Bài 1) ĐHCĐ 2002 K.A 2002 K.B 2002 K fileGiáo viên : Nguy ễn Đình D ũng - Tr ường THPT Nông C ống IV LTĐH - 1 - Bài 1) ĐHCĐ 2002 K.A Trong khoâng gian vôùi heä

Giáo viên: Nguyễn Đình Dũng - Trường THPT Nông Cống IV LTĐH

- 1 -

Bài 1) ĐHCĐ 2002 K.A Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho hai ñöôøng thaúng:

∈1 : 2 0

2 2 4 0

x y z

x y z

− + =

+ − + = vaø ∈2 :

1

2

1 2

x t

y t

z t

= +

= + = +

a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng ∈1 vaø song song vôùi ñöôøng thaèng ∈2

b) cho ñieåm M(2 ; 1,4). Tìm toïa ñoä ñieåm H thuoäc ñöôøng thaúng ∈2 sao cho ñoaïn thaúng MH coù ñoä daøi nhoû

nhaát.

Bài 2) ĐHCĐ 2002 K.B

1.Trong maët phaúng toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxy cho hình chöõ nhaät ABCD coù taâm 1

;02

, phöông trình

ñöôøng thaúng AB laø x – 2y + 2 = 0 vaø AB = 2AD. Tìm toïa ñoä caùc ñænh A,B,C,D bieát raèng A coù hoaønh ñoä aâm. 2.Cho hình laäp phöông ABCDA1B1C1D1 coù caïnh baèng a. a) Tính theo a khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A1B vaø B1D. b) Goïi M,N,P laàn löôït laø caùc trung ñieåm cuûa caùc caïn h BB1, CD, A1D1. Tính goùc giöõa hai ñöôøng thaúng

MP, C1N.

Bài 3) ĐHCĐ 2002 K.D 1. Cho hình töù dieän ABCD coù caïnh AD vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) ; AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoaûng caùch töø ñieåm A tôùi maët phaúng (BCD). 2. Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng (P) : 2x – y + 2 = 0

Vaø ñöôøng thaúng dm : (2 1) (1 ) 1 0

(2 1) 4 2 0

m x m y m

mx m z m

+ + − + − =

+ + + + = ( m laø tham soá ).

Xaùc ñònh m ñeå ñöôøng thaúng dm song song vôùi maët phaúng (P).

Bài 4) ĐHCĐ 2003 K.A

1) Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’. Tính soá ño cuûa goùc phaúng nhò dieän [B,A’C,D]. 2) Trong khoâng gian vôùi heä truïc toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho hình hoäp chöõ nhaät

ABCD.A’B’C’D’ coù A truønh vôùi goác cuûa heä toïa ñoä, B(a; 0; 0) , D(0; a; 0), A’(0; 0; b) (a>0, b>0). Goïi M laø trung ñieåm caïnh CC’.

a) tính theå tích khoái töù dieän BDA’M theo a vaø b.

b) Xaùc ñònh tyû soá a

b ñeå hai maët phaúng (A’BD) vaø (MBD) vuoâng goùc vôùi nhau.

Bài 5) ĐHCĐ 2003 K.B

1) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho tam giaùc ABC coù AB = AC ,

�BAD = 900. Bieát M(1; -1) laø trung ñieåm caïnh BC vaø G2

;03

laø troïng taâm tam giaùc ABC. Tìm toïa

ñoä caùc ñænh A, B, C.

2) Cho hình laêng truï ñöùng ABCD.A’B’C’D’ coù ñaùy ABCD laø moät hình thoi caïnh a, goùc �BAD = 600. Goïi M laø trung ñieåm caïnh AA’ vaø N laø trung ñieåm caïnh CC’. Chöùng minh raèng boán ñieåm B’, M, D, N cuøng thuoäc moät maët phaúng. Haõy tính ñoä daøi canh AA’ theo a ñeå töù giaùc B’MDN laø hình vuoâng.


- 2 -

3) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho hai ñieåm A(2; 0; 0), B(0;0;8) vaø ñieåm C

sao cho ACuuur

=(0; 6; 0). Tính khoaûng caùch töø trung ñieåm I cuûa BC ñeán ñöôøng thaúng OA.

Bài 6) ĐHCĐ 2003 K.D

1) Trong maët phaúng toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho ñöôøng troøn (C) : (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 vaø ñöôøng thaúng d : x – y – 1 = 0 Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C’) ñoái xöùng vôùi ñöôøng troøn (C) qua ñöôøng thaúng d. Tìm toïa ñoä caùc giao ñieåm cuûa (C) vaø (C’). 2) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho ñöôøng thaúng :

dk : 3 2 0

1 0

x ky z

kx y z

+ − + =

− + + = tìm k ñeå ñöôøng thaúng dk vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) : x – y – 2z +5 = 0.

3) Cho hai maët phaúng (P) vaø (Q) vuoâng goùc vôùi nhau, coù giao tuyeán laø ñöôøng thaúng ♠. Treân ♠ laáy hai ñieåm A, B vôùi AB = a . trong maët phaúng (P) ñieåm C , trong maët phaúng (Q) laáy ñieåm D sao cho

AC, BD vuoâng goùc vôùi ♠ vaø AC = BD = AB. Tính baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD vaø

tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (BCD) theo a.

Bài 7) ĐHCĐ 2004 K.A

1) Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho hai ñieåm A (0; 2) vaø B( 3− ; 1− ). Tìm toïa ñoä tröïc taâm vaø toïa ñoä

taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa tam giaùc OAB. 2) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac Oxyz cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi, AC

caét BD taïo goác toïa ñoä O. Bieát A(2; 0; 0), B (0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Goïi M laø trung ñieåm caïnh SC. a) Tính goùc vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôûng thaúng SA, BM. b) Giaû söû maët phaúng (ABM) caét ñöôøng thaúng SD taïi ñieåm N. Tính theå tích khoái hình choùp A.ABMN

Bài 8) ĐHCĐ 2004 K.B 1) trong maët phaúng toaï ñoä Oxy cho hai ñieåm A(1; 1), B(4; -3). Tìm ñieåm C thuoäc ñöôøng thaèng x – 2y – 1 = 0 sao cho khoaûng caùch töø C ñeán AB baèng 6. 2) Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy baèng a, goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy baèng ϕ (00 <

ϕ < 900). Tính tang cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (SAB) vaø (ABCD) theo ϕ . Tính theå tích khoái choùp

S.ABCD theo a vaø ϕ .

3) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho ñieåm A(-4; -2; 4) vaø ñöôøng thaúng d :

3 2

1

1 4

x t

y t

z t

= − +

= − = − +

Vieát

phöông trình ñöôøng thaúng ♠ ñi qua ñieåm A, caét vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d.

Bài 9) ĐHCĐ 2004 K.D 1) trong maët phaúng vôùi heä toaï ñoä Oxy cho tam giaùc ABC coù caùc ñænh A(-1; 0); B (4; 0); C(0;m) vôùi m

≠ 0. tìm toaï ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC theo m. xaùc ñònh m ñeå tam giaùc GAB vuoâng taïi G. 2) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho hình laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1. Bieát A(a; 0; 0), B(-a; 0;

0), C(0; 1; 0), B1(-a; 0; b), a > 0, b > 0. a) Tình khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 theo a, b. b) Cho a, b thay ñoåi nhöng luoân thoaû maõn a + b = 4. Tìm a,b ñeå khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng B1C

vaø AC1 lôùn nhaát. 3) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho ba ñieåm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) vaø maët phaúng (P) : x

+ y + z – 2 = 0. Vieát phöông trình maët caàu ñi qua ba ñieåm A, B, C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P).


- 3 -

Bài 10) ĐHCĐ 2005 K.A 1) trong maët phaúng vôùi heä toaï ñoä Oxy cho 2 ñöôøng thaúng

d1 : x – y = 0 vaø d2 : 2x + y – 1 = 0 tìm toaï ñoä caùc ñænh hình vuoâng ABCD bieát raèng ñæng A thuoäc d1 , C thuoäc d2 vaø caùc ñænh B, D thuoäc truïc hoaønh.

2) Trong khoâng gian vôùi heä truïc Oxyz cho ñöôøng thaúng d : 1 3 3

1 2 1

x y z− + −= =

− vaø maët phaúng (P) : 2x +

y – 2z + 9 = 0. a) tìm toaï ñoä ñieåm I sao cho khoaûng caùnh töø I ñeán maët phaúng (P) baèng 2. b) Tìm toïa ñoä giao ñieåm A cuûa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P). Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng

thaúng ♠ naèm trong maët phaúng (P), bieát ♠ ñi qua A vaø vuoâng goùc goùc vôùi d. Bài 11) ĐHCĐ 2005 B

1) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñieåm A(2;0) vaø B(6;4). Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh taïi ñieåm A vaø khoaûng caùch töø taâm cuûa (C) ñeán ñieåm B baèng 5.

2) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hình laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1 vôùi A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B1(4;0;4).

a) Tìm toïa ñoä caùc ñænh A1, C1. Vieát phöông trình maët caàu coù taâm laø A vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng (BCC1B1). b) Goïi M laø trung ñieåm cuûa A1B1. Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua hai ñieåm A, M vaø song song vôùi BC. Maët phaúng (P) caét ñöôøng thaúng A1C1 taïi ñieåm N. Tính ñoä daøi MN.

Bài 12) ĐHCĐ 2005 D

1) Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho ñieåm C(2;0) vaø elíp (E) : 2 2

14 4

x y+ = . Tìm toïa ñoä caùc ñieåm A, B

thuoäc (E), bieát raèng hai ñieåm A,B ñoái xöùng vôùi nhau qua truïc hoaønh vaø tam giaùc ABC laø tam giaù ñeàu.

2) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng

d1 : 1 2 1

3 1 2

x y z− + += =

− vaø d2 :

2 0

3 12 0

x y z

x y

+ − − =

+ − =

a) chöùng minh raèng d1 , d2 song song vôùi nhau. Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa caû hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2.

b) Maët phaúng toïa ñoä Oxz caét hai ñöôøng thaúng d1, d2 laàn löôït taïi caùc ñieåm A,B. Tính dieän tích tam giaùc OAB ( O laø goác toïa ñoä).

Bài 13) ĐHCĐ 2006 A Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ vôùi A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0) , A’(0;0;1). Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD.

1. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A’C vaø MN.

2. Vieát phöông trìng maët phaúng A’C vaø taïo vôùi maët phaúng Oxy moät goùc α bieát cosα =1

6.

Bài 14) ĐHCĐ 2006 A Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(0;1;2) vaø hai ñöôøng thaúng :

d1 : 1 1

2 1 1

x y z− += =

− , d2 :

1

1 2

2

x t

y t

z t

= +

= − − = +


- 4 -

1) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (P) qua A, ñoàng thôøi song song vôùi d1 vaø d2. 2) Tìm toïa ñoä caùc ñieåm M thuoäc d1, N thuoäc d2 sao cho ba ñieåm A, M, N thaúng haøng.

Bài 15) ĐHCĐ 2006 D Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(1;2;3) vaø hai ñöôøng thaúng:

d1 : 2 2 3

2 1 1

x y z− + −= =

−, d2 :

1 1 1

1 2 1

x y z− − += =

−

1) Tìm toïa ñoä ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua ñöôøng thaúng d1.

2) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ♠ ñi qua A, vuoâng goùc vôùi d1 vaø caét d2.

Bài 16) ĐHCĐ 2007 A Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oyxz, cho hai ñöôøng thaúng

d1: 1 2

2 1 1

x y z− += =

− vaø d2:

1 2

1

3

x t

y t

z

= − +

= + =

1. Chöùng minh raèng d1 vaø d2 cheùo nhau. 2. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P): 7x + y – 4z = 0 vaø caét hai ñöôøng

thaúng d1, d2.

Bài 17) ĐHCĐ 2007 B Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho maët caàu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 vaø maët phaúng (P): 2x – y + 2z – 14 = 0.

1. Vieát phöông trình maët phaúng (Q) chöùa truïc Ox vaø caét (S) theo moät ñöôøng troøn coù baùn kính baèng 3. 2. Tìm toaï ñoä ñieåm M thuoäc maët caàu (S) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán maët phaúng (P) lôùn nhaát.

Bài 18) ĐHCĐ 2007 D Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hai ñieåm A( 1;4;2) , B(-1;2;4) vaø ñöôøng thaúng

d : 1 2

1 1 2

x y z− += =

−.

1) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua troïng taâm G cuûa tam giaùc OAB vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (OAB).

2) Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng d sao cho MA2 + MB2 nhoû nhaát.

Bài 19) ĐHCĐ 2008 A

Trong khoâng gian vôùi heâ toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(2;5;3) vaø ñöôøng thaúng

d : 1 2

2 1 2

x y z− −= = .

1) Tìm toïa ñoä hình chieàu vuoâng goùc cuûa ñieåm A treân ñöôøng thaúng d. 2) Vieát phöông trình maët phaúng (α ) lôùn nhaát.

Bài 20) ĐHCĐ 2008 B

Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ba ñieåm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1)

1) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua ba ñieåm A, B, C. 2) Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm M thuoäc maët phaúng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC

Bài 21) ĐHCĐ 2008 D

Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho boán ñieåm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3) 1) Vieát phöông trình maët caàu ñi qua boán ñieåm A,B,C,D 2) Tìm toïa ñoä taâm ñöôøng troùn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.


- 5 -

Bài 22. (Các bài toán tìm hình chiếu)

1. Cho điểm ( )2; 3;1M − và mặt phẳng (P): 3 2 0x y z+ − + = . Tìm hình chiếu H của M trên (P).

2. Cho điểm ( )2; 1;1M − và đường thẳng

1 2

: 1

2

x t

d y t

z t

= +

= − − =

. Tìm hình chiếu H của M trên d.

3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2 2 0

:2 4 0

x y zd

x y

− − − =

+ − =

Tìm hình chiếu của d trên mặt phẳng (P): 2 2 3 0x y z− + − = .

Bài 23. (Các bài toán về khoảng cách)

1. Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai mặt phẳng ( ) : 1 0P x y z+ − + = và ( ) : 5 0Q x y z− + − = .

2. Giả sử (P) là mặt phẳng có phương trình ( ) : 2 3 7 0P x y z+ − + = và ( )2;4; 6A − ; ( )4;0; 2B − là hai

điểm cho trước.

Bài 24. (Bài toán về đường vuông góc chung)

Cho hai đường thẳng 1

1 2:

2 1 1

x y zd

− += =

−; 2

1 2

: 1

3

x t

d y t

z

= − +

= + =

1. Chứng minh d1, d2 là hai đường thẳng chéo nhau.

2. Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.

Bài 25. Cho đường thẳng ( )1 1

:3 2 1

x y zd

− += =

− và hai điểm ( )3;0;2A , ( )1;2;1B . Kẻ AA’, BB’ vuông góc

với đường thẳng (d). Tính độ dài đoạn thẳng A’B’.

Bài 26. Cho hai điểm ( )1;3; 2A − − , ( )9;4;9B − và mặt phẳng (P): 2 1 0x y z− + + = . Tìm điểm K trên mặt

phẳng (P) ao cho AK BK+ nhỏ nhất.

Bài 27. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng

2 3

1 5

x t

y t

z t

= +

= − =

và có khoảng cách đến điểm ( )1; 1;0A −

bằng 1.

Bài 28. Cho hai đường thẳng: 1

1

:

x t

d y t

z t

= −

= = −

và 2

2

: 1

x t

d y t

z t

=

= − =

1. Chứng minh d1 và d2 là hai đường thẳng chéo nhau.

2. Viết phương trình các mặt phẳng (P), (Q) sao cho (P) chứa d1, (Q) chứa d2 và (P)//(Q).

Bài 29. Viết phương trình hình chiếu của ( )1

7 3 9:

1 2 1

x y z− − −∆ = =

− theo phương ( )2

3 1 1:

7 2 3

x y z− − −∆ = =

−

lên mặt phẳng (α): 3 0x y z+ + + = .

Bài 30. Lập phương trình đường thẳng (∆) đi qua ( )4; 5;3M − − , cắt ( )1

1 3 2:

1 2 1

x y zd

+ + −= =

− − và cắt

( )2

2 1 1:

2 3 5

x y zd

− + −= =

−.


- 6 -

Bài 31. Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua ( )3; 2; 4A − − song song với mặt phẳng

( ) : 3 2 3 7 0P x y z− − − = , đồng thời cắt đường thẳng ( )2 4 1

:3 2 2

x y zd

− + −= =

−

Bài 32. Cho hai đường thẳng:

1

2

:

4

x t

d y t

z

=

= =

và 2

3 0:

4 4 3 12 0

x yd

x y z

+ − =

+ + − =

1. Chứng minh d1 và d2 chéo nhau.

2. Lập phương trình mặt cầu (S) nhận đoạn vuông góc chung của d1 và d2 làm đường kính.

Bài 33. Cho đường thẳng d: 1 2

3 1 1

x y z− += = và mặt phẳng (P): 2 2 2 0x y z+ − + =

1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với (P) và có bán kính bằng 1.

2. Gọi M là giao điểm của (d) với (P), T là tiếp điểm của (S) với (P). Tính MT.

Bài 34. Lập phương trình mặt cầu có tâm tại điểm ( )2;3; 1I − và cắt đường thẳng (d) có phương trình:

11 2

25 2

x t

y t

z t

= +

= = − −

tại hai điểm AB sao cho AB = 16.

Bài 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm ( )0;0;4A ; ( )2;0;0B . Viết phương trình mặt cầu

qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2 5 0x y z+ − − = .

Bài 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( )2 0

:2 6 0

x yd

x y

− − =

− − = và mặt cầu (S):

2 2 2 2 2 2 1 0x y z x y z+ + + − + − = . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) là đường tròn có bán kính r = 1.

Bài 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm ( )1; 1;2A − , ( )1;3;2B , ( )4;3;2C và ( )4; 1;2D − .

Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy. Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D.

Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S) tại điểm A’.

Bài 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): 2 2 2 2 2 4 3 0x y z x y z+ + − + + − = và hai

đường thẳng ( )1

2 2 0:

2 0

x y

x z

+ − =∆

− =, ( )2

1:

1 1 1

x y z−∆ = =

−

Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S), biết nó song song với (∆1) và (∆2).

Bài 39. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm ( )1;0;3I và cắt đường thẳng: 1 1 1

:2 1 2

x y z− + −∆ = =

Tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông.

Bài 40. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm ( )4;1;1I − và cắt mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0x y zα + − + = theo giao

tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 2 .

Bài 41. Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d: 1 0

2 0

x z

y

+ − =

− = và cắt mặt phẳng (P) theo thiết

diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 4, ở đây (P): 0y z− = .


- 7 -

Bài 42. Cho mặt cầu (S): 2 2 2 2 4 6 11 0x y z x y z+ + − − − − = và mặt phẳng (P): 2 3 20 0x y z− + − = . Hãy tìm

tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng (P).

Bài 43. Cho mặt cầu (S): 2 2 2 6 2 4 5 0x y z x y z+ + − − + + = và mặt phẳng ( ) : 2 1 0P x y z+ + − = .

1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S).

2. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S)

3. Tìm tâm và bán kính đường tròn là giao tuyến của (S) và (P).

Bài 44. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 8 11 8 30 0

2 0

x y z

x y z

− + − =

− − = và tiếp xúc với mặt cầu

2 2 2 2 6 4 15 0x y z x y z+ + + − + − = .

Bài 45. Lập phương trình mặt cầu có tâm ( )2;3; 1I − , cắt đường thẳng d: 5 4 3 20 0

3 4 8 0

x y z

x y z

− + + =

− + − = tại hai điểm

A, B sao cho 16AB = .

Bài 46. Cho (S): 2 2 2 10 2 26 170 0x y z x y z+ + − + + = ; 1∆ :

+−=

−=

+−=

tz

ty

tx

213

31

25

và 2∆ :

=

−−=

+−=

8

21

7

1

1

z

ty

tx

Viết phương trình )(α tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với 1∆ và 2∆ .

Bµi 47: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(-1;2;3) vµ hai mÆt ph¼ng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) ®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P),(Q). Bµi 48: LËp ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) trong çc tr−êng hîp sau:

a) §i qua hai ®iÓm A(0;-1;4) vµ cã cÆp VTCP lµ ( )3;2;1ar

vµ ( )3;0;1b −r

b) §i qua hai ®iÓm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph−¬ng víi trôc víi 0x. Bµi 49: Cho tø diÖn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .

a) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t çc mÆt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD). b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD.

Bµi 50: ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (P) a) §i qua ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) . b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0 c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) , d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)

Bµi 51: Cho hai ®iÓm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz a) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ trung trùc cña AB. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng y0z c) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mÆt ph¼ng (P).

Bµi 52: Cho ®−êng th¼ng (D) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh lµ : ( ) R t,

21

22: ∈

+=

+=

−=

tz

ty

tx

d vµ (P): x+y+z+1=0

T×m ph−¬ng tr×nh cña ®−êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng (D) Bµi 53: Cho mÆt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iÓm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã Bµi 54: LËp ph−¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®−êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) trong çc tr−êng hîp sau:

a) ( ) : 2 3 - 4 0P x y z+ + = b) ( ) : 2 3 1 0P x y z+ + − = .


- 8 -

Bµi 55: LËp ph−¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®−êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1;2;3) vµ song song víi

®−êng th¼ng ( ∆ ) cho bëi : ( )

2 2

: 3 t

3

x t

y t R

z t

= +

∆ = − ∈ = − +

.

Bµi56: XÐt vÞ trÝ t−¬ng ®èi cña ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) ,biÕt:

a) ( ) R t,

2

3

1

: ∈

+=

−=

+=

tz

ty

tx

d (P): x-y+z+3=0 b) ( ) R t,

1

9

412

: ∈

+=

+=

+=

tz

ty

tx

d (P): y+4z+17=0

Bµi 57: (§HNN_TH-98): Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ

( )3

2

12

1:

−

+==

− zyxd .

a) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P) . b) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mÆt ph¼ng (P) .

Bµi 58: Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :

( )1

1

2

1

1

2:1

−=

−=

− zyxd ( ) ( ) t

31

2

21

:2 R

tz

ty

tx

d ∈

+−=

+=

+=

a) CMR hai ®−êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña nã. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2).

Bµi 59: (§HNN-96): cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :

( )

34

24

37

:1

+=

−=

+−=

tz

ty

tx

d ( ) ( )R

tz

ty

tx

d ∈

−−=

+−=

+=

1

1

1

1

2 tt,

12

29

1

:

a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) .

Bµi 60: Cho 3 ®−êng th¼ng (d1),(d2), (d3) cã ph−¬ng tr×nh :

( )1

1

4

2

3

2:1

−=

+=

− zyxd , ( )

1

9

2

3

1

7:2

−

−=

−=

− zyxd , ( )

1

2

2

3

3

1:3

−

−=

−

+=

+ zyxd

a) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) vµ song song víi ®−êng th¼ng (d3).

b) Gi¶ sö ( ) ( ) { }Add =∩ 1 , ( ) ( ) { }Bdd =∩ 2 .LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ®−êng kÝnh AB.

Bµi 61 Cho 2 ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh : ( ) R

tz

ty

tx

d ∈

=

−=

+=

t

2

1

2

:1 , ( )1

9

2

3

1

7:2

−

−=

−=

− zyxd

a) CMR (d1) vµ (d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng vu«ng gãc chung cña (d1) vµ (d2). c) LËp ph−¬ng tr×nh mËt cÇu (S) cã ®−êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña (d1) vµ (d2). d) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng çch ®Òu (d1) vµ (d2).

Bµi 62: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) biÕt :

a) T©m I(1;2;-2) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P):6x-3y+2z-11=0. b) (C§GTVT-2000): T©m I(1;4;-7) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P) :6x+6y-7z+42=0.


- 9 -

c) B¸n kÝnh R = 9 vµ tiÕp xóc víi (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iÓm M(1;1;-3). Bµi 63:(§H HuÕ-96): Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ 0xyz ,cho bèn ®iÓm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).

a) ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng ®i qua D vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC). b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.

Bµi 64: Cho bèn ®iÓm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8) a) (§HKT-99): CMR SB vu«ng gãc SA. b) (§HKT-99): CMR h×nh chiÕu cña c¹nh SB lªn mÆt ph¼ng (0AB) vu«ng gãc víi c¹nh 0A. Gäi K lµ

giao ®iÓm cña h×nh chiÕu ®ã víi 0A. Hiy x¸c ®Þnh to¹ dé cña K. c) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. d) (§HKT-99): Gäi P,Q lÇn l−ît lµ ®iÓm gi÷a cña çc c¹nh S0,AB . T×m to¹ ®é cña ®iÓm M trªn SB sao

cho PQ vµ KM c¾t nhau. Bµi 65: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é 0xyz ,cho bèn ®iÓm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).

a) (HVKTQS-98): T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn (ABC) vµ tÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD. b) (HVKTQS-98): ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè ®−êng th¼ng vu«ng gãc chung cña AC vµ BD. c) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. d) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD.

Bµi 66: Cho bèn ®iÓm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1). a) (HVNHTPHCM-99):ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng BC .H¹ AH vu«ng gãc BC .T×m to¹

®é cña ®iÓm H. b) (HVNHTPHCM-99):ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (BCD) .T×m kho¶ng çch tõ A ®Õn mÆt ph¼ng

(BCD). c) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.

Bµi 67: Trong kh«ng gian 0xyz, cho h×nh chãp .biÕt to¹ ®é bèn ®Ønh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4), D(3;1;0).

a) LËp ph−¬ng tr×nh çc mÆt cña h×nh chãp. b) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ngo¹i tiÕp h×nh chãp .

c) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABCD Bµi 68: (HVKTMM-97) Cho bèn ®iÓm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).

a) CMR tø diÖn ABCD cã cÆp c¹nh ®èi diÖn b»ng nhau . b) X¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m G cña tø diÖn.

c) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp ,néi tiÕp tø diÖn ABCD. Bµi 2:LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ®iÓm M(2;1;-1) vµ qua hai giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (P1) vµ (P2) cã ph−¬ng tr×nh : (P1): x - y + z - 4 = 0 vµ (P2) 3x – y + z – 1 = 0

Bµi 3: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®−êng th¼ng ( )

=−

=−+−

02

0323:

zx

zyxd vµ song song víi mÆt ph¼ng

(Q) cã ph−¬ng tr×nh: 11x - 2y - 15z – 6 = 0. Bµi 4: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua giao tuyÕn cña (P1): y + 2z – 4 = 0 vµ (P2) : x + y – z – 3 = 0 vµ song song víi mÆt ph¼ng (Q): - 2 0x y z+ + = .

Bµi 5: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®−êng th¼ng ( )

=−

=−+−

02

0323:

zx

zyxd vµ vu«ng gãc víi (Q) cã

ph−¬ng tr×nh:

a) (§HNNI-95): (Q): - 2 5 0x y z+ + = . b) ( ) : 3 1 0Q x y z+ − + =

Bµi 6: LËp ph−¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng qua hai giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (P1): 3 - - 2 0 x y z+ = vµ (P2):

4 -5 0 x y+ = vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng : 2 - 7 0x z + = .

Bµi 7: LËp ph−¬ng tr×nh chøa mÆt ph¼ng ®−êng th¼ng : ( )

=−

=−+−

02

0323:

zx

zyxd vµ song song víi ®−êng th¼ng

(d) cã ph−¬ng tr×nh :


- 10 -

a) ( )

=+−+

=−+−

0323

0723:

zyx

zyxd b) ( )

5

5

4

3

2

2:

+=

−=

−

− zyxd

Bµi 8:LËp ph−¬ng tr×nh chøa mÆt ph¼ng ®−êng th¼ng : ( )

=−+−

=−

0323

02:

zyx

yxd vµ vu«ng gãc ®−êng th¼ng (d)

cã ph−¬ng tr×nh :

a) ( )

=+−+

=−+−

0323

0723:

zyx

zyxd b) ( )

5

5

4

3

2

2:

+=

−=

−

− zyxd

Bµi 9: LËp ph−¬ng tr×nh chøa mÆt ph¼ng ®−êng th¼ng vµ víi mÆt ph¼ng (Q) mét gãc 60 ®é biÕt:

( )

=−

=−+−

02

0323:

zx

zyxd vµ (Q):3x+4y-6=0

Bµi 10: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa ®−êng th¼ng ( )

=−+

=−−

015

023:

zy

zxd vµ cã kho¶ng çch tõ ®iÓm

A(1;-1; 0) tíi (P) b»ng 1.

Bµi 11: Cho ®−êng th¼ng (d) vµ hai mÆt ph¼ng ( )

=−+

=−−

01

02:

zy

zxd vµ (P1): 5x+5y-3z-2=0 vµ (P2):2x-y+z-6=0.

LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa ®−êng th¼ng (d) sao cho: ( ) ( )1PP ∩ vµ ( ) ( )2PP ∩ lµ hai ®−êng vu«ng gãc. Bµi 12: (§HKT-93): cho hai ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã ph−¬ng tr×nh :

( ) ,014

0238:1

=+−

=+−

zy

zxd ( )

=++

=−−

022

032:2

zy

zxd .

a) ViÕt ph−¬ng tr×nh çc mÆt ph¼ng ( )1P , ( )2P song song víi nhau vµ lÇn l−ît chøa ( )1d ( )2d

b) TÝnh kho¶ng çch gi÷a ( )1d , ( )2d

c) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (D) song song víi trôc Oz vµ c¾t c¶ 2 ®−êng th¼ng ( )1d , ( )2d

Bµi to¸n 4. Kho¶ng çch tõ mét ®iÓm tíi mÆt ph¼ng Bµi 1:TÝnh kho¶ng çch tõ ®iÓm M(2;2;1) ®Õn mÆt ph¼ng (P) trong çc tr−êng hîp sau:

a) ( ) : 2 -3 3 0P x y z+ + = b) ( ) : 2 3 1 0P x y z− − − + =

Bµi 2:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz , cho tø diÖn cã 4 ®Ønh A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) a) LËp ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t mÆt ph¼ng (ABC) b) TÝnh chiÒu dµi ®−êng th¼ng cao h¹ tõ ®Ønh D cña tø diÖn, tõ ®ã suy ra thÓ tÝch cña tø diÖn

Bµi 3:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz , cho tø diÖn cã 4 ®Ønh A(1;1;1) B(-2;0;2) C(0;1;-3) D(4;-1;0) a) (§H LuËt 1996) TÝnh chiÒu dµi ®−êng th¼ng cao h¹ tõ ®Ønh D cña tø diÖn b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ph©n gi¸c cña 2 mÆt (ABC) vµ (BCD) c¾t ®o¹n AD

Bµi 3: (§HNN_TH-98): Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ

( )3

2

12

1:

−

+==

− zyxd .

a) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P) . b) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mÆt ph¼ng (P) .

Bµi 4: (§H Khèi A-2002): Trong kh«ng gian 0xyz ,cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®−êng th¼ng (dm) cã ph−¬ng tr×nh :

( ) : 2 - 2 0 P x y + = , ( ) 024)12(

01)1()12(:

=++++

=−+−++

mzmmx

mymxmdm x¸c ®Þnh m ®Ó (dm)//(P)

Bµi 3: Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi:

( )4

9

1

5

3

7:1

−

−=

−

−=

+ zyxd , ( )

4

18

1

4

3:2

+=

−

+=

zyxd

a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) song song víi nhau .


- 11 -

b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) song song ,çch ®Òu (d1),(d2) vµ thuéc mÆt ph¼ng chøa (d1),(d2). Bµi 4: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :

( ) R t

46

2

23

:1 ∈

+=

+−=

+−=

tz

ty

tx

d , ( ) 015

0194:2

=+−

=−+

zx

yxd

a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) c¾t nhau . b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng ph©n gi¸c cña (d1),(d2)

Bµi5: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :

( )3

4

1

2

2

1:1

−=

+=

−

− zyxd ( ) ( ) t

32

1

:2 R

tz

ty

tx

d ∈

+−=

−=

+−=

a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) c¾t nhau. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng ph©n gi¸c cña (d1),(d2)

Bµi 6: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :

( )

1

1

:1

−=

=

−=

z

ty

tx

d , ( ) ( )R

tz

ty

tx

d ∈

=

+=

=

1

1

1

1

2 tt, 1

2

:

a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph−¬ng tr×nhmÆt ph¼ng(P) song song ,çch ®Òu (d1),(d2) .

Bµi 7: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :

( )

=+

=++

0104z-y

0238zx: d1 , ( )

022

032:2

=++

=−−

zy

zxd

a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph−¬ng tr×nhmÆt ph¼ng(P) song song, çch ®Òu (d1),(d2) .

Bµi8: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :

( )3

3

2

2

1

1:1

−=

−=

− zyxd ( )

0532

02:2

=−+−

=−+

zyx

zyxd

a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng(P) song song, çch ®Òu (d1),(d2) .

Bµi to¸n 5. Hai ®−êng th¼ng ®ång ph¼ng vµ bµi tËp liªn quan Bµi 1: (§HBK-TPHCM-93): ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2) ,biÕt:

( )2

3

2

1

3

1:1

−

−=

−=

+ zyxd ( )

2

3

1

1

1:2

−=

−=

zyxd

Bµi 2: (§HSPII-2000): Cho ®iÓm A(1;-1;1) vµ hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :

( )

=+

=+

01y-2x

03z-y-3x: d1 ( ) ( ) t

3

21:2 R

tz

ty

tx

d ∈

−=

−−=

=

CMR (d1),(d2) vµ ®iÓm A cïng thuéc mÆt ph¼ng.

Bµi 3: Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi : ( )

=−+

=++

01y-x

01y2x: d1

z( )

012

033:2

=−−

=+−+

yx

zyxd

a) CMR hai ®−êng th¼ng ®ã c¾t nhau. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1), (d2). c) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng ph©n gi¸c cña(d1), (d2)

Bµi 4: Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :


- 12 -

( )1

1

2

1

1

2:1

−=

−=

− zyxd ( ) ( ) t

31

2

21

:2 R

tz

ty

tx

d ∈

+−=

+=

+=

a) CMR hai ®−êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña nã. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2). c) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng ph©n gi¸c cña(d1),(d2)

Bµi5: cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :

( )3

2

4

1

1

3:1

−=

+=

− zyxd , ( )

03

024:2

=−

=−−

zx

yxd

a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) song song víi nhau. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2). c) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) trong (P) song song çch ®Òu (d1),(d2) .

Bµi to¸n 6. Hai ®−êng th¼ng chÐo nhau vµ bµi tËp liªn quan Bµi 1: (§HNN-96): cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :

( )

34

24

37

:1

+=

−=

+−=

tz

ty

tx

d ( ) ( )R

tz

ty

tx

d ∈

−−=

+−=

+=

1

1

1

1

2 tt,

12

29

1

:


Bµi 2: (§HTCKT-96): Trong kh«ng gian 0xyz , cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :

1( ): - 1 -1d x y z= + = , 2( ) : - 1 -1d x y z+ = = . T×m to¹ ®é ®iÓm A1 thuéc (d1) vµ to¹ ®é ®iÓm A2 thuéc (d2) ®Ó

®−êng th¼ng A1A2 vu«ng gãc víi (d1) vµ vu«ng gãc víi (d2) . Bµi 3: (§H L 1996) Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :

( )

1

1

:1

−=

=

−=

z

ty

tx

d , ( ) ( )R

tz

ty

tx

d ∈

=

+=

=

1

1

1

1

2 tt, 1

2

:

a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P),(Q) song song víi nhau vµ lÇn l−ît chøa (d1),(d2)

b) TÝnh kho¶ng çch gi÷a (d1),(d2) . Bµi 4: (§HTS-96): Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :

( ) ( ) Rt

12

23

31

:1 ∈

−=

+−=

+−=

z

ty

tx

d ( ) 01225

0823:2

=−+

=−−

zx

yxd

a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. TÝnh kho¶ng çch gi÷a (d1),(d2) b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) .

Bµi 5: : (PVBC 99) Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) ,biÕt:

( )1

2

3

1

2

1:1

−=

−=

+ zyxd ; ( )

25

2

2

2:2

−=

+=

− zyxd


Bµi 6: (§HSPQui Nh¬n-D-96): cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) ,biÕt:


- 13 -

( )

=−+

=+

04y-x

0yx: d1

z ( ) ( ) t

2

31

:2 R

tz

ty

tx

d ∈

+=

−=

+=

a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) TÝnh kho¶ng çch gi÷a (d1),(d2) Bµi 7: : cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) ,biÕt:

( )1

9

2

3

1

7:1

−

−=

−=

− zyxd ( )

3

1

2

1

7

3:2

−=

−=

−

− zyxd


Bµi 8: (§H HuÕ 1998) Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :

( )

1

1

22

: 1

1

1

=

+−=

+=

z

ty

tx

d , ( ) ( )R

tz

ty

x

d ∈

−=

+=

=

21

2

22 t,t

3

1

1

:

a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa (d1) vµ song song víi (d2) . c) TÝnh kho¶ng çch gi÷a (d1),(d2) .

Bµi 9: (§HNN-97): Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :

( )

=++

=++

01y-x

02zyx: d1

z ( ) ( ) t

2

5

22

:2 R

tz

ty

tx

d ∈

+=

−=

+−=

a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) TÝnh kho¶ng çch gi÷a (d1),(d2) .

c) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) ®i qua M(1,1,1) vµ c¾t ®ång thêi (d1),(d2) . Bµi 10: (§HKT-98): Cho tø diÖn SABC víi çc ®Ønh S(-2;2;4), A(-2;2;0) ,B(-5;2;0) ,C(-2;1;1). TÝnh kho¶ng çch gi÷a hai c¹nh ®èi SA vµ SB. V. §iÓm, ®−êng th¼ng vµ MÆt Ph¼ng Bµi to¸n1: §−êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng cho tr−íc. Bµi 1: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua A(1;2;3) vµ c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng

a) ( )

=+

=++

0104z-y

0328zx: d1 ( )

022

032:2

=++

=−−

zy

zxd

b) ( )3

3

2

2

1

1:1

−=

−=

− zyxd ( )

0532

02:2

=−+−

=−+

zyx

zyxd

Bµi 2: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua gèc to¹ ®é vµ c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng:

( ) R

tz

ty

tx

d ∈

+−=

+=

+=

t

33

2

21

:1 , ( )

13

23

2

:2

+=

+−=

+=

uz

uy

ux

d

Bµi 3: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) song song víi ®−êng th¼ng (∆) vµ c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng:

( ) 01

02:

=++−

=++∆

zyx

zyx ( ) R

tz

ty

tx

d ∈

=

−=

+=

t

2

1

2

:1 ( ) 03

022:2

=−

=−+

y

zxd

Bµi 4: (§HDL-97): ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua A(1;-1;0) vµ c¾t c¶ hai ®−êng

th¼ng: ( )2

1

1

1

1:1

−=

+=

zyxd ( )

121

1:2

zyxd ==

+


- 14 -

Bµi 5: (§HTS-99): ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua A(1;-1;0) vµ c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng:

( )

=+

=

012-2z5x

08-2y-3x: d1 ( ) ( ) t

2

23

31

:2 R

tz

ty

tx

d ∈

−=

−−=

+−=

Bµi 6: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi (P) :x+y+z-2=0 vµ c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2):

( ) R

tz

ty

tx

d ∈

=

−=

+=

t

2

1

2

:1 ( ) 03

022:2

=−

=−+

y

zxd

Bµi 7: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) ®i qua gèc to¹ ®é vµ c¾t c¶ 2 ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2):

( ) R

tz

ty

tx

d ∈

−=

+=

+=

t

33

2

12

:1 ( )

0313

23

2

:2

=−+=

+−=

+=

uz

uy

ux

d

Bµi to¸n 2: §−êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm vu«ng gãc víi c¶ hai ®−êng th¼ng cho tr−íc. Bµi 1: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua A(1;2;3) vµ c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng (d1) ,(d2):

a) ( )

=+

=++

0104z-y

0328zx: d1 ( )

022

032:2

=++

=−−

zy

zxd b)

( ) 01225

0823:1

=−+

=−−

zx

yxd ( ) ( ) t

2

23

31

:2 R

tz

ty

tx

d ∈

−=

−−=

+−=

Bµi 2: (§HTCKT 1999) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) ®i qua A(1;1;-2) song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ

vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng (d): 1 1 2

, ( ) : - - -1 0 2 1 3

x y zP x y z

+ − −= = =

Bµi to¸n 3: §−êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm vu«ng gãc víi mét ®−êng vµ c¾t mét ®−êng th¼ng kh¸c Bµi 1: (§HSP TPHCM-95): ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua A(0;1;1) vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng

(d1) vµ c¾t (d2) ,biÕt: ( )11

2

3

1:1

zyxd =

+=

− ( )

01

02:2

=+

=+−+

x

zyxd

Bµi 2: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua A(1;1;1) vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng (d1) vµ c¾t (d2) ,biÕt :

( )

=+

=++

01-zy

03-zyx: d1 ( )

01

0922:2

=+−

=+−−

zy

zyxd

Bµi 3: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng c¾t c¶ ba ®−êng th¼ng (d1) (d2) , (d3) vµ vu«ng gãc víi vect¬ ( )1;2;3ur

,

biÕt: ( )

=+

=+

01z

01y-x: d1 ( )

0

01:2

=

=−+

z

yxd ( )

1

01:3

=

=−−

z

yxd

Bµi 4: T×m tÊt c¶ çc ®−êng th¼ng c¾t (d1), (d2) d−íi cïng mét gãc, biÕt: ( )

=

=

az

0y-mx: d1 ( )

0:2

−=

=+

az

ymxd

Bµi 5: (§HTL-97):ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua A(3;-2;-4) song song víi mÆt ph¼ng (P) :3x-2y-3z-

7=0 vµ c¾t ®−êng th¼ng (d) biÕt: ( )2

1

2

4

3

2:

−=

−

+=

− zyxd

Bµi to¸n 4: H×nh chiÕu vu«ng gãc cña®iÓm lªn mÆt ph¼ng Bµi 1: T×m to¹ ®é ®iÓm ®èi xøng cña A(-2;1;3) qua (P) cho bëi: 2x+y-z-3=0. Bµi 2: (§HKTCN-97): Cho ®iÓm A(1;2;3) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh :2x-y+2z-3=0

a) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua A vµ song song víi (P). b) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (P). X¸c ®Þnh to¹ ®é cña H


- 15 -

Bµi3: (§HGTVTTPHCM-99): Cho ba ®iÓm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;-1) .X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm O lªn mÆt ph¼ng (ABC). Bµi 4: (§HTCKT-2000): Cho ®iÓm A(2;3;5) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh: 2x+3y+z-17=0

a) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) qua A vµ vu«ng gãcvíi (P). b) CMR ®−êng th¼ng (d) c¾t trôc 0z , t×m giao ®iÓm M cña chóng. c) X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (P).

Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh:

(P): 2x+5y+z+17=0 vµ ( ) 0736

02743:

=+−+

=−+−

zyx

zyxd

a) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P). b) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi (d) qua (P)

Bµi 6: Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh :

( ) : 2 4 0P x y z+ + + = vµ ( ) 0723

032:

=−−

=−+

zx

yxd

a) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P). b) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi (d) qua (P)

Bµi 7: (§HQG 1998) Cho çc ®iÓm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) (a,b,c d−¬ng ). Dùng h×nh hép ch÷ nhËt nhËn O,A,B,C lµm 4 ®Ønh vµ gäi D lµ ®Ønh ®èi diÖn víi ®Ønh O cña h×nh hép ®ã

a) TÝnh kho¶ng çch tõ C ®Õn mÆt ph¼ng (ABD) b) TÝnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C xuèng mÆt ph¼ng (ABD). T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi a,b,c ®Ó

h×nh chiÕu ®ã n»m trong mÆt ph¼ng (xOy) Bµi to¸n 5: H×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®−êng th¼ng lªn mÆt ph¼ng Bµi 1: (§HQG TPHCM 1998) Trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é trùc chuÈn 0xyz ,cho ®−êng th¼ng (d) vµ

mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh: (P):x+y+z-3=0 vµ ( ) 032

03:

=−

=−+

zy

zxd LËp ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc

cña ®−êng th¼ng (d) lªn (Q). Bµi 2: LËp ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña giao tuyÕn (d) cña hai mÆt ph¼ng 3x-y+z-2=0 vµ x+4y-5=0 lªn mÆt ph¼ng 2x-z+7=0. Bµi 3: (§HM§C-98) :Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é trùc chuÈn 0xyz cho ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P)

cã ph−¬ng tr×nh: ( )2

1

3

4

4:

−

+=

−=

zyxd vµ (P): x-y+3z+8=0. Hiy viÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu

vu«ng gãc cña (d) lªn (P) . Bµi 4: Trong kh«ng gian 0xyz cho ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (Q) cã ph−¬ng tr×nh :

( )

=

=+

02z-x

03-z2y-3x: d ( ) ( )R

ttz

tty

ttx

Q ∈

+−−=

−+=

++=

21

21

21

21

t,t

5

24

34

: . LËp ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña

®−êng th¼ng (d) lªn (Q) .

Bµi 5: Cho ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (Q) cã ph−¬ng tr×nh: ( )

=+

=++

03-z-2yx

01zy-2x: d (Q): x-y+z+10=0

Hiy viÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu vu«ng gãc (d1) cña (d) lªn (P) . Bµi 6: (§H Cµn Th¬ 1998) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é vu«ng gãc 0xyz cho ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng

(P) cã ph−¬ng tr×nh: ( )3

1

2

2

1

1:

−=

−=

− zyxd vµ (P): x+y+z+1=0. Hiy viÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu

vu«ng gãc (d1) cña (d) lªn (P) . Bµi 7: (HVQY-95): Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é vu«ng gãc 0xyz cho ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã

ph−¬ng tr×nh : ( )3

1

2

2

1

1:

−=

−=

− zyxd vµ (P): x+y+z+1=0.


- 16 -

a) Hiy viÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu vu«ng gãc (d1) cña (d) lªn (Oxy) . b) CMR khi m thay ®æi ®−êng th¼ng (d1) lu«n tiÕp xóc víi mét ®−êng trßn cè ®Þnh trong mÆt ph¼ng 0xy. Bµi 8: (§HQG-98): Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é vu«ng gãc 0xyz cho mÆt ph¼ng (P) vµ hai ®−êng th¼ng

(d1) vµ (d2) cã ph−¬ng tr×nh: (P):x+y-z+1=0, ( )

=+

=+

02yx

01z-2y: d1 , ( )

02

0123:2

=+−

=+−

zx

zyd

a) Hiy viÕt ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc (∆1), (∆2) cña (d1), (d2) lªn (P). T×m to¹ ®é giao ®iÓm I cña (d1), (d2).

b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( )1P chøa (d1) vµ vu«ng gãc víi (P).

Bµi to¸n 6: H×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm lªn ®−êng th¼ng

Bµi 1: cho ®iÓm A(1;2;3) vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh : ( ) 01

0922:

=+−

=+−−

zy

zyxd . X¸c ®Þnh to¹ ®é

h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d) .Tõ ®ã t×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (d) .

Bµi 2: cho ®iÓm A(1;2;-1) vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh : ( ) R

tz

ty

tx

d ∈

−=

+=

+=

t

33

2

12

: .X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh

chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d) .Tõ ®ã t×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (d) .

Bµi 3: cho ®iÓm A(2;1;-3) vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh : ( )1

3

2

2

1

1:

−

+=

−=

− zyxd .X¸c ®Þnh to¹ ®é

h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d) .Tõ ®ã t×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (d) . Bµi 4: (§HhuÕ /A,B ph©n ban 98): Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(2;-1;1) vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng

tr×nh : ( ) 022

04:

=+−−

=−+

zyx

zyd

a) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vµ vu«ng gãc (d) . b) X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm B ®èi xøng víi A qua (d) .

Bµi 5: (§Ò 60-Va): LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua A(3;2;1) vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng

(d) 1

3

42:

+==

zyx vµ c¾t víi ®−êng th¼ng ®ã .

Bµi 6: (§HTM-2000): LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua A(2;-1;0) vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng

( ) 012

025:

=++−

=+++

zyx

zyxd vµ c¾t víi ®−êng th¼ng ®ã .

Bµi7: (HV BCVT-2000): Cho 2 ®−êng th¼ng (∆) vµ (d) cã ph−¬ng tr×nh :

( )3

1

2

1

7

3:

−=

−=

−

−∆

zyx ( )

1

9

2

3

1

7:

−

−=

−=

− zyxd

LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi (d) qua (∆) Bµi 8: (§HHH-1999): Trong kh«ng gian cho 2 ®−êng th¼ng (d1),(d2) :

( ) R t

54

21:)(d 01

012: 21 ∈

+=

+=

=

=−+−

=++

tz

ty

tx

zyx

yxd

a) (d1) , (d2) cã c¾t nhau hay kh«ng b) Gäi B,C lÇn l−ît lµ çc ®iÓm ®èi xøng cña A(1;0;0) qua (d1),(d2) . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC

Bµi 9: (§HTM-1999): Trong kh«ng gian cho ®−êng th¼ng (d1) vµ mÆt ph¼ng (P) :

( ) 032:)(P 01722

0322:1 =−+−

=−−−

=−−−zyx

zyx

zyxd

a) T×m ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm A(3;-1;2) qua ®−êng th¼ng (d)


- 17 -

b) ViÕt ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®−êng th¼ng (d) trªn mÆt ph¼ng (P) Bµi10: Trong kh«ng gian 0xyz cho bèn ®−êng th¼ng (d1), (d2), (d3), (d4) cã ph−¬ng tr×nh :

( ) 0

:1

=

=−

hz

ymxd , ( )

0:2

−=

=−

hz

ymxd , ( )

0:3

=

=+

hz

ymxd , ( )

0:4

−=

=+

hz

ymxd

CMR çc ®iÓm ®èi xøng A1, , A2, , A3, A4 cña A bÊt k× trong kh«ng gian qua (d1), (d2), (d3), (d4) lµ ®ång ph¼ng. LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa chóng . Bµi to¸n 7: §iÓm vµ mÆt ph¼ng Bµi 1: cho hai ®iÓm A(1;0;2) ;B(2;-1;3) vµ mÆt ph¼ng (P): x-2y+z-4=0.T×m ®iÓm M thuéc (P) sao cho AM+BM nhá nhÊt. Bµi 2: cho hai ®iÓm A(1;1;0) ;B(0;-1;1) vµ mÆt ph¼ng (P): x-2y+z-4=0.T×m ®iÓm M thuéc (P) sao cho AM+BM nhá nhÊt. Bµi 3: (§HhuÕ /A hÖ ch−a ph©n ban 97):Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é 0xyz cho mÆt ph¼ng (P): 2x-y+z+1=0

vµ hai ®iÓm A(3;1;0), B(-9;4;9) .T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng (P) sao cho MBMA − lµ lín nhÊt .

Bµi 4: (§HQG-2000):Cho mÆt ph¼ng (P):x+y+z-1=0 vµ hai ®iÓm A(1;-3;0) ,B(5;-1;-2)

a) Chøng tá r»ng ®−êng th¼ng ®i qua A,B c¾t mÆt ph¼ng (P) t¹i mét ®iÓm I, t×m to¹ ®é ®iÓm ®ã .

b) T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng (P) sao cho MBMA − ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.

Bµi 5: (§HM§C-97): cho ba ®iÓm A(1;4;5) B(0;3;1) ,C(2;-1;0) vµ mÆt ph¼ng (P): 3x-3y-2z-15=0.Gäi G lµ träng t©m ∆ABC .CMR ®iÒu kÞªn cÇn vµ ®ñ ®Ó M n»m trªn mÆt ph¼ng (P) cã tæng çc b×nh ph−¬ng kho¶ng çch ®Õn çc ®iÓm A,B,C nhá nhÊt lµ ®iÓm M ph¶i lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm G trªn mÆt ph¼ng (P) .X¸c ®Þnh to¹ ®é cña ®iÓm M ®ã. Bµi 6: Cho mÆt ph¼ng (P) 3x+3y+mz-6-m=0.

a) CMR (P) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh M, T×m to¹ ®é cña M. b) Gi¶ sö (P) c¾t 0x,0y,0z theo thø tù t¹i A,B,C . c) TÝnh 0A,0B,0C ®Ó tø diÖn 0ABC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . d) TÝnh 0A,0B,0C ®Ó 0A+0B+0C lµ nhá nhÊt .

Bµi to¸n 8: §iÓm vµ ®−êng th¼ng

Bµi 1: T×m trªn ®−êng th¼ng (d) ®iÓm M(xM,yM,zM) sao cho MMM zyx 222 ++ nhá nhÊt ,biÕt:

a) ( ) R

tz

ty

tx

d ∈

−=

−=

+=

t

3

21

2

: b) ( )5

4

3

1

2

3:

−=

+=

−

− zyxd c)

( ) 0732

0143:

=+++

=++−

zyx

zyxd

Bµi 2: Cho ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh : ( ) 05

03:

=−+

=−−−

yx

zyxd .T×m ®iÓm M thuéc (d) sao cho AM +

BM nhá nhÊt khi : a) A(1;2;-1), B(8;1;-2) . b) A(1;2;-1),B(0;1;2).

Bµi 3: (§HBK-98):Cho ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P)cã ph−¬ng tr×nh :

( ) R

tz

ty

tx

d ∈

=

−=

+=

t

3

2

21

: , ( ) : 2 - - 2 1 0P x y z + =

a) T×m to¹ ®é çc ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng(d) sao cho kho¶ng çch tõmçi ®iÓm ®ã ®Õn mÆt ph¼ng (P) b»ng 1. b) Gäi K lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm I(2;-1;3) qua ®−êng th¼ng (d) .X¸c ®Þnh to¹ ®é K. Bµi 4: (§HHång §øc -2000): Cho ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh :


- 18 -

( ) R

tz

ty

tx

d ∈

=

+−=

+=

t

2

1

1

: vµ (P): x+2y+z-1=0.

a) T×m to¹ ®é çc ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng(d) sao cho kho¶ng çch tõmçi ®iÓm ®ã ®Õn mÆt ph¼ng (P) b»ng

6 . b) Gäi K lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm I(2;0;-1) qua ®−êng th¼ng (d) .X¸c ®Þnh to¹ ®é K. Bµi 5: (§H§µ n½ng -2000): Cho ®iÓm A(-4;4;0),B(2;0;4),C(1;2;-1),D(7;-2;3).

a) CMR A,B,C,D ®ång ph¼ng . b) TÝnh kho¶ng çch tõ C®Õn ®−êng th¼ng (AB) Bµi to¸n 9: Gãc trong kh«ng gian Bµi 1: X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a 2 ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh :

a) ( ) 015z-x

019-y4x:)(d&

46

32

23

: 21

=+

=+

+=

+−=

+−=

tz

ty

tx

d b) ( )

33

2

12

:1

+−=

+=

+=

tz

ty

tx

d ,

( )

31

23

2

:2

+=

+−=

+=

uz

uy

ux

d

c) ( ) 01

012:1

=−+−

=++

zyx

yxd ( )

012

033:2

=+−

=+−+

yx

zyxd

Bµi 2: (§HHH-2000): Cho ba ®−êng th¼ng (d1),(d2), (d3) cã ph−¬ng tr×nh :

( ) R

tz

ty

tx

d ∈

+=

+−=

+=

t

32

42

1

:1 , ( ) 012

034:2

=+−−

=−+−

zyx

zyxd ( )

1

5

1

1

3:3

−=

−

−=

zyxd

a) X¸c ®Þnh cosin gãc gi÷a (d1),(d2). b) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) song song víi (d3) ®ång thêi c¾t c¶ (d1),(d2). Bµi 3: X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :

( ) 015

0194:

=+−

=−+

zx

yxd vµ (P):x+y-7z-58=0.

Bµi 4: (C§SP TP.HCM-99): Cho ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh :

( )1

3

2

4

1

3:

−

+=

−=

− zyxd vµ (P):2x+y+z-1=0

a) X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) . b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P). c) LËp ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®−êng th¼ng (d1) ®i qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mÆt ph¼ng (P). Bµi 5: (§HAN-CS-98): Cho ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh :

( )2

1

2

3

1

1:

+=

−

−=

− zyxd vµ (P): x+z+2=0

a) X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) . b) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) lªn mÆt ph¼ng (P).

Bµi to¸n 10: Tam gi¸c trong kh«ng gian Bµi 1: Cho ∆ABC bÝªt A(1;2;5), B(1;4;3), C(5;2;1) vµ mÆt ph¼ng (P):x-y-z-3=0. a) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng trung tuyÕn ,®−êng cao vµ ®−êng ph©n gi¸c trong kÎ tõ ®Ønh A.


- 19 -

b) Gäi G lµ träng t©m ∆ABC .CMR ®iÒu kÞªn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®iÓm M n»m trªn mÆt ph¼ng (P) cã tæng çc b×nh ph−¬ng kho¶ng çch ®Õn çc ®iÓm A,B,C nhá nhÊt lµ ®iÓm M ph¶i lµ h×nh chØÕu vu«ng gãc cña ®iÓm G trªn mÆt ph¼ng (P) .X¸c ®Þnh to¹ ®é cña ®iÓm M ®ã.

Bµi 2: Cho mÆt cÇu ( ) 0642: 222 =−−−++ zyxzyxS . a) Gäi A,B,C lÇn l−ît lµ giao ®iÓm (kh¸c gèc to¹ ®é ) cña mÆt cÇu (S) víi 0x,0y,0z .Çc ®Ønh to¹ ®é cña A,B,C vµ lËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (ABC). b) LËp ph−¬ng tr×nh çc ®−êng trung tuyÕn , ®−êng cao vµ ®−êng ph©n gi¸c trong kÎ tõ ®Ønh A cña ∆ABC. c) X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC. Bµi 3 Cho çc ®iÓm A(3;1;0), B(2;2;4) ,C(-1;21). a) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (ABC). b) LËp ph−¬ng tr×nh çc ®−êng trung tuyÕn ,®−êng cao vµ ®−êng ph©n gi¸c trong kÎ tõ ®Ønh A cña ∆ABC. c) X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC. VI. MÆt cÇu Bµi to¸n 1. Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu Bµi 1: Trong çc ph−¬ng tr×nh sau ®©y ,ph−¬ng tr×nh nµo lµ ph−¬ng tr×nh cña mÆt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña nã ,biÕt:

a) ( ) 02642: 222 =++−−++ zyxzyxS b) ( ) 09242: 222 =+−+−++ zyxzyxS

c) ( ) 03936333: 222 =+−+−++ zyxzyxS d) ( ) 07524: 222 =−−++−−− zyxzyxS

e) ( ) 022: 222 =−+−++ yxzyxS

Bµi 2: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph−¬ng tr×nh: ( ) 04624: 2222 =++−−−++ mmzmymxzyxSm

a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu . b) CMR t©m cña (Sm) lu«n n»m trªn mét ®−êng th¼ng cè ®Þnh.

Bµi 3: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph−¬ng tr×nh: ( ) 05824: 22222 =−+−−++ mymmxzyxSm

a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu . b) T×m quÜ tÝch t©m cña hä (Sm) khi m thay ®æi. c) T×m ®iÓm cè ®Þnh M mµ (Sm) lu«n ®i qua.

Bµi 4: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph−¬ng tr×nh: ( ) 03cos2sin2: 222 =−−−++ mymxzyxSm

a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu . b) CMR t©m cña (Sm) lu«n ch¹y trªn mét ®−êng trßn (C) cè ®Þnh trong mÆt ph¼ng 0xy khi m thay ®æi. c) Trong mÆt ph¼ng 0xy, (C) c¾t 0y t¹i A vµ B. §−êng th¼ng y=m(-1<m<1 ,m ≠ 0) ,c¾t (C) t¹i T, S ,

®−êng th¼ng qua A , T c¾t ®−êng th¼ng qua B ,S t¹i P .T×m tËp hîp çc ®iÓm P khi m thay ®æi . Bµi 5: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ,biÕt :

a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4. b) §i qua ®iÓm A(2;1;-3) vµ t©m I(3;-2;-1).

c) §i qua ®iÓm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thuéc 0x. d) Hai ®Çu ®−êng kÝnh lµ A(-1;2;3), B(3;2;-7) Bµi 6: Cho 3 ®−êng th¼ng (d1),(d2), (d3) cã ph−¬ng tr×nh :

( )1

1

4

2

3

2:1

−=

+=

− zyxd , ( )

1

9

2

3

1

7:2

−

−=

−=

− zyxd , ( )

1

2

2

3

3

1:3

−

−=

−

+=

+ zyxd

a) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) vµ song song víi ®−êng th¼ng (d3).

b) Gi¶ sö ( ) ( ) { }Add =∩ 1 , ( ) ( ) { }Bdd =∩ 2 .LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ®−êng kÝnh AB.

Bµi 7: Cho 2 ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh : ( ) R

tz

ty

tx

d ∈

=

−=

+=

t

2

1

2

:1 , ( ) 03

022:2

=−

=−+

y

zxd

a) CMR (d1) vµ (d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng vu«ng gãc chung cña (d1) vµ (d2).


- 20 -

c) LËp ph−¬ng tr×nh mËt cÇu (S) cã ®−êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña (d1) vµ (d2). d) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng çch ®Òu (d1) vµ (d2).

Bµi to¸n 2: MÆt cÇu tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng Bµi 1: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) biÕt :

a) T©m I(1;2;-2) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P):6x-3y+2z-11=0. b) (C§GTVT-2000): T©m I(1;4;-7) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P) :6x+6y-7z+42=0. c) B¸n kÝnh R = 9 vµ tiÕp xóc víi (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iÓm M(1;1;-3).

Bµi 2: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m I trªn ®−êng th¼ng (d) vµ tiÕp xóc víi hai mÆt ph¼ng ( )1P vµ ( )2P , biÕt

a) (§HL-95): ( )2

1

2

1

3

2:

−=

−=

−

− zyxd b) ( )1P :x+2y-2z-2=0. vµ ( )2P :x+2y-

2z+4=0.

c) ( ) 01445

0724:

=−++

=−++−

zyx

zyxd , d) ( )1P :2x+2y-z-12=0. vµ

( )2P :-2x+2y-z+8=0.

e) ( ) R

tz

ty

tx

d ∈

−−=

+=

+−=

t

2

3

21

: , f) ( )1P :3x4y+2z-10=0 ( )2P :2x-

3y+4z-10=0 Bµi 3: (§HLN-97): Cho ®−êng th¼ng (d) vµ hai mÆt ph¼ng ( )1P , ( )2P ,biÕt :

( )2

1

3

1

2:

+=

−=

zyxd , ( )1P :x+y-2z+5=0. vµ ( )2P :2x-y+z+2=0

a) Gäi A lµ giao ®iÓm cña (d) víi ( )1P vµ ( )2P .TÝnh ®é dµi ®o¹n AB.

b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cod t©m I trªn ®−êng th¼ng (d) vµ tiÕp xóc víi hai mÆt ph¼ng ( )1P vµ

( )2P .

Bµi to¸n 3: MÆt cÇu c¾t mÆt ph¼ng Bµi 1: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m t¹o giao ®iÓm I cña mÆt ph¼ng (P) vµ ®−êng th¼ng (d) sao cho mÆt ph¼ng (Q) c¾t khèi cÇu theo thÝªt diÖn lµ h×nh trßn cã diÖn tÝch 12π ,biÕt :

a) ( ) R

tz

ty

tx

d ∈

+=

−=

+=

t

2

3

1

: ,(P):x-y-z+3=0 b) ( ) 01

03:

=−

=−++

y

zyxd , (P):x+y-2=0.

Bµi 2: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m thuéc ®−êng th¼ng (d) vµ c¾t mÆt ph¨ng (P) theo thiÕt diÖn lµ ®−êng

trßn lín cã b¸n kÝnh b»ng 18.biÕt: ( ) R

tz

ty

tx

d ∈

+=

+=

+=

t

1

39

412

: vµ (P):y+4z+17=0.

Bµi 3: Trong kh«ng gian 0xyz , cho hai ®iÓm A(0;0;-3),B(2;0;-1) ,vµ mÆt ph¼ng (P):3x-8y+7z-1=0 . a) (HVNH-2000): T×m to¹ ®é ®iÓm C n»m trªn mÆt ph¼ng (P) sao cho tam gi¸c ®Òu . b) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®i qua 3 ®iÓm A,B,C vµ cã t©m thuéc mÆt ph¼ng (P):x-y-z-2=0.

Bµi to¸n 4: MÆt cÇu tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng Bµi 1: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) biÕt :

a) T©m I(1;2;-1) vµ tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh : ( ) R

z

ty

tx

d ∈

−=

=

−=

t

1

1

:


- 21 -

b) T©m I(3;-1;2) vµ tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh : ( ) 017322

0322:

=−−−

=−−−

zyx

zyxd

Bµi 2: Trong kh«ng gian 0xyz, cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) ,biÕt :

( ) R

tz

ty

tx

d ∈

+=

−=

+=

t

32

1

21

:1 , ( ) 012

043:2

=+−−

=−−

zyx

yxd

LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) tiÕp xóc víi (d1) t¹i ®iÓm H(3;1;3) vµ cã t©m thuéc ®−êng th¼ng (d2). Bµi 3: Trong kh«ng gian 0xyz, cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) ,biÕt :

( ) 01

012:1

=−+−

=++

zyx

yxd , ( )

012

033:2

=+−

=+−+

yx

zyxd

a) CMR hai ®−êng th¼ng ®ã c¾t nhau .X¸c ®Þnh täa ®é giao ®iÓm I cña chóng . b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua hai ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2). c) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu tiÕp xóc víi (d1),(d2) vµ cã t©m thuéc ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh :

( ) R

tz

ty

tx

d ∈

+−=

+=

+=

t

33

2

21

:


( ) R) (t

46

32

23

:1 ∈

+=

+−=

+−=

tz

ty

tx

d , ( ) 015

0194:2

=+−

=−+

zx

yxd

a) CMR hai ®−êng th¼ng ®ã c¾t nhau .X¸c ®Þnh täa ®é giao ®iÓm I cña chóng . b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua hai ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2). c) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu tiÕp xóc víi (d1),(d2) vµ cã t©m thuéc ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh :

( )4

9

1

5

3

7:

−=

−

−=

+ zyxd


( )4

1

32

2:1

−

+=

−=

− zyxd , ( )

129

2

6

7:2

zyxd =

−=

−

−

a) CMR hai ®−êng th¼ng ®ã song song víi nhau. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua hai ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2). c) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu tiÕp xóc víi (d1),(d2) vµ cã t©m thuéc ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh :

( ) R

z

ty

tx

d ∈

−=

=

−=

t

1

1

:


( )4

9

1

5

3

7:1

−=

−

−=

+ zyxd , ( )

4

18

1

4

3:2

+=

−

+=

zyxd

a) CMR hai ®−êng th¼ng ®ã song song víi nhau. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua hai ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2). c) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu tiÕp xóc víi (d1),(d2) vµ cã t©m thuéc ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh :

( ) R

tz

ty

tx

d ∈

−=

−−=

+=

t

1

3

23

:


- 22 -


( ) R) (t

33

2

21

:1 ∈

+−=

+=

+=

tz

ty

tx

d , ( )

31

23

2

:2

+=

+−=

+=

uz

uy

ux

d

a) CMR hai ®−êng th¼ng ®ã chÐo nhau. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng vu«ng gãc chung cña(d1) vµ (d2). c) TÝnh kho¶ng çch gi÷a (d1) vµ (d2). d) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu tiÕp xóc víi (d1),(d2) vµ cã t©m thuéc mÆt ph¼ng (P) : xy+z-2=0


( ) 01

03:1

=−+

=−++

zx

zyxd , ( )

01

0922:2

=+−

=+−−

zy

zyxd

a) CMR hai ®−êng th¼ng ®ã chÐo nhau. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng vu«ng gãc chung cña(d1) vµ (d2). c)LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu tiÕp xóc víi (d1),(d2) vµ cã t©m thuéc mÆt ph¼ng (P):2x-y+3z-6=0.

Bµi to¸n 5: MÆt cÇu c¾t ®−êng th¼ng

Bµi 1: (§HQG-96): Cho ®iÓm I(2;3;-1) vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh : ( ) 0843

020345:

=−+−

=++−

zyx

zyxd

a) X¸c ®Þnh VTCP a cña (d) suy ra ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) qua I vµ vu«ng gãc víi (d): b) TÝnh kho¶ng çch tõ I ®Õn (d) tõ ®ã suy ra ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) cã t©m sao cho (S) c¾t (d) t¹i hai

®iÓm ph©n biÖt A,B tho¶ min AB = 40.

Bµi 2: Cho ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh : ( ) R

tz

ty

tx

d ∈

=

−=

+=

t

3

2

21

: , (P):2x-y-2z+1=0.

a) (§HBK-98):T×m to¹ ®é çc ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng (d) sao cho kho¶ng çch tõ mçi ®iÓm ®ã ®Õn mÆt ph¼ng (P) b»ng 1.

b) (§HBK-98):Gäi K lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm I(2;-1;3) qua ®−êng th¼ng (d) .X¸c ®Þnh to¹ ®é K. c) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m I c¾t ®−êng th¼ng (d) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A,B sao cho AB=12. d) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m I tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P). e) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m I c¾t mÆt ph¼ng (P) theo giao tuyÕn lµ mét ®−êng trßn cã diÖn tÝch

b»ng 16π Bµi to¸n 6: MÆt cÇu ngo¹i tiÕp khèi ®a diÖn Bµi 1: (§H HuÕ-96): Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ 0xyz ,cho bèn ®iÓm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).

a) ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng ®i qua D vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC). b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.

Bµi 2: Cho bèn ®iÓm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8) a) (§HKT-99): CMR SB vu«ng gãc SA. b) (§HKT-99): CMR h×nh chiÕu cña c¹nh SB lªn mÆt ph¼ng (0AB) vu«ng gãc víi c¹nh 0A. Gäi K lµ

giao ®iÓm cña h×nh chiÕu ®ã víi 0A. Hiy x¸c ®Þnh to¹ dé cña K. c) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. d) (§HKT-99): Gäi P,Q lÇn l−ît lµ ®iÓm gi÷a cña çc c¹nh S0,AB . T×m to¹ ®é cña ®iÓm M trªn SB sao

cho PQ vµ KM c¾t nhau. Bµi 3: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é 0xyz ,cho bèn ®iÓm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).

a) (HVKTQS-98): T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn (ABC) vµ tÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD. b) (HVKTQS-98): ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè ®−êng th¼ng vu«ng gãc chung cña AC vµ BD. c) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. d) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD.

Bµi 4: Cho bèn ®iÓm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).


- 23 -

a) (HVNHTPHCM-99):ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng BC .H¹ AH vu«ng gãc BC .T×m to¹ ®é cña ®iÓm H.

b) (HVNHTPHCM-99):ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (BCD) .T×m kho¶ng çch tõ A ®Õn mÆt ph¼ng (BCD).

c) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. Bµi 5: Trong kh«ng gian 0xyz, cho h×nh chãp .biÕt to¹ ®é bèn ®Ønh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4), D(3;1;0).

a) LËp ph−¬ng tr×nh çc mÆt cña h×nh chãp. b) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ngo¹i tiÕp h×nh chãp .

c) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABCD Bµi 6: (HVKTMM-97) Cho bèn ®iÓm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).

a) CMR tø diÖn ABCD cã cÆp c¹nh ®èi diÖn b»ng nhau . b) X¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m G cña tø diÖn.

c) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp ,néi tiÕp tø diÖn ABCD. Bµi to¸n 7: MÆt cÇu néi tiÕp khèi ®a diÖn Bµi 1: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu néi tiÕp h×nh chãp SABCD ,biÕt:

a) 4

( ;0;0)3

S ,A(0;-4;0), B(0;-4;0),C(3;0;0). b) S ≡ 0,A(a;0;0),B(0;b;0), C(0;0;c), víi a,b,c>0.

Bµi 2: Cho h×nh chãp SABCD .§Ønh )4,2

9,

2

1(−S ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng cã A(-4,5,0) ,®−¬ngf chÐo BD cã

ph−¬ng tr×nh : ( ) 0

087:

=

=+−

z

yxd

a) T×m to¹ ®é çc ®Ønh cña h×nh chãp . b) LËp ph−¬ng tr×nh nÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp.

c) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu néi tÝªp h×nh chãp. Bµi 3: Cho ba ®iÓm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3).

a) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t çc mÆt ph¼ng (0AB), (0BC), (0CA), (ABC). b) X¸c ®Þnh t©m I cña mÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn 0ABC . c) T×m to¹ ®é ®iÓm J ®èi xøng víi I qua mÆt ph¼ng (ABC).

Bµi 4: (HVKTMM-99):Cho bèn ®iÓm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2). a) CMR tø diÖn ABCD cã çc cÆp c¹nh ®èi diÖn b»ng nhau. b) X¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m G cña tø diÖn . c) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. d) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn ABCD.

Bµi to¸n 8: VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña ®iÓm vµ mÆt cÇu

Bµi 1: Cho mÆt cÇu ( ) 034: 222 =−−−−++ zyxzyxS .xÐt vÞ trÝ t−png ®èi cña ®iÓm A ®èi víi mÆt cÇu (S) trong çc tr−êng hîp sau:

a) ®iÓm A(1;3;2). b) ®iÓm A(3;1;-4). c) ®iÓm A(-3;5;1). Bµi 2: T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc mÆt cÇu ( ) 03242: 222 =−+−−++ zyxzyxS .Sao cho kho¶ng çch MA ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt ,nhá nhÊt,biÕt:

a) ®iÓm A(1;-2;0). b) ®iÓm A(1;1;-2). Bµi to¸n 9: VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña ®−êng th¼ng vµ mÆt cÇu

Bµi 1: Cho mÆt cÇu ( ) 06222: 222 =−−−−++ zyxzyxS .T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc (S) sao cho kho¶ng çch tõ M ®Õn (d) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt,biÕt:

a) ( ) R

tz

ty

tx

d ∈

−−=

+=

−=

t

1

1

2

: b) ( ) 012

032:

=−+

=−++

zy

zyxd

Bµi to¸n 10: VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña mÆt ph¼ng vµ mÆt cÇu


- 24 -

Bµi 1: (§HDL-97):Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®« trùc chuÈn 0xyz, cho mÆt cÇu (S) vµ mÆt ph¼ng (P) cã

ph−¬ng tr×nh : ( ) 022: 222 =−−++ xzyxS ,(P):x+z-1=0. a) TÝnh b¸n kÝnh vµ to¹ ®é t©m cña mÆt cÇu (S). b) TÝnh b¸n kÝnh vµ to¹ ®é t©m cña ®−êng trßn giao cña (S) vµ (P).

Bµi 2: (§HSPV-99): Cho ®iÓm I(1;2;-2) vµ mÆt ph¼ng 2x+2y+z+5=0 . a) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) t©m I sao cho giao cña (S) vµ (P) lµ ®−êng trßn cã chu vi b»ng 8π . b) CMR mÆt cÇu (S) tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng 2x-2=y+3=z. c) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®−êng th¼ng (d) vµ tiÕp xóc víi (S).

Bµi 3: (§HBK-A-2000): Cho h×nh chãp SABCD víi S(3;2;-1), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0). a) CMR SABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu vµ ba mÆt bªn lµ çc tam gi¸c vu«ng c©n. b) TÝnh to¹ ®é ®iÓm D ®èi xøng víi ®iÓm C qua ®−êng th¼ng AB. M lµ ®iÓm bÊt k× thuéc mÆt cÇu t©m

D, b¸n kÝnh 18=R .(®iÓm M kh«ng phô thuéc mÆt ph¼ng (ABC) ). XÐt tam gi¸c cã ®é dµi çc c¹nh b»ng ®é dµi çc ®o¹n tj¼mg MA, MB, MC. Hái tam gi¸c ®ã cã ®Æc ®iÓm g× ?

Bµi 4: (§HPCCC-2000): Cho ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh : ( )

=

=++

0

14:

222

z

zyxC .LËp h−¬ng tr×nh mÆt

cÇu chøa (C) vµ tiÖp xóc víi mÆt ph¼ng: 2x+2y-z-6=0. Bµi 5: (C§HQ-96): Cho mÆt cÇu (S) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh :

( ) 9)1()2()3(: 222 =−+++− zyxS ,(P):x+2y+2z+11=0. T×m ®iÓm M sao cho M thuéc (S) sao cho kho¶ng çch tõ M tíi mÆt ph¼ng (P) nhá nhÊt . Bµi to¸n 11: VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai mÆt cÇu

Bµi 1: Cho hai mÆt cÇu: ( ) 0722: 222

1 =−−−++ yxzyxS , ( ) 02: 222

2 =−++ xzyxS a) CMR hai mÆt cÇu (S1) vµ (S2) c¾t nhau. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu qua giao ®iÓm cña (S1) vµ (S2) qua ®iÓm M(2,0,1).

Bµi 2: Cho hai mÆt cÇu: ( ) 9: 222

1 =++ zyxS , ( ) 06222: 222

2 =−−−−++ zyxzyxS a) CMR hai mÆt cÇu (S1) vµ (S2) c¾t nhau. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu qua giao ®iÓm cña (S1) vµ (S2) qua ®iÓm M(-2;1;-1).

Documents

Bài 1) ĐHCĐ 2002 K.A 2002 K.B 2002 K fileGiáo viên : Nguy ễn Đình D ũng - Tr ường THPT Nông C ống IV LTĐH - 1 - Bài 1) ĐHCĐ 2002 K.A Trong khoâng gian vôùi heä