DanielaTARNI ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR MANUAL UNIVERSITAR pentru nvmnt cu frecven redus Prof. univ. dr. ing. Daniela TARNI ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR MANUAL UNIVERSITAR pentru nvmnt cu frecven redus Refereni tiinifici: Prof. univ. dr. ing. Vlcu ROCA Universitatea din Craiova Prof. univ. dr. ing. Dumitru BOLCU Universitatea din Craiova Copyright 2012 Universitaria Toate drepturile sunt rezervate Editurii Universitaria Craiova Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei TARNI, Daniela ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC IREZISTENA MATERIALELOR / Daniela TARNI. Craiova: Universitaria, 2012 ISBN 978- Aprut: 2012 TIPOGRAFIA UNIVERSITII DIN CRAIOVA Str. Brestei, nr. 156A, Craiova, Dolj, Romnia Tel.: +40 251 598054 Tiprit n Romnia Cuprins ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR

CUPRINS Unitatea de nvare TitluPagina INTRODUCERE 1ELEMENTE DE ALGEBR VECTORIAL1 Obiectivele unitii de nvare nr. 12 1.1. Mrimi vectoriale 2 1.2. Operaii cu vectori 3 1.3. Reducerea sistemelor de vectori 8 1.3.1. Momentul unui vector8 1.3.2. Torsorul unui sistem de vectori 1.3.3. Sisteme de vectori 9 11 Test de autoevaluare 1.113 Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 1 13 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare 13 Bibliografie 14 2 AXIOMELE MECANICII I ELEMENTE DE GEOMETRIA MASELOR 15 Obiectivele unitii de nvare nr. 216 2.1.1.Noiuni fundamentale 2.1.1.1. Fora 2.1.1.2. Cuplul 2.1.1.3. Lucru mecanic. Potenial. Putere 16 16 16 16 2.2. Axiomele mecanicii punctului material17 2.3. Axiomele mecanicii mediului material continuu 18 Cuprins ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 2.3.1.Foreicupluricareacioneazasupraunuimediu material continuu 2.3.2. Axiomele mecanicii mediului material continuu 2.4. Elemente de geometria maselor 2.4.1. Generaliti 2.4.1.1. Axiomele de mas 2.4.1.2. Varieti geometrice materiale 2.4.2. Centrul de mas 2.4.2.1. Proprietile centrului de mas

20 22 23 23 23 23 24 26 Test de autoevaluare 227 Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 2 27 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie unitatea de nvare nr. 2 28 28 3ELEMENTE DE MECANICA PUNCTULUIMATERIAL29 Obiectivele unitii de nvare nr. 3 31 3.1. Elemente de cinematica punctului 3.1.1. Parametrii cinematici ai micrii punctului3.1.2. Micarea relativ a punctului 3.2. Ecuaiile difereniale ale micrii punctului material 3.2.1. Generaliti 3.2.2.Teoremefundamentalendinamicapunctuluimateriali sistemelor de puncte materiale 3.2.3. Dinamica punctului material liber 3.2.3.1.Ecuaiilediferenialealemicriipunctuluimaterial liber 3.2.3.2.Cazuriparticularedemicrialepunctuluimaterial liber 3.2.4. Dinamica punctului material supus la legturi fr frecare 3.2.4.1. Punct material pe suprafa fr frecare 3.2.4.2. Punct material pe curb fr frecare 3.2.5. Dinamica punctului material supus la legturi cu frecare 3.2.6. Dinamica micrii relative a punctului material 3.3. Statica punctului material 31 31 33 35 35 36 38 39 39 40 40 41 42 43 46 Cuprins ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 3.3.1. Generaliti 3.3.2. Statica punctului material liber 3.3.3. Statica punctului material supus la legturi fr frecare 3.3.3.1. Echilibrul punctului material pe suprafa lucie 3.3.3.2. Echilibrul punctului material pe curb fr frecare 3.3.4. Statica punctului material supus la legturi cu frecare Test de autoevaluare 3 Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 3 Raspunsuri la intrebarile din testul de autoevaluare 3 Bibliografie unitatea de nvare nr. 3 46 47 47 48 49 50 51 51 52 52 4ELEMENTE DE MECANICA SOLIDULUIRIGID53 Obiectivele unitii de nvare nr. 44.1. Elemente de mecanica solidului rigid 4.1.1. Elemente generale 4.1.2. Matricea de schimbare de baz55 55 55 57 4.1.3. Distribuia vitezelor i acceleraiilor pentru solidul rigid 4.1.4. Micri particulare ale solidului rigid61 4.1.4.1. Micarea de translaie61 4.1.4.2. Micarea de rotaie62 4.1.4.3. Micarea rigidului cu un punct fix64 4.2. Micarea relativ a solidului rigid66 4.2.1. Viteza i acceleraia unghiular 67 4.2.2. Distribuia de viteze i acceleraii pentru solidul rigid67 4.2.3. Cazuri particulare de micri relative68 4.3. Micarea relativ a dou solide rigide69 4.4. Metoda ciclurilor independente pentru analiz cinematic a sistemelor de solide rigide71 4.4.1. Ecuaii de nchidere pentru viteze72 4.4.2. Ecuaii de nchidere pentru acceleraii 72 4.4.3. Etape de calcul in aplicarea metodei ciclurilor independente73 4.5. Ecuaiile de micare ale solidului rigid75 4.5.1. Torsori de legtur la solidul rigid 78 Cuprins ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 4.5.2. Torsori de inerie la solidul rigid 80 4.6. Statica solidului rigid 82 4.6.1. Statica solidului rigid liber83 4.6.2. Statica solidului rigid supus la legturi fr frecare85 4.6.2.1. Ecuaiile de echilibru85 4.6.2.2. Legturile rigidului 85 4.6.2.3. Echilibrul rigidului cu punct fix 87 4.6.2.4. Echilibrul rigidului cu ax fix 88 4.7. Echilibrul sistemelor de rigide 88 Test de autoevaluare 4.1 89 Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 490 Raspunsuri la intrebarile din testul de autoevaluare 90 Bibliografie unitatea de nvare nr. 4 90 5NOIUNIGENERALE I DIAGRAME DE EFORTURI91 Obiectivele unitii de nvare nr. 5 92 5.1. Noiuni generale in Rezistena materialelor92 5.1.1. Clasificarea materialelor92 5.1.2.Clasificarea corpurilor93 5.1.3. Clasificarea forelor94 5.1.4.Fore interioare sau eforturi secionale95 5.1.5.Tensiuni96 5.1.6.Deplasri i deformaii97 5.1.7.Rezistene admisibile i coeficieni de siguran 99 5.1.8.Ipoteze de baz n rezistena materialelor99 5.2.Diagrame de eforturi 5.2.1.Algoritmul de reprezentare a diagramelor de eforturi la bare101 5.2.2.Reguli de calcul i convenii de semne ale eforturilor103 5.2.3.Reguli de reducere a ncrcrilor n cazul barelor drepte104 Test de autoevaluare 5.1 112 Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 5112 Raspunsuri la testul de autoevaluare 112 Bibliografie unitatea de nvare nr. 5 112 6 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECIUNILOR PLANE 113 Obiectivele unitii de nvare nr. 6114 Cuprins ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 6.1.Definiii i formule generale de calcul 114 6.2.Variaia momentului de inerie cu translaia axelor de116 6.3.Caracteristici geometrice ale seciunilor plane simple 117 6.4.Caracteristicile geometrice ale seciunilor plane compuse 6.5.Aplicaii124 Test de autoevaluare 6 129 Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 6129 Raspunsuri la testul de autoevaluare 6129 Bibliografie unitatea de nvare nr. 6 130 7SOLICITARI AXIALE I SOLICITAREA DE FORFECARE131 7.1.Solicitari axiale simple 132 7.1.1.Tensiuni la solicitarile axiale simple132 7.1.2.Deformatii i deplasari la barele drepte solicitate axial 133 7.1.3.Sisteme static nedeterminate solicitate axial 134 7.1.4.Aplicaii 141 7.2 Calculul conventional al barelor la forfecare 145 7.2.1.Tensiuni si deformaii145 7.2.2.Probleme de calcul al imbinarilor 147 7.2.2.1.Dimensionarea buloanelor solicitate la ntindere 147 7.2.2.2.Dimensionarea buloanelor solicitate la forfecare 148 7.2.2.3.Imbinarea tablelor cu buloane 7.2.3.Aplicatii150 Test de autoevaluare 7 Raspunsuri la testul de autoevaluare 7 Lucrare de verificare unitatea de invare nr 7.153 Bibliografie unitatea de nvare nr. 7 154 Obiectivele unitii de nvare nr. 8156 8.1 Solicitarea de rasucire a barelor drepte156 8.1.1.Calculul momentului de rsucire156 8.1.2. Tensiunin bare de seciune axial-simetric156 8.1.3.Deformatii la rasucire158 8.1.4.Energia de deformare la rsucire159 8.1.5.Calculul arcurilor cilindrice elicoidale159 8.1.6. Aplicaii161 8.2.Solicitarea de incovoiere a barelor drepte166 8.2.1 Incovoierea pur a barelor drepte166 8.2.2.Deformaiile barelor drepte solicitate la ncovoiere169 8.2.3. Aplicaii171 Test de autoevaluare 8183 Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 8184 Introducere ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR

INTRODUCERE Lucrareaseadreseaz,inegalmsur,studenilorfacultilordeprofiltehnic, specialitilor,darituturorcelorinteresaidedomeniulattdeatractiviinteresantal ingineriei, in general, i al acestei discipline, in special.Obiectiveleprincipalealedisciplineisunt: a)Familiarizarea studenilorcunoiunilei elementelefundamentaleprivindmecanicapunctuluimaterialiasoliduluirigid,precumi cuelementelefundamentalealerezisteneimaterialelor;b)Deprindereastudenilorcu formuleleimetodeledecalculalpieselor;c)Formareaistimulareadeprinderilorgenerale deproiectareaorganelordemaini.Disciplinasebazeazpecunotineanterioarede matematic, fizic, desen tehnic.Manualulestesistematizatin8unitidenvare,dintrecare,nprimelepatrusunt prezentateelementedealgebrvectorial,elementedemecanicapunctuluimateriali elemente de mecanica solidului rigid, iar ultimele patru sunt allocate elementelor de rezistena materialelor. Aplicaiilenumericeprezentateinfinalulunitilordenvarecorespunztoare rezisteneimaterialelorsuntrezolvatecomplet,urmrindcunotineleteoreticeprezentate anterior i sunt menite spre a determina o mai bun inelegere a cunostinelor teoretice, dar i a modului de utilizare ale acestora. Stabilireanoteifinalesevafaceinconformitatecuurmtoareastructur:- rspunsurilelaexamen/colocviu/lucrripractice-40%;-activitiaplicateatestate/ laborator / lucrri practice- 20%; - teste pe parcursul semestrului -40%. In final, doresc s adresez mulumiri referenilor tiinifici: domnului prof.univ.dr.ing. RocaVlcuidomnuluiprof.univ.dr.ing.BolcuDumitru,pentrusugestiileindrumrile competente acordate. Craiova 2012Autorul 1. Elemente de algebr vectorial ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 1 Unitatea de nvare nr. 1

ELEMENTE DE ALGEBR VECTORIAL Cuprins PaginaObiectivele unitii de nvare nr. 12 1.1. Mrimi vectoriale 2 1.2. Operaii cu vectori 3 1.3. Reducerea sistemelor de vectori 8 1.3.1. Momentul unui vector8 1.3.2. Torsorul unui sistem de vectori 1.3.3. Sisteme de vectori 9 11 Test de autoevaluare 1.113 Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 1 13 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare 13 Bibliografie14 1. Elemente de algebr vectorial ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 2 OBIECTIVELE unitii de nvare nr. 1 Principalele obiective ale Unitii de nvare nr. 1 sunt: 1.1. Mrimi vectoriale Unvectoresteoentitatematematicacreiimaginegeometricesteunsegmentde dreapt TU, pe care s-a definit sensul de parcurs de la T la U (fig. 1.1). Fig. 1.1 nconformitatecudefiniiademaisus,unvectort TU = estecaracterizatde urmtoarele elemente: Punctul de aplicaie sau originea T.Suportul su, care este dreapta definit de punctele T iU. Sensul de parcurs, de la T laU. Mrimea sau modulul, care este egal cu lungimea segmentuluiAB . Mrimea vectorului tse va nota tsau t . Vectorii pot fi : -vectorialunectorisauvectorglisanti-carepotaveapunctuldeaplicaieoriundepe dreaptaAB -vectoriliberi-careauacelaiefectindiferentdepoziianspaiuapunctuluide aplicaie,dacsepstreazsuportulparalelcuodreaptdat,sensulimrimeavectorului rmnnd aceleai. Versorul estevectorul care definete direcia i sensul unei drepte si care are mrimea egal cu unitatea. Studiul conceptului de vector si al operaiilor cu vectori Studiul reducerii sistemelor de vectori Studiul sistemelor de vectori1. Elemente de algebr vectorial ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 3 Fie un punctO din spaiu n care se consider trei drepte concurente, perpendiculare douctedou(fig.1.2).Pefiecaredintre cele trei drepte se alege un sensde parcurs astfel nct s se obin un triedru de sens direct care se va numi sistem de referin sau reper sau triedru de referin. Fig. 1.2 npunctulO,pefiecaredinaxelesistemuluidereferinsealegecteunvector, avandmrimeaegalcuunitatea,avndacelaisensdeparcurscuaxarespectiv.Acesti vectorisenumesc versorii celor treiaxe i se noteaz i , j , k . Orice vectorraportat la reperulOxyz sepoateexprimanfunciedeversorii i , j , k .Fievectorul t cu originea in punctulO, si fie xt , yti ztcomponentele sale pe cele trei axe ale sistemului Oxyz . n acest caz, vectorul tse poate scrie sub forma: ++=kzt jyt ixt t(1.1) Modulul vectorului tse calculeaz cu relaia: 2zt2yt2xt t + + =(1.2) Daca vectorul teste liber, atunci este suficient sa se cunoasc cele trei componente alesalepeaxe.Dact estevectorlegat,atuncitrebuiecunoscutipunctuldeaplicaie (deci, cele trei coordonate scalare), iar dac este vector alunector, trebuie cunoscui nc doi parametri ce definesc dreapta suport. 1.2. Operaii cu vectori 1.Vectorulnul e estevectorulpentrucaretoatecomponentelepeaxesuntnule. Geometric, n acest caz, extremitile vectorului coincid. Cu relaia (1.2) se verific simplu c modulul vectorului nul este zero. 2. Egalitatea a doi vectori liberi.1. Elemente de algebr vectorial ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 4 Doi vectori liberi ti usunt egali dact u ; t u ; t ux x y y z z= = = (1.3) 3. Adunarea vectorilor liberi.Suma vectorilor liberi ti ueste un vector cu expresiat u + (1.4) Adunarea vectorilor liberi este asociativ i comutativ. Grafic, adunarea vectorilor se face cu regula paralelogramului (fig. 1.3). Fig. 1.3 Adunarea vectorilor are urmtoarele proprieti: Asociativitatea ++=++u t v v u t (1.5) Comutativitatea +=+t u u t (1.6) Vectorul nul eeste neutru fa de operaia de adunare =+=+t t e e t(1.7) Pentru oricare vector t exist un vector opus, t , astfel nct:=+ = +e t t t t (1.8) 4. nmulirea unui vector cu un scalar Fie scalarulm. Produsul unui scalar m cu vectorul libert are expresiam t. Dacam insunt scalari oarecare, sunt valabile proprietile: == t n m t m n t n m (1.9) ( )+ =+t n m t n t m (1.10) 1. Elemente de algebr vectorial ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 5 +=+u t m u m t m (1.11) m t t m = (1.12) = t t 1(1.13) m infiind scalari oarecare. 5. Produsul scalar al vectorilor Produsul scalar al vectorilor liberi ti ueste un numr definit prin relaia: =u ; t cos u t u t (1.14) unde u ; t coseste cosinusul unghiului format de dreptele suport ale vectorilorti u . innd cont de componentele vectorilor, produsul scalar se calculeaz astfel: t u t u t u t ux x y y z z = + + (1.15) Proprietile produsului scalar: 1. =t u u t (1.16) 2. +=+v t u t v u t(1.17) 3. R n ; m ; u t n m u n t m = (1.18) 4. 2t t t=(1.19) 5.0 u t =, dac0 t= sau0 u = (1.20) sau dac cei doi vectori sunt perpendiculari unul pe celalalt; 6.Produsul scalar u tpoate fi un numr pozitiv dac unghiul dintre cei doi vectori estemai mic dect 2, sau negativ, dacunghiul este mai mare dect 2; 7. =utpr t u t(1.21) 1. Elemente de algebr vectorial ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 6 undeutpr este proiecia ortogonal a vectoruluiupe dreapta definit de vectorul t ; 8.Dacvectorii u it suntparaleli,atunciprodusulscalarsecomportcaunprodus obinuit ntre scalari. 6. Produsul vectorial a doi vectori Se consider vectorii ti uavand aceeai origine. Produsul vectorial al vectorilor t si u esteunvectornotat t u careesteperpendicularpeplanuldeterminatde vectorii t i u ,cusensuldatderegulaurubuluidreptlarotireadela t la u ,iarvaloarea absolut a sa este dat de: =u ; t sin u t u t(1.22) unde u ; t sin este sinusul unghiului format de dreptele suport ale vectorilor ti u . Geometric,valoareaabsolutaprodusuluivectorial u t esteegalcuaria paralelogramului construit pe cei doi vectori. Pentru calculul produsului vectorial se poate folosi relaia: zuyuxuztytxtk j iu t =(1.23) Proprietile produsului vectorial sunt: =t u u t(anticomutativitatea produsului vectorial)(1.24) R n ; m ; u t n m u n t m = (1.25) +=+v t u t v u t(1.26) =0 t t (1.27) =0 u t dac 0 t=sau 0 u =sau dac vectorii sunt paraleli.(1.28) 7. Produsul mixtFie vectorii liberi t , ui v , cu punctele de aplicatie n punctulO. Produsul mixt al1. Elemente de algebr vectorial ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 7 vectorilor t , ui vnotat (t ;u ;v ) este numrul dat de: = v u t v ; u ; t (1.29) Cu ajutorul determinantilor, produsul mixt se calculeaza astfel: zzyzxzzuyuxuztytxtv ; u ; t = (1.30) Produsul mixt are urmtoarele proprieti: produsul mixt este permutabil: = = t ; v ; u u ; t ; v v ; u ; t(1.31) dac cel puin doi dintre vectorii t , u ,vsunt paraleli, atunci: 0 v ; u ; t = (1.32) dac 0 t ; 0 u ; 0 v idacaacetivectorinusuntparaleli,atuncidin 0 v ; u ; t = rezult c vectorii t , u ,v sunt coplanari; =v u t v u t (1.33) =v u t v u t(1.34) Dinpunctdevederegeometric,produsulmixtatreivectoriesteegalcuvolumul paralelipipedului construit pe aceti vectori. 8.Dublul produs vectorialFie vectorii t , u , v . Dublul produs vectorial al acestor vectori este un vector dat de: t u v (1.35) Se poate arta c: =u t v v t u v u t(1.36) 1. Elemente de algebr vectorial ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 8 1.3. Reducerea sistemelor de vectori Reducereasistemelordevectoripresupunedeterminareaceluimaisimplusistemde vectoriechivalentmecaniccuunsistemdat,precumsistabilireacondiiilordeechivalen ntre dou sisteme de vectori astfel nct acestea s aib acelai efect mecanic. 1.3.1. Momentul unui vector Momentul unui vector poate fi calculat: a)n raport cu un punct Fie vectorul tcu punctul de aplicaieT. Momentul vectorului tfa de un punct O este produsul vectorial al vectorilor OT i t : = t OT tOM(1.37) Momentulunuivectornraportcuunpunct) t (0Mesteunvectorperpendicularpe planulvectorilor t i OT,avndmrimeaegalcuariatriunghiuluidefinitdeceidoi vectori. Punctul O se numete originea sau polul momentului. Momentul tOM are urmtoarele proprieti: 1. tOM nu se modific dac vectorul talunec pe suportul su.2. Momentul tOM este nul dac vectorul teste nul sau dac suportul su trece prin punctulO.3.MomentulunuivectornraportcuunpolO'diferitdepolulOesteegalcu momentulvectorului t nraportcu polul O la care se adaug momentul n raport cu O' al aceluiai vectort , avand originea n O. + =+== t O ' O tOM t O ' O OT t T ' O t' OM (1.38) Observatie. Daca polul O isi schimba pozitia in O pe suportul vectorului t , atunci vectorii moment corespunzatori sunt egaliOM= OM. b) in raport cu o ax 1. Elemente de algebr vectorial ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 9 Fie O i O' dou puncte ale dreptei( ) de versor w . Legtura intre momentelevectorului tfa de puncteleO i O' este dat prin relaia (1.38).Momentulunuivector t fadeoax( ) ,notat M ,esteegalcuproieciape aceast ax a momentului lui tfa de un punct oarecareO al axei. =w tOM M(1.39) Valoareaabsolutamomentuluiunuivectorfadeoaxoarecareesteegalcu produsuldintrelungimeavectoruluiidistanadintresuportulacestuiaiaxaconsiderat, nmulit cu sinusul unghiului dintre vector i ax. Observatie: Momentul Meste egal cu 0 dac vectorul teste egal cu 0, sau dac suportul su este coplanar cu axa( ) . Observaie: Dac se consider vectorii t i ucu punctele de aplicaie T i U, atunci se poate define produsul reciproc al vectorilor ti u ca fiind produsul mixt: m t , u t ;TU; uR = (1.40) Proprieti.1. = t , uRm u , tRm(1.41) 2. Momentul reciproc a doi vectori nu se modific atunci cnd cei doi vectori alunec pe suporturile lor. 1.3.2. Torsorul unui sistem de vectori Seconsiderunsistem( ) S devectori nt ,...,2t ,1tcupuncteledeaplicaie nT ..., ,2T ,1T . Torsorul de reducere al sistemului de vectori( ) Sntr-un punctO este format din:-rezultanta sistemului de vectori: ==n1 iit R(1.42) -momentul rezultant n punctual (polul)O al sistemului de vectori: == = =n1 iitiOTn1 iitOMOM(1.43) DacOesteorigineaunuisistemdereferin,atuncivectorii =iriOT,unde r x i y j z ki i i i= + + au drept componente chiar coordonatele punctelor iT .1. Elemente de algebr vectorial ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 10 Condiianecesarisuficientcadousistemedevectorisfieechivalententreele este ca ele s aib acelai torsor ntr-un punct oarecare din spaiu.Condiia necesar i suficient ca un sistem de vectori alunectori s fie echivalent cu zero este ca torsorul su s fie nul ntr-un punct oarecare. Proprietile torsorului 1) Torsorul sistemului( ) Snu se modific dac vectorii alunec pe suportul lor. 2)Relaiadeschimbaredepol:dacO esteunpunct(pol)diferitdeO, componentele torsorului de reducere n acest punct sunt: -rezultanta: tnR'ii 1 = = (1.44) - momentul rezultant: t tn nM O' T O' O OT M O' O RiO' O i i ii 1 i 1 = = + = + = = = R OOOM ' (1.45) 3) Invarianii sistemului de vectori sunt -Rezultanta R-care nu depinde de punctul de reducere, deci este un invariant;-Produsul: = ROM T (1.46) nu depinde de punctul de reducere, deci este un invariant i se numete trinom invariant sau scalarul torsorului. 4)Dac =0 R ,conformrelaieideschimbaredepol,nicimomentulrezultantnu depindedepol,deci,pentrusistemelepentrucarerezultantaestenul,momentulrezultant poate fi considerat vector liber, fiind i el invariant fa de schimbarea polului. Dac polul se deplaseaz pe direcia rezultantei, momentul rezultant nu se schimb. In functie de valorile lui Ri OMpot fi evidentiate urmtoarele cazuri de reducere: 1)0 R ; 0OM , caz in care pot aprea dou variante: -0 T = -inaceastavariant momentulrezultanti rezultantasuntortogonali,iarpe axa central torsorul se reduce doar la rezultant; -0 T -inaceastavariant momentul rezultant si rezultanta nu sunt ortogonali, iar distana pn la axa central se calculeaz cu relaia: M ROdR R= (1.47) 1. Elemente de algebr vectorial ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 11 2) =0 R ; =0OM , torsoruleste nul n raport cu orice punct din spaiu. 3) =0 R ; 0OM ,torsorul se reduce la un moment unic n orice punct din spaiu.4) 0 R ;=0OM , torsorul se reduce la o rezultant unic, iar axa central trece prin originea sistemului de referin. 1.3.3. Sisteme de vectoriSistemele de vectori se clasific in: a)Sisteme de vectori concureni Pentru un sistem de vectori concurenti ntr-un punctT, rezultanta sa se calculeaz cu relaia (1.42), iar momentul rezultant calculat in raport cu un punctO este: = == ==R OTn1 iit OTn1 iit OTOM (1.48) Observatie. Din relatia (1.48) se poate afirma c momentul rezultant al unui sistem de vectori in raport cu punctulO este egal cu momentul in raport cu O al rezultantei sistemului de vectori (Teorema lui Varignon). b) Sisteme de vectori coplanari Se consider un sistem pentru care toi suporii vectorilor se afl in planulOxy , caz in care xi yi zit t i t j t ki = + + (1.49) Torsorul de reducere al sistemului de vectori n raport cu origineaO are componentele: n nR t i t j 0kxi yii 1 i 1= + + = = (1.50) ( )nM 0i 0j x t y t kO i yi i xii 1= + + = (1.51) SuportulrezultanteisistemuluiseaflnplanulOxyiarmomentulrezultant esteun vector perpendicular pe acest plan. Sistemul se poate reduce, n cazul 0 Ri 0OM, la orezultantuniccenutreceprinorigine.Ecuaiasuportuluiacesteirezultantesepoate deduce din ecuaia axei centrale: 0 z = ;0OzMxyRyxR = (1.52) Torsorul de reducere n raport cu origineaO poate prezenta urmtoarele situaii: 1) =0 R ; =0OM, torsoruleste nul. 2) 0 R ;=0OM,torsorulsereducelaorezultantuniccetreceprinorigine.3) =0 R ; 0OM,torsorulsereducelaunmomentperpendicularpeplanul 1. Elemente de algebr vectorial ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 12 vectorilor. 4) 0 R ; 0OM ,sistemuldevectorisereducelaorezultantunicalcrei suport este dat de ecuaiile axei centrale. c) Sisteme de vectori paraleli Unsistemdevectoriformeazunsistemdevectoriparalelidacsuporturilelorsunt paralele cu o direcie( ) , caracterizat prin versorul: x y zw w i w j w k = + + . (1.53) Un vector oarecare it se poate exprima sub forma: =ititw(1.54) SistemuldevectorisereducenraportcuorigineaOlauntorsoralecrui componente vectoriale sunt: = === =w Rn1 iwn1 iit wit R(1.55) n nM OT t w t OT wO i i ii 1 i 1 = = = = (1.56) Observaie: Rezultanta este paralel cu w, iar momentul rezultant este perpendicular pe w. Punctul fixC pentru care vectorul de poziie e dat de relaia: nt OTi ii 1rCntii 1 ===(1.57) senumetecentrulsistemuluidevectoriparaleli,iarcoordonatelesaleseobinproiectnd vectorul Cr pe cele trei axe: ===n1 iitn1 iixitCx;===n1 iitn1 iiyitCy;===n1 iitn1 iizitCz(1.58) Centrul sistemului de vectori paraleli are urmtoarele proprieti: 1) Se gsete pe axa central. 2)Poziiacentruluilaunsistemdevectoriparalelinudepindededireciasistemului de vectori. 3)Dacmrimeavectorilor itestemultiplicatsaumicoratdeunnumrdeori, poziia centrului sistemului de vectori paraleli rmne aceeai.1. Elemente de algebr vectorial ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 13 Rspunsuriicomentariilantrebriledintestulde autoevaluare 2 1. A se vedea 1.1. 2. A se vedea 1.2. 3. A se vedea 1.2.. 4. A se vedea 1.3.2. 5. A se vedea 1.3.1.6. A se vedea 1.3.2. 7. A se vedea 1.3.3. 8. A se vedea 1.3.2. Lucrare de verificare la Unitatea de nvare 2 La finalul acestei uniti de nvare se vor sintetiza cunotinele:1.Elementele unui vector 2.Operatii cu vectori. 3.Momentul unui vector in raport cu un punct si cu o ax. 4.Elementele unui torsor de reducere a uni sistem de vectori. 5.Proprietatile torsorului de reducere. 6.Cazuri de reducere ale unui sistem de vectori 7.Cazuri particulare de sisteme de vectori Test de autoevaluare 1 1.Care sunt elementele unui vector? 2.Enunai principalele operatii cu vectori. 3.Scrieti formulele care definesc operatiile cu vectori 4.Care sunt elementele unui torsor de reducere? 5.Scrieti proprietatile momentului unui vector in raport cu un punct 6.Care sunt proprietatile torsorului de reducere? 7.Prezentati cazurile de reducere ale unui sistem de vectori 8.Precizati cazuri particulare de sisteme de vectori 1. Elemente de algebr vectorial ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 14 Bibliografie1.Atanasiu,M.,Mecanica,EdituraDidacticiPedagogic, Bucureti, 1973. 2.Blan,t.,Complementedemecanicteoretic,Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1979. 3.Bolcu,D.,Rizescu,S.,MecanicaVol.I,EdituraDidactici Pedagogic, Bucureti, 2001. 4.Bolcu,D.,Rizescu,S.,MecanicaVol.II,EdituraDidactici Pedagogic, Bucureti, 2001. 5.Buculei,M.,MecanicaI,II,ReprografiaUniversitiidin Craiova, 1977, 1980. 6.Darabont,A.,Munteanu,M.,ViteanuD.,Mecanicatehnic, Editura Scrisul Romnesc, Craiova, 1983. 7.Onicescu, O., Mecanica, Editura tehnic, Bucureti, 1969. 8.Posea,N.,.a.,Mecanicaplicatpentruingineri,Editura Tehnic, Bucureti, 1984. 9.Rdoi,M.,Deciu,E.,Mecanica,EdituraDidactici Pedagogic, Bucureti, 1981. 10. Rdoi, M., Deciu, E., Voiculescu, D., Curs de mecanic. Statica i cinematic, Institutul Politehnic, Bucureti, 1975. 11. Ripianu,A.,Popescu,P.,Blan,B.,Mecanicatehnic,Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1982. 12. Sila,Gh.,Groanu,I.,Mecanic,EdituraDidactici Pedagogic, Bucureti, 1981. 13. Staicu, t., Introducere n mecanica teoretic, Editura tiinific i Enciclopedic, Bucureti, 1983. 14. Vlcovici, V., Blan, t., Voinea, R., Mecanica teoretic, ed. III-a, Editura tehnic, Bucureti, 1968. 15. Voiculescu,D.,.a.,Mecanicairezistenamaterialelor,vol.1, 2, 3, Institutul Politehnic, Bucureti, 1978. 16. Voinea,R.,Voiculescu,D.,Ceauu,V.,Mecanic,Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1983. 17. Voinea,R.,Voiculescu,D.,Simion,F.P.,Introduceren mecanicasoliduluicuaplicaiininginerie,EdituraAcademiei, Bucureti, 1989. 2.Axiomele mecanicii i elemente de geometria maselor ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 15 Unitatea de nvare nr. 2

AXIOMELE MECANICII I ELEMENTE DE GEOMETRIA MASELOR Cuprins PaginaObiectivele unitii de nvare nr. 216 2.1. Axiomele mecanicii16 2.1.1.Noiuni fundamentale 2.1.1.1. Fora 2.1.1.2. Cuplul 2.1.1.3. Lucru mecanic. Potenial. Putere2.2. Axiomele mecanicii punctului material 2.3. Axiomele mecanicii mediului material continuu 2.3.1.Foreicupluricareacioneazasupraunuimediu material continuu 2.3.2. Axiomele mecanicii mediului material continuu 2.4. Elemente de geometria maselor 2.4.1. Generaliti 2.4.1.1. Axiomele de mas 2.4.1.2. Varieti geometrice materiale 2.4.2. Centrul de mas 2.4.2.1. Proprietile centrului de mas 16 16 16 17 18 20 20 22 23 23 23 23 24 26 Test de autoevaluare 227 Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 227 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare 28 Bibliografie unitatea de nvare nr. 228 2.Axiomele mecanicii i elemente de geometria maselor ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 16 OBIECTIVELE unitii de nvare nr. 2 Principalele obiective ale Unitii de nvare nr. 2 sunt: 2.1. Axiomele mecanicii Dinamicareprezintaparteadinmecaniccareseocupcuinteraciuneaunuisistem mecaniccualtesistememecaniceicucomportareasistemelormecanicesupuseaciunilor exterioare. 2.1.1.Noiuni fundamentale 2.1.1.1. Fora Foraestenoiuneacarecaracterizeazaciuneamecanicaunuisistemmecanicsau fenomenfizicasupraaltuisistemmecanic.Maigeneral,foraesteunaspectalinteraciunii mecanicedintrecorpurileifenomeneledinunivers.Aciuneauneiforeasupraunuisistem material se poate face prin contact direct sau de la distan prin intermediul cmpurilor fizice. Fora este un vector, iar unitatea de msur pentru for este newtonul (simbolizat N). Sepostuleazcforaesteunvectoracruimrimenudepindedesistemulde referin ales, precum i faptul c aciunea exercitat prin for se transmite instantaneu. 2.1.1.2. Cuplul Deoareceoforacioneaznpunctulsudeaplicaie,ncazulpunctelormateriale, dacasupraunuipunctacioneazmaimultefore,acesteapotfinlocuite prin rezultanta lor. ncazulunuisolidrigid,asupraacestuiapotacionaforecareau punctedeaplicaiediferite.Prezintinterescazulncareasuprasolidului acioneaz dou fore egale ca mrime, paralele dar de sens opus (fig. 2.1). Fig. 2.1 Studiul axiomelor mecanicii punctului material Studiul axiomelor mecanicii mediului material continuu Studiulelementelordegeometriamaselorsiaproprietilor centrului de mas 2.Axiomele mecanicii i elemente de geometria maselor ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 17 Torsorul de reducere al celor doi vectori ntr-un punctO, oarecare, este format din: -vectorul rezultant: =0 R ;(2.1) -vectorul moment rezultant n punctulO: =F BAOM (2.2) Se observ c torsorul de reducere al celor dou fore nu depinde de punctul n care se facereducereaiesteformatnumaidinvectorulmomentrezultant.Sespunecacestefore formeaz un cuplu (moment), care ste un vector liber, punctul de aplicaie al acestuia putnd fi oricepunctalsoliduluirigid.Astfel,nloculcelordouforesepoateconsideracasupra solidului rigid acioneaz momentul acestora. Este de precizat faptul c asupra solidului rigid pot aciona att fore ct i cupluri (momente) pe cnd asupra punctelor materiale pot aciona numai fore. Unitatea de msur pentru moment este Nm. 2.1.1.3. Lucru mecanic. Potenial. PutereSe consider o for Fal crei punct de aplicaie se deplaseaz pe o curb ( C) (fig. 2.2). Fig. 2.2 Lucrul mecanic al forei Fpe curba ( C) este: =) C (r d F L (2.3) Unitatea de msur a lucrului mecanic este joule (J). Fora Fdin (2.3) depinde, n cazul cel mai general, att de poziie ct i de timp, deci ( ) t ; z ; y ; x F t ; r F F= =.Dacfora F areuncaracterirotaional(adic =0 F rot ) atunci exist o funcieV, numit potenial, asociat lui F , astfel nct: ++ = =kzVjyVixVV F .(2.4) 2.Axiomele mecanicii i elemente de geometria maselor ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 18 n acest caz, lucrul mecanic al forei Feste:=++ = =) C (dzzVdyyVdxxV) C (r d F L ) t ; B ( V ) t ; A ( V) C (dV = (2.5) Observaie:Lucrul mecanic nu depinde de drum, ci numai de poziia iniial i poziia final a punctului de aplicaie a forei F . Deoarece = dr F dV ,potenialulasociatunuicmpdeforeconservativse calculeaz cu relaia: ct r d F ) t ; M ( V + = .(2.6) Seconsidercazulunuipunctasupracruiaacioneazunsistemdefore nF ,...,2F ,1Ffiecare avnd potenialul nV ,...,2V ,1V . Potenialul rezultantei este: n nV F d r ct F d r ct V V ... V Vi 1 2 n ii 1 i 1 = + = += + + + = = =(2.7) adic suma potenialelor celor n fore care acioneaz asupra punctului. Lucrul mecanic elementar al forei Feste: = r d F L (2.8) Puterea asociat forei Feste dat de: dtLP= .(2.9) Din(2.8) i (2.9) rezult: == v Fdtr d FP . (2.10) n cazul aciunii unui cuplu M, puterea se calculeaz cu relaia: = M P(2.11) n care este viteza unghiular a solidului rigid solicitat de cuplulM. Unitatea de msur pentru putere este wattul (1W = 1J/s). 2.2. Axiomele mecanicii punctului material Elaborarea modelelor matematice pentru micrile punctelor materiale i sistemelor de puncte materiale se face pe baza urmtoarelor axiome: 2.Axiomele mecanicii i elemente de geometria maselor ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 19 1)Principiul ineriei (Axioma AP1). Exist un sistem de referin, numit sistem dereferininerial,fadecareunpunctmaterialasupracruianuacioneazniciofor (=0 Fla orice moment) se gsete fie n repaus fie n micare rectilinie i uniform. 2)Ecuaiamicrii(AxiomaAP2).Fadeunsistemdereferininerial,este valabil ecuaia micrii punctului material: = F a m(ecuaia Newton) (2.12) ncare:mestemasapunctuluimaterial; a esteacceleraiapunctuluimaterialfade reperul inerial; Feste rezultanta forelor care acioneaz asupra punctului material. Observaie.Relaia(2.12)stabiletelegturantreunitateademsuraforeii unitile de msur pentrumas, spaiu i timp. Deci, 1 newton este fora care imprim unui punct material de mas 1 kg o acceleraie de 1 m/s2 in raport cu un sistem de referin inerial. 3)Principiulaciuniiireaciunii(AxiomaAP3).Dacseconsiderunsistem materializolatformatdindoupunctemateriale 1M i 2M idac 12F esteforacucare 1M acioneazasupralui 2M i 21F esteforacucare 2M acioneazasupralui 1M , atunci: 12F=+ 021F(2.13) Principiulaciuniiireaciuniipoatefiextinssilasistemeledepunctemateriale: Forele cu care interacioneaz dou sisteme materiale sunt egale i de sens contrar. Observaie: Axiomele enunate se utilizeaz in raport cu un sistem de referin inerial. Conform axiomei AP1, pentru un punct material, vectorul de poziie fa de un reper inerial este =C r (constant), pentruunpunct material aflat in repaus, sau +=B t A r , pentru pentru un punct material aflat in micare rectilinie i uniform, dac=0 F . In ambele cazuri acceleraia ==0..r a ,adicesteverificatiaxiomaAP2.DeciecuaiaNewtonesten concordan cu principiul ineriei dar expresia sa este i rezultatul observaiilor i constatrilor experimentale.Acceptareaunuisistemdereferincafiindinerialsefaceprinverificarea axiomeiAP2.Pentruproblemelecurente,careaparntehnic,sefolosetesistemulinerial terestru care este un reper propriu ataat geoidului terestru, asimilat cu un solid rigid. 2.Axiomele mecanicii i elemente de geometria maselor ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 20 4)AxiomalegturilorsauaxiomaCauchy(AxiomaAP4):Oricelegturimpus unui punct material poate fi substituit cu o for de legtur. 2.3. Axiomele mecanicii mediului material continuu Axiomele valabile pentru punctul material nu pot fi aplicate n cazul mediului material continuu.Caurmare,sevorintroduceaxiomevalabilesiaplicabilemediuluimaterial continuu. 2.3.1. Fore i cupluri care acioneaz asupra unui mediu material continuu Forelecarepotacionaasupraasupraunuimediumaterial continuucareocupundomeniu spaial) t ( Dcu frontiera) t ( S se clasific n: fore masice care sunt repartizate continuu n toate punctele domeniului) t ( D . Rezultanta acestor fore este: F f dVmD(t) = (2.14) n care:- f f r ; r ; t = este intensitatea forelor masice, exprimat n N/kg; - r ; t = este masa specific volumic, exprimat n kg/m3; -dVeste elementul de volum din) (t D . Intensitatea forelor masice este o funcie vectorial care depinde de timp, de poziia si de viteza punctului considerat. fore superficiale care sunt repartizate continuu n toate punctele suprafeei) (t Ssau ale unei submulimi a acesteia.Rezultanta acestor fore este: F T dSsS(t) = (2.15) n care: T T r ; r ; t = este intensitatea forelor superficiale, exprimat n N/m2 ; -dS elementul de arie pe suprafaa) t ( S . 2.Axiomele mecanicii i elemente de geometria maselor ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 21 Unitateademsurpentruintensitateaforelor masiceeste N/m2.Forelesuperficiale depind de timp, poziie i vitez. forele concentrate care acioneaz n anumite puncte ale mediului material. Rezultanta acestor fore este: nF Fc ii 1 = = (2.16) in care: F F r ; r ; ti i i i = este intensitatea forelor concentrate, exprimat n N (2.17) Cuplurile care pot aciona asupra unui mediu material continuu se pot clasifica astfel: cupluri masice care sunt distribuite n toate punctele domeniului) (t D .Momentul rezultant al acestor cupluri este: =) t ( DmmMdV (2.18) n care:- m m r ; r ; t = este intensitatea cuplurilor masice, exprimat n Nm/kg; - = t ; reste masa specific volumic exprimat n kg/m3; cupluri superficiale care sunt distribuite pe suprafaa exterioar) (t S . Momentul rezultant al acestor cupluri este: M dSsS(t)= (2.19) r ; r ; t = este intensitatea cuplurilor superficiale, exprimat n Nm/m2.cupluri concentrate, M , j 1;pj=, cu momentul rezultant: pM Mc jj 1 = =(2.20) 2.Axiomele mecanicii i elemente de geometria maselor ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 22 unde M M r ; r ; t , j 1; pj j j j = = (2.21) Torsoruldereducerentr-unpunctOalforeloricuplurilorcareacioneazasupra mediului material continuu are componentele vectoriale: - Rezultanta: nF f dV T dS Fii 1D(t) S(t) = + + = (2.22) - Moment rezultant n punctulO: p nM m dV dS M r f dV r T dS r FO j i ij 1 i 1D(t) S(t) D(t) S(t) = + + + + + = = (2.23) 2.3.2. Axiomele mecanicii mediului material continuu Mecanica mediului material continuu se bazeaz pe urmtoarele axiome: 1.Axioma condiiilor iniiale (Axioma AC1).Pentruasecunoateunivocpoziiaoricruipunctalmediuluimaterialcontinuula orice moment, este necesar ca la momentul iniial s se cunoasc poziia i viteza oricruipunct al mediului material continuu. 2.Axioma invarianei masei (Axioma AC2)).Masa oricrui subdomeniu) t ( , inclus n) t ( D , este constant n timp: 0 t . ct) t (m =(2.24) 3.Axioma lui Cauchy (Axioma AC3).Dacdindomeniulocupatdemediulmaterialcontinuuseeliminunsubdomeniu ) t ( ,estenecesarisuficientcapesuprafaaacestuisubdomeniusseintroduco distribuie continu de fore superficiale i cupluri superficiale. 4.Axioma derivatei impulsului (Axioma AC4).Dac) t (H este impulsul fa de un sistem de referin inerial al unui subdomeniu ) t ( al mediului material continuu, atunci derivate impulsului este egal cu rezultanta tuturor forelor care acioneaz asupra subdomeniului) (t : H F(t) = (2.25) 5.Axioma derivatei momentului cinetic (Axioma AC5).2.Axiomele mecanicii i elemente de geometria maselor ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 23 Dac ) t ( , OK este momentul cinetic al subdomeniului) t ( fa de un punctO al unui sistem de referin inerial, atunci derivata acestuia este egal cu momentul rezultant al tuturor foreloricuplurilorcareacioneazasuprasubdomeniului) t ( ,momentcalculaten punctulO: K MO, (t)O = (2.26) 2.4. Elemente de geometria maselor 2.4.1. Generaliti Masaesteomrimecaremsoarcantitateadematerie(exprimatinkg)aunui sistem material. Din punct de vedere fizic, se deosebesc: mas inerial i mas gravitaional. Masa inerial se refer la proprietatea sistemelor material (numit inertie) de a nu-i modifica stareademicarefadeunreperinerialdacnuinteracioneazcualtesistememateriale. Masa gravitaional se refer la interaciunea gravitaional dintre sistemele materiale. 2.4.1.1. Axiomele de mas - Axioma 1. Masa ) S ( ma oricrui sistem material) S (este ntotdeauna pozitiv: 0 ) S ( M (2.27) -Axioma2.Pentruunsistemmaterial) S ( formatdinn subsistememateriale)iS ( , disjunctentreele,masasistemului) S ( esteegalcusumamaselorsubsistemelor componente: ( ) ( ) ==n1 iiS m S m (2.28) -Axioma3.Masaunuisistemmaterial) S ( carenuefectueazschimburidemascualte sisteme materiale este constant n timp, adica, matematic: ( ) 0 S.m =(2.29) 2.4.1.2. Varieti geometrice materiale Seconsiderunsistemmaterial) S ( careocupundomeniuspaial) D ( .nfuncie dedimensiuniledomeniului) D ( sedistingurmtoareletipuridevarietatigeometrice materiale: 1.-Punctul material este un punct geometric cruia i se asociaz o mas. 2.-Curba material este o curb geometric n punctele creia este repartizat mas. 2.Axiomele mecanicii i elemente de geometria maselor ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 24 3.-Suprafaa material este o suprafa geometric n punctele creia este repartizat mas. 4.-Volumul material este un volum geometric n punctele cruia este distribuit mas. Distribuiamaseiunuicorpestecaracterizeazprinmasaspecific,numiti densitate. Fiecarui tip de varietate geometric material ii corespunde un tip de masa specifica Masa se calculeaz n felul urmtor: - pentru curba material: ( )ds) C (t ; P m =(2.30) n care:-) C (este curba geometric suport pentru curba material; -) t ; P ( este masa specific liniar, care, in general, depinde de punctulPi de timp; -dselementul de arc pe curba) C ( . Unitatea de msur pentru masa specific liniar este Kg/m. - pentru suprafaa material: ( ) =) S (d t ; P m(2.31) n care: -) S (este suprafaa geometric suport pentru mas; - deste elementul de arie pe suprafaa) S ( ; -) t ; P ( estemasaspecificsuperficial,care,ingeneral,depindede punctulPi de timp. Unitatea de msur pentru masa specific superficial este Kg/m2. - pentru volumul material: ( ) =) D (d t ; P m(2.32) n care:-) D (este volumul geometric suport pentru mas; - deste elementul de volum din) D ( ; -) t ; P ( este masa specific volumic, care, in general, depinde de poziia n domeniul) D (i de timp. Unitatea de msur pentru masa specific volumic este Kg/m3. 2.4.2. Centrul de mas2.Axiomele mecanicii i elemente de geometria maselor ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 25 Se consider un sistem de puncte materiale iM ,n , 1 i = , avnd masele( )iM mim =sivectorii de poziie ir,n , 1 i = , fa de un sistem de referin la care se raporteaz.Vectorul de poziie al centrului de mas al sistemului de puncte materiale este: n1r m rC i imi 1 = = (2.33) n care: ==n1 iim m, este masa sistemului de puncte materiale. Vectoruldepoziiealcentruluidemasaluneicurbematerialeavndcasuport geometric curba) (C , este: 1r r dsCm(C) = (2.34) n carem este masa curbei materiale dat de (2.30). Vectoruldepoziiealcentruluidemasaluneisuprafaematerialeavndcasuport geometric suprafaa) S (este: =) S (d rm1Cr (2.35) n carem este masa suprafeei materiale, calculat cu (2.31). Vectoruldepoziiealcentruluidemasalunuivolummaterialavndcasuport geometric domeniul) D ( , este: =) D (d rm1Cr (2.36) n carem este masa volumului material, dat de (2.32). Coordonatele centrului de mas pentru un sistem de puncte materiale se obin cu relatiile: imn1 iixm1Cx == imn1 iiym1Cy == (2.37) imn1 iizm1Cz == n care ix , iy , izsunt coordonatele punctului iM . 2.Axiomele mecanicii i elemente de geometria maselor ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 26 Analogsedeterminacoordonatelecentruluidemasapentrucelelaltevarietatigeometrice.Dac sistemele materiale sunt formate din puncte materiale, curbe, suprafee i volume material, atunci poziia centrului de mas se determin cu relaia: ( )( ) ( )Cp n u v1r m r r ds r d r diim i 1 k 1 l 1 j 1C SDk lj = + + + = = = = (2.38) n care:-neste numrul de puncte materiale; -peste numrul de curbe materiale; -ueste numruldesuprafeemateriale;-vestenumruldevolumematerialececompunsistemul mecanic; -m este masa sistemului material, care se calculeaz cu relaia: === + + + ==p1 kkCu1 llSv1 jjDd d dsn1 iim m (2.39) 2.4.2.1. Proprietile centrului de mas Intrucatcalcululintegralelorcurbilinii,desuprafasaudevolumeste,ingeneral, destul de laborios si dificil pentru o geometrie mai complicat, in anumite situatii particulare este recomandat utilizarea unor proprieti relative la poziionarea centrului de mas. Proprietatea1.Pentruunsistemmaterial inclus ninterioruluneisuprafeeconvexe, centrul de mas al sistemului se afl n interiorul acelei suprafee convexe. Proprietatea2.Poziiacentruluidemasalunuisistemmaterialnudepindede sistemul de referin ales. Proprietatea3.Pentruunsistemmaterial) S ( formatcaoreuniunedesubsisteme )kS ( p , 1 k = , disjuncte ntre ele, pentru care centrele de mas kCsunt definite prin vectorii depoziie kr,p , 1 k = fadeunreperdat,vectoruldepoziiealcentruluidemasal acestuia este: krp1 kkmm1Cr== (2.40) n care:- kmeste masa subsistemului)kS ( ; - ==n1 kkm m este masa sistemului) S ( . Practic, fiecare subsistem )kS ( se nlocuiete cu un punct material plasat n centrul su de mas kC, avnd mas identic cu )kS (. Observatie: Dac sistemul materialS se obine eliminnd din sistemul material 1S , cu masa 1m ivectoruldepoziiealcentruluidemasa,rC1,sistemulmaterial 2S ,cumasa 2.Axiomele mecanicii i elemente de geometria maselor ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 27 2m ivectoruldepoziiealcentruluidemasa, 2Cr,atuncipoziiacentruluidemasa sistemului) (Sse determin cu relaia: 2m1m2Cr2m1Cr1mCr= (2.41) Proprietatea 4. Dac sistemul material admite un plan, o ax sau un punct de simetrie material (simetrie geometric i masic), atunci centrul de mas se gsete n planul, pe axa sau n punctul de simetrie material. Proprietatea 5. Dac toate punctele unui sistem material se gsesc pe o ax sau ntr-un plan, atunci i centrul de mas se gsete pe acea ax sau n acel plan. Test de autoevaluare 2 1.Definii si scriei formulele pentru: Lucru mecanic. Potential. Putere.2.Enumerai i enunai axiomele mecanicii punctului material 3.Tipuri de fore i cupluri 4.Enumeraiienunaiaxiomelemecaniciimediuluimaterial continuu 5.Enunai axiomele de mas 6.Prezentai principalele varieti geometrice materiale 7.Scrieiformulelecentruluidemaspentrudiferitevarieti geometrice materiale 8.Scriei proprietile centrului de mas. Rspunsuriicomentariilantrebriledintestulde autoevaluare 2 1. A se vedea 2.1.1.3. 2. A se vedea 2.2. 3. A se extrage din 2.3.1. 4. A se vedea 2.3.2. 5. A se vedea 2.4.1.1. 6. A se vedea 2.4.1.2. 7. A se vedea 2.4.2. 8. A se vedea 2.4.2.1 2.Axiomele mecanicii i elemente de geometria maselor ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 28 Bibliografie 1.Atanasiu,M.,Mecanica,EdituraDidacticiPedagogic, Bucureti, 1973. 2.Bolcu,D.,Rizescu,S.,MecanicaVol.I,EdituraDidactici Pedagogic, Bucureti, 2001. 3.Bolcu,D.,Rizescu,S.,MecanicaVol.II,EdituraDidactici Pedagogic, Bucureti, 2001. 4.Buculei,M.,MecanicaI,II,ReprografiaUniversitiidin Craiova, 1977, 1980. 5.Darabont,A.,Munteanu,M.,ViteanuD.,Mecanicatehnic, Editura Scrisul Romnesc, Craiova, 1983. 6.Onicescu, O., Mecanica, Editura tehnic, Bucureti, 1969. 7.Posea,N.,.a.,Mecanicaplicatpentruingineri,Editura Tehnic, Bucureti, 1984. 8.Rdoi,M.,Deciu,E.,Mecanica,EdituraDidactici Pedagogic, Bucureti, 1981. 9.Ripianu,A.,Popescu,P.,Blan,B.,Mecanicatehnic,Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1982. 10. Sila,Gh.,Groanu,I.,Mecanic,EdituraDidactici Pedagogic, Bucureti, 1981. 11. Staicu, t., Introducere n mecanica teoretic, Editura tiinific i Enciclopedic, Bucureti, 1983. 12. Vlcovici, V., Blan, t., Voinea, R., Mecanica teoretic, ed. III-a, Editura tehnic, Bucureti, 1968. 13. Voinea,R.,Voiculescu,D.,Ceauu,V.,Mecanic,Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1983. 14. Voinea,R.,Voiculescu,D.,Simion,F.P.,Introduceren mecanicasoliduluicuaplicaiininginerie,EdituraAcademiei, Bucureti, 1989. Lucrare de verificare la Unitatea de nvare 2 La finalul acestei uniti de nvare se vor sinteiza cunotinele pentru:1.Torsor de reduecere. Lucru mecanic. Potential. Putere.2.Axiomele mecanicii punctului material 3.Axiomele mecanicii mediului material continuu 4.Axiomele de mas 5.Varieti geometrice materiale 6.Centre de mas.7.Proprieti ale centrului de mas. 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 29 Unitatea de nvare nr. 3

ELEMENTE DE MECANICA PUNCTULUI MATERIAL Cuprins PaginaObiectivele unitii de nvare nr. 3 31 3.1. Elemente de cinematica punctului 3.1.1. Parametrii cinematici ai micrii punctului3.1.2. Micarea relativ a punctului 3.2. Ecuaiile difereniale ale micrii punctului material 3.2.1. Generaliti 3.2.2.Teoremefundamentalendinamicapunctuluimateriali sistemelor de puncte materiale 3.2.3. Dinamica punctului material liber 3.2.3.1.Ecuaiilediferenialealemicriipunctuluimaterial liber 3.2.3.2.Cazuriparticularedemicrialepunctuluimaterial liber 3.2.4. Dinamica punctului material supus la legturi fr frecare 3.2.4.1. Punct material pe suprafa fr frecare 3.2.4.2. Punct material pe curb fr frecare 3.2.5. Dinamica punctului material supus la legturi cu frecare 3.2.6. Dinamica micrii relative a punctului material 3.3. Statica punctului material 3.3.1. Generaliti 3.3.2. Statica punctului material liber 3.3.3. Statica punctului material supus la legturi fr frecare 31 31 33 35 35 36 38 39 39 40 40 41 42 43 46 46 47 47 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 30 3.3.3.1. Echilibrul punctului material pe suprafa lucie 3.3.3.2. Echilibrul punctului material pe curb fr frecare 3.3.4. Statica punctului material supus la legturi cu frecare Test de autoevaluare 3 Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 3 Raspunsuri la intrebarile din testul de autoevaluare Bibliografie 48 49 50 51 51 52 52

3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 31 OBIECTIVELE unitii de nvare nr. 3 Principalele obiective ale Unitii de nvare nr. 3 sunt: 3.1.Elemente de cinematica punctului Cinematicastudiazmicrilemecanicealecorpurilorfraineseamdeaspectul materialalacestoraideaciunileexterioarela caresuntsupuse.Noiunilefundamentalecu care opereaz cinematica sunt spaiul i timpul. In mecanica clasica: 1.Spaiulesteabsolut,tridimensionaliindependentdematerie,izotropiomogen, fiind nzestrat cu metrica euclidian. Unitatea de msur a spaiului este metrul |m|. 2.Timpulesteabsolut,unidimensional,pozitiv,independentdematerieiireversibil. nmecanicaclasicseconsiderctransmitereaaciunilorsefaceinstantaneu,ceeace confer timpului un caracter absolut. Unitatea de msur a timpului este secunda |s|. Dac sistemul de referin n raport cu care se studiaz micarea este presupus fix, micarea se numete absolut, iar dac sistemul de referin este mobil, micarea se numete relativ. 3.1. 1. Parametrii cinematici ai micrii punctului Se consider un reperOxyzla care este raportat un punctM. Poziia acestuia este dat prin vectorul de poziie { } rti r OM)`==. Prin definiie, punctulM este mobil fa de sistemul de referin considerat dac vectorul su de poziie nu este constant. Micarea punctuluiM este cunoscut dac se poate preciza poziia sa n orice moment, adica, dac este cunoscut variaia n timp a funciei: { } ) t ( rti ) t ( r r)`==. (3.1) Aceastfuncievectorial trebuie s fie continu, uniform (deoarecepunctulMnu poate ocupa dou poziii simultan), de cel puin dou ori derivabil i finit n modul. Studiul elementelor geometriei micrii punctului material Studiul parametrilor cinematici ai micrii punctului material Studiulecuaiilordiferenialealemicriipunctuluimaterial si sistemelor de puncte materiale 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 32 Dinpunctdevederescalar,vectoruldepoziie) t ( rpoatefidesciscuajutorulatrei funcii.Dacsefolosesccoordonatelecarteziene,definireavectorului ) t ( rpresupune cunoaterea abscisei, ordonatei i cotei punctului studiat:). t ( z z ); t ( y y ); t ( x x = = =LoculgeometricalpoziiilorsuccesiveocupatedepunctulMnmicareasafade reperul considerat, se numete traiectorie. Fie) t ( r vectorul de poziie al punctuluiM la momentult i) t t ( r +, vectorul de poziie al punctuluiM la momentult t + . Viteza medie a punctuluiM pe intervalul de timp| | t t ; t +este prin definiie: ( ) ( )tt r t t rmedv += (3.2) Viteza instantanee a punctuluiM la momentul t se obne prin trecerea la limit (cnd 0 t ) n relaia (3.2):( ) t.rdtr dv== (3.3) Unitatea de msur a vitezei este |ms-1|. Fie( ) t v viteza punctuluiM la momentulti) t t ( v + viteza punctuluiM la momentult t + .AcceleraiamedieapunctuluiMpeintervaluldetimp| | t t ; t + este prin definiie: ( ) ( )tt v t t vmeda +=.(3.4) Pentru determinarea acceleraiei instantanee se trece la limit (cnd0 t ) n relaia (3.4). AcceleraiainstantaneeapunctuluiM lamomentult sedeterminprintrecerealalimit (cnd0 t ) n relaia (3.4): ( ) ( )d va v t r tdt = = = . (3.5) Unitatea de msur a acceleraiei este |ms-2|. 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 33 3.1.2. Micarea relativ a punctului Micareafadeunreperpresupusfixpoartdenumireademicareabsolut.In aplicaiile tehnice uzuale pmntul este considerat fix. In micarea relativ a punctului prezint importan trei noiuni: a.Micarea absolut - este micarea punctului n raport cu reperul fix: b.Micarea relativ - este micarea punctului n raport cu reperul mobil: c.Micareadetransport-estemicareaunuipunctsolidarcureperulmobilcare,la momentul dat, coincide cu punctul studiat. SeconsiderunpunctM,raportatla dousistemedereferin, 0z0y0x0O, notat 0T, considerat fix iOxyz , notatT , care se mic fa de reperul 0T(fig. 3.3). Micarea reperuluiTfadereperul 0T estepresupuscunoscut,adicestecunoscutvariaia vectoruluiRO i relaia de schimbare de baz de la reperul 0Tla reperulT: | |)`=)`0i S i. (3.6) Fig. 3.1 Micarea punctuluiM fa de reperul 0Tare un caracter absolut, iar micarea fa de reperulTareuncaracterrelativ.MicareapunctuluiMfadereperulTestedatprin vectorul de poziie r , iar micarea fa de reperul 0Teste dat prin vectorul de poziie R .Se poate scrie relaia: +=rOR R (3.7) 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 34 Derivnd relaia (3.7) n raport cu timpul, se obine: )0T (Mv) T (Mv r)0T (Ov+ +=(3.8) sau:relv rOvav+ +=(3.9) n care : aveste viteza absolut a punctului M,relv este viteza relativ a punctuluiM. i se calculeaza cu relaia: trrelv=(3.10) = +tv rOv (3.11) se numete vitez de transport i ar fi viteza absolut a punctuluiM dac acesta ar fi fix fa de reperulT ;este vitez unghiular a reperuluiT fa de 0T . Pentrudeterminarearelaieidelegturntreacceleraiisederiveaznraportcu timpul relaia (3.9) si se obtine : aa = Oa + r||.|

\| + rtr2 + +2tr2 (3.12) unde :- aa esteacceleraiapunctuluiMfadereperul 0T ,senumeteacceleraie absolut; -Oa este acceleraia originiiO a reperuluiT fa de 0T ;- = este acceleraia unghiular a reperuluiT fa de reperul 0T .-acceleraia de transportta = Oa + r||.|

\| + r(3.13) i reprezint acceleraia absolut a punctuluiMdac acesta ar fi fix fa de reperulT ; 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 35 -acceleraia Coriolisca = relv 2tr2 =(3.14) i reprezint efectul combinat al micrii de rotaie al reperuluiT i al micrii punctuluiM fa deT; -acceleraia relativrela=2tr2 (3.15) i reprezint acceleraia cu care punctulM se mic fa de reperulT. 3.2. Ecuaiile difereniale ale micrii punctului material 3.2.1. Generaliti n dinamica punctului material apar dou tipuri de probleme: A.Problemadirectncaresecunoscforelecareacioneazasuprapunctului materialiseceressedeterminemicareaacestuia.ngeneralaceastproblemeste determinat,pentrusoluionareasascriindu-seecuaiafundamentalamecanicii.Rezultanta forelor care acioneaz asupra punctului material se calculeaz cu relaia: ++=fFlFeF F(3.16) n care:- eFeste rezultanta forelor exterioarecare acioneaz asupra punctului material; - lFeste rezultanta forelor de legtur; - fFeste rezultanta forelor de frecare. Rezultanta Fprezint o dependen de tipul: ||||.|

\| =t ;.r ; r F F (3.17) Ecuaia Newton capt forma: ||||.|

\| =t ;.r ; r F..r m (3.18) 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 36 Prin proiectarea pe axe a relaiei (3.18) se obine un sistem diferenial de forma: ||.|

\|= t ;.z ;.y ;.x ; z ; y ; xxF..x m||.|

\|= t ;.z ;.y ;.x ; z ; y ; xyF..y m(3.19) ||.|

\|= t ;.z ;.y ;.x ; z ; y ; xzF..z m . B. Probleme invers n care este cunoscut micarea, adic o relaie de tipul: ) t ( r r= (3.20) i se cere fora Fcare acioneaz asupra punctului material. Pentru aceasta se deriveaz de douorinraportcutimpulrelaia(3.19)isenlocuietenecuaiaNewton.ngeneral problema nu este unic determinat fiind necesare i alte informaii privind natura forei. 3.2.2.Teoremefundamentalendinamicapunctuluimaterialisistemelor de puncte materiale Seconsiderunsistemdepunctemateriale nM ,...,2M ,1M ,cumaseleconstante nm ,...,2m ,1m .Pentruacestsistemmaterial,raportatlaunsistemdereferininerial,sunt valabile urmtoarele teoreme: Teoremaimpulsului.Dac H esteimpulsultotalalsistemuluidepunctemateriale atunciderivateimpulsuluiesteegalcurezultantatuturorforelorcareacioneazasupra sistemului de puncte materiale, eliberat de legturi: =R.H(3.21) Teoremaconservriiimpulsului.Dac,ntimpulmicrii,rezultanta R estenul atunci impulsul sistemului de puncte materiale se conserv, adica are o valoare constant: =0.H (3.22) de unde: =C H(3.23) 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 37 Dac proiecia rezultantei Rpe o ax fix( ) este nul, atunci proiecia impulsului total pe axa( ) este constant. Teoremamomentuluicinetic.Dac OK estemomentulcineticalsistemuluide punctematerialenraportcuunpunctO,atunciderivateacestuiaesteegalcumomentul rezultantnraportcupunctulOaltuturorforelorcareacioneazasuprasistemuluide puncte materiale, eliberat de legturi.: =OM.OK(3.24) Teorema conservrii momentului cinetic. Dac n timpul micrii momentul rezultant n raport cu un punctO este nul atunci momentul cinetic al sistemului de puncte materiale n raport cu polulO este constant:=0.OK (3.25) de unde:=OKC(3.26) DacPeste un alt pol, diferit deO, atunci: =+=||.|

\|==||.|

\|+=ivimn1 iiPMn1 iivim OPn1 iivimiPM OPOK (3.27) adic: +=H OPPKOK (3.28) Cu relaia de schimbare de pol se poate scrie: +=R OPPMOM(3.29) nlocuind (3.28) i (3.29) n (3.24) se obine: +H.OP.PK =+.H OP+R OPPM(3.30) Cu teorema impulsului se obine relaia: =.PKHPvPM(3.31) unde Pveste viteza punctuluiPfa deO. Dac, n particular, punctul P coincide cu centrul de masC al sistemului de puncte material, atunci =0 HCv , relaia (3.31) capt forma particular: 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 38 =.CKCM (3.32) Relaia (3.32) reprezint teorema momentului cinetic n raport cu centrul de mas sau teorema lui Koenig. Teoremaariilor.Dacmomentulrezultantalforelorcareacioneazasupra sistemului de puncte materiale, calculat n raport cu o ax fix( ) este nul, atunci: .n1 ict Ci im == = (3.33) unde ieste proiecia vitezei areolare ia punctului iM , pe axa( ) . Observaie.Dac =OM0 atunciteoremaariilorestevalabilpentruoriceaxcare trece prin punctulO. Teorema energiei. Difereniala energiei cinetice a unui sistem de puncte materiale este egal cu lucrul mecanic elementar al forelor care acioneaz asupra punctelor sistemului: L dT =(3.34) Observaie.Dacsemparterelaia(3.34)cudt seobineonouformateoremei energiei:P.T = (3.35) Derivataenergieicineticeasistemuluidepunctematerialenraportcutimpuleste egal cu puterea forelor care acioneaz asupra sistemului de puncte materiale. De asemenea, integrnd relaia (3.34) se obine o nou form a teoremei energiei: ifLiTfT = (3.36) ncare:iT esteenergiacineticasistemuluidepunctematerialelanceputulintervaluluide observare a micrii; - fT esteenergiacineticasistemuluidepunctematerialelasfritulintervaluluide observare a micrii; - ifLeste lucrul mecanic efectuat de ctre forele care acioneaz asupra sistemului de puncte materiale ntre starea iniial i cea final. 3.2.3. Dinamica punctului material liber Un punct material care nu este supus la legturi se numete punct material liber. Acest tip de punct are trei grade de libertate. n acest caz asupra punctului material acioneaz numai fore exterioare, micarea acestui punct fiind condiionat doar de sistemul de fore active ce acioneaz asupra lui. 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 39 3.2.3.1. Ecuaiile difereniale ale micrii punctului material liber Ecuaia diferenial vectorial a micrii unui punct material liber, de mas m, acionat de un sistem de fore exterioare, a cror rezultant e notat cuF , este, conform axiomei AP2: =F a m . (3.37) Prinproiectareaecuaiei(3.37)peaxeleunuisistemdereferin,convenabilales,se obin ecuaiile scalare ale micrii punctului material liber: xF..x m=yF..y m=(3.38) zF..z m=n careF , F , Fx y z sunt componentele forei i depind de timp) t ( , poziie( ) z ; y ; xi vitez ||.|

\|.z ;.y ;.x . 3.2.3.2. Cazuri particulare de micri ale punctului material liber Seprezintctevacazuriparticularedemicrialepunctuluimaterialliberncare traiectoria punctului este plan sau rectilinie. Cazul 1: dac rezultanta forelor exterioare care acioneaz asupra unui punct material liberidacvitezainiialapunctuluisuntperpendicularepeoaxfix( ) (fadeun sistemdereferininerial),atuncitraiectoriapunctuluimaterialesteplan,planulmicrii trecnd prin poziia iniial a punctului material i fiind normal pe axa( ) . Cazul2:dacrezultantaforelorexterioarecareacioneazasuprapunctuluimaterial liber este paralel cu o ax fix de versor u(fa de un reper inerial) atunci traiectoria este plan.Dac ( )=00t v sau( ) u0t v atuncitraiectoriapunctuluiesterectilinie,fiind dreapta de versor uce pornete din poziia iniial a punctului material. Cazul 3. Dac rezultanta forelor exteriaore care acioneaz asupra punctului material liber este =v F ,{ } 0 , atunci traiectoria este rectilinie. 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 40 Cazul 4. Dac rezultanta forelor exterioare care acioneaz asupra punctului material liber este + =v r k F , atunci traiectoria este plan.Observaie:Particularizandcazul4,dacfora F este =r k F ,atuncitraiectoria punctului material este plan. 3.2.4. Dinamica punctului material supus la legturi fr frecare Scrierea ecuaiilor de micare n cazul punctului material supus la legturi fr frecare se face tot pe baza axiomei Newton dar n structura rezultantei forelor care acioneaz asupra punctuluiapariforeledelegtur.nbazaaxiomeilegturilorsendeprteaztoate legturileiseintroducnlocforeledelegturcorespunztoare.nacestfelseobineun punctmaterialliberasupracruiaacioneazunsistemdeforeformatdinforeleactive exterioare(foredate)iforeledelegtur.Astfel,expresiaecuaieifundamentalea mecanicii se poate scrie sub forma: +=lF F a m(3.39) ncontinuareseprezintctevaexempleuzualedelegturiimodulncarese introduce fora de legtur. 3.2.4.1. Punct material pe suprafa fr frecare SeconsidermicareafrfrecareaunipunctmaterialM,demasm,peo suprafa) S ((fig. 3.2) a crei ecuaie fa de un sistem de referin inerial este: ( ) 0 z ; y ; x f = . (3.40) Fig. 3.2 In cazul punctului pe suprafa, fora de legtur este normal la suprafa. Se tie c un vector normal la suprafa n punctulMestef . Deci, expresia forei de legtur este: 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 41 F fl= (3.41) n care: f f ff i j kx y z = + + (3.42) n proiecii pe axele reperuluiOxyzse obine: xfxF..x m + =yfyF..y m + =(3.43) zfzF..z m + = . Sistemul format din ecuaiile (3.43) si (3.40) are ca necunoscute pe) t ( z ), t ( y ), t ( x(adic micarea punctului material) i (care e o functie de timp) si care d valoarea forei de legtur. Pentru determinarea micrii se elimin ntre relaiile (3.43) obinndu-se: zfzF..z myfyF..y mxfxF..x m== (3.44) Acestea, mpreun cu ecuaia legturii dau micarea punctului material. Dup determinarea micrii se poate calcula mrimea forei de legtur cu relaiile: 2zf2yf2xflF|.|

\|+||.|

\|+|.|

\| = (3.45) 3.2.4.2. Punct material pe curb fr frecare Se consider micarea fr frecare a unui punct materialM, de masm, pe o curb ) C ( ,(fig3.3)definitcaintersecieadousuprafeecuecuaiilefadeunsistemde referin inerial: ( ) 0 z ; y ; xxf =( ) 0 z ; y ; xyf =(3.46) Fig. 3.3 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 42 Se consider cazul curbei fixe i rigide. Fora de legtur are expresia: F f fl x x y y = + (3.47) n proiecii pe axele reperului cartezianOxyzse obine: x2f2x1f1 xF..x m + + =y2f2y1f1 yF..y m + + =(3.48) z2f2z1f1 zF..z m + + = . Sistemul(3.48)i(3.46)are5necunoscute:) t ( z ), t ( y ), t ( x (micareapunctului material),) t (1 i) t (2 (carepermitcalcululforeidelegtur).Dacsedoretenumai determinarea micrii punctului material, se elimin 1 i 2 din (3.55) i rezult: 0z2fz1fzF..z my2fy1fyF..y mx2fx1fxF..x m=.(3.49) Relaiile(3.49)i(3.46)permitdeterminareamicrii.Apoisedeterminparametrii 1 i 2i, in final, se determin mrimea forei de legtur cu: 2z2f2z1f12y2f2y1f12x2f2x1f1 lF||.|

\| + +||.|

\| + +||.|

\| + = (3.50) 3.2.5. Dinamica punctului material supus la legturi cu frecare Ecuaiile de micare n cazul punctului material supus la legturi cu frecare se bazeaz peecuaiaNewton,cudiferenacnstructuraforelorcareacioneazasuprapunctului intervin i forele de frecare, cu respectarea urmtoarelor considerente: -fora de frecare este proporional cu fora de legtur, iar coeficientul de proporionalitate ( ),numitcoeficientdefrecarelaalunecareseconsiderconstant,cutoatecel,in realitate, variazin raport cu viteza. -fora de frecare are sens contrar vitezei relative a punctului material fa de legtur. 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 43 Ca urmare, expresia forei de frecare este: =LvLvlFfF (3.51) unde:- este coeficientul de frecare; -lF este mrimea forei de legtur;- Lv este viteza relativ a punctului fa de legtur. Dac legtura nu depinde de timp, Lv este chiar viteza punctului material fa de sistemul de referin inerial considerat. 3.2.6. Dinamica micrii relative a punctului material Se consider un punct materialM, de masm, raportat la dou sisteme de referin: unsistemdereferin 0T (0z0y0x0O ),consideratinerialiunsistemdereferinT ( Oxyz )mobilfadereperul 0T .SepresupunecunoscutmicareareperuluiTfade reperul 0T . Dac se cunosc: -) t (OR - vectorul de poziie al originii reperuluiT fa de reperul 0T ; -| | ) t ( S- matricea de schimbare de baz de la reperul 0Tla reperulT. atunci, se pot determina: a)viteza originiiO, a reperuluiT fa de 0T.OROv= (3.52) b)acceleraia originii reperuluiT fa de 0T..OROa= (3.53) c) viteza unghiular a reperuluiT fa de 0Td)acceleraia unghiulara reperuluiT fa de 0T. =(3.54) 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 44 PentruadeterminaecuaiademicareapunctuluiMfadereperulmobilT,se pornetedela relaiacareexistntreacceleraiapunctuluiMfadereperulTi, respective, fa de reperul 0T : ++=catara a(3.55) n care: aeste acceleraia punctuluiM fa de reperul 0T ; ra esteacceleraiapunctuluiMfadereperulT,numitiacceleraierelativ, care se calculeaz cu relaia: 2tr2ra= (3.56) r este vectorul de poziie al punctuluiM fa de reperulT; taeste acceleraia de transport i se calculeaz cu relaia: ||.|

\| + +=r rOata (3.57) caeste acceleraia Coriolis i se calculeaz cu relaia: tr2ca =. (3.58) Ecuaia de micare fa de reperul 0Tse scrie cu axioma AP2: =||.|

\|++Fcatara m(3.59) Ecuaia de micare a punctului material n raport cu sistemul mobilT devine: ++=cFtF Fra m(3.60) n care:Feste rezultanta forelor exterioare, de legtur i de frecare care acioneaz asupra punctului material; tFeste fora complementar (inerial) de transport care secalculeaz cu relaia: (((

||.|

\| + + = =r rOa mta mtF (3.61) 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 45 - cFeste fora complementar (inerial) Coriolis care se calculeaz cu relaia: |||.|

\| = =trm 2ca mcF(3.62) Semnulminusdinrelaiile(3.61)i(3.62)indicfaptulcforelecomplementarede transport i Coriolis sunt orientate n sens opus acceleraiilor tai respectiv ca . Dinrelaia(3.60)seconstatcecuaiamicriirelativeapunctuluimaterialeste similar cu cea a micrii absolute a acestuia, numai c, pe lng forele date care acioneaz asupra punctuluiM, intervin, in plus, fora inerial a micrii de transport i fora inerial Coriolis. PentruastabilicumTtrebuiessemitereperulT fadereperulinerial 0Tpentruafi,siel,inerial,sepornetedelaipotezaconformcreiareperulTarfiinerial. Atunci, ecuaia de micare a punctuluiM fa de reperulT este: =Fra m(3.63) Comparandrelaiile(3.60)i(3.63)rezultc,pentrucareperulT sfieinerial, trebuie ndeplinite condiiile: =0tF i =0cF (3.64) Rezult: =||.|

\| + +0 r rOa i = 0tr (3.65) Intruct relaiile (3.65) trebuie ndeplinite pentru orice micare a punctuluiM fa de T, atunci 0 ri 0tr i rezult c: - =0Oa ,deunderezultc +=B t AOR ,adicorigineareperuluiTtrebuiesse deplaseze rectiliniu i uniform n raport cu reperul inerial 0T ; - = 0 ,adic reperulTtrebuie s aib o micare de translaie fa de reperul inerial 0TObservaie:Dacunreper 0T esteinerial,atuncioricealtreperTcarearefade 0To micare de translaie rectilinie i uniform, este, la rndul su, inerial. 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 46 3.3. Statica punctului material 3.3.1. Generaliti Statica este partea mecanicii care se ocup cu studiul echilibrului corpurilor. Un corp aflatsubaciuneaunuisistemdeforeestenechilibrufadeunsistemdereferin,dac niciunul din punctele corpului nu i modific vectorul de poziie fa de reperul considerat. n cazul unui punct material noiunea de echilibru se exprim[, mathematic, prin: constant r =deci =0 a (3.66) Dac se studiaz echilibrul unui punct material fa de un reper inerial, innd cont de relaia (3.66), se obine: =0 R(3.67) Condiia necesar i suficient ca un punct material s rmn n echilibru este ca rezultanta tuturor forelor (exterioare, de legtur, de frecare) care acioneaz asupra sa s fie nul. In proiecii pe axele reperului inerial, considerat cartezian: 01R= 02R = 03R =(3.68) n care 1R , 2Ri 3Rsunt componentele rezultantei R . In statica punctului material se pot rezolva urmtoarele tipuri de probleme: a)Problemadirecta-lacaresecunoatesistemuldeforecareacioneazasupra punctului i trebuie s se determine poziia lui de echilibru. Problemele directe au, n general, osoluiedeterminatncazulpunctuluimaterialliber,deoarecenrelaiile(3.68) necunoscutelesuntparametriigeometricinecesaripentrudefinireapoziieideechilibrua punctului,nnumrdetrei.Potexistacazurincaresistemul(3.68)saiboinfinitatede soluii, adic punctul material s fie n echilibru ntr-o infinitate de poziii. b) Problema invers- la care se cunoate poziia de echilibru a punctului material i se ceressedeterminesistemuldeforecaretrebuiesacionezeasuprapunctuluipentrua-l meninenechilibrunpoziiaconsiderat.Aceastproblemestengeneralnedeterminat, existnd o infinitate de sisteme de fore care pot menine punctul material n poziia dat. De aceeatrebuiesseintervinprinimpunereaanumitorcondiiiprivindnumrulicaracterul forelor, astfel nct numrul total al necunoscutelor care definesc sistemul de fore s fie egal cu numrul ecuaiilor de echilibru. 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 47 c)Problemamixt-lacaresecunoscuniidintreparametriipoziieideechilibrua punctuluimaterialiuneledintrecaracteristicileforelorcarelsolicititrebuiesse determine celelalte caracteristici necunoscute. nstaticpotapreaproblemestaticnedeterminate,adicaceleproblemelacare numrul necunoscutelor scalare depete numrul ecuaiilor care se pot scrie. 3.3.2. Statica punctului material liber Asupra punctului material liber acioneaz numai forele exterioare. Condiia necesar i suficient ca un punct material liber s fie n echilibru este ca rezultanta forelor exterioare careacioneazasuprasasfienul.Vectorial i n proiecii pe axe condiia de echilibru se obine prin particularizarea relaiilor (3.76) i (3.77): -vectorial: =0 F(3.69) -pe axe:0xF = ;0yF = ;0zF =(3.70) n care Feste rezultanta forelor exterioare avnd componentele zF ,yF ,xF 3.3.3. Statica punctului material supus la legturi fr frecare Asuprapunctuluimaterialculegturi,frfrecare,pelngforeleexterioare acioneaziforeledelegtur.Pentruolegturcaresuprimpunctuluimaterialmicarea de-alunguluneiaxe,foradelegturaredireciaaxeirespectiveisensnecunoscutinitial. Condiia necesar i suficient pentru ca un punct material supus la legturi fr frecare s fie nechilibruestecarezultantaforelorexterioareiaforelordelegtur(reactiuni)care acioneaz asupra sa s fie nul. Vectorial, aceast condiie se scrie: =+0lF F(3.71) n care lF(ylF ,xlF , zlF ) este rezultanta forelor de legtur. n proiecii pe axe: 0xlFxF = +0ylFyF = +(3.72) 0zlFzF = +3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 48 3.3.3.1. Echilibrul punctului material pe suprafa lucie SeconsiderunpunctmaterialMsupusaciuniiunuisistemdeforeexterioarecu rezultanta F care este obligat s rmn pe o suprafa fr frecare fix i nedeformabil.Fie:( ) 0 z ; y ; x f =(3.73) ecuaia acestei suprafee fa de un sistem de referin inerial. Micarea care este suprimat punctului material este orientat de-a lungul normalei la suprafa, deci fora de legtur va avea direcia acesteia. Deci: { } fti flF )` = = (3.74) n care { }tzf;yf;xff)`= . (3.75) Ecuaia de echilibru (3.80) devine: = +0 f F(3.76) iar ecuaiile carteziene de echilibru au forma: 0xfxF = +0yfyF = + (3.77) 0zfzF = + . Observaie:Pentrucaunpunctmaterialsrmnnechilibrupeosuprafalucie, trebuie ca rezultanta forelor exterioare s fie normal la suprafaa de sprijin.Sistemuldeecuaiiformatdin(3.77)i(3.73)esteunsystemcupatrunecunoscute: z , y , x(care definesc poziia de echilibru) i care determin mrimea forei de legtur i direciaei.ncazulincaresecerenumaideterminareapoziieideechilibru,seelimin parametrul ntre relaiile (3.77), rezultnd sistemul: zfzFyfyFxfxF== (3.78) ( ) 0 z , y , x f = . 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 49 3.3.3.2. Echilibrul punctului material pe curb fr frecare Fie M un punct material situat pe o curb fr frecare, care se obine prin intersecia a dou suprafee de ecuaii: ( ) 0 z , y , xxf =( ) 0 z , y , xyf =(3.79) Se consider c asupra punctului material acioneaz un sistem de fore exterioare cu rezultanta F . Deoarece legtura interzice micarea punctului n planul normal la curb, fora delegtursegsetenacestplan.Cuecuaiile(3.79)alecurbei,foradelegturvaavea expresia: F f fx x x y y = + (3.80) Iar ecuaia de echilibru devine: = + +0yfy xfxF (3.81) Ecuaiile scalare de echilibru se obin prin proiectarea pe axele sistemului de referin a ecuaiei (3.81): 0xyfyxxfx xF = + +0yyfyyxfx yF = + +(3.82) 0zyfyzxfx zF = + + . Deci,pentrucaunpunctmaterialssegaseascanechilibrupeocurbfrfrecare trebuiecarezultantaforelorexterioaresfiesituatntr-unplannormallacurbadesprijin. Sistemul format din ecuatiile (3.82) si (3.79) este, n general, un sistem de ecuatii determinat. Necunoscuteleacestuisistemsuntz , y , x (daupoziiadeechilibruapunctului),precumi xi ycare dau fora de legtur. Dac se elimin x i yn (3.82), poziia de echilibru se determin din sistemul: 0zyfzxfzFyyfyxfyFxyfxxfxF=(3.83) 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 50 ( ) 0 z , y , xxf =( ) 0 z , y , xyf =3.3.4. Statica punctului material supus la legturi cu frecare Asupra punctului material supus la legturi cu frecare, pe lng forele exterioare i de legtur acioneaz i fora de frecare. Condiia de echilibru n acest caz devine: =++0fFlF F(3.84) n care fFeste fora de frecare. n proiecii pe axe: 0xfFxlFxF = + +0yfFylFyF = + +(3.85) 0zfFzlFzF = + + . Acestor condiii li se adaug i condiia de aderen: lFfF(3.86) n relaia (3.86)reprezint coeficientul de aderen. La limita aderenei se folosete relaia de egalitate a celor doi membri ai relaiei (3.86): =lFfF(3.87) n acest caz fora de frecare are sens opus tendinei de micare a punctului pe legtur. Observaie:Deoarece,ngeneral,ntreforadefrecareiforadelegturexisto relaie de tip inecuaie (3.86), echilibrul punctului material pentru legtura cu frecare se poate realiza ntr-o infinitate de poziii. 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 51 Test de autoevaluare 3 1.Care sunt parametrii cinematici ai micrii punctului ? 2.Care sunt ecuaile vitezelor i accelerailor in cazul micrii relative a punctului 3.Care sunt teoremele fundamentale n dinamica punctului material? 4.Scriei ecuaiile de micare ale punctului material liber 5.Cazuri particulare de micri ale punctului material liber 6.Scrieiecuaiiledemicarealepunctuluimaterialpesuprafafr frecare 7.Scrieiecuaiiledemicarealepunctuluimaterialpecurbfr frecare. 8. Scriei ecuaiile micrii relative a punctului material 9. Statica punctului material liber 10.Statica punctului material supus la legturi fr frecare 11.Scriei ecuaiile de echilibru ale punctului material pe suprafa lucie 12.Scrieiecuaiiledeechilibrualepunctuluimaterialpecurbfr frecare Rspunsuriicomentariilantrebriledintestulde autoevaluare 3 1. A se vedea 3.1.1 2. A se vedea 3.1.2. 3. A se extrage din 3.2.1. 4. A se vedea 3.2.3.1. 5. A se vedea 3.2.3.2. 6. A se vedea 3.2.4.1.7. A se vedea 3.2.4.2.8. A se vedea 3.2.6.9. A se vedea 3.3.2.10. A se vedea 3.3.3.11. A se vedea 3.3.3.1.12. A se vedea 3.3.3.2. 3.Elemente de mecanica punctului material ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 52 Lucrare de verificare la Unitatea de nvare 3 La finalul acestei uniti de nvare se vor sintetiza cunotinele pentru:1.Scrieti ecuaile vitezelor i accelerailor la micarea relativ a punctului 2.Teoremele fundamentale n dinamica punctului material. 3.Ecuaiile de micare ale punctului material liber 4.Ecuaiile de micare ale punctului material pe suprafa fr frecare 5.Ecuaiile de micare ale punctului material pe curb fr frecare. 6.Ecuaiile micrii relative a punctului material 7.Statica punctului material supus la legturi fr frecare 8.Ecuaiile de echilibru ale punctului material pe suprafa lucie 9.Ecuaiile de echilibru ale punctului material pe curb fr frecare Bibliografie1.Atanasiu,M.,Mecanica,EdituraDidacticiPedagogic, Bucureti, 1973. 2.Bolcu,D.,Rizescu,S.,MecanicaVol.I,EdituraDidactici Pedagogic, Bucureti, 2001. 3.Bolcu,D.,Rizescu,S.,MecanicaVol.II,EdituraDidactici Pedagogic, Bucureti, 2001. 4.Buculei,M.,MecanicaI,II,ReprografiaUniversitiidin Craiova, 1977, 1980. 5.Darabont,A.,Munteanu,M.,ViteanuD.,Mecanicatehnic, Editura Scrisul Romnesc, Craiova, 1983. 6.Onicescu, O., Mecanica, Editura tehnic, Bucureti, 1969. 7.Posea,N.,.a.,Mecanicaplicatpentruingineri,Editura Tehnic, Bucureti, 1984. 8.Rdoi, M., Deciu, E., Voiculescu, D., Curs de mecanic. Statica i cinematic, Institutul Politehnic, Bucureti, 1975. 9.Sila,Gh.,Groanu,I.,Mecanic,EdituraDidactici Pedagogic, Bucureti, 1981. 10. Staicu, t., Introducere n mecanica teoretic, Editura tiinific i Enciclopedic, Bucureti, 1983. 11. Vlcovici, V., Blan, t., Voinea, R., Mecanica teoretic, ed. III-a, Editura tehnic, Bucureti, 1968. 12. Voinea,R.,Voiculescu,D.,Ceauu,V.,Mecanic,Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1983. 4.Elemente de mecanica solidului rigid ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 53 Unitatea de nvare nr. 4

ELEMENTE DE MECANICA SOLIDULUI RIGID CuprinsPagina 4.1. Elemente de mecanica solidului rigid55 4.1.1. Elemente generale55 4.1.2. Matricea de schimbare de baz57 4.1.3. Distribuia vitezelor i acceleraiilor pentru solidul rigid59 4.1.4. Micri particulare ale solidului rigid61 4.1.4.1. Micarea de translaie 61 4.1.4.2. Micarea de rotaie 62 4.1.4.3. Micarea rigidului cu un punct fix 64 4.2. Micarea relativ a solidului rigid66 4.2.1. Viteza i acceleraia unghiular67 4.2.2. Distribuia de viteze i acceleraii pentru solidul rigid 67 4.2.3. Cazuri particulare de micri relative 68 4.3. Micarea relativ a dou solide rigide69 4.4. Metoda ciclurilor independente pentru analiz cinematic a sistemelor de solide rigide71 4.4.1. Ecuaii de nchidere pentru viteze 72 4.4.2. Ecuaii de nchidere pentru acceleraii73 4.4.3. Etape de calcul in aplicarea metodei ciclurilor independente75 4.5. Ecuaiile de micare ale solidului rigid 75 4.5.1. Torsori de legtur la solidul rigid78 4.5.2. Torsori de inerie la solidul rigid 80 4.6. Statica solidului rigid82 4.6.1. Statica solidului rigid liber83 4.6.2. Statica solidului rigid supus la legturi fr frecare85 4.6.2.1. Ecuaiile de echilibru 85 4.6.2.2. Legturile rigidului85 4.Elemente de mecanica solidului rigid ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 54 4.6.2.3. Echilibrul rigidului cu punct fix 87 4.6.2.4. Echilibrul rigidului cu ax fix88 4.7. Echilibrul sistemelor de rigide88 Test de autoevaluare 4 89 Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 490 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare90 Bibliografie unitatea de nvare nr. 490 4.Elemente de mecanica solidului rigid ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 55 OBIECTIVELE unitii de nvare nr. 4 Principalele obiective ale Unitii de nvare nr. 4 sunt: 4.1.Cinematica solidului rigid 4.1. 1.Elemente generale Solidulrigidesteunmediumaterialpentrucaredistanadintreoricaredoupuncte alesalermneneschimbatntimp,oricarearfiforeleaplicateacestuimediumateriali oricare ar fi micarea sa. Solidul rigid este o idealizare matematic, deoarece corpurile solide ntlnitennatursuntmaimultsaumaipuindeformabile.Totui,nanumitecondiii, corpurile solide pot fi ncadrate n categoria solidelor rigide. Cunoatereamicriiunuisolidrigidesteechivalentcudeterminareaexpresiilor generalealevectoruluidepoziie,vitezeiiacceleraieiunuipunctoarecarealrigiduluifa de un sistem de referin fix. Fie un solid rigid care se raporteaz la dou sisteme de referin: -unsistemdereferinexterior,notatE ,consideratfix,inraportcucaresestabilesc parametrii cinematici care definesc micarea solidului rigid; -unsistemdereferinpropriu,notatP ,legatdesolidulrigid,caresemicodatcu acesta, care are origineaO ntr-un punct al solidului rigid, axele sale fiind orientate dup trei axe ale acestuia, perpendiculare ntre ele (fig. 4.1).

Studiul parametrilor cinematici ai micrii solidului rigid Studiul ecuaiilor de micare ale solidului rigid Studiul micrilor particulare ale solidului rigid Studiulechilibruluistaticalsoliduluirigidlibericu legaturi M Fig.4.1 RY0 Z0 X Y Z 0i 0j 0k ijkO0 O (C) 0RrE P SR X0 4.Elemente de mecanica solidului rigid ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 56 Fie t0k ;0j ;0i0i)` =)`bazadeversoriataatreperuluiexteriori tk ; j ; i i)` =)`baza de versori ataat reperului propriu. Orientarea reperuluiPeste dat de matricea de schimbare de baz de la reperulEla reperulP : )`((

=)`0iPSEi. (4.1) Pentrusimplificareascrieriisenoteaz: | | SPSE=((

.Matriceadeschimbaredebaz depindedetreiparametri,deciorientareareperuluiP fadereperulE estedatdetrei parametric unghiulari. Poziia unui punctMal solidului rigid fa de reperul propriu este dat de vectorul de poziie: { } { }tz ; y ; xti rti r)`=)`= (4.2) Conformdefiniieisoliduluirigid,punctualMnuiimodificntimpulmicrii poziia fa de reperulP , deci matricea{ } r , ataat vectorului reste constant. Numruldegradedelibertatelasolidulrigidesteegalcunumruldeparametrice trebuiecunoscuipentruasedeterminapoziiaoricruipunctMalsoliduluirigidfade reperul exterior,E . Se poate scrie: +=rOR R (4.3) ncare: ORestevectoruldepoziiealoriginiiOareperuluiP fadeoriginea 0O a reperuluiE . Pentru determinarea lui Rtrebuie cunoscute: -micarea originii reperuluiP , fa de reperulE , caracterizat prin matricea{ }OR , deci trei parametri scalari; -orientarea reperuluiP fa de reperulE , caracterizat prin matricea de schimbare de baz | | S , deci nc trei parametri. Astfel,micareasoliduluirigid,deciaoricruipunctalsu,estedatdease parametri, deci solidul rigid are ase grade de libertate. Dacrigiduluiiseimpunrestriciidemicare,numrulgradelordelibertateseva reduce corespunztor. 4.Elemente de mecanica solidului rigid ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 57 4.1.2. Matricea de schimbare de baz Pentru determinarea matricei de schimbare de baz, trebuie studiat modul de trecere de la reperulEla reperulP , presupuse ca avnd aceeai origine. ncazurilecelemaisimpleaceasttreceresepoatefaceprintr-osimplrotirea reperuluiEn jurul uneia din axele sale. Apar urmtoarele posibiliti: - rotire cu unghiul n jurul axei 0x0O(fig. 4.2). Matricea de schimbare de baz este: | |((((

=cos sin 0sin cos 00 0 1S. (4.4) Fig. 4.2 - rotire cu unghiul n jurul axei 0y0O(fig. 4.3). Matricea de schimbare de baz este: | |((((

=cos 0 sin0 1 0sin 0 cosS(4.5) Fig. 4.3 -rotire cu unghiul n jurul axei 0z0O(fig. 4.4). Matricea de schimbare de baz este: | |((((

=1 0 00 cos sin0 sin cosS. (4.6) 4.Elemente de mecanica solidului rigid ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 58 Fig. 4.4 ncazulgeneraltrecereadelareperulE lareperulP sepoatefaceprintreirotaii successive: -se rotete reperulEcu unghiul 1n jurul axei 0Ox, noul reper fiind notat 1T , avnd axele' Oz , ' Oy , ' Ox .-serotetereperul 1T ,cuunghiul 2 ,njurul axei' Ox,noulreperfiindnotat 2T i avnd axele' ' Oz , ' ' Oy , ' ' Ox .-serotetereperul 2T ,cuunghiul 3 ,njurulaxei' ' Ox,pnsesuprapunepeste reperulP .MatriceadeschimbaredebazdelareperulE lareperul 1T , ((

xTSE,dela 1T la 2T , (((

yTSxT,sidela 2T laP , (((

PSyT,sedetermincurelaiapotrivitdintrerelaiile(4.5 - 4.6). Matricea de schimbare de baz de la reperul exterior la reperul propriu este: | |((

(((

(((

=((

=xTSE yTSxTPSyTPSES. (4.7) Observaie:TrecereadelareperulE lareperulP sepoatefacenumaiprinrotirin jurul axelor reperuluiE, sau numai prin rotiri n jurul axelor reperuluiP .Cea mai des ntlnit variant de trecere de la reperul exterior la reperul propriu are n vedereunghiurileluiEuler.SeconsiderrepereleE iP avandaceeaiorigine(fig.4.5).Unghiurile lui Euler sunt:-, unghiul de precesie, ntre dreptele 0Ox iON; -, unghiul de rotaie proprie, ntre drepteleOx iON; 4.Elemente de mecanica solidului rigid ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 59 -, unghiul de nutaie, ntre dreptele 0z0OiOz . undedreaptaONestedreaptadeintersecientreplanele 0y0O0xixOyisenumete linia nodurilor. Cele trei unghiuri ale lui Euler i cele trei coordonate ale originii reperului propriuPfa de reperul fix dau cele ase grade de libertate ale solidului rigid. 4.1.3. Distribuia vitezelor i acceleraiilor pentru solidul rigid Viteza unghiular a solidului rigid este egal cu viteza unghiular a reperului propriu P fadereperulexteriorE .Deaiciseextragcomponentelevectoruluivitezunghiular , n proiecii pe axele reperului propriu ( ); ;x y z . Componentele vitezei unghiulare n funcie de unghiurile lui Euler sunt: + = cos.sin sin.x = sin.cos sin.y(4.7) .cos.z + = . Acceleraia unghiular a solidului rigid se obine derivnd n raport cu timpul vectorul vitez unghiular: . = =t (4.8) viteza unghiular derivndu-se n reperul propriu la fel ca n reperul fix. Cum solidul rigid ocup un domeniu spaial, viteza unui punct al su este o funcie de spaiu i timp: Fig. 4.5 X Y0 X0 Z Z0 Y O=O0 N 4.Elemente de mecanica solidului rigid ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 60 ( ) t ; z ; y ; x v v=. (4.9) Pentrudeterminareavectoruluivitez,sederiveaznraportcutimpulvectorulde poziie al unui punct oarecareM al solidului rigid, vector dat de relaia (4.3) si se obine: +=rOvMv(4.10) unde: Ov este viteza originiiO a reperului propriu; ) t (este viteza unghiular a solidului rigid; =OM r . (4.11) Prin proiectarea pe axele reperului P a relaiei (4.10) se obin componentele: ; yzyy x 0vxv + =; zxxz y 0vyv + =(4.12) ; xyyx z 0vzv + =Relaia (4.10), extrapolat pentru dou puncte ale rigidului, devine: +=PMPvMv(4.13) Aceast relaie se numete relaia lui Euler i face legtura dintre vitezele punctelorPiM. Ca i n cazul vitezelor, distribuia acceleraiilor este funcie de spaiu i timp. Pentru determinareaacceleraieipunctuluiM,sederiveaznraportcutimpulrelaia(4.10)sise obtine: ||.|

\| + +=r rOaMa (4.14) n care: aM este acceleraia originii reperului propriu fa de reperul exterior; ) t ( este acceleraia unghiular a solidului rigid. Prin proiectarea pe axele reperului P a relaiei (4.14), componentele acceleraiei sunt: ; z.y z xy.z y xx2z2y x 0axa||.|

\| + +||.|

\| + |.|

\| + = ; x.z x zz.x z yy2x2z y 0aya||.|

\| + +||.|

\| + |.|

\| + = (4.15) ; y.x y zx.y x z zx2y2x z 0aza||.|

\| + +||.|

\| + |.|

\| + = 4.Elemente de mecanica solidului rigid ELEMENTE DE INGINERIE MECANIC I REZISTENA MATERIALELOR 61 Relaia(4.14),numitirelaiaRivals,seextrapoleazpentrudoupuncteoarecare M iPale solidului rigid, rezultnd. ||.|

\| + +=PM PMPaMa. (4.16) a)Proprieti ale cmpului de viteze la solidul rigid Proprietatea1.Proieciilevitezeloradoupuncte,MiN,pedreaptacareleunete sunt egale i au aceeai orientare. Proprietatea2.ProieciilevitezeloradoupuncteMiNpedireciavitezei unghiulare sunt egale i au aceeai orientare. De aici rezult c n cazul micrii generale a rigidului nu exist puncte de vitez nul. Deasemenea,sepoateconcluzionac,dacntr-unpunctvectoriivitezviacceleraie unghiular sunt ortogonali, ei vor fi ortogonali n orice alt punct.Proprietatea 3. Extremitile vectorilor vitez ai unor puncte coliniare aparinnd unui rigid n micare general sunt, la rndul lor, coliniare. Proprietatea 4. Punctele aparinnd unui rigid n micare general i care sunt situate pe oparalel la vectorul au aceeai vitez. b) Proprieti ale cmpului de acceleraii la solidul rigid Proprietatea1.nmicareageneralaunuisolidrigidexist,laoricemoment,un punctk , cu acceleraia nul, numit polul acceleraiilor. Deci, distribuia de acceleraii este specific fiecrei micri particulare ale rigidului.Proprietatea2.FieAiBdoupunctesituatepeodreaptparalelcuaxa elicoidal instantanee. Proieciile acceleraiilorA iB pe dreapta care le unete sunt egale i la fel orientate. 4.1.4. Micri particulare ale solidului rigid 4.1.4.1. Micarea de translaie Un solid ri