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Méthodes de beamformingappliquées à la localisation de sources
en MEG-EEG
Françoise BAUCHETDépartement MEG-EEG
CERMEP-Imagerie du Vivant
Formation inter-régionale MEG28/10/05
Qu'est ce que le beamforming ?
origine : traitement d'antenne
applications : RADAR, SONAR
projection du front d’onde sur tous les capteurs : ⇒ signature d’un signal émis dans cette direction
utilisation de cette signature pour isoler le signal et le localiser.
objectifs
•détecter une source parmi du bruit et des interférences
•construire une carte du milieu : caractérisation de toutes les sources et détermination de leur position spatiale
gain unitaire pour la direction d’intérêt
atténuation des signaux émis dans les directions non souhaitées (interférences)
la sortie du filtre est une estimation du signal émis dans la direction d’intérêt
W1
W5
W4
W3
W2
W6
Σ
principe : synthétiser un filtre spatial pour chaque direction d'intérêt
030
60
90
120
150
270
300
330
180210
240
réponse d'un beamformer en fonction de la direction d 'émission du signal
beamformer synthétisé pour la direction 0°
beamformer idéal
beamformer réel
030
60
90
120
150
270
300
330
180210
240
incidence directe sur la résolution spatiale
le beamforming appliqué à la localisation de sources en MEG-EEG
•onde plane : discrimination à partir de l’amplitude des signaux •signaux stationnaires sur la période d'analyse•nombre de sources < nombre de capteurs•modèle dipolaire (ECD)
•sources non corrélées
hypothèses
contexte :
notations
• N capteurs (C1, C2, …CN)
• M sources (q1, q2, …qM)
• K échantillons temporels
C1
C2
CN
q1
q2
qM
C1
C2
CN
1 K
sortie des capteurs sortie du filtre (beamformer)
W(q i)
x1
x2
x3
…
xN
y = ∑ wi xi
principe général
expression du beamformer θθP
Wmin sous la contrainte 1)( =θθ LW t
W1
W2
W3
W4
W5W6
• définition d'une grille 3D
• un dipôle situé en chaque voxel
• pour chaque dipôle qθ, recherche du filtre spatial minimisant la puissance du signal global mesuré sur tous les capteurs sous la contrainte d'un gain unitaire pour le signal émis par qθ
Linearly Constrained Minimum Variance (LCMV)
θθP
Wmin sous la contrainte 1)( =θθ LW t
minimisation de la puissance du signal mesuré sur tous les capteurs
⇒ on éteint toutes les sources qi
θθθ WxCWPc
t )(=W(qθθθθ)
x1
x2
x3
…
xN
y = ∑ wi (qθ). xi
2yP =θ
utilisation de la matrice de covariance du signal sur la fenêtre d'analysela solution dépend des données
expression de la puissance
θθP
Wmin sous la contrainte 1)( =θθ LW t
gain unitaire pour la direction θ
⇒ on laisse "passer" qθ
rappel sur les leads-fields
modèle de la tête
domaine des
sources
yu
xu
zu
izl,
jzl,
1,zl
zu
⇒projection de la solution du problème direct sur tous les capteurs
(cas discret, modèle dipolaire)
L � avec la profondeur
θqzzyyxx
umumumq ++=θ
)()(
,,,
ii
izziyyixxi
qmqLx
lmlmlmx
×=++=
x1
x2
xN
q1
q2
qM
signal mesuré sur tous les capteurs
nqmqLxi
Mi
+×= ∑ )()(
contribution du bruit des capteurs
contribution de chaque source
1)( =θθ LW t
W(qθθθθ)
x1
x2
x3
…
xN
)(θL 1
W(qθθθθ))()( θθ mL × )(θm
application à la localisation de sources
en chaque voxel :
estimation d'un filtre spatialestimation du moment de ce dipôle sur la fenêtre d'analyseestimation de la puissance de la source située dans ce voxel
W(qθ) y(qθ,t) P(qθ)
étude des activités dans le domaine
des sources
construction d'images 3D
"fonctionnelles"
capteurs virtuels cartes SPM
notion de capteur virtuel
tests statistiques
analyse temps-fréquence
moyennes
synchronie/cohérence (�)
filtrage
)(θmy ≈W(qθθθθ)
x1
x2
x3
…
xN
estimation du moment de la source située en θ sur la fenêtre d'analyse
analyse des activités dans le domaine des sources
statistical parametric maps (SPM)
en chaque voxel, représentation d'un index de l'activité neuronale
puissance
puissance normalisée par le bruit
différence de puissance entre deux états (correction en ligne de base)
valeur d'un test statistique (tests non paramétriques)
(stimulation du nerf médian, Cheyne et al)
en pratique…
estimation de la matrice de covariance du signal
C = 1K
x(k)T x(k)k=1
K
∑ C ~ moyenne temporelle
C1CN
x(k)échantillons
Ne essais :(cas général)
essai 1 → C1essai 2 → C2
…
essai Ne → CNe
C = 1
Ne
Cii=1
Ne
∑
moyenne à travers les essais
choix de la largeur de la fenêtre d'analyse
Pourquoi une hypothèse de stationnarité ?
compromis stationnarité des sources / quantité d’informations
en général, on préconise : ( )minmax
2
3
ff
fNN
echcapteurs
ech −×××
=
par exemple :
( ) 3300015302
12002753 =−×
××=ech
N
150 essais ⇒ largeur de la fenêtre = 185 ms
100 essais ⇒ largeur de la fenêtre = 275 ms
OK pour les réponses stationnairesattention pour les réponses transitoires
Nech ≥ Ncapteurscondition nécessaire :
Imaged time point(t = 0.525 s)
CO
NT
INU
OU
ST
RA
NS
IEN
T
covariance window = 1 s
covariance window = 1 s
Imaged time point(t = 0.525 s)
Cheyne,D.
le beamformer projette le bruit des capteurs
les capteurs sont bruités : SQUIDs, électronique,…
⇒ le signal mesuré contient une partie bruitée
nqmqLxi
Mi
+×= ∑ )()(
contributions des différentes sources
W(qθ) y(qθ,t) P(qθ)C
« paradoxe » du bruit non corrélé
présence de bruit non corrélé ⇒ introduction d’erreur dans l’estimation des sources
absence de bruit non corrélé ⇒ impossibilité de résoudre le problème
la matrice de covariance n’est plus inversible
correction des effets du bruit
soustraction de la puissance du bruit
Cbruit =
σ 2 0
σ 2
...
σ 2
0 σ 2
estimation de la contribution de la puissance du bruit
hypothèses : •bruit non corrélé•puissance ϭ2 identique sur chaque capteur
approximation de ϭ2 à partir de la covariance du signal
θθθ Λ+= SP
W(qθθθθ)
n1
n2
n3
…
nN
Λθ =WθtCbruitWθinconnues
Sθ = Pθ − Λθ
normalisation par la puissance du bruit
θ
θ
ΛP
θP Λθ
avec seuil
Robinson et Vrba, 1999
θ
θ
ΛP
résolution spatiale du beamformer
la sélectivité spatiale du beamformer est proportionnelle à θ
θ
ΛS
030
60
90
120
150
270
300
330
180210
240
leakage
� leakage �
θ
θ
ΛS
une source unique + pas de bruit ⇒ pas de solution
plus l'amplitude de la source est grande par rapport aux interférences et au bruit
� plus la résolution spatiale augmente
simulation EEG : 32 électrodes, modèle sphérique
MEG :épilepsie : ≥ 1mmactivité "normale" : ≥ 5mm
•du nombre de capteurs et de leur distribution
• de la positions de sources (+/-profondes)
•du nombre d'échantillons
•de l'amplitude de la source par rapport aux interférences et au bruit
Van Veen, 1997
⇒la résolution spatiale dépend :
sensibilité au modèle de tête
1)(' =θθ LW t
)(')( θθ LL ←
erreur / incertitude dans le modèle
erreur / incertitude dans les leads-fields
mauvaise contrainte imposé au beamformer
le filtre bloque une partie du signal recherchéet laisse passer des interférences
mauvaise reconstruction des sources
modèles de tête utilisés
modèle sphérique
modèle à sphères locales
utilisation de contraintes anatomiques : Hillebrand et al, 2003
attention au recalage IRM/MEG !
que se passe-t'il en présence de sources corrélées ?
source 1 source 2
=)(1tm =)(
2tm
=)(1qL
=)(2
qL
addition des "signatures"
les deux sources se confondent dans une troisième source 'virtuelle'
)(3
qL
exemple :
l'hypothèse initiale de sources non corrélées n'est plus vérifiée
contribution des sources 1 et 2 contribution des autres sources
bruit
recherche des poids pour la source 1 1)(11
=qLW t
[ ] nqmqLqLqLqmxi
Mi
+×++= ∑≠
)()()()()(2,1
2111α
0)(21
≠qLW t
le filtre laisse passer le signal émis par la source ainsi qu'une partie du signal émis par les sources corrélées
mauvaise estimation de m(q1)
W(qθθθθ) ×−α
Van veen et al , 1997Simulation dans une sphèreSNR=10
X
Y
++
sources proches sources lointaines
degré de corrélationentre les deux sources
c=0
c=0.5
c=1
estimation des coefficients de corrélations entre les sources corrélées : jusqu'à 3 sources (Sekihara et al, 2002)
utilisation d'une fenêtre d'analyse plus grandeproblème de stationnarité
calcul des beamformers pour chaque paire de voxels (permutations)problème du temps de calcul
calcul des beamformers hémisphère par hémisphère baisse du SNR
solutions envisagées
beamforming et oscillations …
rappel sur les oscillations induites
•relatives à un stimulus mais non phase-locked
•n’apparaissent plus après moyennage
•il existe différents rythmes
étude des oscillations
dans le domaine des capteurs analyse temps-fréquencesynchronie/cohérence
à partir des essais élémentaires
synchronisation/désynchronisation :
•interactions entre aires cérébrales proches ou distantes
•phénomène induit et non phase-locked
•hypothèse d'un rôle fonctionnel dans le traitement de certaines tâches
pourquoi des données non moyennées sont-elles bien adaptées pour le beamforming ?
•le moyennage diminue le nombre d'échantillons
•le moyennage introduit des corrélations spatiales (bruit)
•l'élimination du bruit est inhérente à la méthode
•les poids sont calculés à partir de la covariance des signaux mesurés
intérêt majeur de cette méthode
étude des oscillations dans le domaine des sources
obstacle majeur des méthodes de localisation « classiques » : il faut moyenner les données
filtrage dans une bande de fréquence et modélisation inverse(Salmelin et Hari, 1994)
Minimum Current Estimate appliqué dans le domaine fréquentiel(Jensen et Vanni, 2001)
Beamforming
solutions envisagées :
analyse TF dans le domaine des capteurs au préalable!
différents beamformers …
Différents beamformers
-Linearly Constrained Minimum Variance (LCMV)
-LCMV + MUSIC
-Synthetic aperture magnetometry (SAM)
-Dynamic Imaging of Coherent Sources (DICS)
Synthetic aperture magnetometrySAM Vrba et Robinson, 1998
LCMV SAM
- beamformer adaptatif à variance minimum
- non-linéaire : recherche de l’orientation qui maximise la puissance en sortie
- régularisation de C : stabilité de la matrice de covariance
Distribution spatiale de la sensibilité des capteurs
interférences
voxel cible
leadfield idéal
SAM100 gradiomètres radiaux
un gradiomètre radial
Les dipôles sont perpendiculaires au plan
SAM : maximisation de la sensibilité dans la direction de la sourcediscrimination sources/interférences
SAM
coefficients desfiltres spatiaux
dual state
puissance*
Z-deviate**
T **
différence
F **
Z **
la variabilité inter-essais n’est pas prise en compte
comparaison entre deux
états
•: puissance ou moment
•** : pseudo Z-deviate,T ou F dans le cas ‘pseudo-statistique’
P
bruitP
P
contrôlebruit
contrôle
actifbruit
actif
PP
PP
,,
−
contrôlebruitactifbruit
contrôleactif
PP
PP
,,+−
contrôle
actif
P
P
contrôleactifPP −
imagefonctionnelle
pseudostatistique
Jackknife
single state
la variabilité inter-essais est estimée
Cartes SPM(differential imaging)
-50 100 ms50
contrôle actif
)()(
)()(
contrôleNactifN
contrôlePactifPtpseudo
θθ
θθ
−−=−
moyenne Pθ (actif)moyenne Pθ(contrôle)
2 conditions
2 filtres
)(
)(
contrôleP
actifPFpseudo
θ
θ=−
pseudo � normalisé par la puissance du bruit
étude des variations des rythmes mu et beta lors de stimulations tactiles
Cheyne et al, 2003-Stimulation de l'index-5 sujets-100 essais par sujets
deux matrices de covariancefenêtre contrôle : 2s pré-stim
fenêtre active :2s post-stim
capteurs virtuels
Cartes pseudo-t
8-15 Hz 15-25 Hz
un exemple :
Résultats 1/3 Décours temporels
Résultats 2/3SI contralateral SI ipsilateral
analyse temps-fréquence des capteurs virtuels
Résultats 3/3 Localisation des activités oscillatoires
DICS : dynamic imaging of coherent sources
•utilisation d'un beamformer LCMV pour la localisation des régions cohérentes et la localisation des oscillations
•utilisation de la matrice de covariance spectrale
domaine temporel
domaine fréquentiel
Gross et al, 2001
d=3cmcorr=0.28f=18 Hz
sensibilité au SNR et à la cohérence entre sources !
(simulations)
synthèse…
attraits de la méthode
•étude des oscillations, étude de données non moyennées
•pas d'a priori sur le nombre de sources
•images 3D fonctionnelles, SPM
•capteurs virtuels : étude des signaux domaine source
limites de la méthode
•choix des fenêtres d’analyses :
•stationnarité difficile à estimer•quantité d’observations requise importante•problème pour les réponses transitoires•contrainte d’égalite des fenêtres « actives » et « contrôle »
•choix du modèle de tête (si le nombre de capteurs est important)
•problème de définition d'un seuil de significativité : tests non paramétriques
•les sources corrélées
•ne convient pas à l'étude de la cohérence dans le cas de fortes corrélations
beamforming ≠ solution « miracle » !
comparaisons avec d’autres méthodes
•filtrage spatial ≠ minimisation d’écarts « données mesurées/modèle direct »
•solution voxel par voxel ≠ solution globale
•la solution dépend des données mesurées
•utilisation des statistiques du second ordre
•les sources corrélées
•pas d'a priori sur le nombre de sources
•supporte des données non moyennées
����Mosher et al, 2003 : méthodes équivalentes : différence dans la formulation et l’estimation des matrices de covariances (signal et bruit)
(Minimum Norm, Moindres-carrés, MUSIC)
����David et al, 2002 : approche minimum-norm pour la localisation de synchronie
quelques références…
•revue : Hillebrand et al, 2005
•principe du beamforming : Van Veen et al, 1997
•SAM : Vrba et Robinson, 1998
•DICS : Gross et al, 2001
