BETAO ARMADO

Universidade de Aveiro

2008

Departamento de Engenharia Civil

Francisco Reis Morais Gonalves

Ferramentas de dimensionamento de estruturas em beto armado

Universidade de Aveiro

2008

Departamento de Engenharia Civil

Francisco Reis Morais Gonalves

Ferramentas de dimensionamento de estruturas em beto armado

Dissertao apresentada Universidade de Aveiro para cumprimento dos requisitos necessrios obteno do grau de Mestre em Engenharia Civil, realizada sob a orientao cientfica do Doutor Miguel Morais, Professor Auxiliar da Universidade de Aveiro e co-orientao cientfica do Doutor Paulo Cachim, Professor Associado da Universidade de Aveiro.

O jri

Presidente

Prof. Doutor Anbal Guimares da Costa Professor catedrtico da Universidade de Aveiro

Prof. Doutor Miguel Nuno Lobato de Sousa Monteiro de Morais Professor Auxiliar da Universidade de Aveiro

Prof. Doutor Paulo Barreto Cachim Professor Associado da Universidade de Aveiro

Prof. Doutor Antnio Abel Ribeiro Henriques Professor Auxiliar da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Agradecimentos

minha me ao meu Pai minha irm minha namorada aos meus amigos e famlia.

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palavras-chave

EC2, dimensionamento, beto armado, elementos estruturais

Resumo

As ferramentas de clculo automtico so hoje em dia uma ferramenta indispensvel para o desenvolvimento de um projecto de estruturas. Nesta dissertao so estudadas as bases de clculo usadas no dimensionamento e verificao de trs elementos comuns de beto armado, vigas, pilares, e fundaes (sapatas simples, e conjuntas). O dimensionamento e as verificaes seguem o Euro cdigo 2: Projecto de estruturas de beto Parte 1-1: Regras gerais e regras para edifcios.

Estas bases de clculo foram utilizadas para o desenvolvimento de folhas de clculo que permitem o dimensionamento das armaduras, de vigas pilares e sapatas, e optimizao da quantidade de beto no caso das fundaes.

Tambm descrito o funcionamento das folhas, suas vantagens, desvantagens, e limitaes.

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Keywords

EC2, design, reinforced concrete, structural elements

Abstract

The automatic calculation tools are nowadays an indispensable tool for the development of a proposed structures.

This dissertation studies the basis of calculation used in the design and verification of three common elements of reinforced concrete, beams, columns and foundations (simple column bases, and joint column bases). The design and verification follow the eurocode 2: Design of concrete structures Part 1-1: General rules and rules for buildings.

These data bases were used for the development of worksheets that allow the design of armor, of beams columns and foundations, and for optimizing the amount of concrete for the design of foundation.

It is also described the operation of the worksheets, their advantages, disadvantages and limitations.

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ndice

ndice de Figuras .............................................................................................................. ix Nomenclaturas................................................................................................................ xiii 1 Introduo ................................................................................................................. 1

1.1 Motivao .......................................................................................................... 2 2 Bases para o clculo ................................................................................................. 4

2.1 Aces e estados limites ................................................................................... 4 2.1.1 Estados limites .............................................................................................. 4

2.1.1.1 Estado limite ltimo (ELU) ...................................................................... 4 2.1.1.2 Estados limites de servio (ELS) ............................................................ 4

2.1.2 Aces .......................................................................................................... 4 2.1.2.1 Classificao .......................................................................................... 4

2.1.3 Combinaes de aces ............................................................................... 5 2.2 Materiais ............................................................................................................ 6

2.2.1 Beto ............................................................................................................. 6 2.2.1.1 Estados limites ltimos .......................................................................... 7 2.2.1.2 Estados limites de servio ...................................................................... 8 2.2.1.3 Efeitos diferidos no tempo do beto ....................................................... 9

2.2.2 Ao ...............................................................................................................15 2.2.2.1 Estado limite ltimo ...............................................................................15 2.2.2.2 Estados limites de servio .....................................................................16

2.3 Esforos ...........................................................................................................16 2.3.1 Compresso simples ....................................................................................16 2.3.2 Flexo ..........................................................................................................16

2.3.2.1 Flexo simples ......................................................................................17 2.3.2.2 Flexo composta ..................................................................................17 2.3.2.3 Flexo composta desviada ...................................................................18

2.4 Princpios de clculo.........................................................................................18 2.5 Verificaes para estado limite ltimo ..............................................................20

2.5.1 Determinao das foras interiores ..............................................................20 2.5.1.1 Beto ....................................................................................................20 2.5.1.2 Ao .......................................................................................................21

2.5.2 Dimensionamento armadura .........................................................................21 2.5.3 Flexo simples e flexo composta ................................................................24 2.5.4 Esforo transverso ........................................................................................25 2.5.5 Punoamento em sapatas ............................................................................27

2.6 Verificaes Estados Limites de Servio ..........................................................30 2.6.1 Limitao de tenses ....................................................................................30

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2.6.1.1 Limitao das tenses de compresso no beto .................................. 30 2.6.1.2 Limitao das tenses de traco nas armaduras ................................ 31 2.6.1.3 Mtodos para o clculo das tenses .................................................... 31

2.6.2 Controlo da fendilhao ............................................................................... 32 2.6.2.1 Causas da fendilhao ......................................................................... 33 2.6.2.2 Limites de abertura de fendas .............................................................. 34 2.6.2.3 Clculo da abertura de fendas .............................................................. 35 2.6.2.4 Controlo de fendilhao sem clculo de abertura de fendas................. 37

2.6.3 Controlo das deformaes ........................................................................... 38 2.6.3.1 Limitao de flechas ............................................................................. 38 2.6.3.2 Clculo da deformada .......................................................................... 41

2.7 Convenes ..................................................................................................... 46 2.8 Disposies construtivas EC2 .......................................................................... 47

2.8.1 Distncia entre vares: ................................................................................ 47 2.8.2 Comprimento de amarrao ......................................................................... 47 2.8.3 Amarrao de cintas e armadura de esforo transverso .............................. 50

3 Folhas de clculo ..................................................................................................... 51 3.1 Folhas de ligao SAP2000 ............................................................................. 53

3.1.1 Dados .......................................................................................................... 53 3.1.2 Manual ......................................................................................................... 54

4 Vigas ....................................................................................................................... 56 4.1 Introduo ........................................................................................................ 56 4.2 Modos de rotura ............................................................................................... 57 4.3 Redistribuio de momentos ............................................................................ 58 4.4 Disposies construtivas segundo EC2: .......................................................... 60

4.4.1 Armaduras longitudinais ............................................................................... 60 4.4.2 Armaduras transversais ............................................................................... 61

4.5 Folha de clculo ............................................................................................... 62 4.5.1 Introduo .................................................................................................... 62 4.5.2 Descrio das folhas de clculo ................................................................... 62

4.5.2.1 Dados ................................................................................................... 62 4.5.2.2 Redistribuio de momentos ................................................................ 65 4.5.2.3 Clculo da armadura ............................................................................ 65 4.5.2.4 Introduo das armaduras .................................................................... 66 4.5.2.5 Verificaes .......................................................................................... 66 4.5.2.6 Clculo do coeficiente fluncia & Clculo da extenso de retraco .... 67 4.5.2.7 EC2 ...................................................................................................... 69 4.5.2.8 Resumo ................................................................................................ 69

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4.5.2.9 Comparao de resultados ...................................................................69 4.5.2.10 Manual ..............................................................................................70 4.5.2.11 Anexos ..............................................................................................70

5 Pilares ......................................................................................................................71 5.1 Introduo ........................................................................................................71 5.2 Esbelteza .........................................................................................................73 5.3 Comprimento efectivo de elementos isolados...................................................74 5.4 Efeitos de segunda ordem ................................................................................75

5.4.1 Classificao dos elementos ........................................................................76 5.5 Excentricidades ................................................................................................77

5.5.1 1 Ordem ......................................................................................................77 5.5.1.1 Cargas aplicadas ..................................................................................77 5.5.1.2 Imperfeies geomtricas .....................................................................77

5.5.2 2 Ordem ......................................................................................................79 5.5.2.1 Excentricidade encurvadura: .................................................................79

5.6 Avaliao da necessidade de considerao dos efeitos de 2 ordem ...............81 5.7 Mtodos para a quantificao dos efeitos de 2 ordem ....................................83 5.8 Interaco de momentos ..................................................................................84 5.9 Determinao dos esforos resistentes ............................................................85 5.10 Pr dimensionamento da armadura longitudinal ...............................................87 5.11 Dimenses seco de beto ............................................................................87 5.12 Disposies construtivas ..................................................................................88

5.12.1 Armaduras longitudinais ...........................................................................88 5.12.2 Armaduras transversais ............................................................................89

5.13 Folha de clculo ...............................................................................................89 5.14 Introduo ........................................................... Erro! Marcador no definido. 5.15 Descrio das folhas de clculo .......................................................................89

5.15.1.1 Dados ...............................................................................................89 5.15.1.2 Efeitos de 2 ordem ...........................................................................90 5.15.1.3 Clculo do coeficiente fluncia e da extenso de retraco ..............93 5.15.1.4 EC2 ...................................................................................................93

6 Sapatas ....................................................................................................................94 6.1 Introduo ........................................................................................................94 6.2 Sapatas simples e conjuntas ............................................................................95 6.3 Esforos actuantes ...........................................................................................95 6.4 Estados Limite ..................................................................................................96

6.4.1 Rotura devido insuficiente capacidade resistente do terreno .....................96 6.4.2 Rotura por deslizamento ...............................................................................97

viii Universidade de Aveiro

6.5 Dimensionamento ............................................................................................ 98 6.6 Dimensionamento da armadura ..................................................................... 100 6.7 Verificaes ................................................................................................... 100

6.7.1 Tenso do solo .......................................................................................... 100 6.7.2 Verificao ao punoamento ...................................................................... 101

6.8 Disposies construtivas ................................................................................ 101 6.9 Sapatas conjuntas ......................................................................................... 101 6.10 Folhas de clculo ........................................................................................... 102

6.10.1 Introduo .............................................................................................. 102 6.10.2 Descrio das folhas de clculo ............................................................. 102

6.10.2.1 Dados ............................................................................................. 102 6.10.2.2 Clculo das dimenses, e verificaes. .......................................... 103

7 Concluses ............................................................................................................ 104 Bibliografia .................................................................................................................... 105 Anexo A ........................................................................................................................ 106

Universidade de Aveiro ix

ndice de Figuras

Figura 1. Diagrama parbola rectngulo para o beto compresso ........................ 8 Figura 2. Grfico, fctm em funo de fck .......................................................................... 8 Figura 3. Desenvolvimento do coeficiente de fluncia [7] ............................................. 9 Figura 4. Mtodo para a determinao do coeficiente de fluncia, para beto em condies ambientais normais. ........................................................................................13 Figura 5. Desenvolvimento da extenso da retraco com o tempo. ...........................14 Figura 6. Efeito da retraco na deformao de uma viga de beto armado. ..............14 Figura 7. Diagrama tenso extenso para armaduras ordinrias.................................15 Figura 8. Elemento sujeito compresso simples .......................................................16 Figura 9. Esforos numa pea sujeita flexo simples. ..............................................17 Figura 10. Esforos numa pea sujeita flexo composta. ...........................................17 Figura 11. Esforos numa pea sujeita flexo composta, desviada ............................18 Figura 12. Equivalncia entre diferentes sistemas de solicitaes numa seco de beto armado. 18 Figura 13. Mudar figura, hiptese das seces plana aps deformada .........................19 Figura 14. Viga em flexo pura ......................................................................................19 Figura 15. Reapresentao das tenses interiores em elementos com diferente relao l/h. 20 Figura 16. Tenses no ao e beto considerando o modelo, parbola rectngulo .....20 Figura 17. Relao tenso extenso seco sujeita a flexo simples. ...........................22 Figura 18. Parcela Msd = Mlim equilibrada por parte da armadura de traco As1 e pelo beto comprimido ............................................................................................................24 Figura 19. Parcela Mcomp equilibrada por uma seco s de ao constituda por A'S1 e por parte de AS2 ..............................................................................................................24 Figura 20. Armadura de elemento com armadura de compresso ................................24 Figura 21. Distribuio das tenses admissveis no estado limite ltimo [1]. .................25 Figura 22. Definio de Asl. ...........................................................................................26 Figura 23. Modelo de trelia para elementos com esforo transverso [1]. .....................26 Figura 24. Contorno de controlo em torno de uma rea carregada rectangular. ............27 Figura 25. Distribuio de tenses tangenciais devidas a um momento no equilibrado, na ligao de uma sapata com um pilar ...........................................................................29 Figura 26. Limitao da tenso de compresso no beto [7]. ........................................30 Figura 27. Anlise de uma seco fendilhada sujeita a um momento flector, flexo simples. 32

x Universidade de Aveiro

Figura 28. Ilustrao de dimenses necessrias para o clculo da abertura de fendas. 36 Figura 29. Vo efectivo para vrias condies de apoio ............................................... 40 Figura 30. Deformada de uma viga simplesmente apoiada ........................................... 41 Figura 31. Modelo de clculo para flexo simples ......................................................... 43 Figura 32. Curvatura mdia flexo simples ................................................................ 44 Figura 33. Teorema dos trabalhos virtuais aplicado ao clculo da flecha ...................... 45 Figura 34. Convenes de sinais de foras e tenso .................................................... 46 Figura 35. Conveno, do esforo transverso ............................................................... 46 Figura 36. Plano de actuao da fora normal e conveno da direco dos momentos flectores 46 Figura 37. Valores de cd para vigas .............................................................................. 49 Figura 38. Valores dos coeficientes 1, 2, 3, 4, e 5 ................................................... 49 Figura 39. Amarrao de cintas .................................................................................... 50 Figura 40. Ilustrao do aspecto e informao contida no topo da folha de clculo ...... 51 Figura 41. Representao da escolha da classe de materiais ao e beto ................... 52 Figura 42. Representao das clulas onde introduzido, o endereo de directrio onde se encontra o ficheiro exportado, e o nome do ficheiro exportado ................................... 53 Figura 43. Representao da clula onde introduzido o nmero do frame, neste caso o frame 241 corresponde seco viga pr definida no Sap. ......................................... 53 Figura 44. Exemplos de como devem ser delimitados os elementos de uma estrutura no SAP2000 54 Figura 45. Representao das tabelas a exportar para excel ........................................ 55 Figura 46. Viga em consola........................................................................................... 56 Figura 47. Viga simplesmente apoiada. ........................................................................ 56 Figura 48. Viga continua. .............................................................................................. 56 Figura 49. Seco viga. ................................................................................................ 57 Figura 50. Repesentao do funcionamento de uma viga pouco armada ..................... 57 Figura 51. Representao do funcionamento e entrada em colpaso de uma viga muito armada. 57 Figura 52. Redistribuio dos momentos flectores num tramo contnuo de viga. .......... 58 Figura 53. Ilustrao da seleco e introduo de classes e propriedades dos materiais. 63 Figura 54. Representao das clulas de introduo das dimenses do elemento ....... 63 Figura 55. Ilustrao da seleco do sistema estrutural da viga, da introduo dos coeficientes de carga, e de atalhos para outras folhas. ................................................... 64 Figura 56. Diagrama de momentos no redistribudos vs redistribudos ....................... 65

Universidade de Aveiro xi

Figura 57. Representao do clculo das armaduras longitudinais, e dos botes caso se pretenda usar ou no a redistribuio de momentos........................................................65 Figura 58. Representao das clulas de clculo de armadura de compresso ............66 Figura 59. Representao da escolha da armadura de esforo transverso, e verificao do esforo transverso. .....................................................................................................66 Figura 60. Ilustrao das verificaes relativas ao estado limite de servio ...................67 Figura 61. Representao da verificao ao espaamento mnimo entre armaduras, tendo em conta agrupamentos de vares ........................................................................67 Figura 62. Representao da folha de clculo do coeficiente de fluncia ......................68 Figura 63. Representao das possibilidades de permetros do elemento em contacto com o ambiente, e sua seleco ......................................................................................68 Figura 64. Representao da folha de clculo da extenso de retraco. .....................69 Figura 65. Representao dos botes acima descritos .................................................70 Figura 66. Seces mais correntes em pilares ..............................................................71 Figura 67. Ilustrao de diferentes tipos de armaduras em pilares ................................71 Figura 68. Cargas aplicadas nos pilares por vigas, e lajes. ...........................................73 Figura 69. Esbelteza de um elemento ...........................................................................74 Figura 70. Modos de rotura tendo em conta a esbelteza do elemento. ..........................74 Figura 71. Influncia das deformaes no clculo dos elementos .................................76 Figura 72. a) Elementos no contraventados, b) Elementos contraventados ................78 Figura 73. Caractersticas da estrutura. .........................................................................82 Figura 74. Definio das excentricidades ......................................................................85 Figura 75. Reapresentao da seco transversal de um pilar, e as dimenses a introduzir na folha de Excel. .............................................................................................87 Figura 76. Nmero mnimo de vares............................................................................88 Figura 77. Ilustrao da introduo de esforos, e das caractersticas estruturais. .......90 Figura 78. Ilustrao da seleco do tipo de n da extremidade 1 na direco x ..........91 Figura 79. Ilustrao da relao entre esbelteza real e esbelteza limite, para verificao da necessidade de considerar efeitos de segunda ordem ...............................................91 Figura 80. Representao das clulas de introduo de armadura ...............................92 Figura 81. Representao do grfico de interaco M:N ...............................................92 Figura 82. Considerao do peso prprio da sapata e do peso do solo acima da sapata. 96 Figura 83. Esta imagem para mudar rotura por deslizamento ....................................97 Figura 84. Dimensionamento em planta das sapatas e Diagrama de tenses no solo, considerando a sapata rgida e o solo plastificado. ..........................................................98 Figura 85. Dimenses responsveis pela classificao da rigidez. ................................99

xii Universidade de Aveiro

Figura 86. Esquema do princpio para o clculo do Momento para dimensionamento da armadura. 100 Figura 87. Mtodo geral de dimensionamento de sapatas conjuntas .......................... 102 Figura 88. Representao das clulas respectivas introduo das caractersticas do solo 102 Figura 89. Representao da seleco do tipo de dimensionamento, e dos valores das verificaes. .................................................................................................................. 103 Figura 90. Representao da seleco de armadura. ................................................. 103

ndice de Tabelas Tabela 1 - Valores para o qual se torna vantajoso utilizar armadura de compresso ...... 23 Tabela 2 - Coeficientes dependentes da relao entre as dimenses do pilar ................ 29 Tabela 3 - Dimetros mximos dos vares para o controlo da fendilhao ..................... 37 Tabela 5 - Expoentes para seces rectangulares em funo de NEd/NRd ....................... 85

Universidade de Aveiro xiii

Nomenclaturas

Letras maisculas latinas A rea da seco transversal Ac rea da seco transversal de beto As rea da seco de uma armadura para beto armado As,min rea da seco mnima de armaduras Asw rea da seco das armaduras de esforo transverso Ec Mdulo de elasticidade na origem, c=0, para um beto de massa volmica

aos 28 dias de idade Ec,eff Mdulo de elasticidade efectivo do beto Ecd Valor de clculo do mdulo de elasticidade do beto Ecm Mdulo de elasticidade secante do beto Es Valor de clculo do mdulo de elasticidade do ao ELS Estado limite de servio ELU Estado limite ltimo Gk Valor caracterstico de uma aco permanente I Momento de inrcia da seco de beto L Comprimento M Momento flector MEd Valor de clculo do momento flector actuante N Esforo normal NEd Valor de clculo do esforo normal actuante Qk Valor caracterstico de uma aco varivel V Esforo transverso VEd Valor de clculo do esforo transverso actuante

Letras minsculas latinas b Largura total de uma seco transversal, em elementos horizontais bx Dimenso transversal paralela ao eixo x, numa pea vertical by Dimenso transversal paralela ao eixo y, numa pea vertical d Altura til de uma seco transversal e Excentricidade fcd Valor de clculo da tenso de rotura do beto compresso fck Valor caracterstico da tenso de rotura do beto compresso aos 28

dias de idade fctm Valor mdio da tenso de rotura do beto traco simples fy Tenso de cedncia traco do ao das armaduras para beto armado fyd Valor de clculo da tenso de cedncia traco do ao das armaduras de

beto armado fyk Valor caracterstico da tenso de cedncia traco do ao das

armaduras de beto armado h Altura total de uma seco transversal, em elementos horizontais i Raio de girao k Coeficiente; Factor r Raio 1/r Curvatura numa determinada seco t Tempo considerado u Permetro da seco transversal de beto cuja rea Ac x Altura do eixo neutro x,y,z Coordenadas

xiv Universidade de Aveiro

Letras minsculas gregas Relao Relao, coeficiente c Coeficiente parcial relativo ao beto G Coeficiente parcial relativo s aces permanentes, G M Coeficiente parcial relativo s propriedades dos materiais, tendo em conta

as incertezas na propriedade do material, nas imperfeies geomtricas e no modelo de clculo utilizado

Q Coeficiente parcial relativo s aces variveis, Q S Coeficiente parcial relativo ao ao das armaduras para beto armado Incremento/coeficiente de redistribuio Coeficiente de reduo/coeficiente de distribuio Extenso do beto compresso Extenso do beto compresso correspondente tenso mxima fc Extenso ltima do beto compresso Extenso do ao da armadura para beto armado ou de pr-esforo

correspondente tenso mxima ngulo Coeficiente de esbelteza Momento reduzido

Relao entre as tenses de aderncia das armaduras para beto armado pi

Taxa de armaduras longitudinais w Taxa de armaduras de esforo transverso c Tenso de compresso no beto cp Tenso de compresso no beto devida a um esforo normal ou ao pr-

esforo cu Tenso de compresso no beto correspondente extenso ltima em

compresso, cu. (t,t0) Coeficiente de fluncia do beto entre as idades t e t0 em relao

deformao elstica aos 28 dias (,t0) Valor final do coeficiente de fluncia 1,2 Coeficientes para simplificar o clculo dos integrais Coeficientes definindo valores representativos das aces variveis

0 Para os valores de combinao 1 Para os valores frequentes 2 Para os valores quase - permanentes

Universidade de Aveiro 1

1 Introduo

Os programas de clculo automtico so uma ferramenta indispensvel, a sua utilizao permite:

Anlise mais correcta, envolvendo metodologias impraticveis sem o clculo automtico, algumas s desenvolvidas com o aparecimento de computadores.

Maior numero de anlises em menor tempo, permitindo a seleco da melhor soluo.

Por outro lado deve ser tido em considerao que: Os programas no projectam, assim indispensvel a interveno constante do

projectista. Executam as tarefas do modo como foram programados, sendo indispensvel um

razovel conhecimento dos princpios de clculo, e hipteses que lhe esto associadas.

No detectam erros de concepo.

A utilizao de meios automticos de clculo deve ainda ser acompanhada dos seguintes procedimentos:

Realizao prvia de pr dimensionamento dos elementos estruturais, no s para se obterem as dimenses do incio do processo, assim como a identificao de eventuais discrepncias com os resultados finais.

Anlise cautelosa, comparando solues de diferentes elementos estruturais que se encontrem em situaes semelhantes.

A tese est dividida em cinco captulos principais: O primeiro o captulo Bases de clculo onde so abordados os seguintes

pontos: aces e combinaes de aces, propriedades dos materiais, esforos, princpios de clculo, verificao estados limites ltimos, verificao estados limites de servio convenes, disposies construtivas.

Folhas de clculo: onde so definidas as vantagens, desvantagens, limitaes, objectivos, potencialidades, inovaes das folhas de clculo desenvolvidas

O captulo Vigas destina-se ao estudo de pontos especficos deste elemento, como alguns princpios de clculo, no caso da redistribuio de momentos, assim como as verificaes dos estados limites de servio, modos de rotura, disposies construtivas, e a descrio relativa s folhas de clculo desenvolvidas para o estudo deste elemento.

2 Universidade de Aveiro

Pilares: Neste captulo o estudo debrua-se sobre as questes da flexo composta e dos efeitos de segunda ordem. Tal como o captulo anterior aqui tambm so especificadas as disposies construtivas e a descrio das folhas de clculo deste elemento.

O ltimo captulo referente s Sapatas simples e conjuntas. Aqui so descritos os mtodos de clculo das dimenses da sapata e da sua armadura. Tambm so aqui descritas como so feitas as verificaes tenso resistente do solo, ao punoamento e ao deslizamento. No final deste captulo so descritas as folhas relativas a sapatas simples e conjuntas.

1.1 Motivao

O uso e o desenvolvimento de ferramentas informticas no mbito do clculo de estruturas, at h bem pouco tempo no era possvel, mas felizmente essa prtica tem vindo a aumentar, graas ao desenvolvimento da tecnologia, ao seu cada vez mais fcil acesso, e maior simplicidade de interaco entre o homem e o computador.

A competitividade uma realidade cada vez mais evidente. Existe cada vez mais a necessidade de menores custos e rentabilizao de tempo. Assim sendo cada vez mais importante a optimizao no clculo da quantidade dos materiais, para os elementos das construes, assegurando sempre a segurana dos mesmos, e tambm a reduo do tempo no desenvolvimento do projecto de estruturas depressa e bem h pouco quem. Com o uso correcto das ferramentas informticas, possvel reduzir o tempo de clculo e eliminar erros decorrentes do clculo manual.

A partir da possibilidade do uso de processos mais elaborados, baseados em modelos que representam melhor a realidade do comportamento do elemento, possvel chegar a resultados com menor margem de erro, o que pode proporcionar economia de tempo e custo.

O auxlio de ferramentas de clculo, permite estudar vrias situaes de projecto em tempo reduzido, para a escolha da melhor soluo. Com o auxlio das folhas de clculo desenvolvidas, podem ser estudadas para o mesmo caso, solues distintas. Adoptando o utilizador a soluo mais adequada ao problema.

Devido ao aparecimento do recente EC2, surgiu a necessidade do desenvolvimento de novas ferramentas que respeitem essa mesma norma. Assim foram desenvolvidas folhas de clculo.


As folhas de clculo tm como funo principal o clculo da armadura mnima para: pilares, vigas e sapatas, assim como o volume mnimo de beto no clculo de sapatas, de forma a serem verificadas todas as condies impostas pelo EC2.

Outras particularidades das folhas so possibilidade de comparao de diferentes solues, e a interaco das folhas de clculo com SAP2000;

O uso destas ferramentas pressupe um conhecimento adequado dos princpios de clculo, das metodologias de dimensionamento e uma anlise crtica dos resultados obtidos.

O conhecimento integral do funcionamento de um programa de clculo uma mais-valia importantssima, para o seu correcto uso.


2 Bases para o clculo

2.1 Aces e estados limites

2.1.1 Estados limites

Qualquer estrutura deve ser projectada de modo que as questes da segurana e do servio sejam garantidas. Cada uma destas questes est condicionada a um estado limite, a partir do qual se considera que a estrutura fica prejudicada total ou parcialmente na sua capacidade de desempenhar as funes, que lhe so atribudas.

So de dois tipos os estados limites a considerar na verificao de segurana:

2.1.1.1 Estado limite ltimo (ELU) Estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de runa estrutural, que determine a paralisao no todo ou em parte, do uso da estrutura [11].

2.1.1.2 Estados limites de servio (ELS) Estados limites cuja ocorrncia resultam prejuzos pouco severos, relacionados com a durabilidade das estruturas, aparncia, conforto do utilizador e boa utilizao funcional da mesma [11]. Os ELS condicionam o dimensionamento das estruturas de beto armado, podendo determinar as dimenses das seces de beto e a quantidade, disposio e dimetros das armaduras. A sua maior ou menor influncia no dimensionamento depende do tipo de aces (foras, deformaes impostas) e dos requisitos exigidos para os elementos estruturais, particularmente no que se refere aparncia, condies de utilizao e durabilidade [8].

2.1.2 Aces

2.1.2.1 Classificao

Consoante a provenincia da aco, esta pode ser: Directa, cargas aplicadas, por exemplo: peso prprio da estrutura, vento, pessoas,

etc [7]. Indirectas provm de deformaes impostas estrutura, devido por exemplo

variao de temperatura, retraco do beto, a assentamento de apoios, fluncia diferencial do beto, etc [7].


Dependendo da variabilidade com o tempo, as aces so classificadas dos seguintes modos [11]:

Aces permanentes: so aquelas que tm valores constantes ou com pequena variao ao longo da vida da construo, exemplo: paredes, revestimentos, peso prprio da estrutura.

Aces variveis: os seus valores variam significativamente ao longo do tempo, por exemplo: pessoas, mobilirio, veculos, vento.

Aces acidentais so aquelas que s com muito fraca probabilidade assumem valores significativos durante a vida das estruturas, como por exemplo: exploses, choques de veculos, aco do fogo, etc.

2.1.3 Combinaes de aces

Para a verificao da segurana em relao aos diferentes estados limites devem ser consideradas as combinaes das aces cuja actuao simultnea seja verosmel e que produzam na estrutura os efeitos mais desfavorveis [11]. A combinao das aces deve ser feita de forma a determinar os efeitos mais desfavorveis para a estrutura. A verificao da segurana em relao aos estados limites ltimos e aos estados limites de servio deve ser realizada em funo de combinaes ltimas e combinaes de servio respectivamente.

O estado limite ltimo apresenta uma nica combinao de aces. a partir dos valores resultantes deste estado limite que so dimensionados os elementos,

A combinao relativa aos estados limites ltimos assegura a no rotura da estrutura e a seguinte:

1 01 2

m n

d gi Gik q Q k Qjki j

S S S S = =

= + +

(2.1)

Com g=1.35, e q=1.5.

So trs as combinaes de aces a considerar para estados limites de servio: Raras, correspondem a estados limites de muito curta durao. So combinaes

de aces que solicitaro a estrutura durante apenas algumas horas do seu perodo de vida [11].

1 11 2

m n

d Gik Q k Qjki j

S S S S= =

= + +

(2.2)

Frequentes, correspondem a estados limites de curta durao.Combinaes de aces com durao da ordem dos 5% do perodo de vida da estrutura [11].


1 1 21 2

m n

d Gik Q k Qjki j

S S S S = =

= + + (2.3)

Quase permanente, correspondem a estados limites de longa durao. Combinaes de aces que podero actuar na estrutura durante metade do seu perodo de vida [11].

21 2

m n

d Gik Qjki j

S S S= =

= + (2.2.4)

2.2 Materiais

A maioria das construes comuns tem como base o beto armado, esta combinao entre ao e beto o que torna to popular este tipo de construo.

Os elementos em estudo so constitudos por beto e ao (beto armado). Se houver um correcto dimensionamento, construo e preservao dos elementos estes so resistentes e durveis, pois como se vai poder ver estes complementam-se mutuamente.

A relao tenso extenso, tambm denominada de Lei constitutiva, estabelece as relaes ente as tenses e extenses, estando a maneira como o material se deforma quando sujeito aco de foras, condicionada pelos complexos fenmenos fsicos que acontecem ao nvel macroscpico. No possvel quantificar o comportamento do material por via dedutiva, tem de ser feito, um estudo baseado em ensaios experimentais (via fenomenolgica). Para este fim aplicam-se foras a uma amostra de material, em que as tenses sejam fceis de definir e medem-se as deformaes por elas provocadas. As relaes entre as foras e as deformaes assim obtidas permitem definir as relaes tenso extenso [14]. O estudo de elementos em beto armado est fortemente ligado a esta relao. a partir desta relao dos materiais que so determinados os valores caractersticos das tenses de rotura, tenses de cedncia e extenses, necessrios para o clculo de elementos, constitudos por esses materiais.

2.2.1 Beto

O beto uma mistura de agregados com dimenses variadas, cimento e gua, misturada de maneira a adquirir as propriedades pretendidas. a reaco do cimento com a gua, que funciona como um ligante entre os materiais, que possibilita a formao de uma pedra artificial.


Este material, tem como caracterstica principal a boa resistncia compresso, e como ponto fraco a falta de resistncia traco, o que traz a necessidade de combinar com o beto outro material que tenha essa resistncia traco: o ao.

Qualquer beto heterogneo, contm micro - fissuras, poros, descontinuidades e concentraes de tenses. O grau de deteriorao e a velocidade com que esta ocorre variam com a qualidade do beto (classe de resistncia) [13].

2.2.1.1 Estados limites ltimos

As classes de beto consideradas nas folhas de clculo, so as classes de resistncia a que o EC2 se refere (Anexo, quadro 1), e baseiam-se na tenso de rotura de beto compresso, designada como classe de resistncia do beto, relacionada com o valor caracterstico (quantilho 5%) da resistncia compresso referido a provetes cilndricos, fck, determinado aos 28 dias. O presente estudo restringiu-se apenas a betes at classe C50/60 [1]. O valor de clculo, da tenso de rotura compresso calculado da seguinte maneira:

=ck

cd ccC

ff (2.5)

Em que:

C Coeficiente parcial de segurana relativo ao beto, C=1,5

cc Coeficiente que tem em conta os efeitos de longo prazo na resistncia

compresso e os efeitos desfavorveis resultantes do modo como a carga aplicada, foi

considerado cc=1.

No dimensionamento de seces transversais, o EC2 prope trs leis distintas para as relaes tenses - extenses, (c - c), de clculo do beto compresso. No presente trabalho utilizou-se a relao tenso - extenso parbola rectngulo, definida pelas equaes (2.6) e (2.7), ver Figura 1.

2

1 1a

cc cd

c

f

=

, para 20 c c (2.6)

c cdf = , para 2 2c c cu

(2.7)

O valor do parmetro cu2 depende da classe do beto e encontra-se indicado no quadro (1) em anexo. Tendo em conta a classe limite ser a C50/60, cu2 = 3.5, para todas as classes.


Figura 1. Diagrama parbola rectngulo para o beto compresso

A resistncia traco refere-se tenso mais elevada atingida sob esforos de traco simples, para tenso de rotura, para clculos na combinao ELU a resistncia traco no considerada.

2.2.1.2 Estados limites de servio

As propriedades do beto que geralmente tm mais importncia na verificao dos ELS so: a resistncia do beto traco, o mdulo de elasticidade do beto, o coeficiente de fluncia e a extenso de retraco [7]. Recorde-se que os coeficientes de segurana parciais a aplicar s propriedades dos materiais, M, so tomados iguais a 1,0 nas verificaes em servio.

Todos os clculos so feitos considerando a resistncia traco do beto, igual fctm

A resistncia traco do beto (fctm) varia com a classe de beto, como se pode ver no grfico da figura (2).

Figura 2. Grfico, fctm em funo de fck

Para o beto os valores dos mdulos de elasticidades adoptados, esto em anexo no quadro 1, e o seu valor depende da classe de beto.


2.2.1.3 Efeitos diferidos no tempo do beto

A deformao do beto ao longo do tempo depende de dois efeitos: Fluncia (depende da actuao das cargas) Retraco (independente do estado de tenso)

A fluncia e retraco do beto dependem principalmente da humidade ambiente, das dimenses do elemento e da composio do beto.

A fluncia tambm afectada pela maturidade do beto quando do primeiro carregamento, pela durao e intensidade da carga, qualquer estimativa do coeficiente de fluncia e da extenso de retraco dever ter em conta estes parmetros [7].

2.2.1.3.1 Fluncia

Designa-se por fluncia o aumento da deformao no tempo sob a aco de um estado de tenso (originada pela variao de volume da pasta de cimento que envolve os agregados) [8]. A fluncia do beto depende de:

Idade do carregamento (t0); Perodo do carregamento [t, t0]; Humidade relativa do ambiente; Temperatura relativa do ambiente; Composio do beto; Consistncia do beto; Forma da seco.

Figura 3. Desenvolvimento do coeficiente de fluncia [7]

O coeficiente de fluncia aumenta ao longo do tempo, durante vrios anos como podemos verificar no grfico acima representado. A fluncia sem dvida um factor com influncia na vida de uma estrutura.


A fluncia do beto provoca um aumento da curvatura da zona comprimida e consequentemente, um aumento da deformao, que deve ser considerada para efeitos de clculo.

Segundo o EC2 os passos de clculo para a determinao do coeficiente de fluncia so:

0 0 0( , ) ( , )t t t t =

(2.8)

em que:

0 Coeficiente de fluncia e pode ser calculado a partir de:

( ) ( )0 0RH cmf t =

(2.9)

RH Factor que tem em conta a influncia de humidade relativa no coeficiente de fluncia:

30

1 /10010.1RH

RHh

= +

para fcm 35 MPa (2.10)

1 230

1 /10010.1RH

RHh

= +

para fcm>35Mpa (2.11)

RH Humidade relativa do meio ambiente, em (%) (fcm) Factor que tem conta a influncia da resistncia do beto no coeficiente de fluncia convencional:

16.8( )cm

cm

f f =

(2.12)

fcm Valor mdio da tenso de rotura do beto compresso, em MPa, aos 28 dias de idade.

(t0) Factor que tem em conta a influncia da idade do beto data do carregamento no coeficiente de fluncia:

( )0 0.201( )

0.1t

t =

+

(2.13)

h0 Espessura equivalente do elemento, em mm, em que:

02 CAh

u=

(2.14)

AC rea da seco transversal u Parte do permetro do elemento em contacto com o ambiente


c(t,t0) Coeficiente que traduz a evoluo da fluncia no tempo, aps o carregamento, e que pode ser estimado pela seguinte expresso:

( )( )

0.3

00

0

( , )H

t tt t

t t

= +

(2.15)

t Idade do beto, em dias, na data considerada

t0 Idade do beto, em dias, data do carregamento

t-t0 Durao no corrigida do carregamento, em dias

H Coeficiente que depende da humidade relativa (RH em %) e da espessura equivalente do elemento (h0 em mm). Pode ser estimado a partir de

1801.5 1 (0.012 ) 250 1500H RH h = + +

para fcm 35 MPa (2.16)

180 31.5 1 (0.012 ) 250 1500H RH h = + +

para fcm>35 MPa (2.17)

1/2/3 Coeficientes que tm em conta a influncia da resistncia do beto

0.7

135

cmf

=

0.2

235

cmf

=

0.5

335

cmf

=

(2.18)

Influncia no tipo de cimento:


0 , 1,20,

9 1 0,52o T T

t tt

= + +

(2.19)

Em que:

to,T Idade do beto data do carregamento, em dias, corrigida em funo da temperatura de acordo com a expresso (2.20) Expoente funo do tipo de cimento:

A influencia das temperaturas entre 0 e 80C na maturidade do beto pode ser considerada corrigindo a idade do beto de acordo com a seguinte expresso:

(4000/[273 ( )] 13,65)

1

iT tn

T ii

t e t +

=

= (2.20)

Em que:

tT Idade do beto corrigida em funo da temperatura, que substitui t nas expresses correspondentes

T(ti) Temperatura em C durante o intervalo de tempo ti ti Numero de dias em que de mantm a temperatura T

Tambm possvel determinar o coeficiente de fluncia pelos grficos seguintes:

Ambiente interior RH=50%


Ambiente exterior RH=80%

Figura 4. Mtodo para a determinao do coeficiente de fluncia, para beto em condies ambientais normais.

Nota: O ponto de interseco entre as linhas 4 e 5 tambm pode estar acima do ponto 1. Para t0>100 suficientemente rigoroso considerar t0=100 (e utilizar a linha tangente) [1].

2.2.1.3.2 Retraco

Designa-se retraco a variao da dimenso de uma pea de beto (diminuio da dimenso) no tempo, independentemente do estado de tenso da pea (na ausncia de variaes de temperatura e de tenses aplicadas) [8]. Se a retraco livre for impedida por restries ao nvel da seco ou da estrutura, produzir-se-o tenses que podem levar ocorrncia de deformao e fendilhao.

A retraco do beto depende de: Humidade e temperatura relativa do ambiente; Consistncia do beto na altura da betonagem; Forma da seco; Tipo de cimento.


Figura 5. Desenvolvimento da extenso da retraco com o tempo.

Considerando uma viga de beto sujeita deformao por retraco, se no houver armadura, a retraco uniforme em toda a altura da viga, mas havendo armadura, esta reage com a fora igual fora de compresso que a retraco do beto lhe impe, surgindo no beto, por equilbrio, uma fora e um momento.

Figura 6. Efeito da retraco na deformao de uma viga de beto armado.

A retraco do beto provoca uma curvatura na pea por efeito da restrio deformao provocada pela armadura, tal como a fluncia, a retraco implica esforos na estrutura que podem ser considerados nas aces indirectas.

A extenso de retraco por secagem de referncia, cd,0, calculada por:

( ) 6,0 1 2

0

0.85 220 110 exp 10cmcd ds ds RH

cm

ff

= +

(2.21)

3

0

1.55 1RHRHRH

=

(2.22)

Em que:

fcm Valor mdio da tenso de rotura do beto compresso (MPa)


fcm0 =10 MPa

ds1 Coeficiente que depende do tipo de cimento

ds2 Coeficiente que depende do tipo de cimento

RH Humidade relativa ambiente (%) RH0 =100%

2.2.2 Ao

O ao, como j referido, o material que complementa o beto, e faz com que um elemento de beto armado responda de forma eficaz a todas as solicitaes, pois este apresenta uma elevada resistncia traco. A durabilidade deste material quando usado em conjunto com o beto, depende do beto para garantir que o ao no entra em contacto com agentes agressivos, em particular da quantidade de recobrimento e da sua qualidade [13].

2.2.2.1 Estado limite ltimo

Para este material foram seguidas as clusulas de EC2 relativas ao ao para beto armado. Estas do princpios e regras aplicveis a armaduras para beto armado em formas de vares.

As caractersticas da superfcie dos vares de alta aderncia devem ser tais que assegurem a aderncia adequada ao beto [1]. O comportamento do ao das armaduras para beto armado necessrio para este estudo definido apenas pela propriedade, tenso de cedncia fyk, as regras de aplicao do EC2, restringem aos com 400 (MPa) fyk 600 (MPa) [1]. Para o clculo das armaduras ordinrias em seces transversais para beto, o diagrama tenso - extenso, encontra-se indicado na figura [1].

Figura 7. Diagrama tenso extenso para armaduras ordinrias


ykyd

S

ff

=

2.23

O valor de s igual a 1.15.

Para o ao considera-se um diagrama elstico linear at tenso de cedncia e depois um patamar de elasticidade sem limite de extenso como se pode ver na figura, linha B.

O valor do mdulo de elasticidade tem o valor 200 GPa.

2.2.2.2 Estados limites de servio

Na verificao estado limite de servio respectiva tenso no ao, o limite considerado k3fyk, com k3=0,8, este o valor recomendado pelo EC2 para casos em que a tenso no ao no devida somente a deformao imposta.

2.3 Esforos

2.3.1 Compresso simples

Diz-se que um elemento est sujeito compresso simples, quando, sob uma aco de foras paralelas ao seu eixo, este se mantiver rectilneo durante a deformao provocada por essas foras [14]. Em estruturas de beto armado no corrente o aparecimento de peas sujeitas a compresso simples devido a inevitveis excentricidades dos esforos normais ou continuidade com outros elementos.

Figura 8. Elemento sujeito compresso simples

2.3.2 Flexo

Flexo um esforo muito comum, que est presente praticamente em todos os elementos de uma estrutura, um esforo que praticamente no pode ser evitado, pois muito difcil que a resultante dos esforos na seco transversal, na direco longitudinal, de uma seco coincidam com o centro de gravidade deste.


2.3.2.1 Flexo simples

definida pela actuao do esforo transverso e momento flector simultaneamente, ver figura 9. A deformao longitudinal das fibras devido ao momento flector, resulta da rotao de cada seco em torno do eixo neutro, o valor das tenses linear em cada seco, sendo nulo no eixo neutro. O esforo de corte tambm gera deformao longitudinal, dando lugar a deformaes cujo valor aumenta nas fibras exteriores (onde assume valor nulo) at ao centro da seco [12].

Figura 9. Esforos numa pea sujeita flexo simples.

2.3.2.2 Flexo composta

A flexo composta o esforo resultante da combinao do esforo axial, com o esforo de flexo devido ao momento flector. Se substituirmos o momento flector por um esforo axial excntrico, podemos considerar que a flexo composta corresponde actuao de um esforo normal N, situado num dos planos mdios do elemento, mas excntrico em relao ao outro, isto N no passa pelo centro de gravidade G da seco [12].

Equivale

Figura 10. Esforos numa pea sujeita flexo composta.

Consoante a relao N, M a seco pode estar totalmente comprimida, comprimida e traccionada ou completamente traccionada


2.3.2.3 Flexo composta desviada

Este tipo de flexo o esforo resultante da combinao do esforo axial, com o esforo de flexo devido a momentos flectores em torno de eixo distintos. Podemos substituir os momentos flectores por um esforo axial excntrico ao centro de gravidade G, este vai estar aplicado fora dos eixos principais de inrcia que passam pelo centro de gravidade G da seco transversal [12].

equivalente a

Figura 11. Esforos numa pea sujeita flexo composta, desviada

A flexo composta desviada um problema de resoluo complexa, porque a seco activa depende da posio do eixo neutro. O eixo neutro no perpendicular ao eixo da solicitao, a deformao d-se perpendicularmente ao eixo neutro, a direco do eixo neutro varia com os esforos, ento a deformao tambm varia.

2.4 Princpios de clculo

Os esforos interiores, as foras interiores e as tenses interiores de uma seco tm que ser equivalentes.

A figura seguinte apresenta a equivalncia entre diferentes sistemas de solicitaes numa seco de beto armado. importante ter em ateno que o princpio da sobreposio no vlido para seces fissuradas [5].

Figura 12. Equivalncia entre diferentes sistemas de solicitaes numa seco de beto armado.


As fibras de um elemento de beto armado sujeito flexo deformam-se, e neste processo passam de elementos lineares rectilneos, a elementos com uma curvatura com um determinado raio. O elemento linear inicial e o elemento linear deformado esto contidos no mesmo plano e a curva da fibra flectida uma curva plana.

Figura 13. Mudar figura, hiptese das seces plana aps deformada

Atravs das relaes do elemento deformado vem que:

z z dzr r y

+=

+

z dz r yz r

+ +=

(2.24)

1 1 ydzz r

+ = +

( ) 1c y yr

= (2.25)

Considerando a flexo de uma viga, sujeita aco de momentos flectores de sinais opostos nas extremidades, em que a seco tem um eixo de simetria, coincidente com o eixo Oy, sendo Ox o eixo do elemento coincidente com o lugar geomtrico dos centros de gravidade (para a pea no deformada), e Oz perpendicular ao plano Oxy coincidente com o plano de solicitao. No que se segue considera-se que o eixo dos y um eixo de simetria da seco, podendo portanto considerar-se a teoria que se vai desenvolver neste pargrafo como aplicvel a vigas cuja seco recta tem um eixo de simetria. Considere-se uma seco transversal abcd, o qual aps a deformao ocupa a posio abcd, e admita-se que durante a deformao, as seces transversais da viga permanecem planas e perpendiculares ao eixo da viga. Esta hiptese fundamental no desenvolvimento da teoria de elementos flexo simples [14].

Figura 14. Viga em flexo pura


Esta hiptese completamente verdadeira para elementos sujeitos a flexo pura, no entanto se tambm existirem esforos de corte um pequeno erro introduzido ao considera-la vlida, contudo vai considerar-se vlida esta hiptese em qualquer circunstncia, desde que as dimenses da seco recta sejam significativamente menores que a dimenso da viga segundo o eixo.

Para peas em que a relao vo altura seja menor que dois, e que at poderiam ser considerados lineares como vigas parede esta hiptese no vlida.

Figura 15. Reapresentao das tenses interiores em elementos com diferente relao l/h.

Solidariedade dos materiais: existe uma aderncia perfeita entre a armadura e o beto que a envolve, com esta hiptese a deformao de uma barra da armadura igual extenso do beto que lhe adjacente [12].

2.5 Verificaes para estado limite ltimo

2.5.1 Determinao das foras interiores

2.5.1.1 Beto

Considerando um diagrama parbola rectngulo, a determinao das foras interiores no beto de compresso, feita integrando o diagrama de tenses na rea comprimida do beto [5]:

cc

c c cc

A

F dA= (2.26)

Figura 16. Tenses no ao e beto considerando o modelo, parbola rectngulo


Tenses compresso beto

A resultante das foras de compresso no beto encontra-se aplicada no centro de gravidade do volume representado pelas tenses de compresso (parbola - rectngulo). Para seces rectangulares possvel simplificar o clculo dos integrais e obter coeficientes que simplificam o clculo dos integrais atravs da introduo de dois coeficientes 1 e 2 [5]:

1cc cdF bxf= (2.27)

2z d x= (2.28)

Obtendo-se ento (designando cmx por ), para 0.002 > :

13 2

3

= (2.29)

( )( )2

3 4 22 3 2

+=

(2.30)

2.5.1.2 Ao

A fora nas armaduras obtida atravs da relao:

=s s sF A (2.31)

Que conduz s duas situaes distintas:

s s s sF E A=, para s yd (2.32)

=ys s

F f A , para s yd (2.33)

[5]

2.5.2 Dimensionamento armadura

Considerando que a rotura de elementos de beto armado sujeitos a flexo simples provocada por esmagamento do beto (em excepo de seces com pouca percentagem de armadura), pode basear-se o dimensionamento na hiptese de que na aresta comprimida, a deformao e tenso de ruptura do beto so atingidas [5]. Tendo em conta que as seces em estudo so rectangulares, a partir da hiptese descrita em (Bernoulli n da coisa) que impe a compatibilidade de deformaes possvel determinar a extenso nas armaduras:


Figura 17. Relao tenso extenso seco sujeita a flexo simples.

3,53,5 sd d

+=

3,53,5 s

=

+ (2.34)

Com o beto na sua mxima deformao de 0.0035, (fck 50) os coeficientes 1 e 2 referidos nas equaes (2.29) e (2.30) na determinao das foras interiores no beto, valem respectivamente 0,81 e 0,416.

Atravs das equaes de equilbrio da seco possvel determinar a posio do eixo neutro:

s cF F= (2.35)

1yd s cdf A f b d = (2.36)

0,81 ydscd

fAbd f = = (2.37)

1,234 = (2.38)

Percentagem mecnica de armadura.

Relao entre a altura do eixo neutro e a altura til da seco figura 17.

Pela equivalncia de momentos:

Rd sM F z= (2.39)

( ) ( )2 1 0,514Rd s yd s ydM A f d d A f d = = (2.40)

( ) ( )2 1 0,514 1 0,514s ydRdcd cd

A fMbd f bdf = = (2.41)

( )1 0,514 = (2.42)

2Rd

cd

Mbd f = (2.43)


Conhecida a percentagem mecnica de armadura possvel determinar o momento resistente da seco.

Resolvendo a equao (2.42) em ordem a possvel o dimensionamento de armadura de seces circulares sujeitas a flexo simples.

20,514 0 + = (2.44)

( )0,973 1 1 2,056 = (2.45)

=

b d fcdAs fyd (2.46)

Observao: para que as equaes apresentadas sejam vlidas, necessrio que a extenso no ao seja superior a yd. A necessidade de armadura de compresso surge quando o valor da extenso no ao inferior a yd. Esta necessidade verifica-se pois no econmica a colocao de armadura que no se encontre com a sua capacidade resistente esgotada, e tambm porque o ao em regime elstico gera uma rotura frgil da seco [5].

Este mtodo corresponde a impor um diagrama de deformao no qual =lim, que corresponde a um momento reduzido (lim) sendo assim obtm-se os seguintes valores dependendo da classe de ao:

Tabela 1 - Valores para o qual se torna vantajoso utilizar armadura de compresso

Classe de ao A400 A500

lim 0,668 0,617

lim 0,460 0,425

lim 0,332 0,316

Mlim lim b d2 fcd

O clculo das armaduras de compresso faz-se supondo que a parcela de MSd igual a Mlim equilibrada por parte da armadura de traco As1 e pelo beto comprimido figura 18, e a outra parcela (MSd - Mlim) equilibrada por uma seco s de ao constituda por A'S1 e por parte de AS2 figura 19.


Figura 18. Parcela Msd = Mlim equilibrada por parte da armadura de traco As1 e pelo beto comprimido

lim =sd compM M M (2.47)

Figura 19. Parcela Mcomp equilibrada por uma seco s de ao constituda por A'S1 e por parte de AS2

sup

' =

compMNd C

(2.48)

Em que:

''

=s

yd

NA f , daqui resulta o valor de As1 e As2

Assim a armadura final a seguinte:

'

,inf 1 1 lim( )= +s s sA A A M , e ',sup 2=s sA A

Figura 20. Armadura de elemento com armadura de compresso

2.5.3 Flexo simples e flexo composta

Segundo o EC2, para zonas de vigas sem descontinuidades, em que as seces se mantm aproximadamente planas aps o carregamento, a determinao da resistncia flexo ltima de seces de beto armado baseia-se nas seguintes hipteses:

As seces mantm-se planas;


A extenso nas armaduras aderentes, em traco ou em compresso, a mesma da do beto que as envolve;

A resistncia do beto traco ignorada; As tenses no beto comprimido so obtidas do diagrama de tenses extenses

de clculo, indicado em 2.2.1.1. As tenses nas armaduras de beto armado so obtidas do diagrama de clculo

indicado em 2.2.2.1.

O limite da extenso de compresso no beto de cu2, as tenses no ao para beto armado devem ser limitadas a ud

O domnio admissvel de distribuies de extenses representado na seguinte figura:

A Limite para a extenso de traco do ao para beto armado

B Limite para a extenso de compresso do beto

C Limite para a extenso de compresso simples do beto

Figura 21. Distribuio das tenses admissveis no estado limite ltimo [1].

2.5.4 Esforo transverso

Dependendo da existncia de armadura de esforo transverso no elemento, a verificao da resistncia em relao ao esforo transverso calculada da seguinte forma:

VRd,c O valor de clculo do esforo transverso resistente do elemento sem armadura de esforo transverso

VRd,s Valor de clculo do esforo transverso equilibrado pela armadura de esforo transverso na tenso de cedncia

VRd,Max Valor de clculo do esforo transverso resistente mximo do elemento,

limitado pelo esmagamento das escoras comprimidas


O clculo do valor de resistncia ao esforo transverso do elemento sem armadura de esforo transverso o seguinte:

( ) ( )13, min

0,18max 100 0,15 ; 0,15

= + +

Rd c l ck cp cpc

V k f bd v bd

(2.49) Em que:

Fck (MPa)

K 2001 2,0d

= + , com d em mm

l 0,02slAbd

=

Asl rea da armadura de traco prolongada de um comprimento (lbd + d) para alm da seco considerada.

Figura 22. Definio de Asl.

cp min ;0,2

=

Edcd

c

N fA

vmin 3 12 20,035

ckk f=

Para os elementos armados transversalmente, o clculo baseia-se num modelo de trelia cujo ngulo , das escoras inclinadas na alma est limitado 1 cot() 2.5.

Figura 23. Modelo de trelia para elementos com esforo transverso [1].

A - banzo comprimido, B - escoras, C - banzo traccionado, D - Armadura de esforo transverso


No clculo da resistncia ao esforo transverso seguem-se os seguintes passos:

,cotswRd s yd

AV z fs

= (2.50)

1,max

cot tancw cd

Rdb z fV

=

+ (2.51)

Em que:

Asw rea transversal das armaduras de esforo transverso. s Espaamentos dos estribos.

1 Coeficiente de reduo da resistncia do beto fendilhado por esforo

transverso, o valor recomendado de 1 , 0,6 1 250ckf =

, fck em MPa.

cw Coeficiente que tem em conta o estado de tenso do banzo comprimido, igual a 1 para estruturas no pr-esforadas.

2.5.5 Punoamento em sapatas

O punoamento pode resultar de uma carga concentrada ou de uma carga aplicada, a uma rea relativamente reduzida, por exemplo um pilar que aplica todo o seu esforo axial fundao.

A verificao do punoamento feita dentro de um permetro de controlo, que varia desde a face do pilar at ao contorno de controlo 2d, como representa a figura (12). dentro do permetro de controlo que a relao entre o esforo resistente e o actuante mais desfavorvel.

Considerando a altura til da sapata e o recobrimento constantes.

Figura 24. Contorno de controlo em torno de uma rea carregada rectangular.


VRd Valor de clculo da resistncia ao punoamento de uma sapata sem armadura de punoamento, ao longo da seco de controlo considerada.

No necessria armadura de punoamento se:

VEd


Tabela 2 - Coeficientes dependentes da relao entre as dimenses do pilar

bx/by ou by/bx 0,5 1,0 2,0 3,0

ksx 0,45 0,6 0,7 0,8

ksy 0,45 0,6 0,7 0,8

Figura 25. Distribuio de tenses tangenciais devidas a um momento no equilibrado, na ligao de uma sapata com um pilar

Wx,y Parmetro geomtrico, 2

22 42x

x x y y xbW b b b b pi = + + + +

222 4

2y

y x y x y

bW b b b b pi = + + + +

ex,y Excentricidade EdEd

MN

=

( )13 min0,18 2 2100 = Rd ckcd dV k fa a

(2.55)

c =1,5

min =0,035k3/2fck1/2

2001 2,0Kd

= + , d em mm

0,02l ly lz =

a Distncia da periferia do pilar ao contorno de controlo considerado.

Se ,( )

max 1( )Ed red

Rd

V aV a


2.6 Verificaes Estados Limites de Servio

Nas ltimas dcadas, a limitao das tenses, deformaes e fendilhao, em estruturas tem adquirido grande importncia devido a:

As construes tendem a utilizar vos estruturais maiores; Materiais de alta resistncia tm sido aplicados, enquanto que o seu mdulo de

elasticidade raramente tem aumentado (beto), ou nem sequer aumentou (ao); Aumento das exigncias, quanto esttica, limitao de vibrao e condies de

servio [10].

2.6.1 Limitao de tenses

As regras de dimensionamento do EC2 para os ELU podem conduzir a tenses excessivas no beto e na armadura ordinria em servio. Estas tenses podem, em consequncia, afectar negativamente a aparncia e desempenho em servio e a durabilidade das estruturas de beto H ento necessidade de limitar as tenses para que estes problemas no aconteam [7].

2.6.1.1 Limitao das tenses de compresso no beto

Esta limitao tem como objectivo evitar formaes de fendas longitudinais, a micro fendilhao ou nveis de fluncia elevados, em situaes em que tenham efeitos inadmissveis para o normal funcionamento da estrutura [7]. Os limites considerados so:

c cdf (2.56)

1c ckk f

(2.57)

Na combinao raras. Para as classes de exposio XS e XD, k1=0,6

Figura 26. Limitao da tenso de compresso no beto [7].


2 c ckk f (2.58) Para aco na combinao quase permanente, com k2=0,45 de modo a considerar a fluncia linear

2.6.1.2 Limitao das tenses de traco nas armaduras

As tenses de traco na armadura devem ser limitadas a fim de evitar deformaes no elsticas, assim como nveis de fendilhao e deformao no aceitveis.

considerado que um nvel de fendilhao ou de deformao aceitvel quando para aces sob a combinao raras, a tenso na armadura inferior k3fyk, com k3=0,8 [1].

0,8s ykf (2.59)

2.6.1.3 Mtodos para o clculo das tenses

Para o clculo das tenses tida em conta o estado de fendilhao da seco devida s cargas de servio (combinao raras) e, tambm, aos efeitos da fluncia e da retraco. O clculo das tenses varia, dependendo se a seco est ou no fendilhada.

Os efeitos da fluncia do beto so tidos em conta usando um mdulo de elasticidade efectivo (Ec,eff) para o beto na determinao do coeficiente de homogeneizao ().

,

s

c eff

EE

= (2.60)

( ), 01c

c effEEt t

=

+ (2.61)

2.6.1.3.1 Anlise de tenses em seco no fendilhada

As tenses so calculadas considerando que toda a seco de beto est activa e que tanto o ao como o beto so elsticos em traco e em compresso. Utilizando as expresses da resistncia de materiais calculada a tenso no ao e beto [7]:

Flexo simples cci

Mx

I = , e s c =

(2.62)

M Momento flector, combinao quase permanente

Ici Inrcia seco homogeneizada

Coeficiente de homogeneizao

x

Distncia ao eixo neutro


2.6.1.3.2 Anlise de tenses em seco fendilhada

Para as seces onde a tenso no beto maior do que fctm, considerada a seco fendilhada. Nesta situao considerado que o beto elstico em compresso, mas no resiste a qualquer esforo de traco, e o ao elstico quer em compresso, quer em traco [7].

Figura 27. Anlise de uma seco fendilhada sujeita a um momento flector, flexo simples.

Com referncia figura 27, a equao que permite determinar a posio do eixo neutro para uma seco rectangular sem armadura de compresso :

2 2 2 0 + = (2.63)

Tenso mxima no beto 22

13

=

c

Mbd

(2.64)

Tenso mxima na armadura 21

13

=

s

Mbd

(2.65)

Sendo: xd

= , sc

EE

= , sAbd

= , zd

= (2.66)

2.6.2 Controlo da fendilhao

A fendilhao uma anomalia, frequente e grave. Esta afecta a estanqueidade do elemento, prejudica a sua aparncia, facilita infiltraes de gua (oxidao das armaduras) e de outros agentes, e fixa microrganismos, logo reduz a durabilidade do elemento.

Esta patologia depende de vrios factores e envolve fenmenos complexos, ao nvel da classe do beto, microestrutura do beto, quantidades de armadura, tipo de armadura, dimenses de armadura (dimetro), fluncia, retraco, tornando-se difcil de controlar completamente [13].


As regras prticas, para o controlo da fendilhao em elementos de beto armado, esto presentes no EC2, onde abordado o comportamento de elementos de beto fendilhado, informao acerca da abertura de fendas que pode ser crtica com relao durabilidade, expresso adequada para calcular a abertura de fendas, e regras simplificadas para controlo da fendilhao que consistem na definio da armadura mnima, limitao dos dimetros dos vares e limitao do espaamento entre vares.

Para analisar o estado de fendilhao de uma seco compara-se o valor do momento flector para a combinao raras com o momento de fendilhao, se este for maior ento temos a seco fendilhada.

O momento de fendilhao corresponde ao momento para o qual a ct > fctm combinao raras.

2.6.2.1 Causas da fendilhao

As causas da fendilhao podem se dividir em dois grupos, fendilhao devido a aces directas, e fendilhao resultante de deformaes impostas.

Fendilhao devida a aces directas, corresponde fendilhao resultante dos esforos nas seces (flexo, esforo transverso, traco), devidas s cargas aplicadas. Nas figuras seguintes, exemplificam-se os tipos de fendas que podem ocorrer para este tipo de solicitao [7].

Fendas de traco que atravessam em geral toda a seco;

Fendas de flexo que se desenvolvem do bordo mais traccionado para a linha neutra;

Fendas de corte que se desenvolvem obliquamente ao eixo da viga;


Fendas de aderncia que se desenvolvem ao longo das armaduras, partindo frequentemente de fendas de flexo. So as mais crticas sob o aspecto da corroso;

A fendilhao resultante de deformaes impostas corresponde fendilhao resultante de causas tais como o assentamento diferencial das fundaes, a retraco ou a variao de temperatura.

O clculo da largura de fendas feito tendo em conta aces directas, o coeficiente de fluncia e retraco do beta (aces indirectas).

2.6.2.2 Limites de abertura de fendas

Existem vrias razes para limitar a abertura das fendas como, a possvel corroso das armaduras devido ao contacto com agentes agressivos, a limitao por motivos estticos, limitar a permeabilidade atravs de fendas (a falta de estanquidade pode ser critica em casos de reservatrios) [7]. A corroso das armaduras trata-se da razo mais frequente invocada para controlar a fendilhao. A proteco contra a corroso tem a ver fundamentalmente com requisitos de durabilidade; os limites a estabelecer para a fendilhao tero a ver, quer com a agressividade do ambiente, quer com a sensibilidade das armaduras corroso.

Um adequado recobrimento das armaduras e um beto de boa qualidade (no poroso) so muito importantes para garantir os limites de fendilhao.

A aparncia das fendas pode ser desagradvel e incomodar os que se servem dos edifcios. Hoje em dia no pode ser adoptado o ponto de vista de que interessa apenas uma estrutura segura sem preocupao com o aspecto. Um dos principais elementos para analisar a qualidade da vida humana a qualidade das habitaes, que est directamente ligada ao aspecto, factor importante para estimar a qualidade.

O valor da abertura de fendas aceitvel do ponto de vista do aspecto depende de vrios factores. Estudos efectuados sugerem que fendas sobre superfcies lisas com aberturas superiores a 0.3mm podem causar preocupao no pblico, sendo por isso de admitir aberturas mximas por volta deste valor [7].


O valor limite segundo o EC2, depende da classe de exposio, assim para classes de exposio X0 e XC1, o limite considerado de 0,4 mm e para os restantes o limite considerado de 0,3 mm.

2.6.2.3 Clculo da abertura de fendas

O EC2 define que a largura de fendas Wk pode ser calculada pela expresso:

( ),maxk r sm cmW S = (2.67)

Em que:

Sr,Max Distncia mxima entre fendas;

sm Extenso mdia da armadura para a combinao de aces considerada, incluindo o efeito das deformaes impostas e considerando a contribuio do beto traccionado. Considera-se apenas a extenso de traco que ocorre para alm do estado de extenso nula do beto no mesmo nvel

cm Extenso mdia no beto entre fendas

sm- cm Calculado pela seguinte expresso:

( ),,

,

1;0,6

+

=

ct effs t e p eff

p eff ssm cm

s s

fk

MaxE E

(2.68)

Em que:

s Tenso na armadura de traco admitindo a seco fendilhada.

e Relao Es/Ecm

p,eff As/Ac,eff

Ac,eff hc,effb

hc,eff ( )2,5 ; ;3 2

h x hMin h d , em que x a distncia ao eixo neutro

kt Coeficiente funo da durao do carregamento, =0,4 para carregamentos de longa durao.


Figura 28. Ilustrao de dimenses necessrias para o clculo da abertura de fendas.

O clculo da distncia mxima entre fendas corresponde ao comprimento necessrio para transmitir por aderncia ao beto uma fora igual fora resistente de traco no beto (fctmAct) [1]. Para distncias entre os eixos das armaduras aderentes localizadas na zona traccionada

menores que 52

c

+

, o clculo da distncia mxima entre fendas segue a seguinte

expresso:

1 2 4,max 3

,

= +r

p eff

k k kS k c (2.69)

Em que:

Dimetro dos vares. No caso de existirem vares de dimetros diferentes numa seco, deve utilizar-se um dimetro equivalente,

eq. Para uma seco com n1 vares de dimetro

1 e n2 vares de dimetro 2, deve utilizar-se a seguinte

Expresso:

2 21 1 2 2

1 1 2 2

+

=

+eqn n

n n (2.70)

c Recobrimento das armaduras longitudinais

k1 Coeficiente que tem em considerao as propriedades de aderncia dos vares, considerando vares de alta aderncia k1=0,8

k2 Coeficiente que tem em conta a distribuio das extenses, para flexo k2=0,5

k3 e k4 So considerados os valores recomendados pelo EC2, 3,4 e 0,425 respectivamente.


2.6.2.4 Controlo de fendilhao sem clculo de abertura de fendas

Como simplificao necessidade do clculo da abertura de fendas, para respectivas verificaes vem, o controlo da fendilhao sem clculo de abertura de fendas. Esta simplificao possvel se se respeitar uma das seguintes tabelas [1]:

Tabela 3 - Dimetros mximos dos vares para o controlo da fendilhao

Tenso no ao [MPa]

Dimetros mximos dos vares [mm]

Wk=0,4 mm Wk=0,3 mm Wk=0,2 mm

160 40 32 25

200 32 25 16

240 20 16 12

280 16 12 8

320 12 10 6

360 10 8 5

400 8 6 4

450 6 5 -

Os valores das tenses, consideradas devem ser as calculadas pela combinao quase permanentes.

Os valores indicados no quadro baseiam-se nas seguintes hipteses: C = 25mm; fct,eff=2,9MPa; hcr=0,5; (h-d) = 0,1h; k1=0,8; k2=0,5; kc=0,4; k=1,0; k4=0,4 e k=1,0. O dimetro mximo dos vares deve ser modificado como se indica a seguir:

Flexo (com pelo menos parte da seco em compresso)

( ),*

2,9 2ct eff c cr

s s

f k hh d

=

(2.71)

Em que:

s Dimetro modificado mximo dos vares

*s Dimetro mximo dos vares indicado na tabela 2

h Altura total da seco


hcr Altura da zona traccionada imediatamente antes da fendilhao, considerando os valores caractersticos do pr-esforo e os esforos normais para a combinao quase - permanente de aces

d Altura til ao centro de gravidade da camada exterior das armaduras

Em vigas com altura> 1 m, cuja armadura principal est concentrada apenas numa pequena parte da altura, necessria a aplicao de uma armadura de pele adicional para o controlo da fendilhao nas faces laterais. A armadura deve ser distribuda uniformemente desde o nvel de armadura de traco at ao eixo neutro e no deve tomar valores inferiores a As,min [1]. Em seces onde ocorram variaes bruscas de tenso, necessria maior ateno quanto aos riscos de formao de fendas:

Mudanas de seco Proximidade de cargas concentradas Seces de interrupo de vares Zonas com elevadas tenses de aderncia, em particular nas extremidades de

sobreposies

2.6.3 Controlo das deformaes

A deformao de um elemento, ou de uma estrutura no deve ser prejudicial ao seu correcto funcionamento, ou ao seu aspecto, sendo estabelecidos valores limites apropriados para as deformaes, tendo em conta a natureza e funo da estrutura.

A deformao de um elemento de beto armado sujeito a esforos de traco ou flexo deve ter em considerao, para alm das caractersticas de deformabilidade do beto e da existncia de armaduras longitudinais, a fendilhao do beto e o comportamento diferido do beto, em resultado da fluncia e retraco [1].

2.6.3.1 Limitao de flechas

Segundo EC2:

A deformao de um elemento ou de uma estrutura no deve ser prejudicial ao seu correcto funcionamento ou ao seu aspecto.

Devem ser estabelecidos para as deformaes valores limites apropriados, tendo em conta a natureza da estrutura, dos acabamentos, das divisrias e acessrios, e a funo da estrutura.

As deformaes no devem exceder os valores compatveis com as deformaes de outros elementos ligados estrutura, tais como divisrias, envidraados, revestimentos,


redes ou acabamentos. Em certos casos poder ser necessrio limitar as deformaes de modo a garantir o correcto funcionamento de mquinas ou de aparelhos suportados pela estrutura, ou de modo a evitar a acumulao de guas pluviais em coberturas planas.

Os valores limites das flechas indicados em seguida constam da ISO 4356 e deveriam garantir em geral um comportamento satisfatrio dos edifcios, tais como edifcios de habitao e de escritrios, edifcios pblicos ou fbricas. necessrio assegurar que os limites so adequados estrutura considerada e que no h requisitos especiais a satisfazer. Outras informaes relativas a flechas e aos seus valores limites podem ser obtidas da ISO 4356.

O aspecto e as condies de utilizao da estrutura podem ser alterados quando a flecha calculada de uma viga, laje ou consola sujeitas a aces quase-permanentes for superior a vo/250. A flecha calculada em relao aos apoios. Poder prever-se uma contra-flecha para compensar parcial ou totalmente as deformaes, mas, em geral, qualquer contra-flecha no deve ser superior a vo/250.

As flechas susceptveis de danificar partes adjacentes estrutura devem ser limitadas. Para as flechas que ocorram depois da construo, o limite vo/500 normalmente adequado para as aces quase - permanentes. Podero ser adoptados outros limites em funo da sensibilidade dos elementos adjacentes. O estado limite de deformao verificado, sem necessidade de clculo da deformada, de acordo com as expresses () e (), consoante a relao entre a e 0 em que calculada a altura mnima para que a limitao da relao vo/altura da seco, verifique.

= + + >

00

0

1 '11 1,5 se ' 12ck ck

l K f fd

(2.72)

= + +

32

0 0011 1,5 3,2 1 se ck ck

l K f fd

(2.73)

Em que:

l/d Valor limite da relao vo altura

K Coeficiente que tem em conta os diferentes sistemas estruturais (em anexo)

0 Taxa de armadura de referncia = 310ckf


Taxa de armaduras de traco necessria a meio vo para equilibrar o momento devido s aces de clculo (no apoio no caso de uma consola). =0, considera-se que no existe armadura de compresso a meio vo para equilibrar o momento devido s aces de clculo.

As expresses (), e (), so obtidas admitindo que, para as aces em ELS, a tenso no ao de 310 MPa o que corresponde sensivelmente a um ao A500, se o ao escolhido for o A400, os valores obtidos das expresses anteriores devem ser multiplicados por:

,

,

310 500s yk s req

s prov

f AA

=

(2.74)

No caso de elementos com vo> 7 m, o valor de l/d deve ser multiplicado por 7/leff.

1 2eff nl l a a= + +

Em que:

ln Distncia livre entre as faces dos apoios

a1, a2 Corresponde em cada extremidade distncia desde a face do pilar at ao centro do apoio como indica a figura 29.

Figura 29. Vo efectivo para vrias condies de apoio

Ento se for considerado que o vo adoptado corresponde distncia entre o centro do apoio de cada extremidade, temos que vo = leff.


Se o limite acima referido (l/d) for satisfeito, pode admitir-se que a respectiva flecha no ir exceder os limites estabelecidos pela ISO4356, assim sendo no necessrio o clculo da flecha.

2.6.3.2 Clculo da deformada

Combinao quase permanente

O mtodo mais rigoroso para o clculo da deformada devido aos momentos flectores feito a partir do clculo por dupla integrao numrica das curvaturas para as vrias seces em que est dividido o elemento. O clculo varia consoante o estado de fendilhao do elemento [7].

Figura 30. Deformada de uma viga simplesmente apoiada

1''

Myr EI

= =

(2.75)

A curvatura total ao longo do tempo (t) a soma da curvatura elstica (1/r)ce e das curvas devidas fluncia (1/r)cc e retraco (1/r)cs.

1 1 1 1t ce cc csr r r r

= + +

(2.76)

Cada um dos termos do segundo membro tem em conta o estado de fendilhao.

O clculo da curvatura elstica, feita usando a equao (2.75), para todas as outras curvaturas a expresso substituda por:

1 cm smcr d

=

(2.77)

Com:

sm Deformao relativa mdia da armadura

cm Deformao relativa mdia do beto na fibra externa;

d Altura til da seco

A curvatura devida fluncia (1/r)cc calculada como mltiplo da curvatura inicial, sob as combinaes quase - permanentes de aces.

A curvatura de fluncia considera o modulo efectivo para o beto dado por:


,

01 ( )=

+ cm

c effEE

t t (2.78)

Em que o coeficiente de fluncia

Devido retraco, a curvatura avaliada da seguinte

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BETAO ARMADO