Embed Size (px)
Citation preview
Forelesningsnotat i Diskret matematikk mandag 29. oktober 2018
1
Binomialkoeffisienter
Litt repetisjon:
(𝑛𝑟
) = 𝑛!
(𝑛−𝑟)!∙𝑟! 𝑟 ≥ 0, 𝑛 ≥ 0
(𝑛
𝑟) = (
𝑛
𝑛 − 𝑟)
Dette gir oss
(𝑛
𝑛 − 1) = 𝑛
fordi
(𝑛
𝑛 − 1) = (
𝑛
𝑛 − (𝑛 − 1)) = (
𝑛
1) = 𝑛
Andre viktige observasjoner:
0! = 1 (00) = 1 (n
0) = 1 (n
1) = n (n
n) = 1
Husk første kvadratsetning:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Vi kan bruke binomialkoeffisienter til å bestemme polynomer av n’te grad:
(a+b)0 = 1 = (00)
(a+b)1 = a+b = (10)a + (1
1)b
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 = (20) a2 + (2
1) ab + (2
2) b2
Forelesningsnotat i Diskret matematikk mandag 29. oktober 2018
2
(a+b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3
= (30) a3 +(3
1)a2b + (3
2)ab2 + (3
3)b3
Her er det et mønster!
Hva blir (a+b)5 ?
(a+b)5 = (50)a5 +(5
1)a4b + (5
2)a3b2 + (5
3)a2b3 + (5
4)ab4 + (5
5)b5
= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Generell formel – Binomial-teoremet
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = (𝑛0)𝑎𝑛 + (𝑛
1)𝑎𝑛−1 ∙ 𝑏 + (𝑛
2)𝑎𝑛−2 ∙ 𝑏2 + ⋯ +( 𝑛
𝑛−1)𝑎 ∙ 𝑏𝑛−1 + (𝑛
𝑛)𝑏𝑛
= ∑ (𝑛
𝑟) 𝑎𝑛−𝑟 ∙ 𝑏𝑟
𝑛
𝑟=0
Pascals trekant
Forelesningsnotat i Diskret matematikk mandag 29. oktober 2018
3
Legg merke til møsteret!
Det gir oss
Pascals identitet
(𝑛 + 1
𝑘) = (
𝑛
𝑘 − 1) + (
𝑛
𝑘)
Sjekk med tabellen! La n = 5, og k = 4:
(5 + 1
2) = (
6
2) = (
5
1) + (
5
2)
Det stemmer!
15 = 5 + 10
Forelesningsnotat i Diskret matematikk mandag 29. oktober 2018
4
Kapittel 10 fra læreboka – Grafer
(utdrag)
En graf er en samling punkter (noder) og kanter mellom punktene
(eng. nodes, vertex, edge).
En graf kalles rettet hvis kantene har en retning og urettet hvis
kantene ikke har noen retning.
Eksempel
En relasjonsgraf er en rettet graf:
I dette kapittelet skal vi imidlertid kun se på urettede grafer.
Vi starter med å definere enkelte ord og begreper som vi får bruk for
senere.
Forskjellige typer grafer
Vi skiller mellom tre typer urettede grafer:
1) En enkel graf er en graf uten sløyfer på punktene og ingen
doble kanter mellom punktene.
Eksempel:
Forelesningsnotat i Diskret matematikk mandag 29. oktober 2018
5
2) En multigraf er en graf uten sløyfer på punktene, men det kan
være flere kanter mellom par av punkter (multiple kanter).
Eksempel:
3) En pseudograf er en graf som verken er en multigraf eller en
enkel graf. Den kan ha både sløyfer og flere kanter mellom par
av punkter.
Eksempel
Naboer
To punkter i en urettet graf kalles naboer hvis det går en kant
mellom dem.
Eksempel
Forelesningsnotat i Diskret matematikk mandag 29. oktober 2018
6
Graden til et punkt
Graden til et punkt i en urettet grad er antall forskjellige kanter
som hører til punktet. En sløyfe teller som to kanter.
Eksempel – konvoluttgrafen
Et isolert punkt
Et punkt med grad 0 kalles et isolert punkt.
Eksempel
a og b er isolerte punkter.
En pedant
Et punkt med grad 1 kalles en pedant
Eksempel
a og b er pedanter, mens c er ikke det.
Forelesningsnotat i Diskret matematikk mandag 29. oktober 2018
7
Grad-kant-setningen
Anta at en urettet graf har n antall punkter, a1, a2, a3,…., an og k
antall kanter. Da gjelder:
∑ 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑎𝑖) = 2𝑘
𝑛
𝑖=1
Dvs. summen av gradene er det det dobbelte av antall kanter.
Eksempel
Summen av graden er 20 = 2k. Følgelig er det 10 kanter i grafen.
En vei i en urettet graf
En vei er en sammenhengende rekkefølge av punkter og kanter
mellom punktene. En vei har et startpunkt og et sluttpunkt. En
vei oppgis ved å oppgi startpunktet, så punktene som passeres
på veien og til slutt sluttpunktet. Det brukes gjerne komma
mellom punktene.
Eksempel
Forelesningsnotat i Diskret matematikk mandag 29. oktober 2018
8
En lukket vei
En vei er lukket hvis den starter og slutter i samme punkt. En
lukket vei kalles også for en sykel eller en krets.
En åpen vei
En vei er åpen hvis den starter og slutter i forskjellige punkter.
Eksempel
a, c, d, b, a er en lukket vei
a, c, d, e er en åpen vei.
Enkel vei
En vei er enkel hvis ingen kant inngår mer enn én gang.
En sammenhengende graf
En urettet graf er sammenhengende hvis det finnes en vei
mellom hvert par av punkter.
Forelesningsnotat i Diskret matematikk mandag 29. oktober 2018
9
En Euler-vei Sitat fra Wikipedia: På 1700-tallet var byen Königsberg (nåværende Kaliningrad) i oppdelt i fire deler: den
nordlige og sørlige siden av elven Pregel, som fløt gjennom byen, samt to øyer midt i
elven – en mindre vestlig og en større østlig. Den minste av øyene, Kneiphof, var byens
sentrum, der blant annet katedralen lå. Fra denne øya gikk det to broer til den nordlige
bredden og to broer til den sørlige bredden, samt en bro til den største øya, og fra denne
gikk det i sin tur en bro til den nordlige bredden og en bro til den sørlige bredden. Totalt
var dermed øyene og fastlandet forbundet med hverandre ved sju broer. Det ble sagt at
byens innbyggere på sine søndagsturer forsøkte å finne en måte å gå gjennom byen på
en slik måte at man passerte hver bro bare en gang, og når turen var over var man
tilbake til utgangspunktet. Ingen hadde dog lyktes med dette. Enkelte hevdet at det var
umulig, men ingen visste dette sikkert.
Leonhard Euler (1707 – 1783) var en sveitsisk matematiker og
han beviste, ved hjelp av grafteori, at en slik rundtur var umulig.
og er opphavet til såkalte åpne og lukkede Eulerveier
Problem:
Er det mulig å starte i områdene A, B, C eller D, gå over alle
broene én og bare én gang og så ende opp der vi startet?
Brosystemet kan oversettes til en graf der områdene A, B, C og
D blir punkter og broene kanter:
Forelesningsnotat i Diskret matematikk mandag 29. oktober 2018
10
En lukket Euler-vei
Det finnes en lukket Eulervei hvis alle kantene passeres én og
bare én gang og man starter og ender opp i samme punkt.
En åpen Euler-vei
Det finnes en åpen Euler-vei hvis alle kantene passeres én og
bare én gang og man starter i et punkt og slutter i et annet
punkt.
Eulers setning
Gitt en urettet og sammenhengende multigraf med minst to
punkter.
1) Det finnes en lukket Euler-vei hvis og bare hvis alle punktene
har partallsgrad.
2) Det finnes en åpen Euler-vei hvis og bare hvis nøyaktig to av
punktene har oddetallsgrad (og dermed resten partalls grad).
grad(a) = 5, grad(b) = 3, grad(c) = 3, grad(d) = 3.
Forelesningsnotat i Diskret matematikk mandag 29. oktober 2018
11
Her har alle fire nodene odde grad, følgelig finnes det verken en åpen
eller lukket Euler-vei. Det er ikke mulig å starte i områdene A, B, C
eller D, gå over alle broene én og bare én gang verken om man
starter og slutter på sammen sted eller på forskjellige steder.
Følgende eksempler ble gitt som oppgaver på slutten av
forelesningen:
Avgjør om det finnes en åpen eller lukket Euler-vei gjennom grafen.
1)
Svar: Ingen Euler-vei fordi det er 4 punkter av odde grad.
2)
Svar: Åpen Euler-vei fordi det er nøyaktig to punkter av odde grad.
Forelesningsnotat i Diskret matematikk mandag 29. oktober 2018
12
3)
Svar: Lukket Euler-vei fordi alle punktene har partalls grad.
