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ATTILIO SACRIPANTI

BIOMECCANICA SUPERIOREE

TECNOLOGIE AVANZATEPER GLI SPORT

2008 Università Degli Studi di Roma Tor Vergata

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INDICE

I BIOMECCANICA SUPERIORE

Frattali e teoria del Chaos

Teoria delle catastrofi

Teoria dei giochi

Logica Fuzzy

Teoria della complessità

Teoria del Chaos

Frattali

Il Moto Browniano

La fisica del moto browniano

Quale è stato il contributo di Einstein alla comprensione del moto browniano ?

La dinamica del moto browniano

Random Walk e polimeri

Effetto elastocalorico

Elasticità non lineare

Frattali e Moto Browniano frazionario

Il Modo Browniano dentro e fuori il corpo umano

II TECNOLOGIE AVANZATE APPLICATE

La match analysis

Fondamenti scientifici

Fondamenti metodologici

III BIOMECCANICA E TECNOLOGIA SPORTIVA

Miglioramenti biomeccanici su Strumenti, equipaggiamenti, attrezzi , tecnologie

e training

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IV BIOMECCANICA SUPERIORE

Frattali e teoria del Chaos

Teoria del Caos

Teoria delle catastrofi

Teoria dei giochi

Logica Fuzzy

Teoria della complessità

Frattali

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Teoria del Caos

Definizioni di Caos:

Comportamento casuale che si verifica in un sistema deterministico.

Sensibilità alle condizioni iniziali: grandi mutamenti non hanno necessariamente

grandi cause

Azione geometrica del caos: stirare e piegare

Esistenza di infiniti cicli repulsivi

Il caos riguarda i fenomeni, ritenuti prevedibili, che si evolvono in modi , in parte ,

imprevedibili ma classificabili e studiabili.

All'interno della teoria del caos anche le dinamiche più complesse rispondono ad

equazioni matematiche prestabilite i cui effetti sono immutabili e non adattabili.

Il caos non è casualità né disordine ma un ordine complesso.

Un sistema dinamico deterministico si dice caotico se la sua dinamica è governata da ,

un particolare ente matematico, detto attrattore strano. Una caratteristica peculiare di un

sistema caotico è l'apparente imprevedibilità delle traiettorie del sistema, dovuta alla

forte sensibilità rispetto alle condizioni iniziali: un piccolo errore nella conoscenza dello

stato del sistema in un certo istante, può provocare un errore anche grande nelle

previsioni a medio e lungo termine.

Il caos è più importante dell'ordine.

La Natura usa il caos come parte integrante del suo programma di evoluzione.

Per risolvere il problema di adattare le forme di vita per la sopravvivenza in un ambiente

in continua trasformazione, complesso e apparentemente caotico, ogni schema

deterministico sarebbe destinato al fallimento.

Perciò la Natura sceglie di combattere il caos con il caos, generando una

moltitudine di forme di vita attraverso mutazioni adattative. La teoria del caos

suggerisce che non si possono sempre prevedere gli effetti a lungo termine delle nostre

creazioni e che è quindi meglio essere aperti e flessibili. Così come la natura sopravvive

grazie alla biodiversità, è fondamentale avere una varietà di idee e di approcci.

Quando si chiude una via, la natura ha molte altre strade tra cui scegliere.

Ciò dovrebbe insegnare alle organizzazioni complesse che una eccessiva

specializzazione porta al decadimento e alla morte.

Lo strumento per il caos:

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La matematica è il metodo più efficace e attendibile che noi conosciamo per capire ciò

che ci circonda. Le leggi matematiche sul moto dei corpi di Newton si basano su

equazioni differenziali, cioè su equazioni che coinvolgono certe quantità e le velocità

con cui queste quantità variano (differenza fra i suoi valori in istanti di tempo vicini).

Proprietà dello strumento:

Esistenza e unicità della soluzione.

Paradigma del determinismo classico: se le equazioni prescrivono l’evoluzione di un

sistema in modo unico, senza alcun apporto esterno casuale, il comportamento del

sistema è specificato in modo unico per sempre.

…ma le cose non stanno proprio così…

5 Settembre 1977. Partono, a distanza di 16 giorni l’uno dall’altro due sonde gemelle (i

Voyager 1 e 2) per l’esplorazione del sistema solare.

Arrivata a Saturno, la prima individua un nuovo satellite, Iperione, dalla forma

irregolare a patata, che compie piroette irregolari intorno alla sua orbita. Se anche la

sonda avesse misurato con estrema precisione il suo moto, sarebbe stato impossibile

prevedere il punto esatto in cui la seconda sonda l’avrebbe incontrata 16 giorni più tardi.

La causa di questo fatto non era da ricercarsi nei disturbi casuali o nelle nubi di gas o

nei campi magnetici, ma in un carattere intrinseco delle equazioni matematiche della

dinamica.

Questo fenomeno è detto caos deterministico: un comportamento senza legge

governato per intero dalla legge.

Sostituzione nelle iterazioni:

Iterazione 1:2x

I risultati tendono a 0.

Iterazione 2: 12 x

Dopo poco i risultati variano tra –1 e 0.

Iterazione 3: 12 2 xI risultati sembrano casuali. Inoltre, se cominciamo da valori molto vicini (ad es. 0.54321

e 0.54322) dopo poco i valori sono completamente scorrelati tra loro.

Ordine e caos si intrecciano:

• “I sistemi non lineari semplici non possiedono necessariamente proprietà

dinamiche semplici” (May, 1976).

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• Ordine e caos appaiono come due manifestazioni distinte di un determinismo

sottostante.

• Armonia e dissonanza coesistono.

• La casualità non dipende da fattori esterni di disturbo ma è una proprietà

intrinseca dei sistemi.

Henri Poincaré (1854-1912):

E’ il fondatore della teoria qualitativa (o topologica) dei sistemi dinamici ovvero di un

modo di studiare le leggi del moto che rinuncia a ogni pretesa di conoscenza analitica o

numerica delle soluzioni e si basa su metodi di tipo geometrico - visivo.

Poincaré non si pone più il problema della forma della soluzione di un’equazione, ma

cerca di capire se questa soluzione è stabile o instabile.

Il sistema solare obbedisce alle leggi deterministiche della fisica e quindi il moto dei suoi

pianeti è unico, ma questo moto è stabile?

In effetti, la visione di Laplace che, conoscendo come variano tutti i parametri, possiamo

conoscere tutta l’evoluzione dell’universo, è corretta (oltre che nei sistemi lineari) anche

nei sistemi non lineari, purché lontani dai regimi di comportamento caotico. Ma in

modelli non lineari, anche semplici, le traiettorie possono risultare molto simili a

successioni di stati aleatori, cioè ottenuti con l'intervento di elementi casuali (come i

risultati nel lancio di un dado).

Altri contributi:

Importanti contributi alla teoria qualitativa dei sistemi dinamici, furono forniti dalla grande

scuola russa dagli anni '30, con Lyapunov, Kolmogorov, Andronov, Pontrjaguine e dagli

studi di Birkhoff negli Stati Uniti.

I fondatori ufficiali:

Due articoli diedero un decisivo contributo alla diffusione e alla crescente popolarità di

questo settore della Matematica: quello del 1963 del meteorologo americano Edward

Lorenz e quello del fisico inglese Robert May del 1976, dal titolo Semplici modelli

matematici con dinamiche molto complicate.

Un glossarietto caotico

Punti di equilibrio in 2 dimensioni

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Nodo(instabile)

Ciclo limite

Sella

Attrattori

• A lungo termine un sistema dinamico si stabilizza verso un attrattore.

Nel piano, le uniche possibilità sono:

• Punti singoli (stare immobili!)

• Cicli limite (oscillare!)

Dimensioni maggiori di 2

Sezione di Poincaré in dimensione 1.

In dimensione 2 una sezione di Poincaré può essere molto più

complicata.

Teoria delle catastrofi

La teoria delle catastrofi (R.Thom 1962) mostra come in sistemi dinamici matematici,

anche molto semplici, i cambiamenti osservati possono essere deformazioni continue e

graduali dello stato precedente ma, in un momento critico, l’intera forma del sistema

subisce un cambiamento “catastrofico” e prosegue il proprio sviluppo in una nuova

forma.

Il caos e le catastrofi sono intimamente collegate.

Le catastrofi (e anche il caos) descrivono cambiamenti e passaggi di stato repentini tra

situazioni qualitativamente diverse di stabilità strutturale.

Occorre individuare in quali condizioni il sistema si comporterà in un modo caotico o

catastrofico.

Queste informazioni sono più importanti che non la conoscenza esatta della evoluzione

futura del sistema. Infatti è sui parametri esterni di un sistema che eventualmente noi

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possiamo agire, come dobbiamo regolare questi parametri per evitare l'insorgere del

caos o il manifestarsi di una catastrofe.

Il modello delle catastrofi è stato utilizzato anche per illustrare i disturbi alimentari, come

ad esempio l'anoressia. La "catastrofe” dipende da più fattori di controllo che

determinano e guidano passaggi regolari o repentini fra gli stati.

Nel ciclo dell'anoressia, al digiunare e al purgarsi segue la "catastrofe del lasciarsi

andare" la cui conseguenza è una condotta di ingordigia ed il riproporsi del ciclo:

"digiuno - catastrofe - ingordigia" seguita da altra catastrofe "assunzione di purganti -

ingordigia" …

Teoria dei giochi

“La vita è un gioco la cui prima regola è: essa non è un gioco”.

Alan Watts

La teoria dei giochi studia i meccanismi della scelta razionale in situazioni caratterizzate

da interdipendenza, vale a dire in quelle circostanze in cui il risultato - ottenuto da un

soggetto - dipende dalle scelte degli altri soggetti che interagiscono con lui, e viceversa.

Ne segue che il soggetto, se è razionale, tiene conto di questo stato di cose nel decidere

le proprie azioni: vale a dire si comporta in modo strategico.

• I giochi a somma zero: la perdita di un giocatore significa la vincita dell’altro.

• I giochi a somma diversa da zero: vincita e perdita non si pareggiano.

I rapporti umani sono: giochi a somma 0 o diversa da 0?

Il dilemma del prigioniero:

Due persone sono accusate di aver commesso un grave delitto. Il giudice è certo della loro

colpevolezza ma non dispone di prove sufficienti per incriminarle.

Il giudice le incontra separatamente e fa loro questa proposta:

Se tu confessi e il tuo compare non confessa a lui 20 anni a te la libertà.

Se entrambi confessate a tutti e due 8 anni.

Se nessuno confessa con le prove che ho, opto per un reato minore e vi condanno a 2

anni.

La sintesi:

Le alternative descritte possono essere raccolte in una “bimatrice”

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A B Non confessa Confessa

Non confessa (2,2) (20,0)

Confessa (0,20) (8,8)

Conclusioni:

Confessare è la scelta ottimale per gli individui in quanto singoli.

Non confessare è la scelta ottimale per gli individui in quanto gruppo.

Quindi: ciò che è meglio per l’individuo non è sempre meglio per tutti gli individui come

entità collettiva. Talvolta il perseguimento del risultato individuale conduce ad un risultato

meno favorevole sul piano collettivo.

Logica Fuzzy

La Logica fuzzy (dall’inglese “sfumato”, “sfuocato”) è stata introdotta per formalizzare

concetti del linguaggio naturale che non possono essere categoricamente riconosciuti

come veri o falsi, ma che possono avere un certo grado di verità.

La Logica Fuzzy è estremamente efficace per superare le difficoltà che nascono dalla

presenza di soglie decisionali che generano la necessità di usare valori “secchi” (crisp).

Essa ha la possibilità di stabilire un’algebra del linguaggio e sacrifica la precisione a favore

del significato.

Anche se concetti simili compaiono nelle opere di Cartesio, Russell, Einstein e Heisenberg

la sistematizzazione della Logica Fuzzy è dovuta a Lotfi Zadeh (1965).

Teoria della complessità

I sistemi complessi sono formati da agenti indipendenti che interagiscono, adattandosi ed

evolvendo. Essi sviluppano una forma di autorganizzazione che consente al sistema di

acquisire proprietà collettive che non sono proprie dei singoli agenti. Gli stessi sistemi

sono adattativi rispetto alla realtà esterna e si pongono nella regione conosciuta come

margine del caos.

I sistemi complessi adattativi sono formati da agenti che operano in parallelo sulla base di

strategie di cooperazione e/o di competizione.

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Dispongono di diversi livelli di organizzazione che vengono costantemente ridefiniti sulla

base dell'esperienza (apprendimento) la quale da luogo all'adattamento e quindi

all'evoluzione.

Hanno capacità di previsione basata su propri modelli interni della realtà (coscienti o

impliciti), modelli che ne guidano i comportamenti e che si adattano con l'esperienza.

La complessità (caos deterministico, termodinamica delle strutture dissipative, frattali,ecc.)

può essere considerato uno strumento universale che fornisce risposte agli scienziati sui

fenomeni naturali? Si pur considerando:

• Complessità peculiare

• Interdisciplinarietà

• Limiti di applicabilità

Cosa sono i Sistemi Dinamici?

I sistemi dinamici specificatamente sono i sistemi che cambiano nel tempo. Ciò è utile

perchè …

– Quasi tutto nel mondo cambia nel tempo persino noi stessi.

Bisogna fare una distinzione importante fra:

– Processi deterministici e non.

Caratterizzando la variazione nel tempo:

Quattro idee sono state utilizzate per caratterizzare la variazione nel tempo dei sistemi:

1. Steady States (punti fissi)

2. Oscillazioni (cicli limite) Deterministici

3. Chaos

4. Rumore Non - Deterministici

Classi di sistemi dinamici:

Discreti vs. Continui

Lineari vs. Non - lineari

Sistemi Discreti:

Tipicamente si esprimono mediante equazioni alle differenze.

nn XfX 1

La variabile di stato, X, varia in modo discreto: n = 0, 1, 2, 3, ….

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X0 è lo stato iniziale (condizione).

Iterazione è l’enumerazione di stati successivi partendo dalle condizioni iniziali.

X0, X1, X2, … Xn

Punti fissi : Xn+1 = Xn oppure (Xn+1 – Xn = 0)

Vengono investigati con due metodi:

Numerici

Grafici

Metodi Numerici:

Supponiamo che nn XX 21

0

003

12

23

002

12

01

2

...

8222

422

2

XX

XXXXX

XXXX

XX

nn

Metodi Grafici:

1nX

0X2X 1X3X

nn XX 5.01

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Sistemi Continui:

Tipicamente espressi da equazioni differenziali.

)(xfdt

dx

La variabile di stato x, è continua nel tempo.

dx/dt descrive la variazione istantanea nel tempo.

I punti fissi avvengono per dx/dt = 0!

È interessante conoscere come la variabile di stato x, varia in funzione del tempo, t.

Tuttavia, qui vi è un problema.

???)()( txxfdt

dx

Non è chiaro come si possa determinare x(t).

Due metodi di investigazione:

1. Numerica:

Integrazione

Approssimazione discreta

2. Grafica (Analisi Geometrica)

Metodi Numerici: Integrazione:

1nX

0X

2X

1X

3X

nn XX 21

1X 2X

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at

tt

extxatxtx

dtax

dx

axdt

dx

)0()()0(ln)(ln

00

Ma, come vedremo, questo metodo è utile solo per sistemi lineari.

Qual’è il significato della derivata?

!cambianon x 0dt

dx

tempo.neldecrescex 0dt

dx

tempo.nelcrescex 0

dt

dx

Metodi Grafici:

Stabilità:

Sistemi Discreti

Punti fissi: detto, X*, dove Xn+1 = Xn.

Cosa succede per valori di X diversi da X*?

Sistemi Continui

Punti fissi: detto, x*, dove dx/dt = 0.

dt

dx

0x

dt

dx

0x

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Cosa succede per valori di x diversi da x*?

Ambedue le questioni riguardano la stabilità.

Il punto fisso può essere stabile (un “attrattore”) o instabile (un “repulsore”).

I punti fissi sono considerati stabili o instabili in funzione di ciò che accade nella regione di

spazio che li circonda.

La questione fondamentale è dove la posizione presso il punto fisso è attratta o respinta ?

Consideriamo un sistema continuo con un punto fisso, x*:

Se un valore x0 vicino ad x*, tende ad x*, allora il punto fisso è localmente stabile.

Se tutti i valori di x0 tendono ad x*, allora il punto fisso è globalmente stabile.

Lo stesso vale per i sistemi discreti & X*.

Bacino di Attrazione:

Ora distingueremo fra sistemi lineari e sistemi non-lineari

Sistemi Lineari:

In un sistema dinamico lineare, l’evoluzione della variabile di stato nel tempo è descritta da

una linea retta.

Può essere discreta: baXX nn 1

O continua: baxdt

dx

Sistemi Non-lineari:

In un sistema dinamico non-lineare, l’evoluzione della variabile di stato di un sistema non è

descritta da una linea retta.

Può essere discreta:

)1(1 nnn XaXX

O continua:

x*

x0

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)1( xaxdt

dx

I sistemi biologici sono descritti in genere da equazioni differenziali non lineari.

In oltre, un equazione differenziale non lineare può essere difficile (o impossibile) da

integrare!

Come si procede?

Si usano metodi numerici per approssimazioni discrete o metodi grafici (analisi

geometriche).

Vediamo due esempi:

1. Un sistema discreto lineare

2. Un sistema continuo non lineare

Un’ equazione è lineare se la combinazione lineare di due sue soluzioni è una soluzione.

Le equazioni lineari sono facili da risolvere.

Le equazioni non lineari sono spesso difficili da risolvere, o meglio spesso non possiamo

esprimere la sua soluzione con una formula.

La scienza di oggi mostra che la natura è inesorabilmente non lineare! Il moto dei pianeti,

le oscillazioni di un pendolo, il flusso delle correnti atmosferiche, lo scorrere più o meno

regolare dell'acqua in un fiume, il numero di insetti che anno dopo anno popolano una

certa regione, l'andamento giornaliero dei prezzi delle azioni nei mercati finanziari e così

via.

1: Crescita e Decadenza:

Rivisitiamo l’equazione differenziale lineare,

nn aXX 1

e studiamone la dinamica per diversi valori del parametro, a.

a > 1

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a = 1

0 < a < 1

6 possibili comportamenti:

1. Decremento 0 < a < 1

2. Crescita a > 1

3. Steady-state a = 1

4. Crescita alternata a < -1

1nX

0X 2X1X 3X

nn aXX 1

1nX

nX

nn aXX 1

1nX

0X2X 1X3X

nn aXX 1

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5. Decrescita alternata -1 < a < 0

6. Ciclo periodico a = -1

Domanda! Quali di questi sono stabili ?

1. Decremento 0 < a < 1

2. Crescita a > 1

3. Steady-state a = 1

4. Crescita alternata a < -1

5. Decrescita alternata -1 < a < 0

6. Ciclo periodico a = -1

Stabilità allargata:

Prima è stata definita la stabilità solo rispetto ai punti fissi (steady state). Tuttavia il

concetto di stabilità si può applicare anche a comportamenti periodici. Un comportamento

periodico stabile, è detto comportamento da ciclo limite.

2: Comportamento periodico.

Un semplice modo per descrivere un comportamento periodico è quello del moto uniforme

lungo una circonferenza.

Il cerchio richiede due dimensioni.

Coordinate polari e cartesiane:

La posizione su di un cerchio può ovviamente essere descritta sia da coordinate

cartesiane (x,y) che polari (, r).

Le coordinate polari sono più convenienti per descrivere I comportamenti oscillatori.

Un modello semplice:

Consideriamo le seguenti equazioni differenziali non lineari in 2D :

r

(x, y)

180 0, 360

270

90

18

2

)1(

dt

d

rardt

dr

Guardiamo le due equazioni separatamente

Ciclo limite traiettoria per dr/dt = 0:

r = 1

180 0, 360

270

90

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Cosa accade se r > 1?

Illustrazione di r0 > 1

Cosa accade se 0 < r < 1?

Illustrazione di 0 < r0 < 1

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Domanda! Cosa accade se r0 = 0?

Il punto fisso in r0 = 0 è stabile?

Una variazione in r interessa ?

Altre idee importanti …

Sensibilità alle condizioni iniziali (valore di x0)

Biforcazioni e periodo di raddoppio

Chaos verso quasi periodicità

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Un buon esempio di modello che dimostra questi concetti è la mappa logistica :

)1(1 nnn XaXX

Chaos e Random

Non bisogna confondere il comportamento chaotico con quello randomico:

Randomico:

Irriproducibile e non prevedibile.

Chaotico:

deterministico - medesime condizioni iniziali danno gli stessi stati finali … ma

lo stato finale è molto diverso per piccole variazioni delle condizioni iniziali.

Impossibile o difficilissimo fare predizioni a lungo termine.

Questi due insiemi hanno medesimi:

• media

• varianza

• Spettro di potenza

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Dati 1 RANDOM random x(n) = RND

Dati 2 CHAOS Deterministico x(n+1) = 3.95 x(n) [1-x(n)]

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Dati 1 RANDOM random x(n) = RND

Dati 2 CHAOS deterministico x(n+1) = 3.95 x(n) [1-x(n)]

x(n+1)

x(n)

CHAOS

Definizione

Basso numero di variabili

x(n+1) = f(x(n), x(n-1), x(n-2))

Output Complesso

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Proprietà:

1. Lo spazio delle fasi è di bassa dimensione

d , random d = 1, chaos

Spazio delle fasi2. Sensibile alle condizioni iniziali

3. Biforcazioni

un pattern Un altro pattern

Piccola variazioneNei parametri

Serie temporali:

X(t)

Y(t)

Z(t)

inglobamento

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Spazio delle Fasi:

Attrattori nello Spazio delle Fasi:

Equazione Logistica

X(n+1) = 3.95 X(n) [1-X(n)]

Il modello di Lorenz:

Edward Lorenz (1963) era un meteorologo che cercò di descrivere la dinamica di un flusso

idrodinamico con equazioni non lineari (differenziali ordinarie) e si pose la questione se

fosse possibile una previsione meteorologica a lungo termine.

Lorenz calcolò numericamente una soluzione e, poiché voleva studiare come si

comportava in un periodo di tempo maggiore, utilizzò i risultati ottenuti a metà della prima

simulazione come punti iniziali della simulazione successiva. Si accorse così che la

seconda soluzione era totalmente diversa dalla seconda metà della soluzione iniziale,

cosa che non si sarebbe mai aspettato!

Scoprì così l’effetto farfalla.

L’effetto farfalla:

Il battito delle ali di una farfalla produce un minuscolo mutamento nello stato

dell’atmosfera. In un certo periodo di tempo il comportamento dell’atmosfera diverge da

quello che sarebbe stato senza quel battito d’ali. Ne consegue che, a un mese di distanza,

si potrebbe verificare un tornado nelle coste dell’Indonesia!

Cos'è quindi il caos deterministico? In realtà, una sua definizione generale, applicabile a

tutti i casi in cui tale fenomeno si manifesta, non esiste ancora.

Si riconosce la presenza del caos in tutti i casi in cui si ottengono traiettorie limitate che

soddisfano le seguenti tre condizioni:

(1) Sensitività rispetto alle condizioni iniziali: partendo da due diverse condizioni iniziali,

arbitrariamente vicine fra loro, la distanza fra le rispettive traiettorie cresce

esponenzialmente e, dopo un numero finito di iterazioni, diventa dello stesso ordine di

grandezza della variabile di stato.

X(n+1)

X(n)

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(2) Transitività (o mixing): i punti della traiettoria generata, partendo da una generica

condizione iniziale, ricoprono densamente una zona dello spazio delle fasi.

(3) Esistenza di infiniti cicli repulsivi, con i punti periodici densi nella regione ricoperta

dalle traiettorie caotiche.

Per capire le caratteristiche geometriche, o topologiche, del caos deterministico, si deve

tenere presente che la mappa considerata (la parabola) agisce su un segmento

allungandolo in certe zone e comprimendolo in altre. Se il segmento include il punto critico

x=1/2, lo ripiega anche (si veda Fig.8 seguente A). Alla seconda applicazione della f, tali

azioni si ripetono (si veda Fig.8 seguente B) e così via. L'iterazione della funzione equivale

quindi all'applicazione di ripetute azioni di stiramento, piegamento, compressione.

L'azione combinata di queste azioni è possibile solo con mappe non lineari, in quanto una

mappa lineare o dilata o contrae (ma non entrambe le cose contemporaneamente) e non

può certo causare piegamenti.

Il significato geometrico delle proprietà (1) e (2) risulta meglio comprensibile proprio

attraverso la metafora della sfoglia. Iterando tante volte il processo di allungamento

(stretching) e ripiegamento (folding), due particelle di impasto, che si trovano vicine ad un

certo istante, verranno a trovarsi lontane dopo un numero finito di iterazioni (proprietà 1);

un pizzico di farina inizialmente concentrato in un punto finirà con il trovarsi uniformemente

distribuito su tutto l'impasto (proprietà 2).

Anche per la proprietà (3) possiamo fornire una semplice giustificazione intuitiva. Se le

traiettorie di un sistema dinamico sono limitate, ovvero sono costrette a rimanere

intrappolate in una regione compatta dello spazio delle fasi e tale regione è densamente

ricoperta di punti periodici repulsivi, allora le traiettorie non possono che essere

Figura 8

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estremamente irregolari, come il moto di una particella che si muove in uno spazio

densamente riempito di altre particelle che la respingono.

L'insorgere del caos deterministico è legato alle trasformazioni che provocano stiramenti e

ripiegamenti. Spesso viene usata la metafora dell'azione geometrica che si esercita

sull'impasto di farina e acqua quando, con il noto procedimento casalingo, si prepara la

sfoglia. La principale caratteristica geometrica delle trasformazioni che generano

successioni caotiche consiste in azioni combinate (e ripetute durante l'iterazione) di

stiramento e ripiegamento (stretching & folding).

L’attrattore di Lorenz:

Ricetta per il caos: stirare e ripiegare!

• Lo stiramento fa crescere gli errori a dismisura.

• Il ripiegamento, invece, impedisce al sistema di divergere.

Equazioni di Lorentz:

ZXYdt

dZ

YXXZdt

dY

XYdt

dX

3/8

28

10

Il numero di variabili indipendenti = all’intero più piccolo > della dimensione frattale

dell’attrattore

Equazione Logistica:

Serie temporale Spazio delle fasi

X(n+1)

X(n)

d < 1, quindi l’equazione della serie temporale che produce questo attrattore dipende da,1

variabile indipendente.

Il numero di variabili indipendenti = all’intero più piccolo > della dimensione frattale

dell’attrattore

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Equazioni di Lorentz:

Serie temporale

X(n+1)

n X(t)

Z(t)

Y(t)

d =2.03Spazio delle fasi

d = 2.03, quindi, l’equazione della serie temporale che produce questo attrattore dipende

da 3 variabili indipendenti.

Dati 1 Serie temporaleSpazio delle fasi

d

Poiché , d→∞

La serie temporale è prodotta da un meccanismo randomico.

Dati 2 Serie temporale Spazio delle fasi d = 1 Poiché d = 1, la serie temporale è prodotta da un meccanismo deterministico .

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Spazio delle Fasi

1. Costruito da misure dirette: Misure X(t), Y(t), Z(t)

Ogni punto nell’insieme dello spazio delle fasi ha coordinate X(t), Y(t), Z(t)

2. Costruito da una variabile:

Teorema di Taken: Takens 1981 In Dynamical Systems and Turbulence Ed. Rand

&Young, Springer-Verlag, pp. 366 - 381

Ogni punto nello spazio delle fasi ha coordinate X(t), X(t + Δ t), X(t+2 Δ t)

Posizione e Velocità del rivestimento superficiale ciliato dell’orecchio interno:

Teich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ;265 - 279

10-1

velo

cità

(cm

/sec

)

-10-4-10-1

spostamento (cm) 3 x 10-5

stimolo = 171 Hz

Data 1 RANDOM x(n) = RND

Data 2CHAOS

3 x 10-2

-3 x 10-2

velo

cità

(cm

/se

c)

-2 x 10-5 spostamento (cm) 5 x 10-6

stimolo = 610 Hz

Dim

ensi

on

efr

atta

leD

ello

Sp

azio

del

lefa

si Dimensione frattaledello spaziodelle fasi

Dimensione d’inglobamento = numero dei valori dei dati preso neltempo per produrre lo spazio delle

fasi

30

deterministico x(n+1) = 3.95 x(n) [1 - x(n)]

Cellule di cuore di pulcino

microelettrodo

Glass, Guevara, Bélair & Shrier. 1984 Phys. Rev. A29:1348 – 1357

Battito spontaneo senza stimolazione esterna:

Stimolato periodicamente 2 stimolazioni - 1 battito:

2:1

Stimolato periodicamente 1 stimolazione - 1 battito:

Stimolato periodicamente 2 stimolazioni - 3 battiti:

2:3

Tensione

Cellule di cuore di pulcino

voltmetrov

Dim

en

sio

ne

frat

tale

de

llos

pa

zio

de

llefa

si

Dimensione frattaledello spazio dellefasi = 1

Dimensione d’inglobamento = numerodei valori dei dati preso nel tempo per

produrre lo spazio delle fasi

voltage

time

1:1

31

Il Pattern del battito di cellule di cuore di pulcino

Glass, Guevara, Bélair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 – 1357

Stimolazione periodica – risposta caotica:

φ = fase del battito rispetto allo stimolo

fase vs. fase precedente:

Glass, Guevara, Belair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357

Poiché lo spazio delle fasi è monodimensionale, il tempo fra i battiti di queste cellule può

essere descritto da una relazione deterministica.

Metodologia:

Serie temporali e.g. voltaggio in funzione del tempo

Si mutano le serie temporali in Oggetti Geometrici. Questo è detto inglobamento.

Determinare le proprietà topologiche di tali oggetti. Specialmente, la loro dimensione

frattale.

Alta Dimensione Frattale = Random = caso.

Bassa Dimensione Frattale = Chaos = deterministico.

La Dimensione Frattale NON è uguale alla Dimensione Frattale

Dimensione Frattale: quanti nuovi pezzi di serie temporali sono individuati magnificando la

risoluzione temporale.

esperimento teoria (mappa del cerchio)1.0

0.5

0

i + 1

0.5

i

01.0 0.5 1.0

32

X

time

d

Dimensione frattale: la Dimensione dell’Attrattore nello spazio delle fasi è legato al numero

di variabili indipendenti.

Meccanismo che genera i dati:

Dati

x(t)

t

Determinismo(spazio delle fasi)d = basso

Caso(spazio delle fasi) d

Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20:13-141 (Rayleigh, Saltzman)

Modellofreddo

caldo

Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20:13-141

X

time

d

x(t) x(t+ t)

x(t+2 t)

d

x(t) x(t+ t)

x(t+2 t)

33

Equazioni

Equazioni:

X = velocità della circolazione convettiva X > 0 oraria, X < 0 antioraria.

Y = differenza di temperatura fra fluido che sale e scende.

Z = temperatura dal suolo al cielo sottratto il gradiente lineare.

Attrattore di Lorenz:

Sensibilità alle condizioni iniziali

Equazioni di Lorenz:

X= 1.Condizioni iniziali:

X(t) 0

stesso differenteX= 1.00001

X(t) 0

IXtop(t) - Xbottom(t)I e t

= Esponente di Liapunov

Deterministico, Non-Chaotico

X(n+1) = f {X(n)}

Accuratezza dei valori

X > 0X < 0

Cilindri di aria ruotanti in

senso orario

Cilindri di aria ruotanti in

sensoantiorario

34

Calcolati per X(n):

1.736 2.345 3.2545.455 4.876 4.2343.212

Deterministico, Chaotico

X(n+1) = f {X(n)}

Accuratezza dei valori

Calcolati per X(n):

3.455 3.45? 3.4??3.??? ? ? ?

Universo Meccanicistico

determimistico non-chaotico

Equazioni

Può calcolareTutto il futuroX(t), Y(t), Z(t)...

Condizioni InizialiX(t0), Y(t0), Z(t0)...

Universo Chaotico

determimistico chaotico

Condizioni InizialiX(t0), Y(t0), Z(t0)...

Sensibilealle condizioni

iniziali

Equazioni

Non èpossibilecalcolare

tutto il futuroX(t), Y(t), Z(t)...

Attrattore Strano di Lorenz:Partendo da lontano:

35

Le traiettorie esterne: Sono spinte verso di lui. Ecco perchè è chiamato attrattore.

Partendo dall’attrattore:

Le traiettorie sull’attrattore: sono spinte via separate le une dalle altre. Sensibilità alle

condizioni iniziali.

“Strano” l’attrattore è un frattale.

Spazio delle Fasi

Non strano Strano

“Chaotico” sensibile alle condizioni iniziali

Serie temporale

X(t)

t

X(t)

t

chaoticanon chaotica

Teorema Ombra:

Se gli errori di ogni step d’integrazione sono piccoli, allora vi è una traiettoria ESATTA che

giace ad un piccola distanza della traiettoria errata che abbiamo calcolato.

Sull’attrattore vi è un INFINITO numero di traiettorie. Quando si va fuori dall’attrattore si è

attratti giù in modo esponenzialmente veloce. Si è su di una traiettoria “reale” ma non

esatta, non quella su cui noi pensiamo essere.

4. Si è su di unatraiettoria“reale”.

3. Si è riattrattidall’attrattore.

2. l’errore cispinge fuori

dall’attrattore.

1. Si parte da qui.

Traiettoriache si

tenta dicalcolare.

Traiettoria che sicalcola davvero.

36

Sensibilità alle condizioni iniziali significa che le condizioni di un esperimento possono

esser quasi simili, ma I risultati possono essere piuttosto differenti.

martedì

+

10 µlArT

mercoledì

10 µlArT

+

X(n + 1) = A X(n) [1 -X (n)]

A = 3.22

X(n)

n

X(n + 1) = A X(n) [1 -X (n)]

A = 3.42

X(n)

n

Biforcazione

A = 3.62

X(n)

n

x(n + 1) = A x(n) [1 -x(n)]

Si parte da un valore di A. es. con x(1) = 0.5.

Si usa l’equazione per calcolare x(2) da x(1).

Si usa l’equazione per calcolare x(3) da x(2) e così via... fino a x(300).

37

Ignorare i valori da x(1) a x(50), questi sono i valori transitori fuori dall’attrattore.

Plottare da x(51) a x(300) sull’asse Y rispetto al valore di A sull’asse X.

Cambiare il valore di A e ripetere il procedimento.

Le variazioni improvvise di pattern indicano le biforcazioni ( ↑ )

x(n) x(n)

Glicolisi:

L’energia del glucosio è trasferita all’ ATP. ATP si usa come sorgente chimica per guidare

reazioni biochimiche.

Teoria:

Markus and Hess 1985 Arch. Biol. Med. Exp. 18:261-271

Input di zucchero Output di ATP

t t

periodico

chaotico

tt

Esperimenti:

Hess and Markus 1987 Trends. Biomed. Sci. 12:45-48

38

cellule-libere estratte dal lievito per pane

ATP misurato per fluorescenzainput di glucosio tempo

Esperimenti:

Hess and Markus 1987 Trends. Biomed. Sci. 12:45-48

flu

ore

scen

za

Vin

Periodica

Chaotico

20 min

Markus et al. 1985. Biophys. Chem 22:95-105

Diagramma di Biforcazione

teoria

chaos

esperimenti

ADP misurato nella medesima fase ad ogni input di ciclo di zucchero (ATP è legato all’

ADP)

# =Periodo dell’input diciclo di zucchero

Periodo dellaconcentrazione di ATP

Frequenza dell’inputdel ciclo di zucchero

39

Piccole variazioni nei parametri possono produrre grandi variazione nei risultati.

9cc ArT

10cc ArT

Le biforcazioni possono essere usate come test se un sistema è deterministico.

EsperimentoModello Matematico

Deterministico

Biforcazioni predette Biforcazioni osservateConcordano ?

La dimensione frattale dello spazio delle fasi ci dice se i dati sono generati da un

meccanismo random o deterministico.

Dati sperimentali

La dimensione frattale dello spazio delle fasi ci dice se i dati sono generati da un meccanismo random o deterministico.

Spazio delle fasi

Meccanismo che ha generato I dati sperimentali

x(t)

t

X(t+ t)X(t+ t)

X(t)

d = piccolo d

Deterministico Random

40

Epidemiologia

Schaffer and Kot 1986 Chaos ed. Holden, Princeton Univ. Press. New York

Serie temporali:

Spazio delle fasi:

Olsen and Schaffer 1990 Science 249:499-504

Dimensioni dell’attrattore nello spazio delle fasi

Kobenhavn 3.1 3.4 Milwaukee 2.6 3.2St. Louis 2.2 2.7New York 2.7 3.3

varricellamorbillo

Modello SEIR - 4 variabili indipendentiS suscettibiliE esposti ,ma non infettiI infettiR ricoverati

Conclusioni:

morbillo: chaotico

varricella: ciclico con rumore

Elettrocardiogramma

ECG:record dell’attività muscolare elettrica del cuore.

Serie temporali: voltaggio Kaplan and Cohen 1990 Circ. Res. 67:886-892

400015000morbillo

0 0

varricella

41

Spazio delle fasiV(t), V(t+ t)

normale fibrillazionemorte

D = 1chaos

D = random

8

Serie temporali: voltaggio Babloyantz and Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58:203-211

normale

D = 6

chaos

Serie temporali: tempo fra i battiti:

Babloyantz and Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58:203-211

normale

D = 6

chaos

Evans, Khan, Garfinkel, Kass, Albano, and Diamond 1989 Circ. Suppl. 80:II-134

fibrillazione → morte

D = 4

chaos

Zbilut, Mayer-Kress, Sobotka, O’Toole and Thomas 1989 Biol. Cybern, 61:371-381

Aritmia indotta

D =3

chaos

Elettroencefalogramma. EEG: record dell’attività elettrica dei nervi cerebrali.

Mayer-Kress and Layne 1987 Ann. N.Y. Acad. Sci. 504:62-78

Serie temporale: V(t) Spazio delle fasi:

V(t)

V(t+ t)D=8 chaos

42

Rapp, Bashore, Martinerie, Albano, Zimmerman, and Mees 1989 Brain Topography

2:99-118.

Babloyantz and Destexhe 1988 In: From Chemical to Biological Organization ed.

Markus, Muller, and Nicolis, Springer-Verlag.

Xu and Xu 1988 Bull. Math. Biol. 5:559-565.

Gruppi diversi hanno calcolato dimensioni differenti nelle stesse condizioni sperimentali.

forse:Dimesionealta

Dimensionebassa

Compiti mentali

Attesa quieta ,occhi chiusi

Sonno

virus: Creutzfeld- Jakob

Epilessia: petit mal

meditazione: Qi-kong

Random Markoviano:

Come calcolare il prossimo x(n): Ogni Δt individua un numero random 0 < R < 1 se aperto,

e R < pc, allora chiude. Se chiuso, e R < po, allora apre.

Se aperto: La probabilità di chiudere nel Δt successivo = pc

Se chiuso: La probabilità di aprire nel successivo t=po

Mappa deterministica iterata:

Liebovitch & Tóth 1991 J. Theor. Biol. 148:243-267

x(n+1)

aperto

chiusox(n)

x(n) = la corrente al tempo n

x(n+1) = f (x(n))

Come calcolare il successivo x(n):

x(2)

x(3)

0x(2)0

0x(1)0

43

Incidente al ponte di Tacoma:

Martedì 7 Novembre, 1940

Una review moderna (che illustra perchè le spiegazioni date nei libri di fisica sono errate in

physics ): Billah and Scanlan 1991 Am. J. Phys. 59:118-124.

Ponte di Tacoma

Equazione della risonanza forzata semplice:

)(tfBxxAx

Equazione del battimento che distrusse il ponte di Tacoma:

),( xxfBxxAx

Test nel tunnel del vento

Scanlan and Vellozzi 1980 in Long Span Bridges ed. Cohen and Birdsall pp. 247-263

NYAS

Ala Ponte di Tacoma

Il drag su di un ala di aereo (A) aumenta con la velocità del vento.

Il drag sul Ponte di Tacoma cambia segno quando la velocità del vento aumenta, e si

entra in un feedback positivo

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

U NB

A

PTA2*

Analizzando i dati sperimentali:

La buona notizia: In linea di principio, si può affermare se i dati sono generati da un

meccanismo random o deterministico.

La cattiva notizia: In pratica, non è facile.

Perchè è complesso dirimere un meccanismo random da uno deterministico:

1. Sono necessari moltissimi dati:

• insiemi grandissimi di dati: 10d?

44

• il rateo di campionamento deve eventualmente comprendere l’attrattore.

campionare troppo spesso: vede solo 1-d traiettorie.

campionare raramente; non vede per nulla l’attrattore.

2. L’analisi dei dati è delicate:

la scelta del Δt per l’inglobamento .

– troppo piccolo: la variabile non cambia sufficientemente, per conseguenza le

derivate non sono accurate.

– troppo grande: la variabile varia troppo, per conseguenza le derivate non

sono accurate.

metodo per valutare la dimensione.

3. La matematica è sconosciuta.

I teoremi d’inglobamento sono stati provati solo per serie temporali omogenee.

Quanti valori della serie temporale?

N = Numero di valori della serie

temporale necessari per una corretta valutazionedella dimensione di un

attrattore di dimensioneD

Nquando

D = 6

Smith 1988Phys. Lett. A133:283 42D 5,000,000,000

700,000,000

1,000,000Wolf et al. 1985Physica D16:285 10D

Wolff et al. 1985Physica D16:285 30D

Nerenberg & Essex 1990Phys. Rev. A42:7065

_______1________ kd

1/2[A In (k)](D+2)/2

D+22

2(k-1) ((D+4)/2)(1/2) ((D+3)/2)

]D/2

200,000

45

Lorenz

X(t+ t)X(t+ t) t 0t 0

X(t)

X(t+ t)X(t+ t)

X(t)

t T.correttot T.correttot tempo correlato

X(t+ t)X(t+ t)

X(t)

8t 8t

Takens’ Theorem:

Se la serie temporale x(t) è omogenea esistono :

Sia dx(t)/dt

sia d²x(t) /dt²

Ding et al. 1993Phys. Rev. Lett. 70:3872

Gershenfeld1990 preprint

(D/2)!D/2

10D/2 1,000

10

46

Sia altre derivate superiori

↓Allora, il plot dei ritardi costruito con i dati

X(t+ t)

X(t)

È una trasformazione lineare dello spazio delle fasi reale.

dX(t)dt

X(t)Poiché

dX(t)dt

X(t+ t) - X(t)t

Poichè la dimensione frattale è invariante per trasformazioni lineari, la dimensione frattale

del plot dei ritardi è uguale alla dimesione frattale dello spazio delle fasi reale.

Se i dati non soddisfano questa assunzione allora non siamo garantiti che la dimensione

frattale del plot dei ritardi sia uguale alla dimensione frattale dello spazio delle fasi reale.

Esempio in cui un processo random di dimensione infinita ha una BASSA dimensione

dell’attrattore.

6 6 6 6 6 6 6

6 6 6 6 6 6 6

6 6 6 6 6 6 6

6 6 6 6 6 6 6

Prendiamo i numeri in modo Random.

Serie temporale: 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 ...

47

Spazio delle fasi:

Organizzazione dei vettori nello spazio delle fasi:

Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett. 68:427-430

Insieme di dati surrogati:

Theiler et al. 1992 Physica D58:77-94

differente

Spazio delle fasisurrogato

Spazio delle fasioriginale

Identica correlazionedel 1°ordineordini più alti

mischiati

Serie originale Serie surrogataDETERMINISTA

D = 0

66

6

48

Esperimenti:Debole

Serie temporali spazio delle fasi

Dimensioni

bassa = deterministicaalta = random

esempi: ECG, EEG

Serie temporali spazio delle fasi

Dimensioni

bassa = deterministicaalta = random

esempi: ECG, EEG

Forte

Controllo

Sistema Non -Chaotico

Parametri di controllo output

Sistema Caotico:

outputParametro di controllo

Controllo del Chaos:

Varia un parametro

Predetto daun modellonon lineare

comportamento

Stimolazione elettricadelle cellule, reazionibiochimiche

esempi:

49

Intensità del laser

Roy et al. 1992 Phys. Rev. Lett. 68:1259-1262

NESSUN CONTROLLO

Intensità

0 0.5 msec

CONTROLLO

Controllo

Intensità

0 0.2 msec

CONTROLLO

Controllo

Intensità

0 0.2 msec

Controllo dei sistemi biologici:

Vecchio modo: Controllo Brute force.

GRANDI macchine

GRANDE potenza

Nuovo modo: Impulsi intelligenti e delicati a tempo opportuno.

Piccole macchine

Piccola potenza

50

Frattali

Cosa sono i frattali ?

Sono relazioni matematiche che permettono di rappresentare forme geometriche

complesse (Mandelbrot, 1977).

Sono connessi alla teoria del caos.

Posseggono una struttura che si ripete a varie scale.

Sono troppo irregolari per essere descritti dalla geometria classica.

Gli oggetti frattali sono figure geometriche, esattamente come il cerchio o il triangolo,

che hanno nuove proprietà .

Qual è il loro campo di applicazione?

E' la realtà in tutte le sue forme, anche le più complesse, è il disordine, è il caos …

deterministico.

Autosomiglianza:

I frattali, rispetto alle figure della geometria classica, hanno una caratteristica peculiare: se

ne ingrandiamo anche una piccola parte, ritroviamo, in scala, caratteristiche strutturali

simili.

La struttura che osserviamo in scala normale viene ripetuta infinite volte all'interno della

scala più piccola, e la possiamo ritrovare qualunque sia la potenza della lente

d'ingrandimento che usiamo.

Questo permette di riprodurre un frattale, anche di forma complessa, mediante un

algoritmo di poche e semplici istruzioni da ripetersi più volte; la riproduzione della stessa

immagine punto per punto richiederebbe in input centinaia di valori numerici.

Questi mattoni non sono simili Questi rettangoli invece sono simili

Struttura complessa a tutte le scale di riproduzione:

Molti oggetti frattali hanno infiniti dettagli.

La complessità dell'insieme di Mandelbrot non accenna a diminuire, anche se lo

ingrandiamo. Visto che presenta questa caratteristica, si dice che un frattale è dotato di

struttura complessa a tutte le scale di riproduzione.

51

I frattali autosimili godono sicuramente di questa proprietà, mentre non è vero il contrario.

E' infatti evidente, che il frattale di Mandelbrot non è autosimile.

In ogni caso ogni parte dell'insieme di Mandelbrot presenta caratteristiche strutturali simili

a quelle dell'oggetto di partenza, e ciò è vero per tutti i frattali di questo tipo. E' anche

evidente che questa caratteristica è strettamente collegata alle altre proprietà distintive dei

frattali, quali ad esempio la dimensione frazionaria o il perimetro infinito e l'area finita.

Il problema della tangenza alle curve frattali:

Nel XVII secolo Newton e Leibniz crearono il calcolo differenziale che, dal punto di vista

geometrico, permette, fra l'altro, di trovare la tangente ad una curva in un dato punto. La

peculiarità dei frattali di non avere tangente rende però inefficace un approccio classico

allo studio delle loro proprietà.

Quello che poteva sembrare a prima vista un problema si rivela così un'utile risorsa per

affrontare, come vedremo, numerosi aspetti della realtà che non si prestano ad un

approccio classico.

Dimensione frattale:

I frattali possono avere dimensione non intera, anche con infinite cifre dopo la virgola.

Applichiamo il concetto di dimensione intera al triangolo di Sierpinski, ricordando che, in

generale, se n è il numero di ingrandimenti lineari, il numero di copie è rappresentato da

una potenza di base n e di esponente la dimensione. Come si vede, sono quattro i

triangoli che possono comporre un triangolo con i lati ordinatamente doppi. Il triangolo ha

infatti la dimensione di una superficie, e cioè due.

Perimetro infinito in un’area finita

TRIANGOLO DI SIERPINSKI

Il perimetro del triangolo diventa ogni volta i 3/2 del precedente, infatti i triangoli si

triplicano mentre il loro lato si dimezza. Possiamo dunque affermare che, al crescere del

numero dei passi, anche il perimetro crescerà indefinitamente: esso tende ad infinito

quando anche il numero di passi tende ad infinito.

Waclaw Sierpinski:

52

Nacque il 14 marzo a Varsavia. Waclaw Sierpinski visse in un periodo in cui la Polonia si

trovava sotto l'occupazione della Russia. I Russi avevano imposto la loro lingua e la loro

cultura a tutte le scuole secondarie della Polonia e preferivano che i polacchi restassero

analfabeti, tanto che il numero di studenti era crollato.

Nonostante le difficoltà, Sierpinski entrò nel dipartimento di matematica e fisica

dell'Università di Varsavia nel 1899. Nel 1903 vinse anche una medaglia d'oro per un suo

saggio sulla teoria dei numeri, ma, non volendo che fosse pubblicato in russo, attese fino

al 1907 quando fu edito in inglese.

I suoi studi spaziarono in vari campi, dalla teoria degli insiemi, ai numeri irrazionali,

all'astronomia, alla filosofia. Al termine della prima guerra mondiale ritornò in Polonia,

dopo essere stato esiliato, e ottenne una cattedra di matematica presso l'Università di

Varsavia, città dove rimase fino alla fine dei suoi giorni. In questo periodo studiò alcune

curve: il tappeto e il triangolo che portano il suo nome.

Dinamica caotica:

Le leggi matematiche che generano i frattali sono molto semplici, pur tuttavia basta una

minima variazione in un parametro per determinare una trasformazione significativa delle

figure finali.

Variazioni nel triangolo di Sierpinski (al centro) al minimo variare di un solo parametro ma,

attenzione, questo non è il caos!

Si usa dire che l'aspetto di un oggetto frattale dimostra un'estrema sensibilità alle

condizioni di partenza che usiamo per costruirlo: nel caso del triangolo di Sierpinski, che è

generato da un'equazione di primo grado, tuttavia, si riconosce sempre la forma iniziale.

Invece i frattali generati da equazioni almeno di secondo grado sono esempi tipici di

sistemi caotici.

Quale base scientifica c’è dietro ai frattali?

Ai frattali si è giunti partendo da differenti approcci e seguendo vie di indagine diverse, che

all’inizio non avevano tra loro alcun apparente elemento in comune; in un secondo tempo

ci si è accorti della stretta parentela che intercorre tra i risultati ottenuti nei diversi settori di

53

ricerca. Del resto, i problemi fisico-matematici, possono essere esaminate dai tre classici

punti di vista che costituiscono tre modi di vedere complementari:

—analitico

—geometrico

—fisico–dinamico.

Che cosa sono i frattali?

Ingrandendo sempre più una immagine frattale scopriamo sempre nuovi particolari, nuove

forme prima invisibili soltanto perché troppo piccole, fino all'infinito. Questi particolari che si

vanno man mano scoprendo assomigliano alla figura nella sua totalità.

Queste figure sono generate, per la maggior parte dei casi, mediante l'applicazione di

formule iterative nel piano dei numeri complessi: numeri aventi, cioè, una parte reale e una

immaginaria. L'unità immaginaria è definita come la radice quadrati di –1. Si applicano

proprietà matematiche che non sono state utilizzate precedentemente, come, per

esempio, le teorie sulla risoluzione di sistemi non lineari.

I frattali sono utilizzati in molti campi delle scienze moderne.

Con semplicissime regole gli studiosi sono in grado di riprodurre comportamenti anche

complessi, come il movimento delle folle, oppure ancora la crescita di una pianta.

Da regole semplici si possono ottenere risultati totalmente inaspettati ed interessanti.

La matematica dei frattali nasce ufficialmente nel 1980, quando Benoit B. Mandelbrot

riuscì, tramite un computer VAX (un computer miracoloso nella preistoria dei computer),

ad ottenere la prima stampa su carta dell'insieme che, giustamente, porta il suo nome.

Tuttavia la teoria fondamentale della "Iterazione di Applicazioni Razionali nel Piano

Complesso" era già stata sviluppata, anche se non completamente, nel 1918, nei lavori

degli studiosi Julia e Fatou. Sono gli stessi lavori che lesse Mandelbrot e che lo convinsero

ad effettuare ricerche in quel senso.

La dimensione non intera è necessaria per spiegare certe proprietà, ad esempio che una

linea di lunghezza infinita riesca a stare dentro una regione finita di piano.

La dimensione non intera non è un concetto semplicissimo, soprattutto per il fatto che

risulta anti - intuitivo.

In pratica i frattali sono caratterizzati da una dimensione compresa tra uno (linea) e due

(superficie) oppure tra due e tre (volume) e così via. Un frattale con dimensione 1.5 può

essere poco più di un segmento e poco meno di un piano.

54

Per esempio, la foglia di felce reale non è un frattale perfetto, perché le ripetizioni non

sono tali all'infinito: ad un certo punto i particolari si fondono, poi ingrandendo ancora di più

la somiglianza non c'è più perché appaiono le cellule, etc. Tuttavia, se non è frattale da

questo punto di vista, lo sono dal punto di vista statistico.

Godono di una autosomiglianza statistica: ad esempio, il rapporto fra zone piene e zone

vuote rimane costante (sempre entro un determinato range di dimensioni).

Un'infinità di forme naturali ha natura frattale: piante, montagne, coste, nuvole, alberi etc,

mentre ben poche hanno una struttura geometrica definita (a parte alcuni esseri

unicellulari, aventi delle forme simili a vari poliedri).

Il calcolatore consente l’iterazione un numero molto grande di volte, in modo tale da

approssimare abbastanza significativamente la figura limite.

Il punto di vista della dinamica dei sistemi giunge ai frattali attraverso il problema del caos.

Una piccola perturbazione delle condizioni iniziali può crescere esponenzialmente con i

tempo, per cui l’evoluzione del sistema diviene del tutto impredicibile. È come se, a causa

della non linearità le equazioni divenissero pressoché inservibili per fare previsioni

attendibili.

Bisogna aspettare fino agli anni ’60, quando Lorenz ha scoperto l’attrattore caotico che

porta il suo nome, perché lo studio sistematico dei sistemi dinamici non lineari e degli

attrattori strani (caotici) inizi il suo vero cammino.

A che cosa servono i frattali?

La geometria della natura sembra essere molto più aderente allo schema frattale che a

quello tradizionale.

Dalla forma del cervello a quella delle diramazioni dei dendriti nervosi, dal profilo

frastagliato delle foglie allo schema di sviluppo dei coralli, dalla forma delle scariche dei

fulmini alla distribuzione dei domini nel materiali ferromagnetici, dai profili delle montagne

e delle nubi alle linee di frattura dei materiali da costruzione, tutto sembra essere frattale.

E questi campi di ricerca sono ormai divenuti oggetto anche di numerosi convegni

scientifici internazionali. Un altro settore di grande interesse per l’informatica delle reti e

delle telecomunicazioni è poi quello della compressione delle immagini con metodi frattali

che significherebbe, oltre ad un risparmio di tempo rilevante, l’eliminazione pressoché

totale degli errori.

Possiamo classificare i diversi tipi di frattali che si conoscono secondo criteri differenti.

a)classificazione fisico-geometrica

55

Distingue i frattali su base qualitativa (fisica) per le loro caratteristiche geometriche e

fisiche in immagini che:

—corrispondono ad oggetti verosimili, come felci, foglie, profili di montagne, nubi,

paesaggi, insetti, ecc.;

—non corrispondono ad oggetti verosimili, ma sono piuttosto figure decorative dotate

spesso anche di altre simmetrie oltre a quella autosomigliante;

b)classificazione analitico - geometrica

Distingue i frattali su base quantitativa (matematica) a partire dal tipo di legge ricorsiva

mediante la quale vengono generate le immagini.

Si hanno in questo modo:

—frattali generati dall’iterazione di funzioni di variabili reali a valori vettoriali reali che

possono essere:

• lineari: metodo IFS (Iterated Function Systems);

• non lineari: metodo particolarmente impiegato per realizzare immagini verosimili.

—frattali generati dall’iterazione di una funzione di variabile complessa a valori complessi

imponendo certe condizioni di non convergenza della serie associata (insiemi di

Mandelbrot e Julia: standard e generalizzati).

c)classificazione dinamico - fisica

Questa classificazione identifica i frattali che nascono da problemi di natura fisica

governati da una dinamica caotica.

Il frattale di Newton:

Il frattale di Newton, a contrario di quanto potrebbe far sospettare il nome, non fu scoperto

da Newton; furono altri studiosi a scoprirlo ed a studiarlo. Si chiama così per il semplice

fatto che viene creato dalle formule di Newton.

L’algoritmo è quello che permette di calcolare gli zeri di una funzione. Un procedimento

che Newton aveva proposto per la risoluzione di equazioni nel campo reale, che invece

danno questo affascinante frattale, se studiato nel dominio dei complessi.

Vediamo prima come funziona il metodo di Newton: è un procedimento numerico per il

calcolo degli zeri di un polinomio (o di una funzione in generale): si basa sulla seguente

formula iterativa:

n

n

nnn

xfdx

dxf

xx 1

56

Questa formula è chiamata anche formula delle tangenti. In pratica funziona così: si

prende un x0 che si suppone vicino alla soluzione, e, proseguendo con l'iterazione, si ci

avvicinerà sempre di più alla soluzione cercata: per ogni iterazione, si traccia la retta

tangente al punto (xn), f(xn), e la sua intersezione con l'asse x rappresenta il nuovo punto

da iterare. Si può capire come, al variare di x0, possa variare la soluzione cui converge, se

l'equazione ne possiede più di una.

Qui a lato si può vedere una funzione reale, col metodo di Newton applicato. Le due

sequenze di rette rappresentano l'iterazione per due semi iniziali diversi: si può notare

come a seconda del seme cambia la soluzione cui converge. Avremo, quindi, delle

"regioni" di punti, caratterizzati dal fatto che qualsiasi punto appartenente ad una regione

fa convergere l'algoritmo ad una determinata soluzione.

In questo caso, le regioni di decisione sono le due semirette che partono dal punto di

minimo della funzione. Le due regioni sono ben distinte. Quello che rende questo

processo capace di generare immagini frattali è quello di estendere il processo ad

equazioni e funzioni a zeri complessi.

Tralasciando tutta la matematica, vediamo alcune semplici conclusioni. Prendendo

l'equazione Z3+1 = 0, è facile notare che ci saranno tre soluzioni, e quindi anche tre bacini

d'attrazione: com'è logico supporre, i bacini tendono a formarsi attorno il punto di 0, le

soluzioni dell'equazione. Ciò che non ci si aspettava, invece, è stato il comportamento

della zona di confine fra queste tre regioni. Ci si aspettava un limite netto, come

nell'immagine a destra. Invece, si è visto che non è così. Non

appena ci si avvicina al confine fra i bacini 1 e 2, per esempio,

ecco che spunta una piccola zona di bacino 3, per dividerli: a sua

volta questo nuovo confine che si forma tra bacino 1 e 3, a sua

57

volta è interrotto dal bacino 2 e così via, all'infinito, creando appunto il frattale di Newton.

L'immagine a sinistra è stata ottenuta per la semplice equazione Z3+1 = 0, e al crescere

della complessità dell'equazione, cresce anche quella del frattale che si ottiene. Le altre

immagini sono ottenute usando il metodo di newton per trovare gli zeri nelle equazioni

Z5+1 = 0 e Z3+4Z5+10 = 0. Si vede come si diversifichino di molto. Come ci si aspettavano

i bacini d'attrazione, dedotti dal comportamento reale.

Immagine ottenuta, con i tre bacini d'attrazione colorati in modo diverso, per l'equazione

Z3+1 = 0

Frattale di Newton corrispondente all'equazione Z3+4Z5+10 = 0

Frattale di Newton corrispondente all'equazione Z5+1 = 0

Koch:

La curva di Koch è una ripetizione successiva di una determinata regola costruttiva,

applicata di volta in volta in tutte le parti: si parte da una geometria semplice, per arrivare

ad una forma che è sempre più complessa man mano che aumenta il numero di iterazioni.

La stessa regola, ad ogni iterazione, si applica a porzioni via via più piccole dell'immagine.

Da qua viene il dettaglio.

Possiamo vedere a destra la prima iterazione, cui corrisponde la

forma principale che determinerà la forma finale della curva di

Koch; in questo caso abbiamo preso un triangolo, che forma la

curva più classica e famosa. Si prende un segmento, e si

sostituisce il suo terzo centrale con un triangolo: questa è appunto la

prima iterazione. Adesso, vediamo che

la figura ottenuta dalla prima iterazione è formata da vari segmenti: per

ottenere la figura della seconda iterazione, applichiamo un'altra volta lo stesso

procedimento, stavolta per ogni segmento: ad ogni

segmento che compone la figura della prima iterazione,

58

sostituiamo il terzo centrale con un triangolo equilatero, ottenendo l'immagine

corrispondente alla seconda iterazione. Vediamo che aumenta il dettaglio dell'immagine,

pur avendo applicato la stessa regola.

Ripetendo ancora una volta il procedimento, si arriva al risultato della terza iterazione, e

così via. Sotto si vede anche il risultato per un grande numero N di iterazioni: i triangoli

divengono sempre più piccoli, ed aumenta il dettaglio creando, per N che tende ad infinito,

una figura frattale.

Dalla curva di Koch si può vedere facilmente una caratteristica delle figure frattali: il loro

perimetro infinito: si vede, infatti, che ad ogni iterazione la lunghezza totale di tutti i

segmenti aumenta di un fattore 4/3: se, quindi, il segmento originario aveva una lunghezza

unitaria, dopo n iterazioni la figura avrà una lunghezza totale pari a 1* (4/3)n e si vede

come, per n che tende ad infinito, il perimetro della "costa" tende ad un valore infinito.

Le linee di lunghezza infinita non sono una novità nella geometria: basti pensare alle rette.

La particolarità di questa figura, però, è che il suo perimetro diventa infinito pur restando

confinato in un'area finita.

Questa caratteristica è collegata anche al fatto che la figura di Koch

è una figura a dimensione non intera: è come se fosse più di una

linea, e meno di un piano: in particolare, la dimensione di questa

figura particolare è pari a log(4)/log(3).

Niels Fabian Helge von Koch:

Nato il 25 gennaio 1870 frequentò una buona scuola superiore di Stoccolma, completando

i suoi studi nel 1887, quindi si iscrisse all'Università della stessa città. Fu molto apprezzato

per alcune pubblicazioni riguardanti i sistemi lineari e le equazioni differenziali. Nel 1911

ottenne una cattedra all’Università di matematica di Stoccolma.

Von Koch è famoso per la curva che porta il suo nome e che apparve nel suo lavoro “Une

méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des

courbes planes”, pubblicato nel 1906.

Questi sono i passaggi per la costruzione della sua curva:

1. Si divide un segmento in tre parti uguali.

2. Si sostituisce il segmento centrale con altri due segmenti in modo da formare

un triangolo equilatero privo della base.

59

3. Si ripete il procedimento su ognuno dei quattro segmenti così ottenuti.

4. Si ripete il procedimento indefinitamente.

Si ottiene una curva di tipo frattale che ha le seguenti caratteristiche: perimetro infinito,

area finita, autosomiglianza, dimensione frazionaria. Si tratta inoltre di una curva continua

che non ammette tangente in nessun punto. Se si parte da un triangolo equilatero e si

applica questo procedimento si ottiene il "fiocco di neve" di von Koch.

Benoit Mandelbrot:

Nato a Varsavia nel 1924 nel 1936 si trasferì in Francia, ed un suo zio, insegnante di

matematica, si occupò della sua educazione.

In quel periodo frequentò la scuola in modo saltuario e dovette arrangiarsi: ora, egli

attribuisce molti dei suoi successi alla sua educazione non convenzionale. Di certo, Benoit

Mandelbrot sviluppò la capacità di visualizzare problemi di ogni genere soprattutto

attraverso un approccio geometrico, che gli ha permesso di intuire in modo unico alcuni

aspetti della realtà, magari già affrontati, ma lasciati cadere.

Dopo la liberazione di Parigi, entrò all' Ecole Polytechnique, dove completò i suoi studi.

Nel 1958 si trasferì definitivamente negli Stati Uniti, iniziando la sua lunga e fruttuosa

collaborazione con l'IBM. Si trovò infatti in un ambiente che gli permise di affrontare

problemi in diversi settori, con un'autonomia che nessuna Università, forse, gli avrebbe

consentito.

Avuto contatto con le idee di Gaston Julia le sviluppò e le rese celebri attraverso uno dei

primi programmi di grafica al computer. Les objets fractals, forn, hasard et dimension

(1975) e The fractal geometry of nature (1982) sono le sue opere più importanti.

Gaston Maurice Julia:

Gaston Julia dimostrò, fin dalla giovinezza, uno spiccato interesse per la matematica. A

soli 25 anni pubblicò il suo capolavoro Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles, che

contiene una descrizione antelitteram del dialetto frattale non lineare e divenne famoso fra

i matematici del suo tempo.

Era stato gravemente ferito durante la prima guerra mondiale, ma, mentre si trovava

ricoverato in un ospedale militare, fra un'operazione e l'altra, aveva continuato ad

occuparsi delle sue ricerche, riuscendo in un'impresa tanto più notevole in quanto, non

esistendo ancora i computers, poteva contare solo sulla sua capacità intrinseca di

visualizzazione.

In seguito divenne un apprezzato professore all'Ecole Polytechnique di Parigi. Il suo

60

lavoro, che lo aveva reso famoso negli anni 20, fu però dimenticato fini a quando

Mandelbrot non fu capace di trovare un metodo per catalogare gli insiemi di Julia, nei loro

differenti aspetti.

Mandelbrot:

Il frattale di Mandelbrot fu "scoperto" nel 1980, dal matematico Benoit Mandelbrot.

Sicuramente è il frattale più famoso, perché è stato il fondamento della teoria dei frattali,

anche se non è stato il primo (lo precedettero i frattali di Julia, la curva di Koch e quella di

Peano).

Per la sua scoperta, è stato necessario l’uso del calcolatore, dato che bisognava

visualizzare una fitta griglia di punti, ognuno dei quali viene colorato a seconda

dell'andamento dell'iterazione, che può richiedere molti passi per scoprire la convergenza

o divergenza.

La sua forma è stata studiata molto attentamente, sfruttando proprietà del calcolo

combinatorio: si vede che è formato da un corpo principale a forma di cardioide. Su questo

corpo principale sono "attaccati" una infinità di cerchi, le cui dimensioni e posizioni

reciproche rispettano considerazioni combinatorie sofisticate. La frontiera del frattale di

Mandelbrot è ricca di "filamenti", privi di area come le normali linee, che intrecciano

profondamente l'immagine, collegando l'insieme di Mandelbrot e rendendolo connesso; il

frattale è composto da un singolo pezzo.

Il frattale di Mandelbrot contiene infinte copie di se stesso collegate al corpo principale

soltanto dalla struttura a “filamenti”. L'autosomiglianza in questo caso non è perfettamente

verificata, in quanto ogni copia del frattale di Mandelbrot è circondata da una struttura a

filamenti sempre più ricca man mano che aumentiamo l'ingrandimento.

Una delle zone più affascinanti del frattale di Mandelbrot, dal punto di vista estetico, è la

zona del “cavalluccio marino”, che si trova al confine fra il cardioide e il cerchio più grande.

In questa solo i filamenti formano spirali di rara complessità e bellezza , cui corrispondono

insiemi di Julia altrettanto complessi e con le medesime spirali.

Fu lo stesso Mandelbrot a creare il nome frattale nel 1975, quando, cercando per l'appunto

un nome che potesse descrivere i suoi oggetti, sfogliando il vocabolario di latino del figlio,

s'imbatté nell'aggettivo fractus, che, per la sua risonanza con parole come frattura e

frazione, sembrò adattissimo allo scopo.

61

Il successo fu travolgente. Oggi i frattali irrompono in ogni campo: suscitano l'interesse

degli scienziati e la curiosità del grande pubblico, al punto che oggetti frattali si trovano

comunemente in vendita.

Mandelbrot sostiene che le proprietà frattali da lui scoperte sono presenti quasi

universalmente in natura. Secondo il suo punto di vista, oggi condiviso da molti studiosi, i

modelli storici della matematica e della fisica usati per descrivere la Natura sono

incompleti: la Natura è frattale!

Ha ricevuto numerosi riconoscimenti e premi per la sua opera.

Julia:

Gli insiemi di Julia furono scoperti dagli studiosi Julia e Fatou, già nel 1918, e ne

spiegarono le principali caratteristiche (tutto questo a mano, privi quindi di qualsiasi

calcolatore).

I frattali di Julia si possono distinguere facilmente in due categorie: quelli 'vuoti' e quelli

'pieni'; quando generiamo un insieme di Julia, vediamo quali punti del piano complesso

divergono, e quali invece no: se l'area dell'insieme di questi punti non è nulla, allora il

frattale di Julia si dice pieno, altrimenti si tratta di un frattale di Julia vuoto.

C'è da dire, però, che il frattale di Julia è definito come la zona di confine fra l'insieme di

punti divergenti e convergenti: nel caso che l'insieme sia vuoto, è definito come una

polvere cantoriana: la struttura resta frattale, ma l'insieme è formato da un insieme di punti

isolati, anche se disposti in modo da creare sempre spirali, e strane figure.

Inoltre, prendendo come semi di Julia punti del piano complesso prossimi alla frontiera del

frattale di Mandelbrot. si ottengono i frattali con le forme più suggestive.

Questo è dovuto alla transizione che avviene al passaggio fra punti divergenti e

convergenti, con una zona di confine molto labile e complicata da studiare.

Il loro aspetto dipende profondamente dal numero complesso che si prende come seme, e

molte caratteristiche per così dire estetiche riguardano direttamente le proprietà

matematiche locali, come il numero di ramificazioni di una loro parte, il coefficiente

esponenziale delle loro spirali logaritmiche.

Insiemi di Mandelbrot e di Julia:

Possiamo disegnare gli insiemi di Mandelbrot e di Julia. Ambedue si basano sulla

medesima formula:

czz nn 2

1

62

ma viene applicata in modo differente nei due casi.

Per l'insieme di Mandelbrot, si prende z0 = 0; poi si fa variare c nel piano complesso,

e per ogni punto si vede se | zn | tende ad infinito oppure no. Se | zn | non tende ad

infinito, allora il punto appartiene all'insieme di Mandelbrot.

Per l'insieme di Julia, si sceglie un c fisso (chiamato seme dell'insieme), e si fa

variare invece z0 nel piano complesso, e si ripete la storia: se

|zn| tende ad infinito, allora il punto non appartiene all'insieme di

Julia. Se non converge ad infinito, invece, vi appartiene. C'è da

dire che per essere pignoli Julia definì il suo insieme non come

quello contenente tutti i punti per cui non va ad infinito, ma

come i punti di frontiera fra questi due insiemi.

Colorazione di base:

Siamo riusciti a capire come si creano gli insiemi di Mandelbrot e di Julia. Adesso,

dobbiamo capire come si fanno ad ottenere tutte quelle stupende immagini; in altre parole,

come facciamo a creare tutte quelle immagini colorate.

Ovviamente potremo mettere noi dei colori dove vogliamo, ma in questo senso

perderemmo la "matematicità" del disegno. Si usa colorare invece, questi frattali in

determinate maniere: si prende un punto del piano complesso e, a seconda di alcune sue

caratteristiche o proprietà matematiche, si colorano i punti in modo diverso. Questi metodi

si chiamano di solito algoritmi di colorazione.

Di questi algoritmi ce n'è un'infinità, e vanno da semplici proprietà a formule davvero

complesse. Ci sono molte elaborazioni che permettono, ad esempio, di avere dei passaggi

sfumati di colore fra una zona e l'altra.

Una delle cose interessanti è che possiamo associare un colore ad ogni distanza:

variando quest'ultima con continuità, possiamo ottenere delle colorazioni morbide.

Un Modello Sportivo caotico:

Analizziamo il seguente modello dinamico a tempo discreto:

htxtsxrtxftx 11

Questa equazione costituisce anche un modello per descrivere l'andamento nel tempo

della posizione di una squadra di densità x dove il parametro r rappresenta la presenza

nell'unità di tempo, il termine -sx rappresenta un termine di assenza dovuta a spostamento

nello spazio e -h il numero % di giocatori spostati.

63

L'equazione f(x) =x dà sx2 + rx + h = O. Per h < r2/(4s) si ottengono allora due punti fissi:

La differenza fra i due equilibri si può giustificare osservando la pendenza con cui il grafico

della funzione attraversa la bisettrice in corrispondenza dei punti fissi: in q* la pendenza è

superiore a quella della bisettrice, cioè il coefficiente angolare f ´(q*) della retta tangente al

grafico, x(t+1) = q*+ f ´(q*) (x(t)-q*), è maggiore di 1. Quindi la funzione iterata si comporta,

in un intorno del punto fisso, come una mappa lineare di ragione maggiore di 1 (una

progressione geometrica espansiva). Applicando lo stesso ragionamento all'equilibrio p*,

possiamo invece dire che l'approssimazione lineare della funzione in un suo intorno si

comporta come una progressione geometrica contrattiva, essendo il coefficiente angolare

della tangente minore di 1 in valore assoluto. Inoltre, la convergenza è di tipo oscillatorio

(con oscillazioni smorzate) in quanto il coefficiente angolare in p* è negativo.

Entrambi i valori di equilibrio dipendono dal parametro h e al crescere di h si avvicinano tra

loro: p* diminuisce e q* aumenta (aumentando la quota di spostamenti nell'unità di tempo,

il valore di equilibrio stabile diminuisce e il valore di soglia, sotto il quale la squadra si

sposterà tutta, aumenta ovvero diventa più vulnerabile, al contropiede).

Quando il parametro h raggiunge il valore h = r2/4s, i due punti di equilibrio si

sovrappongono e la parabola diventa in tali punti tangente alla bisettrice. Un ulteriore

aumento di h provoca la scomparsa dei due equilibri, dopodichè l'unica evoluzione

possibile è quella che conduce alla sconfitta.

s

hsrrq

2

4*

2

s

hsrrp

2

4*

2

64

Il valore h = r2/4s è un valore di

biforcazione, che prende il nome di

biforcazione tangente (o biforcazione

fold). In generale, si dice che un

parametro attraversa un valore di

biforcazione quando determina il

passaggio fra due situazioni dinamiche

qualitativamente diverse.

Nell'esempio proposto, le biforcazioni che portano al caos si verificano agendo sui

parametri in modo da rendere più acuminata la parabola. Per mostrare ciò, fissiamo h = 0

(popolazione non sfruttata) e facciamo aumentare il parametro r, usandolo come una

"manopola" per innalzare il vertice. Per h=0, i punti fissi diventano q*=0 e p*= r/s (valore di

equilibrio della popolazione non sfruttata). Al crescere di r, il grafico della funzione in

corrispondenza del punto fisso p* diventa via via più ripido, fino a che la pendenza

raggiunge il valore -1, cioè la tangente diventa perpendicolare alla bisettrice. Questo

accade per r = 2, poiché il coefficiente della retta tangente al grafico in p* è f ´(p*) = 1+r -

2sp*= 1-r. Un aumento ulteriore di r provoca quindi una perdita di stabilità dell'equilibrio

positivo; r = 2 costituisce pertanto un valore di biforcazione. Per cercare di capire il tipo di

biforcazione, esaminiamo il comportamento dinamico delle

traiettorie per valori di r poco maggiori di 2 e con condizione

iniziale prossima a p*. Quello che si può vedere è che la

traiettoria si allontana da p*, oscillando, e tende a

un'oscillazione periodica fra due punti (indicati con alfa e

beta nella Figura seguente).

Partendo da uno di questi due punti, si ottiene una traiettoria

che saltella tra alfa e beta, essendo f(alfa) = beta e f(beta) =

alfa. Inoltre, allo stesso ciclo-2 tende ogni traiettoria che

parte da una condizione iniziale x(0)‘ (q*,q*-1) = (0, (1+r)/s),

esclusa

x(0) = p*. Questo tipo di biforcazione si chiama biforcazione

con raddoppio del periodo o, più brevemente, biforcazione

flip. Consideriamo la funzione composta:

65

F(x) = f (f (x))=f 2(x), il cui grafico è mostrato in Figura. Poiché F(x) è un polinomio di quarto

grado, può avere fino a 4 intersezioni con la bisettrice, ossia quattro punti fissi. Due sono

necessariamente gli stessi di f, ossia q* e p*, mentre eventuali altri corrispondono ai punti

periodici (di periodo 2) di f essendo F(alfa) = f (f (alfa)) = f(beta) =alfa e, F(beta)=beta. In

effetti, iterare la mappa F significa generare gli stati del sistema a salti di 2.

La biforcazione che avviene nella mappa f per r=2 corrisponde a una perdita di stabilità di

p* anche per l'iterata: è F´(p*)=[f ´(p*)]2 e quindi abbiamo F´(p*)=1 per r=2. Aumentando

ulteriormente il parametro r, anche la pendenza di F nei suoi punti fissi alfa e beta

raggiunge il valore -1 e quindi avviene una biforcazione flip che fa diventare alfa e beta

instabili per F, mentre attorno a ciascuno di loro si crea un ciclo di F di periodo 2. Tali cicli-

2 stabili rappresentano un ciclo-4 stabile per f, che diventa l'attrattore "di turno" del sistema

dinamico, e contemporaneamente costituiscono 4 punti fissi stabili per f4.

Aumentando ancora r, tale ciclo-4 diventerà instabile lasciando il posto a un ciclo-8 così

via. È naturale chiedersi cosa avverrà nel seguito: si raggiungerà un ciclo di periodo

massimo (dopo il quale, le biforcazioni con raddoppio del periodo finiranno) o i raddoppi

continueranno all'infinito?

Il raddoppiamento di periodo:

Periodo 2 Periodo 4

Periodo 8 Caos

Per analizzare ciò, si ricorre alla costruzione di un

diagramma di biforcazione. Si considera un piano cartesiano in cui si riportano sull'asse

66

orizzontale i valori del parametro r preso in un certo intervallo, ad esempio r appartenente

all'intervallo [1,3] e per ogni valore del parametro si calcolano i primi N punti della

traiettoria, dove N è un numero sufficientemente grande (ad esempio N = 500). Sulla

verticale passante per il valore di r utilizzato, si riportano i valori "asintotici" della x, cioè i

valori più avanzati fra quelli calcolati, ad esempio i valori {x201, ...,x500}. Infatti, una volta

eliminato il transitorio {x0, ...,x200}, i valori rappresentati si troveranno sull'attrattore "di

turno" e quindi la loro posizione può essere considerata come una rappresentazione

dell'attrattore per il valore del parametro considerato.

Al crescere di r, si hanno successivi raddoppi di periodo: da 4 a 8, poi a 16, 32, ... e tutta la

successione delle potenze di 2.

Inoltre è importante osservare che i valori di r, per i quali avvengono le biforcazioni di

raddoppio del periodo, da 2k a 2k+1, sono sempre più vicini fra loro al crescere di k. Infatti,

la variazione di r necessaria per passare dalla creazione del ciclo-2 (che avviene per r =

r1= 2) alla creazione del ciclo-4, che avviene per r = r2= 2.449, è di (Delta(r))1= (r2- r1)

(circa) = 0.449 , mentre la variazione di r che intercorre fra la creazione del ciclo-4 e del

ciclo-8 è (Delta(r))2=(r3 - r2) (circa) = (2.544-2.449) = 0.095. I raddoppi di periodo diventano

sempre più frequenti, ovvero gli intervalli (Delta(r))k diventano sempre più piccoli. Ciò si

può osservare nel diagramma di biforcazione seguente, in cui è evidente che il ciclo

attrattivo di turno rimane tale per un intervallino dell'asse delle ascisse sempre più piccolo.

Diagramma di biforcazione:

67

In realtà, per r > 2.56 si ha una sequenza di valori di biforcazione così numerosi e

ravvicinati da far pensare appunto ad una cascata. La cosa più sorprendente è che, per

valori di r vicini a 2.57, gli infiniti cicli di periodo 2k, k appartenente ad N, sono stati tutti

creati. In altre parole, la sequenza di valori di biforcazione {r1, r2, ..., rn, ...} ha un punto di

accumulazione, noto come numero di Feigenbaum, e dato da rinfinito=2.56994...

Dopo questo valore di r compaiono delle traiettorie che non sono periodiche. Sono cioè

costituite da valori che non coincidono mai con un valore già ottenuto, caratterizzate dal

fatto che i punti riempiono densamente uno o più intervalli. Infatti, nel diagramma di

biforcazione cominciano a comparire, lungo la verticale, delle zone nere (densamente

riempite di punti). Se prendiamo una di tali traiettorie e la rappresentiamo lungo l'asse dei

tempi, otteniamo sequenze di punti come quelle mostrate in Figura seguente, ottenuta per

r= 2.678.

Una delle cause di un comportamento così disordinato è da ricercarsi nel fatto che,

intrappolati all'interno dell'intervallo in cui si muovono le traiettorie caotiche, ci sono infiniti

punti periodici repulsivi.

Essendo le traiettorie limitate, poiché i valori ottenuti iterando la mappa non possono

uscire dall'intervallo I = (0, r/4), e non convergendo ad alcun ciclo attrattivo, esse

"rimbalzano" continuamente, respinte dai punti periodici repulsivi che sono sparsi (e densi)

all'interno dell'intervallo I.

68

Un altro fatto importante, e per molti aspetti stupefacente, caratterizza le traiettorie

caotiche: la difficoltà di ottenerne due identiche. In linea di principio, data la stessa mappa

e data la stessa condizione iniziale, le traiettorie dovrebbero essere identiche. Ma quando

le traiettorie sono caotiche, basta una minima differenza fra due condizioni iniziali per

ottenere traiettorie completamente diverse.

La prima traiettoria è stata ottenuta partendo da una certa condizione iniziale mentre la

seconda è stata ottenuta con una condizione iniziale, che differisce di pochissimo, un

milionesimo = 0.000001. Ebbene, dopo alcune iterazioni in cui si ottengono valori simili, le

due traiettorie cominciano a differenziarsi sempre di più, fino a diventare completamente

diverse.

Il Moto Browniano

La fisica del moto browniano

Quale è stato il contributo di Einstein alla comprensione del moto browniano ?

La dinamica del moto browniano

Cosa hanno in comune ubriachi, luce, virus e mercati finanziari ?

Le ricerche di Robert Brown

(1773-1858):

Cosa è il moto browniano

La teoria atomica e i metodi statistici: la teoria cinetica dei gas (J.C. Maxwell (1831-

1879), L. Boltzmann (1844-1906)).

La teoria cinetica dei gas:

• N molecole, ognuna di massa m, in un contenitore cubico di volume V (e lato L).

• Variazione di velocità alla parete: 2 vx

• Tempo tra collisioni: 2 L / vx

• Forza sulla parete: m vx2 / L

• In media < vx2 >= < vy

2 >= < vz2 >= < v2 >/3

69

• Forza media sulla parete = N m v2 /3L

• Forza media per unità di superficie (pressione):

P = N m v2 /3V

P V = N m v2 /3 = n R T

K = m v2 /2 = 3 R T / 2 NA

TN

RmvK

A2

3

2

1 2

NA=?

k=R/NA

Effetti statistici di moti casuali (random walks):

• Rayleigh (sovrapposizione di luce da sorgenti scorrelate)

• Bachelier “Theorie de la speculation - 1900 (tesi di dottorato con Poincare’)

• Einstein, Smoluchowsky, Langevin, Ornstein-Uhlenbeck,… (moto browniano)

Meccanica statistica:

Combinazione di meccanica e descrizione probabilistica per arrivare a conclusioni sulle

conseguenze medie e sulle fluttuazioni di proprietà macroscopiche.

Concentrarsi sulle proprietà statistiche permette di utilizzare tecniche alternative alla

soluzione delle equazioni del moto microscopiche per ottenere le stesse distribuzioni

statistiche (metodi stocastici ovvero basati su probabilità e numeri casuali).

Albert Einstein e il suo “annus mirabilis” (1905):

Effetto fotoelettrico (“Su un punto di vista euristico riguardo la produzione e

trasformazione della luce”)

Moto browniano (“Sul moto richiesto dalla teoria cinetica degli atomi a piccole particelle

sospese in un liquido”)

Teoria della relatività ristretta (“Sull’ elettrodinamica dei mezzi in movimento”)

Teoria del moto browniano: la strada di Einstein:

“In questo lavoro si mostrerà che in accordo con la teoria molecolare - cinetica del calore,

corpi di dimensioni visibili al microscopio sospesi in un liquido eseguiranno movimenti di

ampiezza tale da poter essere facilmente osservati al microscopio, a causa dei moto

molecolari dovuti al calore.

E’ possibile che i moti che qui discuteremo siano identici al cosiddetto “moto molecolare

Browniano”; tuttavia, le informazioni a me disponibili su questo mancano tanto in

precisione che non posso formulare giudizi a riguardo.

70

Se il movimento qui discusso potrà essere realmente osservato (insieme alle proprietà

che ci si aspetta di trovare), allora la termodinamica classica non potrà più essere

considerata applicabile con precisione a corpi microscopici: diverrà possibile determinare

esattamente le vere dimensioni degli atomi. D’altra parte, se si proverà che le predizioni di

questo movimento saranno sbagliate, questo sarà un pesante argomento contro la

concezione molecolare - cinetica del calore.”

Analisi della diffusione di una particella in un fluido.

Analisi della distribuzione di probabilità degli spostamenti e come questa dipende dal

coefficiente di diffusione.

Formula che lega il rapporto R/NA, il coefficiente di diffusione D, la viscosità del

solvente , la temperatura T e il raggio molecolare P:

PN

RTD

A 6

1

Teoria del moto browniano: la strada di Langevin:

“ Sono stato in grado di determinare … che è facile dare una dimostrazione infinitamente

più semplice mediante un metodo completamente diverso.”

Urto elastico (1D)

2222

''

'2

1'

2

1

2

1

2

1mvMVmvMV

mvMVmvMV

''

''

''

''''

22'2'2

''

vVvV

mvMVmvMV

vvVV

vvvvmVVVVM

vvmVVM

vvmVVM

VmM

mMv

mM

mV

VMm

Mv

Mm

Mmv

2

2

'

'

71

Per m<<M

M

m

mM

m

mM

mmM

mM

mMM

m

mM

m

mM

mmM

mM

MM

m

mM

m

21

21

2

11

VM

mv

M

mVVV

VM

mv

M

mV

22

21

2

'

'

N collisioni

110110 ...2...2 NN VVVmvvvmVM

ttVmnmNV

tnN

22

ttVmn

t

vvvm

t

VMMa

ttVmnvvvmVM

N

N

2...2

2...2

110

110

t

vvvmF

mn

tVFMa

Ns

s

110 ...2

2

Forza stocastica e attrito hanno la stessa origine!

Un algoritmo per il moto browniano

72

sqqq VM

tVVV

1

1 collisione

n

kT

v

v

MmkT

v

v

M

vmv

v

Mvm

v

v

MM

mvVs

212

222 2222

tkTM

w

n

kT

MrNV

q

iiN

21

215.0

12

1

tVXX

tM

F

M

tkTwt

M

VVV

qqq

extq

qqq

11

1

2

Possiamo adesso risolvere le equazioni del moto sul computer per verificare la relazione

di Einstein

tkT

X

22

Forze direzionali e non direzionali : equazione della diffusione

Forze direzionali:flusso

1. La folla che scappa da un incendio.

2. Spingere una palla in una direzione

3. Un fiume che sfocia nell’oceano

Forze non direzionali: nessun flusso

1. Una goccia d’inchiostro nell’acqua

2. Il fumo

3. Scegliere una direzione lanciando la moneta

Posizione

t0 t1t1t1 t2t2t2 t3t3t3 t4t4t4

73

Flusso netto-forze direzionali:

i-1 i i+1x

f equilibrio

limite(muro)

equilibrio

limite(muro)

Flusso netto=Flusso In-Flusso Out

=Flusso da sx (i-1->i) - Flusso a dx (i->i+1)

→ f(t+1,i)-f(t,i)=v(i)f(i-1,t)-v(i+1)f(i,t)

Limite continuo:

→ df/dt=-d(vf)/dx (i.e., distanza=velocità*tempo)

f(t,i) rappresenta l’abbondanza o la probabilità di essere in i al tempo, t. v(i) è la velocità

per raggiungere il punto i.

Flusso netto-forze non direzionali:

i-1 i i+1x

fEquilibrio (D=costante)

Flusso netto =Flusso In-Flusso Out

=Flusso da sx (i-1->i)+Flusso da dx (i+1->i)

-Flusso a dx (i->i-1)-Flusso a sx (i->i+1)

→ f(t+1,i)-f(t,i)=D(i-1)f(i-1,t)+D(i+1)-c(i)f(i,t)-2*D(i)f(i)

D(i) è il rateo di diffusione

limite continuo:

→ df/dt=d2(Df)/dx2 (derivata seconda)

Processo locale ed interessa l’ampiezza della distribuzione non la media.

Proprietà della diffusione:

La dinamica interna della diffusione non è ovvia dal comportamento globale, mentre lo è

per le forze direzionali.

Forze non direzionali (diffusione) interessano lo spessore della distribuzione, mentre le

direzionali interessano la media.

74

La diffusione è un processo NON reversibile nel tempo. Le condizioni iniziali sono

dimenticate.

Effetti combinati:

Persone che tentano di andare a nord (direzionale) attraverso un incrocio ingorgato

(nondirezionale)

Flusso netto = F direzionale + F non direzionale

Equazione della Diffusione

(conosciuta come equazione di Kolmogorov)

2

2

x

Df

x

vf

t

f

spesso, v e D sono costanti, così:

2

2

x

fD

x

fv

t

f

Fisica - Moto Browniano:

La molecola in un bicchiere d’acqua è analoga ad una persona che cammina in una coda.

Poichè la molecola è piccolissima (pesa poco), l’effetto della gravità (forza direzionale) è

trascurabile. pertanto,

2

2

x

fD

t

f

Se applichiamo una forza direzionale

Se applichiamo una forza direzionale più forte della gravità bisogna riscrivere l’equazione

iniziale.

2

2

x

Df

x

vf

t

f

v dipende dalla grandezza della forza direzionale.

Random walk:

cosa è un random walk?

Anche noto come Passeggiata dell’Ubriaco

Usa gli effetti random per simulare la dinamica reale della diffusione.

Esso può considerarsi come la base per comprendere la diffusione naturale:

calore

75

profumi

goccia d’ichiostro nell’acqua.

La fisica semplice:

Liquidi e gas contengono molte particelle libere di muoversi. Queste particelle cambiano

direzione quando si urtano. Ogni particella esegue un random walk in 3D, muovendosi di

una distanza casuale in una direzione fino a che collide e viene proiettata in una nuova

direzione casuale (random).

Distribuzione delle lunghezze di spostamento:

Paragone con una distribuzione Gaussiana:

Distribuzione Gaussiana:

Stima della distribuzione basata sulla media m e la deviazione standard s di un insieme di

misure.

Non limitata da nessun lato, simmetrica.

La formula è:

Spostamento medio μ:

Random Walk in 1D: Distribution of Path Lengths after 15 steps (49 Paths)

0

5

10

15

20

25

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Final Path Length

Nu

mb

er o

f P

ath

s

Paths

Random Walk in 1D: Distribution of Path Lengths after 15 steps (49 Paths)

0

5

10

15

20

25

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Final Path Length

Nu

mb

er o

f P

ath

s

Paths

Gaussian

2)(

22 2/)(

xe

xf

76

Lo spostamento medio mediato su tutte le traiettorie (paths). Può essere positivo o

negativo nel modello monodimensionale.

Deviazione Standard σ:

Misura l’allontanamento dalla partenza.

σ 2=media dei quadrati <x2> - quadrato della media <x>2: N

Deviazione Standard e Media:

Notate le dipendenza quasi-lineare del quadrato della deviazione standard nel tempo.

N

txtxtx

N

n n 1)(

)()(

222 )()(

)(

N

tx

N

txt

)1(

)()()(

22

NN

txtxNt

A Gaussian Distribution

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

FWHM

1D Random Walk: Mean and Standard Deviation

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

0 200 400 600 800 1000

Steps (t)

<x>

, si

gm

a

StandardDeviation

Mean

t

77

Random Walk monodimensionale:

Random Walk Bidimensionale:

Random Walk tridimensionale:

Random Walk proprietà di base:

In 2D, il Random walk è Ricorrente: ritorna al punto di partenza infinite volte.

1D Random Walk: (St. Dev.)2 vs Time

0

200

400

600

800

1000

1200

0 200 400 600 800 1000

Steps (t)

sig

ma

2

StandardDeviation^2

78

In 3D, il Random walk è Transiente: dopo un certo tempo, NON ritorna al punto di

partenza.

Diffusione:

L’ubriaco viaggia per una distanza √t , mentre un sobrio si sposta come vt.

L’ubriaco “diffonde” nello spazio come una goccia d’inchiostro nell’acqua.

Teorie: moto Browniano nei fluidi (Einstein, 1905, provò che i liquidi erano fatti di

particalle) e diffusione del calore nella materia…. Non solo ma…

Riassumendo:

Il Random Walk per molte traiettorie tende ad una distribuzione Gaussiana della

posizione. Lo spread della distribuzione (la deviazione standard ovvero FWHM ) cresce

come √t.

Gli Steps (spostamenti) in tutte le direzioni sono equiprobabili (non vi è spostamento

reale). Ogni step è independente dal precedente.

Di quanto si allontana una particella dopo N step di Random Walk?

Distanza dalla partenza =

N ~ t = tempo

Spostamento nel RW

Random walk

x(t+1)=x(t)±1

x2(t+1)=x2(t)+2x(t)+1(1/2 of time)

=x2(t)-2x(t)+1(1/2 of time)

<x2(t+1)>=(1/2)* <(x2(t)+2x(t)+1)>

+(1/2)*<(x2(t)-2x(t)+1)>

=<x2(t)>+1=<x2(t-1)>+2

iterando questo da: <x2(t+1)>=numero di steps nel tempo ~t

txx 2

Il random walk ha una dimensione Frattale = 2:

Questo significa che :

In un gran cubo di lato L con L3 punti dentro, un random walk visita solo L2 punti.

In matematica:

Il moto Browniano = Limite del Random walk con step indipendenti ed infinitesimi.

DN

79

Definito così da Norbert Wiener (1920’s).

Una traiettoria Browniana (path), B(t), è una funzione continua del tempo, ma molto

irregolare.

Traversa se stessa infinite volte spesso in 2 or 3D. In 4D, 2 paths Browniane non si

incontrano mai.

Louis Bachelier (1870-1946) :

1900 la sua Tesi: “Theorie de la Speculation”

Risultati ed idee presenti in essa:

La Fluttuazione dei mercati descritta in termini di moto Browniano.

Il moto Browniano ha una distribuzione Gaussiana.

La Teoria delle Martingale, l’equazione detta di Chapman-Kolmogorov.

Il Processo di Bachelier-Wiener detto di Wiener.

Random Walk e Polimeri

Polimeri e Walk Auto-escludente

Nel 1940, Paul Flory, un chimico, studiò le lunghe catene di monomeri dette-polimeri.

Ogni monomero ~ uno step del walk.

Con un’eccezione: I monomeri non possono occupare il medesimo spazio quindi è escluso

l’effetto volume.

Polimero fatto da 500 monomeri:

Che diametro ha un polimero fatto da N monomeri?

Ogni polimero con N monomeri equiprobabili.

In 2D: Diametro = C N3/4 ?

Dimensione Frattale = 4/3

In 3D: Diametro = C N , .6 ??

Oltre le 4D , polimero ~ random walk , = .5

80

Traiettoria Autoescludente con 20,000 steps:

Polimero Ramificato:

Polimero Ramificato con N = 10,000:

Diametro dei PR:

Ogni polimero ramificato è formato con N rami o monomeri equiprobabili.

Teorema (D. Brydges and J. Imbrie, 2002): In 3D

Il Diametro di un NCPR N = numero monomeri.

La supersimmetria è usata per provare la riduzione dimensionale.

Il Problema è non risolto in 2, 5, 6, 7 dimensioni.

Equazione stocastica di Lowner rivoluzione in 2D:

Charles Löwner, 1920 , studiò il conformal mappings in 2D con le equazioni differenziali .

ScLE = Moto Browniano + equazione di Löwner

Oded Schramm, Greg Lawler and Wendelin Werner (2000 – present)

81

Risolve: molti problemi nella geometria delle traiettorie Browniane, percolazione,walks,

ecc.

Il confine di un moto Browniano in 2D ha dimensione frattale = 4/3. (LSW 2000)

Diffusione Quantistica ovvero guidare a Manhattan

(Modello fatto da John Cardy & others)

Descrizione del modello:

Le ostruzioni agli angoli delle strade compaiono casualmente (Random) con probabilità =

p , 0<p<1

L’autista è un robot e segue le strade e ruota solo ad un’ostruzione.

Questo modello è equivalente ad un modello di Elettrone quantistico 2D, interagente con

delle impurità (obstruzioni).

Respiro e Moto Browniano:

La superfice polmonare ha una struttura frattale. Pensate alle molecole di ossigeno che si

muovono con urti come una traiettoria Browniana. Qual’è la forma ottimale di una

superficie per assorbire l’ossigeno più efficientemente? Dove una molecola Brownian

urta la superficie con maggior probabilità ? (misura armonica).

Se la superficie è troppo rugosa, ( dimensione frattale troppo alta), la particella Browniana

non urterà gran parte della superficie.

Jean Bourgain -

La dimensione frattale di una superficie che BM può urtare non può esser troppo vicino a

3.

Tom Wolff - ha mostrato che esistono Superfici frattali di dimensioni maggiore di 2 che

sono accessibili ad una traiettoria Browniana.

Ipotesi :

La più larga dimensione frattale di una superficie accessibile ad una traiettoria Browniana

è 2.5. (Peter Jones).

82

Il cuore:

Dinamica del battito cardiaco, indicatrice di salute e malattia, è frattale.

Quindi anche l’allenamento è…

Una struttura fondata su basi frattali, quali :

La respirazione

Il battito cardiaco

La locomozione

Il volume

L’intensità

Volume ed intensità:

La periodizzazione è una serie temporale frattale.

Volume = set x reps.

Intensità = % 1RM.

È una relazione inversa.

Bisogna considerare la non linearità dovuta al recupero.

Effetto elastocaloricoUn effetto poco noto che può diventare addirittura fondamentale in particolari condizioni come la maratona, è l’effetto elastocalorico che si verifica nei polimeri e negli elastomeri, in essi infatti ad una compressione adiabatica corrisponde un determinato innalzamento di temperatura.Infatti in una maratona con una frequenza tra 50-70 colpi (passi)/minuto e con una intensità della sollecitazione compressiva di 2-3 volte il peso dell’atleta la suola si riscalda di un delta che dipende essenzialmente dal materiale, ma anche dalla sua particolare struttura.Il processo elastocalorico permette dunque di valutare la variazione di temperatura prodotta da una compressione. Le valutazioni numeriche sono ovviamente “puntuali”, ma una registrazione con video-tape permette di vedere la situazione reale che può, ovviamente, divenire input di un codice strutturale che calcoli l’entità dell’effetto.

83

In Figura B.11 sono riportate le variazioni di temperature in un punto della suola in funzione del tempo. Risulta facile osservare che la risposta termica del processo di compressione è sicuramente sommabile, ovvero direttamente proporzionale all'intensità dello stress a cui è sottoposta la suola.Durante una trasformazione adiabatica il processo elastocalorico produce a valle di una forza di compressione F una variazione di temperatura.

(1)

per calcolare la variazione di temperatura dovuta alla forza di compressione si usa l'uguaglianza di Maxwell

(2)

Il secondo membro della (2) può essere trasformato in

(3)

ma ricordando che

(4)

con ρ = densità della gomma, e che il coefficiente di dilatazione termica lineare è definito da

(5)

si ha sostituendo per la (3) la (4) e la (5) nella (1)

dFVC

LTTT

p

0 (6) se (T-T0) è piccolo si ha

VC

FTTT

p 0

0 (7)

nel caso sperimentale in cui (T -To) > 1 vale la relazione

pC

FTT exp0

dFF

TTT

ps ,0

pFps S

L

F

T

,,

pFpFpF S

T

T

L

S

L

,,,

VC

T

S

T

pFpF ,,

pT

L

L

1

84

svillupando in serie

...!3!2

132

xxxe x

si ha

3

0

2

000 !3!2

ppp C

FT

C

FT

C

FTTT

troncando lo sviluppo al secondo termine otteniamo la relazione di nostro interesse.

(8)

Nella Figura B.11 è mostrato l'innalzamento sperimentale di temperatura dovuto alle compressioni nel tempo.Al primo picco corrisponde una compressione al secondo cinque compressioni, sebbene il tempo intercorso tra la prima prova e la seconda non sia stato tale da ricondurre il "sistema" allo stato termico iniziale, dalla figura si evince facilmente con il conforto delle valutazioni numeriche, che il processo è in buona approssimazione lineare.Ora ricordando che la forza F ricavata è una compressione, quindi una forza a reale e che il martello usato presenta una superficie d'impatto di ~ 10 cm2 si ricava in corrispondenza dei due picchi il valore numerico delle forze.[3]

NF 2.121 NF 7.432

pC

FTTT 0

0

Figura B.11 Variazioni dell’andamento della temperatura di un punto della suola sottoposta a compressione differenziata. N.B Le frecce indicano i punti dove la soula ha subito 1 e 5 compressioni.

85

Elasticità polimerica non lineareCome si è visto nei capitoli precedenti questi materiali (naturali e di nuova sintesi) sono stati scelti o sintetizzati per ottenere delle proprietà meccaniche o meccanotermiche particolari nelle scarpa. Tutti questi nuovi materiali di sintesi mostrano un comportamento elastico non lineare, a differenza di quello mostrato precedentemente in questa medesima appendice.La teoria dell’elasticità non lineare è ancora una branca in evoluzione. Ma si potrebbe porre ora la domanda cos’è l’elasticità ? Dopo quello che abbiamo introdotto nelle pagine precedenti ci sentiamo di affermare che essa si interessa della descrizione della deformazione di un corpo rigido e delle fluttuazioni, dell’energia e delle forze derivanti da questa deformazione.Essa pertanto descrive la meccanica dei corpi estesi dal macroscopico fino al microscopico (ovvero da un ponte al citoscheletro)La descrizione classica lagrangiana dell’elasticità prevede la rappresentazione del solido in analisi come un insieme continuo di punti che subiscono tutti la stessa deformazione elastica e poi ritornano nella posizione iniziale dopo che la deformazione ha avuto termine, con conseguente conservazione della massa e del volume primitivi.Ricordiamo solo per inciso che una deformazione elastica classica si può sempre scomporre in una traslazione più una rotazione dei punti del corpo.Pertanto se il punto sarà deformato potremo scrivere:

( ) ( )

i i i

R x x u x

R

x

e la deformazione completa funzione dello spostamento e della

rotazione sarà

Possiamo in tal modo definire l’elasticità detta lineare e quella che approfondiremo nel seguito cioèquella non lineare: Lineare: piccole deformazioni – Λ circa 1Nonlineare: grandi deformazioni – Λ >>1Potrebbe sorgere spontanea una domanda. Perché studiare il non lineare?Perché i sistemi non lineari sono sistemi che possono sostenere grandi deformazioni e rappresentano materiali come – gomma o catene polimeriche che sono ampiamente usati nelle scarpe sportive come si è visto precedentementePerché la teoria non lineare permette di capire le proprietà di questi materiali deformati in termini di meccanica statistica.In realtà oggi la fisica delle sostanze soffici come: salsa, maionese, polimeri, cristalli liquidi, gomme, ecc. è una delle frontiere della fisica moderna, non ancora del tutto definita.

86

Non tratteremo quindi per la dovuta brevità dell’esposizione tutti i problemi connessi anche con la diversità di queste sostanze, ma ci focalizzaremo essenzialmente sui polimeri pur cercando di impostare la teoria matematica in una forma estremamente generale tanto da poter facilmente estendersi e comprendere, altre sostanze soffici come ad esempio i liquidi nemantici (che però non tratteremo nello specifico).Se consideriamo per questi materiali le deformazioni che possono avvenire, se sottoposti a deformazioni generali del tipo di Cauchy –Saint Venant , allora la forma più generale di affrontare il sistema è quello di considerare uno spazio di riferimento R dove è il corpo ed uno spazio fittizio in cui si muta lo spazio di riferimento dopo le deformazioni, detto spazio target T, come in Figura B.12:

Dove l’operatore U risulta invariante per rotazioni nello spazio T mentre nello spazio R si comporta come un tensore, e si può scrivere:

Pertanto si vede che u è simmetrico e non contiene informazioni relative all’orientazione del corpo.Anchel’energia elastica sarà invariante per rotazioni nello spazio T e si potrà scrivere:

Dove K è il tensore modulo elastico.Nella Figura B.13 è mostrato l’andamento della curva forza estensione per la gomma naturale.

1 12 2

12

( ) ( )T T

k k

u

u u u u u

12

12

( )

[ ]

D

D

F d xf u

d x K u u u

Figura B.12 Spazio di riferimento R dove è il corpo ed uno spazio fittizio in cui si muta lo spazio di riferimento dopo le deformazioni, detto spazio target T.

87

È importante ricordare che i Polimeri sono formati da una lunga sequenza di unità chimicamente identiche dette monomeri.I polimeri possono essere lineari o ramificati, ma ad un certo livello di dimensione mesoscopica tutti i polimeri si comportano in modo pressoché analogo, ovvero soddisfano l’equazione di Helmholtz :F = E-TS (con F energia libera, E energia, T temperatura ed S entropia) , si comprende facilmente che per minimizzare, l’energia libera F a temperatura ambiente, cioè pressoché costante l’unico modo è quello di massimizzare l’entropia S del sistema.Pertanto un polimero esplora costantemente un numero molto grande di microstati accessibili attraverso il moto Browniano, e mentre per i solidi convenzionali classici le fluttuazioni entropiche sono del tutto trascurabili, e le proprietà vengono definite dal reticolo cristallino periodico, invece le basi delle proprietà fisiche per i polimeri sono di fatto definite proprio dalle fluttuazioni entropiche del sistema.Gli elastomeri ed i polimeri hanno a differenza dei solidi classici un comportamento misto formato da caratteristiche elastiche e viscose, se su di loro si applica uno sforzo di taglio.Infatti se si applica una tale sollecitazione ad un polimero esso prima mostra un comportamento elastico (cioè spostamento proporzionale alla forza applicata) per un certo tempo, in alcuni casi dell’ordine del secondo, poi mostra un comportamento “anomalo” iniziando a deformarsi questa volta con velocità proporzionale allo sforzo applicato.Questo avviene perché i polimeri sono formati da reti i cui costituenti si muovono di moto browniano e sono fissi in alcuni punti di raccordo.Nella Figura B.14 vengono mostrati alcuni esempi di polimeri reticolati.

Figura B.13 Andamento della curva forza estensione per la gomma naturale.

88

Nella Figura B.15 viene mostrato l’andamento di alcuni noti biopolimeri in funzione della deformazione ad essi applicata.

Il polimero è una struttura frattale auto similare spesso ramificata. Come si formano?Una possibilità probabile è che essi siano formati da una serie non lineare di reazioni chimiche non lineari (Browniane) auto-organizzate, autoescludenti perché un monomero non può sovrapporsi ad un suo simile o a se stesso. Che l’evoluzione auto organizzata sia non lineare si può vedere dalle seguenti equazioni:

Pertanto la costruzione di un polimero, se il sistema possiede una scala infinitesimale del tempo a livello macroscopico, per ogni dt tutti I canali reattivi si attivano moltissime volte sebbene la funzione di propensità non vari apprezzabilmente, per tale ragione possiamo approssimarlo ad un processo continuo definito dalla equazione chimica di Langevin (SDE). Mentre l’Auto –Organizzazione geometrica frattale deriva dalla corrispondente equazione di Fokker Plank:

1 1 1 1 2

22 2 2 1

22 1

2

31 1 1 12

( )

q q a q q

q q b q

bq t q

a bq q q

2

2 2

2 2

( , ) ( , )

1( , )

2

u s u u u s s s u u su s

u s u su s

f q q q aq q q bq f q qq q

K K f q qq q

Figura B.14 a. Gel di Actina, b. Network di neuro filamenti.

10

100

1000

0.01 0.1 1

Strain stiffening of semiflexible biopolymer networks

G o

r G

' pla

t(P

a)

Strain

NF

Vimentin

Collagen

Actin

Fibrin

polyacrylamide

Figura B.15 Andamento di alcuni noti biopolimeri in funzione della deformazione ad essi applicata.

89

Se si studia l’evoluzione nel tempo della risposta temporale del sistema polimerico alla deformazione è importante notare che Se si stira il polimero i costituenti della rete si deformano nella direzione dello stiramento, quest’azione innalza l’energia libera F in quanto si abbassa l’entropia del sistema, che ora risulta allineato e quindi più ordinato dello stato non deformato.In tal caso l’energia libera prenderà la forma del seguente integrale:

3 30 0

1'

2F P gd rd r In cui è in funzione della densità di incroci ρ e della probabilità di trovare la testa del costituente della rete polimerica in una data posizione r o r’ e del coefficiente d’interazione g.L’equazione del moto del sistema è semplicemente data in forma di Lagrange generalizzata dell’equazione:

3kL E F d r

da cui si deriva che la lagrangiana del sistema dipende dalla differenza tra le densità di energia cinetica ed energia libera.

Frattali e Moto Browniano frazionario

Il Moto Browniano dentro e fuori il corpo umano

È ben noto nella moderna scienza medica che, le approssimazioni lineari non sono

sufficienti per studiare il corpo umano come sistema complesso.

Negli ultimi trent’anni, il concetto di frattale permette di studiare la struttura interna

“caotica” del corpo umano.

Nel corpo è possibile trovare frattali geometrici (statici) come strutture spaziali definite

frattali temporali (cinematici) dati dall’analisi delle serie temporali delle risposte del corpo,

la base dinamica di connessione fra esse è il Moto Browniano Frazionario .

In questo lavoro è presentata una stupefacente estensione dai frattali interni rappresentati

dalla contrazione browniana dei muscoli, attraverso la pelle “Browniana” fino al mondo

90

macroscopico esterno, come l’equilibrio ortostatico, la locomozione, l’allenamento nella

corsa, i combattimenti di judo o le partite di calcio, basketball e football americano, per

mezzo della presenza ubiquitaria continua la Dinamica Browniana.

I frattali sono strutture complesse, statisticamente-auto- similari, invarianti di scala, con

dimensione non intera. Essi sono generati da semplici regole iterative, sparsi nei sistemi

naturali reali o sintetici, compreso il cervello.

Frattali spaziali del corpo umano ( Statici ):

connessioni intestino, placenta

vie aeree nei polmoni

sistema arterioso dei reni

condotti nel fegato

fibre di His-Purkinje nel cuore

vasi sanguigni nel sistema circolatorio

patterns di crescita neuronale

vascolarizzazione retinica

L’intestino mostra proprietà di auto-similarità. La superficie interna dell’intestino esibisce

una struttura a dita e ad ogni livello successivo di magnificazione rivela la presenza di

strutture similari.

Queste strutture ramificate auto-similari da dove provengono? Una possibilità probabile è

che esse siano formate da una serie non lineare di reazioni chimiche non lineari

(Browniane) auto-organizzate.

Il modello lineare non può spiegare l’auto-similarità.

Se il sistema possiede una scala infinitesimale del tempo a livello macroscopico, per ogni

dt tutti i canali reattivi si attivano moltissime volte sebbene la funzione di propensità non

vari apprezzabilmente, per tale ragione possiamo approssimare un processo Markoviano

discreto con uno continuo definito dalla equazione chimica di Langevin (SDE).

M

j

M

jjjjijjiii dttNtXadttXatXdttX

1 1

2

12

1

dove N1, …, NM sono M variabili normali statisticamente indipendenti con media 0 e

varianza 1.

L’ Auto –Organizzazione geometrica frattale deriva dalla corrispondente equazione di

Fokker Plank :

312111

21

22

21222

21111

)(

qab

qq

qb

tq

bqqq

qaqqq

91

Albero dell’arteria coronaria

Purkinje Cells Nel cerebello

Frattali temporali del corpo umano (cinematici)

• Sequenze del battito cardiaco

• Elettroencefalogramma

• Intervalli temporali fra I potenziali d’azione

• Volumi respiratori

• Cinetica ionica nella membrana cellulare

• Metabolismo Glicolitico

• Mappatura delle sequenze del DNA

Come l’analisi delle onde può individuare un auto-similarità, o un segnale frattale.

Analisi:

Il segnale è la curva di Kock

Un segnale sintetico che è costruito ricorsivamente

Se il segnale è simile a se stesso a scale diverse, allora l’indice di "rassomiglianza " o il

coefficiente d’onda sarà anche similare a scale differenti.

Nel plottaggio dei coefficienti, che mostra la scala sull’asse verticale, questa auto-

similarità mostra un pattern caratteristico

Alcuni esempi di risposte temporali umane:

),(2

1

),(),(

2

2

2

2

2

sus

su

u

suusss

suuuu

su

qqfq

Kq

K

qqfbqqq

qaqqq

qqf

92

Variabilità della pressione arteriosaVariabilità della pressione arteriosa

Variabilitàdel rateo

respiratorio

Variabilitàdel rateo

respiratorio

Variabilitàdella frequenzadi passo

Variabilitàdella frequenzadi passo

Variabilitàdella temperaturacorporea

Variabilitàdella temperaturacorporea

Variabilitàdel battitocardiaco

Variabilitàdel battitocardiaco

Sorte e Variazione

Semplici esponenziali inversi

Fluttuazione Additiva:

Fluttuazione Moltiplivativa:

Distribuzione di Gauss:

2x

DexP

Legge esponenziale inversa di Pareto:

Il limite continuo del Random Walk

La forma continua del Random Walk ha due limiti. L’equazione dinamica e

l’equazione nello spazio delle fasi.

Equazione di Langevin 1908

)()()(

ttvdt

tdv

dissipazione forza random

Equazione della diffusion nello spazio delle fasi

)(tXdt

dX

XtXdt

dX)(

DxxP

1

1)(

93

Fokker Plank

Statistica di Gauss

Scaling (esponenti di Hurts)

H=δ=0. 5

Limite continuo del RW frazionario

Il limite continuo del Random walk frazionario è il Moto browniano Frazionario. Il limite

continuo del random walk frazionario è l’equazione frazionaria di Langevin

Spostamento quadratico medio

HttXtX 2122

22

)()12()0()(

DiffusioneAnomala

Processo subdiffusivo

2

1

2

10 H

),(),(),(

2

2

tvDPv

tvvPvt

tvP

)(4),,(

2

)(2

)(

00

2

2

t

etutuP

t

u

)(0

0tteuuu

)(2 012

)( tteD

t

)()1(

)0()( tt

XtXDt

Forzarandom

Condizioniiniziali

Derivata

frazionaria

t

t tt

dtttD

01)'(

')'(

)(

1)(

Integrale

frazionario

94

Diffusione Browniana e rumore random:

Rumore Gaussian Random Traiettoria Browniana

Sub-traiettorie Pdf della diffusione

Scaling H=0.5

Esponente di Hurst:

Rumore Gaussiano Frattale:

1/fb=1/f2H-1

Range-lungo e correlazione con la legge inversa di potenza

Rumore persistente: H>0.5

Rumore random: H=0.5

Rumore antipersistente: H<0.5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

t

iitx

1

)(

Tempo: t

x(t)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 50 100 150 200 250 300

Tempo: t

2

2

2exp

2

1),(

t

xx

ttxp

H=0.8

H=0.6

H=0.4

H=0.2

95

Standard Deviation Diffusion Analysis

Dall’esponente di Hurst globale (H)

All’esponente di Holder locale (h)

L’esponente di Hurts è una misura media globale. Dell’autocorrelazione in una serie

temporale.

Tuttavia la maggior informazione. È al livello locale!

L’esponente locale di Holder. È una misura locale delle singolarità della serie temporale.

Una forma locale di autocorrelazione.

HtxxtSD 2)()(

Determinazione dell’esponente di Holder

H=0.2

H=0.8

96

Scafetta N., Griffin L., West B.J., Holder exponent spectra for human gait,Physica A 2003; 328: 561-583.

Distribuzione degli esponenti di Hurts:

L’esponente di Hurst

È approssimativamente connesso alla media dell’esponente di Holder

H = h + 1

L’ampiezza s della distribuzione misura la variabilità frattale.

2

20

2exp

2

1

hh

hg

Battito cardiaco RR variabilità

Qual’è Reale? Quale falso?

Reale

400

600

800

1000

1200

1400

0 20000 40000 60000 80000 100000

RR

inte

rva

l

time series number

400

600

800

1000

1200

1400

0 20000 40000 60000 80000 100000

1

2

97

Media ,varianza ed esponente frattale simili MA Distribuzione diversa Dell’esponente di

Holder

Osservazioni generali:

Molti sistemi complessi si possono essere rappresentati da funzioni frattali. Se è una

funzione frattale, con dimensione frattale D allora la derivata frazionaria della funzione ha

una nuova dimensione.

La dinamica di una funzione frattale può esser descritta da un’equazione frazionaria

dell’evoluzione.

Il Moto Browniano

Dal di dentro al di fuori del corpo umano

Motori Browniani molecolari e contrazione muscolare

La contrazione muscolare è guidata da motori molecolari che si muovono

unidirezionalmente lungo le catene polimeriche delle proteine (actina ecc). La miosina e la

kinesina convertono l’energia chimica in moto 350 teste di miosina formano circa 5 cross-

bridges al secondo.

Fitting dei parametri di contrazione muscolare:

Vengono applicati due modelli 1) il motore Browniano 2) ed il Power stroke Snider e coll.

2002

Fit con la soluzione di Langevin

Fit con l’esponenziale

h=0.8

2 /( ) 1 tr t D t e

2 ( )r t At

98

Sul confine:

Nel corso del 2002 Frash propose un modello di pelle umano basato sul random walk per

calcolare appropriatamente spessori, diffusività e proprietà di permeabilità. Con buonoi

risultati:

Diffusività e spessore effettivo:

modello reale eterogeneo materiali differenti in strati differenti

Membrane omogenee: stesso materiale

Ogni strato viene quindi considerato omogeneo

Diffusività effettiva = diffusività di una membrana omogenea avente identiche proprietà di

permeabilità della pelle

Lunghezza effettiva = spessore di una membrana omogenea avente le medesime

proprietà di permeabilità della pelle.

simulazione della permeabilità attraverso la pelle

con il random walk

con logKcor_lip=0 & Dcor/Dlip = 1.0/0.01

diffusività effettiva

D normalizzata da D0*

lunghezza di trasporto effettiva

a vista dipendenza notevole da logKcor_lip & dipendenza debole da log(Dcor/Dlip)

ybbb

yaax

DDy

Kx

hrcmD

lipcor

lipcor

10

100

_

250

0)/log(

log

/106.3*

bxxe

y

D

D/)(

001*

*log

33

221

0

1*

*xlxlxl

l

l

99

con l0*=0.003 cm x=logKcor_lip

I valori dei 3 parametri non dipendono dal valore di l0*

Permeabilità Steady state della pelle:

Vantaggi:

Permette di modellare la diffusione attraverso uno strato corneo morfologicamente

realistico.

Adatta a strutture della pelle di ogni specie.

Utile per estrapolare dati da animale ad uomo.

Utile per valutare la variabilità locale della permeabilità della pelle umana.

Le fluttuazioni della temperatura superficiale sono Browniane:

Nello steady state le fluttuazioni della temperatura superficiale del corpo sono Browniane

Evoluzione dell’Equazione:

h soddisfa la relazione di Sacripanti:

0)()()(

2

2

dt

td

dt

tTd

dt

dch

dt

tTdc v

v

v

v

v

c

kTT

ckTEE

ttThdt

tTdc

22

22

)()()(

Fluttuazioni in Energia

Equazione tipo Langevin

Fluttuazioni in temperatura

100

Equilibrio umano Centro di Pressione vs Centro di Massa:

Un regime di scaling sembra apparire quando si combina il random walk del COP con il

termine di attrito nell’equazione di Langvin (Hastings Sughiara 1993).

modello di Hastings Sughiara:

Moto Browniano del CP

Moto Browniano

Dal movimento comune allo Sport

Analisi della locomozione umana. L’analisi della locomozione con sistemi di cattura video

e sistemi di modellazione 3D aiuta I medici a diagnosticare e documentare, errori

locomotori attraverso la comparazione dei pazienti prima e dopo I trattamenti con data

base storici di locomozione normali e non.

Multifrattali nella locomozione:

L’equazione frazionaria di Langevin descrive la variabilità dell’intervallo di passo nella

locomozione (Scafetta and others 2002- 2004).

Scaling

)()(

)()(

)()(

tXtX

tt

tKtK

H

H

')'()'()()(0

0 dttttKXtXtXt

dt

dOe

ttT

TT

T

eM

T

eM

hRl

ScDS

ttT

TT

hl

kS

ett

TT

l

kSn

tt

TTS

P

P

va

vavs

a

aa

s

ssh

a

ash

TT

TT

lh

S

aias ab

bs

2)7.05.02.0(

02.0

2.1

2

33.08.02

02.0

2.1

2

33.08.02

4

0

33.08.0

0

44

1

)(

)(Re4)1(16.0

)(

)(PrRe4132.0

PrRe6.0

2

)()()( tdBdttrxtdx

z

xCoP

z

yCoP

F

My

F

Mx

101

I momenti q, quando α è una variabile random di Lévy

Disordini che interessano la locomozione umana...

MBF nell’allenamengto alla corsa:

(Billat ed altri.) dal 2001 al 2005 hanno presentato un’analisi multifrattale delle serie

temporali di battito cardiaco relative al fondo e mezzo fondo per migliorare il training degli

atleti. Essi hanno anche tentato di confrontare il primo ed il secondo semibattito per

misurare l’effetto della fatica sugli atleti.

Esponente di Holder Multifrattale

Battito cardiaco e fattori di scala

Gli “Sport di Situazione” sono tutti quegli sport in cui non è possibile individuare un pattern

costantemente ripetibile in ogni gara. Per ogni gara il moto in essa è un processo random

0;)1()(

)( )(

qbqHqq

tv qq

0

00 log

)()(loginflim)(

0 tt

ttPtftH m

tt

102

Questi sport in cui esiste uno o più avversari, che possono toccarsi sono: sport di

combattimento o di squadra come: judo, box, lotta, karate, calcio, basket, football, palla a

nuoto, hockey, etc. Il modo biomeccanicamente corretto di analizzare questi

macrofenomeni è quello di studiarli in due fasi :

Il Moto

L’interazione fra gli atleti

Il moto della coppia di atleti in competizione può essere spiegato da un equazione tipo

Langevin. Questo è il primo modello di Sacripanti, che permette di scrivere l’equazione

per il moto globale del baricentro della coppia.

Contributo al moto di una singolaSpinta/ Trazione

Equazione generale

Moto nelle gare di judo

Somma di (1, 2, 7, 12) traiettorie random che mostrano la correttezza dell’assunzione

Browniana del moto.

Studi dell’Interazione:

1) applicazione di una Coppia

1° modello di Sacripanti

2) Applicazione di una Leva

1°modello di Sacripanti

3) Applicazione della meccanica degli urti

0' F

)()( j jttut

')()1( FFttuvmaF ajj j

Attrito Spinte/ trazioni

103

1°modello di Sacripanti

Il moto negli sport di squadra è meglio modellato da un moto Browniano attivo proposto da

Ebeling e Schweitzer considerando il consumo e l’uptake di ossigeno.

Un’atleta di massa m, posizione r, velocità v, la forza di auto spostamento è connessa al

deposito di ossigeno e(t); ed al coefficiente di attrito dipendente dalla velocità γ(v) dal

potenziale parabolico esterno U(r) e dal rumore F(t).

Deposito di ossigeno: uptake dipendente dallo spazio q(r), dissipazione interna c e(t),

conversione dell’energia interna in cinetica d2 e(t) v2 .

Analisi del deposito di energia (per q(r) = q0):

Moto nei giochi di squadra:

Sulla base del modello di Ebeling e Schweitzer e dell’equazione di Helbing, l’equazione

tipo Langevin proposta nel secondo modello di Sacripanti considera :

Il moto, l’uptake, kinetic l’energia cinetica dovuta all’uptake e le potenziali interazioni

meccaniche come collisioni e schivate

Mitsubishi Electric Research Laboratories

Applicazioni:

Individuare un incidente stradale.

Individuare code di traffico usando l’ MPEG-7 motion activity descriptor.

Estrazione di informazioni semantiche per partite di calcio con la Columbia University.

Metodo:

Estrazione dinamica delle immaggini compresse nel dominio.

)(12

cos11

)()(),(

2,1112,12,1

2,12,12,110

20

2,12,1

jj

B

dr

ttueNA

Ndrkvtevt

mtrv

v

Vma

2 ( ) ( ) ( ) ( )tm d e t U F t v v v v r

2

2( ) ( ) ( ) ( )t e t q c e t d e t r v

2 00

2

( )d q

c d

2v

v

γ(v)

104

MPEG-7 motion activity descriptor,

Semplici istogrammi dei colori.

Per 9 sport di squadra l’unica azione tecnica è il lancio:

“Lancio Strategico” passaggio

“Lancio Dinamico” Tiro

Per tutti gli sport di squadra, il Moto è Browniano e la probabilità permette di individuare

un atleta in una posizione particolare al tempo t.

In generale per gli sport di squadra la probabilità di essere in x al tempo t è governata da

un’equazione speciale della diffusione con spostamento meglio nota come: equazione di

Fokker – Plank.

Conclusioni:Da questo lavoro si comprende che tutti i sistemi complessi autoorganizzati, specialmente

i biologici come il corpo umano, sono descritti meglio da equazioni non lineari che si

esprimono attraverso le loro forme (frattali) statiche, cinematiche e dinamiche.

La sola connessione tra questi differenti aspetti è il Moto Browniano generalizzato in ogni

formulazione nota: classica, frazionaria, attiva ecc..

Ne deriva che, partendo dall’aspetto frattale fino ai multifrattali è alla luce delle nostre

conoscenze la dinamica Browniana è uno dei tasselli base dell’alfabeto matematico della

Vita.

V TECNOLOGIE AVANZATE APPLICATE

La match analisi

Match – Analysis fondamenti scientifici e metodologici

Sinossi dell’intervento

o Definizioneo Nascitao Campo di applicazione

Classificazione Biomeccanica degli sport.

Metodi di studio ed osservazione

o Tecniche di Ripresa del Motoo Analisi comparata dei software commercialio Tecniche avanzate di ricercao Equazioni del moto ed interazioni base

),,()(),,(

2

2

tvxPv

Dm

xFv

vv

xt

tvxP

105

Risultati dell’analisi notazionale

o il consumo energetico e/o l’impegno fisiologico dell’atleta, l’allenamento di 1° livello

o il miglioramento biomeccanico della tecnica o Strategicao Dinamica o Match Analysis e Strategia: allenamento di 2° livelloo Match Analysis e Strategia: allenamento di 3° livello

Bibliografia essenziale

Una definizione scientificamente corretta, sulla base della “Theory of Games and

Echonomic Behavior ” di von Neumann, Morgenstern e Nash. Può essere: la Match

Analysis è lo studio di un conflitto di interessi, basato sulla teoria dell’utilità.

Come è nata?

Essa può considerarsi un’estensione sperimentale dell’analisi della performance di un

singolo atleta ai casi complessi di:

1. Due atleti che si incontrano.

2. Un sistema di atleti interagenti fra loro che si incontrano con un altro sistema

complesso di atleti.

Campo di Applicazione ? Sport di Situazione.

Tecniche di Ripresa del Moto:

Storicamente per moltissimi anni l’analisi degli sport di situazione è consistita

essenzialmente nelle schede d’osservazione che venivano riempite da un osservatore

“tecnico” durante le competizioni.

In una fase intermedia con la venuta dei nuovi computer si è passati via via ad una

elaborazione più sofisticata dei dati sempre presi con il metodo delle schede.

Poi si è passati alle tecniche di ripresa con analisi manuale dei dati.

Infine alle riprese e valutazione automatica di alcuni semplici problematiche di squadra.

Infine evolvendosi l’hardware ed il software ai metodi di rilevamento automatico su ampie

superfici.

Gli sport di squadra hanno beneficiato immensamente dallo sviluppo dell’analisi

notazionale computerizzata.

Le informazioni di questi sistemi possono essere usate per :

– Feedback immediato

– Sviluppi di database

106

– Indicazioni di aree che possono essere migliorate

– Valutazioni

– Come base per ricerche selettive attraverso video dell’incontro.

– Tutti i punti precedenti sono importantissimi per l’allenatore.

Sistemi notazionali computerizzati - Pro & Contro

Pro -

Nessuna notazione manuale

L’incontro è rappresentato in forma digitale

Tutto conservato su supporto ottico

Contro -

Aumento delle possibilità d’errore

1. Errori dell’osservatore – dati errati in entrata

2. Errori dovuti ad Hardware & software

I metodi di rilevamento del moto umano su ampie superfici:

A livello commerciale sono stati subito sviluppati dei prototipi o dei sistemi operativi che

permettono con più o meno approssimazione di conoscere il moto libero di una coppia o

quello coordinato di una intera squadra.

Anzi in vista del giro economico associato si sono sviluppati principalmente i sistemi di

squadra.

In effetti i sistemi commerciali ad oggi in vendita sono solo una semplificazione non troppo

precisa dei sistemi d’azione multipersona.

Tali sistemi, molto complessi, sono praticamente ancora di ricerca e richiedono

un’interazione strutturata tra gli atleti e l’ambiente in cui si muovono.

Le caratteristiche generali di questi sistemi sono :

1. Grandezza maggiore e particolarità dello spazio degli stati dove vengono

rappresentati gli atleti.

2. Esplicita capacità di ricerca di un oggetto.

3. Capacità di parziale descrizione dell’interazione multipla fra gli atleti.

4. Definizione delle primitive temporali delle azioni.

5. Capacità di seguire l’intenzionalità.

6. Necessaria difficoltà dei modelli fisici.

107

Inoltre negli sport di situazione di squadra esistono delle condizioni uniche di sistema che

vengono di seguito indicate:

1. Aggiustamenti strategici della squadra.

2. Azioni finalizzate al punto.

3. Tassonomie precise.

4. Momenti di ripresa dalla situazione spaziale di partenza.

5. Comportamento finalizzato degli atleti.

I sistemi si sono sempre più evoluti ed oggi con sistemi commerciali ad esempio è

possibile ottenere il tracking degli atleti per sport di squadra attraverso le seguenti fasi:

1. posizionamento ottimale del sistema d’acquisizione (spesso in un sistema

multivideo i range delle camere si sovrappongono in parti del campo e hanno zone

d’ombra per altre parti del campo );

2. calibrazione, sono i metodi che permettono di trasferire oggetti tridimensionali in

uno spazio a due dimensioni,

3. registrazione delle immagini, la registrazione delle immagini per match di lunga

durata ad esempio 90 min, rappresentano solo un problema di capienza per il

sistema, normalmente la quantità d’immagini da immagazzinare per una partita di

calcio è circa di 900000, per un sistema di cattura a 50 frames al secondo e per

624x 328 pixels,

4. digitalizzazione delle immagini la stessa quantità con la compressione M-JPEG

delle immagini e la loro digitalizzazione può occupare su di un Hard disk circa 20

Gigabyte di spazio,

5. Tracking i sistemi possono essere manuali ( l’operatore con il mouse può eseguire il

tracking) o automatizzati di riconoscimento delle immagini questi eseguono

automaticamente il compito,

6. pre e post processing dei dati di moto il post processamento dei dati di traiettoria

ottenuti, sia manualmente che automaticamente, risulta necessario in quanto le

traiettorie contengono un certo numero d’imprecisioni (automatiche) o sono troppo

drastiche nel cambiamento di direzione (manuali) pertanto per ottenere traiettorie

fisiche plausibili bisogna smussare le curve ottenute con lo smoothing,

7. analisi degli errori vi sono diverse sorgenti d’errore che possono inficiare le

traiettorie ottenute bisogna pertanto per quanto possibile individuarle e correggere

gli errori derivati. Gli errori possono essere generati da:

108

movimenti delle estremità dell’atleta,

errori introdotti dalla compressione immagini,

errori di marginalizzazione nei pixel,

imperfetta calibrazione degli strumenti,

errori dell’operatore ( se presente).

Sorgenti e tipologia degli errori:

Nota:

• Sono tracciati i moti globali degli atleti per effettuare la match analysis

• non si considerano gli errori dell’operatore.

Da Pers et alt. “errors and mistakes in automated player tracking”

Conclusioni:

•RMS errore sulla posizione: da 0.2 m a 0.6 m

• RMS errore sulla velocità: da 0.2 m/s a 0.4 m/s

• errore sulla traiettoria : da +1 m a +10 m (per 1 atleta per min.)

• gli atleti sono oggetti estesi e non rigidi a questa scala il limite è imposto dalla definizione

della posizione, velocità e lunghezza della traiettoria dell’atleta stesso.

Nelle figure che seguono vengono mostrati alcuni frames di incontri di squadre di hockey,

calcio, rugby, basket.

109

In tempi recentissimi si sta provando una nuovissima metodologia di riconoscimento

attraverso uno spazio fittizio dei colori dove ad ogni giocatore corrisponde un colore, in tal

modo si cerca di ottenere delle informazioni sul moto globale del sistema.

I dati raccolti vengono trasferiti dal video su di una griglia computerizzata mediante l’analisi

notazionale, per studiare in dettaglio il movimento e lo stile di gioco degli atleti.

Nel seguito vengono mostrati alcuni frames e le elaborazioni connesse di due diversi

sistemi di tracking per il gioco del calcio. Già la semplice visione delle immagini rende

conto della difficoltà tecnico pratica del problema.

Tecniche avanzate di ricerca sperimentale:

Con l’evoluzione tecnica le possibilità di valutazione biomeccanica divengono sempre più

sofisticate ed avanzate.

Nel seguito mostriamo alcuni sistemi di alta capacità innovativa presentati in questi ultimi

anni.

– Dirk Farin et al.

“Fast Camera Calibration for the Analysis of Sports Sequences”

– Specializzato nella detezione delle linee di campo.

– Usa una stima dei parametri di linea basata sul sistema RANSAC.

– Fornisce un’ottimizzazione combinata.

110

– Fornisce un tracking interattivo delle linee di campo.

– Ziyou Xiong et al.

“Highlights Extraction from Sports Video on an Audio-Visual Marker Detection Framework”

– Sistema Audio - orientato con assistenza visuale

– Informazioni sui colori e sul moto sono usate per accrescere la risoluzione dei

segmenti ottenuti

– Huanxin Xu et al,

“Fusion of Multiple Asynchronous Information Sources for Event Detection in Soccer

Video”

– Sistema decisionale e di combinazione d’informazioni di livello, basato su regole

di aggregazione e di analisi Bayesiana.

– Jacek Czyz et al

“A Modular Multi-Camera Framework for Team Sports Tracking”

– Individua e sincronizza le coordinate dei target

– Associa queste coordinate

– E le fonde in sequenze

– Fathi Porikli et al

“Event detection by eigenvector decomposition using object and frames features”

– Utilizzo di un nuovo framework di detezione

– Basato su molteplici enti matematici ed istogrammi

– Fornisce informazioni non ottenibili dal tracking semplice

– Esempio di due attacchi rosso, bianco ed orientazione degli istogrammi

– Patric Laube et al

“Discovering motion patterns in groups of moving point objects ”

– Specializzato nella detezione delle linee dette lifeline

– Applicazioni di sistemi GPS

– L’utilizzato di un nuovo algoritmo

– Ha mostrato la trappola di offside che si sviluppava in campo

– Andrew C. Thomas

“A comparison of strategies in ice hockey”

– Suddivide il match in collocazione e possesso del puck

– Usa questa informazione per definire la rilevanza strategica offensiva e difensiva

111

– Ha dimostrato che la superiorità nel collocamento del puck è più importante del

suo possesso

– Sia per strategie difensive che offensive

L’integrazione di computer, tecnologie innovative e conoscenze biomeccaniche avanzate

permetteva già circa 18 anni fa di ottenere dati del tipo seguente.

(1985-90)

Prima teoria Biomeccanica completa di uno sport di situazione

(1989-1994)

Studi sul consumo energetico degli sport di situazione duali, in telemetria

(1991- 95)

Prima teoria matematica della competizione negli sport duali di combattimento

(1997-2005)

Estensione agli sport di squadra

Primi lavori (1989):

Nel lontano 1989 l’autore iniziò una campagna di misure termografiche condotte in

collaborazione tra ENEA, CONI, e FILPJ per la valutazione del costo energetico di atleti, in

condizioni di competizione reale, basate sulla biomeccanica dello scambio termico. Le

esperienze furono condotte all’Acqua Acetosa, presso l’Istituto di scienza dello Sport e

presso l’ENEA laboratori della Casaccia.

Di seguito sono alcune termografie di 15 anni fa. Su di esse fu sviluppata l’equazione

successiva

L’equazione di Sacripanti che connette la somma dei contributi di irraggiamento,

convezione, conduzione ed evapotraspirazione dell’emissione termica superficiale al

consumo di ossigeno valutato allora con il K2 è:

dt

dOe

ttT

TT

T

eM

T

eM

hRl

ScDS

ttT

TT

hl

kS

ett

TT

l

kSn

tt

TTS

P

P

va

vavs

a

aa

s

ssh

a

ash

TT

TT

lh

S

aias ab

bs

2)7.05.02.0(

02.0

2.1

2

33.08.02

02.0

2.1

2

33.08.02

4

0

33.08.0

0

44

1

)(

)(Re4)1(16.0

)(

)(PrRe4132.0

PrRe6.0

2

112

I risultati dell’equazione per tre casi- lavoro nullo, positivo, negativo.

Le attuali frontiere:

Le attuali frontiere termografiche ricordando che l’autore lavorava con una termocamera

ad azoto liquido della terzultima generazione ΔT =0,5C°; 50 Hz. Oggi ne possiede una

bolometrica della penultima ΔT =0,1C°; 60 Hz. Ma per la diagnostica le ultimissime

raggiungono limiti di ΔT =0,02 C° ; 2000 Hz. ; 50 µm per pixel;

Equazioni del moto ed interazione di base

Equazioni del moto ed individuazione dell’interazione degli sport di situazione puri

Di coppia

Di squadra

L’Analisi Notazionale

L’analisi notazionale è una tecnica emergente che viene usata nella match analysis. Il

gioco viene analizzato annotando le partite ed i giocatori in funzione della tattica e della

tecnica usata. L’analisi notazionale studia i moti o i pattern di moto negli sport di squadra.

Essa è connessa primariamente con la strategia e la tattica ed è stata usata anche nella

danza e nella musica.

Gli incontri degli sport di situazione, sia duali che di squadra, possono essere inquadrati

nella teoria dei sistemi complessi adattivi. Tali sistemi sono composti di agenti interagenti

(gli atleti) che continuamente si adattano (strategia) cambiando le regole interne

(passaggi) appena l’ambiente ( la squadra avversaria) o la loro percezione dell’ambiente

vari.

Definizione del sistema biomeccanico duale

A) Coppia di Atleti chiusa: i due atleti hanno dei punti di contatto fissi e semirigidi “le

prese”. In tal modo i due atleti perdono la loro individualità e si fondono in un sistema

unico in equilibrio stabile, che si sposta per il terzo principio della dinamica, mentre le forze

113

di reazione esistenti saranno, in questo caso, la risultante delle forze di spinta-trazione

prodotte da ambedue gli atleti.

B) Coppia di Atleti aperta: i due atleti non hanno dei punti di contatto fissi e per conservare

la loro condizione di equilibrio instabile saranno al meglio approssimati da un pendolo

rovesciato, mentre grazie all’esistenza dell’attrito si potranno spostare per il terzo principio

della dinamica.

Individuazione delle forze agenti:

La caratterizzazione dell’ambiente di competizione ci porta facilmente ad individuare le

forze agenti sugli Atleti:

1) la forza di gravità;

2) la forza d’impatto e/o di spinta prodotta dall’avversario;

3) le reazioni vincolari prodotte dal suolo/ tappeto e trasmesse mediante l’attrito.

IL Moto

Il sistema Coppia di Atleti, compie spostamenti “casuali” prodotti dalla variazione di

velocità di coppia, o dal cambio di direzione della risultante delle forze generate dai due

atleti al fine di creare una “situazione” opportuna, che permetta di applicare la tecnica

risolutiva.

Ove “casuale” definisce la condizione che statisticamente non esiste una direzione

privilegiata degli spostamenti.

Questo moto è possibile, grazie all’attrito presente al “contatto” tra piedi e materassina, in

base al III Principio della Dinamica.

L’equazione generale che descrive questa situazione dinamica è la seconda legge di

Newton F = ma.

Nella forza generalizzata F compariranno sia i contributi “attrito” che quelli “spinta

trazione”. Essi rappresentano, impulsi agenti su brevissimi intervalli di tempo. Pertanto la

singola variazione è espressa dalla di Dirac dell’impulso u della forza elementare.

Dove u rappresenta la variazione del momento meccanico v m.

L’Equazione di Langevin del moto nel primo modello di Sacripanti è:

j jttut

j ajj FFttuvmaF '1

114

Essendo la risultante delle spinte/trazioni di tipo “casuale” non è possibile predire la

traiettoria in un singolo incontro, ma l’analisi statistica estesa ad un numero significativo di

competizione, permette di trarre informazioni sul comportamento del sistema.

Poiché i cambi di direzione sono equiprobabili, cioè su di un gran numero di

combattimenti, non esiste una direzione privilegiata allora il valor medio di F’ su una

sequenza casuale di direzioni è nullo.

0' F

Seguendo Smoluchovski la “causa fisica” che produce il meccanismo Browniano o

l’evoluzione random della gara permette di ottenere la probabilità di base di questo

processo Marcoviano (da Markoff). Dunque per sport duali possiamo scrivere la probabilità

di transizione base Q ed ottenere le soluzioni della probabilità condizionale P che ci

forniscono al limite del tempo infinito la probabilità di trovare l’atleta tra x ed x+dx al tempo

t .

s

svsv

ssmnP

soluzionelafornisceche

kmkmmkQ

2

1

!2

!2

!,

1,2

11,

2

1,

Se questo è vero il moto è Browniano

Dromogrammi di 1, 7 ,12 incontri di Judo

Interazioni della coppia:

1) Applicazione di una coppia di forze: (modello di sacripanti)

2) Applicazione di una leva fisica

115

3) Applicazione della meccanica degli urti

Squadra - Equazioni del moto:

Ricordando che il moto globale della squadra è ciclico, per ogni punto segnato; le

equazioni che reggono il moto di un atleta negli sport di squadra sono più complesse,

questi sport vengono meglio approssimati con i moti Browniani attivi, piuttosto che con i

passivi usati per i duali, in quanto in questo caso è necessario prendere in considerazione

il contributo del consumo d’ossigeno preso dall’ambiente, più l’interazione reciproca fra gli

atleti.

Esplicitando i termini, l’equazione di Langevin del moto, proposta dal secondo modello di

Sacripanti, tiene conto sia della respirazione, sia dell’ interazione meccanica (urto +

schivata) :

jj

B

dr

ttueNA

Ndrkvtevt

mtrv

v

Vma

12

cos11

,

2,1112,12,1

2,12,12,110

20

2,12,1

Ovvero in forma compatta l’equazione di Langevin proposta dal secondo modello di

Sacripanti si può scrivere

'

1

21

21

FFFFv

ttuFFFvma

accv

jjaccv

Poiché i cambi di direzione sono sempre equiprobabili ma con un punto di accumulazione,

cioè su di un gran numero di incontri, non esiste una direzione privilegiata allora il valor

medio di F’ su una sequenza casuale di direzioni è nullo.

0' FSe questo è vero il moto è Browniano

Dromogrammi per il calcio

116

Seguendo Erenfest la “causa fisica” che produce il meccanismo Browniano o l’evoluzione

random della gara, permette di ottenere la probabilità di base di questo processo

Marcoviano ( da Markoff ). Dunque per sport di squadra possiamo scrivere la probabilità di

transizione Q e cercare di ottenere le soluzioni della probabilità condizionale P che è

legata al valor medio al limite del tempo infinito della probabilità di trovare l’atleta tra x ed

x+dx al tempo t

av

mav

smR

smnmPsm

èmediovalorsuoilperòsoluzionedifficilehasmnP

kmR

kRkm

R

kRmkQ

11

1,

,

1,2

1,2

,

Il modello di Erenfest, modificato da Sacripanti, permette invece, di ottenere la probabilità

di base di questo processo Marcoviano in funzione del metodo di attacco. Per gli sport di

squadra si può scrivere la probabilità di transizione Q in funzione del tipo d’attacco α. Dove

il parametro α varia da 1 attacco immediato, a 2 manovre verticalizzate, 3 attacco

manovrato, 4 attacco per linee orizzontali, 5 melina. Le soluzioni della probabilità

condizionale P sono legate al limite del valor medio nel tempo della probabilità di trovare

l’atleta tra x ed x+dx al tempo t

mavaav

a

a

a

a

smR

smnmPsm

acon

kmR

kRkm

R

kRmkQ

11

1,

51

1,2

1,2

,

L’interazione negli sport di squadra:

L’ interazioni di connessione strategica delle squadre si basa sul tiro (passaggio) effettuato

con le catene cinetiche superiori o inferiori.

L’interazione dinamica contro la squadra avversaria si basa sul tiro effettuato con le

catene cinetiche superiori o inferiori.

1. Strategica “il passaggio”

2. Dinamica “il tiro”

Biomeccanica dell’interazione:

117

Quindi il tiro nelle sue varie possibilità e nelle sue due espressioni interattive (Strategica –

passaggio, Dinamica – tiro) è l’azione biomeccanica di base che primariamente deve

essere studiata negli sport di squadra di situazione.

Biomeccanica classica dell’interazione (tiro):

Velocità angolare della coscia e della gamba (Lees, 1996)

Biomeccanica avanzata dell’interazione:

Il moto è stato catturato usando un sistema Vicon® di cattura del moto.

Strumenti: 5 video camere nell’infrarosso con un rateo di 100Hz. I dati sono stati filtrati

usando un filtro Woltring GCV e sono stati usati 28-marker per registrare il moto.

Studi scientifici sul tiro, mediante software avanzati CFD ( FLUENT)

118

Finalità della Match Analysis

Risultati dell’analisi notazionale

Quali sono i suoi scopi? Individuare mediante l’analisi notazionale automatica:

1. il consumo energetico e/o l’impegno fisiologico dell’atleta, allenamento di 1° livello

2. il miglioramento biomeccanico della tecnica

1. Strategica

2. Dinamica

3. Match Analysis e strategia allenamento di 2° livello.

4. Match Analysis e strategia allenamento di 3° livello.

Fattori fisiologici dalla Match Analysis

Informazioni fisiologiche

Esempi di risultati che forniscono dati collegabili con la fisiologia dei singoli atleti consumo

energetico totale e muscoli più impegnati (più caldi).

Ricerche dell’Autore

Esempi di risultati che forniscono dati collegabili con la fisiologia dei singoli atleti.

Ricerche dei Prof. Bosco & D’Ottavio

119

Fondamenti scientifici e metodologici:

Le informazioni di tipo fisiologico, (dirette o indirette) acquisite mediante la match analysis,

devono essere utilizzate come input per sviluppare le metodiche di allenamento di 1°

livello - quelle tese al condizionamento fisiologico del soggetto – FASE ALLENANTE.

Sulla base della definizione del Prof. Vittori:

L’allenamento è l’organizzazione dell’esercizio fisico ripetuto in quantità ed intensità tali da

produrre sforzi progressivamente crescenti che stimolano i processi fisiologici

d’adattamento dell’organismo e favoriscono l’incremento delle capacità fisiche e tecniche

dell’atleta al fine di consolidare ed esaltare il rendimento di gara

1. Allenamento di 1° livello teso al condizionamento fisiologico dell’atleta

Ciclo di allenamento nessuna partita nel weekend

Le Misure della performance atletica necessitano di un’attenzione.

La migliore misura generica è la variazione percentuale.

Ma una data variazione percentuale nell’abilità di un atleta a produrre, ad esempio

potenza, può produrre differenti variazioni percentuali a seconda del tipo di esercizio.

Per i fitness tests degli sport di squadra, bisogna convertire le variazioni percentuali

in variazioni di medie standard, dopo la meta-analisi.

Una squadra si valuta con i fitness tests, ma non vi è una relazione chiara tra fitness-test

sulla performance e performance della squadra, per cui…

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

Mon Tue Wed Thur Fri Sat Sun

Day

% o

f T

ota

l E

xert

ion

<70

70-80

80-90

90-100

120

Come si può interpretare, per una squadra, una piccola variazione globale o una

differenza nei fitness-test sulla performance? Bisogna usare la variazione standardizzata.

Nota anche come: media Cohen o statistica d di Cohen.

In meta-analisi è utile valutare grandezze o differenze tra le medie di diversi studi. Ma per

le squadre, è più indicato esprimere la differenza valutata, come variazione della media

rispetto alla deviazione standard fra gli atleti valutati (media/DS).

Match Analysis e miglioramento biomeccanico della tecnica:

Il miglioramento della tecnica detta strategica per il singolo passa attraverso:

1. Una ripetizione statica del gesto

2. Una ripetizione dinamica in movimento diritto parallelo

3. Una ripetizione dinamica con moto vario

4. Una ripetizione dinamica a “cercare” il compagno ( schemi semplici di gioco)

5. Una strutturazione semplice di strategie di gruppo attraverso partite ridotte

Il Miglioramento della tecnica di squadra e della coordinazione del gruppo, attraverso i

passaggi è una delle fasi di preparazione della squadra più delicate ed importanti.

La match analysis permette off line in allenamento di valutare l’apprendimento delle

strategie di gruppo da parte della squadra, anche attraverso partite ridotte che permettono

una più facile esecuzione ed una più facile applicazione delle direttive di gruppo.

Il miglioramento della tecnica personale (tiro dinamico) passa attraverso, una ripetizione

del gesto di base in condizioni complesse:

Rigori con portiere che avanza

Rigori con due portieri

Punizioni di prima con barriera più vicina

Punizioni con barriera che avanza

Corner con avversario ravvicinato

Studio dell’effetto magnus secondo varie condizioni di tiro.

Il Miglioramento della tecnica dinamica del singolo è la fase di rifinitura della squadra. La

match analysis permette off line in allenamento di valutare le capacità dinamiche dei

singoli e di specializzarle maggiormente a seconda dei ruoli ricoperti nella squadra. Di

seguito è mostrato un esempio di software adatto allo scopo

Software per il miglioramento della performance e dello skills

Controlla i progressi individuali fra gli eventi

Valuta la miglioria per ogni specifico sport o skill

121

Compara il rateo di miglioramento fra gli atleti

Classifica gli atleti in base ai risultati ottenuti

Match Analysis e strategia allenamento di 2° livello:

1. Allenamento di 2° livello teso allo studio di situazioni invarianti di gara - FASE

ADDESTRANTE

Con la match analysis è possibile individuare una serie di situazioni dette invarianti di gara

che devono essere ripetute in fase di allenamento addestrante per far acquisire agli atleti

la capacità di governare facilmente queste situazioni.

Posizioni di guardia

Invarianti di competizione per gli sport di combattimento permettono :

1. Lo studio della tecnica in condizioni gara.

2. Permettono l’impianto di strategie di combattimento sullo stile dell’avversario.

Muro: Esempio di invariante di gara in volley

Corto: Situazione invariante in hockey su prato

Tiro libero: situazione invariante in basket

Corner: situazione invariante nel calcio

Tiro libero: situazione invariante in rugby

Tiro libero: situazione invariante in football americano

Mischia: situazione invariante in rugby

Uomo in più situazione invariante in palla a nuoto

Match Analysis e strategia allenamento di 3° livello:

1. Allenamento di 3° livello teso allo studio di strategie complesse - FASE

ADDESTRANTE suddivise in:

strategie di situazione temporanea (di attacco – contrattacco – difesa - mantenimento del

vantaggio - recupero dello svantaggio , ecc.)

strategie globali ( moduli di gioco)

Strategia nella “Teoria dei Giochi”.

Un piano che specifica quali scelte il giocatore deve effettuare, per ogni possibile

informazione aggiornata che può possedere, in un determinato istante dell’incontro, in

conformità con i pattern d’informazione che il regolamento della partita prevede in quel

caso.

Von Neumann

122

Strategia

L’insieme dei piani basati sulla coordinazione degli sforzi, armonizzati con i movimenti

relativi, tesi a superare gli ostacoli e ad ottenere la vittoria.

La strategia è materia pertinente l’analisi razionale

Tattica

La capacità del corretto utilizzo della fase transitoria.

La tattica è materia pertinente l’intuizione irrazionale

Per gli sport duali di combattimento, l’allenatore dovrà individuare quelle che vengono

definite strategie standard che di seguito indichiamo:

A. In condizioni di parità studio di un’opportuna strategia di attacco basata sui cambi di

velocità.

B. In vantaggio studio di una strategia attendista non intesa come passività.

C. In svantaggio studio di un’opportuna strategia d’iniziativa tecnica.

D. Studio del combattimento al limite dell’area di competizione.

E. Studio del cambiamento di posizione di guardia

F. Studio di opportune concatenazioni di tecniche.

G. Studio della variazione del ritmo di gara in funzione del tempo di competizione.

H. Studio di condizioni competitive con distanze relative diverse

I. Studio di un opportuno uso delle penalità.

J. Studio di opportune tecniche per passare in ne waza

K. Studio del ne waza per ficcare la resistenza dell’avversario.

Applicazione di strategie di combattimento:

L’allenatore per i giochi di squadra dovrà individuare le strategie semplici di situazione

temporanea. Es: studiando la strategia degli spostamenti a parità di velocità.

L’allenatore per i giochi di squadra dovrà individuare le strategie semplici di situazione

temporanea. Es: studiando la strategia degli spostamenti in funzione delle velocità diverse

tra i giocatori.

L’allenatore per i giochi di squadra dovrà individuare le strategie semplici di situazione

temporanea. Es: studiando gli spostamenti avvenuti in funzione del risultato dell’azione

(goal USA -Estonia 1997 ).

Le strategie ed i tracking vengono individuati dai software di match analysis

automaticamente mediante i modelli marcoviani gerarchici nascosti.

123

Visualizzazione dell’azione di un Modello Marcoviano Gerarchico Nascosto, (HHMM) con

la distribuzione delle scene e la video ripresa, per l’individuazione automatica dei pattern

di movimento.

HHMM- Modelli Marcoviani Gerarchici Nascosti

Sequenze di stati, detti nascosti, connessi mediante la probabilità di transizione che

determina lo stato successivo ad ogni tempo.

Le Osservazioni sono funzioni probabilistiche dello stato ad un determinato tempo.

Sono ordinate secondo sistemi gerarchici opportuni.

Possono anche individuare comportamenti non stazionari.

Modello Marcoviano Nascosto:

Un modello generativo sequenziale per la distribuzione congiunta di stati (posizioni degli

atleti) (s) e simboli (o)

Tracking di V-oggetti accoppiati:

K = {L1, G1, … ,LNK-1, GNK-1, LNK}

Li : atleta

nn oooossss ,...,,..., 2110

||

11 )Pr()Pr(),Pr(

o

ttttt osssos

St-1

Ot-1

St

Ot Ot+1 ...

St+1...

124

Gi: connette gli atleti con velocità costante attraverso H = {Vli, Gi, V1

i+1} la funzione

passaggio dove Vli è l’ultima posizione di Li e V1

i+1 è la prima di Li+1

Azioni statiche, di moto, strategiche

V-oggetti con movimento

Con l’esame degli incontri effettuati, ottenuti con la match analysis, l’allenatore dovrà

individuare le particolarità delle strategie globali (moduli di gioco), ricordando che nei

giochi di squadra, il modulo è periodico nel tempo, dopo un punto segnato.

Argomenti che possono attenere strategie globali di gioco sono:

Schieramento d’inizio gara (modulo di gioco) e suoi aspetti pregnanti.

Controllo del centro, e sua influenza sulla partita.

Iniziativa e possesso di palla.

Vantaggio di spazio e capacità d’ attacco.

Principi del contrattacco.

Strategie difensive complesse come il fuori gioco.

Modulo di gioco sua flessibilità, sua capacità di variare.

Mobilitazione delle forze.

Attacchi precoci.

Operazioni laterali. ecc.

Football Americano:

Esempio di strategia difensiva complessa

Basket:

Esempi di strategie complesse d’attacco

125

Hockey:

Esempi di strategie complesse d’attacco

Palla a Nuoto:

Allenamento Strategico

L’allenatore dovrà esser capace di svolgere lo stesso lavoro

d’analisi, sul modulo della squadra avversaria,

Conoscenza delle doti dei giocatori

Potenziali punti deboli ( tecnici e psicologici).

Conoscenza dei moduli di gioco maggiormente utilizzati.

Individuazione dei reali punti deboli, tecnici e psicologici.

L’allenatore dovrà esser capace di svolgere lo stesso lavoro d’analisi sul modulo della

squadra avversaria, individuandone i possibili punti deboli.

Schieramento d’inizio gara (modulo di gioco) e suoi aspetti pregnanti (controllo del centro,

iniziativa, possesso di palla, vantaggio di spazio, capacità d’attacco, contrattacco, ecc) sua

flessibilità, sua capacità di variare, mobilitazione delle forze, attacchi precoci, operazioni

laterali, ecc.

Per poter sviluppare una strategia, si necessita di una base informativa fondata su: Analisi

e valutazione del livello di abilità strategica e di skill dei propri atleti e di quello degli

avversari. Anticipazione preventiva della possibile interazione fra le squadre.

Metodologia Strategica Corretta:

Con l‘uso di Video + informative nei database.

Con lo studio dei Trend: dalle frequenze di accadimento, alle qualità di performance.

Ricordiamo in fine che:

Coaching

Competizioni precedenti(proprie e degli avversari)

Analisi delle competizioniprecedenti

Messa a puntodi una strategia

Miglioramentodella strategia

Competizione

126

Lo sviluppo di strategie è interpretativo piuttosto che algoritmico.

Ovvero la Match-Analysis non può sostituire l‘allenatore, ma lo aiuta solo a sviluppare il

suo lavoro più rapidamente e con maggior precisione.

VI BIOMECCANICA E TECNOLOGIA SPORTIVA

Miglioramenti biomeccanici su strumenti, equipaggiamenti, attrezzi , tecnologie

e training

Overview:

Vestiario

Apparecchi

Equipaggiamenti

Tecnologia

Tecnologia e miglioramento delle performance:

Avanza velocemente

Permettendo agli atleti di esprimersi a standard elevati raggiungendo limiti prima

considerati impossibili.

Gli Atleti non sono i soli a competere durante le Olimpiadi: vi sono anche duelli

tecnologici.

Designers ed ingegneri lavorano per guadagnare millesimi di secondo nel corso di una

performance.

Miglioramento degli equipaggiamenti:

Designs di scarpe, tute, implementi

Miglioramento delle tecniche:

metodi di analisi biomeccanica:

Qualitativa

Quantitativa

Miglioramento dell’allenamento:

modifica del training

analisi delle deficienze tecniche, e tipo di training per il miglioramento

Nuovi sviluppi nel vestiario sportivo aiutano gli atleti Olimpici a migliorare le chance di

vittoria in molti sport. Tali vestiari possono fornire il vantaggio che giustifica la differenza

127

fra una medaglia di argento ed una d’oro nelle competizioni di elite. (Schrof et al 42),

(http://exploratorium 1995).

Applicazioni ai vestiti:

Aerodinamica / idrodinamica: Ciclismo, corsa, nuoto.

Attrito: All Blacks – hanno strisce ad alto attrito che permettono di tenere la palla legata

alla maglia.

Assorbitori di Shock : Strutture protettive per rugby, cricket, ciclismo, pattinaggio.

Esempi:

Nuoto

o tuta TYR Aqua Shift, usata da Erik Vednt, U.S. medaglia d’argento

o Tuta Speedo Fastskin FSII, usata da Michael Phelps alle Olimpiadi di Sydney

Tute riducenti il drag:

Variazioni sono state apportate ai disegni ed ai materiali di tute per ridurre il drag di

superficie e l’attrito superficiale.

Speedo® Fastskin I (TM):

È la tuta più avanzata. La tecnica costruttiva copia la pelle di zigrino ed ha delle creste a v

che decrescono il drag e la turbolenza intorno al corpo. I componenti di compressione dei

muscoli riducono la vibrazione muscolare. Le cuciture sono atte a migliorare la

coordinazione muscolare.

Nuoto

SPEEDO

Fastskin II (Speedo) usa materiali rugosi e lisci in parti differenti del corpo. Le giunzioni

sono fatte con filo stirato in direzione del flusso dell’acqua. Creste in rilievo sul torace e sul

dorso creano vortici microscopici che secondo la casa costruttrice riducono il drag. Scaglie

di titanio sulle tuta nella parte interna del braccio sono disegnate per aiutare il nuotatore ad

afferrare l’acqua. Los Angeles Times: April 12, 2004.

TYR:

Tuta Aqua Shift possiede una serie di piccoli

tubi orizzontali di 3mm che riducono il drag

totale del 15%-20%, secondo le indicazioni

della ditta.

I tubi fanno si che la turbolenza si allarghi in anticipo e questo fenomeno permette

all’acqua di riconnettersi con l’atleta.

128

Pattinaggio veloce:

SPEEDWYRE è stata sviluppata tra il 1995 ed 1996 by Spyder Active Sports, Inc. di

Boulder, Colorado. SPEEDWYRE riduce la quantità di scia dietro un oggetto smussato

come il corpo umano.

SPEEDWYRE è una “filo speciale" che è incorporato nella superficie di una tuta o di un

accessorio. Il piazzamento corretto di SPEEDWYRE in una tuta può produrre un

significativo abbassamento del drag aereodinamico, migliorando la stabilità del flusso ed

aumentando lo scambio termico.

Triathlon:

nuoto /corsa

Skinsuit: fatte con lycre specifica per il triathlon che si fonde al corpo anche se bagnato

Il vento scivola sulla tuta come fa l’acqua sulla gamba di nuoto del triathlon.

Ciclismo

Le ricerche mostrano che il mezzo più semplice per alleggerire la bicicletta è quello di

focalizzarsi sulle parti in moto circolare.

“Edmund R. Burke, Ph.D., ha dimostrato che 1 pound aggiunto ad una ruota o alla

pedaliera equivale a circa 2 pounds sul telaio, (Velonews Vol 28, No 16).

Tute Aerodinamiche:

Nike Swift Suit - una Swift Suit è disegnata per aiutare lo sprinter a massimizzare la sua

velocità dalla partenza all’arrivo diminuendo il drag aereodinamico, aumentando la libertà

di movimento e fissando le articolazioni.

Il peso della tuta è diminuito ed essa aumenta la ventilazione attraverso mesh particolari

per tale scopo.

È anche possibile abbassare la resistenza significativamente coprendo i capelli la

riduzione totale di drag può produrre un significativo miglioramento nella performance .

Attrezzature:

Assorbitori di Shock e strutture protettive.

Strutture protettive per rugby, cricket, ciclismo pattinaggio.

Football Americano:

Simile al rugby.

Ma con assorbitori ed elmetti per la durezza degli scontri.

Hockey su ghiaccio:

Popolarissimo in Canada

129

Usa elmetti ed imbottiture

La partita è rude e spesso i giocatori si scontrano fra loro.

Attrezzature:

La Biomeccanica è utilizzata anche per migliorare l’efficienza delle attrezzatura sportive.

Giavellotto:

Vecchio vs. Nuovo

Variazione del CM

Forze su di un giavellotto:

Soluzione del problema – CM:

Il giavellotto moderno ha il centro di galleggiamento dietro il centro di massa. Questo crea

un momento di punta verso il suolo che riduce il tempo di volo ed assicura l’atterraggio di

punta. L’atterraggio di punta permette la misura più agevole ed il giavellotto più sicuro.

Soluzione del problema - momento della forza:

Non vi era momento sul vecchio giavellotto per cui esso non atterrava punta in giù. Il

momento sul nuovo permette l’atterraggio di punta.

Disco:

Galleg.

Peso

vecchio Galleg.

Peso

vecchio

forza(momento)

galleggiamento

attrito

peso

Galleg.

Peso

nuovo Galleg.

Peso

nuovo

130

Le distanze maggiori possono esser raggiunte con un leggero vento contrario. È

fondamentale il lift prodotto dal disco. Le due superfici hanno la medesima forma. Se si

fornisce un piccolo angolo d’attacco si produce il galleggiamento che agevola il tiro.

Momento Ang. = momento d’inerzia x velocità Ang.

Momento d’ Inerzia = Σmasse x (raggio)2

Martello:

Momento Ang. = momento d’inerzia x velocità Ang.

Momento d’ Inerzia = Σmasse x (raggio)2

Salto con l’Asta:

Variazione nel diametro dell’asta

Struttura di un’asta moderna:

L’asta, formata di tre strati di fibre differenti usate per massimizzare la stiffness mentre

minimizza la capacità di ruotare durante l’uso. (preso da: K.E. Easterling.)

La nuova tavola da volteggio

La Lingua

Suggerita nel 1993. Testata la prima volta nel CdM del 2001. Usata ufficialmente nel 2003.

Vantaggi

Maggior sicurezza *

Salti più aggressivi

Più facile da apprendere

Unisex

Area di contatto più efficace

Vecchia : 20” x 12” (50cm x 30cm)

Nuova : 20” x 20” (50cm x 50cm)

superficie maggiorata del

40%

131

Svantaggi:

Necessita di aggiustamenti

Porta minor supporto per le mani

Variazioni nei salti acrobatici:

Entrate rotatorie più facilitate

Minori salti frontali di forza di braccia

Pattinaggio di velocità:

La tecnica può paragonarsi allo sprint maggior estensione delle gambe = più potenza. Le

gambe non possono essere estese correttamente senza la spinta dell’ “alluce”.

I pattinatori si allenano a fermare la spinta prima di flettere la caviglia.

- Riduce la lunghezza del passo

- Riduce la potenza

Risultato : sviluppo del Klapskate

Klapskate vs. pattini tradizionali:

La differenza fra pattini tradizionali e Klapskate è data dalla mobilità del piede.

Klapskate:

L’idea è vecchia di 100 anni. Sviluppati da Gerrit Jan Van Ingen Schenau. Le sue ricerche

si fondarono sul paragone tra flessione plantare in velocità e corsa o salto.

L’inventore creò il “Jumping Jack”.

Partire sui talloni è come pattinare con pattini convenzionali, mentre partire normalmente

è come usare i Klapskates.

2” più veloce di una normale partenza = più veloce di 1/100th sec/passo.

Pattinatori di elite pattinano 50 passi/giro.

Originalmente detti “Slapskate”.

Gli inglesi e gli usa hanno poi imposto Klapskate.

132

10 anni dopo la disponibilità, nel 1996-97 la nazionale femminile Olandese ha dato

successo ai Klapskate.

Ora sono obbligatori per competere.

Miglioramento dell’equipaggiamento:

Nuovi sviluppi nell’equipaggiamento sportivo sono di aiuto per gli atleti olimpici a

superare i loro limiti.

Sostituzione di materiali: es fibra di carbonio al posto di alluminio.

Nuovi disegni.

Biomeccanica del ciclismo:

Fattori di resistenza al moto in una bicicletta

o Drag di Superficie

o Drag di Forma

Caschi aerodinamici di protezione in composito

o Ferite alla testa – elmetti

o iper/ipo Termia

o Danni da usura

Drag di Profilo:

Si forma una tasca di bassa pressione che “trattiene” il ciclista. Quando la velocità

raddoppia questa forza resistiva quadruplica !!!!

Fattori importanti:

• Profilo

• Rugosità

• Orientazione (crouch can lower resistance ~30%)

Processi di connessione dei tubi:

133

Componenti del telaio:

Bicicletta monoscocca di fibra di carbonio: con manubrio ad assetto variabile

Miglioramento equipaggiamento alle Olimpiadi:

Michael Johnson’s ha usato scarpe ultraleggere da 105 g.

Nuovi remi con pale che spostano più acqua.

Nuove mazze fatte da metalli ultraleggeri, che spingono le palle più lontano e più

velocemente.

“sci intelligenti” sensorizzati in modo da misurare le vibrazioni dovute alla pista. Questi

sensori permettono allo sci di indurirsi o di rendersi più flessibile aiutando a conservare il

controllo dell’equilibrio ad altissime velocità.

Compositi:

Materiali Compositi:

Essi possono esser definiti come materiali con due (o più) fasi macroscopiche distinte. Di

fatto sono costituiti di due o più materiali combinati in modo che ogni materiale sia

distinguibile.

Tipi di Fibre:

Nel Borsic, le fibre sono composte di un sottile strato di boro depositato su fili di tugsteno di piccolo diametro.

Argento-rame rinforzato con fibre di carbonio.

134

Fibra di vetro

Fibra di grafite

Kevlar

Kevlar/Carbon

Compositi laminati:

I composti laminati sono formati da strati a fibre direzionalmente distinte.

Uso dei Compositi:

Bicicletta in composito

Snowboard di grafite

Arco di fibra di vetro laminata

High-Tech come Stile

Scarpe per atletica : Nike, Reebok

Partenza e sprint

Gli sprinters partono dai blocchi. Con la testa piegata in avanti essi divengono più

aerodinamici. Mentre si corre, il movimento delle braccia con forza e velocità è importante,

ma anche la costanza del piano di movimento (parallelo al sagittale) diminuisce l’attrito

aerodinamico.

Scarpe aerodinamiche:

La copertura dei lacci offre un profilo più aerodinamici che aiutano a bloccare il piede a

posto. Si usa anche un sottoscarpa con otto punti il Pebax e una chiusura superiore

aerodinamica. Il piatto Pebax e leggerissimo e sviluppa eccellente trazione e propulsione.

Applicazioni alle scarpe:

1. Attrito

Fra scarpe e fondo, se piccolo fa cadere se grande procura traumi.

2. Assorbimento shock

Assorbe l’impatto durante la corsa

135

3. Stabilità

Scarpe tennis/corsa

pronazione / supinazione

Applicazioni agli sport invernali:

Gli sci

Componenti:

Sci

Scarponi

Attacchi

Parti dello sci

Camera

Lunghezza

Larghezza : punta(S), ventre (W), coda(T)

Equazione del taglio laterale:

Rsc=C²/(8SC)

C è la lunghezza del contatto e SC=1/4(S-2W+T)

Equazione della Camera:

Rflex=C²/(8SCtanø )

ø è l’angolo fra sci e superficie

Sci materiali e struttura:

Effetti su:

Flessione

Torsione

Sci base

Materiali

Durabili

Di poco attrito

Sciolina

Minimizza l’attrito

Conserva l’adesione

Fianco dello sci

Costruzione

Raggio di curvatura

136

Alternative:

Attacchi Elettromeccanici

Variano il settaggio in base all’attività muscolare

Estremamente complessi

Il disegno progettuale:

Forze sullo sciatore:

Moto in linea retta

Gravità = (mg*sinø)

Attrito=(ƒk=µmg*cosø)

Drag = (0.5CAρv²)

Coesione neve (Fc)

Solleva.=(0.5CAρv²)

Quanto può andar veloce uno sciatore? 251 KM/H

Velocità in discesa:

248.1 km/hr! Harry Egger, Austria, 1999.

Fasi biomeccanicamente importanti:

Spinta

Corsa

Arrivo

Record di velocità con lo slittino 139.4 km/h Tony Benshoof

Tecnologia e miglioramento del training:

L’analisi biomeccanica qualitativa di una performance permette di identificare le macro

deficienze in tecnica, forza, potenza endurance o flessibilità ad esempio.

L’attuale tecnologia permette di operare su questi punti deboli in modo opportuno e variato.

Simulatore di bob in VR:

137

Nella figura successiva si osserva un vero e proprio simulatore di bob usato per allenare la

squadra olimpica USA per permettere al guidatore di assuefarsi alla guida su piste diverse

anche in condizioni senza neve.

Tecnologia e Tunnel del vento:

Le analisi aerodinamiche migliorano il posizionamento biomeccanico per adegure la

flessibilità, il respiro e l’output di potenza.

Il tunnel permette misure simultanee di drag e output di potenza.

Tunnel del vento

mgVCF pair 2

pC

mgV

Skate Classico:

Skate :

Asse, base piatta, con un punto di rotazione.

L’asse ruota su due cuscinetti di uretano.

Permettendo alle ruote di seguire un arco predefinito.

Ingegnerizzazione delle scarpe da Football

Calcio e scarpe sportive

ComfortPrezzo

Stile

Pubblicità (inc. players)

Funzione?

Evidenza scientifica?

138

Reilly (1996) Science and Soccer. Chapman and Hall; London.

L’analisi delle partite: determina l’uso delle scarpe

Moto :

Camminare 24%.; corsa leggera 44% ; velocità elevata 13%; sprint 5% ; corsa all’indietro

8% ; in diagonale 2%; con il pallone 4%.

Situazioni specifiche/in partita:

13 tackles, 9 salti, 50 rotazioni, 26 contatti.

Differenze di ruolo

Studio delle forze in gioco.

Pedane di forza

o Si ripetono movimenti realistici

o Si studiano: il centro di pressione che cambia nel corso del movimento, il

moto di direzione delle forze durante i movimenti.

Stress nelle scarpe ha un’intensità 3 volte maggiore in allenamento piuttosto che in gara.

Una forza cumulativa in gioco di 58kN contro i 161kN in allenamento.

Scarpe alte

o Scarpe antiche

o Supporto caviglia

Scarpe scollate

o Permettono di accrescere la mobilità delle caviglie

o Caviglie nei confronti delle altre articolazioni

Rigidità torsionale delle scarpe

o Scarpe alte necessitano di maggior rigidità

o Scarpe basse di minore

o = alta deformazione durante un calcio!

Johnson et al (1976) Biomechanical approach to the design of football boots. J Biomech.

9, 581-585.

Nike Mercurial Vapour:

Pesano solo 196g e sono le scarpe più leggere che esistano. Disegnate per calciatori che

necessitano di sviluppare alte accelerazioni in per breve tempo.

Utilizzatori: Thierry Henry, Ronaldo e Ruud van Nistelrooy.

139

Adidas Predator:

Il peso è distribuito presso la punta, al fine di assicurare che la massima potenza sia

trasferirta alla palla. Fatta con pelle di canguro forte ma soffice che da un grande comfort.

Piccoli pesi sono stati strategicamente posti nella punta per aumentare la deviazione della

palla.

Un lancio asimmetrico significa che la superficie utile delle predator è morbida favorendo

una grande precisione del calico. Un calcagno doppiamente rinforzato riduce le pressioni

sul tendine d’Achille.

Utilizzate da David Beckham.

Calcio e scarpe sportive

Studi sui tacchetti

Stabilità

o Rotazioni e frenate

o Esposizione alle intemperie/effetti di superfice

Configurazione dei tacchetti (numero e posizione)/lame

baromisure- footscan® insoles: 4 sensori/cm2

Lunghezza dei tacchetti

Studi sulle differenze pressorie di picco ricevute dai piedi

Studi sulle differenze di trazione

Tacchetti & Lame:

Differenti condizioni del terreno hanno fatto nascere differenti tipi di tacchetti/lame. Terreni

morbidi richiedono tacchetti o lame metalliche in modo da provvedere la presa migliore fra

suolo e scarpe. Terreni duri richiedono tacchetti o lame modellati che provvedono una

presa fra scarpa e terreno senza vangare in suolo duro.

Effetti sperimentali dei tacchetti sulla capacità d’adesione.

Zolle bagnate- Zolle asciutte - Astrozolla

Prove di rotazione tutte alla stessa velocità

o Scivolate:

o asciutto84%, bagnato 72%, Astrozolla 45%

Scarpe diverse presentano la stessa adesione!

Potenziali errori i soggetti variavano posizione del piede d’appoggio e lunghezza del

passo.

Necessità di un maggior controllo delle variabili in futuro

140

Ulteriori effetti sulle scarpe:

Velocità della palla

Deformazione della scarpa

Forze d’impatto sulla tibia

Nessuna correlazione!

Futuri sviluppi:

o Uso di strain gauges su ogni tacchetto

Speciale

Adidas 1 Running Shoes

Compressione nelle scarpe da corsa – perchè?

Ammortizzamento: serve a decelerare il piede del

corridore quando urta il terreno.

Relazione impulso - momento [Ft = m (vf – vi)]

Troppo duro – il piede rallenta troppo velocemente = lo shock viene avvertito al

ginocchio.

Troppo morbido – foot “bottoms out” ed urta il suolo in modo duro = un altro shock al

ginocchio.

Per ammortizzare:

Gel, camere ad aria, intersuole di schiuma a densità variabile s, molle metalliche, ecc. Ma

tutto dipende anche dal peso dell’atleta.

Sviluppo dell’Adidas 1:

Il team innovativo Adidas di Portland & Herzogenaurach – partì nel 2001. 3 anni di lavoro

segreto (50 ricercatori – I loro nomi non sono noti al pubblico). Scopo: produrre una scarpa

atta a cambiare secondo lo stile personale del corridore.

1st – qual’il range ideale di ammortizzamento per un corridore?

Uno speciale sensore sotto l’alluce di scarpe standard da corsa ed un piccolo magnete al

calcagno creava un campo magnetico misurato dal sensore (sensore ad effetto Hall). Poi

furono invitati degli atleti ad usare le scarpe da loro ritenute più confortevoli – praticamente

tutti avevano preferito lo stesso range di compressione.

Le scarpe hanno una batteria, un sensore elettrico, un microprocessore ed un motore

elettrico.

Il sensore:

141

Sensore elettrico a batteria – accuratezza 0.1mm, 20,000 letture /s.

Deve essere cambiato ogni 100 ore di uso.

Il microprocessore:

Il microprocessore è il cervello che effettua 10,000 calcoli/s.

Che comanda al motore elettrico di variare l’ammortizzamento della scarpa.

Il motore:

Il motore elettrico gestisce l’ammortizzamento durante la corsa.

Turns a screw che aggiusta il grado di ammortizzamento.

Altri aspetti:

Vi è anche la possibilità di settaggio manuale tramite un bottone luminoso.

Istruzioni su CD-Rom.

Risparmiate:

Da Dicembre 2004, $250-300.

Applicazioni agli equipaggiamenti:

Equipaggiamenti

o Giavellotti, racchette, palle etc. Design spesso è influenzato

dall’aerodinamica.

Veicoli

o Biciclette, pattini,scarpe,sedie, ecc.

Biomeccanica del Golf - la mazza:

Fattori legati alla mazza:

lunghezza

attaccatura della testa

forma della testa

asta

Lunghezza

possibile un maggiore velocità della testa

maggior momento d’inerzia – minore velocità angolare

diminuzione del controllo

Parti della mazza

Testa – materiali - legno, titanio, acciaio inossidabile Irons - acciaio inossidabile, titanio,

ferro

142

Asta - acciaio, fibra di carbonio, resine composite

Impugnatura – pelle o gomma

Tipi di mazze

Driver/legno- mazze più lunghe, usate per le lunghe distanze, materiali: legno, titanio or

acciaio inossidabile

Irons - di due tipi ( di ferro), poco angolate per medie distanze, molto angolate per tiri

corti.

Putter - usate per spingere sul green

Fattori legati alla mazza:

lunghezza

attaccatura della testa

forma della testa

asta

Design:

volume: influenza il momento d’inerzia – maggiore è migliore

peso: leggero è migliore

coefficiente di elasticità : limitato da USGA

ruvidezza: influenza lo spin

Fattori d’influenza nel golf

143

Tipi di teste speciali

Titleist Titanium 983K Driver

volume 365cc.

Forma a pera.

Larga con l’inserzione di una sottile fascia di titanio

Usata per un grande angolo nel lancio iniziale

Taylormade R540 series driver

Volume 350cc

Tutta in titanio

La ditta Taylormade fece la prima testa di metallo per il

giocatore medio

Nike Forged 450cc driver

La più moderna

Volume 450 cc.

Testa molto grande

Aumentata dolcezza del colpo

Sebbene moderna ottimo successo

Callaway Great Big Bertha II driver

Volume 380cc.

Testa grande

Disegno migliorato e miglior controllo della Big Berta I

Esempi di spin indotto dal colpo:

144

Contatto con la palla

Il tempo di contatto fra testa e palla è meno di un millesimo di secondo. La forza media fra

testa e palla è di circa 2000 N, e la palla si deforma schiacciandosi sulla testa.

La palla quando è colpita rotola sulla testa per l’attrito e vola via con grande velocità sopra

l’orizzontale relativa al punto di contatto.

La Palla:

Coefficiente di elasticità:

Influenza le perdite d’energia

E’ limitato dalla USGA

Fattori che lo influenzano:

Disegno

Velocità dello Swing

Temperatura

Invecchiamento

La palla può esser formata da due pezzi o da molti strati.

Fattori aerodinamici (fossette o Dimples):

Drag – rallenta la palla

Dimples riducono il drag:

Producono uno strato limite intorno alla palla

Lo strato limite riduce la turbolenza

La turbolenza ridotta riduce il drag

Palle da golf - Storia e cenni costruttivi:

La prima palla da golf fu di pelle riempita di piume. Quando essa si induriva diventava

molto dura ed allora veniva oliada e dipinta.

Queste palle potevano raggiungere i 100 -150 metri

Le palle di pelle e piume furono usate sino al 1848 quando fu inventata la gutta – perga.

La gutta - perga è una gomma derivante dagli alberi della Malaysia. Poiché diventava

ruvida si comprese che la palla poteva esser guidata meglio delle palle lisce.

Le palle moderne sono costituite di un core di polybutadiene, una gomma sintetica. Più

duro è il core più la palla può andar lontano. Oggi una palla da golf può raggiungere

agevolmente i 300m.

145

Aerodinamica della Palla:

Drag sulla barca e sui rematori:

Drag di superficie della barca: 80% del drag idrodinamico (dipende dalla forma della

barca e dall’area totale bagnata).

Il contributo d’onda è invece piccolo - <10% del drag totale.

La resistenza dell’aria: normalmente <10% del drag totale, dipende dalla sezione d’urto

dei rematori.

Scalmo scorrevole:

idea brevettata nel 1870

il modello funzionale costruito nel 1950

ulteriori sviluppi da Volker Nolte ed Empacher nel 1980

Kolbe vince WC nel 1981 con lo scalmo scorrevole

Top 5 1x finalisti usarono lo scalmo scorrevole nel 1982.

fuorilegge dalla FISA nel 1983.

Lo scalmo scorrevole fu messo fuori legge per i costi elevati.

Evoluzione del remo:

Square loomed scull 1847

”Square” and ”Coffin” blades 1906

Macon blade-wooden shaft 1960-1977

Macon Blade - carbon fiber shaft 1977-1991

146

Cleaver blade - Ultra light carbon fiber shaft 1991

Nuovi remi e nuove pale:

Flessibilità e superfici ottimali

Per ottenere una radicale riduzione delle forze di drag sulle barche attuali, bisogna

sollevarle dall’acqua.

Fisica della racchetta

Il colpo morbido

Due colpi morbidi:

o Nodo

o COP

Forza trasmessa alla mano

Moti del manico:

o Rotazione

o Traslazione

o Vibrazione

Massima velocità della palla

Nodo di vibrazione:

È trattata come una trave uniforme

Modo fondamentale

Frequenza:

o 100Hz per sistema flessibile

o 140Hz per sistema rigido

Due nodi:

o Vicino al centro delle corde

o Vicino al manico

La frequenza è 2.75 volte la frequenza fondamentale. Non si eccita con nessuna

ampiezza significativa.

Durata, T=5ms

Picco a zero a f=1.5/T=300Hz

Vicino alla seconda frequenza

Centro di percussione:

Conosciuto come punto d’impatto

147

Punti coniugati:

o Impatto vicino alla punta: l’asse di rotazione è a circa ½ via fra la fine del

manico ed il CM.

o Impatto vicino alla gola: l’asse di rotazione è fuori la fine del manico

Potenza dei colpi:

Maggiore potenza quando si colpisce la palla presso la gola della racchetta.

Quando la palla colpisce presso la gola le viene impressa maggiore velocità.

Più pesante è la racchetta maggiore è la velocità che acquisisce la palla.

Coefficiente di restituzione:

Il rapporto tra l’altezza di rimbalzo e l’altezza incidente della palla è un parametro

importante nella racchetta.

COR varia quando la palla rimbalza fuori di certi punti speciali della racchetta.

La massima potenza si sviluppa quando il COR è più grande.

COR = la sua posizione è data dalla radice quadrata di Altezza di rimbalzo/ altezza

iniziale.

COR Dati

Centro di massa

1st set: hd = 20 cm, hr = 11 cm

2nd set: hd = 40 cm, hr = 22 cm

3rd set: hd = 60 cm, hr = 33 cm

4th set: hd = 80 cm, hr = 44 cm

5th set: hd = 100 cm,hr = 55 cm

Presso la gola:

1st set: hd = 20 cm, hr = 8 cm

2nd set: hd = 40 cm, hr = 16 cm

148

3rd set: hd = 60 cm, hr = 24 cm

4th set: hd = 80 cm, hr = 32 cm

5th set: hd = 100 cm,hr = 40 cm

Presso la testa:

1st set: hd = 20 cm, hr = 12 cm

2nd set: hd = 40 cm, hr = 24 cm

3rd set: hd = 60 cm, hr = 36 cm

4th set: hd = 80 cm, hr = 48 cm

5th set: hd = 100 cm, hr = 60 cm

COR:

COR (centro di massa): 0.74162

COR (presso gola): 0.63246

COR (presso testa): 0.7746

hr = altezza rimbalzo, hd = altezza iniziale

COR analisi dei dati:

L’altezza di caduta resta costante

Miglior punto per colpire la palla

o Presso la testa

o Centro di massa

o Presso la gola

Colpo morto:

Un colpo presso la testa in un punto in cui la palla non rimbalza affatto

Tutta l’energia si disperde nella racchetta

La racchetta assorbe tutto

o La massa effettiva della racchetta in quel punto è uguale a quella della palla

o La massa effettiva è F=ma, quindi m=F/a

Sul servizio questo punto è il migliore per colpire la palla.

Quando si risponde, esso è il peggiore.

Corde sulla racchetta:

Agiscono come mezzo

o Assorbono la maggior parte dell’energia cinetica della palla

o Restituiscono una parte dell’energia alla palla

149

Corde tese rallentano la velocità della palla

Corde lente

o Producono una velocità di rimbalzo leggermente maggiore

o Maggior potenza

Conclusioni:

Performance della racchetta

o corde

o Grandezza della testa

o Più grande è la testa = maggior velocità è applicata alla palla

o La partita dipende da due cause

o Quando bene si colpisce con la racchetta

o E gli “spot”

Fisica dell’effetto trampolino nel tennis

L’effetto “trampolino” semplice spiegazione fisica

Due molle mutuamente compresse l’una con l’altra KE PE KE

PE è suddivisa fra “palla” e “racchetta”

PE conservata nella palla è praticamente dissipata tutta

PE conservata nella racchetta non si dissipa

Effetto totale: minore dissipazione dell’energia

e e0: effetto trampolino

e0 COR per la palla su superficie rigida

1-e02 = frazione dell’PE dissipata

e COR per la palla su superficie flessibile

1-e2 = frazione dell’KE iniziale persa dalla palla

Fisica essenziale:

Cross (tennis, M=0)

Cochran (golf)

Naruo & Sato (baseball)

Risolvere l’urto fornisce e = vf/vi

Energia perduta (e<1) per…

Dissipazione nella palla

Vibrazione nella racchetta

150

Essenzialmente un problema a 3-parametri :

e0

Controlla la dissipazione dell’E conservata nella palla

rk kbat/kball = PEball/PEbat

Controlla la frazione di E conservata nella racchetta

rm m/M

f (rk/rm) ( dipende dalla palla)

Controlla l’E trasferita alla racchetta (vibrazioni)

Spin:

Top-Spin

Back-Spin (Slice)

Drive

Storia della mazza:

Età del legno

Dal 1900 fino ~1970, si è sempre usata la mazza di legno.

Età dell’alluminio

La prima appare circa nel 1970. Fino al 1980 si sono usati materiali con un rapporto

forza/massa maggiori. La pletora di recenti innovazioni causa difficoltà in softball &

baseball strutture federali.

Età dei compositi

Descrizione della collisione

Grande forza (>8000 lbs!)

Tempo breve (<1/1000 sec!)

La palla si comprime, si ferma, si espande

o energia cinetica energia potenziale

o Molta energia viene perduta

La mazza è flessibile

Back-Spin Top-Spin Drive

151

o anch’essa si comprime

Per battere un fuori bisogna

o grande velocità del colpo

o angolo ottimale di take-off

o backspin

Miglioramento tecnico:

Nuove tecnologie di match analysis sono sviluppate per migliorare la precisione dei dati da

analizzare ottenute da video camere digitali.

Technique Improvements:

CompuTrainer by RacerMate, Inc.

Utilizza lo stato dell’arte della grafica 3D interattiva per simulare colline, curve, visioni

panoramiche ecc.

SpinScan

è un video biofeedback grafico usato per valutare l’impatto di piccole variazioni del

settaggio della bicicletta per trovare la posizione dinamica più efficiente.

SpinScan analizzatore della pressione del pedale del CompuTrainer

Applicazioni al coaching:

Analisi delle tecniche qualitative e quantitative

o Con l’utilizzo dello slow motion / freezing

o Il coach è agevolato nel suo lavoro di analisi differenziale e sintesi strutturale

Valutazione funzionale

o Serve a dare informazioni sullo stato dell’atleta

Software di Analisi del Movimento:

The SwingTrainer™ è un sistema completo di analisi dello Swing che controlla tutti gli

aspetti di tale movimento per tutti gli sport interessati quali: golf, baseball, tennis e hockey.

L’andamento erratico della curva mostra che il pedale usato non massimizza la distribuzione di potenza del piede.

L’andamento regolare della curva mostra che il pedale usato è ottimizzato rispetto alla distribuzione di potenza del piede.

152

Otto sensori controllano la posizione e l’orientazione di 36 punti del corpo e delle

attrezzature: mazze, racchette, bastoni al rateo di 144 frame / secondo.

Chimica, Fisica, e Matematica nel progetto di una palla da Calcio

Chimica del pallone

Fullerene (telaio della palla):

Molecole di carbone più grandi scoperte nel 1985 da Richard Smalley (1996 premio Nobel

per la Chimica).

Nanotecnologie:

Nanofili “una singola molecola gigante di giant fullerene”, “un conduttore metallico di pochi

nanometri di diametro, ma migliaia di micron (fino al metro) di lunghezza”, “possiede la

conduttività elettrica del rame, una conduttività termica alta come quella del diamante, ed

una resistenza tensile 100 volte più alta dell’acciaio”.

Fisica del Pallone:

Gli elettroni sono in equilibrio.

Il nucleo ha n orbitali elettronici.

Gli elettroni si respingono.

L’equilibrio si ottiene per il minimo di energia.

Se vale la legge di Coulomb, allora bisogna minimizzare le distanze mutue, i. e.

1

ji ji XX

Su tutte le configurazioni possibili di N punti X1 , … , XN sulla sfera.

C60

C70

153

32 Elettroni 122 Elettroni

In Equilibrio In Equilibrio

Matematica del Pallone:

Il problema del minimo di energia sulla sfera.

Data una configurazione ad N punti N ={X1 , … , XN} su di una sfera, definiamo l’energia

generalizzata come Ea (N )= Σij |Xi - Xj|.exp 1/n. Allora l’energia è minimizzata su tutte le

possibili configurazioni quando 1/n <0, massimizzata quando 1/n >0, e quando 1/n =0 si

minimizza il logaritmo dell’energia (o si massimizza il prodotto delle distanze). Questa

energia è denotata con E(1/n,N).

Dirichlet Cells (School Districts) D1, … , DN:

Dj:={xє S2: |x-xj|=mink |x-xk|} j=1,…,N

The D-cells of 32 electrons at equilibrium are the tiles of the Soccer

Ball.

Is it a coincidence that the D-cells are made out of pentagons and

hexagons?

Call such a tiling of the sphere a soccer ball design.

Q1. è possibile coprire un pallone con soli esagoni?

No! Perchè?

Per la Formula di Eulero

F + V - E = 2

F= Numero di facce, V= Numero di vertici, E= numero di spigoli

Esempio : Cubo F=6, V=8, E=12

Supponiamo che si possa…

Tagliamo gli spigoli a metà ogni vertice ha tre mezzi spigoli.

3V=2E

ogni faccia ha sei spigoli

6F=2E

allora 3V=6F dunque V=2F. così

154

F+V-E=F+2F-3F=0 2,

Che cè in contrasto con la formula di eulero.

Q2. quanti pentagoni bisogna aggiungere al pallone?

Quanti pentagoni deve avere un pallone?

risposta: Esattamente 12

Prova

Fp = N di pentagoni, Fq = N di esagoni.

Allora F=Fp+Fq .

Quindi possiamo scrivere una nuova formula

5Fp+6Fq=2E.

Ovvero

3V=2E.

Sostituendo nella formula di Eulero otteniamo:

F + V - E = Fp + Fq + 1/3(5Fp + 6Fq) - 1/2(5Fp + 6Fq) = 2

6(Fp + Fq) + 2(5Fp + 6Fq) - 3(5Fp + 6Fq) = 12

(6 + 10 - 15)Fp + (6 + 12 - 18)Fq =12

1Fp = 12

QEDC60 -- Buckminster Fulerene

Adidas Roteiro Football:

Questo pallone disegnato specificamente per il portogallo ha quattro specifiche peculiarità:

1. La superficie consiste di una spessa pellicola di poliuretano che è resistente alle

abrasioni ed in uno strato quasi del tutto impermeabile.

2. Un nuovo processo di sutura termica sviluppata dall’Adidas produce una superficie

senza cuciture che produce un maggior equilibrio in volo ed una costante

accuratezza nella struttura.

155

3. Sotto la superficie si trova uno strato flessibile di schiuma di poliuretano conuna

buona flessibilità a bassa temperatura , che fornisce buone caratteristiche di

smorzamento e di volo.

4. Lo strato più interno è di latex gomma naturale che da

eccellenti proprietà di rimbalzo.

“la palla più precisa che abbia mai calciato.” - Rui Costa

Flusso nel sistema di riferimento non inerziale del pallone:

Notate come appare il campo di flusso nel sistema di riferimento non inerziale solidale al

pallone.

Flusso nel sistema inerziale:

Tuttavia se si osserva il flusso nel sistema inerziale esso appare completamente diverso.

FINE DELLE DISPENSE DELLE LEZIONI DI BIOMECCANICA SUPERIOREPREPARATE DAL PROF ATTILIO SACRIPANTI