler. Böylece kapasitör üzerinde gerilim yoktur.

Bütün gerilim direnç üzerinde görünür ve faz farkı sıfırdır.

4) Frekans azaldıkça ve kapasitörün empedansı arttıkça, kapasitörde gerilim

ve akım arasında faz farkı meydana gelir. Çıkış geriliminin faz açısı

kaynak geriliminin önündedir. Hatta 0 ’da bu faz açısı 90 ’ye

ulaşır.


29

Sonuç olarak seri RC devresi alacak geçiren filtre davranışı sergiler. Şimdi ise

bu devrenin nicel analizini yapacağız. Öncelikle RC devresi s-düzleminde

aşağıdaki gibi elde edilir.

Böylece devreye ait transfer fonksiyonun genliği ve fazı aşağıdaki gibi

bulunur.


30

( )1sH s

s RC

(11)

( )1

jH jj RC

(12)

22( )

1H j

RC

, 1( ) 90 tanj RC . (13)

Bir önceki tanımlanan c ’de max1( )2

H j H ve ( ) 1H j eşitlikleri

kullanılarak, kesim frekansı c :


31

22

12 1

c

c RC

(14)

1c RC

(15)

olarak elde edilir.

Görüldüğü üzere hem alçak hem de

yüksek geçiren seri RC devrelerinin kesim

frekansları aynıdır.

Şimdi ise yüksek geçiren seri RL filtresini

bir örnek üzerinde tasarlayalım.


32

Örnek 14.3 (Yüksek Geçiren Seri RL Filtre Tasarımı): Şekilde yer alan seri

RL devresinin bir yüksek geçiren filtre gibi davrandığını inceleyiniz.

a) Transfer fonksiyonunu tanımlayınız.

b) Transfer fonksiyonunu kullanarak seri RL

devresinin kesim frekansını belirleyiniz.

c) Devrenin 15 kHz kesim frekansına sahip

olabilmesi için R ve L değerlerini

belirleyiniz.


33

Çözüm:

a) Öncelikle devre, aşağıdaki gibi s-düzleminde elde edilir.

Ardından devreye ait transfer fonksiyonu:

( ) sH ss R L

olarak bulunur.

Bu transfer fonksiyonu, frekans düzleminde ise:


34

( ) jH jj R L

olarak ifade edilir.

b) Kesim frekansı denklemini bulabilmek için öncelikle yukarıda elde edile

transfer fonksiyonun genliği aşağıdaki gibi hesaplanır.

22( )H j

R L

Bilindiği üzere c ’de max1( )2

H j H ve ( ) 1H j ’dir. Böylece,

kesim frekansı c :

22

12

c

c R L

, c

RL

.


35

c) R ve L seçimi bir birinden bağımsız değildir. R için keyfi 500 seçilir ise L aşağıdaki gibi bulunmuş olur.

3500 5.31

(2 )(15 10 )c

RL mH

.


36

Özet (Yüksek Geçiren Filtreler)

( )c

sH ss


37

14.3 Bant Geçiren Filtreler

Bant geçiren filtreler bir frekans bandındaki gerilimleri çıkışa aktarırken, bu

frekans bandı dışındaki gerilimleri sönümleyen filtrelerdir. Bu filtreler önceki

kısımlardaki alçak ve yüksek geçiren filtrelerden daha karmaşıktır. Bu filtre

tasarımlarına geçmeden önce merkez frekansı, bant genişliği ve kalite faktörü

gibi bazı önemli parametrelerin tanımlanması gerekir.


38

14.3.1 Merkez Frekansı, Bant Genişliği ve Kalite Faktörü

Merkez frekansı ( 0 ): Merkez frekansının diğer adı rezonans frekansıdır. Bir

devre rezonans frekansında çalıştırıldığında, devre rezonanstadır denir. Çünkü

transfer fonksiyonunun frekansı devrenin doğal frekansıyla aynıdır. Bant

geçiren filtreler için transfer fonksiyonunun genliği merkez frekansında

en yüksektir ( max 0( )H H j ).

Bant Genişliği ( ): Alt kesim ve üst kesim frekansının arasında kalan

frekanslardır.

Kalite faktörü: Merkez frekansının bant genişliğine oranıdır. Kalite faktörü,

geçirme bandının genişliğinin frekans eksenindeki yerinden bağımsız olarak


39

bir ölçütünü verir. Ayrıca, frekanstan bağımsız olarak genlik grafiğinin şeklini

tanımlar.

Bant geçiren filtreyi tanımlayan beş tane özellik olmasına rağmen (

1 2 0, , ,c c ve Q) beş taneden sadece ikisi bağımsız olarak tanımlanabilir.

Yani, bu özelliklerden iki tanesi için çözüm yapabildiğimizde, diğer üçü

aralarındaki bağımlı ilişkilerden hesaplanabilmektedir. Sonraki bölümde bant

geçiren filtre gibi işlev gören seri RLC devresini inceleyeceğiz.


40

14.3.2 Seri RLC Devresi

Şekil 14.7(a) bir seri RLC devresini

göstermektedir. Burada kaynak

frekansının değişmesinin çıkış

gerilimi üzerindeki etkisini

inceleyeceğiz.

0 ’da, kapasitör açık devre

ve bobin kısa devre gibi

davranır. Kapasitörün

empedansı, devre akımın dirence

Şekil 14.7 (a) Bant geçiren seri RLC filtre (b)

0 için eşdeğer devre (c) için eşdeğer

devre


41

ulaşmasını engeller ve sonuçta çıkış gerilimi sıfırdır.

’da, kapasitör kısa devre ve bobin açık devre gibi davranır. İndüktör

akımın dirence ulaşmasını engeller ve sonuçta çıkış gerilimi sıfırdır.

0 ve arasındaki frekans bölgesinde ne olur? Bu iki uç nokta

arasında, kapasitör ve bobinin ikisi de sonlu empedanslara sahiptirler.

Hatırlanacağı üzere, kapasitör negatif bobin pozitif empedansa sahip

olduğunda, 0 ’da bu empedanslar birbirini yok ederek çıkış geriliminin

kaynak gerilimine eşit olmasını sağlar. 0 ’ın iki yanında da çıkış gerilimi

kaynak geriliminden küçüktür.


42

Şekil 14.8’de dikkat edilirse, ideal bant

geçiren filtrenin gerilim cevabı ile seri RLC

devresinin transfer fonksiyonunun gerilim

cevabı üst üste gösterilmiştir. Kaynak ve çıkış

geriliminin aynı olduğu frekansta faz açıları

da aynıdır. Frekans azaldıkça, kapasitörün faz

açısına katkısı bobininkinden daha fazla olur.

Düşük frekanslarda, kapasitör pozitif faz

açısına sahip olduğundan çıkıştaki toplam faz

açısı pozitiftir.

Şekil 14.8 Yukarıdaki bant geçiren seri RLC

filtre için frekans tepkisi grafiği


43

Şimdi ise bant geçiren seri RLC

devresinin nicel analizini

gerçekleştireceğiz.

Şekildeki devre için transfer

fonksiyonu aşağıdaki gibi

tanımlanır:

2

( / )( )( / ) (1/ )

R L sH ss R L s LC

(16)

Yukarıdaki eşitlikte s j koyarsak;

2 22

( / )( )(1/ ) ( / )

R LH jLC R L

(17)


44

12

( / )( ) 90 tan(1/ )

R LjLC

(18)

Şimdi bant geçiren RLC filtreyi niteleyen beş özelliği hesaplayalım. Seri RLC

devresinde, kaynak gerilimi merkez yani rezonans frekansına ulaştığında

kapasitör ve bobin empedanslarının toplamı sıfırdır. Bu durum kullanarak

öncelikle merkez frekansı aşağıdaki gibi hesaplanır.

0 00

1 10j Lj C LC

(Merkez frekansı) (19)

Daha sonra ise kesim frekansları 1c ve 2c ’yi hesaplanır. Kesim

frekanslarında, transfer fonksiyonun genliğinin, max 0(1 / 2) (1 / 2) ( )H H j

olduğu unutulmamalıdır. Böylece transfer fonksiyonun maksimum genliği:


45

0max 0 2 22

0 0

22

( / )( )(1/ ) /

1/ ( / ) 1(1/ ) 1/ 1/ /

R LH H jLC R L

LC R L

LC LC LCR L

(20)

Yukarıdaki denklemin, sol tarafı max(1 / 2)H ’a yani 1 / 2 ’ye eşitlenir ve

kesim frekansı c için çözüm yapılır ise:

2 222

( / )1 12 ( / ) (1 / ) 1(1 / ) /

c

c cc c

R L

L R RCLC R L

(22)

Yukarıdaki denklemin her iki tarafının paydalarını eşitler ve düzenlersek

aşağıdaki ikinci dereceden eşitlik elde edilir.


46

211 1/ 0c c cc

L L R CR RC

(23)

Denklem (23) çözülürse alt ve üst kesim frekansları aşağıdaki gibi elde edilir: 2

11

2 2cR RL L LC

(24)

2

21

2 2cR RL L LC

(25)

Bant genişliği iki kesim frekansı arasındaki fark olarak tanımlandığından; 2 2

2 11 1

2 2 2 2c cR R R R RL L LC L L LC L

(26)


47

Kalite faktörü, merkez frekansının bant genişliğine oranı olarak

tanımlandığından;

0 2

1 ///LC LQ

R L CR (27)

Önceden belirtildiği gibi, bir tasarımda bu özelliklerden sadece ikisi

birbirinden bağımsız olarak belirlenebilir. Kalite faktörü, merkez frekansı ve

bant genişliği cinsinden belirlendiğini görmüş olduk.

Ayrıca kesim frekansları denklemlerini, merkez frekansı ve bant genişliği

cinsinden ifade edebiliriz. 2

21 02 2c

(28)


48

22

2 02 2c

(29)

Ayrıca aynı denklemler, kalite faktörü ve merkez frekansı cinsinden de elde

edilebilir. 2

1 01 11

2 2c Q Q

(30)

2

2 01 11

2 2c Q Q

(31)


49

Örnek 14.4 (Paralel RLC Band Durduran Filtre Tasarımı): Şekildeki RLC devresi için

a) Transfer fonksiyonu ( )H s ’i bulunuz.

b) Merkez frekansı 0 ’ı hesaplayınız. c) Alt kesim ve üst kesim frekansları 1c ve 2c , bant genişliği , kalite

faktörü Q’yı hesaplayınız. d) 5 F ’lık kondansatörü kullanarak, 5 kHz merkez frekansı ve 200 Hz’lik

bant genişliğine sahip bant geçiren filtre için R ve L değerlerini hesaplayınız.


50

Çözüm:

a) Verilen devrenin s domenindeki karşılığı yandaki gibidir. Burada,

( ) 1eq

LCZ s

sLsC

(32)

hesaplandıktan sonra devreye ait transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilebilir:

2( ) 1

sRCH s ss

RC LC

(33)


51

b) Merkez frekansını bulmak için, transfer fonksiyonun maksimum olduğu nokta hesaplanmalıdır. ( )H s ’te s j koyulursa;

2 2 22

1( )1

11

RCH j

LC RC RC LR

(34)

Bu transfer fonksiyonunun genliği aşağıdaki terim sıfır olduğunda maksimumdur:

221 0

LC

(35)


52

Böylece,

01

LC (36)

ve

max 0( ) 1H H j (37)

c) Kesim frekanslarında transfer fonksiyonun genliği max1 2 1 2H

’dir. Genlik denkleminin sol tarafına bu sabit koyularak ve daha sonra sadeleştirmelerden sonra

1 1c

c

RC LR

(38)


53

bulunur. Bu eşitliğin sol tarafının bir daha karesi alınırsa, kesim frekansları için dört çözümlü iki adet ikinci dereceden eşitlik elde ederiz. Köklerin sadece iki tanesi pozitiftir ve fiziksel olarak anlamlıdır:

2

11 1 1

2 2c RC RC LC

(39)

2

21 1 1

2 2c RC RC LC

(40)

Bant genişliği alt ve üst kesim frekansları kullanılarak aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

2 1 1 ( )c c RC . (41)

Son olarak, kalite çarpanı


54

2

0R CQ

L (42)

bulunur. Bant geçiren filtre için kesim frekanslarını merkez frekansı ve bant genişliği cinsinden aşağıdaki gibi bulunur:

22

2 02 2c

(43)

22

1 02 2c

(44)

d) R değeri 5 F ’lık kapasitör ve c şıkkındaki bant genişliği ifadesi kullanarak aşağıdaki gibi hesaplanabilir:


55

6

1 1 159.152 200 5 10

RC

. (45)

c şıkkındaki kapasitör değeri ve merkez frekansı eşitliğini kullanarak indüktör değeri hesaplanabilir.

22 60

1 1 202.642 5000 5 10

L HC

(46)

bulunur.


56

Özet (Bant Geçiren Filtre)

2 2( )o

sH ss s


57

14.3.3 Bant Durduran Filtreler

Bant durduran filtreler, iki kesim frekansı arasındaki bandın dışında olan

(geçirme bandı) kaynak gerilimlerini geçirir ve iki kesim frekansı arasındaki

frekanslarda olan (durdurma bandı) kaynak gerilimlerini çıkışa ulaşmadan

zayıflatır.

Bant durduran filtreler, bant geçiren filtrelerle aynı değişkenler ile nitelenirler.

Bunlar, iki adet kesim frekansı, merkez frekansı, bant genişliği ve kalite

faktörüdür.


58

14.3.4 Seri RLC Devresi

Şekil 14.10 (a)’da seri RLC yer

almaktadır. Devre elemanları ve

bağlantıları her ne kadar bant geçiren

seri RLC filtreninkiyle aynı olsa da, bu

devre önemli bir farka sahiptir.

Görüldüğü üzere, devrenin çıkış

gerilimi bobin ve kapasitör üzerinde

tanımlanmıştır.

0 ’da, bobinin kısa devre,

kapasitörün ise açık devre gibi

Şekil 14.10 (a) Bant durduran seri RLC filtre (b) 0 için eşdeğer devre (c) için

eşdeğer devre


59

davrandığını biliyoruz. Fakat ’da bu davranışlar değişir.

Hem 0 hem de için devrenin çıkış gerilimi açık devredir. Bu

yüzden çıkış ve giriş gerilimleri aynı genliğe sahiptir.

Bu bant durduran seri RLC devre, biri düşük kesim frekansının altında,

diğeri de yüksek kesim frekansının üstünde olmak üzere iki geçirme

bandına sahiptir.

İki geçirme bandının arasında, kapasitör ve bobinin sonlu değerde fakat

zıt işaretli empedansları vardır. Frekans sıfırdan arttırıldığında bobinin

empedansı artar ve kapasitörünki ise azalır. Böylece girişle çıkış

arasındaki faz farkı 1/ C L ’ye yaklaşırken 90 ’ye yaklaşır. L , 1/ C


60

’yi aştığında, faz kayması 90 ’ye zıplar, sonra da arttırılmaya devam

ederse sıfıra yaklaşır.

Geçirme bantları arasındaki bir frekansta, bobin ve kapasitörün

empedansları eşit fakat zıt işaretlidir. Bu frekansta, kapasitör ve bobinin

seri eşdeğeri kısa devredir, o halde çıkış geriliminin genliği sıfır

olmalıdır. Bu frekans, bant durduran seri RLC filtrenin merkez

frekansıdır.

Şekil 14.10, bant durduran seri RLC filtrenin frekans tepkisini göstermektedir.


61

Şekil 14.10 Bant durduran seri RLC devrenin frekans tepkisi grafiği


62

Şekil 14.11 Bant durduran seri RLC devrenin s bölgesi eşdeğeri

Şekil 14.11’den görüldüğü gibi s-düzlemine dönüşüm yapıldıktan sonra

transfer fonksiyonu eşitliğini oluşturmak için

gerilim bölücü kullanırız:

2

2

1 1

( ) 1 1

sL ssC LCH s RR sL s s

sC L LC

(47)

burada s yerine j koyup transfer

fonksiyonunun genliğini ve faz açısı için

aşağıdaki eşitlikler elde edilir.


63

2

2 22

1

( )1

LCH jR

LC L

(48)

1

2( ) tan 1

RLj

LC

(49)

Bant durduran filtre için merkez frekansı, kapasitör ve bobinin

empedanslarının toplamının sıfır olduğu frekanstır. Bant geçiren filtrede

merkez frekansındaki genlik en yüksekti fakat bant durduran filtrede bu genlik

en düşüktür.


64

01

LC (50)

Denklem (35)’i, (33)’de yerine koyarsak, 0( ) 0H j olur.

Bant geçiren seri RLC devresinde olduğu gibi kesim frekansları, bant genişliği

ve kalite faktörü ifadeleri bant durduran filtreler için de elde edilebilir. Bant

durduran filtreler için max ( 0) ( )H H j H j ve bant geçiren seri RLC filtre

için max 1H ’dir. Böylece kesim frekansları aşağıdaki gibi ifade edilir.

2

11

2 2cR RL L LC

(51)

2

21

2 2cR RL L LC

(52)


65

Bant genişliği ifadesini tanımlamak için kesim frekanslarını kullanırız.

/R L (53)

Merkez frekansı ve bant genişliği cinsinden kalite faktörü Q aşağıdaki gibi

tanımlanır.

2

LQR C

(54)

Kesim frekansları bant genişliği ve merkez frekansı cinsinden

tanımlanabilir. 2

21 02 2c

(55)


66

22

2 02 2c

(56)

Kesim frekanslarını, kalite faktörü ve merkez frekansı cinsinden ifade

edebiliriz. 2

1 01 11

2 2c Q Q

(57)

2

2 01 11

2 2c Q Q

(58)


67

Örnek 14.4: 14.10’daki seri RLC devresini kullanarak 250 Hz bant genişliğine

ve 750 Hz merkez frekansına sahip olacak bant durduran filtre için devre

elemanlarının değerlerini hesaplayınız. 100 nF’lık bir kondansatör kullanarak

1 2, , ,c cR L ve Q değerlerini hesaplayınız.

Çözüm: Öncelikle kalite faktörü aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

0 3Q

Eşitlik 50 kullanılarak L ’yi hesaplamak için, öncelikle 0 rad/s’ye

çevrilmelidir.

2 2 90

1 1 450(2 750) (100 10 )

L mHC


68

Daha sonra, bant genişliği denkleminden R hesaplanabilir. 32 (750)(450 10 ) 707R L

Kesim frekansları bant genişliği ve merkez frekansı kullanılarak aşağıdaki gibi

hesaplanabilir: 2

21 0 3992.0

2 2c

rad/s

22

2 0 5562.82 2c

rad/s

Buradan, kesim frekansları 635.3 Hz ve 885.3 Hz bulunur.

Farkları 885.3 635.3 250 Hz istenen bant genişliğini sağlar.


69

Alt kesim ve üst kesim frekanslarının geometrik ortalamaları

(635.3)(885.3) 750 Hz değeri de istenen merkez frekansını sağlar.


70

Özet (Bant Durduran Filtre)

2 2

2 2( ) o

o

sH ss s


71

Kaynak

J. W. Nilsson and S. Riedel, Electric Circuits, Pearson Prentice Hall.

Documents

BÖLÜM XIV FREKANS SEÇİCİ DEVRELERE GİRİŞ sabit …R L Hs s RL (7) Devrenin ... analiz gibi RC devresinin davranışını tanımlamak için 3 frekans bölgesi kullanırız: