B CNG THNGTRNG I HC CNG NGHIP TP. HCM

Nguyn c Phng

Bi gingQuy hoch tuyn tnh

MSSV: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H tn: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TP. HCM Ngy 27 thng 6 nm 2011

Mc lc

Mc lc i

1 Gii thiu quy hoch tuyn tnh 1

1.1 Mt s v d dn n bi ton quy hoch tuyn tnh . . . . . 1

1.2 Cc dng ca bi ton quy hoch tuyn tnh . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Bi ton quy hoch tuyn tnh dng tng qut . . . . . 5

1.2.2 Bi ton quy hoch tuyn tnh dng chun . . . . . . . 5

1.2.3 Bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc . . . . . 6

1.3 Quan h dng chun v chnh tc . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 i chiu bt ng thc ca cc rng buc . . . . . . . 8

1.3.2 Bin khng rng buc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.3 Quan h dng chun, chnh tc . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Dng ma trn ca bi ton quy hoch . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Phng n chp nhn c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 ngha hnh hc ca bi ton quy hoch tuyn tnh . . . . . 16

1.6.1 Phng php th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.2 Tnh cht ca tp phng n chp nhn c . . . . . 17

1.7 im cc bin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8 Phng n c bn chp nhn c . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8.1 Nghim c bn ca Ax D b . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8.2 Thnh lp phng n cc bin . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8.3 Phng n cc bin v phng n ti u . . . . . . . . 30

MC LC ii

1.9 Bi tp chng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Phng php n hnh 33

2.1 Phng php n hnh cho bi ton quy hoch dng chun . . 33

2.1.1 Phng n cc bin ban u . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.2 Du hiu ti u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.3 Chn bin vo c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.4 Chn bin ra khi c s . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.5 Lp bng n hnh mi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2 Thut ton n hnh cho bi ton min . . . . . . . . . . . . . 50

2.3 Bi ton chnh tc khng c sn ma trn n v . . . . . . . . 52

2.4 Bi tp chng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 L thuyt i ngu 64

3.1 V d dn n bi ton i ngu . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.1 Bi ton i ngu ca bi ton max . . . . . . . . . . . 66

3.1.2 Bi ton i ngu ca bi ton min . . . . . . . . . . . 68

3.2 Cc nh l v i ngu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3 Bi tp chng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4 Bi ton vn ti 83

4.1 Bi ton vn ti cn bng thu pht . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2 Phng n cc bin ca bi ton vn ti . . . . . . . . . . . . 85

4.3 Cc phng php thnh lp phng n cc bin . . . . . . . . 89

4.3.1 Phng php cc ph thp nht . . . . . . . . . . . . 89

4.3.2 Phng php gc Ty - Bc . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3.3 Phng php Vogel (Fogel) . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.4 Thut ton th v gii bi ton vn ti . . . . . . . . . . . . . 92

4.4.1 Thut ton quy khng cc ph chn . . . . . . . . . 92

4.4.2 Xy dng phng n cc bin mi . . . . . . . . . . . 97

MC LC iii

4.5 Mt s trng hp c bit ca bi ton vn ti . . . . . . . . 101

4.5.1 Bi ton vn ti khng cn bng thu pht . . . . . . . 101

4.5.2 Bi ton vn ti c cm . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.6 Bi ton vn ti cc i cc ph . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.7 Bi tp chng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Ti liu tham kho 110

Chng 1

Gii thiu quy hoch tuyn tnh

1.1 Mt s v d dn n bi ton quy hoch tuyn tnh

V d 1.1 (Bi ton lp k hoch sn xut). Mt tri ca cc khc g thnhcc tm vn. C hai loi vn: vn thnh phm v vn s dng trong xydng. Gi s, i vi:

Vn thnh phm cn 2 gi ca v 5 gi bo 10m vn.

Vn xy dng cn 3 gi ca v 3 gi bo 10m vn.

My ca lm vic ti a 8 gi trong ngy, v my bo lm vic ti a 15 gitrong ngy. Nu li nhun ca 10m vn thnh phm l 120 (ngn ng), vli nhun ca 10m vn xy dng l 100 (ngn ng). Trong ngy, tri caphi ca bao nhiu vn mi loi li nhun ln nht?Gii.

1.1 Mt s v d dn n bi ton quy hoch tuyn tnh 2

V d 1.2 (Bi ton khu phn n). Chuyn gia dinh dng nh thnh lpmt thc n gm 2 loi thc phm chnh A v B. C mt (trm gram):

Thc phm A cha 2 n v cht bo, 1 n v carbohydrate v 4 nv protein.

Thc phm B cha 3 n v cht bo, 3 n v carbohydrate v 3 nv protein.

Nu mt (trm gram) thc phm A gi 20 (ngn ng) v mt (trm gram)thc phm B gi 25 (ngn ng). Nh dinh dng mun thc n phi cungcp t nht 18 n v cht bo, 12 n v carbohydrate v 24 n v protein.Bao nhiu (trm gram) thc phm mi loi c gi nh nht nhng vncung cp dinh dng?

Gii.

1.1 Mt s v d dn n bi ton quy hoch tuyn tnh 3

V d 1.3 (Bi ton vn ti). Mt nh sn xut c 2 nh my: Mt nhmy Vnh Phc v mt nh my Bnh Dng. C 3 kho hng phn phisn phm t H Ni, TP. HCM v Cn Th. Nh my Vnh phc; BnhDng, c kh nng cung cp ti a 100; 140 tn mi tun. Lng cu cacc kho H Ni, TP. HCM v Cn Th ln lt t 100; 60 v 80 tn trln. Chi ph vn chuyn (trm ngn) mi tn cho nh bng bn di. Hicn vn chuyn bao nhiu tn hng ha t nh sn xut n cc kho hng H Ni, TP. HCM v cn th chi ph nh nht nhng vn p ng nhu cu?

1.1 Mt s v d dn n bi ton quy hoch tuyn tnh 4

``````````````````Trm pht

Trm thu H Ni TP. HCM Cn thW1:100 W2:60 W3:80

Vnh Phc-Q1: 100 5 7 9Bnh Dng-Q2:140 8 7 10

Gii.

1.2 Cc dng ca bi ton quy hoch tuyn tnh 5

1.2 Cc dng ca bi ton quy hoch tuyn tnh

1.2.1 Bi ton quy hoch tuyn tnh dng tng qut

T cc v d mc 1.1, bi ton quy hoch tuyn tnh tng qut c phtbiu nh sau: Tm x1; x2; : : : ; xn sao cho

z D c1x1 C c2x2 C C cnxn ! max .hay min/ (1.1)

Vi cc rng buc8

1.2 Cc dng ca bi ton quy hoch tuyn tnh 6

1.2.3 Bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc

Chng ta ni bi ton quy hoch tuyn tnh c dng chnh tc nu n cdng nh sau: Tm x1; x2; : : : ; n sao cho

z D c1x1 C c2x2 C C cnxn ! max; .hay min/ (1.6)

Vi cc rng buc8

1.2 Cc dng ca bi ton quy hoch tuyn tnh 7

Vi cc rng buc

3x1 C 2x2 x3 C 2x5 D 4

4x1 C 5x2 C 3x3 C 2x4 D 7

x1 0; x2 0; x3 0; x4 0; x5 0

e. z D 2x1 C 5x2 ! maxVi cc rng buc

3x1 C 2x2 6

2x1 C 9x2 8

x1 0

f. z D 2x1 C 3x2 ! minVi cc rng buc

8

0, u tin cng kt qu vi (1.27) ta cphng trnh (1.29), sau tr kt qu vi (1.27) ta c phng trnh(1.30).

.x0

1 C dc1/A0

1 C .x0

2 C dc2/A0

2 C C .x0

k C dck/A0

k D b (1.29)

.x0

1 dc1/A0

1 .x0

2 C dc2/A0

2 C C .x0

k dck/A0

k D b (1.30)

By gi ta chn hai im trong Rn,

v D .0; 0; : : : ; 0; x0

1 C dc1; x0

2 C dc2; : : : ; x0

k C dck/

vw D .0; 0; : : : ; 0; x

0

1 dc1; x0

2 dc2; : : : ; x0

k dck/

Bi v d l hng s dng bt k, ta chn nh sau:

0 < d < minj

x0

j

jcj j; cj 0

1.8 Phng n c bn chp nhn c 29

Vi cch chn d nh trn, ta thy k thnh phn sau ca v; w l cc s dng.Mc khc, t (1.29) v (1.30) ta cng c v; w l phng n chp nhn c.Nhng ta li c

x D1

2vC

1

2w;

tri vi gi thit ban u x l im cc bin. Vy gi s k ct cui ca A clp tuyn tnh l sai.

H qu 1.15. S phng n cc bin ca tp phng n chp nhn cS D fxjAx D b; x 0g l hu hn.

Chng minh. Bi v s h c m vct ct c lp tuyn tnh l hu hn, nntheo nh l 1.14 th s phng n cc bin ca S l hu hn.

H qu 1.16. S thnh phn dng ca mt phng n cc bin ti a lm:

Chng minh. Theo nh l 1.14, cc ct ca A tng ng vi cc thnh phndng ca phng n cc bin x 2 S l c lp tuyn tnh trong Rm. Nhngkhng th c nhiu hn m vct c lp tuyn tnh trong Rm: Do s thnhphn dng ca mt phng n cc bin ti a l m:

nh l 1.17 (Tng ng gia phng n cc bin v phng n c bnchp nhn c). x l im cc bin ca S D fxjAx D b; x 0g khi v chkhi x l phng n c bn chp nhn c.

V d 1.20. Tm tt c cc phng n cc bin ca

z D 4x1 C 3x2 ! max

Vi cc rng buc

x1 C x2 C x3 D 4

5x1 C 3x2 C x4 D 15

xj 0; j D 1; : : : ; 4

Gii.

1.8 Phng n c bn chp nhn c 30

1.8.3 Quan h gia phng n cc bin v phng n ti u

nh l 1.18. Nu bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc c phngn ti u th s c mt phng n cc bin l phng n ti u.

Nhn xt. Nh nh l 1.18, nu ta chng minh c bi ton quy hochtuyn tnh dng chnh tc c phng n ti u, th n s c phng n ccbin l phng n ti u. Trn y chng ta c th tm c tt c ccphng n cc bin (v s phng n cc bin l hu hn theo h qu). Do trong s cc phng n cc bin va ch ra, ln lt th tng phng nta c phng n ti u.

Rng buc ca bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc Ax D b l mth m phng trnh tuyn tnh n n. nh l 1.12 v 1.14 cho ta mi quanh gia im cc bin ca tp cc phng n chp nhn c S D fxjAx Db; x 0g v s c lp tuyn tnh cc ct ca A:

nh l 1.19. iu kin cn v bi ton quy hoch tuyn tnh dngchnh tc c phng n ti u l tp cc phng n khng rng v hm mctiu b chn trn (nu l bi ton max) hoc b chn di (nu l bi tonmin).

V d 1.21. Gii bi ton quy hoch tuyn tnh

z D 4x1 C 3x2 ! max

Vi cc rng buc

x1 C x2 C x3 D 4

5x1 C 3x2 C x4 D 15

xj 0; j D 1; : : : ; 4

Gii. Bi ton quy hoch ny c cc phng n cc bin

1.9 Bi tp chng 1 31

Nghim c bn Phng n cc bin Gi tr hm mc tiux1 D .3=2I 5=2I 0I 0/ x1 D .3=2I 5=2I 0I 0/

x2 D .3I 0I 1I 0/ x2 D .3I 0I 1I 0/

x3 D .4I 0I 0I 5/

x4 D .0I 5I 1I 0/

x5 D .0I 4I 0I 3/ x5 D .0I 4I 0I 3/

x6 D .0I 0I 4I 15/ x6 D .0I 0I 4I 15/

1.9 Bi tp chng 1

Bi tp 1.1. Bng phng php hnh hc gii bi ton quy hoch tuyntnh

z D 4x1 C 3x2 ! min

Vi cc rng buc8

0 vi mi j th phng n cc bin hinthi l phng n ti u.

Bc 2: Chn bin ra c s. Nu

min

bi

aivI aiv > 0

Dbr

arv

th bin xr l bin ra khi c s. Ngc li, nu khng tm c bin rakhi c s th bi ton khng c phng n ti u.

Bc 3: Lp bng n hnh mi. Ta xc nh bin xv l bin vo vxr l bin ra khi c s. Ta lp bng n hnh mi

Xc nh phn t trc arv:

Chia dng cha phn t trc cho phn t trc.

Cc phn t dng i ct j khc ca bng c tnh

aij D

aij aivarj arv

=arv D

aij arv arj aiv

=arv

V d 2.4. Gii li chi tit bi ton

z D 4x1 C 3x2 ! max

Vi cc rng buc

x1 C x2 C x3 D 4

5x1 C 3x2 C x4 D 15

xj 0; j D 1; : : : ; 4

c minh ha trong v d trn bng thut ton n hnh.

Gii.

2.1 Phng php n hnh cho bi ton quy hoch dng chun 45

Nhn xt. Trong cc bng n hnh, ct cha z khng thay i qua cc bclp. Do , n gin ta s khng ghi ct z trong bng n hnh.

V d 2.5. Gii bi ton quy hoch tuyn tnh

z D 2x1 3x2 C x3 ! max

Vi cc rng buc8

d

V d 2.12. Gi li bi ton quy hoch tuyn tnh v d 2.11

z D 2x1 x2 2x3 ! max

Vi cc rng buc

x1 C x2 x3 D 1

x1 C 2x2 C x3 D 2

xj 0; j D 1; 2; 3

Gii.

2.3 Bi ton chnh tc khng c sn ma trn n v 56

2.3 Bi ton chnh tc khng c sn ma trn n v 57

V d 2.13. Gii bi ton quy hoch tuyn tnh

z D 2x1 C 5x2 ! max

Vi cc rng buc

2x1 C 3x2 6

x1 C 2x2 4

x1; x2 0

Gii.

2.4 Bi tp chng 2 58

2.4 Bi tp chng 2

Bi tp 2.1. Gii cc bi ton quy hoch tuyn tnh:

a. z D x1 2x2 C 2x3 ! minVi cc rng buc

x1 C x2 C 4x4 D 6

2x2 C x3 C 5x4 D 8

xj 0; j D 1; : : : ; 4

p n. Phng n ti u xT D .2I 4I 0I 0/ ; gi tr hm mc tiuz D 6

b. z D 2x1 C 3x2 C x3 ! maxVi cc rng buc

8