5/19/2018 binomio de NEWTON.pdf

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Informates.edu Dpto. de Matematica Aplicada, FI-UPM.

0. Temas basicos

0.5. Numeros combinatorios. El binomio de Newton

Definiciones

Se define el factorial de un numero natural n 1 como el producto de todos los numeros naturales nonulos menores o iguales que dicho numero:

n! = n(n1) . . .321

y el de cero como: 0! = 1.

Dados dos numeros naturales n m 0 se define el numero combinatorio n sobre m comon

m

=

n!

m!(n m)!=

n(n1) . . . (n m+ 1)

m!

Interpretacion y aplicaciones

El factorial de n es el numero de ordenaciones distintas que se pueden hacer con n elementos.

El numero combinatorio n sobre m es el numero de elecciones distintas de m elementos que se puedenhacer de entre un conjunto de n elementos. En otras palabras, es el numero de subconjuntos de melementos que tiene un conjunto de n elementos.

Propiedades. El triangulo de Tartaglia

1. Para cada cualquier numero natural n:n

0

=

n

n

= 1, y si n 1:

n

1

=

n

n1

= n.

2. Para cualesquiera numeros naturales n m:n

m

=

n

nm

3. Para cualesquiera numeros naturales n > m:

n

m

+

n

m+1

=

n+1

m+1

4. Usando la propiedad anterior, se construye el triangulo de Tartaglia, donde cada numero es la suma

de los dos que estan inmediatamente por encima, cuyas formas combinatoria y numerica aparecen a

continuacion:

60 6

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6

6

5

0

5

1

5

2

5

3

5

4

5

5

4

0

4

1

4

2

4

3

4

4

3

0

3

1

3

2

3

3

2

0

2

1

2

2

1

0

1

1

0

0

1 6 15 20 15 6 1

1 5 10 10 5 1

1 4 6 4 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1

1

El binomio de NewtonPara hallar potencias naturales de un binomio se usa la siguiente formula:

(a+b)n =

n

0

an +

n

1

an1

b+

n

2

an2

b2 +. . .+

n

n1

ab

n1 +

n

n

bn =

nk=0

n

k

ank

bk

Ejercicios

1. Calcula los siguientes factoriales y numeros combinatorios, comprobando que su valor es el que se indica:

2! = 2 4! = 24 7! = 50405

1

= 57

3

= 357

4

= 35

2. Desarrolla y simplifica las siguientes potencias: (a)(3 +x)4; (b) (3 2x)5; (c)

x2 2

x

4;

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