BERNOULLİ DAĞILIMI

Bernoulli dağılımı bir rassal deney yapıldığında yalnızca iyi, kötü, olumlu-olumsuz,

başarılı-başarısız gibi sadece iki sonuç elde edildiğinde kullanılır.

Tanım : Bir rassal deney yapıldığında bir deneyin sonucu sadece iki sonuç içeriyorsa

bu deneye Bernoulli deneyi denir.

Bernoulli deneyinde iki sonuç olduğuna göre, ilgilenilen sonuç elde edildiğinde bu

sonuca başarı densin ve x=1 ile gösterilsin. Diğer sonuç elde edildiğinde de o sonuca başarısız

densin ve x = 0 şeklinde ifade edilsin. Bu durumda, x rassal değişkenine Bernoulli değişkeni

denir. Bir deneyin başarılı sonuçlanma olasılığa p ise, x rasal değişkeninin olasılık fonksiyonu

şöyledir.

Bu dağılıma Bernoulli dağılımıve X’e de Bernoulli değişkeni adı verilir. Bernoulli

dağılımının tek bir parametresi vardır; o da p’dir.

M(t) = E(etx)

=

= olarak bulunur.

Bernoulli Dağılımının Aritmetik Ortalama ve Varyansı

Birinci momentte t = 0 değeri konursa E(X) bulunur.

M'(t) = p et

M'(0) = p

E(X) = p

bulunur. İkinci momentte t = 0 konursa E(X2) değeri bulunur ve

elde edilir.

bulunur. E(X) ve V(X) beklenen değer tanımından gidilerek de

bulunabilirdi.

Örnek : Bir otomobil sürücüsünün yarışı kazanma olasılığı 0,7 ve kazanmama

olasılığa 0,3’tür. bu otomobil yarışmacısı için olasılık fonksiyonu yazıp, E(X) ve V(X)’i

bulunuz.

ÇÖZÜM : X rassal değişkeni sürücünün yarışı kazandığı zaman 1 değerini,

kazanmadığı zaman 0 değerini alan bir Bernoulli değişkenidir. O zaman olasılık fonksiyonu

BİNOM DAĞILIMI (İKİ TERİMLİ DAĞILIM)

Bernoulli dağılımında deney bir kez yapılıyor ve olumlu veya başarılı sonuçla

ilgileniyordu. Eğer deney bir defa değil, n defa peş peşe birbirinden bağımsız olmak üzere

tekrarlandığında yine olumlu veya başarılı sonuçla ilgileniyorsa, Bernoulli dağılımının özel

bir genel hali ortaya çıkar ve bu dağılıma Binom dağılımı denir.

Binom dağılımının kullanım alanı oldukça geniştir. Binom dağılımından yararlanmak

isteniyorsa aşağıdaki koşulların sağlanması gerekir.

a. Rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlanmalıdır.

b. Her deneyin olumlu-olumsuz, evet – hayır, beyaz – beyaz değil, iyi – kötü, gibi

iki olanaklı sonucu olmalıdır.

c. Bir deneyde arzu edilen sonuç elde etme olasılığı p ve arzu edilmeyen sonuç elde

etme olasılığı olan 1 – p = q, bir deneyde ötekine değişmemelidir. Bir başka ifade

ile p ve q, n deney için sabit olmalıdır.

d. Her deney birbirinden bağımsız olmalıdır. Yani, bir deneyin sonucu, diğer

deneylerin sonuçları üzerinde etkili olmamalıdır.

Bu dört koşulun sağladığı n tane Bernoulli deneyinde

rassal değişken X’in alacağı değerler, karşılaşılan olumlu sonuç sayısına bağlı olarak

(0, 1, 2, .....,n)ortaya çıkacaktır.

İki olanaklı sonucu olan bir deney ayrı koşullar altında n defa tekrarlansın.

Deneylerden herhangi birinde istenen sonucu elde etme olasılığı p, istenmeyen sonucu elde

etme olasılığı da q = 1 – p olsun. Deneyler birbirlerinden bağımsız olduklarında X = 1 istenen

ve X = 0 da istenmeyen sonucu göstermek üzere

P{ilk x deney X=1, kalan n – x X = 0}

= p.p......p. (1– p). (1– p)....... (1– p)

x tane n-x tane

=

olur. n deneyde x kez istenen sonuç elde etme olasılığa aranıyorsa, bundan belli bir

sıranın gözetilmediği anlaşılmalıdır. Bu ise kombinasyon kavramı ile bulunabilir. Her bir

istenen sonucun ortaya çıkma olasılığa olduğuna göre, n deneyde x istenen

sonucun elde edilmesi

şeklinde yazılabilir.

Tanım : X rassal değişkenlerinin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi olsun.

Olasılıkların binom açılımındaki terimlerden oluşması nedeniyle, yukarıdaki

dağılıma binom dağılımı, olasılıkları veren fonksiyona binom olasılık fonksiyonu,

sayılarına binom kat sayıları ve böyle bir dağılıma sahip değişkene de binom rassal değişkeni

denir. Binom dağılımı B(x; n,p) veya B(n, p) şeklinde de gösterilir.

Tek bir deneyde istenen sonuç p se deney n kez tekrarlandığında x kez istenen

sonucu elde etme olasılığını

fonksiyonu veriyorsa, başarı sayısını gösteren X rassal değişkeni bir binom dağılıma

sahiptir denir. Aslında, n ve p’nin alabileceği değerlere göre sayısız binom dağılımı vardır. Bu

nedenle binom dağılımını belirleyen n ve p değerleri, aynı zamanda bu dağılımın

parametrelerdir. p = q durumunda binom dağılımı simetrik olup, p q için simetriden

uzaklaştırılır n sabit kaldığında p 0,5 için ve p sabit kaldığında n için dağılır, simetriye

yaklaşır.

Binom dağılımında yer alan binom katsayıları ’in, deney sayısı n arttıkça

hesaplanması zorlaşır. Bu nedenle, n ve p’nin değişik değerlere göre hazırlanmış tabloları

vardır ve onlardan yararlanılır.

Binom Dağılımının Moment Çıkaran Fonksiyonu

Binom Dağılımının Aritmetik Ortalama ve Varyansı

Binom dağılımının aritmetik ortalaması ve varyansı değişik yaklaşımlarla

bulunabilir.

a. Moment Çıkaran Fonksiyondan Gidilerek

Binom dağılımının moment çıkaran fonksiyonu

olarak bulunmuştu. M(t)’nin birinci ve ikinci türevleri şöyledir.

Bu türevlerde t yerine sıfır değeri konulursa (t = 0),

ve

olacağından

olur.

olduğundan

elde edilir.

b. Bernoulli Deneylerine Bağlı Olarak

y bir Bernoulli değişkeni olsun. E(y) = p olduğu biliniyor. X istenen sonucu

gösterdiğine göre n düzeydeki istenen sonuçların sayısı

olacaktır. O zaman

n tane deney bağımsız olduğundan, beklenen değerin özelliklerinden yararlanarak

elde edilir. Aynı şekilde

yi’ler bağımsız olduğundan özelliğine göre

Uygulamada, p’nin tahmininden başka bir şey olmayan x/n istenen sonuç oranı ile

daha çok ilgilenir. Bu oranın beklenen değeri ve varyansı, beklenen değer ve varyans

özelliklerinden gidilerek kolaylıkla bulunabilir.

Örnek : Bir para 64 kez atılsın. Bulunan turaların sayısının ortalanması ve standart

sapmasını bulunuz.

Çözüm : X rasgele değişkeni bir paranın 64 kez atılışındaki turaların sayısı olsun. o

halde, binom dağılımına sahiptir. Bu nedene sırasıyla

Örnek : Bir basketbol oyuncusunun, topu basket yapmasının ortalaması 0,25’tir. Her

atışın bir diğerinden bağımsız olduğu varsayımı altında, yapılan bir maçta bu oyuncu dört

defa atış yaparsa,

a. Bir tanesinde başarılı olma

b. En az bir tanesinde başarılı olma olasılıklarını bulunuz.

Çözüm : X, topun potaya girme olayını göstersin

P = ¼ ve n = 4 olduğuna göre

a.

b.

Örnek : Üniversiteye giren öğrencilerin %40’ının eğitimlerini tamamlayamadıkları

bilinmektedir. Rassal olarak 6 öğrenci seçildiğinde, bunların yarısından fazlasının eğitimlerini

tamamlamasının olasılığı nedir?

Çözüm : X eğitimlerini tamamlayan öğrencileri göstersin.

P = 1 – 0,40 = 0,60’dır.

Örnek : X rassal değişkenlerinin moment çıkaran fonksiyonu

olarak verildiğine göre

a. ve olasılıklarını bulunuz.

b. X’in beklenen değeri ve varyansını bulunuz.

Çözüm :

M(t), bir binom dağılımın moment çıkaran fonksiyonudur. Bu durumda p = 1/3, q =

2/3 ve n = 4’tür.

a.

b.

GENELLEŞTİRİLMİŞ BİNOM DAĞILIMI (Çok Terimli Dağılım)

Binom dağılımı yalnızca iki olanaklı sonuca dayalı birbirinden bağımsız n tane deney

için geçerli idi. Bu kez bir deneyde ile gösterilen ayrık sonuçların elde

edildiğini düşünelim. Deney a kez tekrarlandığında her bir Ei’nin (i = 1,2,.......,k) elde ediliş

sayısının ortak dağılımı çok terimli dağılımdır. Çok terimli dağılım binom dağılımının

genelleştirilmesidir.

Tanım : (Çok terimli rasgele değişken) deneyin ayrık sonuçları

olsunlar. rasgele değişkeni n bağımsız denemede her bir E i’nin elde ediliş

sayısı ve tek bir denemede Ei’nin olasılığı Pi(i=1, 2,.....,k) olsun. Bu takdirde (

) rasgele değişkenine çok terimli rasgele değişken denir.

Örnek : Bir zar atılsın. X1, 1’in, X2, 2’nin,...... X6, 6’nın elde ediliş sayısı olsun. (

) çok terimli değişkendir.

Teorem : (Çok Terimli Dağılım)

Bir tek denemede Pi olasılıklarını (i = 1,2,.......,k) ile n bağımsız

denemeden oluşan bir deney için çok terimli rasgele değişken ise nin ortak

olasılık dağılımı aşağıdaki fonksiyonu ile verilir.

’dir. Bu dağılıma çok terimli dağılım denir.

İspat : n bağımsız denemede belli bir sırada E1’in x1 kez E2’nin x2 kez,.....Ek’nın xk

kez elde edilme olasılığı ’dır.

Olayların herhangi bir sırada elde edilmesi ile ilgilendiğimizden buradaki ayrık

yolların sayısı ’dir.

Bu yüzden olmak üzere (x1, x2,..... xk) rasgele değişkeninin

ortak olasılık fonksiyonu

Teoremdeki olasılık fonksiyonu ’nin çok terimli açılımındaki

genel terim olduğundan bu olasılık dağılımına çok terimli dağılım denir.

k = 2 için fonksiyon binom dağılımına indirgenir.

Örnek : Bir zar oniki kez atılsın. İki kez bir, üç kez iki, bir kez üç, iki kez dört, üç

kez beş, bir kez altı gelme olasılığı nedir?

Çözüm : rasgele değişken ile bir zar on iki kez atıldığında bir, iki,

üç,...... altının kaç kez elde edildiğini bulalım. Buna göre çok terimli

dağılımına sahiptir.

Buna göre

ve n = 12

Teorem gereği :

Teorem : (X1, X2,.....Xk) rasgele değişkeni çok terimli dağılıma sahip olsun. Bu

takdirde ve

Örnek : Bir bölgesini kişiler, çalışmayanlar, iş verenler, ücretli çalışanlar ve kendi

hesaplarına çalışanlar olmak üzere dört gruba ayrılmışlardır. Bu bölgede yaşayan 100 kişi ele

alınmış ve bunlardan 30 kişinin işveren, 40 kişinin ücretli çalışan, 10 kişinin kendi hesabına

çalışan olduğu ve 20 kişinin de çalışmadığı ortaya çıkmıştır.

a. Dağılımın olasılık fonksiyonunu bulunuz.

b. Bu bölgeden 8 kişi ele alındığında 3 kişinin işveren 2 kişinin ücretli çalışan

olmasının ve 3 kişinin de çalışmamasının olasılığınım bulunuz.

c. Bu çok terimli dağılımın aritmetik ortalamasının varyansını ve moment çıkaran

fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm :

X1 = Seçilen işveren sayısı

X2 = Seçilen ücretli sayısı

X3 = Seçilen çalışmayanların sayısı

X4 = Seçilen kendi hesabına çalışanların sayısı olsun

a. Dağılım fonksiyonu, olmak üzere

şeklinde yazılır.

b. n = 8 ve sırası ile ’ün meydana gelme olasılıklarını

göstersin. O zaman

ve

x1 = 3, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 0 olur.

İstenen olasılık

şeklinde elde edilir.

c.

olduğundan

bulunur. Bunlara ilişkin varyanslar da şöyledir.

Moment çıkaran fonksiyon ise

olarak elde edilir.

GEOMETRİK DAĞILIM

Arka arkaya n kez tekrarlanan bir Bernoulli deneyi ele alınsın ve ilk istenen sonucun

elde edilmesi için yapılan deney sayısı X olsun. X’e geometrik rassal değişken denir. Binom

dağılımında deney sayısı sabit, istenen sonuçların sayısı bir rassal değişken iken; geometrik

dağılımda istenen sonucun sayısı bire eşit olmak üzere bir sayı, deneylerin sayısı ise bir rassal

değişkendir.

Örneğin, hedefe atış yapan bir nişancının hedefi ilk kez vurması için gereken atış

sayısı, bir para yazı gelinceye kadar atıldığında ilk yazı gelene kadar yapılan denemelerin

sayısı vb. birer geometrik rassal değişkendir.

Tanım : İlk (x – 1) deneyin istenen sonucu vermemesi ve x’inci deneyin istenen

sonucu vermesi durumunda geometrik dağılım şöyle tanımlanır :

İspat : İlk başarının elde edilmesi için gerekli denemelerin sayısı x = 1, 2, 3,..... ve

ilk başarıdan önceki başarısızlıkların sayısı (x- 1) olsun. Örneğin ilk yazı gelene kadar yapılan

denemelerde TTTY şeklindeki gösterimde TTT (x – 1), y x olur.O halde başarının takip

ettiği dizinin olasılığı

Buradan;

= p(1 + q + q2 + .....)

Örnek : 4 elde edinceye kadar bir zarı atalım.

a. Bağımsız atışlar dizisinde ilk 4’ün elde edilmesi için gereken atışların sayısının

olasılık fonksiyonu

b. 2. denemede 4 bulma olasılığını bulunuz.

Çözüm : İlk 4’ün elde edilmesi için gereken atışların sayısı X rasgele değişkeni

olsun. bu takdirde, olmak üzere, X geometrik dağılıma sahiptir.

a. X’in olasılık fonksiyonu

b. 2. Atışta 4 elde etme olasılığı,

X Rasgele Değişkeninin Dağılım Fonksiyonu

elde edilir. Buna göre

Geometrik Dağılımın Moment Çıkaran Fonksiyonu

Moment çıkaran fonksiyonun tanımından hareket edilirse,

ilk terimi etq olan bir geometrik serinin toplamıdır. olduğu

için bu geometrik serinin toplamı da

ifadesine eşittir. Bulunan bu değer yerine konulursa

elde edilir.

Geometrik Dağılımın Beklenen Değer ve Varyansı

a. Beklenen değer tanımından

elde edilir.

Varyansı;

eşitliğinden yararlanarak bulabiliriz.

bulunur. Böylece

elde edilir.

b. Moment çıkaran fonksiyon yardımı ile de E(X) ve V(X) elde edilebilir.

Örnek : Bir tavla zarını 6 elde edinceye kadar atalım.

a. İlk 6’nın elde edilmesi için gereken atış sayısının olasılık ve dağılım

fonksiyonlarını

b. 3. Atışta 6 bulma olasılığını

c. 6 elde etmek için gerekli atış sayısının beklenen değerini ve varyansını bulunuz.

Çözüm :

a.

b.

c.

Örnek : Bir atıcının her atışta hedefi vurma olasılığı ’tür. Arka arkaya yapılan

atışlar sonucunda hedefi ilk kez vurması için gereken atış sayısı X olduğuna göre;

a. Hedefi ilk kez üçüncü atışta

b. Hedefi ilk kez en çok dördüncü atışta vurma olasılıklarını hesaplayınız.

c. Hedefte ilk vuruşu elde edinceye kadar, atıcı ortalama olarak kaç atış yapmalıdır?

Çözüm :

a.

b.

c.

NEGATİF BİNOM DAĞILIM (PASCAL BİNOM DAĞILIMI)

Geometrik dağılımda istenen şey, bağımsız Bernoulli deneylerinde, ilk başarının elde

edilmesi için gerekli deney sayısını belirlemekti. Eğer ilk başarı değil de k tane başarı elde

edilmesi söz konusu ise, geometrik dağılımın genelleştirilmiş hali olan Pascal dağılımını

kullanmak gerekir.

Bir deneyde k sayıda başarı elde edinceye kadar devam edilsin. k başarının elde

edilmesi için gerekli deneylerin sayısı, X rassal değişkeni ile gösterildiğinde, X rassal

değişkenine Pascal rassal değişkeni denir.

Örneğin bir parayı 6 tura elde edinceye kadar art arda attığımızda 6 tura bulmak için

gerekli atış sayısı pascal dağılımını gösterir.

Olasılık Fonksiyonu : Bir deneyde istenen sonucun meydana gelmesi olasılığına p,

istenen sonucun meydana gelmemesi olasılığına 1 – p ve istenen sonucun elde edilme sayısına

da k densin. X, k’nın meydana gelmesi için gerekli deney sayısını gösteren bir rassal değişken

olduğunda, olasılık fonksiyonu şöyledir. :

Bu olasılık fonksiyonu k ve p değerlerine gere değiştiğinden dolayı, k ve p pascal

dağılımının parametreleridir.

İspat : k 1 başarının gerçekleşmesi için gereken denemelerin sayısı olsun (k – 1)

başarı veren denemelerin sayısını (x – 1) alalım. k ve x için A ve B sayılarını düşünelim.

A = {ilk x-1 denemede k-1 başarı}

B= {x’inci denemede başarı}

Denemeler birbirinden bağımsız A ve B olayları bağımsızca P(B) = p’dir.

f(x) = P(A).P(B) olur. buradan

x’inci deney

(x – 1).inci deney

Sonuç olarak

, x= k,k+1,........ elde edilir.

Örnek : Bir zar atılasın. 6. Atışta .2. kez 4 gelme olasılığı nedir_

Çözüm : x = 6, k=2 ve olmak üzere

P(6. atışta 2. kez 4 elde etme) = olur.

Pascal Dağılımının Moment Çıkaran Fonksiyonu

Pascal dağılımının moment çıkaran fonksiyonu şu şekilde bulunur.

olduğundan

=

moment çıkaran fonksiyondan yaralanarak beklenen değer ve varyansı elde ederiz.

Pascal Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı

Pascal dağılımının beklenen değeri geometrik dağılımları moment çıkaran fonksiyon,

beklenen değer ve varyans tanımlarından da bulunabilir. Biz beklenen değer tanımından

giderek bulalım.

Varyans da

olduğundan

Gerekli işlemler yapıldığında

Moment çıkaran fonksiyondan yararlanarak beklenen değeri ve varyansı bulalım.

Binom Dağılımı ve Negatif Binom Dağılımı Arasındaki İlişki

X rassal değişkeni bir Binom dağılımına ve Y rassal değişkeni de bir Negatif Binom

dağılıma sahip olsun.

a.

Eşitliğin anlamı şudur. İlk n deneydeki başarı sayısı k’ya eşit veya daha büyükse, ilk

k başarıyı elde etmek için gerekli olan deney sayısı n’e eşit veya daha küçüktür.

b.

Eşitliği de; ilk n deneydeki başarı sayısı k’dan küçükse, k başarıyı elde etmek için

n’den çok deney gerekir anlamına gelir.

Örnek : Bir atıcının her atışta hedefi vurma olasılığı sabit olup ¾’e eşittir.

a. 10 kere hedefi vurabilmek için gerekli olan atış sayısı x rassal değişkeni

gösterdiğine göre, x’in olasılık fonksiyonunu yazınız.

b. 7 kere hedefi vurabilmek için 9 atış yapma ve en çok 12 atış yapma olasılıklarını

bulunuz.

Çözüm :

a. k = 10 olduğundan

b.

Örnek : Bir ev kadınının reçel yapmak için 10 tane sağlam şeftaliye ihtiyacı vardır.

Elinde bulunan bir sandık şeftalinin ’ü çürüktür.

a. x sağlam şeftalileri elde etmek için gerekli deney sayısını gösterdiğine göre x’in

olasılık fonksiyonunu bulunuz.

b. İhtiyacını karşılamak için sandıktan 20 şeftali seçerse, 10 tanesinin sağlam olma

olasılığı nedir?

Çözüm :

a. sağlam şeftali seçme olasılığı

çürük şeftali seçme olasılığı

b.

HİPERGEOMETRİK DAĞILIM

İçinde iki çeşit nesne bulunan sonlu sayıda öğeden oluşan bir kitle düşünelim. Tekrar

yerine koymaksızın ardışık olarak sabit büyüklükte bir örneklem çekimi yaptığımız takdirde

hipergeometrik dağılımı kullanırız. Hipergeometrik dağılımı aşağıdaki üç koşul sağlandığı

takdirde kullanırız.

1. Bir deney iki olanaklı sonuca sahipse

2. Deneyin tekrarlanma sayısı sabitse

3. Deneyler bağımlı ise

Hipergeometrik Rasgele Değişken : Sonlu sayıda N öğeden oluşan bir kitlede N1

ilgilendiğimiz, N2 ilgilenmediğimiz sonuçların sayılarını göstersin. Rasgele n tane öğe

seçelim. X bu n tane içindeki ilgilenilen sonuç sayısını göstersin. X’e rasgele hipergeometrik

değişken denir.

Örnek :

1. Bir eczanede 50 kutu Aspirin 100 kutuda vermidon hapı vardır. Karışık

kolilenmiş olan kutulardan kolinin üstünden yerine koymaksızın 10 kutu hap

seçiyoruz. X rasgele değişkeni seçilen aspirin sayısıdır.

2. Bir yarışma programı için 3 milyon tane telefon numarası belirleniyor. Bunlardan

2 milyonu ev, 1 milyonu işyeri telefonudur. 50 tane numara seçiliyor. Aranan

numaralar içinde ev telefonu sayısı?

Seçilen n öğelik grup

N1 birimden oluşan

örneklem

Hipergeometrik Olasılık Fonksiyonu

N birimlik canlı bir örneklem uzayı alalım; N1 tanesinin sonucu ile ilgilenelim. N2

tanesiyle ilgilenmeyelim. N = N1 + N2. Bu örneklem uzayında n birimlik bir grup iadesiz

olarak çekilsin. x n uzayı ilgilenilen sonuçlar olsun.

x = 0,1,...........n için

Örnek :

Bir kutuda 3 kusurlu 7 kusursuz parça vardır. Tekrar yerine koymaksızın 3 parça

çekiliyor. Çekilen kusurlu parçaların sayısının olasılık fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm :

X rasgele değişkeni çekilen kusurlu parçaların sayısı olsun. O halde, N = 10, n = 3

ve x = 0,1,2,3’dir. Bu nedenle denklemden yararlanarak

0,1,2 ve 3 kusurlu parça sayısına karşılık gelen olasılıklar sırasıyla

X 0 1 2 3

(X=x)

X’in hipergeometrik dağılım tablosu

Örnek : İçinde 4’ü siyah, 2’si kırmızı olmak üzere 6 top bulunan bir torbadan, 2 tane

top iadesiz olarak çekilmiştir. X rassal değişkeni çekilen siyah top sayısını gösterdiğine göre;

a. X’in olasılık fonksiyonunu yazınız

b. Çekilen toplardan hiçbirisinin siyah top olmama olasılığı

c. En az bir tanesinin siyah top olma olasılığını bulunuz.

Çözüm :

a. Torbada 4 siyah top bulunduğuna ve torbadan da toplam 2 tane top

çekilebileceğine göre X’in alabileceği değerler 0,1 ve 2 olacaktır. O zaman

olasılık fonksiyonu

b.

c.

Örnek : İş için başvuran her 10 adaydan 6’sının üniversite mezunu olduğu

bilinmektedir. Rassal olarak seçilen 4 aday arasından

a. Üçünün

b. En çok üçünün üniversite mezunu olma olasılığını bulunuz.

Çözüm:

X rassal değişkeni üniversite mezunlarını göstermek üzere ve seçilenler iadesiz

olduğuna göre olasılık fonksiyonu şöyledir.

a. bulunur.

b.

Örnek : Vergi beyanında bulunanlardan 15 kişinin dosyası seçilerek Maliye

Bakanlığı’nın kontrol memurları tarafından inceleniyor. Bu dosyalardan 10 tanesinde

yanlışlık bulunuyor. Rassal olarak alınacak 4 dosyanın

a. Yalnızca bir tanesinin,

b. Hepsinin yanlış beyanlı dosya olma olasılığını bulunuz.

Çözüm :

Seçim iadesiz yapılacağından, bu problemin olasılık fonksiyonunu, X rassal

değişkeni olmak üzere aşağıdaki gibi olacaktır.

a.

b. bulunur.

GENELLEŞTİRİLMİŞ HİPERGEOMETRİK DAĞILIM

Hipergeometrik dağılımda, ana kütledeki birimler N1 ve N2 olmak üzere (N1+N2= N)

iki gruba ayrılıyor ve iadesiz olarak birim seçme yoluna gidiliyordu. Eğer ana kütledeki

birimlerinin iki değil de k tane gruba ayrıldığı düşünülürse, genelleştirilmiş hipergeometrik

dağılıma geçilir.

Bir deneyin birbiri ile bağdaşmayan k olanaklı sonucu varsa, deney n kez

tekrarlandığında koşullar değişiyorsa, x1 kez s1 ; x2 kez, s2 ; xk kez, sk sonuçlarını alma

olasılıkları genelleştirilmiş hipergeometrik dağılım tarafından bulunabilir ve şu şekilde

tanımlanır.

Tanım : Genelleştirilmiş Hipergeometrik Olasılık Fonksiyonu

şeklinde tanımlanır.

ÖRNEK :

İçinde 3 kırmızı, 4 siyah ve 3 tane de yeşil top bulunan bir torbadan iadesiz yöntemle

3 top seçiliyor.

a) İki tanesinin yeşil top olması,

b) Birinin yeşil, birinin siyah olması ve birinin de kırmızı olması,

c) Birinin siyah, ikisinin de kırmızı top olma olasılıklarını bulunuz.

ÇÖZÜM :

a) X, seçilecek yeşil topların sayısını gösteren rassal değişken olsun. O

zaman, torbadaki topların yeşil olanlar ve olmayanlar diye ayırarak, hipergeometrik

dağılımdan yararlanılabilir.

bulunur.

b) Bu durumda genelleştirilmiş hipergeometrik dağılımı kullanılır.

c) bulunur.

POISSON DAĞILIMI

En çok kullanılan dağılımlardan birisidir. Küçük olasılıklar dağılımı da denir. Belli

ve çok dar bir zaman aralığında az rastlanan olaylar bu tür dağılım gösterirler.

Örnek : Boğaziçi köprüsünde meydana gelen günlük kazaların sayısı, verilen belirli

bir zamanda bir şirkete yapılan sigorta isteği sayısı, bir havaalanından her saat kalkan ve inen

uçakların sayısı

Bu dağılımda zaman çok küçük parçalara bölündüğünden bu zaman içinde yalnızca

bir olay ya gerçekleşir yada gerçekleşmez. Binom dağılımı n tane deneydeki başarı sayısı ile

ilgilenirken, bu dağılım belirli bir aralıktaki ilgilenilen sonucun sayısı ile uğraşır.

Poisson dağılımının kullanılması için şu koşullar gerçekleşmelidir.

1. İki ayrık zaman aralığında (yada uzayda) ortaya çıkan olaylar birbirinden

bağımsızdır.

2. Tanımlanan aralıkta (yada uzayda) ilgilenilen olayın ortaya çıkma olasılığı sabit

olup, değişmemektedir.

Poisson Dağılımı :x rassal değişkeni yukarıdaki özellikleri taşıyorsa x’e poisson

rassal değişkeni ve x’in fonksiyonuna da poisson dağılımı denir.

> 0 olmak üzere

Poisson dağılımının bir olasılık fonksiyonu olduğunu kolayca görebiliriz. Olasılıklar

toplamı :

Örnek : Türkiye’de maden ocaklarınca oluşan kazalar sonucunda her yıl ortalama

olarak 1000 işçiden bir tanesi hayatını kaybetmektedir. 2000 maden işçisinin çalıştığı bir

maden ocağında, bir yıl içinde

a. Hiçbir işçinin

b. 3 işçinin

c. 2’den fazla işçinin hayatını kaybetme olasılıklarını bulunuz.

Çözüm : n = 2000 ve p = 0,001 olduğundan = np = 2

a.

elde edilir.

b.

c.

Örnek : Bir milimetre sıvıdaki bakteri sayısı ortalama olarak 4 olduğu

bilinmektedir. Bakterilerin sayısının Poisson dağılımı gösterdiği kabul edilerek 1 milimetrede

a. Hiç bakteri olmaması

b. 4 bakteri olması

c. 3’den az bakteri olması olasılıklarını bulunuz.

Çözüm :

a.

b.

c.

Poisson Dağılımının Moment Çıkaran Fonksiyonu

Poisson Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı

Moment çıkaran fonksiyon yardımıyla

Buradan da

= + 2 - 2 =

* Beklenen değer tanımından

Buradan da

Binom Dağılımına Yaklaşık Olarak Poisson Dağılımı

Binom dağılımının olasılık fonksiyonunu göz önüne alalım.

kabul edelim ki n yeter derecede büyük ama p küçüktür. Öyle ki np büyük değildir.

Pn(x) =np olduğunu daha önce görmüştük. O halde

Yazılabilir. Kısaltmalardan sonra bu olasılık

Olarak yazılır. P küçükse, n büyükse, np büyük değilse aşağıdaki yaklaşık eşitlikler

elde edilir.

O halde,

bulunur. Bu son eşitlikten görüldüğü gibi binom dağılımındaki P(x) olasılıkları

= = np ortalamalı Poisson dağılımının olasılıkları yaklaşık olarak eşittir.

n 20 ve p 0,05 iken n denemedeki x başarı olasılığı poisson dağılımı ile

yaklaşık olarak hesaplayabiliriz. n 100 ve np 100 olduğunda bu yaklaşım çok iyidir.

Poisson formülünü kullanmak, binom formülünü kullanmaktan daha kolaydır.

n = 20 ve p = 0,05 olan binom dağılımını düşünelim. Binom dağılımı için

= np = 20.(0,05) = 1’dir.

Binom dağılımına poisson yaklaşımı kullanılırsa

elde edilecektir. Verilen değerler için binom ve Poisson

olasılıklarını karşılaştırmak üzere aşağıdaki tabloyu vereceğiz.

BAŞARI SAYISI (X) BİNOM OLASILIKLARI POİSSON OLASILIKLARI

0 0,358 0,368

1 0,377 0,368

2 0,189 0,184

3 0,060 0,051

4 0,013 0,015

5 0,002 0,003

6 0,000 0,001

NOT : 6’dan çok başarı elde edilebilir, fakat başarı olasılıkları 0,0005’ten küçüktür.

Örnek : X tesadüfi değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki biçimde verilmiş

olsun.

a. Moment çıkaran fonksiyonu

b. Moment çıkaran fonksiyon yardımıyla varyansını

c. P(X=1), P(X<2), P(X 4), P(X < 1 / X<3) olasılıklarını bulunuz.

Çözüm :

a.

b.

=5,25-0,25=5

c.

=

Örnek : Bir fabrikada depolanan ürünlerin yüzde birinin bozulduğu bilinmektedir.

Bu fabrikadan rassal olarak seçilen 50 birimden bir tanesinin, en fazla bir tanesinin, en az dört

tanesinin olasılıklarını

a. Binom dağılımı ile

b. Poisson dağılımı ile bulunuz.

Çözüm : İstenen olasılıklar, X rassal değişkeni seçilen birimin bozuk olmasını

göstermek üzere şöyledir.

P(X =1), P(X 1), P(X 4)

a. Binom dağılımı ile

p = 0,01 ve n = 50 olduğundan

olarak yazılır. Kabul etmek gerekir ki, bu olasılıkların hesaplanması oldukça

karmaşık ve zordur. Bundan dolayı aynı hesaplamalar Poisson dağılımı ile daha kolay bir

şekilde bulunabilir.

b. p = 0,01 ve n = 50 ise = np = 0,5’dir.

DÜZGÜN DAĞILIM (UNIFORM)

Kabul edelim ki bir deney tümü eşit olasılıklı N ayrık sonuç versin. Bu tipte

deneyleri beşinci bölümde düşünmüştük.(para atılması, zar yuvarlanması, kart çekimi gibi)

Tanım (Kesikli düzgün rasgele değişken) : X rasgele değişkeni tümü eşit olasılıkla

N sonuca sahipse, X’e kesikli düzgün rasgele değişken denir.

Örnek : Aşağıdaki deneyler rasgele değişkenlerle ilgilidir.

1. Bir parayı bir kez atalım, x = 0 yazı gelmesi sonucunu, x = 1 tura gelmesi

sonucunu göstersin. Burada X kesikli düzgün rasgele değişkendir.

2. Bir zar atılsın. Bu takdirde, X “üste gelen sayı” kesikli düzgün rasgele

değişkendir.

3. 52’lik bir desteden bir kart çekelim. O halde x “çekilen herhangi bir kart” kesikli

düzgün rasgele değişkendir.

Tanım (Kesikli düzgün dağılım) : X rasgele değişkenin alabileceği değerler

x1, x2,.....,xn olsun. X’in olasılık fonksiyonu

’dir. Bu dağılıma, kesikli düzgün dağılım

denir.

Örnek : Bir para bir kez atılıyor. Turaların sayısının dağılımı nedir?

Çözüm : Bir para bir kez atıldığında turaların sayısı X olsun. Bu takdirde x kesikli

düzgün dağılıma sahiptir.

Örnek : Bir zar atılsın. Üst yüzde gösterilerek sayının olasılık dağılımı nedir?

Çözüm : X rasgele değişkeni zar atıldığında üstte görülecek sayı olsun.

O halde x kesikli düzgün dağılıma sahiptir.

Teorem : X rasgele değişkeni kesikli düzgün dağılıma sahip olsun.

Kesikli düzgün dağılımın ortalaması ve varyansı

ve

’dır.

Örnek : Bir otomobil sürücüsünün yarışı kazanma olasılığı 0,7 ve kazanmama

olasılığa 0,3’tür. bu otomobil yarışmacısı için olasılık fonksiyonu yazıp, E(X) ve V(X)’i

bulunuz.

ÇÖZÜM : X rassal değişkeni sürücünün yarışı kazandığı zaman 1 değerini,

kazanmadığı zaman 0 değerini alan bir Bernoulli değişkenidir. O zaman olasılık fonksiyonu

Örnek : Bir madeni para 10 kez atılıyor.

a. 6 tane yazı, 4 tane tura gelmesi olasılığı

b. En az 6 kez yazı gelmesi olasılığı

c. Yazı sayısının beklenen değer ve varyansını bulunuz.

Çözüm :

a.

b.

= 0,205 + 0,0,219 + 0,00976 + 0,00049

= 0,237

c.

Örnek : İstatistik dersinin sınavında, test yöntemi ile yapmak üzere 10 soru

sorulmuştur. Her bir soru için, içlerinden sadece biri doğru olan beş şık verilmiştir. Sınavda

cevapları rassal olarak işaretleyen bir öğrencinin

a. Bütün soruları doğru işaretleme

b. Bütün soruları yanlış işaretleme

c. Tam beş tane soruyu doğru işaretleme olasılıklarını bulunuz.

Çözüm :

Doğru işaretleme olasılığı =

Yanlış işaretleme olasılığı = ve soru sayısı da n = 10’dur.

a. X, rassal değişkeni doğru işaretlenen soru sayısı olsun.

b.

c. =0,026

Örnek : Bir garsonun bir günde yere düşürdüğü tabakların sayısı ortalama olarak

3’tür. Bu garsonun bir günde

a. En fazla 4 tabak düşüme

b. En az dört tabak düşürme olasılıklarını bulunuz.

Çözüm : E(x) =3 olduğuna göre poisson dağılımında da E(x) = bilindiğinden = 3

olarak bulunur. X rassal değişkeni yere düşürülen tabakları göstersin.

a.

b.

= 0,3526

Örnek : Büyük bir şirketin telefon santrali, sabah 9:00 – 12:00 çalışıyor. Belli bir

dakikalık süre içinde santrale gelen telefonların sayısının poisson dağılımına uyduğu

gözlenmektedir. Bu durumda, herhangi bir dakikada santrale gelen telefon sayısının

a. Sıfır olma

b. En az iki olma

c. En iki en fazla beş olma olasılığını bulunuz.

Çözüm : X bir dakikalık süre içinde santrale gelen telefonların sayısını göstersin. Bir

dakikalık süre içinde santrale gelen telefonların sayısının beklenen değeri

a.

b.

= 0,0183 + 0,0732

= 0,0915

c. (

= 0,1464+0,1951+0,1951+0,1561

= 0,6927

Örnek : Bir torbada 7 sarı, 5 mavi, 3 mor ve 8 tane de kırmızı bilye bulunsun. Bu

torbadan yerine koymaksızın art arda 10 tane top çekiliyor.

a. Çekilen topların 3’ünün sarı, 1’nin mavi, 2’sinin mor, 4’ünün kırmızı olma

olasılığı nedir?

b. Bu çok terimli dağılımın aritmetik ortalamasını, varyansını ve moment çıkaran

fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm :

a. x1 : seçilen sarı top sayısı

x2 : seçilen mavi top sayısı

x3 : seçilen mor top sayısı

x4 : seçilen kırmızı top sayısı olsun. (x1, x2, x3, x4) tesadüf, değişkeni çok terimli

dağılım gösterir.

n = 10 ve P1, P2, P3, P4 sırasıyla x1, x2, x3, x4’ün meydana gelme olasılıkları olsun.

ve

olduğunda

olarak bulunur.

b. olduğuna göre

10 atışta beklenen sarı top sayısı :

10 atışta beklenen mavi top sayısı :

10 atışta beklenen mor top sayısı :

10 atışta beklenen kırmızı top sayısı :

Varyanslar ise;

olarak bulunur.

Moment çıkaran fonksiyon;

olarak bulunur.

Örnek : Bir kutuda iki kusurlu 10 tane de kusursuz parça vardır. Yerine koyarak

seçmek şartıyla;

a. ilk kusurlu parçanın elde edilmesi için gereken çekiş sayısının olasılık

fonksiyonu nedir?

b. 7. Çekilişte ilk kusurlu parçayı elde etme olasılığı nediR?

Çözüm :

a. X = ilk kusurlu parça için gerekli deney sayısı

kusurlu oranı

kusursuz oranı olup,

b.

Örnek : Bir sandıkta 7’si sarı, 5’i mor, 12 tane top vardır. Bu sandıktan 3 tane top

yerine konmadan seçilmektedir. X tesadüfi değişkeni örneğe çıkan sarı top sayısını göstersin.

a. X’in olasılık fonksiyonunu yazınız.

b. E(X)

c. V(X)

d. Bu örnekte topların yerine konarak, seçildiğini varsayarak aynı sorulara cevap

veriniz ve sonuçları karşılaştırınız.

Çözüm :

a. X’in olasılık fonksiyonu hipergeometrik bir dağılıma göre

b.

c.

d. Aynı problemi çekilişlerini yerine koyarak yapıldığını varsayarak çözelim. Bu

takdirde Binom dağılım söz konusu olur.

Örneğin çıkan sarı top sayısı y tesadüfi ile gösterelim. Y’nin olasılık fonksiyonu

Dağılım ortalaması olup iki dağılım ortalaması eşittir.

Dağılım varyansı;

’dır.

Burada da görüldüğü gibi Binom dağılımın varyansı Hipergeometrik dağılım

varyansından büyüktür.

Sınırlı çarpma değeri; ve olup, örnekleme oranı

0,10’dan küçük değildir.