bisekibun-kyokasho-1bisekibun-kyokasho-1 第1 章まず知っておきたい数学の記号などここでは，大学に入学していろいろな講義を聴く際に知っておかないと不便な数学の

bisekibun-kyokasho-1

目次

第 1 章まず知っておきたい数学の記号など

1.1 複素数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 複素数の演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 複素数と極形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 1 変数関数に関する基本事項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 逆関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 多変数関数の微分積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 偏微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 常微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 偏微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 その他 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

第 2 章実数の性質

2.1 集合，関数の記号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 数の集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.2 関数の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 上限，下限と極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 集合の上限，下限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 実数列の極限-用語の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 極限の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1 上極限，下極限の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.2 収束列の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 実数の完備性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5 ε-δ 論法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


ii 目次

2.5.1 定義などの補遺 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.2 ε-δ 論法に関する注意 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6 無限級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7 2 重数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.8 無限集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

第 3 章実数とは

3.1 コーシー列の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2 コーシー列の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.1 コーシー列の有界性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.2 コーシー列の演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.3 コーシー列の大小 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2.4 コーシー列 (自身) の収束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3 第 3 章のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

第 4 章 R の性質．

4.1 基本的な用語とその性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1.1 ユークリッド空間の位相に関する記号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1.2 ユークリッド空間における位相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1.3 基本的な性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2 関数の連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.1 関数の極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.2 関数の連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3 各点収束と一様収束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4 コンパクト性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.4.1 コンパクト集合の定義とハイネボレルの定理 . . . . . . . . . . . . . . 110

4.4.2 コンパクト集合と連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.5 連結性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.6 中間値の定理，ワイエルストラスの定理とその応用 . . . . . . . . . . . 122

第 5 章 1 変数の微分法

5.1 微分可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2 平均値の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.3 テーラー展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.4 収束半径 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133


iii

5.5 テーラー展開と特殊な関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.5.1 関数の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.5.2 円周率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

第 6 章 1 変数の積分法

6.1 不定積分と定積分との違い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.2 定積分の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.2.1 細分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.2.2 定積分の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.2.3 ダルブーの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.3 リーマン積分の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.4 不定積分の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.5 一様収束性とリーマン積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.6 関数の連続性とリーマン積分可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.6.1 連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.6.2 0 集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.6.3 ルベーグの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.7 積分不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.8 広義リーマン積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.9 ガンマ関数とベータ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.9.1 ガンマ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.9.2 ベータ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.10 面積，体積，曲線の長さ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

第 7 章線形代数からの準備

7.1 行列式とベクトルの外積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.1.1 2 次元における 1 次変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.1.2 行列式と 3 次元ベクトルの外積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

7.1.3 n 次行列における行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

7.2 内積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.3 対称行列と対角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215


8.1 偏微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

8.1.1 偏微分の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220


iv 目次

8.1.2 偏導関数の順序交換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

8.2 2 変数関数のテーラー展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

8.3 2 変数関数の最大値，最小値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

8.4 逆関数定理と陰関数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238


9.1 2 次元のリーマン積分の定義と累次積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

9.1.1 長方形上での積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.1.2 長方形上での積分に対する累次積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

9.2 座標幾何学の登場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

9.3 一般の図形上での積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

9.4 2 次元における積分の変数変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

9.4.1 極座標変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

9.4.2 2 次元における一般の変数変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

9.5 2 次元の広義積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

9.6 曲面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

9.6.1 正射影 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

9.6.2 曲面積の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

9.6.3 例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

9.7 線積分とグリーンの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

9.7.1 2 次元の領域の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

9.7.2 線積分の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

9.7.3 線積分の計算例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

9.7.4 グリーンの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

9.7.5 完全可積分系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

9.7.6 外微分記号とグリーンの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

9.7.7 回転数と写像度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

9.7.8 逆写像の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314


10.1 3 変数の世界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

10.2 微分係数，偏導関数など . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

10.2.1定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

10.2.2例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322


v

10.3 ラグランジュの未定乗数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

10.4 接平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

10.5 空間曲線の長さ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

10.6 3 変数のベクトル値関数の演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

10.6.1 3 次元ベクトル場の発散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

10.6.2 3 次元ベクトルの回転 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

10.6.3 3 次元ベクトルの勾配 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

10.6.4力学における例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332


11.1 3 変数関数のリーマン積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

11.2 累次積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

11.3 変数変換公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

11.3.1 3 次元における極座標変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

11.3.2一般の座標変換の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

11.4 面積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

11.4.1面積分の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

11.4.2面積分の計算例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

11.4.3ガウスの発散定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

11.5 ストークスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

第 12 章多変数の微分法

12.1 n 変数関数の最大値，最小値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

12.2 超曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

第 13 章多変数の積分法

13.1 多変数関数のリーマン積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

13.1.1集合の n 次元体積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

13.2 累次積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

13.3 一般の座標変換の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

13.4 多次元における面積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

13.5 多次元におけるグリーンの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

索引 369



微積分学入門

首都大学東京　澤野嘉宏


目次


第 1 章

まず知っておきたい数学の記号など

ここでは，大学に入学していろいろな講義を聴く際に知っておかないと不便な数学の

記号などを説明する．

1.1 複素数

数の基礎となる複素数に関して復習しておく．

1.1.1 複素数の演算

複素数とは i2 = −1 という『自乗したらマイナスの数になる』という性質を有してい

る虚数単位と呼ばれる i を実数に添加して得られる『数』の集合である．より詳しく，実

数 a, b を用いて a+ bi と表される数を複素数という．複素数には

(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i, a, b, c, d ∈ R

(a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i, a, b, c, d ∈ R

という規則によって足し算と掛け算を定義する．次の性質があるのを確かめるのはやさ

しい．

(1) 複素数における 0 を 0 = 0 + 0i と定義すると，α+ 0 = 0 + α が成り立つ．

(2) −α = (−1 + 0i)× α と書くと，α+ (−α) = (−α) + α = 0 が成り立つ．

(3) (α+ β) + γ = α+ (β + γ).

(4) α+ β = β + α.

(5) α(βγ) = (αβ)γ

(6) 複素数における 1 は 1 = 1 + 0i と定義すると，1α = α1 = α が成り立つ．

(7) 分配法則 α(β + γ) = αβ + αγ, (α+ β)γ = αγ + βγ が成り立つ．

(8) α = a+ bi = 0 なら，(a, b) = (0, 0) なので，α−1 =a

a2 + b2+

−ba2 + b2

i とおく

ことで，αα−1 = α−1α = 1 が成り立つ．


4 目次

(9) αβ = βα

(10) 0 = 1 である．

実数と複素数の違いを簡単にまとめる．

(1) 実数には大小関係はあるが，複素数には大小関係はない．

(2) 実数は 2 乗すると 0 か正の数になるが，複素数にはそのような性質はない．

複素数には絶対値，共役（きょうやく）という演算が備わっている．具体的には複素数

α = a+ bi, a, b ∈ R に対して

|α| =√a2 + b2（α の絶対値，絶対値 α と読む）,

α = a− bi（α の共役，α バーと読む）

と定める．次の定理は証明を省略する．

定理 1.1 共役演算に関して以下の公式が成り立つ．

α+ β = α+ β, α− β = α− β, αβ = αβ,

(α

β

)= α÷ β, αn = αn

ここで，n は整数，α, β は複素数である．

さらに，α = a+ bi, a, b ∈ R に対して複素数の実部と虚部を

Re(α) := a（α の実部，リアルパート α と読む）

Im(α) := b（α の虚部，イマジナリーパート α と読む）【注意】bi と間違えないように

実数は数直線に表すが，複素数は複素数平面に表す．表し方は次のとおりである．

(1) xy 平面の変わりに，Re(z)Im(z) 平面を用意する．

(2) a+ bi を座標 (a, b) に読み替えてプロットする．

Re(z), Im(z) 軸をそれぞれ実軸，虚軸という．

例 1.2 2 + i,−3− 2i, i, 1 をプロットしてみる．


5

O

Im(z)

Re(z)

1

i

1 + 2i

−3− 2i

定理 1.3 複素数の絶対値に関して次の関係が成り立つ．

|α+ β| ≤ |α|+ |β|, |α · β| = |α| · |β|, α, β ∈ C

証明. はじめに実数 a, b, c, d に対して，両辺を展開することで

(ad− bc)2 + (ad+ bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) (1.1)

が成り立つことがわかる．α = a+ bi, β = c+ di と実数 a, b, c, d を用いて表すと

|α · β|2 = (ad− bc)2 + (ad+ bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) = |α|2|β|2

となる．平方根を取って掛け算に関する関係式が得られる．足し算の関係式に関しては

|α+ β| =√(a+ b)2 + (c+ d)2 =

√a2 + b2 + c2 + d2 + 2(ab+ cd)

となるが，(1.1) よりとくに (ad+ bc)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) だから，

|α+ β| ≤√a2 + b2 + c2 + d2 + 2

√a2 + b2

√c2 + d2

=√a2 + b2 +

√c2 + d2

= |α|+ |β|

が得られる．

1.1.2 複素数と極形式

複素数は方程式 z2 + 1 = 0 の解 ±i を形式的に添加して得られる代数の一種であるといえるが，このことは侮ってはいけない．なぜなら，三角関数と結びついて図形を調べる

のに非常に強力な道具となるからである．

定義 1.4 (極形式) z = a+ bi, a, b ∈ R を 0 ではない複素数とする．実数 a, b のう

ちどちらかが 0 ではないということと√a2 + b2 = 0 は同値であるから，


6 目次

z = a+ bi =√a2 + b2

(a√

a2 + b2+

b√a2 + b2

i

)という変形が可能である．r =

√a2 + b2 および実数 θ を方程式

cos θ =a√

a2 + b2, sin θ =

b√a2 + b2

でもって「2π× 整数」のずれを除いて間接的に定めると，z = r(cos θ+ i sin θ) となる．

このような表示を極形式表示という．また，eiθ = cos θ + i sin θ と定めて，z = reiθ と

表す．

注意 1.5

(1) 極形式 r(cos θ+ i sin θ) の式から，絶対値は r，偏角は θ と読み取れる．実数 a, b

を用いた a+ bi の形では，絶対値は√a2 + b2 であった．

(2) 絶対値が非負の実数である．

(3) 極形式 r(cos(∗) + i sin(∗)) の 2 つの (∗) に入る値は同一である．

極形式表示における r と θ の役割は次のように考えることができる．

(1) r は (0, 0) と (a, b) との距離，複素平面でいうなら 0 と z = a+ bi との距離とい

うことになる．

(2) θ は (1, 0) と (0, 0) と (a, b) をこの順番に結ぶことによって得られる角度，複素

平面でいうなら 1, 0, z = a+ bi をこの順番に結ぶことによって得られる角度とい

うことになる．この θ を z の偏角という．

α, β ∈ R とする．三角関数の加法定理によって

(cosα+ i sinα)(cosβ + i sinβ)

= cosα cosβ − sinα sinβ + i(cosα sinβ + sinα cosβ)

= cos(α+ β) + i sin(α+ β)

であるから，

R(cosα+ i sinα)×R′(cosβ + i sinβ) = RR′(cos(α+ β) + i sin(α+ β))

となる．このことを認めると，次のド・モアブルの定理が得られる．

定理 1.6 (ド・モアブルの定理) θ ∈ R, n ∈ Z とする．このとき，

(cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ


7

が成り立つ．

証明. n = 0 のときは，両辺は 1 となるので明らかである．n が自然数のときは，

(cosα+ i sinα)× (cosβ + i sinβ) = cos(α+ β) + i sin(α+ β), α, β ∈ R

であるから，n 乗の意味より明らかである．n が負の整数のときは，N = −n は正の整数だから先ほど示したことによって

(cos θ + i sin θ)N = cosNθ + i sinNθ

となる．したがって，

(cos θ + i sin θ)n =1

(cos θ + i sin θ)N

=1

cosNθ + i sinNθ

= cosNθ − i sinNθ

= cos(−Nθ) + i sin(−Nθ)

= cosnθ + i sinnθ

が得られる．応用として計算例を与えよう．

例 1.7 210 = 1024 であるから，220 = 10242 = 1048576, 221 = 2097152 である．

したがって，

(√3 + i)21 =

(2 cos

(π6

)+ i sin

(π6

))21= 221

(cos

(7π

2

)+ i sin

(7π

2

))= −2097152i

となる．

x2 + y2 = 1 が円を表したように，複素数の方程式 |z| = 1 も円を表す．まず，複素数

の方程式が与えられたときに z = x+ yi, x, y ∈ R として得られる関係式を xy-平面に

表示することで図形を得る．

例 1.8

(1) r > 0, α ∈ C とする．|z − α| = r は半径 r，中心 α の円周を表す．

(2) α, β ∈ C とする．|z−α| = |z−β| は α, β の垂直 2 等分線である．上述の方法で


8 目次

このことを示せるが，α, β までの距離が同じ点の全体の集合と考えば簡単である．

円と直線は一般的に

|z − α| = k |z − β|, α, β ∈ C, k > 0

と表される．k = 1 のときに直線になることを示したが，k = 1 のときは以下のようにし

て同値変形していく．

|z − α| = k |z − β|

⇐⇒ (z − α)(z − α) = k2(z − β)(z − β)

⇐⇒ |z|2 − αz − αz + |α|2 = k2(|z|2 − βz − βz + |β|2)

⇐⇒ (k2 − 1)|z|2 − (k2β − α)z − (k2β − α)z + k2|β|2 − |α|2 = 0

⇐⇒ |z|2 − k2β − α

k2 − 1z − k2β − α

k2 − 1z +

k2|β|2 − |α|2

k2 − 1= 0.

ここで，k2|β|2 − |α|2

k2 − 1= 0 を移項して，

∣∣∣∣k2β − α

k2 − 1

∣∣∣∣2 を両辺に加えることで，さらに同値変形を続けていくと，

|z − α| = k |z − β| ⇐⇒∣∣∣∣z − k2β − α

k2 − 1

∣∣∣∣2 =k2|β − α|2

(k2 − 1)2

⇐⇒∣∣∣∣z − k2β − α

k2 − 1

∣∣∣∣ = k|β − α||k2 − 1|

より与えられた方程式は中心が複素数 k2β−αk2−1

で，半径がk|β−α|k2−1

の円を表す．有界とは，

無限遠方まで広がっていないという意味であるが，直線を“非有界な”円を表すと解釈す

ると円と直線を統一的に表せる．

このことを用いると次の定理を示せる．

定理 1.9 (一次分数変換の円円対応) a, b, c, d は ad− bc = 0 を満たす複素数とする．

w =a z + b

c z + dによって円または直線 A はやはり円または直線に写される．

1.2 1変数関数に関する基本事項

細かい定義などはさておき，高校数学を復習し，さらに大学でよく使う内容を整理して

おこう．


9

1.2.1 逆関数

合成して恒等写像になる関数の対を逆関数という．特に次の逆関数は重要である．

定義 1.10 (sin, cos, tan の逆関数)

(1) −π2< x <

π

2を定義域とする sinx の逆関数を sin−1 x と表す．

(2) 0 < x < π を定義域とする cosx の逆関数を cos−1 x と表す．

(3) −π2< x <

π

2を定義域とする tanx の逆関数を tan−1 x と表す．

例 1.11 sin−1 1

2=π

6である．値が一つしか決まらないのは，sin の定義域を制限し

ているからである．

例 1.12 C : y = −√2x2 + x と ℓ : y = −x で曲線と直線を定める．C 上の点 P :

(a,−√2a2 + a) から ℓ に下ろした垂線の足を H とする．

(1) PH の長さを h とする．直線 PH の方程式は x− y =√2a2 である．よって，P

の座標は

(√2a2

2,−

√2a2

2

)である．したがって，PH =

√2

(√2a2

2+ a

)で

ある．

(2) OH の長さ t を a の関数として表すと，OH = a2 である．

(3) C, ℓ で囲まれる図形を ℓ の周りに回転してできる回転体の体積 V を求めよう．

OH = t として，a = −√t である．したがって，PH = t −

√2t となる．よっ

て，体積は

V = π

∫ 2

0

(t−√2t)2 dt = π

∫ 2

0

t2 − 2√2t

32 +2t dt = π

(8

3− 32

5+ 4

)=

8

15π

と計算される．

1.2.2 微分

微分公式に関しては，高校でやった公式も重要であるが，逆関数を使えるようになった

今，以下の公式が重要である．

逆関数の微分の公式によって次の公式が得られる．

定理 1.13 (逆三角関数の微分公式) 逆関数の微分は次の式で与えられる．

d

dxsin−1 x =

1√1− x2

, x ∈ (−1, 1)


10 目次

d

dxcos−1 x = − 1√

1− x2, x ∈ (−1, 1)

d

dxtan−1 x =

1

1 + x2, x ∈ R

証明. cos−1 に関する微分公式の証明は省略する．y = sin−1 x とすると，逆関数

の定義によって x = sin y である．sin y = x, y ∈(−π2,π

2

)を x に関して微分する

と，y′ cos y = 1 である．y ∈(−π2,π

2

)より，cos y > 0 で，したがって，cos y =√

1− sin2 y =√1− x2 だから，

d

dxsin−1 x =

1√1− x2

となる．tan−1 に関しても同

様である．この場合は，tan y = x のとき，1

cos2 y= 1+ tan2 y = 1+ x2 を用いる．

初めのころは

d

dxsin−1 x = cos−1 x,

d

dxcos−1 x = − sin−1 x

と間違えることがあるが，これは違うので注意しよう．

1.2.3 積分

直接的には計算しにくい不定積分の公式をいくつか与えておく．

定理 1.14 (不定積分公式) 次の公式が成り立つ．∫ √1− x2 dx =

1

2

(x√1− x2 + sin−1 x

)+ C∫

dx√1− x2

= sin−1 x+ C∫dx

1 + x2= tan−1 x+ C∫

dx√1 + x2

= log(x+√x2 + 1) + C∫

dx√x2 − 1

= log(x+√x2 − 1) + C∫ √

1 + x2 dx =1

2

(x√1 + x2 + log(x+

√x2 + 1)

)+ C∫ √

x2 − 1 dx =1

2

(x√x2 − 1− log(x+

√x2 − 1)

)+ C (x > 1)

一般に，左辺で与えられた原始関数を計算するのは面倒である．公式として暗記する価

値があると思われる．また，最後の公式において，x > 1 と仮定したのは，真数条件に


11

よる．

証明. 右辺を微分して左辺の被積分関数になることを確かめればよい．最後の公式はた

とえば次のようにして証明される．

d

dx

1

2

(x√x2 − 1− log(x+

√x2 − 1)

)+ C

=

1

2

√x2 − 1 +

x2

2√x2 − 1

− 1

2√x2 − 1

=√x2 − 1.

例 1.15 不定積分は部分分数展開などを用いて，分解して計算することができる．例

えば， ∫dx

(x− 2)(x− 3)=

∫ (1

x− 3− 1

x− 2

)dx = log

∣∣∣∣x− 3

x− 2

∣∣∣∣+ C.

例 1.16 n√ax+ b が含まれている場合は，y = n

√ax+ b とおいて置換積分すると

よい．

例 1.17 一般に sinx, cosx が含まれている場合は，t = tanx

2と置換すると，計算

できる場合が多い．たとえば，実数 R の値に応じて

I =

∫dθ

R+ cos θ

の計算をしてみよう．t = tanθ

2で置換する．すると，

dt

dθ=

1

2

(tan2 θ

2+ 1

)=

1

2(1 + t2).

さらに，

cos θ = 2 cos2θ

2− 1 =

2

1 + t2− 1 =

1− t2

1 + t2

である．したがって，

I =

∫dθ

R+ cos θ=

∫1(

R+1− t2

1 + t2

) · 2dt

t2 + 1=

∫2dt

(1 +R) + (1−R)t2.

また，cot θ = (tan θ)−1 である．このことを踏まえて，場合分けして積分を計算すると，

(1) R = 1 のとき，


12 目次

I =

∫dt = t+ C = tan

θ

2+ C.

(2) R = −1 のとき，

I =

∫−dtt2

=1

t+ C = cot

θ

2+ C.

(3) −1 < R < 1 のとき，V =

√1 +R

1−Rとおけば，

I =

∫2dt

(1−R)V 2 + (1−R)t2

=2

(1−R)Vtan−1 t

V+ C

=2√

1−R2tan−1

(√1−R√1 +R

tanθ

2

)+ C

(4) |R| > 1 のとき，W =

√R+ 1

R− 1とおけば，

I =

∫2dt

−(1−R)W 2 + (1−R)t2=

2

1−R

∫dt

t2 −W 2.

部分分数分解を用いて，

I =1

(1−R)W

(∫dt

t−W−∫

dt

t+W

)=

−1√R2 − 1

log

∣∣∣∣ t−W

t+W

∣∣∣∣+ C

=1√

R2 − 1log

∣∣∣∣ t+W

t−W

∣∣∣∣+ C

=1√

R2 − 1log

∣∣∣∣∣∣∣∣tan

θ

2+

√R+ 1

R− 1

tanθ

2−√R+ 1

R− 1

∣∣∣∣∣∣∣∣+ C

以上より，

∫dθ

R+ cos θ=

tanθ

2+ C R = 1 のとき

cotθ

2+ C R = −1 のとき

2√1−R2

tan−1

(√1−R√1 +R

tanθ

2

)+ C |R| < 1 のとき

1√R2 − 1

log

∣∣∣∣∣∣∣∣tan

θ

2+

√R+ 1

R− 1

tanθ

2−√R+ 1

R− 1

∣∣∣∣∣∣∣∣+ C |R| > 1 のとき


13

1.3 多変数関数の微分積分

1.3.1 偏微分

2 つ以上の関数が与えられた時に，ある一つの変数に着目してそのほかの変数を定数と

みて微分することをその変数に関して偏微分するという．このようにして得られる関数を

偏導関数という．

定義 1.18 (1 次偏導関数，2 次偏導関数) x, y の 2 変数関数 f(x, y) が与えられた

とする．

(1) x に関して偏微分して得られる関数を∂f

∂xと表す．

(2) y に関して偏微分して得られる関数を∂f

∂yと表す．

(3) x に関して偏微分し，y に関して偏微分して得られる関数を∂2f

∂y∂xと表す．

(4) y に関して偏微分し，x に関して偏微分して得られる関数を∂2f

∂x∂yと表す．

(5) x に関して 2 回偏微分して得られる関数を∂2f

∂x2と表す．

(6) y に関して 2 回偏微分して得られる関数を∂2f

∂y2と表す．

そのほか偏導関数に関しては，類似の定義を採用する．

微分記号はd

dxなのに対して，偏微分記号は

∂

∂xである．偏微分記号も微分記号と同

様に数学のみならず，じつにいろいろな学問で登場する．

例 1.19 f(x, y) = x2y3 の場合

∂f

∂x(x, y) = 2xy3,

∂f

∂y(x, y) = 3x2y2,

∂2f

∂x2(x, y) = 2y3,

∂2f

∂x∂y(x, y) =

∂2f

∂y∂x(x, y) = 6xy2,

∂2f

∂y2(x, y) = 6x2y

となる．

一般には，

∂2f

∂x∂y(x, y) =

∂2f

∂y∂x(x, y)


14 目次

とは限らないが，自然科学の多くの分野ではこのことを仮定して計算する場合が多い．

1.3.2 重積分

2 変数の連続関数 (定義は後述) が与えられた時に，2 次元積分∫∫[a,b]×[c,d]

f(x, y) dx dy

は ∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y) dx

)dy：x，y の順番に積分する

もしくは∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y) dy

)dx：y，x の順番に積分する

を意味していると考える．2 者の値は同じである．

例 1.20

∫∫[0,1]×[3,4]

x2y3 dx dy =

∫ 1

0

(∫ 4

3

x2y3 dy

)dx =

∫ 1

0

175

4x2 dx =

175

12

となる．

注意 1.21

(1) [0, 1]× [3, 4] は 0 ≤ x ≤ 1, 3 ≤ y ≤ 4 の意味である．0 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 4 で

はないので注意しよう．

(2)

∫∫[0,1]×[3,4]

x2y3 dx dy は

∫[0,1]×[3,4]

x2y3 dx dy と略記する場合がある．

(3) dx dy は dx と略記する場合がある．

1.4 微分方程式

導関数が現れる関数等式を微分方程式という．物理学，化学，工学では大学の初年度か

らこれらの微分方程式を軸とした講義が多い．

1.4.1 常微分方程式

常微分方程式とは 1 変数の微分方程式のことである．微分方程式とはいったい何を意

味しているのかから始めよう．

例 1.22 x = 0 で考える．y = x4 は微分方程式 y′ =4y

xを満たしている．この状況


15

を y = x4 は微分方程式 y′ =4y

xの解であるという．

高校で習ってきた ex を exp(x) と書く場合も多い．e の肩に大きな数が来ると誤解を

招きがちだからである．

定理 1.23 (1 回線形微分方程式の解の公式) a を実数とする．1 階微分可能な x 関

数 f : R → R が f ′(x) = f(x) と f(0) = a を満たすとき，f(x) = a expx が成り立つ．

より一般に，実数 a, b が与えられた時に，1 階微分可能な x 関数 f : R → R が f ′(x) =

bf(x) と f(0) = a を満たすとき，f(x) = a exp(bx) である．

証明. g(x) = exp(−x)f(x) とおくとき，

g′(x) = − exp(−x)f(x) + exp(−x)f ′(x) = − exp(−x)f(x) + exp(−x)f(x) = 0

である．よって，g は定数関数である．f(0) = a より，g(x) = a である．したがって，

f(x) = exp(x)g(x) = aex となる．f ′(x) = bf(x) についても同様．

例 1.24 a = 0 を満たす実数 a, b, c に対して，f ′(x) = af(x) + b, f(0) = c を解い

てみよう．g(x) = af(x) + b とすると，

g(0) = ac+ b, g′(x) = af ′(x) = a(af(x) + b) = ag(x)

であるから，g(x) = (ac + b) exp(ax) である．よって，f(x) =(ac+ b) exp(ax)− b

a

である．

微分方程式の場合は，y は x の関数であることを表すために，y = f(x) 以外に y =

y(x) のような記号を多用する．

定理 1.25 A,B : (a, b) → R を連続関数とする．c ∈ (a, b) を固定する．このとき，

微分方程式 y′ = A(x)y +B(x) の解は

y(x) = exp

(∫ x

c

A(t) dt

)y(c) +

∫ x

c

exp

(−∫ s

c

A(t) dt

)B(s) ds

である．

証明. 関数 z(x) を

y(x) = z(x) exp

(∫ x

c

A(s) ds

)つまり，z(x) = y(x) exp

(−∫ x

c

A(s) ds

)(1.2)

とおく．(1.2) の両辺を微分してみると，y′ = A(x)y +B(x) より，


16 目次

z′(x) = y′(x) exp

(−∫ x

c

A(s) ds

)−A(x)y(x) exp

(−∫ x

c

A(s) ds

)= B(x) exp

(−∫ x

c

A(s) ds

)である．積分することで

z(x) = z(c) +

∫ x

c

B(t) exp

(−∫ t

c

A(s) ds

)dt (1.3)

である．一方で，(1.2) に x = c を代入して，

z(c) = y(c) exp

(−∫ c

c

A(s) ds

)= y(c). (1.4)

(1.3) と (1.4) より，

z(x) = y(c) +

∫ x

c

B(t) exp

(−∫ t

c

A(s) ds

)dt

したがって，(1.2) の第一式にこの z(x) を代入して

y(x) = exp

(∫ x

c

A(t) dt

)y(c) +

∫ x

c

exp

(−∫ s

c

A(t) dt

)B(s) ds

が得られた．この方程式の解の公式を覚えるのはかなり紛らわしく間違えやすい．導出方法を頭に

入れて，具体的に計算していくほうが上策であろう．

三角関数は微分方程式の基本解としても現れる．この事情を説明しよう．

定理 1.26 (2 階線形常微分方程式の基本解) 2 階微分可能な x 関数 f : R → R が

f ′′(x) = −f(x) と f(0) = a, f ′(0) = b を満たすとき，f(x) = a cosx+ b sinx が成り

立つ．

「線形」という言葉は初めて聞いたかもしれない．一般に線形性とは，さまざまな数学

的対象のなかに現れる加法 x+ y とスカラー積 αx に注目し，その性質を取り出したも

のである．この定理において，「線形」という言葉が使われる理由は以下の 2 つのことが

成り立つからである．

(1) f, g が微分方程式の解，つまり，f ′′(x) = −f(x), g′′(x) = −g(x) のとき，加法f(x) + g(x) = h(x) によって定められる h(x) も h′′(x) = −h(x) を満たす．

(2) f, g が微分方程式の解，つまり，f ′′(x) = −f(x), g′′(x) = −g(x) のとき，スカラー積 af(x) = k(x) によって定められる k(x) も k′′(x) = −k(x) を満たす．


17

証明. 必要ならば，f(x) の代わりに f(x) − a cosx − b sinx を考えて，a = b = 0

としてよい．g(x) = f(x)2 + f ′(x)2 とする．g′(x) = 2f ′(x)f(x) + 2f ′(x)f ′′(x) =

2f ′(x)(f(x) + f ′′(x)) = 0 が成り立つので，x によらない定数 c が存在して，g(x) = c

となる．g(0) = 0 であるから，c = 0 となる．したがって，f(x)2 + f ′(x)2 = 0 である

から，f が実数値であることによって，f(x) ≡ 0 が成り立つ．次の系は自然科学一般で重宝する．

系 1.27 (2 階線形常微分方程式の解の公式) a, b を実数係数として，x 変数の関数の

微分方程式 y′′ +ay′ + by = 0 を考える．方程式 t2 +at+ b = 0 の解を α, β とおく．

(1) α, β が異なる実数のとき，y = C1eαx + C2e

βx が成り立つ．

(2) α = β のとき，y = C1eαx + C2xe

αx が成り立つ．

(3) α, β = p ± qi と実数 p と 0 ではない実数 q を用いて表されるとき，y =

C1epx cos(qx) + C2e

px sin(qx) が成り立つ．

証明. z = eax/2y とおくことで，z′′ + (b− a2/4)z = 0 が成り立つ．z の x における

値を z(x) と書くことにする．ここで，場合分けをする．

(1) b < a2/4 のとき．(z′ −

√a2 − 4b

2z

)′

= −√a2 − 4b

2

(z′ −

√a2 − 4b

2z

)である．したがって，系 5.9(3) によって，適当な定数 D1 が存在して，関係式

z′ −√a2 − 4b

2z = D1 exp

(−√a2 − 4b

2x

)が成り立つ．同様に，(

z′ +

√a2 − 4b

2z

)′

=

√a2 − 4b

2

(z′ +

√a2 − 4b

2z

)である．したがって，系 5.9(3) によって，適当な定数 D2 が存在して，関係式

z′ +

√a2 − 4b

2z = D2 exp

(√a2 − 4b

2x

)が成り立つ．よって，

z =1√

a2 − 4b

D2 exp

(√a2 − 4b

2x

)−D1 exp

(−√a2 − 4b

2x

)


18 目次

となる．y に戻して，

y =e−ax/2

√a2 − 4b

D2 exp

(√a2 − 4b

2x

)−D1 exp

(−√a2 − 4b

2x

)D1, D2 をしかるべく置きなおせば，(1) が得られる．

(2) b = a2/4 のとき，z′′ = 0 であるから，系 5.9(2) によって，z = C1 + C2x とな

る．y に戻して，(2) が得られる．

(3) b > a2/4 のとき，z の代わりに，

w = z − z(0) cos

(√4b− a2

2x

)− z′(0)√

b− a2/4sin

(√4b− a2

2x

)

を考える．w(0) = 0, w′(0) = 0 である．u = (w′)2 + (b − a2/4)w2 とおくと，

u′ = 2w′′w′ + (2b− a2/2)ww′ = 0 である．よって，w ≡ 0 となる．これは，

z = z(0) cos

(√4b− a2

2x

)+

z′(0)√b− a2/4

sin

(√4b− a2

2x

),

つまり (3) を意味する．

例 1.28

(1) t2 +4t+3 = 0 の解は t = −3,−1 で，y′′ +4y′ +3y = 0 の解は y = C1e−3x +

C2e−x である．

(2) t2 + 4t + 4 = 0 の解は t = −2 で，y′′ + 4y′ + 4y = 0 の解は y = C1e−2x +

C2xe−2x である．

(3) t2+4t+5 = 0 の解は t = −2±i で，y′′+4y′+5y = 0 の解は y = C1e−2x sinx+

C2e−2x cosx である．

C1, C2 は任意定数と呼ばれていて順番を入れ替えてもよい．また，代数方程式 t2 +αt+

β = 0 を微分方程式 y′′ + αy′ + βy = 0 の特性方程式という．

1.4.2 偏微分方程式

偏導関数の現れる関数等式を偏微分方程式という．偏微分方程式は非常に種類が多く，

個別の方程式に応じて性質が著しく異なる．それを詳論することはできないが，簡単な例

を見ておこう．

例 1.29 f(x, y) = ex sin y とおくと，


19

∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= 0

である．このような微分方程式を満たす関数を調和関数という．

1.5 その他

大学の講義ではよく次のような記号を使う．

(1)

nk

は nCk の意味合いがある．前者はさらに n が実数の時に拡張されるが，後

者はそのような拡張はあまりしない．

(2) ≤ と ≦ は同じ意味で，≥ と ≧ は同じ意味である．


第 2 章

実数の性質

ここでは実数の連続性を考察する．

2.1 集合，関数の記号

2.1.1 数の集合

(1) N:自然数の全体からなる集合を表す．ここでは，N = 1, 2, · · · という流儀を採用する．

(2) Z:整数の全体からなる集合を表す．

(3) Q:有理数の全体からなる集合を表す．

(4) R:実数の全体からなる集合を表す．

(5) C:複素数の全体からなる集合を表す．（複素数については詳細に説明する．）

N,Z,Q,R,C ではなく棒を加えた N,Z,Q,R,C をもちいる．

(1) [a, b]:両端を含めた閉区間

(2) (a, b]:右だけ含めた半開区間

(3) [a, b):左だけ含めた半開区間

(4) (a, b):両端を除いた開区間

(5) (a,∞)，(−∞, b] など:意味は類推すること．

次のように使う．ノートをとるときに漢字を書かないですむので，楽である．

例 2.1 『x ∈ R』は x が実数であることを言っている．

例 2.2 『x ∈ Z∩[12, 76]』は x が 12 以上 76 以下の自然数であることを言っている．

2.1.2 関数の性質

関数とはある集合から数（実数，複素数，有理数，正の数，偶数など）への対応を表

す．”ある集合”を定義域といい，数の集合を値域という．たとえば，関数 f の定義域が


21

正の数全体で，値域が 2, 4, 5 の時，f : (0,∞) → 2, 4, 5 と表す．定義域は過不足なく与えなくてはいけないが，値域は過剰に大きくてもいい．

注意 2.3 関数は本来 f, g などで表すのが，流儀である．しかし，多くの大学入試問

題，高校の教科書などでは f(x), g(x) と表している．f(x) は f の x に対応する値のこ

とで，これを関数値といって区別する．したがって，今までの高校の数学などでは，関数

値と関数を同一視していたということになる．たとえば，sin は関数だが，sinx は関数

値である．

注意 2.4 通常の高校数学の問題では関数の値域は過不足なく求めなくてはいけない

が，大学でやる数学では過剰に値域が大きいことが多い．

注意 2.5 関数にまつわる矢印に関して説明する．

(1) 【→ の使い方】『写像 : 集合 → 集合』の形で使う．例：f : R → R など．

(2) 【 7→ の使い方】『要素 7→ 要素』もしくは『要素 ∈ 集合 7→ 要素 ∈ 集合』の形で使う．例：a 7→ sin a, b ∈ Z 7→ 2b ∈ Q など．

例 2.6 ガウス記号 [·]．これは実数全体のなす集合から実数全体のなす集合への関数ともみなせるし，実数全体のなす集合から整数全体のなす集合への関数とみなせる．これ

を [·] : R → Z と表す．

注意 2.7 関数であることを強調すべくこのように · をつけることもある．

例 2.8 対数関数 log ·, log．これは正の数から実数への関数とみなせる．これを log :

(0,∞) → R と表す．

例 2.9 指数関数 e·．これは実数から正の数への関数とみなせる．これを e· : R →(0,∞) と表す．実数から実数への関数ともみなせるので，e· : R → R と表す．e の肩に

乗っている数 a が大きいもしくは判読しにくいときは ea の代わりに exp(a) と書く．た

とえば，

eπ3

= exp(π3)

のように使う．


22 目次

2.2 上限，下限と極限

2.2.1 集合の上限，下限

∞,−∞ という記号を導入しておこう．

定義 2.10 (∞,−∞, ≤ ∞，≥ −∞，A±∞, ∞×∞，A×∞, (A > 0) など)

(1) ∞ は実数ではないが，すべての実数 a に対して a <∞ が成り立っていると約束

する．

(2) −∞ は実数ではないが，すべての実数 a に対して a > −∞ が成り立っていると

約束する．

(3) a が実数もしくは，±∞ であることを強調するべく a ≤ ∞, a ≥ −∞, −∞ ≤a ≤ ∞ なる書き方をする．

(4) A を実数とする．足し算，引き算については

A+∞ = ∞+A = ∞, A−∞ = −∞+A = −∞,

∞+∞ = ∞, −∞−∞ = −∞

で定める．ただし，

∞−∞, −∞+∞

は定義しない．また，A > 0 に対して，

∞ ·A = A · ∞ = ∞ ·∞ = ∞,∞A

= ∞,A

∞ = 0

なる約束を設けるが，

∞∞

は定義しない．符号が関係するときはその符号に応じて類似のルールで演算を定義

したり定義しなかったりする．

定義 2.11 (上界 (じょうかい)) 集合 A につき，次の条件を満たしている M ≤ ∞のことを上界という．

条件：　 a ∈ A のときはいつでも a ≤M が成り立つ． (2.1)

例 2.12

(1) ∞ はあらゆる集合の上界である．


23

(2) A = [0, 1] のとき，1 以上の数はすべて A の上界である．

(3) A = [0, 1) のとき，1 以上の数はすべて A の上界である．

(4) A が自然数全体の集合のとき，∞ 以外には上界は存在しない．

定義から M が上界でないとは，

何らかの (少なくとも一つの)a ∈ A に対して a > M (2.2)

が成り立つということになる．

実数の連続性というのは次の条件のことである．

定義 2.13 (上限，実数の連続性) 実数の連続性とは，任意の空でない上に有界な集

合 A の上界には最小値 M，つまり，上限が存在するという性質である．すなわち，次の

ような実数 M がひとつだけ定まる．

(1) （M は上界である．）a ∈ A のときに，a ≤M が成り立つ．

(2) （M は上界の最小値である．つまり，M より小さい上界は存在しない．）M ′ <

M とすると，a > M ′ となる a ∈ A が存在する．

この数 M を supA と書く．

例 2.14

(1) A が自然数全体の集合のとき，∞ 以外には上界は存在しないから，supA = ∞である．

(2) A = [0, 1] のとき，2 は A の上界である．A の上限は 1，つまり，supA = 1 で

ある．また，supA ∈ A である．

(3) A = [0, 1) のとき，2 は A の上界である．A の上限は 1，つまり，supA = 1 で

ある．また，supA /∈ A である．

(4) （定義 2.13 の１番目の条件の考察）「a ≤M が成り立つ．」を「a < M が成り立

つ．」としたくなるが，これは間違えである．実際に，上界の定義から，A = [0, 1]

のときに，M = 1 が上界であるから，a ∈ A でも a < M は成り立たなくなり，

「a < M が成り立つ．」は都合が悪いことになる．

(5) （定義 2.13 の２番目の条件の考察）「M ′ < M とすると，a > M ′ となる a ∈ A

が存在する．」を「M ′ < M とすると，a ≥M ′ となる a ∈ A が存在する．」と書

き換えてもよい．書き換えた条件のほうが緩いが，仮にこの新しい条件が成立した

とする．M ′ < M としたとき，M +M ′

2> M ′ であるから，a ≥ M +M ′

2とな


24 目次

る a ∈ A が存在する．したがって，M +M ′

2> M ′ から，a > M ′ が得られる．

(6) （定義 2.13 の２番目の条件の考察）「M ′ < M とすると，a > M ′ となる a ∈ A

が存在する．」の部分において，M ′ ∈ A である必要はない．「M は上界の最小値で

ある．つまり，M より小さい上界は存在しない．」における「M より小さい上界」

は特に A の元に限定して考える必要はないからである．

命題 2.15 空でない実数の部分集合 A について次のことが成り立つ．

(1) すべての a ∈ A に対して，a ≤M が成り立つならば，supA ≤M である．

(2) supA ≤M ならば，すべての a ∈ A に対して，a ≤M が成り立つ．

証明.

(1) 仮定からわかることは，M は A の上界であるということである．supA は A の

上界の最小値であるので，当然上界のひとつである M 以下である．したがって，

supA ≤M となる．

(2) a ≤ supA より明らかである．

命題 2.16 k > 0，A を空でない実数の部分集合とすると，supk a : a ∈ A =

k supA が成り立つ．

証明. 右辺で表される量を M とおく．命題の証明をするためには，

(1) a ∈ A のときに，k a ≤M が成り立つ．

(2) M ′ < M とすると，k a > M ′ となる a ∈ A が存在する．

を確認すればよい．不等号の向きを逆にして考えて，次の下界という概念を得る．

定義 2.17 (下界 (かかい)，下限) 空でない実数の部分集合 A につき，次の条件を満

たしている m ≥ −∞ のことを下界 (かかい) という．

a ∈ A のときはいつでも a ≥ m が成り立つ． (2.3)

下界の最大値を下限という．

実数の連続性の言いかえをしておこう．

定義 2.18 (実数の連続性の言い換え) 実数の連続性とは，下に有界な集合 A の下界


25

には最大値 m が存在するという性質であると言い換えられる．すなわち，次のような実

数 m がひとつだけ定まる．

(1) （m は下界である．）a ∈ A のときに，a ≥ m が成り立つ．

(2) （m は下界の最大値である．つまり，m より大きい下界は存在しない．）m′ > m

とすると，a < m′ となる a ∈ A が存在する．

この数 m を inf A と書く．

命題 2.19 空でない実数の部分 A につき，次が成り立つ．

inf A = − sup−a : a ∈ A (2.4)

証明. 右辺に現れている量を m とおく．つまり，m = − sup−a : a ∈ A である．mが inf A であることを証明したいが，定義 2.18 にあるように 2 条件を調べればよい．

(1) 任意に a ∈ A を与えたときに，a ≥ m が成り立つ．

(2) m′ > m とすると，a < m′ となる a ∈ A が存在する．

はじめの条件 (1) を検証する．任意に a ∈ A を与える．すると，少なくとも，

−a ≤ −m = sup−b : b ∈ A (2.5)

が成り立つ．

なぜなら，−a ∈ −b : b ∈ A だからである．(2.5) に戻って整理すると，a ≥ m が

得られる．これで (1) は証明できた．

次に条件 (2) を検証する．m′ > m とすると，−m′ < −m = sup−b : b ∈ A だから，ある a ∈ A が存在して，−m′ < −a が成り立つ．これは，m′ > a を意味するから，

(2) も証明できた．

以上，(1),(2) が証明できたので，m = inf A つまり inf A = − sup−a : a ∈ A が証明できた．

注意 2.20 本当なら，これは

−a ≤ −m = sup−a : a ∈ A (2.6)

と書きたいが，これだと左辺の a は任意に取ってきている特定の元であるが，右辺の a

は A 内を自由に取りうるのでつりあわない．そこで，

−a ≤ −m = sup−b : b ∈ A (2.7)

と書いているのである．文字が違えば，性質が違うのはうなづけるであろう．


26 目次

例 2.21

(1) A = (3, 8) のとき，−A = (−8,−3) であるが，

supA = 8, sup(−A) = −3, inf A = 3, inf(−A) = −8 (2.8)

であるから，inf A = − sup(−A), inf(−A) = − supA が成り立っている．

(2) A = (−8,−6) のとき，−A = (6, 8) であるが，

supA = −6, sup(−A) = 8, inf A = −8, inf(−A) = 6 (2.9)


(3) A = (−2, 3) のとき，−A = (−3, 2) であるが，

supA = 3, sup(−A) = 2, inf A = −2, inf(−A) = −3 (2.10)


(4) A = N のとき，−A = −1,−2, · · · であるが，

supA = ∞, sup(−A) = −1, inf A = 1, inf(−A) = −∞ (2.11)


命題 2.22 空でない実数の部分集合 A に関して，inf A ≤ supA が成り立つ．

証明. A が空でないから，a ∈ A をとることができる．このとき a ≤ supA と a ≥inf A が成り立つ．したがって，inf A ≤ supA が成り立つ．

命題 2.23 空でない実数の部分集合 A,B に関して，A ⊂ B ならば，supA ≤ supB，

inf A ≥ inf B である．

命題 2.15 と同じようにして次のことが成り立つことが示せる．

命題 2.24 空でない実数の部分集合 A に関して次のことが成り立つ．

(1) すべての a ∈ A に対して，a ≥ m が成り立つならば，inf A ≥ m である．

(2) inf A ≥ m ならば，すべての a ∈ A に対して，a ≥ m が成り立つ．

命題 2.16 と同じようにして次のことが成り立つことを示せる．

命題 2.25 k > 0，空でない実数の部分集合 A を集合とすると，infk a : a ∈ A =

k inf A が成り立つ．


27

2.2.2 実数列の極限-用語の定義

数列の極限 limn→∞

an = α とは，n が限りなく大きくなるときに an が α に近づくと

いうことを意味しているが，『限りなく大きく』や『近づく』は数学的には曖昧なので，厳

密に定義する必要がある．定義として，

limn→∞

|an − α| = 0

を採用したいのであるが，これでも lim が出てきてしまうために，十分な定義とは言え

ない．この曖昧さを回避する一つの方法として sup, inf を用いる方法がある．sup, inf の

数学的な意味はすでに知っているからである．

定義 2.26 (数列の記号)

(1) 実数列は一般に有限，無限に応じて anJn=1, an∞n=1 などと書く．たとえば，10

項からなる有限数列 a1, a2, a3, · · · , a10 は an10n=1 と表す．

(2) 無限数列を ak∞k=1 や (ak)∞k=1 でもって表す．本書では，前者を多用する．無限

級数は∞∑

n=1an で表す．

定義 2.27 (単調数列) 実数列 an∞n=1 が与えられたとする．

(1) an∞n=1 が単調増大数列であるとは，a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · が成り立つことである．≤ がすべて < に置き換わる場合は数列 an∞n=1 が狭義単調増加数列もしく

は狭義単調増大数列という．

(2) an∞n=1 が単調減少数列であるとは，a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · が成り立つことである．≥ がすべて > に置き換わる場合は数列 an∞n=1 が狭義単調減少数列という．

(3) 単調増大数列，単調減少数列を総称して単調数列という.

定義 2.28 ( 数列の上限，下限，上極限，下極限) 実数列 an∞n=1 が与えられたと

する．

(1) an∞n=1 の上限，下限をsupn∈N

an := supan : n ∈ N

infn∈N

an := infan : n ∈ N

と定める．k = 1, 2, · · · に対して


28 目次 supn≥k

an := supan : n ≥ k

infn≥k

an := infan : n ≥ k

なども同様である．

(2) lim supn→∞

an, lim infn→∞

an をlim supn→∞

an := infk∈N

(supn≥k

an

)= inf

supn≥k

an : k ∈ N

lim infn→∞

an := supk∈N

(infn≥k

an

)= sup

infn≥k

an : k ∈ N

と定義する．これをそれぞれ an∞n=1 の上極限，下極限という．また，人によっ

ては limn→∞

an, limn→∞

an で，lim supn→∞

an, lim infn→∞

an を表すことがある．

(3) an∞n=1 の極限を次のようにして定める．

(a) lim supn→∞

an = lim infn→∞

an ∈ R∪±∞ のときは

limn→∞

an = lim supn→∞

an = lim infn→∞

an (2.12)

と定める．

(b) lim infn→∞

an =

(lim supn→∞

an =

)∞ のときは

limn→∞

an = ∞ (2.13)

と定める．

(c) lim supn→∞

an =(lim infn→∞

an =)−∞ のときは

limn→∞

an = −∞ (2.14)

と定める．

もし，lim supn→∞

an = lim infn→∞

an のときは， limn→∞

an は存在しないという．

注意 2.29 k ∈ N に対して，ck = supn≥k

an とおくと，ckk∈N は単調減少数列である．

lim supn→∞

an = infk∈N

ck (2.15)

と定義していることになる．同語反復であるが，lim supn→∞

an とは次の数列の極限である．

1 項目 : a1, a2, a3, a4, · · ·で与えられる数列の上限


29




...

これらの極限の定義は自己完結しているが，いまいちイメージがわきにくい．例を挙げ

よう．

例 2.30 数列 ann∈N を次のようにして与える．

(1) an = −n3 + 48n, n ∈ N に対しては，

a1, a2, · · · = 47, 88, 117, 128, 115, 72,−49, · · ·

である．（−49 より先は単調に減少している．）この数列の項をひとつずつ削って新

たに数列を作ると，

a2, a3, a4, a5, a6, a7, · · · = 88, 117, 128, 115, 72,−49, · · ·

a3, a4, a5, a6, a7, · · · = 117, 128, 115, 72,−49, · · ·

a4, a5, a6, a7, · · · = 128, 115, 72,−49, · · ·

a5, a6, a7, · · · = 115, 72,−49, · · ·

である．ここで，それぞれの数列の上限（この場合はそれが存在するので，）に下

線をつけると，最初の数列を一番初めに書くことによって補完して，

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, · · · = 47, 88, 117, 128, 115, 72,−49, · · ·

a2, a3, a4, a5, a6, a7, · · · = 88, 117, 128, 115, 72,−49, · · ·

a3, a4, a5, a6, a7, · · · = 117, 128, 115, 72,−49, · · ·

a4, a5, a6, a7, · · · = 128, 115, 72,−49, · · ·

a5, a6, a7, · · · = 115, 72,−49, · · ·

となる．それぞれの数列で supk≥n

(12k − k3), n = 1, 2, · · · は次で与えられる．

128, 128, 128, 128, 115, 72, · · · , 12n− n3, · · ·

ただし，n ≥ 4 とする．

(2) an = (−1)n のとき，


30 目次

lim supn→∞

(−1)n = infn∈N

(supk≥n

(−1)k)

= infn∈N

1 = 1

lim infn→∞

(−1)n = supn∈N

(infk≥n

(−1)k)

= supn∈N

(−1) = −1

∴ limn→∞

(−1)nは存在しない

(3) an =1

nのとき，

lim supn→∞

1

n= inf

n∈N

(supk≥n

1

k

)= inf

n∈N

1

n= 0

lim infn→∞

1

n= sup

n∈N

(infk≥n

1

k

)= sup

n∈N0 = 0

∴ limn→∞

1

n= lim sup

n→∞

1

n= lim inf

n→∞

1

n= 0

中継という言葉は中間で受け継ぐという意味がある．極限 limn→∞

an とは，有限の n を

用いて「中継」することで得られる数と言える．

2.3 極限の性質

定義を述べたところで実数の極限の性質をまとめる．

2.3.1 上極限，下極限の性質

よく使う事実なので，はさみうちの原理をまとめておく．

命題 2.31 (上極限，下極限の単調性とはさみうちの原理) 3 つの実数列 an∞n=1,

bn∞n=1, cn∞n=1 が与えられたとする．

(1) an ≤ bn, n = 1, 2, · · · ならば，

supn≥k

an ≤ supn≥k

bn (2.16)

infn≥k

an ≤ infn≥k

bn (2.17)

である．特に an ≤ bn, n = 1, 2, · · · ならば，

supn∈N

an ≤ supn∈N

bn (2.18)

infn∈N

an ≤ infn∈N

bn (2.19)


31

が成り立つ．

(2) an ≤ bn, n = 1, 2, · · · ならば，

lim supn→∞

an ≤ lim supn→∞

bn (2.20)

lim infn→∞

an ≤ lim infn→∞

bn (2.21)

が成り立つ．

(3) もし，

limn→∞

an = limn→∞

cn (2.22)

で

an ≤ bn ≤ cn, n = 1, 2, · · · (2.23)

ならば， limn→∞

bn = limn→∞

an である．

証明. sup, lim sup が出てくるに関する主張の証明を修正すれば，inf, lim inf に関す

る主張の証明も出来るので，(2.16), (2.18), (2.20) を証明する．

(1) (2.16) の証明：命題 2.15 と supn≥k

bn = supbn : n ≥ k(= Mkとおく) より，

bn ≤ Mk がすべての n ≥ k に対して成り立つ．an ≤ bn ≤ M だから，an ≤M, n ≥ k である．したがって，Mk は an : n ≥ k の上界であるから，

supn≥k

an = supan : n ≥ k ≤Mk (2.24)

が得られる．

(2.18) の証明：(2.16) において k = 1 とする．

supn≥1

an = supn∈N

an, supn≥1

bn = supn∈N

bn (2.25)

であるから結論が得られる．

(2) (2.20) の証明：

lim supn→∞

an = infk∈N

(supn≥k

an

)　（∵ lim sup の定義より）

≤ infk∈N

(supn≥k

bn

)　（∵ (2.16),(2.19) より）

= lim supn→∞

bn　（∵ lim sup の定義より）


32 目次

より証明できる．

(3) これは，(2.20), (2.21), (2.23) より

lim supn→∞


bn ≤ lim supn→∞

cn, lim infn→∞

an ≤ lim infn→∞

bn ≤ lim infn→∞

cn

が成り立ち，(2.22) より

lim infn→∞

an = lim supn→∞

an = limn→∞

an = limn→∞

cn = lim supn→∞

cn = lim infn→∞

cn

だからである．

命題 2.32 実数列 an∞n=1 が与えられたとする．

(1) −∞ ≤ lim infn→∞


an ≤ ∞

(2) lim infn→∞

an = − lim supn→∞

(−an)

(3) κ > 0 ならば，lim supn→∞

κ an = κ lim supn→∞

an, lim infn→∞

κ an = κ lim infn→∞

an

証明.

(1) lim supn→∞

an ≤ ∞ と lim infn→∞

an ≥ −∞ は明らかである．実際に，∞ はいかなる数よ

りも大きいから．また，−∞ はいかなる数よりも小さいから．真ん中の不等号を証明

しよう．任意の n, n′ について infk≥n′

ak ≤ amax(n,n′) ≤ supk≥n

ak だから， infk≥n′

ak ≤

supk≥n

ak が成り立つ．命題 2.15 より lim infn→∞

an = supn′∈N

(infk≥n′

ak

)≤ sup

k≥nak と

なる．したがって，命題 2.24 より lim infn→∞

an ≤ infn∈N

(supk≥n

ak

)= lim sup

n→∞an と

なる．

(2) inf A = − sup−a : a ∈ A が一般の集合に対して成り立つから明らかである．(3) 命題 2.16, 2.25 より明らかである．

命題 2.33 実数列 an∞n=1, bn∞n=1 が与えられたとする．bn∞n=1 は有界とする．

すなわち，ある M > 0 が存在して，|bn| ≤M, (n = 1, 2, · · · ) が成り立つとする．

(1) 和の上極限は上極限の和以下である．つまり，

lim supn→∞

(an + bn) ≤ lim supn→∞

an + lim supn→∞

bn. (2.26)


33

(2) 和の下極限は下極限の和以上である．つまり，

lim infn→∞

(an + bn) ≥ lim infn→∞

an + lim infn→∞

bn. (2.27)

(3) limn→∞

bn が存在するならば，

lim supn→∞

(an + bn) = lim supn→∞

an + limn→∞

bn. (2.28)

(4) limn→∞

bn が存在するならば，

lim infn→∞

(an + bn) = lim infn→∞

an + limn→∞

bn. (2.29)

数列 an = (−1)n, bn = (−1)n+1 が示すように命題 2.33 の (1),(2) において等号が

成立しないこともあるので注意しよう．

証明.

(1) もし m ≥ n の時には

am + bm ≤ supk≥n

ak + supk≥n

bk (2.30)

だから

supk≥n

(ak + bk) ≤ supk≥n

ak + supk≥n

bk (2.31)

が成り立つ．次のことを確認しよう．

一般に，

infn∈N

(supk≥n

ak + supk≥n

bk

)= inf

n∈N

(supk≥n

ak

)+ inf

n∈N

(supk≥n

bk

)(2.32)

である．

不等式

infn∈N

(supk≥n

ak + supk≥n

bk

)≥ inf

n∈N

(supk≥n

ak

)+ inf

n∈N

(supk≥n

bk

)(2.33)

の証明は (2.31) と同じであるが，(このこと自体は今後は使わない．完璧を期して

書いてあるだけ．) 逆向きは次のようにして背理法で示される．

仮に，逆向きの不等式が成り立たないとする．すなわち，

infn∈N

(supk≥n

ak + supk≥n

bk

)> inf

n∈N

(supk≥n

ak

)+ inf

n∈N

(supk≥n

bk

)(2.34)


34 目次

であると仮定する．すると，ある実数 M と正の数 δ が存在して，1)

infn∈N

(supk≥n

ak + supk≥n

bk

)> M + 2δ > M > inf

n∈N

(supk≥n

ak

)+ inf

n∈N

(supk≥n

bk

).

(2.35)

inf の条件から，n1, n2 ∈ N が存在して

infn∈N

(supk≥n

ak

)≤(

supk≥n1

ak

)≤ inf

n∈N

(supk≥n

ak

)+ δ

infn∈N

(supk≥n

bk

)≤(

supk≥n2

bk

)≤ inf

n∈N

(supk≥n

bk

)+ δ

が成り立つ．この式において，n1 = n2 かもしれない．n1, n2 が不揃いだと扱い

にくいので，少し工夫をする．n′ = max(n1, n2) とすると，

infn∈N

(supk≥n

ak

)≤(supk≥n′

ak

)≤(

supk≥n1

ak

)≤ inf

n∈N

(supk≥n

ak

)+ δ

infn∈N

(supk≥n

bk

)≤(supk≥n′

bk

)≤(

supk≥n2

bk

)≤ inf

n∈N

(supk≥n

bk

)+ δ

となる．つまり，

infn∈N

(supk≥n

ak

)≤(supk≥n′

ak

)≤ inf

n∈N

(supk≥n

ak

)+ δ

infn∈N

(supk≥n

bk

)≤(supk≥n′

bk

)≤ inf

n∈N

(supk≥n

bk

)+ δ

が得られる．これより，

infn∈N

(supk≥n

ak + supk≥n

bk

)≤(supk≥n′

ak

)+

(supk≥n′

bk

)

≤ infn∈N

(supk≥n

ak

)+ δ + inf

n∈N

(supk≥n

bk

)+ δ

≤M + 2δ

< infn∈N

(supk≥n

ak + supk≥n

bk

)

が得られる．(n′ を用いているのは， infn∈N

の n との混同を避けるためである．) 最

1)A > B を満たす数 −∞ ≤ A,B ≤ ∞ が与えられると，A と B の間に数 C が存在して

A > C > B が成り立つことは数直線を描けば明らかであろう．


35

右辺と最左辺を比べてみるとわかるように

infn∈N

(supk≥n

ak + supk≥n

bk

)< inf

n∈N

(supk≥n

ak + supk≥n

bk

)(2.36)

が得られているからこれはある数が自分自身より大きいということを示しているの

で矛盾である．したがって，(2.32) が示された．(2.31) と (2.32) より，

lim supn→∞

(an + bn) = infn∈N

[supk≥n

(ak + bk)

]

≤ infn∈N

(supk≥n

ak + supk≥n

bk

)∵ (2.31)

= infn∈N

(supk≥n

ak

)+ inf

n∈N

(supk≥n

bk

)= lim sup

n→∞an + lim sup

n→∞bn

が得られた．

(2) (1) の不等式をしかるべく逆にすればよい．もしくは，lim infn→∞

an = − lim supn→∞

(−an)

を用いて (1) の結果を焼きなおす．

(3) (1) より lim supn→∞


an + lim supn→∞

bn = lim supn→∞

an + limn→∞

bn が

成り立つが，それ以外に，

lim supn→∞

an = lim supn→∞

(an + bn)− bn

≤ lim supn→∞

(an + bn) + lim supn→∞

(−bn)

= lim supn→∞

(an + bn)− lim infn→∞

bn

= lim supn→∞

(an + bn)− limn→∞

bn

が成り立つので，結局，

lim supn→∞


an + limn→∞

bn ≤ lim supn→∞

(an + bn) (2.37)

が得られる．したがって，lim supn→∞

(an + bn) = lim supn→∞

an + limn→∞

bn となる．

(4) (3) をまねよ．


36 目次

2.3.2 収束列の性質

命題 2.34 収束する実数列は有界である．

証明. ann∈N を収束する実数列とする．すると，収束列の定義により

lim supn→∞

an = lim infn→∞

an <∞

となる．inf の定義により

supk∈N, k≥n

an < 1 + lim supn→∞

an

となる n ∈ N が存在する．したがって，

supk∈N

an ≤ max

(a1, a2, · · · , an−1, 1 + lim sup

n→∞an

)<∞

となる．これは ann∈N が上に有界であることを意味している．下に有界であることの

証明も同様である．

命題 2.35 収束する実数列 an∞n=1, bn∞n=1 が与えられたとする．

(1) k を実数とするとき， limn→∞

k an が存在して， limn→∞

k an = k limn→∞

an

(2) limn→∞

an, limn→∞

bn が存在するならば， limn→∞

(an + bn) = limn→∞

an + limn→∞

bn

証明. 命題 2.32,2.33 より明らかである．数列の収束は ε と N を用いて記述される．多くの教科書がこの方法をとるので統一を

取っておこう．この命題は本書では実数の数列の極限から複素数の数列の極限への架け橋

となる．ただし，この命題がなくても複素数列の極限は実部と虚部に分けて定義すればよ

いので，複素数列の極限の定義にこれが必須というわけではない．

命題 2.36 実数 α と数列 ann∈N につき，次は同値である．

(1) limn→∞

an = α

(2) 任意の ε > 0 に対して，ある N ∈ N が存在して，n > N のときに，|an − α| <ε が成り立つ．

後半の主張がわかりにくいと思われるが，次のように考えてみるとわかりやすいかも

しれない．即ち，ある『除外』関数 N : (0,∞) → N が存在して，(任意の ε > 0 に対し

て) N(ε) より小さい自然数を除いて |an − α| < ε が成り立つ．

また，場合によっては N が ε > 0 に依存することを強調して，


37

【書き換えその１】任意の ε > 0 に対して，ある N(ε) ∈ N が存在して，n >

N(ε) のときに，|an − α| < ε が成り立つ．

や

【書き換えその２】任意の ε > 0 に対して，ある Nε ∈ N が存在して，n > Nε

のときに，|an − α| < ε が成り立つ．

などと書き表すことがある．

証明.

(1) limn→∞

an = α を仮定する．すると，

α = supn≥1

(infk≥n

ak

)= inf

n≥1

(supk≥n

ak

)(2.38)

である．さて，証明すべき命題にあるように任意に ε > 0 を与える．この ε > 0

を与えた状態で，(2) を証明するべく，

α = supn≥N

(infk≥n

ak

)= inf

n≥N

(supk≥n

ak

)(2.39)

と (2.38) を書き換えておく．すると，ε に対応して，N1 = N1(ε), N2 = N2(ε) ∈N が存在して，

infk≥N1

ak > α− ε, supk≥N2

ak < α+ ε (2.40)

が成り立つ．ε に対応して，N = max(N1, N2) とすると，

infk≥N

ak > α− ε, supk≥N

ak < α+ ε (2.41)

だから，n ≥ N のときに，α− ε < an < α+ ε が成り立っている．

(2) 任意の ε > 0 に対して，ある N ∈ N が存在して，n > N のときに，|an − α| <ε が成り立つと仮定する．すると，α− ε < an < α+ ε, n > N が得られる．し

たがって，

α− ε ≤ infk≥N+1

ak ≤ supk≥N+1

ak ≤ α+ ε (2.42)

である．α− ε ≤ supk≥N+1

ak ≤ α+ ε より，α− ε ≤ lim supn→∞

an ≤ α+ ε となる．

同様に，

α− ε ≤ lim infn→∞

an ≤ α+ ε (2.43)


38 目次

も得られる．以上より，

−ε < lim infn→∞

an − α ≤ lim supn→∞

an − α < ε (2.44)

が得られる．ε > 0 は任意だから，

α = lim supn→∞

an = lim infn→∞

an (2.45)

となる．よって， limn→∞

an = α が得られた．

2.4 実数の完備性

定理 2.37 (実数の完備性１)

(1) 単調増加な数列 an∞n=1 に対して limn→∞

an が存在して，

limn→∞

an = supn∈N

an

が成り立つ．ただし，両辺が ∞ になる場合を認める．したがって，ある M ∈ R

が存在して単調増加な数列 an∞n=1 が an ≤ M, n = 1, 2, · · · を満たすならば，an∞n=1 は収束する．

(2) 単調減少な数列 an∞n=1 に対して limn→∞

an が存在して，

limn→∞

an = infn∈N

an

が成り立つ．ただし，両辺が −∞ になる場合を認める．したがって，ある M ∈ R

が存在して単調減少な数列 an∞n=1 が an ≥ M, n = 1, 2, · · · を満たすならば，an∞n=1 は収束する．

証明. 単調増加な場合だけを考える．

supn≥k

an = supn≥1

an = supn∈N

an

であるから，

lim supn→∞

an = infk∈N

(supn≥k

an

)= inf

k∈N

(supn∈N

an

)= sup

n∈Nan

となる．同様に，inf の記号の定義から， infn≥k

an = ak であるから，


39

lim infn→∞

an = supk∈N

(infn≥k

an

)= sup

k∈Nak


limn→∞

an = lim supn→∞

an = lim infn→∞

an = supk∈N

ak

となる．実数の完備性とは次の命題もさす．これが解析学の基本となる．コーシー（１７８９－

１８５７）はフランスの数学者である．

定理 2.38 (実数の完備性２，コーシー列＝収束列) 数列 ann∈N につき，次の命題

は同値である．

(1) limn→∞

an ∈ R が存在する．

(2) 任意の ε > 0 に対して，ある N ∈ N が存在して，n,m > N のときに，|an −am| < ε が成り立つ．

証明.

(1) α = limn→∞

an が存在すると仮定する．すると，任意の自然数 N に対して，

α = supn≥N

(infk≥n

ak

)= inf

n≥N

(supk≥n

ak

)(2.46)

である．さて，証明すべき命題にあるように任意に ε を与える．すると，N1, N2 ∈N が存在して，

infk≥N1

ak > α− ε

2, supk≥N2

ak < α+ε

2(2.47)

が成り立つ．N = max(N1, N2) とすると，

infk≥N

ak > α− ε

2, supk≥N

ak < α+ε

2(2.48)

だから，n,m ≥ N のときに，

α− ε

2< am, an < α+

ε

2(2.49)

が成り立っている．したがって，|an − am| < ε が成り立つ．

(2) 任意の ε > 0 に対して，ある N ∈ N が存在して，n,m > N のときに，|an −am| < ε が成り立つと仮定する．すると，


40 目次

aN+1 − ε < am < aN+1 + ε, m > N (2.50)

より，

aN+1 − ε ≤ lim infn→∞


an ≤ aN+1 + ε (2.51)

これより，

0 ≤ lim supn→∞

an − lim infn→∞

an ≤ 2ε (2.52)

である．ε > 0 は任意なので，

lim supn→∞

an = lim infn→∞

an (2.53)

となる．つまり， limn→∞

an が存在する．

2.5 ε-δ 論法

2.5.1 定義などの補遺

以下，定義などもれた部分をまとめる．

定義 2.39 (ε-δ 式の収束の定義，コーシー列の (再) 定義)

(1) 無限数列 ak∞k=1 が α ∈ R に収束するとは，以下の条件が成立することである．

条件：すべての正の数 ϵ に対して，

ある自然数 N が存在して，

すべての自然数 n に対して，

n > N ならば，

|an − α| ≤ ϵ が成立する．

[注意] lim supn→∞

an = lim infn→∞

an と同値である．

(2) 無限数列 ak∞k=1 がコーシー列であるとは以下の条件が成立することである．

条件：すべての正の数 ϵ に対して，


すべての自然数 n,m に対して，

n,m > N ならば，

|an − am| ≤ ϵ が成立する．


41


an = lim infn→∞

an と同値である．しかし，コーシー列は収束

先を特定しないで収束列を表現できるので，よく使われる．繰り返しになる

が，コーシー列は収束先を特定しないということは，きわめて重要である．

(3) 無限数列 ak∞k=1 が ∞ に発散するとは，以下の条件が成立することである．

条件：すべての正の数 K > 0 に対して，



n > N ならば，

an > K が成立する．

[注意] lim infn→∞

an = ∞ と同値である．

(4) 無限数列 ak∞k=1 が −∞ に発散するとは，以下の条件が成立することである．

条件：すべての正の数 K > 0 に対して，



n > N ならば，

an < −K が成立する．


an = −∞ と同値である．

注意 2.40 次の下線を引いたところの用語は区別して使う．

(1) 数列 an∞n=1 は収束する．

(2) 数列 an∞n=1 はコーシー列である．

(3) 数列 an∞n=1 は α に収束する．

(1) と (2) は同値であることを示すので，最終的には区別する必要がなくなるが，それで

も (1) はあくまで収束することを表していて，(2) は何らかの方法でコーシー列であるこ

とを示してきたことを表しているニュアンスがあるように思われる．(3) は (1),(2) と比

べて情報『α が極限値』であることが含まれている．高校の数学では極限値を求めること

にこだわってきたが，実際には極限値は正確にもとまらないことが多い．

例 2.41

(1) an =2n+ 1

3n+ 4で与えられる数列 an∞n=1 は

2

3に収束する．

(2) a1 = 0, an+1 =1

23√6an + 3, n ∈ N で与えられる数列 an∞n=1 は収束する．


42 目次

(3) an =n∑

k=1

1

k3で与えられる数列 an∞n=1 は収束する．この極限はアペリの定理と

して無理数であることが知られているが，証明は難しい．

2.5.2 ε-δ 論法に関する注意

ε-δ 論法は初学者には難しい論法であるが，以下重要な注意をまとめておく．

定理 2.42 数列 ann∈N と実数 α について次の主張は同値である．

(1) 任意の ε > 0 に対して，ある自然数 N ∈ N が存在して，n > N ならば，|an −α| < ε がなりたつ．

(2) 任意の ε > 0 に対して，ある自然数 N ∈ N が存在して，n > N ならば，|an −α| ≤ ε がなりたつ．

(3) 任意の ε > 0 に対して，ある自然数 N ∈ N が存在して，n ≥ N ならば，|an −α| < ε がなりたつ．

(4) 任意の ε > 0 に対して，ある自然数 N ∈ N が存在して，n ≥ N ならば，|an −α| ≤ ε がなりたつ．

(5) 任意の ε > 0 に対して，ある自然数 N ∈ N が存在して，n > N ならば，|an −α| < 2ε がなりたつ．

(6) 任意の ε > 0 に対して，ある自然数 N ∈ N が存在して，n > N ならば，|an −

α| < 1

2ε がなりたつ．

(7) 任意の ε > 0 に対して，ある自然数 N ∈ N が存在して，n > 2N ならば，|an −α| < ε がなりたつ．

(8) 任意の ε > 0 に対して，ある自然数 N ∈ N が存在して，n > N ならば，|an −α| < ε2 がなりたつ．

(9) 任意の 0 < ε < 1 に対して，ある自然数 N ∈ N が存在して，n > N ならば，

|an − α| < ε がなりたつ．

(1)=⇒(2) の証明これは結論の式が (1) のほうが (2) より強いから明らかである．(2)=⇒(5) の証明これは結論の式が (2) のほうが (5) より強いから明らかである．(5)=⇒(1) の証明それぞれの条件を書き下してみる．

(1) : 任意の ε > 0 に対して · · · |an − α| < ε

(5) : 任意の ε > 0 に対して · · · |an − α| < 2ε

しかし，ε > 0 は何でもよい．したがって，(5) を次のように書き換えてもよいはずである．


43

(1) : 任意の ε > 0 に対して · · · |an − α| < ε

(5) : 任意の ε∗ > 0 に対して · · · |an − α| < 2ε∗

この書き換えをしたとして (5) を仮定して (1) を考える．(1) にあるように，結論を導く

ためには ε > 0 を与えておかないといけない．そこで，(5) で ε∗ =ε

2とおいてみる．そ

うすると，(1) が得られる．(9)=⇒(1) の証明仮に ε < 1 ならば，(9) が使える状況にあるが，ε ≥ 1 でも (9) を

(9) : 任意の ε∗ > 0 に対して · · · |an − α| < ε∗

とかきかえてから，ε∗ = 1/2 とおけば，N が存在して n > N ならば，|an − α| < 1

2

となる．したがって，ε ≥ 1 が任意に与えられた時，n > N ならば，|an − α| < 1

2< ε

が成立する．(1)=⇒(7) の証明これは仮定の式が (7) のほうが (1) より強いから明らかである．(7)=⇒(1) の証明 (7) を次のように書き換える．

(7) : · · ·ある M ∈ N が存在して n > 2M ならば · · ·

(1) を示すべく ε > 0 を任意に取る．すると，N = 2M ととれば，n > N のとき，|an −α| < ε が成立する．

(1)=⇒(3) の証明 (1) を次のように書き換える．

(1) : · · ·ある M ∈ N が存在して n > M ならば · · ·

(3) を示すべく ε > 0 を任意に取る．すると，N = M + 1 ととれば，n ≥ N のとき，

つまり n > M のとき，|an − α| < ε が成立する．(3)=⇒(4) の証明これは結論の式が (3) のほうが (4) より強いから明らかである．(4)=⇒(5) の証明これは仮定の式が (5) のほうが (4) より強く結論の式は (4) のほう

が (5) より強いから明らかである．(6)=⇒(1) の証明これは結論の式が (6) のほうが (1) より強いから明らかである．(1)=⇒(6) の証明それぞれの条件を書き下してみる．

(1) : 任意の ε > 0 に対して · · · |an − α| < ε

(6) : 任意の ε > 0 に対して · · · |an − α| < 1

2ε

しかし，ε > 0 は何でもよい．したがって，(1) を次のように書き換えてもよいはずである．

(1) : 任意の ε∗ > 0 に対して · · · |an − α| < ε∗


44 目次

(6) : 任意の ε > 0 に対して · · · |an − α| < 1

2ε

この書き換えをしたとして (1) を仮定して (6) を考える．(6) にあるように，結論を導く

ためには ε > 0 を与えておかないといけない．そこで，(1) で ε∗ =ε

2とおいてみる．そ

うすると，(6) が得られる．(8)=⇒(9) の証明これは仮定の式が (9) のほうが (8) より強く結論の式は (8) のほう

が (9) より強いから明らかである．(1)=⇒(8) の証明それぞれの条件を書き下してみる．

(1) : 任意の ε > 0 に対して · · · |an − α| < ε

(8) : 任意の ε > 0 に対して · · · |an − α| < ε2

(1) を

(1) : 任意の ε∗ > 0 に対して · · · |an − α| < ε∗

と書き換えて (8) を考える．そのために，ε > 0 を与える．すると，(1) を ε∗ = ε2 に対

して適用することで，(8) が得られる．最後に極限に関して重要な公式を 2 つ挙げておく．

定理 2.43 (多項式と指数関数の関係) θ > 1, m ∈ N とすると limn→∞

nm θ−n = 0 が

成り立つ．

後述する連続変数の極限に対する類似の公式

limR→∞

Rm θ−R = 0, θ > 1

が成り立つが，R の小数部分を精密に評価するだけで出来るので証明は省略する．

証明. 自然数 N,n は N > m を満たすとする．二項展開

(a+ b)N = NC0aN + NC1a

N−1b+ · · ·+ NCkaN−kbk + · · ·+ NCNb

N (2.54)

を用いて，

0 ≤ Nm θ−N =Nm

θN=

Nm

(1 + (θ − 1))N≤ Nm

(N∑

j=0NCj(θ − 1)j

)−1

.

ここで，NCj =

Nj

は 2 項係数である．j = n+ 1 以外の項をそぎ落として，


45

0 ≤ Nn θ−N ≤ Nn

NCn+1(θ − 1)m+1=

(n+ 1)!

N

(1− 1

N

)· · ·(1− n

N

)(θ − 1)m+1

.

N → ∞ で最右辺は 0 になるから， limN→∞

Nm θ−N = 0 が得られる．

定理 2.44 任意の R > 0 につき， limn→∞

Rn

n!= 0 が成り立つ．

証明. R について挟み撃ちの原理を用いたい．N > 2R となる N をひとつ取る．実

際に，R の整数部分を [R] と書くとき，N = 2[R] + 2 と取ればよい．n > N のとき，

0 ≤ Rn

n!≤ RN

N !

(1

2

)n−N

であるから，確かに limn→∞

Rn

n!= 0 が成り立つ．

例 2.45 R = 100 として，定理 2.44 をもう少し例示してみよう．

M =100900

900!

とおいて，M がいかに 0 に近いかを見てみよう．

M =100200

200!× 100

201× 100

202× · · · × 100

900

と書き換えてみる．201 以上の数をすべて 200 に置き換えて，

M <100200

200!× 100

200

100

200· · · 100

200=

100200

200!

(1

2

)700

を得る．log10 2 = 0.3010 であるから，近似的に 2−700 は 10−210 程度である．よって，

近似的ではあるが，M <100−10

200!となることがわかる．

定義 2.46 (無限積) an∞n=1 を複素数列とする．∞∏

n=1an が収束するとは，以下の条

件が成り立つことである．

(1) an = 0 となるのは有限個である．

(2) N = sup(n ∈ N : an = 0∪0) = max(n ∈ N : an = 0∪0) とすると

き，

m∏

n=N+1

an

∞

m=1

が収束している．

定義がこのように複雑なのはたとえば，0 · 1 · 2 · · · · · (n− 1) · n · (n+1) · · · などの収束を認めないためである．


46 目次

2.6 無限級数

定義 2.47 (複素級数の収束，発散) an∞n=1 を複素数列とする．

(1)∞∑

n=1an が収束するとは， lim

N→∞

(N∑

n=1an

)が複素数値として存在することと定める．

(2)∞∑

n=1an が絶対収束するとは，

∞∑n=1

|an| が収束することと定める．

(3)∞∑

n=1an が条件収束するとは，

∞∑n=1

an が収束しているが，絶対収束はしていないこ

とを意味する．

単調増大な数列は収束するか ∞ に発散するかどちらかであるから，次のことが言える．

定理 2.48 (絶対収束，条件収束の言いかえ) an∞n=1 を複素数列とする．

(1)∞∑

n=1an が絶対収束する必要十分条件は

supN∈N

(N∑

n=1|an|

)<∞ (2.55)

が成立することである．

(2)∞∑

n=1an が収束すると仮定する．

∞∑n=1

an が条件収束する必要十分条件は

∞∑n=1

|an| = ∞ (2.56)

が成立することである．

例 2.49

(1)∞∑

n=1

1

nは発散する．実際に，2k−1 ≤ n ≤ 2k − 1 ならば，

1

n≥ 1

2kだから，

2K−1∑n=1

1

n=⋆

K∑k=1

(2k−1∑

n=2k−1

1

n

)≥

K∑k=1

(2k−1∑

n=2k−1

1

2k

)=

K∑k=1

1

2=K

2

であるからである．=⋆ が成り立つのは，2K−1∑n=1

1

nと

K∑k=1

(2k−1∑

n=2k−1

1

n

)が同じ

1

1+

1

2+ · · ·+ 1

2K − 1

を表すからである．このようにして，∑記号を分割することで計算ができる例が


47

ある．

(2) 同様に∞∑

n=1

1

na, a < 1 は発散する．

∞∑n=1

1

na≥

∞∑n=1

1

n(2.57)


(3)∞∑

n=1

1

na, a > 1 は収束する．二項定理によって K ≤ 2K − 1, K ∈ N であるから，

K∑n=1

1

na<

2K−1∑n=1

1

na=

K∑k=1

(2k−1∑

n=2k−1

1

na

)(2.58)

となる．無限等比数列の公式によって

K∑n=1

1

na≤

K∑k=1

(2k−1∑

n=2k−1

1

2a(k−1)

)=

K∑k=1

1

2(a−1)(k−1)<

1

1− 2−a+1(2.59)

となる．よって，∞∑

n=1

1

na, a > 1 は収束する．

定理 2.50 (コーシー判定法) an∞n=1 を複素数列とする．また，bn∞n=1 を正数列

とする．|an| ≤ bn が n = 1, 2, · · · に対して成り立ち，∞∑

n=1bn が収束するならば，

∞∑n=1

an

は絶対収束する．

証明. Sn :=n∑

j=1

|aj | とおいて， limn→∞

Sn が収束することを示せばよい．もしくは同値

なことであるが，Sn∞n=1 がコーシー列であればよい．いま，

m∨n := max(m,n), m∧n := min(m,n) (2.60)

と書くことにすれば，三角不等式によって

supm,n≥N

|Sm − Sn| ≤ supm,n≥N

(m∨n∑

k=1+m∧n

|ak|)

≤ supm,n≥N

(m∨n∑

k=1+m∧n

bk

)であるから，bk∞k=1 に対する仮定を用いて結論を得る．

N から N への写像 σ : N → N とは 1, 2, 3, · · · を並べ替えて得られる σ(1), σ(2), · · ·のことである．ここで，σ(1), σ(2), · · · はすべての自然数を含み，重複はしていないような対応を全単射という．一般に集合 A から B への全単射とは A から B への対応で，B

の要素をすべて網羅して (全射性)，重複がない (単射性) もののことである．単射とは，

つまり，異なる点が異なる点に写像されることである．


48 目次

定理 2.51 (絶対収束の性質) an∞n=1 を絶対収束する実数列とする．このとき，任

意の全単射 σ : N → N に対して，∞∑

k=1

aσ(k) = α が成立する．つまり，絶対収束級数に

おいて，無限和の順番を入れ替えても同じ値に収束している．

この定理の結論の収束のことを無条件収束という．

証明. 任意に ε > 0 をとる．すると，an∞n=1 は絶対収束するので，ある N が存在し

て∞∑

k=N

|ak| < ε と出来る．M が大きい場合は σ(1), σ(2), · · · , σ(M) ⊃ 1, 2, · · · , N

となるので，m > M のときは，

∣∣∣∣α−M∑k=1

aσ(k)

∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣ n∑k=1

ak −M∑k=1

aσ(k)

∣∣∣∣ だから，∣∣∣∣α−M∑k=1

aσ(k)

∣∣∣∣ ≤ limn→∞

∣∣∣∣∣ M∑k=n+1

aσ(k)

∣∣∣∣∣ ≤ limn→∞

M∑k=n+1

∣∣∣aσ(k)

∣∣∣ ≤ ∞∑k=N

|ak| < ε

となる．したがって，∞∑

k=1

aσ(k)= α となる．

定理 2.52 ((ライプニッツの) 交項級数) an∞n=1 は

an ≥ an+1, n = 1, 2, · · · , limn→∞

an = 0 (2.61)

を満たしているとする．このとき，∞∑

n=1(−1)n−1an は収束する．

(2.61) の条件下では，an ≥ 0 となることに注意しよう．

証明. Sn =n∑

k=1

(−1)k−1ak とおく．すると，a1−a2 ≤ Sn ≤ a1 が成り立つ．S2n∞n=1

は単調増大な数列で，S2n−1∞n=1 は単調減少な数列である．

[S1, S2, · · · を並べたグラフ]


49

10 20 30 40 50

0.2

0.4

0.6

0.8

2 つ置きに値を見ていこう．

上にある点は S1, S3, S5, · · · で，下にある点は S2, S4, S6, · · · であるとわかる．

よって，S2n∞n=1 と S2n−1∞n=1 はそれぞれ収束する．極限値を α, β とおくと，

α− β = limn→∞

2n∑k=1

(−1)k−1ak − limn→∞

2n−1∑k=1

(−1)k−1ak = − limn→∞

a2n = 0 (2.62)

である．したがって，Sn∞n=1 自体が α に収束している．

例 2.53 例 2.49 と定理 2.52 より，∞∑

n=1

(−1)n−1

nは条件収束する．

σ が N から N への全単射とは σ(1), σ(2), · · · が定まり，以下の 2 条件が成り立つこ

とをいう．

(1) σ(1), σ(2), · · · にダブりはない．(2) σ(1), σ(2), · · · に漏れはない．

定理 2.54 (条件収束の性質) an∞n=1 を条件収束する実数列とする．このとき，任

意の実数 α に対してある全単射 σ : N → N が存在して，∞∑

k=1

aσ(k) = α が成立する．

証明. a1, a2, · · · , an, · · · のうち，正であるものを取り出して得られる無限数列をb1, b2, · · · , bn, · · · として，負であるものを取り出して得られる無限数列を c1, c2, · · · , cn, · · ·とするとき，次の要領で和を取ると，α に収束する．

(1) b1, b2, · · · , bn を足し続けて，α を上回ったら，足すのをやめる．この時までに足した個数を N1 とする．


50 目次

(2) b1 + b2 + · · · + bN1 に今度は c1, c2, · · · , cn を足し続けて，α を下回ったら，足すのをやめる．この時までに，足した個数を N2 とする．

(3) b1 + b2 + · · ·+ bN1 + c1 + c2 + · · ·+ cN2 に今度は bN1+1, bN1+2, · · · , bn を足し続けて，α を上回ったら，足すのをやめる．この時までに足した個数を N3 とする．

(4) b1 + b2 + · · ·+ bN1 + c1 + c2 + · · ·+ cN2 + bN1+1 + bN1+2 + · · ·+ bN3 に今度

は cN2+1, cN2+2, · · · , cn を足し続けて，α を下回ったら，足すのをやめる．この時までに，足した個数を N4 とする．

(5) 以下，N5, N6 なども繰り返して定めていくことにする．このようにすると，

bn∞n=1, cn∞n=1 はすべて取り尽くされる．

この状況を頭に入れて証明を完成させよう．

まずは，σ(1) = 1 とする．σ(2), σ(3), · · · を定めていきたいが，少し手順が複雑である．集合 A,B に対して，A \B は A に属していて，B には属していない元全体を表す．

このことを踏まえて，

N+ = n ∈ N : an ≥ 0, N− = N \N+ = n ∈ N : an < 0 (2.63)

とおく．したがって，

N+ = k1, k2, · · · , N− = l1, l2, · · ·

と小さい順に並べたとき，bj = akj , cj = alj が成り立つ．

定理にあるように全単射を構成しないといけない．これは次のようにして構成する．

n ≥ 2 のときに

σ(n) =

min(N+ \ σ(1), σ(2), · · · , σ(n− 1))

(n−1∑k=1

aσ(k) < αのとき

)min(N− \ σ(1), σ(2), · · · , σ(n− 1))

(n−1∑k=1

aσ(k) ≥ αのとき

) (2.64)

とおく．したがって，∗ に添え字を適当に定めることで，

aσ(n) =

b∗

(n−1∑k=1

aσ(k) < αのとき

)c∗

(n−1∑k=1

aσ(k) ≥ αのとき

)

が成り立つ．級数∞∑

n=1an は条件収束するので，an∞n=1 は正の項と負の項をそれぞれ

無限に持つ．よって，σ(n) はきちんと定義されないことはない．∞∑

n=1an が収束するの


51

で， limn→∞

an = 0 となる．n, l ∈ N が

σ(n), σ(n− 1), σ(n− 2), · · · , σ(n− l + 1) ∈ N+, σ(n− l) ∈ N−

を満たしているならば，

aσ(n), aσ(n−1), aσ(n−2), · · · , aσ(n−l+1) ≥ 0, aσ(n−l) < 0 (2.65)

である．ここで，仮に

n−l∑k=1

aσ(k) ≥ α

とすると，(2.64) から，

σ(n) = min(N− \ σ(1), σ(2), · · · , σ(n− 1))

である．よって，aσ(n) < 0 となり，(2.65) に矛盾する．同様に，

n−l−1∑k=1

aσ(k) < α

としても aσ(n−l) ≥ 0 となり，矛盾している．また，

n−l+1∑k=1

aσ(k) ≤n−l+2∑k=1

aσ(k) ≤ · · · ≤n−1∑k=1

aσ(k) < α


α+ aσ(n−l+1) ≤n−l∑k=1

aσ(k) < α,n−l+1∑k=1

aσ(k) ≤n−1∑k=1

aσ(k) < α (2.66)

となる．同様に，n, l ∈ N が

σ(n), σ(n− 1), σ(n− 2), · · · , σ(n− l + 1) ∈ N−, σ(n− l) ∈ N+

を満たしているならば，

α+ aσ(n−l+1) >n−l∑k=1

aσ(k) ≥ α,n−l+1∑k=1

aσ(k) >n−1∑k=1

aσ(k) ≥ α (2.67)

となる．

ここで，n ∈ N に対して，

σ(n), σ(n− 1), σ(n− 2), · · · , σ(n− l + 1) ∈ N+, σ(n− l) ∈ N−

もしくは

σ(n), σ(n− 1), σ(n− 2), · · · , σ(n− l + 1) ∈ N−, σ(n− l) ∈ N+


52 目次

が成り立つ最小の l を n(l) とする． limn→∞

an = 0 である以上，任意に与えた ε > 0 に

対して，自然数 N が存在して，n ≥ N のときに，|an| < ε であるから，自然数 N ′ を

n ≥ N ′ のときに，σ(n− n(l) + 1) ≥ N となるようにとれば，(2.66) と (2.67) によっ

て，n ≥ N ′ のときに

∣∣∣∣ n∑k=1

aσ(k) − α

∣∣∣∣ < ε となる．したがって，∞∑

k=1

aσ(k) = α が証明

された．条件収束するとこのように数列の項の並べ替えでいろいろな極限値を作ることが出来

るが，実際に並べ替えをしただけで違う値が得られることを例示してみよう．

例 2.55 リーマン積分，区分求積は高校で学習したであろう範囲のことを認める．（自

己完結を期待する読者は一度本書の積分の箇所をやってから読み直してみるとよいであ

ろう．）

S1 =1

1− 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− 1

6+

1

7− 1

8+

1

9− 1

10+

1

11− 1

12+ · · ·

S2 =1

1+

1

3− 1

2+

1

5+

1

7− 1

4+

1

9+

1

11− 1

6+

1

13+

1

15− 1

8+ · · ·

とおく．すると，S1, S2 は確かに同じ項から構成されていることがわかる．S1 を計算

しよう．そのためには，部分和 S1;n =n∑

k=1

(−1)k−1

kを計算しないといけない．定積分∫ 1

0

xk−1 dx =1

kを用いて書き換えると，

S1;n =n∑

k=1

(−1)k−1

∫ 1

0

xk−1 dx =

∫ 1

0

n∑k=1

(−x)k−1 dx =

∫ 1

0

1− (−x)n

1 + xdx

となる．したがって，0 ≤∫ 1

0

xn

1 + xdx ≤

∫ 1

0

xn dx =1

n+ 1であるから，

S = limn→∞

S1;n =

∫ 1

0

dx

1 + x= log 2

が得られる．また，

S2;3n =n∑

k=1

(1

4k − 3+

1

4k − 1− 1

2k

)

とおくと，S2;3n と S1;n は関係式 S2;3n = S1;n +n∑

k=1

1

2k + 2n− 1で結ばれる．区分

求積法によって，

limn→∞

n∑k=1

1

2k + 2n− 1=

1

2lim

n→∞

1

n

n∑k=1

1

1 + (k − 1/2)/n=

1

2

∫ 1

0

dx

1 + x=

1

2log 2


53

が確かめられる．（必要ならば，S2;3n −S1;n がどの図形の面積を表すか考えよ．）したがっ

て， limn→∞

S2;3n =3

2log 2 であるから，S2 =

3

2log 2 となる．

類似の考察で，π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ · · · が証明できる．これはグレゴリ級数と言わ

れて，ライプニッツによって証明されたとされている．

2.7 2重数列

定義 2.56 (2 重数列) 2 重数列とは am,n∞m,n=1 と m,n の 2 つの文字で与えられ

る数列のことである．

2 重数列 am,n∞m,n=1 が与えられたとする．2 重級数∞∑

m,n=1am,n の収束の意味合い

を考える．

N× N = (m,n) : m,n ∈ N とする．

定義 2.57 (2 重級数の収束) am,n∞m,n=1 を 2 重無限数列とする．

(1)∞∑

m,n=1am,n が収束して値が S になるとは，任意の ε > 0 に対して，ある有限集

合 N0 ⊂ N× N が存在して，N0 を含む任意の有限集合 N ⊂ N× N に対して，∣∣∣∣∣ ∑(m,n)∈N

am,n − S

∣∣∣∣∣ < ε

となることである．

(2)∞∑

m,n=1am,n が ∞ に発散するとは，任意の K > 0 に対して，ある有限集合 N0 ⊂

N× N が存在して，N0 を含む任意の有限集合 N ⊂ N× N に対して，∑(m,n)∈N

am,n > K


(3)∞∑

m,n=1am,n が −∞ に発散するとは，

∞∑m,n=1

−am,n が ∞ に発散することである．

この定義において，次のことは簡単にわかる．

命題 2.58 am,n∞m,n=1 を正値 2 重数列とする．このとき，


54 目次

∞∑m,n=1

am,n = sup

∑(m,n)∈N

am,n : N ⊂ N× N は有限集合

(2.68)

証明. 右辺を S とおく．S より小さい任意の数 s に対してある有限集合 N0 ⊂ N× N

が存在して，

s <∑

(m,n)∈N0

am,n ≤ S

が成り立つ．このような N0 を含む N ⊂ N× N に対して，

s <∑

(m,n)∈N0

am,n ≤∑

(m,n)∈N

am,n ≤ S

となる．したがって，S = ∞ のときは，収束の定義そのものから等式 (2.68) が得られ

る．S <∞ のときを考える．任意の ε > 0 に対して，s = S − ε とおくことで，ある有

限集合 N0 ⊂ N× N が存在して，N0 を含む任意の有限集合 N ⊂ N× N に対して，

S − ε <∑

(m,n)∈N

am,n ≤ S とくに

∣∣∣∣∣ ∑(m,n)∈N

am,n − S

∣∣∣∣∣ < ε

となる．よって，等式 (2.68) が得られる．∑(m,n)∈N

am,n とは，任意の N に属するような (m,n) に対してのみ和を考えている

ことを意味する．

数列の収束について次の定理は基本的である．

定理 2.59 (正値 2 重数列の和の順序交換) am,n∞m,n=1 を正値 2 重数列とする．つ

まり，m,n ∈ N に対して非負の実数 am,n が与えられているとする．このとき，次の意

味でこの数列は足し方によらない．

∞∑m=1

( ∞∑n=1

am,n

)=

∞∑n=1

( ∞∑m=1

am,n

)=

∞∑n=1

(n∑

m=1am,n+1−m

)=

∞∑m,n=1

am,n.

(2.69)

冷静になって考えるとわかるが，たとえば

∞∑m=1

( ∞∑n=1

am,n

)= lim

M→∞

M∑m=1

(lim

N→∞

N∑n=1

am,n

)(2.70)

である．既習の記号のみを用いて (2.69) は定式化されているが，慣れていないと ∞ の

記号に圧倒されてしまう．証明をする前に，もう少しこの (2.69) のなす意味を考えよう．

たとえば，（実在はしないが）自然数 m,n ∈ N に対して＊＊町 m 丁目 n 番地には家が 1


55

件あったとする．今月は＊＊町 m 丁目 n 番地の家は am,n 円の電気料金を支払うことに

する．もし，1 丁目だけを専門に回収する回収業者がいて 2 丁目，3 丁目とそれぞれの丁

目に回収業者が専門にいたとすると，回収額は∞∑

m=1

( ∞∑n=1

am,n

)になるであろう．

同じく，1 番地だけを専門に回収する回収業者がいて 2 番地，3 番地とそれぞれの丁目に

回収業者が専門にいたとすると，回収額は∞∑

n=1

( ∞∑m=1

am,n

)になるであろう．

別の回収方法もある．まず，1 人が 1 丁目 1 番地だけを回収する．次の人は 2 丁目 1 番

地と 1 丁目 2 番地を回収する．また，その次の人は 3 丁目 1 番地と 2 丁目 2 番地と 1

丁目 3 番地を回収する．このようにして，丁目と番地の数字の和が一定になるように回

収していくとすると，回収額は∞∑

n=1

(n∑

m=1am,n+1−m

)となるはずである．ところが，こ

れらの回収方法で回収額が変わるであろうか？(2.69) は回収額は変わらないことを示し

ている．2)

定理 2.59 の証明

第一，第三の等号は同じ方法で証明できるので第二の等号のみを示せばよい．m,n に

関する対称性から，第二の等号

∞∑n=1

( ∞∑m=1

am,n

)=

∞∑n=1

(n∑

m=1am,n+1−m

)(2.71)

を示せばよい．任意に N ∈ N をとめると，現れている和の関係から

2)昔私が教わった時は，線形代数の先生が家庭ごみの量を用いて説明していた．電気に変え

たのは私の趣向である．


56 目次

N∑n=1

( ∞∑m=1

am,n

)≥

N∑n=1

(n∑

m=1am,n+1−m

)(2.72)

であるから，N → ∞ として

∞∑n=1

( ∞∑m=1

am,n

)≥

∞∑n=1

(n∑

m=1am,n+1−m

). (2.73)

となる．後は，この逆向きの不等式を示せればよい．M,N ∈ N を任意に取ると，再び現

れている和の関係から

N∑n=1

(M∑

m=1am,n

)≤

∞∑n=1

(n∑

m=1am,n+1−m

)(2.74)

となる．M → ∞ として，

N∑n=1

( ∞∑m=1

am,n

)≤

∞∑n=1

(n∑

m=1am,n+1−m

)(2.75)

が得られる．さらに，N → ∞ として

∞∑n=1

( ∞∑m=1

am,n

)≤

∞∑n=1

(n∑

m=1am,n+1−m

)(2.76)

が得られる．したがって，証明された．

定理 2.60 (複素絶対収束 2 重数列の和の順序交換) am,n∞m,n=1 を複素 2 重数列

とする．

∞∑m=1

( ∞∑n=1

|am,n|),

∞∑n=1

( ∞∑m=1

|am,n|),

∞∑n=1

(n∑

m=1|am,n+1−m|

),

∞∑m,n=1

|am,n|

(2.77)

のうちどれかひとつが有限であるとする．このとき，次の意味でこの数列は足し方によら

ない．

∞∑m=1

( ∞∑n=1

am,n

)=

∞∑n=1

( ∞∑m=1

am,n

)=

∞∑n=1

(n∑

m=1am,n+1−m

)=

∞∑m,n=1

am,n.

(2.78)

先ほどの電気料金の回収の話を考えるとこれは明らかであると思えてしまう．ところ

が，仮定 (2.77) がないと結論が不成立になる．先ほどの電気料金の話で次のような状況

を考えよう．n ∈ N とする．

(1) n 丁目 n 番地は 1000 円だけ電気を使う．

(2) n+ 1 丁目 n 番地は発電をして 1000 円の電気を電力会社に回収させる．


57

(3) そのほかの家は電気を使わないし，発電もしない．

このような状況で電気料金を回収するとどうなるであろうか？等号が不成立になるから試

してみてほしい．

証明. 実部と虚部を分けて考えることによって，実数列を扱っていると考えてよい．定

理 2.59 より，

∞∑m=1

( ∞∑n=1

|am,n|)

=∞∑

n=1

( ∞∑m=1

|am,n|)

=∞∑

n=1

(n∑

m=1|am,n+1−m|

)<∞ (2.79)


am,n =

正の部分︷︸︸︷|am,n|+ am,n

2−

負の部分︷︸︸︷|am,n| − am,n

2(2.80)

を分けて考えて議論することが出来る．具体的には次のとおりである．さきほどと同じ

く，第二の等号

∞∑n=1

( ∞∑m=1

am,n

)=

∞∑n=1

(n∑

m=1am,n+1−m

)(2.81)

を示すにとどめる．次の式の右辺に現れている和は先ほどの考察 (2.79) によって有限な

ので，

∞∑n=1

( ∞∑m=1

am,n

)=

∞∑n=1

( ∞∑m=1

|am,n|+ am,n

2

)−

∞∑n=1

( ∞∑m=1

|am,n| − am,n

2

)(2.82)

となる．3)同様に，

∞∑n=1

(n∑

m=1am,n+1−m

)=

∞∑n=1

(n∑

m=1

|am,n+1−m|+ am,n+1−m

2

)−

∞∑n=1

(n∑

m=1

|am,n+1−m| − am,n+1−m

2

)(2.83)

ここで，正値数列に対して得られた定理 2.59 を用いると∞∑

n=1

( ∞∑m=1

|am,n|+ am,n

2

)=

∞∑n=1

(n∑

m=1

|am,n+1−m|+ am,n+1−m

2

)(2.84)

∞∑n=1

( ∞∑m=1

|am,n| − am,n

2

)=

∞∑n=1

(n∑

m=1

|am,n+1−m| − am,n+1−m

2

)(2.85)

3)この部分の考察を侮ってはいけない．いままで習った数学では ∞−∞ という計算はしな

い（極限の問題として出てきたときは個別に精査する）わけだから，定理にある仮定によって

このようなことがおきていないことを確かめる必要がある．


58 目次

であるから，(2.82)–(2.85) によって (2.81) は示された．

2.8 無限集合

無限，有限などは数学で基本的な概念である．ここではそれについてまとめる．

定義 2.61 (有限集合，無限集合，可算集合，非可算集合) A を集合とする．

(1) A が有限集合であるとは，自然数 N ∈ N が存在して，1, 2, · · · , N と A の間

に全単射が存在することである．

(2) A が有限でないときには A は無限集合という．

(3) A が可算集合であるとは，N と A の間に全単射が存在することである．

(4) A が有限，もしくは可算のときに A は高々可算であるという．

(5) A が可算でも有限でもないときには A は非可算集合という．

定理 2.62 (R の非可算性) R は非可算無限である．

証明. x ∈ R のときに，x = [x] + 0.x1x2 · · ·xn · · · と無限小数展開する．（有限展開できる可能性もあるが，あえて無限小数展開することにする．）写像 φ : N → R に対して

φ(1) = a1 + 0.x(1)1 x

(1)2 · · ·

φ(2) = a2 + 0.x(2)1 x

(2)2 · · ·

...

φ(n) = an + 0.x(n)1 x

(n)2 · · ·

...

と展開したとする．n ∈ N に対して

yn =

x(n)n + 1 (x

(n)n ≤ 8 のとき)

5 (x(n)n = 9 のとき)

(2.86)

とおく．すると，z = 0.y1y2 · · · yn · · · は φ(1), φ(2), · · · , φ(n), · · · のいずれとも異なるので，

z = 0.y1y2 · · · yn · · · /∈ φ(N) (2.87)

となる．


59

定理 2.63 (可算集合の例と性質)

(1) Z は可算である．

(2) 可算集合 A の部分集合は高々可算である．

(3) 可算集合 A との全単射が存在する集合 B は可算である．

証明.

(1) a のガウス記号 [a] で a の整数部分を表すとして，φ : N → Z を φ(n) = (−1)n[n2

]と定めればよいからである．

(2) A ⊂ N と考えてよい．A が有限集合であるなら，確かに高々可算である．もし，

無限集合なら A の要素に小さい順番に番号をつけて A = a1, a2, · · · と表すとき，φ(k) = ak とおけば φ : N → A は全単射である．

(3) 全単射の合成は全単射だからこれは明らかである．

系 2.64 次の集合は可算である．

(1) Z× Z

(2) N× Z

(3) Q

証明. どちらも無限集合である．したがって，N とそれぞれの集合との全単射が存在す

ればよい．

(1) n ∈ N に対して k = k(n) を

k(k − 1)

2< n ≤ k(k + 1)

2, k ∈ N (2.88)

となるように定める．このとき，φ(n) =

((−1)k

[k

2

], (−1)n−k+1

[n− k + 1

2

])は N から Z× Z への全単射となる．

(2) (1) をまねよ．

(3) φ : N → N× Z を全単射として，φ(n) = (φ1(n), φ2(n)) と定める．φ1, φ2 を用

いて ψ : N → Q を

ψ : n ∈ N 7→ φ2(n− 1)

φ1(n− 1)∈ Q, n ≥ 2, ψ(1) = 0 (2.89)

と定めるとこれは全射である．そこで，q ∈ Q に対して，g(q) = minψ−1(q) と


60 目次

すると，g : Q → N は単射である．g(Q) は可算であるから，Q は可算である．

定理 2.65 (非可算集合の例) 次の集合は R と対等つまり R との全単射が存在する．

したがって，次の集合は非可算集合である．

(1) (0, 1)

(2) (0,∞)

(3) [0,∞)

証明. f でもって各集合から R への全単射を表すこととする．

(1) f(x) = tan(πx− π

2

)とすればよい．

(2) f(x) = log x とすればよい．

(3) 次のように g を定めれば，全単射 g : [0,∞) → (0,∞) が構成されたことになる．

g(x) =

x+ 1 (x ∈ [0,∞)∩Z のとき)

x (x ∈ [0,∞)∩Zcのとき)

よって，f(x) = log g(x) は [0,∞) から R への全単射である．


第 3 章

実数とは

実数とは一体全体何であろうか？有理数という概念は既知の状態から考察を出発したい．

高校生のときに，

1

1+

1

4+ · · ·+ 1

n2+ · · · (3.1)

が収束することを示したことはあるだろうか？この値がπ2

6になることを知っている人も

いるであろうが，正確な値を計算するのは大学に入りたてのときは容易ではない．有理数

の世界だけで物事を考えようとすると，収束の問題が生ずるのは経験から知っている．例

えば，円の面積を計算するとき，3.14 や 22/7(アルキメデスによる) を用いて近似計算を

したことがあると思うが，これらの数では実際の円の面積に近づけない．355/113(祖沖

之 (そちゅうし) による) を用いると，もう少し実際の値に近似できるが，これでもやは

り近似に過ぎない．このように，有理数の世界だけでは数を正確に捉えられないことがあ

るので，それよりも大きい実数の世界へと移行する必要がある．実数の世界へと移行する

ための橋立となるのが，コーシー列である．

実数とは何であるかと考えたときに，有理数列の極限であると答えるのは正当であろ

う．実際に，任意の実数 x に対して

x = limn→∞

[10nx]

10n(3.2)

であるからである．右辺に現れた極限は要するに小数点 n 桁までで数を区切って残りを

切って捨てたものである．

近似をするときに，10 進法にこだわる必要はなく，k 進法であってもよい．とにかく，

与えられた x を有理数で近似する方法は当然のことであるがとてつもなく多い．

実数とは，このようにして得られる有理数による近似列であると言うことができるは

ずである．以下では，この近似の意味合いを正確に述べるためにコーシー列という概念を

導入する．


62 目次

3.1 コーシー列の定義

定義 3.1 (数列の表記) 数列の表し方として，

a1, a2, · · · , an, · · · (3.3)

や

(an)∞n=1 (3.4)

などがあるが，ここでは

an∞n=1 (3.5)

という記号を用いる．

定義 3.2 (有理数のコーシー列) an∞n=1 ⊂ Q がコーシー列であるとは，任意の有

理数 ε > 0 に対してそれに応じてある N ∈ N が決まり，m,n ≥ N のときに，

|am − an| < ε (3.6)

が成り立つことをいう．

これでは，なぜこの定義が実数の近似列の定義にふさわしいか理解できないかもしれな

い．意味をもう少し詳しく考えてみよう．

(1) ε = 10−1 とすると，それに応じてある N が決まり，m,n ≥ N のときに，

|am − an| < ε = 10−1 (3.7)

となる．つまり，N より添え字が小さいものは無視するとして am, an の小数第 1

位は（繰り下がりによる 9 が現れる現象を除いて）1 しか違わない．


|am − an| < ε = 10−2 (3.8)




|am − an| < ε = 10−3 (3.9)



(4) 以下同様に ε を 10−n と選んで小数第 n 位まで値を揃えられる．


63

例 3.3

(1) 有理数 r が与えられると，an = r, n = 1, 2, · · · とおくことで，コーシー列an∞n=1 が得られる．

(2) 次の有理数に対するアルキメデスの原理を確認しておこう．

任意の有理数 ε > 0 に対して，ある N ∈ N が存在して，Nε > 1 となる．

この性質を用いると，いろいろなコーシー列が得られる．

an =1

12+

1

22+ · · ·+ 1

n2, n = 1, 2, · · · (3.10)

とする．n > m ≥ N のときに

an − am =1

(m+ 1)2+

1

(m+ 2)2+ · · ·+ 1

n2

<1

m(m+ 1)+

1

(m+ 1)(m+ 2)+ · · ·+ 1

n(n− 1)

=

(1

m− 1

m+ 1

)+

(1

m+ 1− 1

m+ 2

)+ · · ·+

(1

n− 1− 1

n

)=

1

m− 1

n<

1

m≤ 1

N

であるから，任意に ε > 0 が与えられたときに，ある N ∈ N が存在して，Nε >

1 となるから，

n > m ≥ N のときに，　 an − am = |an − am| < ε (3.11)

となる．対称性から

n,m ≥ N のときに，　 |an − am| < ε (3.12)

となる．

有理数のコーシー列の定義を書き換えておこう．

定理 3.4 (有理数のコーシー列の書き換え，等号に関する注意) an∞n=1 ⊂ Q を有

理数列とするとき，次は同値である．

(1) 任意の有理数 ε > 0 に対してそれに応じてある N ∈ N が決まり，

m,n ≥ N のときに，　 |am − an| < ε (3.13)

が成り立つ．



64 目次

m,n > N のときに，　 |am − an| < ε (3.14)

が成り立つ．


m,n ≥ N のときに，　 |am − an| ≤ ε (3.15)

が成り立つ．


m,n > N のときに，　 |am − an| ≤ ε (3.16)

が成り立つ．

したがって，これらの 4 条件はどれもコーシー列の定義として採用できる．

証明. 表面的に () のついた部分の式だけを見ると，

(3.13) =⇒ (3.14) =⇒ (3.15) =⇒ (3.16) (3.17)

がわかる．したがって，(3.16) なら (3.13) を示せばよい．

主張全体を示すためには，(3.13) 全体を見なくてはいけない．まず，任意に ε > 0 を

取る．(3.16) を使いたいが，この

ε > 0 (3.18)

に対して用いてはならない．1

2ε に対して用いるのである．すると，(3.16) によって，N ∈

N が存在して，

n,m > N ならば，|an − am| ≤ 1

2ε (3.19)

が成り立つ．条件に現れた N を M と書き換えて

M ∈ N が存在して，

n,m > M ならば，|an − am| ≤ 1

2ε (3.20)

が成り立つと仮定してかまわない．

はじめに，

N =M + 1 (3.21)

とおくことで，n,N,M はすべて自然数だから

n ≥ N ⇐⇒ n > M(= N − 1) (3.22)


65

が成り立つことに注意する．また，

1

2ε < ε (3.23)

も成り立つ．このことから，

n,m ≥ N ならば，|an − am| < ε (3.24)

となる．よって，(3.13) が示された．

定理 3.5 (有理数のコーシー列であることの言い換え) 有理数列 an∞n=1 ⊂ Q につ

き次は同値である．


m,n ≥ N のときに，|am − an| < ε (3.25)

が成り立つ．


m,n ≥ N のときに，|am − an| < 2ε (3.26)

が成り立つ．


m,n ≥ N + 1 のときに，|am − an| < ε (3.27)

が成り立つ．


m,n ≥ N のときに，|am − an| <1

2ε (3.28)

が成り立つ．

したがって，これらの 4 条件はどれもコーシー列の定義として採用できる．

このようにして，N, ε を取り替えることができる．

証明. 条件をみて明らかなように (3.15) と (3.27) は同値である．したがって，(3.13)

と (3.25) は同一であるから，(3.26) と (3.28) と (3.13) との同値性を示せばよい．

(3.28) =⇒ (3.16) ⇐⇒ (3.13) =⇒ (3.26) (3.29)

は明らかであるから，(3.26) を認めて，(3.28) を示せばよい．(3.28) にあるように，任

意に有理数 ε > 0 を取ってきて (3.26) を1

4ε に対して使う．すると，(3.26) によってあ


66 目次

る N が存在して，

m,n ≥ N のときに，|am − an| < 2 · 14ε (3.30)

が成り立つ．よって，(3.28) が示された．有理数のコーシー列 an∞n=1 がある実数 α を近似している列であるとするなら，別

の有理数の近似列 an + 10−n∞n=1 も『同じ』実数 α を近似しているはずである．そこ

で，次のような定義を与える．

定義 3.6 (有理数のコーシー列の相等) an∞n=1 と bn∞n=1 を有理数のコーシー列

とする．これらが『同じ』であるというのは次の条件を満たしていることである．

[条件] 任意の有理数 ε > 0 に対してそれに応じて N ∈ N が決まって n ≥ N のと

きに，|an − bn| < ε となる．

『同じ』という概念が出てきたが，数学では同値関係という用語を用いる．同値関係と

は次の定理にある 3 条件 (反射律，対称律，推移律) を満たしていることである．

定理 3.7 (コーシー列に関する同値律) an∞n=1, bn∞n=1, cn∞n=1 を有理数のコー

シー列とする．

(1) （反射律）an∞n=1 と an∞n=1 は『同じ』である．

(2) （対称律）an∞n=1 と bn∞n=1 が『同じ』であるなら，bn∞n=1 と an∞n=1 は

『同じ』である．

(3) （推移律）an∞n=1 と bn∞n=1 が『同じ』で，bn∞n=1 と cn∞n=1 が『同じ』

であるなら，an∞n=1 と cn∞n=1 は『同じ』である．

証明. 1 と 2 は明らかであろう．3 を証明しよう．an∞n=1 と bn∞n=1 が『同じ』で，

bn∞n=1 と cn∞n=1 が『同じ』であるから，

[条件] 任意の ε > 0 に対してそれに応じて N ∈ N が決まって n ≥ N のときに，

|an − bn| < ε

となり，

[条件] 任意の ε > 0 に対してそれに応じて N ∈ N が決まって n ≥ N のときに，

|bn − cn| < ε

となる．これより，任意の有理数 ε > 0 に対して，


67

[条件] N1 ∈ N が決まって n ≥ N1 のときに，|an − bn| <1

2ε

となり，

[条件] N2 ∈ N が決まって n ≥ N2 のときに，|bn − cn| <1

2ε

となる．N = max(N1, N2) とおくと，n ≥ N のときに，

|an − bn| <1

2ε, |bn − cn| <

1

2ε (3.31)

であるから，三角不等式 |α+ β| ≤ |α|+ |β| によって，n ≥ N のときに，

|an − cn| ≤ |an − bn|+ |bn − cn| <1

2ε+

1

2ε = ε (3.32)

となる．

3.2 コーシー列の性質

3.2.1 コーシー列の有界性

定義 3.8 (有界数列) 有理数からなる数列 an∞n=1 が有界であるとは，ある有理数

M > 0 が存在して，|an| ≤M, n ∈ N が成り立つことである．

定理 3.9 (コーシー列の有界性) 有理数のコーシー列は有界である．

証明. an∞n=1 をコーシー列とする．ε = 1 > 0 であるから，ある N が定まり，

m,n ≥ N のときに |an − am| ≤ 1 となる．したがって，

M = max(|a1|, |a2|, · · · , |aN−1|, |aN |+ 1) (3.33)

とおけば，|an| ≤M, n ∈ N が成り立つ．

3.2.2 コーシー列の演算

実数とはコーシー列であると述べたが，ここでは，コーシー列に関する演算を用意して

実数に演算を入れる．

命題 3.10 an∞n=1, bn∞n=1 をコーシー列とする．

(1) an + bn∞n=1 はコーシー列である．

(2) an − bn∞n=1 はコーシー列である．


68 目次

(3) anbn∞n=1 はコーシー列である．

(4) bn∞n=1 と 0 は『同じ』ではないとする．ある ε0 と N が存在して，n ≥ N の

ときは，|bn| >1

2ε0 > 0 となる．

(5) bn∞n=1 と 0 は『同じ』ではないとする．さらに，bn = 0, n = 1, 2, · · · とする．このとき，an/bn∞n=1 はコーシー列である．

(4), (5) が他とくらべて難しいので，これだけを証明する．

(4) の証明 bn∞n=1 と 0 は同じではないので，ある有理数 ε0 > 0 が存在して，任意

の N に対して，ある n ≥ N が存在して，|bn| > ε0 が成立する．一方，bn∞n=1 はコー

シー列であるから，ある N ′ が存在して，n,m ≥ N ′ のときに，|bn − bm| < 1

2ε が成立

する．ここで，

任意の N に対して，ある n ≥ N が存在して，|bn| > ε0

であるという条件を N = N ′ に対して適用すると，ある n ≥ N ′ が存在して |bn| > ε0

となる．したがって，m ≥ N ′ の時には，三角不等式によって

|bm| ≥ |bn| − |bm − bn| > ε0 −1

2ε0 =

1

2ε0 > 0

となる．以上より，ある ε0 と N が存在して，n ≥ N のときは，|bn| >1

2ε0 > 0 と

なる．(5) の証明

さて，an/bn∞n=1 を考える．コーシー列は有界であるから，ある M > 0 が存在して，

すべての n ∈ N に対して，|an|, |bn| ≤M が成り立つ．また，4 で証明したように，ある

ε0 と N が存在して，n ≥ N のときは，|bn| >1

2ε0 > 0 となるが，b1, b2, · · · , bN−1 =

0 であるから，

κ = min

(|b1|, |b2|, · · · , |bN−1|,

1

2ε0

)(3.34)

とおけば，n ≤ N − 1 か n ≥ N かに応じて場合分けをすればわかるように，|bn| ≥ κ >

0, n ∈ N が成り立つ．したがって，自然数 m,n ∈ N に対して∣∣∣∣anbn − ambm

∣∣∣∣ = |anbm − ambn||bnbm| =

|anbm − ambm + ambm − ambn||bnbm|

となる．三角不等式と |an|, |bn| ≤M より，


69∣∣∣∣anbn − ambm

∣∣∣∣ ≤ |anbm − ambm|+ |ambm − ambn|κ2

≤ M

κ2(|an − am|+ |bm − bn|)

となる．

以上のことを踏まえて，任意に ε > 0 を取る．すると，ある N1, N2 が存在して，

n,m ≥ N1 =⇒ |an − am| < κ2ε

2M, n,m ≥ N2 =⇒ |bn − bm| < κ2ε

2M(3.35)

となる．N = max(N1, N2) とすると，

n,m ≥ N =⇒ |an − am| < κ2ε

2M, |bn − bm| < κ2ε

2M(3.36)

だから，n,m ≥ N のとき，∣∣∣∣anbn − ambm

∣∣∣∣ ≤ M

κ2(|an − am|+ |bm − bn|) ≤ ε (3.37)

となる．よって，an/bn∞n=1 はコーシー列である．

定義 3.11 (コーシー列の演算) an∞n=1, bn∞n=1 を有理数のコーシー列とする．

(1) an∞n=1 と bn∞n=1 の和を an∞n=1 + bn∞n=1 ≡ an + bn∞n=1 と定める．

(2) an∞n=1 と bn∞n=1 の差を an∞n=1 − bn∞n=1 ≡ an − bn∞n=1 と定める．

(3) an∞n=1 と bn∞n=1 の積を an∞n=1 · bn∞n=1 ≡ anbn∞n=1 と定める．

(4) bn∞n=1 と 0 は『同じ』ではないとする．an∞n=1 と bn∞n=1 の商を an∞n=1÷bn∞n=1 ≡ an/bn∞n=1 と定める．

注意 3.12 A という『量』を B でもって定義するとき，A := B, A ≡ B と書く．

次の命題は，『同じ』という概念を使っても演算の概念が『ぶれない』ことを言っている．

命題 3.13 2 つのコーシー列 an∞n=1 と a∗n∞n=1 は『同じ』で，2 つのコーシー列

bn∞n=1 と b∗n∞n=1 も『同じ』であるとする．

(1) an∞n=1 + bn∞n=1 と a∗n∞n=1 + b∗n∞n=1 は『同じ』である．

(2) an∞n=1 − bn∞n=1 と a∗n∞n=1 − b∗n∞n=1 は『同じ』である．

(3) an∞n=1 · bn∞n=1 と a∗n∞n=1 · b∗n∞n=1 は『同じ』である．

(4) an∞n=1 ÷ bn∞n=1 と a∗n∞n=1 ÷ b∗n∞n=1 は『同じ』である．

ただし，(4) においては bn∞n=1 と b∗n∞n=1 はどちらも 0 は『同じ』ではないとする．

(4) は他と比べて面倒なので，(4) だけを証明する．


70 目次

(4) の証明はじめに，コーシー列は有界であるから，M が存在して，すべての n ∈ N

に対して，

|an|+ |a∗n|+ |bn|+ |b∗n| ≤M (3.38)

が成り立つことに注意する．さらに，bn∞n=1 と b∗n∞n=1 はどちらも 0 は『同じ』で

はないから，ある κ > 0 が存在して，|bn|, |b∗n| ≥ κ が成り立つ．

任意に有理数 ε > 0 を与える．すると，ある N1, N2 が定まり，

n ≥ N1 =⇒ |an − a∗n| <κ2

2Mε, n ≥ N2 =⇒ |bn − b∗n| <

κ2

2Mε (3.39)

となる．したがって，∣∣∣∣anbn − a∗nb∗n

∣∣∣∣ = |anb∗n − a∗nbn||bnb∗n|

=|anb∗n − a∗nb

∗n + a∗nb

∗n − a∗nbn|

|bnb∗n|

となる．三角不等式と |an|+ |a∗n|+ |bn|+ |b∗n| ≤M より，∣∣∣∣anbn − a∗nb∗n

∣∣∣∣ ≤ |anb∗n − a∗nb∗n|+ |a∗nb∗n − a∗nbn|κ2

≤ M

κ2(|an − a∗n|+ |b∗n − bn|)

であるから，n ≥ N = max(N1, N2) の時には，∣∣∣∣anbn − a∗nb∗n

∣∣∣∣ ≤ M

κ2(|an − a∗n|+ |b∗n − bn|) < ε (3.40)

となる．よって，an∞n=1 ÷ bn∞n=1 と a∗n∞n=1 ÷ b∗n∞n=1 は『同じ』である．

3.2.3 コーシー列の大小

実数には大小関係があったのだから，これから実数とみなそうとしている有理数のコー

シー列にも大小関係を導入しないといけない．そこで，2 つの有理数のコーシー列の大小

関係を定義する．

定義 3.14 (有理数のコーシー列の大小関係) an∞n=1 と bn∞n=1 を有理数のコー

シー列とする．有理数のコーシー列における不等式 an∞n=1 ≤ bn∞n=1 とは，任意の

有理数 ε > 0 に対してある自然数 N が定まり，n ≥ N のときに bn − an > −ε が成り立つこととする．

命題 3.15 an∞n=1, bn∞n=1, a∗n∞n=1, b∗n∞n=1 をコーシー列とする．また，2 つ

のコーシー列 an∞n=1 と a∗n∞n=1 は『同じ』であるとする．さらに，2 つのコーシー

列 bn∞n=1 と b∗n∞n=1 も『同じ』であるとする．an∞n=1 ≤ bn∞n=1 であるならば，

a∗n∞n=1 ≤ b∗n∞n=1 となる．


71

証明. an∞n=1 ≤ bn∞n=1 であるから，任意の有理数 ε > 0 に対してある自然数 N

が定まり，n ≥ N のときに bn − an > −1

3ε が成り立つ．また，an∞n=1 と a∗n∞n=1

は『同じ』で bn∞n=1 と b∗n∞n=1 も『同じ』であるから，N1, N2 が存在して，

n ≥ N1 =⇒ |an − a∗n| <1

3ε, n ≥ N2 =⇒ |bn − b∗n| <

1

3ε (3.41)

となる．n ≥ N∗ = max(N1, N2, N) とすると，

b∗n − a∗n = b∗n − bn + bn − an + an − a∗n > −1

3ε− 1

3ε− 1

3ε = −ε

となる．したがって，a∗n∞n=1 ≤ b∗n∞n=1 となる．次の性質が得られる．

命題 3.16 an∞n=1, bn∞n=1, cn∞n=1 を有理数のコーシー列とする．

(1) an∞n=1 ≤ an∞n=1

(2) an∞n=1 ≤ bn∞n=1 かつ bn∞n=1 ≤ an∞n=1 ならば，an∞n=1 = bn∞n=1 と

なる．

(3) an∞n=1 ≤ bn∞n=1 かつ bn∞n=1 ≤ cn∞n=1 ならば，an∞n=1 ≤ cn∞n=1 と

なる．

(4) an∞n=1 ≤ bn∞n=1 または bn∞n=1 ≤ an∞n=1 の少なくとも一方が成り立つ．

(5) an∞n=1 ≤ bn∞n=1 ならば，an∞n=1+cn∞n=1 ≤ bn∞n=1+cn∞n=1 である．

(6) 0 ≤ an∞n=1 かつ bn∞n=1 ≤ cn∞n=1 であるなら，anbn∞n=1 ≤ ancn∞n=1

である．

証明の前に注意を与えておく．

注意 3.17 この命題が主張していることは，実数の言葉でいえば，以下のことを言っ

ているに過ぎない．

(1) α ≤ α である．

(2) α ≤ β, β ≤ α ならば，α = β である．

(3) α ≤ β, β ≤ γ ならば，α ≤ γ である．

(4) α ≤ β もしくは β ≤ α である．

(5) α ≤ β ならば，α+ γ ≤ β + γ である．

(6) 0 ≤ α, β ≤ γ ならば，αβ ≤ αγ である．


72 目次

証明. 4 を示す．ほかの証明は類似している．仮に，an∞n=1 ≤ bn∞n=1 でなかった

とする．すると，ある正の有理数 ε0 > 0 が存在して，任意の N に対して，n0 ≥ N が

存在して，bn0 − an0 ≤ −ε0 が成り立つ．an∞n=1 と bn∞n=1 はコーシー列であるから，この ε > 0 に対して，ある N1, N2

が存在して，

n,m ≥ N1 =⇒ |an − am| < 1

3ε0

n,m ≥ N2 =⇒ |bn − bm| < 1

3ε0

そこで，N = max(N1, N2) に対して n0 ≥ N が存在して，an0 − bn0 ≤ −ε0 が成り立つから，m ≥ N のとき，

bm−am = (bm− bn0)+(bn0 −an0)+(an0 −am) <1

3ε0−ε0+

1

3ε0 = −1

3ε0 (3.42)

となる．つまり，ある ε0 と N が存在して，

m ≥ N =⇒ bm − am < −1

3ε0 < 0 (3.43)

となる．したがって，任意の有理数 ε > 0 に対して，

n ≥ N =⇒ an − bn >1

3ε0 > −ε (3.44)

であるから，an∞n=1 ≥ bn∞n=1 である．

3.2.4 コーシー列 (自身) の収束

コーシー列に関してここまで用意したところで，有理数にはなくて実数に備わってい

る性質，つまり完備性を議論できる．完備性とは，コーシー列が収束することをさす．

定義 3.18 (有理数コーシー列のなす列) 2 重有理数列 am,n∞m,n=1 が有理数のコー

シー列のなす列であるとは，各 m ∈ N に対して am,n∞n=1 がコーシー列である事を意

味する．am,n∞m,n=1 を am,n∞n=1∞m=1 とも書くことがある．

したがって，有理数のコーシー列とは 2 重数列 am,n∞m,n=1 であって，各 m ∈ N に

対して，am,n∞n=1 がコーシー列であるもののことである．

定義 3.19 (有理数コーシー列のなす列 (言い換え) ) 自然数 m = 1, 2, · · · に対して，コーシー列 αm = am,n∞n=1 が与えられたとする．有理数のコーシー列のなす列

αm∞m=1 = am,n∞n=1∞m=1 がコーシー列であるとは，任意の有理数のコーシー列


73

ε = εn∞n=1 で 0 より真に大きいものに対してある N ∈ N が存在して，n,m > N で

あるならば，

−ε < αm − αn < ε (3.45)

が成り立つことを意味する．

「0 より真に大きい」という表現のように数学では「真」という接頭辞がつくときは，一

致しないということを表す．

例 3.20

(1) π は 3 より，真に大きい．

(2) π は√10(= 3.16 · · · ) より，真に小さい．

(3) 2, 3, 5, 7 は 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 の真部分集合である．

「実数＝コーシー列」という考え方に立っているので，「実数列＝コーシー列のなす列」，

つまり 2 重数列という考え方は自然であろう．

定義 3.21 (有理数のコーシー列のなす列の収束) α = αm∞n=1 を有理数のコーシー

列とする．有理数のコーシー列のなす列 αn∞m=1 = am,n∞n=1∞m=1 が α に収束す

るとは，任意の有理数のコーシー列 ε = εn∞n=1 で 0 より真に大きいものに対してある

N ∈ N が存在して，m > N であるなら，

−ε < αm − α < ε (3.46)

が成り立つことを意味する．収束先 α を明示しない（もしくは出来ない）場合は，有理数

のコーシー列のなす列 αn∞m=1 = am,n∞n=1∞m=1 が収束するとか有理数のコーシー

列のなす列 αn∞m=1 = am,n∞n=1∞m=1 が収束列であるという．

実数は有理数の極限として得られる．このことを正確に定式化して証明しておこう．

定理 3.22 (有理数の稠密性) 有理数のコーシー列 α = an∞n=1 に対して，(定数)

有理数列 αm = am∞n=1 = (am, am, · · · ) は α に収束している．

証明. 有理数のコーシー列 ε = εn∞n=1 で 0 より真に大きいものを考えると，「有理数

のコーシー列が 0 より真に大きい」ことの定義から，有理数 ε0 が存在してある N0 が存

在して，n ≥ N0 のときに，εn ≥ ε0 > 0 となる．

任意に有理数 ε∗ > 0 を与えると，min(2−1ε∗, ε0) は 0 より大きい．したがって，

ε∗∞n=1 は 0 より真に大きくて，an∞n=1 はコーシー列であるから，ある N が存在して，


74 目次

n,m ≥ N =⇒ |an − am| < min(2−1ε∗, ε0) (3.47)

となる．したがって，m ≥ N0 のときに，min(2−1ε∗, εn) < ε∗ であるから，

−ε < α− αm < ε (3.48)

となる．有理数のコーシー列 ε = εn∞n=1 は任意であるから， limm→∞

αm = α が証明さ

れた．

次の性質は有理数にはない重要な性質である．

定理 3.23 (実数の完備性) 有理数のコーシー列のコーシー列は収束列である．

証明. 証明の前に，実際に証明するべき結論を明記しよう．「コーシー列は収束する」こ

とを示すわけであるが，具体的には，以下のことをしなくてはいけない．αm∞m=1 =

am,n∞n=1∞m=1 を有理数からなるコーシー列のコーシー列とするとき，ある有理数から

なるコーシー列 b = bL∞L=1 が存在して，αm∞m=1 は b に収束することを示さないと

いけない．さらに，このことを分解して考えると，以下のことをすることに相当する．

(a) ある有理数からなるコーシー列 b = bL∞L=1 を具体的に明記すること．

(b) αm∞m=1 は b に収束すること．

数学の試験問題でいうならば，(1), (2) という小問題を自分で創設したことになるであろ

うか？

(1) 【(a) の証明】m = 1, 2, · · · とする．すると，αm = am,n∞n=1 は有理数のコー

シー列であるから，ある自然数 N(m) ∈ N が存在して，

【条件】n1, n2 ≥ N(m) ならば，|am,n1 − am,n2 | < 2−m となる．

必要ならば，N(m) を N(1) +N(2) + · · ·+N(m) で置き換えても条件は保た

れているので，

N(1) < N(2) < · · · < N(m) < · · · (3.49)

を仮定しても構わない．次に，2−L−2∞n=1 は有理数のコーシー列で，αm∞m=1

はコーシー列であるから，任意の L ∈ N に対してある自然数 M(L) が存在して，

m1,m2 ≥M(L) ならば，

−2−L−2∞n=1 = −2−L−2 < αm1 − αm2 < 2−L−2 = 2−L−2∞n=1 (3.50)

となる．(3.50) をもう少し噛み砕こう．2−L−2 > 0 であるから，条件によって

m1,m2 ≥M(L) に対して，N(m1,m2) が存在して，


75

m1,m2 ≥M(L), n > N(m1,m2) ならば，− 2−L−1 < am1,n − am2,n < 2−L−1

となる．特に，n =M(L) + N(m1,m2) ととることで，

|am1,N(m1)+N(m2)+N(m1,m2)−am2,N(m1)+N(m2)+N(m1,m2)

| < 2−L−1 (3.51)

また，条件において，n1 = N(m), n2 = N(m1) +N(m2) + N(m1,m2) とす

ることで，

|am1,N(m1) − am,N(m1)+N(m2)+N(m1,m2)| < 2−m1 (3.52)

また，(3.52) において，添え字 1 と 2 を入れ替えることで，

|am2,N(m2) − am,N(m1)+N(m2)+N(m1,m2)| < 2−m2 (3.53)

となる．

ここで，(3.51) と (3.52) と (3.53) を組み合わせることで，

−2−m1 < am1,N(m1) − am1,N(m1)+N(m2)+N(m1,m2)< 2−m1

−2−m2 < am2,N(m2) − am2,N(m1)+N(m2)+N(m1,m2)< 2−m2

であるから，

m1,m2 ≥ L+ 2 ならば，− 2−L < αm1,N(m1) − αm2,N(m2) < 2−L (3.54)

となる．

(3.54) をもとにして，数列 α = aL,N(L)∞L=1 は有理数のコーシー列であること

を示そう．有理数のコーシー列の定義に戻って，任意に ε > 0 を与える．有理数

ε = L′/L > 0, L, L′ ∈ N と表したときに，L < 2L であるから，2−L < ε とな

る．(3.54) より，m1,m2 ≥ L+ 2 であるなら，

−ε < αm1,N(m1) − αm2,N(m2) < ε (3.55)

であるから，数列 α = aL,N(L)∞L=1 は有理数のコーシー列である．

(2) 【(b) の証明】 limm→∞

αm = α を示そう．収束の定義によって，εk∞k=1 を 0 よ

り真に大きい有理数のコーシー列とする．すると，「コーシー列は 0 より真に大き

い」ということの定義によって，ある N と有理数 ε > 0 が存在して，k ≥ N な

らば，εk ≥ ε が成り立つ．この ε > 0 に応じて L ∈ N を 2−L+1 < ε となるよう

にとる．すると，εk∞k=1 は 2−L+1∞k=1 より，真に大きい．

αm − α = am,n − an,N(n)∞n=1 を調べないといけない．

m を任意に固定する．n ≥ N(m) とする．


76 目次

am,n − an,N(n) = am,n − am,N(m) + am,N(m) − an,N(n) (3.56)

である．ここで，(3.54) において示したように

m,n ≥ L+ 2 ならば， − 2−L < αm,N(m) − αn,N(n) < 2−L (3.57)

である．さらに，N(m) の定義から

n ≥ N(m) ならば， 2−m < αm,n − αm,N(m) < 2−m (3.58)

である．(3.57) と (3.58) より，m ≥ L+ 2 かつ n ≥ L+ 2 のときに

−2−L+1 < αm,n − αn,N(n) < 2−L+1 (3.59)

がいえた．これより，m ≥ L+ 2 のときに，

−εk∞k=1 < −2−L+1 < αm − α < 2−L+1 < εk∞k=1 (3.60)

となる．(3.60) が m ≥ L+ 2 のときに成り立つということは，

limm→∞

αm = α (3.61)

を意味している．

次の事実の方が実数の連続性としては親しみやすいし，知っている人も多いと思うの

で，先ほどの定理を書き換えておこう．

定理 3.24 (有界な単調増大数列の性質) K = kn∞n=1 を有理数のコーシー列，

αm = am,n∞n=1 を有理数のコーシー列なす列とする．もし，

α1 ≤ α2 ≤ · · · ≤ αm ≤ αm+1 ≤ · · · ≤ K (3.62)

が成り立つならば，α = αm∞m=1 は収束する．

証明. α が有理数のコーシー列のコーシー列であることを示せばよい．仮に，そうで

なかったとすると，ある有理数のコーシー列 ε > 0 が存在して任意の M に対してある

m1,m2 が存在して，m1 > m2 ≥ M かつ αm1 − αm2 > ε が成り立つ．これは数列

αm∞m=1 の階差が ε を超えることが無限回あることを意味しているので，αm は m が

大きければ K を超える．これは仮定に反する．本書でははじめにこの性質を認めてしまった.

定理 3.25 (上限の存在) 実数の部分集合 A が次の条件を満たしているとする．

ある M が存在して，a ∈ A ならば，a ≤M となる．


77

このとき，このような M には最小値 M0 が存在する．つまり，次のような条件を満たし

ている M0 が存在する．

(1) a ∈ A ならば，a ≤M0 となる．

(2) m < M0 であるなら，ある a ∈ A が存在して，a > m となる．

証明. 数列 Mn∞n=1 を次のようにして定める．M1 を M0 − n, n = 0, 1, 2, · · · の形の数で 1 番目を満たすものの最小なものとする．M1,M2, · · · ,Mn が定まったとして，

Mn+1 は次のようにして定める．

(1) すべての a ∈ A について，a ≤Mn − 2−n ならば，Mn+1 =Mn − 2−n とする．

(2) そうでなければ，Mn+1 =Mn とする．

すると，Mn − 2−n ≤Mn+1 ≤Mn であるから，

Mn ≥Mn−1−2−n ≥Mn−2−2−n−2−n+1 ≥M1−2−n−2−n+1−· · ·−2−2 ≥M1−2−1

(3.63)

となる．Mn∞n=1 は M1 − 2−1 ≤ Mn となるような減少数列である．したがって，極

限 M0 = limn→∞

Mn が存在する．

a ≤Mn, n = 1, 2, · · · , a ∈ A (3.64)

であるから，a ≤M0 となる．

また，ε1, ε2, · · · ∈ 0, 1 を用いて

M0 =M1 −∞∑j=1

εj2−j

と表されるが，εj = 0 となる j は無数にある．ε1 = ε2 = · · · = 1 とすると，M1 を

M1 − 1 より小さい数で置き換えられたはずだし，εJ = 0, εJ+1 = 1, εJ+2 = 1, · · · なら，MJ+1 を MJ − 2−J で置き換えられたはずであるから，εj = 0 となる j は無数に

ないといけない．(ただし，(3.63) の計算も参考のこと．) すると，m < M0 と仮定する

と，ある j ≥ 1 が存在して，m+ 2−j < M0 かつ εj = 0 となっているはずである．す

ると，εj = 0 より，Mj+1 =Mj である．よって，Mj − 2−j < a となる A の元が存在

する．これは，m ≤M0 − 2−j < a を意味している．よって，2 番目の条件も満たされ

ている．


78 目次

3.3 第 3章のまとめ

有理数のコーシー列とは実数を表すためのデーターの集まりであると説明した．した

がって，有理数のコーシー列とは実数を表していると考えてよい．以上のことを踏まえる

と，次の条件を満たしている集合を有理数全体の集合 Q から構成できたことになる．

【代数構造】任意の α, β, γ に対して，次のことが成り立つ．

(a) 【R の加法群としての構造】

i. 【0 の存在】0 + α = α+ 0.

ii. 【逆元の存在】−α が存在して，α+ (−α) = (−α) + α = 0.

iii. 【結合法則】α+ (β + γ) = (α+ β) + γ.

iv. 【交換法則】α+ β = β + α.

(b) 【環構造】掛け算の演算が定まっていて次の条件を満たす．

i. 【1 の存在】α1 = 1α が成り立つ．

ii. 【結合法則】α(βγ) = (αβ)γ.

iii. 【分配法則】α(β + γ) = αβ + αγ，(α+ β)γ = αγ + βγ.

iv. 【交換法則】αβ = βα.

(c) 【体構造】

i. 0 ではない実数 α に対して，αα−1 = α−1α = 1.

ii. 1 = 0.

【順序構造】

(a) 【全順序集合】

i. α ≤ α.

ii. α ≤ β, β ≤ α ならば，α = β.

iii. α ≤ β, β ≤ γ ならば，α ≤ γ.

iv. α ≤ β もしくは β ≤ α が成り立つ．

(b) 【足し算】α ≤ β ならば，α+ γ ≤ β + γ.

(c) 【掛け算】α ≤ β, 0 ≥ γ ならば，αγ ≤ βγ.

(1) 【R の完備性】任意の上に有界な数列は収束する．上に有界な集合には上限がある．

(2) 【Q の稠密性】Q を真部分集合として含み，Q の数列からなる数列の極限として

表される．


79

われわれは，円周率 π を考えるときそれを近似している有理数を考えないのと同じよう

に以後，実数とは有理数のコーシー列のことと定義はしたもののどのような有理数のコー

シー列かは一切考えない事とする．


第 4 章

Rの性質．

R とは，四則演算ができて，大小関係が定まり，上に有界な集合が上限を R 内でもつ

こととして，特徴付けられた．R を使って，関数の性質を調べる．例えば，本章では平均

値の定理や中間値の定理を直感ではなく，R の特徴付けを用いて厳密に調べていくことに

する．初めに，高校でやっていた中間値の定理を思い出そう．

[中間値の定理] I = [a, b] を閉区間，f : I → R を『連続』関数とする．f(a), f(b)

の間にある任意の数を f は I 上でとることができる．すなわち，γ ∈ R が (f(a)−γ)(f(b) − γ) ≤ 0 を満たしているなら，ある c ∈ I が存在して，f(c) = γ を満

たす．

(f(a)− γ)(f(b)− γ) ≤ 0 がなにを意味しているのかわかりにくい時は次の形に書き換え

ておいてもよい．f(a) > f(b) だとしても，−f を考えればよいからである．

[中間値の定理] f を閉区間 [a, b] 上で定義されている関数とする．このとき，f(a) <

f(b) ならば，任意の γ ∈ [f(a), f(b)] はある c ∈ I が存在して，f(c) = γ を満

たす．

この微積分学の定理は種々の存在を示すのに基本的であるが，証明は『グラフがつながっ

ている』を使って行う．(高校数学ではそのようになっていたはず？)

この定理からもわかるように微積分学の定理は高校数学の範囲だと直感的にしか説明

ができないものが多い．面積，体積，曲線の長さなども極限で書かれているが，これらの

記述も曖昧で，厳密さに欠くところがある．そこで，こういった『曖昧さ』を取り除くた

めに種々の用語を定義してこの『曖昧さ』を排除していく．


81

4.1 基本的な用語とその性質

4.1.1 ユークリッド空間の位相に関する記号

ここでは定義をまとめて述べることにする．初めに，座標が与えられた 2 点の距離を

計算する方法を復習しよう．1 次元では 2 点の距離は座標の値の差の絶対値をとって計

算される．2 次元ではピタゴラスの定理を用いて計算される．(a, b) と (c, d) の距離は√(a− c)2 + (b− d)2 である．3 次元の場合は直方体の対角線の長さの計算方法を思い

出すとわかるようにピタゴラスの定理を 2 回使って計算された．たとえば，(a, b, c) と

(d, e, f) の距離は√(a− d)2 + (b− e)2 + (c− f)2 である．このように次元が増えると

平方して足す項が次元の分だけ増えることになる．

そこで，次の定義をする．

定義 4.1 (ユークリッド空間 Rn ) Rn とは，実数の n 個の対を集めてきて得られ

る集合のことである．したがって，x ∈ Rn とは実数 x1, x2, · · · , xn を用いて x =

(x1, x2, · · · , xn) と表されることを意味する．以後，x = (x1, x2, · · · , xn) と書いたら，x1, x2, · · · , xn ∈ R つまり，x ∈ Rn を意味しているものとする．

例 4.2

(1) n = 2 のときは，実数 x1, x2 を用いて x = (x1, x2) と表される．したがって，R2

とは平面ベクトルの全体のなす集合ことである．これを座標平面と言っていた．

(2) n = 3 のときは，実数 x1, x2, x3 を用いて x = (x1, x2, x3) と表される．したがっ

て，R3 とは空間ベクトルの全体のなす集合のことである．これを座標空間と言っ

ていた．

【注意】ベクトルも矢印がない単なるアルファベットで書くことが多い．矢印がないこと

が多いので気をつけよう．

空間図形 x2 + y2 + z2 < 1 が原点中心の球であることなどを踏まえて，ユークリッド

球を定義する．

定義 4.3 (Rn の演算，ユークリッド球) x, y を Rn におけるベクトル（n 個の実数

が並んでいる）で，a ∈ R, ε > 0 とする．x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn)と表す．


82 目次

(1) 和を x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn) と定める．

(2) スカラー倍を a x = (a x1, a x2, · · · , a xn) と定める．(3) x のノルム (高校数学でいうところのベクトルの長さ) を

∥x∥ = |x| =√x12 + x22 + · · ·+ xn2 =

√n∑

k=1

xk2 (4.1)

と定める．

(4) x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn) の内積を x · y =n∑

j=1

xjyj と定める．

(5) ε > 0 に対して，開球 B(x, ε) と閉球 B(x; ε) を

B(x, ε) = B(x; ε) = y ∈ Rn : ∥x− y∥ < ε

B(x, ε) = B(x; ε) = y ∈ Rn : ∥x− y∥ ≤ ε

と定める．x = 0 のときは，x, や x; を省略して，B(ε), B(ε) と表す．これらの

記号において，x を中心，ε を半径という．B(x, ε), B(x; ε) も人によってどちら

を使うか好みが分かれる．

出てきた用語の補足説明を加えておこう．

例 4.4

(1) R2 において，(a, b) と (c, d) の距離は√(a− c)2 + (b− d)2 である．

(2) R3 において，(a, b, c) と (d, e, f) の距離は√(a− d)2 + (b− e)2 + (c− f)2 で

ある．

(3) Rn の点の列，つまり，点列は

x(k)k∈N = (x(k)1 , x

(k)2 , · · · , x(k)n ) (4.2)

のように表す．

(4) (4.2) のように表された点列と点 x = (x1, x2, · · · , xn) に対して，

limk→∞

∥x− x(k)∥ = 0

と各 j = 1, 2, · · · , n に対して，

limk→∞

x(k)j = xj

が成り立つことは同値である．このように，ノルムには成分ごとの表示を避けて，

ひとまとめにまとめにした方法で表すことができるという利点がある．


83

(5) 多次元においても内積の計算結果は実数値（スカラー）である．

4.1.2 ユークリッド空間における位相

ユークリッド距離なるものを用いると境界の概念を定義できる．『位相』とは一般にもの

の形を記述するために用いられる概念である．たとえば，境界とはその名前の通り，『境』

の意味であるからある集合とその補集合両方に『近く』ないといけない．具体的には次の

とおりである．

定義 4.5 (境界 (点)) A ⊂ Rn の境界 (点) とは，任意の r > 0 に対して

A∩B(x; r) = ∅, Ac ∩B(x; r) = ∅

の両方が成り立つ点 x のことである．境界点全体のなす集合を ∂A と書く．

定義 4.6 ( 内点，開核 (かいかく)(=内部)，閉包 (へいほう)，外点，外部) 部分集

合 A(⊂ Rn) に対して以下の定義をする．

(1) A の点で A の境界点ではない点を内点という．内点全体のなす集合を Int(A) と

書く．Int(A) を開核もしくは内部という．

(2) Rn \ Int(Ac) を A と書き，これを閉包という．

(3) Ac の内点を外点という．外点全体のなす集合を外部という．

x が境界点ではないという条件はある r > 0 が存在して

A∩B(x; r) = ∅ もしくは Ac ∩B(x; r) = ∅

が成り立つことである．仮に，A∩B(x; r) = ∅ が成り立つと，B(x, r) ⊂ Ac となる．

したがって，x ∈ Int(Ac) \ Int(A) となる．したがって，x ∈ Int(A) と x ∈ Int(Ac) と

x ∈ ∂A はどの二つも両立しないから，Rn は Int(A) と Int(Ac) と ∂A に分割される．

したがって，たとえば，A = Int(A)∪ ∂A が成り立つ．

命題 4.7 A ⊂ Rn と x ∈ Rn に対して，以下は同値である．

(1) x ∈ A である．

(2) x に収束する A の点列 xn∞n=1 が存在する．

証明.

(1) x ∈ A とする．x ∈ Int(A) のときは，xn = x, n = 1, 2, · · · とすればよいので，以後 x ∈ ∂A と仮定する．各自然数 n ∈ N に対して，B(x;n−1)∩A = ∅ である


84 目次

から，xn ∈ B(x, n−1)∩A である．したがって，∥xn − x∥ < n−1 であるから，

xn∞n=1 は x に収束して，xn ∈ B(x, n−1)∩A であるから，xn∞n=1 は A の

点列である．よって，条件にかなう点列はたしかに存在する．

(2) x に収束する A の点列 xn∞n=1 が存在したと仮定する．任意に ε > 0 をとると，

limn→∞

xn = x であるから，ある N ∈ N が存在して，∥xN −x∥ < ε である．xN ∈

B(x, ε)∩A であるから，A の定義によって，x ∈ A が示された．

例 4.8 y > x2 という R2(= 平面) 上の図形 A の開核，閉包を求めてみよう．

(1) A を座標平面に表示してみよう．

[A の座標平面表示，境界なし]

(2) A の境界点とはもちろん y = x2 上の点のことである．

[A の境界]

-2 -1 0 1 2-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

(3) A の開核とは A から A の境界を差し引いたものである．

[A の開核]


85

-2 -1 0 1 2-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

(4) A の閉包とは A から A の境界を付け加えたものである．

[A の閉包]

-2 -1 0 1 2-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

例 4.9 y ≥ x2 という R2(= 平面) 上の図形 A の開核，閉包を求めてみよう．


[A の座標平面表示，境界あり]

-2 -1 0 1 2-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0


86 目次


[A の境界]

-2 -1 0 1 2-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0


[A の開核]

-2 -1 0 1 2-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0


[A の閉包]


87

-2 -1 0 1 2-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

例 4.10 y > x2 という R2(= 平面) 上の図形 A の開核，閉包を求めてみよう．


[A の座標平面表示，内点のみからなる．]


[A の境界]

-2 -1 0 1 2-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0


[A の開核]


88 目次


[A の閉包]

-2 -1 0 1 2-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

R において区間は収束などを定義するのに重要な概念であった．そこで，開区間，閉

区間の一般化を与えよう．

定義 4.11 ( 開集合，閉集合) A が内点のみからなる集合のときに A を開集合とい

う．A の補集合 Ac が内点のみからなる集合のときに A を閉集合という．

要するに，開集合とは端のない集合で，閉集合とは端をすべて含む集合のことである．

A の点 x が境界点ではないということは，

A∩B(x; r) = ∅, Ac ∩B(x; r) = ∅

のうち片方が成り立たないことを意味する．しかしながら，x ∈ B(x; r)∩A であるから，A の点 x が境界点ではないということは，

Ac ∩B(x; r) = ∅ つまり B(x; r) ⊂ A

が成り立つことと同値になる．

ここで定義を一部再びまとめながら整理する．


89

定義 4.12 ( 開集合 (再録)，閉集合 (再録)，有界集合，相対開集合) A ⊂ Rn とす

る．

(1) A が開集合であるとは，任意の x ∈ A に対して，ある ε > 0 が存在して，B(x; ε) ⊂A が成り立つことである．

(2) A が閉集合であるとは，Ac = x ∈ Rn : x は A に属さないが開集合であることを意味する．

(3) A が有界集合であるとは，R > 0 が存在して，A ⊂ B(R) が成立することである．

(4) A の開集合とは，A と Rn の開集合の共通部分として表される集合のことである．

このような開集合を相対開集合という．

例 4.13 これまでに出てきた概念を A = x+ y < 1, B = x+ y ≤ 1 を用いて整理する．点と直線の距離の公式を確認しておこう．P : (x0, y0) と ℓ : ax + by + c =

0, ab = 0 に対して，点 P と直線 ℓ の距離は，

d =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2(4.3)

で与えられていた．

(1) A の境界を考える．P = (x0, y0) ∈ Rn が A の境界点であるかどうか場合分けを

して考える．

(a) x0 + y0 = 1 のときを考える．この場合は，(点と直線の距離を与える公式 (4.3)

により)

B

(P,

|x0 + y0 − 1|√2

)⊂ A

である．したがって，P は A の境界点ではない．

(b) x0 + y0 = 1 のときを考える．この場合，r > 0 に対して

(x0, y0) ∈ Ac ∩B(P, r),

(x0 −

1

2r, y0 −

1

2r

)∈ A∩B(P, r)

となる．


90 目次

よって，任意の r > 0 に対して，Ac ∩B(P, r), A∩B(P, r) は空集合ではな

い．したがって，P は A の境界点である．

以上により，∂A = (x, y) ∈ R2 : x+ y = 1 となる．(2) Int(A) を求めよう．また，A が開集合であるかどうか判定しよう．先ほどの考察

より，Int(A) は A の点で境界点ではないものなので，Int(A) = (x, y) ∈ R2 :

x+ y < 1 = A となる．したがって，A は開集合である．

(3) A の外点を求めよう．また，A を求めよう．Ac の境界点ではない点が外点であ

る．Ac の境界点と A の境界点は定義により一致するから，Ac の外点全体のなす

集合は x+ y > 1 で与えられる．よって，A = x+ y ≤ 1 である．(4) 同様な考察をすると，

∂B = x+ y = 1, B = B, Int(B) = x+ y < 1

B の外点全体のなす集合 = x+ y > 1

で B は閉集合であることがわかる．

4.1.3 基本的な性質

定義を覚えながら，次の性質が成り立つか考えながら本文を読んでいくと理解の助け

になるであろう．

定理 4.14 (開集合の基本性質)

(1) ∅,Rn は開集合である．

(2) A,B が開集合であるならば，A∩B も開集合である．(3) Λ(ラムダ) を添え字集合とする．各 λ ∈ Λ に対して，開集合 Aλ が与えられてい

るとする．このとき，∪λ∈Λ

Aλ = x ∈ Rn : あるλ ∈ Λに対して x ∈ Aλ


91

は開集合である．

証明. 証明を始める前に定義を再度確認しておく．E ⊂ Rn が開集合であるとは，条件

『x ∈ E ならば，ある r > 0 が存在して B(x; r) ⊂ E が成り立つ』ことである．

(1) E = ∅,Rn に対してそれぞれ条件を確認することになるが E = ∅ のときは，自動的に条件が成立する (x ∈ E が起きえない) し，E = Rn のときは r = 1 として

自動的に結論が成立するから ∅,Rn は開集合である．

(2) x ∈ A∩B とすると，r1, r2 > 0 が存在して，B(x; r1) ⊂ A，B(x; r2) ⊂ B とな

る．したがって，r = min(r1, r2) とすると，B(x; r) ⊂ A∩B となる．(3) x ∈

∪λ∈Λ

Aλ(= A とおく) ならば，ある λ ∈ Λ が存在して，x ∈ Aλ となる．し

たがって，Aλ が開集合であるから，r > 0 が存在して，B(x; r) ⊂ Aλ となる．

よって，A は開集合である．

定義 4.15 (写像) A ⊂ Rn，B ⊂ Rm とする．f : A → B が写像であるとは，a ∈A に対して，f(a) ∈ B が一つ定まっている事を言う．この場合，A を定義域，B を値

域という．

例 4.16 x ∈ R に対して，f(x) = sinx とおくと，f : R → [−1, 1] は写像で，定義

域は R で，値域は [−1, 1] である．ただし，値域を一番小さい集合 [−1, 1] に拘泥するこ

とはなく，R ということもある．

定義 4.17 (写像による像集合，逆像集合) A ⊂ Rn，B ⊂ Rm とする．写像 f : A→B が与えられたとする．

(1) A0 ⊂ A に対して，B の部分集合を f(A0) = f(a) ∈ B : a ∈ A0 と定める．(2) B0 ⊂ B に対して，A の部分集合を f−1(B0) = a ∈ A : f(a) ∈ B0 と定める．

逆写像 f−1 とは違い，逆像集合 f−1(B) は逆写像 f−1 が存在していなくても定義で

きることに注意しよう．

例 4.18 f(x) = (x2−1)2 で，f : R → R を定めるとき，f−1((−2, 1]) = [−√2,√2]

である．この事情は連立不等式 −2 < (x2 − 1)2 ≤ 1 を解けば，よりはっきりするであ

ろう．

以上が写像に関する基本的な記号の説明である．


92 目次

記号の意味から次のことが成り立つ．

定理 4.19 (像集合，逆像の基本性質) f : X → Y を集合 X から Y への写像とす

る．A,B ⊂ X, C,D ⊂ Y とする．

(1) f(A∪B) = f(A)∪ f(B) が成り立つ．

(2) f(A∩B) ⊂ f(A)∩ f(B) が成り立つ．

(3) f−1(C ∪D) = f−1(C)∪ f−1(D) が成り立つ．

(4) f−1(C ∩D) = f−1(C)∩ f−1(D) が成り立つ．

証明は定義に基づけば明らかなので，省略する．ただし，f(x) = x2 で f : R → R を

定めればわかるように，A = [0, 1), B = (−1, 0] に対して，f(A∩B) = f(A)∩ f(B)

となっている．

4.2 関数の連続性

4.2.1 関数の極限

極限の概念を経由して関数の連続性を定義したい．a を含む開区間 I で定義された関

数 f を考えよう．J ⊂ I を区間としたとき，J での f は区間[infx∈J

f(x), supx∈J

f(x)

]に値をとる．J が小さいなら sup, inf の定義によってこの区間は小さくなる．つまり，

J ′ ⊂ J ⊂ I となる区間 J < J ′ に対して，

infx∈J

f(x) ≤ infx∈J′

f(x) ≤ supx∈J′

f(x) ≤ supx∈J

f(x)

である．そこで，

lim supy→x

f(y) := inf

supx∈J

f(x) : J は I に含まれる開区間

lim infy→x

f(y) := sup

infx∈J

f(x) : J は I に含まれる開区間

と定める．つまり，『J が a に近い時』[

infx∈J

f(x), supx∈J

f(x)

]→[lim infy→x

f(y), lim supy→x

f(y)

]が成り立つことになる．


93

補題 4.20 α ∈ R と a を含む開区間 I で定義された実数値関数 f に対して，次は同

値である．

(1) lim infy→x

f(y) = lim supy→x

f(y) = α

(2) infδ>0

(sup

x∈I, |x−a|<δ

|f(x)− α|)

= 0

証明. (1) を仮定しよう．任意に ε > 0 をとる．すると，lim supy→x

f(y), lim infy→x

f(y)

の定義から，ある x を含む開区間 J1, J2 ⊂ I が存在して， supx∈J1

f(x) < α + ε および

supx∈J2

f(x) > α− ε が成り立つ．開区間 J1 ∩ J2 は x を含むから，ある δ0 > 0 が存在し

て，(x− δ0, x+ δ0) ⊂ (x− t0, x+ t0)∩ J1 ∩ J2 となる．したがって，y ∈ (x− δ0, x+

δ0) なら

α− ε < f(y) < α+ ε

となる．したがって， supx∈I, |x−a|<δ0

|f(x)− α| ≤ ε となる．inf の定義により，

0 ≤ inf0<δ<δ0

(sup

x∈I, |x−a|<δ

|f(x)− α|)

≤ ε

となる．ε > 0 は任意であるから，

inf0<δ<δ0

(sup

x∈I, |x−a|<δ

|f(x)− α|)

= 0

となる．ここで，δ0 の制限を inf から取り払うと，

0 ≤ infδ>0

(sup

x∈I, |x−a|<δ

|f(x)− α|)

≤ inf0<δ<δ0

(sup

x∈I, |x−a|<δ

|f(x)− α|)

= 0

である．よって，(2) が証明できた．

(2) を仮定して，(1) を示そう．任意の ε > 0 に対して，ある δ > 0 が存在して，

supx∈I, |x−a|<δ

|f(x)− α| < ε

となる．任意に x ∈ I ∩(a− δ, a+ δ) をとると，

α− ε < f(x) < α+ ε

となるので，


94 目次

α− ε < lim infy→x

f(y) ≤ lim supy→x

f(y) < α+ ε

が得られる．

定義 4.21 (区間上で定義された一般の関数の極限) a を含む開区間 I で定義された

実数値関数 f に対して，

limx→a

f(x) = α (4.4)

であるとは，

infδ>0

(sup

x∈I, |x−a|<δ

|f(x)− α|)

= 0 (4.5)

であることと定める．

注意 4.22

(1) (4.5) を

limδ↓0

(sup

x∈I, |x−a|<δ

|f(x)− α|)

= 0 (4.6)

と表したいが，limδ↓0は未定義なので， inf

δ>0で代用している．

(2) a を含む開区間 I で定義された実数値関数 f に対して，

limx→a

f(x) = α (4.7)

であるとは，

infδ>0

(sup

x∈I, 0<|x−a|<δ

|f(x)− α|)

= 0 (4.8)

であることと定める流儀もあるが，ここではこの流儀は採用しない．

この極限は次のように書き改められる．

定理 4.23 (点列による極限の書き換え) a を含む開区間 I で定義された実数値関数

f に対して次は同値である．

(1) limx→a

f(x) = α.

(2) I 内の数列 an∞n=1 が limn→∞

an = a を満たしていれば， limn→∞

f(an) = α.

(3) 任意の ε > 0 に対してある δ > 0 が存在して，y ∈ (a − δ, a + δ)∩ I のときに，|f(y)− α| < ε となる．


95

証明. (a):『(1) ならば，(2)』，(b):『(2) ならば，(3)』，(c):『(3) ならば，(1)』を

証明する．

(a) (1) を仮定しよう．数列 an∞n=1 ⊂ I が limn→∞

an = a を満たしているとする．

limn→∞

an = a の定義によって κn = supm≥n

|am − a|, n = 1, 2, · · · は 0 に収束する．

すると，am ∈ y ∈ Rn : |y − a| ≤ κn より，

lim supn→∞

(supm≥n

|f(am)− α|)

≤ lim supn→∞

(sup

|x−a|≤κn

|f(x)− α|)

= limδ↓0

(sup

|x−a|≤δ

|f(x)− α|)

= 0

となる．ゆえに，

0 ≤ lim infn→∞

(supm≥n

|f(am)− α|)

≤ lim supn→∞

(supm≥n

|f(am)− α|)

≤ 0

となり， limn→∞

f(an) = α となる．

(b) (2) を仮定しよう．仮に (3) を否定すると，

ある ε > 0 が存在して，任意の δ > 0 が存在して，y ∈ (x− δ, x+ δ)∩ Iが存在して |f(y)− α| ≥ ε となる．

δ > 0 は任意なので，δ = n−1 に対しての y を yn と書くことにする．すると，

limn→∞

yn = y, limn→∞

f(yn) = α (4.9)

であるから，これは (2) が成り立たないことを意味する．

(c) (3) を仮定しよう．(3) より，任意の ε > 0 に対してある δ0 > 0 が存在して，

supy∈(a−δ0,a+δ0)∩ I

|f(y)− α| ≤ ε (4.10)


infδ>0

(sup

y∈(a−δ,a+δ)∩ I

|f(y)− α|)

≤ ε (4.11)

となる．ε > 0 は任意であるから，

infδ>0

(sup

y∈(a−δ,a+δ)∩ I

|f(y)− α|)

= 0 (4.12)


96 目次

となる．つまり， limx→a

f(x) = α である．

このようにして定めた極限に関しては線形性がある．すなわち，次の公式が成り立つ．

命題 4.24 (極限の線形性) f, g を a を含む開区間 I で定義された実数値関数とする．

α = limx→a

f(x), β = limx→a

g(x) (4.13)

が存在していると仮定する．このとき，実数 k に対して次のことが成り立つ．

limx→a

k f(x) = k α (4.14)

limx→a

(f(x) + g(x)) = α+ β (4.15)

limx→a

f(x)g(x) = αβ (4.16)

(4.14) と (4.15) を合わせて極限の線形性という．(4.16) は線形性とは関係がないが，

証明方法が同じであるのでここで与えておく．

証明. (4.15) のみを示す．定理 4.23 の (2) を用いる．

a に収束する点列 an∞n=1 をとって

limn→∞

(f(an) + g(an)) = α+ β (4.17)

を示せばよい．(4.13) より， limn→∞

f(an) = α と limn→∞

g(an) = β が成立している．した

がって，数列の極限に関する線形性 (命題 2.35) によって，(4.17) は明らかである．今までは f : I → R に対する関数の連続性を調べてきたが，これは Rn の部分集合 A

で定義された Rm 値関数の連続性に一般化できる．

定義 4.25 (Rn の 1 点における写像の極限，) A ⊂ Rn とする．また，写像 f : A→Rm が与えられたとする．a ∈ A とする．

limx→a, x∈A

f(x) = α (4.18)

とは，

infδ>0

(sup

∥x−a∥<δ, x∈A

∥f(x)− α∥)

= 0

が成り立つことである．

次の形に定義を書き換えることも出来る．


97

定理 4.26 (ε-δ による極限の書き換え) A ⊂ Rn とする．また，a ∈ A と写像 f :

A→ Rm が与えられたとする．このときに次は同値である．

(1) limx→a, x∈A

f(x) = α が成り立つ．

(2) 任意の ε > 0 に対してある δ > 0 が存在して，もし，x ∈ A が ∥x − a∥ < δ を

満たすならば，∥f(x)− α∥ ≤ ε となる．

(3) A 内の点列 ann∈N が a に収束していれば，f(an)n∈N は α に収束する．

証明.

(1) (1) を仮定して f が a で連続であるとする．任意に ε > 0 が与えられたとする．

infδ>0

(sup

x∈A, ∥x−a∥<δ

∥f(x)− α∥)

= 0 (4.19)

であるから，inf の定義よりある δ > 0 が存在して

supx∈A, ∥x−a∥<δ

∥f(x)− α∥ < ε (4.20)

が成り立つ．したがって，∥x− a∥ < δ とすると

∥f(x)− f(a)∥ ≤ supy∈A, ∥y−a∥<δ

∥f(y)− α∥ < ε (4.21)

よって，f が (2) の条件を満たしていることがわかる．

(2) f が (2) の条件を満たしていると仮定しよう．このとき，任意の ε > 0 に対し

てある δ0 > 0 が存在して，∥x − a∥ < δ0 ならば，∥f(x) − α∥ ≤ ε となる．し

たがって，ann∈N を a に収束する A 内の点列とすると，ある N が存在して，

n > N のときは，∥an − a∥ < δ0 となるので，∥f(an)−α∥ ≤ ε となる．よって，

f(an)n∈N は α に収束している．これは (3) を意味している．

(3) (3) を仮定しよう．仮に，(1) が不成立であるとすると，左辺を 2κ とすれば，任

意の δ > 0 に対して

sup∥x−a∥<δ, x∈A

∥f(x)− α∥ > κ

が成立する．したがって，δ = n−1 として，ある xn が存在して，

∥xn − a∥ < n−1, ∥f(xn)− α∥ > κ

が成り立つ．したがって，(3) が不成立となってしまうので，(3) を仮定すると，

(1) が成り立つ．


98 目次

2 変数関数の場合に具体的に極限の概念を書き下してみよう．

例 4.27 (2 変数関数の極限値) f を p0 = (p01, p02) ∈ R2 の (除外) 近傍 U で定義

された実数値関数とする. （ p0 = (p01, p02) では定義されていなくてもよい.）α ∈ R が

f(p1, p2) の p0 = (p01, p02) での極限値であるとは，任意の ε > 0 に対して，ある δ >

0 が存在して，0 <√|p1 − p01|2 + |p2 − p02|2 < δ を満たす任意の (p1, p2) ∈ U に対

して

|f(p1, p2)− α| < ε

が成り立つことである. このとき

lim(p1,p2)→(p01,p02)

f(p1, p2) = α

と書く. 【注意】点 p の除外近傍とは p を含む開集合 V を用いて U = V \ p と表される開集合 U のことである．

注意 4.28 lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) と limx→0

f(x, x) の意味は違うので気を付けよう．

4.2.2 関数の連続性

定義 4.29 (連続性，連続写像) A ⊂ Rn とする．また，写像 f : A→ Rm が与えら

れたとする．

(1) a ∈ A とする．f が a で連続であるとは，

infδ>0

(sup

x∈A, ∥x−a∥<δ

∥f(x)− f(a)∥)

= 0 (4.22)

つまり，

limx→a, x∈A

f(x) = f(a) (4.23)


(2) f が A で連続であるとは，A の各点で連続であることである．

関数の極限の定義に α = f(a) とすることで，次のことが言える．

系 4.30 (ε-δ による連続性の書き換え) A ⊂ Rn とする．また，a ∈ A と写像 f :

A→ Rm が与えられたとする．このときに次は同値である．


99

(1) f は a で連続である．

(2) 任意の ε > 0 に対してある δ > 0 が存在して，もし，x ∈ A が ∥x − a∥ < δ を

満たすならば，∥f(x)− f(a)∥ ≤ ε となる．

(3) A 内の点列 ann∈N が a に収束していれば，f(an)n∈N は f(a) に収束する．

定理 4.31 (引き戻しによる連続性の書き換え) A ⊂ Rn を開集合とする．また，写

像 f : A→ Rm が与えられたとする．このときに次は同値である．

(1) f は A で連続である．

(2) 任意の開集合 U ⊂ Rm に対して f−1(U) は A の開集合である．

証明.

(1) f は A で連続であるとしよう．開集合 U が与えられたとする．x ∈ f−1(U) と

する．すると，f(x) ∈ U である．U は開集合であるから，B(f(x); ε) ⊂ U とな

る ε > 0 が存在する．定理 4.33 より，この ε > 0 に対して，ある δ > 0 が存在

して，∥y − x∥ < δ ならば，f(y) ∈ B(f(x); ε) となる．よって，B(f(x); ε) ⊂U であるから，∥y − x∥ < δ ならば，f(y) ∈ U となる．ゆえに，x ∈ B(x; δ) ⊂f−1(U) となる．x ∈ f−1(U) は任意であるから，f−1(U) は開集合である．

(2) 任意の開集合 U ⊂ Rm に対して f−1(U) は A の開集合であるとする．x ∈ A と

する．ε > 0 を任意に取る．U = B(f(x); ε) とする．U は開集合であるから，仮

定によって f−1(U) は開集合である．x ∈ f−1(U) であるから，ある δ > 0 が存

在して B(x; δ) ⊂ f−1(U) となる．したがって，∥x − y∥ < δ ならば，∥f(y) −f(x)∥ < ε となる．よって，f は A で連続である．

系 4.32 U を開集合，Rn の上の実数値連続関数 f : U → R とする．p ∈ U が

f(p) > 0 を満たしていれば，B(p; ε) ⊂ U となる ε > 0 が存在して，f(y) >1

2f(p), y ∈

B(p; ε) となる．

証明. p ∈ f−1(0,∞) で，f は連続であるので f−1((0,∞)) は開集合である．したがっ

て，ある ε > 0 が存在して，B(p; ε) ⊂ f−1((f(p)/2,∞)) ⊂ U となる．閉包の定義によって次のことが成り立つことを復習しておこう．A ⊂ Rn とする．a ∈

Rn につき，次の 2 つは同値である．

(1) a ∈ A.

(2) a に収束する A 内の点列が存在する．


100 目次

見出しにある補題とは，定理などを証明するときに必要とする道具である．補助定理など

とも言われる．

閉包を用いたつぎのような特徴づけもある．

定理 4.33 (閉包による連続性の書き換え) 写像 f : A → Rm が与えられたとする．

このときに次は同値である．

(1) f は A で連続である．

(2) 任意の集合 E ⊂ Rn に対して f(E ∩A) ⊂ f(E ∩A) となる．

証明.

(1) f は A で連続であるとしよう．x ∈ E ∩A∩A とすると，命題 4.7 より，x に収

束する E ∩A の点列 xn∞n=1 が存在する．したがって，f の連続性から

f(x) = limn→∞

f(xn) (4.24)

であるから，f(xn) ∈ f(E ∩A) より，f(x) ∈ f(E ∩A) となる．

(2) 任意の集合 E ⊂ Rn に対して f(E ∩A∩A) ⊂ f(E ∩A) となるとしよう．仮に，f が連続でないとするとある A の点列 xn∞n=1 で

limn→∞

f(xn) = f(x), limn→∞

xn = x ∈ A (4.25)

であるものが存在する．命題 4.7 と xn ∈ E, limn→∞

xn = x より，x ∈ E ∩A で

ある．

limn→∞

f(xn) = f(x) であるから，ε > 0 が存在して，

supn≥m

∥f(xn)− f(x)∥ > ε > 0, m ∈ N (4.26)

となる．これより，

E = xn : n = 1, 2, · · · , ∥f(xn)− f(x)∥ > ε ⊂ A (4.27)

とすると，x ∈ E ∩A であるから，2 の仮定によって f(x) ∈ f(E ∩A) である．しかしながら，これは ∥f(z)− f(x)∥ > ε, z ∈ E に矛盾する．

注意 4.34 極限の計算を点列でやるときには任意に点列を求めないといけない．「・・・

に沿った極限」とやらを 2 通り求め，両者が一致するので極限はその値だと結論付ける

わけには行かない．同じ理屈が罷り通るのであれば，どこかに 2 人だけ真面目な大学生


101

がいれば，任意の大学生は真面目だという結論になる．


102 目次

4.3 各点収束と一様収束

関数 fn : R → R が各 n = 1, 2, 3, . . . に対して与えられたとする．関数列とは数列と

似ているが，数列は数の並びだったのに対して，関数列は関数の並びになっているもの

で，数列と同じく fn∞n=1 などと表す．関数列 fn∞n=1 といっても特別なことはなく，

x の値を止めるごとに，それは単なる数列である．たとえば，fn(x) = xn とするとき，

fn∞n=1 は等比数列 xn∞n=1 からなる関数列である．このように考えれば，−1 < x ≤1 で収束して，それ以外では発散することが理解できるであろう．

Rm 値の関数に対して定義できる概念であるが，ここでは簡単のために，実数値関数に関

して考えることにする．

fn∞n=1 を関数列とする．先ほどの xn∞n=1 の例からもわかるように x に応じて極

限の存在は変わってくる．また，極限値が存在したとしてもそれは x によって違うもの

である．そこで，極限が存在するような x に対しては

limn→∞

fn(x)

と書き，これを極限関数という．xn∞n=1 の例では

f(x) = limn→∞

xn

は −1 < x ≤ 1 で定義されて，x = 1 であるなら 1 となり，そうではないなら 0 となる．

このように，連続関数の極限は不連続になりえる．

ex = limn→∞

(1 +

x

n

)nのように，極限関数も連続になる場合ももちろんある．ここで，

(1) 「関数値」としての収束である各点収束


103

(2) 「関数」としての収束である一様収束

を定義しよう．初学の頃は 2 者の区別は非常に付けづらいが，非常に重要な概念である

ので，例を通じて身につけてほしい．

定義 4.35 ( 各点収束，一様収束)

(1) 区間 I で定義された実数値関数列 fn∞n=1 が f に各点収束するとは，

すべての x ∈ I に対して，limn→∞

|f(x)− fn(x)| = 0 (4.28)


(2) 区間 I で定義された実数値関数列 fn∞n=1 が f に一様収束するとは，

limn→∞

(supx∈I

|f(x)− fn(x)|)

= 0 (4.29)


一様収束する例と一様収束しない例それぞれを例を挙げて説明しよう．

例 4.36 (一様収束する例としない例) 数列の極限を求めるとき，極限が一致する数

列でもとの数列を挟むことによって，極限を求めることができる．この方法を応用して，

一様収束していることを示すことができる．例として，fn(x) = n√x, n ∈ N とおいて

[1, 2] 上の関数列 fn∞n=1 を考えよう．すると，x によらずに，

1 ≤ fn(x) ≤ n√2

が成り立つから，fn(x) は [1, 2] において n → ∞ で 1 に一様収束していると言える．

一般に a < b として，fn(x) = n√x を [a, b] で考えると，x によらずに，

n√a ≤ fn(x) ≤ n

√b

が成り立つから，fn(x) は [a, b] において n→ ∞ で 1 に一様収束しているとわかる．と

ころが，(0, 1] において n → ∞ で 1 に一様収束していない．実際に，先ほどと同じよ

うにして

n√0 ≤ fn(x) ≤ n

√1

となるが，極限が最左辺と最右辺で収束していないからである．ただし，これは直感的な

説明で，挟み方が悪かったと言われればそれまでであるが，実際に，

supx∈(0,1]

|fn(x)− 1| = 1


104 目次

であるから，このような挟み込みは絶対に成り立たないのである．

さらに，fn(0) = 0 だから，x = 0 のときに，fn(x) → 0 となる．したがって，[0, 1]

で fn は連続関数へは各点収束していない．実際に，極限関数は不連続関数 χ(0,1] だから

である．

例 4.37 (一様収束する例)

(1) fn∞n=1 を fn(x) = cosx+sinx

x2 + nで定義する．このとき，この関数列は f(x) =

cosx に一様収束する．少なくとも，各点収束は次のようにして証明できる．x を

定数とみなして，

limn→∞

(cosx+

sinx

x2 + n

)を計算するのである．ここで，∣∣∣∣ sinx

x2 + n

∣∣∣∣ ≤ 1

x2 + n≤ 1

n

であるから，極限は cosx であることがわかる．一様収束するのは次のようにして

証明できる．各点収束の証明に用いた計算と同じような方法である．ここでは，x

に関して一様であることを強調するべく，supx∈Rを考えていることに注意されたい．

supx∈R

|fn(x)− f(x)| = supx∈R

∣∣∣∣ sinx

x2 + n

∣∣∣∣ ≤ 1

n

だから，

limn→∞

(supx∈R

|fn(x)− f(x)|)

= 0

が得られる．

これで関数列 fn∞n=1 が f(x) = cosx で与えられる f に一様収束することが示

されたが，これを視覚化してみよう．

初めに，f2, f5, f10, f20, f のグラフを並べてみる．上からこの順番にグラフが描か

れる．


105

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

これで，fj が f に収束していることが理解できると思う．

次に，このグラフに f − 0.1, f + 0.1 のグラフを並べてみる．

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

7 つのグラフの位置関係に注意すると，f10, f20 が f − 0.1, f + 0.1 のなす帯の内

部にすっぽり収まっているのがわかるであろう．

(2) R 上の関数列 fn∞n=1 を fn(x) =1

n+ sin2 x で定義する．このとき，この関数

列は sin2 x に一様収束する．各点収束は次のようにして証明できる．定数関数な

のでわかりにくいが，

limn→∞

(1

n+ sin2 x

)= sin2 x

だから，f(x) = 0 に fn∞n=1 が各点収束することがわかる．また，

limn→∞

(supx∈R

|fn(x)− f(x)|)

= limn→∞

1

n= 0


106 目次

だから，f(x) = sin2 x に fn∞n=1 が各点収束することがわかる．

これで関数列 fn∞n=1 が f(x) = sin2 x で与えられる f に一様収束することが

示されたが，これを視覚化してみよう．

初めに，f2, f5, f10, f20, f のグラフを並べてみる．上からこの順番にグラフが描か

れる．これで，fj が f に収束していることが理解できると思う．

次に，このグラフに f − 0.1, f + 0.1 のグラフを並べてみる．7 つのグラフの位置

関係に注意すると，f10 が重なるが，f10, f20 が f − 0.1, f + 0.1 のなす帯の内部

にすっぽり収まっているのがわかるであろう．

例 4.38 (各点収束しないが一様収束しない例)

(1) R 上の関数列 fn∞n=1 を fn(x) =x

nで定義する．このとき，この関数列は 0 に

一様収束しない．でも，0 に各点収束している．各点収束は次のようにして証明で

きる．x を定数とみなして，計算すると

limn→∞

x

n= 0

だから，0 に各点収束しているとわかる．ところが，supx∈R

|fn(x)− f(x)| = ∞ だ

から，

limn→∞

(supx∈R

|fn(x)− f(x)|)

= ∞

となる．これで関数列 fn∞n=1 が f(x) = 0 で与えられる f に一様収束しないこ

とが示されたが，これを視覚化してみよう．初めに，f2, f5, f10, f20, f のグラフを

並べてみる．上からこの順番にグラフが描かれる．これで，fj が f に収束してい

ることが理解できると思う．

次に，このグラフに f − 0.1, f + 0.1 のグラフを並べてみる．7 つのグラフの位置

関係に注意すると，f10, f20 が f − 0.1, f + 0.1 のなす帯の内部にすっぽり収まっ

ているのがわかるので，一様収束しているように思えるが実際は違う．区間を拡大

してみると，のようになり，7 つのグラフの位置関係に注意すると，すべてのグラ

フが f − 0.1, f + 0.1 のなす帯の内部にすっぽり収まっていない．

(2) fj(x) = max(x, 0)1j とおく．[−1, 1] で fj は

f(x) =

1 (0 < x ≤ 1 のとき)

0 (−1 ≤ x ≤ 0 のとき)


107

となる関数に各点収束することがわかる．これは一様収束ではない．実際に，

supx∈[−1,1]

|fj(x)− f(x)| = max

(sup

x∈(0,1]

|fj(x)− f(x)|, supx∈[−1,0]

|fj(x)− f(x)|)

= supx∈(0,1]

|fj(x)− f(x)|

= supx∈(0,1]

|fj(x)− 1| = 1


例 4.38 でみたように，連続関数の各点収束極限は連続とは限らない．このような病的

な状況を排除するべく，「一様収束」という用語を導入するのである．一様収束という性質

がもたらす重要な結果として連続性の保存がある．

定理 4.39 (一様収束による連続性の伝播) 区間 I で定義された実数値連続関数列

fn∞n=1 が f に一様収束するなら f も連続である．

証明. 三角不等式 |α+ β| ≤ |α|+ |β| を多用して

|f(x)− f(y)| ≤ |f(x)− fn(x) + fn(x)− fn(y) + f(y)− fn(y)|

≤ |f(x)− fn(x)|+ |fn(x)− fn(y) + f(y)− fn(y)|

≤ |f(x)− fn(x)|+ |fn(x)− fn(y)|+ |f(y)− fn(y)|

すなわち，

|f(x)− f(y)| ≤ |f(x)− fn(x)|+ |fn(x)− fn(y)|+ |f(y)− fn(y)| (4.30)

を得る．これより，

|f(x)− f(y)| ≤ |f(x)− fn(x)|+ |fn(x)− fn(y)|+ |f(y)− fn(y)|

≤(supz∈I

|f(z)− fn(z)|)+ |fn(x)− fn(y)|+

(supz∈I

|f(z)− fn(z)|)

= 2

(supz∈I

|f(z)− fn(z)|)+ |fn(x)− fn(y)|

これの両辺の lim supδ→0

supy∈I

|x−y|<δ

を考えて，

lim supδ→0

(sup

y∈I, |x−y|<δ

|f(x)− f(y)|)


108 目次

≤ lim supδ→0

2

(supz∈I

|f(z)− fn(z)|)+

(sup

y∈I, |x−y|<δ

|fn(x)− fn(y)|)

= 2

(supz∈I

|f(z)− fn(z)|)+ lim sup

δ→0

(sup

y∈I, |x−y|<δ

|fn(x)− fn(y)|)

= 2

(supz∈I

|f(z)− fn(z)|)

を得る．すなわち，

lim supδ→0

supy∈I, |x−y|<δ

|f(x)− f(y)| ≤ 2

(supz∈I

|f(z)− fn(z)|)

(4.31)

これの両辺の lim supn→∞

を考えて，

lim supδ→0

(sup

y∈I, |x−y|<δ

|f(x)− f(y)|)

= lim supn→∞

(lim sup

δ→0sup

y∈I, |x−y|<δ

|f(x)− f(y)|)

≤ lim supn→∞

2

(supz∈I

|f(z)− fn(z)|)

≤ 2 lim supn→∞

(supz∈I

|f(z)− fn(z)|)

= 0

ここで，はじめの等号が成り立つのは第二項が n にはよらない定数実数列の極限を考え

ているからであり，第二の不等号は (4.31) による．最後の等号はまさに一様収束の定義

である．この不等式の最左辺と最右辺を見比べると，

lim supδ→0

(sup|f(x)− f(y)| : y ∈ I, |x− y| < δ) ≤ 0 (4.32)

が得られる．絶対値の中身は必ず 0 以上だから，

lim supδ→0

(sup|f(x)− f(y)| : y ∈ I, |x− y| < δ) ≥ 0 (4.33)

が得られる．(4.32) と (4.33) を組み合わせて

lim supδ→0

(sup|f(x)− f(y)| : y ∈ I, |x− y| < δ) = 0

が得られる．次の定理は極限関数を経由せずに一様収束を判定できるので便利である．

定理 4.40 (コーシー判定法)

(1) Rn の部分集合 A 上の関数列 fj∞j=1 が以下の条件を満たしていたとする．


109

limN→∞

sup

j,k≥N

(supx∈A

|fk(x)− fj(x)|)

= 0

このとき，fj∞j=1 は一様収束する．

(2) Rn の部分集合 A 上の関数列 fj∞j=1 が以下の条件を満たしていたとする．

limN→∞

sup

j,k≥N, k>j

(supx∈A

∣∣∣∣∣ k∑l=j

fl(x)

∣∣∣∣∣)

= 0

極限関数を経由しないこの定理において fj∞j=1 が一様収束することを示しているの

で，収束先の関数を構成する必要がある．この点に注意して証明していく．

証明. (1) が示されれば，(2) はj∑

l=1

fk, j = 1, 2, · · · に適用すれば証明されるので，

(1) を証明しよう．x ∈ A とする．このとき，

limN→∞

(sup

j,k≥N|fk(x)− fj(x)|

)= 0

であるから，fj(x)∞j=1 はコーシー列である．したがって，極限関数は存在している．

任意に自然数 N を止める．すると，

|f(x)− fj(x)| = limk′→∞

|fk′(x)− fj′(x)| ≤ supj′,k≥N

|fk(x)− fj′(x)|


supj≥N

|f(x)− fj(x)| ≤ supj,k≥N

|fk(x)− fj(x)|

となる．N → ∞ として，

limN→∞

(supj≥N

|f(x)− fj(x)|)

= 0

となるので，fj∞j=1 は f に一様収束する．この定理の判定条件を一様収束列に関するコーシーの条件という．

定義 4.41 ( 広義一様収束) Rn の開集合 U 上で定義された実数値関数列 fn∞n=1

が広義一様収束するとは任意の閉球 B で U に含まれるもののうち B 上で一様収束する

ことと定義する．

定義式の論理的関係から次がわかる．


110 目次

命題 4.42 fn∞n=1 が f に一様収束するならば，fn∞n=1 が f に広義一様収束す

る．fn∞n=1 が f に広義一様収束するならば，fn∞n=1 が f に各点収束する．

4.4 コンパクト性

前節で，関数が連続であるとは何かを定義したが，これだけでは，中間値の定理や最大

値の定理を扱うことができない．これは，有界閉区間 [a, b] がもつ性質をより深く掘り下

げないといけないからである．ところで，解析学は一般に無限をどう扱うかを考える学問

である．無限集合は集合が大きく性質を見ることは難しい．それに対して有限集合は数学

的帰納法が使えるなどよい性質を持っている．そこで，有限集合やそれに近い“無限集

合”は性質がよいと考えられる．コンパクト集合は『有限集合に近い無限集合』と言える

のであるが，まずはコンパクト集合の定義から与えよう．

4.4.1 コンパクト集合の定義とハイネボレルの定理

定義 4.43 ( (集合の) 部分族被覆，有限被覆，部分被覆)

(1) 集合の部分族，もしくは，部分集合族 Uλλ∈Λ ⊂ Rn とは

(a) Λ は何らかの集合で

(b) λ ∈ Λ に対して，Rn の部分集合 Uλ が与えられている

ことである．このとき，Uλλ∈Λ を Rn の部分集合族という．

(2) Rn の部分集合族 Uλλ∈Λ ⊂ Rn に対して，∪λ∈Λ

Uλ = x ∈ Rn : 少なくとも一つの λ ∈ Λ につき，x ∈ Uλ (4.34)

と定める．

(3) Rn の部分集合族 Uλλ∈Λ ⊂ Rn に対して，∩λ∈Λ

Uλ = x ∈ Rn : すべての λ ∈ Λ につき，x ∈ Uλ (4.35)

と定める．

(4) Rn の部分集合族 Uλλ∈Λ ⊂ Rn が A の被覆であるとは，

A ⊂∪

λ∈Λ

Uλ (4.36)

が成立することである．さらに，このとき，以下の定義を与える．

(a) Uλλ∈Λ ⊂ Rn が開被覆とは被覆であり，それぞれの集合 Uλ が開集合である


111

ことをさす．

(b) Uλλ∈Λ ⊂ Rn が有限被覆であるとは，Λ が有限であることを意味する．

(c) Λ0 ⊂ Λ とする．A ⊂∪

λ∈Λ0

Uλ のとき，Uλλ∈Λ0 は Uλλ∈Λ の部分被覆と

いう．

定義 4.44 (コンパクト性) A がコンパクトであるとは，A の任意の開被覆が有限部

分被覆を持つことである．

注意 4.45 コンパクト集合を覆う際に，その覆い方はどのようなものであっても，有

限である限りよい．「無駄のある」覆い方もあるかもしれないが，覆い方の効率，たとえ

ば，開集合の個数などは考えない．

用語が抽象的なので，わかりにくいがコンパクト集合の例をみていこう．[−R,R] とは数直線で −R から R までの閉区間を表していたことに注意する．

定理 4.46 (ハイネボレルの定理１) R > 0 につき，

[−R,R]n = x = (x1, x2, · · · , xn) : すべての i = 1, 2, · · · , n につき，−R ≤ xi ≤ R

はコンパクトである．

証明. n に関する帰納法で示す．[−R,R]n の開被覆 Uλλ∈Λ を取る．

(1) 【n = 1 のとき】この被覆に対して，

E =

θ ≥ −R : 有限集合Λ0 ⊂ Λが存在して [−R, θ] ⊂

∪λ∈Λ

Uλが成り立つ

とおいて，κ = supE ≥ −R で定める．もし κ < R であると仮定しよう．Uλ0 は

R の開集合であるから，[κ − ε, κ + ε] ∈ Uλ0 となる λ0 ∈ Λ, ε > 0 を取ること

によって，[−R, κ− ε] と [κ− ε, κ+ ε] を別々に有限個で覆うことが出来るから，


112 目次

κ+ ε ∈ E となる．これは κ の取り方に反する．

(2) 【一般の n に対して】R(θ) = [−R,R]n−1 × [−R, θ] と書くことにして，

E =

θ ≥ −R : 有限集合Λ0 ⊂ Λが存在して R(θ) ⊂

∪λ∈Λ

Uλが成り立つ

とおく．κ = supE とおく．帰納法の仮定によって κ > −R が得られる．仮に，κ < R と仮定する．帰納法の仮定によってある ε > 0 が存在して，[−R,R]n−1 ×[κ−ε, κ+ε] は有限の部分被覆を持つ．κ の定義によって，[−R,R]n−1× [−R, κ−ε] も有限の部分被覆を持つ．したがって，[−R,R]n−1 × [−R, κ+ ε] は有限の部

分被覆を持つので，κ の取り方に反する．したがって，[−R,R]n は有限の部分被覆を持つ．

以上により，[−R,R]n はコンパクトであると証明された．Rn のコンパクト集合は次のように言い換えができる．

定理 4.47 (ハイネボレルの定理２) A ⊂ Rn につき，次は同値である．

(1) A は有界閉集合である．

(2) A はコンパクトである．

証明.

(1) A がコンパクトであるとする．

(a) A ⊂∞∪

n=1B(0, n) で B(0, 1) ⊂ B(0, 2) ⊂ · · · であるから，ある N が存在して，

A ⊂ B(0, N) となる．ゆえに，A は有界集合である．

(b) x /∈ A としよう．すると，A ⊂∞∪

n=1(Rn \B(x, n−1)) で，

B(x, 1) ⊃ B(x, 2−1) ⊃ · · · ⊃

であるから，ある N が存在して，A ⊂ Rn \B(x,N−1)，つまり B(x,N−1) ⊂Rn \ A となる．1)以上より，Rn \ A は開集合である．つまり，A は閉集合である．

(2) A を有界閉集合であるとする．Uλλ∈Λ を A の開被覆とする．A が有界である

から，A ⊂ |x1|, |x2|, · · · , |xn| ≤ R となる R > 0 をとることができる．する

と，Uλ ∪Acλ∈Λ は閉立方体 |x1|, |x2|, · · · , |xn| ≤ R の開被覆となる．した

1)仮に，B(x,N−1)∩A = ∅ と仮定すると，A の点で，B(x,N−1) に属するものがあるが，

これは，A ⊂ Rn \B(x,N−1) に矛盾している．


113

がって，|x1|, |x2|, · · · , |xn| ≤ R のコンパクト性によって，有限集合 Λ0 ⊂ Λ

が存在して，Uλ ∪Acλ0∈Λ は |x1|, |x2|, · · · , |xn| ≤ R の開被覆となる．このとき，Uλλ0∈Λ は A の開被覆となる．以上より，A はコンパクトである．

4.4.2 コンパクト集合と連続性

コンパクトという概念を導入したが，これは重要な概念である．連続性とコンパクト性

が組み合わさると何が言えるかを整理しよう．

定理 4.48 (コンパクト性の保存) A ⊂ Rn をコンパクト集合とする．f : A → Rm

が連続写像のときに，f(A) はコンパクト集合である．

証明. f(A) ⊂∪

λ∈Λ

Uλ ⊂ Rmとなる Rm の開集合族 Uλλ∈Λ が与えられたとす

る．A ⊂ f−1(f(A)) ⊂∪

λ∈Λ

f−1(Uλ) が成り立つ．f が連続であるから，f−1(Uλ)λ∈Λ

は A の開被覆である．A のコンパクト性から，有限集合 Λ0 ⊂ Λ が存在して，A ⊂∪λ∈Λ0

f−1(Uλ) となる．f(A) ⊂∪

λ∈Λ0

f(f−1(Uλ)) ⊂∪

λ∈Λ0

Uλ であるから，f(A) はコン

パクトであるとわかる．

例 4.49 定理 4.46 と定理 4.48 から，f を [0, 1] から R2 への連続写像とするとき，

f([0, 1]) は有界閉集合である．

ワイエルストラスの定理は有界閉区間に対して述べられているが，これはこのような

形に一般化できる．

定理 4.50 (ワイエルストラスの定理の一般化) コンパクト集合上定義された実数値

連続関数は最大値 (最小値) を取る．

証明. 定理 4.48 の記号を用いる．ただし，今は実数値関数を考えているので，m = 1

となる．定理 4.47 より，f(A) は有界であるから，上限 M が存在する．仮に，f(x) <

M とすると，A =∪

k∈Nf−1((−∞,M − k−1) が成り立つ．A がコンパクトであるから，

ある k1, k2, · · · , kL が存在して，

A = f−1((−∞,M − k1−1)∪ f−1((−∞,M − k2

−1)∪ · · · ∪ f−1((−∞,M − kL−1)


114 目次

が成り立つ．これより，f(x) ≤ M −max(k1, k2, · · · , kL)−1 となるが，この不等式か

ら，M = supx∈A

f(x) ≤M −max(k1, k2, · · · , kL)−1となり，矛盾が生じる．

定理 4.46 より，有界閉区間はコンパクト集合であるから，当然次のことが成り立つ．

系 4.51 有界閉区間上定義された実数値連続関数は最大値 (最小値) を取る．

定義 4.52 (一様連続) A ⊂ Rn とする．また，写像 f : A→ Rm が与えられたとす

る．f が A で一様連続であるとは，

limδ↓0

(sup

x,x′∈A, |x′−x|<δ

∥f(x′)− f(x)∥)

= 0 (4.37)

つまり

infδ>0

(sup

x,x′∈A, |x′−x|<δ

∥f(x′)− f(x)∥)

= 0 (4.38)


例 4.53 (一様連続関数) δ ↓ 0 のときに， supx,y≥0, |x−y|≤δ

|√x−√

y| =√δ → 0 であ

るから，√x : [0,∞) → [0,∞) は一様連続である．

以下の 2 例において，グラフがつながっているという考え方から，連続であることは

理解できると思う．

例 4.54 (一様連続ではない連続関数) f(x) = x2 は一様連続ではない．実際に，

supy∈(x−δ,x+δ)

|f(y)− f(x)| ≥ (x+ δ)2 − x2

よって，任意の δ に対して，

supx∈R

supy∈(x−δ,x+δ)

|f(y)− f(x)| = ∞

である．この状況をグラフを介して見てみる．はじめに，グラフは以下の図のようにな

る．グラフの一部分を見ていても一様連続ではないことが理解出来ないので，複数の箇所

のグラフを並べてみる．

[17 ≤ x ≤ 19 のグラフ]


115

17.5 18.0 18.5 19.0

300

310

320

330

340

350

360

[100 ≤ x ≤ 101 のグラフ]

100.2 100.4 100.6 100.8 101.0

10 050

10 100

10 150

10 200

x が 1 だけ変化するときに，どれだけ関数値が変化するか見てみると状況がわかると思

う．グラフを見る時に，座標軸の幅が縦と横で違うことに注意せよ．

例 4.55 (一様連続ではない連続関数) f(x) = sin(x2) は一様連続ではない．任意に

δ > 0 を取るとき，N−1 < δ となる自然数 N を取れる．このとき、n = 10N2 とおく

と，非常に大雑把に見積もって、√2nπ +

π

2−√2nπ − π

2=

π√2nπ + π/2 +

√2nπ − π/2

<π√20N2

< δ

である．また，

f

(√2nπ +

π

2

)− f

(√2nπ − π

2

)= 2


116 目次

である．よって，

supx,y∈R, |x−y|<δ

|f(x)− f(y)| ≥ f

(√2nπ +

π

2

)− f

(√2nπ − π

2

)= 2

となる．よって，f は一様連続ではない．

この状況をグラフを介して見てみる．はじめに，グラフは以下の図のようになる．

2 4 6 8 10

-1.0

-0.5

0.5

1.0

グラフを見ればわかるように，x が大きいと振動が激しくなる．直感的には，このことが

一様連続ではない説明である．

次のことは定義より明らかであろう．

定理 4.56 (一様連続性の ε-δ による書き換え) A ⊂ Rn とする．また，a ∈ A と写

像 f : A→ Rm が与えられたとする．このときに次は同値である．

(1) f は A で一様連続である．

(2) 任意の ε > 0 に対してある δ > 0 が存在して，任意の x, x′ ∈ A につき，|x −x′| < δ ならば，|f(x)− f(x′)| ≤ ε となる．

一様連続というものはイメージがしにくいが，R 上の関数の場合は次のように考える

ことができる．定義によって，ある δ > 0 が存在して，|x − y| < δ ならば，|f(x) −f(y)| < 1 となる．したがって，f(x) は直線とは違うものの増大度において直線と同じ程

度の増大になる．例えば，この考察より f(x) = x3 は一様連続ではない．また，f(x) =

sinx は | sinx− sin y| ≤ |x− y| であるから，一様連続となる．

定理 4.57 (ルベーグ数) K を Rn のコンパクト集合とする．Uλλ∈Λ を開被覆と


117

するとき，次の条件を満たしている数 δ > 0 が存在する．x, y ∈ K かつ |x− y| ≤ δ な

らば，x, y ∈ Uλ となる λ ∈ Λ が存在する．

定義 4.58 この定理 4.57 に現れている δ > 0 を被覆 Uλλ∈Λ のルベーグ数という．

証明. K はコンパクトであるから，有限部分集合 Λ0 ⊂ Λ が存在して Uλλ∈Λ0 がや

はり K の開被覆になる．そこで，

f(k) = supr > 0 : B(k, r) ⊂ Uλ, ∃λ ∈ Λ0, k ∈ Rn (4.39)

とおく．|f(k)− f(k′)| ≤ |k− k′| をはじめに示そう．対称性より，f(k) ≤ f(k′) + |k−k′| を示せばよい．任意に ε > 0 を固定する．すると，f(k) の定義式より，

B(k, f(k)− ε) ⊂ Uλ (4.40)

が成立する．したがって，

B(k′, f(k)− ε− |k − k′|) ⊂ B(k, f(k)− ε) ⊂ Uλ (4.41)

だから，

f(k)− ε− |k − k′| ∈ r > 0 : B(k, r) ⊂ Uλ, ∃λ ∈ Λ0 (4.42)

したがって，

f(k)− ε− |k − k′| ≤ f(k′) (4.43)

となる．ε > 0 は任意だったから

f(k) ≤ |k − k′|+ f(k′) (4.44)

が示された．

f : K → (0,∞) はコンパクト集合 K 上の連続関数だから最小値をもつ．その値を 2δ

とする．すると，B(x, δ) ⊂ Uλ が得られる．x, y が |x− y| < δ を満たしている時，x ∈B(x, δ) ⊂ Uλ となるので，x, y ∈ Uλ が得られる．

定理 4.59 (連続の一様性) コンパクト集合上定義された実数値連続関数は一様連続

である．

証明. f が I の各点で連続であるから，任意の x ∈ I, ε > 0 に対してある δx > 0 が

存在して

y ∈ I, |x− y| < δx =⇒ |f(x)− f(y)| < ε (4.45)

が成立する．したがって，Ix = (x− δx, x+ δx) とおけば，


118 目次

y, z ∈ Ix ∩ I =⇒ |f(y)− f(z)| < 2ε (4.46)

が成り立つ．

そこで，Izz∈I のルベーグ数 (定理 4.57) を δ とおくと，|x − y| < δ, x, y ∈ I の

とき x, y ∈ Iz となる z ∈ I が存在するので，

|f(x)− f(y)| < 2ε (4.47)

が成立する．以上より，任意の ε > 0 に対して，ルベーグ数 δ > 0 は

x, y ∈ I, |x− y| < δ =⇒ |f(x)− f(y)| < ε (4.48)

を満たしている．以上より f は I 上で一様連続である．

4.5 連結性

今度は中間値の定理を記述したい．その際に重要になるのが連結性という概念である．

定義 4.60 ( 連結集合，不連結集合，弧状連結集合，領域) A ⊂ Rn とする．

(1) A が不連結であるとは，次の条件を満たしている Rn の開集合 U, V ⊂ Rn が存在

することである．

A = (A∩U)∪(A∩V ), (A∩U)∩(A∩V ) = ∅, (A∩U), (A∩V ) = ∅. (4.49)

つまり，A が不連結であるとは，A の空ではない開集合の互いに交わらない和とし

て表されることである．【注意】ここでは，相対開集合の言葉を用いずに書いている．

(2) A が連結であるとは，A が不連結ではないことである．

(3) A が弧状連結であるとは，任意の p, q ∈ A に対して連続関数 γ : [0, 1] → A が存

在して，γ(0) = p, γ(1) = q が成立することである．このような γ を連続曲線と

いう．

(4) 弧状連結である開集合を領域という．

連結集合の反対語を与える接頭語は『不』であるから，注意しよう．また，領域とい

う言葉は高校数学で使った用法とは違うので，注意しよう．つまり，2 変数の関数 z =

f(x, y) の定義域は，x, y の組 (x, y) が変化する範囲であるから，xy 平面に広がりをもっ

たある範囲と考えられる．このような範囲も一般に領域と呼ぶことがある．領域は 1 つ

の文字 D などで表すが，この点においては変更はない．領域は通常境界となる曲線を含

めないで考えるが，領域にその境界を付加した場合は，閉領域と呼ぶことも多い．


119

直感的には明らかであるが，次の定理を証明しておこう．連結である例を与えておくこ

とにする．

定理 4.61 (R の連結性) R は連結である．

証明. 仮に不連結だとすると，次の条件を満たしている開集合 U, V が存在する．

R = U ∪V, U ∩V = ∅, U, V = ∅. (4.50)

a ∈ U, b ∈ V として，l = sup(U ∩[a, b]) とする．l ∈ U, l ∈ V のどちらかが成り立た

ないといけないが，どちらにせよ矛盾が起きる．

(1) l ∈ U とする．b ∈ V であるから，V が R の開集合であることにより，ある ε >

0 が存在して，B(b; ε) = (b − ε, b + ε) ⊂ V である．よって，l < b である．U

が開集合であるから，ある ε > 0 に対して (l − ε, l + ε) ⊂ U ∩[a, b] となる．したがって，l + ε/2 ∈ U ∩[a, b] となる．これは，l の定義に矛盾する．

(2) l ∈ V とする．a /∈ V であるから，l > a である．U が開集合であるから，ある ε >

0 に対して (l−ε, l+ε) ⊂ V ∩[a, b] となる．したがって，(l−ε/2, l]∩(U ∩[a, b]) =∅ となる．これは，l の定義に矛盾する．

以上より R は連結であると証明された．

定理 4.62 (弧状連結集合の連結性) Rn の弧状連結集合は連結である．

証明. Rn の弧状連結集合 A が不連結ならば，次の条件を満たしている開集合 U, V が

存在する．

A = (A∩U)∪(A∩V ), (A∩U)∩(A∩V ) = ∅, (A∩U), (A∩V ) = ∅. (4.51)

a ∈ A∩U, b ∈ A∩V を任意に取る．A が弧状連結集合であるから，ある連続曲線γ : [0, 1] → A が存在して γ(0) = a, γ(1) = b ∈ Rn が成立する．γ(t) = a, t ≤0, γ(t) = b, t ≥ 1 として定義域を伸ばしておく．このとき，U∗ = [0, 1]∩ γ−1(U), V ∗ =

[0, 1]∩ γ−1(V ) とおくと，

[0, 1] = U∗ ∪V ∗, U∗ ∩V ∗ = ∅, U∗ ∋ a, V ∗ ∋ b

となる．この式によって [0, 1] は不連結となるがこれは定理 4.61 に矛盾である．弧状連結である集合は非常に多い．区間，Rn はその例である．

定理 4.63 (Rn，R の区間の連結性) Rn は連結である．R の区間も同様に連結である．


120 目次

証明. どちらの場合も集合が弧状連結であるからである．R の連結集合を特徴付けておこう．

定理 4.64 (R の連結集合の特徴づけ) R の連結集合は区間である．

証明. I を R の連結集合とする．I が区間でないならば，inf I < a < sup I となる a

で I に属さないものが存在する．このとき，

I = ((−∞, a)∩ I)∪((a,∞)∩ I) (4.52)

と表せばわかるように，I は不連結である．さらに，R の開集合の特徴を区間でできる．

定理 4.65 (R の開集合の特徴づけ) R の開集合は互いに交わらない高々可算個の開

区間の和集合として表される．ただし，R, (a,∞), (−∞, a) の形の無限区間も開区間であ

るとする．

証明. G ⊂ R を開集合とする．G 上の 2 項関係 ∼ を

x ∼ y ⇐⇒ x, y を端点とする区間が G に含まれる (4.53)

によって定めると，これが同値関係であることはすぐにわかる．つまり，

(1) x ∼ x

(2) x ∼ y ならば，y ∼ x

(3) x ∼ y, y ∼ z ならば x ∼ z

各 x ∈ G に対し，x が属する同値類を Gx と書けば，

Gx = y ∈ G : x, y を端点とする区間が G に含まれる (4.54)

が成り立つ．これより，Gx が連結集合つまり区間である．また，G が開集合であること

から，Gx も開集合になる．従って，Gx は開区間である．異なる同値類どうしは交わる

ことがないから，任意の x, y ∈ G に対し，Gx = Gy あるいは Gx ∩Gy = ∅ のいずれかが成り立つ．これより，G が互いに共通部分をもたない開区間の合併集合として表され

ることがわかる．Q に番号をつけて，qi∞i=1 とするとき，Gx 7→ mini : qi ∈ Gx は単射であるから，Gxx∈G は重複分を除けば高々可算である．開集合に関してはこれらの概念は一致する．

定理 4.66 (Rn の開集合の連結性の言い換え) 開集合 G ⊂ Rn に対して次は同値で

ある．


121

(1) G は連結である．

(2) G は弧状連結である．

(3) G は領域である．

証明. すでに示したことから，連結開集合が弧状連結であることを示せば証明が完了す

る．対偶をとって，Rn 内の空でない開集合 G が弧状連結でないとする. G が連結でな

いことを示そう. G の点 a を１つとり, 固定する. a と x を結ぶ G 内の連続曲線が存在

するような点 x ∈ G の全体を U とし, V = G \ U とおく. すると

G = U ∪V, U ∩V = ∅, U = ∅, V = ∅

である. まず任意の点 x に対し, B(x; ϵ) ⊂ G となるような ϵ > 0 がとれる. B(x; ϵ) の

任意の点 y に対して, a と x を結ぶ連続曲線と x と y を結ぶ線分をつなぐと, a と y を

結ぶ連続曲線が得られる. よって B(x; ϵ) ⊂ U となるので, U は開集合である. 次に V

の任意の点 x に対しても B(x; ϵ) ⊂ G となるような ϵ > 0 がとれる. B(x; ϵ) のなかに

U に属する点 y が存在したとすると, a と y を結ぶ連続曲線 γ0 : [0, 1] → U が存在す

る. この曲線に y と x を結ぶ線分 γ1 : [1, 2] → U でつなぐと,

γ(t) =

γ0(t) 0 ≤ t ≤ 1

γ1(t) 1 ≤ t ≤ 2

で与えられる a と x を結ぶ G 内の連続曲線 γ : [0, 2] → U が得られ, x ∈ V に矛盾す

る. よって B(x; ϵ)∩U = ∅. これより B(x; ϵ) ⊂ V . ゆえに V は開集合である. G が空

でない 2 つの開集合 U , V に分離されるので, G は連結ではない.

定理 4.67 (連結性の保存) A ⊂ Rn を連結集合とする．f : A → Rm が連続写像の

とき，f(A) は連結集合である．

証明. もし，f(A) が不連結であるなら，開集合 U, V ⊂ Rm が存在して，

f(A) ⊂ U ∩V, f(A)∩U = ∅, f(A)∩V = ∅, f(A)∩U ∩V = ∅ (4.55)

となる U, V が存在する．すると，

A = f−1(U)∪ f−1(V ), f−1(U), f−1(V ) = ∅, f−1(U ∩V ) = ∅ (4.56)

となるので，A は不連結となる．折れ線とは，有限個の線分の端点をつないで得られるパラメータ曲線のことであると

する．先ほどの証明で，連続曲線を折れ線に置き換えて考えることで次のことがわかる．


122 目次

系 4.68 G を領域とするとき，G の任意の 2 点は折れ線でつなげる．

次の定理は中間値の定理の一般化である．証明は今までに示したことより得られる．

定理 4.69 (中間値の定理１) A ⊂ Rn を領域とする．また，f : A→ R を連続関数

とする．このとき，f(A) は区間である．

証明. 定理 4.67 により，f(A) は連結集合である．f(A) は R の連結集合だから，定

理 4.64 により，f(A) は区間となる．

4.6 中間値の定理，ワイエルストラスの定理とその応用

今まで得られたことを連結コンパクト集合である区間に適用する．

定理 4.70 (中間値の定理，ワイエルストラスの定理) I = [a, b] を閉区間，f : I →R を連続関数とする．

(1) 　（中間値の定理）f(a), f(b) の間にある任意の数を f は I 上でとることができ

る．すなわち，γ ∈ R が (f(a) − γ)(f(b) − γ) ≤ 0 を満たしているなら，ある

c ∈ I が存在して，f(c) = γ を満たす．

(2) 　（ワイエルストラスの定理）f は I 上で最大値と最小値を取る．

証明. (1) は定理 4.69 と同じ方法で証明ができる．(2) は定理 4.48 と定理 4.67 と定

理 4.47 を組み合わせて得られる．初めに，f(I) は定理 4.67 により，連結集合であるが，

f(I) は定理 4.48 よりコンパクト集合である．したがって，f(I) は定理 4.47 により有

界閉集合であるから，f(I) には最大値，最小値が存在する．中間値の定理を応用すると，自然数 m に対して m 乗根が定義できる．

定理 4.71 (m 乗根の存在) m を 2 以上の整数とする．また，a > 0 とする．このと

き，方程式 xm = a は唯一の実数解をもつ．この解 x を m√a と記す．

証明. f(x) = xm とすると，f(0) = 0, f(a+ 1) = (a+ 1)m > a であるから，中間

値の定理より f(x) = a となる x > 0 が存在する．一意性は f の x > 0 における単調性

から明らかである．このように，一見したところ直感的に明らかに見える事項を，きちんと証明，あるい

は，反証するためには数学が貯えてきたものは多い．


第 5 章

1変数の微分法

5.1 微分可能性

ここでは，微分可能性について整理する．微分可能性は極限の概念が一度きちんと定ま

ると簡単にいろいろな性質が求まるが，実際にこのような事情を詳しくみていくことと

する．

定義 5.1 (微分可能) I = (a, b) を開区間とする．f が c ∈ (a, b) で微分可能である

とは，

f ′(c) = limx→c

f(x)− f(c)

x− c(5.1)

が存在することを言う．これは，

limx→c

∆f,c(x) = 0 (5.2)

となる関数を用いて

f(x) = f(c) + (x− c)f ′(c) + (x− c)∆f,c(x) (5.3)

と表されることと同値であることに注意しよう．

場合によっては，左右の極限が存在して、一致するということと考えるとわかりやすい

かもしれない．(5.1) が速度，グラフの傾きを表すことはよく知られているであろう．

(5.3) より次のことは明らかである．

定理 5.2 (微分可能関数の連続性) I = (a, b) を開区間とする．f が微分可能である

とする．このとき，f は連続である．

定理 5.3 (微分の公式) 次の公式が成り立つ．f(x), g(x) を関数，

(1) (f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)

(2) (a f(x))′ = a f ′(x)


124 目次

(3) (f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

(4) g′(x) = 0 とする．

(f(x)

g(x)

)′

=f ′(x)

g(x)− f(x)g′(x)

g(x)2=f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g(x)2

また，k をを自然数とするとき，xk = k xk−1 が成り立つ．さらに，定数関数の微分は 0

である．

証明. 証明はよく知られているから省略する．(5.3) による微分の定義のメリットは合成関数の微分の証明を厳密にできるところであ

る．以下の定理において

limh→0

f(g(x+ h))− f(g(x))

h= lim

h→0

f(g(x+ h))− f(g(x))

g(x+ h)− g(x)limh→0

g(x+ h)− g(x)

h

として計算したくなるが，g(x+ h)− g(x) = 0 となる可能性があるので，証明が破たん

してしまう．次の証明ではこの欠点を克服している．

定理 5.4 (連鎖率，合成関数の微分) I, J を R の区間とする．f : I → J, g : J →R を微分可能な関数とするとき，g f : I → R は微分可能で，

f(g(x))′ = f ′(g(x))g′(x) (5.4)

が成り立つ．

証明. (5.3) を f, g に関して書き表すと，

f(x) = f(c) + (x− c)f ′(c) + (x− c)∆f,c(x), limx→c

∆f,c(x) = 0 (5.5)

g(y) = g(f(c)) + (y − f(c))g′(f(c)) + (y − f(c))∆∗g,f(c)(y), lim

x→c∆∗

g,f(c)(x) = 0

(5.6)

となる ∆f,c,∆∗g,f(c) が存在する．したがって，y = f(x) を代入して，

g(f(x)) = g(f(c)) + ((x− c)f ′(c) + (x− c)∆f,c(x))g′(f(c))

+ ((x− c)f ′(c) + (x− c)∆f,c(x))∆∗g,f(c)(f(x))

となるから，

∆∗∗gf,c(x) = ∆f,c(x)g

′(f(c)) + (f ′(c) + ∆f,c(x))∆∗g,f(c)(f(x)) (5.7)

とおけば，

g(f(x)) = g(f(c)) + (x− c)g′(f(c))f ′(c) + (x− c)∆∗∗gf,c(x) (5.8)


125

となる．よって，(5.4) が成り立つ．高階導関数の定義は 1 階微分の帰納的適用で得られる．

定義 5.5 (高次導関数) n ≥ 2 のとき，f (n) を f (n−1) の微分として帰納的に定義し

ていく．f′′などの記号も必要に応じて使う．

2 階微分がアクセル，つまり加速やブレーキ，つまり減速に対応する．

関数 f に導関数 f ′ が存在して f ′ が連続なら、f は C1-級という．

f(t) =

t2 sin

1

t(t = 0 のとき)

0が示すように，1 回微分可能であるからといって，

C1-級とは限らないので注意しよう．

5.2 平均値の定理

平均値の定理などを示すには次の定理が基本的である．

定理 5.6 I = (a, b) を開区間とする．f が微分可能で最大値もしくは最小値を x =

c ∈ I で取るとする．このとき，f ′(c) = 0 である．

証明. 最大値をとる場合を考えれば，不等号の向きを変えることによって最小値の場合

も同じように証明されることがわかる．f(x) ≤ f(c), x > c によって，

f ′(c) = limh↓0

f(c+ h)− f(c)

h≤ 0

となる．同様に，f(x) ≤ f(c), x > c によって，

f ′(c) = limh↑0

f(c+ h)− f(c)

h≥ 0

となる．これらの不等式を組み合わせれば f ′(c) = 0 となる．

定理 5.7 (平均値の定理) a, b ∈ R が a < b を満たしているとする．f : [a, b] → R

が連続で，f は (a, b) で微分可能であるとする．このとき，

a < c < b,f(b)− f(a)

b− a= f ′(c) (5.9)

を満たしている実数 c が存在する．


126 目次

f(a) = f(b) の場合を 1730 年代に発見されたロル (Rolle) の定理という．再び直線上

の自動車の運動を考えると，任意の 2 つの時刻をとめて平均速度を考えると自動車がそ

の平均速度になることが必ずあるということを平均値の定理は主張している．

証明. g(x) = f(x)− f(b)− f(a)

b− a(x− a) とおくと，g(a) = g(b) = f(a) となる．し

たがって，g は (a, b) で最大値を持つ．1)その点を x = c とすると，定理 5.6 によって

g′(c) = 0 となる．

注意 5.8 平均値の定理は正しく覚えよう．

(A) 【間違えた平均値の定理】コンパクトな区間 [a, b] において，定義されている

実数値関数 f が与えられている．f が開区間 (a, b) で微分可能ならば，f ′(c) =

f(b)− f(a)

b− aとなる c が (a, b) において存在する．

(B) 【誤答の理由】反例がある．a = 0, b = 1, f(x) =

x (x = 0, 1)

10 (x = 0, 1)

系 5.9

(1) f : (a, b) → R が微分可能で導関数が恒等的に 0 に等しいならば，f(x) は定数で

ある．つまり，f ′(x) ≡ 0 ならば，f(x) = c（c は定数）である．

(2) f : (a, b) → R が 2 回微分可能で導関数が恒等的に 0 に等しいならば，f(x) は一

次関数である．つまり，f ′′(x) ≡ 0 ならば，f(x) = a x+ b（a, b は定数）である．

(3) f : (a, b) → R が微分可能で導関数が f ′(x) = a f(x) を満たすならば，f(x) =

C eax となる．

証明.

(1) x, c ∈ (a, b) とする．平均値の定理より f(x)− f(c) = f ′(d)(x− c) となる d が

x と c の間に存在する．f ′(d) = 0 だから，f(x) = f(c) となる．

(2) 1 より，f ′(x) = f ′(c) となる．したがって，(f(x) − f ′(c)x)′ = 0 である．も

う一度 1 を使って，f(x) − f ′(c)x = f(c) − f ′(c)c となる．以上より，f(x) =

f ′(c)x+ f(c)− f ′(c)c が得られた．

(3) g(x) = e−axf(x) に (1) を適用せよ．

1)最小値をもつこともワイエルシュトラスの定理によって示されているが，ここでは不要で

ある．


127

定理 5.10 (コーシーの平均値の定理) a, b ∈ R が a < b を満たしているとする．

f, g : [a, b] → R が連続で，f, g は (a, b) で微分可能であるとする．さらに，g′ は (a, b)

において 0 にならないとする．このとき，

a < c < b,f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(c)

g′(c)(5.10)

を満たしている実数 c が存在する．

定義 5.11 ( C1-級，Ck-級，C∞-級) a, b ∈ R が a < b を満たしているとする．f :

(a, b) → R が C1-級とは f は (a, b) で微分可能で，導関数 f ′ が連続であることを言う．

f が k 階までの導関数をもち，導関数すべてが連続の時，f は Ck-級と言う．記号として，

f ∈ Ck((a, b)) と表す．C∞-級とは，すべての k に対して，Ck-級であることを言う．

これらの概念図を作るとわかりやすい．

連続 ⊋ 微分可能 ⊋ C1級 ⊋ 二階微分可能 ⊋ C2

級 ⊋ · · ·

f が上の条件をすべて満たす (任意の k ∈ N に対して Ck-級) とき，f は C∞-級と

いう．

例 5.12

(1) f(x) =∞∑

n=0

s(2nx)

2n（s(x) は x から最も近い整数までの距離）は，[0, 1] 上連

続かつ、いたるところ微分不可能で高木関数と呼ばれているが，以降使わないの

で，微分が不可能であることの証明はしないでおく．

(2) f(x) =

x2 sin 1x

(x = 0)

0 (x = 0)とする．f は x = 0 において 1 階微分可能だが

C1-級ではない．

(3) f(x) = x32 (0 ≤ x) とする．f は x = 0 において C1-級だが，2 階微分不可能

である．

これらの用語を使い，次の形でロピタルの定理を述べておこう．

定理 5.13 (ロピタルの定理１) a, b ∈ R が a < b を満たしているとする．f, g :

[a, b] → R が連続で，f, g は (a, b) で微分可能であるとする．さらに，g′ は (a, b) にお


128 目次

いて 0 にならないとする．このとき，p ∈ (a, b) に対して右辺の極限が存在するなら

limx→p

f(x)− f(p)

g(x)− g(p)= lim

x→p

f ′(x)

g′(x)(5.11)

を満たしている．

証明. (5.10) において x = b, p = a として，x → p なる状況を考えると中間値であ

る c は c → p を満たしている．よって，(5.11) の右辺の極限が存在するから (5.11) が

成立する．

定理 5.14 (ロピタルの定理２) f, g : (a,∞) → R を微分可能関数とする．

limt→∞

f(t) = limt→∞

g(t) = ∞, limt→∞

f ′(t)

g′(t)= α ≤ ∞

ならば，

limt→∞

f(t)

g(t)= α

である．

証明. x0 > 0 とする．このとき，

f(x)

g(x)=f(x)− f(x0)

g(x)− g(x0)× f(x)

f(x)− f(x0)× g(x)− g(x0)

g(x)

であるから，x→ ∞ とすることで，

lim supx→∞

f(x)

g(x)

≤ lim supx→∞

f(x)− f(x0)

g(x)− g(x0)× lim

x→∞

f(x)

f(x)− f(x0)× lim

x→∞

g(x)− g(x0)

g(x)

= lim supx→∞

f(x)− f(x0)

g(x)− g(x0)

と

lim infx→∞

f(x)

g(x)

≥ lim infx→∞

f(x)− f(x0)

g(x)− g(x0)× lim

x→∞

f(x)

f(x)− f(x0)× lim

x→∞

g(x)− g(x0)

g(x)

= lim infx→∞

f(x)− f(x0)

g(x)− g(x0)

を得る．平均値の定理によって，


129

f(x)− f(x0)

g(x)− g(x0)∈[inf

x≥x0

f ′(t)

g′(t), supx≥x0

f ′(t)

g′(t)

]であるから，

lim infx→∞

f(x)

g(x), lim sup

x→∞

f(x)

g(x)∈[inf

x≥x0

f ′(t)

g′(t), supx≥x0

f ′(t)

g′(t)

]となる．したがって，x0 > 0 が任意であったから，x0 → ∞ として，

lim infx→∞

f(x)

g(x), lim sup

x→∞

f(x)

g(x)∈ [α, α]

となる．よって，定理が示された．

例 5.15 ロピタルの定理より，

limx→0

x2 + 2 cosx− 2

x4= lim

x→0

x− sinx

2x3= lim

x→0

1− cosx

6x2= lim

x→0

sinx

12x=

1

12

である．

次の定理を逆関数定理という．

定理 5.16 (逆関数定理) f を開区間 I 上で定義された C1-級関数とする．f ′(x) =0, x ∈ I が成り立つならば，f は逆関数をもち，逆関数 g : f(I) → I も C1-級である．

逆関数の微分の公式は，xy 平面に y = f(x), x = f−1(y) の両方を書いてみると事情

がはっきりする．

証明. 中間値の定理により，f ′(x) > 0, x ∈ I もしくは f ′(x) < 0, x ∈ I が成り立つ．

どちらの場合も狭義単調で連続であるから，再び中間値の定理により f は逆関数をもつ

のは明らかである．逆関数が連続であることを示そう．x ∈ I を固定すると，コンパクト

な区間 J ⊂ I が存在して，x を含む．したがって，J では

|x− y|minz∈J

|f ′(z)| ≤ |f(x)− f(y)| ≤ |x− y|maxz∈J

|f ′(z)|

が成り立つので，f−1 は連続であるといえる．I の点に収束しているとする．逆関数が

C1-級であることを示そう．x0 ∈ I とする．

f(x) = f(x0) + (x− x0)f′(x0) + (x− x0)∆f,x0(x), lim

x→x0

∆f,x0(x) = 0 (5.12)

なる表示をする. y ∈ f(I) に対して，ある y = f(x) となる x が存在するので，


130 目次

g(y)− x0 − (y − f(x0))1

f ′(x0)= x− x0 − (f(x)− f(x0))

1

f ′(x0)

= − (x− x0)∆f,x0(x)

f ′(x0)

= − (x− x0)∆f,x0(f−1(y))

f ′(x0)

となるが，平均値の定理によって x, x0 の間に ξ が存在して，

g(y)− x0 − (y − f(x0))1

f ′(x0)= − (y − x0)∆f,x0(x)

f ′(x0)f ′(ξ)(5.13)

が成り立つ. したがって，

g′(y) =1

f ′(f−1(y))(5.14)

が得られた.

注意 5.17 微分の概念は値域が Rn に対しても同様な定義ができるが，n ≥ 2 とする

と，Rn を値域とする関数に対しては，平均値の定理は成り立たない．実際に，

f(t) =

t2t3

とおくと，

f(1)− f(0) = f ′(c)

となる c ∈ (0, 1) は存在しない．このことを直感的に示す日常生活における例として，「速

度を 0 にしなくても車は初めの位置に戻れる」ということが挙げられる．これはもちろ

ん 2 次元の話である．

5.3 テーラー展開

実数 a に対して，N 次多項式 P (X) が与えられたときに，a0, a1, a2, · · · , aN を用いて

P (X) = a0 + a1(X − a) + a2(X − a)2 + · · ·+ aN (X − a)N

と表す問題を考えよう．X = (X − a) + a であるから，Xk =k∑

j=0kCja

j(X − a)N−jと

なる．これを整理して係数を決定するのも一法であろう．ここでは，その方法ではなく微


131

分を計算して決定する方法を考えよう．a0 を決定するのは難しくない．X = a とおけ

ば，P (a) = a0 となるからである．a1 を決定するためには，いくつかの方法があるが，

微分をするのが手っ取り早い．与えられた恒等式を微分すると，

P ′(X) = a1 + 2a2(X − a) + 3a3(X − a)3 · · ·+NaN (X − a)N−1

が得られる．したがって，X = a とおいて，P ′(a) = a1 が得られる．もう一度，微分す

ると

P ′′(X) = 2a2 + 6a3(X − a) + 12a4(X − a)2 · · ·+NaN (X − a)N−1

となり，P ′′(a) = 2a2 が得られる．これを繰り返すと，P(k)(a) = k!ak, k = 1, 2, · · · が

得られて，

P (x) = P (a) + (x− a)P ′(a) + · · ·+ (x− a)N

N !P (N)(a) (5.15)

となることがわかる．

多項式には次数という概念が備わっているが，関数は無限の次数が備わっていると考

える．テーラー展開は，関数に対しても同じ展開

f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + · · ·+ (x− a)n

n!f (n)(a) + · · · (5.16)

が出来るということを主張している．これによっていろいろなことを示せる．

定理 5.18 (マクローリン展開，テーラー・ラグランジュ) A < x, a < B とする．

n = 1, 2, · · · につき，f : (A,B) → R が n 回微分可能なときには，a, x の間の数 c が

存在して，

f(x) = f(a)+(x−a)f ′(a)+ · · ·+ (x− a)n−1

(n− 1)!f (n−1)(a)+

1

n!(x−a)nf (n)(c) (5.17)

が成り立つ．

証明. コーシーの平均値の定理を

φ(x) = f(x)−(f(a) + (x− a)f ′(a) + · · ·+ (x− a)n−1

(n− 1)!f (n−1)(a)

), g(x) = (x−a)n

に対して，多用すればよい．定理に現れた

f(a) + (x− a)f ′(a) + · · ·+ (x− a)n

n!f (n)(a)


132 目次

を次のような名前で呼ぶ．

(1) n 次のテイラー近似多項式

(2) n 次近似多項式

(3) n 次近似

(4) n 次のテイラー展開

また，物理などの科目で「1 次近似で考える」や「2 次までとる」というのはこの用語に

起因している．

f の a における n 次のテイラー近似多項式 P (x) は

P (a) = f(a), P ′(a) = f ′(a), · · · , P (n)(a) = f (n)(a)

という性質を持つ唯一の多項式関数である．この多項式に関して，覚えておくべき標語を

与えておこう．

n 次のテイラー近似多項式 P (x) は x = a における微分係数の列

f(a), f ′(a), · · · , f (n)(a)

という目に見えない「無限小的な」情報だけを目に見える「大域的な」情報に変換

してくれる．

テーラー展開の公式を得るためには，

limn→∞

1

n!(x− a)nf (n)(c) = 0 (5.18)

が必要であるが，そのためにはどのような条件が必要か？次の定理で簡単な判定条件を与

える．

定理 5.19 (テーラー展開 (微分形) ) f : (A,B) → R は何回でも微分可能であると

する．もし，定数 M,R が存在して，

|f (n)(x)| ≤MRn (5.19)

が A < x < B で成り立つならば，任意の x ∈ (A,B) に対して，

f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + · · ·+ (x− a)n−1

(n− 1)!f (n−1)(a) + · · · (5.20)

が成り立つ．

証明.

∣∣∣∣ 1n! (x− a)nf (n)(c)

∣∣∣∣ ≤ MRn

n!(B − A)n が成り立つから，定理 2.44 より明ら


133

かである．

定理 5.20 関数 f : (a, b) → R が C2-級で，c ∈ (a, b) が f ′(c) = 0, f ′′(c) > 0 を

満たすと仮定する．このとき，f は極小値である．つまり，ある区間 δ > 0 が存在して，

(c− δ, c+ δ) ⊂ (a, b) かつ f(c) = minf(x) : x ∈ (c− δ, c+ δ) が成り立つ．

証明. f ′′ が連続であるから，(c− δ, c+ δ) ⊂ (a, b) かつ x ∈ (c− δ, c+ δ) に対して

f ′′(x) > 0 が成立する．テーラー展開により，f(x) = f(c) +1

2(x − c)2f ′′(d) となる

d が c, x の間に存在する．f ′′(d) > 0 であるから，x ∈ (c− δ, c+ δ) に対して f(x) ≥f(c) が成り立つ．

注意 5.21 C∞-級とテイラー展開可能性は概念上必ずしも一致しないことに注意し

よう．例として，

f(x) =

exp

(− 1

x

)(x > 0 のとき)

0 (x ≤ 0 のとき)

が挙げられる．

例 5.22 (Newton, 1665) (1 + x)α を展開すると，

(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)

2x2 + · · ·+ α(α− 1) · · · (α− n+ 1)

n!xn + ·

が得られる．これを一般 2 項定理という．例として，

(1 + x)12 = 1 + x− 1

8x2 +

1

16x3 − · · ·

となる．

5.4 収束半径

テーラー展開が関数を表示する方法のひとつであることは，第 5.5 節で示すように，

sinx, cosx, ex などの展開式から見て取れる．そこで，関数を表示する方法として，テー

ラー展開の形をした無限級数展開を考える．このように与えられたテーラー展開がどの関

数を与えるか調べたくなる．そもそも級数が収束していないとテーラー展開は意味を成さ

ないのでまずは収束しているという条件を調べてみよう．


134 目次

定義 5.23 (冪級数) a0, a1, a2, · · · を ( 複素 ) 定数とする．∞∑

n=0an (x− x0)

n, x0 ∈

R の形の級数を冪（べき）級数という．

定理 2.43 を次の形で書き換えておこう．

命題 5.24 |x| < 1 のとき， limn→∞

xn = limn→∞

nxn = 0 である．

具体的な冪級数を計算してみよう．

命題 5.25 |x| < 1 のとき，∞∑

n=0xn =

1

1− x，

∞∑n=1

nxn =1

(1− x)2である．

証明. 命題 5.24 と次の関係式より明らかである．

N∑n=0

xn =1− xN+1

1− x,

N∑n=1

nxn =x− xN+1

(1− x)2− N xN+1

1− x. (5.21)

定理 5.26 (収束半径，アダマールの公式) 冪級数∞∑

n=0an (x− x0)

nに対して，R ∈

[0,∞] を

1

R= lim sup

n→∞

n

√|an| (5.22)

で定めると次のことが成り立つ．この R を冪級数∞∑

n=0an (x−x0)n の収束半径という．

(1) |x− x0| > R なら，冪級数∞∑

n=0an (x− x0)

nは発散する．

(2) |x− x0| < R なら，冪級数∞∑

n=0an (x− x0)

nは絶対収束する．

(3) |x− x0| < R に対して f(x) =∞∑

n=0an (x− x0)

nとおくと，

f ′(x) =∞∑

n=0(n+ 1) an+1(x− x0)

n (5.23)

が成り立つ．

特に，f は |x− x0| < R において何回でも微分可能である．

証明. 平行移動して x0 = 0 とする．

(1) 対偶を考える．もし，冪級数∞∑

n=0an x

nが収束するなら，


135

limn→∞

an xn = lim

n→∞

(n∑

k=0

ak xk −

n−1∑k=0

ak xk

)=

(lim

n→∞

n∑k=0

ak xk

)−(

limn→∞

n−1∑k=0

ak xk

)= 0

である．とくに，an xn∞n=1 は有界であるから，|an xn| ≤M となる M が存在

する．したがって，R−1 ≤ lim supn→∞

n

√M |x|−n = |x|−1

となる．つまり，|x| ≤ R

である．

(2) |x| < R とする．すると，|x|−1 > R−1 = lim supn→∞

n

√|an| = inf

n∈N

(supk≥n

k

√|ak|

)であるから，nx ∈ N が存在して，

|x|−1 > supk≥nx

k

√|ak| つまり mx = |x| sup

k≥nx

k

√|ak| < 1 (5.24)

が成り立つ．Mx = |x|−nx max(1, |a1|, |a2|, · · · , |anx |) とおくと，任意の n ∈N∪0 につき，|an| ≤Mxmx

n|x|−nであるから，

∞∑n=0

|an xn| ≤Mx

∞∑n=0

(mx)n =

Mx

1−mx<∞

となる．

(3) (2) の記号を用いて計算していく．|x| < S < R となる S をとる．(2) の計算を

|x| = S に対して適用する．微分の定義に戻って，

limh→0

1

h

( ∞∑n=0

an (x+ h)n −∞∑

n=0an x

n

)−

∞∑n=1

nan xn−1

= limh→0

1

h

( ∞∑n=1

an (x+ h)n −∞∑

n=1an x

n −∞∑

n=1nan hx

n−1

)= lim

h→0

1

h

∞∑n=1

(an (x+ h)n − an x

n − nan hxn−1

)= 0

を示すことに相当する．|h| < S − |x| とする．

Φh(x) =

∣∣∣∣ 1h ∞∑n=1

(an (x+ h)n − an x

n − nan hxn−1

)∣∣∣∣とする．2 項定理と三角不等式によって，

Φh(x) ≤ |h|( ∞∑

n=1|an|

n∑m=2

nCm|h|m−2|x|n−m

)


136 目次

=1

|h|

( ∞∑n=1

|an| (|x|+ |h|)n −∞∑

n=1|an| · |x|n −

∞∑n=1

n|an| · |h| · |x|n−1

)となる．|an| ≤MS S

−n, n ≥ 0 を用いて

Φh(x) ≤MS

|h|∞∑

n=1

(|x|+ |h|

S

)n

−(|x|S

)n

− n · |h| · |x|n−1

Sn

=Ms

|h|

∞∑n=0

(|x|+ |h|

S

)n

−∞∑

n=0

(|x|S

)n

−∞∑

n=1

n · |h| · |x|n−1

Sn

.

命題 5.25 より |r| < 1 のとき，∞∑

n=0rn =

1

1− r,

∞∑n=1

n rn−1 =1

(1− r)2である

から，2 項定理も用いて

Φh(x) ≤Ms

|h|

(1

S − |x| − |h| −1

S − |x| −|h|

(S − |x| − |h|)2

)=

Ms|h|(S − |x| − |h|)2(S − |x|) → 0, h→ 0

となる．よって，(3) が証明された．

数列 ann∈N に対して， n

√|an|n∈N の極限は一般には計算しにくい．そこで，次

の公式を用いる．

定理 5.27 正数列 ann∈N に対して， limn→∞

an+1

anが存在するならば， lim

n→∞n√an が

存在して，この値に等しい．

証明. k を固定する．n > k のとき，

n√an = n

√ak n

√anan−1

an−1

an−2· · · ak+1

ak

だから， (infm>k

amam−1

)n−mn

n√ak ≤ n

√an ≤

(supm>k

amam−1

)n−mn

n√ak

となる．よって，n→ ∞ とすると，(infm>k

amam−1

)≤ lim inf

n→∞n√an ≤ lim sup

n→∞n√an ≤

(supm>k

amam−1

)k は任意であるから，k → ∞ として，

lim infn→∞

n√an = lim sup

n→∞n√an = lim

n→∞n√an


137

が得られる．

例 5.28 (グレゴリー，ライプニッツ) −1 < x ≤ 1 のときに，

tan−1 x = x− 1

3x3 +

1

5x5 − 1

7x7 + · · ·

が成り立つ．

定義 5.29 (収束域) 冪級数∞∑

n=0anx

nが収束する x 全体の集合を収束域という．

今まで得られたことの結果の平行移動をしてまとめよう．一般に冪級数

∞∑k=0

αk(x− a)k

はある収束半径 R ≥ 0 が存在して，(a−R, a+R) で絶対収束し，それ以外で発散する．

具体的な ϵ の計算法は以下で与えられる．

(1) (係数比判定法) limk→∞

|αk||αk+1|

= R

(2) (コーシー・アダマールの公式) limk→∞

k

√|αk| =

1

R

呼称は本によって多少違う注意しよう．

例を通じて説明するが，前者に利便性，後者に汎用性がある．係数比判定法のほうは、

丸暗記だと分子と分母がごっちゃになるので，気をつけよう．

収束半径の計算を例を通じて説明しよう．

例 5.30 冪級数を一般に∞∑

n=0anx

nとおくことにしよう．

(1) f(x) =∞∑

n=0anxn の収束半径を求めよう．公式によると，an = an と考えてよく，

R =

(lim

n→∞n

√|an|

)−1

=1

|a|

となる．a = 0 の時は無限大と解釈すること．また， limn→∞

|an||an+1| =

1

|a| だから，

収束半径は |a|−1 と求めることもできる．

(2) g(x) =∞∑

n=0anx2n を考える．この場合は an =

an2 (n は偶数)

0 (n は奇数)と見なせる．


138 目次

したがって，

R = lim supn→∞

n

√|an| =

1√|a|

となる．この場合は， limn→∞

|an||an+1|

は存在していない．また，収束域は (−|a|−1, |a|−1)

である．

(3) h(x) =∞∑

n=0n6xn を考える．この場合は，an = n6 と見なせる．したがって，

R =

(lim supn→∞

n

√|an|

)−1

= 1

である．また， limn→∞

|an||an+1| = 1 だから，収束半径は 1 と結論してよい．また，収

束域は (−1, 1) である．

(4) k(x) =∞∑

n=0

(−1)n

n!xn を考える．この場合は，an =

(−1)n

n!と見なせる．した

がって，

R =

(lim supn→∞

n

√|an|

)−1

= lim supn→∞

n√n! = ∞

である．(計算は公式を使わないとできない) また， limn→∞

|an||an+1| = lim

n→∞(n+1) =

∞ だから，収束半径は ∞ である．また，収束域は R である．

この状況を表にしてまとめておくとわかりやすい．

2 つの方法による収束半径の計算の比較

関数 f(x) g(x) h(x) k(x)

limn→∞

n

√|an| を計算容易可能すこし困難困難

limn→∞

|an||an+1|

を計算容易不可能容易容易

例 5.31 an∞n=1 を複素数列とする．∞∑

n=1an の収束および発散には対応する無限級数

∞∑n=1

anznの収束域に z = 1 が含まれているかどうかを判定する方法がある．この方法によ

ると，∞∑

n=1

(1− 1

n

)−n2

が収束するかどうかを判定したいならば，∞∑

n=1

(1− 1

n

)−n2

zn


139

の収束半径をとりあえず計算すれば良いことになるが，実際にこれはコーシー・アダマー

ルの公式より，e となる．したがって，∞∑

n=1

(1− 1

n

)−n2

は収束する．

収束半径の計算は基本的であるが，初学者には間違えやすいので，実数級数∞∑

n=0anx

n

の収束半径を求めよという問題における一般的な注意をしておこう．

(1) lim supn→∞ と limn→∞

sup を混同しないこと．

(2) 答えには x がつかない．

(3) − の数にもならない．(4) x に関する場合分けはない．複素数の場合も同じ．

(5) n に関しても場合分けはない．

(6) 収束域 D とは級数が収束する x の条件であって，収束半径 R とは関係式 (−R,R) ⊂D ⊂ [−R,R] があるものの一般には異なる．

5.5 テーラー展開と特殊な関数

5.5.1 関数の定義

これまで当たり前のように存在が仮定されて，種々の代入に対する値，加法公式などが

既知として扱われてきた三角関数 sin, cos は，実はテーラー展開を用いることによって

初めて，冪級数表示によって明確に定義が与えられる．sin, cos を円の弧の長さを用いて

定義すると循環論法に陥ることになる．弧の長さを定義していないからである．これを回

避する方法はテーラー展開を用いてこれらの関数を定義することである．具体的には次の

ようにして行う．

ちなみにこれらの「特殊な」関数 sin, cos, tan は紀元前２００年前に天体の観測と関

連して生まれた．

定義 5.32 ( ex, sinx, cosx の幾何学的ではない「自己完結した」定義)

(1) ex = exp(x) = 1 + x+x2

2+x3

6+ · · ·+ xn

n!+ · · · =

∞∑n=0

xn

n!

(2) sinx = x− 1

6x3 +

1

120x5 · · ·+ (−1)k

(2k + 1)!x2k+1 + · · · =

∞∑k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!

(3) cosx = 1− x2

2+x4

24− x6

720+ · · ·+ (−1)n

(2n)!x2n + · · · =

∞∑k=0

(−1)kx2k

(2k)!


140 目次

また，自然対数 e は

e = e1 = 1 + 1 +1

2+

1

6+ · · ·+ 1

n!+ · · · (5.25)

で定める．

e の値は 2 を超えていることが容易にわかるが，3 よりも小さい．実際，n! を 2n で置

き換えて分母を小さく見積もることで，

e < 1 + 1 +1

2+

1

4+ · · ·+ 1

2n+ · · · = 3


関数を定義している無限級数の収束半径は無限であるので，どの x に対しても定義で

きる．

高校数学ではグラフなどを用いて定義されているこれらの関数であるが，べき級数の

考え方は数学では広く使われる．正しい定義を身に着けよう．

例 5.33 以下，間違えた数式を列挙し，間違えている理由を考える．

(1) ex = exp(x) = 1 + x+x2

2+x3

6+ · · ·+ xn

n!これは有限級数で終わっているが，

指数関数は有限級数では表されない．

limx→∞

ex

xk= 0 (k ∈ N)

を思い出してほしい．

(2) sinx =∞∑

k=1

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!

∑記号の中に x の項が現れない．

(3) cosx =∞∑

k=1

(−1)kx2k

(2k)!

∑記号の中に定数項が現れない．

これらの関数は高校数学でやった定義とは全く異質のものであるが，微分などの性質

は全く同じである．

定理 5.34 (微分公式)

(1) (sinx)′ = cosx

(2) (cosx)′ = − sinx

(3) (ex)′ = ex

定理 5.35 (指数関数の加法定理) x, y を実数とする．


141

(1) 加法定理 ex+y = ex ey が成り立つ．

(2) ex > 0 となる．

証明.

(1) fy(x) = ex+y = ex ey とおくと，f ′y(x) ≡ 0, fy(0) = 0 であるから，系 5.9 より

fy(x) ≡ 0 となる．ゆえに，ex+y = ex ey である．

(2) もし，f(x) ≤ 0 となる x が存在すると，f(0) = 1 であるから中間値の定理より，

f(x0) = 0 となる x0 が存在する．したがって，0 = ex0e−x0 = 1 と矛盾する．

lim

x→−∞ex = lim

x→∞e−x = 0 であるからつぎのことがわかる．

系 5.36 ex は limx→−∞

ex = 0 と limx→∞

ex = ∞ を満たす単調増加連続関数である．

定義 5.37 (対数関数)

(1) 関数 log x を ex の逆関数として定める．

(2) ax = ex log a, a > 1, a ∈ (0, 1) と定める．

(3) loga b = log b/ log a, a ∈ (0, 1)∪(1,∞), b > 0 と定める．

定理 5.38 (正弦と余弦の関係) sin2 x+ cos2 x = 1.

証明. f(x) = sin2 x+ cos2 x− 1 とすると，f ′(0) = 0, f ′(x) = 0 だからである．sin, cos については次の加法定理が成り立つ．

定理 5.39 (sin, cos の加法定理) α, β ∈ R につき，

sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ

cos(α+ β) = cosα cosβ − sinα cosβ

となる．

証明. fβ(α) = sin(α + β) − sinα cosβ − cosα sinβ とすると，cos 0 = 1, sin 0 =

0 となるから fβ(0) = f ′β(0) = 0, f ′′

β (α) = −fβ(α) である．f (k+2)β = −f (k)

β より，

f(k)β (0) = 0, k ∈ N∪0 が成り立つ．|f (k)

β (α)| ≤ 3 よりテーラー展開が可能なことが

わかるから，fβ(α) = 0 となる．よって，sin の加法定理が示せた．cos も同様にやるか，

sin の加法定理を微分すればよい．

補題 5.40 cos 2 < 0.


142 目次

証明. cosx のテーラー展開の式に x = 2 を代入すると

cos 2 = 1− 2 +∞∑j=2

(−1)j

(2j)!22j < −1 +

∞∑j=2

2

2j< 0

だから，これは明らかである．円周率は円の直径と円周との比率を表すが，曲線の長さを計算する方法をやっていな

いので，ここでは直接的に導入できない．そこで，三角関数を使う方法がある．アルキメ

デスが円に内接する正多角形と概説する正多角形の辺の長さをつかって計算したことから

もわかるように，次の円周率の定義は奇異に思われるかもしれないが，三角関数から定義

するこの方法は数の世界を「実数→三角関数→円周率」と広げてくれるので自己完結とい

える．

定義 5.41 (円周率) cosx = 0, 0 < x < 2 の最小の解の 2 倍を π と定める．

ちなみにアルキメデスは円周率は (223/71, 22/7) に属することを正 96 角形を用いて

示した．オランダのルドルフ・ファン・コーレンは正 262 角形を用いて 35 桁まで求めた．

定義 5.42 (tan) tanx =sinx

cosxと定める．

π の定義によって，

sinx, cosx > 0, 0 < x <π

2(5.26)


sinπ

4=

√2

2, sin

π

3=

√3

2(5.27)

などを示せるので，種々の量を計算できる．

次の公式もこれらの定義と準備があれば示せる．

定理 5.43 (微分公式)

(1) a を実数とするとき，(xa)′ = a xa−1

(2) (tanx)′ = tan2 x+ 1 =1

cos2 x

(3) (ax)′ = ax log a, a > 0

(4) (log x)′ =1

x

(5) (loga x)′ =

1

x log a, a ∈ (0,∞) \ 1


143

そのほかのテーラー展開についても書いておく．

例 5.44

(1) log(1− x) のテーラー展開を求める．

log(1− x)′ =−1

1− x, log(1− x)′′ =

−1

(1− x)2, log(1− x)′′′ =

−2

(1− x)3, · · ·

より

dn

dxnlog(1− x) = − (n− 1)!

(1− x)n(5.28)

となる．したがって，log(1− x) = −x− 1

2x2 − 1

3x3 − 1

4x4 − · · · − 1

nxn − · · ·

(2)1

1− xのテーラー展開を求める．(

1

1− x

)′

=1

(1− x)2,

(1

1− x

)′′

=2

(1− x)3(1

1− x

)′′′

=6

(1− x)4,

(1

1− x

)′′′′

=24

(1− x)5, · · ·

より

dn

dxnlog(1− x) =

n!

(1− x)n+1(5.29)


1

1− x= 1 + x+ x2 + x3 + x4 + · · ·+ xn + · · · (5.30)

最後に，sin, cos, tan の逆関数の微分についてまとめておく．

定義 5.45 (逆関数 ( 再録 ))

(1) sin :[−π2,π

2

]→ [−1, 1] の逆関数を sin−1 : [−1, 1] →

[−π2,π

2

]で表す．

(2) cos : [0, π] → [−1, 1] の逆関数を cos−1 : [−1, 1] → [0, π] で表す．

(3) tan :(−π2,π

2

)→ R の逆関数を tan−1 : R →

(−π2,π

2

)で表す．

テーラー展開は極限を求めるのに有効である．実際，n 次テーラー多項式が x→ a と

したときの f(x) の振る舞いと関わりがあることから，x → a としたときの関数の値の

極限を高次微分係数を使って計算できることがある．

例 5.46 limx→0

ex − 1− x

x2を計算してみよう．x = 0 のとき，


144 目次

ex − 1− x

x2=

1

2+x

6+ · · ·+ xk

(k + 2)!+ · · ·

である．右辺は収束半径が無限大の級数だから，x→ 0 のとき，1

2に収束する．よって，

limx→0

ex − 1− x

x2=

1

2

となる．

ex − 1− x

x2の値の表

xex − 1− x

x2

0.1 0.517091808

0.01 0.501670842

0.001 0.500166708

0.0001 0.500016671

0.00001 0.500000696

次の用語を用意しておくと極限の計算の時に，便利なことが多い．

定義 5.47 (O, o) g を x = 0 の近傍で定義されている関数とする．

(1) |f(x)| ≤M |g(x)|が x = 0 のある近傍で成り立つような関数 f を f = O(g), x→0 と書く．これは，ラージオーダー g と読む．

(2) limx→0

f(x)

g(x)= 0 が成り立つような関数 f を f = o(g), x→ 0 と書く．これは，ス

モールオーダー g と読む．

注意 5.48 これらの記号は関数の性質を記述しているだけで，特別な関数を表してい

るわけではない．したがって，f, g を x = 0 の近傍で定義されている関数とするとき，

o(g) + o(g) = o(g), o(g)− o(g) = o(g), o(f)O(g) = o(f · g), x→ 0

などという式は矛盾していない．また，f = o(g) なら f = O(g) が成り立つが，逆は必

ずしも正しくない．

例 5.49 x→ 0 のとき，テーラー展開から次のことがわかる．

ex = 1 + x+1

2x2 +

1

6x3 +

1

24x4 +

1

120x5 +O(x6)


145

ex = 1 + x+1

2x2 +

1

6x3 +

1

24x4 +

1

120x5 + o(x5)

cosx+x2

2− x4

24= O(x6)

また，

limx→0

1

x6

(ex − 1− x− 1

2x2 − 1

6x3 − 1

24x4 − 1

120x5)

=1

720

だから，

ex = 1 + x+1

2x2 +

1

6x3 +

1

24x4 +

1

120x5 + o(x6)

は正しくない．

最後に sin, cos, exp は複素数に対しても定義できることを確認しておこう．

定義 5.50 (複素数 z に対する ez, sin z, cos z tan z の定義)

(1) ez = exp(z) = 1 + z +z2

2+z3

6+ · · ·+ zn

n!+ · · · =

∞∑n=0

zn

n!

(2) sin z = z − 1

6z3 +

1

120z5 · · ·+ (−1)k

(2k + 1)!z2k+1 + · · · =

∞∑k=0

(−1)kz2k+1

(2k + 1)!

(3) cos z = 1− z2

2+z4

24− z6

720+ · · ·+ (−1)n

(2n)!z2n + · · · =

∞∑k=0

(−1)kz2k

(2k)!

(4) tan z =sin z

cos zと定める．

右辺の級数の収束半径が ∞ であることから，無限級数の収束は保証される．収束半径

というものは便利なものであるが，なかなか実感がわきづらい．cos z, sin z, exp z など

は複素数の範囲で考えると，

1, z, z2, · · · と階段を少しずつ登って行って，雲の上にあるのがこれらの関数である

と言えよう．まさに，複素数という角度やべき乗の実態が全くない関数に対して，

sin z, cos z, ez を定義するという雲をつかむような話を無限級数という道具をつかってな

しえたのである．

初めのうちは，

eiθ, sin i, cos(2 + i)

と書き表すことに意味があるのかと思うかもしれないが，このように級数展開を用いてそ

の収束値として実際には定めているのである．


146 目次

i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i, · · ·

からわかるように次の式が成り立つ．

定理 5.51 (オイラーの定理) eiz = cos z + i sin z が z ∈ C に対して成り立つ．

この定理は定義 1.4 と整合している．

このような三角関数と複素関数のつながりは１９世紀前半に考察された．複素数の関

数の世界をもう少しだけ見てみよう．

例 5.52 cos i =e+ e−1

2= 1.543080 · · · である．したがって，−1 ≤ cosx ≤ 1 と

いう関係はもはや複素数においては成り立たない．

5.5.2 円周率

ここで，π と e について性質をまとめておこう．

定義 5.53 (超越数) 整数係数の代数方程式の解としては表せない無理数を超越数と

いう．

定義によって，√2, 3

√4 などは超越数ではない．

定理 5.54

(1) 【１７６１，ランベルト】π は無理数である．

(2) 【１８８２，リンデマン】π は超越数である．

(3) 【１７４４，ランベルト】e は無理数である．

(4) 【１８７３，エルミート】e は超越数である．

(5) 【１９３７，ゲルフォント・シュナイダー】eπ は超越数である．

次はまだ証明されていない未解決問題である．

(1) e+ π は無理数である．

(2) eπ は無理数である．

円周率の表示としては次のようなものが知られている．

例 5.55 (マーダヴァインド，ライプニッツ)π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ · · ·

例 5.56 (ライプニッツ)π

6=

1√3

(1− 1

3 · 3 +1

5 · 32 − 1

7 · 33 + · · ·)が成り立つ．


147

例 5.57 (マチン)π

4= 4 tan−1 1

5− tan−1 1

239が成り立つ．シャンクスは 707 桁

まで計算したが，528 桁目までしか合っていなかった．この公式を用いて，π の値をコン

ピューターで 1949 年に計算した．

例 5.58 (ラマヌジャン，1914 年)9801

2√2π

=∞∑

n=0

(4n)!(1103 + 26390n)

(n!)43964nが成り立

つ．ラマヌジャンによって発見されたこの公式は 1987 年に初めて別の人によって証明が

与えられた．

例 5.59 (サラミン・ブレンド，1976 年) a0 = 1, b0 = 1/√2 とおく．

an∞n=1, bn∞n=1 を

an =1

2(an−1 + bn−1), bn =

√an−1bn−1 (n ∈ N)

で帰納的に定めていく．

π = limn→∞

(2an+1)2

1−n∑

j=1

2j+1(aj2 − bj2)

が成り立つ．

例 5.60 (チュドノフスキー，1988 年) 等式

1

π= 12

∞∑n=0

(−1)n(6n)!

(n!)3(3n)!× 13591049 + 54510134n

6403203n+1.5

が成り立つ．ちなみに，これは π の逆数を計算する方法であるが，π そのものを計算す

る場合はニュートン法を用いる．


第 6 章

1変数の積分法

積分とは，一般には微分の逆演算であり面積や体積を求めるのに有効な計算方法であ

る．ここでは，任意の有界関数の積分を考察することにする．そもそも積分可能性とは何

か．これは微分可能性とは違って一行で語りつくせる概念ではない．

高校数学であろう用語を交えながら，実際にどのようなことをやっていくのかを説明

する．高校では，はじめに不定積分を学習してその後に定積分を学習した．その後に，こ

れが面積や体積を計算するために使えることを学習した．

6.1 不定積分と定積分との違い

ここでは 2 つの演算の特徴に関して整理していく．特段定理や定義を与えるわけでは

なく，例を見ながら不定積分と定積分の違いを見るにとどめる．具体的には，∫e3x dx =

1

3e3x + C

で不定積分を求めたあとに定積分の計算∫ 3

0

e3x dx =

[1

3e3x]30

=1

3(e9 − 1)

をした．x = 0, x = 3, y = 0, y = e3x で囲まれる図形の面積は∫ 3

0

e3x dx =1

3(e9 − 1)

で求められる．このように，面積を計算するためには不定積分を計算しないといけない場

合が多いが，不定積分を求めなくても積分が計算できる例がある．たとえば，∫ π2

0

sin4 x dx =3π

16


149

となる．これは部分積分を使って sin4 x の不定積分を出さなくても計算することができ

る．複雑ではあるが，これを不定積分を経由して計算することは理論上可能である．不定

積分ができないような例もある．∫ 3π4

π4

cos56 x

cos56 x+ sin

56 x

dx

などが典型である．実際，

I =

∫ 3π8

π8

cos56 x

cos56 x+ sin

56 x

dx

とおくと，y =π

2− x と変数変換して，

I =

∫ 3π8

π8

sin56 y

cos56 y + sin

56 y

dy =

∫ 3π8

π8

cos56 x

cos56 x+ sin

56 x

dx

となる．したがって，2 式を足して 2I =π

4，つまり I =

π

8となる．このように，（微分

の逆演算としての）不定積分を経由しなくても積分が計算できる．そこで，不定積分から

定積分という考え方を脱却しないといけない．つまり，まったく逆で定積分を定義してか

ら不定積分を考える．この考え方は歴史もが支持する．実際に，アルキメデスなどが面

積，体積を区分求積法を用いて計算していたのは紀元前のことである一方，微分法や原始

関数の概念はニュートンやライプニッツによって 17 世紀に創始された．

本節の最初の数節の大まかな流れを要約する．まず，区間 (a, b) の定積分

∫ b

a

f(x)dx

を厳密に定義する．この定積分の上端 b を変数 x としたものとして，微分の逆演算であ

る不定積分を定義していく予定である．

6.2 定積分の定義

6.2.1 細分

定積分は面積を求めるのに必要な道具であることは周知の事実であるが，区間の分割

を等分して考えると理論がうまく構成できない．

dx 幅を素朴に積分区間の等分として定義すると，たとえば区間の加法性が定義できな

くなる．つまり，関数の定積分を正しく定義するためには分割の定義により任意性を持た

せた上で，定積分が分割によらず一定になるようにしないといけない．

言葉で説明してもはっきりしないので，この事情を例示して説明しよう．例えば，f :


150 目次

[a, b] → R が与えられた時に∫ b

a

f(x) dx = limn→∞

b− a

n

n∑k=1

f

(a+

k

n(b− a)

)(6.1)

と一時的に定義する．ところで，以下のような疑問を持ったことはないであろうか？

(1) この右辺の極限は本当に存在するのか？

(2) 小区間 [a+ (k− 1)(b− a)/n, a+ k(b− a)/n] の右端の関数値 f(a+ k

n(b− a)

)の代わりに左端の関数値 f

(a+ k−1

n(b− a)

)を用いたらどうなるか？また，その

代わりに中点の関数値を考えたらどうなるか？

(3) 区間を細かく分けていくのに等分する必要があるのか？

実際に，これらの問題は切実で，以下の例が示すように極限の値が変ったりすることがあ

り得る．

例 6.1 x が有理数のとき f(x) = 1 で x が無理数のとき f(x) = 0 となる関数に対

して，「定義 (6.1)」に従うと，∫ √2

0

f(x) dx = 0,

∫ 2

√2

f(x) dx = 0,

∫ 2

0

f(x) dx = 2

となるから，『面積が足し算できる』という∫ b

a

f(x) dx+

∫ c

b

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx

が成り立たなくなる．これが不成立な原因は次の 2 つである．

(1) 積分ができる関数として，たちの悪いものも許してしまっている．第一の疑問点と

関連して考えてみてほしい．

(2) 区間の分割の条件がよくない．第三の疑問点との関連を考えよう．

記号については一般的でないものもあるが，大体主流として使われているものを用いる．

定義 6.2 ( 分割，，分割の幅 ) −∞ < a < b <∞ とする．

(1) 数列 xiNi=0 が [a, b] の分割であるとは，x0 = a, xN = b を満たす単調増加数列

であることを意味する．分割全体の集合を D[a, b] と表す．

(2) xiNi=0 ∈ D[a, b] に対して，分割の幅 |∆| を

|∆| = supi=1,2,··· ,n

|xi − xi−1| (6.2)

と定める．


151

(3) n 等分割とは区間を n 等分して得られる分割のことである．

区間の分割とはどのようなものか？定義をもっと詳しく見ていくことにしよう．

有界閉区間 I = [a, b] があるとき，その長さを |I| と表す．つまり，この場合は |I| =b− a である．区間 [a, b] の両端の間に，いくつかの点をとり，それらを小さい順に a =

x0, x1, x2, · · · , xn = b としよう．ここで，以後 a = x0, b = xn を含むように端点をとる

ことは共通の了解としておく．これらの点を両端とする多数の小区間 I1 = [x0, x1], I2 =

[x1, x2], · · · , In = [xn−1, xn] を作る．すると，次の 2 条件が成り立つ．

(1) I = [a, b] はこれらの小区間 Ij たちを全部併せたものになる．つまり，I = [a, b]

の各点は小区間 Ij , j = 1, 2, · · · , n のどれかに属している．(2) これらの異なる 2 つの小区間は互いに共通点を持たないか，もっていたとしても

端点 1 点だけを共有しているだけである．

このような状態を I = [a, b] は分点 a = x0, x1, x2, · · · , xn = b によって小区間 Ijnj=1

に分割されているという．

分点のとり方によって分割は異なってくるから，分点を表す時には a = x0 < x1 <

x2 < · · · < xn = b で表す．たとえば，その分割に名前を付けて ∆ と表す場合は

∆ : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

と書く．この分割 ∆ でできる小区間 [xj−1, xj ] の長さは xj − xj−1 である．分割が等分

割であるなら，(b− a)/n であるが，そうではない場合もあるので，|[xj−1, xj ]| のうち最大のものを分割の幅と言い，|∆| で表す．分割 |∆| は分割の細かさの指標になるものである．今までのことから，当たり前と言えば当たり前であるが，

b− a = |I| =n∑

j=1

|Ij |

という大切な関係式が得られる．

次に複数の分割に関する用語を整理する．

定義 6.3 (細分) [a, b] の分割 ∆′ : yiMi=0 が [a, b] の分割 ∆ : xiNi=0 の細分であ

るとは，yiMi=0 ⊃ xiNi=0 を満たしていることを意味する．この場合，∆′ ≪ ∆ と表す．

細分とは，このように一つの分割からさらに細かい分割を作る操作をいう．たとえば，

I = [a, b] の分割 ∆ が I の 100 等分割であるとする．このとき，これより細かい分割

∆′ として，101 等分割をとる場合などは，∆′ の分点はもとの分割 ∆ とは無関係に取り

直しているといえる．このような場合は新しい分割と元の分割との間に関係性を与えるこ


152 目次

とは難しい．数学では，このように二つの似たものがあったとしてもすべてに関係や順序

を入れたりするわけではない．今の例では，できないことはしないという態度をとるので

ある．このような事情は n 等分するという操作の限界を例示しているといえよう．

例 6.4 次のような方法で，新しい分割を作ると，新しい分割は元の分割より細かい

し，しかも新しい分割と元の分割を比較しやすい．∆ : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn =

b を分割としよう．このとき，各小区間 Ij = [xj−1, xj ] に着目して，これらを分割する

ことを考える．ただし，分割する小区間は I1, I2, · · · , In の全部ではなく一部でもよいとする．このように分割して得られた区間を用いて，新しい細分を作れば，元の細分になっ

ていることは明らかであろう．

∆′ ≪ ∆ なら，|∆′| ≤ |∆| である．

例 6.5 より具体的な例として，∆ : 1 < 3 < 4 < 5 を考えよう．これは [1, 5] を

[1, 3], [3, 4], [4, 5] に分割しているといえる．さらに，[1, 3] と [4, 5] に着眼して，2,√7, π+

1 を加える．すると，∆′ : 1 < 2 <√7 < 3 < 4 < π + 1 < 5 ができる．このとき，

|∆| = 2, |∆′| = 1 かつ ∆′ ≪ ∆ となっている．

一つの区間 I に 2 つのまったく関連がないかもしれない分割 ∆1,∆2 があるとき，こ

れらの比較は必ずしも意味があるとは限らないが，次に述べる共通細分を経由してこれら

の比較が意味を成す場合がある．

定義 6.6 (共通細分) ∆1,∆2 を区間 I の細分とする．∆3 がこの区間の共通細分で

あるとは，∆3 ≪ ∆1, ∆3 ≪ ∆2 となることである．

この概念は以下の操作を考えると有用であると納得できるであろう．実際に，∆1 : a =

x0 < x1 < · · · < xn = b と ∆2 : a = y0 < y1 < · · · < ym = b が与えられた時に，

x0, x1, · · · , xn, y0, y1, · · · , ym を合わせて小さい順に並べた時に z0, z1, · · · , zk が得られるとして，∆′ : a = z0 < z1 < · · · < zk = b は ∆1,∆2 の共通細分である．

例 6.7 [a, b] の 100 等分割と 101 等分割を考えると，これらの共通細分は少なくと

も 199 個の点を含んでいないといけない．

6.2.2 定積分の定義

区分求積法の考え方を使って，定積分を考える．f : [a, b] → R を有界閉区間 [a, b] か

ら R への「必ずしも連続とは限らない」有界関数とする．これらの関数に対して，定積


153

分

∫ b

a

f(x) dx を定義するのが目的である．

区分求積法にならって積分を考えるので，分割 ∆ を考える．

∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn = b

と表そう．この区間 Ij での関数 f(x) のグラフと x 軸とで囲まれた部分の面積を f(ξj)(xj−xj−1) で近似する．ここで，初めに考えた「分点は必ず右端からとる必要があるのか？」

という疑問を考慮し，ξj は区間のどこを考えてもよいとする．ξj を便宜的ではあるが，

標本点と呼ぶことにしよう．すなわち，

定義 6.8 (標本点) ξiNi=1 が [a, b] の分割 xiNi=0 の標本点であるとは，xi−1 ≤ξi ≤ xi, i = 1, 2, · · · , N であることを意味する．

このようにして得られた近似の面積n∑

j=1

f(ξj)(xj − xj−1) をリーマン和という．大事な

ので，定義としてまとめておく．

定義 6.9 (リーマン和) f : [a, b] → R を有界関数，ξjnj=1 を [a, b] の分割 xjnj=0

に関する標本点とする．面積の合計

Sf (∆, ξjnj=1) =n∑

j=1

f(ξj)(xj − xj−1)

をリーマン和という．

リーマン和だけを見ていても面積に関してこれ以上何も言えないので，リーマン和の

大きさを測る道具として上限和，下限和を定義しよう．

定義 6.10 ( 上限和，下限和，リーマン上積分，リーマン下積分) 有界閉区間 [a, b]

上の有界関数 f : [a, b] → R が与えられたとする．

(1) [a, b] の分割 ∆ = xiNi=0 が与えられたとする．f の上限和と下限和はそれぞれ

S∆(f) =N∑i=1

(xi − xi−1) supxi−1≤x≤xi

f(x) (6.3)

s∆(f) =N∑i=1

(xi − xi−1) infxi−1≤x≤xi

f(x) (6.4)

で与えられる．

(2) リーマン上積分とリーマン下積分を


154 目次

∫a

b

f(x) dx = inf∆∈D[a,b]

S∆(f) (6.5)∫ b

a

f(x) dx = sup∆∈D[a,b]

s∆(f) (6.6)

で定める．

(3) リーマン上積分とリーマン下積分が一致するとき，その値を以ってリーマン積分の

値と定義する．つまり， ∫a

b

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx (6.7)

ならば， ∫ b

a

f(x) dx =

∫a

b

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx (6.8)

と定める．

上積分の定義は ∫a

b

f(x) dx = inf∆∈D[a,b]

上限和 (6.9)∫ b

a

f(x) dx = sup∆∈D[a,b]

下限和 (6.10)

のようになっているから，注意しよう．

上積分と下積分はすべての [a, b] 上の有界関数に対して定義されるが，積分は [a, b] 上

のすべての関数に対しては定義されないので，このことにも注意しよう．このことは積分

を定義するためにここまで複雑になっている理由のひとつである．

これらの用語の定義から，ξiNi=1 が [a, b] の分割 xiNi=0 の標本点であるならば，

s∆(f) ≤N∑i=1

(xi − xi−1)f(ξ) ≤ S∆(f)

が成立する．

さらに，∆′ ≪ ∆ であるなら，

s∆(f) ≤ s∆′(f) ≤ S∆′(f) ≤ S∆(f)

が成り立つ．共通細分をとれば，一般に ∆,∆′ を I = [a, b] での分割として，

s∆(f) ≤ s∆′′(f) ≤ S∆′′(f) ≤ S∆′(f)


155

となるので，一般に上限和は下限和より大きい．さらに，このことから，

s∆(f) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤∫a

b

f(x) dx ≤ S∆(f)

である．

つぎの補題はあとで使う．

補題 6.11 f : [a, b] → [−M,M ] を有界関数，∆ = xiNi=0 を [a, b] の分割，∆ に

ひとつ点 y を加えて，分割 ∆∗ が出来ているとする．このとき，

S∆∗(f) ≤ S∆(f) ≤ S∆∗(f) + 2|∆|M

が成り立つ．

証明. xk−1 < y < xk であるとする．このとき，

S∆(f)− S∆∗(f) = (y − xk−1)

(sup

z∈[xk−1,xk]

f(z)− supz∈[xk−1,y]

f(z)

)

+ (xk − y)

(sup

z∈[xk−1,xk]

f(z)− supz∈[y,xk]

f(z)

)となる．したがって，|f(z)| ≤M, (z ∈ [a, b]) であるから，

S∆(f)− S∆∗(f) ≤ (y − xk−1) (M − (−M)) + (xk − y) (M − (−M))

≤ 2(xk − xk−1)M

≤ 2|∆|M.


156 目次

例 6.12 I =

∫ 2

1

dx

xの計算をしてみよう．以下，y =

1

xの [1, 2] における値の関数

値をまとめる．[1, 2] を 10 等分して，分割したそれぞれの区間の左端点，中点，右端点

の値を表にしてまとめる．

x 左端点での関数値中点での関数値右端点での関数値

1 1 0.952 0.909

1.1 0.909 0.869 0.833

1.2 0.833 0.8 0.769

1.3 0.769 0.74 0.714

1.4 0.714 0.689 0.666

1.5 0.666 0.645 0.625

1.6 0.625 0.606 0.588

1.7 0.588 0.571 0.555

1.8 0.555 0.54 0.526

1.9 0.526 0.512 0.5

2 0.5 0.487 0.476

それぞれの列を足して 10 で割ると，I のおおよその値が得られる．それぞれ，

0.7185, 0.6924, 0.6685 と求まる．実際に，I = log 2 = 0.694 であるから，真ん中

の値をとると一番近い値が得られる．0.7185 はこの 10 等分割の過剰和，0.6685 はこの

10 等分割の不足和ということになる．

6.2.3 ダルブーの定理

このようにして積分の諸概念を定めたが，次のダルブーの定理が基本的である．

定理 6.13 (ダルブーの定理１) f : [a, b] → R を有界関数とする．このとき，任意の

ε > 0 に対してある δ > 0 が存在して，|∆| < δ のときに，∫a

b

f(x) dx− ε < S∆(f) (6.11)

が成り立つ．

|∆| は，ただ分割 ∆ の条件としてこれが δ 以下だとか 0 に収束するようなものを考

えようと言っているだけである．定義式中に変数として現れはしないことに注意しよう．

証明.

∫a

b

f(x) dx の定義によってある分割 ∆0 = yiNi=0 が存在して，


157

∫a

b

f(x) dx− 1

2ε < S∆0(f) (6.12)

が成り立つ．ここで，

κ = mini=1,2,··· ,N

|yi − yi−1|, M = supx∈[a,b]

|f(x)| (6.13)

と定める．f ≡ 0 では何も示すことがないので M > 0 と仮定してよい．すると，もし，

|∆| < δ = min(κ,

ε

5MN

)(6.14)

なる分割が与えられたとする．すると，∆,∆0 の分割を合併して得られる分割 ∆∗0 ∈

D[a, b] に対して，

S∆0(f) ≥ S∆∗0(f), S∆(f) ≥ S∆∗

0(f) (6.15)

となる．さらに，|∆| < δ ≤ κ であるから ∆∗0 の分点のうち ∆ にない分点は高々N 個

で幅は δ を超えない．よって，補題 6.11 を N 回使い，さらに δ の定義 (6.14) を代入

することで，

S∆(f)− S∆∗0(f) ≤ 2M ×N × δ ≤ 2M ×N min

(κ,

ε

5MN

)<

1

2ε (6.16)

となる．以上のことから ∫a

b

f(x) dx− ε < S∆(f) (6.17)

が得られる．以上のことがダルブーの定理の本質であるが，次のように言い換えることができる．

定理 6.14 (ダルブーの定理の定理２) f : [a, b] → R を有界関数とする．このとき，

任意の ε > 0 に対してある δ > 0 が存在して，|∆| < δ のときに，∣∣∣∣∣∫a

b

f(x) dx− S∆(f)

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx− s∆(f)

∣∣∣∣∣ < ε (6.18)

が成り立つ．

すなわち，標語的に書くならば

lim|∆|↓0

S∆(f) =

∫a

b

f(x) dx, lim|∆|↓0

s∆(f) =

∫ b

a

f(x) dx (6.19)

となる．


158 目次

証明.

∫に関する証明は今までの不等号を逆にするか，f の代わりに −f を考えれば

よい．次のことはまとめておくと便利であろう．

系 6.15 [a, b] を有界閉区間，f : [a, b] → R を有界関数とする．

(1) n 等分によって得られる分割 x(n)j nj=0 を考える．

limn→∞

n∑j=1

(x(n)j − x

(n)j−1)

supx∈[x

(n)j−1,x

(n)j ]

f(x)− infx∈[x

(n)j−1,x

(n)j ]

f(x)

= 0

であることと，f がリーマン積分可能であることは必要十分である．このとき，次

の式が成り立つ．

(a) ∫ b

a


b− a

n

n∑k=1

f

(a+

b− a

nk

)(6.20)

が成り立つ．

(b) x(n)j nj=0 ∈ D[a, b] とする．もし，x

(n)j−1 ≤ ξ

(n)j ≤ x

(n)j が成り立つならば，∫ b

a


n∑j=1

(x(n)j − x

(n)j−1)f(ξj) (6.21)

となる．

(2) f が連続であるなら，f は [a, b] でリーマン可積分，つまり

∫ b

a

f(x) dx は存在

する．

証明.

(1) ダルブーの定理によって∫a

b

f(x) dx−∫ b

a

f(x) dx

= limn→∞

n∑j=1

(x(n)j − x

(n)j−1)

supx∈[x

(n)j−1,x

(n)j ]

f(x)− infx∈[x

(n)j−1,x

(n)j ]

f(x)

だからである．等式 (6.20) と (6.21) の成立は右辺が

∫a

b

f(x) dx 以下で，左辺が


159∫ b

a

f(x) dx 以上であることより明らかである．

(2) 1 と同じ記号を用いて考えることにして，

n∑j=1

(x(n)j − x

(n)j−1)

supx∈[x

(n)j−1,x

(n)j ]

f(x)− infx∈[x

(n)j−1,x

(n)j ]

f(x)

≤

n∑j=1

(x(n)j − x

(n)j−1) sup

x,y∈[a,b], |x−y|≤n−1(b−a)

|f(x)− f(y)|

≤ (b− a) supx,y∈[a,b], |x−y|≤n−1(b−a)

|f(x)− f(y)|

であるから，f の一様連続性 (定理 4.59) によって

limn→∞

n∑j=1

(x(n)j − x

(n)j−1)

supx∈[x

(n)j−1,x

(n)j ]

f(x)− infx∈[x

(n)j−1,x

(n)j ]

f(x)

= 0 (6.22)

となる．

複素数値有界関数に関してもリーマン積分が定義できるが，それは実部と虚部に分け

て考えて両方がリーマン積分可能である場合に限りリーマン積分可能であるといい，実部

と虚部のリーマン積分を加えることで定義する．すなわち，∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

Ref(x) dx+ i

∫ b

a

Imf(x) dx (6.23)

と定めるが，右辺の積分は両方とも意味を成していると仮定する．

6.3 リーマン積分の性質

リーマン積分可能な [a, b] 上の有界関数は和と積について閉じている．

定理 6.16 (リーマン積分の線形性) f, g : [a, b] → R をリーマン積分可能な関数とす

る．このとき，f + g, f · g もリーマン積分が可能である．さらに，l をスカラーとするとき∫ b

a

(f(x)+ g(x)) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx,

∫ b

a

lf(x) dx = l

∫ b

a

f(x) dx (6.24)

が成り立つ．

証明. [a, b] の n 等分によって得られる分割 x(n)j nj=0 を考える．


160 目次

osc[x

(n)j−1,x

(n)j ]

f =

supx∈[x

(n)j−1,x

(n)j ]

f(x)− infx∈[x

(n)j−1,x

(n)j ]

f(x)

= sup

x,y∈[x(n)j−1,x

(n)j ]

|f(x)− f(y)|

とおく．すると，

osc[x

(n)j−1,x

(n)j ]

(f + g) ≤ osc[x

(n)j−1,x

(n)j ]

f + osc[x

(n)j−1,x

(n)j ]

g

osc[x

(n)j−1,x

(n)j ]

(f · g) ≤

osc[x

(n)j−1,x

(n)j ]

f + osc[x

(n)j−1,x

(n)j ]

g

supy∈[a,b]

(|f(y)|+ |g(y)|)

が成り立つ．したがって,

limn→∞

n∑j=1

(x(n)j − x

(n)j−1) osc

[x(n)j−1,x

(n)j ]

(f + g) = 0

limn→∞

n∑j=1

(x(n)j − x

(n)j−1) osc

[x(n)j−1,x

(n)j ]

(f · g) = 0

なので，系 6.15 より f + g, f · g はリーマン可積分である．一度このことがわかると，∫ b

a


b− a

n

n∑k=1

f

(a+

b− a

nk

)∫ b

a

g(x) dx = limn→∞

b− a

n

n∑k=1

g

(a+

b− a

nk

)∫ b

a

(f(x) + g(x)) dx = limn→∞

b− a

n

n∑k=1

f

(a+

b− a

nk

)+ g

(a+

b− a

nk

)∫ b

a

l f(x) dx = limn→∞

b− a

n

n∑k=1

l f

(a+

b− a

nk

)= l lim

n→∞

b− a

n

n∑k=1

f

(a+

b− a

nk

)が得られるので，等式の成立は明らかである．次に，リーマン積分は区間に関して足し算ができることを示そう．

補題 6.17 a < b < c とする．f : [a, c] → R が有界関数であるならば，∫a

b

f(x) dx+

∫b

c

f(x) dx =

∫a

c

f(x) dx (6.25)∫ b

a

f(x) dx+

∫ c

b

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx (6.26)


161

が成り立つ．

証明. リーマン上積分に関する主張は次のようにして簡単に示される．[a, b] を n 等

分して得られる分割を ∆1,n，[b, c] を n 等分して得られる分割を ∆2,n とする．∆1,n と

∆2,n に現れる分点をあわせて得られる分割を ∆n とする．すると，

S∆n(f) = S∆1,n(f) + S∆2,n(f) (6.27)

が得られる．ダルブーの定理によって∫a

b

f(x) dx+

∫b

c


S∆1,n(f) + limn→∞

S∆2,n(f)

= limn→∞

(S∆1,n(f) + S∆2,n(f)

)= lim

n→∞S∆n(f)

=

∫a

c

f(x) dx

となる．下積分の場合も同じである．

定理 6.18 (リーマン積分の区間に関する加法性) a, b, c は a < b < c を満たす実数

とする．f : [a, c] → R がリーマン積分可能な有界関数であるならば，f は [a, b] 上，[b, c]

上でもリーマン積分可能で，∫ c

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ c

b

f(x) dx (6.28)

が成り立つ．

証明. 補題 6.17 によって∫a

b

f(x) dx+

∫b

c

f(x) dx =

∫a

c

f(x) dx (6.29)∫ b

a

f(x) dx+

∫ c

b

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx (6.30)

が得られているが，仮定によって∫a

c

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx (6.31)

となる．一方で，リーマン上積分とリーマン下積分の大小関係 (定義 6.10 参照) から


162 目次

∫ b

a

f(x) dx ≤∫a

b

f(x) dx,

∫ c

b

f(x) dx ≤∫b

c

f(x) dx (6.32)

である．実際，この不等式の不等号は等号でないといけない．つまり，∫ b

a

f(x) dx =

∫a

b

f(x) dx,

∫ c

b

f(x) dx =

∫b

c

f(x) dx. (6.33)

よって，f は [a, b] と [b, c] 上でそれぞれ積分可能である．また，今まで得られた式を代

入すれば∫ c

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ c

b

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ c

b

f(x) dx

(6.34)

となる．a > b のときのリーマン積分は∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx (6.35)

で定義する．

系 6.19 I を有界閉区間，f : I → R をリーマン積分可能とする．a, b, c ∈ I に対

して， ∫ b

a

f(x) dx+

∫ c

b

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx (6.36)

が成り立つ．

定理 6.20 (微積分学の基本定理１) f : [a, b] → R が連続であるとする．このとき，

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt, x ∈ (a, b) は微分可能で，

F ′(x) = f(x) (6.37)

が成り立つ．

証明. x, x+ h ∈ (a, b) とする．このとき，∣∣∣∣F (x+ h)− F (x)

h− f(x)

∣∣∣∣=

1

|h|

∣∣∣∣∫ x+h

x

(f(t)− f(x)) dx

∣∣∣∣


163

≤ 1

|h|

∫ max(x,x+h)

min(x,x+h)

|f(t)− f(x)| dx

≤ sup|f(t)− f(x)| : min(x, x+ h) ≤ t ≤ max(x, x+ h)

が得られる．したがって，f の連続性より結論が得られる．

定理 6.21 (微分積分学の基本定理２) I を開区間，a, b ∈ I とする．f が I 上で微

分可能で f ′ がリーマン積分可能なときに，∫ b

a

f ′(x) dx = f(b)− f(a), a, b ∈ I (6.38)

が成り立つ．

証明. 必要なら，a, b を入れ替えて等式全体の符号を入れ替えることで a < b とし

てよい．a, b を N 等分する分割 ∆N = xiNi=1 を取る．平均値の定理より，f(xi) −f(xi−1) = (xi − xi−1)f

′(ξi) となる ξi ∈ (xi−1, xi) が存在する．したがって，

N∑i=1

(xi − xi−1)f′(ξi) =

N∑i=1

(f(xi)− f(xi−1)) = f(b)− f(a) (6.39)

であるから，

s∆N (f) ≤ f(b)− f(a) ≤ S∆N (f) (6.40)

となる．ダルブーの定理によって，∫ b

a

f ′(x) dx = limN→∞

s∆N (f ′) ≤ f(b)− f(a) ≤ limN→∞

S∆N (f ′) =

∫a

b

f ′(x) dx (6.41)

となる．f ′ はリーマン積分可能であるから，∫ b

a

f ′(x) dx =

∫a

b

f ′(x) dx =

∫ b

a

f ′(x) dx (6.42)

となる．ゆえに，

f(b)− f(a) =

∫ b

a

f ′(x) dx (6.43)

となる．ついでにテーラー展開に関する公式を補足する．

定理 6.22 (テーラー展開 (積分形) ) n = 1, 2, · · · につき，f が Cn-級であるとき，


164 目次

RN (x, a) =1

(n− 1)!

∫ x

a

(x− s)n−1f (n)(s) ds

とおく．このとき，

f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + · · ·+ (x− a)n−1

(n− 1)!f (n−1)(a) +RN (x, a) (6.44)

が成り立つ．

証明. n = 1 のときは微分積分学の基本定理である．n ≥ 2 のときは部分積分により，∫ x

a

(x− s)n−2f (n−2)(s) ds

=

∫ x

a

(−(x− s)n−1

n− 1

)′

f (n−1)(s) ds

=(x− a)n−1

n− 1f (n−1)(a) +

1

n− 1

∫ x

a

(x− s)n−1f (n)(s) ds

が成り立つから数学的帰納法で証明ができる．

例 6.23 C : y = x2 − x と ℓ : y = x とで囲まれた部分 D を ℓ を軸にして回転して

得られる回転体 K の体積 V を求めよう．V の計算

P : (t, t2 − t) から y = x におろした垂線の足 H は

(t2

2,t2

2

)である．よって，

PH =2t− t2√

2, OH =

t2√2

である．OH の値 a を固定して

PH =2√√

2a−√2a√

2

だから，回転体を H を通る回転軸に垂直な面で切ると，切り口の面積は

π

2(2

√√2a−

√2a)2

である．

C と ℓ の交点の位置関係から 0 ≤ t ≤ 2 の範囲で考えることになる．つまり，0 ≤ a ≤2√2 の範囲を考えないといけない．したがって，V は

V =

∫ 2√

2

0

π

2(2

√√2a−

√2a)2 da =

∫ 4

0

π

2√2(2√a−a)2 da =

64π

2√2·(1

2− 4

5+

1

3

)=

8√2π

15


165

例 6.24 C′ : y = x2 − 2x と ℓ : y = x とで囲まれた部分 D を ℓ を軸にして回転し

て得られる回転体 K の体積 V ′ を求めよう．V ′ の計算

P : (t, t2−2t) から y = x におろした垂線の足 H は

(t2 − t

2,t2 − t

2

)である．よって，

PH =3t− t2√

2, OH =

t2 − t√2

である．t ≥ 1

2で定義された関数 φ(t) =

t2 − t√2と t ≤ 1

2で定義された関数 ψ(t) =

t2 − t√2を考える．体積は

V ′ =π

2

∫ 3√

2

− 14√

2

(3φ−1(t)− φ−1(t)2)2 dt− π

2

∫ 0

− 14√

2

(3ψ−1(t)− ψ−1(t)2)2 dt

である．変数変換して，

V ′ =π

2√2

∫ 3

− 12

(3t− t2)2(2t− 1) dt− π

2√2

∫ −1

− 12

(3t− t2)2(2t− 1) dt

=π

2√2

∫ 3

−1

(3t− t2)2(2t− 1) dt =16

√2π

15

6.4 不定積分の公式

不定積分の公式を整理しておく．

不定積分に関してはいくつかの定義があると思われるが，ここでは次の定義を採用する．

定義 6.25 ( 原始関数，不定積分)

(1) 関数 f の不定積分とは，微分すると与えられた関数 f に一致するような新たな関

数（原始関数）を求める操作のこと，およびその原始関数の全体と定める．

(2) 同じく（ここでは）

∫f(x) dx は微分して f(x) になる関数のことと定める．

f が定義されている区間の 1 点 a を固定して

∫f(x) dx =

∫ x

a

f(u)du と定める流儀も

ある．

したがって，本書では高校の時と同じように次のような書き方をする．

例 6.26

∫log x dx = x log x− x+ C である．


166 目次

積分に関する簡単な不等式をいくつかまとめる．

定理 6.27 (積分の単調性) f, g : [a, b] → R をリーマン積分可能な有界関数とする．

不等式 f(x) ≤ g(x), x ∈ [a, b] が成り立つなら∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

g(x) dx (6.45)

が成り立つ．

証明. S∆(f) ≤ S∆(g), ∆ ∈ D[a, b] が成り立つのは明らかである．したがって，不等

式は極限にまで遺伝するので結論が従う．

定理 6.28 (積分の三角不等式) f : [a, b] → R をリーマン積分可能な有界関数とす

る．このとき，|f | はリーマン可積分で，∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f(x)| dx (6.46)

が成り立つ．

証明. |f | のリーマン積分可能性は oscI(|f |) ≤ oscI(f) がすべての区間 I に対して成

り立つから，すぐに証明できる．

不等式 ∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f(x)| dx (6.47)

とは絶対値の定義によって∫ b

a

−|f(x)| dx(= −

∫ b

a

|f(x)| dx)

≤∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

|f(x)| dx (6.48)

と同じことであるから，−|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)| より明らかである．応用として積分の平均値の定理を示すことができる．積分の第二平均値定理もあるが，

ここでは省略する．

定理 6.29 (積分の (第一) 平均値の定理) f : [a, b] → R が連続であるとする．この

とき， ∫ b

a

f(x) dx = (b− a)f(c) (6.49)

となる c ∈ [a, b] が存在する．


167

証明. M = maxx∈[a,b]

f(x), m = minx∈[a,b]

f(x) とすると，積分の単調性によって

m ≤ 1

b− a

∫ b

a

f(x) dx ≤M (6.50)

であるから，中間値の定理から，主張は明らかである．

6.5 一様収束性とリーマン積分

[0, 1] 上の連続関数 fn∞n=1 が連続関数 f : [0, 1] → R に各点収束しているだけだと，

limn→∞

∫ 1

0

fn(x) dx =

∫ 1

0

f(x) dx

が成り立たない．実際に，

fn(x) =

n2x (0 ≤ x ≤ (2n)−1のとき)

n− n2x ((2n)−1 ≤ x ≤ n−1のとき)

0 (そのほか)

と定めると，fn は f ≡ 0 に各点収束しているが，

1

2= lim

n→∞

∫ 1

0

fn(x) dx > 0 =

∫ 1

0

f(x) dx

となり，等号が成立しない．

しかしながら，等号が成り立つ十分条件を与えておいてそれを活用するのは重要なことで

ある．


168 目次

定理 6.30 (lim と積分の入れ替え定理，項別積分可能定理) 区間 I = [a, b] で定義

された連続関数列 fn∞n=1 が f に一様収束するなら

limn→∞

∫ b

a

fn(t) dt =

∫ b

a

f(t) dt (6.51)

が成り立つ．

この定理の意味する (6.51) は，

limn→∞

∫ b

a

fn(t) dt =

∫ b

a

limn→∞

fn(t) dt

である．これは記号 limn→∞

と

∫ b

a

の入れ替えをしたものである．つまり，「極限関数の積

分を計算するには，関数項の各項の積分を先に計算して，後からその積分値の極限をとっ

てやればよい」ことがわかる．これが定理のもつ名前の意味である．

証明. 三角不等式

∣∣∣∣∫ b

a

g(t) dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|g(t)| dt より，∣∣∣∣∫ b

a

fn(t) dt−∫ b

a

f(t) dt

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ b

a

fn(t)− f(t) dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|fn(t)− f(t)| dt

となる．被積分関数を値が大きいのもので置き換えて，∣∣∣∣∫ b

a

fn(t) dt−∫ b

a

f(t) dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

(sup

a≤v≤b|fn(v)− f(v)|

)dt

= (b− a)

(sup

a≤v≤b|fn(v)− f(v)|

)であるから，(6.51) が得られる．微分可能な関数列 fn∞n=1 があって，その (各点) 極限関数 f = lim

n→∞fn が存在する

と仮定する．このとき，f は微分可能であろうか？[0, 1] 上の関数列 fn(x) = xn を考

える．

f(x) = χ1(x) =

1 (x = 1)

0 (0 < x < 1)

であるから，f は原点で微分が不可能である．それでは，今度は f が微分可能だとし

て，f ′ = limn→∞

fn が成り立つかどうかと考える．[0, 1] 上の関数列 fn(x) =sin(nx)√

nを

考えると，fn は 0 に (各点) 収束する．また，fn は微分可能であるが，その導関数は


169

f ′n(x) = cos(nx)

√n であるために，f ′

n∞n=1 の極限は存在しない．

f ′ = limn→∞

fn が成り立つことを前提に議論することは自然科学一般に行われている．

ここでは，定理 6.30 を微分に応用して，この問に十分条件を与えよう．この定理が項別

微分定理と呼ばれる所以は先ほどと同じである．

定理 6.31 (lim と微分の入れ替え，項別微分定理) 開区間 I = (a, b) で定義された

C1-級関数列 fn∞n=1 が与えられたとする．

(1) fn∞n=1 は f に各点収束する．

(2) f ′n∞n=1 は連続関数 g に一様収束する．

このとき，g = f ′ で limn→∞

f ′n(x) = f ′(x), x ∈ (a, b) が成り立つ．

証明. c ∈ (a, b) を固定する．微積分学の基本定理によって，

fn(x)− fn(c) =

∫ x

c

f ′n(t) dt (6.52)

が成り立つ．すると仮定によって n→ ∞ とすることで，左辺は f(x)− f(c) に，右辺

は定理 6.30 によって

∫ x

c

g(t) dt に収束する．つまり，

f(x)− f(c) =

∫ x

c

g(t) dt (6.53)

が成り立つ．g は連続であるから，(6.53) の両辺を微分して g = f ′ が得られる．極限の例として無限級数に関しても考えられる．したがって，無限級数と関数列を混ぜ

たものも考えることができる．

定義 6.32 (関数項級数)

J∑

j=1

fj

∞

J=1

の形で表される関数列を関数項級数といい，

その収束を表すのに

∞∑j=1

fj(x) = f1(x) + f2(x) + · · ·

などという記号を用いる．一様収束，絶対収束，条件収束などの諸概念もしかるべく関数

項級数に拡張して定義する．

次の定理は定理 6.30 を関数項級数に翻訳したものである．

定理 6.33 ((関数項級数に対する) lim と積分の入れ替え定理，項別積分可能定理)


170 目次

区間 I = [a, b] で定義された関数項級数

J∑

j=1

fj

∞

J=1

が S に一様収束するなら

limj→∞

J∑j=1

∫ b

a

fj(t) dt =

∫ b

a

S(t) dt (6.54)

が成り立つ．

たとえば，収束半径が R の冪級数∞∑

n=0anx

nに対して，0 < r < R ならば，

∞∑n=0

anxn

は [−r, r] で一様収束したので，

∞∑n=0

ann+ 1

rn+1 =

∫ r

0

( ∞∑n=0

anxn

)dx

が成り立つ．

6.6 関数の連続性とリーマン積分可能性

6.6.1 連続性

f が積分可能であるか否かは f の連続性によって判定できる．その事情を説明するた

めに，連続性の概念を精密に見てみることにする．

定義 6.34 (f の x における振動量) 有界関数 f : [a, b] → R に対して，上半連続修

正と下半連続修正を

f(x) = limδ↓0

(sup

y∈[a,b]∩(x−δ,x+δ)

f(y)

)= lim

δ↓0

(sup

y∈(x−δ,x+δ)

F (y)

)(6.55)

f(x) = limδ↓0

(inf

y∈[a,b]∩(x−δ,x+δ)f(y)

)= lim

δ↓0

(inf

y∈(x−δ,x+δ)F (y)

)(6.56)

と定義する．さらに，f の x での振動量を

oscf(x) = f(x)− f(x)

と定める．

例 6.35 集合 E 上の特性関数 χE とは，x ∈ E のとき，χE(x) = 1 となり，そう

ではないときに χE(x) = 0 となる関数を表す．f(x) = χQ(x), x ∈ [0, 1] とすると，

f(x) = 1, x ∈ [0, 1], f(x) = 0, x ∈ [0, 1]


171

となる．

補題 6.36 有界関数 f : [a, b] → R が与えられたとする．

(1) f(x) ≤ f(x) ≤ f(x) が成り立つ．

(2) f が x で連続であることと f(x) = f(x) が成り立つことは同値である．

証明. sup, inf の定義からわかるように，(sup


f(y)

)≤ f(x) ≤

(inf

y∈[a,b]∩(x−δ,x+δ)f(y)

), δ > 0 (6.57)

であるから，f, f の定義より，(1) は明らかである．定義に従って計算していくと，

f(x)− f(x) = limδ↓0

supy∈[a,b]∩(x−δ,x+δ)

f(y)− limδ↓0

infz∈[a,b]∩(x−δ,x+δ)

f(z)

= limδ↓0

(sup


f(y)− infz∈[a,b]∩(x−δ,x+δ)

f(z)

)

= limδ↓0

(sup


f(y) + supz∈[a,b]∩(x−δ,x+δ)

(−f(z)))

= limδ↓0

sup

y,z∈[a,b]∩(x−δ,x+δ)

(f(y)− f(z))

= limδ↓0

(sup


|f(y)− f(z)|)

であるから，2 が証明される．

補題 6.37 有界関数 f : [a, b] → R と λ ∈ R が与えられたとする．このとき，レベ

ル集合 Fλ = x ∈ [a, b] : f(x)− f(x) ≥ λ は閉集合である．

証明. 補題 6.36 の証明中に示したように


(sup


|f(y)− f(z)|)

となる．したがって，仮に x ∈ R が x /∈ Fλ，つまり x /∈ R \ [a, b] もしくは x ∈ [a, b]

で f(x)− f(x) < λ を満たしているとすると，ある δ > 0 が存在して，(x− δ, x+ δ) ⊂R \ Fλ が成り立つ．よって，Fλ は閉集合である．次の補題はリーマン積分における重要な性質と思われる．

補題 6.38 有界関数 f : [a, b] → R に対して，


172 目次

∫a

b

f(x) dx =

∫a

b

f(x) dx,

∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx. (6.58)

また， ∫a

b

(f(x)− f(x)) dx = 0,

∫a

b

((−f)(x)− (−f)(x)) dx = 0 (6.59)

であるならば，f は積分可能である．

証明. b− a = h と略記することにしよう．∆n の分点は [a, b] の n 等分によって与え

られるとする．定義によって，m ≥ 3 とすると，m× n 等分割の ∆mn に対して，

S∆mn(f) =mn∑k=1

h

mnsup

y∈[a+h(k−1)/mn,a+hk/mn]

f(y)

=n∑

P=1

m∑Q=1

h

mnsup

y∈[a+h((P−1)m+Q−1)/mn,a+h((P−1)m+Q)/mn]

f(y)

であるが，m = 1, n の場合を特別に扱うことにして，

S∆mn(f) =n∑

P=1

h

mnsup

y∈[a+h(P−1)/n,a+h((P−1)m+1)/mn]

f(y)

+n∑

P=1

m−1∑Q=2

h

mnsup


f(y)

+n∑

P=1

h

mnsup

y∈[a+h((P−1)m+m−1)/mn,a+hP/n]

f(y)

である．|f(x)| ≤M であるから，

S∆mn(f) ≤2Mh

m

+n∑

P=1

m−1∑Q=2

h

mnsup


f(y)

である．I ⊊ J となる閉区間 I, J に対して，

supx∈I

f(x) = supx∈I

(limδ↓0

supy∈[a,b]∩[x−δ,x+δ]

f(x)

)≤ sup

x∈Jf(x) (6.60)

であるから，

S∆mn(f) ≤2Mh

m

+n∑

P=1

m−1∑Q=2

h

mnsup

y∈[a+h((P−1)m)/mn,a+h((P−1)m+m)/mn]

f(y)

≤ 2Mh

m+

n∑P=1

m−1∑Q=2

h

mnsup

y∈[a+h(P−1)/n,a+hP/n]

f(y)


173

=2Mh

m+

n∑P=1

h

nsup


f(y)

− 2n∑

P=1

h

mnsup


f(y)

である．|f(y)| ≤M であるから，

S∆mn(f) ≤4Mh

m+

n∑P=1

h

nsup


f(y) =4Mh

m+ S∆n(f) (6.61)

となる．（この不等式 (6.61) を得る議論は補題 6.11 と似ているので，これを参照する

こと．）

したがって，h = b− a を代入して，

S∆mn(f) ≤ S∆n(f) +4M(b− a)

msup

x∈[a,b]

|f(x)|. (6.62)

命題 6.14 より，両辺の limm→∞

をとると，

∫a

b

f(x) dx ≤∫a

b

f(x) dx (6.63)

が得られる．逆の不等号は明らかであるから，∫a

b

f(x) dx =

∫a

b

f(x) dx. (6.64)

下積分に関しても同様である．以上より，(6.58) が示された．

一般に，集合 I 上で定義された g, h : I → R について，

supz∈I

(g(x) + h(x)) ≤ supz∈I

g(x) + supz∈I

h(x)

である．このこと，上限和の定義と (6.59) の最初の式より，∫a

b

f(x) dx ≤∫a

b

(f(x)− f(x)) dx+

∫a

b

f(x) dx =

∫a

b

f(x) dx

となる．逆向きの不等号は明らかであるから，∫a

b

f(x) dx =

∫a

b

f(x) dx (6.65)

である．同様に，(6.59) の２番目の式より，∫a

b

(−f)(x) dx =

∫a

b

(−f)(x) dx


174 目次

であるが，− を外に出すと，

−∫ b

a

f(x) dx = −∫ b

a

f(x) dx (6.66)

となる．(6.58), (6.65), (6.66) より，f はリーマン可積分である．

6.6.2 0 集合

積分可能性の判定のためには連続であることが「どの程度」必要なのかを記述しないと

いけないが，そのために次の言葉を用意する．ここで，ℓ(I) は区間 I の長さを表すとする．

定義 6.39 (0 集合) E ⊂ R が 0 集合であるとは，任意の ε > 0 に対してある区間

I1, I2, · · · , Ij , · · · が存在して，

E ⊂∞∪j=1

Ij ,∞∑j=1

ℓ(Ij) < ε (6.67)


ここで言う区間とは (a, a) の形をしている区間，つまり，空集合をも認めてしまう．

例 6.40 1 点 a からなる集合は 0 集合である．実際に，与えられた ε > 0 に対して，

I1 = (a− ε/2, a+ ε/2), I2, I3, · · · = ∅ とおけばよいからである．このことからもわかるように，0 集合とは 0 のこととではない．0 は 0 集合であるが，それ以外にも 0

集合はたくさんあるので，注意しよう．

0 集合の性質をまとめておこう．

命題 6.41

(1) 1 点からなる R の部分集合は 0 集合である．

(2) 0 集合の部分集合は 0 集合である．

(3) N1, N2, · · · , Nj , · · · を 0 集合とするとき，これらの合併∞∪j=1

Nj も 0 集合である．

証明. 1 は次のようにして証明される．p ∈ R とする．ε > 0 をとる．すると，

p ⊂∞∪j=1

(p− ε

2j+2, p+

ε

2j+2

),

∞∑j=1

ℓ(p− ε

2j+2, p+

ε

2j+2

)=

∞∑j=1

ε

2j+1=ε

2< ε

となるので，p は 0 集合である．2 は定義より明らかであるから，3 を証明する．j ∈N とする．Nj が零集合だから，任意の ε > 0 と j ∈ N に対してある可算個の開区間


175

Ij,1, Ij,2, · · · , Ij,k, · · · が存在して

(1) Nj ⊂ Ij,1 ∪ Ij,2 ∪ · · · ∪ Ij,k ∪ · · ·

(2)∞∑

k=1

|Ij,k| <ε

2j

が成り立つ．（j によって，存在している区間 I1, I2, · · · , Ik, · · · が違ってくるので，Ik ではなく，Ij,k とおかないといけない．）可算個の区間の集まり Ij,kj,k∈N を整列させて

I(l)l∈N と書くことにする．正の数は自由に足す順番を変えてよいので，

∑l∈N

|I(l)| =∞∑j=1

( ∞∑k=1

|Ij,k|)<

∞∑j=1

ε

2j= ε (6.68)

が成り立つ．

定義 6.42 (2 進区間，陪 2 進区間) l = 0, 1, · · · , 2k − 1, k ∈ N を用いて [a +

2−kl(b − a), a + 2−k(l + 1)(b − a)) と表せる右開区間を [a, b] 上の 2 進区間という

ことにする．さらに，隣接する 2 進区間で長さが同じもの 2 つの合併を [a, b] 上の陪 2

進区間ということにする．例外として 1 点集合 b も [a, b] 上の 2 進区間ということに

する．また，同じく例外として k ∈ N に対して [a− 2−k(b− a), a+2−k(b− a)) と [b−2−k(b− a), b+ 2−k(b− a)) も陪 2 進区間ということにする．

2 進区間はロシアのマトリョーシカ人形のように入れ子の構造を持っていることが定義か

らわかるであろう．

補題 6.43 (0 集合) −∞ < a < b < ∞ とする．E ⊂ [a, b] が 0 集合であるならば，

任意の ε > 0 に対してある陪 2 進区間 I1, I2, · · · , Ij , · · · が存在して，

E ⊂∞∪j=1

Ij ,∞∑j=1

ℓ(Ij) < ε (6.69)

が成り立つようにできる．

証明. E が 0 集合であるから，任意の ε > 0 に対してある区間 I∗1 , I∗2 , · · · , I∗j , · · · が

存在して，

E ⊂∞∪j=1

I∗j ,∞∑j=1

ℓ(I∗j ) <1

3ε (6.70)

が成り立つ．ここで，I∗1 , I∗2 , · · · , I∗j , · · · をわずかにふくらませて，それらを分割すれば，

たしかに条件に適う陪 2 進区間 I1, I2, · · · , Ij , · · · が存在するとわかる．


176 目次

6.6.3 ルベーグの定理

次の定理は大学初年度では難しいかもしれない．この定理は参考程度として先に読み

進めてもよいと思われる．

定理 6.44 (ルベーグの定理) f : [a, b] → R に対して次の条件は同値である．

(1) f はリーマン積分可能である．

(2) f の不連続点全体の集合 B = x ∈ [a, b] : f(x) > f(x) は 0 集合をなす．

証明. f の不連続点の集合を

Bm = x ∈ [a, b] : f(x)− f(x) ≥ m−1 (6.71)

を用いて

B =∞∪

m=1Bm (6.72)

と分解しておく．命題 6.41 の (2), (3) より，B が 0 集合であることと，各 Bm が 0 集

合であることは同値である．また，

E := [a, b] \a+ 2−kl(b− a) : l = 0, 1, · · · , 2k, k ∈ N

(6.73)

と定める．

(1) 1 を仮定しよう．m を固定して，Bm が 0 集合であることを証明しよう．すると，

補題 6.38 より，∫a

b

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx =

∫a

b

f(x) dx. (6.74)

したがって，f, f はそれぞれリーマン可積分である．このことより，∫ b

a

(f(x)− f(x)) dx = 0 (6.75)

となる．x ∈ [a, b] に対して


(sup


|f(y)− f(z)|)

であるから，任意の x ∈ Bm と任意の n ∈ N に対してある δx,n ∈ (0, n−1) が存

在して

supy,z∈[a,b]∩(x−δx,n,x+δx,n)

|f(y)− f(z)| ≥ 1

2m(6.76)


177

が成り立つ．そこで，いま Bm は [a, b] 上の閉集合 (補題 6.37) なので，ハイネ・

ボレルの定理 (定理 4.47) によってコンパクトである．x ∈ Bm に対してしたがっ

て, Bm を覆う有限個の陪 2 進区間 I∗1,n, I∗2,n, · · · , I∗i∗(n),n が存在して,

Bm ⊂i∗(n)∪j=1

Int(I∗j,n) ⊂i∗(n)∪j=1

I∗j,n, maxj=1,2,··· ,i∗(n)

ℓ(Ij,n) ≤ 2−n (6.77)

となる．陪 2 進区間を 2 つに区切って考えて，2 進区間 I∗1,n, I∗2,n, · · · , I∗i(n),n が

存在して

Bm \ E ⊂i(n)∪j=1

Ij,n (6.78)

となることがわかる．2 進区間は入れ子 (つまり 2 つの異なる 2 進区間は共有点

を持つならば，一方が他方に含まれる) になっているので，これらは交わらない

としてよい．互いに交わらない 2 進区間の有限個の和として [a, b) \i(n)∪j=1

Ij,n =

k(n)∪j=1

Kj,n と表す．さらに，Kj,n を適当に分割することによって，内部は互いに交

わらない閉区間の集まり Lj,nl(n)j=1 = Ij,ni(n)

j=1 ∪Kj,nk(n)j=1 が存在して

(a) maxj=1,··· ,i(n)

ℓ(Ij,n), maxj=1,··· ,k(n)

ℓ(Kj,n) ≤ 2−n

(b)

(i(n)⨿j=1

Ij,n

)⨿(k(n)⨿j=1

Kj,n

)= [a, b]

(c) Bm ⊂i(n)∪j=1

Ij,n

の 3 条件を満たしていることがわかる．いま，

i(n)∑j=1

ℓ(Ij,n) ≤ 2mi(n)∑j=1

ℓ(Ij,n) supx∈Ij,n

(f(x)− f(x)). (6.79)

ここで，ダルブーの定理によって任意の ε > 0 に対してある N が存在して，n ≥N ならば

2mi(n)∑j=1


(f(x)− f(x)) < ε (6.80)

となる．したがって，2 進区間 Ij,n の閉包 Ij,n は Ij,n の両端点を含めた閉区間

であるが，Ij,ni(n)j=1 は


178 目次

i(n)∑j=1

ℓ(Ij,n) < ε, Bm ⊂i(n)∪j=1

Ij,n (6.81)

をみたす．ε > 0 は任意であるから，Bm は 0 集合である．よって，不連続点全

体のなす集合は 0 集合である．

(2) 2 を仮定しよう．(6.85) を示すまで m ∈ N を固定して考える．すると，集合 Bm

はコンパクトな 0 集合であるから，任意の n ∈ N に対して，(長さの短い) 陪 2

進区間 I∗1 , I∗2 , · · · , I∗i∗(n) が存在して

Bm ⊂i∗(n)∪j=1

Int(I∗j,n) ⊂i∗(n)∪j=1

I∗j,ni∗(n)∑j=1

ℓ(I∗j,n) < 2−n, supy,z∈Ij

|f(x)− f(y)| ≥ 1

2m

(6.82)

となる．先ほどと同じように陪 2 進区間のうちいくつかを切って考えることに

よって

Bm ⊂i(n)∪j=1

Ij,ni(n)∑j=1

ℓ(Ij,n) < 2−n, supy,z∈Ij

|f(x)− f(y)| ≥ 1

2m(6.83)

とできる．さらに，x ∈ E ∩Bm なら，ある 2 進区間 Ij,n, j = 1, 2, · · · ,m に含まれる．I1,n, · · · , Ii(n),n のうちいくつかは捨てることにして互いに素 (互いに交

わらない) になっているとしてよい．[a, b] をほかの 2 進区間 Kj,nk(n)j=1 で 2−n

以下の長さのものを補って

i(n)⨿j=1

Ij,n ∪k(n)⨿j=1

Kj,n = [a, b],i(n)⨿j=1

Ij,n ⊃ Bm,k(n)⨿j=1

Kj,n ⊂ [a, b] \Bm (6.84)

とする．すると，

i(n)∑j=1


(f(x)− f(x)) ≤ 21−n supx∈[a,b]

|f(x)|

k(n)∑j=1

ℓ(Kj,n) supx∈Kj,n

(f(x)− f(x)) ≤ b− a

2m

となる．これら 2 者を足してから n→ ∞ とすることで，

(0 ≤)

∫a

b

(f(x)− f(x)) dx ≤ b− a

2m(6.85)

となる．m ∈ N は任意であるから，f を −f に変えて議論することにより，(6.59)

が満たされて，

∫a

b

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx である．したがって，f はリーマン可


179

積分である．

命題 6.45 f : [a, b] → R が単調増大なら，不連続点は可算個である．

証明. 自然数 j ∈ N に対して limh↓0

f(x + h) − limh↓0

f(x − h) > 2−jとなる x ∈ (a, b)

は有限個だから

不連続点全体のなす集合 =∞∪j=1

x ∈ [a, b] : limh↓0

f(x+h)−limh↓0

f(x−h) > 2−j (6.86)

は可算集合である．とくに，不連続点全体のなす集合は 0 集合であるので，f はリーマ

ン可積分である．

注意 6.46 (6.86) はルベーグ積分では基本的な考え方であるが，初学者には難しい

と思う．

繰り返しになるが，重要なので次のことをまとめておく．

系 6.47 f : [a, b] が次の条件のうちどちらかを満たしていれば，f はリーマン可積分

である．

(1) f は連続である．

(2) f は単調である．

次の例は，本節の定理を理解するのに有効であろう．

例 6.48

(1) f(x) = χQ(x) で与えられる関数はいたるところ不連続である．特に，f はリーマ

ン積分不可能である．この関数をディリクレ関数という．

(2) f(x) =

1

q(x =

p

q（既約分数表示）∈ Q)

0 (x /∈ Q)

で与えられる関数 f はリーマン関

数と呼ばれて，リーマン積分可能である．実際に，f の不連続点は有理点でこれら

は可算個の点からなるから，0 集合である．

ルベーグの定理の応用をもう一つ与えておこう．

例 6.49 f, g : [a, b] → R を有界かつリーマン可積分とする．このとき，f ·g, |f |p, p >


180 目次

0 は不連続点が 0 集合をなすから，やはりリーマン可積分である．

6.7 積分不等式

積分の不等式をさらに幾つか述べる．ヘルダーの不等式とミンコフスキーの不等式を

述べることにするが，ヘルダーの不等式を示すにあたり，次の補題を用いる．

補題 6.50 1 < p, q <∞ が関係式

1

p+

1

q= 1 (6.87)

を満たしているとする．このとき，a, b > 0 に対して

ab ≤ 1

pap +

1

qbq (6.88)

が成り立つ．

証明. a > 0 を変数とみなして関数

f(a) =1

pap +

1

qbq − ab (6.89)

の微分を計算すればよい．a = b1

p−1 で極小値 0 を取ることがわかる．

定理 6.51 (ヘルダーの不等式) 1 < p, q <∞ が関係式

1

p+

1

q= 1 (6.90)

を満たしているとする．このとき, 閉区間 [a, b] 上でのリーマン積分可能な実数値有界関

数 f, g に対して，∣∣∣∣∫ b

a

f(x)g(x) dx

∣∣∣∣ ≤ (∫ b

a

|f(x)|p dx) 1

p(∫ b

a

|g(x)|q dx) 1

q

(6.91)

が成り立つ．

証明. 不等式 |f(x)g(x)| ≤ 1

p|f(x)|p + 1

q|g(x)|q を a から b まで積分して積分の三角

不等式とあわせて∣∣∣∣∫ b

a

f(x)g(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f(x)g(x)| dx ≤ 1

p

∫ b

a

|f(x)|p dx+1

q

∫ b

a

|g(x)|q dx (6.92)


181

が得られる．補助的なパラメーター α を導入して，(6.92) において f の代わりに αf を，

g の代わりに α−1g を代入して得られる不等式によって，∣∣∣∣∫ b

a

f(x)g(x) dx

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ b

a

(αf(x))(α−1g(x)) dx

∣∣∣∣≤ αp

p

∫ b

a

|f(x)|p dx+α−q

q

∫ b

a

|g(x)|q dx

が成り立つので，α をしかるべくとって証明ができる．

定理 6.52 (ミンコフスキーの不等式) 1 ≤ p <∞ とする．閉区間 [a, b] 上でのリー

マン積分可能な有界関数 f, g に対して，

(∫ b

a

|f(x) + g(x)|p dx) 1

p

≤(∫ b

a

|f(x)|p dx) 1

p

+

(∫ b

a

|g(x)|p dx) 1

p

(6.93)

が成り立つ．

証明. p = 1 なら，三角不等式により明らかであるから，p > 1 としよう．1

p+

1

q= 1

となるように，1 < q <∞ をとる．ここで，証明をするにあたり左辺が 0 ではないとし

てよいので，左辺の値を I とおく．

h(x) =1

Ip−1|f(x) + g(x)|p−1 ≥ 0, x ∈ [a, b] (6.94)

と定める．すると，pq = p+ q であるから，(∫ b

a

h(x)q dx

) 1q

=1

Ip−1

(∫ b

a

|f(x) + g(x)|p dx) p−1

p

= 1 (6.95)

となる．一方で，積分の三角不等式によって

I =

∫ b

a

h(x)|f(x) + g(x)| dx ≤∫ b

a

h(x)|f(x)| dx+

∫ b

a

h(x)|g(x)| dx (6.96)

であるから，ヘルダーの不等式によって，

I ≤(∫ b

a

|f(x)|p dx) 1

p(∫ b

a

h(x)q dx

) 1q

+

(∫ b

a

|g(x)|p dx) 1

p(∫ b

a

h(x)q dx

) 1q

=

(∫ b

a

|f(x)|p dx) 1

p

+

(∫ b

a

|g(x)|p dx) 1

p

となる．p = 2 のときは特に重要なので再度採録しておく．最初の不等式はコーシー・シュワル

ツ (Cauchy-Schwarz) の不等式，2 番目の不等式は三角不等式という名前がついている．


182 目次

定理 6.53 (コーシー・シュワルツの不等式，三角不等式) リーマン積分可能な実数

値有界関数 f, g : [a, b] → R に対して，

(1)

(∫ b

a

f(x)g(x) dx

)2

≤∫ b

a

(f(x))2 dx

∫ b

a

(g(x))2 dx.

(2)

(∫ b

a

(f(x) + g(x))2 dx

)1/2

≤(∫ b

a

f(x)2 dx

)1/2

+

(∫ b

a

g(x)2 dx

)1/2

.

6.8 広義リーマン積分

有界閉区間でのリーマン積分の概念がきちんと定まったので，それ以外の区間での積

分である広義リーマン積分を定義する．広義リーマン積分は自然科学の諸分野で現れる重

要な概念である．

今まで扱った積分は ∫ b

a

f(x) dx

の形をしていた．たとえば，

0 ≤ y ≤ x−1, 1 ≤ x ≤ 5

1 2 3 4 50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

のように有限区間の領域の面積を考えてきた．ここでは，∫ ∞

1

dx

x

の値に相当する領域

0 ≤ y ≤ x−1, 1 ≤ x


183

0 100 200 300 400 5000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

のような無限区間の面積を考える．また，∫ 1

0

− log x dx

が領域

y ≥ log x, 0 < x < 1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-10

-8

-6

-4

-2

0

のような x→ 0 で発散する関数のグラフによって作られる図形の面積も考える．

定義 6.54 (広義積分)

(1) f : [a,∞) → R を関数とする．任意の b > a に対して，f は [a, b] 上有界でリー

マン可積分であるとする．このとき，∫ ∞

a

f(x) dx = limR→∞

∫ R

a

f(x) dx (6.97)


184 目次

と定める．ただし，極限が存在しないならば，そのときは

∫ ∞

a

f(x) dx は存在し

ないと定義する．

(2) f : [a, c) → R を関数とする．任意の a ≤ b < c に対して，f は [a, b] 上有界で

リーマン可積分であるとする．このとき，∫ c

a

f(x) dx = limR↑c

∫ R

a

f(x) dx (6.98)

と定める．ただし，極限が存在しないならば，そのときは

∫ c

a

f(x) dx は存在しな

いと定義する．

(3) f : [a, c)∪(c, b] → R を関数とする．任意の a ≤ A < c, c < B ≤ b を満たす

A,B につき，f は [a,A] 上と [B, b] 上でそれぞれ有界でリーマン可積分であると

する．このとき，∫ b

a

f(x) dx = limA↑c

∫ A

a

f(x) dx+ limB↓c

∫ b

B

f(x) dx (6.99)

と定める．ただし，両方の極限が存在しないならば，そのときは

∫ b

a

f(x) dx は存

在しないと定義する．

(4) 上で定義していないそのほかの積分も類似の方法で定義する．

例 6.55

(1)

∫ ∞

1

xa dx を考える．定義によって∫ ∞

1

xa dx = limR→∞

∫ R

1

xa dx

を計算することになる．不定積分を計算すると，

∫ ∞

1

xa dx = limR→∞

[log x]R1 (a = −1 のとき)[

1

a+ 1xa+1

]R1

(a = −1 のとき)

であるから，∫ ∞

1

xa dx = limR→∞

logR (a = −1 のとき)

Ra+1 − 1

a+ 1(a = −1 のとき)

=

∞ (a ≥ −1 のとき)

− 1

a+ 1(a < −1 のとき)

となる．


185

(2)

∫ 1

0

xa dx を考える．定義によって∫ 1

0

xa dx = limε↓0

∫ 1

ε

xa dx

を計算することになる．不定積分を計算すると，

∫ 1

0

xa dx = limε↓0

[log x]1ε (a = −1 のとき)[

1

a+ 1xa+1

]1ε

(a = −1 のとき)

であるから，∫ 1

0

xa dx =

− log ε (a = −1 のとき)

1− εa+1

a+ 1(a = −1 のとき)

=

∞ (a ≤ −1 のとき)

1

a+ 1(a > −1 のとき)

となる．

(3) 上の 2 つの例を考えると∫ ∞

0

xa dx = limε↓0

∫ 1

ε

xa dx+ limR→∞

∫ R

1

xa dx = ∞

となる．

(4)

∫ ∞

0

cosx dx は存在しない．

∫ R

0

cosx dx = sinR (6.100)

の R → ∞ における極限は存在しないからである．

(5)

∫ 1

−1

dx

xは存在しない．

∫ 1

−1

dx

x= lim

ε↓0

∫ 1

ε

dx

x+ lim

ε′↓0

∫ −ε′

−1

dx

x(6.101)

において 2 つの極限は両方とも存在しないからである．

(6) 同じような理由で，

∫ 1

−1

(1

x− 1+

1

x+ 1

)dx は収束しない．

(7)

∫ 1

−1

dx√1− x2

= π である．計算が正しくできるか練習してみよう．

(8) 同じような計算をすることで，∫ 1

−1

log |x| dx = limε1↓0

∫ 1

ε1

log x dx+ limε2↓0

∫ −ε2

−1

log(−x) dx


186 目次

= limε1↓0

∫ 1

ε1

log x dx+ limε2↓0

∫ 1

ε2

log x dx

= 2 limε1↓0

∫ 1

ε1

log x dx

= limε1↓0

2 [x log x− x]1ε1

= limε1↓0

(−2− ε1 log ε1 + ε1)

= −2

となる．

定理 6.56 (広義積分のコーシー判定法)

(1) f, g : [a,∞) → R を関数とする．任意の b > a に対して，f, g は [a, b] 上有界で

リーマン可積分であるとする．|f(x)| ≤ g(x) で

∫ ∞

a

g(x) dx が有限値として存

在するならば，

∫ ∞

a

f(x) dx が存在する．

(2) f, g : [a, c) → R を関数とする．任意の a ≤ b < c に対して，f, g は [a, b] 上有界

でリーマン可積分であるとする．|f(x)| ≤ g(x) で

∫ c

a

g(x) dx が有限値として存

在するならば，

∫ c

a

f(x) dx が存在する．

証明. 1 のみ示す．2 も同様である．積分の三角不等式により，

supa≤R<R′

∣∣∣∣∣∫ R

a

f(x) dx−∫ R′

a

f(x) dx

∣∣∣∣∣ = supa≤R<R′

∣∣∣∣∣∫ R′

R

f(x) dx

∣∣∣∣∣≤ sup

a≤R<R′

∫ R′

R

|f(x)| dx

となる．|f | と g の大小関係から，

supa≤R<R′

∣∣∣∣∣∫ R

a

f(x) dx−∫ R′

a

f(x) dx

∣∣∣∣∣ ≤ supa≤R<R′

∫ R′

R

g(x) dx

=

∫ R′

a

g(x) dx−∫ R

a

g(x) dx

であるから，

limS→∞

sup

∣∣∣∣∣∫ R

a

f(x) dx−∫ R′

a

f(x) dx

∣∣∣∣∣ : R,R′ ≥ S

= 0 (6.102)


187

となる．よって， ∫ ∞

a

f(x) dx = limR→∞

∫ R

a

f(x) dx (6.103)

は存在する．

例 6.57 一般に関数 f : [a,∞) → R の積分を計算するのは大変であるが，これを近

似して考えることはよくある．簡単のために，M を自然数として f は [M,∞) で定義さ

れた狭義単調減少正値関数としよう．an = f(n), n ≥ M とおく．面積を比較してもわ

かるように， ∫ ∞

M

f(x) dx <∞ ⇐⇒∞∑

n=aan <∞

がわかる．より詳しく，

∞∑n=M+1

an <

∫ ∞

M

f(x) dx <∞∑

n=M

an

である．

この例にも現れるように，非負関数 f : [a,∞) → [0,∞) で任意の有界閉区間 [a, b] に

対して，f が有界でリーマン可積分であるなら，

supR>0

∫ R

a

f(x) dx <∞

と f の広義リーマン積分可能性は同値になる．これを∫ ∞

a

f(x) dx <∞

と表すことは有効である．しかし，f が 0 以上の値をとるということが前提であって，そ

うではないと

∫ ∞

0

sinx dx のように打ち消し合いが生じてこの記号法の意味はなくなる

ので注意されたい．

例 6.58 不定積分が計算できないものでも，広義リーマン積分の存在，不存在は次の

ようにして判定できる．

(1)

∫ ∞

0

e−x dx = 1 であることは定義より直接確かめられる．したがって，| sinx| ≤

1 なので，|e−x sin(x4)| ≤ e−x である．したがって，

∫ ∞

0

e−x sin(x4) dx が存在

する．


188 目次

(2)

∫ 1

0

dx4√1− x

=4

3で，0 ≤ x < 1 のとき，

14√1− x4

≤ 14√1− x

だから，∫ 1

0

dx4√1− x4

は存在する．

広義積分の収束することを判定する十分条件を本節の内容を踏まえて，例をいくつか

挙げる．

例 6.59 次数による判定法の例を与える．

(1) (a, b] で，連続な関数 f(x) が

|f(x)| ≤ C(x− a)s (s > −1, C > 0)

を満たすとき、f(x) は a から b まで広義積分可能である．

(2) [a,∞) 或いは (−∞, b] で，連続な関数 f(x) が

|f(x)| ≤ C

(1 + |x|)λ (λ > 1, C > 0)

を満たすとき、f(x) は広義積分可能である．

次のように数列と広義積分の判定は密接に関連している．次の例は重要なので繰り返

し述べることにする．

例 6.60 k ∈ N とする．f : [k,∞) → [0,∞) が [k,∞) 上単調減少であるとする．∞∑

n=k

f(n) の収束することと [k,∞) 上の関数 f の広義積分可能であることは同値である．

実際に，面積を比較すればわかるように，

∞∑n=k+1

f(n) ≤∫ ∞

k

f(x) dx ≤∞∑

n=k

f(n)


例 6.61 広義積分の場合，定理 6.31 は成立しない．つまり，たとえば，[0,∞) 上の

連続関数列 fn∞n=1 が広義積分可能であるとして，f に一様収束しているとする．この

とき，

∫ ∞

0

fn(x) dx→∫ ∞

0

f(x) dx であるとは限らない．実際に，


189

fn(x) =1

n4

0 (0 ≤ x ≤ n のとき)

(x− n) (n ≤ x ≤ n+ n2のとき)

2n2 + n− x (n+ n2 ≤ x ≤ n+ 2n2のとき)

0 (x ≥ n+ 2n2のとき)

とおけばよいからである．

広義積分の概念を知っておくと，物理などに現れる無限積分の計算ができるようになる．

例 6.62 (右ねじの関係) z 軸に下から上に流れる電流 I を考える．R > 0 として，

(R, 0, 0) で与えられる点の磁束密度を計算すると，y 軸正の方向にしか成分はなく，その

値は

B =µ0IR

4π

∫ ∞

−∞

dz

(z2 +R2)3/2=

µ0I

2πR


6.9 ガンマ関数とベータ関数

ここでは，α > 0 に対して与えられるガンマ関数とベーター関数について考える．ガ

ンマ関数とベーター関数の定義はそれぞれ

Γ(α) =

∫ ∞

0

tα−1e−t dt, B(α, β) =

∫ 1

0

xα−1(1− x)β−1 dx (6.104)

で与えられる．ガンマ関数やベーター関数は自然科学の多くの分野で現れる基本的な関数

である．

6.9.1 ガンマ関数

ガンマ関数から初めよう．まずは，収束などもこめて次の定理の形でまとめておこう．

定理 6.63 (ガンマ関数の基本性質) n = 0, 1, 2, · · · とする．

(1) Γ 関数を定義している積分は収束する．

(2) Γ(x+ 1) = xΓ(x), x > 0.

(3) 0! = 1 と定義する．∫ ∞

0

tn e−t dt = limR→∞

∫ R

0

tn e−t dt = n!. (6.105)


190 目次

とくに，n が自然数のとき，Γ(n) = (n− 1)! である．

【注意】ガンマ関数 Γ(x) =

∫ ∞

0

tx−1 e−t dt, x > 0 を用いると，

∫ ∞

0

tn e−t dt が計算

しやすい．実際，これは Γ(n+ 1) = n! である．

証明.

(1) (0, 1) での積分と ([a + 2],∞) での積分に分割する．残りの部分である閉区間

[1, [a + 2] ] での積分が定義されることは被積分関数の連続性より問題はない．∫ 1

0

xa−1 dx =1

aであるから，(0, 1) での積分は収束する．eN を 2 項展開して

N ≥ [a+ 2] のときは

eN ≥ (1 + 1)N ≥ NC[a+2] (6.106)

であるから，t ≥ 2[a] + 4 ならば，

ta−1

et≤ eta−1

e[t]≤ eta−1

[t]C[a+2]

≤ eta−1[a+ 2]!

([t]− [a]− 1)[a+2]≤ e2[a+2][a+ 2]!ta−[a]−3

(6.107)

となる．したがって， ∫ ∞

1

ta−[a]−3 dt =1

2 + [a]− a(6.108)

より問題の積分は収束する．

(2) x > 0 ならば部分積分すれば

Γ(x+ 1) = limR→∞

∫ R

0

tx (−e−t)′ dt = limR→∞

([−tx e−t

]R0+ x

∫ R

0

tx−1 e−t dt

)となる．x > 1 なので，積分の下端を代入すると 0 になる．(1) から，

Γ(x+ 1) = limR→∞

(−Rx e−R + x

∫ R

0

tx−1 e−t dt

)= xΓ(x) (6.109)

(3) 定義にしたがって計算していくと，

Γ(1) = limR→∞

∫ R

0

e−t dt = limR→∞

[−e−t

]R0= lim

R→∞(1− e−R) = 1 (6.110)

である．(6.109) を多用して

Γ(n+1) = n(n−1)Γ(n−1) = · · · = n(n−1) · · · 2 ·1 ·Γ(1) = n! ·Γ(1) (6.111)

が得られる．(6.110) より Γ(1) = 1 だから，これを代入して Γ(n) = n! となる．


191

したがって，Γ(n− 1) = (n− 1)! が得られる．

次のような性質をガンマ関数は持っている．

定理 6.64 (ガンマ関数の特徴づけ)

(1) α > 0，k ∈ N に対して，

Γ(k)(α) =

∫ ∞

0

(log t)ktα−1e−t dt (6.112)

が成り立つ．また，積分は次の意味で絶対収束している．∫ ∞

0

| log t|ktα−1e−t dt <∞ (6.113)

(2) Γ 関数は次の条件が成り立つ 2 回微分可能な正値関数として特徴付けられる．

(a) logφ は凸関数である．つまり，(logφ)′′ ≥ 0 である．

(b) φ(1) = 1.

(c) φ(x) = (x− 1)φ(x− 1), x > 1.

注意 6.65 (6.112) は

d

dx

∫ ∞

0

(log t)ktx−1e−t dt =

∫ ∞

0

d

dx

[(log t)ktx−1e−t

]dt

を言っていることに他ならないが，このような計算を微分と積分の入れ替えという．自然

科学では一般に何の断りもなくやる操作であるが，厳密には以下のように証明をしなくて

はいけない．

証明.

(1) 積分が絶対収束することを示そう．

limt↓0

tθ log t = 0, limt→∞

tθe−t/2 = 0, θ > 0 (6.114)

だから，ある C > 0 が存在して，

| log t| ≤ C t−θ, 0 < t < 1, e−t/2 ≤ C t−θ, t > 1

となる．この不等式と例 6.55 と定理 6.56 より明らかである．

k = 0 のときは明らかだから，帰納法で証明していく. k のときに，命題が正しい

と仮定する.


192 目次

Γ(k)(α)− Γ(k)(α0)− (α− α0)

∫ ∞

0

(log t)k+1tα−1e−t dt

=

∫ ∞

0

(log t)ktα−1e−t dt−∫ ∞

0

(log t)ktα0−1e−t dt

− (α− α0)

∫ ∞

0


=

∫ ∞

0

(log t)k(tα−1 − tα0−1 − (α− α0)tα0−1 log t)e−t dt

=

∫ ∞

0

(log t)k+1

(∫ α1−α0

0

ts+α0−1 − tα0−1 ds

)e−t dt

=

∫ ∞

0

(log t)k+2

∫ α1−α0

0

(∫ s

0

tu+α0−1 du

)ds

e−t dt

であるから，α0, α の大小関係によらずに∣∣∣∣Γ(k)(α)− Γ(k)(α0)− (α− α0)

∫ ∞

0


∣∣∣∣≤∫ ∞

0

| log t|k+2

∫ α−α0

0

(∫ s

0

tu+α0−1 du

)ds

e−t dt

≤∫ ∞

0

| log t|k+2

∫ α−α0

0

(∫ α−α0

0

tu+α0−1 du

)ds

e−t dt

= (α− α0)

∫ ∞

0

| log t|k+2

(∫ α−α0

0

tu+α0−1 du

)e−t dt

= |α− α0|2∫ ∞

0

| log t|k+2(tα−1 + tα0−1)e−t dt

となる．よって，k + 1 の時も (6.112) は正しい．

(2) Γ 関数がこれらの性質を持っていることは明らかである．逆に，φ が同じ性質を

持っているとしよう．すると，logφ は凸関数だから，

φ(y) ≤ φ([y])1−y+[y]φ([y + 1])y−[y] (6.115)

が成り立つ．したがって，

φ(x) =φ(x+ n+ 1)

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x

≤ φ([x+ n+ 1])1−x+[x]φ([x+ n+ 2])x−[x]

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x

となる．φ(n) = (n− 1)!, n ∈ N であるから，

φ(x) =φ(x+ n+ 1)

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x


193

≤ [x+ n]!× [x+ n+ 1]x−[x]

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x

となる．

φ([y + 1]) ≤ φ(y)y−[y]φ(y + 1)1−y+[y] (6.116)

より，

[x+n+1]! ≤ φ(x)(x+n)(x+n−1) · · · (x+1)x× (x+n+1)1−x+[x] (6.117)


[x+ n+ 1]!× (x+ n+ 1)x−[x]−1

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x≤ φ(x) ≤ [x+ n]!× [x+ n+ 1]x−[x]

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x

である．

limn→∞

(x+ n+ 1)−1+x−[x]

(x+ n+ 1)−1+x−[x]= 1 (6.118)

であるから，

φ(x) = limn→∞

[x+ n]!× [x+ n+ 1]x−[x]

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x(6.119)

となる．もちろん，φ の性質を Γ が持っているから φ の代わりに Γ をあてがっ

てもかまわない．つまり，

Γ(x) = limn→∞

[x+ n]!× [x+ n+ 1]x−[x]

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x. (6.120)

よって，(6.119) と (6.120) より，φ(x) の値は Γ(x) と一致する．

この (6.120) の結果として，

limn→∞

[x+ n]!× [x+ n+ 1]x−[x]

n!nx= lim

n→∞

[x+ n]!

n!n[x]× [x+ n+ 1]x−[x]

nx−[x]= 1

だから，

Γ(x) = limn→∞

nxn!

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x

が得られる．この式にはガウスの無限積表示という名前がついているので，公式としてま

とめておこう．

定理 6.66 (ガウスの無限積表示) x > 0 のとき，


194 目次

Γ(x) = limn→∞

nxn!

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x(6.121)

が成り立つ．

注意 6.67 (6.121) の右辺の各項を積分で表すと，

nxn!

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x=

∫ n

0

tx−1

(1− t

n

)n

dt (6.122)

となる．

γ = limn→∞

(n∑

k=1

1

k− logn

)とする．

命題 6.68 γ を定義している極限が存在する．

証明.

n∑

k=1

1

k− logn

∞

n=1

を考える．

1

n− log

n+ 1

n=

∫ n+1

n

(1

n− 1

t

)dt =

∫ n+1

n

t− n

tndt

と変形すればわかるように，

0 ≤ 1

n− log

n+ 1

n≤ 1

n2

であるから，

n∑k=1

1

k− log(n+ 1) =

n∑k=1

(1

k− log

k + 1

k

)

は∞∑

k=2

1

k2<∞ とワイエル・シュトラスの判定法によってたしかに収束している．

定理 6.69 (ワイエルストラスの無限積表示) x > 0 とするとき，

Γ(x) =e−γx

x

∞∏j=1

(1 +

x

j

)−1

exp

(x

j

)が成り立つ．

証明. ガウスの無限積表示において，

nxn!

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x

=1

xexp

(− lognx+

n∑j=1

−xj

)n∏

j=1

(1 +

x

j

)−1

exp

(x

j

)


195

と変形して，n→ ∞ とすることを考える．m ∈ N を固定する．n ≥ m のとき，(6.122)

より，

nxn!

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x=

∫ n

0

tx−1

(1− t

n

)n

dt ≥∫ m

0

tx−1

(1− t

n

)n

dt

である．ここで，両辺の n→ ∞ における下極限を考えて，

lim infn→∞

nxn!

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x≥ lim inf

n→∞

∫ m

0

tx−1

(1− t

n

)n

dt (6.123)

である．ここで，右辺の関数は [0,m] 上における一様収束の意味で，

limn→∞

(1− t

n

)n

= e−t

であるから，つまり，

supt∈[0,m]

∣∣∣∣(1− t

n

)n

− e−t

∣∣∣∣ = 0

であるから，

lim infn→∞

∫ m

0

tx−1

(1− t

n

)n

dt = limn→∞

∫ m

0

tx−1

(1− t

n

)n

dt =

∫ m

0

tx−1e−t dt

(6.124)

である．(6.123) と (6.124) より，

lim infn→∞

nxn!

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x≥∫ m

0

tx−1e−t dt

である．m→ ∞ として，

lim infn→∞

nxn!

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x≥∫ ∞

0

tx−1e−t dt (6.125)

が得られる．(6.122) に戻って，

nxn!

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x=

∫ n

0

tx−1

(1− t

n

)n

dt ≤∫ ∞

0

tx−1e−t dt

この式の n→ ∞ における上極限をとって，

lim supn→∞

nxn!

(x+ n)(x+ n− 1) · · · (x+ 1)x≤∫ ∞

0

tx−1e−t dt (6.126)

となる．(6.125) と (6.126) を組み合わせると証明が完成する．


196 目次

6.9.2 ベータ関数

B(α, β) =

∫ 1

0

xα−1(1− x)β−1 dx をベータ関数という．ここでは，ベータ関数に関

することをまとめる．

定理 6.70 (ベータ関数の基本性質) α, β > 0 とする．

(1)

∫ 1

0

xα−1(1−x)β−1 dxは収束している．より一般に，

∫ 1

0

(log x)kxα−1(1−x)β−1 dx

は k ∈ N に対して収束している．

(2) β を定数として，α だけの関数とみなした場合，

dk

dxk

∫ 1

0

xα−1(1− x)β−1 dx =

∫ 1

0

(log x)kxα−1(1− x)β−1 dx

となる．

(3) B(1, β) = β−1 となる．

(4) B(α, β) =Γ(α)Γ(β)

Γ(α+ β)となる．

B(α, β) をベータ関数という．

証明.

(1) これは例 6.55 とコーシー判定法より明らかである．後半の証明には，t > 1, θ >

0 のときに，t−θ log t ≤ 1/eθ であることを用いる．

(2) B(1, β) =

∫ 1

0

(1− x)β−1 dx =1

β.

(3) これは (6.112) と同じ計算であるが，技術を習得するのは恰好の等式なので，重

複を恐れずに計算することにする．∫ 1

0

(log x)kxα+h−1(1− x)β−1 dx

−∫ 1

0

(log x)kxα−1(1− x)β−1 dx− h

∫ 1

0

(log x)k+1xα−1(1− x)β−1 dx

=

∫ 1

0

(log x)kxα−1(1− x)β−1(xh − 1− h log x) dx

と変形する．この等式の右辺を I とおくことにしよう．

微積分学の基本定理によって，

xh − 1− h log x = xh − 1h − h log x = h

∫ x

1

(sh−1 − s−1) ds


197

となる．また，

maxs∈[x,1]

|sh − 1| = 1− xh =

∫ 1

x

h vh−1 dv ≤∫ 1

x

h v−1 dv = h log x−1

となる．以上より，

|I| ≤ h2

∫ 1

0

(log x−1)k+2xα−1(1− x)β−1 dx

となる．よって，

limh→0

1

h

(∫ 1

0

(log x)kxα+h−1(1− x)β−1 dx−∫ 1

0

(log x)kxα−1(1− x)β−1 dx

)

は

∫ 1

0

(log x)k+1xα−1(1− x)β−1 dx となる．これが示すべきことであった．

(4) fβ(α) =Γ(α+ β)B(α, β)

Γ(β)とおく．このとき，部分積分によって

B(α+ 1, β) =

∫ 1

0

xα(1− x)β−1 dx

=

∫ 1

0

xα(− 1

β(1− x)β

)′

dx

=α

β

∫ 1

0

xα−1(1− x)β dx

となるが，β 乗を β − 1 乗と 1 乗に分けて，

B(α+ 1, β) =α

β

∫ 1

0

xα−1(1− x)(1− x)β−1 dx

=α

βB(α, β)− α

βB(α+ 1, β)

となるので，B(α+ 1, β) =α

α+ βB(α, β) が得られる．Γ(α+ β + 1) = Γ(α+

β)(α + β) と合わせると，fβ(α + 1) = αfβ(α) が成り立つことがわかる．コー

シーシュワルツの不等式によって log fβ(α) は α の凸関数であるとわかる．した

がって，fβ(α) = Γ(α) となる．

次に無限積分に関する公式を述べるが，これはたとえば統計学の正規分布の基礎とな

る公式である．

定理 6.71 (Γ(12

)とその周辺)


198 目次

(1) Γ

(1

2

)=

√π.

(2)

∫ ∞

−∞e−x2

dx =√π.

証明.

(1) B

(1

2,1

2

)=

∫ 1

0

x−12 (1− x)−

12 dx =

∫ π2

0

(sin θ)−1(cos θ)−12 sin θ cos θ dθπ よ

り明らかである．

(2) Γ

(1

2

)=

√π の意味する公式

∫ ∞

0

t−12 e−t dt =

√π (6.127)

において，変数変換 t = s2 を施せばよい．

【注意】(6.127) において不定積分を計算するのは不可能であるが，積分を計算すること

はできる．部分積分を多用しても得られる結果であるが，つぎの結果も有用である．

命題 6.72 (ガンマ関数，ベータ関数から導かれる公式) m,n ∈ N∪0 とする．

(1)

∫ 1

0

xm(1− x)n dx =m!n!

(m+ n+ 1)!

(2) （ウォリスの公式）

∫ π2

0

sinn θ dθ =

∫ π2

0

cosn θ dθ =

n− 1

n· n− 3

n− 2· · · 3

4· 12· π2

(n は偶数のとき)

n− 1

n· n− 3

n− 2· · · 4

5· 23

(n は奇数のとき)

ただし，n = 1 のときは

∫ π2

0

sinn θ dθ = 1 とみなすこと．

証明. 部分積分を繰り返す方法もあるが，ここでは特殊関数を用いた証明を与えて

おく．

(1) 『左辺』= B(m+ 1, n+ 1) =Γ(n+ 1)Γ(m+ 1)

Γ(m+ n+ 2)=『右辺』だからである．【注

意】(6.122) も参照のこと．

(2) 『左辺』=1

2B

(n+ 1

2,1

2

)= 『右辺』だからである．


199

定理 6.73 (1/2 公式，倍数公式) Γ(2x) =22x−1

√π

Γ(x)Γ

(x+

1

2

), x > 0 となる．

証明. x > 0 に対して，φ(x) =22x−1

√π

Γ(x2

)Γ

(x+ 1

2

)とおく．すると，φ(1) = 1，

logφ(x) は x > 0 上で凸である．さらに，xφ(x) = φ(x+ 1), x > 0 も成り立つ．よっ

て，φ(x) = Γ(x) となる．

定理 6.74 (ガンマ関数の相補公式，相反公式) x ∈ (0, 1) に対して，

sinπx =π

Γ(x)Γ(1− x)

が成り立つ．

証明. 0 < x < 1 に対して，φ(x) = Γ(x)Γ(1 − x) sinπx とおく．x ∈(0,

1

2

)とす

ると，1/2 公式より，関係式

φ(x)φ

(x+ 1

2

)= Γ

(x2

)Γ(1− x

2

)sin

πx

2Γ

(x+ 1

2

)Γ

(1− x

2

)cos

πx

2

=1

2sinπx · Γ

(x2

)Γ

(x+ 1

2

)Γ

(2− x

2

)Γ

(1− x

2

)=

1

2sinπx · 21−xΓ(x)

√π · 21−(1−x)Γ(1− x)

√π

= πφ(2x)

が成り立つ．φ(x) > 0, x ∈ (0, 1) なので，真数条件を満たしているという理由で，

ψ(x) = logφ(x), x ∈ (0, 1) (6.128)

が定義できる．

φ(x) =sinπx

xΓ(x+ 1)Γ(1− x), φ(x) = φ(1− x)

なので， supx∈(0,1)

|ψ′′(x)| = supx∈[0,1]

|ψ′′(x)| <∞ となる．x0 ∈ (0, 1/2) を固定する．

φ(x2

)φ

(x+ 1

2

)= πφ(x)

より，2 回微分して ψ′′(x0) =1

4ψ′′(x02

)+

1

4ψ′′(x0 + 1

2

)となる．三角不等式より，

|ψ′′(x0)| ≤1

2sup

x∈(0,1)

|ψ′′(x)|


200 目次

が得られる．x0 は任意なので，

supx∈(0,1)

|ψ′′(x)| ≤ 1

2sup

x∈(0,1)

|ψ′′(x)|

である．したがって，ψ′′(x) = 0 である．一方で，φ は x =π

2で微分係数が消えて，

φ(π2

)= π となる．よって，φ(x) = π となる．

例 6.75 a > 1 のときに，

I =

∫ ∞

0

1

1 + xadx (6.129)

を計算する．y =1

1 + xaとおくと，x = a

√1

y− 1,

dx

dy= −1

a

(1

y− 1

)1/a−1 1

y2であ

る．したがって，I =

∫ 1

0

1

a

(1

y− 1

) 1a−1 dy

y=

1

a

∫ 1

0

y−1a (1 − y)

1a−1 dy となる．ガ

ンマ関数の相補公式 (定理 6.74) を用いて，I =1

aΓ(1− 1/a)Γ(1/a)=

π

a sin(π/a)と

なる．

6.10 面積，体積，曲線の長さ

面積や体積は本来は 2 次元の積分と 3 次元の積分を定義してから考察するのが自然で

あるが，本書の範囲を超えてしまうので，少し厳密さを欠く記述となる．これから得よう

としている公式はフビニ (Fubini) の定理を用いて証明されるものであって，ここでの説

明は直感に訴えるものである．

ここでは，f, g : [a, b] → R を f(x) ≤ g(x), x ∈ [a, b] を満たす連続関数として，領

域 D = (x, y) ∈ R × R : a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x) の面積の求め方を考察する．[a, b] を n 等分割して得られる分割を ∆ = xjnj=0 とする．すると，D の面積 S は未

定義であるが，

s∆(g − f) ≤ S ≤ S∆(g − f)

が得られる．n→ ∞ として，

S =

∫ b

a

(g(x)− f(x)) dx

となる．


201

体積に関しても考察する．xyz 空間の立体 Z の z = k における切り口の面積 S(k) が

与えられたとする．Z の体積 V も未定義であるが，もし，Z の a ≤ z ≤ t の部分の体

積を V (t) と書くとすると，

V (t+ h)− V (t) = S(ξ)h

となる ξ が 0 < ξ < h の間に存在するであろうと考えられる．先ほどと同じく n 等分割

をすると

V (t) =

∫ t

a

S(k) dk

が得られる．

曲線の長さは面積，体積とは違って厳密に定義することが可能である．つながっている

曲線を考えたいので，連続曲線に関して考えることにする．次元は多次元でも構わない．

定義 6.76 (連続曲線の長さ) γ(t) = (x1(t), x2(t), · · · , xn(t)) を [a, b] から Rn へ

の連続曲線とする．γ の長さ L(γ) を

L(γ) = sup

N∑

j=1

√n∑

k=1

(xk(tj)− xk(tj−1))2 : tjNj=0は [a, b] の分割

と定める．

微分可能，とくに，C1-級の場合は以下の定理が示すように定積分による表示がある．

しかしながら，詳しくは述べないが，連続曲線の長さの考察は種々にわたり，非常に複雑

な世界である．

定理 6.77 γ : [a, b] → Rn を C1-級とする．つまり，γ の各成分 x1, x2, · · · , xn が微分でき，その各成分が連続であるとする．

L(γ) =

∫ b

a

√n∑

k=1

x′k(t)2 dt

となる．

証明. L(γ) を与える分割の列 ∆n∞n=1 をとる．つまり，sup の定義によって，各

m ∈ N に対して，∆n = t(m)j k(m)

j=0 を与えたとき，

min(L(γ),m)− 1

m<

k(m)∑j=1

√n∑

k=1

(xk(t(m)j )− xk(t

(m)j−1))

2 ≤ L(γ)


202 目次

となるようにしておく．このとき，

L(γ) = limm→∞

k(m)∑j=1

√n∑

k=1

(xk(t(m)j )− xk(t

(m)j−1))

2

である．細分を考えることで，∆n は [a, b] の n 等分点をすべて含んでいるとしてよい．

平均値の定理によって t(m)j;k ∈ (t

(m)j−1, t

(m)j−1) が存在して，

k(m)∑j=1

√n∑

k=1

(xk(t(m)j )− xk(t

(m)j−1))

2 =k(m)∑j=1

(t(m)j − t

(m)j−1)

√n∑

k=1

x′k(t(m)j;k )2

となる．さらに，三角不等式を用いて整理すると，∣∣∣∣∣k(m)∑j=1

(t(m)j − t

(m)j−1)

√n∑

k=1

x′k(t(m)j−1)

2 −k(m)∑j=1

(t(m)j − t

(m)j−1)

√n∑

k=1

x′k(t(m)j;k )2

∣∣∣∣∣≤

k(m)∑j=1

(t(m)j − t

(m)j−1)

√n∑

k=1

(x′k(t(m)j−1)− x′k(t

(m)j;k ))2

となる．∆m は [a, b] の m 等分点をすべて含んでいて x′k は [a, b] 上一様連続であるか

ら，m→ ∞ として，

k(m)∑j=1

(t(m)j − t

(m)j−1)

√n∑

k=1

(x′k(t(m)j−1)− x′k(t

(m)j;k ))2

≤k(m)∑j=1

(t(m)j − t

(m)j−1)n sup

u,v∈[a,b], |u−v|≤(b−a)/m, k=1,2,··· ,n|x′k(u)− x′k(v)|

= (b− a)n supu,v∈[a,b], |u−v|≤(b−a)/m, k=1,2,··· ,n

|x′k(u)− x′k(v)| → 0


L(γ) = limm→∞

(min(L(γ),m)− 1

m

)

= limn→∞

k(n)∑j=1

√n∑

k=1

(xk(t(m)j )− xk(t

(m)j−1))

2

=

∫ b

a

√n∑

k=1

x′k(t)2 dt

となる．曲線の中には，三角形の辺のように折れ線からなるもの，半円の境界のように直線と円

弧からなるものがある．これらは C1-級ではないが，以下で定義を与える区分的に C1-

級の曲線である．閉区間で定義されている関数が C1-級であるとは，その閉区間を含む開


203

区間上で C1-級である関数の制限として得られることである．

定義 6.78 γ = (γ1, γ2, · · · , γn) : [a, b] → Rn が区分的に C1-級であるとは，あ

る閉区間 [a, b] の分割 ∆ = tjNj=0 が存在して，各 j = 1, 2, · · · , N に対して，γ を[tj−1, tj ] に制限すると，C

1-級であることである．

C1-級曲線は区分的に C1-級であるが，C1-級ではない区分的に C1-級である曲線は以

下のようなものがある．

例 6.79

(1) 三角形 PQR の頂点 P,Q,R の座標を P (x1, y1), Q(x2, y2), R(x3, y3) とする．

γ1, γ2 : [0, 3] → R を次の式で定める．

γ1(t) =

(1− t)x1 + tx2 (0 ≤ t ≤ 1 のとき)

(2− t)x2 + (t− 1)x3 (1 ≤ t ≤ 2 のとき)

(3− t)x3 + (t− 2)x1 (2 ≤ t ≤ 3 のとき)

γ2(t) =

(1− t)y1 + ty2 (0 ≤ t ≤ 1 のとき)

(2− t)y2 + (t− 1)y3 (1 ≤ t ≤ 2 のとき)

(3− t)y3 + (t− 2)y1 (2 ≤ t ≤ 3 のとき)

このとき，γ = (γ1, γ2) は区分的に C1-級で三角形 PQR の辺を P,Q,R, P の順

番に回っている．

(2) γ1, γ2 : [0, π + 2] → R を次の式で定める．

γ1(t) =

cos t (0 ≤ t ≤ πのとき)

t− π (π ≤ t ≤ π + 2 のとき)

γ2(t) =

sin t (0 ≤ t ≤ πのとき)

0 (π ≤ t ≤ π + 2 のとき)

このとき，γ = (γ1, γ2) は区分的に C1-級で，x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0 で定められる領域の境界を反時計回りに回っている．

区分的に C1-級でも定理 6.77 と同じことが言える．曲線が C1-級である区間で分けれ

ば良いからである．


204 目次

定理 6.80 γ : [a, b] → Rn を区分的に C1-級とする．

L(γ) =

∫ b

a

√n∑

k=1

x′k(t)2 dt

となる．ただし，x′k(t) が存在しないところでは，その値は右側導関数と読み替えること．


第 7 章

線形代数からの準備

本章では線形代数の用語に関していくつかまとめる．本書のこの部分を読むころには，

det(A) が n 次行列に対して何を意味しているか分かっていると思われるので，n 次の行

列式 det(A) に関する事項は簡潔にまとめることにした．線形代数の用語が解析学におい

てどのように使われるのかを理解できればと思う．

7.1 行列式とベクトルの外積

7.1.1 2 次元における 1 次変換

a, b, c, d を実数定数とする．x, y,X, Y に関する関係式

X = ax+ by, Y = cx+ dy

で xy 平面の点を XY 平面の点に移すことを考える．これを行列表記すれば，XY

=

a b

c d

xy

である．

例 7.1 O = (0, 0), A = (1, 0), B = (0, 1), C = (1, 1) とする．a, b, c, d を実数定数

として，x, y,X, Y に関する関係式 X = ax+ by, Y = cx+ dy で xy 平面の点を XY

平面の点に移すことを考える．

(1) a = 2, b = 3, c = 3, d = 1 とすると，この変換によって，

O 7→ (0, 0), A 7→ (2, 3), B 7→ (3, 1), C 7→ (5, 4)

へ移り，したがって，小さい正方形は大きな平行四辺形へと写像される．


206 目次

(2) a = 2, b = 4, c = 4, d = 8 とすると，この変換によって，

O 7→ (0, 0), A 7→ (2, 4), B 7→ (4, 8), C 7→ (6, 12)

へ移り，したがって，この変換によって，小さい正方形は (0, 0) と (6, 12) を結ぶ

閉線分へと写像される．

将来的には 2 次元の積分における一般変数変換を考える際に，必要となるので，2 次

元の変数変換において現れる行列式の意味を考察したい．

定義 7.2 (行列式) A =

a b

c d

で与えられる 2 次正方行列に対して，その行列式

det(A),detA は det(A) = ad− bc で与えられる．

行列式の記号は標準的に

det(A), detA, det

a b

c d

,

∣∣∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣∣∣などを用いる．この det には幾何学的には次のような意味がある．

定理 7.3 (行列式の幾何学的な意味合い) a, b, c, d を実数定数とする．x, y,X, Y に

関する関係式 X = ax+ by, Y = cx+ dy で xy 平面の点を XY 平面の点に移すことを


207

考える．このとき，面積が 1 の正方形は面積が |detA| = |ad− bc| の平行四辺形に移される．

証明. (a, c), (0, 0), (b, d) の 3 点からなる三角形の面積は1

2|ad− bc| であるから，こ

の値を 2 倍すればよい．(7.3), (9.20) も参照のこと．定理 7.3 を実際に使ってみよう．

例 7.4 X = x + y, Y = x − y で与えられる場合は，面積が 1 の正方形は面積が

S = |1 · (−1)− 1 · 1| = | − 2| = 2 の平行四辺形に移される．このように，行列式の符号

は外して考えることになる．

7.1.2 行列式と 3 次元ベクトルの外積

2 次元のときと同様に，3 次元の積分を考えるときに必要となるので，今度は 3 次行

列に関して考える．

定義 7.5 (3 次行列式) 3× 3 行列 A =

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

の行列式を

det(A), detA,

∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣ , det

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

と表し，その値を a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a1b3c2 − a2b1c3 − a3b2c1 で与える．

次に外積に関して説明する．次の記号を用いる．

定義 7.6 (基本ベクトル) e1 =

1

0

0

, e2 =

0

1

0

, e3 =

0

0

1

でもって基本ベクトルを表すことにする．

定義 7.7 (外積) 2 つの 3 次元ベクトル (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) の外積 (a1, a2, a3)×(b1, b2, b3) を

(a1, a2, a3)× (b1, b2, b3) = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1) (7.1)

で定める．すなわち，基本ベクトルと行列式の言葉で書くと，


208 目次

(a1, a2, a3)× (b1, b2, b3) = det

e1 e2 e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

(7.2)

とすることで外積の定義 (a1, a2, a3)× (b1, b2, b3) が得られる．

形式的にサラス展開をすれば

(a1, a2, a3)× (b1, b2, b3) = e1a2b3 + e2a3b1 + e3a1b2 − e1a3b3 − e2a1b3 − e3a2b1

であるが，ベクトルの後ろにスカラーをかけるのは若干気持ちが悪いので

(a1, a2, a3)× (b1, b2, b3) = a2b3e1 + a3b1e2 + a1b2e3 − a3b3e1 − a1b3e2 − a2b1e3

と書き改めて基本ベクトルの定義式を代入すれば，

(a1, a2, a3)× (b1, b2, b3) = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)

が得られる．このようにして流れを追って行けば，サラス展開の計算方法から簡単に計算

できる．

定理 7.8 a1, a2, · · · , c3 を実数定数とする．

(1) (a1, a2, a3)× (b1, b2, b3) = −(b1, b2, b3)× (a1, a2, a3)

(2) (a1, a2, a3)× (b1, b2, b3) · (c1, c2, c3) = det

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

となる．(3) (a1, a2, a3)× (b1, b2, b3) ⊥ (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) である．つまり，外積ベクト

ル (a1, a2, a3)× (b1, b2, b3) は (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) の両方に直交している．

(4) (a1, a2, a3)× (b1, b2, b3) の長さは (a1, a2, a3) と (b1, b2, b3) の張る平行四辺形の

面積に等しい．

(4) の公式をビネ・コーシーの公式という．

(1) からわかるように外積には交換法則は成り立たない．

証明.

(1) 外積の定義 (7.1) より明らかである．

(2) 外積の定義の書き換え (7.2) より明らかである．

(3) (2) より明らかである．

(4) (a1, a2, a3) と (b1, b2, b3) の張る平行四辺形の面積 S は正弦定理を用いればわか


209

るように

∥(a1, a2, a3)∥2 · ∥(b1, b2, b3)∥2 − ((a1, a2, a3) · (b1, b2, b3))2

= (a12 + a2

2 + a32)(b1

2 + b22 + b3

2)− (a1b1 + a2b2 + a3b3)2 (7.3)

に等しい．これを具体的に計算すると，

S = a12b2

2 + a12b3

2 + a22b1

2 + a22b3

2 + a32b1

2 + a32b2

2

− 2(a1b1a2b2 + a2b2a3b3 + a1b1a3b3)

=

∣∣∣∣∣∣deta1 a2

b1 b2

∣∣∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣∣∣detb1 b2

c1 c2

∣∣∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣∣∣detc1 c2

a1 a2

∣∣∣∣∣∣2

となる．

定理 7.9 (3 次行列式の幾何学的な意味合い) a1, a2, · · · , c3 を実数定数とする．X =

a1x+ a2y + a3, Y = b1x+ b2y + b3z, Z = c1x+ c2y + c3z とすると，xyz 空間での

体積 1 の立方体は XY Z 空間で考えると体積が

∣∣∣∣∣∣∣∣deta1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣ の平行 6 面体に

なる．

証明. 定理 7.8 の (3), (4) から XY Z 空間での体積は

|(c1, c2, c3) · (a1, a2, a3)× (b1, b2, b3)|

で与えられる．定理 7.8 の (2) からこの量は確かに与えられた行列式の絶対値になる．

7.1.3 n 次行列における行列式

さらに，n 変数に対する積分も扱いたいので，n 次行列に関しても整理していくこと

にする．

定理 7.10 (行列式の性質) H : Rn × Rn × · · · × Rn → R で以下の条件を満たすも

のが一意的に存在する．

(1) H は各変数に関して線形である．

(2) H における変数を交換すると，符号が入れ替わる．

(3) H(e1, e2, · · · , en) = 1


210 目次

存在と一意性に関しては線形代数の時間に習ったであろうから，ここでは特に深くは触れ

ずに，行列式を計算するときに知っておかなければいけない本当に最低限のことを復習す

るにとどめる．

定義 7.11 (n 次行列式) 定理 7.10 における H を det で表す．

7.2 内積

1 3 4

3 3 5

4 5 8

のような対称性を持っている行列は非常に扱いやすい．まず，このような対称性を持っている対称行列と呼ばれる正方行列とそれにまつわる基本となる用語をま

とめる．

定義 7.12 (内積にまつわる用語一覧)

(1) A = aiji,j=1,··· ,n と表される実行列 A に対して，tA = ajii,j=1,··· ,n と定め

る．tA を A の転置行列という．

(2) A = aiji,j=1,··· ,n と表される実行列 A に対して，A = tA つまり

aij = aji (i, j = 1, · · · , n) (7.4)

を満たしている行列を (実) 対称行列という．

(3) n 次元ベクトル (もしくは n× 1 行列) x =

x1

x2...

xn

∈ Rn と y =

y1

y2...

yn

∈ Rn に

対して，内積 ⟨x, y⟩ を

⟨x, y⟩ = ⟨x, y⟩Rn =n∑

j=1

xjyj (7.5)

で定める．

(4) n 次元ベクトル (もしくは n× 1 行列) x =

x1

x2...

xn

∈ Rn と y =

y1

y2...

yn

∈ Rn が


211

直交しているとは，⟨x, y⟩ = 0 が成り立つことをいう．

(5) 線形空間 V1, V2 ⊂ Rn が直交しているとは，任意の n 次元ベクトル (もしくは

n× 1 行列) x ∈ V1, y ∈ V2 に対して ⟨x, y⟩ = 0 が成り立つことをいう．このこ

とを V1 ⊥ V2 と表す．また，V1, V2 が直交しているとき，V1 + V2 を直交性を強

調して，V1 ⊕V2 と書くことがある．V1 ⊕V2 を直交直和という．

(6) 線形空間 V ⊂ Rn の直交補空間を

V ⊥ = w ∈ Rn : すべての v ∈ V に対して ⟨v, w⟩ = 0 (7.6)

と定める．

定義より，n 次元ベクトル (もしくは n× 1 行列) x =

x1

x2...

xn

∈ Rn に対して，長さ ∥x∥

∥x∥ =

√n∑

i=1

xi2 =√⟨x, x⟩ (7.7)

となる．また，横ベクトル (a, b, c) の転置は t(a, b, c) =

a

b

c

で与えられる．注意 7.13 複素対称行列やエルミート行列を定義できるが，ここでは特にこれに関し

ては取り上げることはない．

定理 7.14 (内積の性質) 内積には次の性質がある．

(1) すべての x ∈ Rn に対して，⟨x, x⟩ ≥ 0 である．等号は x = 0 の時に成り立つ．

(2) すべての x, y ∈ Rn に対して，⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ が成り立つ．(3) すべての x, y, z ∈ Rn に対して，

⟨x+ y, z⟩ = ⟨x, z⟩+ ⟨y, z⟩, ⟨x, y + z⟩ = ⟨x, y⟩+ ⟨x, z⟩ (7.8)

が成り立つ．

(4) すべての x, y ∈ Rn, a ∈ R に対して，

⟨ax, y⟩ = ⟨x, ay⟩ = a⟨x, y⟩ (7.9)

が成り立つ．


212 目次

証明. 証明は易しいので，省略する．特に，(1) では x = t(x1, x2, · · · , xn) とおくと，

⟨x, x⟩ =n∑

j=1

xj2 ≥ 0 (7.10)

となる．2 次式の等号成立条件を使えば，x = 0 のときに等号が成立することもわかる．転置行列を考える理由は次の定理によってはっきりする．

定理 7.15 (転置行列の性質１) A を n 次実正方行列とする．このとき，

⟨Ax, y⟩ = ⟨x, tAy⟩ (x, y ∈ Rn) (7.11)

が成り立つ．

証明. 成分を用いて

A = aiji,j=1,··· ,n, x =

x1

x2...

xn

, y =

y1

y2...

yn

(7.12)

と表す．

定義によって，

Ax =

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn...

an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn

(7.13)


左辺 = (a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn)y1 + (a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn)y2

+ · · ·+ (an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn)yn

=n∑

i,j=1

aijxiyj

が成り立つ．同じく定義によって，


213

tAy =

a11y1 + a21y2 + · · ·+ an1yn

a12y1 + a22y2 + · · ·+ a2nyn...

a1ny1 + a2ny2 + · · ·+ annyn

(7.14)

となるから，

右辺 = (a11y1 + a21y2 + · · ·+ an1yn)x1 + (a12y1 + a22y2 + · · ·+ a2nyn)x2

+ · · ·+ (a1ny1 + a2ny2 + · · ·+ annyn)xn

=n∑

i,j=1

aijxiyj

がなりたつ．よって，等式は証明された．次の性質も重要である．

定理 7.16 (転置行列の性質２) A,B を n 次実正方行列とする．このとき，

t(AB)t = tBtA (7.15)

が成り立つ．

証明. 成分を用いて，A = aiji,j=1,2,··· ,n, B = biji,j=1,2,··· ,n と表す．すると，

AB =

n∑

k=1

aikbkj

i,j=1,2,··· ,n

, t(AB) =

n∑

k=1

ajkbki

i,j=1,2,··· ,n

となる．tA = ajii,j=1,2,··· ,n,tB = bjii,j=1,2,··· ,n であるから，

tBtA =

n∑

k=1

bkiajk

i,j=1,2,··· ,n


t(AB) =

n∑

k=1

ajkbki

i,j=1,2,··· ,n

, tBtA =

n∑

k=1

bkiajk

i,j=1,2,··· ,n

であるから，2 者は一致する．与えられた行列が直交行列であるか否かは次の定理によって判定される．

定理 7.17 (直交行列の特徴づけ) P を n 次正方行列とする．P を構成している列ベ

クトルを p1, p2, · · · , pn と表す．このとき，P が直交行列であることと，⟨pj , pk⟩ = δjk

が j, k = 1, 2, · · · , n に対して成立することは同値である．


214 目次

証明. 成分 pij を用いて，行列 P を P = piji,j=1,··· ,n と表す．このとき，列ベク

トル pj は pj =

p1j

p2j...

pnj

を満たす．ここで，

tPP =

n∑

l=1

pliplj

i,j=1,··· ,n

, ⟨pj , pk⟩ =n∑

l=1

pljplk (7.16)

である．今までの計算は一般の P に対して成り立つ．このことを踏まえて，与えられた

2 条件を見てみると，確かにこれらは同値である．シュミットの直交化法自体は本章以外では用いないが，自己完結を期してここで扱う

こととする．v1, v2, · · · , vk ⊂ Rn をベクトルとするとき，

Span(v1, v2, · · · , vk) =

k∑j=1

αjvj : (α1, α2, · · · , αk) はスカラー

と定める．これは Rn の部分集合である．

定理 7.18 (シュミットの直交化法) V = v1, v2, · · · , vk を Rn の一次独立系とす

る．すなわち，

k∑j=1

αjvj = 0

が成り立つようなスカラーの組 (α1, α2, · · · , αk) は (0, 0, 0, · · · , 0) 以外にないとする．次の漸化式で，W = w1, w2, · · · , wk を定める．

d1 = ∥v1∥, w1 =1

d1v1,

dj =

∥∥∥∥vj − j−1∑l=1

⟨vj , wl⟩wl

∥∥∥∥ , wj =1

dj

(vj −

j−1∑l=1

⟨vj , wl⟩wl

)(j = 2, 3, · · · , k).

このとき，次が成り立つ．

(1) dj = 0, j = 1, 2, · · · , k.(2) ⟨wj1 , wj2⟩ = δj1j2 , j1, j2 = 1, 2, · · · , k.

証明.

(1) v1 = 0 であるから，d1 = 0 である．仮に dj = 0 となるような j が存在するとし

て，そのような j のうちで最小のものを選ぶ．d1 = 0 であるから，j ≥ 2 である．


215

すると，

vj =j−1∑l=1

⟨vj , wl⟩wl (7.17)

であるから，vj ∈ Span(w1, w2, · · · , wj−1) となる．一方で，wj−1, wj−2, · · · , w1

の定義式より，

Span(w1, w2, · · · , wj−3, wj−2, wj−1)

= Span(w1, w2, · · · , wj−3, wj−2, vj−1)

= Span(w1, w2, · · · , wj−3, vj−2, vj−1)

= · · ·

= Span(v1, v2, · · · , vj−3, vj−2, vj−1)

となるので，

vj ∈ Span(v1, v2, · · · , vj−3, vj−2, vj−1) (7.18)

となる．これは V の一次独立性に反する．

(2) j1 = j2 の時を考えると，

⟨wj1 , wj2⟩ =1

d2j1

∥∥∥∥vj1 −j1−1∑l=1

⟨vj1 , wl⟩wl

∥∥∥∥2 = 1 (7.19)

である．j1 < j2 とすると，

vj2 ∈ Span(w1, w2, · · · , wj2−1)⊥ (7.20)

である．(1) の証明中に確認したように，

Span(w1, w2, · · · , wj2−1) = Span(v1, v2, · · · , vj2−1) (7.21)

である．j1 < j2 であるから，vj2 ⊥ vj1 となる．

7.3 対称行列と対角化

先ほど見たように，対称行列とは，A = aiji,j=1,··· ,n と表したときに，aij = aji が

成立することであるが，微分積分学ではこのような行列は極大値や極小値を考える際に重

要である．


216 目次

定義 7.19 (固有ベクトル) k が行列 A の固有値であるとは，0 ベクトルではないベ

クトル a が存在して，Aa = ka となることである．この場合，a を k に関する固有ベク

トルという．

線形代数の話を一度少しだけ離れて，微分積分の話に戻るが，

∥b∥ = 1 =

b1

b2...

bn

: b12 + b2

2 + · · ·+ bn2 = 1

は有界閉集合ゆえに，コンパクト集合であった．よって，この集合上の連続関数は最大値

をとることが保証されている．

補題 7.20 A を実対称行列とするとき，単位ベクトル a を

atAa = maxbtAb : ∥b∥ = 1

となるようにとるとき，

Aa = (atAa)a

が成り立つ．

証明. a に直交するベクトル b は Aa にも直交する．実際に，t ∈ R の関数

f(t) =(a+ tb)tA(a+ tb)

∥a+ tb∥

は t = 0 で最大値をとる．したがって，

0 = f ′(0) = atAb+ btAb = 2b · (Aa)

となり，確かに，b ⊥ Aa が得られた．ここで，

∥Aa− (atAa)a∥2 = Aa · (Aa− (atAa)a)− a · (Aa− (atAa)a)

であるが，a に直交するベクトル b は Aa にも直交するから、

Aa · (Aa− (atAa)a) = 0

である．また，a の長さは 1 であるから，

a · (Aa− (atAa)a) = 0


217

である．Aa を a の成分と a に直交する成分で表そうとすると補題にある形になる．対角行列とはスカラー a11, a22, · · · , ann を用いて

a11 0 · · · 0

0 a22 · · · 0

......

. . ....

0 0 · · · ann

の形をしている行列のことを指す．次の定理は 2 変数以上の極大，極小を判定するとき

の「原理」となる定理である．

定理 7.21 (直交行列による対称行列の対角化) A を実対称行列とするとき，適当な

直交行列 P を以って P−1AP を対角行列にできる．

証明. 帰納法によって証明する．n = 1 のときは明らかである．n = k 次正方行列 B

はすべて適当な対角行列 Q を以って Q−1AQ を上三角行列にできると仮定する．n =

k + 1 次正方行列 A が与えられたとする．補題 7.20 の要領で，A の固有値 α とそれに

対応する固有ベクトル v0 をとる．

以下のようにして v1,v2, · · · ,vk をとって，v0,v1,v2, · · · ,vk が Rn の正規直交系

になるようにできる．初めに，v0 のある成分 (l 番目とする) は 0 ではない．よって，こ

のような l に対して，v0, e1, e2, · · · , el−1, el+1, · · · , ek は一次独立である．この順番に

並んでいる一次独立系にシュミットの直交化法を施して，正規直交系 v0,v1,v2, · · · ,vk

が得られる．

A は線形変換であるから，基底 v0,v1,v2, · · · ,vk に対して，適当なスカラー αjl, l ≤j, 1 ≤ j ≤ k を用いて，

Av0 = αv0, Avj =k∑

l=0

αjlvl (7.22)

と表示される．v0 だけ表示式が簡明なのは，v0 は α に対応する固有ベクトルであるか

らである．ここで，j = 1, 2, · · · , k に対して，

αj0 = ⟨v0, Avj⟩ = ⟨v0, Avj⟩ = α⟨v0,vj⟩ = 0

であるから，行列 P0,X を


218 目次

P0 = (v0v1 · · ·vn), X =

α 0 0 · · · 0

0 α11 α12 · · · α1n

0 α21 α22 · · · α2n

......

.... . .

...

0 αn−1 1 αn−1 2 · · · αn−1 n

0 αn1 αn2 · · · αnn

=

α ∗0 X0

で定義すると，P−10 AP0 = X となる．ここで，X よりサイズが 1 小さい X0 に数学的

帰納法の仮定を使うと k 次正方行列 Q0 で

Q0−1X0Q0 =

β11 0 · · · 0 0

0 β22 · · · 0 0

......

. . ....

0 0 · · · βn−1 n−1 0

0 0 · · · 0 βnn

(7.23)

となる．ここで，P1 =

1 0

0 Q0

とおくと，P1

−1P0−1AP0P1 = P1

−1

1 0

0 Q0−1X0Q0

P1

=

α 0 0 · · · 0 0

0 β11 0 · · · 0 0

0 0 β22 · · · 0 0

......

.... . .

......

0 0 0 · · · βn−1 n−1 0

0 0 0 · · · 0 βnn

となる．k + 1 次正方行列 A も P = P0P1 とおけば，

P tP = (P0P1)tP0P1 = P1

tP0tP0P1 = P1

tP1 = E

より，P は直交行列である．よって，P が求めるものであることが示された．


219

diag(α1, α2, · · · , αn) =

α1 0 · · · 0 0

0 α2 · · · 0 0

......

. . ....

...

0 0 · · · αn−1 0

0 0 · · · 0 αn

なる記号を用いると便利なことが多い．

定理 7.21 が必要となるのは，次の 2 次形式の構造定理を導き出したかったからである．

定理 7.22 A を n 次実対称行列とする．tPAP = diag(α1, α2, · · · , αn) とすると

き，P−1x = y =

y1

y2...

yn

なる変換で，xtAx は α1y12 + α2y2

2 + · · ·+ αnyn2 に変換

される．


第 8 章

2変数の微分法

本章と次の章では，

f(x, y) = xy + 2x− 5y + ex + e−2y − 3 sin(xy2 + cosx)

のように，2 つの変数 x, y が混ざった関数の微分法と積分法を扱う．変数を 2 つ考える

必要性は，平面における運動方程式などを考えると納得できるであろう．微分から順番に

見ていくことにしよう．

8.1 偏微分

偏微分は大学の数学のみならず，物理，化学など多くの自然科学において重要な演算で

ある．

8.1.1 偏微分の定義

f(x, y) を開長方形 (a, b)× (c, d)，もしくはもっと一般に領域 Ω ⊂ R2 で定義された

関数のとき，定義域の点 (x, y) に対して，

∂f

∂x(x, y) = lim

h→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

h,∂f

∂y(x, y) = lim

h→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h

と定める．f(x, y)を (x, y)における f の xに関する偏微分係数といい, 記号で∂

∂xf(a, b),

fx(a, b) のようにも表す. y に関する偏微分係数ついても同様の定義をする.

要するに偏微分とは偏微分記号に現れる文字以外をすべて文字定数とみなして，微分

する演算のことである．

例 8.1 f(x, y) = x2 y3 のとき，∂f

∂x(x, y) = 2x y3,

∂f

∂y(x, y) = 3x2 y2 である．


221

8.1.2 偏導関数の順序交換

1 変数の場合は f ′ が定まると，f ′′ が定義できた．偏微分においても同様で，「偏微分

の偏微分」が順次定義される．高階の偏微分を定義する. もう一度復習すると，

∂f

∂x(p, q) = lim

h→0

f(p+ h, q)− f(p, q)

h,∂f

∂y(p, q) = lim

h→0

f(p, q + h)− f(p, q)

h

であった．この fx(p, q), fy(p, q)の (p, q)を (x, y)という変数に戻すと, fx(x, y), fy(x, y)

は再び (x, y) の関数になる（ただし, fx の x は第 1 変数 x に関する偏微分記号の意味

であるから，添字の x, y は変数ではなく動かさない．) そこで, 2 次偏導関数 fxy(p, q)

は次のように定義される.

fxy(p, q) = limk→0

fx(p, q + k)− fx(p, q)

k.

同様に fxx(a, b), fyx(a, b), fyy(a, b) も定義される. 一般に, 自然数 n ∈ N 対して f の

n 階 (n 次，n 回) 偏導関数とは

「(x に関して偏微分した回数) + (y に関して偏微分した回数) =」n 回 f を偏微

分したもの

の総称である.

以上のことを繰り返しではあるが，まとめておく．

定義 8.2 (2 階までの偏導関数) f(x, y) を R2 の領域 D で定義された関数とする．

(1) f(x, y) が D で連続であるとは，(x, y) ∈ D のとき，

f(x, y) = lim(h,k)→(0,0)

f(x+ h, y + k)

が存在することである．

(2) 極限が存在する限り，fx(x, y) = limh→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

hと定義する．

(3) 極限が存在する限り，fy(x, y) = limk→0

f(x, y + k)− f(x, y)

kと定義する．

(4) fx(x, y) が存在すると仮定する．極限が存在する限り，

fxx(x, y) = limh→0

fx(x+ h, y)− fx(x, y)

h

と定義する．

(5) fx(x, y) が存在すると仮定する．極限が存在する限り，


222 目次

fxy(x, y) = limk→0

fx(x, y + k)− fx(x, y)

k

と定義する．

(6) fy(x, y) が存在すると仮定する．極限が存在する限り，

fyx(x, y) = limh→0

fx(x+ h, y)− fx(x, y)

h

と定義する．

(7) fy(x, y) が存在すると仮定する．極限が存在する限り，

fyy(x, y) = limh→0

fy(x, y + k)− fy(x, y)

k

と定義する．

(8) f が C1-級であるとは，すべての (x, y) ∈ Ω に対して fx(x, y), fy(x, y) が両方

とも存在して，f(x, y), fx(x, y), fy(x, y) が全部連続関数となることである．

(9) f が C2-級であるとは，すべての (x, y) ∈ Ω に対して

fx(x, y), fy(x, y), fxx(x, y), fxy(x, y), fyx(x, y), fyy(x, y)

がすべて存在して，上の 6 つの関数と f が全部連続関数となることである．

一部定義が重複するが，関連する用語をまとめておく．

定義 8.3 ( C1-級関数，CN -級関数，C∞-級関数) R2 の開集合 Ω で定義された関

数 f(x, y) について

(1) Ω を領域とするとき, Ω の各点で 1 階連続偏微分可能な関数全体を C1(Ω) 又は簡

単に C1 と書く. また, C1 に属する関数を C1-級関数という.

(2) 同様にして一般に, f(x, y) が N 階連続偏微分可能関数とは, N 階までの全ての偏

微分が存在して, それらが全て連続であることである. このとき, f(x, y) は CN -

級関数という. Ω の各点で N 階連続偏微分可能な関数全体を CN (Ω) 又は簡単に

CN と書く.

(3) 任意の n に対して, f(x, y) が n 回連続偏微分可能関数であるとき f(x, y) は C∞-

級関数または, 滑らかであるという. Ω で滑らかな関数全体を C∞(Ω) 又は簡単に

C∞ と書く.

(4) U から Rm への関数 f に対しては，Rm 側の各成分を f1, f2, · · · , fm と表し，f1, f2, · · · , fm が CN -級のときに，f を CN -級と言ったり，f ∈ CN と表す．U

から Rm への関数 f に対して C∞-級に対しても同じ規則で概念を拡張する．


223

導関数が連続なら“偏微分は交換する”つまり，つぎの定理が成り立つ．

定理 8.4 f(x, y) を R2 の領域 D で定義された関数で，D で fx, fy, fxy, fyx が存

在するとする．fxy, fyx が両方とも連続ならば，fxy = fyx が成り立つ．

証明. f(x+ a, y + b)− f(x+ a, y)− f(x, y + b) + f(x, y) に対して平均値の定理を

使う．b ∈ R として，(x, y), (x, y + b) ∈ D のとき，gy,b(x) = f(x, y + b)− f(x, y) と

おくと，

f(x+ a, y + b)− f(x+ a, y)− f(x, y + b) + f(x, y) = gy,b(x+ a)− gy,b(x)

が成り立つから，gy,b(x) に対して平均値の定理を用いて，0 < θx,y,a,b < 1 となる θx,y,a,b

で

gy,b(x+ a)− gy,b(x) = a g′y,b(x+ θx,y,a,ba)

が成り立つ．つまり，

f(x+ a, y + b)− f(x+ a, y)− f(x, y + b) + f(x, y)

= a fx(x+ θx,y,a,ba, y + b)− a fx(x+ θx,y,a,ba, y)

となる．さらに，hx,θx,y,a,b,a(z) = fx(x+ θx,y,a,ba, z) に平均値の定理を用いて，

f(x+a, y+b)−f(x+a, y)−f(x, y+b)+f(x, y) = a b fxy(x+θx,y,a,ba, y+φx,y,a,bb)

なる φx,y,a,b ∈ (0, 1) が見つけられる．変数の順番を逆にすれば，

f(x+a, y+b)−f(x+a, y)−f(x, y+b)+f(x, y) = a b fyx(x+θ∗x,y,a,ba, y+φ

∗x,y,a,bb)

なる θ∗x,y,a,b, φ∗x,y,a,b ∈ (0, 1) が見つけられる．以上より，ab = 0 ならば，

fxy(x+ θx,y,a,ba, y + φx,y,a,bb) = fyx(x+ θ∗x,y,a,ba, y + φ∗x,y,a,bb)

となる．θx,y,a,b, φx,y,a,b, θ∗x,y,a,b, φ

∗x,y,a,b ∈ (0, 1) だから，

lima,b→0

(x+ θx,y,a,ba, y + φx,y,a,bb) = lima,b→0

(x+ θ∗x,y,a,ba, y + φ∗x,y,a,bb) = (a, b)

である．したがって，fxy, fyx は連続であるから，

fxy(x, y) = lima,b→0

fxy(x+ θx,y,a,ba, y + φx,y,a,bb)

= lima,b→0

fyx(x+ θ∗x,y,a,ba, y + φ∗x,y,a,bb)

= fyx(x, y)

が成り立つ．


224 目次

1 変数関数における合成関数を証明したときに，微分可能性を書き換えておくと，証明

が容易であった．2 変数関数に対しても，この書き換えた形での微分可能性の概念は拡張

が出来る．実際に拡張しておこう．ここに限り，変数を

xy

と書いたほうがわかりやすいのでたてベクトルで書く．

定義 8.5 ((全) 微分可能，微分係数)

ab

∈ R2 の近傍で定義された関数 f

xy

について，2 × 2 行列 A が存在して

f(x, y) = f(a, b) +A

x− a

y − b

+ o(√(x− a)2 + (y − b)2)

となるとき，f を

ab

で (全) 微分可能という．

次の命題は 1 変数関数のときと同じである．

定理 8.6 (合成関数 (連鎖律ともいう)) U, V ⊂ R2 を開集合，I ⊂ R を区間とす

る．

(1) f(x, y) は U で定義された (x, y) の微分可能な関数, x, y は I 上で定義された t

変数の微分可能な関数とすると, 次が成り立つ．

d

dtf(x(t), y(t)) = fx(x(t), y(t))

dx

dt(t) + fy(x(t), y(t))

dy

dt(t)

(2) (x, y) ∈ R2 として, f(x, y) は U 上で定義された (x, y) の微分可能な関数とす

る．x = x(u, v), y = y(u, v) は V 上で定義された (u, v) の微分可能な関数とす

る．(u, v) ∈ V → (x, y) ∈ R2 は値域が U にあるとすると，次が成り立つ．

∂

∂uf(x(u, v), y(u, v))

= fx(x(u, v), y(u, v))∂x

∂u(u, v) + fy(x(u, v), y(u, v))

∂y

∂u(u, v)

∂

∂vf(x(u, v), y(u, v))

= fx(x(u, v), y(u, v))∂x

∂v(u, v) + fy(x(u, v), y(u, v))

∂y

∂v(u, v)

例 8.7 f(x, y) = sin(x2y), x(t) = cos t, y(t) = et のとき，g(t) = f(x(t), y(t)) と


225

おいて，g′(t) を求めよう．

∂f

∂x(x, y) = 2x cos(x2y),

∂f

∂y(x, y) = x2 cos(x2y), x′(t) = − sin t, y′(t) = et

であるから，

g′(t) =∂f

∂x(x(t), y(t))x′(t) +

∂f

∂y(x(t), y(t))y′(t)

= −2et sin t cos t cos(et cos2 t) + et cos2 t cos(et cos2 t)

となる．合成関数の微分は正しくできたけど，最後に変数を全てもとの変数に直すこと．

g(t) = sin(et cos2 t) となっているので，これを直接微分してみよう．

1 変数の微分の定義を二様に捕らえることで，全微分可能であることと，偏微分可能で

あることの定義を与えた．次の例が示すように，全微分と偏微分は違う概念であるから注

意されたい．（例 8.12 を参照のこと．）ただし，定義から次の命題が成り立つ．

命題 8.8 (a, b) の近傍で定義された関数 f について，f が (a, b) において全微分可

能であるならば，f は偏微分可能である．より具体的には，

f(x, y) = A(x− a) +B(y − b) + o(√(x− a)2 + (y − b)2)

となる A,B に対して，A = fx(a, b), B = fy(a, b) となる．

証明. 偏微分の記号の意味を考えながら計算していくと，

fx(a, b) = limh→0

f(a+ h, b)− f(a, b)

h= lim

h→0

Ah+ o(|h|)h

= A

より，A = fx(a, b) が従う．y に関する式も同様である．全微分可能であることの判定するには，次の定理が示すように，関数が C1-級である

ことを示せばよい．

定理 8.9 f を領域 Ω における C1-級関数とするとき，f は全微分可能である．

証明. 1 変数の微積分学の基本定理を用いて，

f(x, y) = f(a, b) +

∫ 1

0

d

dtf(t(x− a) + a, t(y − b) + b) dt

= f(a, b) +

∫ 1

0

(x− a)fx(t(x− a) + a, t(y − b) + b) dt

+

∫ 1

0

(y − b)fy(t(x− a) + a, t(y − b) + b) dt


226 目次

= f(a, b) + (x− a)fx(a, b) + (y − b)fy(a, b)

+ (x− a)

∫ 1

0

(fx(t(x− a) + a, t(y − b) + b)− fx(a, b)) dt

+ (y − b)

∫ 1

0

(fy(t(x− a) + a, t(y − b) + b)− fy(a, b)) dt

と変形する．ここで，積分の三角不等式によって，(x− a)2 + (y − b)2 → 0 のときに，∣∣∣∣∫ 1

0

fx(t(x− a) + a, t(y − b) + b)− fx(a, b) dt

∣∣∣∣≤ sup

t∈[0,1]

|fx(t(x− a) + a, t(y − b) + b)− fx(a, b)| = o(1)∣∣∣∣∫ 1

0

fy(t(x− a) + a, t(y − b) + b)− fy(a, b) dt

∣∣∣∣≤ sup

t∈[0,1]

|fy(t(x− a) + a, t(y − b) + b)− fy(a, b)| = o(1)

だから，

f(x, y) = f(a, b) + (x− a)fx(a, b) + (y − b)fy(a, b) + o(√(x− a)2 + (y − b)2)

となる．よって，f は全微分可能である．

例 8.10 f(x, y) =

x2y2

x6 + y6(x, y) = (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

は原点で偏微分可能であるが，全微

分可能である．

また，原点では連続ではない．偏微分可能でも連続性が成り立たないことは次のような理

由である．連続性は変数全体を見て，あらゆる方向からの極限を考えるのに対して，偏微

分は変数 1 つを見て，一つの方向からの極限を考えるからである．そのため，2 変数の場

合は偏微分可能でも連続性が成り立たない．


227

例 8.11 (C1-級ではないが，全微分可能な関数の例) 1 変数関数 f(t) = t2 sin

(1

t

)は微分可能であるが，

f ′(t) = 2t sin

(1

t

)− cos

(1

t

), t = 0

は t→ 0 において極限を持たないから，f は C1-級関数ではない．2 変数においても事

情は同じで，g(x, y) = f(x) としてみればわかるように，C1-級という概念は全微分可能

という概念より強い概念である．

命題 8.8 の逆が成り立たないことは次の例が示している．

例 8.12 以下のように f : R2 → R を

f(x, y) =

5√x6y6

x2 + y2(x, y) = (0, 0) のとき

0 (x, y) = (0, 0) のとき

で定めると，f は連続かつ偏微分可能であるが，全微分可能ではない．

実際に，このことを確かめてみよう．

(1) 連続性に関しては原点以外では，f の連続性は 5 乗根をとる演算が連続であるか

ら，明らかである．また，|f(x, y)| ≤ 5√x2 + y2 が一般に成り立つから，原点で


228 目次

の連続性も確かに得られる．

(2) f の偏微分可能性は，(x, y) = 0 であるなら，1 変数関数 t 7→ 5√t6 の微分可能性

より問題なく偏微分可能であるが，(x, y) = (0, 0) でも偏微分ができるのである．

実際に，x0 = 0, y0 = 0 とすると，

limh→0

5√(h+ x0)6y06((h+ x0)

2 + y02)−1 − 5

√(x0y0)6(x0

2 + y02)−1

h= 0

limh→0

5√(h+ y0)6x06((h+ y0)

2 + x02)−1 − 5

√(x0y0)6(x0

2 + y02)−1

h= 0

である．よって，確かに偏微分可能である．

(3) f が全微分可能とする．fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0 であるから，命題 8.8 より，

f(x, y) = o(√x2 + y2) となるはずであるが，これは実際にはあり得ない．

limx→0

f(x, x)

|x| = ∞


【注意】

f(x, y) =

2xy

x2 + y2(x, y) = (0, 0),

0 (x, y) = (0, 0)

で与えられる関数をシュワルツ (Schwarz) 関数という．

これらのことから得られたことを整理すると，以下のようなことがわかる．

注意 8.13 2 変数関数の世界では連続と偏微分可能には包含関係はない. しかし,

C1-級関数 =⇒ 全微分可能 =⇒ 連続かつ偏微分可能

の関係がある. この論理関係において２か所の⇒の逆は成り立たない．

領域と関数の滑らかさに関して補足をしておく．

定義 8.14 (閉集合上での関数の微分可能性) Ω ⊂ R2 を領域とする. m を非負整数

または∞ とするとき, Ω 上の Cm-級関数全体を Cm(Ω) で表す. Ω の閉包を Ω で表す

とするとき,

Cm(Ω) := f |ある開集合Ω′ ⊃ Ωおよび g ∈ Cm(Ω′) があって g|Ω = f.

この定義はグリーンの定理を記述する際に役立つ．


229

偏微分を用いて積分と微分の順序交換ができる条件を記述しよう．f を x, y の関数と

するとき，x に関してだけ積分すれば，∫ b0

a0

f(x, y) dx

は y の関数と見なせる．この関数の微分についての公式を得よう．

定理 8.15 f : (a, b)× (c, d) → R を連続関数とする．fy : (a, b)× (c, d) → R が存

在して，これが連続関数であるとする．このとき，a < a0 ≤ b0 < b に対して，

d

dy

∫ b0

a0

f(x, y) dx =

∫ b0

a0

fy(x, y) dx

が成り立つ．

この定理を記述するためには，右辺に偏微分記号が必要であることに注意しよう．

証明. y0, δ > 0 を y ± δ ∈ (c, d) となるようにとる．y ∈ [y0 − δ, y0 + δ] で異なると

する．

I =1

y − y0

(∫ b0

a0

f(x, y) dx−∫ b0

a0

f(x, y0) dx

)−∫ b0

a0

fy(x, y0) dx

と略記する．このとき，分母を通分して，

I =

∫ b0

a0

(f(x, y)− f(x, y0)

y − y0− fy(x, y0)

)dx

となるが，平均値の定理を用いると，∣∣∣∣f(x, y)− f(x, y0)

y − y0− fy(x, y0)

∣∣∣∣ ≤ supx∈[a0,b0], z は y,y0の間

|fy(x, z)− fy(x, y0)|

となる．したがって，積分の三角不等式から

|I| ≤ (b0 − a0) supx∈[a0,b0], z は y,y0の間

|fy(x, z)− fy(x, y0)|

となる．fy の [a0, b0]× [y − δ, y + δ] における連続性によって limy→y0

I = 0 が得られる．


230 目次

8.2 2変数関数のテーラー展開

f(x, y) が p0 = (a, b) の周りで無限回微分可能でしかも級数展開できたとする. 2 変

数の級数展開とは何かを説明していないが，とりあえず，ここでは

f(x, y) =∞∑

n=0

∑k+l=n

akl(x− a)k(y − b)l

と書けたとする. このとき，

akl =1

k!l!

∂nf

∂xk∂yl(a, b)

となる. 上の級数を f のテイラー展開という. または, x− a = h1, y− b = h2 と書き定

数と思うと次のように書いてもよい.

f(x, y) =∞∑

n=0

1

n!

(h1

∂

∂x+ h2

∂

∂y

)n

f(a, b).

（ここで (· · · )n は形式的に二項展開していると思えばよい.）

一般に 2 変数関数 f(x, y) のテーラー展開は 1 変数関数のテーラー展開

g(t) = f(t(x− a) + a, t(y − b) + b)

のテーラー展開において，t = 1 とおいて得られる．

ここで，述べた方法を具体的な関数に関して実行してみよう．

例 8.16 f(x, y) = ex cos y のときは，g(t) = etx cos(ty) とすると，

dn

dxncosx = cos

(x+

π

2

)より，

g(n)(t) =n∑

k=0nCkx

n−kyketx cos(ty +

π

2k)

となり，

ex cos y = g(1) =∞∑

n=0

1

n!g(n)(0) =

∞∑n=0

1

n!

(n∑

k=0nCk cos

(π2k)xn−kyk

)と展開されることがわかる．


231

8.3 2変数関数の最大値，最小値

1 変数関数の場合は微分をすることで最大値，最小値が体系的に求められることはよく

知られている．変数が複数の場合はどのようにすればよいのであろうか？ここでは，これ

らをまとめていくことにする．

定義 8.17 (極大値，極小値) U ⊂ R2 を開集合とする．x0 ∈ U と C∞-関数 f :

U → R が与えられた時，f(x0) が極大値とは，x0 を含む開集合 V が存在して，f |V がx0 で最大値をとることである．極小値も類似の方法で定義する．

最大値，最小値を求める一番安直なかつ汎用性のある方法は微分が 0 になる点を調べ

る方法であるが，これに関して次の定理が成り立つ．

補題 8.18 U を R2 における開集合とする．C1-級関数 f : U → R に対して，f が

(x0, y0) ∈ U で最大値，もしくは，最小値をとるとする．このとき，

∂f

∂x1(x0, y0) = 0,

∂f

∂x2(x0, y0) = 0

が成り立つ．極大値，極小値でも同じ等式が成り立つ．

証明. 関数 t 7→ f((x0, y0) + tej) を j = 1, 2 に対して考えればよい．以後，話を簡単にするために，定義を若干修正する．U を R2 における開集合とする

とき，2 変数関数 f : U → R が (a, b) ∈ U で極大値をとるとは，ある ε > 0 が存在し

て，|x− a|2 + |y − b|2 < ε2 のときに，f(x, y) > f(a, b) が成り立つことである．極小

値も類似の方法で定義を限定する．

1 変数の場合は最大値，最小値を求める際に微分するだけでは不十分で，増減表を書い

て，最大値か，最小値か，そのどちらでもないかを判定した．多変数になると増減表を書

くのが困難なので，2 回導関数を調べることになる．最大値，最小値を求めるためには，

最終的に該当する区間の端点の値を調べないといけないので，かなり話が複雑になる．と

りあえず，以下極大値，極小値を求めることに専念しよう．

1 変数の場合は極大値，極小値，そのどちらでもない場合の典型的な例として，つぎの

ようなグラフが挙げられる．

例 8.19 極大値をとる関数の例．

y = −x2 のグラフ


232 目次

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

例 8.20 極小値をとる関数の例．

y = x2 のグラフ

-2 -1 1 2

1

2

3

4

例 8.21 極大値，極小値のどちらもとらない関数で，微分が 0 になる関数の例．

y = x3 のグラフ

-2 -1 1 2

-5

5

多変数の場合は z = f(x, y) の形をしている x, y の関数 z を考えることになる．この場

合は，先ほど見た y = x2 と y = −x2 に相当するグラフが 3 種類になる．


233

例 8.22 極小値をとる関数の例．

z = x2 + y2 のグラフ

例 8.23 極大値をとる関数の例．

z = −x2 − y2 のグラフ

例 8.24 極大値，極小値のどちらもとらない関数で，微分が 0 になる関数の例．


234 目次

z = x2 − y2 のグラフ

z = −x2 + y2 のグラフ

2 変数の場合は，多くの場合を上の 4 つグラフのうちのどれかと同じ場合に帰着させ

ることになる．1 変数でも 2 回導関数を計算して，最終的に極大，極小を判定する方法が

あった．2 変数ではこの方法に相当するものは何か考える．

U を開集合とする．C∞-関数 f : U → R が与えられた時，極大値，極小値を求める

ことを考えよう．初めに，補題 8.18 より，x0 = (x0,1, x0,2) とおくとき，

∂f

∂x1(x0,1, x0,2) =

∂f

∂x2(x0,1, x0,2) = 0


235

でないといけない．

∂

∂x1= ∂1,

∂2

∂x1∂x2= ∂12,

などの略記号を用いる．また，∥x− x0∥ =√(x1 − x0,1)2 + (x2 − x0,2)2 と表す．この

場合 f をテーラー展開すると，

f(x) = f(x0) +1

2∂11f(x0)(x1 − x0,1)

2

+ ∂12f(x0)(x1 − x0,1)(x2 − x0,2) +1

2∂22f(x0)(x2 − x0,2)

2 + o(∥x− x0∥3)

となる．o(∥x− x0∥3) は x0 の近傍では効果は弱いから「切り捨てて」よい．すると，2

次形式の理論より極大極小が判定できる．つまり，∂11f(x0, y0) ∂12f(x0, y0)

∂21f(x0, y0) ∂22f(x0, y0)

の固有値 λ1, λ2 を見て，定理 7.22 によって，x = Py なる座標変換をすることで，

f(y) = f(y0) + λ1(y1 − y0,1)2 + λ2(y2 − y0,2)

2 + o(∥y − y0∥2)

とみなし，λ1, λ2 の符号で極大と極小を判定する．

実際に以下の定理が成り立つ．1 変数の時でもあらゆる場合を網羅する定理の記述は難

しいが，多変数に関してもこの事情は同じである．少なくともいえることを列挙するにと

どめるが，それでも 1 変数の場合と同様に十分に有用である．

定理 8.25 U を開集合とする．

∂xf(x0, y0) = ∂yf(x0, y0) = 0

となる．C∞-関数 f(x, y) : U → R が与えられた時，2 次行列

∂xxf(x0, y0) ∂xyf(x0, y0)

∂yxf(x0, y0) ∂yyf(x0, y0)

の固有値を λ1, λ2 とする．

(1) λ1, λ2 > 0 なら極小値である．

(2) λ1, λ2 > 0 なら極大値である．

(3) λ1λ2 < 0 なら極小値である．

証明. o(∥x− x0∥3) は x0 の近傍では効果は弱いから，「切り捨てて」しまうのである

が，実際にそれをどのようにしてやっているのかを証明の中で，よく見てほしい．座標変

換があるから，y の座標で，


236 目次

f(y) = f(y0) + λ1(y1 − y0,1)2 + λ2(y2 − y0,2)

2 + o(∥y − y0∥2)

に関して考察すればよい．ここで，o(∥y − y0∥2) の意味を復習すると，任意の ε > 0 に

対して，ある δ > 0 が存在して，

∥y − y0∥ < δ =⇒ |f(y)− f(y0)− λ1(y1 − y0,1)2 − λ2(y2 − y0,2)

2| < ε∥y − y0∥2

が成り立つということであった．

(1) 0 < ε < λ1, λ2 とすることで，

∥y− y0∥ < δ =⇒ f(y) > f(y0) + λ1(y1 − y0,1)2 + λ2(y2 − y0,2)

2 − ε∥y− y0∥2

がわかる．これを

∥y − y0∥ < δ =⇒ f(y) > f(y0) + (λ1 − ε)(y1 − y0,1)2 + (λ2 − ε)(y2 − y0,2)

2

と書き換えればわかるように，y0 以外の B(y0, δ) の点では f の値は必ず f(y0)

より大きい．よって，f(y) は極小値である．

(2) 同じく，0 < ε < −λ1,−λ2 とすることで，

∥y− y0∥ < δ =⇒ f(y) < f(y0) + λ1(y1 − y0,1)2 + λ2(y2 − y0,2)

2 + ε∥y− y0∥2

がわかる．これを

∥y − y0∥ < δ =⇒ f(y) < f(y0) + (λ1 + ε)(y1 − y0,1)2 + (λ2 + ε)(y2 − y0,2)

2

と書き換えればわかるように，y0 以外の B(y0, δ) の点では f の値は必ず f(y0)

より小さい．よって，f(y) は極大値である．

(3) 先ほどの同じ考察を f(y0 + te1), f(y0 + te2) に関して行うことで，f(y0) は ∥y−y0∥ < δ に含まれるいかなる開集合における最大値でも最小値でもないことがわか

る．つまり，f(y0) は極値ではない．

先ほどの証明 (3) において，極値ではないことを示すためには，極値の定義からいか

なる開集合をとってきてもそこで最大値もしくは最小値でないことを示さないといけない

ことに注意しよう．

例 8.26 定理 8.25 の具体例

(1) 「λ1, λ2 > 0 なら極小値である」例として，z = x2 + y2 が挙げられる．

(2) 「λ1, λ2 > 0 なら極大値である」例として，z = −x2 − y2 が挙げられる．

(3) 「λ1λ2 < 0 なら極小値である」例として，z = x2 − y2, z = −x2 + y2 が挙げら

れる．


237

1 変数でも 2 回微分を考える方法が万能ではなかったように，2 変数においても頭が

痛くなる例はいくらでも存在する．

例 8.27 (0, 0) において，2 回微分がすべて 0 になるにも関わらず，極小値をとる例．

z = x4 + y4 のグラフ

例 8.28 (0, 0) において，2 回微分がすべて 0 になるにも関わらず，f(0, 0) < f(x, y)

が x2 + y2 < ε2 において成り立たないという意味で極小値をとらない例．

z = x2 のグラフ

例 8.29 f(x, y) = 3x2 +4xy+2y2 − 2x− 4y の極値を求めよう．fx(x, y) = 6x+

4y − 2, fy(x, y) = 4x+ 4y − 4 で，x = 1, y = 0，極値が f(1, 0) = 1 となる．ここで，

fxx(1, 0) = 6, fxy(1, 0) = 4, fyy(1, 0) = 4

であるから， ∂11f(x0) ∂12f(x0)

∂21f(x0) ∂22f(x0)

=

6 4

4 4

となり，この行列の固有値は 5±

√17 でどちらも正であるから，f(1, 0) は極小値である．

例 8.30 f(x, y) = 2x4 − 3x2y + y2 は極値を持たないことを示そう．

まずは，fx(x, y) = 8x3 − 6xy，fy(x, y) = −3x2 + 2y だから，変数 x, y に関する


238 目次

連立方程式 fx(x, y) = fy(x, y) = 0 を解くと (x, y) = (0, 0) である．実際に，関係式

fy(x, y) = 0 より，y = 3x2/2 となり，第一式に代入して，x = 0 となる．第二式に今

得られた x = 0 を代入して，y = 0 も得られる．f(x, y) が極値を取るような点は少なく

とも偏導関数が消えている必要があるので，(0, 0) 以外は考えなくてもよい．ところが，

f(x, a x2) = x4(2− 3a+ a2)

であるから，a の値によって x 7→ f(x, a x2) は x = 0 で最大値をとるか，最小値をとる

かが分かれる．したがって，偏導関数が消えている (0, 0) ですら極値ではない．

8.3.0.0.1 嘆きのひとこと fx(x, y) = fy(x, y) = 0 となる (x, y) の計算だけでも

できれば上等．極値，極限，（極道）の区別もつかないのか．

8.4 逆関数定理と陰関数定理

陰関数定理とは x2 + y2 = 1 のような式を曲線とみなせ，さらにそれは部分を見れば

x もしくは y はもう一方の関数として見られるということを主張している定理である．

x2 + y2 = 1 の例ではそれを x > 0, x < 0, y > 0, y < 0 の 4 つに分けて，それぞれの領

域で，y =√1− x2, y = −

√1− x2, x =

√1− y2, x = −

√1− y2 と関数として表示

することができる．4 つのうち最後の 2 つは y の関数として x をとらえている．

8.4.0.0.2 曲線の表示方法曲線の表示方法は大まかに分けて 3 つの方法がある．

(1) f(x, y) = 0 と定義方程式を用いて与える方法．x2 + y2 = 1 を曲線としてとらえ

るのがこの方法である．デカルトの葉線 x3 + y3 − 3xy = 0 もこの用法にあたる．

そのほかにも圧力の単位として名前が知られているパスカルの父親により考案され

たカタツムリ曲線 (x2 + y2 − 2ax)2 − b2(x2 + y2) = 0 が挙げられる．

(2) 円 x2 + y2 = 1 を表示する方法として，(cos t, sin t) があるが，このような表示を

パラメータ表示という．

(3) 上述の二つの方法の具体例として，極座標表示 (r, θ) がある．

(a) (x2 + y2 − 2ax)2 − b2(x2 + y2) = 0 は r = 2a cos θ ± b と変換される．

a = b = 1 の場合は次のようなグラフになる．


239

-1 0 1 2 3-2

-1

0

1

2

a = 1, b = 2 の場合は次のようなグラフになる．

-1 0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

この図形の形がカタツムリに似ていることから，この図形のことをカタツムリ曲

線という．

(b) (x2 + y2)2 − 2a2(x2 − y2) + a4 − c4 = 0 は卵形曲線という．(−a, 0) と (a, 0)

の距離が c2 に等しい点全体のなす図形である．

a = 1, c = 1/2 の場合は次のようなグラフになる．


240 目次

-2 -1 0 1 2-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

a = 1, c = 1 の場合は次のようなグラフになる．

-2 -1 0 1 2-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

a = 1, c = 3/2 の場合は次のようなグラフになる．


241

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1

0

1

2

8.4.0.0.3 逆関数定理 2 変数における逆関数定理を考察する．以後，a, b が実数で

r > 0 のときは，

Q((a, b); r) = (x, y) ∈ R2 : |x− a| < r, |y − b| < r

とおき，Q(r) = Q((0, 0); r) と書くことにしよう．また，

∥(x, y)∥∞ = max(|x|, |y|)

とおこう．

補題 8.31 r ∈ (0, 1) とする．f = (f1, f2) を Q(r) の閉包を含む開集合 U で定義さ

れた f(0) = 0 を満たす関数とする．もし，ε ∈ (0, 1) が存在して，

∥f(x)− f(y)− x+ y∥∞ ≤ ε∥x− y∥∞, x, y ∈ Q(r)

が成り立つならば，Q((1− ε)r) ⊂ f(Q(r)) ⊂ Q((1 + ε)r) が成り立つ．

証明. 仮定 f(0) = 0 によって，特に

∥f(x)− x∥∞ ≤ ε∥x∥∞, x, y ∈ Q(r)

が成り立つ．また，一般に

∥x+ y∥∞ ≤ ∥x∥∞ + ∥y∥∞

であるから，f(Q(r)) ⊂ Q((1 + ε)r) が得られる．

もう一つの包含関係を示そう．z ∈ Q((1− ε)r) とする．点列 an∞n=1 ⊂ R2 を以下

の関係式で定める．


242 目次

a0 = 0 ∈ R2, an+1 = an − f(an) + z, (n = 1, 2, · · · ).

すると，帰納的に an ∈ Q(r) となることが示される．さらに，

∥an+2 − an+1∥∞ = ∥an+1 − an − f(an) + f(an+1)∥∞ ≤ ε∥an+1 − an∥∞

であるから，x = limn→∞

an が存在する．与えられた漸化式の極限移行を考えれば，

x ∈ Q(r), f(x) = z

が得られる．ここで，

z ∈ Q((1− ε)r)，つまり，∥z∥∞ ≤ (1− ε)r, ∥x− z∥∞ ≤ ε∥x∥∞ ≤ ε, r ∈ (0, 1)

であるから，x ∈ Q(r) となる．

注意 8.32 同様な考察は，正方形だけではなく，球に対しても成り立つ．

補題 8.31 によって次のことがわかる．

定理 8.33 (逆関数定理) U ⊂ R2 を開集合とする．f : U → R2 を C1-級写像とす

る．x0 ∈ U として，Df(x0) は非退化，つまり，det(Df(x0)) = 0 とすると，V ⊂ U

となる x0 の小さい近傍 V が存在して，制限写像 f |V : V → f(V ) は全単射となる．ま

た，f−1 は f(V ) 上で考えると，C1-級である．

証明. f の代わりに，Df(x0)−1f を考えて，Df(x0) = idR2(= 単位行列) としてよ

い．このとき，f が C1-級であることから，Df(x0) = idR2 であることとあわせて，

Q(r) ⊂ U ∥f(x)− f(y)− x+ y∥∞ ≤ 1

2∥x− y∥∞, x, y ∈ Q(r)

となる r > 0 が存在する．補題 8.31 を用いれば，f |Q(r) : Q(r) → f(Q(r)) は全射で

ある．

∥f(x)− f(y)− x+ y∥∞ ≤ 1

2∥x− y∥∞, x, y ∈ Q(r)

より，f |f−1(Q(r/2)) は f−1(Q(r/2)) に制限すると単射である．1 変数のときと同様に

して，f(V ) 上で考えると，f−1 が C1-級であることも示せる．一度写像が存在するとわかると，微分可能性に関していろいろなことがいえる．

定理 8.34 定理 8.33 において，D(f−1) の逆行列の y における値と Df の f−1(y)

における値について

Df−1(y) = Df(f−1(y))−1


243

が成り立つ．f ∈ CN であるなら，f−1 ∈ CN である．

証明. 関係式 Df−1(y) = Df(f−1(y))−1 は f−1(f(x)) = x を連鎖律によって微分

すれば得られる．f ∈ CN とすると，この関係式から，帰納的に f−1 ∈ CN が従う．最後に陰関数定理を考察する．逆関数定理と陰関数定理は互いに非常によく似ている．

おおざっぱに言って，逆関数定理とは，y = f(x) の形に表された関数を x = f−1(y) の

形に直せるという趣旨の定理であるが，陰関数定理はさらに複雑な F (x, y) = 0 の形の

式から，y = f(x) という形に解けるかどうかを判定する定理である．

物理学などでは二つの変数の関係を記述するときに，一方の変数で，もう一方の変数で

解き表されない場合がある．

例 8.35 y = f(x) と表されている図形でも，回転座標変換すれば，x sin θ+y cos θ =

f(x cos θ − y sin θ) となり，一般には y についてこの式を解くことができない．

また，微分方程式で扱った変数分離形も一般には従属変数 y を独立変数 x について解く

ことはできない．

例 8.36 x に関する微分方程式 y′ =x

y(y4 + 1)は

1

6y6 +

1

2y2 =

1

2x2 + C

と解けるが，これを y について解くことはできない．

陰関数定理を述べよう．

定理 8.37 (陰関数定理) U ⊂ R2 を開集合とする．F : U → R を C1-級とする．

F (x, y) = 0, Fy(x0, y0) = 0 であるならば，x0 の近傍 U1 ⊂ R と y0 の近傍 U2 ⊂ R

と C1-級写像 f : U1 → U2 → R が存在して，U1 × U2 ⊂ U，F (x, f(x)) = 0, x ∈U1, y0 = f(x0) が成り立つ．

証明. 以下の写像を考察する．xy

∈ U ⊂ R2 7→

x

F (x, y)

∈ R2


244 目次

このとき，(x0, y0) でのヤコビ行列は

1 0

Fx(x0, y0) Fy(x0, y0)

でその行列式は仮定によって，Fy(x0, y0) = 0 である．したがって，U を小さくとり直して，U1 × U2 ⊂ R×R の形と仮定して，この対応の逆対応 G : F (U1 × U2) → U1 × U2 が存在する．(定理

8.33)

G を成分表示して， xy

∈ U1 × U2 7→

G1(x, y)

G2(x, y)

∈ R2

と表す．このとき，F G, G F が恒等写像であることを式で表してみると，

G1(X,Y ) = X, F (G1(X,Y ), G2(X,Y )) = Y,

G1(x, F (x, y)) = x, G2(x, F (x, y)) = y

となる．最後の式によって，G2(x0, 0) = G2(x0, F (x0, y0)) = y0 となる．二つ目の

式に Y = 0 を代入して，F (G1(X, 0), G2(X, 0)) = 0 である．ここで，最初の式より

G1(X, 0) = X だから，F (X,G2(X, 0)) = 0 となる．よって，求める関数 f は f(x) =

G2(x, 0), x ∈ U2 である．

例 8.38 定理 8.37 のもとで，f ′′(x) を計算してみよう．

F (x, f(x)) ≡ 0 (x ∈ U1)

であるから，連鎖率により，

d

dxF (x, f(x)) = Fx(x, f(x))

dx

dx(x) + Fy(x, f(x))

df

dx(x)

= Fx(x, f(x)) + f ′(x)Fy(x, f(x))

= 0


f ′(x) = −Fy(x, f(x))

Fx(x, f(x))(8.1)

である．同じく，連鎖率より，

d

dxFx(x, f(x)) = Fxx(x, f(x))

dx

dx(x) + Fxy(x, f(x))

df

dx(x)

= Fxx(x, f(x)) + f ′(x)Fxy(x, f(x))


245

d

dxFy(x, f(x)) = Fyx(x, f(x))

dx

dx(x) + Fyy(x, f(x))

df

dx(x)

= Fyx(x, f(x)) + f ′(x)Fyy(x, f(x))

である．(8.1) より，

f ′′(x) = − 1

Fx(x, f(x))2

(−Fy(x, f(x))

d

dxFx(x, f(x)) + Fx(x, f(x))

d

dxFy(x, f(x))

)=Fy(x, f(x))(Fxx(x, f(x)) + f ′(x)Fxy(x, f(x)))

Fx(x, f(x))2

− Fx(x, f(x))(Fyx(x, f(x)) + f ′(x)Fyy(x, f(x)))

Fx(x, f(x))2

=Fy(x, f(x))(Fx(x, f(x))Fxx(x, f(x))− Fy(x, f(x))Fxy(x, f(x)))

Fx(x, f(x))3

− Fx(x, f(x))(Fx(x, f(x))Fyx(x, f(x))− Fy(x, f(x))Fyy(x, f(x)))

Fx(x, f(x))3

= −Fy(x, f(x))2Fxx(x, f(x)) + Fx(x, f(x))

2Fyy(x, f(x))

Fx(x, f(x))3

− 2Fxy(x, f(x))Fx(x, f(x))Fy(x, f(x))

Fx(x, f(x))3

となる．とくに，Fy(x, f(x)) = 0 ならば，f ′′(x) = −Fyy(x, f(x))

Fx(x, f(x))が成り立つ．

例 8.39 曲線 C の点 (x0, y0) における接線 ℓ に関して考えよう．二つの場合に大別

する．

(1) C が F (x, y) = 0 と表されていて，考えている曲線上の点 (x0, y0) において，

Fx(x0, y0) = 0 もしくは Fy(x0, y0) = 0 が成り立っている場合．後者のケースを

考えよう．この時は，y = f(x) と陰関数定理を用いて解くことができて，

f ′(x) = −Fx(x0, y0)

Fy(x0, y0)

となるので，接線は ℓ : y = f ′(x0)(x− x0)+ y0 = −Fx(x0, y0)

Fy(x0, y0)(x− x0)+ y0 と

表される．移項して，Fx(x0, y0)(x− x0) +Fy(x0, y0)(y− y0) = 0 となる．対称

性から前者の条件 Fx(x0, y0) = 0 を仮定しても同じである．

(2) C が N 次多項式 F (x, y) = 0 と表されていて，その多項式が係数 cjk

F (x, y) =∑

m≤j+k≤N

cjk(x− x0)j(y − y0)

k


246 目次

と表されるとき．ただし，j + k = m かつ cjk = 0 となる 0 以上の整数 j, k の存

在は仮定する．この場合は

∑j+k=m

cjk(x−x0)j(y− y0)k = cN∏i=1

(ai(x−x0)+ bi(y− y0))×既約 2 次式の積

と分解して，接線は

ai(x− x0) + bi(y − y0) = 0 (i = 1, 2, · · · , N)

と考える．デカルトの葉形 x3 + y3 − 3xy = 0 は (0, 0) において，x = 0 と y =

0 が接線となる．同様に，y2 = x3 も y = 0 が接線であるといえる．既約 2 次式

の積しかなく 1 次の因子が見出せない F (x, y) = x2 + y2 − x4 のようなものもあ

るが，この場合は (0, 0) には接線がないといえる．

-3 -2 -1 0 1 2 3-4

-2

0

2

4

同様に，y(x2 + y2)− x4 = 0 は y = 0 を接線として持つといえる．


247

-20 -10 0 10 200

5

10

15

20

例 8.40 数学的な立場に立ってみると，逆関数定理の重要性の一つは座標変換であ

る．具体例を示すべく g(x, y) と h(x, y) を x, y の多項式として，

yn(1 + g(x, y))− xm(1 + h(x, y)) = 0

で与えられる図形の原点近傍での様子を調べる．収束べき級数を用いて

u = y n

√1 + g(x, y), v = x n

√1 + h(x, y)

と変換して，un − vm = 0 となる．ここで，重要なのは (x, y) → (u, v) が原点のある近

傍で微分同相であることである．


第 9 章

2変数の積分法

ここでは，x, y と 2 変数関数の積分に関して考察する．1 変数関数のときと同様に，積

分は初めに定積分から定義していく．2 次元の場合の不定積分は基本的にはなく，リーマ

ン和から出発して得られる定積分しか基本的には考えない．不定積分に相当するものとし

て，第 9.7.5 で挙げる完全積分系があるが，本書では深入りしない．

9.1 2次元のリーマン積分の定義と累次積分

物体の重心を考える．たとえば，直方体ならば，対角線の交点であるが，直方体や球以

外の複雑な図形に対して，重心を考えたい．たとえば，

A = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 であるが，1 < x ≤ 2, 1 < y ≤ 2 ではない

という物体を考える．ただし，密度は一様になっているとする．

この物体の面積は 3 であるが，この物体の重心 (a, b) は次の計算式で与えられる．

3

4(a, b) +

1

4

(3

2,3

2

)= (1, 1)

このベクトルに関する方程式を解くと，

(a, b) =

(5

6,5

6

)


249

となる．ほかの図形の重心を計算したいが，図形とは，R2 の部分集合を一般には指すこ

とにする．複雑な図形 A の重心を計算するのは大変なことであるが，数学的には(1

A の面積

∫∫A

x dx dy,1

A の面積

∫∫A

y dx dy

)で与えられる．物体の密度を w(x, y) と表すときに，A の質量は

M =

∫A

w(x, y) dx dy

で与えられる．この場合の重心は(1

M

∫∫A

xw(x, y) dx dy,1

M

∫∫A

yw(x, y) dx dy

)と与えられる．ここでは，

∫∫Aの意味を A が長方形の時から初めて，一般の図形に対し

ても定義を与えていくことにしよう．

9.1.1 長方形上での積分

1 次元のときは区間を用いて，積分を定義してきたが，2 次元では区間に相当するもの

が長方形になる．ここで言う長方形とは，座標軸に平行なものを表す．A 上で定義された

実数値関数 f の A 上の上限を supAf と略式で書くことにする．下限，最大値などに関し

ても同じである．

定義 9.1 (長方形上での積分) f : [a, b]× [c, d] → R を有界関数とする．

(1) [a, b] × [c, d] の分割とは，[a, b] の分割 a = x0 < x1 < x2 < · · · < xN = b と

[c, d] の分割 c = y0 < y1 < y2 < · · · < yM = d から得られる M ×N 個の長方

形の集まり ∆ = [xj−1, xj ]× [yk−1, yk]j=1,2,··· ,N, k=1,2,··· ,M である．

(2) 上記のような [a, b]× [c, d] の分割の全体を D([a, b]× [c, d]) と表す．ただし，分

割の際に考える長方形の個数に制限は設けない．

(3) (1) で与えられる分割 ∆ に対して，幅 |∆| を

|∆| = maxj=1,2,··· ,N, k=1,2,··· ,M

(|xj − xj−1|+ |yk − yk−1|)

と定める．

(4) (1) で与えられる分割 ∆ に対して，f の過剰和を

S∆(f) =N∑

j=1

M∑k=1

(xj − xj−1)(yk − yk−1) sup[xj−1,xj ]×[yk−1,yk]

f


250 目次

と定める．

(5) (1) で与えられる分割 ∆ に対して，f の不足和を

s∆(f) =N∑

j=1

M∑k=1

(xj − xj−1)(yk − yk−1) inf[xj−1,xj ]×[yk−1,yk]

f

と定める．

(6) 一般に有界関数 f のリーマン上積分を∫[a,b]×[c,d]

f(x) dx = sup S∆(f) : ∆ ∈ D([a, b]× [c, d])

で定める．

(7) 一般に有界関数 f のリーマン下積分を∫[a,b]×[c,d]

f(x) dx = inf s∆(f) : ∆ ∈ D([a, b]× [c, d])

で定める．

(8) 有界関数 f がリーマン積分可能であるとは，∫[a,b]×[c,d]

f(x) dx =

∫[a,b]×[c,d]

f(x) dx

が成り立つことで，この場合 f の積分値を∫[a,b]×[c,d]

f(x) dx =

∫[a,b]×[c,d]

f(x) dx =

∫[a,b]×[c,d]

f(x) dx

で定める．

1 次元の時と同じように次の定理が成り立つ．

定理 9.2 (長方形上での積分に対するダルブーの定理) f : [a, b]× [c, d] → R を有界

関数とする．このとき，

lim|∆|↓0

S∆(f) =

∫[a,b]×[c,d]


s∆(f) =

∫[a,b]×[c,d]

f(x) dx

が成り立つ．

1 次元の場合は連結集合と区間は同義語である．しかし，2 次元の場合は連結集合は長

方形だけとは限らない．そこで，2 次元での積分を考える際には，領域の区切り方は必ず

しも長方形にこだわる必要はない．


251

例 9.3 R = [0, 1]2 = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x, y ≤ 1 に対して，R 内の点P1, P2, · · · , PN を R の頂点を含むように適当にとって，それらの点を使って，三角

形に分割しても長方形の分割ができるであろう．もっと具体的に例示して言うならば，

A(0, 0), B(0, 1), C(1, 0), D(1, 1), E(1/2, 1/2)

として，三角形 ABE, ADE, BCE, CDE を考えて分割することもできるであろう．た

だし，ここでは三角形といった場合は，辺と内部すべてを込めて言っている．

このように考えていくと，三角形に拘泥するのではなくもっと別の多角形も考慮に入れた

くなる．線からなる図形にこだわる必要もなく，場合によっては円弧を考えたほうがよい

場合もある．そもそも（平面）図形にはいろいろなものがあるために，どれが図形でどれ

が図形ではないかを考えるのはほぼ不可能である．そこで，次の定義を与える．図形とい

う場合は，とりあえず R2 の部分集合全体を指すことにする．ただし，あまりに広範な範

疇の図形を考察の対象にすると境界の扱いが面倒になるので，それを正確に記述する方

法を与えることから始める．その糸口となるのが，その図形の面積の概念である．三角

柱，円柱，直方体は高さが 1 であるときは，底面積の値が体積になった．一般に高さが 1

の立体の体積は底面積と一致する．高さが 1 の立体を考えるには特性関数が便利である．

特性関数とは

χD(x, y) =

1, (x, y) ∈ D,

0, (x, y) /∈ D

で与えられていたことを思い出そう．たとえば，円柱を表したければ，D = (x, y) ∈R2 : x2 + y2 ≤ 1 とすればよい．

一般に，図形がどのような形であっても（形状が不明な場合ですら）図形 D ⊂ R2 の

面積は次のようにして決定される．


252 目次

定義 9.4 (面積確定) D ⊂ R2 を有界集合として, D 上の特性関数を χD(x, y) と表

す．D が面積確定であるとは, 関数 χD が D を含む (任意の) 閉長方形 K 上でリーマ

ン積分可能であることである. このとき, D の面積を |D| :=∫∫

K

χD(x, y)dxdy と表す.

面積の概念が関数の積分から定義されることが，定義 9.4 からわかる．

リーマン積分を考える際には分割は直方体に限定して考えてきたが，分割をほかの図

形に変更しても構わない．次の定義 9.5 において，diam(Xj) は集合 Xj ⊂ R2 の直径で

あって，具体的には

diam(Xj) = supx,y∈Xj

|x− y|

で定義されるものである．

定義 9.5 (一般分割) 長方形 R の一般分割とは次の条件を満たしている R の部分集

合の集まり X = Xjnj=1 のことである．

(1) R = X1 ∪X2 ∪ · · · ∪Xn が成り立つ．

(2) i = j のとき，Xi ∩Xj ⊂ ∂Xi ∩ ∂Xj が成り立つ．

(3) ∂Xj は面積確定で，面積が 0 である．

また，このとき，|X | = maxj=1,2,··· ,n

diam(Xj) を分割の幅という．

2 次元においてはダルブーの定理は一般分割にまで拡張される．

定理 9.6 (多次元におけるダルブーの定理) R を長方形，f : R → R を有界関数と

する．このとき，任意の ε > 0 に対して，ある δ が存在して，|X | ≤ δ となる一般分割

X = Xjnj=1 に対して，


253∣∣∣∣∣ n∑j=1

|Xj | infXj

f −∫

R

f(x) dx

∣∣∣∣∣ < ε,

∣∣∣∣∣ n∑j=1

|Xj | supXj

f −∫R

f(x) dx

∣∣∣∣∣ < ε

が成り立つ．

証明. 下積分のみを考える．上積分は f の代わりに −f を考えて得られる下積分の式を解釈しなおすか，ここで実際にする下積分の証明の不等号を修正すればよいからであ

る．また，f は有界であるから，f の代わりに f − infRf を考えて，f は 0 以上の値をと

ると仮定してよい．

1 次元の時に倣って，f, f を

f(x) = limδ↓0

(inf

B(x,δ)∩Rf

), f(x) = lim

δ↓0

(sup

B(x,δ)∩R

f

)とおく．1 次元のとき (補題 6.38) と同様に，∫

R

f(x) dx =

∫R

f(x) dx

が成り立つ．

面積確定の定義 (2) より，関数の大小関係

n∑j=1

infXj

fχXj (y) ≤ f(y) y ∈n∪

j=1

Int(Xj)

が成り立つ．面積確定の定義 (1) と (3) より，

n∑j=1

|Xj | infXj

f =

∫R

(n∑

j=1

infXj

f · χXj (y)

)dy ≤

∫R

f(x) dx

が成り立つ．ここで，ε > 0 を任意にとって，

Xε,x = y ∈ R : f(y) > f(x)− ε

とすると，Xε,xx∈X は R の開被覆である．R がコンパクトであるから，ルベーグ数

δ > 0 が存在する．(定理 4.57) |X | < δ とすると，各 j に対して，ある xj が存在して，

Xj ⊂ Xε,xj となる．このとき，

n∑j=1

infXj

f · χXj (y) ≥n∑

j=1

f(xj)χXj (y)− ε

ここで，有限個の長方形 R1, R2, · · · , RM が存在して，各 Rk は以下の条件のうちどち

らかが成り立つ．


254 目次

(1) Rk はある Xj に含まれる．

(2) Rk はある Xj の境界に交わる．

さらに，各 Xj の境界はコンパクトで，その面積は 0 であるから，R1, · · · , RM を十分

に小さくとれば，∑

k :Rkは (2) をみたす|Rk| ≤

ε

(1 + sup |f |)(1 + |R|) となる．したがっ

て，∑

k :Rkは (2) をみたす

n∑j=1

f(xj)χXj ∩Rk(y) > −ε

n∑j=1

f(xj)χXj (y) =M∑k=1

n∑j=1

f(xj)χXj ∩Rk (y)

=∑

k :Rkは (1) をみたすinf

x∈Rk

fχRk (y)

+∑

k :Rkは (2) をみたす

n∑j=1

f(xj)χXj ∩Rk (y)

≥M∑k=1

infRk

f − 2ε


n∑j=1

|Xj | infXj

f ≥M∑k=1

infRk

f − 3ε

となる．長方形分割に関するダルブーの定理を用いることで結論が得られる．2 次元のリーマン積分の可能性の判定のためには，やはり 0 集合という概念が有用で

ある．以下の定義において，|R| は長方形 R の面積を表すとする．

定義 9.7 (2 次元の 0 集合) E ⊂ R2 が 0 集合であるとは，任意の ε > 0 に対して

ある長方形の可算列 R1, R2, · · · , Rj , · · · が存在して，

E ⊂∞∪j=1

Rj ,∞∑j=1

|Rj | < ε (9.1)

が成り立つことである．また，0 集合の例外を除いてある性質が成り立つことを，その性

質はほとんどいたるところ成り立つということにする．

1 次元の時と同じように次の定理も成り立つ．

定理 9.8 (長方形上での積分に対するルベーグの定理) f : [a, b]× [c, d] → R を有界

関数とする．このとき，f がほとんどいたるところ連続であることと f がリーマン積分

可能であることは同値である．


255

一様収束と積分の順序交換は 1 変数の時と同じ方法で次の命題が証明される．

命題 9.9 fn∞n=1 を (閉) 長方形 R におけるリーマン積分可能な有界関数列で，リー

マン積分可能な f に一様収束しているとする．このとき，f は有界で，

limn→∞

∫∫R

fn(x, y) dx dy =

∫∫R

f(x, y) dx dy

が成り立つ．

9.1.2 長方形上での積分に対する累次積分

2 次元の積分を計算するには累次積分を実行するのが有効である．累次積分の具体例に

関しては，例 1.20 の計算を参考にすること．

立体の体積を計算するときは，切り口の面積を積分することになる．

積分可能性の議論は別として，一般に関数 f(x, y) が与えられた時に，∫∫[a,b]×[c,d]

F (x, y) dx dy,

∫ b

a

F (x, y) dx

はそれぞれ定数，y の関数になる．つまり，積分∫ b

a

F (x, y) dx

を計算すると，一般に y の式になって然るべきである．この y の式をさらに積分したのが，∫ d

c

(∫ b

a

F (x, y) dx

)dy

である．


256 目次

定理 9.10 (長方形上での有界関数の積分に対する累次積分，フビニの定理) 4 つの実

数 a, b, c, d が −∞ < a < b <∞, −∞ < c < d <∞ を満たしているとする．また，

F : [a, b]× [c, d] → R

を有界関数とする．もし，F が [a, b] × [c, d] 上でリーマン積分可能で，すべての y ∈

[c, d] に関して

∫ b

a

F (x, y) dx がリーマン積分可能であるならば，[c, d] 上の y の関数

y 7→∫ b

a

F (x, y) dx は [c, d] 上リーマン積分可能で，

∫ d

c

(∫ b

a

F (x, y) dx

)dy =

∫[a,b]×[c,d]

F (x, y) dx dy (9.2)

が成り立つ．

証明. [c, d] 上の任意の分割 ∆ : c = y0 < y1 < · · · < yN = d をとろう．すると，

[a, b] の N 等分割 a = x0 < x1 < · · · < xN = b に対して，

N∑j=1

(yj − yj−1) infy∈[yj−1,yj ]

(∫ b

a

F (x, y) dx

)≥

N∑i,j=1

(xi − xi−1)(yj − yj−1) infx∈[xi−1,xi]y∈[yj−1,yj ]

F (x, y)

および

N∑j=1

(yj − yj−1) supy∈[yj−1,yj ]

(∫ b

a

F (x, y) dx

)

≤N∑

i,j=1

(xi − xi−1)(yj − yj−1) supx∈[xi−1,xi]y∈[yj−1,yj ]

F (x, y)

が成り立つ．したがって，F が [a, b]× [c, d] 上でリーマン積分可能であるという仮定に

よって，

lim|∆|→0

N∑i,j=1

(xi − xi−1)(yj − yj−1) supx∈[xi−1,xi]y∈[yj−1,yj ]

F (x, y) =

∫[a,b]×[c,d]

F (x, y) dx dy

と

lim|∆|→0

N∑i,j=1

(xi − xi−1)(yj − yj−1) infx∈[xi−1,xi]y∈[yj−1,yj ]

F (x, y) =

∫[a,b]×[c,d]

F (x, y) dx dy


257

はすでにわかっているから所望の等式が得られる．F が連続であるなら，定理に現れるすべての積分は常に定義されているので，定理は

より簡潔に述べられる．

系 9.11 (長方形上での連続関数の積分に対する累次積分，フビニの定理) F : [a, b]×[c, d] → R を連続関数とする．ただし，実数 a, b, c, d は −∞ < a < b <∞, −∞ < c <

d <∞ を満たしているとする．∫ d

c

(∫ b

a

F (x, y) dx

)dy =

∫ b

a

(∫ d

c

F (x, y) dy

)dx =

∫[a,b]×[c,d]

F (x, y) dx dy

が成り立つ．

証明. 定理 9.10 にある仮定を検証しないといけない．F の有界性はワイエルストラス

の定理 (定理 4.70) によって保証されている．リーマン可積分性は定理 6.44 と定理 9.8

によって保証される．関数

x ∈ [a, b] 7→∫ d

c

F (x, y) dy ∈ R, y ∈ [c, d] 7→∫ b

a

F (x, y) dx ∈ R

は一様連続である．

以下のようなことも示せる．

命題 9.12

(1) R を長方形，I を閉区間とするとする．f : R× I → R を x, y, z の連続関数とす

る．このとき，∫∫R

(∫I

f(x, y, z) dx dy

)dz =

∫I

(∫∫R

f(x, y, z) dz

)dx dy

が成り立つ．

(2) R1, R2 を長方形とする．f : R1 ×R2 → R を x, y, z, w の連続関数とする．この

とき， ∫∫R1

(∫∫R2

f(x, y, z, w) dx dy

)dz dw

=

∫∫R2

(∫∫R1

f(x, y, z, w) dz dw

)dx dy

が成り立つ．


258 目次

証明. (2) のみを示す．次元が低い分だけ (1) は (2) より簡単である．R1, R2 の各辺

を N 等分して得られる長方形を RN,j1 j=1,2,··· ,N2，RN,k

2 k=1,2,··· ,N2 と表す．ここ

で，境界を共有する場合はどちらか一方に含ませるようにして，互いに交わりがないよう

にしておく．

fN (x, y, z, w) =N2∑

j,k=1

(inf

(x,y,z,w)∈RN,j1 ×R

N,k2

f(x, y, z, w)

)χR

N,j1 ×R

N,k2

(x, y, z, w)

f の R1 ×R2 における一様連続性から，

sup(x,y)∈R1

∣∣∣∣∫∫R2

f(x, y, z, w) dz dw −∫∫

R2

fN (x, y, z, w) dz dw

∣∣∣∣≤ |R2| sup

(x,y,z,w),(x′,y′,z′,w′)∈R1×R2

|x−x′|+|y−y′|+|z−z′|+|w−w′|≤2

N(ℓ(R1)+ℓ(R2))

|f(x, y, z, w)− f(x′, y′, z′, w′)|

→ 0 (N → ∞)

となる．よって，(x, y) ∈ R1 における一様収束の意味合いで，

limN→∞

∫∫R2

fN (x, y, z, w) dz dw =

∫∫R2

f(x, y, z, w) dz dw

が成り立つ．したがって，命題 9.9 より，N → ∞ とすれば，∫∫R1

(∫∫R2

fN (x, y, z, w) dx dy

)dz dw →

∫∫R1

(∫∫R2

f(x, y, z, w) dx dy

)dz dw

が得られる．ここで， ∫∫R1

(∫∫R2


)dz dw

は fN が各長方形の直積 RN,j1 ×RN,j

2 で定数であるから，具体的に計算ができて，∫∫R1

(∫∫R2


)dz dw

=N2∑j=1

N2∑k=1

(inf

(x,y,z,w)∈RN,j1 ×R

N,k2

f(x, y, z, w)

)|RN,j

1 | × |RN,k2 |

となる．

∫∫R1

(∫∫R2


)dz dw をこの式の N → ∞ としての極限と

表せば，R1, R2 に関して，(2) にあるような対称性が得られる．


259

例 1.20 では，単に与えられた変数の順に積分を (漫然と) 計算してきただけであるが，

積分計算の順番を積極的に交換することで，計算がやりやすくなったり，そのままではで

きない計算ができるようになることがあることを例を通じてみてみよう．

例 9.13 積分計算を累次積分，つまり 1 変数の積分を繰り返す方法として計算する

ときはやりやすい順で積分すればよい．

I =

∫ 1

0

∫ 1

0

yexy dx dy

を計算してみよう．この場合は初めに，x で積分するのがよい．y で積分しようとする

と，1

xが出てくる部分積分をしなくてはいけないからである．つまり，y を定数としてみ

て，x について積分するのである．

I =

∫ 1

0

(∫ 1

0

yexy dx

)dy =

∫ 1

0

[exy]10 dy =

∫ 1

0

(ey − 1) dy = [ey − y]10 = e− 2.

例 9.14 I =

∫ 1

0

(∫ 1

y

ex2

dx

)dy を計算してみよう．積分領域は下図である．

これは，開区間 (y, 1) の特性関数 χ(y,1)(x) を用いて表す．χ(y,1)(x) は，(y, 1) という

区間に x が属するならば 1 をとり，(y, 1) という区間に x が属さないならば 1 をとる関


260 目次

数である．この関数を用いて，

I =

∫ 1

0

(∫ 1

y

ex2

dx

)dy =

∫ 1

0

(∫ 1

0

χ(y,1)(x)ex2

dx

)dy

とみなせる．したがって，積分の順序交換をして，

I =

∫ 1

0

(∫ 1

0

χ(y,1)(x)ex2

dx

)dy =

∫ 1

0

(∫ 1

0

χ(y,1)(x)ex2

dy

)dx

となる．ここで，x は最初の y の積分には関係がない定数とみなせるから，

I =

∫ 1

0

ex2(∫ 1

0

χ(y,1)(x) dy

)dx

が得られる．ここで，x, y ∈ (0, 1) のときに，χ(y,1)(x) = χ(0,x)(y) であるから，

I =

∫ 1

0

ex2(∫ 1

0

χ(0,x)(y) dy

)dx

と書き換えることができる．（一般に，積分順序の交換をすることの利点は特性関数の見方

を変えることで，そのままでは計算不可能なものを計算可能なものに変換することであ

る．）特性関数を用いて書かれている積分を特性関数を用いないで書き換えると，

I =

∫ 1

0

ex2(∫ x

0

dy

)dx (9.3)

である． ∫ 1

0

χ(0,x)(y) dy =

∫ x

0

dy は次のグラフからわかる．

(9.3) は具体的に計算ができて，最終的な結論

I =

∫ 1

0

xex2

dx =1

2e


261

が得られる．初めの式に戻って，いくら x の積分をしようとしても不定積分が出てこな

いので，先には進めないことに注意しよう．(この危機的な状況を回避する一つのすべと

して，ex2

をテーラー展開して計算する方法があるが，ここではそれには深入りしないこ

ととする．)

例 9.13，例 9.14 の計算に慣れると，以下のような一般論が得られることがわかるで

あろう．

例 9.15 D = [a, b]× [c, d] で，f(x, y) = g(x)h(y) と表されている場合は，∫∫D

f(x, y) dx dy =

∫ b

a

g(x) dx×∫ d

c

h(y) dy

と 1 次元の積分の掛け算として計算できる．実際に左辺は∫∫[a,b]×[c,d]

g(x)h(y) dx dy =

∫ d

c

(∫ b

a

g(x)h(y) dx

)dy

であるが，y は x で積分するときは定数であるとみなせるから，∫ b

a

g(x)h(y) dx = h(y)

∫ b

a

g(x) dx


左辺 =

∫ d

c

h(y)

(∫ b

a

g(x) dx

)dy

である．ここで，y の積分をするときは

∫ b

a

g(x) dx は

左辺 =

(∫ b

a

g(x) dx

)(∫ d

c

h(y) dy

)である．

x ∈ [a, b] と y ∈ [0,∞) の連続関数 F : [a, b]× [0,∞) → R に対して，広義積分∫ ∞

0

F (x, y) dy = limR→∞

∫ R

0

F (x, y) dy

が存在するとする．FR(x) =

∫ R

0

F (x, y) dy, F (x) =

∫ ∞

0

F (x, y) dy とおけば，FR

が F に一様収束するとするときに，項別積分が可能であった．

定理 9.16 x ∈ [a, b] と y ∈ [0,∞) の連続関数 F : [a, b] × [0,∞) → R に対して，


262 目次

広義積分 ∫ ∞

0

F (x, y) dy = limR→∞

∫ R

0

F (x, y) dy

が各 x ∈ [a, b] に対して存在すると仮定して，

FR(x) =

∫ R

0

F (x, y) dy, F (x) =

∫ ∞

0

F (x, y) dy (x ∈ [a, b])

とおく．さらに，[a, b] 上で FR が F に一様収束すると仮定すると，∫ b

a

(∫ ∞

0

F (x, y) dy

)dx =

∫ ∞

0

(∫ b

a

F (x, y) dx

)dx (9.4)

が成り立つ．

証明. 実際に，無限積分を極限を用いて∫ b

a

(∫ ∞

0

F (x, y) dy

)dx =

∫ b

a

limR→∞

(∫ R

0

F (x, y) dy

)dx =

∫ b

a

limR→∞

FR(x) dx

と書き改める．定理 6.31 より∫ b

a

(∫ ∞

0

F (x, y) dy

)dx = lim

R→∞

∫ b

a

FR(x) dx

= limR→∞

∫ R

0

(∫ b

a

F (x, y) dx

)dx

=

∫ ∞

0

(∫ b

a

F (x, y) dx

)dx

となるから，(9.4) が成立する．

例 9.17 図形 A ⊂ R2 を

A = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 であるが，1 < x ≤ 2, 1 < y ≤ 2 ではない

で定める．A の重心を求めよう．まずは，

I =

∫∫A

x dx dy

を計算しよう．

A1 = [0, 1]× [0, 1], A2 = [0, 1]× [1, 2], A3 = [1, 2]× [0, 1]

と定めると，A は A1, A2, A3 に分割されるから，A 上の積分は A1, A2, A3 上の積分に

分割される．したがって，


263

I =

∫∫A1

x dx dy +

∫∫A2

x dx dy +

∫∫A3

x dx dy =1

2+

1

2+

3

2=

5

2

となる．したがって，y 成分も同様に計算して，I の重心は

(5

6,5

6

)と計算される．図

形を移動させればわかることであるが，これは

(0,

5

2

),

(5

2, 0

), (0, 0) からなる三角形

の重心と同じである．

9.2 座標幾何学の登場

ここでは一般の図形の上で定義された積分に関して考察するが，一般の図形といっても

漠然としているので，復習などの意味合いも込めながら，図形の性質を復習して行こう．

9.2.0.0.4 1637 　デカルトの著書「幾何学」実際にデカルトが考えた座標幾何

学は

x4 + 3x3 − 19xx+ 106x− 120「∞」0

「∞」は元来は左の輪の左端が欠けている字である．これは等号を表す．また，3 乗以降は

通常と同じ記号であるが，xx は x2 とは書かなかったらしい．

y「∞」√

1

4aa+ bb

また，√1 +

√2 を書くにあたって，Rv1pR2 という記号を用いていた．m は引き算の

意味である．デカルトはこの著書で，デカルトの葉線 x3 + y3 − 3xy = 0 を考えた．

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

9.2.0.0.5 1676 年ごろ　ニュートン実 3 次曲線の分類をした．4 種類に大別さ

れるらしい．a, b, c, d, e は定数である．

(1) xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx+ d


264 目次

(2) xy = ax3 + bx2 + cx+ d

(3) y2 = ax3 + bx2 + cx+ d

(4) y = ax3 + bx2 + cx+ d

たとえば，y2 = ax3 + bx2 + cx+ d の例として，y2 = (x− 1)(x− 2)(x− 3) が挙げ

られる．

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0-3

-2

-1

0

1

2

3

また，xy = ax3 + bx2 + cx+ d の例として，xy = (x+1)(x− 1)(x− 2) が挙げられる．

-2 -1 0 1 2 3-2

-1

0

1

2

さらに，xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx+ d の例として，

xy2+y = (x−1)(x−2)(x−3), 2xy2 = −3(x−1)(x−2)(x−3), 2y2x = −3(y−1)(y−2)(y−3)

が挙げられる．最後のグラフはそのグラフの形から，Mountain and Moon と名前がつ

いている．


265

-6 -4 -2 0 2 4 6 8-10

-5

0

5

10

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 30.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

9.3 一般の図形上での積分

一次元の場合は長方形と円には区別がつけられないが，2 次元の場合は長方形以外にも

円など 1 次元に比べていろいろな図形がある．そこで，つぎのような定義をすることで，

円上での積分，ひし形上での積分，楕円上での積分などを定義できる．


266 目次

定義 9.18 (一般の図形上での積分) D を 2 次元の有界集合とする．D を内部に含む

ような長方形 R をとって，さらに F (x, y) を D 上では f(x, y) に一致するように定めて，∫∫D

f(x, y) dx dy =

∫∫R

χD(x, y)F (x, y) dx dy

と定義する．

円柱の体積を求める際に，底面×高さの公式を用いて計算するのではなく，円柱の上面を

表す方程式に着眼して正方形の領域の積分に変換して体積を計算する．

命題 9.19 定義 9.18 において，次のことが言える．

(1) R のとり方によらずに

∫∫D

f(x, y) dx dy が定まる．つまり，D を内部に含むよ

うな長方形 R′ をとって，さらに F ∗(x, y) を D 上では f(x, y) に一致するように

すると， ∫∫D

f(x, y) dx dy =

∫∫R′χD(x, y)F ∗(x, y) dx dy

が成り立つ．

(2) D を 2 次元の有界集合とする．D を内部に含むような円板 Z をとって，さらに

F ∗∗(x, y) を D 上では f(x, y) に一致するようにすると，∫∫D

f(x, y) dx dy =

∫∫Z

χD(x, y)F ∗∗(x, y) dx dy


267

が成り立つ．

証明.

(1) R ⊂ R′ としてよい．分割の中に R = R1 を含むように，R′ を分割して，

R1, R2, · · · , RK と分割する．このとき，∫∫R′χD(x, y)F (x, y) dx dy =

K∑j=1

∫∫Rj


=

∫∫R1


=

∫∫R


(2) D ⊂ Z ⊂ R とすると，両辺は

∫∫R

χD(x, y)F (x, y) dx dy となる．

立体の体積を求める際に，変換する領域は何も正方形にこだわる必要はない．

集合 E に対して，E の不連続点とは E の境界点と同義語になる．定理 9.8 より，以下

のことがわかる．

定理 9.20 有界集合 D ⊂ R2 がリーマン積分可能である必要十分条件は D の境界点

が零集合になることである．

領域を少し変形した場合も同じように累次積分ができる．これはほんの一例である．

定理 9.21 c, d : [a, b] → R を連続関数とする．このとき，Ω = (x, y) ∈ R : a <

x < b, c(x) < y < d(x) と表されるときには，Ω 上で連続な関数 f に対して，∫∫Ω

f(x, y) dx dy =

∫ b

a

(∫ d(x)

c(x)

f(x, y) dy

)dx


268 目次

が成り立つ．

証明. 証明のヒントは例 9.14 にある．C = minx∈[a,b]

c(x), D = maxx∈[a,b]

d(x) と略記しよ

う．集合の特性関数 χΩ を用いて∫∫Ω

f(x, y) dx dy =

∫∫[a,b]×[C,D]

χΩ(x, y)f(x, y) dx dy

と表す．これを累次積分に書き換えて∫∫[a,b]×[C,D]

χΩ(x, y)f(x, y) dx dy =

∫ b

a

(∫ D

C

χΩ(x, y)f(x, y) dy

)dx

を得る．ここで， ∫ D

C

χΩ(x, y)f(x, y) dy =

∫ d(x)

c(x)

f(x, y) dy

だから，所望の等式を得る．

例 9.22 p が 0 < p < 1 を満たすとき，1 辺が 1 の立方体 OABC −DEFG の辺

DO 上に DP = p となる点 P と AB 上に AQ = p となる点 Q を取る．

(1) O = (0, 0, 0), A = (1, 0, 0), B = (1, 1, 0), D = (0, 0, 1) とするとき，P (0, 0, 1−

p)，Q(1, p, 0) とあらわされる．したがって，線分 PQ は x =y

p=z − 1 + p

p− 1と

表される．．

(2) 線分 PQ の作る曲面の下の部分の体積 V を求めよう．x = 0 として，

x =y

p=z − 1 + p

p− 1

から p を消去すると，p =y

xであるから，


269

z = (1− p)(1− x) =(1− y

x

)(1− x)

となる．0 < p < 1 であるから，0 < y < x である．したがって，

V =

∫∫0<y<x<1

(1− y

x

)(1− x) dx =

∫ 1

0

x

2(1− x) dx =

1

12

となる．

9.4 2次元における積分の変数変換

変数変換は 1 変数の定積分を計算するための手段としてきわめて有効であることはよく

わかっているが，多次元でもこのことは同じである．1 変数は座標軸がひとつであるため

に，極座標を考えることは絶無であったが，多次元では極座標変換がいろいろな場面で重

要な役割を果たす．極座標変換に焦点を置きながら，変数変換を見ていくことにしよう．

9.4.1 極座標変換

初めに，極座標変換の公式を示そう．極座標とは大まかに言えば，x = r cos θ, y =

r sin θ で与えられる対応である．次の式が基本になる．

定理 9.23 (極座標変換) f を D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ R2 上で定義された連続関数とする．このとき，∫∫

D

f(x, y) dx dy =

∫∫[0,R]×[0,2π]

f(r cos θ, r sin θ)r dr dθ (9.5)

が成り立つ．

定理 9.23 を証明したいのであるが，特別な場合に示しておくことにする．

定理 9.24 (極座標変換) g を閉区間 [0, R] 上で定義された連続関数とする．このとき，∫∫D

g(√x2 + y2) dx dy = 2π

∫ R

0

rg(r) dr

が成り立つ．

定理 9.24 の証明. 実際，g を

gN (r) = g(R)χR(r) +N∑

j=1

g

(jR

N

)χ[(j−1)R/N,jR/N)(r)


270 目次

とおく．一様収束性を用いて，両辺をそれぞれ∫∫D

f(x, y) dx dy = limN→∞

∫∫D

gN (√x2 + y2) dx dy

および∫∫[0,R]×[0,2π]

f(r cos θ, r sin θ)r dr dθ = limN→∞

∫∫[0,R]×[0,2π]

gN (r)r dr dθ

と書き換える．ここで， limN→∞

に現れた積分は具体的に計算ができて，極限において一致

することがわかる．

補題 9.25 f を D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ R2 上で定義された連続関数とする．このとき，

(x, y) ∈ D 7→∫ 2π

0

f(x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) dθ ∈ R

は√x2 + y2 にしかよらない関数である．

補題 9.25 の証明. 実際に，r ≥ 0 と φ ∈ [0, 2π] を用いて x = r cosφ，y = r sinφ

と変換すると，r =√x2 + y2 であるから，∫ 2π

0

f(x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) dθ

=

∫ 2π

0

f(r cosφ cos θ − r sinφ sin θ, r cosφ sin θ + r sinφ cos θ) dθ

を r の式だけで書き下せばよい．実際に，三角関数の加法定理から∫ 2π

0

f(x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) dθ =

∫ 2π

0

f(r cos(φ+ θ), r sin(θ + φ)) dθ

である．ここで，変数変換 φ+ θ 7→ θ を施して，積分区間を分割すると，∫ 2π

0


=

∫ 2π−φ

−φ

f(r cos θ, r sin θ) dθ

=

∫ 0

−φ

f(r cos θ, r sin θ) dθ +

∫ 2π−φ

0


となる．最後の式に出てきた第一項の積分に θ 7→ θ + 2π を施すと，∫ 2π

0



271

=

∫ 2π

2π−φ

f(r cos θ, r sin θ) dθ +

∫ 2π−φ

0


=

∫ 2π

0


が得られる．

補題 9.26 f を D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ R2 上で定義された連続関数とする．N = 1, 2, · · · に対して，

φN (x, y) =

1 (

√x2 + y2 ≤ 1−N−1のとき)

N −N√x2 + y2 (1−N−1 ≤

√x2 + y2 ≤ 1 のとき)

0 (√x2 + y2 ≥ 1 のとき)

と定めて，fN (x, y) = φN (x, y)f(x, y) と定める．このとき，

limN→∞

∫∫D

f(x, y) dx dy =

∫∫D

fN (x, y) dx dy

と

limN→∞

∫∫[0,R]×[0,2π]

fN (r cos θ, r sin θ)r dr dθ =

∫∫[0,R]×[0,2π]

f(r cos θ, r sin θ)r dr dθ

が成り立つ．

補題 9.26 の証明. fN の定義から，fN (x, y) = f(x, y) となる (x, y) ∈ D は円環

(x, y) ∈ R2 : 1 − N−1 ≤√x2 + y2 ≤ 1 に含まれ，この円環の面積は π(2N−1 −

N−2) であるから，∣∣∣∣∫∫D

f(x, y) dx dy −∫∫

D

fN (x, y) dx dy

∣∣∣∣ ≤ π(2N−1 −N−2) sup |f |


limN→∞

∫∫D

f(x, y) dx dy =

∫∫D

fN (x, y) dx dy

が成り立つ．同様に，fN (r cos θ, r sin θ) = f(r cos θ, r sin θ) となる r と θ は [0, R]×[0, 2π] で考える限り，1−N−1 ≤ r ≤ 1 を満たしている必要があるので，

limN→∞

∫∫[0,R]×[0,2π]


∫∫[0,R]×[0,2π]


が成り立つ．


272 目次

それでは，定理 9.23 を証明しよう．

定理 9.23 の証明. χD を用いて積分を長方形 (この場合は特に正方形) 上の積分に拡

張する方法で，D 上の積分は

D∗ = (x, y) ∈ R2 : max(|x|, |y|) ≤ R

上の関数 F の積分とみなすことができる．f が境界で 0 になるから，FχD は連続であ

ることに注意しよう．

任意の 0 ≤ θ ≤ 2π に対して，1 次元の関数に対して成り立つ変数変換公式を 1 次変

換 (x, y) 7→ (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) に適用すれば，∫∫D

f(x, y) dx dy =

∫∫D

f(x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) dx dy

となる．0 ≤ θ ≤ 2π に対して積分して

2π

∫∫D

f(x, y) dx dy

=

∫ 2π

0

(∫∫D

f(x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) dx dy

)dθ (9.6)

が得られる．ここで，命題 9.12 より，右辺の反復積分の順番を交換できて，∫∫D

f(x, y) dx dy =1

2π

∫∫D

(∫ 2π

0


)dx dy

が得られる．したがって，定理 9.24 から∫∫D

(∫ 2π

0


)dx dy

=

∫ R

0

∫ 2π

0

(∫ 2π

0

f(r cosφ cos θ − r sinφ sin θ, x sin θ + y cos θ) dθ

)dr dφ (9.7)

が成り立つ．(9.6) と (9.7) と三角関数の加法定理によって∫∫D

f(x, y) dx dy

=1

2π

∫∫[0,R]×[0,2π]

(∫ 2π

0

f(r cos(φ+ θ), r sin(θ + φ)) dθ

)dr dφ

が得られる．変数変換 θ + φ 7→ θ と sin, cos の 2π 周期性によって，∫∫D

f(x, y) dx dy =1

2π

∫∫[0,R]×[0,2π]

(∫ 2π

0


)dr dφ

が得られる．命題 9.12 によって，


273∫∫D

f(x, y) dx dy =

∫[0,R]

(∫ 2π

0


)dr

これを累次積分に書き直せば，∫∫D

f(x, y) dx dy =

∫∫[0,R]×[0,2π]


である．f が一般に連続ではなくても，多くの実用的な場合は D 上の連続関数列 fN∞N=1 が

存在して，

limN→∞

∫∫D

fN (x, y) dx dy =

∫∫D

f(x, y) dx dy

かつ

limN→∞

∫∫[0,R]×[0,2π]


∫∫[0,R]×[0,2π]


が成り立つ場合が多いので，定理 9.23 は多くの関数や領域に適用される．

例 9.27 D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 とする．積分

I =

∫∫D

(1−√x2 + y2) dx dy

を計算しよう．極座標変換の公式は，x = r cos θ, y = r sin θ，0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π

と変換した場合に，∫∫x2+y2≤1

f(x, y) dx dy =

∫∫[0,1]×[0,2π]


である．（定理 9.23 参照）したがって，

I =

∫ 1

0

∫ 2π

0

(1− r)r dr dθ = 2π

∫ 1

0

(1− r)r dr = 2π

[r2

2− r3

3

]10

=π

3

である．

例 9.28 D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ x とする．積分

I =

∫∫D

(1−√x2 + y2) dx dy

を計算しよう．積分の定義 (および命題 9.19) によって，

I =

∫∫(x,y)∈R2 : x2+y2≤1

χD(x, y)(1−√x2 + y2) dx dy


274 目次

と書き表される．やはり極座標変換するが，今回は極座標変換の 2π 周期性に注意して，

x = r cos θ, y = r sin θ, 0 ≤ r ≤ 1, −π ≤ θ ≤ π

と変換する．ただし，円は x < 0 の領域にはないので，

x = r cos θ, y = r sin θ, 0 ≤ r ≤ 1, −π2≤ θ ≤ π

2

と考えて構わない．条件式 x2 + y2 ≤ x は r2 cos2 θ+ r2 sin2 θ ≤ r cos θ と変換される．

これを整理すると，0 ≤ r ≤ cos θ となる．

がに変換される．

これが意味することは

(r cos θ, r sin θ) ∈ D ⇐⇒ (r, θ) ∈ (R,Θ) : 0 ≤ R ≤ cosΘ, Θ ∈ [−π/2, π/2]

である．つまり，

χD(r cos θ, r sin θ) = χ(R,Θ) : 0≤R≤cosΘ,Θ∈[−π/2,π/2](r, θ)

がなりたつ．したがって，

I =

∫ 1

0

∫ 2π

0

χD(r cos θ, r sin θ)(1− r)r dr dθ =

∫ π/2

−π/2

(∫ cos θ

0

(1− r)r dr

)dθ

となる．これを計算すると，

I =

∫ π/2

−π/2

(1

2cos2 θ − 1

3cos3 θ

)dθ =

π

4− 4

9

である．


275

例 9.29

(1) 実数値関数 f : R → R を f(x) = 2πx2 sin(πx2) と定義する．y = f(x) のグラ

フの 0 ≦ x ≦ 1 の部分と x 軸とで囲まれる図形を y 軸の周りに回転させて得られ

る立体 K の体積 V は V = 2π

∫ 1

0

xf(x) dx で与えられることを示そう．

(a) 【求め方その１】グラフは

[縮尺が半分になっている]

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

だから，x = x0 で極大値をとる．0 ≤ x ≤ x0 での f(x) の逆関数を g1(x)，

x0 ≤ x ≤ π での f(x) の逆関数を g2(x) とすると，

V =

∫ f(x0)

0

πg2(x)2 dx−

∫ f(x0)

0

πg1(x)2 dx

=

∫ x0

π

πg2(f(x))2f ′(x) dx−

∫ x0

0

πg1(f(x))2f ′(x) dx

=

∫ x0

π

πx2f ′(x) dx−∫ x0

0

πx2f ′(x) dx

=

∫ 0

π

πx2f ′(x) dx

=[−πx2f(x)

]π0−∫ 0

π

2πxf(x) dx

= 2π

∫ π

0

xf(x) dx

が得られる．

(b) 【求め方その２】与えられた立体は 0 ≤ z ≤ f(√x2 + y2) と表される．した


276 目次

がって，

V =

∫∫x2+y2≤1

f(√x2 + y2) dx dy =

∫ 2π

0

∫ 1

0

rf(r) dr dθ = 2π

∫ 1

0

rf(r) dr

となる．

(2) f(r) に具体的な式を代入して，V = 4π2

∫ 1

0

x3 sin(πx2) dx = 2

∫ π

0

t sin t dt =

2π

9.4.2 2 次元における一般の変数変換

今度は 2 次元における一般の変数変換を考察する．

一次変換 X = ax+ by, Y = cx+ dy の場合は領域 D が領域 D′ に移されるとして，∫∫D′f(X,Y ) dX dY =

∫∫D

f(ax+ by, cx+ dy)|ad− bc| dx dy

であることがわかる．

次の定理が基本となる．定理において，「C1-微分同相」という言葉が出てくるが，これ

は U から V への全単射 φ であって，φ,φ−1 ∈ C1 であることをいう．

定理 9.30 U, V ⊂ R2 を開集合で，f : U → V を C1-微分同相とする．このとき，

f に含まれる任意の閉長方形 [a, b]× [c, d] に対して，

|f([a, b]× [c, d])| =∫[a,b]×[c,d]

| detDf(x, y)| dx dy (9.8)

が成り立つ．

証明. 長方形は有限個の正方形の内点が重複しないような和集合で近似できるから，

b− a = d− c と仮定して考えよう．f([a, b]× [c, d]) が 0 集合であることを示さないと

|f([a, b]× [c, d])| が意味をなさないが，(9.8) と同じ方法で証明できるから，それは証明

されたものとして考えることにする．R を N 等分して N2 個の正方形を作り，そのうち

の一つを S とする．c(S) でその中心を表し，Df(c(S))−1 でその逆行列を表すことにす

る．g(y) = Df(c(S))−1(y − f(c(S)) + c(S) とおき，

h(x) = g(f(x)) = Df(c(S))−1(f(x)− f(c(S)) + c(S)

を考える．すると，x, y ∈ S のとき，

∥x− y − h(x) + h(y)∥∞ ≤ ∥x− y −Df(c(S))−1(f(x)− f(y))∥∞


277

=

∥∥∥∥∫ 1

0

[idR2 −Df(c(S))−1Df((1− t)x+ ty)](x− y) dt

∥∥∥∥∞

だから，

δ(S) = 2 supz∈S

∥idR2 −Df(c(S))−1Df((1− t)x+ ty)∥

= 2 supz∈S

(sup

∥w∥∞=1

∥(idR2 −Df(c(S))−1Df((1− t)x+ ty))w∥∞

)とおくことで，

∥x− y − h(x) + h(y)∥∞ ≤ δ(S)∥x− y∥∞

が得られる．ここで，補題 8.31 を用いると，

(1− δ(S))2|S| ≤ |h(S)| ≤ (1 + δ(S))2|S|

となる．h は g と f の合成で，g は一次変換と平行移動の合成だから，

(1− δ(S))2|S| · | detDf(c(S))| ≤ |f(S)| ≤ (1 + δ(S))2|S| · |detDf(c(S))|

となる．したがって，δN = supSδ(S) とすると，

(1− δN )2∑S

|S| · | detDf(c(S))| ≤ |f(R)| ≤ (1 + δN )2∑S

|S| · | detDf(c(S))|

となる．N → ∞ とすれば，δN → 0 で，

∑S

|S| · | detDf(c(S))| →∫[a,b]×[c,d]

|detDf(x, y)| dx dy

だから，|f(R)| =∫[a,b]×[c,d]

| detDf(x, y)| dx dy が得られる．

例 9.31 x = r cos θ, y = r sin θ, (r > 0, 0 ≤ θ < 2π) とするとき, ヤコビアンは r

である．実際，計算してみると，∣∣∣∣∣∣xr xθ

yr yθ

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣cos θ −r sin θsin θ r cos θ

∣∣∣∣∣∣ = r

となる．このことを用いると平面における極座標の公式を復元できる．

例 9.32 xyz 空間の 3 点 P,Q,R が次の条件を満たしながら動く．

(a) P は x 軸上の正の部分にある．

(b) Q は z = x, y = 0 上にある．線分 PQ は z 軸に平行である．


278 目次

(c) R は xy 平面内にあり，線分 PR は y 軸に平行である．ただし，R の y 座標は

負ではないとする．

(d) QR = 1.

(1) 3 角形 PQR が動いてできる立体 K1 の体積 V1 を求めよう．a > 0 として，P の

座標を (a, 0, 0) と表す．Q の座標は (a, 0, a) である．さらに，b ≥ 0 として，R

の座標を (a, b, 0) と表す．√a2 + b2 = QR = 1 であるから，a = cos θ, b = sin θ

と表せる．ただし，θ は鋭角である．したがって，P (cos θ, 0, 0)，Q(cos θ, 0, cos θ)，

R(cos θ, sin θ, 0) である．

PQ = (0, 0, cos θ), PR = (0, sin θ, 0)

であるから，

OP + tPQ+ sPR = (cos θ, s sin θ, t cos θ)

となる．θ, s, t は

0 < θ <π

2, s, t ≥ 0, s+ t ≤ 1

を満たす．

(θ, s, t) 7→ (cos θ, s sin θ, t cos θ)

のヤコビアンは − sin θ ∗ ∗

0 sin θ 0

0 0 cos θ

であるから，体積は

1

2

∫ π2

0

sin2 θ cos θ dθ =1

6と求まる．

(2) 立体 K1 を x 軸の周りに回転させてできる立体 K2 の体積 V2 を求めよう．立体

K1 は x = u ∈ (0, 1) で切ると，

(u, s sin cos−1 u, tu) = (u, s√1− u2, tu), s, t ≥ 0, s+ t ≤ 1

で与えられる図形である．したがって，K1 を回転させて得られる立体の切り口は

π max0≤s≤1

s2(1− u2) + (1− s)2u2 − π min0≤s≤1

s2(1− u2) + (1− s)2u2

= πmax1− u2, u2 − u2 + u4

の面積を持つ．以上から，


279

V2 =

∫ 1

0

πmax1− u2, u2 du− 2

15

=

∫ 1/√

2

0

π(1− u2) du+

∫ 1

1/√

2

πu2 du− 2

15

=

√2π

3+

1

5

x となる．

9.5 2次元の広義積分

ここでは，2 次元の広義積分に関して考える．分割のときに長方形以外の図形が現れた

ことからも推察されるように広義積分を考える際にもいろいろな図形が定義に現れること

になる．[0,∞) を [0, R], R > 0 で近似したのと同じように，R2 を近似する際にもたと

えば，正方形を用いたり，円板を用いたりいろいろな近似があるはずである．そこで，2

次元の広義積分に関して以下の定義を与える．

定義 9.33 (2 次元における広義積分の定義) U を R2 の開集合とする．

(1) コンパクト集合の列 Kj∞j=1 が U を取り尽すとは，

U =∞∪j=1

Int(Kj), K1 ⊂ K2 ⊂ · · ·


(2) f : U → [0,∞) を U に含まれる任意のコンパクト集合上でリーマン可積分な関数

とする．U を取り尽すコンパクト集合の列 Kj∞j=1 を適当にとって，∫∫U

f(x, y) dx dy = limj→∞

∫∫Kj

f(x, y) dx dy

と定める．

(3) f : U → R を U に含まれる任意のコンパクト集合上でリーマン可積分な関数とす

る．f+ = max(f, 0), f− = max(−f, 0) と定めて，∫∫U

f+(x, y) dx dy <∞ か

∫∫U

f+(x, y) dx dy <∞ のうち，少なくとも一方

が成り立つときに，∫∫U

f(x, y) dx dy =

∫∫U

f+(x, y) dx dy −∫∫

U

f−(x, y) dx dy


280 目次

と定める．

次の例が示すように，U を取り尽すコンパクト集合の列 Kj∞j=1 は 1 つに定まるも

のではない．つまり，無限に広い空間を近似する方法も多種多様になっている．

例 9.34 U = R2 の場合を考える．Kj を以下のように定めると，コンパクト集合の

列 Kj∞j=1 は U を取り尽している．

(1) Kj = (x, y) : x2 + y2 ≤ j2(2) Kj = (x, y) : x2 + y2 ≤ (2j − 1)2 ここで，(1) の例と比べると奇数番目だけ

を考えているコンパクト集合の列になっている．

(3) Kj = (x, y) : |x|+ |y| ≤ j(4) Kj = (x, y) : max(|x|, |y|) ≤ j

U が開集合の時にそもそも U を取り尽すコンパクト集合の列が存在するのかどうかは実

際に現れる例においては，上の例を見てもわかるように全く心配する必要はないのである

が，一般に U を取り尽すコンパクト集合の列は確かに存在する．

定理 9.35 開集合 U ⊂ R2 を取り尽すコンパクト集合の列は確かに存在する．

証明. 証明では，x, y, z は x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2) と座標表記されて

いると考える．dist(x, U) = infz∈Uj

|z − x| を x, U の間の距離とする．集合 Kj を以下の

式で定める．

Kj = x ∈ R2 : dist(x, Uj) ≥ j−1, |x| ≤ j

三角不等式 |z−x| ≤ |z−y|+ |x−y| からわかるように，dist(x, U) ≤ dist(y, U)+ |x−y| である．対称性から dist(y, U) ≤ dist(x, U)+ |x−y| でもある．よって，|dist(x, U)−dist(y, U)| ≤ |x− y| となる．つまり，φ(x) = dist(x, U) は x の関数として連続である．


281

ψ(x) = |x| とおいてみる．

Kj = φ−1([j−1,∞))∩ψ−1([0, j])

と表されることからわかるように，Kj は閉集合である．Kj は原点中心の半径 j の閉円

板に含まれるから，有界である．よって，ハイネボレルの定理によって，Kj はコンパク

ト集合である．

また，任意の x ∈ U に対して，開集合の定義からある δ > 0 が存在して，B(x, δ) ⊂U となる．したがって，ガウス記号を用いて，j = max([|x|+ 1], [δ−1 + 1]) とおけば，

x ∈ Int(Kj) となる．x は任意であったから，U =∞∪j=1

Kj となる．

例 9.36 定理 9.35 の証明において，U = (x, y) ∈ R2 : x > 0 とするとき，

Kj = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ j2, x ≥ j−1

となり，原点中心の半径 j の閉円板から，x < j−1 の部分をそぎ落とした弓形になるこ

とがわかる．

(2) において，積分の定義はどのように U を取り尽す 2 つのコンパクト集合の列を

とっても変らない．

定理 9.37 U を R2 の開集合とする．f : U → [0,∞) を U に含まれる任意のコン

パクト集合上でリーマン可積分な関数とする．U を取り尽す 2 つのコンパクト集合の列

Kj∞j=1 と Lj∞j=1 に関して，

limj→∞

∫∫Kj

f(x, y) dx dy = limj→∞

∫∫Lj

f(x, y) dx dy

が成り立つ．したがって，

∫∫U

f(x, y) dx dy の定義は U を取り尽すコンパクト集合の

列にはよらない．

証明. 任意の j に対して，Kj ⊂∞∪l=1

Int(Ll) = U であるから，ある l0 ∈ N が存在し

て，Kj ⊂ Int(Ll0) である．l ≥ l0 なら，Kj ⊂ Int(Ll) だから，∫∫Kj

f(x, y) dx dy ≥ liml→∞

∫∫Ll

f(x, y) dx dy

となる．j → ∞ として，


282 目次

limj→∞

∫∫Kj

f(x, y) dx dy ≤ liml→∞

∫∫Ll

f(x, y) dx dy (9.9)

が従う．j, l の役割を逆にして，対称性から，

limj→∞

∫∫Kj

f(x, y) dx dy ≥ liml→∞

∫∫Ll

f(x, y) dx dy (9.10)

も得られる．二つの不等式 (9.9) と (9.10) を組み合わせて，

limj→∞

∫∫Kj

f(x, y) dx dy = liml→∞

∫∫Ll

f(x, y) dx dy

が結論付けられる．

例 9.38 f ;R2 → [0,∞) を連続関数とする．∫∫R2

f(x, y) dx dy = limR→∞

∫∫x2+y2≤R2

f(x, y) dx dy

= limR→∞

∫∫−R≤x,y≤R

f(x, y) dx dy

が成り立つ．

広義積分の場合でも極座標変換は有効な変換で，次のことが言える．

例 9.39 f ;R2 → R を簡単のために連続関数とする．∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞|f(x, y)| dx dy = lim

R→∞

∫∫x2+y2≤R2

|f(x, y)| dx dy <∞

を仮定する．このとき，∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(x, y) dx dy =

∫ ∞

0

∫ 2π

0

f(r cos θ, r sin θ)r dr dθ(= lim

R→∞

∫ R

0

(∫ 2π

0

f(r cos θ, r sin θ)r dr

)dθ

)が成り立つ．

例 9.40 I =

∫∫[0,∞)×[0,∞)

dxdy

(1 + x2 + y2)aを計算しよう．定義に従って計算すると，∫∫

[0,∞)×[0,∞)

dxdy

(1 + x2 + y2)a= lim

R→∞

∫∫x≥0, y≥0, x2+y2≤R2

dxdy

(1 + x2 + y2)a

= limR→∞

∫ π2

0

(∫ R

0

r dr

(1 + r2)a

)dθ


283

=π

4lim

R→∞

∫ R2+1

1

µ−a dµ

=π

4(a− 1)

となる．

極座標変換と広義積分を組み合わせることで，1 次元における積分を計算することがで

きる．

例 9.41 積分 I, J を

I =

∫ ∞

−∞e−x2

dx, J =

∫∫R2e−x2−y2

dx dy

で定める．

(1) J = limR→∞

∫∫|x|≤R,|y|≤R

e−x2−y2

dx dy を I で表すと，J = I2 となる．

(2) J = limR→∞

∫∫x2+y2≤R2

e−x2−y2

dx dy と表して極座標変換により J の値を計

算すると，

J = limR→∞

∫ 2π

0

(∫ R

0

re−r2 dr

)dθ = 2π lim

R→∞

1

2(1− e−R2

) = π.

(3) したがって，I ≥ 0 だから，(1) と (2) より，I =

∫ ∞

−∞e−x2

dx =√π である．

9.6 曲面積

この節では曲面積に関して考察する．曲面積とは曲面の面積のことをいう．たとえば，

半径が r の球の面積は 4πr2 である．曲面とは，R2 の開集合から R3 の開集合への連続

写像による像と考えることにする．連続性がないと，面としてつながりがないものが現れ

てしまうためである．

例 9.42 x2 + y2 + z2 = 1 で与えられる球面は曲面と考えられる．実際に，

x = sin θ cosφ, y = sin θ sinφ, z = cos θ

として，写像 (θ, φ) ∈ R2 7→ (x, y, z) ∈ R3 を考えれば，x2 + y2 + z2 = 1 が実現され

るからである．


284 目次

例 9.43 平面は曲がってはいないが，曲面と解釈できる．実際に，ベクトルa1

a2

a3

,

u1

u2

u3

,

v1

v2

v3

で，

u1

u2

u3

,

v1

v2

v3

が一次独立なものを用いて，

x1(s, t)

x2(s, t)

x3(s, t)

=

a1

a2

a3

+ s

u1

u2

u3

+ t

v1

v2

v3

と平面は一般に表されるからである．

曲面の定義は若干複雑であるが，かなり多くの場合，曲面はパラメータ表示ではなく，

関係式から定まる場合が多い．つまり，x2 + y2 + z2 = 1 のような特別なものだけでは

なく F (x, y, z) = C のようなものを考えたいが，x3 + y3 + z3 = 1 上の原点 (0, 0, 0) の

ように複雑怪奇なものもあるために，排除しないといけない場合がある．

定義 9.44 U を R3 における開集合とする．C1-級関数 F : U 7→ R で与えられる集

合 S = (x, y, z) ∈ R3 : F (x, y, z) = 0 が正則曲面であるとは，(x, y, z) ∈ S のとき

に，grad(F ) = 0 であることを意味する．

例 9.45

(1) F (x, y, z) = x3 + y3 + z3 を考えると，S = (x, y, z) ∈ R3 : F (x, y, z) = 0 =

(x, y, z) ∈ R3 : x3 + y3 + z3 = 0 は正則曲面ではない．実際に，(0, 0, 0) ∈ S

にもかかわらず，grad(F ) = (3x2, 3y2, 3z2) であるから，(0, 0, 0) で grad(f) =

0 となってしまう．


285

(2) G(x, y, z) = x3 + y3 + z3 − 1 を考えると，S = (x, y, z) ∈ R3 : G(x, y, z) =

0 = (x, y, z) ∈ R3 : x3+y3+z3 = 1 は正則曲面である．実際に，grad(G) =

0 となる可能性は (0, 0, 0) しかないが，(0, 0, 0) /∈ S であるからである．

(3) F (x, y, z) = z3 − x5 を考える．このグラフを考えるとそれは確かに C1-級の関数

z =3√x5 によるグラフと考えられるが，定義関数の F は (0, 0, 0) を特異点とし

てもつ．このように，特異点が埋没する場合があるので気を付けよう．

正則曲面の定義において，grad(F ) の成分が 0 でない場合は陰関数定理によってその

成分に関して関係式 F (x, y, z) = 0 を解くことができることに注意しよう．


286 目次

9.6.1 正射影

空間平面 H が与えられた時に，H に含まれる図形 S は次のようにして面積が計算さ

れる．まず，H と xy 平面とのなす角度を θ とする．また，S を xy 平面に射影して得

られる図形のを S′ とする．このとき，S′ の面積を cos θ で割ることで S の面積が得ら

れる．

例 9.46 高さ h，半径 r のふたのない円柱状の容器に水を満杯に入れる．この容器

を傾けて，水面が底の円の中心にくるまで水を出し続ける．このとき，水面の面積は

πr2/(r/√r2 + h2) = πr

√r2 + h2 である．

9.6.2 曲面積の定義

ここでは一般に U ⊂ R2 を開集合として，U 上の関数を用いて z = f(x, y) と表され

る曲面 σ の面積 S に関して考察しよう．A ⊂ R2 が有界で，A ⊂ B(0;R) = (x, y) ∈R2 : x2 + y2 < R2 となるとき，A の面積を

σ(A) =

∫B(0;R)

χA(x, y) dx dy

と定める．曲面積は面が曲がっているので，定義はこのような積分式で書かれるよりも複

雑である．

U のなかに含まれる長方形 R を考える．R に相当する部分のグラフ

σ = (x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ R

の面積を考察する．U 全体に相当する部分の面積は U を長方形の和集合で内側から近似

して，その「極限」として定めることにする．

定義 9.47 (曲面積) R を長方形とする．z = f(x, y) = f(P ) と表されるグラ

フについて，その (x, y) ∈ R に相当する部分の曲面積 σ を以下のようにして定

める．R のなかから 4 頂点を含む有限個の点を取り，三角形 ∆1,∆2, · · · ,∆N に分

割する．各三角形 ∆k (k = 1, 2, · · · , N) の頂点 P k1 , P

k2 , P

k3 に相当するグラフの点

(P k1 , f(P

k1 )), (P

k2 , f(P

k2 )), (P

k3 , f(P

k3 )) のなす三角形の面積を sk とする．このとき，

σ = sup

N∑

k=1

sk : ∆1,∆2, · · · ,∆N は R の分割

(9.11)

と定める．


287

定義 9.47 において，「R のなかから 4 頂点を含む有限個の点」のなかで，とくに，

[a, b], [c, d] の分点を

a = x0 < x1 < · · · < xN = b, c = y0 < y1 < · · · < yN = d

と表し，

(xi, yj), (xi+1, yj), (xi, yj+1)

からなる三角形と

(xi, yi+1), (xi+1, yi), (xi+1, yi+1)

からなる三角形からなる分割を標準的な分割ということにする。

命題 9.48 曲面積の定義において，分割は標準的な分割に置き換えてもよい．

証明. 曲面積の定義は上限で与えられていて，分点を増やすことによってN∑

k=1

sk は増

加するから，任意の分割が与えられた時に，その分点をすべて含む標準的な分割で置き換

えることで，(9.11) における sup で考えている分割を標準的な分割だけに制限できる．曲面積に関して，一番基本的となるのは次の公式である．ここで，長方形 R = [a, b]×

[c, d] 上で定義されている関数が C1-級であるというのは，実際には R を含む大きな開

集合 U 上で f が定義されていて，f が C1(U) に属することである．

定理 9.49 (曲面積の計算公式) R = [a, b]× [c, d] とするとき，f : R → R が C1-級

の場合は，σ = (x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ R の曲面積 S は


288 目次

S =

∫[a,b]×[c,d]

√1 + fx(x, y)2 + fy(x, y)2 dx dy


証明. これは一般分割の特別な場合を考えていることに相当する．すなわち，[a, b], [c, d]

の分点を

a = x0 < x1 < · · · < xN = b, c = y0 < y1 < · · · < yN = d

と表すことにする．ここで，i = 0, 1, · · · , N−1 と j = 0, 1, · · · , N−1 に対して，δx,j =

xj+1 − xj，δy,j = yj+1 − yj とおき，∆ij で 3 頂点が (xi, yj), (xi+1, yj), (xi, yj+1) か

らなる三角形を，∆∗ij で 3 頂点が (xi, yi+1), (xi+1, yi), (xi+1, yi+1) からなる三角形を

表すことにする．∆ij のグラフに相当する部分の面積は，ベクトルの外積を用いて，

v =1

2

xi+1 − xi

0

f(xi+1, yj)− f(xi, yj)

×

0

yj+1 − yj

f(xi, yj+1)− f(xi, yj)

の長さで与えられる．つまり，∆ij のグラフに相当する部分の面積は v の長さを具体的

に計算して，

σij =δx,iδy,j

2

√1 +

(f(xi, yj+1)− f(xi, yj)

yj+1 − yj

)2

+

(f(xi+1, yj)− f(xi, yj)

xi+1 − xi

)2

で与えられる．ここで，f が C1-級であるから，

σij =δx,iδy,j

2

√1 + fx(xi, yj)2 + fy(xi, yj) + δx,iδy,jo(δx,i + δy,j)

となる．∆∗ij の部分も同様に考えて，結論が得られる．

定理 9.50 z = f(x, y) が (x, y) ∈ D 上で作る曲面の面積は，∫∫D

√1 + fx(x, y)2 + fy(x, y)2 dx dy


証明. 長方形の領域に関して得られた公式を足し合わせればよい．

9.6.3 例

定理 9.51 f : [a, b] → R のグラフを x 軸を中心に回転させて得られる立体の表面

積は，


289

σ = 2π

∫ b

a

|f(x)|√1 + |f ′(x)|2 dx


証明. z = F (x, y) =√f(x)2 − y2 に対して公式を適用すれば z ≥ 0 の部分の表面積

が計算される．実際に，√1 + Fx(x, y)2 + Fy(x, y)2 =

√1 +

f(x)2f ′(x)2

f(x)2 − y2+

y2

f(x)2 − y2

= |f(x)|

√1 + f ′(x)2

f(x)2 − y2

であるから，立体が z ≥ 0 と z ≤ 0 にそれぞれ対称に現れることと∫1√

1− x2dx = sin−1 x+ C

に注意して，

σ =

∫ b

a

(∫ |f(x)|

−|f(x)||f(x)|

√1 + f ′(x)2

f(x)2 − y2dx

)dy = 2π

∫ b

a

|f(x)|√1 + |f ′(x)|2 dx

9.7 線積分とグリーンの定理

本節では線積分に関して考察する．線積分は力学，熱力学，電磁気学において重要な役

割を果たす道具である．たとえば，ポテンシャルの勾配ベクトルを線積分して，エネル

ギーの増分を計算できる．

9.7.1 2 次元の領域の例

グリーンの定理とは領域上の関数の積分に関する定理であるが，領域とは一般に連結

開集合なので，R2 の部分集合 D が領域であるとは，次の 2 条件を満たすことであるこ

とになる．(定理 4.66 を参照のこと．)

(1) 任意の (a, b) ∈ D に対して，ある ε > 0 が存在して，(x− a)2 + (y − b)2 < ε2

ならば，(X,Y ) ∈ D となる．

(2) 任意の (a, b) ∈ D と (a∗, b∗) ∈ D に対して，連続関数 X : [0, 1] → R, Y :

[0, 1] → R が存在して，“全ての t ∈ [0, 1] に対して (X(t), Y (t)) ∈ D”と

“ (X(0), Y (0)) = (a, b), (X(1), Y (1)) = (a∗, b∗)”が成り立つことである．


290 目次

領域の例を挙げておこう．

例 9.52 円 D = x2 + y2 < 1 は領域である．実際に，それぞれの条件は次のようにして確かめられる．(a, b) ∈ D が与えられたとする．ε = 1−

√a2 + b2 とすることで，

図形 (円の内部) (x−a)2+(y− b)2 < ε2 と D を書いてみればわかるように，(x−a)2+(y− b)2 < ε2 ならば，(X,Y ) ∈ D となる．また，(a, b) ∈ D, (a∗, b∗) ∈ D が与えられ

たとき，X(t) = t a∗ + (1− t)a, Y (t) = t b∗ + (1− t)b とおくことで，(X(t), Y (t)) ∈D, (X(0), Y (0)) = (a, b), (X(1), Y (1)) = (a∗, b∗) が成り立つ．同じ要領で，境界のな

い円板は中心と半径によらずすべて領域であるとわかる．

例 9.53 正方形 D = 0 < x, y < 1 は領域である．実際に，それぞれの条件は次のようにして確かめられる．(a, b) ∈ D が与えられたとする．ε = min(x, 1− x, y, 1−y) とすることで，図形 (x − a)2 + (y − b)2 < ε2 と D を書いてみればわかるように，

(x − a)2 + (y − b)2 < ε2 ならば，(X,Y ) ∈ D となる．また，(a, b) ∈ D, (a∗, b∗) ∈D が与えられたとき，X(t) = t a∗ + (1 − t)a, Y (t) = t b∗ + (1 − t)b とおくことで，

(X(t), Y (t)) ∈ D, (X(0), Y (0)) = (a, b), (X(1), Y (1)) = (a∗, b∗) が成り立つ．同じ要

領で，境界のない正方形，もっと一般に長方形は中心と辺の長さによらずにすべて領域で

あるとわかる．

9.7.2 線積分の定義

定義 9.54 (線積分) 曲線 γ = (γ1, γ2) : [a, b] → D によってパラメータづけされる

曲線 C に対して，長さが存在すると仮定する．

(1) 関数 P (x, y), Q(x, y), R(x, y) を領域 D で定義された関数としよう．このとき，

極限が存在する限り，∫C

P (x, y) dx = lim|∆|↓0

N∑j=1

(γ1(tj)− γ1(tj−1))P (γ(uj)) (9.12)∫C

Q(x, y) dy = lim|∆|↓0

N∑j=1

(γ2(tj)− γ2(tj−1))Q(γ(uj)), (9.13)

∫C

(P (x, y) dx+Q(x, y) dy) =

∫C

P (x, y) dx+

∫C

Q(x, y) dy,

および∫C

R(x, y) ds


291

= lim|∆|↓0

N∑j=1

√(γ1(tj)− γ1(tj−1))2 + (γ2(tj)− γ2(tj−1))2R(γ(uj)) (9.14)

と定める．ただし，(9.12) と (9.13) と (9.14) の右辺の記号の正確な意味はそれ

ぞれ次のとおりである．

(a) 【極限 (9.12) の意味】任意の ε > 0 に対して，ある δ > 0 が存在して，|∆| <δ を満たす分割 ∆ = tjNj=0 と tj−1 ≤ uj ≤ tj となる任意の点列 ujNj=1 に

対して， ∣∣∣∣∣α−N∑

j=1

(γ1(tj)− γ1(tj−1))P (γ(uj))

∣∣∣∣∣ < ε

となるとき，α =

∫C

P (x, y) dx と定める．

(b) 【極限 (9.13) の意味】任意の ε > 0 に対して，ある δ > 0 が存在して，|∆| <δ を満たす分割 ∆ = tjNj=0 と tj−1 ≤ uj ≤ tj となる任意の点列 ujNj=1 に

対して， ∣∣∣∣∣β −N∑

j=1

(γ2(tj)− γ2(tj−1))Q(γ(uj))

∣∣∣∣∣ < ε

となるとき，

∫C

Q(x, y) dy = β と定める．

(c) 【極限 (9.14) の意味】任意の ε > 0 に対して，ある δ > 0 が存在して，|∆| <δ を満たす分割 ∆ = tjNj=0 と tj−1 ≤ uj ≤ tj となる任意の点列 ujNj=1 に

対して，∣∣∣∣∣S −N∑

j=1

√(γ1(tj)− γ1(tj−1))2 + (γ2(tj)− γ2(tj−1))2R(γ(uj))

∣∣∣∣∣ < ε

となるとき，

∫C

R(x, y) ds = S と定める．

(2) (γ1(a), γ2(a)) = (γ1(b), γ2(b)) のとき，曲線が周回しているので，

∫C

を

∮C

で

表すことが多い．

命題 9.55 関数 P (x, y), Q(x, y), R(x, y) を領域 D で定義された関数としよう．区

分的 C1-級曲線 γ = (γ1, γ2) : [a, b] → D によってパラメータづけされる曲線 C に対し

て，を ∫C

P (x, y) dx =

∫ b

a

P (γ1(t), γ2(t))γ′1(t) dt (9.15)


292 目次 ∫C

Q(x, y) dy =

∫ b

a

Q(γ1(t), γ2(t))γ′2(t) dt (9.16)∫

C

R(x, y) ds =

∫ b

a

R(γ1(t), γ2(t))√γ′1(t)

2 + γ′2(t)

2 dt (9.17)

となる．

証明. (9.15) と (9.16) は (9.17) に比べると易しいので，(9.17) を証明する．また，

曲線の長さを計算したときと同じく，γ が C1-級の時を考えれば十分である．

「極限 (9.14) の意味」に書かれていることを検証しながら証明していく．「極限 (9.14)

の意味」で用いられている記号のもと，平均値の定理によって，各 j に対して，ある u1j ∈

(tj−1, tj) と u2j ∈ (tj−1, tj) が存在して，√

(γ1(tj)− γ1(tj−1))2 + (γ2(tj)− γ2(tj−1))2 = (tj − tj−1)√γ′1(u

1j )

2 + γ′2(u

2j )

2

となる．ここで，R2 における三角不等式によって，

|√γ′1(u

1j )

2 + γ′2(u

2j )

2 −√γ′1(uj)2 + γ′

2(uj)2|

≤√(γ′

1(u1j )− γ1(uj))2 + (γ′

2(u2j )− γ1(uj))2

である．ここで，γ′1, γ

′2 は γ1, γ2 が C1 級であるから，連続である．したがって，不等

式√a+ b ≤

√a+

√b, a, b ≥ 0 を用いると，

|√γ′1(u

1j )

2 + γ′2(u

2j )

2 −√γ′1(uj)2 + γ′

2(uj)2|

≤ supv1j ,v

2j∈[tj−1,tj ]

(|γ′

1(v1j )− γ1(v

1j )|+ |γ′

2(v2j )− γ1(v

2j )|)

この不等式より，

|√(γ1(tj)− γ1(tj−1))2 + (γ2(tj)− γ2(tj−1))2 −

√γ′1(uj)2 + γ′

2(uj)2|

≤ supv1j ,v

2j∈[tj−1,tj ]

(|γ′

1(v1j )− γ1(v

1j )|+ |γ′

2(v2j )− γ1(v

2j )|)


S1 =N∑

j=1

(tj − tj−1)√γ′1(uj)2 + γ′

2(uj)2|R(γ(uj))

S2 =N∑

j=1

√(γ1(tj)− γ1(tj−1))2 + (γ2(tj)− γ2(tj−1))2R(γ(uj))

とおくと，


293

|S1 − S2| ≤N∑

j=1

(tj − tj−1) supv1j ,v

2j∈[tj−1,tj ]

(|γ′

1(v1j )− γ1(v

2j )|+ |γ′

2(v1j )− γ1(v

2j )|)

となる．sup の条件を広げて，

|S1 − S2| ≤N∑

j=1

(tj − tj−1) supu,v∈[a,b]|u−v|≤|∆|

(|γ′

1(u)− γ′1(v)|+ |γ′

2(u)− γ′1(v)|

)= (b− a) sup

u,v∈[a,b]|u−v|≤|∆|

(|γ′

1(u)− γ′1(v)|+ |γ′

2(u)− γ′1(v)|

)となる．ここで，γ′

1, γ′2 の [a, b] における一様連続性によって，

lim|∆|↓0

(S1 − S2) = 0 (9.18)

となる．S2 に関しては，極限は積分で表されて，

lim|∆|↓0

S2 =

∫ b

a

R(γ1(t), γ2(t))√γ′1(t)

2 + γ′2(t)

2 dt (9.19)

である．したがって，(9.18) と (9.19) によって，(9.17) が証明された．

9.7.3 線積分の計算例

線積分の計算のポイントをまとめる．

ア与えられた曲線に正しいパラメータを与える．向きが違うと符号が反対になるので

注意すること．

イ計算の際に dx, dy を正しく変換すること．

線積分の計算例を見てみよう．

例 9.56 曲線 C として C : x2 + y2 = a2, a > 0 （反時計回りに一周）を考える．

次の線積分の値を計算しよう.

(1) I =

∫C

x dy − y dx,

(2) J =

∫C

x dy − y dx

x2 + y2.

どちらの場合も曲線を x = a cos t, y = a sin t と表す．注意点ア，イを具体的に確認す

ると，

ア x = a cos t, y = a sin t, 0 ≤ t ≤ 2π とすれば，(x, y) は t が増大すると，反時計

周りとなるが，x = a sin t, y = a cos t, 0 ≤ t ≤ 2π とすれば，(x, y) は t が増大

すると，時計周りとなるために，後者のパラメータはここでは適用できない．


294 目次

イ x = a cos t, y = a sin t, 0 ≤ t ≤ 2π のときは dx = −a sin t, dy = a cos t であ

る．x = a cos t, y = a sin t も代入することになる．

(1) I =

∫C

x dy − y dx =

∫ 2π

0

(a2 cos2 t+ a2 sin2 t) dt = 2πa2.

(2) J =

∫C

x dy − y dx

x2 + y2=

∫ 2π

0

(a2 cos2 t+ a2 sin2 t)

(a2 cos2 t+ a2 sin2 t)dt = 2π. また，J =

1

a2I =

2π と計算してもよい．

三角形の場合の曲線の向きと線積分に関して考察しておこう．一般に，図形が与えらえ

た時に反時計回りを正の向き，時計回りを負の向きとする．

例 9.57 P (x1, y1), Q(x2, y2), R(x3, y3) を与えられた座標平面 R2 の 3 点とする．

　ただし，P,Q,R のうちいくつかが同じ場合も考える．

(1) 三角形 P,Q,R の面積 S は

S =1

2

∣∣∣∣∣∣detx2 − x1 y2 − y1

x3 − x1 y3 − y1

∣∣∣∣∣∣ (9.20)

である．実際に，

∥PQ∥2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2, ∥PR∥2 = (x3 − x1)2 + (y3 − y1)

2,

PR · PQ = (x3 − x1)(x2 − x1) + (y3 − y1)(y2 − y1)

であるから，

∥PQ∥2∥PR∥2 − (PR · PQ)2

=((x2 − x1)

2 + (y2 − y1)2)(

(x3 − x1)2 + (y3 − y1)

2)

− ((x3 − x1)(x2 − x1) + (y3 − y1)(y2 − y1))2

= (x3 − x1)2(x2 − x1)

2 + (y3 − y1)2(y2 − y1)

2

− 2(x3 − x1)(x2 − x1)(y3 − y1)(y2 − y1)

= ((x3 − x1)(x2 − x1)− (y3 − y1)(y2 − y1))2

となる．面積はベクトルの長さと内積で，

S =1

2

√∥PQ∥2∥PR∥2 − (PR · PQ)2

で与えられるから，


295

S =1

2

√((x3 − x1)(x2 − x1)− (y3 − y1)(y2 − y1))

2

=1

2|((x3 − x1)(x2 − x1)− (y3 − y1)(y2 − y1))|

=1

2

∣∣∣∣∣∣detx2 − x1 y2 − y1

x3 − x1 y3 − y1

∣∣∣∣∣∣となる．

(2) P,Q,R が一直線上にはないための必要十分条件は

det

x2 − x1 y2 − y1

x3 − x1 y3 − y1

= (x2 − x1)(y3 − y1)− (x3 − x1)(y2 − y1)

= x2y3 − x1y3 + x3y1 − x3y2 + x1y2 − x2y1 = 0

である．つまり，対偶を取って，P,Q,R が一直線上にあるための必要十分条件は

det

x2 − x1 y2 − y1

x3 − x1 y3 − y1

= (x2 − x1)(y3 − y1)− (x3 − x1)(y2 − y1)

= x2y3 − x1y3 + x3y1 − x3y2 + x1y2 − x2y1 = 0

である．実際に，

(a) P,Q,R が一直線上にあると仮定する．

i. x1 = x2, y1 = y2 のときは，

det

x2 − x1 y2 − y1

x3 − x1 y3 − y1

= det

0 0

x3 − x1 y3 − y1

= 0

である．

ii. x1 = x2, y1 = y2 のときは，直線 PQ は x = x1 と表せるから，x3 = x1 と

なり，

det

x2 − x1 y2 − y1

x3 − x1 y3 − y1

= det

0 y2 − y1

0 y3 − y1

= 0

である．

iii. x2 = x1 のとき，直線 PQ は

y =y2 − y1x2 − x1

(x− x1) + y1

であるから，


296 目次

y3 =y2 − y1x2 − x1

(x3−x1)+y1つまり (y3−y1)(x2−x1)−(y2−y1)(x3−x1) = 0

である．よって，

det

x2 − x1 y2 − y1

x3 − x1 y3 − y1

= 0

である．

(b) det

x2 − x1 y2 − y1

x3 − x1 y3 − y1

= 0 と仮定する．x2 = x1 の場合は先ほどの議論を

逆に辿れば，PQR が一直線上にあると分かる．x2 = x1 の場合は

det

x2 − x1 y2 − y1

x3 − x1 y3 − y1

= −(y2 − y1)(x3 − x1) = 0

となる．よって，y2 = y1 もしくは x3 = x1 である．y2 = y1 ならば，P = Q

だから，P,Q,R は同一直線上にある．x3 = x1(= x2) ならば，P,Q,R は x =

x1 上にある．

(3) さらに，このとき，P,Q,R が互いに異なると仮定して，P,Q,R, P の順番に三角

形 PQR の周を回ると，正の向きになるための必要十分条件は

det

x2 − x1 y2 − y1

x3 − x1 y3 − y1

> 0 (9.21)

である．

実際に，P,Q,R, P の順番で回ると正の向きになるとする．

(a) x1 < x2 の場合は直線 PQ の方程式は y =y2 − y1x2 − x1

(x− x1) + y1 である．


297

したがって，R はこの直線上より上側にあるから，

y3 >y2 − y1x2 − x1

(x3 − x1) + y1

である．これを整理して，(9.21) が得られる．

(b) x1 > x2 の場合は直線 PQ の方程式は y =y2 − y1x2 − x1

(x− x1) + y1 である．

したがって，R はこの直線上より下側にあるから，

y3 <y2 − y1x2 − x1

(x3 − x1) + y1

である．これを整理して，(9.21) が得られる．

(c) x1 = x2, y1 < y2 の場合，x3 < x1 であるから，

det

x2 − x1 y2 − y1

x3 − x1 y3 − y1

= −(y2 − y1)(x3 − x1) > 0

である．

(d) x1 = x2, y1 > y2 の場合，x3 > x1 であるから，


298 目次

det

x2 − x1 y2 − y1

x3 − x1 y3 − y1

= −(y2 − y1)(x3 − x1) > 0

である．

(4) P (0, 0), Q(1, 0), R(0, 1) に対して，(2) と (3) を適用すると，この場合は

det

x2 − x1 y2 − y1

x3 − x1 y3 − y1

= det

1− 0 0− 0

0− 0 1− 0

= det

1 0

0 1

= 1

であるから，P,Q,R, P の順番に三角形 PQR の周を回ると，正の向きになる．

例 9.58 P (x1, y1), Q(x2, y2), R(x3, y3) を与えられた座標平面 R2 の 3 点とする．

　また，P,Q,R, P の順番に三角形 PQR の周を回ると，正の向きになると仮定する．

R2 上の連続関数 f : R2 → R に対して，この三角形の周 ∂T を正の向きに回る積分∫∂T

f(x, y) dx,

∫∂T

f(x, y) dy

を考えよう．∂T はパラメータ

γ1(t)γ2(t)

=

(1− t)x1 + tx2

(1− t)y1 + ty2

(0 ≤ t ≤ 1 のとき)

(2− t)x2 + (t− 1)x3

(2− t)y2 + (t− 1)y3

(1 ≤ t ≤ 2 のとき)

(3− t)x3 + (t− 2)x1

(3− t)y3 + (t− 2)y1

(2 ≤ t ≤ 3 のとき)

による曲線で向きを込めて実現されているとしよう．t = 0, 1, 2, 3 での (γ1(t), γ2(t)) の


299

値がそれぞれ (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x1, y1) であることを確認しておこう．

(1) f(x, y) = 1 の場合を考えよう．定義に従って計算すると，∫∂T

f(x, y) dx =

∫ 1

0

(x2 − x1) dt+

∫ 2

1

(x3 − x2) dt+

∫ 3

2

(x1 − x3) dt

= x2 − x1 + x3 − x2 + x1 − x3

= 0

となる．同様に，x を y に置き換えて，∫∂T

f(x, y) dy =

∫ 1

0

(y2 − y1) dt+

∫ 2

1

(y3 − y2) dt+

∫ 3

2

(y1 − y3) dt

= y2 − y1 + y3 − y2 + y1 − y3

= 0

となる．

(2) f(x, y) = x の場合を考えよう．定義に従って計算すると，∫∂T

f(x, y) dx

=

∫ 1

0

((1− t)x2 + tx1)(x2 − x1) dt

+

∫ 2

1

((1− t)x3 + tx2)(x3 − x2) dt+

∫ 3

2

((1− t)x1 + tx3)(x1 − x3) dt

=1

2(x2 + x1)(x2 − x1) +

1

2(x3 + x2)(x3 − x2) +

1

2(x1 + x3)(x1 − x3)

= 0

となる．同様に，∫∂T

f(x, y) dy

=

∫ 1

0

((1− t)x2 + tx1)(y2 − y1) dt


300 目次

+

∫ 2

1

((1− t)x3 + tx2)(y3 − y2) dt+

∫ 3

2

((1− t)x1 + tx3)(y1 − y3) dt

=1

2(x2 + x1)(y2 − y1) +

1

2(x3 + x2)(y3 − y2) +

1

2(x1 + x3)(y1 − y3)

となるが，この式を展開すると，∫∂T

f(x, y) dy

=1

2(x2y2 + x1y2 − x2y1 − x1y1 + x3y3 + x2y3 − x3y2 − x2y2)

+1

2(x1y1 + x3y1 − x3y2 − x3y3)

となる．打ち消しあうものに注意しながら整理することで∫∂T

f(x, y) dy =1

2(x1y2 − x2y1 + x2y3 − x3y2 + x3y1 − x3y2) (9.22)

= T の面積

となる．

(3) f(x, y) = y の場合を考えよう．この場合は，x, y を入れ替えて考えればよいから，

(9.22) で x, y が入れ替わった式になることに注意して，∮∂T

f(x, y) dx = −T の面積,∮∂T

f(x, y) dy = 0

となる

9.7.4 グリーンの定理

次の命題は線積分は折れ線で近似できることを示している．

命題 9.59 関数 P (x, y), Q(x, y), R(x, y) を領域 D で定義された関数としよう．区

分的 C1-級曲線 γ = (γ1, γ2) : [a, b] → D によってパラメータづけされる曲線 C と ε >

0 に対して，D に含まれる折れ線 C′ が存在して，∣∣∣∣∫C

P (x, y) dx−∫C′P (x, y) dx

∣∣∣∣ < ε (9.23)∣∣∣∣∫C

Q(x, y) dy −∫C′Q(x, y) dy

∣∣∣∣ < ε (9.24)∣∣∣∣∫C

R(x, y) ds−∫C′R(x, y) ds

∣∣∣∣ < ε (9.25)

となる．


301

証明. (9.23) と (9.24) の証明は (9.25) を証明するのと同じ方法でできるので，(9.25)

を証明する．また，C1-級ではなくても，[a, b] を分割して考えることで，分割された区

間では C1-級であると考えてよい．分割された区間での不等式を足すことによって，γ 自

身が C1-級であると仮定してよい．この場合は，

M = supt∈[a,b]

(|γ′1(t)|+ |γ′

2(t)|) <∞

となる．

D が開集合であるから，任意の (x, y) ∈ γ([a, b]) に対して，ある δ(x,y) > 0 が存在

して，B((x, y); δ(x,y)) ⊂ D が成り立つ．γ([a, b]) はコンパクトであるから，有限集合

(x1, y1), (x2, y2), · · · , (xn, yn) ∈ γ([a, b]) が存在して，

γ([a, b]) ⊂N∪

j=1

B((xj , yj); δ(xj ,yj)) (9.26)

が成り立つ．γ([a, b]) の被覆 B((xj , yj); δ(xj ,yj))j=1,2,··· ,N のルベーグ数 δ0 > 0 を

固定する．(定理 4.57) すると，ルベーグ数の定義により，任意の (x, y) ∈ γ([a, b]) に対

して，ある j ∈ 1, 2, · · · , N が存在して，

B((x, y); δ0) ⊂ B((xj , yj); δ(xj ,yj)) ⊂ D (9.27)

が成り立つ．B((xj , yj); δ(xj ,yj)) ⊂ D なので，

B((x, y); δ0) ⊂ B((xj , yj); δ(xj ,yj)) ⊂ D (9.28)

である．

u, v ∈ [a, b] かつ |u− v| < δ02M + 1

のとき，平均値の定理より，

|γ(u)− γ(v)| ≤ |γ1(u)− γ1(v)|+ |γ2(u)− γ2(v)| ≤ 2M |u− v| < δ

となるから，γ(u) と γ(v) を結ぶ線分は D に含まれる．

K =N∪

j=1

B((xj , yj); δ(xj ,yj)) (9.29)

とおこう．

次に，

S1 =N∑

j=1

√(γ1(tj)− γ1(tj−1))2 + (γ2(tj)− γ2(tj−1))2R(γ(tj−1))

と略記して，j = 1, 2, · · · , N に対して，


302 目次

S2,j =

√(γ1(tj)− γ1(tj−1))2 + (γ2(tj)− γ2(tj−1))2

LR

(L− l

Lγ(tj−1) +

l

Lγ(tj)

)とおこう．線積分の定義によって，ある δ ∈ (0, δ0) が存在して，|∆| < δ を満たす分割

∆ = tjNj=0 とに対して，は区間∫C

R(x, y) ds− ε

2< S1 <

∫C

R(x, y) ds+ε

2(9.30)

となる．

一方で，L ≥ 1 が存在して，Cj で γ(tj−1) と γ(tj) を結ぶ線分とすると，各 j =

1, 2, · · · , N に対して，∫Cj

R(x, y) ds− ε

4N< S2,j <

∫Cj

R(x, y) ds− ε

4N(9.31)

となる．また，γ の長さを σ で表すとき，また，(9.29) で与えられるコンパクト集合 K

上で，関数 R は一様連続であるから，∆ を取り換えれば，

|R(γ(tj−1))−R(γ(tj))| <ε

4σ

となる．したがって， ∣∣∣∣∣S1 −N∑

j=1

S2,j

∣∣∣∣∣ < ε

4(9.32)

である．Cj(j = 1, 2, · · · , L) をつないで得られる折れ線を C′ とすれば，(9.30), (9.31),

(9.32) より，(9.25) が得られる．次の補題はグルーサー (Goursat) の補題と言われる．ここでは，三角形は辺とその内

部を込めて考えることにする．したがって，三角形はコンパクト集合である．また，∥z∥は z ∈ R2 のユークリッドノルムを表す．定義 (4.3) の (4.1) を参照のこと．(x0, y0) ∈D において全微分可能であるとは，A,B が存在して，(x, y) ∈ D に対して，

f(x, y) = f(x0, y0) + (x− x0)A+ (y − y0)B + o(√(x− x0)2 + (y − y0)2)


補題 9.60 (グルーサー (Goursat) の補題) 平面 R2 の三角形 T を含む領域 D 上

で定義されている全微分可能な関数 f : D → R2 と ε > 0 を考える．T の中点を結んで，

4 つの T と相似な小三角形に分割する操作をする．このとき，得られる 4 つの三角形 T ′

に対して次の不等式


303

|f(x, y)− f(x0, y0)− fx(x0, y0)(x− x0)− fy(x0, y0)(y − y0)|

< ε√(x− x0)2 + (y − y0)2 (x, y) ∈ T ′ (9.33)

を満たす点 (x0, y0) が T ′ に存在する場合は，T ′ はこれ以上分割しない．もし，この

(9.33) が成立しないならば，T ′ の中点を結んで，4 つの T ′ と相似な小三角形に分割す

る操作をする．この操作を繰り返して，細分していくといつかはこれ以上分割をしなくて

すむ三角形しか得られない．

証明. 仮に操作を無限に繰り返さないといけないとすると，三角形 T から初めて，三

角形の減少列 T ⊃ T1 ⊃ · · · が存在して，

各 Tj は (9.33) を満たしていない

ことである．ここで，各 Tj の重心を cj とすると，Tj+1 は大きさは Tj の半分であるか

ら，cj∞j=1 はコーシー列で，したがって，点 c = (x0, y0) に収束する．Tj はコンパク

ト集合であるから，とくに閉集合である．したがって，ck ∈ Tj , k ≥ j であるから，c ∈Tj である．

f が (x0, y0) で微分可能であるから，ある η が存在して，∣∣∣∣f(x, y)− f(x0, y0)−∂f

∂x(x0, y0)(x− x0)−

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)

∣∣∣∣< ε√(x− x0)2 + (y − y0)2 (x, y) ∈ B(c, η)

となる．ここで，Tj の各辺は 0 に収束しているから，ある j0 ∈ N が存在して，Tj0 ⊂B(c; η) となる．したがって，c = (x0, y0) として，Tj0 は (9.33) を満たしているから，

Tj0 が (9.33) を満たしていないことに矛盾する．それでは，ストークスの定理を述べて証明をしよう．

定理 9.61 (2 次元におけるストークスの定理 I，グリーンの定理) Ω を C1-級曲線


304 目次

C で反時計回りに囲まれる R2 の有界領域とする．全微分可能な関数 P,Q は Ω の

閉包 Ω を含む領域 D で定義されており，(x, y) ∈ D に対して

R(x, y) = −Py(x, y) +Qx(x, y)

と定義される関数 R が D 上で有界で，リーマン可積分であるとする．このとき，∫∫Ω

(−Py(x, y) +Qx(x, y)) dx dy =

∫C

P (x, y) dx+Q(x, y) dy

が成り立つ．

証明. Ω ⊂ D′ ⊂ D′ ⊂ D′′ ⊂ D′′ ⊂ D であるような有界な領域 D′, D′′ をとって，

D′′ の外で 0 で，D′ では P,Q に一致するように P,Q を取り換えても構わないので，

D′′ を D と思うことにして，D は長方形であるとして構わない．命題 9.59 と R の有界

性により，Ω ⊂ D であるから，Ω を多角形で近似できる．すなわち，任意の ε > 0 に対

して，D に閉包が含まれる多角形 Ω∗ が存在して，Ω∗ の境界を C∗ で表すとき，∣∣∣∣∫∫Ω

R(x, y) dx dy −∫∫

Ω∗R(x, y) dx dy

∣∣∣∣ < ε

2(9.34)∣∣∣∣∫

C

(P (x, y) dx+Q(x, y) dy)−∫C∗

(P (x, y) dx+Q(x, y) dy)

∣∣∣∣ < ε

2(9.35)

である．ここで，∫∫Ω∗R(x, y) dx dy =

∫C∗P (x, y) dx+Q(x, y) dy

を示せれば，ε > 0 は任意であるから (9.34) と (9.35) を足し合わせることで，グリーン

の定理が証明される．したがって，Ω は多角形としてよい．

ε > 0 を再び任意にとってこよう．ダルブーの定理を用いる．長いので，

I =

∫∫Ω

(−Py(x, y) +Qx(x, y)) dx dy

と略記する．R が可積分であるから，ある δ > 0 が存在して，|X| < δ を満たす Ω の任

意の一般分割 X = XjMj=1 と (xj , yj) ∈ Ej に対して，∣∣∣∣∣I− N∑j=1

(Qx(xj , yj)− Py(xj , yj)) |Xj |

∣∣∣∣∣ < ε (9.36)

となる．このことを踏まえて，Ω を適当に三角形 Ω(1),Ω(2), · · · ,Ω(M) に分割する．た

だし，分割を繰り返して，各三角形は辺の長さが δ 以下であるようにする．このように

すると，Ω(j), j = 1, 2, · · · ,M をさらにどのように細かく分けて三角形 Ω(j)1 , · · · ,Ω(j)

Nj


305

を作って，各 Ω(j)k から点 (x

(j)k , y

(j)k ) を選んだとしても，(9.36) から∣∣∣∣∣I− M∑

j=1

Nk∑k=1

(Qx(x

(j)k , y

(j)k )− Py(x

(j)k , y

(j)k ))|Xj |

∣∣∣∣∣ < ε

が得られる．

補題 9.60 を用いて，Ω(1),Ω(2), · · · ,Ω(M) をさらに分割することで，Ω の三角形分割

Ω1,Ω2, · · · ,ΩN と (x1, y1), (x2, y2), · · · , (xN , yN ) が存在して，Ω1,Ω2, · · · ,ΩN の辺

長は δ 以下で，(xj , yj) ∈ Ωj かつ

|P (x, y)− P (xj , yj)− (x− xj)Px(xj , yj)− (y − yj)Py(xj , yj)|

< ε√(x− xj)2 + (y − yj)2 (x, y) ∈ Ωj (9.37)

|Q(x, y)−Q(xj , yj)− (x− xj)Qx(xj , yj)− (y − yj)Qy(xj , yj)|

< ε√(x− xj)2 + (y − yj)2 (x, y) ∈ Ωj (9.38)

が成り立つ．被覆 B((x0, y0), η(x0, y0))(x0,y0)∈Ω のルベーグ数を δ として，(定理

4.57) 多角形 Ω を各辺の長さが δ より小さくなるように有限個の三角形 Ω1,Ω2, · · · ,ΩN

と分割する．このとき得られる Ω1,Ω2, · · · ,ΩN の境界を反時計回りに向きを考えて，

∂Ω1, ∂Ω2, · · · , ∂ΩN と表す．

(xj , yj) ∈ Ωj で，Ωj は Ω1 に相似だから，j = 1, 2, · · · , N に依存しない c0 > 0 が

存在して，∮∂Ωj

√(x− xj)2 + (y − yj)2 ds ≤ Ωjの最長の辺長×

∮∂Ωj

ds ≤ c0|Ωj |

となる．

各 j に対して，(9.37) と (9.38) から，∣∣∣∣∣∮∂Ωj

(P (x, y)− P (xj , yj)− (x− xj)Px(xj , yj)− (y − yj)Py(xj , yj)) dx

∣∣∣∣∣ < c0ε|Ωj |

(9.39)∣∣∣∣∣∮∂Ωj

(Q(x, y)−Q(xj , yj)− (x− xj)Qx(xj , yj)− (y − yj)Qy(xj , yj)) dy

∣∣∣∣∣ < c0ε|Ωj |

(9.40)

となる．1 次関数と三角形に対してはグリーンの定理は成り立つと知っているから，(9.39)

と (9.40) より，


306 目次 ∣∣∣∣∣∮∂Ωj

P (x, y) dx+

∫∂Ωj

Py(xj , yj) dx dy

∣∣∣∣∣ < c0ε|Ωj | (9.41)∣∣∣∣∣∮∂Ωj

Q(x, y) dy −∫Ωj

Qx(xj , yj) dx dy

∣∣∣∣∣ < c0ε|Ωj | (9.42)

三角不等式を用いて，(9.41) と (9.42) を j に関して足し合わせると，向きが違う曲線が

打ち消しあうから，∣∣∣∣∣∮∂Ωj

(P (x, y) dx+Q(x, y) dy)−N∑

j=1

(Qx(xj , yj)− Py(xj , yj)) |Ωj |

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∮∂Ωj

(P (x, y) dx+Q(x, y) dy)−N∑

j=1

∫Ωj

(Qx(xj , yj)− Py(xj , yj)) dx dy

∣∣∣∣∣≤ 2c0ε× |Ω|

となる．(9.36) と組み合わせることで，∣∣∣∣∣∮∂Ωj

(P (x, y) dx+Q(x, y) dy)−∫∫

Ω

(Qx(x, y)− Py(x, y)) dx dy

∣∣∣∣∣ < (2c0|Ω|+ 1)ε

が得られる．ここで，ε は任意であるから，グリーンの定理が証明された．

例 9.62 D を滑らかな単純閉曲線 C によって囲まれた有界領域とする．このとき，

C に反時計回りの向きを与えるとして，

|D| = 1

2

∫C

x dy − 1

2

∫C

y dx =1

2

∫C

(x dy − y dx) (9.43)

が成り立つ．実際に，グリーンの定理∫C

P (x, y) dx+Q(x, y) dy =

∫D

(−Py(x, y) +Qx(x, y)) dx dy

より，P (x, y) = −y, Q(x, y) = x とすれば，

∫C

x dy − y dx = 2|D| となる．よって，

この等式の両辺を 2 で割ることによって，(9.43) を得る．

9.7.5 完全可積分系

以下のような問題を考えてみる．

[問題] Q,R を R2 の領域 D で定義された C1-級関数とする．両立条件

[両立条件] Qy = Rx

が成り立つとすると，Px = Q, Py = R が成り立つような C2-級関数 P が存在す


307

るか？

一般にはこの問題の答えは『否』である．

命題 9.63 D = R2\(0, 0)，Q(x, y) =y

x2 + y2, R(x, y) = − x

x2 + y2とする．

(1) 両立条件 Qy = Rx が成り立つ．

(2) Px = Q, Py = R が成り立つような D 上で定義された C2-級関数 P は存在し

ない．

証明.

(1) 実際に偏導関数を計算してみると，Qy(x, y) = Rx(x, y) =x2 − y2

(x2 + y2)2だからで

ある．

(2) 仮にそのような関数が存在したとする．

すると，I =

∫ 2π

0

(−Q(cos θ, sin θ) sin θ +R(cos θ, sin θ) cos θ) dθ に対して，

I =

∫ 2π

0

(−Px(cos θ, sin θ) sin θ + Py(cos θ, sin θ) cos θ) dθ

=

∫ 2π

0

∂

∂θP (cos θ, sin θ) dθ

= 0.

ところが，実際には∫ 2π

0

(−Q(cos θ, sin θ) sin θ +R(cos θ, sin θ) cos θ) dθ = −∫ 2π

0

dθ = −2π

であるから，この命題にある P が存在すると仮定して矛盾が得られた．

D = R2 \ (0, 0) だと両立条件だけでは求める P の存在を保証してくれない．そこ

で，領域に条件をつけてみる．

定義 9.64 (単連結領域) 領域 D が単連結であるとは，任意の D 内の 2 つの C1-曲

線 γ0, γ1 : [a, b] → D で γ0(a) = γ1(a) および γ0(b) = γ1(b) が成り立つものに対して

ある C1-級関数 H : [a, b]× [0, 1] → D が存在して，t ∈ [a, b] および i = 0, 1 に対して

γi(t) = H(t, i) が成立することである．

例 9.65 境界のない円板つまり開円板は単連結である．実際に，任意の開円板内 D


308 目次

の 2 つの C1-曲線 γ0, γ1 : [a, b] → D で γ0(a) = γ1(a) および γ0(b) = γ1(b) が成り立

つものをとる．C1-級関数 H : [a, b]× [0, 1] → D を

H(t, s) = (1− s)γ0(t) + sγ1(t)

と定義する．すると，t ∈ [a, b] および i = 0, 1 に対して γi(t) = H(t, i) が成立する．し

たがって，円板は単連結である．

この例を捨象したものとして凸領域というものがある．

定義 9.66 (凸領域) R2 内の領域 (連結な開集合)Ω が凸であるとは, 任意の x, y ∈ Ω

および 0 < t < 1 なるすべての実数 t について (1− t)x+ ty ∈ Ω となることである.

例 9.67 開円板から中心を取り除いた領域 D は単連結ではない．実際に，相似

変換と平行移動を組み合わせて D = 0 < x2 + y2 < 1 と仮定してよい．γ0(t) =

(cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ π と γ1(t) = (cos t,− sin t), 0 ≤ t ≤ π に対して，仮に単連結の

条件にあるような H が取れると仮定すると，直感的には H の像は「原点を含まないと

いけないはず」である．ところが，D は (0, 0) を除いてあるから，D は単連結ではない

ということになる．

この例において，「原点を含まないといけないはず」のところは厳密な証明を与えないと

いけない．このことは位相幾何学という数学の一分野を用いて説明できるが，命題 9.63

と次の定理 9.68 を用いると，D = 0 < x2 + y2 < 1 は単連結ではないことがわかる．初めに与えた問題にある程度の答えを与えておこう．

定理 9.68 Q,R を R2 の単連結領域 D で定義された C1-級関数とする．両立条件

Qy = Rx が成り立つとすると，Px = Q, Py = R が成り立つような C2-級関数 P が存

在する．

証明. 証明は線積分を用いて証明される．初めに，(x0, y0) ∈ D を固定する．(x0, y0)

から (x, y) へ至る座標軸に平行な線分からなる C1-級曲線からなる曲線 C を取って

P (x, y) =

∫C

Q(X,Y ) dX +R(X,Y ) dY (9.44)

と定める．このとき，大事なことは D が単連結であるために，P (x, y) は C1-級曲線線

C によらないことが証明できることである．実際に，C1, C2 を (x0, y0) から (x, y) へい

たる 2 つの曲線とする．必要なら (x0, y0) から (x, y) へいたる別の曲線 C3 で C1, C2

と始点と終点でしか交わらないものを考えることで，C1 と C2 は始点と終点でしか交わ


309

らないとしてよい．さらに，C2 の終点と始点を逆にした逆向き曲線を考え，C1 の始点

と終点をつないで，D 内のループを考える．必要ならば C1, C2 を入れ替えてこのループ

は反時計回りであるとしてよい．このとき，C1 と向きを入れ替えた曲線 C2 は領域 D0

の境界であるとして，ストークスの定理より∫C1

Q(X,Y ) dX +R(X,Y ) dY −∫C2

Q(X,Y ) dX +R(X,Y ) dY

=

∫D0

(−Qx(X,Y ) +Ry(X,Y )) dX dY = 0

となる．したがって，P (x, y) は C の取り方によらない．

この P に対して

Px(x, y) = limh→0

P (x+ h, y)− P (x, y)

h= lim

h→0

1

h

∫ h

0

Q(s+ x, y) ds = Q(x, y)

となる．また，同様に

Py(x, y) = limh→0

P (x, y + h)− P (x, y)

h= lim

h→0

1

h

∫ h

0

R(x, s+ y) ds = R(x, y)

であるから，P が求めるべきものである．P の x, y に関する偏導関数がこのように Q,R

で与えられていて，Q,R が C1-級であるから，確かに P は C2-級である．【注意】証明を見てわかるように，求めるべき解 P がどのようにして求められるかも

わかる．(9.44) を考えればよいからである．

(9.44) を動機として，次の定義を与える．

定義 9.69 (微分形式 dP, dP (x, y)) D を R2 の領域，P : D → R を C1-級の関数

とする．このとき，dP = Px(x, y) dx+ Py(x, y) dy と定める．

x2 + y2 < ε2 \ (0, 0) は単連結領域ではないが，完全形が積分可能であるための必要十分条件を与えることができるので，与えておく．

定理 9.70 ε > 0 とする．P,Q : x2+y2 < ε2\(0, 0) が Py(x, y) = Qx(x, y) を

満たしている C1-級の関数とする．ある関数 F が存在して，Fx(x, y) = P (x, y), Fy(x, y) =

Q(x, y) となる必要十分条件は∫C

P (x, y) dx+Q(x, y) dy = 0



310 目次

証明. 必要であることは一般に閉曲線 γ : [a, b] → R2 \ (0, 0) で与えられる C に関

して， ∫C

P (x, y) dx+Q(x, y) dy = F (γ(b))− F (γ(a))

が成り立つことより，明らかである．

十分であることは，単連結領域における完全積分系の証明と同じである．最後に，この問題の一意性に関して言及しておこう．

定理 9.71 D を一般の領域とするとき，Px = Py = 0 となる C1-級関数 P は定数

関数しかない．

証明. (x0, y0) を固定点として，すべての (x, y) ∈ D に対して P (x, y) ≡ P (x0, y0) を

示す．D は領域だから，C1-級曲線 γ が存在して (x, y) と (x0, y0) が曲線 γ = (γ1, γ2) :

[a, b] → D で結ばれる．偏微分が消えるという仮定から，

P (x, y) = P (γ(b))− P (γ(a)) + P (x0, y0)

=

∫ b

a

Px(γ(t))γ′1(t) dt+

∫ b

a

Py(γ(t))γ′2(t) dt+ P (x0, y0)

= P (x0, y0)

が得られる．

9.7.6 外微分記号とグリーンの定理

記号 ∧ を用意しよう．dx∧ dy は積分記号で，∫Ω

f(x, y)dx∧ dy =

∫Ω

f(x, y) dx dy

と定義する．さらに，

dx∧ dx = 0, dy ∧ dy = 0, dy ∧ dx = −dx∧ dy

とおく．したがって，∫Ω

f(x, y)dy ∧ dx = −∫Ω

f(x, y) dx dy,

∫Ω

f(x, y)dx∧ dx =

∫Ω

f(x, y)dy ∧ dy = 0

が得られる．

つぎに，

d(f1(x, y) dx+ f2(x, y) dy) =

(−∂f1∂y

+∂f2∂x

)dx dy


311

と定める．グリーンの定理は次の形にかけることがわかる．

定理 9.72 (2 次元におけるストークスの定理 I，グリーンの定理) Ω を C1-級曲線

C で反時計回りに囲まれる R2 の有界領域とする．全微分可能な関数 P,Q は Ω の

閉包 Ω を含む領域 D で定義されており，(x, y) ∈ D に対して −Py(x, y) +Qx(x, y) が

D 上で有界で，リーマン可積分であるとする．このとき，ω = P (x, y) dx+Q(x, y) dy

とおくと， ∫∫Ω

dω =

∫C

ω

が成り立つ．

9.7.7 回転数と写像度

線積分は曲線が決まった点を何回周回しているかを図るのに役に立つ．ここでは，ベク

トル解析の応用として回転数を調べることにする．

tan−1 は tan の逆関数であるが，この関数は「定数 (=2π× 整数)」の差を除いて値

が定まる．したがって，定数関数の微分は 0 であるから，微分をすれば，この差は消え

てなくなる．

定義 9.73 (角形式)

(1) R2 \ (0, 0) を定義域として，

d tan−1 y

x=

−yx2 + y2

dx+x

x2 + y2dy

と定める．

(2) 一般に，領域 D ⊂ R2 と f1, f2 : D → R が与えられたとする．f1(x, y) =

f2(x, y) = 0 ではないような点 (x, y) において，

d tan−1

(f1f2

)=

f22

f12 + f22

(f1f2

)x

dx+f2

2

f12 + f22

(f1f2

)y

dy

=(f1)xf2 − f1(f2)x

f12 + f22dx+

(f1)yf2 − f1(f2)yf12 + f22

dy

と定める．

f が C2-級のときに，fxy = fyx であるから，Q(x, y) = fx(x, y)と R(x, y) = fy(x, y)

は両立条件を満たしている．同様なことは先ほどの定義においてもいえる．

命題 9.74 f を領域 D ⊂ R2 で定義された C2-級の関数とするとき，分母が 0 にな


312 目次

らない領域で

∂

∂y

(f1)xf2 − f1(f2)xf12 + f22

=∂

∂x

(f1)yf2 − f1(f2)yf12 + f22

が成り立つ．

命題 9.75 γ : [0, 1] → R2 \ (0, 0) を C1-級曲線とする．C を γ によって与えら

れる曲線とするとき，

1

2π

∫C

−y dx+ x dy

x2 + y2=「γ(t) が (0, 0) を原点中心に回った回数」

が成り立つ．

証明. 定義ができている範囲で，tan−1 y

xを微分すると，

∂

∂xtan−1 y

x= − y

x2 + y2,∂

∂ytan−1 y

x=

x

x2 + y2

であるから，曲線を細かく分けて考えればよい．この数を C の回転数という．

命題 9.76 ε > 0 とする．U, V を R2 \ (0, 0) に含まれる開集合とする．また，Dε = x2 + y2 ≤ ε2 ⊂ U を仮定する．Cδ = ∂Dδ とおく．C

1-級写像 f = (f1, f2) :

U → V が f−1(f(0, 0)) = (0, 0) を満たしているとする．0 < δ < ε とするとき，

f(0, 0) についての f(Cδ) の回転数の値は変わらない．

証明. f(0, 0) についての f(Cδ) の回転数は

δ

2π

∫ 2π

0

f2(δ cos θ, δ sin θ) sin θ + f1(δ cos θ, δ sin θ) cos θ

(f1(δ cos θ, δ sin θ)− f1(0, 0))2 + (f2(δ cos θ, δ sin θ)− f2(0, 0))2dθ

は整数であること (命題 9.75) がわかっていて，この表示式から連続であるから，中間値

の定理から f(Cδ) の回転数は δ に依存しない．実際に，異なる二つの値 a < b をとると

すると，中間値の定理から，f(0, 0) についての f(Cδ) の回転数は a+0.5 をとることに

なるが，これは命題 9.75 に反する．そこで，命題 9.76 のような状況が与えられた時に，写像の写像度を回転数を用いて定

義する．

命題 9.77 ε > 0 とする．U = x2 + y2 < ε2 とおく．V を R2 \ (0, 0) に含まれる開集合とする．また，Dε = x2 + y2 ≤ ε2 ⊂ U を仮定する．Cδ = ∂Dδ とおく．


313

C1-級写像 f = (f1, f2) : U → V が f−1(f(0, 0)) = (0, 0) を満たしているとする．このとき，

1

2πd tan−1 f1(x, y)

f2(x, y)− 1

2πf の (0, 0) における写像度× d tan−1 x

y= dP (x, y)

となる U 上の C1-級関数 P が存在する．

証明. (ε/2, 0) を始点，終点とする C1-級写像 γ : [0, 1] → U をとる．すると，γ に

よって与えられる閉曲線 C に対して，∮C

(1


f2(x, y)− 1

2π× f の (0, 0) における写像度× d tan−1 x

y

)= 0

であるから，定理 9.70 が適用できる．次の命題は複数の写像の合成に関する写像度がどのようになるかを示している．

命題 9.78 U = x2 + y2 < ε2，V = x2 + y2 < δ2 とする．さらに，W を開

集合とする．また，f = (f1, f2) : U → V と g = (g1, g2) : V → W を C1-級写像で，

f−1(f(0, 0)) = (0, 0) と g−1(g(0, 0)) = (0, 0) を満たしているとする．このとき，g f = ((g f)1, (g f2)) の (0, 0) における写像度は f の (0, 0) における写像度 a と

g の (0, 0) における写像度 b の積 ab である．

証明. 演算 g∗ を

g∗(R(x, y)dx+ S(x, y)dy) = R g(x, y)(g1)x(x, y) dx

+R g(x, y)(g1)y(x, y) dy + S g(x, y)(g2)x(x, y) dx+ S g(x, y)(g2)y(x, y) dy

と定めると，g∗dP = d(P g) が成り立つ．したがって，命題 9.76 の関係式

1


f2(x, y)− a

2πd tan−1 x

y= dP (x, y)

において，g∗ を施すと，

dP g(x, y) = 1

2πd tan−1 (g f)1(x, y)

(g f)2(x, y)− a

2πd tan−1 g1(x, y)

g2(x, y)(9.45)

である．さらに，g についても命題 9.76 を適用すると，

1


g2(x, y)− b

2π× d tan−1 x

y= dQ(x, y) (9.46)

となる Q が存在する．ここで，(9.45) と (9.46) を適用すると，


314 目次

d(P g + a ·Q)(x, y) =1

2πd tan−1 (g f)1(x, y)

(g f)2(x, y)− ab


g2(x, y)

である．これを (0, 0) を含む曲線 (ε cos θ/2, ε sin θ/2) で積分して，g f の写像度 =

ab を得る．平行移動を用いて，ほかの点に関する回転数も同様に定める．

系 9.79 f : U → V を C1-級の微分同相とする．このとき，f の写像度は ±1 で

ある．

証明. idR2 の写像度は 1 で，したがって，f の写像度× f−1 の写像度が 1 となる．

写像度が整数であるから，f の写像度は ±1 である．

9.7.8 逆写像の公式

ベクトル解析のさらなる応用として，逆写像の公式を与えることにする．

定理 9.80 D1, D2 を R2 の開集合，f = (f1, f2) : D1 → D2 を C1-級の微分同相と

する．（したがって，f−1 = ((f−1)1, (f−1)2) も C1-級である．）Ω ⊂ D1 を Ω ⊂ D1 と

なる C1-級の境界をもつ領域とする．f の写像度を 1 と仮定する．このとき，(y1, y2) ∈f(Ω) であるとき，(f−1)1(y1, y2)

(f−1)2(y1, y2)

=1

2π

∫∂Ω

x1x2

d tan−1

(f2(x1, x2)− y2f1(x1, x2)− y1

)

− 1

2π

∫Ω

dx1dx2

∧ d tan−1

(f2(x1, x2)− y2f1(x1, x2)− y1

)が成り立つ．分割して書き表すならば，

(f−1)1(y1, y2) =1

2π

∫∂Ω

x1d tan−1

(f2(x1, x2)− y2f1(x1, x2)− y1

)− 1

2π

∫Ω

dx1 ∧ d tan−1

(f2(x1, x2)− y2f1(x1, x2)− y1

)と

(f−1)2(y1, y2) =1

2π

∫∂Ω

x2d tan−1

(f2(x1, x2)− y2f1(x1, x2)− y1

)− 1

2π

∫Ω

dx2 ∧ d tan−1

(f2(x1, x2)− y2f1(x1, x2)− y1

)なる．


315

証明. (y1, y2) ∈ f(Ω) だから，(X1, X2) ∈ Ω を用いて，一意的に

y1 = f1(X1, X2), y2 = f2(X1, X2)

と表せる．(x1, x2) ∈ Ω となる領域 Ω に対して，

AΩ(X1, X2) =1

2π

∫∂Ω

x1x2

d tan−1

(f2(x1, x2)− y2f1(x1, x2)− y1

)

− 1

2π

∫Ω

dx1dx2

∧ d tan−1

(f2(x1, x2)− y2f1(x1, x2)− y1

)

と定めて，AΩ(X1, X2) =

X1

X2

を示そう．

d

x1x2

d tan−1

(f2(x1, x2)− y2f1(x1, x2)− y1

) =

dx1dx2

∧ d tan−1

(f2(x1, x2)− y2f1(x1, x2)− y1

)だから，ストークスの定理 (定理 9.72) によって，ε > 0 が十分小さいときに，

AΩ(X1, X2) =1

2π

∫∂B((X1,X2),ε)

x1x2

d tan−1

(f2(x1, x2)− y2f1(x1, x2)− y1

)

− 1

2π

∫B((X1,X2),ε)

dx1dx2

∧ d tan−1

(f2(x1, x2)− y2f1(x1, x2)− y1

)と表される．分母は 1 次の無限小のオーダーであるから，

limε↓0

1

2π

∫B((X1,X2),ε)

dx1dx2

∧ d tan−1

(f2(x1, x2)− y2f1(x1, x2)− y1

)=

0

0

となる．また，同様な理由で，

limε↓0

∫∂B((X1,X2),ε)

x1 −X1

x2 −X2

d tan−1

(f2(x1, x2)− y2f1(x1, x2)− y1

)=

0

0


AΩ(X1, X2) = limε↓0

1

2π

∫∂B((X1,X2),ε)

X1

X2

d tan−1

(f2(x1, x2)− y2f1(x1, x2)− y1

)


316 目次

となる．ここで，f の写像度が 1 であるから，AΩ(X1,X2) =

X1

X2

が得られる．


第 10 章

3変数の微分法

本章と次の章では，f(x, y, z) = exz − 3 sin(xy2 + cosx) のように，変数 x, y, z ∈ R

が混ざった関数を扱う．微分から順番に見ていくことにしよう．3 変数の関数は空間座標

を考えるときに必要になることから明らかなように，物理学などでも重要な役割を果たす．

10.1 3変数の世界

3 変数は空間図形が主役である．空間図形の例を挙げてみよう．

例 10.1 (直線) (x0, y0, z0) を通り，(a, b, c) = (0, 0, 0) の方向を持つ直線 ℓ を考

える．

(1) abc = 0 のときは，ℓ はx− x0a

=y − y0b

=z − z0c

と表される．実際に，a, b, c

は x0, y0, z0 を基準とした x, y, z 方向への移動の割合のために，2 点の差を割っ

たものは x 方向，y 方向，z 方向ですべて等しくなり，このような直線の方程式

が得られる．

(2) a = 0, bc = 0 のときは，ℓ は x = x0 かつy − y0b

=z − z0c

と表される．実際

に，この場合は x 方向の移動がないために，x = x0 となる．残りは (1) と同じで

ある．

(3) a = b = 0 = c のときは，ℓ は x = x0, y = y0 と表される．実際に，この場合は

x, y 方向の移動がないために，x = x0, y = y0 となる．

直線の表示は別の表示もある．

P,Q を異なる点とする．P (p1, p2, p3), Q(q1, q2, q3) と表される場合は，PQ = (q1 −p1, q2 − p2, q3 − p3) である．したがって，実数 t ∈ R を用いて，直線上の点 S は一般に

OS = OP + tPQ

= (p1, p2, p3) + t(q1 − p1, q2 − p2, q3 − p3)


318 目次

= (p1 + t(q1 − p1), p2 + t(q2 − p2), p3 + t(q3 − p3))

と表される．

例 10.2 (平面) 点 P (x0, y0, z0) を通り，ベクトル n = (a, b, c) = (0, 0, 0) に直交す

る平面 π は a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0 と表される．実際に，Q = (x, y, z)

を Π 上の点として，PQ = (x− x0, y − y0, z − z0) となる．PQ · n = 0 だから，確か

に a(x− x0) + b(y− y0) + c(z − z0) = 0 と表される．この式を展開すると，ax+ by+

cz − ax0 − by0 − cz0 = 0 である．d = −ax0 − by0 − cz0 とおくことで，一般形 ax+

by + cz + d = 0 が得られる．

P,Q, n を明記した図に変更

例 10.3 (球面) 中心が (x0, y0, z0)，半径が r の球面は

(x− x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 = r2

と表される．実際に，(x, y, z) と (x0, y0, z0) の距離は√(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2



319

例 10.4 (円柱) R2 での円の方程式は (x − x0)2 + (y − y0)

2 = r2 と一般的に表さ

れるが，R3 でこの方程式 (x− x0)2 + (y − y0)

2 = r2 を考えると，z について全く条件

がないことから，平面の円を上にスライドさせて得られる図形が得られる．したがって，

これは無限に伸びている円柱である．

x 軸方向に伸びている

例 10.5 (円錐) a > 0 とする．z = a√x2 + y2 は z = k ≥ 0 のときに，k/a の円

が現れる．z の高さ k に正比例して，半径が大きくなるので，z = a√x2 + y2 は円錐で

ある．また，z2 = a2(x2 + y2) は z = ±a√x2 + y2 と同値であるから，これは頂点を

共有する対称な円錐 2 対と同じになる．

例 10.6 (楕円球) ABC = 0 とする．球の方程式は (x − x0)2 + (y − y0)

2 + (z −z0)

2 = r2 と表されるが，相似変換 (x, y, z) 7→ (x/A, y/B, z/C) を考えて，(x/A −x0)

2 + (y/B − y0)2 + (z/C − z0)

2 = r2 を考えると，縦，横，高さが相似変換されてい

るからこれは球体がそれぞれの方向に拡大されているものである．これを楕円球という．

例 10.7 (一葉双曲面，二葉双曲面) x2 + y2 − z2 = 1 と x2 + y2 − z2 = −1 につい


320 目次

て考える．両者を x2 + y2 = z2 + 1, x2 + y2 = z2 − 1 と変形させて考えるとわかるよ

うに，x2 + y2 はそれぞれ，「z に無条件に」，|z| ≥ 1 のときに限り，」0 以上になる．し

たがって，前者は連結で，後者は不連結である．それぞれ，連結成分の個数を用いて，一

葉双曲面，二葉双曲面という．

例 10.8 (楕円放物面) z = x2/a2 + y2/b2 を楕円放物面という．y = 0 とすれば，放

物線 z = x2/a2 が，z = k > 0 とすれば，楕円 k = x2/a2 + y2/b2 が現れるからである．

例 10.9 (円) 空間内も円は存在する．円は球面 (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2 = r2

と平面 ax+ by+ cz = d との交わりである．球の中心 (x0, y0, z0) から平面までの距離は

|ax0 + by0 + cz0 − d|√a2 + b2 + c2

であるから，これが，r より大きいときは二者は交わらず，r のときは

二者は接して，r より小さいときは円が現れる．円の半径は

√|ax0 + by0 + cz0 − d|2

a2 + b2 + c2− r2



321

例 10.10 (らせん) 平面円運動は一般的に x = x0 + r cos t, y = y0 + r sin t で与え

られるが，縦方向に等速度で上昇する設定 x = x0 + r cos t, y = y0 + r sin t, z = ct を

考えると，これはらせんになる．

10.2 微分係数，偏導関数など

10.2.1 定義

証明は 2 変数のと同じであるから定義だけを順番に与えていく．

定義 10.11 (3 変数関数の (全) 微分可能性) U ⊂ R3 を開集合とする．f : U → R

が (x0, y0, z0) ∈ U で (全) 微分可能であるとは，あるベクトル (a, b, c) が存在して，

f(x, y, z) = f(x0, y0, z0) + a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0)

+ o(√(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2), (x, y, z) → (x0, y0, z0)

が成り立つことを言う．

定義 10.12 (3 変数関数の偏導関数) U ⊂ R3 を開集合とする．f : U → R が

(x0, y0, z0) で x に関して偏微分可能であるとは，

limh→0

f(x0 + h, y0, z0)− f(x0, y0, z0)

h

が存在することを言う．y, z に関する偏微分可能性，C1-級などの定義はすべて 2 変数の

ときと同じような方法で定義していく．

定義 10.13 (3 変数関数のヤコビ行列) 3 変数のベクトル値関数

x = t(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))

に対するヤコビ行列とは

∂(x, y, z)

∂(u, v, w)=

xu(u, v, w) xv(u, v, w) xw(u, v, w)

yu(u, v, w) yv(u, v, w) yw(u, v, w)

zu(u, v, w) zv(u, v, w) zw(u, v, w)


322 目次

で与えられる．ヤコビアンはこの行列の行列式である．

10.2.2 例

2 変数と同じ方法でいろいろなことがいえる．たとえば，偏微分方程式を考えたり，最

大値，最小値の問題を考えられる．ここでは，重要な偏微分方程式であるラプラス方程式

を見ていくこととしよう．

例 10.14 3 変数の関数 f(x, y, z) =1√

x2 + y2 + z2は

∂2f

∂x2(x, y, z) +

∂2f

∂y2(x, y, z) +

∂2f

∂z2(x, y, z) = 0, (x, y, z) = (0, 0, 0)

を満たすことを示そう．

r =√x2 + y2 + z2 とする．

∂xf(x, y, z) =∂

∂x

1

r=

∂

∂x

1

(x2 + y2 + z2)12

=1

(x2 + y2 + z2)32

(x2)′ ·(−1

2

)=

−xr3


∂xxf(x, y, z) =∂

∂x

(−x

(x2 + y2 + z2)32

)= − 1

r3+

3x2

r5

である．x, y, z についての対称性から

∂yyf(x, y, z) = − 1

r3+

3y2

r5, ∂zzf(x, y, z) = − 1

r3+

3z2

r5

である．これらを足すと

∂xxf(x, y, z) + ∂yyf(x, y, z) + ∂zzf(x, y, z) = − 1

r2+

3x2

r5− 1

r2+

3y2

r5− 1

r2+

3z2

r5

= − 3

r3+

3x2 + 3y2 + 3z2

r5

= − 3

r3+

3r2

r5= 0

となる．一般に，∆f(x, y, z) = ∂xxf(x, y, z) + ∂yyf(x, y, z) + ∂zzf(x, y, z) と定めて，

∆ を 3 次元のラプラシアンという．∆f = 0 となる関数を調和関数という．

10.3 ラグランジュの未定乗数法

ここでは，関係式


323

f(x, y) = 0

のもとで，g(x, y) の最大値などをだす方法を調べる．問題が抽象的であるので，具体例

とその解法を通じて，問題点，共通点を見出して行こう．

まず，この手の問題はいろいろな局面で現れる．

例 10.15 a, b, h > 0 とする．A : (0, a) と B : (h,−b) をとる．y ≥ 0 では速度 vA

で，y < 0 では vB で進む物体を考える．x 軸に C をとって，A,C 上と C,B 上では直

線で動く物体を考える．

C の位置を調節して，A,B 間の所要時間が最短になるようにしたい．AC = (m1,−a)，

CB = (m2,−b) とすると，m1 +m2 = h の条件下で，

T =

√m1

2 + a2

vA+

√m2

2 + b2

vB

を求めることになるであろう．m2 = h−m1 を代入して，

T =

√m1

2 + a2

vA+

√(h−m1)2 + b2

vB

となる．T を m1 で微分して，その式を 0 とおくと，

m1

vA√m1

2 + a2− h−m1

vB√(h−m1)2 + b2

= 0

である．sin θA =m1√

m12 + a2

，sin θB =h−m1√

(h−m1)2 + a2として，

sin θAvA

=sin θBvB

である．これが屈折の法則と呼ばれるものであった．

この手の最大値，最小値問題で一番卑近なものは代入をして，変数を消去できるもので

あろう．

例 10.16 実数 x, y が 2x+ y = 8 を満たしている時，z = xy の最大値 M を求め


324 目次

ると，y を消去して，z = x(8− 2x) と変形して，z = −2(x− 2)2 + 8 と平方完成をす

ればわかるように，x = 2, y = 4 で最大値 M = 8 を取る．

与えられた関係式を変形して，一つの文字に関して解き，解いた変数を代入することが困

難な場合もある．その状況を例示しよう．

例 10.17 実数 x, y が 3x2 − 3xy + y2 = 3 を満たすとき，x+ y の取りうる値の範

囲を求めよう．やや技巧的であるが，与えられた式を 4 倍して，

12x2 − 12xy + 4y2 = 12 つまり 3(4x2 − 4xy + y2) + y2 = 12

と式変形し，平方完成をすることで，X = 2x− y, Y = y なる置換が考えられる．実際

にこれをすると，条件式は 3X2 + Y 2 = 12 で，求める式は

x+ y =1

2(2x− y) +

3

2y =

1

2X +

3

2Y

と変形される．

3X2 + Y 2 = 12 は楕円の式で，

-2 -1 0 1 2

-4

-2

0

2

4


325

X = 2 cos θ, Y = 2√3 sin θ とすると，x+ y = cos θ + 3

√3 sin θ となる．

sinφ =1

2√7, cosφ =

3√3

2√7

となる φ をとる．これに三角関数の合成

x+ y = 2√7

(1

2√7cos θ +

3√3

2√7sin θ

)

をほどこすことで，|x+ y| ≤ 2√7 が求めるべき x+ y の取りうる値の範囲となる．

以上の二例が典型的な最大値，最小値問題であるが，変数の数を減らす工夫が必要であ

る．しかしながら，うまく作られた問題ならば，このようなアプローチができるものの，

一般にこのようにことがうまく運ぶとは限らない．

ここで説明するラグランジュの未定乗数法とは，条件式がいかなる形であっても機械

的に停留点を計算する方法である．もちろん，与えられた代数方程式をきちんと解ききれ

るかは問題にかかっているが，それでも方法は普遍的な面があるために，自然科学では一

般に広く用いられる．

定理 10.18 (ラグランジュの未定乗数法) U を R2 の開集合とする．f, g : U → R を

C1-級関数とする．f(x, y) = 0 の下で，(x0, y0) ∈ U において fx(x0, y0) = fy(x0, y0) =

0 ではなく，関数 g(x, y) が極値をとっていたとすると，ある実数 λ0 が存在していて，3

変数関数 F (x, y, λ) = g(x, y)−λf(x, y) は (x0, y0, λ0) で停留点となっている．つまり，

Fx(x0, y0, λ0) = Fy(x0, y0, λ0) = Fλ(x0, y0, λ0) = 0

が成り立つ．

証明. 変数 x, y の対象性によって，fy(x0, y0) = 0 と仮定して，一般性は失わない．

陰関数定理 (定理 8.37) によって f(x, y) = 0 は U を小さく取り換えることによって，

y = h(x) と同値になる．したがって，x0 は g(x, h(x)) の極値である．このことから，

gx(x0, h(x0)) + h′(x0)gy(x0, h(x0)) = 0 であるから，h′(x0) = −fx(x0, y0)fy(x0, y0)

を代入す

ることで，

gx(x0, h(x0))−fx(x0, y0)

fy(x0, y0)gy(x0, h(x0)) = 0

である．したがって，連立方程式

µ1gx(x0, y0) + µ2fx(x0, y0) = 0, µ1gy(x0, y0) + µ2fy(x0, y0) = 0


326 目次

には自明ではない解 (µ01, µ

02) が存在する．µ

01 = 0 とすると，fy(x0, y0) = 0 より，µ0

2 =

0 となり，(µ01, µ

02) が自明ではないことに矛盾している．したがって，µ

01 = 0 である．こ

のことから，λ0 = −µ02/µ

01 とできることがわかる．

ラグランジュ未定乗数法を具体的に実行してみる．最大値，最小値を求めるのに有用で

あるが，ラグランジュ未定乗数法がどのように使われるか模式図を与えよう．

【ラグランジュ未定乗数法による最大値，最小値の計算方法の模式図】

(0) 最大値，最小値を与える問題が与えられる．つまり，関係式 F (x, y) = 0 のも

とで，z = G(x, y) の最大値もしくは最小値もしくはその両方を求める問題を考

える．

↓

(1) ラグランジュの未定乗数法を用いる前に，最大値，最小値が存在するかどうか

を確認する．

↓

(2) ラグランジュの未定乗数法を用いて，連立方程式を立式する．

↓

(3) 連立方程式を解いて，得られた解の性質を調べる．

↓

(4) 最大値，最小値は停留点から得られることに注意して，最大値，最小値を分類

する．

ラグランジュの未定乗数法を用いて，実際に最大値，最小値問題を解いてみよう．

例 10.19 曲線 C : x2 + y3 = 1 から原点までの距離が最も近い点をすべて挙げよ．


327

上述の (1) から (4) の手順を明記しながら，問題を解いていく．

(1) (1, 0) は C の点であるから，原点までの距離が最も近い点は x2 + y2 ≤ 1 内に存

在している．x = ±√1− y3 と変形してグラフを描けば分かるように x2 + y3 =

1 はコンパクトではないが，原点までの距離√x2 + y2 は x2 + y2 ≤ 1 のなかか

ら探せばよいことがわかるので，原点までの距離が最も近い点が存在している．

(2)∂

∂x(x2 + y3 − 1) = 2x,

∂

∂y(x2 + y3 − 1) = 3y2 であるから，x2 + y3 = 1 の仮

定の下では，これらは同時には 0 にならない．したがって，x2 + y3 = 1 の条件

下で，x2 + y2 の最小値があるので，それを求めることになる．この場合は，ラグ

ランジュの未定乗数法に従って，f(x, y, λ) = x2 + y2 − λ(x2 + y3 − 1) とおき，

f の停留点を求めることになる．

fx(x, y, λ) = 2x− 2λx, fy(x, y, λ) = 2y − 3λy2, fλ(x, y, λ) = −x2 − y3 + 1

であるから，連立方程式

2x− 2λx = 0, 2y − 3λy2 = 0, −x2 − y3 + 1 = 0

を解くことになる．

(3) fx(x, y, λ) = 0 より，x = 0 もしくは λ = 1 となる．x = 0 としてみよう．す

ると，fλ(x, y, λ) = 0 より，y = 1 である．したがって，fy(x, y, λ) = 0 より，

λ = 0 となる．また，λ = 1 としてみると，fy(x, y, λ) = 0 より，y = 0,2

3であ

る．y = 0 ならば，fλ(x, y, λ) = 0 より，x = ±1 である．また，y =2

3ならば，

fλ(x, y, λ) = 0 より，x = ±√

19

27である．以上より，

(x, y, λ) = (±1, 0, 1),

(±√

19

27,2

3, 0

), (0, 1, 0)

となる．

(4) このときの x2 + y2 の値はそれぞれ 1,31

27, 1 であるから，(x, y) = (±1, 0), (0, 1)


328 目次

で最小になる．

x2 = 1− y3 と変形して，y ≤ 1 に注意して x2 + y2 = 1+ y2 − y3 の最小値を求める

方法と比較するのも一興であろう．

10.4 接平面

計算ミスや公式の覚え間違いは仕方がないが，平面ではないものを書いてはいけない．

曲面 z = f(x, y) が点 P (a, b, c) において接平面を持つ時，その接平面の点 P におけ

る法線を z = f(x, y) の P における法線という．この法線の方程式は次で与えられる：

x− a

fx(a, b)=

y − b

fy(a, b)=z − c

−1

当たり前のことであるかもしれないが，平面は Ax + By + Cz = D の形をしている．

sin(x+ 2y + 4z) などの関数は現れない．

10.5 空間曲線の長さ

例 10.20 時刻 t は [0, 1] を動くとして，

x1(t) = 2

∫ t4

0

cos 7√v dv, x2(t) = 2

∫ 0

t4sin 7

√v dv, x3(t) =

8

5t5

で与えられる空間曲線を考える．

(1) 微分を計算すると，x′1(t) = 8t3 cos7√t4, x′2(t) = 8t3 sin

7√t4, x′3(t) = 8t4 とな

るから，速度ベクトル (x′1(t), x′2(t), x

′3(t)) は (8t3 cos

7√t4, 8t3 sin

7√t4, 8t4) と

なる．

(2)√x′1(t)

2 + x′2(t)2 + x′3(t)

2 = 8t3√1 + 1t2 である．これより，曲線の長さ ℓ を

求める積分式を書くと，ℓ = 8

∫ 1

0

t3√1 + t2 dt である．v = t2 と変換して，

ℓ = 4

∫ 1

0

v√1 + v dv =

4(1 +√2)

15

と求まる．


329

10.6 3変数のベクトル値関数の演算

ここでは 3 次元ベクトルの外積と 3 次元ベクトル場の発散，回転と 3 次元実数値関数

の勾配に関して説明する．発散という概念は数列や関数の極限に現れて本書で正確に定式

化したものであるが，ベクトル場の発散は極限とはまったく関係のない概念である．

3 次元ベクトル場とは共通の領域 D ⊂ R3 において定義された関数 F1, F2, F3 の対

(F1, F2, F3) のことである．これに対して，ベクトル場と区別するために，単なる関数 F

はスカラー場ということがある．

例 10.21

(1) 磁場 B は位置に応じて，向きが変わるためにベクトル場とみなせる．

(2) 電流 j も同様にベクトル場とみなせる．

(3) 温度は向きがあるわけではないので，スカラー場と考えられる．

10.6.1 3 次元ベクトル場の発散

ベクトル場 F = (F1, F2, F3) が与えられたときに，その発散 div(F ) と呼ばれるスカ

ラー場を

div(F ) =∂F1

∂x+∂F2

∂y+∂F3

∂z

と定める．div(F ) をダイバージェンス（ベクトル）エフと読む．

ρ を電荷密度，E を電場ベクトル，ε0 を真空の誘電率とするとき，電磁気学における

ガウスの定理は

div(E) = ρ

ε

と表される．

例 10.22 (div の計算例) (x3, y4, xz5) はベクトル場である．それの発散を計算する

と，div(x3, y4, xz5) = 3x2 + 4y3 + 5xz4 となる．

div はスカラー場に対しては定義されないので，注意しよう．

10.6.2 3 次元ベクトルの回転

真空の透磁率を µ0 とすると磁場 B と電流 j の関係を記述するアンペールの法則は

rot(B) = µ0j


330 目次

と記述される．ここで現れる rot が回転と呼ばれるもので，ベクトル場 (X,Y, Z) が与

えられると，回転という演算子によって新しい rot(X,Y, Z) が与えられる．

具体的な定義に入る．

(X,Y, Z) = (e1, e2, e3), (α, β, γ) =

(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

), (u, v, w) = (u, v, w)

とすることで 3 次元ベクトル場の回転の定義が得られる．つまり，

(u, v, w) = (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z))

をベクトル場として，

rot((u, v, w)) = det

e1 e2 e3

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

u v w

である．

形式的にサラス展開すれば，

rot((u, v, w)) = e1∂w

∂y+ e2

∂u

∂z+ e3

∂v

∂x− e1

∂v

∂z− e2

∂w

∂x− e3

∂u

∂y

であるが，ベクトルの後ろにスカラーをかけるのは若干気持ちが悪いので

rot((u, v, w)) =∂w

∂ye1 +

∂u

∂ze2 +

∂v

∂xe3 −

∂v

∂ze1 −

∂w

∂xe2 −

∂u

∂ye3

と改めて，基本ベクトルの定義を代入すると、

rot((u, v, w)) =

(∂w

∂y− ∂v

∂z,∂u

∂z− ∂w

∂x,∂v

∂x− ∂u

∂y

)が得られる．

例 10.23 (rot の計算例) (x3, xy, xz5) はベクトル場である．それの発散を計算する

と，rot(x3, y4, xz5) = det

e1 e2 e3

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

x3 xy xz5

= (0,−z5, 1) となる．

rot もスカラー場に対しては定義されないので，注意しよう．

回転が物理学などに現れる例は後述する.


331

10.6.3 3 次元ベクトルの勾配

U ⊂ R3 を開集合とする．関数 f : U → R が与えられたときに，ベクトル場 grad(f)

を

grad(f) =

(∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)と定める．

例 10.24 (grad の計算例) grad(x3 + y4 + xyz5) = (3x2 + yz5, 4y3 + xz5, 5xyz4)

となる．x3 + y4 + xyz5 はスカラー場である．

div と rot は違い，grad(f) はベクトル場に対しては定義されないので，注意しよう．

grad はナビエ・ストークス方程式

∂

∂t

u1

u2

u3

−

u1∂1u1 + u2∂2u1 + u3∂3u1

u1∂1u2 + u2∂2u2 + u3∂3u2

u1∂1u3 + u2∂2u3 + u3∂3u3

−

∆u1

∆u2

∆u3

+Ω

0

0

1

×

u1

u2

u3

+

∂1p

∂2p

∂3p

= 0

にも表れる．最後の項が勾配である．ここで，t(u1, u2, u3) は粘性ベクトル場と呼ばれる

ものである．p は圧力，Ω はコリオリ力のパラメータである．

div，rot，grad(f) は微分が絡む計算であるから，微分演算子と呼ばれるものの一種で

ある．これらの微分演算子はどのようなものに作用し（定義域），どのようなものを作り

出すか（値域）を表にしてまとめておこう．

演算子 div rot grad

定義域ベクトル場ベクトル場スカラー場

値域スカラー場ベクトル場ベクトル場

grad(f) は数学のいろいろな場所に現れる概念であることは次の例が示している．

例 10.25 線分 x(t) = (1− t)(a1, a2, a3) + t(b1, b2, b3), t ∈ [0, 1] に対して，

f(b1, b2, b3)− f(a1, a2, a3)

= [f((1− t)(a1, a2, a3) + t(b1, b2, b3))]10

= [f((1− t)a1 + tb1, (1− t)a2 + tb2, (1− t)a3 + tb3)]10

=

∫ 1

0

d

dtf((1− t)a1 + tb1, (1− t)a2 + tb2, (1− t)a3 + tb3) dt


332 目次

が成り立つ．ここで，合成関数の微分法より，

f(b1, b2, b3)− f(a1, a2, a3)

=

∫ 1

0

(b1 − a1)fx((1− t)a1 + tb1, (1− t)a2 + tb2, (1− t)a3 + tb3)

+ (b2 − a2)fy((1− t)a1 + tb1, (1− t)a2 + tb2, (1− t)a3 + tb3)

+ (b3 − a3)fz((1− t)a1 + tb1, (1− t)a2 + tb2, (1− t)a3 + tb3) dt

=

∫ 1

0

(b− a) · grad(f)((1− t)a+ tb) dt

が得られる．

初学者には間違えやすいので，勾配とラプラシアンに関しての間違えの例を指摘して

おく．

(1) ラプラシアン，勾配 (∂2f

∂x2,∂2f

∂y2,∂2f

∂z2

)には現れない．

(2) ラプアシアンは (∂2f

∂x2,∂2f

∂y2,∂2f

∂z2

),∂f

∂x+∂f

∂y+∂f

∂z

ではない．

10.6.4 力学における例

以後，x(t) で時刻 t における物体の位置を表すことにする．

例 10.26

(1) 速度ベクトル v(t) =dx

dt(t)

(2) 加速度ベクトル a(t) =d2x

dt2(t)

(3) 運動量 p(t) = mv(t)

(4) 運動方程式 F(t) =dp

dt(t)

(5) 運動エネルギー K =1

2mv(t)2


333

1 次元の力 F が位置 x のみに依存して時間 t によらない時の x0 を基準とした位置エネ

ルギー

U(x) =

∫C

F(x) dx, C は x0, x をつなぐ経路 (10.1)

3 次元において，F が力で時刻 t によらないとき，曲線 C に沿って行う仕事 W は

W =

∫C

F · dx (10.2)

F = −grad(U) となる (x, y, z) の関数をポテンシャルという．ポテンシャルが与えられ

ると経路によらないで仕事 W が定まる．

位置 0 と x にそれぞれ質量が m,M の物体がある時 M の質量の物体が受ける力は

−GM mx

∥x∥3


ベクトルの外積はいくつもの自然現象を記述する．ナビエ・ストークス方程式の例を挙

げたが，ほかの例としてはたとえば次のようなものがある．

例 10.27 (ビオ・サバールの法則) 電流 I が流れているとする．長さ ds の部分が r

の位置にある点 P に作る磁束密度 dB の大きさは

dB =µ0I

4π

ds× r

∥r∥3



第 11 章

3変数の積分法

密度が位置によって違うような物体を考える．たとえば，人体などがそれにあたる．密

度を ρ(x, y, z) として，物体が存在する領域を D とするとき，物体の質量 M は 3 次元

のリーマン積分を用いて，

M =

∫∫∫D

ρ(x, y, z) dx dy dz

と与えられる．2 変数の積分法と考え方は基本的には同じであるが，変数変換の公式が面

倒である．

11.1 3変数関数のリーマン積分

2 次元のときと同じであるが，3 次元空間では長方形の代わりに座標軸に平行な直方体

を用いる．このような直方体は一般に閉区間の直積を用いて，

[a, b]× [c, d]× [e, f ], a, b, c, d, e, f ∈ R, a < b, c < d, e < f

と表される．この直方体は直積の定義から，

a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f

と与えられる空間図形のことである．

定義 11.1 (直方体上での積分) f : [a, b]× [c, d]× [e, f ] → R を有界関数とする．

(1) [a, b]× [c, d]× [e, f ] の分割とは，

(a) [a, b] の分割 a = x0 < x1 < x2 < · · · < xL = b と

(b) [c, d] の分割 c = y0 < y1 < y2 < · · · < yM = d と

(c) [e, f ] の分割 e = z0 < z1 < z2 < · · · < zN = f

から得られる直方体の集まり

∆ = [xj−1, xj ]× [yk−1, yk]× [zi−1, zi]j=1,2,··· ,L, k=1,2,··· ,M, i=1,2,··· ,N


335

である．

(2) 上記のような [a, b] × [c, d] × [e, f ] の分割の全体を D([a, b] × [c, d] × [e, f ]) と

表す．

(3) (1) で与えられる分割 ∆ に対して，

|∆| = maxj=1,2,··· ,L,k=1,2,··· ,M,i=1,2,··· ,N

(|xj − xj−1|+ |yk − yk−1|+ |zi − zi−1|)

と定める．

(4) (1) で与えられる分割 ∆ に対して，Rijk = [xj−1, xj ]× [yk−1, yk]× [zi−1, zi] と

定めて，f の過剰和を

S∆(f) =L∑

j=1

M∑k=1

N∑i=1

(xj − xj−1)(yk − yk−1)(zi − zi−1) sup(z,w,u)∈Rijk

f(z, w, u)

と定める．

(5) (1) で与えられる分割 ∆ に対して，Rijk = [xj−1, xj ]× [yk−1, yk]× [zi−1, zi] と

定めて，f の不足和を

s∆(f) =L∑

j=1

M∑k=1

N∑i=1

(xj − xj−1)(yk − yk−1)(zi − zi−1) inf(z,w,u)∈Rijk

f(z, w, u)

と定める．

(6) 一般に f のリーマン上積分を∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]

f(x) dx = inf S∆(f) : ∆ ∈ D([a, b]× [c, d]× [e, f ])

で定める．

(7) 一般に f のリーマン下積分を∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]

f(x) dx = sup s∆(f) : ∆ ∈ D([a, b]× [c, d]× [e, f ])

で定める．

(8) f がリーマン積分可能であるとは，∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]

f(x) dx =

∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]

f(x) dx

が成り立つことで，この場合 f の積分値を


336 目次 ∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]

f(x) dx =

∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]

f(x) dx

で定める．

(9) 次元や積分回数を反映して，

∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]

f(x) dx の代わりに

∫∫∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]

f(x) dx

と表すことがある．

3 次元の積分を計算する具体的な方法は後述するが，1, 2 次元の時 (定理 9.2) と同じ

ように次の定理が成り立つ．

定理 11.2 (直方体上での積分に対するダルブーの定理) コンパクトな直方体上で定

義されている有界関数 f : [a, b]× [c, d]× [e, f ] → R について，

lim|∆|↓0

S∆(f) =

∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]


s∆(f) =

∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]

f(x) dx

が成り立つ．

3 次元のリーマン積分の可能性の判定のために，0 集合という言葉が有用である．今度

は 3 次元なので，線分や長方形ではなく，立方体を用いる．ここで，|R| は立方体 R の

体積を表すとする．

定義 11.3 (0 集合) E ⊂ R3 が 0 集合であるとは，任意の ε > 0 に対してある立方

体の可算列 R1, R2, · · · , Rj , · · · が存在して，

E ⊂∞∪j=1

Rj ,∞∑j=1

|Rj | < ε (11.1)


1, 2 次元の時と同じように次の定理も成り立つ．

定理 11.4 (直方体上での積分に対するルベーグの定理) f : [a, b]× [c, d]× [e, f ] →R を有界関数とする．このとき，f がほとんどいたるところ連続であることと f がリー

マン積分可能であることは同値である．


337

11.2 累次積分

累次積分も 2 次元のときと同じであるが，回数が増える分だけ面倒である．たとえば，

反復積分に関する次の定理が成り立つ．証明は以前と同じ方法でできるので，省略する．

定理 11.5 実数 a, b, c, d, e, f が

−∞ < a < b <∞, −∞ < c < d <∞, −∞ < e < f <∞

を満たしているとする．F : [a, b]× [c, d]× [e, f ] → R を有界関数とする．もし，F が

リーマン積分可能で，すべての (y, z) ∈ [c, d]× [e, f ] に関して

∫ b

a

F (x, y, z) dx がリー

マン積分可能であるならば，y 7→∫ b

a

F (x, y, z) dx は [c, d] × [e, f ] 上リーマン積分可

能で，∫[c,d]×[e,f ]

(∫ b

a

F (x, y, z) dx

)dy dz =

∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]

F (x, y, z) dx dy dz

が成り立つ．

たとえば，次の公式が成り立つ．

定理 11.6 (ディリクレ積分) f が積分領域 x, y, z ≥ 0, x+ y+ z ≥ 0 で連続の時，∫∫∫x,y,z≥0

x+y+z≥0

xα−1yβ−1zγ−1f(x+ y + z) =Γ(α)Γ(β)Γ(γ)

Γ(α+ β + γ)

∫ 1

0

uα+β+γ−1f(u)du

が成り立つ．

証明. 変数変換と積分順序の交換をすることで∫∫∫x,y,z≥0, x+y+z≥0

xα−1yβ−1zγ−1f(x+ y + z)

=

∫ 1

0

(∫ 1−x

0

(∫ 1−x−y

0

xα−1yβ−1zγ−1f(x+ y + z) dz

)dy

)dx

=

∫ 1

0

(∫ 1−x

0

(∫ 1

x+y

xα−1yβ−1(z − x− y)γ−1f(z) dz

)dy

)dx

=

∫ 1

0

(∫ 1

x

(∫ z−x

0

xα−1yβ−1(z − x− y)γ−1f(z) dy

)dz

)dx

となる．ここで，ベータ関数の計算公式をもちいると，∫∫∫x,y,z≥0, x+y+z≥0

xα−1yβ−1zγ−1f(x+ y + z)


338 目次

=

∫ 1

0

(∫ 1

x

(∫ z−x

0

xα−1yβ−1(z − x− y)γ−1f(z) dy

)dz

)dx

=Γ(β)Γ(γ)

Γ(β + γ)

∫ 1

0

(∫ 1

x

xα−1(z − x)β+γ−1f(z) dz

)dx

となる．この計算を続けていけばよい．

11.3 変数変換公式

3 次元においても極座標という概念は存在する．x, y, z を 3 変数 r, θ, φ という変数で

表すことにする．2 次元のときには r, θ を用いて表していたが，次元が高くなったので，

新しい変数 φ を追加する．r =√x2 + y2 + z2，θ ∈ [0, π] を (x, y, z) と (0, 0, 1) のな

す角，φ を 2 次元空間 (x, y) の偏角とする．x, y, z を表すと，

(x, y, z) = (r sin θ cosφ, r sin θ sinφ, r cos θ)

が得られる．(x, y, z) から (r, θ, φ) への座標変換を極座標という．

2 次元の場合 (定理 9.30 を参照) と同じく，やはり座標変換も同じであるが，極座標

がとくに重要であるので，極座標を中心に積分の座標変換を考える．

11.3.1 3 次元における極座標変換

定理 11.7 f を球 B(R) = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ R2 上の連続関数とする．このとき，∫∫∫

x2+y2+z2≤R2f(x, y, z) dx dy dz

=

∫ 2π

0

(∫ π

0

(∫ R

0

f(r sin θ cosφ, r sin θ sinφ, r cos θ)r2 sin θdr

)dθ

)dφ

が成り立つ．

証明. 累次積分と極座標変換を用いて∫∫∫x2+y2+z2≤R2

f(x, y, z) dx dy dz

=

∫ R

0

(∫∫x2+y2≤R2−z2

f(x, y, z) dx dy

)dz

=

∫ R

0

(∫ 2π

0

(∫ √R2−z2

0

f(s cosφ, s sinφ, z)s ds

)dφ

)dz


339

=

∫ 2π

0

(∫ R

0

(∫ √R2−z2

0

f(s cosφ, s sinφ, z)s ds

)dz

)dφ

と表す．さらに，s = r sin θ, z = r cos θ と変換して，∫∫∫x2+y2+z2≤R2

f(x, y, z) dx dy dz

=

∫ 2π

0

(∫ π

0

(∫ R

0

f(r sin θ cosφ, r sin θ sinφ, r cos θ)r2 sin θ dr

)dθ

)dφ

を得る．特に，関数 f が

√x2 + y2 + z2 にのみ依存する場合はつぎのようになる．

系 11.8 f を [0, R] 上の連続関数とする．このとき，∫∫∫x2+y2+z2≤R2

f(√x2 + y2 + z2) dx dy dz = 4π

∫ R

0

f(r)r2 dr

が成り立つ．

積分の計算はいろいろなタイプのものがあるが，具体例に触れて慣れ親しんでほしい．

例 11.9 次の積分値の有限性を判定する．

I1 =

∫∫R2

dx dy dz

1 + x2 + y2 + z2, I2 =

∫∫R3

dx dy dz

(x2 + y2 + z2)2 +√x2 + y2 + z2

実際に，I1 = ∞ であり，I2 <∞ である．それぞれを系 11.8 に従って，極座標で書い

てみると，

I1 = 4π

∫ ∞

0

r2

1 + r2dr =

[r − tan−1 r

]∞0

= ∞

I2 = 4π

∫ ∞

0

r

r3 + 1dr ≤ 4π

∫ ∞

0

1

min(1, r2)dr = 8π <∞

である．

11.3.2 一般の座標変換の公式

2 次元のときと同じ方法で以下のことが示せる．

定理 11.10 U, V ⊂ R3 を開集合で，f : U → V を微分同相とする．このとき，f に

含まれる任意の閉長方形 [a, b]× [c, d]× [e, f ] に対して，

|f([a, b]× [c, d]× [e, f ])| =∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]

| detDf(x, y)| dx dy dz (11.2)


340 目次

が成り立つ．したがって，f([a, b] × [c, d] × [e, f ]) 上で定義されている連続関数 g :

f([a, b]× [c, d]× [e, f ]) → R に対して，∫f([a,b]×[c,d]×[e,f ])

g(x, y, z) dx dy dz

=

∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]

g(f(x, y, z))| detDf(x, y, z)| dx dy dz

が成り立つ．

11.4 面積分

9.6 節で扱った曲面のうち，正則曲面は法線などの概念が定義できた．曲面上の積分に

関して考察しよう．曲面上の積分を面積分という．これは，たとえば，電磁気学では「面

を外向きに貫く電気力線の本数」を記述しているガウスの定理を理解するのに必要となる．

11.4.1 面積分の定義

3 次元空間の曲面 S と S 上で定義された関数 f に対して，面積分と呼ばれる積分∫∫S

f(x, y, z) dσ(x, y, z) =

∫S

f(x, y, z) dσ(x, y, z) は以下のようにして定義される．積

分記号として，

∫,

∫∫のどちらを使っても差し障りがないが，dσ(x, y, z) は面積分を表

す記号である．一般に部分集合 A ⊂ R3 に対して，

|A| = diam(A) = supx,y∈A

∥x− y∥

と定める．dσ とは面積要素といわれる面積に関する積分を表す記号である．

定義 11.11 (面積分) 3 次元空間の曲面 S と S 上で定義された実数値有界関数 f に

対して以下を定義する．

(1) S 上の分割 ∆ とは，S 上の連結な曲面の集まり S1, S2, · · · , SN で，Si ∪Sj ⊂∂Si ∩ ∂Sj , i = j かつ S = S1 ∪S2 ∪ · · · ∪SN となっているものとする．この曲

面 S1, S2, · · · , SN の個数 N には制限を設けない．

(2) 上述の分割 ∆ に対して，上限和を

N∑j=1

σ(Sj) supx∈Sj

f(x)


341

で定める．また，上積分

∫S

f(x) dx を

∫S

f(x) dx = sup

N∑

j=1

σ(Sj) supx∈Sj

f(x) : ∆は S の分割

で定める．

(3) 上述の分割 ∆ に対して，不足和を

N∑j=1

σ(Sj) infx∈Sj

f(x)

で定める．また，下積分

∫S

f(x) dσ(x) を

∫S

f(x) dx = inf

N∑

j=1

σ(Sj) infx∈Sj

f(x) : ∆は S の分割

で定める．

(4) 下積分，上積分が一致するときに，

∫S

f(x) dσ(x) をこの一致する値で定める．

(5) S の外向き法線ベクトルを n = (n1, n2, n3) で表すとき，∫S

f(x) dx dy =

∫S

f(x)n3 dσ(x)∫S

f(x) dy dz =

∫S

f(x)n1 dσ(x)∫S

f(x) dz dx =

∫S

f(x)n2 dσ(x)

と定める．

曲面積の性質から以下の公式を導き出すことができる．証明は命題 9.59 と同じ方法で

示すことができる．

定理 11.12

(1) γ = (γ1, γ2, γ3) : [a, b]× [c, d] → R3 を C1-級写像とする．このとき，曲面 S を

S = (γ1(s, t), γ2(s, t), γ3(s, t)) : s ∈ [a, b], t ∈ [c, d]

で定義すると，∫∫S

F (x, y, z)dσ(x, y, z)


342 目次

=

∫∫[a,b]×[c,d]

F (γ1(s, t), γ2(s, t), γ3(s, t))√D(s, t) ds dt

が成り立つ．ここで，

D(s, t) =

∣∣∣∣∂γ∂s (s, t)× ∂γ

∂t(s, t)

∣∣∣∣2=

∣∣∣∣(∂γ1∂s (s, t),∂γ1∂s

(s, t),∂γ1∂s

(s, t)

)×(∂γ2∂t

(s, t),∂γ2∂t

(s, t),∂γ2∂t

(s, t)

)∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∣∣∣∂γ2∂s

(s, t)∂γ2∂t

(s, t)

∂γ3∂s

(s, t)∂γ3∂t

(s, t)

∣∣∣∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣∣∣∣∂γ3∂s

(s, t)∂γ3∂t

(s, t)

∂γ1∂s

(s, t)∂γ1∂t

(s, t)

∣∣∣∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣∣∣∣∂γ1∂s

(s, t)∂γ1∂t

(s, t)

∂γ2∂s

(s, t)∂γ2∂t

(s, t)

∣∣∣∣∣∣∣2

(2) f : [a, b]× [c, d] → R を C1-級写像とする．このとき，曲面 S を

S = (x, y, f(x, y)) : x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]

で定義すると，∫∫S

F (x, y, z)dσ(x, y, z)

=

∫∫[a,b]×[c,d]

F (x, y, f(x, y))√fx(x, y)2 + fy(x, y)2 + 1 dx dy

が成り立つ．

例 11.13 (x− x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 = r2 で与えられる球面 S で定義され

る連続関数に対して，∫S

f(x, y, z) dσ(x, y, z)

= r2∫ 2π

0

∫ π

0

f(x0 + r cosφ cos θ, y0 + r sinφ sin θ, z0 + r cos θ) dθ dφ

が成り立つ．

面積分は電磁気学ではガウスの定理として現れる．

定理 11.14 (ガウスの定理) 原点に電荷 Q がおいてあるとき，電荷 Q を囲むすべて

の曲面 S に関して， ∫S

E · n dσ =Q

ε0

が成り立つ．ここで，n は外向き単位法線ベクトル，E は電場ベクトル，ε0 は真空の誘

電率である．


343

11.4.2 面積分の計算例

定義に基づいて面積分を計算しよう．

例 11.15 空間内の P,Q,R は同一直線上にはないとする．

図を入れる

S で三角形 PQR を表す．それぞれの座標を P (x1, y1, z1), Q(x2, y2, z2), R(x3, y3, z3)

と表す．P,Q,R は同一直線上にはないから，外積

PQ× PR = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)× (x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1)

はゼロベクトル (0, 0, 0) ではない．外積の定義から，PQ × PR は平面 S に直交する．

このことから，v =PQ× PR

|PQ× PR|と定めて，v を外向き法線ベクトルとして，∆PQR 上

の面積分を計算する．また，基本ベクトルを e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)

とおく．

(1) まずは，

I1 =

∫∫∆PQR

e1 · v dσ, I2 =

∫∫∆PQR

e2 · v dσ, I3 =

∫∫∆PQR

e3 · v dσ

を計算しよう．I1 から始めることにしよう．被積分関数は定数であるから，三角

形 PQR の面積 |σ| = 1

2|PQ× PR| を用いて，

I1 = e1 · v∫∫

∆PQR

dσ = e1 · v|σ| =1

2e1 · (PQ× PR) (11.3)

と表せる．(11.3) には外積と内積が出てきていることに注意しよう．ここで，外

積 PQ× PR を成分 x1, x2, · · · を用いて書き表すと，

(p, q, r) · (a, b, c)× (d, e, f) = det

p q r

a b c

d e f

であるから，

I1 =1

2e1 · (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)× (x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1)

=1

2det

1 0 0

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1


344 目次

= (y2 − y1)(z3 − z1)− (y3 − y1)(z2 − z1)

となる．これは

I1 =1

2(y2z3 − y3z1 − y1z3 − y3z2 + y1z3 − y3z1) =

1

2det

1 y1 z1

1 y2 z2

1 y3 z3

となることに注意しよう．

I2 を計算したい．定義に戻ると，

I2 =

∫∫∆PQR

e2 · v dσ

= e2 · v|σ|

=1

2e2 · (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)× (x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1)


I2 =1

2det

0 1 0

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

である．この行列式と det

1 z1 x1

1 z2 x2

1 z3 x3

を展開して見比べると，

I2 =1

2det

x1 1 z1

x2 1 z2

x3 1 z3

=1

2det

1 z1 x1

1 z2 x2

1 z3 x3

となる．同様にして，

I3 =1

2det

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3

である．

(2) 次に，

J1 =

∫∫∆PQR

xe1 · v dσ, J2 =

∫∫∆PQR

xe2 · v dσ, J3 =

∫∫∆PQR

xe3 · v dσ


345

を計算しよう．S = ∆PQR をγ1(s, t) = x1 + (x2 − x1)s+ (x3 − x1)t

γ2(s, t) = y1 + (y2 − y1)s+ (y3 − y1)t

γ3(s, t) = z1 + (z2 − z1)s+ (z3 − z1)t

とパラメータを付けて，面積分を計算していくことにする．(1) で計算したように，

1

2e1 · PQ× PR = I1 (式 (11.3) を参照のこと) であった．(

∂γ1∂s

(s, t),∂γ2∂s

(s, t),∂γ3∂s

(s, t)

)= (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1),(

∂γ1∂s

(s, t),∂γ2∂s

(s, t),∂γ3∂s

(s, t)

)= (x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1)

だから，dσ と ds dt の関係は

dσ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂γ1∂s

(s, t)

∂γ2∂s

(s, t)

∂γ3∂s

(s, t)

×

∂γ1∂s

(s, t)

∂γ2∂s

(s, t)

∂γ3∂s

(s, t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ds dt

=

∣∣∣∣∣∣∣∣x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

×

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ds dt

= |PQ× PR| ds dt

となる．この変換則と定理 11.12 を用いると，

J1 =

∫∫s+t≤1, s,t≥0

(x1 + (x2 − x1)s+ (x3 − x1)t)

× e1 ·PQ× PR

|PQ× PR||PQ× PR| ds dt

= 2I1

∫∫s+t≤1, s,t≥0

(x1 + (x2 − x1)s+ (x3 − x1)t) ds dt

となる．この積分を計算して，

J = 2I1

∫ 1

0

(∫ 1−t

0

(x1 + (x2 − x1)s+ (x3 − x1)t) ds

)dt

= 2I1

∫ 1

0

((1− t)x1 +

1

2(x2 − x1)(1− t)2 + (x3 − x1)t(1− t)

)dt


346 目次

=1

3(x1 + x2 + x3)I1

= −1

6det

0 1 y1 z1

0 1 y2 z2

0 1 y3 z3

x1 + x2 + x3 1 y4 z4

である．同様に，

J2 =1

3(y1 + y2 + y3)I2, J3 =

1

3(z1 + z2 + z3)I3 (11.4)

である．

例 11.15 は三角形上での計算であったが，三角形を 4 つあわせて，四面体の計算に話

を膨らませる．

例 11.16 P,Q,R, S は同一平面上にはないとする．S で四面体 PQRS の表面を表

す．P,Q,R, S はそれぞれ，

P (x1, y1, z1), Q(x2, y2, z2), R(x3, y3, z3), S(x4, y4, z4)

であるとする．三角形 PQR において，

V1 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)× (x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1)

が外向きであるとする．このことは数式で表現すると，

V1 · (x4 − x1, y4 − y1, z4 − z1) < 0

である．さらに，4× 4 行列を用いてこのことを表現すると，

det

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1

= det

1 0 0 0

1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

1 x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

1 x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1

= det

1 x1 y1 z1

1 x2 y2 z2

1 x3 y3 z3

1 x4 y4 z4

< 0

と表される．(x, y, z) に対して，v(x, y, z) でその点における法線ベクトルを表すことに

する．ただし，三角形 PQR においては，v(x, y, z) = V1 であるとする．この面の積分


347

値 I1 =

∫∫∆PQR

(1, 0, 0) · v(x, y, z) dσ(x, y, z) は例 11.15 より，

I1 = −1

2

0 1 y1 z1

0 1 y2 z2

0 1 y3 z3

1 1 y4 z4

である．また，三角形 QRS，三角形 RSP，三角形 SPQ に対する積分値

I2 =

∫∫∆QRS

(1, 0, 0) · v(x, y, z) dσ(x, y, z)

I3 =

∫∫∆RSP

(1, 0, 0) · v(x, y, z) dσ(x, y, z)

I4 =

∫∫∆SPQ

(1, 0, 0) · v(x, y, z) dσ(x, y, z)

はそれぞれ，I2 と同じ計算をすることで，

I2 =1

2

0 1 y2 z2

0 1 y3 z3

0 1 y4 z4

1 1 y1 z1

= −1

2

1 1 y1 z1

0 1 y2 z2

0 1 y3 z3

0 1 y4 z4

I3 = −1

2

0 1 y3 z3

0 1 y4 z4

0 1 y1 z1

1 1 y2 z2

= −1

2

0 1 y1 z1

1 1 y2 z2

0 1 y3 z3

0 1 y4 z4

I4 =1

2

0 1 y4 z4

0 1 y1 z1

0 1 y2 z2

1 1 y3 z3

= −1

2

0 1 y1 z1

0 1 y2 z2

1 1 y3 z3

0 1 y4 z4

したがって，2, 3, 4 列が共通の 4 つの行列式を足し合わせることで，∫∫

∂PQRS

(1, 0, 0) · v(x, y, z) dσ(x, y, z) = I1 + I2 + I3 + I4


348 目次

= −1

2

1 1 y1 z1

1 1 y2 z2

1 1 y3 z3

1 1 y4 z4

= 0

が得られる．ただし，四面体上の辺上では v の値が複数あることがあるが，その場合は

考えている面に応じてその値を使い分けると考える．

x, y, z の役割を交換して考えても同じことが言えることがわかるので，線形性から任

意の実数 a, b, c に対して，∫∫∂PQR

(a, b, c) · v(x, y, z) dσ(x, y, z) = 0

が得られる．また，例 11.15 の I1, I2, I3 の計算から，

∫∫∆PQRS

(x, 0, 0) · v(x, y, z) dσ(x, y, z) = −1

6det

0 1 y1 z1

0 1 y2 z2

0 1 y3 z3

x1 + x2 + x3 1 y4 z4

∫∫

∆QRS

(x, 0, 0) · v(x, y, z) dσ(x, y, z) = −1

6det

0 1 y1 z1

0 1 y2 z2

x1 + x2 + x4 1 y3 z3

0 1 y4 z4

∫∫

∆RSP

(x, 0, 0) · v(x, y, z) dσ(x, y, z) = −1

6det

0 1 y1 z1

x1 + x3 + x4 1 y2 z2

0 1 y3 z3

0 1 y4 z4

∫∫

∆SPQ

(x, 0, 0) · v(x, y, z) dσ(x, y, z) = −1

6det

x2 + x3 + x4 1 y1 z1

0 1 y2 z2

0 1 y3 z3

0 1 y4 z4

であるから， ∫∫

∂PQR

(x, 0, 0) · v(x, y, z) dσ(x, y, z)


349

= −1

6det

x2 + x3 + x4 1 y1 z1

x1 + x3 + x4 1 y2 z2

x1 + x2 + x4 1 y3 z3

x1 + x2 + x3 1 y4 z4

= −1

6det

−x1 1 y1 z1

−x2 1 y2 z2

−x3 1 y3 z3

−x4 1 y4 z4

= −1

6det

1 x1 y1 z1

1 x2 y2 z2

1 x3 y3 z3

1 x4 y4 z4


∫∫∂PQRS

(x, 0, 0) · v(x, y, z) dσ(x, y, z) = −1

6det

1 x1 y1 z1

1 x2 y2 z2

1 x3 y3 z3

1 x4 y4 z4

= 四面体 PQRS の体積

となる．x と y, z を入れ替えることで，

∫∫∂PQRS

(y, 0, 0) · v(x, y, z) dσ(x, y, z) = −1

6det

1 y1 y1 z1

1 y2 y2 z2

1 y3 y3 z3

1 y4 y4 z4

= 0

∫∫∂PQRS

(z, 0, 0) · v(x, y, z) dσ(x, y, z) = −1

6det

1 z1 y1 z1

1 z2 y2 z2

1 z3 y3 z3

1 z4 y4 z4

= 0

となる．同じような計算より，∫∫∂PQRS

(0, x, 0) · v(x, y, z) dσ(x, y, z) = 0


350 目次 ∫∫∂PQRS

(0, y, 0) · v(x, y, z) dσ(x, y, z) = | 四面体 PQRS の体積 |∫∫∂PQRS

(0, z, 0) · v(x, y, z) dσ(x, y, z) = 0∫∫∂PQRS

(0, 0, x) · v(x, y, z) dσ(x, y, z) = 0∫∫∂PQRS

(0, 0, y) · v(x, y, z) dσ(x, y, z) = 0∫∫∂PQRS

(0, 0, z) · v(x, y, z) dσ(x, y, z) = | 四面体 PQRS の体積 |

となる．

今の考察から次のことが少なくとも言えた．

命題 11.17 (ガウスの発散定理) V を四面体，∂V をその境界で，外向き法線ベクト

ル n を考える．このとき，各成分が 1 次式で与えられるベクトル場 A(x, y, z) に対して，∫∂V

A(x, y, z) · n(x, y, z) dσ(x, y, z) =∫V

divA(x, y, z) dx dy dz

が成り立つ．

例 11.18 S = (x, y, z) : 4x2 + 4y2 + z2 = 4, x, y, z ≥ 0, 9x2 + 9y2 ≤ 1 で与

えられる曲面につき，

∫∫S

z dσ(x, y, z) を求めよう．S = (x, y, z) : 4x2 +4y2 + z2 =

4, x, y, z ≥ 0, 9x2+9y2 ≤ 1の定義方程式を z について解くと，z =√4− 4x2 − 4y2 =

2√1− x2 − y2 である．正射影して得られる図形は半径 1/3 中心角 π/2 の扇形である．

ここで，√1 +

(∂z

∂x

)2

+

(∂z

∂y

)2

=

√1 +

4x2 + 4y2

1− x2 − y2=

√1 + 3x2 + 3y2

1− x2 − y2

である．したがって，積分を x, y の式で表すと，

I =

∫∫9x2+9y2≤1,x,y≥0

z ·

√1 + 3x2 + 3y2

1− x2 − y2dx dy

= 2

∫∫9x2+9y2≤1,x,y≥0

√1 + 3x2 + 3y2 dx dy

である．次に極座標変換をすると，I = π

∫ 1/2

0

r√1 + 3r2 dr である．これを計算して，


351

I =π

6

∫ 1/4

0

√1 + r dr =

2π

18

[(1 + r)

32

] 34

0=

7√7− 8

72π

となる．

11.4.3 ガウスの発散定理

命題 11.17 において，1 次関数と四面体に対してガウスの定理が成り立つことを確認

したが，ストークスの定理と同様にこのことから，いろいろな関数に対して，ガウスの発

散定理を拡張できる．関数を一般化することからはじめよう．div(A) は第 10.6.1 節を参

照のこと．

命題 11.19 (ガウスの発散定理) V を四面体，∂V をその境界で，外向き法線ベクト

ル n を考える．このとき，各成分が C1-級の関数で与えられるベクトル場 A(x, y, z) に

対して， ∫∂V

A(x, y, z) · n(x, y, z) dσ(x, y, z) =∫V


が成り立つ．

証明. ε > 0 を任意に与える．V を等分して考える．N 段階目で得られる四面体は 8N

個であるので，それらを V1, V2, · · · , V8N と表す．V を等分し続けると，ダルブーの定

理によって，各 Vj(j = 1, 2, · · · , 8N ) から任意に選んだ (xj , yj , zj) に対して，∣∣∣∣∣∫V

divA(x, y, z) dx dy dz −8N∑j=1

divA(xj , yj , zj)× Vjの体積

∣∣∣∣∣ < ε

が成り立つ．ダルブーの定理によると，これらの 8N 個の四面体をさらに分割して得られる

四面体の集まり W1,W2, · · · ,WM とそこから任意に選んだ点 (Xj , Yj , Zj) ∈Wj , (j =

1, 2, · · · ,M) に対して，∣∣∣∣∫V

divA(x, y, z) dx dy dz −M∑k=1

divA(Xk, Yk, Zk)×Wkの体積

∣∣∣∣ < ε

が成り立つ．1 次関数の成分からなるベクトル場に関しては命題 11.17 より，面積分に書

き換えられることを知っているので，i = 1, 2, 3, k = 1, 2, · · · ,M に対して，

Bik(x, y, z) = Ai(Xk, Yk, Zk) +∂Ai

∂x(Xk, Yk, Zk)(x−Xk)

+∂Ai

∂y(Xk, Yk, Zk)(y − Yk) +

∂Ai

∂z(Xk, Yk, Zk)(z − Zk)

とおき，ベクトル場 Bk(x, y, z) = (B1k(x, y, z)B2k(x, y, z)B3k(x, y, z)) を考えると，


352 目次

divA(Xk, Yk, Zk)×Wkの体積 =

∫∫∫Wk

divBk(x, y, z) dx dy dz

=

∫∫∂Wk

Bk(x, y, z) dσ(x, y, z)

となる．したがって，∣∣∣∣∫V

divA(x, y, z) dx dy dz −∫∫

∂Wk


∣∣∣∣ < ε

である．

とくに，各 Vk をグルーサの補題を用いて分割した場合と，グルーサの補題から得られ

る Wk の点 (Xk, Yk, Zk) を考えることで，

∥A(x, y, z)− Bk(x, y, z)| < ε(|x−Xk|+ |y − Yk|+ |z − Zk|) (x, y, z) ∈Wk

が k = 1, 2, · · · ,M に対して成り立つと仮定してよい．面積分を足すときに，二つの四

面体 Wi と Wj が面を共有していると，それぞれの面が面積分に寄与するが，法線ベク

トルの向きが逆向きであるので，∣∣∣∣∫∫∫V


∫∫∂Wk

A(x, y, z) dσ(x, y, z)∣∣∣∣

≤∣∣∣∣∫∫∫

V


∫∫∂Wk


∣∣∣∣+

∣∣∣∣ M∑k=1

∫∫∂Wk

(A(x, y, z)− Bk(x, y, z)) · n dσ(x, y, z)∣∣∣∣

となる．ここで，n は長さが 1 で，Wk は V と相似であるから，はじめに与えられた V

に依存する定数 C を用いて∫∫∂Wk

|(A(x, y, z)− Bk(x, y, z)) · n| dσ(x, y, z) ≤ εdiam(Wk)× ∂Wkの体積

≤ Cε×Wkの体積

となる．したがって，k = 1, 2, · · · ,M について足し合わせることで，∣∣∣∣∫∂V

A(x, y, z) · n(x, y, z) dσ(x, y, z)−∫V

divA(x, y, z) dx dy dz∣∣∣∣

< ε(1 + C × V の体積)

が得られる．したがって，ε は任意に選んだ正の数であるから，∫∂V

A(x, y, z) · n(x, y, z) dσ(x, y, z) =∫V



353

が得られた．ガウスの発散定理を拡張した形で述べてそれを証明しよう．改めて復習するが，A(x, y, z) =

(A1(x, y, z), A2(x, y, z), A3(x, y, z)) に対して，

divA(x, y, z) = ∂A1

∂x(x, y, z) +

∂A2

∂y(x, y, z) +

∂A3

∂z(x, y, z)

と定められていた．(第 10.6.1 節)

定理 11.20 (ガウスの発散定理) Ω を領域，S を C1-級の閉曲面とする．S で囲ま

れた閉領域を V で表す．このとき，Ω 上のベクトル場 A に対して，∫∫∫V

div(A)(x, y, z) dx dy dz =

∫∫S

A(x, y, z) · n(x, y, z) dσ(x, y, z)

が成り立つ．ここで，n(x, y, z) は外向き法線ベクトルである．

証明. V の曲面を近似するような多面体の列 Vn∞n=1 を考える．A が連続であるか

ら，Vn の境界を Sn と表すことにすれば，∫∫S

A(x, y, z) · n(x, y, z) dσ(x, y, z) = limn→∞

∫∫Sn

A(x, y, z) · n(x, y, z) dσ(x, y, z)

ここで，例 11.15 より，四面体に関してはストークスの定理は成り立つとわかっている

ので，Vn をいくつかの四面体の和に分けてから使うことによって，∫∫Sn

A(x, y, z) · n(x, y, z) dσ(x, y, z) =∫∫∫

Vn

div(A)(x, y, z) dx dy dz

となる．ここで，V と Vn の体積は 0 に収束して，被積分関数は Vn で有界であるから，

limn→∞

∫∫∫Vn


∫∫∫V

div(A)(x, y, z) dx dy dz

となる．

例 11.21 ベクトル場 A(x, y, z) = (x, y, z) を考える．ガウスの定理によって，∫∫∫V


∫∫S

A(x, y, z) · n(x, y, z) dσ(x, y, z)

であるから，n(x, y, z) = (n1(x, y, z),n2(x, y, z),n3(x, y, z)) として，

V の体積 =1

3

∫∫S

(xn1(x, y, z) + yn2(x, y, z) + zn3(x, y, z)) dσ(x, y, z)

が得られる．


354 目次

例 11.22 R > 0 とする．半径 R で中心が原点の球 S を考える．

v =x

|x|3

(=

1

(x2 + y2 + z2)3/2(x, y, z)

)とおく. このとき，v · n = 1 であるから，あとは球面の面積が 4π であることに注意す

れば ∫∫S

v · ndσ = 4π (11.5)

となる．

また，原点を含まない任意の球面 S に対して以下のことを (11.5) とガウスの発散定

理を用いて示そう．

∫∫S

x

|x|3 · ndσ =

4π, (S は原点を内部に含む),

0, (S は原点を内部に含まない).

S は原点を内部に含まないとき (a), S は原点を内部に含むとき (b) の順番で証明して

いく．証明の前にガウスの発散定理を変形しておく．

定理 11.23 (ガウスの発散定理) D を R3 の領域，D∗ を D と D の境界 S を含む

領域とする．S の外向き単位法線ベクトル場を n と表す．D∗ で C1-級のベクトル場 X

に対して， ∫∫S

X · n dσ =

∫∫∫D

div(X) dx dy dz (11.6)

が成り立つ．

S で囲まれた領域を D で表す．

(a) このときは，X は D を含むある領域 D∗ で C1-級なので，単純に発散定理 (11.6)

を用いて ∫∫S

x

|x|3 · ndσ =

∫D

div

(x

|x|3

)dx =

∫D

0 dx = 0

が得られる．

(b) 原点中心の球 S∗ を考える．S∗ は S のなかにすっぽり入っているとする．S と

S∗ の間の領域を今度は D と書く．D を境界をこめて含んではいるが，原点を含

んでいない領域 D∗ を考える．(a) と同じように考えて，


355∫∫S

x

|x|3 · ndσ −∫∫

S∗

x

|x|3 · ndσ =

∫∫∫D

div

(x

|x|3

)dx dy dz = 0

であるから，S の代わりに S∗ を用いてよい．すると，S∗ の半径を r > 0 とす

れば， ∫∫S

x

|x|3 · ndσ =

∫∫S∗

x

|x|3 · ndσ =1

r2|S∗| = 4π

が得られる．

例 11.24 |x|+ |y|+ |z| = 1 で与えられる曲面を S とする．ガウスの発散定理と対

称性より，∫∫S

(2x, 2y2, 3z) · dS(x, y, z) =∫∫∫

|x|+|y|+|z|≤1

(5 + 4y) dx dy dz

=

∫∫∫|x|+|y|+|z|≤1

(5 + 4y) dx dy dz

=10

3

と計算される．

四面体のようにある種の対称性がある立体では間違えないが，半球のように球面と平

面の二つの部分に分割される場合は，曲面上の積分は球面の部分だけではなく，平面の部

分も加味しないといけないことに注意しよう．また，言わずもがなのことかもしれない

が，曲面の法線ベクトルは点ごとに向きが変わるものである．このことも注意しよう．ガ

ウスの定理はそのような間違えやすく，さらに，計算が大変な立体に関しても体積積分に

直すという方法で，明快に計算するための道具ともいえる．

例 11.25 S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1, z(z −√1− x2 − y2) = 0 で，

f(x, y, z) = (z4, x6, z5) の場合に，

I =

∫∫S

f(x, y, z)n(x, y, z) dσ(x, y, z)

を計算しよう．発散を計算すると，div(f) = div(z4, x6, z5) = 5z4 となる．ガウスの定

理を用いて体積積分に変換すると，

I =

∫∫∫x2+y2≤1, z(z−

√1−x2−y2)≤0

5z4 dx dy dz

となる．変換された積分を計算すると，I =

∫∫x2+y2≤1

(1 − x2 − y2)5/2 dx dy である


356 目次

が，極座標に変換して，

I = 2π

∫ 1

0

r(1− r2)5/2 dr = π

∫ 1

0

(1− r)5/2 dr =2

7π

となる．

11.5 ストークスの定理

3 次元曲線線積分も 2 次元のときと同様に定めることができる．

たとえば，γ = (γ1, γ2, γ3) : [a, b] → R3 で与えられる曲線 C に対して，∫C

f(x, y, z) dx =

∫ b

a

f(γ(t))γ′1(t) dt∫

C

f(x, y, z) ds =

∫ b

a

f(γ(t))√γ′1(t)

2 + γ′2(t)

2 + γ′3(t)

2 dt

が成り立つなど，2 次元の式は自然に拡張される．

例 11.26 P (x1, y1, z1), Q(x2, y2, z2), R(x3, y3, z3) と表す．3 点 P,Q,R は同一直

線上にはないとする．つまり，

(x3 − x1) : (x2 − x1) = (y3 − y1) : (y2 − y1) = (z3 − z1) : (z2 − z1)

ではないとする．S で三角形 PQR を表す．e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)

とする．

(1) P を始点，Q を終点とする線分 PQ を考える．

PQ = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

t をこの曲線 (線分 PQ) に関する単位接ベクトルとする．

(a) 線分 PQ は (x2 − x1)(y2 − y1)(z2 − z1) = 0 である限り，

x− x1x2 − x1

=y − y1y2 − y1

=z − z1z2 − z1

と表される．したがって，

x = (x2 − x1)t+ x1, y = (y2 − y1)t+ y1, z = (z2 − z1)t+ z1

とパラメータ化される．t = 0 ならば，この点は P を，t = 1 ならば，この点

は Q を表す．t によるパラメータ表示は (x2 − x1)(y2 − y1)(z2 − z1) = 0 でも

有効である．また，このとき，


357(dx

dt,dy

dt,dz

dt

)= (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

であるから，t は

t =1√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)


(b) 内積を計算すると，

e1 · t =x2 − x1√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

e2 · t =y2 − y1√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

e3 · t =z2 − z1√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

である．また，

ds =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 dt

となる．したがって，∫PQ

e1 · t ds =∫ 1

0

(x2 − x1) dt = x2 − x1∫PQ

xe1 · t ds =∫ 1

0

((1− t)x1 + tx2)(x2 − x1) dt =1

2(x2

2 − x12)∫

PQ

ye1 · t ds =∫ 1

0

((1− t)y1 + ty2)(x2 − x1) dt =1

2(y1 + y2)(x2 − x1)∫

PQ

ze1 · t ds =∫ 1

0

((1− t)z1 + tz2)(x2 − x1) dt =1

2(z1 + z2)(x2 − x1)

となる．

(2) ∆PQR の境界に向きを反時計回りで与えよう．すると，(1) から，∫∂∆PQR

e1 · t ds = 0∫∂∆PQR

xe1 · t ds = 0∫∂∆PQR

ye1 · t ds =1

2(y1 + y2)(x2 − x1) +

1

2(y2 + y3)(x3 − x2)

+1

2(y3 + y1)(x1 − x3)


358 目次

=1

2(y2 − y3)(x2 − x1) +

1

2(y2 − y1)(x3 − x2)

=1

2det

y2 − y3 x2 − x3

y2 − y1 x2 − x1

= −1

2det

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3

∫∂∆PQR

ze1 · t ds = −1

2det

1 x1 z1

1 x2 z2

1 x3 z3

となる．このような計算を繰り返していくと，各成分が 1 次式で表されるベクト

ル場 A(x, y, z) = (A1(x, y, z), A2(x, y, z), A3(x, y, z)) に対して，∫∂∆PQR

A(x, y, z) t(x, y, z) dσ =

∫∆PQR

rot(A(x, y, z)) · n(x, y, z) dσ

が得られる．ここで，n は外向き法線ベクトルである．

グリーンの定理と同じく，三角形に近似する方法と一次式に近似する方法を組み合わせ

て次のストークスの定理が得られる．

定理 11.27 Ω ⊂ R2 を有界領域，D を Ω の閉包を含む領域とする．α : D → R3 を

C1-級の曲線とする．t(x, y, z) で境界の接線ベクトルを表すとする．このとき，α|∂D :

∂D → R3 とそれに対応する外向き法線ベクトル n に対して，∫∂Ω

A(x, y, z) t(x, y, z) dσ(x, y, z) =∫Ω

rot(A(x, y, z)) · n(x, y, z) dσ(x, y, z)

が成り立つ．

　

ストークスの定理，ガウスの定理の境界という用語に注意しよう．ストークスの定理は

線積分を面積分に変換するものであるから，境界と言ったら，「境界線」を表している．ガ

ウスの定理は面積分を 3 次元の積分に変換するものであるから，境界とは「境界面」の

ことである．また，境界面，境界線どちらも円などの簡単なものだと 2 次元の図形と勘

違いして，たとえば，x2 + y2 = 1, z = 1 とするべきところを，x2 + y2 = 1 もしくは

x2 + y2 = 1, z = 0 と勘違いしてしまう．気を付けよう．


359

例 11.28 S = (x, y, z) ∈ R3 : 9z = −x2 − y2 + 9, z ≥ 0 で，f(x, y, z) =

(17y5, x4 + 3xyz, y2ez) とする．

(1) ∂S は z = 0, x2 + y2 = 9 となり，x = 3 cos θ, y = 3 sin θ, z = 0 とパラメータ

表示できる．

(2) (17y5, x4 + 3xyz, y2ez) · ds = (−17 · 36 sin6 θ + 35 cos5 θ) dθ だから，ストーク

スの定理によって，

I =

∫ 2π

0

(−17 · 36 sin6 θ + 35 cos5 θ) dθ = −17 · 36 · 456· 34· π4= −36 · 5 · 17

8π

となる．


第 12 章

多変数の微分法

1 体系を考えている限り，物理では空間変数 x, y, z と多くても時間変数 t だけを考え

ることが多い．しかし，n 体系などを考えると変数はさらに必要となる．したがって，3, 4

よりも多い変数での解析が必要となることが理解できるであろう．変数が増えても本質的

なところは 2, 3 変数と同じことが多いので，実質的な違いを除いて，証明はほとんどつ

けないことにする．

12.1 n変数関数の最大値，最小値

補題 8.18 と同じ方法で，以下を示せる．

補題 12.1 U を Rn における開集合とする．C1-級関数 f : U → R に対して，f が

X0 ∈ U で最大値，もしくは，最小値をとるとする．このとき，(∂f

∂x1(X0),

∂f

∂x2(X0), · · ·

∂f

∂xn(X0)

)= (0, 0, · · · , 0)

が成り立つ．

定理を一つずつ記述するより，例を見ながらどのようなことがいえるかを見ていくこと

にしよう．

例 12.2 n を 3 以上の整数とする．

∆n = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn : xi ≥ 0, (1 ≤ i ≤ n), x1 + x2 + · · ·+ xn = 2π

とおくとき，S = sinx1 + sinx2 + · · ·+ sinxn の最大値，最小値を求めよう．これは幾

何学的には半径 1 の円に内接する凸多角形の面積の最大値，最小値を求めていることに

相当する．

∆∗n = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn : xi ≥ 0, (1 ≤ i ≤ n), x1 + x2 + · · ·+ xn−1 ≤ 2π

とおいて，


361

S(x1, · · · , xn−1) = sinx1 + sinx2 + · · ·+ sinxn−1 + sin(2π − x1 − x2 − · · · − xn−1)

の最大値 Mn，最小値 mn を求める．すると，S の極値は連立方程式

cosxi = cos(2π − x1 − x2 − · · · − xn−1)

を解くことによって求められる．(x1, x2, · · · , xn−1) が ∆∗n の境界にないならば，

xi = 2π − x1 − x2 − · · · − xn−1, i = 1, 2, · · · , n− 1

が成り立つ．したがって，極値は x1 = x2 = · · · = xn−1 =2π

nしかありえない．境界で

の最大値と最小値を考える必要があるが，それは n− 1 文字での同じ問題に帰着するから

Mn = max

(Mn−1, n sin

2π

n

), mn = min

(mn−1, n sin

2π

n

)が成り立つ．M2 = 2, m2 = 0 であるから，Mn = n sin

2π

n, mn = 0 が得られる．

12.2 超曲面

超曲面とは以下の条件を満たしているものとする．

定義 12.3 (超曲面) M ⊂ Rn が超曲面であるとは，M の任意の点 p に対して，k =

1, 2, · · · , n と p における近傍 U が存在して，

Uk = (x1, x2, · · · , xk−1, xk+1, · · · , xn) : xkが存在して，(x1, x2, · · · , xn) ∈ U

とするとき，

Uk ∩M = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn : xk = φ(x1, x2, · · · , xk−1, xk+1, · · · , xn)

と表せることである．

2, 3 変数の時と同様である．必要な定理は 3 次元の場合をしかるべく修正して種々の

定義を得ることができる．


第 13 章

多変数の積分法

13.1 多変数関数のリーマン積分

13.1.1 集合の n 次元体積

2, 3 変数の時と同様にリーマン積分などが定義される．1 次元のときは区間，2 次元の

ときは長方形，3 次元のときは直方体を用いてきたが，4 次元以上ではさらにこれを「一

般化された」直方体を用いる．ただし，数学ではこの一般化された直方体も単に直方体と

いう．

定義 13.1 (直方体) aini=1 と bini=1 を ai ≤ bi (i = 1, 2, · · · , n) となる実数列2 つを用いて，

[a1, b1]× [a2, b2]× · · · × [an, bn] =n∏

j=1

[aj , bj ] = (x1, x2, · · · , xn) : ai ≤ xi ≤ bi

の形に表される集合のことを言う．

幾何学的な考察を避けるために，つぎのような「手の込んだ」体積の定義をする．

定義 13.2 (n 次元空間における集合の体積) a1,a2, · · · ,an ∈ Rn とする．集合

t1a1 + t2a2 + · · ·+ tnan ∈ Rn : 0 ≤ t1, t2, · · · , tn ≤ 1

の体積を | det(a1,a2, · · · ,an)| と定める．

集合

t1a1 + t2a2 + · · ·+ tnan ∈ Rn : 0 ≤ t1, t2, · · · , tn ≤ 1

から，a1,a2, · · · ,an ∈ Rn は順番を除いて決められるから，このような集合の体積は

a1,a2, · · · ,an ∈ Rn のとり方によらない．

定義 13.3 (直方体上での積分) j = 1, 2, · · · , n のとき，aj < bj となる 2 つの実数


363

列 aini=1 と bini=1 が与えられたとする．f :n∏

j=1

[aj , bj ] → R を有界関数とする．

(1) 直方体n∏

j=1

[aj , bj ] の分割とは，[aj , bj ] の分割 aj = xj,0 < xj,1 < xj,2 < · · · <

xj,Nj = bj とから得られる長方形の集まり

∆ =

n∏

j=1

[xj,kj−1, xj,kj ]

j=1,2,··· ,n, kj=1,2,··· ,Nj

である．

(2) 上記のような直方体n∏

j=1

[aj , bj ] の分割の全体を D(

n∏j=1

[aj , bj ]

)と表す．

(3) (1) で与えられる分割 ∆ に対して，

|∆| =n∑

j=1

(max

k=1,2,··· ,Nj

|xj,k−1 − xj,k|)

と定める．

(4) (1) で与えられる分割 ∆ に対して，f の過剰和を

S∆(f) =N1∑

k1=1

N2∑k2=1

· · ·Nn∑

kn=1

n∏j=1

(xj,kj − xj,kj−1)

× sup

f(x1, x2, · · · , xn) : (x1, x2, · · · , xn) ∈

n∏j=1

[xj,kj−1, xj,kj ]

と定める．

(5) (1) で与えられる分割 ∆ に対して，f の不足和を

s∆(f) =N1∑

k1=1

N2∑k2=1

· · ·Nn∑

kn=1

n∏j=1

(xj,kj − xj,kj−1)

× inf

f(x1, x2, · · · , xn) : (x1, x2, · · · , xn) ∈

n∏j=1

[xj,kj−1, xj,kj ]

と定める．

(6) 一般に f のリーマン上積分を∫n∏

j=1[aj ,bj ]

f(x) dx = inf

S∆(f) : ∆ ∈ D

(n∏

j=1

[aj , bj ]

)

で定める．

(7) 一般に f のリーマン下積分を


364 目次

∫n∏

j=1[aj ,bj ]

f(x) dx = sup

s∆(f) : ∆ ∈ D

(n∏

j=1

[aj , bj ]

)

で定める．

(8)n∏

j=1

[aj , bj ] 上で，f がリーマン積分可能であるとは，∫n∏

j=1[aj ,bj ]

f(x) dx =

∫n∏

j=1[aj ,bj ]

f(x) dx

が成り立つことで，この場合 f の積分値を∫n∏

j=1[aj ,bj ]

f(x) dx =

∫n∏

j=1[aj ,bj ]

f(x) dx

で定める．

1, 2, 3 次元の時と同じように次の定理が成り立つ．

定理 13.4 (一般次元の直方体上での積分に対するダルブーの定理) j = 1, 2, · · · , nのとき，aj < bj となる 2 つの実数列 aini=1 と bini=1 が与えられたとする．f :n∏

j=1

[aj , bj ] → R を有界関数とする．このとき，

lim|∆|↓0

S∆(f) =

∫n∏

j=1[aj ,bj ]


s∆(f) =

∫n∏

j=1[aj ,bj ]

f(x) dx

が成り立つ．

n 次元のリーマン積分の可能性の判定のためにもやはり，0 集合という言葉が有用であ

る．ここで，|R| は立方体 R の体積を表すとする．

定義 13.5 (0 集合) E ⊂ Rn が 0 集合であるとは，任意の ε > 0 に対してある立方

体の可算列 R1, R2, · · · , Rj , · · · が存在して，

E ⊂∞∪j=1

Rj ,∞∑j=1

|Rj | < ε (13.1)


次の定理は今までの n 次元拡張である．

定理 13.6 (一般次元の直方体上での積分に対するルベーグの定理) j = 1, 2, · · · , n


365

に対して，aj < bj となる 2 つの実数列 aini=1 と bini=1 が与えられたとする．f :n∏

j=1

[aj , bj ] → R を有界関数とする．このとき，f がほとんどいたるところ連続であるこ

とと f がリーマン積分可能であることは同値である．

13.2 累次積分

累次積分も 2, 3 次元のときと同じである．

定理 13.7 (累次積分，フビニの定理) j = 1, 2, · · · , n+m のとき，aj < bj となる

2 つの実数列 ain+mi=1 と bin+m

i=1 が与えられたとする．F :n+m∏j=1

[aj , bj ] → R を有界

関数とする．もし，F がリーマン積分可能で，すべての

(y1, y2, · · · , ym) ∈ [an+1, bn+1]× [an+2, bn+2]× · · · × [an+m, bn+m]

に関して ∫n∏

j=1[aj ,bj ]

F (x1, x2, · · · , xm, y1, y2, · · · , ym) dx

がリーマン積分可能であるならば，y 7→∫ b

a

F (x, y, z) dx は [c, d]× [e, f ] 上リーマン積

分可能で，∫n+m∏j=1

[aj ,bj ]

F (x1, x2, · · · , xm, y1, y2, · · · , ym) dx dy dz

=

∫n+m∏

j=n+1[aj ,bj ]

∫ n∏j=1

[aj ,bj ]

F (x1, x2, · · · , xm, y1, y2, · · · , ym) dx

dy

が成り立つ．

13.3 一般の座標変換の公式

2, 3 次元のときと同じ方法で以下のことが示せる．C1-級微分同相とは f, f−1 が C1-

級であることである．

定理 13.8 U, V ⊂ Rn を開集合で，f : U → V を C1-級微分同相とする．このとき，


366 目次

f に含まれる任意の閉長方形n∏

j=1

[aj , bj ] に対して，

∣∣∣∣∣f(

n∏j=1

[aj , bj ]

)∣∣∣∣∣ =∫

n∏j=1

[aj ,bj ]

| detDf(x1, x2, · · · , xn)| dx1 dx2 · · · dxn (13.2)

が成り立つ．また，g を

∣∣∣∣∣f(

n∏j=1

[aj , bj ]

)∣∣∣∣∣ 上の連続関数とするとき，∫f

(n∏

j=1[aj ,bj ]

) g(x1, x2, · · · , xn)| detDf(x1, x2, · · · , xn)| dx1 dx2 · · · dxn

=

∫n∏

j=1[aj ,bj ]

g f−1(x1, x2, · · · , xn) dx1 dx2 · · · dxn

が成り立つ．

例 13.9 n 次元球 x12 + x2

2 + · · ·+ xn2 ≤ 1 の（n 次元）体積 Vn を求めよう．対

称性を考慮して，

Vn = 2n∫x1≥0, x2≥0,··· ,xn≥0, x1

2+x22+···+xn

2≤1

dx1 dx2 · · · dxn (13.3)

と積分式で表そう．変数変換をして，

Vn =

∫x1≥0, x2≥0,··· ,xn≥0, x1+x2+···+xn≤1

n∏j=1

xj−1/2dx1 dx2 · · · dxn (13.4)

となる．したがって，ディリクレ積分の公式 (定理 11.6) を用いて，

Vn = Γ(1/2)nΓ(n/2)−1

∫ 1

0

tn/2−1 dt =2πn/2

nΓ(n/2)

となる．

13.4 多次元における面積分

f を x1, x2, · · · , xn の関数として，超曲面

S = (x1, x2, · · · , xn, f(x1, x2, · · · , xn)) : x1, x2, · · · , xn ∈ U

の曲面積 σ を

σ :=

∫U

√1 +

n∑j=1

∂f

∂xj(x1, x2, · · · , xn)2 dx1 dx2, · · · dxn


367

で定める．

例 13.10 n 次元球 x12 + x2

2 + · · · + xn2 = 1 の曲面積 ωn を求めよう．定義に

よって，

ωn = 2

∫x1

2+x22+···+xn−1

2≤1

√1

1− x12 − x22 − · · · − xn−12dx1 dx2, · · · dxn−1

である．これを x1, x2, · · · , xn−1 ≥ 0 の部分の積分に直して，

ωn = 2n∫

x1,x2,··· ,xn−1≥0

x12+x2

2+···+xn−12≤1

√1

1− x12 − x22 − · · · − xn−12dx1 dx2, · · · dxn−1

である．さらに変数変換して，

ωn = 2

∫x1,x2,··· ,xn−1≥0

x1+x2+···+xn−1≤1

n−1∏j=1

xj−1/2

√1

1− x1 − x2 − · · · − xn−1dx1 dx2, · · · dxn−1

となる．これはディリクレ積分の公式によって，

ωn = 2Γ(1/2)n−1

Γ((n− 1)/2)

∫ 1

0

tn/2−3/2(1− t)−1/2 dt = 2Γ(1/2)n

Γ(n/2)=

2πn/2

Γ(n/2)

となる．

13.5 多次元におけるグリーンの定理

3 次元の時と同じであるが，重要な結果なので，定理として述べておく．

定理 13.11 U を C1-級の境界を持つ有界な開集合で，u ∈ C1(U) とする．また，

n = (n1, n2, · · · , nn) を外向き法線ベクトルとする．このとき，∫U

uxi dx =

∫∂U

uni dσ

となる．

定理 13.11 は次のように変形される．

系 13.12 U を C1-級の境界を持つ開集合とする．

(1) u, v ∈ C1(U) とする．このとき，


368 目次 ∫U

uxiv dx =

∫∂U

uvni dσ −∫U

vxiu dx

が成り立つ．

(2) u, v ∈ C1(U) とする．このとき，∫U

(∆u)v − u(∆v) dx =

∫∂U

(v∂u

∂n− u

∂v

∂n

)dσ

が成り立つ．


369

索引

C∞-級関数, 222

(2 変数の)C1-級関数, 222

(2 変数の)CN -級関数, 222

長方形上での積分に対するダルブーの定理,

250

長方形上での積分に対するルベーグの定理,

254

直方体上での積分に対するダルブーの定理,

336, 364

直方体上での積分に対するルベーグの定理,

336, 364

Rn, 81

Rn の演算, 81

(R の) 非可算性, 58

ex, 139

ez , 145

一様収束, 103

一様連続, 114

一般の図形上での積分, 266

(数列の)ε-δ, 40

n 次行列式, 210

円円対応 (一次分数変換の), 8

円周率, 142

開核, 83

開集合, 88, 89

外積, 207

回転, 330

外点, 83

外部, 83

ガウスの発散定理, 351, 353

下界, 24

下極限, 27

各点収束, 103

下限, 24

(数列の) 下限, 27

下限和, 153

可算集合, 58

(三角関数の) 加法定理, 141

(指数関数の) 加法定理, 140

関数項級数, 169

関数の極限, 94

ガンマ関数の相反公式, 199

ガンマ関数の相補公式, 199

3 次元の基本ベクトル, 207

逆関数, 143

逆関数定理, 129

逆三角関数の微分公式, 9

逆像集合, 91

境界 (点), 83

狭義単調減少数列, 27

狭義単調増加数列, 27

狭義単調増大数列, 27

共通細分, 152

3 次行列式, 207

行列式, 206

極形式, 5

極限関数, 102

曲面積, 286

原始関数, 165


370 索引

広義一様収束, 109

広義積分, 183

広義積分のコーシー判定法, 186

高次導関数, 125

コーシー・シュワルツの不等式, 182

コーシーの平均値の定理, 127

コーシー判定法, 47

コーシー列の演算, 69

cosx, 139

cos z, 145

弧状連結集合, 118

固有ベクトル, 216

コンパクト, 111

細分, 151

sinx, 139

sin z, 145

サラス展開, 208

Ck-級, 127

C∞-級, 127

C1-級, 127

実数の完備性, 74

実数の完備性, 38

(実) 対称行列, 210

写像, 91

写像の極限 (1 点における), 96

収束域, 137

(2 重数列の) 収束, 53

複素級数の収束, 46

上界, 22

上極限, 27

上限, 23

(数列の) 上限, 27

上限和, 153

振動量, 170

数列, 27, 62

ストークスの定理, 303, 311, 356

o, 144

(長方形上の) 積分, 249

(直方体上の) 積分, 334, 362

積分の三角不等式, 166

積分の (第一) 平均値の定理, 166

積分の単調性, 166

0 集合, 174, 175

3 次元の 0 集合, 336

n 次元の 0 集合, 364

2 次元の 0 集合, 254

像集合, 91

相対開集合, 89

対数関数, 141

(1 次元の) ダルブーの定理, 156, 157

tanx, 142

tan z, 145

単調数列, 27

単調減少数列, 27

単調増大数列, 27

単連結領域, 307

中間値の定理, 122

超越数, 146

直交直和, 211

直交補空間, 211

テーラー展開の積分形, 163

テーラー展開の微分形, 132

転置行列, 210

凸領域, 308

ド・モアブルの定理, 6


371

内点, 83

長さ (連続曲線の), 201

2 重数列, 53

2 進区間, 175

1/2 公式, 199

極限値 (2 変数関数の), 98

倍数公式, 199

陪 2 進区間, 175

ハイネボレルの定理, 111, 112

複素級数の発散, 46

幅 (分割の), 150

非可算集合, 58

微積分学の基本定理, 162, 163

被覆, 110

(全) 微分可能, 224

微分可能, 123

(閉集合上での関数の) 微分可能性, 228

微分係数, 224

標本点, 153

不定積分, 165

部分族, 110

部分被覆, 110

不連結集合, 118

分割, 150

平均値の定理, 125

閉集合, 88, 89

閉包, 83

冪級数, 134

ヘルダーの不等式, 180

2 階までの偏導関数, 221

− 無限大, 22

マクローリン展開, 131

ミンコフスキーの不等式, 181

無限集合, 58

無限積, 45

無限大, 22

面積確定, 252

有界集合, 89

有界数列, 67

ユークリッド球, 81

有限集合, 58

有限被覆, 110

有理数のコーシー列, 62

有理数のコーシー列の相等, 66

有理数のコーシー列の大小関係, 70

有理数のコーシー列のなす列, 72

有理数のコーシー列のなす列の収束, 73

有理数の稠密性, 73

O, 144

(ライプニッツの) 交項級数, 48

リーマン下積分, 153

リーマン上積分, 153

リーマン和, 153

領域, 118

ルベーグ数, 116

ルベーグの定理, 176

レベル集合, 171

連結集合, 118

連鎖律, 224

連鎖率, 124

連続写像, 98


372 索引

連続性, 98

ロピタルの定理, 127, 128

ワイエルストラスの定理, 122

Documents

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