BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO II 1_1.pdfem estruturas isostáticas não introduz esforços adicionais. Considere-se a seguinte viga pré-esforçada: pp Apresenta-se em seguida os

BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO II

FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

MÓDULO 1 - PRÉ-ESFORÇO

Carla Marchão Júlio Appleton

Ano Lectivo 2004/2005

ÍNDICE

1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 1

1.1. VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO................................................................. 1

2. TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO .................................................................. 1

2.1. PRÉ-ESFORÇO POR PRÉ-TENSÃO.................................................................................... 1 2.2. PRÉ-ESFORÇO POR PÓS-TENSÃO.................................................................................... 1

3. COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PRÉ-ESFORÇO.................................................. 2

3.1. ARMADURAS DE PRÉ-ESFORÇO....................................................................................... 2 3.2. ANCORAGENS DE PRÉ-ESFORÇO..................................................................................... 3 3.3. BAINHAS DE PRÉ-ESFORÇO ............................................................................................ 3 3.4. SISTEMAS DE INJECÇÃO................................................................................................. 3

4. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO ............................................................................................. 4

5. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PRÉ-ESFORÇADO .............................. 5

5.1. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SECÇÃO............................................................................... 5 5.2. TRAÇADO DO CABO........................................................................................................ 5

5.2.1. Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço............... 5 5.3. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO ÚTIL ............................................... 6

6. CARACTERÍSTICAS DOS TRAÇADOS PARABÓLICOS............................................... 13

6.1. EQUAÇÃO DA PARÁBOLA .............................................................................................. 13 6.2. DETERMINAÇÃO DO PONTO DE INFLEXÃO ENTRE DOIS TROÇOS PARABÓLICOS................... 14 6.3. DETERMINAÇÃO DO PONTO DE CONCORDÂNCIA TROÇO PARABÓLICO – TROÇO RECTO....... 14

7. CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO............................................................. 15

7.1. ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O CABO (SITUAÇÃO EM QUE SE APLICA A TENSÃO NOS CABOS

SIMULTANEAMENTE NAS DUAS EXTREMIDADES).......................................................................... 15 7.2. ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O BETÃO ............................................................................ 15 7.3. DETERMINAÇÃO DAS CARGAS EQUIVALENTES ................................................................ 15

7.3.1. Zona das ancoragens........................................................................................ 15 7.3.2. Traçado parabólico............................................................................................ 16 7.3.3. Traçado poligonal.............................................................................................. 16

8. VALOR DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO......................................................................... 21

8.1. FORÇA MÁXIMA DE TENSIONAMENTO ............................................................................. 21 8.2. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO ........................................................................................... 21

8.2.1. Perdas por Atrito ............................................................................................... 22 8.2.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos)............................................. 23 8.2.3. Perdas por deformação instantânea do betão................................................... 24 8.2.4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço ............................... 24 8.2.5. Perdas por retracção do betão .......................................................................... 29 8.2.6. Perdas por fluência do betão............................................................................. 29 8.2.7. Perdas por relaxação da armadura ................................................................... 29

9. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS........................... 33

9.1. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE FLEXÃO ............................................................................... 33 9.2. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ESFORÇO TRANSVERSO ........................................................ 34

10. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS ...................... 39

10.1. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESMAGAMENTO DO BETÃO ........................................... 39 10.2. DETERMINAÇÃO DAS ARMADURAS DE REFORÇO NA ZONA DAS ANCORAGENS .................. 40

10.2.1. Modelos de escoras e tirantes........................................................................... 40 10.2.2. Tensões de tracção a absorver ......................................................................... 41

Betão Armado e Pré-Esforçado II

MÓDULO 1 – Pré-Esforço 1

1. Introdução 1.1. VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO

Vencer vãos maiores

Maiores esbeltezas

Diminuição do peso próprio

Melhoria do comportamento em serviço

Utilização racional dos betões e aços de alta resistência

2. Técnicas e sistemas de pré-esforço

2.1. PRÉ-ESFORÇO POR PRÉ-TENSÃO

As armaduras são tensionadas antes da colocação do betão;

A transferência de força é realizada por aderência;

É realizado em fábrica (tensão aplicada contra cofragens ou contra maciços

de amarração).

2.2. PRÉ-ESFORÇO POR PÓS-TENSÃO

As armaduras são tensionadas depois do betão ter adquirido a resistência

necessária;

A transferência é realizada quer nas extremidades, através de dispositivos

mecânicos de fixação das armaduras (ancoragens), quer ao longo das

armaduras.



3. Componentes de um sistema de pré-esforço

3.1. ARMADURAS DE PRÉ-ESFORÇO

As armaduras de pré-esforço são constituídas por aço de alta resistência, e podem ter

as seguintes formas:

• fios Diâmetros usuais: 3 mm, 4 mm, 5 mm e 6 mm

Designação Secção nominal

[cm2]

Diâmetro

[mm]

0.5” 0.987 12.7

0.6”N 1.4 15.2

• cordões (compostos por 7 fios)

0.6”S 1.5 15.7

• barras

Diâmetros usuais: 25 mm a 36 mm

(podem ser lisas ou roscadas)

Características dos aços de alta resistência utilizados em armaduras de pré-esforço:

fp0,1k [Mpa] fpk [Mpa] Ep [Gpa]

fios e cordões 1670 1860 195 ± 10

barras 835 1030 170

Cabo de pré-esforço: conjunto de cordões (agrupados no interior de uma bainha)

Por questões de economia, há vantagem em utilizar os cabos standard dos sistemas

de pré-esforço (número de cordões que preenchem na totalidade uma ancoragem).



3.2. ANCORAGENS DE PRÉ-ESFORÇO

• Activas

Permitem o tensionamento

• Passivas

Ficam embebidas no betão

• De continuidade

(acoplamentos) Parte passiva, parte activa

3.3. BAINHAS DE PRÉ-ESFORÇO

• Metálicas

• Plásticas

3.4. SISTEMAS DE INJECÇÃO

• Materiais rígidos (ex: calda de cimento)

• Materiais flexíveis (ex: graxas ou ceras)



4. Efeito do Pré-Esforço

O pré-esforço é, por definição, uma deformação imposta. Deste modo, a sua aplicação

em estruturas isostáticas não introduz esforços adicionais.

Considere-se a seguinte viga pré-esforçada:

pp

Apresenta-se em seguida os diagramas de extensões na secção transversal indicada

(secção de vão onde o cabo de pré-esforço tem excentricidade máxima), para as

seguintes situações:

A – acção do pré-esforço isolado

B – Acção das cargas mobilizadas na aplicação do pré-esforço (peso próprio)

C – situação após a aplicação do pré-esforço

eP0

+

-

A

P0ε+

B

-

+

+ Mpp = -

C

+εP0



5. Pré-dimensionamento de um elemento pré-esforçado

5.1. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SECÇÃO

A altura de uma viga pré-esforçada pode ser estimada a partir da relação h ≅ L15 a 20.

5.2. TRAÇADO DO CABO

A escolha do traçado dos cabos deve ser feita com base no diagrama de esforços das

cargas permanentes.

5.2.1. Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço

0.35L a 0.5LL

0.05L a 0.15L

1.5 Øbainha

1.5 Øbainha

• Traçados simples: troços rectos ou troços parabólicos (2º grau)

• Aproveitar a excentricidade máxima nas zonas de maiores momentos (ver nota)

• Sempre que possível, nas extremidades, os cabos deverão situar-se dentro do

núcleo central da secção

• O traçado do cabo (ou resultante dos cabos) deverá cruzar o centro de gravidade

da secção numa secção próxima da de momentos nulos das cargas permanentes

• Devem respeitar-se as restrições de ordem prática da construção e os limites

correspondentes às dimensões das ancoragens e resistência do betão, necessários

para resistir às forças de ancoragem

Notas:

i) A excentricidade máxima dos cabos depende do recobrimento a adoptar para

as bainhas dos cabos de pré-esforço: cmin = min (φbainha; 0.08 m);



ii) o ponto de inflexão do traçado está sobre a recta que une os pontos de

excentricidade máxima;

iii) O raio de curvatura dos cabos deve ser superior ao raio mínimo que,

simplificadamente pode ser obtido pela expressão Rmin = 3 Pu (onde Pu

representa a força útil em MN).

5.3. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO ÚTIL

O valor da força útil de pré-esforço pode ser estimada através dos seguintes critérios:

• Critério do balanceamento das cargas

qeq ≅ (0.8 a 0.9) qcqp

ou, de uma forma mais rigorosa,

• Critério da limitação da deformação

δpe = (0.8 a 0.9) δcqp, tal que no final δtotal = (1 + ϕ) (δcqp – δpe) ≤ δadmissível

com δadmissível ≅ L 500 a L

1000 (dependente da utilização da obra)

• Critério da descompressão

EC2 – parágrafo 7.3.1(5): Estados Limites de Fendilhação a considerar

Tabela 7.1N Valores recomendados para wmáx (mm)

Classe de

exposição

Elementos de betão armado ou pré-

esforçado (p.e. não aderente)

Elementos de betão pré-esforçado

(p.e. aderente)

Comb. quase-permanente de acções Combinação frequente de acções

X0, XC1 0.4 0.2

XC2, XC3, XC4 0.2(1)

XD1, XD2,

XS1, XS2, XS3

0.3 Descompressão

(1) Deverá também verificar-se a descompressão para a combinação quase-permanente de acções



A segurança em relação ao estado limite de descompressão considera-se satisfeita

se, nas secções do elemento, a totalidade dos cabos de pré-esforço se situar no

interior da zona comprimida e a uma distância de, pelo menos, 0.025 m ou 0.10 m

relativamente à zona traccionada, para estruturas de edifícios ou pontes,

respectivamente.

Na prática, será preferível assegurar que nas secções do elemento não existem

tracções ao nível da fibra extrema que ficaria mais traccionada (ou menos comprimida)

por efeito dos esforços actuantes, com exclusão do pré-esforço.



EXERCÍCIO PE1

Considere a viga indicada na figura seguinte.

e1 = 0.15 e2 = 0.38 e5e3 e4 = -0.22 e6 = -0.10

8.00 8.00 4.00 1.00 4.00

Parábola Parábola ParábolaParábola Recta

A B C D

Secção Transversal da Viga:

1.50

0.20

0.50

0.20

0.300.80

0.53

0.37

Propriedades Geométricas da Secção:

A = 0.61 m2

I = 0.0524 m4

Materiais:C30/37

A400NR

A1600/1800 (baixa relaxação)

Considere que a viga se encontra submetida às seguintes acções:

Q

q

pp + rcp

- Cargas permanentes (γg = 1.35): pp = 15.25 kN/m; rcp = 14.75 kN/m

- sobrecargas (γq = 1.5; ψ1 = 0.6; ψ2 = 0.4): q = 20 kN/m e Q = 100 kN

Nota: q e Q actuam em simultâneo



a) Determine o diagrama de tensões na secção B para a combinação de acções quase permanentes e para uma força de pré-esforço de 1000 kN. b) Qual o valor de P∞ que seria necessário para garantir a descompressão para a combinação quase permanentes de acções, nas secções B e C? c) Qual o valor de P∞ que seria necessário para garantir a condição σc < fctk para combinação frequente de acções nas secções B e C? d) Determine as equações que definem o traçado do cabo representado na figura. e) Represente as cargas equivalentes do pré-esforço. f) Qual o valor de P∞ que seria necessário para contrariar 80% de deformação máxima para a combinação de acções quase-permanentes? g) Defina que tipo de cabo adopta e qual a força de puxe. Admita: P∞ = 0.86 P0 e P0 = 0.90 P’0. Admita que os cabos são tensionados a 0.75 fpk. h) Calcule o valor das perdas instantâneas (atrito, reentrada de cunhas e deformação instantânea do betão) e o alongamento previsto dos cabos. i) Calcule as perdas diferidas (fluência e retracção do betão, e relaxação das armaduras). j) Calcule a área de armadura ordinária longitudinal de modo a garantir a segurança em relação ao estado limite último de flexão. l) Calcule a área de armadura transversal.



RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1

ALÍNEA A)

1. Determinação dos esforços para a combinação de acções quase-permanentes

pcqp = cp + ψ2 sc = 15.25 + 14.75 + 0.4 × 20 = 38 kN/m

Qcpq = ψ2 Q = 0.4 × 100 = 40 kN

pcqp

Qcqp

R1 R2

20.00 5.00

DEV[kN]

DMF[kNm] 8.00

(+)

1554.0

(-)

675.0

(+) (+)

(-)

346.3

413.8

230.040.0

Σ MB = 0 ⇔ – R1 × 20 + 38 × 20 × 10 – 40 × 5 – 38 × 5 × 2.5 = 0 ⇒ R1 = 346.3 kN

⇒ R2 = 38 × (20 + 5) + 40 – 346.3 = 643.8 kN

2. Cálculo das tensões na secção B

(i) Características geométricas da secção B

0.37

0.530.38

1.50

G

A = 0.61 m2

I = 0.0524 m2

winf = I vinf = 0.0524

0.53 = 0.09886m3

wsup = I vsup = 0.0524

0.37 = 0.1416m3



(ii) Diagramas de tensões na secção B devidas à cqp e ao pré-esforço

(-)

P

Mcqp

P / A

+

(+)

(-)

P x eω

(-)

(+)

Mcqp ω

+

σinf = - P A -

P × e winf

+ Mcqp winf

= - 1000 0.61 - 1000 × 0.38

0.09886 + 1554 0.09886 = 10.2MPa

σsup = - P A + P × e

wsup - Mcqp

wsup = - 1000

0.61 + 1000 × 0.38 0.1416 - 1554

0.1416 = - 9.9MPa

ALÍNEA B)

1. Secção B

(+)

+

ω

(-)

ω

(-)

(+)

+

P / A

MB

P

(-)

MB P x e

∞

∞∞

σinf < 0 ⇔ - P∞ A - P∞ × e

w + MB w < 0 ⇔ - P∞

0.61 - P∞ × 0.38 0.09886 + 1554

0.09886 < 0 ⇔

⇔ P∞ > 2866.8 kN 2. Secção C

MC (-) + +

(+)

∞P

(-)

MC ∞∞

P x eP / A

(+)

ω

(-)

ω

σsup < 0 ⇔ - P∞ A - P∞ × e

w + MC w < 0 ⇔ - P∞

0.61 - P∞ × 0.22

0.1416 + 675 0.1416 < 0 ⇔

⇔ P∞ > 1492.9 kN

⇒ P∞ > 2866.8 kN



ALÍNEA C)

1. Determinação dos esforços para a combinação de acções frequente

pfr = cp + ψ1 sc = 15.25 + 14.75 + 0.6 × 20 = 42 kN/m

Qfr = ψ1 Q = 0.6 × 100 = 60 kN

pfr

20.00

DMF[kNm] 8.00

1686.0

(+)

R1

825.0

(-)

5.00

R2

Qfr

Σ MB = 0 ⇔ – R1 × 20 + 42 × 20 × 10 – 60 × 5 – 42 × 5 × 2.5 = 0 ⇒ R1 = 378.8 kN

⇒ R2 = 42 × (20 + 5) + 60 – 378.8 = 731.3 kN

2. Secção B

σinf < fctk ⇔ - P∞ A - P∞ × e

w + MB w < fctk ⇔ - P∞

0.61 - P∞ × 0.38 0.09886 + 1686

0.09886 < 2 × 103 ⇔

⇔ P∞ > 2745.6 kN

3. Secção C

σsup < fctk ⇔ - P∞ A - P∞ × e

w + MC w < fctk ⇔ - P∞

0.61 - P∞ × 0.22

0.1416 + 825 0.01416 < 2 × 103 ⇔

⇔ P∞ > 1198,3 kN ⇒ P∞ > 2745.6 kN



6. Características dos traçados parabólicos

6.1. EQUAÇÃO DA PARÁBOLA

Equação geral da parábola: y = ax2 + bx + c (para determinar os parâmetros a, b e c é necessário conhecer 3 pontos)

x1 x3 x2

y1

y2

y3

Caso se utilize um referencial local:

1) x

y

y = ax2 + c

(y’ (0) = 0 ⇒ b = 0)

2)

x

y

y = ax2

(y’ (0) = 0 ⇒ b = 0 e y (0) = 0 ⇒ c = 0)

Determinação do parâmetro a

f

f

θθ

L/2L/2

tg θ = 2f L/2 = 4f

L

i) y’ (- L/2) = 2a × L/2 = tg θ ⇒ a = 4f L2 ou

ii) y (L/2) = f ⇔ a ×

L

2

2

= f ⇒ a = 4f L2

Determinação da curvatura da parábola

1 R = - y" (L/2) = 2a = 8f

L2



6.2. DETERMINAÇÃO DO PONTO DE INFLEXÃO ENTRE DOIS TROÇOS PARABÓLICOS

e1f1

L1 L2

e2f2

O ponto de inflexão do traçado encontra-se na linha que une os extremos. Deste modo, f1 L1 = e1 + e2

L1 + L2 ⇒ f1 = L1 L1 + L2 (e1 + e2) e f2 = (e2 + e1) – f1

6.3. DETERMINAÇÃO DO PONTO DE CONCORDÂNCIA TROÇO PARABÓLICO – TROÇO RECTO

L1

ff

eθ

L2

tg θ = e - f L1

= e + f L2

⇔ (e – f) L2 = (e + f) L1 ⇔ e L2 – f L2 + f L1 ⇔

⇔ f L1 + f L2 = e L2 – e L1 ⇔ f (L1 + L2) = e (L2 – L1) ⇔ f = e (L2 - L1) L1 + L2



7. Cargas equivalentes de pré-esforço

A acção do pré-esforço pode ser simulada através de cargas – cargas equivalentes de

pré-esforço.

7.1. ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O CABO (SITUAÇÃO EM QUE SE APLICA A TENSÃO NOS

CABOS SIMULTANEAMENTE NAS DUAS EXTREMIDADES)

Forças nas ancoragens;

Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas, exercidas pelo betão.

7.2. ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O BETÃO

Forças nas ancoragens;

Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas iguais e directamente

opostas às que o betão exerce sobre o cabo.

7.3. DETERMINAÇÃO DAS CARGAS EQUIVALENTES

7.3.1. Zona das ancoragens

P P⇔

P tgα

P eα

Nota: tg α ≅ sen α e cos α ≅ 1



7.3.2. Traçado parabólico

Considere-se o seguinte troço infinitésimal de cabo de pré-esforço, e as acções que o

betão exerce sobre este,

R

P+dPP

dβ

q* ds

ds

dβ/2

ds = R dβ ⇒ dβ ds = 1

R

P dβ 2 + (P + dP)

dβ 2 = q* ds

P dβ = q* ds ⇒ q* = P dβ ds ou q* = P

R

Notas:

- ângulo muito pequeno ⇒ sen dβ 2 ≅ dβ

2

≅ tg dβ

2 e cos dβ 2 ≅ 1;

- consideram-se desprezáveis as componentes horizontais das forças de desvio.

Para um cabo com o traçado parabólico ilustrado,

f

f

L/2

β

L/2

tg β = dβ 2 = 2 f

L/2 = 4 f L (1)

ds ≅ L (2)

A partir de (1) e (2), obtém-se

dβ ds = 8 f

L2 ⇒ q* = 8 f P L2

7.3.3. Traçado poligonal

L1

f βQ*

Q*q*

s

tg β = f L1

Q* = q* ds = P dβ = P f L1 ⇔

⇔ Q* = P tg β



RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONTINUAÇÃO)

ALÍNEA D)

8.008.00

Parábola 1

e2 = 0.38

Parábola 3

4.00

Parábola 2 RectaParábola 4

4.001.00

e4 = -0.22 e6 = -0.10e1 = 0.15

(i) Parábola 1

8.00

0.23x

y

y = ax2

y(8) = 0.23 ⇔ a × 82 = 0.23

⇒ a = 3.59375 × 10-3

y(x) = 3.59375 × 10-3 x2

(ii) Parábola 2 1. Determinação das coordenadas do ponto de inflexão

12.00

0.6

8.00

x

12 8 = 0.6

x ⇒ x = 0.4

2. Determinação da equação da parábola

8.00

x

y

0.4

y = ax2

y (8) = 0.4 ⇒ a = 6.25 × 10-3

y (x) = 6.25 × 10-3 x2



(iii) Parábola 3

x

y4.00

0.2

y = ax2

y (4) = 0.2 ⇒ a = 0.0125

y (x) = 0.0125 x2

(iv) Parábola 4 e troço recto

x

yx

y 1.00 4.000.12

1. Determinação das coordenadas do ponto de concordância

ff

1.0

θ

y’ (1, 0) = tg θ = 2 f

tg θ = 0.12 + f 5

⇒ 2 f = 0.12 + f 5 ⇔ 10 f = 0.12 + f ⇒ f = 0.01333 m

2. Determinação das equações da parábola e do troço recto

Parábola 4: y (1) = 0.01333 ⇒ y (x) = 0.01333 x2

Troço recto: y = mx + b = 2 × 0.01333 x ⇒ y (x) = 0.02667 x

ALÍNEA E)

1. Cálculo das cargas equivalentes uniformemente distribuídas (considerando P∞ = 1000 kN)

q = 8 f P∞ L2

Parábola f [m] L [m] q [kN/m]

1 0.23 16 7.2

2 0.4 16 12.5

3 0.2 8.0 25.0

4 0.0133 2.0 26.6



2. Cálculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo Extremidade Esquerda

tg α = y’ (8) = 2 × 3.59375 × 10-3 × 8 = 0.0575

P × tg α = 57.5 kN

P × e = 1000 × 0.15 = 150.0 kNm

Extremidade Direita

tg α = y’ (1) = 0.02667

P × tg α = 26.7 kN

P × e = 1000 × 0.10 = 100.0 kNm

1.008.00

26.6 kN/m

8.00

25.0 kN/m12.5 kN/m7.2 kN/m

4.00 4.00

57.5 kN

1000 kN

150.0 kNm1000 kN

26.7 kN

100.0 kNm

como curiosidade,

Σ Feq = - 57.5 + 7.2 × 8 + 12.5 × 8 - 25.0 × 4 - 26.6 × 1 + 26.7 ≅ 0



ALÍNEA F)

1. Determinação da flecha elástica na viga para a combinação de acções quase-

permanentes

Através de tabelas de flechas elásticas de vigas contínuas, a deformação a meio vão

do tramo apoiado é dada por:

δ = 1 EI

5pL4

384 + L2

16 ( )M1 + M2

onde M1 e M2 representam os momentos flectores nas extremidades do tramo e

entram na expressão com o sinal de acordo com a convenção da resistência de

materiais.

Deste modo,

δ = 1 32×106 × 0.0524

5 × 38 × 204

384 + 202 16 ( )0 - 675.0 = 0.037 m

2. Determinação da flecha elástica na viga para o efeito do pré-esforço

A flecha elástica para o efeito de pré-esforço pode ser obtida considerando a actuação

das cargas equivalentes ao pré-esforço na viga. Deste modo, para P∞ = 1000 kN

(cargas equivalentes calculadas na alínea anterior), obteve-se a seguinte deformada:

δ = 0.010 m

3. Determinação da força útil de pré-esforço necessária para contrariar 80% da

deformação máxima para a combinação de acções quase-permanentes

δpe = 0.8 δcqp = 0.8 × 0.037 = 0.030 m

⇒ P∞ = 1000 × 0.030/0.010 = 3000 kN



8. Valor da força de pré-esforço

8.1. FORÇA MÁXIMA DE TENSIONAMENTO

De acordo com o EC2, a força máxima a aplicar num cabo de pré-esforço é dada pela

seguinte expressão

Pmáx = Ap ⋅ σp,máx

onde, σp,máx = min (0.8 fpk; 0.9 fp0,1k) e representa a tensão máxima a aplicar aos cordões.

8.2. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO

Perdas instantâneas (8% – 15%)

Pós-tensão

• Perdas por atrito

• Perdas por reentrada de cabos

• Perdas por deformação instantânea do betão

Pré-tensão

• Relaxação da armadura até à betonagem

• Escorregamento nas zonas de amarração

• Deformação instantânea do betão

Perdas diferidas (12% – 15%)

• Perdas por retracção do betão

• Perdas por fluência do betão

• Perdas por relaxação da armadura

P0’ ( força de tensionamento) →8% – 15%

P0 →12% – 15%

P∞ P0 – força de pré-esforço após perdas imediatas P∞ – força de pré-esforço útil ou a tempo infinito



8.2.1. Perdas por Atrito

dβ/2

P q* ds

dβ

P+dP

µ q* ds = µ P dβ

ds

(Fa = µN) q* ds = P dβ

Por equilíbrio de forças horizontais,

P – P – dP – µ P dβ = 0 ⇔ dP = – µ P dβ ⇔ dP P = – µ dβ ⇔

⇔ ⌡⌠

P0'

P0 1 P dP = ⌡⌠0

β - µ dβ ⇔ Log P0 - Log P0' = - µ × β ⇔ Log P0

P0' = – µβ ⇔

⇔ P0 P0' = e-µβ ⇔ P0 = P0’ × e-µβ

Para uma secção genérica à distância x da extremidade de tensionamento,

P0 (x) = P0’ e-µ(β+kx)

onde, µ representa o coeficiente de atrito (usualmente toma valores entre 0.18 e 0.20);

β representa a soma dos ângulos de desvio;

k representa o desvio angular parasita (valor máximo 0.01 m-1; geralmente 0.004 a 0.005m-1), que tem em consideração eventuais desvios no posicionamento dos cabos de pré-esforço.

Esta expressão também pode aparecer com a forma, P0 (x) = P0’ e-(µβ + k’x) (neste caso k’ = kµ)



8.2.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos)

∆P

P0'

P0(x)

x

P

ωL

∆L – comprimento de reentrada das cunhas (≅ 6mm) ω – comprimento até onde se faz sentir as perdas por reentrada das cunhas Admitindo que o diagrama de perdas por atrito é aproximadamente linear (cabo com curvatura aproximadamente constante),

∆L = ⌡⌠0ω ∆ε dx = ⌡

⌠0

ω ∆σ Ep dx = 1

Ep × Ap ⌡⌠0

ω ∆P dx ⇔ Adiagrama = ∆L × Ep × Ap

⇒ ∆P × ω 2 = ∆L × Ep × Ap (1)

Como ∆P 2 = p × ω ⇔ ∆P = 2 p ω (2)

onde p representa a perda de tensão por atrito, por metro (declive do diagrama) Substituindo (2) em (1) obtém-se, 2 p ω × ω

2 = ∆L × Ep × Ap ⇔ ω = ∆L × Ep × Ap p

8.2.2.1. Casos particulares

(i) Cabo sem perdas por atrito, (em pré-esforço exterior, p.ex.)

x

P

P0'

∆P

∆L × Ep × Ap

L

∆P × L = ∆L × Ep × Ap ⇔

⇔ ∆P = ∆L × Ep × Ap L

L – comprimento do cabo



(ii) Se ω > L (verifica-se em cabos muito curtos, sendo nesse caso a perda de pré-esforço mais condicionante)

P

P0'

∆P

L x

p × L∆L × Ep × Ap

∆P×L–p×L×L=∆L×Ep×Ap ⇔

⇔ ∆P = ∆L L × Ep× Ap + p×L

L – comprimento do cabo

8.2.3. Perdas por deformação instantânea do betão

A perda de força de pré-esforço média por deformação instantânea (ou elástica) do betão, em cada cabo, pode ser calculada através da seguinte expressão:

∆Pel = Ap ⋅ Ep ⋅ ∑

j ⋅ ∆σc(t)

Ecm(t)

onde, Ecm(t) representa o módulo de elasticidade do betão à data da aplicação do pré-esforço;

j = (n-1) / 2n , onde n representa o nº de cabos de pré-esforço idênticos, tensionados sucessivamente, existentes na mesma secção transversal;

∆σc(t) representa a tensão no betão, ao nível do centro de gravidade dos cabos de pré-esforço, para a totalidade do efeito do pré-esforço (após perdas por atrito e reentrada das cunhas) e de outras acções permanentes actuantes.

8.2.4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço

∆L = ⌡⌠0 Lε dz = ⌡

⌠0

L P Ap Ep dz = 1

Ap Ep ⌡⌠

0 L P dz

Papós atrito [kN]

P0'

L x [m]

Papós at. (L)∆L ≅ P0' + Papós atrito (L)

2 Ap Ep ×L

Este valor permite um controlo eficaz, em obra, da tensão instalada nos cabos.



ALÍNEA G)

P∞ = 2866.8 kN (valor resultante da verificação da descompressão)

P0 = P∞ 0.86 = 2866.8

0.86 = 3333.5 kN

P0’ = P0 0.9 = 3333.5

0.9 = 3703.9 kN

P0' = 0.75 Fpk ⇒ Ap = P0' 0.75 × 1800 × 103 × 104 = 27.4 cm2

nº de cordões = Ap Acordão

= 27.4 1.4 = 20 cordões ⇒ 2 cabos de 10 cordões de 0.6"

P0’ = 10 × 2 × 1.4 × 10-4 × 1800 × 103 × 0.75 = 3780 kN ALÍNEA H)

1. Cálculo das perdas por atrito

P0 (x) = P0’ e-µ (β + kx) (Adopta-se µ = 0.20 e k = 0.004)

4.008.00

e1 = 0.15

8.00

e2 = 0.38 e4 = -0.22

4.00 1.00

e6 = -0.10

21 3 4 5 6Parábola 1 Parábola 2 Parábola 3 Par. 4 Recta

e3 = -0.02 e5 = -0.21

Cálculo dos ângulos de desvio

(i) Parábola 1

y’ (8) = 2 × 3.59375 × 10-3 × 8 = 0.0575

(ii) Parábola 2

y’ (8) = 6.25 × 10-3 × 2 × 8 = 0.1



(iii) Parábola 3

y’ (4) = 2 × 0.0125 × 4 = 0.1

(iv) Parábola 4

y’ (1) = 2 × 0.01333 = 0.02666

Secção x [m]

β [rad]

Papós atrito [kN] % perdas

1 0 0 3780.0 0

2 8 0.0575 3712.9 1.8

3 16 0.1575 3616.2 4.3

4 20 0.2575 3533.3 6.5

5 21 0.2842 3511.6 7.1

6 25 0.2842 3500.4 7.4

2. Cálculo das perdas por reentrada das cunhas

(i) Determinação do comprimento de reentrada das cunhas (ω)

1ª Iteração

3000

3200

3400

3600

3800

4000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Força de pré-esforço ao longo do cabo, após perdas por atrito

x = 8.0m ⇒ p = 3780 - 3712.9 8 = 8.39 kN/m

ω = ∆L × Ep × Ap P = 0.006 × 195 × 106 × 20 × 1.4 × 10-4

8.39 = 19.8 m



2ª Iteração

3000

3200

3400

3600

3800

4000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

x = 20.0m ⇒ p = 3780 - 3533.3 20 = 12.34 kN/m (admitindo que a perda por atrito é

aproximadamente linear)

ω = 0.006 × 195 × 106 × 20 × 1.4 × 10-4

12.34 = 16.3 m

(ii) Determinação das perdas por reentrada das cunhas (ω)

∆P = 2pω = 2 × 2.34 × 16.3 = 402.3 kN

402.3

0 8 16.316

204.97.4

402.3 x = 16.3

8.3 ⇒ x = 204.9 kN

402.3 x = 16.3

0.3 ⇒ x = 7.4 kN

Secção x [m]

Papós atrito [kN]

∆Preentrada [kN]

Papós reentrada [kN] % perdas

1 0 3780.0 402.3 3377.7 10.6

2 8 3712.9 204.9 3508.0 7.2

3 16 3616.2 7.4 3608.8 4.5

4 20 3533.3 0 3533.3 6.5

5 21 3511.6 0 3511.6 7.1

6 25 3500.4 0 3500.4 7.4



3. Cálculo das perdas por deformação instantânea do betão

Admitindo que o pré-esforço é aplicado aos 28 dias,

Ecm(t = 28) = 32 GPa ; Ep = 195 GPa

∆Pel = Ap ⋅ Ep ⋅ ∑

j ⋅ ∆σc(t)

Ecm(t) = Ap ⋅ Ep ⋅ n - 1 2n ⋅ ∆σc(t)

Ecm(t)

Secção 2

8.00143.0

Mpp

15.25

Mpp = 656 kNm

Mpe = P × e = 3508 × 0.38 = 1333.0 kNm

+

P / A

(-)+

IMpp × v

(+)

(-)

(-)

(+)

Mpe × vI

∆σc = Mpp × v I - P

A - Mpe × v

I = 656 × 0.38 0.0524 - 3508

0.61 - 1333 × 0.38 0.0524 = - 10.7MPa

∆Pel = 20 × 1.4×10-4 × 195×106 × 2 - 1 2 × 2 × 10.7

32×103 =45.6 kN

P0 (secção 2) = 3508 – 45.6 = 3462.4 kN ⇒ % perdas ≅ 8.4%

3. Cálculo do alongamento teórico dos cabos

∆L = 1 Ap Ep ⌡⌠0

L P dx ≅ 1 28 × 10-4 × 195 × 106 × 3780 + 3500.4

2 × 25 = 0.167m



8.2.5. Perdas por retracção do betão

∆σ = Ep × εcs ⇔ ∆P Ap = Ep × εcs ⇒ ∆P = – Ep × Ap × εcs

εcs – extensão de retracção do betão (≅ 2.0 × 10-4)

8.2.6. Perdas por fluência do betão

εc = σc × ϕc Ecm

∆σ = Ep × εc ⇔ ∆P Ap = Ep × σc × ϕc

Ecm ⇒ ∆P = – Ap × Ep × σc × ϕc

Ecm

σc – tensão ao nível do cabo de pré-esforço, devido às cargas permanentes e ao efeito

do pré-esforço (considerando a força de pré-esforço após perdas imediatas).

8.2.7. Perdas por relaxação da armadura

Em armaduras de alta resistência, as perdas a longo prazo devidas à relaxação são da

ordem de:

Aços de relaxação normal ∆P < 15%

Aços de baixa relaxação ∆P < 6%

Aços de muito baixa relaxação ∆P = 2 a 4%

Segundo o EC2 e para efeitos da caracterização da relaxação, as armaduras de alta

resistência agrupam-se em três classes:

Classe 1: aço em fio ou cordão, com relaxação normal (ρ1000 = 8%)

Classe 2: aço em fio ou cordão, com baixa relaxação (ρ1000 = 2.5%)

Classe 3: aço em barra (ρ1000 = 4%)

O parâmetro ρ1000 representa a perda por relaxação às 1000 horas, de um provete

tensionado a 70% da rotura e mantido a uma temperatura constante de 20°C.



A perda de tensão por relaxação pode ser calculada através das seguintes

expressões, consoante a classe da armadura:

(i) Classe 1: ∆σpr = 0.8 × 5.39 ρ1000 e6.7µ

t

1000 0.75 (1-µ)

σpi × 10-5

(ii) Classe 2: ∆σpr = 0.8 × 0.66 ρ1000 e9.1µ

t

1000 0.75 (1-µ)

σpi × 10-5

(iii) Classe 3: ∆σpr = 0.8 × 1.98 ρ1000 e8µ

t

1000 0.75 (1-µ)

σpi × 10-5

onde,

σpi representa a tensão instalada nas armaduras de pré-esforço após perdas

imediatas;

t representa o tempo, em horas, para o qual se pretende calcular as perdas de

pré-esforço por relaxação (poderá considerar-se t∞ = 500000 horas ≈ 57 anos);

µ = σpi / fpk



RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.)

ALÍNEA I)

1. Perdas por retracção do betão Considerando εcs = - 2.0 × 10-4,

∆P = Ep × Ap × εcs = 195 × 106 × 28 × 10-4 × 2.0 × 10-4 = 109.2 kN 2. Perdas por fluência do betão

Secção 2

Considerando ϕc = 2.5

∆P = Ap × Ep × σc × ϕc Ecm

= 28 × 10-4 × 195 × 106 × 5.86 × 103 × 2.5 32 × 106 = 250 kN

Cálculo de σc

8.00281.3

15.25+14.75=30

Mcp

Mcp = 1290 kNm

Mpe = 3462.4 × 0.38 = 1315.7 kNm

σc = Mcp × v I - P

A - Mpe × v I = 1290× 0.38

0.0524 - 3462.4 0.61 - 1315.7 × 0.38

0.0524 = - 5.86MPa

3. Perdas por relaxação das armaduras

Secção 2

Para aço em fio ou cordão com baixa relaxação, ρ1000 = 2.5%.

∆σpr = 0.8 × 0.66 ρ1000 e9.1µ

t

1000 0.75 (1-µ)

σpi × 10-5 =

= 0.8 × 0.66 × 2.5 × e9.1 × 0.69 ×

500000

1000 0.75 (1-0.69)

× 1236.6 × 10-5 = 36.9 MPa



σpi = 3462.4 28 × 10-4 = 1236.6MPa

µ = σpi fpk = 1236.6

1800 = 0.69

⇒ ∆Ppr = 36.9 × 103 × 28 × 10-4 = 103.3 kN ∆Pp,r+s+c = 250 + 109.2 + 103.3 = 462.5 kN ⇒ P∞

secção 2 = 3462.4 – 462.5 = 2999.9 kN % perdas diferidas → 13.4%



9. Verificação da Segurança aos Estados Limite Últimos

9.1. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE FLEXÃO Pelo método do diagrama rectangular simplificado,

Msd = γg Mg + γq Mq

x

Msd

LN

ApAs

Fp

Fs

0.8x

0.85fcdFc

b

Fc = 0.85 fcd × 0.8 x × b

Fp = Ap × fpyd = Ap × fp0,1k 1.15

Fs = As × fyd

Através das equações de equilíbrio, (i) Equilíbrio de momentos (Σ MAs = Msd ⇒ x = ...)

(ii) Equilíbrio de forças (Σ F = 0 ⇔ Fc = Fp + Fs ⇒ As = ...)

Determinada a posição da linha neutra (x), é necessário definir o diagrama de

extensões na rotura e verificar se as tensões nas armaduras ordinárias e de

pré-esforço são as de cálculo.

Se algum cabo não atingir a tensão de cálculo fpyd, será necessário adoptar um

método iterativo (método geral)

AsAp

LN

b

x

σp (εp0 + ∆εp)

M

εc

εs

εp0∆εp

σc (εc)

σs (εs)

N

Por exemplo, determina-se x tal que N ≅ 0. Então M = MRd.

Nota: No caso do cabo ser não aderente (monocordão, p.ex.) fpyd = σp = P∞ Ap



9.2. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ESFORÇO TRANSVERSO

(i) Cálculo da armadura transversal: Asw s = Vsd - P sen α

z ⋅ cotg θ ⋅ fyd

(ii) Verificação da tensão de compressão: σc = Vsd - P sen α z ⋅ bw ⋅ sen θ ⋅ cos θ ≤ 0.6 fcd

(iii) Consideração do efeito do esforço transverso nas armaduras longitudinais (no

apoio As fyd ≥ V cotg θ1)

Notas:

• Para elementos comprimidos (caso de elementos pré-esforçados) θ ≅ 20° a 26°;

• Caso o somatório do diâmetro das bainhas de pré-esforço existentes num

determinado nível seja superior a 1/8 da largura da secção a esse nível, deve

considerar-se a largura a esse nível reduzida de metade da soma dos diâmetros

das bainhas.



RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.) ALÍNEA J)

psd = 1.35 × (15.25 + 14.75) + 1.5 × 20 = 70.5 kN/m

Qsd = 100 × 1.5 = 150 kN

20.00

R1

5.00

R2

150

70.5CA

Σ MC = 0 ⇔ - R1 × 20 + 70.5 × 25 × 7.5 – 150 × 5 = 0 ⇔ R1 = 623.4 kN

⇒ MB = 2731.5 kNm

Secção B

1. Cálculo da armadura de flexão pelo método do diagrama rectangular

Hipótese: LN no banzo da secção

Fs

Fp

Fc0.85fcd

0.8x

Msd

1.50

LN

Fp = Ap × fp0,1k 1.15 = 28 × 10-4 × 1600

1.15 × 103 = 3895.7 kN

Fs = As × fyd = As × 348 × 103

Fc = 1.5 × 0.8x × 0.85 × 20 × 103 = 20400x

(i) Equilíbrio de momentos (Σ MAs = Msd)

Fc × (0.86 – 0.4x) – Fsp × 0.11 = Msd ⇔ 20400x × (0.85 – 0.4x) = 2731.5 + 3895.7 ×

0.10 ⇒ x = 0.199m

Fc = 20400 × 0.199 = 4059.6 kN



(ii) Equilíbrio de forças (Σ F = 0)

Fc – Fsp – Fs = 0 ⇔ 4059.6 – 3895.7 – As × 348 × 103 = 0 ⇔ As = 4.71 cm2

(iii) Verificação da hipótese de cedência das armaduras

LN

∆εp εp0

εs

εc

0.199

Hipótese: εc = 3.5‰

Determinação da extensão ao nível das armaduras ordinárias

εs 0.85 - 0.199 = 3.5‰

0.199 ⇒ εs = 11.4‰

Como εs, máx = 10‰ ⇒ εs = 10‰ e εc < 3.5‰

10‰ 0.85 - 0.199 = εc

0.199 ⇒ εc = 3.06‰

Determinação da extensão ao nível das armaduras de pré-esforço

∆εp 0.75 - 0.199 = 3.06‰

0.199 ⇒ ∆εp = 8.5‰

εp0 = P∞ Ap Ep = 2999.9

28×10-4 × 195×106 = 5.5‰

εp = εp0 + ∆εp = 14.0‰ > εpyd = fpyd Ep = 1600 / 1.15

195×103 = 7.1‰

2. Cálculo da armadura pelas tabelas de flexão simples (método aproximado)

Hipótese: deq ≅ dp = 0.75

µ = Msd b d2 fcd = 2731.5

1.5 × 0.752 × 20 × 103 = 0.162 ⇒ ω = 0.181 ; As,tot = 117.3 cm2

As = As,tot – Asp, eq = 117.3 – 28 × 1600 400 = 5.3 cm2

deq ≅ 0.75 × 20 × 1.4 × 1600 + 5.3 × 0.85 × 400 20 × 1.4 × 1600 + 5.3 × 400 = 0.755m



ALÍNEA L)

20.00

DEV[kN]

623.4

(+)

623.4

(-)

786.6

5.00

502.5

(+)

1289.1

150

150

70.5

DEVp [kN]

164.8

286.4

76.5 76.5(-)

(+)(-)

786.6

502.5DEVtotal [kN]

(+)

458.6

(-)

73.5(+)355.5

Notas:

- O diagrama de esforço transverso devido ao pré-esforço foi obtido

considerando P∞ = 2866.8 kN;

- Para a verificação da segurança ao esforço transverso utiliza-se DEVtotal

Apoio A

θ = 25° ⇒ z cotg θ = 0.9 × 0.85 × cotg 25° = 1.64m

Vsd (z cotg θ) = 458.6 – 49.9 × 1.64 = 376.8 kN

Considerando um cabo cuja bainha tem 100 mm de diâmetro,

φbainha ≥ balma 8 = 0.30

8 = 0.038 m ⇒ bw =0.30 – 0.1 / 2 = 0.25 m

1. Cálculo da armadura transversal

Asw s = Vsd

z ⋅ cotg θ ⋅ fyd = 376.8

1.64 × 348 × 103 × 104 = 6.6 cm2/m



2. Verificação da tensão de compressão nas bielas inclinadas

σc = Vsd z ⋅ bw ⋅ sen θ ⋅ cos θ = 376.8

0.9×0.85×0.25×sen 25°×cos 25° = 5143.8 kN/m2 ≅ 5.1 MPa

< 0.6 fcd

0.6 fcd = 0.6 × 20 × 103 = 12000 kN/m2 = 12MPa



10. Verificação da segurança nas zonas das ancoragens

Nas zonas de vizinhança da actuação de cargas concentradas não são válidas as

hipóteses da resistência de materiais para peças lineares: a força concentrada é

transmitida ao betão sob a forma de tensões elevadas distribuídas na superfície da

placa de distribuição da carga, existindo uma zona de regularização entre a secção de

aplicação da carga e aquela em que as tensões se distribuem linearmente. Nesta

zona, devido à trajectória das tensões principais de compressão, surgem forças de

tracção nas direcções transversais.

Deste modo, a verificação da segurança nas zonas das ancoragens consiste em

limitar as tensões de compressão localizadas no betão e dimensionar armaduras para

absorção das forças de tracção que surgem devido à acção da carga concentrada.

10.1. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESMAGAMENTO DO BETÃO

Imediatamente sob a zona de aplicação da carga concentrada surgem tensões de

compressão na direcção transversal. Este facto permite aumentar o valor das tensões

admissíveis a considerar na verificação da pressão local no betão, desde que o

mesmo esteja correctamente confinado.

De acordo com o EC2 (parágrafo 6.7), o valor resistente da força concentrada,

aplicada com uma distribuição uniforme numa determinada área Ac0, pode ser

determinado através da expressão:

FRdu = Ac0 ⋅ fcd Ac1 Ac0 ≤ 3.3 fcd ⋅ Ac0

onde,

Ac0 representa a área sobre a qual se exerce directamente a força (área da placa

de ancoragem);

Ac1 representa a maior área homotética a Ac0, contida no contorno da peça, com

o mesmo centro de gravidade de Ac0 e cuja dimensão dos lados não pode

exceder em três vezes a dimensão dos lados correspondentes de Ac0. No caso

da existência de várias forças concentradas, as áreas correspondentes às várias

forças não se devem sobrepor.



Dado que, em geral, a aplicação do pré-esforço é efectuada antes do betão atingir a

idade de 28 dias, o valor de fcd deve ser substituído por fck,j / γc, representando fck,j o

valor característico da tensão de rotura à compressão aos j dias.

10.2. DETERMINAÇÃO DAS ARMADURAS DE REFORÇO NA ZONA DAS ANCORAGENS

De acordo com o parágrafo 8.10.3 do EC2, a avaliação das forças de tracção que

surgem devido à aplicação de forças concentradas deve ser efectuada recorrendo a

modelos de escoras e tirantes.

A armadura necessária deverá ser dimensionada considerando uma tensão máxima

de 300 MPa. Esta medida destina-se a garantir o controle da fendilhação, e tem em

conta a dificuldade de garantir uma boa amarração.

10.2.1. Modelos de escoras e tirantes

Os modelos de escoras e tirantes (“strut-and-tie models”) identificam os campos de

tensões principais que equilibram as acções exteriores, correspondendo as escoras

aos campos de tensões de compressão e os tirantes aos de tracção.

Estes modelos aplicam-se na análise e dimensionamento de zonas de

descontinuidade, como é o caso das zonas de ancoragem de cabos pós-tensionados

(zonas de aplicação de cargas localizadas).

Para a sua elaboração torna-se necessário conhecer o comportamento elástico da

zona estrutural em análise, por forma a escolher o sistema que corresponde à menor

energia de deformação, ou seja, o sistema onde existem mais escoras que tirantes,

sendo assim necessária menor quantidade de armadura. Há também que entrar em

linha de conta com o facto de que, por as armaduras resistirem aos esforços de

tracção e, consequentemente a sua orientação corresponder à dos tirantes, esta

deverá ser a mais conveniente do ponto de vista construtivo.



10.2.2. Tensões de tracção a absorver 10.2.2.1. Caso de uma só ancoragem Através do modelo de escoras e tirantes que se apresenta em seguida, é possível

obter o valor da força de tracção.

P/2

P/2

P/2

P/2

De acordo com o REBAP (artigo 140º), a força de tracção para a qual as armaduras

devem ser dimensionadas, é dada pela expressão:

Ft1Sd = 0.3 FSd

1 - a0

a1 (com FSd = 1.35 P0’)

onde,

a1 = 2b, sendo b a dimensão, segundo a direcção considerada, da menor

distância entre o eixo da ancoragem e a face exterior do betão;

a0 representa a dimensão segundo a direcção considerada, da placa da

ancoragem.

10.2.2.1.1. Disposição das armaduras

As armaduras devem, em cada direcção, ficar contidas num prisma de aresta a1 e ser

repartidas em profundidade entre as cotas 0.1a1 e a1, tendo em consideração que a

resultante se situa à cota 0.4a1 e devem ser convenientemente amarradas de forma a

garantir o seu funcionamento eficiente ao longo do comprimento a1.

F

0.1a1

a1

a0

a1

b



A cada nível, as armaduras devem distribuir-se numa largura igual à dimensão

correspondente da maior área delimitada por um contorno fictício contido no contorno

da peça, com o mesmo centro de gravidade da placa da ancoragem, na direcção

normal à direcção considerada.

No caso da ancoragem se encontrar fora do núcleo central da secção (ancoragem

excêntrica), além das armaduras já indicadas, deve dispor-se uma armadura junto à

superfície do elemento, destinada a absorver na direcção em causa uma força de

tracção, como em baixo se ilustra

P

Ft = Fc2

e

Fc2

Fc1 = P

O valor da força de tracção pode ser obtido através da expressão:

Ft0Sd = FSd

e

a - 1 6 (com FSd = 1.35 P0’)

10.2.2.2. Caso de várias ancoragens

10.2.2.2.1. Ancoragens muito próximas

Um grupo de ancoragens muito próximas pode ser tratado considerando uma só

ancoragem equivalente, sendo válidos os princípios indicados no ponto anterior. Deve

no entanto verificar-se a segurança para a actuação de cada força, isoladamente. As

áreas de influência a considerar são as seguintes:

F

F

F

área de influência para uma ancoragem individual

área de influência do grupo de ancoragens



10.2.2.2.2. Ancoragens muito afastadas

No caso de duas forças concentradas afastadas entre si de uma distância superior à

distância entre os centros de gravidade das zonas correspondentes do diagrama de

tensões normais, surgem forças de tracção junto à face de aplicação das cargas,

como se indica:

P

P

PP

Deste modo, além das armaduras necessárias para cada ancoragem individual, deve

dispor-se uma armadura junto à face do elemento, na direcção em causa, destinada a

absorver uma força de tracção igual a 0.2P.

É de notar que desde que existam vários cabos, estes não são pré-esforçados

simultaneamente, variando os esforços locais ao longo das operações de pré-esforço.

O plano de tensionamento deve ser escolhido por forma a evitar esforços

momentâneos exagerados, devendo a armadura ser dimensionada tendo em conta

que podem existir estados provisórios mais desfavoráveis do que o que surge no

sistema final.

10.2.2.3. Aspectos particulares em estruturas pré-esforçadas

10.2.2.3.1. Ancoragens interiores

No caso de uma ancoragem interior, além das tensões transversais atrás

mencionadas, surgem tracções longitudinais atrás da ancoragem como resultado da

deformação local do betão. A resultante das tensões de tracção depende da relação

entre a dimensão da zona carregada e a largura da difusão dos efeitos localizados.



Considerando uma análise elástica que assuma igual rigidez do betão atrás e à frente

da ancoragem, a força de tracção deveria ser, pelo menos, igual a P/2. Contudo, a

experiência mostra que a força de tracção longitudinal pode ser considerada igual a

P/4 pois, devido à fendilhação, a rigidez do betão atrás da ancoragem diminui,

diminuindo também a tensão instalada.

Devem pois dispor-se armaduras longitudinais centradas na placa da ancoragem com

um comprimento aproximadamente igual ao dobro da altura da secção.

CORTE LONGITUDINAL CORTE TRANSVERSAL

10.2.2.3.2. Forças de desvio

Sempre que um cabo de pré-esforço muda de direcção, são introduzidas forças radiais

no betão quando o cabo é tensionado. Estas forças radiais actuam no plano de

curvatura e têm uma intensidade igual ao quociente entre a força de pré-esforço e o

raio de curvatura.

Embora estas forças sejam na generalidade das situações muito úteis, podem no

entanto causar diversos problemas, nomeadamente a rotura local do betão.

Nos casos em que os cabos estejam junto à face das peças e a sua curvatura

provoque forças de desvio dirigidas para o exterior é necessário dimensionar

armadura transversal para a absorção destas forças, devendo ser disposta em toda a

zona em que actuem, como se indica na planta abaixo.



10.2.2.4. Disposições Construtivas

Nas zonas de aplicação de cargas localizadas deve adoptar-se uma disposição de

armaduras em várias camadas, constituídas por varões de pequeno diâmetro. Estas

armaduras devem ser bem amarradas fora da zona dos prismas em que se faz a

dispersão dos efeitos localizados.

A solução geralmente adoptada consiste em utilizar estribos fechados de dois ou mais

ramos, como se exemplifica a seguir.

PORMENOR TRANSVERSAL

PORMENOR LONGITUDINAL



No caso em que a carga actue fora do núcleo central, as armaduras dimensionadas

para este efeito devem ser dispostas junto à face do betão ao longo de toda a sua

dimensão e convenientemente amarradas, com a disposição indicada.

PORMENOR LONGITUDINAL PORMENOR TRANSVERSAL

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BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO II 1_1.pdfem estruturas isostáticas não introduz esforços adicionais. Considere-se a seguinte viga pré-esforçada: pp Apresenta-se em seguida os