1

Trường ĐHQN Khoa Toán

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 4

(Số tín chỉ: 3) Dành cho sinh viên : Khoa Toán Hệ : Sư phạm Khóa : 33 Năm học : 2011-2012 Giảng viên : Nguyễn Thị Phương Lan

2

Chương I: TÍCH PHÂN BỘI

$1 TÍCH PHÂN 2-LỚP

1.1 Định nghĩa tích phân 2-lớp: 1.1.1 Khái niệm về miền đo được:

Miền đa giác là miền đo được (có diện tích). Giả sử D là một miền phẳng bị chặn, được giới hạn bởi một hay một số hữu hạn đường cong Jordan đóng.

Gọi Q là một miền đa giác chứa trong D, S(Q) là diện tích của nó. Gọi Q’ là một miền đa giác chứa D, S(Q’) là diện tích của nó.

Giả thiết thêm biên của D và biên của Q, Q’ không có điểm chung. Tập hợp các miền đa giác Q, Q’ là khác rỗng và vô hạn. Do đó tập hợp các giá trị S(Q), S(Q’) là khác rỗng và vô hạn. {S(Q)} bị chặn trên bởi diện tích của một đa giác Q’ nào đó

( ){ }P sup S Q+⇒ ∃ = . {S(Q’)} bị chặn dưới bởi diện tích của một đa giác Q nào đó

( ){ }P inf S Q'−⇒ ∃ = . P , P+ − lần lượt gọi là diện tích trên, dưới của D.

Ta có ( ) ( )Q,Q': S Q P P S Q'+ −∀ ≤ ≤ ≤ . 1. Định nghĩa. Nếu ( )P P S D+ −= = thì D được gọi là miền đo được (có diện tích) và số S(D) được gọi là độ đo (diện tích) của D. Từ định nghĩa về miền đo được ta có các kết quả sau: a) D đo được 0ε⇔ ∀ > bé tùy ý, tồn tại các miền đa giác Q D,Q' D⊂ ⊃ sao cho ( ) ( )S Q' S Q ε− < . b) D đo được ⇔ tồn tại hai dãy các miền đa giác { } { }n nQ , Q' ; n nQ D,Q' D, n⊂ ⊃ ∀ sao cho ( ) ( ) ( )( )n nn n

limS Q' limS Q S D→∞ →∞

= = .

c) D đo được ⇔ tồn tại hai dãy các miền đo được { } { }n nD , D' ; nD D⊂ , nD' D⊃ , n∀ sao cho

( ) ( ) ( )( )n nn nlimS D' limS D S D

→∞ →∞= = .

2. Tính chất của miền đo được. Giả sử 1 2 1 2 1 2D D,D D, D = D D ;D ,D⊂ ⊂ ∪ không có điểm trong chung. Nếu

1 2D ,D đo được thì D đo được và ( ) ( ) ( )1 2S D = S D S D+ . 3. Ví dụ về miền đo được. Định nghĩa. Đường cong (C) được gọi là đường cong có diện tích - không (đường cong đo được) nếu 0ε∀ > bé tùy ý , tồn tại miền đa giác Q chứa (C) sao cho

( )S Q ε< .

3

Đối với miền phẳng D ta có các kết quả sau: D đo được ⇔ biên D∂ của nó có diện tích – không.

Định lý. Nếu đường cong (C) có một trong các dạng dưới đây thì (C) là đường cong có diện tích - không.

a) y = f(x), [ ]x a ;b∈ , trong đó f(x) có đạo hàm liên tục trên [a ; b]. b) x = g(y), [ ]y c;d∈ , trong đó g(y) có đạo hàm liên tục trên [c ; d]. c) x = x(t), y = y(t), [ ]t a ;b∈ , trong đó x(t), y(t) có đạo hàm liên tục trên [a ; b] và thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) [ ]2 2x ' t y ' t 0, t a ;b+ ≠ ∀ ∈ .

Hệ quả. Nếu biên của D gồm một số hữu hạn các đường có dạng a), b), c) thì D là miền đo được. 4. Tương tự, có thể xây dựng được khái niệm độ đo (thể tích) của miền 3T ⊂ R dựa vào thể tích khối đa diện. Nếu T được giới hạn bởi một số hữu hạn các mặt z = z(x,y), ( )x, y D∈ trong đó z(x,y) là hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong D thì miền T đo được. 1.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp:

1.2.1 Giả sử D là miền phẳng, đo được, bị chặn. Ta gọi đường kính của miền D là supremum của các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc D.

( ) ( )M,M ' D

d D sup dist M,M'∈

=

Định nghĩa. Tập hợp các miền phẳng đo được 1 2 nD ,D ,...,D được gọi là một phép phân hoạch π của miền D, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

a) n

i ii 1

D D , D D , i 1,n=

= ⊂ ∀ =U .

b) Với i ji j,D và D∀ ≠ không có điểm trong chung. Ta thấy π chia D thành n miền con đôi một không có điểm trong chung. 1.2.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp:

Cho hàm số f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn và đo được D. Thực hiện một phép phân hoạch π chia D thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung 1 2 nD ,D ,...,D . Gọi iD∆ là diện tích của mỗi miền con ( )iD i 1,n= ,

( )id D là đường kính của iD , ( ) ( )i1 i nd max d Dπ

≤ ≤= là đường kính phân hoạch. Trong

mỗi miền con iD chọn một cách tùy ý điểm ( )i i iN ,ξ η . Lập tổng tích phân:

( ) ( )n n

i i i i ii 1 i 1

f N D f , Dπσ ξ η= =

= ∆ = ∆∑ ∑ .

Ta thấy πσ phụ thuộc vào π và các điểm chọn ( )i i iN ,ξ η . Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

( )d 0I lim ππ

σ→

=

4

mà giới hạn đó không phụ thuộc vào π và các điểm chọn ( )i i iN ,ξ η thì I được gọi là tích phân 2-lớp (tích phân Riemann) của hàm số f(x,y) lấy trong miền D và ký hiệu là

( )D

f x, y dxdy∫∫ .

Khi đó hàm số f(x,y) được gọi là khả tích (Riemann) trong miền D. Chú ý. Tương tự như hàm một biến, tính bị chặn của hàm số f(x,y) là điều kiện cần để nó khả tích. 1.2.3 Tổng Darboux. Cho hàm số bị chặn f(x,y) trong miền D. Đối với mỗi phân hoạch π chia D thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung

1 2 nD ,D ,...,D . Đặt

( ) ( )n n

i i i ii 1 i 1

s m D ; S M Dπ π= =

= ∆ = ∆∑ ∑ và ( ) ( ) ( )n

i ii 1

S s D=

= − = ∆∑ω π π π ω

trong đó

( )( )

( )( )

i ii ix,y D x,y D

m inf f x, y ; M sup f x, y , i 1,n∈ ∈

= = =

i i iM m , i 1,nω = − = và gọi là dao độ (dao động) của hàm số f(x,y) trong miền iD . Các tổng ( ) ( )s , Sπ π lần lượt được gọi là tổng dưới và tổng trên Darboux của f(x,y) ứng với phân hoạch π . Tập hợp các tổng dưới ( ){ }s π và tổng trên ( ){ }S π Darboux là các tập khác rỗng và bị chặn trên và dưới. Định nghĩa. Đại lượng ( ){ }*I sup s π= được gọi là tích phân dưới Darboux. Đại lượng ( ){ }*I inf S π= được gọi là tích phân trên Darboux. Định lý. Nếu *

*I I I= = thì f(x,y) khả tích trong miền D. 1.2.4 Tiêu chuẩn khả tích. Định lý 1. Giả sử 2D ⊂ R là miền đóng, bị chặn và đo được. Hàm số bị f(x,y) bị chặn trong D là khả tích nếu và chỉ nếu

( )

( )( )

n

i id 0 d 0 i 1lim lim D 0

→ →=

= ∆ =∑π πω π ω .

Chứng minh. ( )⇒ Vì f(x,y) khả tích nên *

*I I I= = ⇔ 0ε∀ > bé tùy ý đều 0 :δ π∃ > ∀ mà ( )d π δ< thì

( )S I2ε

π < + và ( )s I2ε

π > − (tính chất của infimum và supremum)

Vậy ( ) ( ) ( )

( )( )

d 0S s lim 0

πω π π π ε ω π

→= − < ⇒ = .

5

( )⇐ Giả sử có ( )

( )d 0lim 0π

ω π→

= . Khi đó từ các bất đẳng thức ( ) ( )**s I I S ,π π π≤ ≤ ≤ ∀

mà ( )d π δ< ( ) ( )**I I S sπ π ε⇒ − ≤ − < với mọi ( )d π δ< .

Vậy **I I I= = và f(x,y) khả tích trong D. W

1.2.5 Các lớp hàm khả tích. Định lý 2. Giả sử 2D ⊂ R là miền đóng, bị chặn và đo được, f(x,y) liên tục trong D khi đó f(x,y) khả tích trong D. Chứng minh. Dùng tiêu chuẩn khả tích.

Vì f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được D nên f(x,y) bị chặn và liên tục đều trong D ( )0, 0ε δ δ ε⇔ ∀ > ∃ = > sao cho trong miền con bất kỳ của D

có đường kính bé hơn δ thì dao độ ( )i S Dε

ω < , trong đó S(D) là diện tích của D.

Khi đó với mỗi phân hoạch π mà ( )d π δ< ta có

( ) ( ) ( )

n n

i i ii 1 i 1

D D S DS D S D

ε εω ε

= =

∆ < ∆ = =∑ ∑

⇒( )

( )d 0limπ

ω π→

=( )

n

i id 0 i 1

lim D 0π

ω→

=

∆ =∑ .

Vậy f(x,y) khả tích trong D. Định lý 3. Giả sử 2D ⊂ R là miền đóng, bị chặn và đo được, f(x,y) liên tục trong D, chỉ gián đoạn trên một số hữu hạn đường có diện tích – không khi đó f(x,y) khả tích trong D. Chứng minh. Dùng tiêu chuẩn khả tích.

Lấy 0ε > bé tùy ý. Do f(x,y) bị chặn trong D nên K 0 : f (x, y) K,∃ > ≤ ( )x, y D∀ ∈ . Giả sử f(x,y) chỉ gián đoạn trên một đường (C) có diện tích – không. Phủ (C)

bởi hình đa giác Q có diện tích ( )S Q4Kε

< .

Đặt ° °D D \ int Q D= ⇒ là miền đóng, bị chặn và đo được, nên f(x,y) liên tục đều trong °D . Chọn 0δ > đủ bé sao cho với mỗi miền con °

iD D⊂ có đường kính ( )id D δ< thì dao độ của f(x,y) trong miền đó là

°( )°( )i , S D

2S D<

εω là diện tích của °D .

Xét phân hoạch π sao cho 1D Q≡ , các miền con °2 3 nD ,D ,...D D⊂ có đường

kính ( )id D δ< , i 2,n= . Khi đó

( ) ( ) ( ) °( )n n

1 1 i i 1 1 ii 2 i 2

D D M m S Q D2S D

εω π ω ω

= =

= ∆ + ∆ < − + ∆∑ ∑

6

°( )°( )2K S D

4K 2S Dε ε

ε< + = .

Vậy f(x,y) khả tích trong miền D. W Ví dụ. Dùng định nghĩa tính tích phân

( ){ }D

I xydxdy,D x,y : 0 x 1,0 y 1= = ≤ ≤ ≤ ≤∫∫ .

1.2.6 Các tính chất của tích phân 2-lớp. (tích phân 2-lớp có các tính chất tương tự như tích phân xác định). Giả sử các hàm dưới dấu tích phân khả tích trong miền lấy tích phân. 1. ( )

D

dxdy S D=∫∫ , trong đó S(D) là diện tích miền D.

2. ( ) ( ) ( ) ( )D D D

f x, y g x, y dxdy f x, y dxdy g x, y dxdy; , constα β α β α β± = ± = ∫∫ ∫∫ ∫∫ .

3. Giả sử 1 2 1 2 1 2D D,D D, D = D D ;D ,D⊂ ⊂ ∪ không có điểm trong chung, f(x,y) khả tích trong các miền 1 2D ,D khi đó f(x,y) khả tích trong D và

1 2D D D

f (x,y)dxdy f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy= +∫∫ ∫∫ ∫∫ .

4. Nếu f(x,y) khả tích trong D thì ( )f x,y cũng khả tích trong D và

D D

f (x, y)dxdy f (x,y) dxdy≤∫∫ ∫∫ .

5. Nếu ( ) ( )D

f x, y 0 , x,y D f (x, y)dxdy 0≥ ∀ ∈ ⇒ ≥∫∫ .

Nếu ( ) ( ) ( )D D

f x, y g x, y , x, y D f (x, y)dxdy g(x, y)dxdy≤ ∀ ∈ ⇒ ≤∫∫ ∫∫ .

6. (Định lý giá trị trung bình) Nếu f(x,y) liên tục trong D thì ( ) ( ) ( )

D

, D : f (x,y)dxdy f , .S Dξ η ξ η∃ ∈ =∫∫ .

$2 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN 2-LỚP

2.1 Tích phân 2-lớp trong hệ Đề các. Để tính tích phân 2-lớp ta có thể đưa tích phân 2-lớp về tích phân lặp. 2.1.1 Các tích phân lặp. Các tích phân dưới đây được gọi là các tích phân lặp.

1. ( ) ( ) ( ) ( )b d d b

a c c a

dx f x, y dy 1 2. dy f x,y dx 2∫ ∫ ∫ ∫

3. ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( )2 2

1 1

y x x yb d

a y x c x y

dx f x, y dy 3 4. dy f x, y dx 4∫ ∫ ∫ ∫

7

trong đó các hàm ( ) ( )1 2y x , y x liên tục trên [a;b], các hàm ( ) ( )1 2x y ,x y liên tục trên [c;d]. Điều kiện để các tích phân lặp tồn tại:

- Nếu hàm f(x,y) liên tục trong ( ){ }D x, y : a x b,c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ thì các tích

phân (1) và (2) tồn tại và ( ) ( )b d d b

a c c a

dx f x, y dy dy f x, y dx=∫ ∫ ∫ ∫ .

- Nếu hàm f(x,y) liên tục trong ( ) ( ) ( ){ }1 2D x, y : a x b,y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ thì tích phân (3) tồn tại.

- Tương tự nếu hàm f(x,y) liên tục trong ( ) ( ) ( ){ }1 2D x, y : c y d,x y x x y= ≤ ≤ ≤ ≤ thì tích phân (4) tồn tại. 2.1.2 Định lý Fubini. (1870 – 1943 nhà toán học Ý) Định lý 1. Nếu hàm f(x,y) liên tục trong ( ) ( ) ( ){ }1 2D x, y : a x b,y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ và

nếu các hàm ( ) ( )1 2y x ,y x liên tục trên [a;b] thì tồn tại tích phân ( )D

f x, y dxdy∫∫ và

( ) ( )( )

( )2

1

y xb

D a y x

f x, y dxdy dx f x, y dy=∫∫ ∫ ∫ .

Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau.

Bổ đề. Nếu ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( )2

1

y xb

a y x

m f x, y M , x,y Dthì m.S D dx f x, y dy M.S D≤ ≤ ∀ ∈ ≤ ≤∫ ∫ ,

trong đó S(D) là diện tích của D. Chứng minh Định lý1.

Đặt ( )( )

( )2

1

y xb

a y x

I dx f x, y dy= ∫ ∫ , I tồn tại.

Vì f (x,y) liên tục trong D nên tích phân ( )D

f x, y dxdy∫∫ cũng tồn tại. Ta cần

chứng minh I = ( )D

f x, y dxdy∫∫ .

Chọn phân hoạch π xác định bởi các phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )0 1 n 0 1 n 0 1 nx x ,x x ,..., x x a x x ... x b và y x , y x ,..., y xϕ ϕ ϕ= = = = < < < = = = =

trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 1 2 11x y x , x y x y x y x ,...,n

ϕ ϕ= = + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n 1 2 1 2nx y x y x y x y xn

ϕ = + − = .

8

Xét ( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )j2 2k k

1 k 1 1 k 1 j 1

xy x y xx xb n n n

k 1 k 1 j 1a y x x y x x x

I dx f x, y dy dx f x, y dy dx f x, y dyϕ

ϕ− − −= = =

= = =∑ ∑∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Vì f(x,y) liên tục trong các miền con ( ) ( ) ( ){ }k j k 1 k j 1 jD x,y : x x x , x y x− −= ≤ ≤ ≤ ≤ϕ ϕ nên nó đạt giá trị lớn nhất kjM và bé nhất kjm trong miền đó ( ) ( )kj kj kjm f x, y M , x, y D⇒ ≤ ≤ ∀ ∈ . Từ bổ đề

( )( )

( )jk

k 1 j 1

xx

kj kj kj kj kjx x

m D dx f x,y dy M D , ( Dϕ

ϕ− −

⇒ ∆ ≤ ≤ ∆ ∆∫ ∫ là diện tích của kjD ) .

Vậy

( ) ( )n n n n

kj kj kj kjk 1 j 1 k 1 j 1

m D I M D s I Sπ π= = = =

∆ ≤ ≤ ∆ ⇔ ≤ ≤∑∑ ∑∑ . (*)

Mặt khác vì f(x,y) khả tích trong D nên ( )

( )( )

( ) ( )d 0 d 0

D

lim s lim S f x,yπ π

π π→ →

= = ∫∫ .

Vậy từ (*) ta có

( )( )

( )

( )2

1

y xb

a y x D

I dx f x, y dy f x, y dxdy= =∫ ∫ ∫∫ . W

Nhận xét. Trong định lý nếu thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì ta có

1. Định lý 1’. Nếu hàm f(x,y) liên tục trong ( ) ( ) ( ){ }1 2D x, y : c y d,x y x x y= ≤ ≤ ≤ ≤

và nếu các hàm ( ) ( )1 2x y ,x y liên tục trên [c;d] thì tồn tại tích phân

( )D

f x, y dxdy∫∫ và

( ) ( )( )

( )2

1

x yd

D c x y

f x,y dxdy dy f x,y dx=∫∫ ∫ ∫ .

2. Trong trường hợp miền D không thỏa mãn các điều kiện của định lý thì cần chia D thành hợp hữu hạn miền, đôi một không có điểm trong chung, thỏa mãn các điều kiện của định lý. 3. Nếu D là hình chữ nhật ( ){ }D x, y : a x b,c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ và hàm f(x,y) liên tục trong D thì

( ) ( ) ( )b d d b

D a c c a

f x,y dxdy dx f x,y dy dy f x,y dx= =∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Đặc biệt nếu ( ) ( ) ( )1 2f x, y f x .f y= và D là hình chữ nhật thì

( ) ( ) ( )b d

1 2D a c

f x,y dxdy f x dx. f y dy=∫∫ ∫ ∫ .

9

2.1.3 Các ví dụ. Ví dụ 1. Đưa tích phân 2-lớp I = ( )

D

f x, y dxdy∫∫ về tích phân lặp theo các thứ tự khác

nhau trong đó : a) D là hình thang với các đỉnh O(0;0),A(2;0),B(1;1) và C(0;1).

b) D giới hạn bởi: 1x 2,y x, yx

= = = .

Ví dụ 2. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân lặp sau :

a) ( )22 4 x

1 0

I dx f x, y dy−

= ∫ ∫ , b) ( )2y0

1 2y 1

I dy f x, y dx− − −

= ∫ ∫ .

Ví dụ 3. Tính tích phân sau: ( )2 2

D

x y dxdy+∫∫ , D giới hạn bởi:

y = x, y = x + 1, y = 1, y = 3. 2.2 Đổi biến số trong tích phân 2-lớp. 2.2.1 Công thức đổi biến số trong tích phân 2-lớp. Giả sử D Oxy⊂ là miền đóng, bị chặn và đo được. Xét tích phân I = ( )

D

f x, y dxdy∫∫ , trong đó f(x,y) liên tục trong D.

Thực hiện một phép đổi biến số x = x(u,v), y = y(u,v), ( ) *u,v D∈ (5) thỏa mãn các điều kiện sau : 1. Các hàm x(u,v), y(u,v) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được *D O'uv⊂ . 2. Các công thức (5) xác định một song ánh từ miền *D lên miền D. 3. Định thức hàm Jacobi

( )( ) ( )u u *

v v

x ' y 'D x, yJ 0, u,v D

x ' y 'D u,v= = ≠ ∀ ∈ (có thể trừ một số điểm).

Khi đó ta có công thức đổi biến số trong tích phân 2-lớp

( ) ( ) ( )*D D

f x,y dxdy f x u,v , y u,v J dudv= ∫∫ ∫∫ . (6)

Ví dụ. Tính các tích phân a) ( )

D

2x 3y dxdy+∫∫ , D giới hạn bởi:

y = -x +1, y = -x + 3, y = 2x-1, y =2x-3.

b)x yx y

D

e dxdy,D : x 0, y 0,x y 1−+ ≥ ≥ + ≤∫∫ .

2.2.2 Tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực. Công thức liên hệ của điểm M trong hệ tọa độ Đề các (x,y) và hệ tọa độ cực ( )r,ϕ là x rcos ,y rsin , r 0,0 2= = ≥ ≤ ≤ϕ ϕ ϕ π .

10

Nếu r 0,0 2ϕ π> ≤ < thì các công thức trên là một song ánh giữa tọa độ Đề các và tọa độ cực nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta có

( )( ) ( )r r *x ' y ' cos sinD x, y

J r 0, r, Dx ' y ' rsin rcosD r, ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

ϕ ϕϕ= = = = ≠ ∀ ∈

−(trừ tại gốc O(0,0)).

Từ công thức đổi biến số tổng quát (6) ta có công thức tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực ( ) ( )

*D D

f x, y dxdy f r cos ,r sin rdrdϕ ϕ ϕ=∫∫ ∫∫ (7)

Chú ý. - Công thức (7) vẫn đúng trong trường hợp D có chứa gốc tọa độ. - Nếu D có chứa gốc tọa độ hoặc bao quanh gốc tọa độ thì 0 2ϕ π≤ ≤ . - Công thức (7) thích hợp khi D là hình tròn, vành tròn hoặc một phần của hình tròn, vành tròn và hàm số dưới dấu tích phân có chứa biểu thức 2 2x y+ . Ví dụ 1. Chuyển sang tọa độ cực, rồi thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân lặp:

21 1 x

0 1 x

I dx f (x, y)dy−

−

= ∫ ∫ .

Ví dụ 2. Tính các tích phân :

a) 2 2

2 2D

dxdy ,D :1 x y 4,x 0,y 01 x y

≤ + ≤ ≥ ≥+ +∫∫ ,

b) ( )2 2 2 2

D

x y dxdy,D : x y 2x+ + ≤∫∫ .

c) 2 2 2 2 2 2

D

x y dxdy,D : x y 2y, x y 1,x 0,y 0+ + ≥ + ≤ ≥ ≥∫∫ .

2.2.3 Tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực mở rộng.

- Trong trường hợp D là hình elip 2 2

2 2x y 1a b

+ ≤ , vành elip hoặc một phần của

hình elip, vành elip có thể đổi biến số x a rcos ,y brsinϕ ϕ= = . - Trong trường hợp D là hình tròn tâm I(a,b) bán kính R, có thể đổi biến số

x a rcos ,y b rsinϕ ϕ= + = + . Ví dụ 4. Tính tích phân:

2 2 2 2

2 2 2 2D

x y x y1 dxdy,D : 1,x 0, y 0;a,b 0a b a b

− − + ≤ ≥ ≥ >∫∫ .

$3 TÍCH PHÂN 3-LỚP

3.1 Định nghĩa tích phân 3-lớp. Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đóng, bị chặn và đo được 3T ⊂ R . Thực hiện một phép phân hoạch π chia T thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung 1 2 nT ,T ,...,T . Gọi iT∆ là thể

11

tích của mỗi miền con ( )iT i 1,n= , ( )id T là đường kính của iT , ( ) ( )i1 i nd max d Tπ

≤ ≤= là

đường kính phân hoạch. Trong mỗi miền con iT chọn một cách tùy ý điểm ( )i i i iN x , y ,z . Lập tổng tích phân

( ) ( )n n

i i i i i ii 1 i 1

f N T f x , y ,z Tπσ= =

= ∆ = ∆∑ ∑ .

Ta thấy πσ phụ thuộc vào π và các điểm chọn ( )i i i iN x , y ,z . Định nghĩa. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

( )d 0

I lim ππσ

→=

mà giới hạn đó không phụ thuộc vào π và các điểm chọn ( )i i i iN x , y ,z thì ta nói I là tích phân 3-lớp (tích phân Riemann) của hàm số f(x, y, z) lấy trong miền T và ký hiệu là ( )

T

f x,y,z dxdydz∫∫∫ .

Khi đó hàm số f(x, y, z) được gọi là khả tích (Riemann) trong miền T. Tích phân 3-lớp cũng có các kết quả và tính chất tương tự như tích phân 2-lớp. 3.2 Cách tính tích phân 3-lớp. Tương tự như tích phân 2-lớp, phương pháp cơ bản để tính tích phân 3-lớp là đưa tích phân 3-lớp về tích phân lặp và tính liên tiếp 3 tích phân đơn. 3.2.1 Tích phân 3-lớp trong hệ Đề các.

Giả sử T 3⊂ R là miền đóng, bị chặn và đo được. Xét tích phân I = ( )

T

f x, y,z dxdydz∫∫∫ , trong đó f(x, y, z) liên tục trong T.

Gọi D(x,y) là hình chiếu của T lên mặt phẳng O(x,y). Nếu miền T được giới hạn bởi các mặt ( ) ( )1 2z z x, y ,z z x,y= = trong đó

( ) ( )1 2z x, y z x, y ,≤ ( ) ( )x, y D x,y∀ ∈ và là các hàm số liên tục trong D(x,y) thì

( )

( )( )

( )2

1

z x,y

D x,y z x,y

I dxdy f x, y,z dz= ∫∫ ∫ . (1)

- Nếu ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2D x, y x, y : a x b,y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ thì từ (1)

( )

( )

( )( )

( )2 2

1 1

y x z x,yb

a y x z x,y

I dx dy f x,y,z dz⇒ = ∫ ∫ ∫ .

- Nếu ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2D x, y x, y : c y d,x y x x y= ≤ ≤ ≤ ≤ thì từ (1)

( )

( )

( )( )

( )2 2

1 1

x y z x,yd

c x y z x,y

I dy dx f x,y,z dz⇒ = ∫ ∫ ∫ .

Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể xét đến hình chiếu của T lên các mặt phẳng tọa độ khác và ta có các tích phân lặp theo các thứ tự khác nhau.

12

Đặc biệt nếu T là hình hộp chữ nhật ( ){ }T x, y,z : a x b,c y d,e z f= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ thì

I = ( )b d f

a c e

dx dy f x, y,z dz∫ ∫ ∫ (2)

và ngoài ra có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân ở vế phải của (2) một cách tùy ý. Nếu ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3f x,y,z f x .f y .f z= và T là hình hộp chữ nhật thì

( ) ( ) ( )b d f

1 2 3a c e

I f x dx. f y dy. f z dz= ∫ ∫ ∫ .

Ví dụ. Tính các tích phân a)

T

xydxdydz,T : x 0,y 0,z 0,x y z 1≥ ≥ ≥ + + ≤∫∫∫ ,

b) 2 2 2

T

zdxdydz,T : 0 z R x y≤ ≤ − −∫∫∫ .

3.2.2 Đổi biến số trong tích phân 3-lớp. 1. Công thức đổi biến số trong tích phân 3-lớp.

Xét tích phân I = ( )T

f x, y,z dxdydz∫∫∫ , trong đó f(x, y, z) liên tục trong T.

Thực hiện một phép đổi biến số x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w); ( ) *u,v,w T∈ (3)

thỏa mãn các điều kiện sau: a) Các hàm x(u,v,w), y(u,v,w) và z(u,v,w) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được *T O'uvw⊂ . b) Các công thức (3) xác định một song ánh từ miền *T lên miền T. c) Định thức hàm Jacobi

( )( ) ( )

u u u*

v v v

w w w

x ' y ' z 'D x,y,z

J x ' y ' z ' 0, u,v,w TD u,v,w

x ' y ' z '= = ≠ ∀ ∈ (có thể trừ một số điểm).

Khi đó ta có công thức đổi biến số trong tích phân 3-lớp ( ) ( ) ( ) ( )

*T T

f x, y,z dxdydz f x u,v,w ,y u,v,w ,z u,v,w J dudvdw= ∫∫∫ ∫∫∫ . (4)

2. Tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ trụ. Tọa độ trụ của điểm ( )M x, y,z Oxyz∈ là bộ ba số ( )r, ,zϕ , trong đó( )r,ϕ là

tọa độ cực của M’(x,y) là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy. Giữa tọa độ Đề các và tọa độ trụ của điểm M có mối liên hệ x rcos ,y rsin ,z z ;r 0,0 2 , zϕ ϕ ϕ π= = = ≥ ≤ ≤ −∞ < < +∞ .

Nếu r 0, 0 2 , z> ≤ < − ∞ < < +∞ϕ π thì các công thức trên là một song ánh giữa tọa độ Đề các và tọa độ trụ, nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta có

13

( )( ) ( ) *

cos sin 0D x, y,z

J rsin rcos 0 r 0, r, ,z TD r, ,z

0 0 1

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

ϕ= = − = ≠ ∀ ∈ (trừ các điểm thuộc trục

Oz). Từ công thức đổi biến số tổng quát (4) ta có công thức tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ trụ

( ) ( )*T T

f x, y,z dxdydz f r cos ,r sin ,z rdrd dzϕ ϕ ϕ=∫∫∫ ∫∫∫ . (5)

Chú ý: - Công thức (5) vẫn đúng trong trường hợp T có chứa các điểm thuộc Oz. - Công thức (5) thích hợp khi T là hình trụ, nón, paraboloit tròn xoay hoặc các miền hình chiếu lên các mặt phẳng tọa độ là hình tròn, một phần của hình tròn. Ví dụ. Tính các tích phân

a) 2 2 2 2

T

z x y dxdydz,T : x y 2y,0 z a+ + ≤ ≤ ≤∫∫∫ .

b) ( )2 2 2 2 2

T

x y z dxdydz,T : x z y a+ + + ≤ ≤∫∫∫ .

3. Tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ cầu. Tọa độ cầu của điểm ( )M x, y,z Oxyz∈ là bộ ba số( )r, ,θ ϕ , trong đó r OM,=

( )Oz,OM ,θ =uur uuuur ( )Ox,OM'ϕ =

uuur uuuur, M’ là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy.

Giữa tọa độ Đề các và tọa độ cầu của điểm M có mối liên hệ x rsin cos , y rsin sin , z r cos ; r 0, 0 2 , 0= = = ≥ ≤ ≤ ≤ ≤θ ϕ θ ϕ θ ϕ π θ π .

Nếu r 0, 0 2 , 0> ≤ < ≤ <ϕ π θ π thì các công thức trên là một song ánh giữa tọa độ Đề các và tọa độ cầu, nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta có

( )( ) ( )2 *D x, y,z

J r sin 0, r, , TD r, ,

θ θ ϕθ ϕ

= = ≠ ∀ ∈ (trừ các điểm thuộc trục Oz).

Từ công thức đổi biến số tổng quát (4) ta có công thức tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ cầu

( ) ( )*

2

T T

f x, y,z dxdydz f r sin cos , rsin sin , rcos r sin dr d d=∫∫∫ ∫∫∫ θ ϕ θ ϕ θ θ θ ϕ . (6)

Chú ý: -Công thức (6) vẫn đúng trong trường hợp T có chứa các điểm thuộc Oz.

- Nếu T nằm hoàn toàn ở phía trên mặt phẳng Oxy thì 02π

θ≤ ≤ .

- Biểu thức 2 2 2x y z+ + trong hệ tọa độ cầu chính là 2r . - Công thức (6) thích hợp khi T là hình cầu, vành cầu hoặc một phần của hình cầu, vành cầu. Ví dụ : Tính các tích phân

a) ( )2 2 2 2 2 2

T

x y dxdydz,T : x y z R ,x 0, y 0,z 0;R 0+ + + ≤ ≥ ≥ ≥ >∫∫∫ ,

b) 2 2 2 2 2 2

T

x y z dxdydz,T : x y z z+ + + + ≤∫∫∫ .

14

$4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2-LỚP, 3-LỚP 4.1 Ứng dụng trong hình học. 4.1.1 Tính diện tích của hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đóng, bị chặn và đo được D được tính theo công thức

( )D

S D dxdy= ∫∫ .

Ví dụ. Tính diện tích của hình phẳng D giới hạn bởi các đường a) 2 2 2 2y 2px, y 2qx,x 2ry,x 2sy;0 p q,0 r s= = = = < < < < .

b) ( )2 2 2 2 3, 2 0 , ,2

x y ax x y ax a y x y x+ = + = > = = .

4.1.2 Tính diện tích của mặt. Giả sử (S) là một mặt trơn, có phương trình là z = f(x,y), trong đó f(x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền D là hình chiếu của (S) lên mặt phẳng Oxy. Khi đó diện tích của mặt (S) được tính theo công thức

2 2

D

S 1 p q dxdy= + +∫∫ , trong đó 2 2x yp z ' ,q z ' ,dS 1 p q dxdy= = = + + .

Ví dụ. Tính diện tích của phần mặt cầu 2 2 2x y z 4+ + = nằm trong mặt trụ 2 2x y 2x+ = .

4.1.3 Tính thể tích của vật thể. 1. Thể tích của vật thể đóng, bị chặn và đo được T 3⊂ R được tính theo công thức

( )T

V T dxdydz= ∫∫∫ .

2. Đặc biệt nếu T là vật thể hình trụ được giới hạn phía dưới bởi mặt ( )1z z x,y= , phía trên bởi mặt ( )2z z x, y= , trong đó các hàm ( ) ( )1 2z x, y và z x, y liên tục trong miền D là hình chiếu của T lên mặt phẳng Oxy, xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz và đường chuẩn là biên của D thì thể tích của T được tính theo công thức

( ) ( ) ( )2 1T D

V T dxdydz z x,y z x,y dxdy= = − ∫∫∫ ∫∫ .

Ví dụ. Tính thể tích của phần hình trụ 2 2 2x y ax+ = , 0a > nằm giữa paraboloid 2 2 2x y az+ = và mặt phẳng Oxy . 4.1 Ứng dụng trong vật lý. 4.1.1 Ứng dụng của tích phân 2-lớp trong vật lý.

Cho bản phẳng D không đồng chất có khối lượng riêng (tỉ khối) tại điểm M(x,y) D∈ là ( )x,yρ , giả thiết hàm ( )x,yρ liên tục trong miền D. Ta có

1. Khối lượng của bản phẳng D được tính theo công thức

D

m (x, y)dxdyρ= ∫∫ .

2. Tọa độ trọng tâm của bản phẳng D được tính theo công thức

15

G GD D

1 1x x (x, y)dxdy ; y y (x, y)dxdym m

ρ ρ= =∫∫ ∫∫ .

Đặc biệt: Nếu D là bản phẳng đồng chất thì

G GD D

1 1x xdxdy ; y ydxdyS(D) S(D)

= =∫∫ ∫∫ ,

trong đó S(D) là diện tích của miền D. Ví dụ. Cho bản phẳng D là tam giác vuông OAB có các cạnh góc vuông OA = a, OB = b. Khối lượng riêng tại mỗi điểm thuộc D bằng khoảng cách từ điểm đó đến cạnh OA. Tìm tọa độ trọng tâm của bản phẳng. 4.1.2 Ứng dụng của tích phân 3-lớp trong vật lý.

Cho vật thể T không đồng chất có khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) T∈ là ( )x, y,zρ , giả thiết hàm ( )x, y,zρ liên tục trong miền T. Ta có

1. Khối lượng của vật thể T được tính theo công thức ( )

T

m x,y,z dxdydzρ= ∫∫∫ .

2. Tọa độ trọng tâm của vật thể T được tính theo công thức

( ) ( ) ( )G G GT T T

1 1 1x x x,y,z dxdydz ; y y x,y,z dxdydz ; z z x, y,z dxdydzm m m

ρ ρ ρ= = =∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫. Đặc biệt. Nếu T là vật thể đồng chất thì

( ) ( ) ( )G G G

T T T

1 1 1x xdxdydz ; y ydxdydz ; z zdxdydzV T V T V T

= = =∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ,

trong đó V(T) là thể tích của miền T. Ví dụ 1.Tính khối lượng của vật thể T: 2 2 2 2 2a x y z b ,0 a b≤ + + ≤ < < . Biết rằng khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) T∈ bằng lập phương khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ. Ví dụ 2. Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón 2 2z x y= + và mặt cầu 2 2 2 1x y z+ + = .

Chương II TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT

$1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT 1.1 Một số khái niệm về đường cong:

Giả sử (C) là đường cong phẳng được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x = x(t), y = y(t) ; [ ]t a;b∈ (1)

16

Định nghĩa 1: Đường cong (C) được gọi là: 1. Đường cong Jordan ( đơn, không tự cắt ) nếu các hàm x(t), y(t) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn điều kiện ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2x t ,y t x t , y t ; t , t a;b , t t≠ ∀ ∈ ≠ .

Ngoài ra nếu ( ) ( )( ) ( ) ( )( )x a ,y a x b ,y b≡ thì (C) là đường cong đóng (kín). Ngược lại (C) được gọi là đường cong không đóng ( không kín). 2. Đường cong trơn nếu các hàm x(t), y(t) có đạo hàm liên tục trên [a;b] và thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) [ ]2 2x ' t y ' t 0, t a;b+ ≠ ∀ ∈ . 3. Đường cong trơn từng khúc nếu nó gồm hữu hạn cung trơn. Nhận xét: Trên đường cong (C) có thể xác lập một hướng nếu quy ước điểm

( ) ( )( )1 1M x t ,y t đứng trước điểm ( ) ( )( ) [ ]2 2 1 2 1 2N x t , y t t t , t , t a;b⇔ < ∀ ∈ . Khi đó

điểm ( ) ( )( )A x a ,y a= gọi là điểm đầu, điểm ( ) ( )( )B x b , y b= gọi là điểm cuối. Đường cong phẳng (C) trên đó xác lập một hướng được gọi là đường cong có

hướng. Đường cong (C) với điểm đầu A, điểm cuối B còn được ký hiệu là C(A,B). Nhà toán học Jordan (Pháp) đã chứng minh: mọi đường cong phẳng, đóng,

Jordan (C) đều chia mặt phẳng thành hai miền khác nhau với biên chung (C), một miền bị chặn (phần trong), một miền không bị chặn (phần ngoài).

Giả sử (C) là đường cong phẳng, đóng, Jordan. Ta quy ước hướng dương là hướng khi một điểm chuyển động trên (C) theo hướng đó thì phần trong của (C) luôn nằm ở bên trái. Hướng ngược lại gọi là hướng âm. Chú ý: 1. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Đề các

( ) [ ]y y x ,x a;b= ∈ , có thể tham số hóa (C) bằng cách đặt ( ) [ ]x t,y y t ; t a;b= = ∈ . 2. Đường cong không gian (ghềnh) được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t) ; [ ]t a;b∈ cũng được định nghĩa tương tự. 1.2 Định nghĩa tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dài): 1.2.1 Định nghĩa tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dài):

Giả sử ( )C = C(A,B) là đường cong phẳng, Jordan, trơn. Trên ( )C cho hàm f(x,y) liên tục. Thực hiện một phép phân hoạch π chia ( )C thành n cung nhỏ tùy ý bởi các điểm chia: 0 1 nA A ,A ,...,A B≡ ≡ . Đặt is∆ là độ dài của cung nhỏ thứ i,

i 1,n= ; ( ) i1 i nd max sπ

≤ ≤= ∆ là đường kính phân hoạch. Trên mỗi cung nhỏ ¼i 1 iA A− lấy

điểm ( )i i iM ,ξ η bất kỳ. Lập tổng tích phân:

( ) ( )n n

i i i i ii 1 i 1

f M s f , sπσ ξ η= =

= ∆ = ∆∑ ∑ .

Ta thấy πσ phụ thuộc vàoπ và các điểm chọn ( )i i iM ,ξ η .

17

Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn ( )d 0lim Iππ

σ→

= mà giới hạn đó không phụ

thuộc vào π và các điểm chọn ( )i i iM ,ξ η thì I được gọi là tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dài) của hàm f(x,y) lấy trên ( )C . Ký hiệu ( )

( )C

f x,y ds∫ (2)

Nếu tích phân (2) tồn tại thì nói hàm f(x,y) là khả tích trên ( )C . Nhận xét: 1. Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào hướng của ( )C . 2. Tương tự có thể định nghĩa tích phân đường loại một của hàm f(x,y,z) lấy trên đường cong không gian ( )C và ký hiệu ( )

( )C

f x, y,z ds∫ .

3. Nếu ( )C trơn hoặc trơn từng khúc và f(x,y) liên tục trên ( )C thì tồn tại tích phân đường loại một ( )

( )C

f x, y ds∫ .

4. Độ dài của đường cong ( )C được tính theo công thức ( )C

l ds= ∫ .

5. Khối lượng của đường cong phẳng ( )C được tính theo công thức

( )( )C

m x,y dsρ= ∫ , trong đó ( )x,yρ là khối lượng riêng tại điểm M(x,y) thuộc ( )C ,

( )x, yρ liên tục trên ( )C . Khối lượng của đường cong không gian ( )C được tính theo công thức

( )( )C

m x, y,z dsρ= ∫ , trong đó ( )x, y,zρ là khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) thuộc

( )C , ( )x, y,zρ liên tục trên ( )C . 6. Tích phân đường loại một có các tính chất tương tự như tích phân xác định. 1.3 Cách tính tích phân đường loại một: 1.3.1 Định lý: Giả sử ( )C là đường cong phẳng, Jordan, trơn được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số (1). Nếu f(x,y) liên tục trên ( )C thì tồn tại tích phân đường loại một ( )

( )C

f x,y ds∫ và

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )b

2 2

C a

f x, y ds f x t , y t x ' t y ' t dt= + ∫ ∫ . (3)

Chứng minh: Từ các giả thiết của định lý thì tích phân I ở vế phải của (3) tồn tại. Ta cần chứng minh tích phân ở vế trái của (3) cũng tồn tại và xảy ra đẳng thức. Giả sử π là một phép phân hoạch chia [a ; b] thành n đoạn con[ ]i 1 it ; t ,i 1,n− = . Lập tổng tích phân:

18

( ) ( ) ( ) ( ) ( )i

i 1

tn n2 2

i i i i ii 1 i 1 t

f , s f x , y x ' t y ' t dt−

= =

= ∆ = +

∑ ∑ ∫πσ ξ η τ τ (4)

trong đó [ ] ( ) ( ) ( )( )i i 1 i i i i i i it ; t ,i 1,n và M ; M x ;yτ ξ η τ τ−∈ = = . Mặt khác tích phân I ở vế phải của (3) có thể biểu diễn dưới dạng:

( ) ( ) ( ) ( )i

i 1

tn2 2

i 1 t

I f x t , y t x ' t y ' t dt−

=

= + ∑ ∫ (5)

Từ (4) và (5) ta có:

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )i

i 1

tn2 2

i ii 1 t

I f x , y f x t , y t x ' t y ' t dtπσ τ τ−

=

− = − + ∑ ∫ (6)

vì f(x,y) và x(t), y(t) liên tục nên hàm hợp f [x(t), y(t)] cũng liên tục trên [a ; b] do đó liên tục đều trên đoạn đó. Ngoài ra khi ( )d 0π → thì i i i 1t t t 0, i 1,n−∆ = − → ∀ = . Do đó 0ε∀ > bé tùy ý, ( )0 : mà dδ π π δ∃ > ∀ < thì

( ) ( ) ( ) ( )i if x ,y f x t , y tlε

τ τ − < (7)

trong đó l là độ dài của đường cong (C). Giả sử ( ) d π δ< khi đó từ (7) ta được

( ) ( )i

i 1

tn2 2

i 1 t

I x ' t y ' t dtl

−=

− < + =∑ ∫π

εσ ε .

Vậy ( )d 0lim Iππ

σ→

= . W

Hệ quả:

1. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Đề các ( ) [ ]y y x ,x a;b= ∈ thì:

( )( )

( ) ( )b

2

C a

f x, y ds f x, y x 1 y' x dx= + ∫ ∫

2. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ cực ( ) [ ]r r , ;ϕ ϕ α β= ∈ thì:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2

C

f x, y ds f r cos ,r sin r r ' dβ

α

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + ∫ ∫ .

3. Nếu ( )C đường cong không gian được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t) ; [ ]t a;b∈ và f(x,y,z) liên tục trên ( )C thì:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b

2 2 2

C a

f x, y,z ds f x t , y t ,z t x ' t y ' t z ' t dt= + + ∫ ∫ .

Chú ý: Nếu (C) trơn từng khúc cần chia ( )C thành hữu hạn cung trơn.

19

1.3.2 Các ví dụ: 1. Tính các tích phân: a) ( )

( )( )

C

I x y ds, C= +∫ là biên của tam giác với các đỉnh O(0;0), A(1;0),

B(0;1). b)

( )( )

C

I xyzds, C= ∫ là một đoạn của đường đinh ốc:

[ ]x a cos t, y asin t,z b t; t 0;2 ,a,b 0= = = ∈ >π . 2. Tính khối lượng của đường tròn ( )C : 2 2x y ax,a >0+ = , biết rằng khối lượng riêng tại điểm M(x;y) thuộc ( )C bằng khoảng cách từ điểm đó đến gốc toạ độ.

$2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI

2.1 Định nghĩa tích phân đường loại hai (tích phân đường theo tọa độ):

Giả sử ( )C = C(A,B) là đường cong phẳng, Jordan, trơn, không đóng. Trên ( )C cho các hàm hai biến ( ) ( )P P x,y ,Q Q x, y= = liên tục. Thực hiện một phép phân hoạch π chia ( )C thành n cung nhỏ tùy ý bởi các điểm chia

0 1 nA A ,A ,...,A B≡ ≡ . Đặt is∆ là độ dài của cung ¼i 1 iA A− ; ix∆ , iy∆ , i 1,n= lần lượt là

hình chiếu của cung ¼i 1 iA A− lên trục hoành và trục tung, ( ) i1 i nd max sπ

≤ ≤= ∆ là đường

kính phân hoạch. Trên mỗi cung nhỏ ¼i 1 iA A− lấy điểm ( )i i iM ,ξ η bất kỳ. Lập các tổng tích phân

( ) ( ) ( ) ( )n n n n

i i i i i i i i i ii 1 i 1 i 1 i 1

P M x P , x và Q M y Q , yξ η ξ η= = = =

∆ = ∆ ∆ = ∆∑ ∑ ∑ ∑ .

Định nghĩa: Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn

( )( )

( )( )

n n

i i i i i id 0 d 0i 1 i 1

lim P , x và lim Q , yπ π

ξ η ξ η→ →

= =

∆ ∆∑ ∑

mà các giới hạn đó không phụ thuộc vào π và các điểm chọn ( )i i iM ,ξ η thì chúng được gọi là các tích phân đường loại hai (tích phân đường theo tọa độ) của các hàm

( ) ( )P P x, y ,Q Q x, y= = lấy trên đường cong ( )C . Ký hiệu ( )

( )( )

( )C C

P x, y dx và Q x,y dy∫ ∫ .

Tổng của chúng được gọi là tích phân đường loại hai tổng quát. Ký hiệu

( )C

Pdx Qdy+∫ .

Nhận xét: 1. Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào hướng của( )C :

( ) ( )C A,B C B,A

Pdx Qdy Pdx Qdy+ = − +∫ ∫

20

2. Đối với đường cong đóng, có hướng dương tích phân đường loại hai được định nghĩa:

( ) ( ) ( )C AmB BnA

Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy+ = + + +∫ ∫ ∫i ,

trong đó A,B là hai điểm bất kỳ thuộc( )C . Tích phân đường loại hai có hướng âm được định nghĩa:

( )C

Pdx Qdy Pdx Qdy+ = − +∫ ∫j i .

3. Nếu ( )C trơn hoặc trơn từng khúc và các hàm ( ) ( )P P x,y ,Q Q x, y= = liên tục trên ( )C thì tồn tại tích phân đường loại hai

( )C

Pdx Qdy+∫ .

4. Tương tự có thể định nghĩa các tích phân đường loại hai của các hàm ba biến ( ) ( ) ( )P P x,y,z ,Q Q x, y,z ,R R x, y,z= = = lấy trên đường cong không gian ( )C . Ký

hiệu là ( )( )

( )( )

( )( )C C C

P x, y,z dx , Q x, y,z dy và R x, y,z dz∫ ∫ ∫ .

Tổng của chúng cũng được gọi là tích phân đường loại hai tổng quát và ký hiệu là

( )C

Pdx Qdy Rdz+ +∫ .

5. Tích phân đường loại hai có các tính chất tương tự như tích phân xác định. 2.2 Cách tính tích phân đường loại hai: 2.2.1 Định lý: Giả sử( )C là đường cong phẳng, Jordan, trơn được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số (1). Nếu các hàm ( ) ( )P P x, y ,Q Q x, y= = liên tục trên ( )C thì tồn tại tích phân đường loại hai

( )C

Pdx Qdy+∫ và

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

b

C a

Pdx Qdy P x t ,y t x ' t Q x t ,y t y ' t dt+ = + ∫ ∫ .

Chứng minh: Chỉ cần chứng minh

( ) ( ) ( )( )

( )b

C a

P x, y dx P x t ,y t x ' t dt= ∫ ∫ (1)

Dễ thấy tích phân I ở vế phải của (1) tồn tại. Ta cần chứng minh tích phân ở vế trái của (1) cũng tồn tại và xảy ra đẳng thức. Giả sử π là một phép phân hoạch chia [a;b] thành n đoạn con [ ]i 1 it ; t ,i 1,n− = ;

[ ] ( ) ( ) ( )( )i i 1 i i i i i i it ; t ,i 1,n và M ; M x ;yτ ξ η τ τ−∈ = = .

Lập tổng tích phân ( )n

i i ii 1

P , xπσ ξ η=

= ∆∑ .

Vì ( ) ( ) ( )i

i 1

t

i i i 1 i i 1t

x x x x t x t x ' t dt−

− −∆ = − = − = ∫ nên ( ) ( ) ( )i

i 1

tn

i 1 t

I P x t , y t x ' t dt−

=

= ∑ ∫

21

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )i i

i 1 i 1

t tn

i ii 1 t t

I P x , y P x t , y t x ' t dt x ' t dtM b aπ

εσ τ τ

− −=

⇒ − = − < −∑ ∫ ∫ ,

trong đó ( )a t b

M max x ' t≤ ≤

= (do P(x,y) liên tục đều).

Giả sử ( ) d π δ< khi đó ( ) ( ) ( )

i

i 1

tn n

ii 1 i 1t

I x ' t dt M tM b a M b aπ

ε εσ ε

−= =

− < < ∆ =− −∑ ∑∫

hay( )d 0lim Iππ

σ→

= . W

Hệ quả: 1. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Đề các

( ) [ ]y y x ,x a;b= ∈ thì

( )( ) ( ) ( ){ }

b

C a

Pdx Qdy P x, y x Q x, y x y' x dx+ = + ∫ ∫ .

2. Nếu ( )C đường cong không gian được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t) ; [ ]t a;b∈ và ( ) ( )P P x, y,z ,Q Q x, y,z= =

( )R R x, y,z= liên tục trên ( )C thì:

( )C

Pdx Qdy Rdz+ + =∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }b

a

P x t ,y t ,z t x ' t Q x t , y t ,z t y ' t R x t , y t ,z t z ' t dt= + + ∫Chú ý: Nếu (C) trơn từng khúc cần chia ( )C thành hữu hạn cung trơn. 2.2.2 Ví dụ: Tính các tích phân:

1. ( )( )

( ) ( )C

x y dx x y dy, C− + +∫ là đường nối điểm O(0;0) với điểm A(1;1)

nếu ( )C là a) y = x. b) 2y x= . c) đường gấp khúc OBA, với B(1;0).

2. ( )

( )

2 2

C

ydx z dy x dz , C+ +∫i là giao tuyến của mặt cầu 2 2 2x y z 4+ + = với mặt

phẳng z 3= có hướng vòng quanh ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ điểm về phía z >0 . 2.3 Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai: Giả sử (C) = C(A,B) là đường cong phẳng được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số x = x(s), y = y(s) ; [ ]s 0;S∈ trong đó x(s), y(s) có đạo hàm liên tục, độ dài cung s được chọn làm tham số.

22

Gọi α là góc lập bởi tiếp tuyến hướng theo phía tăng của cung với hướng dương của Ox. Ta có ( ) ( )cos x ' s ,sin y ' sα α= = . Nếu dọc theo ( )C cho các hàm

( ) ( )P P x, y ,Q Q x, y= = liên tục thì ( )

( )( )C C

Pdx Qdy Pcos Qsin dsα α+ = +∫ ∫ .

Tương tự nếu ( )C là đường cong không gian thì

( )( )

( )C C

Pdx Qdy Rdz Pcos +Qcos +Rcos dsα β γ+ + =∫ ∫ ,

trong đó , ,α β γ lần lượt là góc lập bởi tiếp tuyến hướng theo phía tăng của cung với hướng dương của Ox, Oy, Oz. 2.4 Công thức Green: Định lý 1: Giả sử 2D ⊂ R là miền đóng, đơn liên, bị chặn có biên là đường cong đóng (C) có hướng dương, trơn hoặc trơn từng khúc. Nếu trong D cho các hàm

( )P P x, y ,= ( )Q Q x, y= liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng thì

( )C D

Q PPdx Qdy dxdyx y

∂ ∂+ = − ∂ ∂

∫ ∫∫i . (1)

Chứng minh: Để chứng minh (1) chỉ cần chứng minh:

( ) ( )C D C D

P QPdx dxdy và Qdy dxdyy x

∂ ∂= − =

∂ ∂∫ ∫∫ ∫ ∫∫i i .

Xét ( ) ( ) ( ){ }1 2D x, y : a x b,y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ trong đó ( ) ( )1 2y x , y x liên tục trên [a;b]. Ta có:

( )

( )

( ) ( )( )

22

11

y xb by y x

y y xD a y x a

P Pdxdy dx dy P x,y dxy y

=

=

∂ ∂ − = − = − ∂ ∂∫∫ ∫ ∫ ∫

= ( )( ) ( )( )b b

2 1a a

P x,y x dx + P x, y x dx −∫ ∫

( )( )

( )( ) ( )AmB BnA C

P x,y dx P x, y dx Pdx= + =∫ ∫ ∫i .

Tương tự ta cũng có ( )C D

QQdy dxdyx

∂=

∂∫ ∫∫i . W

Hệ quả: Diện tích của miền D được tính theo công thức:

( )( )C

1S D xdy ydx2

= −∫i , trong đó( )C là biên có hướng dương của D.

Các ví dụ:

1. Cho( )

2 2C

ydx xdyIx y

−=

+∫i , ( )C là đường cong đóng có hướng dương không đi

qua gốc tọa độ. Tính I nếu: a) ( )C là đường tròn tâm O(0:0) bán kính R.

23

b) ( )C là biên của tam giác với các đỉnh A(1;1). B(4;2), C(2;6). 2. Tính tích phân: ( )

( )( ) ( )x x

AmO

e sin y ay dx e cosy a dy, AmO− + +∫ là nửa đường

tròn 2 2x y 2x, y 0+ = > có hướng từ điểm A(2;0) đến điểm O(0;0). 2.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân: Định lý 2: (Định lý về 4 mệnh đề tương đương): Giả sử 2D ⊂ R là miền mở, đơn liên và trong D cho các hàm

( ) ( )P P x, y ,Q Q x, y= = liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng. Khi đó 4 mệnh đề sau là tương đương:

1. Trong miền D xảy ra hệ thức: ( )P Q , x, y Dy x

∂ ∂= ∀ ∈

∂ ∂.

2. Tích phân( )

( )C

Pdx Qdy 0, C+ =∫i là đường cong đóng bất kỳ, trơn hoặc trơn

từng khúc nằm hoàn toàn trong D. 3. Tích phân

( )C A,B

Pdx Qdy+∫ không phụ thuộc vào đường lấy tích phân, chỉ phụ

thuộc vào điềm đầu A và điểm cuối B, trong đó C(A,B) là đường cong không đóng bất kỳ, trơn hoặc trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong D. 4. Biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó trong D. Chứng minh: ( )1 2⇒ hiển nhiên (theo công thức Green). ( )2 3⇒ nối A và B bởi hai đường trơn (AmB) và (AnB) bất kỳ nằm hoàn toàn trong D. Ta chứng minh

( ) ( )AmB AnB

Pdx Qdy Pdx Qdy+ = +∫ ∫ .

( )3 4⇒ Ta chứng minh tồn tại hàm ( )u x, y D∈ sao cho ( )u P x, y ,x

∂=

∂

( )u Q x, yy

∂=

∂. Giả sử ( )0 0A x ;y D∈ cố định , M(x ; y) thay đổi trong D. Xét hàm số

u (M) = ( )( )AM

u x, y Pdx Qdy C, C const= + + =∫ .

Hàm u hoàn toàn xác định vì tích phân ở vế phải không phụ thuộc vào đường lấy tích phân. Xét điểm ( )1M x h;y D, h+ ∈ khá bé. Nối A và M bởi một đường trơn tuỳ ý trong D, M và 1M bởi đường thẳng song song với trục hoành. Ta có

( ) ( )( ) ( ) ( )1 1AM AM MM

u x h, y u x, y 1 1Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdyh h h

+ − = + − + = + =

∫ ∫ ∫

( ) ( )x h

x

1 P t, y dt P x h, y ,0 1h

+

= = + θ < θ <∫ (theo định lý giá trị trung bình).

24

( ) ( ) ( ) ( )h 0 h 0

u x h, y u x, y ulim limP x h,y P x, yh x→ →

+ − ∂⇒ = + θ = =

∂.

Tương tự ( )u Q x, yy

∂=

∂.

( )4 1⇒ hiển nhiên. W Hệ quả: 1. Nếu Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) trong D thì

( )( ) ( )

C A,B

Pdx Qdy u B u A+ = −∫ ,

trong đó ( )C A,B là đường cong không đóng bất kỳ, trơn hoặc trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong D.

2. Nếu 2D = R và Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) trong D thì

( ) ( ) ( )0 0

yx

0x y

u x, y P x,y dx Q x, y dy C= + +∫ ∫

hoặc ( ) ( ) ( )0 0

y x

0y x

u x, y Q x , y dy P x,y dx C= + +∫ ∫ ,

trong đó C = const, ( )0 0x , y là một điểm bất kỳ thuộc D. Ví dụ: Chứng minh rằng biểu thức ( )y 2 y6xe dx 3x y 1 e dy+ + + là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Tìm hàm u(x,y).

$3 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT 3.1 Một số khái niệm về mặt trong không gian: Mặt (S) trong không gian thường được cho bởi phương trình F(x,y,z) = 0. (1) Nếu giải ra được đối với các biến x, y, z thì (S) được cho dưới dạng hiện ( ) ( )z z x, y , x, y D= ∈ (2) trong đó z (x, y) liên tục trong D. Nếu không thể giải được đối với bất cứ biến nào thì (S) được cho dưới dạng ẩn. Mặt (S) trong không gian cũng được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: ( ) ( ) ( ) ( )x x u,v ,y y u,v ,z z u,v ; u,v D= = = ∈ (3) trong đó ( ) ( ) ( )x u,v , y u,v ,z u,v là các hàm số liên tục trong D. Chú ý: Nếu chọn x = u, y = v, z = z (u , v) ; ( )u,v D∈ thì (2) là trường hợp riêng của (3). Định nghĩa 1: Mặt (S) được gọi là - Mặt đơn nếu với hai giá trị khác nhau của tham số đều tương ứng với hai điểm khác nhau thuộc ( )S . - Mặt được chiếu đơn trị lên các mặt phẳng tọa độ nếu mỗi đường thẳng song song với các trục tọa độ chỉ cắt( )S tại không quá một điểm.

25

- Mặt trơn nếu tại mỗi điểm của nó đều tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc và khi dịch chuyển từ điểm này đến điểm khác vị trí của mặt phẳng tiếp xúc biến thiên liên tục. Nếu ( )S được cho bởi (2) thì ( )S trơn khi z (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong D. - Mặt trơn từng mảnh nếu ( )S gồm hữu hạn các mảnh trơn. Định nghĩa 2: Nếu từ mỗi điểm M của mặt trơn (S) đều có thể kẻ được một pháp tuyến đơn vị ( )n M

r sao cho hàm véc tơ ( )n M

rliên tục trên (S) thì (S) được gọi là mặt

định hướng (mặt hai phía). Mặt hai phía được đặc trưng bởi tính chất phép vòng quanh trọn một lần theo chu tuyến đóng bất kỳ thuộc (S) và không cắt biên của (S) không làm thay đổi hướng của pháp tuyến thành hướng ngược lại. Mặt không phải là mặt hai phía được gọi là mặt một phía. Mặt hai phía còn gọi là mặt có hướng và việc chọn một phía xác định bằng cách chọn hướng của pháp tuyến được gọi là phép định hướng mặt. Nếu ( )S là mặt hai phía thì nó có phía trên và phía dưới (mặt không kín), phía ngoài và phía trong (mặt kín). Ví dụ: - Mặt phẳng là mặt hai phía.

- Mặt trơn bất kỳ xác định bởi phương trình z = z (x,y) là mặt hai phía. - Mọi mặt kín không có điểm tự cắt đều là mặt hai phía (mặt cầu, mặt elipxoid). - Lá Mebius là mặt một phía.

Trong chương này ta chỉ xét đến mặt hai phía. Chú ý: Nếu ( )S là mặt trơn, hai phía được xác định bởi phương trình z = z (x,y) thì phía trên (phía ngoài) của ( )S các véc tơ pháp tuyến có cosin chỉ phương là

( ) 2 2

pcos cos n,Ox pcos1 p q

α γ= = − = −+ +

r uuur.

( ) 2 2

qcos cos n,Oy qcos1 p q

β γ= = − = −+ +

r uuur.

( ) 2 2

1cos cos n,Oz1 p q

γ = =+ +

r uur, trong đó x yp z ' ,q z '= = .

Đối với phía dưới (trong) được lấy dấu ngược lại. Định nghĩa 3: Giả sử (S) là mặt hai phía được giới hạn bởi chu tuyến đóng (C). Hướng vòng quanh (C) của mặt (S) được gọi là hướng dương tương ứng với phía của mặt nếu một người quan sát đứng trên phía ấy và chuyển động trên (C) theo hướng đó thì mặt (S) luôn nằm ở bên trái. Hướng ngược lại được gọi là hướng âm.

26

3.2 Tích phân mặt loại một (tích phân mặt theo diện tích): Cho ( )S là mặt trơn, hai phía, bị chặn và được chiếu đơn trị lên các mặt phẳng

tọa độ. Giả sử trên ( )S cho hàm ba biến f(x, y, z) liên tục. Thực hiện một phép phân hoạch π chia ( )S thành n mảnh nhỏ tùy ý ( ) ( )1 2S , S , ... , ( )nS bởi lưới các đường cong trơn hoặc trơn từng khúc. Đặt iS∆ là diện tích của mảnh con ( )iS , d( )iS là đường kính của ( )iS , i 1,n= ( ) ( )i1 i n

d max d Sπ≤ ≤

= là đường kính phân hoạch. Trên mỗi mảnh

con ( )iS lấy điểm ( )i i i iM x ,y ,z bất kỳ. Lập tổng tích phân

( ) ( )n n

i i i i i ii 1 i 1

f M S f x , y ,z Sπσ= =

= ∆ = ∆∑ ∑ .

Ta thấy πσ phụ thuộc vào π và các điểm chọn iM . Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

( )d 0lim Iππ

σ→

= mà giới hạn đó không phụ

thuộc vàoπ và các điểm chọn iM thì I được gọi là tích phân mặt loại một (tích phân mặt theo diện tích ) của hàm f(x,y,z) lấy trên ( )S . Ký hiệu là: ( )

( )S

f x, y,z dS∫∫ (1)

Nếu tích phân (1) tồn tại thì ta nói hàm f(x,y,z) là khả tích trên( )S . Nhận xét: 1. Tích phân mặt loại một không phụ thuộc vào phía của( )S . 2. Nếu ( )S là mặt trơn hoặc trơn từng mảnh, hai phía và f(x, y, z) liên tục trên ( )S thì tồn tại tích phân mặt loại một. 3. Diện tích của mặt ( )S được tính theo công thức

( )S

S dS= ∫∫ .

4. Khối lượng của mặt ( )S được tính theo công thức ( )( )S

m x,y,z dSρ= ∫∫ ,

trong đó ( )x, y,zρ là khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z)∈ ( )S , hàm ( )x, y,zρ liên tục trên ( )S . 5. Tích phân mặt loại một có các tính chất tương tự như tích phân hai l 3.3 Cách tính tích phân mặt loại một: Xét ( )

( )S

f x, y,z dS∫∫ , trong đó f(x,y,z) liên tục trên ( )S .

Giả sử ( )S là mặt trơn, hai phía, được chiếu đơn trị lên mặt phẳng Oxy và được cho bởi phương trình z = z (x,y). Khi đó z (x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong D là hình chiếu đơn trị của ( )S lên mặt phẳng Oxy. Ta có

2 2dS= 1 p q dxdy+ + và:

( )( )

( ) 2 2

S D

f x,y,z dS f x, y,z x, y 1 p q dxdy= + + ∫∫ ∫∫ .

27

Tổng quát nếu ( )S trơn, hai phía, được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: ( ) ( ) ( ) ( )x x u,v , y y u,v ,z z u,v ; u,v D= = = ∈

thì ( )( )

( )( )

( )( )

2 2 2

2 D x, y D y,z D z,xdS= EG F dudv dudv

D u,v D u,v D u,v

− = + +

và:

( )( )

( ) ( ) ( ) 2

S D

f x,y,z dS f x u,v , y u,v ,z u,v EG F dudv= − ∫∫ ∫∫ .

Ví dụ 1: Tính các tích phân a) ( )

( )( )

S

2x y z dS, S+ +∫∫ là phần mặt phẳng x + y + z = 1 thuộc góc phần tám thứ

nhất. b) ( )

( )( )2 2 2

S

z x y dS, S+∫∫ là phần mặt cầu ( )2 2 2 2x y z a ,x 0, y 0 a 0+ + = ≥ ≥ > .

Ví dụ 2: Tính diện tích mặt ( )S được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x r cos ,y rsin ,z b ;0 r a,0 2ϕ ϕ ϕ ϕ π= = = ≤ ≤ ≤ ≤ .

$4 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI 4.1 Tích phân mặt loại hai (tích phân mặt theo tọa độ):

Cho ( )S là mặt có hướng trơn, hai phía, bị chặn và được chiếu đơn trị lên các mặt phẳng tọa độ. Giả sử trên ( )S cho các hàm ba biến P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z) liên tục. Thực hiện một phép phân hoạch π chia ( )S thành n mảnh nhỏ tùy ý ( ) ( ) ( )1 2 nS , S ,..., S bởi lưới các đường cong trơn hoặc trơn từng khúc. Đặt iS∆ là diện tích của mảnh con ( )iS , d( )iS là đường kính của ( )iS , i 1,n= ; ( ) ( )i1 i n

d max d Sπ≤ ≤

=

là đường kính phân hoạch. Trên mỗi mảnh con ( )iS lấy điểm ( )i i i iM x ,y ,z bất kỳ, gọi in

uurlà pháp tuyến với ( )S tại iM . Lập các tổng tích phân

( ) ( ) ( ) ( )n n

1 i i i 2 i i ii 1 i 1

P M S cos n ,Ox , Q M S cos n ,Oy ,σ σ= =

= ∆ = ∆∑ ∑uur uuur uur uuur

( ) ( )n

3 i i ii 1

R M S cos n ,Ozσ=

= ∆∑uur uur

.

Ta thấy các tổng tích phân phụ thuộc vàoπ và các điểm chọn ( )i i i iM x , y ,z . Định nghĩa: Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn

( )( )id 0

lim i 1,2,3→

=π

σ

mà các giới hạn đó không phụ thuộc vàoπ và các điểm chọn ( )i i i iM x , y ,z thì các giới hạn đó được gọi là các tích phân mặt loại hai ( tích phân mặt theo tọa độ ). Ký hiệu là:

28

( )( )

( )( )

( )( )

1 2 3S S S

I P x, y,z cos dS, I Q x, y,z cos dS, I R x,y,z cos dSα β γ= = =∫∫ ∫∫ ∫∫ (1)

và tổng của chúng được gọi là tích phân mặt loại hai tổng quát, ký hiệu là ( )

( )S

Pcos Qcos R cos dSα β γ+ +∫∫ . (2)

Nhận xét: 1. Tích phân mặt loại hai đổi dấu khi đổi phía của ( )S . 2. Nếu ( )S là mặt trơn hoặc trơn từng mảnh, hai phía và các hàm P = P(x, y, z) , Q = Q(x, y, z) , R = R(x, y, z) liên tục trên ( )S thì tồn tại tích phân (2). 3. Ta có cos dS=dydz, cos dS=dzdx, cos dS=dxdyα β γ (3) chính là hình chiếu của vi phân diện tích mặt ( )S lên các mặt phẳng tọa độ. Do (3) nên các tích phân mặt loại hai thường được ký hiệu: ( )

( )( )

( )( )

( )1 2 3

S S S

I P x, y,z dydz, I Q x, y,z dzdx, I R x,y,z dxdy= = =∫∫ ∫∫ ∫∫ .

và tích phân mặt loại hai tổng quát chính là: ( )

( ) ( )S S

Pcos Qcos R cos dS Pdydz Qdzdx Rdxdyα β γ+ + = + +∫∫ ∫∫ (4)

(4) chính là công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại một và tích phân mặt loại hai. 4.2 Cách tính tích phân mặt loại hai: Từ định nghĩa có thể tính tích phân mặt loại hai theo công thức của tích phân mặt loại một. Xét ( )

( )( )

( )S S

R x, y,z dxdy R x,y,z cos dSγ=∫∫ ∫∫ , trong đó R(x,y,z) liên tục trên ( )S .

Giả sử ( )S là mặt trơn, hai phía, được chiếu đơn trị lên mặt phẳng Oxy. Gọi D là hình chiếu đơn trị của ( )S lên mặt phẳng Oxy, giả sử ( )S được cho bởi phương trình z = z (x,y), z (x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong D. Ta có:

2 2x y2 2

1dS= 1 p q dxdy, cos ; p z ' ,q z ' ; cos1 p q

γ γ+ + = ± = =+ +

lấy dấu dương

nếu ( )S là mặt trên (ngoài), dấu âm nếu ( )S là mặt dưới (trong) và

( )( )

( )

( )D

S

D

R x, y,z x, y dxdy, khi cos 0R x, y,z dxdy

R x, y,z x, y dxdy, khi cos 0

+ > =

− <

∫∫∫∫

∫∫

γ

γ

Ví dụ: Tính các tích phân

1. ( )

( )S

I xdydz dzdx xzdxdy, S= + +∫∫ là phía trên của 18

mặt cầu 2 2 2x y z 1+ + =

nằm trong góc phần tám thứ nhất.

29

2. ( )( )

( ) ( ) ( )S

I y z dydz+ z x dzdx x y dxdy, S= − − + −∫∫ là phía ngoài của phần

mặt nón ( )2 2z x y 0 z h= + ≤ ≤ . 4.3 Công thức Gauss-Ostrogradxki: Định lý 3: Giả sử 3T ⊂ R là miền đóng, đơn liên, bị chặn có biên là mặt kín ( )S trơn hoặc trơn từng mảnh. Nếu trong T cho các hàm ba biến

( ) ( ) ( )P P x,y,z ,Q Q x, y,z ,R R x, y,z= = = liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng thì:

( )S T

P Q RPdydz Qdzdx Rdxdy dxdydzx y z

∂ ∂ ∂+ + = + + ∂ ∂ ∂

∫∫ ∫∫∫

trong đó tích phân mặt ở vế trái được lấy theo phía ngoài. Chứng minh: tương tự như định lý1, 2.4 Hệ quả: Thể tích của miền T đóng, bị chặn được tính theo công thức:

( )( )S

1V T xdydz ydzdx zdxdy3

= + +∫∫

trong đó ( )S là biên của T và tích phân mặt được lấy theo phía ngoài. Ví dụ: Tính tích phân

( )( )2 2

S

I xzdydz x ydzdx y zdxdy, S= + +∫∫ là phía ngoài của biên của vật thể T

được giới hạn bởi các mặt 2 2 2 2z x y ,x y 1,x 0, y 0,z 0= + + = ≥ ≥ ≥ . 4.4 Công thức Stokes: Định lý 4: Giả sử ( )S là mặt có hướng, trơn có biên (C) là đường đóng, Jordan, trơn hoặc trơn từng khúc. Nếu trên ( )S cho các hàm ( ) ( )P P x,y,z ,Q Q x, y,z= = ,

( )R R x, y,z= liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng thì:

( )( )C S

R Q P R Q PPdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdyy z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫∫i

= ( )S

R Q P R Q Pcos cos cos dSy z z x x y

α β γ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∫∫

trong đó tích phân đường được lấy theo hướng dương tương ứng với phía của ( )S . Công thức Stokes còn được viết dưới dạng “hình thức”

( )( ) ( )C S S

dydz dzdx dxdy cos cos cos

Pdx Qdy Rdz dSx y z x y zP Q R P Q R

α β γ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫∫ ∫∫i .

30

Chứng minh: chỉ cần chứng minh ( ) ( )S C

P Pdzdx dxdy Pdxz y

∂ ∂− = ∂ ∂

∫∫ ∫i .

Nhận xét: 1. Nếu( )S Oxy⊂ thì công thức Stokes trở thành công thức Green. 2. Giả sử miền 3T ⊂ ¡ có tính chất mọi đường kín ( )C trơn từng khúc trong T đều là biên của một mặt trơn từng mảnh nằm hoàn toàn trong T. Nếu các hàm ( ) ( )P P x,y,z ,Q Q x, y,z= = , ( )R R x,y,z= liên tục và có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong T thì điều kiện cần và đủ để tích phân lấy theo đường cong không gian

( )C A,B

Pdx Qdy Rdz+ +∫ không phụ thuộc vào đường lấy tích phân, chỉ

phụ thuộc vào điềm đầu A và điểm cuối B, trong đó C(A,B) là đường cong không đóng bất kỳ, trơn hoặc trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong T là

( )R Q P R Q P, , , x,y,z Ty z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = ∀ ∈

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (4).

(4) cũng là điều kiện cần và đủ để biểu thức Pdx + Qdy + Rdz là vi phân toàn phần của hàm u(x,y,z) nào đó trong miền T và nếu ( )0 0 0 0M x , y ,z là một điểm bất kỳ thuộc T thì

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

yx z

0 0 0x y z

u x, y,z P x, y ,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz C= + + +∫ ∫ ∫ ,

trong đó C = const. Ví dụ: Tính tích phân ( )

( )C

I ydx zdy xdz, C= + +∫i là giao tuyến của các mặt

( )2 2 2 2x y z 0,x y z a a 0+ + = + + = > , chiều trên (C) ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn về phía z > 0. 4.5 Dạng vectơ của các công thức Gauss-Ostrogradxki và Stokes:

Ta nói trong miền 3T ∈¡ xác định một trường vectơ nếu ứng với mỗi điểm ( )M x, y,z T∈ có một vectơ ( )F M

r gốc tại M, với các tọa độ ( ) ( ) ( )P M , Q M , R M là

những hàm số của M. Nói một cách khác, cho một trường vectơ có nghĩa là cho một hàm vectơ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3F F M F x,y,z P x, y,z e Q x,y,z e R x, y,z e= = = + +r r r ur uur uur

trong đó 1 2 3, ,e e e

ur ur ur là cơ sở chính tắc của 3¡ .

Trong phần này ta giả thiết thêm các hàm P, Q, R liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong T. Ví dụ về trường vectơ là trường vận tốc của chất lỏng chuyển động, trường lực hấp dẫn,… Giả sử trong miền T cho mặt định hướng ( )S mà vectơ pháp tuyến đơn vị là n

r

31

( 1 2 3n e cos e cos e cosα β γ= + +r ur uur uur

với các cosin chỉ phương là hàm liên tục trên ( )S ). Định nghĩa: Đại lượng

( )S

F,n dSΦ = ∫∫r r

(1)

được gọi là thông lượng của trường vectơ ( )F Mr

qua mặt ( )S . Nhận xét: Vì tích vô hướng F,n Pcos Qcos Rcos= α + β + γ

r r

nên (1) có dạng

( )( )

( )S S

F,n dS Pcos Qcos R cos dS= α + β + γ∫∫ ∫∫r r

(2)

4.5.1 Công thức Gauss-Ostrogradxki dưới dạng vectơ:

Nếu vectơ ( )F Mr

có các tọa độ ( ) ( ) ( )P M , Q M , R M thì tổng P Q Rx y z

∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂

được gọi là dive của vectơ Fr

và ký hiệu là div Fr

, đó là đại lượng vô hướng. Công thức Gauss-Ostrogradxki được phát biểu dưới dạng Thông lượng Φ của trường vectơ ( )F M

r qua mặt kín ( )S hướng ra phía ngoài

được tính theo công thức

T

divFdxdydzΦ = ∫∫∫r

,

trong đó T là miền được giới hạn bởi ( )S . Giả sử div ( )F M

r liên tục và div ( )0F M 0>

r. Khi đó có thể tìm được lân cận

khá bé của 0M sao cho div ( )F M 0>r

trên ( )S là một mặt kín trong lân cận ấy. Từ công thức Ostrogradxki suy ra thông lượng của trường vectơ ( )F M

r qua mặt kín ( )S

từ trong ra ngoài là dương. Theo ý nghĩa ấy ta gọi điểm 0M là một điểm nguồn. Nếu div ( )0F M 0<

r ta gọi điểm 0M là một điểm rò. Nếu div ( )F M 0, M= ∀

r thì thông

lượng của trường vectơ ( )F Mr

qua mọi mặt kín ( )S đều bằng không. Khi đó ta nói trường vectơ ( )F M

r có thông lượng bảo toàn.

Ví dụ: Dùng Công thức Gauss-Ostrogradxki để tính thông lượng của vectơ 1 2 3F 3xe 2ye 4ze= + −

r ur uur uur

qua phía ngoài của mặt tứ diện T : x 0, y 0, z 0, x y z 1≥ ≥ ≥ + + ≤ . 4.5.2 Công thức Stokes dưới dạng vectơ:

Cho trường vectơ ( )F Mr

có các tọa độ ( ) ( ) ( )P M , Q M , R M . Ta gọi tích phân đường dọc theo đường kín ( )C là lưu số của F

r dọc theo ( )C . Vectơ xoáy hay rôta

của Fr

là vectơ có các tọa độ

32

R Q P R Q P, ,y z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

và ký hiệu là rot Fuur r

. Với các định nghĩa trên, ta có thể phát biểu công thức Stokes như sau Lưu số của trường vectơ F

r dọc theo một đường kín ( )C bằng thông lượng của

rot Fuur r

qua một mặt định hướng ( )S nào đó có biên ( )C . Ví dụ: Dùng Công thức Stokes để tính lưu số của vectơ 2 2 2

1 2 3F y e z e x e= + −r ur uur uur

theo biên đóng có hướng dương của tam giác với đỉnh ( ) ( ) ( )A 1,0,0 , B 0,1,0 , C 0,0,1 .

33

Chương III TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ Các tích phân phụ thuộc tham số có nhiều ứng dụng quan trọng các lĩnh vực xác xuất thống kê, vật lý toán, các phép biến đổi tích phân. Trong chương này ta sẽ gặp các tích phân mà hàm dưới dấu tích phân phụ thuộc vào tham số t nào đó. Như vậy tích phân này sẽ cho ta hàm của biến t. Bài toán đặt ra là nghiên cứu tính liên tục, khả vi, khả tích của hàm số này.

$1 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ VỚI MIỀN LẤY

TÍCH PHÂN KHÔNG ĐỔI Định nghĩa. Cho nT ⊂ R , xét hàm số [ ]f : a;b T× → R . Giả sử với mỗi t T∈ hàm

( ) [ ]f x, t ,x a;b∈ khả tích trên đoạn [ ]a;b . Khi đó dạng :

(1) ( ) ( )b

a

I t f x, t dx, t T= ∀ ∈∫

xác định một hàm mới của biến t và biểu thức ở vế phải của (1) được gọi là tích phân phụ thuộc tham số của hàm ( )f x, t với miền lấy tích phân không đổi [ ]a;b .

Ví dụ: Xét tích phân ( )1

2 20

tdxI t arcsint1 t x

= =−∫ là hàm số xác định trên đoạn [-1;1].

1.1 Tính liên tục. Định lý 1.1 Giả sử [ ]f : a;b T× → R là hàm số liên tục. Khi đó hàm

( ) ( )b

a

I t f x, t dx, t T= ∀ ∈∫

liên tục trên T. Chứng minh. Cho t T∈ và dãy { }nt T⊂ hội tụ tới t T∈ . Ta chứng minh ( ) ( )nn

limI t I t→∞

= .

Thật vậy, cho 0ε > bé tùy ý. Nếu xét f như hàm liên tục trên tập compact [ ] { }1 na;b t, t ,..., t ,...× thì do tính liên tục đều tồn tại 0n 1≥ sao cho

(2) ( ) ( ) [ ]n 0f x, t f x, t , x a;b và n nb a

ε− < ∀ ∈ ∀ ≥

−.

Từ (2) ( ) ( ) ( ) ( )b b

n n 0a a

I t I t f x, t f x, t dx dx , n nb a

εε⇒ − ≤ − < = ∀ ≥

−∫ ∫ .

Vậy ( ) ( )nnlim I t I t

→∞= . W

Hệ quả. Nếu các điều kiện của định lý 1.1 được thỏa mãn và n 1= thì

( ) ( )0 0

b b

0t t t ta a

lim f x, t dx limf x, t dx, t T→ →

= ∀ ∈ ∫ ∫ .

34

Ví dụ. Tính 1

2 2

t 01

lim x t dx→

−

+∫ .

1.2 Tính khả vi. Định lý 1.2 Giả sử nT ⊂ ¡ là tập mở, [ ]f : a;b T× → R là hàm số liên tục theo biến

x với mỗi t T∈ . Nếu đạo hàm riêng ( )f x, tt

∂∂

liên tục trên [ ]a;b T× thì hàm

( ) ( )b

a

I t f x, t dx, t T= ∀ ∈∫

khả vi liên tục trên T và

(3) ( ) ( )b

a

fI ' t x, t dx, t Tt

∂= ∀ ∈

∂∫ .

Công thức (3) được gọi là công thức Leibnitz. Chứng minh. Để đơn giản ta xét n 1= . Lấy 0t T∈ bất kỳ, cho r 0> đủ bé sao cho tập [ ] [ ] [ ]0 0D a;b t r ; t r a;b T= × − + ⊂ × . Giả sử 0ε > bé tùy ý, [ ]0 0t t r ; t r∈ − + . Theo định lý Lagrange ta có:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0ff x, t f x, t t t x, t t t ,0 1t

θ θ∂

− = − + − < < ∂.

Do tính liên tục đều của ( )f x, tt

∂∂

trong D nên

( ) ( ) [ ]0 0 0 0f f0 : t t x, t t t x, t , x a;bt t b a

εδ δ θ

∂ ∂ ∃ > − < ⇒ + − − < ∀ ∈ ∂ ∂ −

.

Do đó, khi 0t t δ− < ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b

00 0 0 0

0 a a

I t I t f f fx, t dx x, t t t x, t dxt t t t t

θ ε− ∂ ∂ ∂

− ≤ + − − < − ∂ ∂ ∂∫ ∫ .

Điều này chứng tỏ

( ) ( )b

0 0a

fI ' t x, t dxt

∂=

∂∫ .

Vì 0t T∈ bất kỳ nên ( ) ( )b

ta

I ' t f ' x, t dx, t T= ∀ ∈∫ .

Mặt khác do tính liên tục của ( )f x, tt

∂∂

trên [ ]a;b T× và định lý 1.1 ta có tính

liên tục của hàm I ' . W

Ví dụ. Tính tích phân: ( )

1

22 20

dxIx t

=+

∫ .

35

1.3 Tính khả tích. Xét miền hình chữ nhật ( ){ }D x, t : a x b,c t d= ≤ ≤ ≤ ≤ và giả sử hàm ( )f x, t : D → R liên tục.

Từ định lý 1.1 và xét n 1= , thì hàm

( ) ( ) [ ]b

a

I t f x, t dx, t c;d= ∀ ∈∫ liên tục (theo t) trên đoạn [c ; d]

và hàm

( ) ( ) [ ]d

c

J x f x, t dt, x a;b= ∀ ∈∫ liên tục (theo x) trên đoạn [a ; b].

Do đó chúng khả tích tương ứng trên các đoạn [c ; d] và [a ; b].

Đặt ( ) ( ) ( )d d b d b

c c a c a

A I t dt f x, t dx dt: dt f x, t dx

= = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ,

( ) ( ) ( )b b d b d

a a c a c

B J x dx f x, t dt dx: dx f x, t dt

= = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Các tích phân A và B được gọi là các tích phân lặp, chúng khác nhau ở thứ tự lấy tích phân. Định lý 1.3 Giả sử ( )f x, t : D → R là hàm số liên tục. Khi đó hàm

( ) ( ) [ ]b

a

I t f x, t dx, t c;d= ∀ ∈∫

là khả tích trên đoạn[ ]c;d và

(4) ( ) ( ) ( )d d b b d

c c a a c

I t dt dt f x, t dx dx f x, t dt= =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Chứng minh. Xét hai hàm phụ

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]z b b z

1 2c a a c

L z dt f x, t dx và L z dx f x, t dt , z c;d= = ∀ ∈∫ ∫ ∫ ∫ .

Ta chứng minh ( ) ( ) [ ]1 2L z L z , z c;d= ∀ ∈ .

Ta có ( ) ( ) [ ]b

'1

a

L z f x,z dx , z c;d= ∀ ∈∫ .

Mặt khác theo công thức Leibnitz thì

( ) ( ) ( ) [ ]b z b

'2

a c a

dL z f x, t dt dx f x,z dx , z c;ddz

= = ∀ ∈

∫ ∫ ∫ . Vậy

( ) ( ) [ ]' '1 2L z L z , z c;d= ∀ ∈ ( ) ( ) [ ]( )1 2L z L z K, z c;d K const⇔ = + ∀ ∈ = .

Cho z = c ta được K = 0. Do đó ( ) ( ) [ ]1 2L z L z , z c;d= ∀ ∈ . Đặc biệt khi z = d ta được (4). W

Ví dụ. Tính tích phân: ( )1 b a

0

t tI dt 0 a bln t−

= < <∫ .

36

$2 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ VỚI MIỀN LẤY TÍCH PHÂN THAY ĐỔI

Định nghĩa. Cho [ ]a;b ⊂ ¡ và nT ⊂ R . Đối với hai ánh xạ [ ], : T a;bα β → ta xác định tập con n 1D +⊂ ¡αβ bởi

( ) ( ) ( ){ }D x, t T : x t ; tαβ α β= ∈ × ∈ ¡

Hiển nhiên ( ) ( ) { }t ; t t D , t Tαβα β × ⊂ ∀ ∈ và nếu ,α β là các hàm liên tục thì Dαβ là tập đóng.

Giả sử f : Dαβ → R sao cho với mỗi t T∈ hàm

( )x f x, ta khả tích trên đoạn ( ) ( )t ; tα β . Khi đó ta xác định hàm :

(1) ( ) ( )( )

( )t

t

I t f x, t dx, t Tβ

α

= ∀ ∈∫

biểu thức ở vế phải của (1) được gọi là tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân thay đổi. 2.1 Tính liên tục. Định lý 2.1 Giả sử nT ⊂ R và G T⊂ ס là một lân cận của Dαβ . Nếu các hàm

[ ], : T a;bα β → và f : G → R liên tục thì hàm I liên tục trên T. Chứng minh. Dùng định nghĩa. Giả sử 0ε > bé tùy ý , 0t T∈ . Từ các giả thiết của định lý ta có thể tìm được r 0> sao cho

( ) ( ) ( )0 0 T 0t ; t B t ,r Gα β × ⊂ và

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 T 0 0 T 0t ; t B t ,r t ; t B t , r Gα α β β × ∪ × ⊂

trong đó ( ) { }T 0 0B t ,r t T : t t r= ∈ − < . Khi đó :

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( )

( )0

0

t t

0 0t t

I t I t f x, t dx f x, t dxβ β

α α

− = −∫ ∫

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )0

0 0 0

t t t

0t t t

f x, t f x, t dx f x, t dx f x, t dxβ α β

α α β

= − − + ∫ ∫ ∫ (*)

Áp dụng ĐLGTTB đối với tích phân của hàm liên tục cho các số hạng ở vế phải của (*):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 0 0 0I t I t f c , t f c , t t t − = − − − β α

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 3 0f c , t t t f c , t t tα α β β − − + − trong đó 1 2 3c ,c ,c lần lượt nằm giữa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0t và t , t và t , t và tα β α α β β . Sử dụng tính liên tục đều và bị chặn của hàm f(x, t), tính liên tục của các hàm ,α β ta đi đến ước lượng

37

( ) ( )0I t I t ε− < , t T∀ ∈ đủ gần 0t nghĩa là I(t) liên tục trên T. W

Ví dụ. Tinh 1 t

2 2t 0t

dxlim1 x t

+

→ + +∫ , t 1≤ .

2.1 Tính khả vi. Định lý 2.2 Giả sử [ ]a;b ⊂ ¡ , nT ⊂ R là tập mở và nG ⊂ ס ¡ là một lân cận của Dαβ . Nếu các hàm [ ], :T a;bα β → khả vi liên tục , f : G → R liên tục và hàm

( )f x, tt

∂∂

tồn tại, liên tục trên Dαβ thì hàm

( ) ( )( )

( )t

t

I t f x, t dx, t Tβ

α

= ∀ ∈∫

khả vi liên tục trên T và

( ) ( ) [ ] [ ]( t )

( t )

fI ' t x, t dx '(t).f (t), t '(t).f (t), t , t Tt

β

α

β β α α∂

= + − ∀ ∈∂∫ (2)

Chứng minh. Dùng định nghĩa. Để đơn giản ta xét n 1= . Cho 0t T∈ . Giả sử r 0> được chọn như trong định lý 2.1, với mỗi t mà 0t t r− < ta có

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )0

0 0 0

t t t0 0

0 0 0 0t t t

I t I t f x, t f x, t 1 1dx f x, t dx f x, t dxt t t t t t t t

β β α

α β α

− −= + −

− − − −∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )A t B t C t= + − Với mỗi giá trị 0t xác định thì ( ) ( )0 0t và tα β là các hằng số, theo định lý 1.2 ta có

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( )

( )0 0

0 00 0

t t0

0t t t t0t t

f x, t f x, t flimA t lim dx x, t dxt t t→ →

− ∂= =

− ∂∫ ∫β β

α α

.

Áp dụng ĐLGTTB đối với tích phân của hàm liên tục ta có

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )0

t

1 00 0t

1 1B t f x, t dx f c , t t tt t t t

β

β

β β = = − − −∫

trong đó 1c nằm giữa ( ) ( )0t và tβ β . Do hàm ( )tβ khả vi liên tục, f(x, t) liên tục nên

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

0

t0

1 0 0 0t t t t t t0 0t

t t1limB t lim f x, t dx lim f c , t ' t .f t , tt t t t

β

β

β ββ β

− − −

− = = = − −

∫ .

Tương tự ( ) ( ) ( )0

0 0 0t tlimC t ' t f t , tα α→

= . Vậy

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]0

00

( t )0

0 0 0 0 0 0 0 0t t0 (t )

I t I t fI ' t lim x, t dx '(t ).f (t ), t '(t ).f (t ), tt t t

β

α

β β α α→

− ∂= = + −

− ∂∫ .

Vì 0t T∈ bất kỳ nên ta suy ra kết quả. W

38

Ví dụ. Cho ( ) ( )t

0

ln 1 txF t dx, t 0

x+

= ≠∫ . Tính F’(t).

$3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ

3.1 Khái niệm. Cho nT ⊂ R , xét hàm [ )f : a; T+∞ × → R . Giả sử với mọi t T∈ tích

phân ( )a

f x, t dx+∞

∫ tồn tại. Khi đó hàm

(1) ( ) ( )a

I t f x, t dx, t T+∞

= ∀ ∈∫

được gọi là tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận +∞ .

Từ định nghĩa của tích phân suy rộng ta có ( ) ( )A

Aa

I t lim f x, t dx, t T→+∞

= ∈∫ .

Tương tự ta có thể định nghĩa cho trường hợp cận dưới a = −∞ hoặc cả cận trên và dưới tương ứng là+∞ và −∞ . Để thuận tiện ta xét tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận +∞ , cận dưới a hữu hạn. Ví dụ. Xét hàm [ )f : 0;+∞ × →R R cho bởi ( ) txf x, t t e−= .

Hãy tìm miền xác định của hàm :

( ) tx

0

I t t e dx+∞

−= ∫

3.2 Sự hội tụ đều. 3.2.1 Định nghĩa. a) Tích phân suy rộng (1) được gọi là hội tụ trên T nếu nó hội tụ tại t T∀ ∈ . Nghĩa là :

( ) ( ) ( )A

0 0 0a A

0bé, t T, A A , t a : A A thì I(t)- f x, t dx f x, t dx+∞

∀ > ∀ ∈ ∃ = > ∀ > = <∫ ∫ε ε ε

b) Tích phân suy rộng (1) được gọi là hội tụ đều trên T nếu

(2) ( ) ( )0 0 0A

0bé , A A a : A A và t T thì f x, t dx+∞

∀ > ∃ = > ∀ > ∀ ∈ <∫ε ε ε .

Bất đẳng thức (2) có nghĩa là ( )t T A

sup f x, t dx , A a+∞

∈< ε ∀ >∫ .

3.2.2 Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều.

Tích phân suy rộng (1) hội tụ đều trên T nếu và chỉ nếu

( ) ( )A ''

0 0 0A '

0bé , A A a : A '' A ' A và t T f x, t dxε ε ε∀ > ∃ = > ∀ > > ∀ ∈ ⇒ <∫ .

39

Ví dụ. Chứng minh rằng tích phân ( ) tx

0

I t t e dx+∞

−= ∫

a) Hội tụ đều trên đoạn [ ]0 0a ;1 ,0 a 1< < . b) Hội tụ nhưng hội tụ không đều trên đoạn [0; 1].

3.2.3 Dấu hiệu Weierstrass.

Nếu ( )f (x, t) x , x a, t Tϕ≤ ∀ ≥ ∀ ∈ ( )+

a

và x dx∞

∫ ϕ hội tụ thì +

a

f (x, t)dx∞

∫ hội tụ

đều trên T. - Hàm ( )xϕ được gọi là hàm làm trội của f(x, t). Ví dụ. Xét sự hội tụ đều của các tích phân :

a) ( )+

2 20

cos tx dx, t ,1+t x

∞

∈ −∞ +∞+∫ , b) ( )

+- tx

0

e sin xdx, t 0,∞

∈ +∞∫ .

3.2.4 Các dấu hiệu Abel, Dirichlet. Xét tích phân dạng :

(3) +

a

f (x, t)g(x, t)dx , x a, t T∞

≥ ∈∫

1. Dấu hiệu Dirichlet. Giả sử :

a) Hàm A

a

F(A, t) f (x, t)dx, A a= ∀ >∫ bị chặn trên ( ){ }D x, t : x a, t T= ≥ ∈ .

b) Với t T∀ ∈ hàm g(x,t) đơn điệu (giảm) trênx

x a và lim g(x, t) 0→+∞

≥ = .

Khi đó tích phân (3) hội tụ đều trên T. 2. Dấu hiệu Abel. Giả sử :

a) Tích phân +

a

f (x, t)dx∞

∫ hội tụ đều trên T.

b) Với t T∀ ∈ hàm g(x,t) bị chặn và đơn điệu trên x a≥ . Khi đó tích phân (3) hội tụ đều trên T. Ví dụ. Xét sự hội tụ đều cúa các tích phân :

a) ( )+

2 20

t cos tx dx , t ,t x

∞

∈ −∞ +∞+∫ , b)

+tx

0

sinxe dx, t 0x

∞− ≥∫ .

3.3 Tính liên tục, khả vi, khả tích. 3.3.1 Tính liên tục. Định lý 3.3.1 Cho nT ⊂ R , xét hàm [ )f : a; T+∞ × → R liên tục sao cho tích phân

( )a

f x, t dx+∞

∫ hội tụ đều trên T. Khi đó ( ) ( )a

I t f x, t dx, t T+∞

= ∀ ∈∫ liên tục trên T.

40

Chứng minh. Dùng định nghĩa.

Giả sử 0t T∈ , cho 0ε > bé tùy ý. Do tích phân +

a

f (x, t)dx∞

∫ hội tụ đều trên T nên

( )+ +

0 0 0 0A A

A A a : A A và t T thì f (x, t )dx và f (x, t)dx3 3ε ε

ε∞ ∞

∃ = > ∀ > ∀ ∈ < <∫ ∫ (*)

Với A cố định, tích phân ( )A

a

f x, t dx, t T∀ ∈∫ là hàm số liên tục trên T (định lý

1.1) nên với t đủ gần 0t , ta có

A A

0a a

f (x, t)dx f (x, t )dx3ε

− <∫ ∫ (**)

Từ (*) và (**) và với t đủ gần 0t , ta có ước lượng

+ +

0 0a a

I(t) I(t ) f (x, t)dx f (x, t )dx∞ ∞

− = − ≤∫ ∫

A A + +

0 0a a A A

f (x, t)dx f (x, t )dx f (x, t)dx f (x, t )dx ε∞ ∞

≤ − + + <∫ ∫ ∫ ∫ .

Vậy I(t) liên tục trên T. W

Nhận xét: Sự hội tụ đều của tích phân +

a

f (x, t)dx∞

∫ trên T là điều kiện đủ để hàm I(t)

liên tục. Tuy nhiên nếu f(x, t) liên tục và có dấu không đổi (không âm) thì từ tính liên

tục cùa I(t) có thể suy ra sự hội tụ đều của tích phân+

a

f (x, t)dx∞

∫ trên T.

3.3.2 Tính khả vi. Định lý 3.3.2 Cho nT ⊂ R là tập mở, hàm [ )f : a; T+∞ × → R liên tục và có đạo hàm

riêng ( )f x, tt

∂∂

liên tục. Nếu các tích phân ( )a

f x, t dx+∞

∫ và ( )a

f x, t dxt

+∞ ∂∂∫ hội tụ đều

trên T thì

( ) ( )a

I t f x, t dx, t T+∞

= ∀ ∈∫

khả vi liên tục trên T và

( ) ( )a

fI ' t x, t dx, t Tt

+∞ ∂= ∀ ∈

∂∫ .

Chứng minh. Ta coi n 1= . Với mỗi số tự nhiên k a> , đặt

( ) ( )k

ka

I t f x, t dx= ∫

thế thì dãy hàm ( ){ }kI t hội tụ về hàm ( )I t với mỗi t T∈ . Mặt khác với k cố định từ định lý 1.2 ta có

41

( ) ( )k

'k

a

fI t x, t dx, t Tt

∂= ∀ ∈

∂∫ .

Vì tích phân ( )a

f x, t dxt

+∞ ∂∂∫ hội tụ đều trên T nên dãy hàm ( ){ }'

kI t cũng hội tụ

đều về hàm giới hạn ( )a

f x, t dxt

+∞ ∂∂∫ trên T.Vậy hàm ( )I t khả vi trên T (tính chất của

hàm giới hạn) và ( ) ( )a

fI ' t x, t dx, t Tt

+∞ ∂= ∀ ∈

∂∫ . Tính liên tục của ( )I ' t được suy ra từ

sự hội tụ đều của ( )a

f x, t dxt

+∞ ∂∂∫ và định lý 3.3.1 . W

3.3.3 Tính khả tích. Định lý 3.3.3 Cho [ ]T a;b= ⊂ R và ( ){ }D x, t : x a,c t d= ≥ ≤ ≤ . Nếu hàm f : D → R

liên tục và tích phân ( )a

f x, t dx+∞

∫ hội tụ đều trên đoạn [c;d] thì hàm

( ) ( ) [ ]a

I t f x, t dx, t c;d+∞

= ∀ ∈∫

khả tích trên đoạn [c;d] và

(4) d d + + d

c c a a c

I(t)dt f (x, t)dx dt f (x, t)dt dx∞ ∞

= =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Chứng minh. Từ định lý 3.3.1 ta có I(t) liên tục trên đoạn [c;d] do đó I(t) khả tích trên đoạn [c;d]. Ta chỉ cần chứng minh (4).

Giả sử 0ε > bé tùy ý, do tích phân +

a

f (x, t)dx∞

∫ hội tụ đều trên đoạn [c;d] nên

[ ]+

0 0A

A a : A A và t c;d thì f (x, t)dxd c

∞

∃ > ∀ > ∀ ∈ <−∫ε . (*)

Xét d d + d A d +

c c a c a c A

I(t)dt f (x, t)dx dt f (x, t)dx dt f (x, t)dx dt∞ ∞

= = +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Với A cố định theo định lý 1.3 thì d A A d

c a a c

f (x, t)dx dt f (x, t)dt dx

=

∫ ∫ ∫ ∫ .

Khi đó [ ]0A A , t c;d∀ > ∀ ∈ ta có

d A d d + d

c a c c A c

I(t)dt f (x, t)dt dx f (x, t)dxdt dtd c

εε

∞ − ≤ < = −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )A d d

Aa c c

lim f (x, t)dt dx I t dt→+∞

⇔ =

∫ ∫ ∫ .

42

Điều này có nghĩa là tích phân+ d

a c

f (x, t)dt dx∞

∫ ∫ hội tụ và

d + d

c a c

I(t)dt f (x, t)dt dx∞

=

∫ ∫ ∫ . W

Chú ý. Công thức (4) còn được viết dưới dạng:

( ) ( )d d

c a a c

dt f x, t dx dx f x, t dt+∞ +∞

=∫ ∫ ∫ ∫

và gọi là công thức đổi thứ tự lấy tích phân. 3.4 Các ví dụ.

1) Chứng minh rằng hàm ( )+ tx

2o

eI t dx1 x

∞ −

=+∫ liên tục và khả vi trong miền t > 0.

2) Tính tích phân Dirichlet +

0

sinxI dxx

∞

= ∫ .

Xét hàm ( )+

tx

0

sinxJ t e dx , t 0x

∞−= ≥∫ . Các hàm

( ) ( )tx ' txt

sinxf x, t e ,f x, t e sinxx

− −= = − liên tục trên ( ){ }D x, t : x a 0, t 0= ≥ > ≥ .

Tích phân+

tx

0

sinxe dxx

∞−∫ hội tụ đều trong [0,+ )∞ ⇒ J(t) liên tục trong [0,+ )∞ .

Mặt khác J(t) khả vi trong (0,+ )∞ nên với t > 0 ta có

( )+

tx tx2 2

o 0

t sin x cosx 1J ' t e sinxdx e1 t 1 t

+∞∞− − + = − = = − + + ∫ .

Lấy tích phân hai vế

( ) ( ) ( )+ +

2t t

dtJ ' t dt arctgt J J t arctgt .1 t 2 2

π π∞ ∞

= − = − ⇔ +∞ − = −+∫ ∫

Vì ( ) ( )x

J lim J t 0→+∞

+∞ = = nên ( )J t arctgt, t 02π

= − ∀ ≥ .

Vậy ( )+

o

sinxI dx J 0x 2

π∞

= = =∫ .

$4 GIỚI THIỆU VỀ CÁC TÍCH PHÂN EULER

Ta xét các tích phân Euler:

( ) p 1 x

0

p x e dx+∞

− −Γ = ∫ (1) là hàm của biến p còn gọi là hàm Gamma.

( ) ( )1

q 1p 1

0

B p,q x 1 x dx−−= −∫ (2) là hàm của hai biến p, q còn gọi là hàm Bêta.

43

Các hàm ( )pΓ và B(p,q) không phải là các hàm sơ cấp. Các tích phân Euler

liên hệ với nhau bởi hệ thức ( ) ( )( )p q

B(p,q) , p 0,q 0.p q

Γ Γ= > >

Γ +

4.1 Hàm Bêta: Hàm Bêta có các tính chất. 1. Hàm B(p,q) có miền xác định là p 0, q 0∀ > ∀ > .

2. Nếu đặt yx1 y

=+

thì hàm B(p,q) có thể biểu diễn dưới dạng

( )

p 1

p q0

yB(p,q) dy1 y

+∞ −

+=+∫ .

3. B(p,q) B(q,p) , p 0,q 0= ∀ > > .

4. q 1B(p,q) B(p,q 1), p 0,q 1p q 1

−= − ∀ > >

+ − hoặc

p 1B(p,q) B(p 1,q), p 1,q 0p q 1

−= − ∀ > >

+ −.

5. Tích phân B(p,q) hội tụ đều trong miền 0 0p p 0,q q 0≥ > ≥ > .

6. Hàm B(p,q) liên tục trong miền xác định của nó.

7. ( )B p,1 p , 0 p 1sin p

π− = < <

π (công thức bù).

4.2 Hàm Gamma: Hàm Gamma có các tính chất. 1. Hàm ( )pΓ có miền xác định là p 0∀ > . 2. Tích phân ( )pΓ hội tụ đều theo tham số p trên mọi đoạn hữu hạn [ ] ( )a,A 0,⊂ +∞ . 3. Hàm ( )pΓ liên tục trên khoảng ( )0,+∞ . 4. Hàm ( )pΓ khả vi vô hạn lần trên khoảng ( )0,+∞ và:

( ) ( ) ( )nn p 1 x

0

p x ln x e dx+∞

− −Γ = ∫ .

5. ( ) ( )p 1 p pΓ + = Γ , đặc biệt ( ) ( )x

0

1 e dx 1nên n 1 n!+∞

−Γ = = Γ + =∫ , n nguyên

dương.

6. 12

Γ = π

.

7. ( ) ( )p 1 p , 0 p 1sin p

πΓ Γ − = < <

π.

Sử dụng các tính chất của các tích phân Euler có thể tính được một số tích phân suy rộng mà không cần dùng định nghĩa.

44

BÀI TẬP CHƯƠNG TÍCH PHÂN BỘI 1. Thay đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân lặp:

a) 2

2

2 16

0 8

( , )x

x x

dx f x y dy−

−

∫ ∫ b) ( )2

21

0 2

,y

y y

dy f x y dx−

−

∫ ∫ c) 3 21

0

( , )y

y

dy f x y dx−

∫ ∫

d)2

2

1 1

1 1

( , )x

x

dx f x y dy−

− − −

∫ ∫ e) ( )2

22

0 2

,y

y y

dy f x y dx−

∫ ∫ f) 2

2 2

61

4

( , )x

x

dx f x y dy−

−−

∫ ∫

2. Tính các tích phân 2- lớp sau trong tọa độ Đề các: a)

D

xydxdy∫∫ , 2 2: 4 4D x y+ ≤ b) ( ){ }( ) , , : 1D

x y dxdy D x y x y+ = + ≤∫∫

c)2

2 , : 2, , 1D

x dxdy D x y x xyy

≤ ≤ ≥∫∫ d) ln 2 ,D

x dxdy Dy

+

∫∫ : 1y = và 2y x= .

e) ( ){ }, , : 1, 1D

x y dxdy D x y x y+ = ≤ ≤∫∫

3. Chuyển sang tọa độ cực và tính các tích phân sau:

a) , :D

yarctg dxdy Dx∫∫ 1 ≤ 2 2 9x y+ ≤ , 3

3x y x≤ ≤ , 0, 0.x y≥ ≥

b) 2 2

2 2

1 , :1

− −+ +∫∫

D

x y dxdy Dx y

2 2 1, 0, 0x y x y+ ≤ ≥ ≥ .

c) 2 2(1 ) , :D

x y dxdy D− −∫∫ 2 2 2 , 3x x y x x y x≤ + ≤ ≤ ≤ .

d) (1 2 ) ,D

x y dxdy D+ +∫∫ là giao của hai hình tròn 2 2 2 22 , 2x y x x y y+ ≤ + ≤ .

e) 2

2

422 2

0 2

.y

y y

dy x y dx−

−

+∫ ∫ f) ( )2

2 2

0 0

1 , 0.ay ya

dy x y dx a−

− − >∫ ∫

4. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số: a) 2 , :

D

xy dxdy D∫∫ 2 3 ,1 2y x y xy≤ ≤ ≤ ≤

b) ( )2 2

, :x xy y

D

e dxdy D− + +

∫∫ 2 2 1x xy y+ + ≤

c) , :D

xdxdy D∫∫ 1, 2 1 2 5x y x x y x≤ ≤ + − + ≤ ≤ − +

d) , :D

xdxdy D∫∫ 2 2 4 2 4x y x y+ ≤ − +

e)2 2

2 24 , :D

x y dxdy Da b

− −∫∫2 2

2 21 4, 0, 0x y x ya b

≤ + ≤ ≥ ≥

45

f) ( ) ( )2 sin , :D

x y x y dxdy Dπ+ +∫∫ 1, 0, 0x y x y+ ≤ ≥ ≥ .

5. Tính các tích phân 3- lớp sau trong tọa độ Đề các:

a) ∫∫∫T

xydxdydz , : 1( , , 0), 0, 0, 0.x y zT a b c x y za b c

+ + ≤ > ≥ ≥ ≥

b) (2 3 )T

x y z dxdydz+ −∫∫∫ , T: 0, 0, 0 3 , 2.x y z x y≥ ≥ ≤ ≤ + ≤

c) ( )T

x y z dxdydz+ +∫∫∫ , T:0 1 , 0 1 , 0 1.x y z≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

d) ,T

zdxdydz T∫∫∫ là phần giao của hai hình cầu 2 2 2 2 2 21, 2x y z x y z z+ + ≤ + + ≤

e) 2 ,T

x dxdydz T∫∫∫ là hình elipxôit 2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + ≤ .

6. Chuyển sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu tính các tích phân: a) ( )2 21

T

x y dxdydz+ +∫∫∫ T: 2 2 2 20 , 1 , .z x y z x y≥ + ≤ ≤ +

b) 2 2( )T

x y dxdydz+∫∫∫ , T : 2 2 2 2 2 , 0, (0 ).a x y z b z a b≤ + + ≤ ≥ < <

c) 2 2( )T

x y dxdydz+∫∫∫ , T : 2 2 2 21x y z x y+ ≤ ≤ − −

d) 2 2

T

x y dxdydz+∫∫∫ , T : 2 2 2 26x y z x y

f)2

2

1 12 2 2

0 01

( )x a

x

dx dy x y z dz−

− −

+ +∫ ∫ ∫ g) ( )2

2 2 2

1 1 12 2 2

1 1

x

x x y

dx dy x y z dz−

− − − +

+ +∫ ∫ ∫

h)2 2 22 2

2 2

2 2

0

( )R x yR R x

R R x

dx dy x y dz− −−

− − −

+∫ ∫ ∫ , 0R > .

7. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường: a) cosr a ϕ= , cosr b ϕ= (0 )a b< < b) (1 cos )r a ϕ= + ,(a > 0) 8. Tính thể tích của vật thể T : a) 2 21z x y= − − , y x= , 3y x= , 0z = thuộc góc 1/8 thứ nhất. b) 2 2z x y= + , z x y= + c) 2 22 , 4= + + =z x y y z

d) 2 2 2 21 1x y z x y+ ≤ ≤ + − − 9. Tính khối lượng của vật thể giới hạn bởi mặt parabôlôit 2 2 2x y az+ = và bởi mặt cầu ( )2 2 2 23 0x y z a a+ + = > , biết khối lượng riêng tại mỗi điểm bằng tổng các tọa độ. 10. Khối lượng riêng của hình cầu T ( )2 2 2 2 0x y z Rz R+ + ≤ > tại mỗi điểm thuộc T bằng bình phương khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ. Tính tọa độ trọng tâm của hình cầu.

46

BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT 1) Tính các tích phân đường theo độ dài sau: a)

( )( ),

C

xyds C∫ là biên của hình vuông , 0x y a a+ = > .

b) ( )2 2

( )

,x y

C

e ds C+∫ là biên của hình quạt tròn ( ){ }, :0 , 04

r r a πϕ ϕ≤ ≤ ≤ ≤ .

c)( )

( ),C

xyds C∫ là 1/4 elip 2 2

2 2

x y 1a b

+ = nằm trong góc phần tư thứ nhất.

d)( )

( )2 2 2( ) ,C

x y z ds C+ +∫ là cung của đuờng cong:

( )cos , sin , 0 2 , 0, 0x a t y a t z bt t a bπ= = = ≤ ≤ > >

e)( )

( )2 ,C

x ds C∫ là đường tròn 2 2 2 2

, 00

x y z aa

x y z + + =

>+ + =

f) ( )( )

( ),C

x y ds C+∫ là 1/4 đường tròn 2 2 2 2x y z R

y x + + =

= nằm trong góc phần tám

thứ nhất. 2) Cho đường cong (C) có phương trình ( )cos , sin , 0 2 ,x t y t z t t π= = = ≤ ≤ tính

khối lượng của (C) biết rằng khối lượng riêng tại mỗi điểm thuộc (C) bằng khoảng cách từ (C) đến gốc tọa độ.

3) Tính các tích phân đường theo tọa độ sau: a)

( )( ),

C

xdy ydx C−∫ là đường gấp khúc nối các điểm (0,0),(1,0), (1,2) .

b) ( )( )

( )2 ,C

a y dx xdy C− +∫ : ( ) ( )sin , 1 cos 0 2x a t t y a t t π= − = − ≤ ≤ .

c)( )

( ),C

dx dy Cx y

++∫i là biên của hình vuông với các đỉnh A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1).

d) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 ,C

x y dx x y dy C− + +∫i là elip có hướng dương 2 2

2 2 1x ya b

+ = .

e) ( )( )

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

C

y z dx z x dy x y dz, C− + − + −∫i là đường cong đóng, biên của phần

mặt cầu 2 2 2x y z 1+ + = thuộc góc phần tám thứ nhất, có hướng ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn về phía z dương. f) ( )

( ),

C

xydx yzdy zxdz C+ +∫ là 1/4 đường tròn x cos t , y sin t ,z 1= = = chạy theo

chiều tăng của tham số từ A(1;0;1) đến B(0;1;1).

47

g) ( )( )

,C

ydx zdy xdz C+ +∫ là một vòng của đường xoắn ốc

cos sin , ,0 2 , 0, 0x a t y a t z bt t a bπ= = = ≤ ≤ > > . 4) Áp dụng công thức Green tính các tích phân sau:

a) ( )( )

2 2 ,C

xy dy x dx C−∫i là elip 2 2

2 2 1x ya b

+ = .

b) ( ) ( )( )

( )sin sin ,x y

C

xy e x x y dx xy e x y dy C−+ + + + − + −∫i : 2 2 2x y x+ = .

c) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 ,C

x y dx x y dy C+ + −∫i là biên của tam giác OAB với O(0;0) ,

A(1;0) ,B(0;1). d) ( ) ( ) ( )

( )

2 22 4 3 ,C

x y dx x y dy C+ + +∫ là đường nối các điểm O(0;0) , A(1;1),B(0;2).

5) Tích phân đường :

( )

2 2 2 2 2 2

AB

x y 3x y 3y xI dx dyxy x y

+ − −= +

∫

trong đó (AB) là đường không cắt các trục Ox, Oy có phụ thuộc vào đường lấy tích phân không. Tính I trên cung (AB) xác định bởi

2 2x t cos t , y 1 sin t , 0 t2π

= + = + ≤ ≤ .

6) Tìm m để biểu thức ( ) ( )( )m2 2

x y dx x y dy

x y

− + +

+ là vi phân toàn phần của hàm u(x,y)

nào đó . Với m đã tìm được tìm hàm u(x,y).

7) Cho tích phân ( ) ( )( )

( )2 2C

x y dx x y dyI , C

x y− + +

=+∫i , trong đó (C) là đường cong đóng

có hướng dương, không đi qua gốc tọa độ. Hãy tính tích phân I nếu: a) (C) là đường tròn 2 2 2 , 0.x y R R+ = >

b) (C) là biên của tam giác với các đỉnh A(1,1) , B(5,0) , C(3,4).

8) Cho tích phân đường: ( )

( )2 2 ,C

y dx x dy C−∫i là đường elip 2 2

2 2 1x ya b

+ = có hướng

dương. a) Tính trực tiếp tích phân I. b) Tính I theo công thức Green.

48

9) Tính các tích phân mặt loại 1 sau: a) ( )

( )S

x y z dS+ +∫∫ ,( )S là biên của hình lập phương

( ){ }x, y,z : 0 x 1,0 y 1,0 z 1≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ .

b)( )S

4yz 2x dS3

+ + ∫∫ , ( )S là phần mặt phẳng x y z 1

2 3 4+ + = thuộc góc 1/8 thứ nhất.

c) ( )( )

2 2

S

y z a x dS+ + −∫∫ , ( )S là phần mặt trụ 2 2 2x y a+ = nằm giữa hai mặt phẳng

z = 0 và z = h. d) ( )

( )( )

S

yz zx xy dS , S+ +∫∫ là phần mặt nón 2 2z x y= + nằm trong mặt trụ

( )2 2x y 2ax 0 a 0+ − = > . đ) ( )

( )( )2 2

S

y z dS , S+∫∫ là phần mặt paraboloid 2 2x 4 y z= − − nằm ở trên mặt phẳng

x = 0. e)

( )( )2 2

S

x y dS , S+∫∫ là mặt cầu ( )2 2 2 2x y z a a 0+ + = > .

f)( )

( )S

dS , S1 x y+ +∫∫ là biên của hình tứ diện xác định bởi

x 0, y 0,z 0,x y z 1≥ ≥ ≥ + + ≤ . 10) Hãy tính diện tích của phần mặt cầu 2 2 2 1x y z+ + = nằm trong mặt trụ

2 2x y x+ = .

11) Cho (S) có phương trình: ( )2 21 , 12

z x y z= + ≤ . Tính khối lượng của (S) nếu khối

lượng riêng tại mỗi điểm thuộc (S) bằng khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng Oxy. 12) Tính các tích phân mặt loại 2 sau:

a)( )

( )2 2

S

x y zdxdy , S∫∫ là phía trên của ½ mặt cầu 2 2 2 2x y z R

z 0 + + =

≤

b)( )

( )2 2

S

x dydz z dxdy , S+∫∫ là phía trong của phần mặt nón 2 2 2x y z ,0 z 1+ = ≤ ≤ .

c)( )

( )S

xdydz ydzdx zdxdy, S+ +∫∫ là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = , ( )R 0>

d)( )

( )S

xdydz ydzdx zdxdy , S+ −∫∫ là phía ngoài của ½ mặt cầu 2 2 2x y z 1 ,z 0+ + = ≥ .

e) ( )( )S

yzdydz xzdxdz xydxdy , S+ +∫∫ là phía trên của tam giác tạo bởi giao tuyến của

mặt phẳng ( )x y z a a 0+ + = > với các mặt phẳng toạ độ. 13) Dùng công thức Gauss-Ostrogradxki , tính các tích phân mặt sau:

49

1. ( )( )S

xzdydz yx dzdx zydxdy, S+ +∫∫ là phía ngoài của biên của hình chóp

x 0,y 0,z 0,x y z 1≥ ≥ ≥ + + ≤ . 2.

( )( )2 2 2

S

x dydz y dzdx z dxdy , S+ +∫∫ là phía ngoài của biên của hình lập phương

( ){ }T x, y,z :0 x a ,0 y a ,0 z a ,a 0= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥

3. ( )( )

2

S

xdydz dzdx xz dxdy , S+ +∫∫ là phía ngoài của biên của 1/8 hình cầu

2 2 2x y z 1,x 0, y 0,z 0+ + ≤ ≥ ≥ ≥ . 4.

( )( )2 2 2

S

x dydz y dzdy z dxdy , S+ +∫∫ là phía ngoài của mặt cầu

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2x a y b z c R R 0− + − + − = > 5. ( )

( )

2 2 2 ,S

x dydz y dzdx z dxdy S+ +∫∫ là phía ngoài của phần mặt nón

2 2 2x y z ,0 z h+ = ≤ ≤ 12) Dùng công thức Stokes tính các tích phân sau:

a) ( )( )C

zdx xdy ydz , C+ +∫i là đường tròn 2 2 2 2x y z Rx y z R

+ + =

+ + =

b) ( )( )

2 2

C

ydx z dy x dz , C+ +∫i là giao tuyến của mặt cầu 2 2 2x y z 4+ + = với mặt phẳng

z 3= có hướng vòng quanh ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ điểm về phía z >0 với mặt có hướng (S) có biên (C) là : i) Phía trên của phần mặt cầu 2 2z 4 x y= − − với 3 z 2≤ ≤ . ii) Phía trên của phần mặt phẳng z 3= với 2 2x y 1+ ≤ .

BÀI TẬP CHƯƠNG TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

1) Tính các giới hạn: a)t 1

2

t 00

lim x cos txdx+

→ ∫ b)1

nn0

dxlimx1 1n

→∞ + +

∫

2) Cho x

0

F(x) (x y)f (y)dy , f (y)= +∫ là hàm số khả vi. Tính F''(x) .

3) Cho x

n 1

0

F(x) (x y) f (y)dy , f (y)−= −∫ là hàm số liên tục. Tính ( )nF (x) .

4) Sử dụng phương pháp lấy đạo hàm theo tham số, tính các tích phân :

a)1

n

0

x (ln x) dx , 0 ,nα α >∫ nguyên dương b) 2

2 2 2 2

0

ln( sin cos )a x b x dx

π

+∫

50

c)2

0

arctg(atgx) dxtgx

π

∫ d) ( )2

2

0

ln 1 ysin x dx , y 1

π

+ > −∫

5) Sử dụng phương pháp lấy tích phân dưới dấu tích phân tính các tích phân :

a) 1 b a

0

x x 1sin ln dxln x x−

∫ b)

1 b a

0

x x 1cos ln dxln x x−

∫ c)

1

20

arctgx dxx 1 x−∫

6) Khảo sát sự hội tụ đều của các tích phân sau:

a)2x

0

e dxα+∞

−∫ , 0i)0ii)0

α α

α

< ≤ < +∞

≤ < +∞

b)0

sin t x dxx

+∞

∫ , i) a t b không có t 0ii)a t b có t 0

≤ ≤ =≤ ≤ =

7) Xét sự hội tụ đều của các tích phân :

a) ( )x

1

x e dx a bα α+∞

− ≤ ≤∫ b)( )

( )2 2

22 21

x dxx

αα

α

+∞ −−∞ < < +∞

+∫

c) ( )2x

0

e dx 0αα α+∞

− ≤ < +∞∫ d) -yx a0

0

e x cosxdx ,0 a y ,a 0+∞

< ≤ < +∞ ≥∫

e) yx

0

cosxe dx ,0< <1,0 yx

+∞−

β β ≤ < +∞∫ f) [ ]+

1

cosx arctan tx dx , t 0;12x - t

∞

∈∫

8) Xét tính liên tục và khả vi của các hàm số :

a) ( )( )2

0

cos xF t dx , t1 x t

+∞

= − ∞ < < +∞+ +∫

b) ( ) ( )2

arctan x yF y dx , y

1 x

+∞

−∞

+= − ∞ < < +∞

+∫

9) Sử dụng phương pháp lấy đạo hàm theo tham số, tính các tích phân :

a)( )n2

0

dx 0,x

αα

+∞

>+

∫ n nguyên dương b) ( )x

x0

1 e dx 1xe

α

α+∞ −−

> −∫

c) ( )20

arctgax dxx 1 x

+∞

+∫ d) ( )2 2ax bx

0

e e dx a 0,b 0x

+∞ − −−> >∫

10) Tính tích phân Poisson 2x

0

I e dx+∞

−= ∫ .

11) Sử dụng các tính chất của các tích phân Euler tính được các tích phân suy rộng:

a) ( )

4

20

x dx1 x

+∞

+∫ c) ( )

1 2

230

x dxx 1 x−

∫ ( HD đặt 2t x= )