GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 1 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

7. DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH PRESJEKA U STANJU

GRANINE OTPORNOSTI (ULS) NAPREGNUTIH MOMENTOM SAVIJANJA I UZDUNOM SILOM

7.1 RAUNSKE PREDPOSTAVKE ZA PRORAUN GRANINE OTPORNOSTI

PRESJEKA Osnovne pretpostavke na kojima se zasniva odreivanje kapaciteta nosivosti izraenog preko presjenih sila u stanju granine otpornosti su: Presjeci i nakon zaokretanja ostaju ravni (Bernoulli-eva hipoteza ravnih

presjeka), tj. deformacije su linearno rasporeene po visini presjeka (vrijedi ako je odnos raspona i visine presjeka l/h>2).

Beton ne sudjeluje u preuzimanju sila zatezanja, tj. zanemaruje se vrstoa

betona na zatezanje (fct =0). Dakle, predpostavka "istog" stadija II. Podrazumjeva se da je ostvaren potpun spoj izmeu betona i armaturnog elika,

tj. vlakna betona i elika koja se nalaze na jednakoj udaljenosti od neutralne linije imaju jednaku deformaciju, tako da vrijedi c = s, pri emu se pod c podrazumjeva deformacija betonskog vlakna ukljuujui i otvore naprslina a s deformacija armaturnog elika.

Pojednostavljene (idealizirane) raunske dijagrame - betona i armaturnog

elika sa kojima se priblino uzima u obzir i elastoplastino ponaanje materijala. 7.1.1 Raunski dijagram c-c betona

Sl. 7.1 Raunski dijagram c c betona prema EN 1992-1:2004 i PBAB:1987

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 2 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

Tok raunskog dijagrama c-c betona u pravilu je parabola-pravac. Taj dijagram predstavlja idealiziranu raspodjelu napona betona u pritisnutoj zoni presjeka u stanju granine otpornosti. Na osnovu koncepta dimenzioniranja sa parcijalnim koeficijentima sigurnosti (EN 1992), maksimalna ordinata (napon betona) je fcd (sl.7.1), gdje je fcd =

fck/c pri emu je =0,85 koeficijent kojim se obuhvata vrtoa betona za dugotrajno djelovanje optereenja. Ovisnost c-c na sl.7.1 moe se definisati slijedeom funkcijom:

c c c cd c

c cd c

1000 (1 250 ) f za 0 0,002

f za 0,002 0,0035

(7.1)

gdje je, c :napon betona, c :deformacija betona,

fck :karakteristina vrijednost vrstoe betona na pritisak odreena na cilindrinim tjelima, fcd :raunska vrijednost vrstoe betona na pritisak, fcd=fck/c, c :parcijalni koeficijent sigurnosti za materijal beton (vidi tabelu 6.6); c = 1,50 za stalnu i prolaznu proraunsku situaciju, c = 1,30 za iznimnu (incidentnu) proraunsku situaciju,

c = 1,35 za prefabricirane elemente (fabrika proizvodnja i stalna kontrola). Tabela 7.1 Raunska vrstoa betona na pritisak fcd=0,85fck/c (EN 1992:2004)

Klasa betona (fck/fck,cube) C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

fcd = fck/c [N/mm

2]

c = 1,5 6,80 9,07 11,33 14,17 17,00 19,83 22,67 25,50 28,33 c = 1,3 7,85 10,46 13,08 16,35 19,61 22,88 26,15 29,42 32,69

Pored dijagrama parabola-pravac, EC 2 doputa i primjenu bilinearnog dijagrama c-c betona kao i dijagrama pravokutnog oblika tzv. naponskog bloka. Prema PBAB-87 (globalni koncept sigurnosti) jednadba (7.1) je identina samo umjesto fcd treba uvrstiti raunsku vrstou fB, tj.:

c c c B c

c B c

1000 (1 250 ) f za 0 0,002

f za 0,002 0,0035

(7.2)

Tabela 7.2 Raunska vrstoa betona na pritisak fB (PBAB-87)

Marka betona1

(fck) 15 20 30 40 50 60

Raunska vrstoa betona fB [N/mm2] 10,5 14 20,5 25,5 30 33

7.1.2 Raunski dijagram s-s armaturnog elika Prema EN 1992:2004, odnosno DIN 1045-1, raunski idealizirani dijagram s-s armaturnog elika moe se uzeti kao bilinearni, koji se sastoji iz tzv. Hooke-ovog pravca

1 Prema PBAB-87 marka betona odreuje se na bazi karakteristine vrstoe dobivene na kocki stranice 20 cm kao

10% fraktilna vrijednost.

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 3 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

(Es=200 000 N/mm2) i pravca u podruju plastinog ponaanja elika (iznad napona na

granici teenja fyk). U pogledu dijela raunskog dijagrama s-s u plastinom podruju doputaju se dvije mogunosti (sl.7.2):

Sl. 7.2 Idealizirani i proraunski dijagram s-s armaturnog elika

a) Predpostavka horizontalne idealno plastine grane, koja se moe koristiti kao pojednostavljena predpostavka za dimenzioniranje. b) Predpostavka da linija s-s u plastinom podruju ima uzlazni karakter (od raunske granice teenja fyd=fyk/s pa do raunske granice kidanja ftd=ftk/s), koja se koristi kao idealizirani raunski dijagram mjerodavan za dimenzioniranje. Prema EN 1992 deformacija elika s nije ograniena. Meutim, na osnovu smjernica Njemakog odbora za beton, odnosno prema DIN 1045-1 maksimalno istezanje elika u oba sluaja ogranieno je na 25 (max s = 0,025) a smije se raunati sa zateznom vrstoom elika ftk,cal=525 N/mm

2, odnosno ftk,cal/s. Ovdje je, s :napon u eliku, s :deformacija elika,

fyk :karakteristina vrijednost napona elika na granici teenja (mjerodavan je napon pri trajnoj deformaciji od 0,2 %),

fyd :raunska vrijednost napona elika na granici teenja, fyd=fyk/s, ftk :karakteristina vrijednost napona elika na granici kidanja, ftd :raunska vrijednost napona elika na granici kidanja, fyd=ftk/s, s :parcijalni koeficijent sigurnosti za materijal elik (vidi tab.6.6); s = 1,15 za osnovnu proraunsku situaciju, s = 1,0 za iznimnu (incidentnu) proraunsku situaciju.

Prema PBAB-87 raunski idelaizirajui dijagram s-s armaturnog elika se sastoji iz tzv. Hukovog pravca (Ea=210 000 N/mm

2) koji ide iz koordinatnog poetka i prolazi kroz taku sa ordinatom jednakom granici velikih izduenja fyk i prave paralelne apscisnoj osi do max s=10 (sl.7.3). Na toj slici oznaene su sve vrste armaturnog elika koji su se kod nas primjenjivali, meutim danas i kod nas se skoro iskljuivo primjenjuje rebrasti elik fyk/ftk = 500/550 N/mm

2 koji u PBAB-87 nije ni normiran.

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 4 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

Sl.7.3 Idealizirani dijagram s-s armaturnog elika prema PBAB-87

Istezanje armaturnog elika do granice kidanja (npr. kod glatkog elika ide i do 18%) u armiranobetonskim konstrukcijama se u pravilu ne moe ostvariti, jer bi, za tako velika specifina izduenja armaturnog elika, dolo do pojave znatnih oteenja u vidu irokih naprslina i prevelikih ugiba. Radi toga, kod dimenzioniranja armirano-betonskih presjeka metodom granine otpornosti (ULS), dostizanje deformacije u zategnutoj armaturi od s=su=25 , odnosno 10 se smatra graninom (ultimnom) deformacijom pri kojoj je iscrpljenost presjeka dostignuta. 7.1.3 Mogui dijagrami deformacija u stanju granine otpornosti

Sl.7.4 Mogui dijagrami deformacija presjeka u stanju granine otpornosti (deformacije elika u zagradi odnose se na PBAB-87)

Mogui dijagrami deformacija (sl.7.4) presjeka u stanju granine otpornosti, za sve sluajeve naprezanja sa momentom savijanja i udunom silom (pritiska ili zatezanja), direktno proizilaze iz Bernoulli-eve hipoteze ravnih presjeka sa graninim vrijednostima deformacija iz dijagrama - elika i betona. Zbog predpostavke potpunog spoja izmeu elika i betona, iz dijagrama moguih deformacija jednostavno se uspostavlja veza deformacija elika za bilo koji poloaj u presjeku.

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 5 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

Za proraun presjenih sila koje presjek moe preuzeti u stanju granine nosivosti, uzima se da dijagram deformacija prolazi kroz jednu od tri karakteristine take A, B ili C (sl.7.4). Pri tome uvijek mora jedna od rubnih deformacija imati graninu vrijednost, tj. s = maxs1 = 25 (10) ili c = c2u = -3,50 . Razlikuje se pet karakteristinih podruja moguih dijagrama deformacija.

U podruju svi mogui dijagrami deformacija prolaze kroz taku A (s = s1u), kao taku rotacije u tom podruju. Ovo podruje obuhvata sluaj centrinog zatezanja kao i ekscentrino zatezanje malog ekscentriciteta. itav presjek je zategnut (stadij II) pa otpor vanjskim silama prua samo armatura. Nosivost presjeka je iscrpljena otkazivanjem armature.

U podruju se na jednom rubu presjeka obrazuje pritisnuta zona betona. Mogui dijagrami deformacija takoe prolaze kroz taku A (s = s1u). vrstoa betona na pritisak je potpuno iskoritena pri dostizanju rubnih deformacija u betonu c2 = - 3,5 . Naime, c-c dijagram betona sastoji se od parabolinog dijela do c = - 2 kada i naponi betona dostiu raunsku vrstou betona na pritisak tj. c = fB (PBAB-87), odnosno c = fcd (EN 19922). Od ove deformacije pa do apsolutno najvee granine deformacije betona cu = - 3,5 , naponi betona se ne poveavaju, pa se na taj nain uzimaju u obzir elastoplastine osobine betona. Dijagrami deformacija u ovom podruju obuhvataju sluajeve naprezanja savijanjem sa ili bez normalne sile, pri emu preovladavaju uticaji momenta savijanja. Do loma presjeka dolazi usljed otkazivanja zategnute armature.

U podruju je uvijek iskoritena nosivost pritisnute zone betona, a naponi u zategnutoj armaturi nisu manji od napona teenja fyk (PBAB-87), odnosno fyd (EN 1992). Mogui dijagrami deformacija prolaze kroz taku B (c = c2u = - 3,5 ). Deformacija u zategnutoj armaturi se kree u granicama od s = s1u = 25 (po PBAB je 10 ) do s = yd = fyd / Es (po PBAB je s = yk = fyk / Es). Karakteristino za ovo podruje je da su iskoritene vrstoe oba materijala. Ovdje su obuhvaeni sluajevi naprezanja momentom savijanja ili normalnom silom pritiska srednjeg i velikog ekscentriciteta.

U podruju mogui dijagrami deformacija rotiraju oko take B (c = c2u = - 3,5 ) tako da se u zategnutom dijelu presjeka sve vie zalazi u podruje u kome vrstoa elika ne moe biti iskoritena. Granini sluaj je kada neutralna linija pada na rub presjeka i kada se u presjeku vie ne javljaju naponi zatezanja. Uzrok loma je otkazivanje betona prije nego to su naponi u zategnutoj armaturi dostigli granicu teenja. Obuhvaeni su sluajevi naprezanja momentom savijanja ili normalnom silom pritiska srednjeg ekscentriciteta. Prema konceptu sigurnosti PBAB-87, koeficijenti sigurnosti se linearno poveavaju od s = 3 do s = 0 .

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 6 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

U podruju se obuhvataju sluajevi naprezanja ekscentrinog silom pritiska malog ekscentriciteta i centrinom silom pritiska, kada se u cjelom presjeku javljaju samo naponi pritiska. Dijagram moguih deformacija prolazi kroz taku C, tako da se rubne deformacije na jae pritisnutom rubu kreu od c2 = - 3,5 do c2 = - 2,0 , a na slabije napregnutom rubu od c1 = 0 do c1 = -2,0 . Za kratkotrajno optereenje granine vrijednosti deformacija betona za centrini pritisak su c2 = c1 = - 2,0 , a za ekscentrini pritisak, kada je neutralna linija na rubu presjeka, su c2 = - 3,5 , a c1 = 0 . Sa smanjenjem ekscentriciteta poveavaju se apsolutne vrijednosti rubne deformacije c1, ali se smanjuju vrijednosti rubnih deformacija c2. Ovo je potvreno rezultatima istraivanja, tako da se moe napisati sljedea zavisnost: c2 c10,0035 0,75 (7.3)

Potrebno je napomenuti da taka A na sl.7.4 proizilazi na osnovu smjernica Njemakog odbora za beton (DAfStb), odnosno po DIN 1045-1 gdje se ograniavaju deformacije elika na 25 (vidi sl.7.2 predpostavke a i b). Openito u EN 1992 deformacija elika nije ograniena, tako da bi se ta taka nalazila praktino u beskonanosti. U tom sluaju i kod opadajue vrijednosti momenta savijanja, deformacija elika bi istovremeno rasla a deformacija pritisnutog betonskog vlakna ostala bi nepromjenjena tj. c2 =-3,5 . Meutim, kada se ograniava deformacija elika, tada za opadajuu vrijednost momenat savijanja, deformacija elika s1 ostaje nepromjenjena a deformacija betona

c2 istovremeno opada (podruje ). Inae u praktine svrhe ove razlike i nemaju bitnog uticaja na rezultate dimenzioniranja.

Sl.7.5 Raspodjela deformacija i poloaj neutralne linije za razliite sluajeve naprezanja sa M i N

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 7 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

Na sl.7.5 pokazani su sluajevi raspodjele deformacija presjeka za razliite kombinacije naprezanja momentom savijanja i uzdunom silom kao i kombinacije sa dva momenta sa ili bez uzdune sile (koso savijanje sa ili bez uzdune sile). Dakle, da bi presjek bio u stanju granine otpornosti potrebno je i dovoljno da bar jedna deformacija (elika ili betona) dostigne krajnju (ultimnu) vrijednost, koja proizilazi iz predpostavki raspodjele napona betona u presjeka c-c u stanju loma ili iz ovisnosti s-s armaturnog elika. 7.2 DIMENZIONIRANJE PRESJEKA SA PRAVOKUTNOM PRITISNUTOM ZONOM 7.2.1 Sile koje napreu presjek (dejstva) Sile koje napreu presjek (savijanje sa uzdunom silom) svode se na momenat savijanja MEd i podunu silu NEd, koja djeluje u odreenoj osi presjeka. Najee ove presjene sile odreuju se za osu koja prolazi kroz teite betonskog presjeka. Zbog primjene odgovarajuih tabela ili dijagrama za dimenzioniranje, prije svega za armiranobetonske presjeke, momenat savijanja i podunu silu svodi se na osu koja prolazi kroz teite zategnute (obine) armature. Premjetanjem podune sile NEd (koja ostaje nepromjenjena) u teite zategnute armature, mjenja se momenat savijanja (sl.7.6), tako da je: Eds Ed Ed s1M M N z (7.4)

Sl.7.6 Svoenje sila koje napreu presjek na liniju kroz teite zategnute armature

7.2.2 Unutarnje presjene sile (otpornost presjeka) 7.2.2.1 Raunska veliina i poloaj rezultante napona pritiska betona Fcd Neutralna linija prolazi unutar poprenog presjeka:

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 8 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

Zakon raspodjele napona pritiska betona prema jednadbi (7.2):

c c c cd c

c cd c

1000 (1 250 ) f za 0 0,002

f za 0,002 0,0035

(7.5)

Sl.7.7 Poloaj rezultante napona pritiska betona za sluaj kada neutralna linija prolazi kroz presjek

Prema oznakama na sl.7.7, visina pritisnute zone betona je:

c2

c2 s1

x d d

(7.6)

gdje je relativna visina pritisnute zone:

c2

c2 s1

x

d

(7.7)

U optem sluaju rezultanta napona pritiska betona je,

z x

cd c

z 0

F (z) b(z) dz

(7.8)

dok je njen poloaj u odnosu na pritisnutu rub presjeka,

z x

c

cd z 0

1a x (z) b(z) z dz

F

(7.9)

Radi jednostavnosti prorauna uveden je tzv. koeficijent punoe R cm cd/ f koji

predstavlja odnos srednjeg napona betona i raunske vrstoe betona na pritisak, kao i koeficijent poloaja rezultante napona pritiska betona

ak a / x to je i relativni poloaj

rezultante napona pritiska u odnosu na veliinu neutralne linije.

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 9 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

Za pravokutnu pritisnutu zonu je b(z) b const. pa su koeficijenti R i ka,

z x

R c

cd z 0

z x

cz x

z 0a c z x

cd z 0c

z 0

1(z) dz

x f

(z) z dza b 1

k 1 (z) z dz 1x x F x

(z) dz

(7.10)

Obzirom da je jednadbom (7.5) data relacija c (c) tada umjesto promjenljive z moe se uvesti promjenljiva c koje su prema sl.7.7 meusobno vezane relacijom:

c2 c cc2 c2

x xz dz d

x z

(7.11)

Zamjenom u jednabama (7.10) dobija se,

c c 2

c

c c 2

c

c c 2

c

R c c c

cd c2 0

c c c c

0

a

c2

c c c

0

1( ) d

f

( ) d1

k 1

( ) d

(7.12)

Uvrtavanjem relacije c (c) date jednadbom (7.5) i rjeavanjem integrala dobija se za R,

3 6

R c2 c2 c2 c2

3

c2R c2 c23

c2

1( ) 0,5 10 10 za 0 0,002

12

3 10 2( ) za 0,002 0,0035

3 10

(7.13)

i za ka,

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 10 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

3

c2a c2 c23

c2

6 2 3

c2 c2a c2 c26 2 3

c2 c2

8 10k ( ) za 0 0,002

4 (6 10 )

3 10 4 10 2k ( ) za 0,002 0,0035

6 10 4 10

(7.14)

Rezultanta napona pritiska betona za pravokutnu pritisnutui zonu je: cd R cd R cd cd cdF x b f d b f d b f (7.15)

Iz predhodne jednadbe, bezdimenzionalna veliina cd, koja se naziva relativna sila pritiska betona, je,

cdcd Rcd

F

b d f

(7.16)

Sl.7.8 Sile koje napreu presjek i sile otpora presjeka

Na osnovu gornjih jednadbi, a prema sl.7.7 i sl.7.8, moe se odrediti i krak unutarnjih sila z, koji predstavlja rastojanje izmeu rezultante napona pritiska betona Fcd i rezultante napona u zategnutoj armaturi Fs1d, tj:

aa

z d d a 1 d (1 k ) dd

(7.17)

Koeficijent predstavlja relativnu veliinu kraka unutarnjih sila i odreen je jednadbom:

a

z1 k

d (7.18)

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 11 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

Neutralna linija je izvan presjeka (u cijelom presjeku vladaju naponi pritiska):

Za podruje dijagrama moguih deformacija (sl.7.4, sl.7.9 i jednadba (7.3)) veza izmeu rubnih deformacija betona je: c2 c10,0035 0,75 (7.19)

Poloaj neutralne linije, koja se nalazi izvan presjeka, u odnosu na jae pritisnuti rub je:

c2

c2 c1

x h

(7.20)

Sl.7.9 Poloaj rezultante napona pritiska betona za sluaj kada je cijeli presjek pritisnut

U ovom sluaju rezultatanta napona pritiska betona je:

1cd R cd R cd cd cd

dF h b f 1 d b f d b f

d

(7.21)

tako da je i relativna sila pritiska betona:

cd 1cd Rcd

F d1

d b f d

(7.22)

Koeficijent punoe R=cm /fcd kao i koeficijent ka poloaja rezultante pritiska Fcd mogu se odrediti kao u predhodnom sluaju a na osnovu ideje na sl.7.9 oduzimanjem od Fcd

1 sile Fcd

2, ime se za R dobija:

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 12 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

3 6 2R c1 c1 c11

( ) (17 4 10 10 )21

(7.23)

dok je ka=a/x,

3 6 2

c1 c1a c1 3 6 2

c1 c1

33 16 10 4 1021k ( )

98 17 4 10 10

(7.24)

7.2.2.2 Raunska veliina rezultanti Fs1d i Fs2d napona u armaturi Rezultante napona u zategnutoj armaturi Fs1d i napona u pritisnutoj armaturi Fs2d (sl.7.8) su: s1d s1 s1d s2d s2 s2dF A ; F A (7.25)

Na osnovu idealizirajueg dijagrama s-s armaturnog elika (sl.7.2) je za predpostavku "a":

yd

s1d s s1 s1 yd

yd

yd

s2d s s2 s2 yd

yd

fE f

fE f

(7.26)

pa je prema tome,

s1s1d s1 yd s1 yd

yd

s2s2d s2 yd s2 yd

yd

F A f A f

F A f A f

(7.27)

Za sluaj predpostavke "b" dijagrama s-s, naponi zatezanja (pritiska) u armaturi u podruju deformacija yd s 0,025 (prema DIN 1045-1) mogu biti i vei od fyd za vrijednost,

td yd ydsd sd sd yd sd yduk yd yd

f f 525 / 1,15 f( ) ( ) ( )

0,025

(7.28)

7.2.3 Jednadbe ravnotee Jednadbe za dimenzioniranje dobivaju se iz uslova ravnotee presjeka u stanju granine otpornosti tj. izjednaavanjem raunskih presjenih sila od dejstava sa ekvivalentnim raunskim silama otpornosti presjeka (sl.7.8):

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 13 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

Ed Rd

Ed Rd s Eds Rds

N 0 N N

M 0 M M ili M 0 M M

(7.29)

Za pravokutne armiranobetonske presjeke, za sluaj kada neutralna linija prolazi kroz presjek (sl.7.8), jednadbe ravnotee u razvijenom obliku su:

Ed cd s1d s2d

Ed cd cd s1 s1d s2 s2d

N F F F 0N 0 :

N b d f A A 0

(7.30)

Ed cd s1d 1 s2d 2

Ed cd cd s1 s1d 1 s2 s2d 2

h h hM F a F d F d 0

2 2 2M 0 :

h h hM b d f a A d A d 0

2 2 2

(7.31)

ili suma momenata s obzirom na teite zategnute armature,

Eds cd s2d 2

s

Eds cd cd s2 s2d 2

M F z F d d 0

M 0 :

M b d f z A d d 0

(7.32)

U svrhu pravljenja tabela ili dijagrama ili pak kompjuterskih programa za praktino dimenzioniranje presjeka, svrsishodno je gornje jednadbe napisati sa bezdimenzionalnim veliinama. Za sluajeve sa preovladavajuim uticajima savijanja u odnosu na normalnu silu, vanjske sile od dejstava izraavaju se u odnosu na statiku visinu d, pa je tzv. relativna (bezdimenzionalna) normalna sila:

EdEdcd

N

b d f

(7.33)

i relativni momenata savijanja u odnosu na teite betonskog presjeka:

EdEd 2cd

M

b d f

(7.34)

odnosno, relativni momenat savijanja u odnosu na teite zategnute armature,

EdsEds 2cd

M

b d f

(7.35)

Uvrtavanjem u jednadbe (7.30), (7.31) i (7.32) i nakon njihovog sreivanja dobijaju se jednadbe ravnotee sa bezdimenzionalnim koeficijentima u slijedeem obliku:

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 14 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

s1d s2dEd cd 1 2

yd yd

s1d s2d1 2Ed cd a 1 2

yd yd

0f f

d dh h hk 0

2 d f 2 d d f 2 d d

(7.36)

odnosno,

s2d 2Eds cd 2yd

d1 0

f d

(7.37)

Za pravokutne armiranobetonske presjeke i sluaj kada neutralna linija prolazi izvan presjeka i u presjeku vladaju samo naponi pritiska tada na isti nain se dobija:

s1 s2Ed R 1 2

yd yd

s1 s21 2Ed R a 1 2

yd yd

h0

d f f

d dh h h hk 0

d 2 d f 2 d d f 2 d d

(7.38)

odnosno,

s2d 2Eds R a 2yd

dh1 k 1 0

d f d

(7.39)

gdje je,

yd yds11 1

cd cd

yd yds22 2

cd cd

f fA

b d f f

f fA

b d f f

(7.40)

Koeficijenti 1 i 2 predstavljaju geometrijski stepen armiranja u odnosu na betonski presjek, a koeficijenti 1 i 2 predstavljaju tzv. mehaniki stepen armiranja. U jednadbama ravnotee pojedine veliine imaju slijedee znaenje: h :ukupna visina pravokutnog presjeka, d :statika (korisna) visina presjeka, b :irina pravokutnog presjeka, d1,d2 :poloaj u presjeku zategnute, odnosno pritisnute armature, Ed :raunska relativna vrijednost normalne sile od dejstava (jed. (7.33)) ,

Ed :raunska relativna vrijednost momenta savijanja od dejstava s obzirom na teite betonskog presjeka (jed. (7.34)),

Eds :raunska relativna vrijednost momenta savijanja od dejstava s obzirom na teite zategnute armature (jed. (7.35)),

cd :raunska relativna vrijednost rezultante napona pritiska betona (jed. (7.16) i (7.22)), R :koeficijent punoe dijagrama c-c betona (jed. (7.13) i (7.23)), :relativna visina pritisnute zone betona (jed. (7.7)),

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 15 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

ka :koeficijent poloaja rezultante napona pritiska betona (jed. (7.14) ili (7.24)), :koeficijent kraka unutarnjih sila (jed. (7.18)), s1d,s2d :naponi u teitu zategnute odnosno pritisnute armature (jed. (7.26)), As1,As2 :povrina poprenog presjeka zategnute, odnosno pritisnute armature, 1,2 :geometrijski stepen armiranja (jed (7.40)), 1,2 :mehaniki stepen armiranja (jed (7.40)).

U odreenim prilikama dimenzioniranja, kao to je kod primjene interakcionih dijagrama za simetrino armirane pravokutne presjeke, vrijednosti relativnih vanjskih sila od dejstava mogu se odnositi na ukupnu visinu h presjeka, tj,

EdEdcd

N

b h f

(7.41)

EdEd 2cd

M

b h f

(7.42)

Jednadbe ravnotee u ovom sluaju, za simetrino armirane pravokutne presjeke (As1=As2 tj. 1=2 tj. 01=02 i d1=d2) imaju slijedei oblik:

Neutralna linija prolazi kroz presjek:

s1d s2d1Ed cd 01

yd yd

s1d s2d1 1Ed cd a 01

yd yd

d1 0

h f f

d d1 11 1 k 0

h 2 h 2 f f

(7.43)

Neutralna linija izvan presjeka i u presjeku vladaju samo naponi pritiska,

s1d s2dEd R 01

yd yd

s1d s2d1Ed R a 01

yd yd

h0

d f f

d1 1k 0

2 2 h f f

(7.44)

Za razliku od predhodnih, u ovim jednadbama mehaniki stepen armiranja 01 i geometrijski stepen armiranja 01, odnosi se na cijeli presjek bh, tj,

yd yd yd yds1 s201 02 01 02cd cd cd cd

f f f fA A

b h f b h f f f

(7.45)

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 16 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

7.2.4 Ogranienje visine pritisnute zone i dvostruko armirani presjeci Ogranienje visine pritisnute zone betona =x/d, za presjeke sa preovladavajuim uticajem savijanja, direkno je vezano za pitanje do koje granice se presjeci mogu armirati sa jednostrukom armaturom, odnosno kada je potrebno ojaavati pritisnutu zonu betona sa pritisnutom armaturom. Za odabranu graninu vrijednost relativne visine pritisnute zone betona lim=(x/d)lim dobija se iz (7.16), (7.18), (7.35) i (7.37) odgovarajua vrijednost graninog momenta savijanja jednostruko armiranog presjeka (As2=0, odnosno 2=0) s obzirom na teite zategnute armature u obliku, 2Eds,lim R lim a lim cdM 1 k b d f (7.46)

odnosno,

Eds,limEds,lim R lim a lim2cd

M1 k

b d f

(7.47)

Podrazumjeva se da je iskoritena pritisnuta zona betona tako da je c2=-3,5 (c2=-0,0035) pa je iz (7.13) R(c2) =0,8095 a iz (7.14) ka(c2)=0,416. S druge strane sa stanovita ekonominosti deformacija zategnute armature s1 treba da dostigne za dimenzioniranje mjerodavnu raunsku deformaciju teenja fyd, tako da je,

yklim yd

yd s s

f0,0035gdje je

0,0035 E

(7.48)

Za danas uobiajenu kod nas i u Evropi primjenjivanu vrstu armaturnog elika BSt 500 (RA 500) sa Es=20010

3 MN/m2 i s=1,15 je yd=0,00217 (2,17 ) sa ime je lim=0,617 tako da se iz jednadbi (7.46) i (7.47) dobija: 2 2Eds,lim cd cdM 0,8095 0,617 1 0,416 0,617 b d f 0,371 b d f (7.49)

odnosno,

Eds,limEds,lim 2

cd

M0,371

b d f

(7.50)

Kod prekoraenja vrijednosti MEds,lim odnosno Eds,lim potrebna je pritisnuta armatura. U tom sluaju upotreba pritisnute armature (za Sds Sds,lim) je opravdana, prije svega to bi kod jednostruko armiranog presjeka bilo potrebno, sa porastom momenta savijanja, smanjivati napone u armaturi s1d < fyd a time i krak unutarnjih sila ( < 0,743), to dovodi do znatnog porasta potrebne povrine tada vie ne iskoritene zategnute

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 17 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

armature. Ovo ne samo da je neekonomino nego je to i pogoravanje sposobnosti rotacije presjeka (duktiliteta) poto nije dostignuta yd.

Sl.7.10 Popreni presjek dvostruko armiran

Dakle, u sluajevima kada je na osnovu kriterija potrebna dvostruka armatura, tada se djelujui momenat savijanja MEds odnosno Eds rastavlja na dva dijela (sl.7.10):

I. dio MEds,lim odnosno Eds,lim, kojeg uravnoteuju rezultante napona pritisnute zone betona (bez pritisnute armature) i odgovarajue zategnute armature As1,M,

II. dio MEds = MEds MEds,lim odnosno Eds = Eds Eds,lim, kojeg

uravnoteuje par unutarnjih sila od napona u pritisnutoj armaturi As2 i napona u dodatnoj zategnutoj armaturi As1.

U pogledu omoguavanja dovoljne sposobnosti rotacije presjeka takoer je potrebno ograniiti relativnu visinu pritisnute zone. Ova granica zavisi od kvalitetne klase betona i od duktiliteta primjenjog armaturnog elika.

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 18 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

Ako se kod dimenzioniranja eli optimalno koristiti visina pritisnute zone, ovo ne samo da vodi do iterativnog prorauna nego i do problema optimizacije u pogledu odreivanja i rasporeda cjelokupne armature. Iz praktinih razloga polazi se od toga da se unaprijed odabere veliina unutarnje preraspodjele presjenih sila i da se tako dobije pripadajua granica lim za visinu pritisnute zone. Prema DIN 1045-1 kao i u EN 1992-1-1 data su dodatna ogranienja relativne visine pritisnute zone lim. Kod odreivanja presjenih sila kod statiki neodreenih nosaa napregnutih preteno na savijanje (kontinualni nosai sa priblino jednakom krutou po poljima kod kojih je odnos susjednih raspona u granicama 0,5

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 19 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

praksi, openito su mogua odreena pojednostavljenja, kao npr. da su dimenzije betonskog presjeka unaprijed pozate (tzv. vezano dimenzioniranje). Kod presjeka koji su napregnuti preteno na savijanje, treba birati to je mogue manji odnos pritisnute i zategnute armature, pri emu pritisnutu armaturu treba iznimno stavljati i to u sluajevima kada odabrana klasa betona nemoe da obezbjedi dovoljnu nosivost pritisnute zone presjeka. Kod presjeka gdje preovladava poduna sila u odnosu na momenat savijanja u pravilu se upotrebljava simetrina armatura. Za zadane presjene sile, odabranu geometriju poprenog presjeka, raspored i poloaj armature u presjeku, postavljeni zadatak dimenzioniranja generalno se rjeava iterativnim putem. U tu svrhu pogodni su kompjuterski programi, koji primjenom jednostavnih numerikih metoda nalaze rjeenja nelinearnih jednadbi (npr. Newton-Raphson-ova iteracija ili najjednostavnije metodom probe u intervalima u kojima se nalaze rjeenja) na osnovu kojih se odreuje pripadajue stanje deformacija i potrebna povrina poprenog presjeka armature. U sluajevima rasporeda armature u vie slojeva dobijaju se u pravilu daljnje nepoznate veliine koje se eliminiu utvrivanjem tanog rasporeda armature. Za dobivanje tabela i dijagrama za dimenzioniranje svrsishodno je polaziti od zadanog stanja deformacija (ili poloaja neutralne linije) i na osnovu jednadbi ravnotee, uz primjenu utvrenih zakona - betona i elika, direktnim putem (bez iteracije) odrediti potrebne pomone veliine, pripadajue presjene sile i pripadajuu povrinu presjeka armatrure. 7.2.5.1 Postupak sa optim dijagramom za dimenzioniranje Sa optim dijagramom za dimenzioniranje (sl.7.11) mogue je dimenzionirati pravokutne armirano-betonske (i prednapregnute presjeke), napregnute na savijanje sa ili bez normalne sile. Poto su svi parametri u bezdimenzionalnoj formi, to dijagram vrijedi za sve vrste elika i sve klase betona do C12/15 do C50/60. Takoe dijagram vrijedi za razliite forme dijagrama s-s elika, kao i za razliite vrijednosti parcijalnih koeficijenta sigurnosti. Postupak dimenzioniranja je slijedei: Prvo je potrebno proraunati vrijednost relativnog (bezdimenzionalnog) momenta savijanja u odnosu na teite zategnute armature (7.35):

EdsEds 2cd

M

b d f

(7.51)

gdje je, Eds Ed Ed s1M M N z momenat savijanja s obzirom na teite zategnutearmature.

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 20 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

Sl.7.11 Opti dijagram za dimenzioniranje pravokutih presjeka

Poreenjem proraunate vrijednosti Eds sa veliinom Eds,lim (jednadba (7.50)) odreuje se da li je potrebno presjek armirati i u pritisnutoj zoni (dvostruko armirani presjeci) ili ne. Sa dijagrama na sl.7.11 na apscisi se pronae vrijednost Eds, na osnovu ega se na ordinati oitaju pripadajue vrijednosti (relativna visina pritisnute zone presjeka),

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 21 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

(relativna veliina kraka unutarnjih sila), cd (relativna sila pritiska betona) i odgovarajue vrijednosti deformacije betona c i elika s1 i s2. Za sluaj da je potrebna samo zateia armatura (EdsEds,lim), tada se potrebna povrina zategnute armature odreuje na osnovu jednadbe koja se jednostavno dobija iz uslova ravnotee (7.30) i (7.32) (pri emu je As2=0):

Edss1 Ed cd cd Ed

s1 s1

M1 1A N ( b d f N )

z

(7.52)

gdje je, s1 s1 sz d, E uz uvjet da je s1 ydf , odnosno s1 yd sd sdf ( ) (vidi

(7.28)). Za sluaj da je potrebna i pritisnuta armatura (EdsEds,lim; vidi sl.7.10), tada se potrebna zategnuta armatura odreuje na osnovu slijedee jednadbe:

Eds,lim Edss1 Eds1 2

M M1A N

z d d

(7.53)

a pritisnuta armatura,

Edss2s2 2

M1A

d d

(7.54)

gdje je, Eds Eds Eds,limm m m Eds Eds Eds,limM M M . Naponi s1 i s2 su ovisni od

deformacija elika s1 i s2. 7.2.5.2 Postupak sa bezdimenzionalnim tabelama (-tabele) Bezdimenzionalne ili tzv. -tabele mogu se koristiti za dimenzioniranje pravokutnih presjeka koji su napregnuti preteno na savijanje sa ili bez normalne sile. Prednost tabela sa bezdimenzionalnim koeficijentima je u tome to su neovisne o vrsti elika kao i o kvalitetnoj klasi betona (od C12/15 do C50/60). Tabele su date kako za jednostruko armirane presjeke tako i za dvostruko armirane presjeke u ovisnosti od ogranienja visine pritisnute zone presjeka lim=xlim/d. Kod jednostruko armiranih presjeka postupak je takav da se za odgovarajui relativni (bezdimenzionalni) momenat savijanja u odnosu na teite zategnute armature:

Eds Ed Ed s1Eds 2 2cd cd

M M N z

b d f b d f

(7.55)

oita odgovarajui mehaniki stepen armiranja,

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 22 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

yds1

1

cd

fA

b d f

(7.56)

Sl.7.12 Jednostruko armirani pravokutni presjek

Osim toga iz tih tabla mogue je odrediti (to je potrebno samo kod dimenzioniranja prednapregnutih presjeka) sve bezdimenzionalne pomone veliine , , c2 i s1 kao i vrijednosti napona u armaturi koji odgovaraju eliku S 500. Iz jednadbi ravnotee (7.36) i (7.37) za sluaj istog savijanja i jednostruko armiranih presjeka (odnos s1/fyd=1) dolazi se do veze izmeu 1 i Eds u obliku:

Eds1

(7.57)

Potrebna povrina poprenog presjeka zategnute armature takoe slijedi iz jednadbi ravnotee (7.30), (7.32), odnosno (7.36), (7.37), tako da je za jednostruko armirani presjek,

s1 1 cd Ed

yd

1A ( b d f N )

f (7.58)

gdje je 1 mehaniki stepen armiranja (vidi jednadbu(7.40)).

Poto kod dimenzioniranja treba biti Eds = Rds, a Rds i 1 zavise samo od deformacija betona c2 i elika s1 kao i relativni poloaj neutralne linije i relativna vrijednost kraka unutarnjih sila , to su u zavisnosti od tih deformacija i napravljene tzv. -tabele za jednostruko armirane presjeke. U sluajevima kada je MEds MEds,lim, odnosno EdsEds,lim, tada je presjek potrebno armirati i u pritisnutoj zoni tj. dvostruko armirani presjek.

GRAEVINSKI FAKULTET ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE I Strana 23 U SARAJEVU Dimenzioniranje ab. presjeka napregnutih sa M i N 11/12

Zlatar

Dakle za lim limx / d lako se iz (7.47) dobije relativni granini momenat jednostruko armiranog presjeka Eds,lim a iz (7.57) i njemu pripadajui mehaniki stepen armiranja 1.lim. Razliku momenta Eds Eds Eds,limm m m , odnosno Eds Eds Eds,limM M M

uravnoteuju (sl.7.10) sila u pritisnutoj Fs2d i sila u dodatnoj zategnutoj armaturi Fs1d tj,

Edss1d s2d

2

MF F

d d

(7.59)

Veliina deformacije pritisnute armature s1 zavisi od poloaja pritisnute armature i kod dimenzioniranja u praktine svrhe moe se uzeti da je s1>yd tako da je i s1=fyd pa iz prethodne jednadbe slijedi,

Edss1 s22

yd

MA A

df d 1

d

(7.60)

Ako se ova jednadba pomnoi sa yd

cd

f

b d f dobija se da je,

Eds1 2

2

m

d1

d

(7.61)

gdje su,

yd yds1

1 1

cd cd

f fA

b d f f

(7.62)

yd yds2

2 2

cd cd

f fA

b d f f

(7.63)

Prema tome, ukupna zateua armatura je,

s1 1,lim 1 cd Ed

yd

1A ( ) b d f N )

f (7.64)

i pritisnuta armatura je,

s2 2 cdyd

1A b d f

f (7.65)

Poto su u ovom sluaju poznate deformacije betona c2 i elika s1 odnosno lim, to su ostale nepoznate pritisnuta i zategnuta armatura. Ovdje se pojavljuje i parametar d2, odnosno d2/d (relativni poloaj pritisnute armature) tako da su i tabele za dvostruko armirane presjeke napravljene za razliite vrijednosti parametra d2/d.