Upload
filbert-akira
View
281
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/27/2019 BHN RGKSN INTEGRAL.doc
1/13
BAB II
TEKNIK INTEGRAL
2.1 Teknik Substitusi
Teknik substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada
umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke
bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;
a. n
x dx =
1
1
+
+
n
x n+ c, asalkan n -1 atau
b. [ ] dxxfxf n
)()( =[ ]
1
)( 1
+
+
n
xf n
+ c, asalkan n -1
!arena rumus di atas adalah "ed#man umumnya, maka
integrannya menyesuaikan dengan rumus di atas. $ika belum
sesuai atau menyim"ang dari bentuk di atas maka seda"at
mungkin diubah terlebih dahulu. %engan demikian setelah
integran sesuai dengan bentuk baku integralnya da"at dilakukan
dengan menga"likasikan rumus dasar integral tidak tentu
tersebut di atas. &khirnya selesaiannya da"at dilakukan dengan
met#de substitusi.
Perhatikan bebera"a c#nt#h berikut'
1. x1
dxisal u = x1
xu = 1
)1()(
xdud =dxudu =
*ubstitusi bentuk terakhir ke x1 dx, di"er#leh
duuu )( = - duu
%engan rumus dasar di da"at
x1 dx = - duu
= - cu
+
+
+
= - cx + +)1(+
. dxx + +)1( = ( ) dxx
+
1 +*ubstitusi = ( )
+
1 x+ E = ( )+1 x+ d( E ) = d ( )+1 x+ d = ( ) )(1 x+ dx
dx = )1(+ xEdE+
dxx + +)1( = E dExE
)1(+ +
= dE
E
E
-
+
+
= dEE +
+
1
= cE +
+
+
1 +
=+/
1E + c
= ( ) cx +
+
+
.
+
1
1
. + dxx 11)1+(
isal & = x + 1
d(&) = d(x+1)
d& = dx
dx =+
dA
*ehingga + dxx 11)1+( = +
11 dAA
= dAA11
+
1
= cA
+)1
(+
1 1
= cA +1+0
1
= cx
+++0
)1+( 1
. xCos
dxisal & = x
d(&) = d(x) d& = dx
dx =
dA
xc#s dx =
c#s dAA
= Ac#s dA
1
= AdAc#s1
=
+dA
A
c#s1
1
= + AdAdA c#s-1
-
1
= cAA
++
sin
-
= cxx
++
-sin
-
= cxx
++
-sin
. + xx --
(x+) dx
$a2ab
isal & = xx -- + & = x + x & d& = (x+) dx
& d& = (x+) dx
& d& = (x+) dx
*ehingga
+ xx --
(x+) dx = A .& d& = dAA
= cA +++
1
=+ --
+
1xx + + c
. +-+ttdt
$a2ab
isal P = -+ +t
P = t + t =+
- P
d(P ) = d(t+)
7/27/2019 BHN RGKSN INTEGRAL.doc
2/13
P d" = dt dt = Pdp+
, sehingga
+-+ttdt
=
p
dppP
)+
)(
+
-(
= dpP )(31
0.
10 xdxx
$a2ab
isal 4 = 10 x 4 = 10 - x x = 10 - 4 d(4 ) = d(10 - x )
4 du = (-x)dx
dx = dux
U
10 x
dxx=
u
x
uu )10(
du
= dux
u
10
= - duux )10(1
=
+
1+
10C
x
uC
x
u+++
= Cx
xx
x
x +++
10)10(
1010
= Cx
x
x
x
+
+
+)10()10(10 /+/1
5. + dttt /+)(
$a2ab
isal = (t+) +
= (t+) +
d = (t+) dt
+ dttt /+)( = + )(+
..
t
MdMtM
=
+ dMM
t
t
)(+
=+
+
1
)(+
M
t
t
++ 6
= 3
)(
)(3
++
tt
t+ 6
= Ctt
++
)(3
1. dxx 1 $a2ab
*ubstitusikan xu = 1
xu = 1
)1()(
xdud =dxduu =
*ubstitusi bentuk terakhir ke dxx 1 , di"er#leh
= duuduuu )(
%engan rumus integral dasar di da"at
= duudxx 1
cu
+
=
+
+
!arena xu = 1
*ehingga cxdxx += +)1(+
1
. dxx + +)1(
$a2ab
*ubstitusi ( )+
1 xE +=
( )+ 1 xE +=( ) ( )+ 1 xdEd +=
( ) dxxdEE )(1+ +=
)1(+ x
dEEdx
+=
*ehingga +=+ +
)1(+)1(
x
EdEEdxx
-+
+E
dEE
dEE -
+
1
cE
+
3
-+
1 -3
cE + -3
-
+
!arena ( )+
1 xE +=
*ehingga ( ) cxdxx +
+=+
-
3
++ 1
-
+)1(
( ) cx +
+=
5
1-
+
. + dxx 11)1+(
*ubstitusi )1+( += xA)1+()( += xdAd
dxdA +=+
dAdx=
*ehingga
=+ +)1+( 1111 dAAdxx
= dAA11
+
1
cA
+= )1
(+
1 1
cA += 1
+0
1
!arena )1+( += xA
*ehingga cx
dxx ++=+ 1)1+(
)1+(1
11
. dxxc#s$a2ab
*ubstitusikan xA =dxdA =
dAdx=
7/27/2019 BHN RGKSN INTEGRAL.doc
3/13
*ehingga
= c#sc#s dAAdxx
= AdAc#s1
+
= dAA
c#s1
1
+= AdAdA c#s-
1
-
1
cAA ++=
sin
-!arena xA =
cxx
x ++= -sin
-
c#s
*ehingga cx
xdxx +
+= -
sin
1c#s
. ( ) ++ dxxxx ---
$a2ab
*ubstitusikan xxA -- +=
( )xxA -- += ( xxdAd --)( +=
dxxAdA )-( += dxxAdA )-( +=*ehingga
( ) =++ dAAAdxxxx .---
= dAA
cA+= ++
1
!arena xxA -- +=
*ehingga ( ) cxdxxxx ++=++ + --+1
---
0. +-+t
dtt
$a2ab
*ubstitusi isal -+ += tP
-+ += tP )-+()(
+= tdPd dtPdP + =
+
PdPdt=
*ehingga
=+ P
dPPP
t
tdt +
+
-
-+
= dPP )(31
cPP +=3
5
+
!arena -+ += tP*ehingga
( ) ctttttdt +++++=
+ -+3-+-+
5
-+
5.
10 x
dxx
$a2ab
*ubstitusi 10 xw =( ) 10 xw =
xdxwdw =
dwx
wdx =
*ehingga
( )dw
x
w
w
w
x
dxx
=
10
10
dwx
w
=10
= dwwx )10(1
cx
w
x
w
++= +10 +
!arena 10 xw =*ehingga
x
xx
x
xdx
x
x +
=
+
10)10(
1010
10
cx
x
x
x++=
+
)10()10(10 /+/1
&khirnya di"er#leh
c
x
x
x
x
x
dxx+
+
=
+)10()10(10
10
/+/1
. + dttt /+)(
$a2ab
*ubstitusikan ( )+
+= ts
( )+ += ts
( ) dttsds + +=
( )
dst
sdt
+
+=
*ehingga
( ) dsts
stdttt +=+ /+
+
..)(
+= dsstt
)(+
cst
t ++
= + +
1
)(+
( ) ctt
t++
+=
3
)(3
ctt
++= 3)(
*ehinggga ctt
dttt ++=+ 3
)()(
/+
2.2 Integral Fungsi Trigonometri
*ebelum membahas teknik integral 7ungsi trig#n#metri
secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar 7ungsi
trig#n#metri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil
"engintegralan dengan teknik 7ungsi trig#n#metri. 8entuk dasar
tersebut adalah'
1. cxdxx +=
c#ssin
. cxdxx += sinc#s . += cxdxx seclntan = cx + c#sln
. += cxdxx csclnc#t = cx +sinln
. ++= cxxdxx tanseclnsec0. += cxxdxx c#tcsclncsc
7/27/2019 BHN RGKSN INTEGRAL.doc
4/13
8erdasarkan bentuk-bentuk integral di atas, selanjutnya
diberikan bebera"a kasus bentuk integral 7ungsi trig#n#metri
yang dibahas "ada bagian ini, diantaranya adalah'
a. Bentuk ,sin xdxm
xdxmc#s dengan m bilangan
ganjil atau genap positip
$ika m bulat "#siti" dan ganjil, maka m diubah menjadi
(m-1) + 1, atau m digena"kan terdekat. *elanjutnya substitusi
dengan menggunakan kesamaan identitas 1c#ssin =+ xx
atau sin x
= 1 - c#s x
atau c#s x
= 1 - sin x
dan .&khirnya dengan substitusi tersebut dida"at kesamaan
antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan
mudah da"at diselesaikan.
6#nt#h'
m bilangan ganjil
1. xdx+sin
$a2ab
xdx+sin = dxx
+ 1)1+(sin
= xxsinsin
dx = )c#s()c#s1(
xdx
= + )(c#sc#s)c#s(1 xdxd
= Cxx ++ +c#s+
1c#s
. dxx .
c#s
$a2ab
dxx c#s =
+x
1)1.(c#s dx
= xdxxc#sc#s-
= )(sin)sin1(
xdx
= )(sin)sinsin1( -
xdxx +
= + )(sinsin)(sinsin)(sin1
-xxdxxdxd
= cxxx ++ + sin
1sin
+
sin
. dxx)(sin
$a2ab'
isal u = x, du = dx atau dx =
du
*ehingga = sin)(sin duudxx
= udu
sin
1
= uduusinsin1 -
=
)c#s()c#s1(1 udu
=
+ )c#s()c#sc#s1(1 -
uduu
=
Cuuu ++ + sin19
1sin
+
1c#s
1
=
Cxxx + sin19
1sin
+
1c#s
1 +
8entuk xdxmc#s , dx
msin , jika m bilangan bulat
"#siti" gena", selesaiannya da"at dilakukan dengan
menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut
sin x =
c#s1 xdan c#s
c#s1 xx +=
6#nt#h'
1. xdxsin
!arena "angkatnya gena", digunakan kesamaan setengah
sudut, maka
xdxsin =
dx
x
c#s1=
dx
x
c#s
1
= xdxdx c#s1
1
= Cxx
+ -sin
. xdx-c#s
$a2ab
xdx-c#s =
)(c#s x dx
=
+
dxx
c#s1
=
+ dxxx
-
)c#s:
)
)c#s
-
1
=
++ xdxdx
xdx c#s
-
1
c#s
-
1
=
sin
xx+ +
+
dxx
-c#s1
-
1
= Cxxxx
+++++
-sin
-
sin
-
= Cxxx
++++
-sin
-
sin
+
. xdxsin-
isal u = x , du = dx atau dx =
du, sehingga
xdxsin- = sin
-
duu
=
duu
c#s1
1
= + duuu )c#sc#s1(-1
1
=
+ uduududu c#s1
c#s-
1
1
=
++ duu
ududu
-c#s1
1c#s
-
1
1
=
++ ududuududu -c#s101
10
1c#s
-
1
1
=
Cuuuu +++ -sin0-
1
10
1sin
1
1
!arena u = x, maka
xdxsin-
=
Cxxxx +++ )(-sin0-
1)(
10
1)(sin
1)(
1
b. Bentuk xdxx nm c#ssin
8entuk ini mem"unyai ciri-ciri m atau n ganjil dan m dan n
gena" sekaligus.
$ika m atau n bilangan bulat "#siti" ganjil, sedangkan
lainnya sebarang bilangan, maka 7akt#rkan sin x atau c#s x
dengan menggunakan kesamaan identintas
1c#ssin =+ xx dengan terlebih dahulu mengubah salahsatu bilangan ganjil. isal m ganjil maka ubah m dengan m =
(m-1)+1 , jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1.
$ika m dan n gena" digunakan kesamaan setengah
sudut
7/27/2019 BHN RGKSN INTEGRAL.doc
5/13
c#s1sin
xx
= dan
c#s1c#s
xx
+= sehingga
di"er#leh hasil "engintegralannya.
6#nt#h
1. xdxx +
c#ssin
$a2ab
!arena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas
xdxx +
c#ssin = dxx + 1)1+( c#ssin
xdxxx
c#ssinsin =
xdxxx sinc#s)c#s1(
=
)c#s()c#s(c#s -
xdxx =
)c#s(c#s)c#s(c#s -
xxdxxd
=
+ )(c#sc#s)(c#sc#s -
xxdxxd (te#rema 1)
= Cxx ++ + c#s
1c#s
+
1
(hasil te#rema 1)
= Cxx + )+
1c#s
1(c#s +
. xdxx +
c#ssin !arena n ganjil, maka ubah menjadi gena"
xdxx +
c#ssin = xdxxx c#sc#ssin
=
)(sin)sin1(sin
xdxx
=
)(sinsin)(sinsin -
xxdxxd
= Cxx + +
sin
1
sin+
1
. xdxx ++
c#ssin
$a2ab
xdxx ++
c#ssin
!arena kedua "angkat bilangan ganjil, "ilih salah satu untuk
diubah menjadi gena"
dxxx ++
c#ssin = xdxxx c#sc#ssin +
= )(sin)sin1(sin + xdxx
= )(sinsin)(sinsin +
xxdxxd
= Cxx + 0-
sin0
1
sin-
1
&tau
xdxx ++
c#ssin = dxxxx +
c#ssinsin
= )c#s(c#s)c#s1( +
xxdx
= )c#s()c#s(c#s +
xdxx
= Cxx ++ 0- c#s0
1c#s
-
1
. dxxx
sinc#s
!edua "angkat bilangan gena", sehingga di"er#leh'
xdxx
sinc#s =
+
dxxx
c#s1
c#s1
= dxx)c#s1(-1
=
+ dx
x
-c#s11
-
1
=
dx
x
-c#s
1
-
1
= Cxx
+
-c#s
-
1
= Cxx +
+
-c#s
. dxxx --
c#ssin
$a2ab
!arena kedua "angkatnya bilangan gena", untuk
menentukan selesaiannya gunakan kesamaan setengah
sudut sin x =
c#s1 x dan c#s c#s1 xx += .
xdxx --
c#ssin = dxxx
)(c#s)(sin
=
+
dxxx
c#s1
c#s1
=
+++ dxxxxx )c#sc#s1)(c#sc#s1(101
= + dxxx )c#sc#s1(101 -
= + xdxdxxdx c#s101
c#s
1
10
1 -
=
++
+ dx
xxdx
-c#s1
10
1
-c#s1
1
10
1
=
++++
dxxxx
dx
)-c#s-c#s1(0-
1
-c#s1
1
10
1
=
+++
+ xdxdx
xdx
0-
1-c#s
+
1
0-
1
-c#s1
1
10
1
=
++++ xdxdxxdx 11
-c#s+
1
0-
1
-c#s1
1
10
1
=
++ xdxxdxdxdx -c#s+1
0-
1-c#s
10
1
10
1
10
1
= + xdxxdxdx c#s11
-c#s+
1
1
+
= Cxxx ++ sin
19-
1-sin
1
1
1
+
c. ,tan dxxn
an dxxn
c#t %alam kasus ini jika n gena" gunakan kesamaan
identitas 1 + xx sectan = dan 1+c#t xx csc= . $ika nganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan 1 +
xx sectan = dan 1+c#t xx csc= .
Perhatikan c#nt#h berikut'
1. xdx+
tan
!arena "angkat n ganjil maka diubah dalam bentuk "erkalian
yang salah satunya gena", selanjutnya gunakan kesamaan
identitas 1 + xx sectan =*ehingga di"er#leh
xdx+
tan = dxxx tantan
= dxxx tan)1(sec = dxxdxxx tantansec
= + cxdxxx seclnsectan = ( ) + cxxdx lntantan
= Cxx + seclntan
1
1. xdx+
c#t
$a2ab
!arena "angkat integran ganjil maka ubah = (-1)+1,
7/27/2019 BHN RGKSN INTEGRAL.doc
6/13
selanjutnya gunakan kesamaan identitas
xx cscc#t1 =+ dan xdxxd csc)c#t( = di"er#leh
= dxxxdx c#tc#tc#t +
dxx c#t)1(csc
=
= dxxdxxx c#tc#tcsc
= xdxdxxx c#tcscc#t
( ) +=
dxxxdx c#tc#tc#t
cxx ++= csclnc#t
1
*ehingga cxxxdx ++= csclnc#t1
c#t +
. xdx-
c#t
!arena "angkat n gena", maka gunakan kesaman identintas
xx cscc#t1 =+ , sehingga dida"at
xdx-
c#t = dxx )(c#t
= dxx )1(csc
= dxxx )1csc(csc -
+
= + dxxxx )1csccsc)(csc
= ++ ;1csccsc)c#t1( dxxxx =
++ dxxdxdx )c#t()c#t()c#t1(
= Cxxxx +++ c#tc#t+
1)c#t( +
= Cxxx +++ c#tc#t
+
1 +
1. xdxtan
$a2ab
( ) = dxxxdx 1sectan = dxxdx 1sec
= dxxd 1)(tan cxx +=tan
*ehingga cxxxdx += tantan
. xdxx nm
sectan ! an xdxx nm
cscc#t
8entuk ini mem"unyai dua kasus yaitu n gena" msebarang dan m ganjil n sebarang. $ika n gena" dan m sebarang
gunakan kesamaan 1 + tan xx sec= atauxx
cscc#t1 =+
6#nt#h
1. dxxx -sectan
!arena salah satu "angkat bilangan gena", maka
langsung gunakan kesamaan identitas 1+tan
xx sec= , sehingga di"er#leh dxxx
-sectan = dxxxx secsectan
= dxxxx + sec)tan1(tan
= )(tan)tan(tan 5
xdxx +
= Cxx ++ 0 tan
1tan
0
1
. dxxx --cscc#t
$a2ab
dxxx --cscc#t = dxxxx ))(csc(cscc#t
-
= )c#t()1(c#tc#t - xdx
= )c#t()c#t(c#t -0
xdxx
= Cxx ++ 5 c#t
1c#t
5
1
*edangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang
juga dengan menggunakan substitusi kesamaan identitas 1 + tan
xx sec= atau 1 + c#t x = csc x .6#nt#h'
1. xdxx ++
sectan = xdxxxx secsectantan = )(secsectan
xdx
=)(secsec)1(sec
xdxx
= )(sec)sec(sec
-xdxx
= Cxx + + sec+
1sec
1
.
xdxx /1+
sectan =
dxxxx secsectantan +
=
)(secsec)1(sec +
xdxx
=
)(sec)sec(sec
+/1 xdxx
= xx /1/+secsec
+
+ + 6
e. nxdxmxc#ssin ! ,sinsin nxdxmx
nxdxmxc#sc#s
7/27/2019 BHN RGKSN INTEGRAL.doc
7/13
a. xa , a ?ealb. ax + = xa + , a ?ealc. ax , a ?ealatau bentuk lain yang da"at diubah menjadi bentuk di atas,
misalnya
xba =
xb
a
xba + =
xb
a
+
bxa =
a
bx atau cbxax ++ yang da"at
diubah menjadi bentuk kuadrat sem"urna.
8entuk integral yang integrannya memuat xa atau bentuk lain yang da"at diubah menjadi sejenisnya.
*elesaiannya menggunakan substitusi x = a sin t atau sin t =a
x
dengan -
t .
*elanjutnya "erhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
!arena x = a sin t maka
xa = )sin( taa = )sin1( ta
= a c#s t
dx = a c#s t dt.
*elanjutnya bentuk tcxa c#s = dan
tdtadx c#s= substitusikan ke dalam integral semula.6#nt#h'
Tentukan hasil "engintegralan berikut ini'
1. - x dx$a2ab
isal x = sin t sin t =
x
dx = c#s t dt
- x = tt c#ssin-- =
*ehingga
= dxx
- tdtt c#s.c#s = tdttc#sc#s-
= tdtc#s =
+dt
t
)c#s1(=
dt + tc#s dt =
cttt ++ c#ssin =
+
-
arcsin
xxx
+c
&tau tdtc#s = (
c#ssin tt+ Ct+
1)
= sint c#st + t + 6
=
x
- x + arc sin
x
+ 6
= Cxxx
+
arcsin
-
. - xx
dx
$a2ab
- xx
dx=
)(- x
dx
isal (x-) = sin t, sin t =
x
dx = c#s t dt
tx c#s)(- = , sehingga
)(- x
dx= t
tdt
c#s
c#s
= dt = t + 6
= arc sin
x+ 6
. + 010 xx
dx
$a2ab
+ 010 xxdx = )+( x
dx
isal (x-) = sin t,
dx = c#s t dt)+( x = c#s t, sehingga
+ 010 xx
dx=
ttdt
c#s
c#s
= dt
= t + 6
= arc sin
+x+ 6
1.
( ) ( )
=
+ 111 xx
dx
x
dx
$a2ab
*ubstitusi x = ;sin+ A
dx = AdAc#s+
)sin+(++ Ax =
= Ac#s+ , sehingga
+ xx dx =
AdAAA c#s+.c#s+sin+
= 3 AdAA
c#ssin
= 3
+
dAAA
c#s1
c#s1
= dAA)c#s1(-
3
= +
dAA
)
-c#s1(1-
3
=
AdAdAdA -c#s3
31
-
3
= CAAA + sin+
3
3
-
3
= CAx
+
-sin
-.
3
+arcsin
3
5
tx
a
xa
tx
- x
x
- xx
t
.
010 xx+
+xt
x
t
+
+ x
7/27/2019 BHN RGKSN INTEGRAL.doc
8/13
=
CAAAAx +
)sin)(c#sc#ssin-(+
3
+arcsin
3
=
AAAA
x sin)(c#sc#s(sin
+arcsin
3+ 6
= Cxxxxx +
++
)+(
+
+
++arcsin
3
.
( )
+
- xx
dx
8entuk integral yang integrannya memuat bentuk xa +atau bentuk lain yang da"at diubah sejenisnya, selesaiannya
menggunakan
substitusi x = a tan t ataua
xt=tan dan dx = a sec t ,
dengan -
t
*elanjutnya "erhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
!arena x = a tan t maka
xa + = )tan( taa + = )tan1( ta + = a sec t
*elanjutnya bentuk tcxa c#s = dan dx = a sec
t
.substitusikan ke dalam integral semula.
6#nt#h'
Tentukan hasil "engintegralan di ba2ah ini.
1. + 3 x
dx
$a2ab
isal x = tan t
dx = sec t dt
=+ 3 x sec t, sehingga
+
3 x
dx=
t
dt
sec+
sec+ +
= tdtsec = ln Ctt ++tansec
= ln++
3
xx+
++ 6
= ln Cxx +++
3
. ++
-
)1(
xx
dxx
$a2ab
++
-
)1(
xx
dxx =
dxxxxx
x)
-
1
-
(
++
++
=
++
++ 1)(1)(
x
dx
x
xdx
isal (x+) = tan t
x = (tan t) -
dx = sec t dan
1)( ++x = sec t, sehingga
++
++ 1)(1)(
x
dx
x
xdx
=
t
tdt
t
tdtt
sec
sec
sec
sec).(tan
= tdttdtt sec-sectan - tsec dt= sec t @ ln Ctt ++tansec
= Cxxxxx +++++++
)(.-ln..-
8entuk integral yang integrannya memuat ax atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t
dan dx = a sec t tan t dt,
-
t .
*elanjutnya "erhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
!arena x = a tan t maka ax =)sec( ata
= )1(sec ta
= a ttan
*elanjutnya bentuk ax = a ttan dan dx = adttttansec substitusikan ke dalam integral semula.
6#nt#h'Tentukan hasil "engintegralan berikut ini'
1. dxx
x 3
$a2ab
isal x = sec t
dx = sec t tan t dt
3 x = tan t, sehingga
dxx
x 3 =
tdttt
ttansec+
sec+
tan+
= tdt
tan
= dtt )1(sec
= tan t @ t + 6
= Cx
arcx +
+sec+
+
3
. xx
dx
$a2ab
xx
dx=
3)1(
x
dx
isal (x-1) = sec t, gg
dx = sec t tgn t dt
3)1( x = tgn t, sehingga
3)1( x
dx=
ttdt
tan+
tansec+
= tdtsec = ln Ctt ++tansec
3 x+x
+t
+x
- ++ xx
1
t
+
x3 x t
xx1x
t+
tx
ax +
a
t
ax x
a
7/27/2019 BHN RGKSN INTEGRAL.doc
9/13
= ln Cxxx
+
+
+
+
1
2.# Integral $arsial %Integral Bagian&
7/27/2019 BHN RGKSN INTEGRAL.doc
10/13
- 7ungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax ) cbx++ n
dan seterusnya.
. Dyatakan integran menjadi bentuk "enjumlahan n-"ecahan
"arsial sehingga integran da"at ditentukan antiturunannya,
isal '
=)(
)(
xg
xf ...
)()(
11
1 ++
++ bax
A
bax
A (Penyebut
k#mbinasi liner berbeda)
...)()()()(
)( ++1 ++++++= baxAbaxAbaxAxg xf (k#mbin
asi lenear berulang)
...)(
)(
11
1
11 +++
++
+++
=cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
xg
xf
(k#mbinasi kuadrat berbeda)
...)(
)(
1
11
1 +++
++
+=
cxbxa
BxA
bxa
A
xg
xf(k#mbinasi
linear dan kuadrat)
.
7/27/2019 BHN RGKSN INTEGRAL.doc
11/13
= +++
dxx
BAAx)(
)(
%i"er#leh & = , & + 8 = atau & = , 8 = -0, sehingga'
++=++
)(
0
)(
)(
-
xxdx
x
xdx
= ln Cx
x ++
++)(
0
. + + dxxxxdxx
1)+(
+
$a2ab
7/27/2019 BHN RGKSN INTEGRAL.doc
12/13
=
+++++++
dxxx
x!CxxBAx
))(1(
)1)(())((
=
+++++++++
dxxx
!BxCAx!BxCA
))(1(
)()()()(
+
%i"er#leh
&+6 = 1, 8+% = 1, &+6= 1, 8+% = atau &=9, 8=1, 6=1,
%=9 sehingga'
+++++
dxxx
xxx
+
-
+
= +++ dxxx
x 1
1
= +++ dxxx
dxx 1
1
= arctg x + Cx ++1ln
1
. ++
dxxxx
xx
)1)()(+(
1
+
$a2ab' Penyebut adalah k#mbinasi linear berbeda (x+) dan
(x-) dengan kuadrat (x )1 + , sehingga'
++
dxxxx
xx
)1)()(+(
1
+
=
+++
+
+ dx
x
!Cx
x
B
x
A
)1()()+(
=
( ) ++
+++++++xxx
x!CxxxBxxA
)1)()(+(
)(+()1)(+()1)((
=
++
+++++++++xxx
!BAx!CBAxCBA
)1)()(+(
0()+()(
+
aka di"er#leh
& + 8 + 6 = 1, -&+8+6+% = -, &+8+%-06 = 9, -&+8-
0% = -1 atau
& = , 8 = -1, 6 = 9, % = -1
+++
+
+ dx
x
!Cx
x
B
x
A
)1()()+( =
++
+
+ dx
xxx )1(
1
)(
1
)+(
=cxxx ++ arctanln+ln
=
( ) cxxx ++ arctanln+ln
=
( )cx
x
x +
+arctan
+ln
$adi ++
dxxxx
xx
)1)()(+(
1
+
=
( )cx
x
x +
+arctan
+ln
. dxxx
xx +
+-
+
$a2ab
dxxx
xx +
+-
+
= ++
dxxx
xx
)-(
= +++ dx
x
CBx
x
A)
-(
= dxxx
xCBxxA +
+++-
)()-(+
= ++++
xx
ACxxBA
-
-)(+
%ida"at &+8 = , 6 = 1, & = - atau & = -, 8 = , dan 6
= 1
+++ dx
x
CBx
x
A)
-(
= +
++ dxx
xdx
x -
1-
=
++++
dxx
dxx
xdx
x -
1
-
-
= ln -ln ++ xx + F arc tan
Cx +
. +
dxx
xx
)1(
-
+
$a2ab'
+
dxx
xx
)1(
-
+
= dxx
xx )
1
(
+
= + dxxx
xdx1
= F x-
+ dx
x
x
1
=
1x@ .
1 + dxx
x
1
= F x- Cx ++1ln
= F x@ ln (x+1)/ + 6
= F x@ ln )1( +x + 6
*#al-s#al
Tentukan hasil "engintegralan berikut ini'
1) ++++
dxxx
xxx
10
10+
+
) +++++ dx
xx
xxx
+
-
+
) ++
dxx
xx
+
)1(
1
) +++++
dxxxx
xxx
)+)((
1
+
2.* Integral Fungsi Rasional +ang ,emuat Fungsi
Trigonometri
Bungsi B(x) = )(,9)(,
)(
)(xfxg
xg
xf dan g(x)
mememuat 7ungsi trig#n#metri da"at juga dikateg#rikan sebagai
7ungsi rasi#nal, hanya saja tidak da"at disebut sejati atau tidak
sejati. Gal ini dikarenakan 7(x) = sin x dan 7(x) = c#s x tidak
mem"unyai derajat se"erti halnya dengan 7ungsi "#lin#mial.
Pengintegralan jenis ini menggunakan TH%
*48*T
7/27/2019 BHN RGKSN INTEGRAL.doc
13/13
1. + xxdx
c#ssin1
. + xdx
c#s
. ++ xxdx
c#ssin1
. x
x
sin
c#ssin1 ++dx
. xsin+1
dx
*elesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan
met#de substitusi
x = arc tan I sehingga dx = d""1
+.
*elanjutnya sin x dan c#c x di substitusi ke bentuk Aariabel I.
!arena x = arc tan I maka'
"x
=
tan
enurut rumus identitas 7ungsi trig#n#metri
1 + tan
x= sec
x
1 + I
=
sec x
1
1
c#s
"
x
+=
enurut rumus identitas 7ungsi trig#n#metri yang lain
sin 1c#s =+ xx
1
c#s
sin =
+
xx, sehingga dida"at
sin
1
11
"
x
+=
=
1 "
"
+
%engan rumus jumlah c#sinus dida"at'
c#s x = c#s x sin x
=
sin
c#sc#s
xxx
11
1c#s
"
"
"x
+
+=
=
1
1
"
"
+
%engan rumus jumlah sinus dida"at'
sin x = sin x c#s x
sin x = sin
xc#s
x
=
1
1
1 ""
"
++
=1
"
"
+%engan demikian integral 7ungsi rasi#nal yang memuat 7ungsitrig#n#metri da"at diselesaikan dengan menggunakan substitusi
x = arc tan I, sin x =1
"
"
+, c#s x =
1
1
"
"
+
4ntuk lebih jelasnya "erhatikan bebera"a c#nt#h di ba2ah ini.
Tentukan selesaian dari
1. ++ xxdx
c#ssin1 $a2ab
++ xxdx
c#ssin1 =
++
++
+
1
1
1
1
1
"
"
"
"
d""
=
+
+
+
+
+
++
1
1
1
1
11
"
"
"
"
"
"
"
d"
= + "d"
= +"d"
1
= "+1ln + 6
= Cx ++
tan1ln
. xdx
c#s
$a2ab xdx
c#s =
+
+
1
1
1
"
""
d"
= +
++
+
1
1
1
)1(1
"
"
"
""
d"
= + +1
"
d"
= +
+
1+
"
d"
= c" +
+/1
arctan++
= c" ++arctan++
= cx
+
+
tanarctan++
. + x
dx
sin+
=
$a2ab
+ xdx
sin+ =
++
+
1
+
1
"
""
d"
= ++ ""d"
19++
= ++ )+)(1+(
""
d"
= +++ d""
B
"
A
)+()1+(
= d"""
BA"BA ++
+++)+)(1+(
)()+(
= ++ d""" )+(1
)1+(
+
= C"" +++ +ln1+ln+
= Cxx +++ +
tanln1
tan+ln+