Embed Size (px)
Citation preview
Bevezetés azelméleti zikába
egyetemi jegyzet
Elméleti hidrodinamika
Lázár Zsolt, Lázár József
Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar
2011
TARTALOMJEGYZÉK
1. Hidrodinamika 71.0.1. Tömeg mérleg. A kontinuitás törvénye . . . . . . . . . . . . . . . . 71.0.2. Impulzus mérleg. A uidumok mozgásegyenlete . . . . . . . . . . . 71.0.3. Energia mérleg. Energiamegmaradás törvénye . . . . . . . . . . . . 81.0.4. Hidrodinamikai egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Hidrodinamika: részletesebb tárgyalásmód (Landau alapján) 112.1. A kontinuitási egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Az Euler-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Hidrosztatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. A Bernoulli-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5. Az energiaáram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6. Az impulzusáram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7. A cirkuláció megmaradása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.8. Súrlódó folyadékok mozgásegyenletei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.9. Energiadisszipáció összenyomhatatlan folyadékban . . . . . . . . . . . . . 232.10. Áramlás csövekben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.11. A hang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.11.1. Hanghullámok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 TARTALOMJEGYZÉK
1. FEJEZET
Hidrodinamika
A hidrodinamika a uidumok mechanikája. Feltételezzük, hogy nem lép fel (reverzi-bilis) nyírófeszültség a közegben. Ennek következményeként közeli pontok egymástól távolkerülhetnek és mint ilyen a közeg nem tekinthet® rugalmasnak. A rendszer dinamikájáta mérlegegyenleteken keresztül közelítjük meg.
1.0.1. Tömeg mérleg. A kontinuitás törvénye
m→ ρ, jrev = 0, eltekintve a részecske diúziótól jirrev = 0
∂ρ
∂t+∇ · (vϕ) = 0 (1.1)
∂ρ
∂t+ ρ∇ · v + v · ∇ ρ = 0 (1.2)
Szubsztanciális derivált:dρ
dt= −ρ∇ · v . (1.3)
Összenyomhatatlan uidum eseténdρ
dt= 0
∇ · v = 0 .
1
1.0.2. Impulzus mérleg. A uidumok mozgásegyenlete
p→ π → impulzus s¶r¶ség, πi ↔ impulzus árams¶r¶ség Πij
∂πi∂t
+∇i(viπi + Πij) = 0) (1.4)
1A fentiek megfogalmazhatóak a deformációtenzor segítségével is:
∆ρ
ρ= −
∆V
V= −ukk = −∇ · u ,
ahol úgy a u = v∆t deformáció mint a ∆ρ = dρ/dt ∆t s¶r¶ség változás ugyanazon ∆t id® alatt jön
létre. Elosztva az egyenletet ∆t-vel, megkapjuk a 1.3 egyenletet.
7
8 FEJEZET 1. HIDRODINAMIKA
PD =d
dt
[∫πdV
]=⇒
FDi =
∮σijdSj =
∫∂σij∂xj
dV =⇒ Πij = −σij + σ′ij
∂πi∂t
+∇j(vjπi − σij) = 0 (1.5)
Izotróp uidumban nincs nyírás és: σij = −pδij
∂π
∂t+∇j · (vjπi) = −∇ip (1.6)
π = ρv (1.7)
∂ρv
∂t+∇j(vjviρ) = −∇ip (1.8)
Ideális folyadék mozgásegynlete (Euler egyenlet):
∂v
∂t+ (v · ∇)v = −∇p
ρ(1.9)
∂ρ
∂tvi + ρ
∂vi∂t
+ vi(∇jvjρ) + vjρ∇jvi = −∇ip (1.10)
∂ρ
∂tvi + vi(∇jvjρ) = 0 =⇒ ρ
∂v
∂t+ ρ(v · ∇)v = −∇p (1.11)
1.0.3. Energia mérleg. Energiamegmaradás törvénye
Ezek s¶r¶ségei: e = π2ρ + ε→ energias¶r¶ség
Energiaárams¶r¶ség → adiabatikus állapotváltozás (nincs h®tágulás)
∂e
∂t+∇ · je = 0 (1.12)
jie = vie− σijvj (1.13)
dR = σijduij (1.14)
Teljesítmény:
W = F · v, dEdt
=dL
dt= W ;
1
V
dE
dt=
d
dt
(E
V
)=
F
V· v = f · v
fi =∂σij∂xj
(1.15)
∂e
∂t+∇i(evi + pvi) = 0 (1.16)
∂
∂t
(ρv2
2+ ε
)+∇i
[(ρv2
2+ ω
)vi
]= 0 (1.17)
9
1.0.4. Hidrodinamikai egyenletek
Tömegmegmaradás:∂ρ
∂t+∇ · (ρv) = 0 (1.18)
Impulzusmegmaradás (Euler-egyenlet):
∂v
∂t+ (v · ∇)v = −∇p
ρ(1.19)
Energiamegmaradás:
∂
∂t
(ρv2
2+ ε
)+∇ ·
[(ρv2
2+ ε
)v
]= −∇ · (pv) (1.20)
ρ, v, p, ε → 6 ismeretlen
pV = νRT ← ν =m
mu(1.21)
ε = ε(p, ρ) (1.22)
Például ideális gázak esetén: ε = i2p, ahol i a szabadsági fokok száma.
E = νi
2RT =
i
2pV
Hidrodinamika = megmaradási törvények + lokális egyensúlyLokális egyensúly megbomlását az intenzív mennyiségek er®s térbeli és id®beli vál-
tozása okozza. A lokális egyensúly csökkenésével plusz irreverzibils áramok jelennek meg(transzport jelenségek) és az állapotegyenlet is egyre kevésbé lesz érvényes.
Navier-Stokes egyenlet (viszkózus hidrodinamika):
Πij = −σij + σ′ij (1.23)
Πij - impulzus árams¶r¶ség
σij - feszültség tenzor (reverzibilis)
σ′ij - viszkozitási tenzor (irreverzibils)
σ′ij∂vi∂xj⇒ σ′ij = γijkl
∂vi∂xj
Hooke törvény levezetése alapján:
σ′ij = a∂vk∂xk
δij + b
(∂vi∂xj
+∂vj∂xi
)(1.24)
10 FEJEZET 1. HIDRODINAMIKA
2. FEJEZET
Hidrodinamika: részletesebbtárgyalásmód (Landau alapján)
A hidrodinamika a folyadékok mechanikája.
2.1. A kontinuitási egyenlet
A folyadék mechanika tárgya a folyadékok és gázok mozgásának vizsgálata. A ta-nulmányozott jelenségek makroszkopikus jelleg¶ek, a folyadékot folytonos közegnek te-kintjük.Ez azt jelenti, hogy minden kis térfogatelem még elegend®en sok molekulát tar-talmaz.Ha a folyadék egy részecskéjének elmozdulásáról beszélünk, nem egy különállómolekula mozgására gondolunk, hanem nagyszámú molekulát tartalmazó térfogatelemhelyváltoztatására, amihez a folyadékmechanikában egy molekula mozgását társítjuk.
Mozgó folyadék állapota matematikailag a folyadék sebességeloszlását leíróv(x, y, z, t) függvény és két tetsz®leges termodinamikai mennyiségmondjuk a p(x, y, z, t)nyomás és a ρ(x, y, z, t) s¶r¶ségsegítségével adható meg.Tudjuk, hogy két tetsz®legestermodinamikai mennyiség ismeretében az összes többi meghatározható az anyag álla-potegyenlete alapján, tehát öt mennyiség ( a v sebesség három komponense, a p(x, y, z, t)nyomás és a ρ(x, y, z, t) s¶r¶ség) megoldása a mozgó folyadék állapotát egyértelm¶enmeghatározza. Mindezek a mennyiségek általában az x, y, z koordináták és a t id® függ-vényei. Hangsúlyozzuk, hogy a v(x, y, z, t) a folyadék áramlásának sebessége a tér va-lamennyi (x, y, z) pontjában adott t id®pillanatban vagyis nem az id® múlásával helyetváltoztató folyadékrészecskére, hanem a tér egyes pontjaira vonatkozik. ugyanez igaz a pés ρ mennyiségekre is.
Tekintsünk egy V0 térfogatú tartományt.A benne lev® folyadékmennyiség∫V0ρ dV .E
térfogatot határoló felület df elemén egységnyi id® alatt ρvdf folyadékmennyiség áramlikát;a df elemi vektor abszolút értéke a felület területével egyezik meg meg, df iránya pediga felület külsó normálisának iránya.Ez azt jelenti, hogy ρvdf a folyadék kiáramlása eseténpozitív, beáramláskor pedig negatív.Az id®egység alatt kiáramló folyadékmennyiség tehát∮
ρv df ,
az integrálást a V0 térfogat felületére végezzük.
11
12FEJEZET 2. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAUALAPJÁN)
Másrészt a folyadékmennyiség csökkenése a vizsgált tartományban így írható :
− ∂
∂t
∫ρ dV.
E két mennyiséget egyenl®né téve, azt kapjuk, hogy
∂
∂t
∫ρdV = −
∮ρv df .
A felületre vonatkozó integrált a GaussOsztrogradszkij-tétel alkalmazásával térfogatiintegrálá alakíthatjuk : ∮
ρv df =
∫∇ · (ρv)dV,
amivel ∫ (∂ρ
∂t+∇ · (ρv)
)dV = 0.
Az egyenl®ség tetsz®leges V0 térfogatra igaz, így fennáll
∂ρ
∂t+∇ · (ρv) = 0
ami a kontinuitási egyenlet. Átírhatjuk az alábbi alakba is :
∂ρ
∂t+ ρ∇ · v + v · ∇ ρ = 0.
Aj = ρv
vektort (tömeg-)árams¶r¶ség-vektornak nevezzük. A kontinuitási egyenlet kifejezi azanyagmegmaradást. Megemlitjük , hogy bármely megmaradó mennyiségnek megfelel egyhasonló kontinuitási egyenlet. Ilyenkor ρ az illet® mennyiség s¶r¶ségét fejezi ki.
2.2. Az Euler-egyenlet
Tekintsünk a folyadék belsejében egy tartományt. E térfogatra ható teljes er® anyomásnak a kiszemelt felületre vett
−∮p df
integráltjaként számítható ki. Ezt térfogati integrállá alakíthatjuk :
−∮p df = −
∫∇ p dV.
Ez azt jelenti, hogy a folyadék minden dV térfogatelemére a folyadék szomszédos részei−dV ∇ p er®t fejtenek ki.Más szóval, a folyadék egységnyi térfogatára −∇ p er® hat.
Felírhatjuk a folyadék egy térfogatelemének mozgásegyenletét :
ρdv
dt= −∇ p.
2.2. AZ EULER-EGYENLET 13
ahol
dv =∂v
∂tdt+ dx
∂v
∂x+ dy
∂v
∂y+ dz
∂v
∂z=∂v
∂tdt+ (dr · ∇)v
ésdv
dt=∂v
∂t+ (v · ∇)v.
Visszahelyetteítve a mozgásegyenletbe, az adódik, hogy
∂v
∂t+ (v · ∇)v = −1
ρ∇p.
Ez a folyadék keresett mozgásegyenlete, amelyet el®ször L.Euler vezetett le 1755-ben. AzEuler egyenlet a folyadékmechanika egyik alapegyenlete.
Ha a folyadék nehézségi er®térben van, valamennyi térfogatelemére még ρg gravitá-ciós er® hat. A mozgásegyenlet ebben az esetben :
∂v
∂t+ (v · ∇)v = −∇p
ρ+ g
A mozgásegyenlet levezetése során nem vettük gyelembe az energiadisszipációt, amelymozgó folyadékban, a bels® surlódás(viszkozitás) és a különböz® részek közötti h®cseremiatt mindig felléphet.Ennek következtében az itt levezetett egyenlet a folyadékok olyanmozgására vonatkozik, amelynek során a h®vezetéssel és viszkozitássl kapcsolatos fo-lyamatokat gyelmen kivul hagyjuk.Ha ez a közelítés jogos, az áramló közeget ideálisfolyadéknak nevezzük.
Ha a folyadék különböz® részei között nincs h®csere, a mozgás adiabatikus.Az ideálisfolyadék áramlását tehát adiabatikus folyamatnak kell tekinteni.A folyadék egységnyitömegének entrópiáját s-sel jelölve :
ds
dt= 0
A fenti derivált így írható :∂s
∂t+ (v · ∇)s = 0.
Kombinálva a tömeg-kontinuitási egyenlettel megkapjuk az entrópia-kontinuitás egyen-letet :
∂ρs
∂t+∇ · (ρsv) = 0.
ahol ρsv az entrópia-árams¶r¶ség .Ha , mint általában, egy kezdeti pillanatban az ent-rópia a folyadék minden pontjában azonos, a folyadék mozgása során mindenütt ugyan-akkora és id®nben állandó marad.Az adiabaticitás egyenlete az
s = const
alakban írható.A következ®kben ezt az egyenletet használjuk. Teljesülése estén a mozgástizentropikusnak nevezzük.A mozgás izentropikus jellegét kihasználva, a mozgásegyenletetátalakíhatjuk. E célból használjuk a következ® jól ismert termodinamikai összefüggést:
dw = T ds+ V dp,
14FEJEZET 2. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAUALAPJÁN)
ahol w a folyadék egységnyi tömegének entalpiája, V = 1/ρ fajlagos térfogat.Mivel s =const,egyszer¶en írhatjuk, hogy
dw = V dp =1
ρdp,
vagy ∇p/ρ = ∇w. A mozgásegyenletet írhatjuk :
∂v
∂t+ (v∇)v = −∇w.
Érdemes az Euler-egyenlet egy másik alakját is felírni.A vektoranalízis
1
2∇v2 = v × (∇× v) + (v · ∇)v
képletének alkalmazásával a következ®
∂v
∂t+
1
2∇v2 − v × (∇× v) = −∇w
alakra hozhatjuk.A rotáció operátort az egyenlet mindkét oldalára alkalmazva, a
∂
∂t∇× v = ∇× (v ×∇× v)
összefüggéshez jutunk, amely csak a sebességet tartalmazza.A fent levezetett mozgásegyenletekhez meg kell még adni a folyadékot határoló fe-
lületeken érvényes határfeltételeket. Ideális folyadék esetén ezek a határfeltételek azt azegyszer¶ tényt tükrözik, hogy a folyadék nem áramlik át a szilárd falon.Ez annyit jelent,hogy a sebesség normális komponense a rögzített fal mentén elt¶nik :
vn = 0.
Általános esetben, ha a határfelület mozgását megengedjük, vn a felület sebességénekmegfelel® összetev®jével egyezik meg.
Két, egymással nem kevered® folyadék elválasztó felületén egyrész a nyomások meg-egyeznek, másrészt az egyes folyadékok áramlási sebességének a közös határfelület nor-málisa irányába es® komponensei egyenl®k
A hidrodinamikai egyenletek teljes rendszere öt egyenletb®l áll(az öt mennyiségnekmegfelel®en (v, p, ρ). Ideális folyadék esetén az egyenletek : Euler-egyenletek, kontinuitásiegyenlet valamint a mozgás adiabatikus jellegét kifejez® egyenlet.
2.3. Hidrosztatika
A nyugvó folyadék Euler-egyenletei, homogén gravitációs er®térben :
∇p = ρg.
2.3. HIDROSZTATIKA 15
Ez az egyenlet meghatározza a folyadék mechanikai egyensúlyát.Ha a folyadék s¶r¶sége azegész vizsgált térfogatban állandónak tekinthet®, a fenti egyenlet egyszerüen integrálható.A z tengelyt függ®legesen irányítva, azt kapjuk, hogy :
∂p
∂x=∂p
∂y= 0,
∂p
∂z= −ρg,
amib®lp = −ρgz + const.
Ha a nyugvó, h magasságban elhelyezked®, szabad felületére annak minden pontjábanazonos, p0 nagyságú nyomás hat, akkor :
p = p0 + ρg(h− z).
Nagy folyadéktömeg esetén a folyadék ρ s¶r¶sége nem tekinthet® állandónak; ez kü-lönösen a gázok esetében bizonyul lényegesnek(pl. az atmoszféra). Tegyük fel, hogy afolyadék nemcsak mechanikai, hanem termikus egyensúlyban is van. Ez esetben a h®mér-séklet ugyanakkora a folyadék minden pontjában, így a fenti egyenlet az alábbi módonintegrálható. Használjuk a jól ismert
dΦ = −s dT + V dp
termodinamikai összefüggést, ahol Φ a folyadék egységnyi tömegére vonatkozó termodi-namikai potenciál. Állandó h®mérsékleten
dΦ = V dp =1
ρdp.
Ez azt mutatja, hogy az 1ρ∇p kifejezés a vizsgált esetben ∇Φ-vel helyettesíthet®, tehát
az egyensúlyi egyenlet a következ® alakot ölti :
∇Φ = g.
A negatív z tengely irányába mutató állandó g er® azonban
g = −∇(gz)
alakban írható, tehát∇(Φ + gz) = 0
amib®l azt kapjuk, hogy hogy a vizsgált folyadék egész térfogatában
Φ + gz = const;
Belátható hogy nehézségi er®térben a nyomás csak z függvénye lehet, amiböl következik,hogy ρ is csak z-töl függ. Az el®bbi kett® miatt a h®merséklet ugyancsak z függvé-nye.Tehát nehézségi er®térben egyensúlyi állapotban lev® folyad nyomása, s¶r¶sége ésh®mérséklete csak a magasságtól függ.Ha két egyenl® magasságban lev® pont között pél-dául h®mérséklet-különbség lép fel, a mechanikai egyensúly lehet®sége kizárt.
Végül, származtassuk le egy, nehézségi er® által összetartott igen nagy folyadéktö-meg (csillag) egyensúlyi egyenleteit.Legyen ϕ a folyadék által keltett nehézségi er®térpotenciálja. Ez eleget tesz a következ® egyenletnek :
∆ϕ = 4 πGρ
16FEJEZET 2. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAUALAPJÁN)
itt G a Newton-féle gravitációs állandó. A gravitációs tér térer®sége −∇ϕ, így a ρ tömegreható er® −ρ∇ϕ. Az egyensúlyi egyenlet :
∇ p = −ρ ∇ϕ.
Ezt az egyenl®séget ρ-val osztva, mindkét oldalt szorozva ∇-val a következ® alakbankapjuk az egyenletet :
∇(
1
ρ∇ϕ)
= −4πGρ.
Itt csak mechanikai egyensúlyról van szó,az egyenlet származtatásakor a teljes termikusegyensúly fennállását sehol sem használtuk ki.
Ha a test nem forog, az egyensúlyi alak gömb, a s¶r¶ség- és nyomáseloszlás gömb-szimmetrikus.Az egyenlet gömbi koordinátákban ekkor így írható :
1
r2
d
dr
(r2
ρ
dp
dr
)= −4πGρ.
2.4. A Bernoulli-egyenlet
A folyadékmechanika egyenletei jelent®sen egyszer¶södnek stacionárius áramlás ese-tén.Az áramlást stacionáriusnak nevezzük, ha az áramlási sebesség a folyadék által el-foglalt térrész minden pontjában id®ben állandó.Más szóval , v csak a koordináták függ-vénye, tehát ∂v
∂t = 0. Ekkor a mozgásegyenlet így módosul :
1
2∇v2 − v ×∇× v = −∇ w.
Az áramvonal olyan görbe, amelynek bármely pontjában vett érit®je minden id®pil-lanatban megadja a folyadék sebességének irányát az illet® pontban.Az áramvonalakat akövetkez® dierenciálegyenlet-rendszer határozza meg :
dx
vx=dy
vy=dz
vz.
Stacionárius áramlás esetén az áramvonalak id®ben állandók, és egybeesnek a folyadék-részek pályájával.
Szorozzuk meg a mozgásegyenletet az áramvonal érint® egységvektorával;jelölje ezta vektort l. Ismeretes, hogy a gradiensvektor egy adott irányú vetülete megegyezik amegfelel® irány menti deriválttal. A ∇w vektor érint® irányú vetülete ennek megfelel®en∂w∂l .Minthogy a v ×∇× v a v sebességre mer®leges,l irányú vetülete elt¶nik.
Az el®bbi egyenlet tehát így alakul :
∂
∂l
(v2
2+ w
)= 0
Eredményünk, hogy a v2
2 + w mennyiség egy áramvonal mentén állandó :
v2
2+ w = const.
2.5. AZ ENERGIAÁRAM 17
Az állandó értéke minden áramvonal mentén más és más. Ez az összefüggés a Bernoulli-egyenlet.
Ha az áramlás nehézségi er®térben jön létre a mozgásegyenlet jobb oldalához hozzákell adni a g nehézségi gyorsulást.Irányitsuk a z tengelyt függ®legesen felfelé.A g és lirányok által bezárt szög cosinusa a −dzdl deriválttal egyezik meg, vagyis g-nek l-re valóvetülete :
−g dzdl.
Ennek a felhasználásával azt kapjuk,hogy
∂
∂l
(v2
2+ w + gz
)= 0
Így a módosított Bernoulli-egyenlet szerint egy áramvonal mentén
v2
2+ w + gz = const
adódik.
2.5. Az energiaáram
Tekintsü egy a térben rögzített térfogatelemet, és vizsgáljuk meg, hogyan változik azid®ben e térfogatot kitölt® folyadék energiája. A folyadék egységnyi térfogatának energi-ája :
ρv2
2+ ρε
ahol az els® tag a mozgási energia, a második pedig a bels® energia (ε az egységnyitömeg¶ folyadék bels® energiája).Az energia megváltozása
∂
∂t
(ρv2
2+ ρε
).
Az els® tag deriváltja :∂
∂t
ρv2
2=v2
2
∂ρ
∂t+ ρv
∂v
∂t,
vagy a kontinuitási egyenlet és a mozgásegyenlet felhasználásával :
∂
∂t
ρv2
2= −v
2
2∇ · ρv − v∇p− ρv(v∇)v.
Az utolsó tagba behelyettesítjük a v(v∇)v = 12v∇v2 összefüggést, és a dw = Tds+ 1
ρdptermodinamikai képlet felhasználásával a nyomás gradiensét a ρ∇w − ρT∇s kifejezésselhelyettesítjük;így
∂
∂t
ρv2
2= −v
2
2∇ · ρv − ρv∇
(w +
v2
2
)+ ρTv∇s
adódik.
18FEJEZET 2. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAUALAPJÁN)
A ∂∂tρε derivált kiszámításához felhasnáljuk a
dε = Tds− pdV = Tds+p
ρ2dρ
termodinamikai összefüggést. Mivel ε+ pρ = ε+ pV az egységnyi tömeg w entalpiája,azt
kapjuk, hogyd(ρε) = εdρ+ ρdε = wdρ+ ρTds,
amivel∂(ρε)
∂t= w
∂ρ
∂t+ ρT
∂s
∂t= −w ∇ · ρv − ρTv∇s.
Az egyes tagokat megfelel®en csoportosítva, az energia megváltozása így adódik :
∂
∂t
(ρv2
2+ ρε
)= −
(w +
v2
2
)∇ · ρv − ρ(v∇)
(w +
v2
2
),
amib®l végül is kapjuk, hogy
∂
∂t
(ρv2
2+ ρε
)= −∇ ·
ρv
(v2
2+ w
).
A kapott egyenl®ség zikai jelentésének megállapítása céljából integráljuk valamilyentérfogatra, majd a jobb oldalon állót felületi integrálá alakítva :
∂
∂t
∫ (ρv2
2+ ρε
)dV = −
∮ρv
(v2
2+ w
)df .
A bal oldalon kiszemelt, térben rögzített térfogatelem energiájának id®egység alatti meg-változása áll.A jobb oldali felületi integrál tehát a vizsgált térfogatból az id®egység alattkimen® energia mennyis;g;t adja meg. Ennek megfelel®en a
ρv
(v2
2+ w
)kifejezést energiaáram-s¶r¶ség vektornak nevezhetjük.Ennek abszolút értéke megadja asebességre mer®legesen elhelyezked® egységnyi felületen az id®egység alatt átáramló ener-gia mennyiségét.Az energiaáram fogalmát N. Umov vezette be 1874-ben.
Annak, hogy az energiaáram kifejezésében a w entalpia és nem az ε bels® energiaszerepel, egyszer¶ zikai jelentése van.Behelyettesítve a w = ε + p
ρ kifejezést, a zártfelületen áthaladó teljes energiaáram így írható :
−∮ρv
(v2
2+ ε
)df −
∮pv df .
Az els® tag a felületen áthaladó folyadéktömeg által szálított (kinetikus pluszbels®)energia. A második tag a zárt felület belsejében lev® folyadék nyomóereje általvégzett munka.
2.6. AZ IMPULZUSÁRAM 19
2.6. Az impulzusáram
A folyadék egységnyi térfogatának impulzusa ρv. Számítsuk ki ennek id®egységrees® megváltozását, a
∂
∂tρv
mennyiséget.A számolást tenzorjelölések használatával végezzük el. Azt kapjuk, hogy
∂
∂tρvi = ρ
∂vi∂t
+∂ρ
∂tvi.
Használjuk a kontinuitási egyenletet
∂ρ
∂t= −∂ρvk
∂xk
és az Euler-egyenletet a következ® alakban :
∂vi∂t
= −vk∂vi∂xk− 1
ρ
∂p
∂xi.
Ekkor az adódik, hogy
∂
∂tρvi = −ρvk
∂vi∂xk− ∂p
∂xi− vi
∂ρvk∂xk
= − ∂p
∂xi− ∂
∂xkρvivk.
Az utolsó kifejezés els® tagját így írhatjuk :
∂p
∂xi= δik
∂p
∂xk.
Ezzel∂
∂tρvi = −∂Pik
∂xk
adódik, és a Pik tenzor deniciója :
Pik = pδik + ρvivk.
Pik zikai jelentésének a megvilágítása céljából a fenti egyenletet integráljuk valamilyentérfogatra :
∂
∂t
∫ρvidV = −
∫∂Pik∂xk
dV.
A jobb oldalon álló integrált a GaussOstrogradszkij-tétel felhasználásával felületi integ-rállá alakítjuk :
∂
∂t
∫ρvidV = −
∮Pikdfk.
A jobb oldalon álló integrál a kiszemelt térfogatból id®egység alatt kiáramló impul-zust jelenti.Következésképpen, Pikdfk a df felületelemen átmen® impulzus i-edik kom-ponense.Ha dfk komponenst nkdf alakba írjuk, azt kapjuk, hogy Piknk az i-edik impul-zuskomponens felületegységére es® áramvektor. A Pik-t impulzusáram-s¶r¶ség tenzornaknevezzük.
20FEJEZET 2. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAUALAPJÁN)
2.7. A cirkuláció megmaradása
A zárt görbére vett
Γ =
∮v dl
integrált az illet® görbére vonatkozó sebességcirkulációnak (vagy egyszerüen cirkuláció-nak) nevezzük.
Vizsgáljunk a folyadékban adott id®pillanatban egy zárt görbét.Ezt a görbét fo-lyadékrészecskék együttesének tekintjük.Ezek a részecskék id®ben elmozdulnak, így azegész görbe változtatja a helyzetét. Nézzük meg, hogyan változik a cirkuláció.más szóval,számítsuk a
d
dt
∮v dl
id®deriváltat.A circuláció megváltozását a folyadék áramlásban részt vev® görbe menténkivánjuk meghatározni.A koordináták szerinti deriválást δ-val jelöljük,d-t fenntartjuk azid®derivált jelzésére.A görbe dl ívelemét e hosszuság két végpontja helyvektorának δrkülönbségeként is felírhatjuk.Írjuk tehát a cirkulációt a következ® alakba :∮
v δr.
Az integrál id®szerinti dierenciálásakor gyelembe kell venni, hogy nemcsak a sebesség,hanem maga az integrációs görbeis változik.
d
dt
∮v δr =
∮dv
dtδr +
∮vdδr
dt.
A v sebesség azonban az r helyvektor id® szerinti deriváltja, így
vdδr
dt= vδ
dr
dt= vδv = δ
v2
2.
Minthogy a teljes dierenciál zárt görbére vett integrálja elt¶nik, a második integrál nemad járulékot, ezért
d
dt
∮v δr =
∮dv
dtδr.
Az integrál kiszámításához felhasználjuk a dvdt gyorsulásnak kifejezését :
dv
dt= −∇w.
A sokes-tétel alkalmazásával (tekintetbe véve, hogy ∇×∇w = 0) :∮dv
dtδr =
∮∇× dv
dtδf = 0.
2.8. Súrlódó folyadékok mozgásegyenletei
Most rátérünk a mozgés során fellép® energiadiszipációs folyamatok tanulmányozá-sára. Ezek a folyamatok a mozgás termodinamikai irreverzibilitásának megnyilvánulásai,
2.8. SÚRLÓDÓ FOLYADÉKOK MOZGÁSEGYENLETEI 21
melyek a bels® súrlódás (viszkozítás) és a h®vezetés miatt mindig fellépnek.A súrlódó fo-lyadékáramlását leíró egyenlethez úgy juthatunk, hogy az ideális folyadék mozgásegyen-letébe új tagokat vezetünk be.A kontinuitási egyenlet bármilyen folyadék esetén érvényes.Az Euler-egyenlet azonban módosításra szorul.
Az ideális folyadék impulzusáramával kapcsolatban láttuk, hogy
∂
∂tρvi = −∂Pik
∂xk
aholPik az ideálisimpulzusáram-s¶r¶ség tenzor.A súrlódó folyadék mozgásegyenletétúgy állíthatjuk el®, hogy a fenti ideális impulzusáramhoz egy σ′ik tagot adunk, amely aviszkózusirreverzibilis impulzusátadásnak felel meg.Így tehát súrlódó folyadékokbVégül,származtassuk le egy, nan az impulzusáram-s¶r¶ség tenzort a következ® alakban írjuk :
Pik = pδik + ρvivk − σ′ik = −σik + ρvivk.
Az itt szerepl®σik = −pδik + σ′ik
tenzort feszültségtenzornak nevezzük,σ′ik-neve viszkozitási feszültségtenzor.Aσ′ik általános alakját a következ® megfontolások segítségévelhatározhatjuk meg.Egy
folyadékban bels® súrlódás csak akkor lép fel, ha a folyadék különböz® részei különböz®sebességgel mozognak, azaz a folyadék szomszédos tartományai egymáshoz képest mozog-nak.Ennek következtében σ′ik a sebességnek a koordináták szerinti deriváltjaitól függ.Haa sebességgradiensek nem túlságosan nagyok, feltehetjük,hogy a bels® súrlódás miattiimpulzusátadás csak a sebesség els® deriváltjaitól függ. Ebben a küzelítésben σ′ik-nak∂vi∂xk
-tól való függése lineárisnak tekinthet®. ∂vi∂xk-töl független tagok nem szerepelhetnek
σ′ik kifejezésében,mert a viszkozitási feszültségtenzor komponenseinek v = const esetén elkell t¶nniük.Megjegyezzük továbbá, hogy σ′ik-nek akkor is nullává kell válnia, ha a folya-dék mint egész forog, mert ekkor bels® súrlódás nem léphet fel.Ω szögsebesség¶ homogénforgás esetén a v sebesség az Ω× vecr vektorszorzattal egyenl®. A
∂vi∂xk
+∂vk∂xi
összegek a ∂vi∂xk
deriváltaknak olyan lineáris kombinációi, amelyek elt¶nnek, ha v = Ω×r.Ezért σ′ik a
∂vi∂xk
deriváltaknak éppenezekb®l a szimmetrikus kombinációiból épithet® fel.. A tanulmányozott jelenségek makroszkopikus jelleg¶ek, a folyadékot folytonos közegnektekintjük.Ez azt jelenti, hogy minden kis térfogatelem még elegend®en sok molekuláttartalmaz.Ha a folyadék egy részecskéjének elmozdulásáról beszélünk, nem egy különállómolekula mozgására gondolunk, hanem nagyszámú molekulát tartalmazó térfogatelemhelyváltoztatására, amihez a folyadékmechanikában egy molekula mozgását társítjuk.
A fenti követelményeknek eleget tev® legáltalánosabb másodrend¶ tenzor a következ®:
σ′ik = a
(∂vi∂xk
+∂vk∂xi
)+ b
∂vl∂xl
δik,
ahol a és b függetlenek a sebességt®l(,ez az állitás csak izotróp folyadékokban igaz ahola, b skalárok).Célszer¶ σ′ik-t a következ® alakban felírni :
σ′ik = η
(∂vi∂xk
+∂vk∂xi− 2
3δik
∂vl∂xl
)+ ζδik
∂vl∂xl.
22FEJEZET 2. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAUALAPJÁN)
Az η és ζ mennyiségek a bels® súrlódási együtthatók.Bebizonyítható, hogy
η > 0, ζ > 0.
A súrlódó folyadék mozgásegyenlete most már úgy állítható el®, hogy a
ρ
(∂vi∂t
+ vk∂vi∂xk
)= − ∂p
∂xi
Euler-egyenlet jobb oldalához hozzáadjuk a ∂σ′ik
∂xktagot. azt kapjuk, hogy
ρ
(∂vi∂t
+ vk∂vi∂xk
)= − ∂p
∂xi+
∂
∂xk
η
(∂vi∂xk
+∂vk∂xi− 2
3δik
∂vl∂xl
)+
∂
∂xi
(ζ∂vl∂xl
).
Ez a súrlódó folyadék legáltalánosabb mozgásegyenlete,η és ζ általában a nyomás és ah®mérséklet függvénye.Az esetek többségében a bels® súrlódási együtthatók változása afolyadékban jelentéktelen, tehát jó közelítéssel állandóknak tekinthet®k. Ezért
∂σik∂xk
= η
(∂2vi∂x2
k
+∂
∂xi
∂vk∂xk− 2
3
∂
∂xi
∂vl∂xl
)+ ζ
∂
∂xi
∂vl∂xl
= (2.1)
= η∂2vi∂x2
k
+(ζ +
η
3
) ∂
∂xi
∂vl∂xl
. (2.2)
De∂vl∂xl≡ ∇ · v, ∂2vi
∂x2k
≡ ∆vi.
Súrlódó folyadék mozgásegyenletét tehát vektoralakban így írjuk :
ρ
[∂v
∂t+ (v∇)v
]= −∇p+ η∆v +
(ζ +
η
3
)∇(∇v).
Ha a folyadék összenyomhatatlannak tekinthet®,∇ · v = 0, a mozgásegyenletét a követ-kez®képpen írhatjuk :
∂v
∂t+ (v∇)v = −1
ρ∇p+
η
ρ∆v.
Ez a NavierStokes-egyenlet.Összenyomhatatlan folyadék feszültségi tenzora a következ®egyszer¶ alakot ölti :
σik = −pδik + η
(∂vi∂xk
+∂vk∂xi
).
Látható, hogy összenyomhatatlan folyadék esetén a bels® súrlódást egyetlen állandó írjale.Minthogy egy folyadék igen sokszor összenyomhatatlannak tekinthet®, gyakran csakez az η, ún.dinamikai viszkozitás, együttható jut szerephez. A
ν =η
ρ
hányadost kinematikai viszkozitásnak nevezzük.Megjegyezzük, hogy a gázok dinamikai viszkozitása adott h®mérsékleten független
a nyomástól. A nyomás épp úgy kiküszöbölhet® a NavierStokes-egyenletb®l mint ko-rábbanaz Euler-egyenletb®l.Az egyenletre a rotáció operátort alkalmazva, azt kapjuk,hogy
∂
∂t∇× v = ∇× (v ×∇× v) + ν∆∇× v.
2.9. ENERGIADISSZIPÁCIÓ ÖSSZENYOMHATATLAN FOLYADÉKBAN 23
A peremfeltétellel kapcsolatban azt mondhatjuk, hogy a szilárd test felületével érint-kez® folyadék nem mozdul el, mintha oda lenne ragasztva.Tehát a szilárd test mentén afolyadék sebességének eltünését követelik meg :
v = 0.
Mozgó felület esetében v a szilárd felület mozgássebességével egyezik meg.Könnyen felír-hatjuk a folyadékba merül® szilárd test felületére ható er® kifejezését. Egy felületelemreható er® az adott elemen átmen® impulzusáram. A df felületelemen átmen® impulzus-áram :
Pikdfk = (ρvivk − σik)fk.
Az egységnyi felületre ható P er® így adódik :
Pi = −σiknk = pni − σ′iknk,
mivel a felületen v = 0. Az els® tag a szokásos folyadéknyomás, a második a felületre hatósúrlódási er®. Hangsúlyoznunk kell, hogy az n vektor a folyadékfelület küls® nortmálisirányú egységvektora, azaz a szilárd test felületének bels® normálisa.
2.9. Energiadisszipáció összenyomhatatlan folyadékban
A bels® súrlódás energiadisszipációval jár, ami végül h®vé alakul.Az összenyomha-tatlan folyadék teljes kinetikus energiája :
Ekin =ρ
2
∫v2 dV.
Számítsuk ki az energia id® szerinti deriváltját. Írhatjuk, hogy
∂
∂t
ρv2
2= ρvi
∂vi∂t,
ahol a ∂vi∂t derivált a NavierStokes-egyenlet alapján :
∂vi∂t
= −vk∂vi∂xk− 1
ρ
∂p
∂xi+
1
ρ
∂σ′ik∂xk
.
Végül azt kapjuk, hogy
∂
∂t
ρv2
2= −ρv(v∇)v − v∇p+ vi
∂σ′ik∂xk
= (2.3)
= −ρ(v∇)
(v2
2+p
ρ
)+∇ · (vσ′)− σ′ik
∂vi∂xk
. (2.4)
Összenyomhatatlan folyadékban azonban ∇ · v = 0 , ezért a jobb oldal els® tagját diver-gencia formájában írhatjuk:
∂
∂t
ρv2
2= −∇ ·
[ρv
(v2
2+p
ρ
)− (vσ′)
]− σ′ik
∂vi∂xk
.
24FEJEZET 2. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAUALAPJÁN)
A divergencia alatti mennyiség a folyadékban haladó energiaáram. A ρv(v2
2 + pρ
)tag
a tömeg mozgásával kapcsolatos energiaáram, és megegyezik egy ideális folyadék ener-giaáramával. A második tag (vσ′) a bels® súrlódással kapcsolatos energiaáram. Valóbana bels® súrlódás σ′ik impulzusáramot kelt; az impulzusátadás mindig energiamozgássaljáre, és az energiaáramot az impulzusáramot a sebességgel való szorzással kapjuk.
Az el®z® egyenletet V térfogatra integrálva, azt kapjuk, hogy
∂
∂t
∫ρv2
2dV = −
∮ [ρv
(v2
2+p
ρ
)− (vσ′)
]df −
∫σ′ik
∂vi∂xk
dV.
Ha az integrált a folyadék egész térfogatára kiterjesztjük, a felületre való összegezés nullátad(a sebesség a végtelenben elt¶nik),és a folyadékban az egységnyi id® alatt disszipálódóenergia kifejezése a következ®:
Ekin = −∫σ′ik
∂vi∂xk
dV.
Összenyomhatatlan folyadék esetén a σ′ik tenzort az el®z® rész alapján deniálja, tehát
σ′ik∂vi∂xk
= η∂vi∂xk
(∂vi∂xk
+∂vk∂xi
).
Könnyen ellen®rizhet®, hogy ez a kifejezés felírható az alábbi alakban:
η
2
(∂vi∂xk
+∂vk∂xi
)2
.
Az energiadisszipációt összenyomhatatlan folyadék esetén tehát így kapjuk :
Ekin = −η2
∫ (∂vi∂xk
+∂vk∂xi
)2
dV.
A disszipáció a mechanikai energia csökkenését jelenti, azaz Ekin < 0. Innen látható,hogy az η együttható mindig pozitív.
2.10. Áramlás csövekben
Vizsgáljuk meg az összenyomhatatlan viszkózus folyadék áramlásának néhány egy-szer¶ esetét.
1. Tekintsünk két párhuzamos egymáshoz képest állandó u sebességgel mozgó síklapközé zárt folyadékot. Az x, z tengelyeket az egyik síkban vesszük fel úgy, hogy az x tengelymutasson az u sebesség irányába.Nyilvánvalóan minden mennyiség csak az y koordiná-tától függ, és a folyadéksebessége mindenütt azonos irányú az x tengellyel.Stacionáriusmozgás esetén
dp
dy= 0,
d2v
dy2= 0.
(Akontinuitási egyenlet azonosan teljesül.)Ebb®l p = const,v = ay + b adódik.Az y = 0és y = h síkokon (h a két felület közötti távolság) rendre v = 0 és v = u.Ebb®l az adódik,hogy
v =y
hu.
2.10. ÁRAMLÁS CSÖVEKBEN 25
A sebességeloszlás a folyadékban tehát lineáris.A folyadék átlagsebességét így deniáljuk:
v =1
h
∫ h
0
v dy,
esetünkben
v =1
2u.
Az érint®irányú er® pedig (azy = 0 síkban) :
σxy = ηdv
dy=ηu
h.
2.Tekintsünk ezután két rögzített, párhuzamos sík között nyomáskülönbség hatá-sára végbemen® áramlást.Koordináta-rendszerünket válasszuk ugyanúgy mint az el®bbiesetben.A NavierStokes-egyenletb®l azt kapjuk, hogy(asebesség nyilvánvalóan csak az ykoordinátától függ)
∂2v
∂y2=
1
η
∂p
∂x,
∂p
∂y= 0.
Az els® egyenlet jobb oldala csak x-t®l függ,bal oldala pedig csak y-tól.Ebb®l következik,hogy mindkét oldal állandó.Tehát
dp
dx= const,
azaz a nyomás az áramlás irányába fektetett x koordináta lineáris függvénye.A sebességreaz adódik, hogy
v =1
2η
dp
dxy2 + ay + b.
Az a és b állandók a v = 0, ha y = 0 vagy y = h határfeltételekb®l határozhatók meg.Végeredményként azt kapjuk, hogy a sebesség értéke :
v = − 1
2η
dp
dx
[h2
4−(y − h
2
)2].
A sebességeloszlás a folyadékrétegre mer®leges irányban parabolikus, maximuma a rétegközepén van. Az áramlás átlagsebességét a
v =1
h
∫ h
0
v dy
összefüggés alapján számítjuk :
v = − h2
12η
∂p
∂x.
Számítsuk ki a rögzített síkokra ható súrlódási er®t aσxy = η ∂v∂y |y=0 képlet alap-ján.Behelyettesítés után
σxy = −h2
dp
dx
adódik.
26FEJEZET 2. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAUALAPJÁN)
3. Végül vizsgáljuk meg a folyadék stacionárius áramlását egy tetsz®leges (de végigazonos) keresztmetszet¶ cs®ben. Az x koordinátát mérjük a cs® tengelye mentén. Nyil-vánvaló, hogy a folyadék v sebessége mindenütt x irányú, és csak y és z függvénye. Akontinuitási egyenlet azonosan teljesül, és a NavierStokes-egyenletek y és z komponen-sei megint a ∂p
∂y = ∂p∂z = 0 összefüggére vezetnek, azaz a nyomás a cs® keresztmetszete
mentén állandó. A stacionárius egyenlet x komponense :
∂2v
∂y2+∂2v
∂z2=
1
η
dp
dx.
Ebb®l ismét dpdx = const következik;ezért a nyomásgradienst −∆p
l alakban írhatjuk, ahol∆p a cs® végei közötti nyomáskülönbség, l a cs® hossza. A folyadék sebességeloszlása a cs®-ben egy kétdimenziós ∆v = const típusú egyenletb®l határozható meg. Ezt az egyenleteta keresztmetszet kerületén teljesül® v = 0 határfeltétel gyelembevételével kell megol-dani. Foglalkozunk egy kör keresztmetszet¶ cs®vel. Vezessünk be polárkoordinátákat, azorigót helyezzük a kör középpontjába. Szimmetriaokokból v = v(r). A Laplace-operátorpolárkoordinátás alakjának használatával azt kapjuk, hogy
1
r
d
dr
(rdv
dr
)= −∆p
ηl.
Integrálás után
v = −∆p
4ηlr2 + a ln r + b
adódik.Az a állandót nullának kell választani, minthogy a sebesség minden pontban, aközéppontot is beleértve, véges.A b állandót a v = 0, ha r = R feltételb®l határozhatjukmeg.Végeredményünk :
v =∆p
4ηl(R2 − r2).
A sebességeloszlás ismétn parabolikus.Könnyen meghatározhatjuk a cs® egy síkmetszeténid®egység alatt átáramló Q folyadékmennyiséget (ezt nevezzük hozamnak). A 2πr drgy¶r¶ alakú felületelemen egy másodperc alatt ρ · 2πrv dr folyadékmennyiség halad át.Ezért
Q = 2πρ
∫ R
0
rv dr.
a fenti összefüggés felhasználásával
Q =π∆p
8νlR4
adódik.Látjuk, hogy az egységnyi id® alatt átáramló folyadékmennyiség a cs® sugaránaknegyedik hatványával arányos (ez a Poiseuille-törvény).
2.11. A hang
2.11.1. Hanghullámok
Most rátérünk az összenyomható folyadék áramlásának vizsgálatára.Az összenyom-ható folyadék kis amplitúdójú rezg®mozgását hanghullámnak nevezzük.A hanghullámváltokozva s¶r¶södést és ritkulást okoz a folyadék minden pontjában.
2.11. A HANG 27
Minthogy az oszcillácviók kicsik, a v sebesség is kicsi, úgyhogy az Euler-egyenletbena (v∇)v tag elhanyagolható.A p és ρ változókat
p = p0 + p′, ρ = ρ0 + ρ′
alakba írhatjuk,ahol a ρ0 és a p0 állandóaz egyensúlyi s¶r¶ség és nyomás,ρ′ és p′ ezekmegváltozása a hanghullámban (ρ′ ρ0, p
′ p0).A
∂ρ
∂t+∇ · ρv = 0
kontinuitási egyenletbe beírva, a másodrendben kicsiny tagok(ρ′, p′,v els® rendben ki-csik)elhagyásával azt kapjuk, hogy
∂ρ′
∂t+ ρ0∇ · v = 0.
Hasonlóan a∂v
∂t+ (v∇)v = −∇p
ρ
Euler egyenlet a fenti közelítésben a
∂v
∂t+∇p′
ρ0= 0
egyenletre redukálódik.A fenti linearizált mozgásegyenletek csak akkor alkalmazhatók hanghullámok leírá-
sára, ha teljesül a v c feltétel, azaz a folyadékrészecskék sebessége a hanghullámbankicsi a hangsebességhez képest.Ezt a feltételt például ρ′ ρ0 feltételb®l kaphatjuk.Azel®z® két egyenletben a v, p′ és ρ′ ismeretlen függvények szerepelnek.Ezek közzül egyetkiküszöbölhetünk mivel az ideális folyadékban terjed® handhullám adiabatikus állapot-változást eredményez.Ezért a kis p′ nyomásváltozás és a kis ρ′ s¶r¶ségváltozás kapcsolataígy írható :
p′ =
(∂p
∂ρ′
)s
ρ′.
Ebb®l az egyenletb®l ρ′ alakját a fenti egyenletbe írva, azt kapjuk, hogy
∂p′
∂t+ ρ0
(∂p
∂ρ0
)div v = 0.
A v és p′ ismeretleneket tartalmazó egyenletrendszer a hanghullámot teljesen meghatá-rozza.
Valamennyi ismeretlen mennyiséget leírhatjuk egyetlen függvény segítségével, ha be-vezetjük a v = ∇ϕ sebességpotenciált.Azt kapjuk, hogy
p′ = −ρ∂ϕ∂t,
ami összekapcsolja p′-t és ϕ-t (itt és az alábbiakban a rövidség kedvéért elhagyjuk p0 ésρ0 indexét).A fenti egyenletekb®l a ϕ potenciálra vonatkozó
∂2ϕ
∂t2− c2 4 ϕ = 0
28FEJEZET 2. HIDRODINAMIKA: RÉSZLETESEBB TÁRGYALÁSMÓD (LANDAUALAPJÁN)
egyenletet kapjuk;itt bevezettük a
c =
√(∂p
∂ρ
)s
jelölést.A fenti lineáris homogén másodrend¶ parciális dierenciálegyenletet hullámegyen-letnek szokás nevezni.Erre a gradiens operátort alkalmazva, azt kapjuk, hogy a vecv se-besség mindhárom komponense kielégíti a hullámegyenletet,id® szerinti deriválásáv pedigbeláthatjuk, hogy a p′ nyomás (és vele ρ′ is ) szintén eleget tesz a hullámegyenletnek.
Tekintsünk egy olyan hanghullámot, amelyben minden mennyiség egyetlen koordi-nátától, mondjuk x-t®l függ. Ez azt jelenti, hogy az áramlás teljesen homogén az yzsíkban. Az ilyen hullámot síkhullámnak nevezzük. A hullámegyenlet ekkor így írható :
∂2ϕ
∂x2− 1
c2∂2ϕ
∂t2= 0.
Az egyenlet megoldása céljából x és t helyett bevezetjük az új
ξ = x− ct, η = x+ ct
változókat. Az egyenlet a∂2ϕ
∂η∂ξ= 0
alakot ölti. Két egymásutánni integrálás után
ϕ = f1(ξ) + f2(η) = f1(x− ct) + f2(x+ ct).
A többi mennyiség (p′, ρ′,v) oszlását egy síkhullámban hasonló alakú függvények írjákle.Az f1(x−ct) függvé egy úgynevezett haladö síkhullámot ír le, amely a pozitív x tengelyirányában terjed. Az f2(x+ ct) nyilvánvalóan ellenkez® irányban terjed® hullámot ír le.
A v = ∇ϕ sebesség három összetev®je közül csak vx = ∂ϕ∂x különbözik nullától.Tehát
a hanghullámban a folyadék sebessége a terjedés irányába mutat. Ezxért a folyadékbanterjed® hanghullámokat longitudinálisnak mondjuk.A haladó síkhullámban a vx = v se-besség egyszer¶ kapcsolatban áll a p′ nyomással és a ρ′ s¶r¶séggel. ϕ = f(x− ct)-t írva,v = ∂ϕ
∂x = f ′(x−ct) és p′ = −ρ∂ϕ∂t = ρcf ′(x−ct). A két kifejezést összevetve, azt találjuk,hogy
v =p′
ρc.
Felhasználva a p′ = c2ρ′ egyenletet következik, hogy
v =cρ′
ρ.
Az adiabatikus és az izotermikus kompresszibilitás kapcsolata(∂p
∂ρ
)s
=cpcv
(∂p
∂ρ
)T
.
Határozzuk meg a handsebességet ideális gázban. Az állapotegyenlet :
pV =p
ρ=RT
µ,
2.11. A HANG 29
ahol R a gázállandó, µ pedig a molekulasúly. A hangsebességre az alábbi kifejezést kapjuk:
c =
√γRT
µ,
ahol γ =cpcV.A hangsebesség gázokban nagyságrendileg megegyezik a molekulák h®moz-
gásának átlagsebességével.Adott h®mérsékleten c független a nyomástól.Rendkivül fontos az úgynevezett monokromatikus hullámok esete,amikor minden
mennyiség az id® egyszer¶ periodikus (harmonikus) függvénye. Az ilyen függvényt álta-lában célszer¶ egy komplex mennyiség valós részeként felírni.A sebességpotenciál például
ϕ = Reϕ0(x, y, z)e−iωt
alakba írjuk, ahol ω a hullám frekvenciája. A ϕ0 függvény kielégíti a
4ϕ0 +ω2
c2ϕ0 = 0
egyenletet.Tekintsünk egy, a pozitív x tengely irányában terjed® monokromatikus haladó sík-
hullámot. Ilyen hullámban minden mennyiség csak (x− ct)-t®l függ, úgyhogy a potenciál
ϕ = ReAe−iω(t− xc )
alakú, ahol A egy állandó, az ún. komplex amplitudó. Ezt A = aeiα alakba írva, ahol aés α valós állandók, azt kapjuk, hogy
ϕ = a cos(ωcx− ωt+ α
).
Az a állandó a hullám amlitudója, a cosinus argumentumát pedig fázisnak nevezzük. A
k =ω
cn =
2π
λn
vektor neve hullámvektor, n-nel a terjedés irányába mutató egységvektort jelöljük.Ezzelígy is írható :
ϕ = ReAei(kr−ωt).
A monokromatikus hullámok tanulmányozása nagyon fontos, mert bármilyen hullám fel-írható különböz® hullámvektorú és frekvenciájú monokromatikus síkhullámok súlyozottösszegeként. Egy hullám monokromatikus hullámokra való felbontása egyszer¶en egyFourier-sorba vagy -integrálba történ® kifejtés (úgynevezett spektrálfelbontás). E kiejtésegyes tagjai a hullám monokromatikus komponensei vagy Fourier-komponensei.
