BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI KUAT …pewarnaan pelangi-k pada G disebut bilangan keterhubungan pelangi. Bilangan keterhubungan pelangi dari G dinotasikan dengan (Chatrand dan Zhang,

i

BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI KUAT

PADA GRAF

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun oleh:

Natalya Dewi Hutami

NIM: 133114002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

STRONG RAINBOW CONNECTION NUMBER

IN GRAPH

A THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by:

Natalya Dewi Hutami

Student ID: 133114002

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2017


iii


iv


v


vi


vii

ABSTRAK

Pada skripsi ini akan dibahas bilangan keterhubungan pelangi kuat untuk

graf terhubung tak trivial dan graf lainnya seperti pohon, graf siklus, graf roda

dan graf bipartit. Pendistribusian soal ujian nasional dan kertas suara PILKADA

merupakan beberapa penerapan dari bilangan keterhubungan pelangi kuat pada

graf. Pada pendistribusian soal ujian nasional dan kertas suara PILKADA,

bilangan keterhubungan pelangi kuat digunakan untuk menentukan jumlah

kelompok pengawalan pendistribusian.

Kata kunci: bilangan keterhubungan pelangi kuat, graf, graf bipartit, graf

siklus,graf terhubung tak trivial, graf roda, pohon.


viii

ABSTRACT

In this thesis strong rainbow connection number of a nontrivial connected

graph and other graphs such as tree, cycle graph, wheel graph and bipartite graph

will be discussed. The distribution of the national examination papers and

PILKADA ballot papers are some applications of strong rainbow connection

numbers of a graph. In the distribution of the national examination papers and

PILKADA ballot papers strong rainbow connection numbers are used to

determine the number of distributing escort groups.

Keywords: strong rainbow connection number, graph,bipartite graph, cycle

graph,nontrivial connected graph, wheel graph, tree.


ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INDONESIA………………………….i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS…………………………….ii

LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………………….iii

LEMBAR PENGESAHAN……………………………………………………...iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA…………………………………………..v

LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH…………………...vi

ABSTRAK………………………………………………………………………vii

ABSTRACT……………………………………………………………………viii

DAFTAR ISI……………………………………………………………………..ix

BAB I PENDAHULUAN………………………………………………………....1

A. Latar Belakang………………………………………………………...1

B. Rumusan Masalah……………………………………………………..7

C. Batasan Masalah……………………………………………………….7

D. Tujuan Penelitian……………………………………………………...7

E. Manfaat Penelitian…………………………………………………….8

F. Metode Penelitian……………………………………………………...8

G. Sistematika Penelitian…………………………………………………8

BAB II GRAF DAN PEWARNAAN SISI………………………………………10

A. Himpunan…………………………………………………………….10


x

B. Fungsi………………………………………………………………...14

C. Teori Graf……………………………………………………….........18

D. Jarak dan Keterhubungan………………………………………….....26

E. Macam-macam Graf………………………………………………….32

F. Pewarnaan Sisi Pada Graf………………………………………..…..38

BAB III BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI KUAT PADA GRAF..45

A. Bilangan Keterhubungan Pelangi Pada Graf…………………………46

B. Bilangan Terhubung Pelangi Kuat Pada Graf………………………..52

C. Aplikasi………………………………………………………………83

BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan…………………………………………………………..98

B. Saran………………………………………………………………...100

DAFTAR PUSTAKA


1

BAB I

PENDAHULUAN

Pada bab ini akan dibahas tentang latar belakang, rumusan dan batasan

masalah, tujuan dan manfaat penulisan, serta akan disertakan sistematika

penulisan skripsi.

A. Latar Belakang

Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang penting untuk

dipelajari karena dapat memberikan banyak manfaat dalam menyelesaikan per-

masalahan dalam kehidupan. Konsep teori graf diperkenalkan oleh seorang

matematikawan Swiss yang bernama Leonhard Euler pada tahun 1736 ketika

mencoba menyelesaikan masalah Jembatan Königsberg. Kota Königsberg di

Prussia (sekarang menjadi Kaliningrad di Rusia) dibangun pada pertemuan dua

buah cabang sungai Pregel. Kota Königsberg terdiri dari sebuah pulau dandaratan

sepanjang tepi sungai yang dihubungkan oleh tujuh jembatan yang ditunjukkan

pada Gambar 1.1.

Gambar 1.1. Ilustrasi Jembatan Kota Königsberg

Pertanyaan yang muncul yaitu apakah mungkin seseorang dapat berjalan –

jalan mengelilingi kota dengan diawali dan diahkiri di tempat yang sama dan tepat


2

melewati setiap jembatan satu kali. Dalam menyelesaikan masalah tersebut,

Euler merepresentasikan peta Kota Königsberg ke dalam graf pada Gambar 1.2, di

mana titik menggambarkan daratan dan dan

menggambarkan tujuh jembatan.

Gambar 1.2. Graf Kota Königsberg

Euler memberikan jawaban bahwa tidak mungkin seseorang dapat berjalan – jalan

mengelilingi kotadiawalidan diakhiri di tempat yang sama dengan melewati setiap

jembatan tepat satu kali.

Graf adalah pasangan himpunan (V(G), E(G)),dengan adalah

himpunan tak kosong dari obyek – obyek yang disebut titik dan adalah

himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik – titik yang berbeda

dari V yang disebut sisi, di mana setiap sisi dipasangkan dengan himpunan yang

elemennya disebut titik ujung dari sisi tersebut. Dua buah titik dan dikatakan

bertetangga jika dan hanya jika terhubung oleh sebuah sisi. Sebuah jalan dari

titik uke titik v adalah barisan selang seling berhingga yang terdiri dari titik dan

sisi yang bertetangga pada G dari titik – titik di G (Epp, 2010). Graf tak trivial

jika banyaknya titik minimal dua (Chartrand dan Zhang, 2009).Dua titik u dan v

dalam G dikatakan terhubung jika dan hanya jika ada jalan dari u ke v. Graf


3

Gdikatakan terhubung jika dan hanya jika setiap dua titik u, v terhubung(Epp,

2010).

Sebuah pewarnaan sisi pada graf Gadalah sebuah pemberian warna pada sisi

– sisi dalam graf G, di mana satu warna untuk setiap sisi. Jika sisi- sisi yang

bertetangga diwarnai dengan warna yang berbeda maka pewarnaan sisi dikatakan

pewarnaan sisi sejati. Pewarnaan sisi - k adalah suatu pewarnaan sisi sejati yang

menggunakan kwarna. Suatu graf G disebut graf yang sisi – sisinya dapat

diwarnai –k jika terdapat pewarnaan sisi –k pada G. Indeks kromatik G

dinotasikan dengan adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian

sehingga G merupakan graf yang sisinya dapat diwarnai–k (Chartrand dan Zhang,

2009).

Dalam teori graf,konsep pewarnaan sisi mengalami perkembangan. Salah

satu konsep baru dari pewarnaan sisi yaitu keterhubungan pelangi pada graf.

Konsep keterhubungan pelangi pada graf diperkenalkan pada tahun 2006 oleh G.

Chartrand, G.L. Johns, K.A. McKeon dan P. Zhang.Konsep ini termotivasi oleh

ditemukannya kelemahan dalam pegiriman informasi pada agen pemerintahan

Departemen Keamanan Dalam Negeri Amerika Serikat yang dibentuk tahun 2003,

sebagai respon atas ditemukannya kelemahan dalam pengiriman informasi setelah

terjadinya serangan teroris pada 11 September 2001. Keamanan informasi harus

terjaga karena berhubungan langsung dengan keamanan nasional dan juga

terdapat prosedur yang memungkinkan para agen pemerintah untuk mengakses

informasi, sehingga setiap jalur pengiriman informasi membutuhkan suatu kata

sandi dengan angka yang banyak. Muncul pertanyaan, berapa angka yang


4

dibutuhkan sedemikian sehingga tidak terjadi pengulangan kata sandi angka pada

setiap agen pemerintahan.

Lintasan dari u ke v adalah jalan dari u ke vdi mana tidak terjadi pe-ngulangan

titik maupun sisi (Epp, 2010). Misalkan graf G adalah graf terhubung tak trivial

dank adalah sebuah bilangan bulat positif, didefinisikan pewarnaan sisi

, sehingga setiap dua sisi yang bertetangga boleh memiliki

warna yang sama. Suatu lintasan u – v di G disebut lintasan pelangi jika tidak ada

dua sisi pada lintasan tersebut yang memiliki warna yang sama. Graf dengan

pewarnaanc disebut graf terhubung pelangi jika terdapat lintasan pelangi - ,

untuk setiap pasang titik . Dalam hal ini pewarnaan c disebut pewarnaan

pelangi. Jika terdapat k warna di G maka pewarnaan c disebut pewarnaan-k

pelangi. Selanjutnya bilangan bulat positif terkecilk sedemikian sehingga terdapat

pewarnaan pelangi-k pada G disebut bilangan keterhubungan pelangi. Bilangan

keterhubungan pelangi dari G dinotasikan dengan (Chatrand dan Zhang,

2009).

Jumlah sisi dalam sebuah jalan pada graf G disebut panjang jalan

tersebut.Suatu lintasan geodesik antara dua titik u dan v pada graf G adalah

lintasan u-v dengan panjang minimum. Jumlah sisi dalam suatu lintasan geodesik

antara u dan v disebut jarak, yang dinotasikan dengan (Buckley dan

Lewinter, 2003).Geodesik pelangi antara titik u dan v di G adalah suatu lintasan

pelangi dengan panjang .Graf G disebut terhubung pelangi kuat dengan

pewarnaan jika terdapat geodesik pelangi u – v untuk setiap dua titik u dan v

pada G. Dalam kasus ini pewarnaan disebut pewarnaan pelangi kuat pada G.


5

Selanjutnya bilangan keterhubungan pelangi kuat pada suatu graf terhubung

Gadalah bilangan bulat positif terkecilk sedemikian sehingga terdapat pewarnaan

pelangi kuatpada G. Bilangan keterhubungan pelangi kuat dinotasikan dengan

(Chartrand dan Zhang, 2009). Dapat ditunjukkan bahwa )

untuk setiap graf terhubung. Yang dimaksud dengan ukuran adalah jumlah sisi

pada graf G. Eksetrisitas pada adalah jarak dari titik ke suatu titik terjauh diG.

Diameter dari Gadalah maksimum dari eksentrisitas titik-titik di G(Buckley dan

Lewinter, 2003). Jika terdapat graf terhubung tak trivial Gdengan ukuran

dan memiliki diameter yang dinotasikan dengan yaitu jarak

maksimum antara dua titik di G maka

Salah satu penerapan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf adalah

pendistribusian soal-soal ujian nasional. Pendidikan Nasional (Diknas) akan

mendistribusikan soal-soal ujian nasional (UN) ke seluruh sekolah di kabupaten

Jember (pelaksanaan UN SMA 2014). Soal ini bersifat rahasia sehingga

membutuhkan tim pengawas pendistribusian soal UN yang terdiri dari unsur

Universitas Negeri Jember (UNEJ), Lembaga Penjaminan Mutu Pendidikan

(LPMP), Polisi resort (Polres), Diknas, dan pihak sekolah. Misal jalur untuk

menjangkau sekolah-sekolah direpresentasikan pada Gambar 1.3di manaj

merupakan pusat penyimpanan soal dan titik awal pendistribusian soal.

Permasalahan yang muncul adalahbagaimana cara menentukan jumlah kelompok

pengawalan pendistribusian soal UN.


6

Gambar 1.3.ContohJalur Pendistribusian Soal UN Ke Sekolah- Sekolah Di

Kabupaten Jember

Peta jalur distribusi dapat digambar secara ulang menjadi graf dengan bentuk

berbeda seperti pada Gambar 1.4.

Gambar 1.4. Graf Jalur Pendistribusian Soal UN

Misalkan titik adalah SMA yang akan

dituju dan setiap sisi pada graf tersebut menggambarkan jalur pendis-tribusian

soal UN. Setiap sisi pada graf di atas dapat diberi warna sedemikian sehingga

memenuhi pewarnaan pelangi.Dengan menggunakan bilangan keterhu-bungan

pelangi kuat pada graf permasalahan ini dapat diselesaikan dengan lebih mudah.

Didapatkan bahwa minimal warna yang digunakan untuk mewarnai seluruh sisi

pada graf sehingga memenuhi sifat pewarnaan pelangi yaitu lima warna atau

. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa dibutuhkan lima

kelompok pengawal untuk mendistribusikan soal – soal UN dengan aman ke

setiap sekolah yang ada.


7

Berdasarkan penjelasan di atas dalam tugas ahkir ini akan dibahas lebih

lanjut mengenai bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf .

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:

1. Apa yang dimaksud dengan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada

graf?

2. Bagaimana cara menentukan bilangan keterhubungan pelangi kuatpada

graf?

3. Bagaimana penerapan bilangan keterhubunganpelangi kuat pada graf

dalam kehidupan?

C. Batasan Masalah

Pada tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:

1. Graf yang digunakan yaitu grafpohon, graf siklus, graf roda, graf bipartit.

2. Pewarnaan yang digunakan adalah pewarnaan sisi pada graf.

3. Penulis tidak membahas mengenai algoritma perhitungan.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan tugas ahkir ini adalah sebagai berikut:

1. Mengetahui apa yang dimaksud bilangan keterhubungan pelangi pada

graf.

2. Menentukan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf.


8

3. Mengetahui penerapan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada dalam

kehidupan.

E. Manfaat penulisan

Manfaat yang diharapkan dari penulisan tugas ahkir ini adalah memberikan

motivasi kepada pembaca untuk mempelajari salah satu konsep baru dari teori

graf yaitu bilangan keterhubungan pelangi kuat dan dapat mengetahui penerapan

bilangan keterhubungan pelangi kuat dalam kehidupan.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah metode studi

pustaka yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal

yang berkaitan dengan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penelitian

E. Manfaat Penelitian

F. Metode Penelitian

G. Sistematika Penelitian


9

BAB II GRAF DAN PEWARNAAN SISI

A. Himpunan

B. Fungsi

C. Teori Graf

D. Jarak dan Keterhubungan

E. Macam-macam Graf

F. Pewarnaan sisi pada graf

BAB III BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI PADA GRAF

A. Bilangan keterhubungan Pelangi Pada Graf

B. Bilangan keterhubungan Pelangi Kuat Pada Graf

C. Aplikasi

BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran


10

BAB II

GRAF DAN PEWARNAAN SISI

Pada bab ini akan dijelaskan dasar-dasar teori graf yang digunakan dalam

penulisantugas akhir ini. Dasar-dasar teori meliputi: himpunan,fungsi, teori graf,

jarak dan keterhubungan, macam-macam graf dan pewarnaan sisi pada graf.

A. Himpunan

Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai penggunaan konsep

himpunan, misalnya himpunan hewan berkaki empat, himpunan warna

pelangi, himpunan fakultas di Universitas Sanata Dharma, Himpunan

Mahasiswa Matematika (HMM), dan lain-lain. Konsep himpunan tidak hanya

diterapkan secara intuitif dalam kehidupan, namun konsep himpunantelah

dikembangkan menjadi konsep dasar dalam matematika. Pada subbab ini akan

dijelaskan mengenai himpunan.

Definisi 2.1

Himpunan adalah suatukumpulan atau koleksi objek-objek yang mempunyai

kesamaan sifat tertentu dan dilambangkan dengan huruf besar.

Contoh 2.2

adalah himpunan semua bilangan asli.

adalah himpunan semua bilangan bulat.

adalah himpunan semua bilangan real.


11

Definisi 2.3

Suatu himpunanA dalam semesta X dikatakan himpunan bagian dari

himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota dari himpunanA juga

merupakan anggota dari himpunanB. Secara matematis ditulis dengan

Definisi 2.4

Suatu himpunan Adikatakanberhinggajika banyaknya elemen yang termuat di

Adapat dihitung.

Definisi 2.5

Kardinalitas dari himpunan berhinggaX adalah jumlah elemen yang termuat

di dalamX. Kardinalitas dari himpunan berhingga X dinotasikan dengan |X|.

Definisi 2.6

Gabungan dua buah himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen dari

semesta yang merupakan anggota himpunanA atau anggota himpunan Bdan

dinotasikan dengan . Secara matematis ditulis dengan


12

Definisi 2.7

Irisan dua himpunan dan adalah himpunan semua elemen dari semesta

yang merupakan anggota dan anggota , dinotasikan dengan . Secara

matematis ditulis dengan

Bila maka dan disebut dua buah himpunan saling asing atau

saling lepas.

Definisi 2.8

Selisih dua buah himpunan dan adalah himpunan semua elemen dalam

semesta yang merupakan anggota himpunan dan bukan anggota himpunan

dan dinotasikan dengan . Secara matematis ditulis dengan

Definisi 2.9

Hasil kali kartesius buah himpunan adalah himpunan A

yang memuat semua rangkap terurut ( dengan untuk

setiap , yaitu


13

Definisi 2.10

Hasil kali kartesius dua buah himpunan dan adalah himpunan semua

pasangan terurut dengan dan dan dinotasikan dengan .

Secara matematis ditulis dengan

Berikut merupakan contoh dari himpunan berhingga, himpunan bagian,

kardinalitas dua buah himpunan, gabungan dua buah himpunan, irisan dua

buah himpunan, selisih dua buah himpunan, hasil kali kartesius dua buah

himpunan.

Contoh 2.11

Misalkan dan . Maka diperoleh bahwa:

1. dan merupakan himpunan berhingga.

2.

3. dan

4.

5.

6.

7.

Definisi 2.12

Partisi dari suatu himpunan A adalah keluarga berhingga himpunan-

himpunan bagian dari A yang memenuhi:


14

a. untuk setiap , yaitu setiap himpunan bagian tidak

kosong.

b. untuk setiap i dan j dengan , yaitu setiap dua himpunan

bagian yang tidak sama adalah saling lepas (atau secara ekivalen, jika dua

himpunan bagian beririsan, maka kedua himpunan bagian itu adalah

sama).

c. yaitu gabungan semua himpunan bagian adalah himpunan

.

Contoh 2.13

Misalkan . Maka keluarga himpunan- himpunan

bagian dari yaitu merupakan suatu partisi dari .

B. Fungsi

Pada subbab ini akan dibahas konsep relasi dan fungsi secara formal dam

matematis meliputi definisi dan contoh tentang relasi, fungsi dan jenis fungsi.

Definisi 2.14

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunan bagian dari .

Ada beberapa cara untuk menyatakan relasi dua himpunanX dan Y, salah

satunya menggunakan diagram panah. Pada diagram panah setiap elemen di X

yang berelasi dengan elemen di Y dihubungkan dengan suatu anak panah.


15

Berikut merupakan contoh dari relasi dua himpunan dan cara penyajian relasi

menggunakan diagram panah.

Contoh 2.15

Diberikan dua buah himpunan dan maka

. Jadi merupakan

relasi dari himpunan Cdan himpunanD seperti pada Gambar 2.1

Gambar 2.1. Relasi Dari Himpunan C Ke HimpunanD

Selanjutnya adalahrelasi khusus antara elemen-elemen dalam himpunan X

dan elemen-elemen dalam himpunan Y.

Definisi 2.16

Fungsi (pemetaan) adalah relasi khusus f antara elemen-elemen dalam suatu

himpunan X dengan elemen-elemen dalam himpunan Y. Kekhususannya

terletak dalam dua hal, yaitu

a. Setiap elemen dalam himpunan Xberelasi dengan suatu elemen dalam

himpunanY.

b. Elemen dalam himpunan Yyang berelasi dengan elemen dari himpunan

Xitu tunggal.


16

Fungsi dari himpunan X ke himpunan Y dinotasikan dengan . Jika

, maka elemen yang berelasi dengan elemen itu oleh fungsi f

disebut bayangan dari dan dilambangkan dengan .

Contoh 2.17

Misalkan dan . Maka relasi

merupakan suatu fungsidari himpunan F ke

himpunan G, sedangkanrelasi bukan merupakan fungsitetapi

merupakan relasi dari himpunan Fke himpunan G, sebab berelasi

dengan lebih dari satuelemen di G yaitu a dan b,seperti yang terlihat pada

Gambar 2.2.(b).

Gambar 2.2. (a) Fungsi Dari Himpunan FKe Himpunan G, (b) Relasi

Himpunan FKe Himpunan G

Berikut ini dijelaskan pengertian fungsi injektif, surjektif dan bijektif

beserta contohnya.

Definisi 2.18

Suatu fungsi disebut fungsi injektif jika dan hanya jika untuk setiap

berlaku maka .Sedangkan suatu fungsi

disebut fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk setiap terdapat


17

sedemikian sehingga . Lalu suatu fungsi disebut fungsi

bijektif (korespondensi satu-satu) jika fungsi tersebut adalah fungsi injektif

dan sekaligus surjektif.

Contoh 2.19

Misalkan , dan adalah suatu fungsi maka

merupakan fungsi injektif tetapi tidak surjektif sebab

untuk tidak terdapat sedemikian sehingga seperti terlihat

pada Gambar 2.3. Selanjutnya misalkan , dan

adalah suatu fungsi maka merupakan

fungsi surjektif tetapi tidak injektif sebab tetapi seperti terlihat

pada Gambar 2.3. Sedangkan misalkan adalah suatu fungsi maka

merupakan fungsi injektif dan surjektif

sehingga dapat disebut fungsi bijektif seperti terlihat pada Gambar 2.3.

Gambar 2.3. (a) Fungsi Injektif, (b) Fungsi Surjektif,(c) Fungsi Bijektif

.


18

Definisi 2.20

Atap dari suatu bilangan real x adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar

atau sama dengan x dan dinotasikan dengan .

Contoh 2.22

Misalkanx = 8.3 dan x = 9 maka berdasarkan Definisi 2.21 berturut-turut

diperoleh dan .

C. Teori Graf

Pada subbab ini akan dibahas mengenai teori graf meliputi definisi dan

contoh graf, keterhubungan dan jenis graf

Definisi 2.23

Graf G adalah pasangan himpunan dengan adalah himpunan

tak kosong dari obyek – obyek yang disebuttitik dan adalah himpunan

(mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik–titik yang berbeda dari

yang disebut sisi,di mana setiap sisi dipasangkan dengan himpunan yang

elemennya disebut titik ujung dari sisi tersebut.

Contoh 2.24

Gambar 2.4 menyatakan graf A dengan


19

Gambar 2.4Graf A

Sedangkantitik dan adalah titik ujung dari sisi

Definisi 2.25

Graf trivialadalah graf dengan satu titik. Sedangkangraf tak trivialadalah graf

yang memiliki dua titik atau lebih.

Contoh 2.26

Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar 2.5. (a)Graf Taktrivial B, (b) Graf Trivial C

Gambar 2.5 menunjukkan bahwa dan sehingga

jumlah titik pada graf B dan C berturut-turut 3 dan 1. Jadi graf B merupakan

graf tak trivial sedangkan graf C merupakan graf trivial.


20

Definisi 2.27

Dua buah titik dikatakan bertetangga jika dan hanya jika terhubung oleh suatu

sisi. Sisi tersebut dikatakan bersisiandengan setiap titik ujungnya.

Contoh 2.28

Perhatikan pada Gambar 2.5(b). Pada gambar tersebut titik dan

dihubungkan oleh sisi sehingga titik dan dikatakan bertetangga, tetapi

titik tidak bertetangga dengan titik sebab tidak dihubungkan oleh suatu

sisi, sehingga sisi dikatakan bersisian dengan titik .

Definisi 2.29

Dua buah sisi yang bersisian pada titik ujung yang sama disebut bertetangga.

Contoh 2.30

Perhatikan Gambar 2.5(a). Gambar tersebut menunjukkan sisi dan sisi

bersisihan pada titik ujung , sehingga dan dikatakan bertetangga.

Definisi 2.31

Misalkan G adalah suatu graf. Gelung dari G adalah suatu sisi dengan satu

titik ujung.


21

Contoh 2.32


Gambar 2.6. Graf D

Sisi memiliki satu titik ujung yaitu titik , sehingga merupakan gelung

dariD.

Definisi 2.33

Misalkan Gadalah suatu graf. Sisi – sisi di G yang mempunyai himpunan ttik

ujung yang sama disebut sisi pararel dari G.

Contoh 2.34

Pada Gambar 2.6, sisi dan menghubungkan dua titik yang sama yaitu

dan sehingga dan merupakan sisi pararel. Sedangkan dan tidak

menghubungkan dua titik yang sama, maka dan bukan merupakan sisi

pararel.

Definisi 2.35

Misalkan Gadalah graf dan v adalah titik pada G. Derajat v atau deg(v)

adalah banyaknya sisi yang bersisian dengan titik v. Sedangkanderajat


22

maksimal dari G adalah derajat terbesar dari titik-titik pada G dan dinotasikan

dengan .

Contoh 2.36

Perhatikan Gambar2.6.Gambar tersebut menunjukkan bahwa

1. Terdapat tiga sisi yang bersisihan dengan titik yaitu sisi , dan

sehinggadeg .

2. Terdapat dua sisi yang bersisihan dengan titik yaitu sisi dan

sehinggadeg .

3. Terdapat satu sisi dan satu gelung yang bersisihan dengan titik yaitu

sisi dan sehinggadeg .

Jadi .

Definisi 2.37

Suatu graf sederhana adalah graf yang tidak mempunyai gelung atau sisi

pararel.

Contoh 2.38

PerhatikanGambar 2.5(a). Pada grafB tidak terdapat gelung atau sisi pararel,

sehingga graf B merupakan salah satu contoh dari graf sederhana.


23

Definisi 2.39

Misalkan G adalah graf. Orde dari adalah jumlah titik - titik dalam graf

G, dinotasikan dengan .

Contoh 2.40

Graf A pada Gambar 2.4 menunjukkan bahwa ,

sehingga .

Definisi 2.41

Misalkan G adalah graf, ukuran dari G adalah jumlah sisi dalam graf G.

Ukuran graf G dinotasikan dengan .

Contoh 2.42

Graf A pada Gambar 2.4 menunjukkan bahwa ,

sehingga .

Definisi 2.43

Misalkan G adalah graf. Sebuah jalan W dari titik u ke titik v adalah

barisan selang seling berhingga yang terdiri dari titik dan sisi yang bertetangga

pada G dari titik – titik di G. Sehingga jalan disajikan dalam bentuk

- ,


24

di mana menyatakan titik-titik dan menyatakan sisi-sisi, , ,

dan untuk setiap , - dan adalah titik ujung dari . Jalan dari

titik u ke titik v singkatnya disebut jalan u-v.

Jalan pada suatu graf bisa dinyatakan hanya dengan barisan titik asalkan

tidak memuat sisi pararel. Jika tidak memuat sisi pararel maka setiap jalan

di tidak menimbulkan dwimakna dan dapat dijelaskan dengan barisan titik

saja. Pada skripsi ini jalan dinyatakan dengan barisan titik apabila graf tidak

memuat sisi pararel.

Contoh 2.44

Perhatikan Gambar 2.6. Untuk titik dan , merupakan jalan .

Oleh karena merupakan sisi pararel maka jalan dinyatakan menggunakan

barisan titik dan sisi. Untuk titik dan , merupakan jalan dan

bisa nyatakan menggunakan barisan titik saja karena bukan merupakan sisi

pararel.

Definisi 2.45

Misalkan adalah graf. Lintasan dari u ke v pada Gadalah jalan dari uke v di

mana tidak terjadi pengulangan sisi maupun titik. Lintasan dari uke v

singkatnya disebut lintasan u-v.


25

Contoh 2.46

Perhatikan Gambar 2.5(a). Pada gambar tersebut, merupakan

lintasan .

Definisi 2.47

Jalan tertutup adalah jalan yang diawali dan diakhiri di titik yang sama.

Contoh 2.48

Perhatikan Gambar 2.6. Untuk titik di graf D, jalan merupakan

jalan tertutup pada graf D.

Definisi 2.49

Sirkuit pada G adalah jalan tertutup yang terdiri dari minimal satu sisi dan

tidak terjadi pengulangan sisi.

Contoh 2.50


Gambar 2.7. Graf E

Jalan merupakan sirkuit pada graf E sebab tidak terjadi

pengulangan sisi.


26

Definisi 2.51

Siklus adalah lintasan yang diawali dan diakhiri di titik yang sama.

Contoh 2.52

Perhatikan Gambar 2.7. Pada gambar tersebut jalan

bukan merupakan siklus karena terdapat pengulangan titik yaitu dan .

Sedangkan jalan merupakan siklus pada graf E.

Definisi 2.53

Panjang dari suatu jalan adalah jumlah dari sisi – sisi di dalam sebuah jalan

Contoh 2.54

Perhatikan pada Gambar 2.7. Pada graf E, jalan merupakan

jalan dari titik ke , di mana , , adalah sisi-sisi pada jalan, maka

panjang jalan dari titik ke adalah jumlah sisi-sisi pada jalan tersebut yaitu

tiga.

Definisi 2.55

Misalkan adalah graf. Sebuah lintasan gedoesik antara titik dan titik

pada adalah lintasan - dengan panjang minimum. Lintasan gedoesik

antara titik udan vpada singkatnya disebut geodesik - .


27

Contoh 2.56

Perhatikan Gambar 2.7. Untuk dua titik dan , lintasan merupakan

lintasan dengan panjang dua, selanjutnya lintasan merupakan

lintasan dari titik dengan panjang dua, lalu lintasan

merupakan lintasan dari titik ke dengan panjang dua, sedangkan lintasan

merupakan lintasan dari titik dengan panjang satu. Oleh karena

itu lintasan merupakan lintasan geodesik antara titik dan , sebab

lintasan tersebut memiliki panjang yang minimal dibanding lintasan lainnya.

D. Jarak dan Keterhubungan

Definisi 2.57

Misalkan adalah graf. Dua titik dan di dikatakan terhubung jika dan

hanya jika terdapat sebuah jalan dari ke .

Contoh 2.58


Gambar 2.8. Graf F

Untuk dua titik dan terdapat jalan dari ke , sehingga

titik dan dapat dikatakan terhubung.

Definisi 2.59


28

Suatu graf dikatakan graf terhubung jika dan hanya jika untuk setiap dua

titik dan pada terhubung.

Contoh 2.60

Perhatikan Gambar 2.8. Untuk setiap dua titik u dan v pada F terdapat jalan

dari titik u kev maka Fmerupakan graf terhubung seperti yang terlihat pada

Tabel 2.1.

Tabel 2.1. Jalan dari titik u ke v untuk setiap , di F

Titik u

Jalan titik u ke v

Titik v

Selanjutnya perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar 2.9. Graf G

Untuk dua titik dan pada graf G, tidak terdapat jalan dari titik ke ,

sehingga graf G tidak terhubung.

Definisi 2.61


29

Misalkan diberikan dua buah titik pada graf G Jarak antara titik dan

didefinisikan sebagai banyaknya sisi dari suatu geodesik - diG dan

dinotasikan dengan d(u,v).

Contoh 2.62

Perhatikan gambar berikut

Gambar 2.10. Graf H

Untuk dua titik ke pada graf H, merupakan geodesik antara titik

dan , dengan jumlah sisi adalah satu. Jadi d(u,v) = 1.

Definisi 2.63

Misal diberikan suatu titik padaG,eksentrisitas pada v adalah jarak dari

titikv ke suatu titik terjauh di G.Eksentrisitas pada vdinotasikan dengane(v).

Secara matematis ditulis dengan


30

Contoh 2.64

Perhatikan gambar berikut , akan dicari e( ).

Gambar 2.11. Graf I

Untuk suatu titik pada grafI diperoleh bahwa:

1. Lintasan merupakan geodesik - dengan jumlah sisi 1.







Sehingga diperoleh jarak ke setiap titik di Iseperti pada tabel dibawah ini.

Tabel 2.2.Jarak titik v1 ke setiap titik di I

Jadi e( ) .

Titik

Nilai d(v1, v)

Titik v

1 2 3 2 2 3 3


31

Definisi 2.65

Misalkan G adalah graf. Diameter dari Gadalah maksimum dari eksentrisitas

titik-titik diG dan dinyatakan dengan diam(G).

Contoh 2.66

PerhatikanGambar 2.11, akan cari diam (I). Untuk dua titik setiap u, v di I

diperoleh jarak dari titik u ke v dan eksentrisitas titik u, seperti pada Tabel 2.3.

Tabel 2.3. Jarak setiap dua titik dan eksentrisitas setiap titik pada graf I

Titik

Nilai d(u,v)

e(u)

V

u

1 2 3 2 2 3 3 3

1 1 2 1 1 2 2 2

2 1 1 2 2 3 3 3

3 2 1 3 3 4 4 4

2 1 2 3 1 1 2 3

2 2 2 3 1 2 2 3

3 3 3 4 1 2 2 4

3 2 3 5 4 2 2 4

Jadi menurut Tabel 2.3, diam .

Definisi 2.67

Graf G dan H dikatakan isomorfis jika terdapat sebuah fungsi

bijektif sedemikian sehingga setiap pasang titik u dan

vbertetangga di G jika dan hanya jika dan bertetangga di H. Fungsi

fyang mememenuhi syarat di atas disebut isomorfisma dari GkeH, dan

Gdikatakan isomorfis dengan H,dinotasikan dengan .


32

Contoh 2.68

Gambar 2.12menyatakan graf Jdan K. Fungsi didefinisikan

dengan , , , . Dapat ditunjukkanbahwa

f adalah fungsi bijektifdari ke dan untuk setiap dua titik u dan v di

E, u dan v bertetangga jika dan hanya jika f (u)dan f (v) bertetangga pada

Gambar 2.12.

(a) (b)

Gambar 2.12.(a)Fungsi bijektif dari ke , (b) Graf

E. Macam-Macam Graf

Pada bagian ini akan dibahas definisi dan contoh dari macam-macam graf

dan gabungan graf.

Definisi 2.69

Graf lengkap dengan n titik adalah suatu graf sederhana dengan n titik dan

tepat satu sisi yang menghubungkan setiap pasang dari titik yang berbeda.

Graf lengkap dengan n titik dinotasikan dengan


33

Contoh 2.70

Gambar 2.13 merupakan salah satu contoh dari graf lengkap.

Gambar 2.13. Graf

Definisi 2.71

Misalkan adalah graf sederhana. Graf disebut pohon jika dan hanya jika

tidak memuat sirkuit dan terhubung.

Contoh 2.72

Gambar 2.14. Graf PohonL

Gambar 2.14merupakan sebuah pohon, sedangkan Gambar 2.15 bukan

merupakan sebuah pohon sebab memuat sirkut .

Gambar 2.15. Graf M


34

Definisi 2.73

Graf bipartit lengkap dengan titik adalah sebuah graf sederhana di mana

titik-titiknya dapat dipartisi menjadiU danW, dengan

dan yang memenuhi sifat-sifat berikut: untuk semua

i, dan untuk semuaj,

1. Terdapat sisi dari setiap titik ke setiap titik .

2. Tidak terdapat sisi dari suatu ke suatu titik .

3. Tidak terdapat sisi dari suatu ke suatu titik

Graf bipartit lengkap dengan titik dinotasikan dengan .

Contoh 2.74


Gambar 2.16. Graf

Himpunan titik pada V( ) dapat dipartisi menjadi U( ) dan W( )

dengan U( ) = {v1, v3} dan U( ) = {v2, v4, v6}yang memenuhi sifat- sifat

berikut: untuk semua i, dan untuk semua j,

1. Terdapat sisi dari setiap titik ke setiap titik .

2. Tidak terdapat sisi dari suatu ke suatu titik .

3. Tidak terdapat sisi dari suatu ke suatu titik

Jadi graf di atas adalah graf bipartit .


35

Definisi 2.75

Untuk , graf siklusdengan n titik adalah suatu siklus dengan titik. Graf

siklus dengan titik dinotasikan dengan .

Contoh 2.76

Gambar 2.17merupakan salah satu contoh dari graf siklus.

Gambar 2.17. Graf

Definisi 2.77

Jika dan adalah graf yang saling asing, gabungan adalah graf

dengan dan .

Contoh 2.78

Misalkan diberikan dua buah graf K2 dan K3 seperti gambar di bawah ini.

(a) (b)

Gambar 2.18. (a) Graf K2, (b) Graf K3


36

HimpunanV(K2) = {v1, v2} dan V(K3) = {v3, v4, v5} maka diperoleh himpunan

V(K2 K3) = { v1, v2, v3, v4, v5} dan E(K2 K3) = { v1, v2, v3, v4, v5} sehingga

dapat dibentuk gaf K2 K3, seperti pada gambar berikut.

Gambar 2.19. Graf K2 K3

Definisi 2.79

Jika G danHadalah dua graf yang saling asing, penggabungan

terbentuk dengan menambahkan sisi pada setiap titik sedemikian

sehingga setiap titik terhubung dengan setiap titik . Jika

dan berturut-turut memiliki m(G) dan n(H) titik, maka untuk membentuk

graf haruslah menambahkan sisi pada graf .

Contoh 2.80

Perhatikan Gambar 2.18, akan dibentuk grafK2 K3.Graf K2 dan K3 berturut-

turut memiliki m(K2) = 2 dan m(K3) = 3 sehingga m(K2).m(K3) = 6. Untuk

membentuk graf K2 K3 menambahkan sisi pada setiap titik di K2 sedemikian

sehingga setiap titik di K2 terhubung dengan setiap titik K3, dengan langkah-

langkah nya yaitu tambahkan berturut-turut e5, e6 dan e7pada v1


37

sedemikiansehingga v1beturut-turut terhubung dengan v3,v4 dan v5seperti pada

Gambar 2.20.

Gambar 2.20. Ilustrasi penambahan sisi pada v1

Selanjutnya tambahkan berturut-turut sisi e5, e6 dan e7 pada v2 sedemikian

sehingga v1 berturut-turut terhubung dengan v3, v4 dan v5 seperti pada gambar

berikut seperti pada Gambar 2.21.

Gambar 2.21. Ilustrasi penambahan sisi pada v2

Jadi terbentuklah penggabungan K2 K3 seperti pada gambar berikut.

Gambar 2.22. Penggabungan K2 K3


38

Definisi 2.81

Untuk graf roda adalah graf hasil penggabungan dari dengan .

Graf roda dinotasikan dengan .

Contoh 2.82

Perhatikan gambar-gambar di bawah ini.

Gambar 2.23. (a) Graf , (b) Graf , (c) Graf

Gambar 2.23(a) merupakan penggabunganK1 C4 yang disebut

.Selanjutnya Gambar 2.23(b) merupakan penggabungan K1 C5 yang

disebut . Sedangkan Gambar 2.23(c) merupakan penggabungan K1 C6

yang disebut .

F. Pewarnaan Sisi Pada Graf

Pada subbab ini akan dibahas mengenai pewarnaan sisi pada graf, yang

diberikan dalam definisi dan contoh-contoh.

Definisi 2.83

Misalkan G adalah graf dengan himpunan sisi – sisi . Himpunan bagian

dari dikatakan himpunan bebas jika tidak ada dua sisi di dalam himpunan


39

tersebut yang bertetangga. Sedangkan bilangan kebebasan sisi adalah jumlah

maksimal sisi dari G dalam himpunan bebas.Bilangan kebebasan sisi

dinotasikan dengan .

Contoh 2.84

Diberikan sebuah graf N. Akan dicari bilangan kebebasan sisi dari N.

Gambar 2.24. Graf N

Berdasarkan gambar diatas diperoleh bahwaH= , I= ,

J= ,K= merupakan himpunan kebebasan sisi. Jadi

= 3.

Definisi 2.85

Sebuah pewarnaan sisi pada graf Gadalah pemberian warna pada sisi – sisi

dalam graf , di mana satu warna untuk setiap sisi .

Contoh 2.86

Gambar2.25 menunjukkan pewarnaan sisi pada grafO, dengan himpunan

warna {1, 2, 3, 4, 5}di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau,

4=warna jingga, 5=warna ungu.


40

Gambar 2.25. Graf Dengan Pewarnaan Sisi-5

Definisi 2.87

Jika sisi- sisi yang bertetangga diwarnai dengan warna yang berbeda maka

pewarnaan sisi dikatakan pewarnaan sisi sejati.

Contoh 2.88

Gambar 2.25 menunjukkan bahwa setiap dua sisi yang bertetangga memiliki

warna yang berbeda, sehingga graf O menggunakan pewarnaan sisi sejati.

Definisi 2.89

Pewarnaan sisi - k adalah suatu pewarnaan sisi sejati yang menggunakan k

warna.

Contoh 2.90

Pada Gambar 2.25, pewarnaan pada grafO menggunakan pewarnaan sisi-3.


41

Definisi 2.91

Misalkan diberikan pewarnaan sisi – k pada graf tak kosong G, dengan

menggunakan 1,2,….,k warna dan misalkan adalah himpunan

sisi – sisi di G yang diberi warna i. Maka himpunan – himpunan tak kosong

dari E(G) disebut kelas warna sisi dari G untuk pewarnaan

sisi – k yang diberikan.

Contoh 2.92

Perhatikan Gambar 2.25, akan dicari kelas warna sisi dari graf O. Gambar

2.25 menunjukkan bahwa

1. Sisi dan diberi warna warna merah. Jadi , , dengan 1 =

warna merah.

2. Sisi dan diberi warna warna biru. Jadi , , dengan 2 =

warna biru.

3. Sisi dan diberi warna warna hijau. Jadi , dengan 3 =

warna hijau

4. Sisi diberi warna warna hijau. Jadi dengan 4 = warna

jingga.

5. Sisi diberi warna warna ungu. Jadi dengan 4 = warna ungu.

Definisi 2.93

Misalkan G adalah graf. Suatu graf G disebut graf yang sisi – sisinya dapat

diwarnai –k jika terdapat pewarnaan sisi –k pada G.


42

Contoh 2.94


Gambar 2.26. Graf O Dengan Pewarnaan Sisi -

Karena terdapat pewarnaan sisi denganpadaO maka O adalah graf yang sisi-

sisinya dapat diwarnai .

Definisi 2.95

Misalkan G adalah graf dengan pewarnaan sisi sejati. Indeks kromatik dari G

adalah jumlah minimum warna yang diperlukan sedemikian sehingga sisi –

sisi yang bertetangga di G diwarnai dengan pewarnaan sisi sejati. Indeks

kromatik pada graf G dinotasikan dengan .

Contoh 2.96

Perhatikan Gambar 2.26. Gambar tersebut menunjukkan bahwa graf O dapat

diwarnai menggunakan minimal tiga warna, sehingga indeks kromatiknya

atau .

Teorema 2.97

Jika G adalah graf tak kosong dengan ukuran maka


43

Bukti:

Misalkan G adalah graf dan . Himpunan adalah kelas

warna sisi pada pewarnaan sisi – k dari graf G. Berarti ada sisi di G yang tidak

termuat di Karena maka merupakan partisi

dariE(G). Sehingga untuk setiap i . Oleh karena itu

Jadi yang ekivalen dengan , sehingga

.

Karena grafG diwarnai dengan pewarnaan sisi-k berarti sisi – sisi yang

bertetangga di G diberi kwarna berbeda. Suatu sisi dikatakan bertetangga jika

bersisian dengan suatu titik yang sama. Pewarnaan sisi pada sebuah grafG

harus memberikan warna yang berbeda pada sisi-sisi yang bertetangga

sehingga untuk setiap titik v di G jumlah warna yang digunakan untuk

mewarnai sisi yang bersisian dengan titik v harus sesuai dengan derajat titik v

pada G atau deg . Jadi

(1)


44

Contoh 2.98

Diberikan graf P dan pewarnaan sisi-4, dengan himpunan warna {1,2,3,4} di

mana1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau, 4=warna jingga. Akan

dicari .

Gambar 2.27.GrafP

Gambar 2.27 menunjukkan graf P dengan orde dan ukuran .

Himpunan kebebasan sisi yang dapat dibentuk antara lain:A={ , , },

B={ , , }, C={ , , }. Sehingga berdasarkan Definisi 2.83didapatkan

, maka menurut Teorema 2.97 diperoleh bahwa .

Karena merupakan bilangan bulat maka . Pewarnaan sisi-4

pada Gambar 2.27 menunjukkan bahwa . Jadi didapatkan


45

BAB III

BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI KUAT PADA GRAF

Konsep bilangan keterhubungan pelangi merupakan salah satu variasi dari

pewarnaan sisi. Bilangan keterhubungan pelangi diperkenalkan oleh

Chartrand, Johns, McKeon and Zhang pada tahun 2006. Konsep baru ini

dilatarbelakangi oleh ditemukannya kelemahan dalam pegiriman informasi

pada agen pemerintahan. Departemen Keamanan Dalam Negeri Amerika

Serikat dibentuk tahun 2003 sebagai respon atas ditemukannya kelemahan

dalam pengiriman informasi setelah terjadinya serangan teroris pada 11

September 2001. Keamanan informasi harus terjaga karena berhubungan

langsung dengan keamanan nasional dan juga terdapat prosedur yang

memungkinkan para agen pemerintah untuk mengakses informasi, sehingga

setiap jalur pengiriman informasi membutuhkan kata sandi angka yang

banyak.

Muncul pertanyaan, berapa jumlah minimal angka yang dibutuhkan

sedemikian sehingga tidak terjadi pengulangan kata sandi angka pada setiap

satu lintasan komunikasi atau lebih antara dua agen pemerintahan.

Pertanyaan tersebut dapat dimodelkan dengan bilangan keterhubungan

pelangi. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai bilangan keterhubungan

pelangi kuat pada graf meliputi definisi, contoh dan teorema.


46

A. Bilangan Keterhubungan Pelangi Pada Graf

Pada subbab ini akan dibahas mengenai lintasan pelangi, graf terhubung

pelangi, pewarnaan pelangi dan bilangan terhubung pelangi meliputi definisi,

contoh dan teorema.

Definisi 3.1

Misalkan graf G adalah graf terhubung tak trivial dan adalah sebuah

bilangan bulat positif. Didefinisikan pewarnaan sisi ,

sehingga dua sisi yang bertetangga dapat memiliki warna yang sama. Suatu

lintasan dari titik u ke v di G disebut lintasan pelangi jika tidak ada dua sisi

pada lintasan tersebut yang memiliki warna yang sama.

Contoh 3.2

Perhatikan graf dengan pewarnaan sisi – 3, dengan himpunan

warna {1, 2, 3} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau. Akan

ditunjukkan bahwa terdapat lintasan pelangi di P.

Gambar3.1. Graf Petersen Dengan Pewarnaan Sisi

Untuk setiap dua titik u dan v terdapat lintasan pelangi dari titik u ke

vsepertiyang dijelaskan pada Tabel 3.1.


47

Tabel 3.1. Lintasan pelangi untuk setiap dua titik pada graf

Titik

Jalan -

v

Tabel 3.2. Lanjutan Tabel 3.1

Titik

Jalan -

v

Definisi 3.3

Misalkan graf G adalahgraf terhubung tak trivial dan sebuah bilangan bulat

positif . Didefinisikan pewarnaan sisi , sehingga dua

sisi yang bertetangga dapat memiliki warna yang sama. Graf G dengan


48

pewarnaan sisi disebut terhubung pelangi jikauntuk setiap pasang titik

terdapat lintasan pelangi.

Contoh 3.4

Graf Petersen pada Gambar3.1dapat dikatakan terhubung pelangi sebab

menurut Tabel3.1 dan Tabel 3.2 setiap dua titik dan di terdapat lintasan

pelangi . Sedangkan graf Q dengan pewarnaan sisi 3 yang himpunan

warnanya {1, 2, 3} seperti pada Gambar 3.2 bukan terhubung pelangi, sebab

tidak terdapat lintasan pelangi - .Warna merah menyatakan warna 1, warna

biru menyatakan warna 2 dan warna hijau menyatakan warna 3.

Gambar3.2. Graf Q Dengan Pewarnaan Sisi

Definisi 3.5

Misalkan adalah graf. Pewarnaan sisi pada dikatakan pewarnaan pelangi

jika pewarnaan itumenyebabkan graf terhubung pelangi. Sedangkan

pewarnaan pelangi yang menggunakan warna disebut pewarnaan pelangi

– .


49

Contoh 3.6

Pewarnaan sisi graf pada Gambar3.1 merupakan pewarnaan pelangi

karena menyebabkan terhubung pelangi. Sedangkan pewarnaan sisi graf

Q dengan pada Gambar3.2 bukan pewarnaan pelangi karena tidak

menyebabkan Qterhubung pelangi.

Definisi 3.7

Misalkan adalah graf terhubung tak trivial.Bilangan bulat positif terkecil

sedemikian sehingga terdapat pewarnaan pelangi pada disebut bilangan

keterhubungan pelangi pada G. Bilangan keterhubungan pelangi pada

dinotasikan dengan .

Selain dalam pengamanan informasi rahasia antar agen pemerintahan,

bilangan keterhubungan pelangi juga diterapkan pada bidang jaringan.

Misalkan menyatakan suatu jaringan seluler. Misalkan akan dikirim sebuah

pesan antara dua titik, pengiriman informasi tersebut dengan syarat bahwa rute

antara dua titik (direpresentasikan sebagai sisi pada lintasan di ) diberikan

suatu saluran atau (saluran direpresentasikan sebagai warna).Akan

diminimalkan jumlah saluran berbeda yang digunakan. Jumlah saluran

minimal yang digunakan dimodelkan dengan bilangan keterhubungan pelangi

pada graf . Permasalahannya adalah bagaimana cara untuk menentukan

bilangan keterhubungan pelangi tersebut.Selanjutnya diberikan Teorema 3.8

untuk mempermudah menentukan bilangan keterhubungan pelangi.


50

Teorema 3.8

Misalkan adalah graf terhubung tak trivial maka .

Bukti:

Misalkan G adalah graf dengan pewarnaan sisi c dan . Sehingga

berdasarkan Definisi 2.61 danDefinisi 2.63maka

Ini berarti terdapat dua titik di , misal dan yang dihubungkan geodesik

dengan panjang . Oleh karena geoesik adalah geodesik

terpanjang sehingga minimal warna yang diperlukan untuk mewarnai graf

sedemikian sehingga setiap dua titik dan di terdapat lintasan pelangi

adalah warna .Oleh karena itu

Contoh 3.9

Berdasarkan Gambar3.1 terdapat pewarnaan pelangi pada graf Petersen

berarti Oleh karena maka akan dicari .

Sebelum mencari terlebih dahulu dicari jarak setiap dua titik dan

eksentrisitas setiap titik di P yang yang disajikan pada Tabel 3.3.


51

Tabel 3.3. Jarak setiap dua titikdi graf

Titik

Nilai

e(v)

v

u

1 2 2 2 1 2 1 2 2 2

1 1 2 2 2 1 2 2 2 2

2 1 1 2 2 2 2 2 1 2

2 2 1 1 2 2 1 2 2 2

2 2 2 1 1 1 2 2 2 2

2 2 2 2 1 2 2 2 1 2

2 1 2 2 1 2 2 1 2 2

1 2 2 1 2 2 2 1 2 2

2 2 2 2 2 2 1 1 1 2

2 2 1 2 2 1 2 2 1 2

Berdasarkan Tabel 3.2 dan Tabel 3.3didapatkan , sehingga

menurut Teorema 3.8 diperoleh bahwa Namun tidak terdapat

pewarnaan pelangi di , sebab jika diberikan suatu pewarnaan sisi pada

dan didefinisikan sebagai pemberian dua warna pada sisi-sisi di terdapat

dua sisi yang berwarna sama yaitu dan seperti pada Gambar3.3.


Sehingga lintasan bukan lintasan pelangi, maka tidak terhubung

pelangi. Jadi . Oleh karena maka .


52

B. Bilangan Keterhubungan Pelangi Kuat Pada Graf

Pada subbab ini akan dibahas mengenai pelangi geodesik, pewarnaan

pelangi kuat, terhubung pelangi kuat,bilangan keterhubungan pelangi dan

bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf terhubung tak trivial, graf

pohon, graf siklus, graf roda dan graf bipartit meliputi definisi, contoh dan

teorema.

Definisi 3.10

Misalkan adalah pewarnaan sisi pada graf terhubung tak trivialG. Untuk dua

titik u dan v di G, suatu pelangi geodesik adalah lintasan pelangi -

dengan panjang .

Contoh 3.11

Gambar3.4 menunjukkan graf Petersen dengan pewarnaan sisi . Untuk

suatu titik dan , lintasan adalah lintasan pelangi dengan panjang

. Sehingga lintasan pelangi adalah pelangi geodesik - .

Sedangkan lintasan bukan pelangi geodesik - sebab tidak

memiliki panjang minimum.



53

Definisi 3.12

Suatu graf terhubung tak trivial G dikatakan terhubung pelangi kuat jikaG

memuat pelangi geodesiku-v untuk setiap titik u dan v diG.

Contoh 3.13

Graf Petersen P dengan pewarnaan sisi pada Gambar3.4 terhubung pelangi

kuat sebab graf P memuat lintasan pelangi geodesik u-v untuk setiap titik u

danv di .

Tabel 3.5. Pelangi geodesik untuk setiap dua titik pada graf P

Titik

Pelangi geodesik


Titik

Pelangi geodesik


54

Sedangkan graf P dengan pewarnaan sisi pada Gambar3.1 terhubung

pelangi tapi tidak terhubung pelangi kuat sebab tidak terdapat pelangi

geodesik .

Definisi 3.14

Misalkan G adalah graf. Pewarnaan sisi pada G dikatakan pewarnaan sisi

pelangi kuat jika pewarnaan itu menyebabkan graf terhubung pelangi kuat.

Pewarnaan sisi pelangi kuat singkatnya disebut pewarnaan pelangi kuat.

Sedangkan pewarnaan pelangi kuat yang menggunakan warna disebut

pewarnaan pelangi kuat – .

Contoh 3.15

Pewarnaan sisi graf Petersen pada Gambar3.4 merupakan pewarnaan

pelangi kuat sebab menyebabkan graf Pterhubung pelangi kuat. Sedangkan

pewarnaan sisi graf Petersen pada Gambar3.1 bukan merupakan pewarnaan

pelangi kuat sebab tidak menyebabkan graf P terhubung pelangi kuat.

Definisi 3.16


55

Misalkan G adalah graf terhubung tak trivial.Bilangan bulat positif terkecil

sedemikian sehingga terdapat pewarnaan pelangi kuat pada Gdisebut

bilangan keterhubungan pelangi kuat pada G. Bilangan keterhubungan

pelangi kuat pada dinotasikan dengan .

Teorema3.17

Misalkan G adalah graf terhubung tak trivial, maka

Bukti:

Misalkan G adalah suatu graf terhubung tak trivial dengan . Karena

sehingga terdapat pewarnaan pelangi pada G Oleh karena

terdapat pewarnaan pelangi di G, ini berarti terhubung pelangi. Sehingga

terdapat lintasan pelangiu-v, untuk setiap pasang titik u,v .

Kasus 1: Misalkan untuk setiap pasang titik , terdapat lintasan

pelangi yang merupakan pelangi geodesik , berarti

terhubung pelangi kuat sehingga pewarnaan sisi merupakan

pewarnaan pelangi kuat . Jadi

Kasus 2: Misalkan untuk suatu titik dan , setiap lintasan pelangi

bukan merupakan pelangi geodesik, ini berarti tidak terhubung

pelangi kuat. Oleh karena itu pewarnaan sisi bukan pewarnaan

pelangi kuat. Sehingga

Jadi berdasarkan kasus 1 dan 2


56

Teorema3.18

Misalkan adalah graf terhubung tak trivial, dengan ukuran m(G) maka

.

Bukti:

Sudah cukup jelas bahwa pasti tidak pernah melampaui ukuran graf .

Contoh 3.19

Misalkan adalah graf Petersen dengan . Menurut Contoh 3.9

maka menurut Teorema 3.17 dan Teorema3.18 diperoleh bahwa

. Namun pewarnaan pelangi pada Gambar3.1 bukan

merupakan pewarnaan pelangi kuat karena tidak menyebabkan terhubung

pelangi maka . Karena pewarnaan sisi merupakan

pewarnaan pelangi kuat sehingga Oleh karena dan

maka

Dari Teorema 3.8, Teorema 3.17 dan Teorema3.18 maka didapatkan

sebuah pertidaksamaan

(2)


57

Contoh 3.20

Akan dicari dan untuk graf . Perhatikan gambar berikut

T

Gambar 3.5. Graf

Penyelesaian:

Akan dicari

Tabel 3.7. Jarak tiap dua titik dan eksentrisitas tiap titik pada T

Titik

Nilai

v

1 2 3 2 1 1 2 3

1 1 2 3 2 2 3 3

2 1 1 2 3 3 2 3

3 2 1 1 2 2 1 3

2 3 2 1 1 3 2 3

1 2 3 2 1 2 3 3

1 2 3 2 3 2 1 3

2 3 2 1 2 3 1 3

Berdasarkan Tabel 3.7 didapatkan diam maka menurut per-

tidaksamaan (2) diperoleh bahwa . Diasumsikan ,

berarti terdapat pewarnaan pelangi di dengan himpunan warna {1,


58

2, 3} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau.

Misalkan

, .

Gambar 3.6. Graf T Dengan Pewarnaan Sisi

Menurut Gambar 3.6 , tidak terdapat lintasan pelangi , berarti

tidak terhubung pelangi, sehingga tidak terdapat pewarnaan pelangi di

, muncul kontradiksi. Jadi maka dengan kata lain

terdapat pewarnaan pelangi-4 dengan himpunan warna {1, 2, 3, 4}, seperti

pada Gambar 3.7di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau

dan 4=warna ungu.

Gambar 3.7. Graf T Dengan Pewarnaan Sisi


59

Akan dicari

Karena maka menurut pertidaksamaan (2)

Diasumsikan .Bilangan berarti terdapat pewarnaan

pelangi seperti pada Gambar 3.7. Untuk setiap dua titik dan di

akan dicari lintasan pelangi dengan panjang .

Tabel 3.8.Pelangi geodesik tiap dua titik diT

Titik

Pelangi geodesik


Titik

Pelangi geodesik


60

Karena untuk setiap dua titik dan terdapat lintasan pelangi kuat, maka

T terhubung pelangi kuat, sehingga pewarnaan pelangi juga merupakan

pewarnaan pelangi kuat . Jadi .

Teorema 3.21

Misalkan dan adalah graf terhubung tak trivial. Maka

jika dan hanya jika

Bukti :

Untuk , akan dibuktikan jika dan hanya jika

Jika , akan ditunjukkan . Menurut pertidaksamaan

(2) dan karena terhubung maka , sehingga adalah graf

lengkap. Karena berarti terdapat pewarnaan pelangi pada

. Graf adalah graf lengkap maka setiap dua titik dan dihubungkan

oleh sebuah sisi. Sehingga pewarnaan pelangi juga merupakan

pewarnaan pelangi kuat . Jadi .

Jika , akan ditunjukkan . Menurut pertidaksamaan

(2) diperoleh bahwa . Karena adalah graf terhubung maka

.

Untuk , akan dibuktikan jika dan hanya jika

Jika , akan ditunjukkan . Maka menurut Teorema

3.8 diperoeh bahwa diam dan menurut Teorema 3.17 diperoleh

bahwa . Graf bukan graf lengkap maka diam ,


61

dengan kata lain jumlah maksimum sisi-sisi dari suatu geodesik di

adalah 2. Selanjunya karena maka terdapat pewarnaan

pelangi di . Karena diam dan terdapat pewarnaan

pelangi di , maka lintasan pelangi adalah pelangi geodesik

maka pewarnaan pelangi adalah pewarnaan pelangi kuat . Jadi

.

Misalkan adalah graf terhubung tak trivial dengan . Menurut

Teorema 3.17diperoleh bahwa . Karena bukan merupakan

graf lengkap maka .

Contoh 3.22

Perhatikan gambar berikut,

(a) (b)

Gambar3.8. (a) Graf , (b) Graf Dengan Pewarnaan Sisi

Karena graf lengkap maka diam dan menurut Teorema 3.8

diperoleh bahwa . Karena setiap dua titik dan di

dihubungkan oleh sebuah sisi sehingga minimal warna yang digunakan

sedemikian sehingga terdapat lintasan pelangi untuk setiap dua titik dan di


62

adalah 1 warna, misalkan warna warna merah. Jadi . Maka

menurut Teorema3.21

Teorema 3.23

Misalkan adalah graf terhubung tak trivial dengan ukuran . Maka

jika dan hanya jika adalah sebuah pohon.

Bukti

Misalkan akan dibuktikan adalah sebuah

pohon. Diasumsikan adalah bukan sebuah pohon. Maka memuat suatu

sirkuit

di mana . Maka pewarnaan sisi yang memberikan

warna 1 untuk sisi dan dan warna berbeda dari

himpinan warna untuk sisi lainnya pada

adalah pewarnaan pelangi, dengan 1=warna merah, 2=warna biru,

=warna kuning, =warna cokelat dan =

warna hitam, seperti pada Gambar3.9.


63

Gambar3.9. Graf Dengan Pewarnaan

Jadi . Kontradiksi dengan . Sehingga

haruslah sebuah pohon.

Misalkan adalah sebuah pohon dengan ukuran . Akan dibuktikan

.

Diasumsikan bahwa . Oleh karena

sehingga terdapat pewarnaan pelangi

dari . Maka terdapat sisi dan yang diwarnai dengan

warna yang sama. Misalkan diambil salah satu titik atau dan salah satu

titik atau yaitu titik dan sehingga terdapat lintasan yang

memuat sisi dan diilustrasikan Gambar3.10.

Gambar3.10. Graf pohon

Karena terdapat dua sisi pada lintasan yang berwarna sama maka

lintasan bukan lintasan pelangi , sehingga terdapat lintasan


64

lain yang tidak memuat sisi dan yang merupakan lintasan

pelangii , hal tersebut menunjukkan bahwa terdapat sirkuit di ,

kontradiksi dengan adalah pohon dengan ukuran . Jadi

Contoh 3.24

Gambar3.11 menyatakan suatu graf

Gambar3.11. Graf pohon

Karena graf merupakan pohon dengan , jadi menurut

Teorema3.42 diperoleh bahwa .

Teorema 3.25

Misalkan adalah graf siklus dengan banyak titik di mana . Maka

.

Bukti:

Misalkan terdapat graf siklus : dan untuk setiap dengan

dan . Untuk membuktikan pernyataan di atas, akan

dibagi menjadi 2 kasus tergantung nilai dari


65

Kasus 1:

Untuk genap. Misalkan , untuk setiap bilangan bulat sehingga

. Maka menurut pertidaksamaan (1),

. Pewarnaan sisi dari didefinisikan sebagai berikut,

Diilustrasikan dalam Gambar3.12 dengan 1=warna merah, 2=warna biru,

k=hijau, (k-1)=ungu.

Gambar3.12. Graf Dengan Pewarnaan Sisi

Untuk setiap dua titik dan terdapat pelangi geodesik seperti yang

terlihat dalam Gambar3.11 maka terhubung pelangi kuat, maka pewarnaan

sisi adalah suatu pewarnaan pelangi kuat– . Karena merupakan

pewarnaan pelangi kuat – maka dan menurut pertidaksamaan

(2) . Oleh karena , jadi


66

Kasus 2:

Untuk ganjil. Misalkan , untuk bilangan bulat .

Didefinisikan pewarnaan sisi dari sebagai berikut,

Dengan kata lain , ,…,

, sehingga untuk setiap dua titik dan terdapat

pelangi geodesik , maka pewarnaan pelangi adalah suatu pewarnaan

pelangi kuat . Karena pewarnaan pelangi adalah pewarnaan pelangi

kuat sehingga , maka menurut pertidaksamaan

(2) . Karena diam sehingga , jadi

atau Akan dibuktikan bahwa .

Asumsikan sehingga terdapat suatu pewarnaan pelangi ,

misalkan dan tanpa mengurangi perumuman misalkan .

Dipandang titik-titik dan . Misalkan lintasan

adalah pelangi geodesik dan lintasan : adalah

pelangi geodesik maka terdapat sisi di dan yang diberi warna .

Karena lintasan juga merupakan geodesik , sehingga

.

Sebaliknya karena lintasan adalah geodesik ,

sehingga . Diilustrasikan pada Gambar 3.13 dengan 1=warna

merah, 2=warna biru, 3=warna hijau, k=ungu, (k-1)=warna jingga.


67

Gambar 3.13. Graf Dengan Pewarnaan Sisi

Ini berarti tidak terdapat lintasan pelangi . Jadi bukan pewarnaan

pelangi . Kontradiksi dengan pewarnaan pelangi . Jadi

. Oleh karena berdasarkan persamaan (2) di-

peroleh bahwa , sehingga .

Jadi

Contoh 3.26

Diketahui graf siklus , akan dicari nilai dan .

Penyelesaian:

Menurut Teorema3.46 diperoleh bahwa .

Karena berarti terdapat pewarnaan pelangi di dengan himpunan

warna {1,2,3} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau, seperti

pada Gambar3.14.


68


Teorema 3.27

Bilangan keterhubungan pelangi dari graf roda untuk adalah

Bukti:

Berdasarkan definisi , itu berarti terdapat dengan

dan satu titik yang terhubung dengan setiap titik di .

Akan dibagi menjadi 3 kasus:

Kasus1:

Untuk , karena , menurut pembuktian Teorema3.22 diperoleh

bahwa .

Kasus 2:

Untuk , karena graf bukan graf lengkap sehingga .

Didefinisikan pewarnaan sisi , dengan 1=warna merah,

2= warna biru sebagai berikut,


69

dan

Seperti yang terlihat dalam Gambar3.15

(a) (b) (c)

Gambar 3.15.(a) Graf Dengan Pewarnaan Sisi , (b) Graf Dengan

Pewarnaan Sisi , (c) Graf Dengan Pewarnaan Sisi

Oleh karena pewarnaan sisi merupakan pewarnaan pelangi , maka

diperoleh bahwa .

Kasus 3:

Untuk ,karena bukan graf lengkap sehingga diperoleh

wa . Diasumsikan . Ini berarti terdapat pewarnaan

pelangi di dengan himpunan warna {1, 2} di mana 1=warna merah dan

2=warna biru. Karena terdapat pewarnaan pelangi di berarti untuk

setiap dua titik dan terdapat lintasan pelangi

Misalkan adalah pewarnaan pelangi dari . Diasumsikan

dan adalah satu-satunya lintasan pelangi dengan panjang ,

sehingga untuk setiap dengan yang ditunjukkan

oleh Gambar3.16 dengan 1=warna merah, 2=warna merah.


70

Gambar3.16. Graf

Karena satu- satunya lintasan yang memiliki panjang 2 adalah

sehingga jika maka supaya terdapat lintasan pelangi

. Dengan cara yang sama didapatkan jika maka

. Karena maka Selanjutnya jika

maka . Sehingga karena dan

maka tidak terdapat lintasan pelangi . Ini kontradiksi

dengan terdapat pewarnaan pelangi pada Jadi .

Didefinisikan pewarnaan sisi dengan pada sebagai

berikut

dan untuk setiap yang ditunjukan oleh Gambar3.17

dengan 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau.


71


Karena setiap dua titik dan terdapat lintasan pelangi sehingga

pewarnaan sisi adalah pewarnaan pelangi sehingga diperoleh

Oleh karena , jadi untuk .

Contoh 3.28

Diberikan sebuah graf , akan dicari nilai dari . Menurut

Teorema3.46 diperoleh bahwa , sehingga terdapat pewarnaan

pelangi di dengan himpunan warna {1,2},di mana 1=warna merah,

2=warna biru, 3=warna hijau.


72

Gambar3.18. Graf Dengan Pewarnaan Pelangi

Teorema3.29

Bilangan keterhubungan pelangi pada graf roda untuk adalah

Bukti:

Misalkan terdiri dari graf dan satu titik yang

terhubung dengan setiap titik di . Akan dibagi menjadi 3 kasus

Kasus 1: Untuk , graf dan menurut Teorema 3.27diperoleh

bahwa maka berdasarkan Teorema 3.21diperoleh bahwa

.

Kasus 2: Untuk ,menurut Teorema 3.27 diperoleh bahwa

maka berdasarkan Teorema 3.21. diperoleh bahwa

untuk .


73

Kasus 3: Untuk , akan dibuktikan . Misalkan maka

terdapat suatu bilangan bulat sehingga . Selanjutnya

akan ditunjukkan

Pertama-tama akan ditunjukkan . Diasumsikan

maka terdapat pewarnaan pelangi kuat pada . Karena

maka dapat dibentuk himpunan sedemikian sehingga

dan semua sisi dengan memiliki warna yang sama. Maka

terdapat dua titik sehingga jumlah sisi pada geodesik di

lebih dari sam dengan 3 atau dan jumlah sisi pada geodesik

di sama dengan 2 atau . Karena

merupakan satu-satunya geodesik di , akibatnya tidak terdapat

pelangi geodesik di . Ini berarti tidak terdapat pewarnaan pelangi

kuat ,kontradiksi dengan . Jadi .

Selanjutnya, akan ditunjukkan Didefinisikan suatu pewarnaan

sisi pada sebagai berikut

Karena setiap dua titik terdapat pelangi geodesik di sehingga

pewarnaan sisi adalah pewarnaan pelangi kuat . Maka diperoleh

bahwa . Jadi untuk .


74

Contoh 3.30

Diberikan graf sebuah graf , akan dicari nilai dari . Menurut

Teorema3.29 terdapat pewarnaan pelangi kuat pada , dengan kata lain

3 dengan himpunan warna {1, 2, 3} di mana 1= warna merah, 2=

warna biru, 3= warna hijau, seperti pada gambar dibawah ini.


Teorema 3.31

Bilangan keterhubungan pelangi kuat dari graf bipartit untuk suatu

bilangan bulat dan dengan adalah

Bukti:

Untuk himpunan titik-titik pada dapat dipartisi menjadi dua

himpunan, misalkan dan , karena di

dihubungkan ke setiap titik di sehingga merupakan satu-satunya

lintasan dan juga merupakan geodesik dengan dan

, sehingga jumlah warna yang digunakan sedemikian sehingga


75

terdapat pewarnaan pelangi kuat di adalah seperti yang ditunjukkan pada

Gambar3.20. Jadi benar bahwa .

Gambar3.20. Graf Dengan Pewaranaan Pelangi Kuat

Selanjutnya diasumsikan untuk , , maka

Sehingga maka .

Akan ditunjukkan bahwa . Asumsikan . Maka

terdapat pewarnaan yaitu pewarnaan pelangi kuat . Himpunan

titik-titik dapat dipartisi menjadi dua himpunan, misalkan dan

, dengan dan , sehingga

kardinalitas dan berturut- turut dan . Untuk setiap titik

didefinisikan suatu kode yang disebut kode

warna dari , di mana untuk seperti pada Gambar3.21.



76

Karena terdapat pewarnaan pelangi kuat sehingga untuk

setiap , maka banyaknya warna berbeda pada kode warna dari titik-

titik di paling banyak . Tetapi karena karena maka

terdapat dua titik berbeda yaitu dan di sehingga kode

kode . Lintasan dan berturut- turut merupakan satu- satunya

geodesik dan geodesik dan karena untuk

setiap sehingga tidak terdapat pelangi geodesik di .

Sehingga tidak terdapat pewarnaan pelangi kuat di . Hal tersebut

kontradiksi dengan Jadi .

Selanjutnya, akan ditunjukkan . Misalkan dan

. Himpunan adalah hasil kali kartesian dan

sebanyak kali dan himpunan adalah hasil kartesian dan sebanyak

kali. Sehingga

s kali

sehingga,

dan adalah himpunan hasil kali seluruh elemen dalam setiap pasangan

terurut di . Selanjutnya

s kali

sehingga,


77

dan adalah himpunan hasil kali seluruh elemen dalam setiap pasangan

terurut di .Jadi .

Misalkan titik- titik di dilabeli dengan

anggota dari sedemikian sehingga dilabeli dengan

anggota dari . Untuk setiap dengan didefinisikan label

dari dengan

untuk setiap yang diilustrasikan dengan Gambar3.22.

Gambar3.22. Graf

sehingga untuk . Didefinisikan pewarnaan

dengan untuk dan

. Sehingga kode warna dari adalah kode

, maka titik-titik berbeda di memiliki kode warna berbeda.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa adalah pewarnaan pelangi kuat

. Untuk dan merupakan satu-satunya


78

geodesik dan karena kode warna berbeda untuk setiap titik- titik

berbeda di maka geodesik adalah pelangi geodesik .

Diambil sebarang dua titik dan di . Karena titik-titik tersebut

memiliki kode warna berbeda sehingga adalah pelangi geodesik

di untuk suatu dengan . Selanjutnya diambil sebarang dua

titik dan di sedemikian sehingga . Lintasan

merupakan satu-satunya geodesik dan karena terdapat suatu

dengan sehingga , maka geodesik

adalah pelangi geodesik . Oleh karena itu terbukti bahwa

adalah pewarnaan pelangi kuat dari . Jadi .

Contoh 3.32

Diberikan graf bipartit , akan dicari nilai dari Menurut Teorema

3.31 bahwa , dengan kata lain terdapat

pewarnaan pelangi kuat di , dengan himpunan warna {1, 2} di mana

1=warna merah, 2=warna biruseperti yang ditunjukkan Gambar3.23.


79


Toerema 3.33

Bilangan keterhubungan pelangi dari graf untuk suatu bilangan bulat dan

dengan adalah

Bukti:

Diketahui bahwa sehingga maka .

Misalkan himpunan titik- titik di dipartisi menjadi himpunan dan

, di mana dan ,

sehingga kardinalitas dan berturut- turut dan . Akan dibagi menjadi 3

kasus:


80

Kasus 1: Jika maka . Menurut Teorema 3.31 diperoleh bahwa

dan karena diam maka menurut

pertidaksamaan (2) diperoleh bahwa . Jadi

.

Kasus 2: Jika maka . Menurut Teorema 3.31 diperoleh

bahwa dan karena diam maka menurut

pertidaksamaan (2) diperoleh bahwa . Jadi

atau . Akan dibuktikan .

Asumsikan maka terdapat pewarnaan pelangi di

. Sehingga terdapat kode untuk setiap di

dengan untuk . Karena

maka terdapat dua titik berbeda dan sedemikian

sehingga kode . Ini berarti

untuk setiap sehingga tidak terdapat lintasan pelangi

di jadi tidak terdapat pewarnaaan pelangi di .

Hal ini kontradiksi dengan . Jadi .

Kasus 3: Jika maka . Akan ditunjukkan

Asumsikan ini berarti terdapat pewarnaan

pelangi di . Sehingga terdapat kode

untuk setiap di dengan untuk

. Karena maka terdapat dua titik berbeda dan

sedemikian sehingga kode . Karena jumlah


81

sisi pada lintasan genap, maka lintasan pelangi

yang terdapat di adalah lintasan pelangi yang

memiliki panjang 2. Namun setiap sisi pada lintasan pelangi

tersebut berwarna sama sehingga tidak terdapat lintasan

pelangi di . Sehingga tidak terdapat pewarnaan

pelangi pada . Ini kontradiksi dengan . Jadi

Selanjutnya akan dibuktikan Untuk membuktikan ,

akan ditunjukan terdapat pewarnaan pelangi di .

Misalkan , dan .

Himpunan adalah hasil kali kartesius dari himpunan sebanyak . Dengan

kata lain

Untuk setiap titik di didefinisikan,

kode ,

untuk dan dengan .Dengan kata

lain , , …., , dan seterusnya.

Sedangkan untuk setiap titik di didefinisikan,

kode

untuk dan .


82

Selanjutnya diambil sebarang dua titik akan dibuktikan terdapat

pewarnaan pelangi pada dengan membagi menjadi 3 kasus:

Kasus 1: Untuk . Karena kode kode maka terdapat dengan

yang ). Maka lintasan adalah

lintasan pelangi . Jadi terdapat pewarnaan pelangi di .

Kasus 2: Untuk dan . Misalkan dengan

. Karena maka dan dengan

. Sehingga lintasan merupakan lintasan pelangi yang

sisi-sisinya berwarna dan Jadi terdapat pewarnaan pelangi di

Kasus3: Untuk . Ambil sebarang sedemikian sehingga

c dan maka lintasan adalah lintasan

pelangi yang sisi-sisinya berwarna , 1, 2 dan 3.

Misalkan dengan dan di mana .

Sehingga terdapat suatu titik yang mana . Jadi

lintasan adalah lintasan pelangi di , maka terdapat pewarnaan

pelangi di . Jadi

Contoh 3.34

Diberikan graf bipartit , akan dicari nilai dari Menurut Teorema

3.33 diperoleh bahwa


83

, dengan kata lain terdapat pewarnaan pelangi di seperti

yang ditunjukkan Gambar3.24.

Gambar3.24

C. Aplikasi

Pada subbab ini akan dijelaskan aplikasi bilangan keterhubungan pelangi

kuat pada graf dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh 3.35

Salah satu penerapan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf

adalah pendistribusian soal-soal ujian nasional. Contoh ini diambil daripidato

pengukuhan guru besar berjudul Teori Graf, Aplikasi dan Tumbuhnya

Keterampilan Berfikir Tingkat Tinggi, yang ditulis oleh Prof. Drs. Dafik,


84

M.Sc, Ph.D. Diknas akan mendistribusikan soal-soal ujian nasional ke seluruh

sekolah di kabupaten Jember (pelaksanaan UN SMA 2014). Soal ini bersifat

rahasia sehingga membutuhkan tim pengawas pendistribusian soal UN yang

terdiri dari unsur Universitas Negeri Jember (UNEJ), Lembaga Penjaminan

Mutu Pendidikan (LPMP), Polisi resort (Polres), Pendidikan Nasional

(Diknas), dan pihak sekolah. Misal jalur untuk menjangkau sekolah-sekolah

direpresentasikan pada graf Rdi manaj merupakan pusat penyimpanan soal

dan titik awal pendistribusian soal, sedangkan titik a, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l,

m, n, o, p mewakili sekolah-sekolah di kabupaten Jember . Permasalahan yang

muncul adalah:Bagaimana caramenentukan jumlah kelompok pengawalan

pendistribusian soal UN?

Gambar3.25. Graf R

Solusi:

Gambar 3.26. Graf S


85

Diberikan graf S seperti pada gambar di atasdan didefinisikanfungsi

dengan , , , , ,

, , , , ,

, , dan . Dapat ditunjukkan bahwa f adalah

fungsi bijektif dari ke seperti pada berikut.

Gambar 3.27. Fungsi Bijektif Dari V(R) Ke V(S)

Kemudian dapat ditunjukkan untuk setiap dua titik u dan v di R, u dan v

bertetangga jika dan hanya jika f (u)dan f (v) bertetangga di S, yang dijelaskan

pada tabel di bawah ini. Jadi graf


86

Tabel 3.10. Dua titik u dan v yang bertetangga di R dan dua titik f(u)dan f(v)

yang bertetangga di S

Pada graf R Para graf S

Titik a bertetangga dengan b Titik f(a) = bertetangga dengan f(b) =

Titik a bertetangga dengan j Titik f(a) = bertetangga dengan f(j) =

Titik a bertetangga dengan k Titik f(a) = bertetangga dengan f(k) =

Titik a bertetangga dengan e Titik f(a) = bertetangga dengan f(e) =

Titik b bertetangga dengan c Titik f(b) = bertetangga dengan f(c) =

Titik b bertetangga dengan l Titik f(b) = bertetangga dengan f(l) =

Titik b bertetangga dengan f Titik f(b) = bertetangga dengan f(f) =

Titik b bertetangga dengan m Titik f(b) = bertetangga dengan f(m) =

Titik c bertetangga dengan d Titik f(c) = bertetangga dengan f(d) =

Titik c bertetangga dengan n Titik f(c) = bertetangga dengan f(n) =

Titik c bertetangga dengan g Titik f(c) = bertetangga dengan f(g) =

Titik c bertetangga dengan o Titik f(c) = bertetangga dengan f(o) =

Titik d bertetangga dengan i Titik f(c) = bertetangga dengan f(i) =

Titik d bertetangga dengan p Titik f(c) = bertetangga dengan f(p) =

Titik d bertetangga dengan h Titik f(c) = bertetangga dengan f(h) =

Titik e bertetangga dengan j Titik f(e) = bertetangga dengan f(j) =

Titik e bertetangga dengan k Titik f(e) = bertetangga dengan f(k) =

Titik e bertetangga dengan f Titik f(e) = bertetangga dengan f(f) =

Titik f bertetangga dengan l Titik f(f) = bertetangga dengan f(l) =

Titik f bertetangga dengan m Titik f(f) = bertetangga dengan f(m) =

Titik f bertetangga dengan g Titik f(f) = bertetangga dengan f(g) =

Titik g bertetangga dengan n Titik f(g) = bertetangga dengan f(n) =

Titik g bertetangga dengan o Titik f(g) = bertetangga dengan f(o) =

Titik g bertetangga dengan h Titik f(g) = bertetangga dengan f(h) =

Titik h bertetangga dengan p Titik f(h) = bertetangga dengan f(p) =

Titik h bertetangga dengan i Titik f(h) = bertetangga dengan f(i) =

Titik k bertetangga dengan l Titik f(k) = bertetangga dengan f(l) =

Titik m bertetangga dengan n Titik f(m) = bertetangga dengan f(n) =

Titik o bertetangga dengan p Titik f(o) = bertetangga dengan f(p) =

Titik merepresentasikan titik j pada graf R, sedangkan

merepresentasikan sekolah–sekolah pada kabupa-

ten Jember dan sisi-sisi di graf S merepresentasikan jalur pendistribusian dari

satu sekolah ke sekolah lainnya. Permasalahan ini dapat diselesaikan


87

menggunakan konsep bilangan terhubung pelangi dan bilangan terhubung

pelangi kuat, sebab apabila menggunakan konsep tersebut akan didapatkan

minimumjumlah kelompok pengawalan pendistribusian soal UN. Oleh karena

graf S tidak termasuk kedalam graf khusus yang dijelaskan pada bab

sebelumnya, sehingga untuk menentukan dan menggunakan

pertidaksamaan berikut.

.

Bilangan dan menyatakan minimal jumlah kelompok pengawalan

dan warna tiap sisi pada pewarnaan pelangi kuat menunjukkan kelompoknya.

Pertama-tama akan dicari . Untuk menentukan maka terlebih

dahulu dicari jarak tiap dua titik dan eksentrisitas dari setiap titi di S,seperti

yang dijelaskan pada tabel berikut.

Tabel 3.11. Jarak setiap dua titik di

Titik

Nilai

2 3 3 4 4 5 5

2 1 3 4 4 5 5

3 1 2 3 3 4 5

3 3 2 1 3 4 4

4 4 3 1 2 3 3

4 4 3 3 2 1 3

5 5 4 4 3 1 2

5 5 5 4 3 3 2

1 1 2 2 3 3 4 4

2 2 1 1 2 2 3 3

3 3 2 2 1 1 2 2

4 4 3 3 2 2 1 1

1 1 2 2 3 3 4 4

2 2 1 1 2 2 3 3

3 3 2 2 1 1 2 2

4 4 3 3 2 2 1 1


88

Tabel 3.12. Lanjutan dari Tabel 3.11 dan eksentrisitas tiap titik di

Titik

Nilai

1 2 3 4 1 2 3 4 5

1 2 3 4 1 2 3 4 5

2 1 2 3 2 1 2 3 5

2 1 2 3 2 1 2 3 4

3 2 1 2 3 2 1 2 4

3 2 1 2 3 2 1 2 4

4 3 2 1 4 3 2 1 5

4 3 2 1 4 3 2 1 5

1 2 3 1 2 3 4 4

1 1 2 2 1 2 3 3

2 1 1 3 2 1 2 3

3 2 1 4 3 2 1 4

1 2 3 4 1 2 3 4

2 1 2 3 1 1 2 3

3 2 1 2 2 1 1 3

4 3 2 1 3 2 1 4

Menurut Definisi 2.65 diperoleh bahwadiam , sehingga menurut

pertidaksamaan (2) diperoleh bahwa . Akan dibuktikan ,

asumsikan , berarti terdapat pewarnaan pelangi di S, dengan

himpunan warna {1, 2, 3, 4, 5} di mana 1=warna merah, 2=warna biru,

3=warna hijau, 4=warna jingga, 5=warna ungu, seperti yang ditunjukkan pada

Gambar3.28.

Gambar3.28. Graf S Dengan PewarnaanPelangi


89

Akan ditunjukkan bahwa terdapat pewarnaan pelangi-5 pada graf.

Perhatikan tabel-tabeldi bawah ini.

Tabel 3.13. Lintasan pelangi setiap dua titik di

Titik

Lintasan pelangi

Tabel 3.14. Lanjutan dari Tabel 3.13

titik

Lintasan pelangi


90


Titik

Lintasan pelangi


Titik

Lintasan pelangi


91

Tabel- tabel di atas menunjukkan bahwa untuk setiap dua titik dan di S

terdapat lintasan pelangi di S. Jadi terdapat pewarnaan pelangi di

dengan kata lain .

Oleh karena maka menurut pertidaksamaan (2) diperoleh

bahwa . Akan dibuktikan . Asumsikan bahwa .

Tabel 3.13-Tabel 3.16 juga menunjukkan bahwa lintasan pelangi untuk

setiap dua titik dan di S juga merupakan pelangi geodesik dengan

panjang , sehingga pewarnaan pelangi-5 juga merupakan pewarnaan

pelangi kuat-5.

Jadi . Oleh karena graf R S

maka .Apabila dihubungkan dengan permasalahan

pendistribusian soal UN dapat disimpulkan bahwa jumlah minimal kelompok

pengawalan pendistribusian soal UN ke seluruh sekolah di kabupaten Jember

adalah 5 kelompok danwarna-warna pada pewarnaan pelangi-5 menyatakan

kelompok pengawalan, di mana warna 1=kelompok 1, warna 2=kelompok 2,

warna 3=kelompok 3, warna 4=kelompok 4 dan warna 5=kelompok 5, seperti

pada Gambar 3.29.


92

Gambar3.29. Jalur Pendistribusian Soal UNKeSekolah-Sekolah

Contoh 3.36

Komisi pemilihan umum (KPU) merilis tahapan Pemilihan Kepala Daerah

(PILKADA) serentak pada tahun 2017. PILKADA gelombang kedua serentak

dilakukan pada tahun 15 Februari 2017. Salah satu Kota yang melakukan

PILKADA adalah Kota Bekasi. KPU Kota Bekasi menargetkan akan selesai

mendistribusikan kertas suara selesai sehari sebelum PILKADA. Pada Kota

Bekasi kertas suara akan didistribusikan pada 12 kecamatan. Kertas suara ini

bersifat rahasia sehingga membutuhkan tim pengawalan pendistribusan yang

terdiri dari unsur Polres, Satpol PP, Camat, Panitia Pengawas Pemilu

(PANWASLU), KPU Bekasi. Misal jalur untuk menjangkau kecamatan-

kecamatan direpresentasikan pada graf Xdi manaP merupakan pusat

penyimpanan kertas suara dan titik awal pendistribusian kertas suara,

sedangkan titik A, B, C, D, E, F, G, H, I, K mewakili kecamatan-kecamatan di

Kota Bekasi . Permasalahan yang muncul adalah adalah: Bagaimana cara

menentukkan banyaknya kelompok pengawalan pendistribusian kertas suara?


93

Gambar 3.30. Graf X

Penyelesaian:

Gambar 3.31. Graf

Diberikan graf seperti pada gambar di atasdan didefinisikanfungsi

dengan , , , , ,

, , , , dan .

Dapat ditunjukkan bahwa f adalah fungsi bijektif dari ke seperti

pada Gambar 3.32.


94

Gambar 3.32.Fungsi Bijektif Dari Himpunan V(X) Ke V( )

Kemudian dapat ditunjukkan untuk setiap dua titik u dan v di X, u dan v

bertetangga jika dan hanya jika f(u)dan f(v) bertetangga di , yang

dijelaskan pada tabel di bawah ini. Jadi graf .

Tabel 3.10. Dua titik u dan v yang bertetangga di X dan dua titik f(u)dan f(v)

yang bertetangga di

Pada graf X Para graf

Titik A bertetangga dengan B Titik f(A) = bertetangga dengan f(B) =

Titik B bertetangga dengan C Titik f(B) = bertetangga dengan f(C) =

Titik C bertetangga dengan D Titik f(C) = bertetangga dengan f(D) =

Titik D bertetangga dengan D Titik f(D) = bertetangga dengan f(E) =

Titik E bertetangga dengan F Titik f(E) = bertetangga dengan f(F) =

Titik F bertetangga dengan G Titik f(F) = bertetangga dengan f(G) =

Titik G bertetangga dengan H Titik f(G) = bertetangga dengan f(H) =

Titik H bertetangga dengan I Titik f(H) = bertetangga dengan f(I) =

Titik I bertetangga dengan J Titik f(I) = bertetangga dengan f(J) =

Titik J bertetangga dengan K Titik f(J) = bertetangga dengan f(K) =

Titik K bertetangga dengan L Titik f(K) = bertetangga dengan f(L) =


95

Titik vdi merepresentasikan titik P diX, sedangkan titik

merepresentasikan kecamatan di Kota

Bekasi dan sisi-sisi di graf Y merepresentasikan jalur pendistribusian dari satu

kecamatan ke kecamatan lain.Permasalahan pendistribusian kertas suara

PILKADA dapat diselesaikan menggunakan konsep bilangan terhubung

pelangi dan bilangan terhubung pelangi kuat, sebab apabila menggunakan

konsep tersebut akan didapatkan minimum jumlah kelompok pengawalan

pendistribusian kertas suara.Pada permasalahan ini bilangan rc(X) dan src(X)

menyatakan minimum jumlah kelompok pengawalan pendistribusian kertas

suara.

Selanjutnya akan dicari rc(X) dan src(X), karenaX Y sehingga

rc(X)=rc( ) dan src(X)=src( ). Menurut Teorema 3.27 diperoleh bahwa

rc( )=3, sehingga terdapat pewarnaan pelangi pada , dengan

himpunan warna {1, 2, 3},di mana 1= warna merah, 2=warna biru, 3=warna

hijau, seperti pada Gambar 3.33.

Gambar 3.33. Graf Dengan Pewarnaan Pelangi


96

Sedangkan menurut Teorema 3.29 diperoleh bahwa ,

sehingga terdapat pewarnaan pelangi kuat pada dengan himpunan

warna {1, 2, 3, 4} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau dan

4=warna unguseperti pada Gambar 3.34.

Gambar 3.34. Graf Dengan Pewarnaan Pelangi Kuat

Berdasarkan perhitungan sebelumnya didapatkan rc(X)=3 dan src(X)=4. Pada

permasalahan pendistribusian kertas suara rc(X)=3 menyatakan bahwa minimum

jumlah kelompok pengawal pendistribusian kertas suara adalah 3 kelompok.

Sedangkan src(X)=4 menyatakan bahwa minimum jumlah kelompok pengawal

pendistribusian kertas suara adalah 4 kelompok. Jadi untuk menyelesaikan

persoalan pendistribusian kertas suara akan lebih baik menggunakan bilangan

terhubung pelangi kuat karena akan lebih cepat mendistribusikan surat

menggunakan minimal 4 kelompok pengawalan dibanding 3 kelompok

pengawalan.Selanjutnya warna-warna pada pewarnaan pelangi-4 menunjukkan

kelompok pengawalan pendistribusian kertas suara di mana warna 1=kelompok 1,


97

warna 2=kelompok 2, warna 3=kelompok 3 dan warna 4=kelompok 4, seperti

pada gambar berikut.

Gambar 3.35. Jalur Pendistribusian Kertas Suara Dilengkapi Kelompok

Pengawalan Pendistribusian


98

BAB IV

PENUTUP

Pada bab ini dituliskan kesimpulan dari pembahasan bab-bab sebelumnya,

serta saran bagi penelitian selanjutnya.

A. Kesimpulan

Misalkan G adalah graf terhubung tak trivial.Bilangan keterhubungan

pelangi kuat pada grafGmerupakan bilangan bulat positif terkecil

sedemikian sehingga terdapat pewarnaan pelangi kuat padaG.

Untuk graf terhubung tak trivial dalam skripsi ini telah dibuktikan

beberapateorema:

Untuk menunjukkan hubungan antara diameter graf, bilangan

keterhubungan pelangi, bilangan keterhubungan pelangi kuat dan

ukuran graf, yaitu

.

Untuk menentukan apabila diketahui ,

yaitu

jika dan hanya jika .

Sedangkan untuk graf- graf khusus yang digunakan dalam skripsi ini telah

dibuktikan beberapa teorema untuk menentukan bilangan keterhubungan

pelangi kuat antara lain:


99

Untuk graf pohon: Misalkan adalah graf terhubung tak trivial

dengan ukuran , maka

jika dan hanya jika adalah sebuah pohon.

Untuk graf siklus: Misalkan adalah graf siklus dengan banyak titik

di mana , maka

.

Untuk graf roda, bilangan keterhubungan pelangi pada graf roda

untuk adalah

.

Untuk graf bipartit,bilangan keterhubungan pelangi kuat dari graf

bipartit untuk suatu bilangan bulat s dant dengan adalah

.

Dalam kehidupan sehari-hari salah satu penerapan bilangan

keterhubungan pelangi kuat yang dibahas dalam skripsi ini yaitu pada

pendistribusian barang yang bersifat rahasia sehingga membutuhkan

kelompok pengawalan keamanaan, seperti soal UN dan kertas suara

PILKADA. Pada pendistribusian barangbilangan keterhubungan pelangi

kuat berguna dalam menentukan jumlah kelompok pengawalan.


100

B. Saran

Bilangan keterhubungan pelangi kuat yang dibahas dalam skrpsi ini

merupakan bilangan keterhubungan pelangi kuat untuk graf dengan ukuran

kecil dan tidak semua bilangan pelangi tehubung kuat pada graf dibahas

dalam skripsi ini,sehingga masih terbuka untuk diteliti lebih lanjut

khususnya untuk graf dengan ukuran besar.

Selain itu sampai saat skripsi ini selesai ditulis, belum ada literatur

tentang algoritma untuk memudahkan mencari bilangan keterhubungan

pelangi suatu graf, sedangkan secara umum cukup sulit untuk menentukan

bilangan keterhubungan kuat terutama bila grafnya berukuran besar,

sehingaa masih terbuka kesempatan meneliti algoritma untuk mencari

bilangan keterhubungan pelangi kuat khususnya untuk graf dengan ukuran

besar.


101

DAFTAR PUSTAKA

Buckley, F. and Lewinter, M. (2003). A Friendly Introduction To Graph

Theory.New Jersey: Pearson Education Inc.

Chartrand, G. and Zhang, P. (2009). Chromatic Graph Theory. New York: CRC

Press Company.

Chartrand, G.,Johns, G. L., McKeon, K.A. and Zhang, P. (2008).Rainbow

Connection in graphs.Math.Bohemica, 133(2): 85-98.

Dafik. (2015). Teori Graf, Aplikasi dan Tumbuhnya Keterampilan Berfikir

Tingkat Tinggi. Pidato Pengukuhan Guru Besar. Universitas Jember.

Epp, S.S. (2010). Discrete Mathematics with Applications.Fourth Edition.

Boston: Brooks/Cole Cengage Learning.

Jek, J.S. (2002). Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer.Edisi

Kedua. Yogyakarta: Andi Offset.

Johnsonbaugh,R. (1997).Discrete Mathematics. New Jersey: Prentice Hall Inc.

Susilo, F. (2012). Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.


Documents

BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI KUAT …pewarnaan pelangi-k pada G disebut bilangan keterhubungan pelangi. Bilangan keterhubungan pelangi dari G dinotasikan dengan (Chatrand dan Zhang,