Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

Estudio del cambio en la topología de la imagen en sistemas ópticos convencionales, y en el caso de la lente de Schwarzschild

M.C. Edwin Román Hernández02 de Junio de 2010

Seminario del C.A. de P.C. y R.G.

FCFM

Objetivo

El objetivo de este trabajo es estudiar el cambio en la topología de la imagen en sistemas ópticos convencionales, es decir, espejo y lentes simples, y en el caso de la lente de Schwarzschild. Para lograr nuestro objetivo usamos óptica geométrica y el teorema de Berry de la cáustica, the caustic-touching theorem. Más explícitamente, para los sistemas ópticos convencionales se obtienen expresiones que describen a los frentes de onda asociados con los rayos de luz reflejados por una superficie suave arbitraria después de haber sido emitidos por una fuente puntual situada en una posición arbitraria en el espacio. Las definiciones de conjunto crítico y conjunto cáustico del mapeo que describe la evolución de los frentes de onda reflejados o refractados, asociados con la integral general, son usadas para encontrar la cáustica. Para esto, obtenemos una expresión para la función k asociada con la integral general de Stavroudis de la ecuación iconal que describe la evolución de los rayos de luz. Estos resultados son aplicados al caso de un espejo parabólico. En la lente de Schwarzschild se obtienen las ecuaciones  que describen  la evolución de los rayos de luz deflectados por una lente gravitacional. Las cuales son vistas como una representación paramétrica de  un mapeo entre dos subconjuntos de R3. Apartir de éste mapeo se calcula la cáustica y se usa nuevamente el teorema de Berry para estudiar el cambio de la topología de un objeto. 

Introducción

•Ecuación Iconal

•O.N. Stavroudis

•D.Shealy

Integral completa

Una solución particularPartimos de la ecuación

Y por definición, la envolvente de los frentes de onda está dada por

(7)

En donde

Y los puntos que pertenecen a la envolvente de los frentes de onda

Y entonces

(9)

Se muestra que

Y entonces, la nueva solución (solución particular) está dada por

(10)

Esta nueva solución es tal que sus frentes de onda asociados son esferas.

La integral generalPartimos de

(11)

Los frentes de onda asociados con esta familia de soluciones o integral completa están dados por

(12)

y la envolvente de la familia de frentes de onda está dada por

(13)

Un cálculo directo muestra que

(14)

Resolviendo para y obtenemos que

(15)

La cual es la integral general obtenida por Stavroudis.

La Cáustica

(16)

Está dado por

(17)

En donde , un cálculo directo muestra que

(18)

En donde

Entonces, el conjunto crítico está dado por

(19)

En donde

(20)

Y entonces, la cáustica asociada con la evolución del frente de onda (Ec. 14) es

(21)

(22)

Cálculo de la función k

La longitud de camino óptico

y se puede reescribir como

de donde

(23)

(24)

(25)

(26)

con

Intersección de algunos frentes de onda reflejados con el plano Y=0, con c=1/2415mm y s1=0, s2=0, s3=2400mm.

El espejo parabólico

Intersección de la cáustica con algunos planos Z=cte, para s1=200mm, s2=200mm, s3=2400mm.

Las dos ramas de la cáustica, (a) la parte positiva y (b) la parte negativa, para s1=200mm, s2=200mm, s3=2400mm, y c= 1/2415mm

Algunos frentes de onda reflejados, antes, dentro y después de la cáustica

Estudio del cambio de la topología, the caustic-touching theorem

(27)

Sobre el eje óptico, plano z0=-710

Cáustica, para s3=1350mm

(a) Rejilla de Ronchi y cáustica, Rc=18.28mm, (b) Ronchigrama.

Estudio del cambio de la topología para la imagen de una fuente lineal. Se observa que aparece una segunda imagen cuando la fuente toca a la cáustica, mientras que desaprece esta segunda imagen cuando la fuente lineal toca el centro del círculo, que tambien es parte de la cáustica.

Fuera del eje óptico, plano z0=-710

(a) Rejilla de Ronchi y cáustica para s1=500 mm, s2=0, s3= 1350 mm, (b) ronchigrama.

Estudio del cambio de la topología de la imagen de una fuente lineal, se observa claramente cóm aparecen y desaparecen imágenes cuando la fuente toca de manera tangente a la cáustica.

Fuente lineal con una inclinación de 4/

(a) Rejilla de Ronchi y cáustica para s1=500 mm, s2=0, s3= 1350 mm, (b) ronchigrama.

Estudio del cambio de la topología de la imagen de una fuente lineal, se observa claramente cóm aparecen y desaparecen imágenes cuando la fuente toca de manera tangente a la cáustica.

(a) Rejilla de Ronchi y cáustica, (b) patrones del tipo serpentina

Lentes Gravitacionales

r

R

rc

GM s24ˆ

2

Sistema óptico

Caustica asociada con una lente gravitacional, para un frente de onda plano y con Rs=3km, r=300km. Se observa una cáustica virtual(curva rosa), los rayos de luz virtuales(línea azul), los rayos de luz incidentes y deflectados (línea negra) y la cáustica real (línea roja).

Estudio del cambio de la topología

El cambio en la topología de una fuente lineal para los casos en que T1=10km, 50km,100km y 200km, respectivamente, la sombra que se observa es debida a que los rayos de luz que no pueden cruzar a través de la lente gravitacional.

Se observa el mapeo punto a punto, cuando T1=100km, en (a) la fuente lineal y (b) su correspondiente imagen

Arreglo que describe el mapeo entre puntos del espacio objeto y puntos del espacio imagen.

El caso de una fuente elípitica, atravesando el conjunto cáustico y su correspondiente imagen

El caso de una fuente circular, atravesando el conjunto cáustico y su correspondiente imagen

Conclusiones

• Cuando la lente puntual está situada sobre el eje óptico, el ronchigrama obtenido es similar al que se obtiene para el caso de un espejo esférico.

• Cuando la fuente puntual está fuera del eje óptico y una de las bandas de Ronchi “toca” a la cáustica en una singularidad de tipo cúspide, el ronchigrama es similar al que se obtiene para el caso en que la fuente está sobre el eje óptico.

• Si ni una de las bandas de Ronchi “toca” a la cáustica en alguna singularidad de tipo cúspide, entonces el ronchigrama no contiene círculos.

• No siempre aparecen o desaparecen imágenes a partir de un solo punto aislado.

• Se pudo determinar la configuración necesaria para obtener los patrones conocidos como del tipo serpentina.

• Se estudió el fenómeno en la lente de Schwarzschild