Bienvenue sur la présentation de la dérivée de la composée de

deux fonctions dérivables

Présenté par Guillaume Delestrait.

Calcul de la dérivée

• Prenons 2 fonctions dérivables f et g.

• Quand on observe le domaine de la fonction g o f, on constate que le taux d ’accroissement de la fonction est:

(g o f)(x) - (g o f)(a)

m(x) =

x - a

• Multiplions cette fonction par un 1 bien choisi:

g[f(x)] - g[f(a)] f(x) - f(a)

m(x) = .

x - a f(x) - f(a)

Ce qui nous donne:

g[f(x)] - g[f(a)] f(x) - f(a)

m(x) = .

f(x) - f(a) x - a

• La dérivée de la fonction g o f en a est le nombre:

g[f(x)] - g[f(a)] f(x) - f(a)

(gof)’(a) = lima . lima

f(x) - f(a) x - a

En la travaillant un peu, nous obtenons:

g(x) - g[f(a)] f(x) - f(a)

(gof)’(a) = limf(a) . lima x - f(a) x -a

• Et en considérant que:

lim x a = lim f(x) f(a) = lim X f(a)

• Nous pouvons écrire que:

(gof)’(a) = g’[f(a)] . f’(a)

• Comme f ’(a) est la dérivée de f calculée en a , nous en déduirons que g ’[f(a)] est la dérivée de g calculée en f(a).

• Nous en déduirons donc que:

(gof)’(x) = g’[f(x)] . f’(x)