Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel HanzlíkObchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

Binomická věta - II. část12. března 2013 VY_32_INOVACE_110215_Binomicka_veta_II.cast_DUM

V navazujícím výukovém materiálu „Binomická věta - II. část“ si nejprve znovu připomeneme, jak zní binomická věta. Pro praktickou část je zde uveden vzorec pro (k+1). členbinomického rozvoje, pomocí něhož lze určovat z rozvoje neznámé členy a jejich koeficienty.

Binomická věta

obr. 1

Pro každá čísla a pro každé platí: Kombinační čísla se nazývají binomické koeficienty (binomičtí činitelé) a jsou uvedeny v matematicko-fyzikálních tabulkách. Rovnají se kombinačním číslům odpovídajícího řádku Pascalova trojúhelníku pro dané . Binomický rozvoj má členů.

Binomická věta

obr. 2

Někdy nepotřebujeme celý binomický rozvoj výrazu , ale stačí nám znát jenom nějaký jeho člen. K tomu je dobré si zapamatovat obecný člen binomického rozvoje výrazu .Obecný -tý člen stojící na . místě binomického rozvoje má tvar .

Vzorec pro (k+1). člen binomického rozvoje

obr. 1

V praktické části tohoto výukového materiálu jsou uvedeny čtyři matematické úlohy, které využívají vzorce pro . člen binomického rozvoje, pomocí něhož určíme neznámý člen a jeho koeficient.

Binomická věta – praktická část

obr. 2

Nabídka úloh a jejich řešeníÚloha 1

Řešení úlohy 3Úloha 3

Úloha 2 Řešení úlohy 2

Řešení úlohy 4

Řešení úlohy 1 Úloha 4

Shrnutí

Úloha 1 Určete 9. člen binomického rozvoje výrazu .

zpět do nabídky úloh

obr. 3

Řešení úlohy 1 zpět do nabídky úlohPři určení 9. členu binomického rozvoje výrazu si nejprve určíme neznámou a následně dosadíme do vzorce pro . člen binomického rozvoje:(exponent mocniny dvojčlenu).Pro 9. člen platí: 9. člen binomického rozvoje je . obr. 3

Určete prostřední člen binomického rozvoje výrazu .Úloha 2 zpět do nabídky úloh

obr. 4

Řešení úlohy 2 zpět do nabídky úlohPodle binomické věty má binomický rozvoj členů.Prostřední člen je sedmý, a proto Odtud plyne, že Po dosazení do vzorce pro člen binomického rozvoje platí:

Prostřední člen binomického rozvoje je .

obr. 4

Kolikátý člen binomického rozvoje výrazu je absolutní? Určete jeho číselnou hodnotu. Úloha 3 zpět do nabídky úloh

obr. 5

Řešení úlohy 3 zpět do nabídky úlohMá-li být člen binomického rozvoje absolutní, pak to znamená, že neobsahuje , tzn. obsahuje , protože .Dosadíme-li do vzorce pro . člen binomického rozvoje známé údaje, určíme pak hledaný člen bude Platí:,kde je koeficient (číselná hodnota) absolutního členu. určíme řešením exponenciální rovnice:

, odtud Osmý člen je absolutní.Jeho číselná hodnota je: obr. 5

Kolikátý člen binomického rozvoje výrazu obsahuje Určete jeho koeficient.Úloha 4 zpět do nabídky úloh

obr. 6

Při získání členu, který obsahuje , nejprve určíme , pak hledaný člen bude Platí:,kde je koeficient -tého členu. určíme řešením exponenciální rovnice: , odtud Sedmý člen obsahuje .Jeho koeficient je: Sedmý člen binomického rozvoje je .

Řešení úlohy 4 zpět do nabídky úloh

obr. 6

Výukový materiál „Binomická věta – II. část“ uzavírá problematiku praktického využití kombinačních čísel při umocňování dvojčlenu na přirozené číslo n.Současně je tento výukový materiál tečkou za kapitoloukombinatorika.V následujících kapitolách se budu věnovat definici pravděpodobnosti náhodného jevu a jejího používání v různých matematických úlohách.

Shrnutí

obr. 2

Použitá literatura:1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 208, 210. ISBN 80-7196-165-5. 2) CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 3. díl. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r. o., 2000, s. 198. ISBN 80-7196-109-4.

CITACE ZDROJŮ

Použité obrázky:1) File:Mathematicsgeneral.jpg - Wikimedia Commons [online]. 6 September 2006 [cit. 2013-03-12]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mathematicsgeneral.jpg 2) File:Math.png - Wikimedia Commons [online]. 19 April 2008 [cit. 2013-03-12]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Math.png 3) ABHINEY. File:Brighton International School, Raipur - AC Classroom.jpg – Wikimedia Commons [online]. 2 December 2010 [cit. 2013-03-12]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Brighton_International_School,_Raipur_-_AC_Classroom.jpg

CITACE ZDROJŮ

Použité obrázky: 4) File:USMC-110421-M-9652C-003.jpg - Wikimedia Commons [online]. 21 April 2011 [cit. 2013-03-12]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:USMC-110421-M-9652C-003.jpg 5) File:Flickr - Official U.S. Navy Imagery - College instructor helps Sailor with math aboard USS Kearsarge..jpg - Wikimedia Commons [online]. 10 February 2011 [cit. 2013-03-12]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Flickr_-_Official_U.S._Navy_Imagery_-_College_instructor_helps_Sailor_with_math_aboard_USS_Kearsarge..jpg 6) FEE, James. File:US Navy 100123-N-2978F-823 nformation Systems Technician 1st Class Christopher Castillo, assigned to Naval Computer and Telecommunications Station (NCTS) Guam.jpg - Wikimedia Commons [online]. 23 January 2010 [cit. 2013-03-12]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:US_Navy_100123-N-2978F-823_nformation_Systems_Technician_1st_Class_Christopher_Castillo,_assigned_to_Naval_Computer_and_Telecommunications_Station_(NCTS)_Guam.jpg Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint.

CITACE ZDROJŮ

Konec prezentace. Děkuji Vám za pozornost.

Mgr. Daniel Hanzlík