1Lecture 6

BÀI GIẢNG

Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

TS. Hồ Phạm Huy Ánh

TS. Nguyễn Quang Nam

March 2010

http://www4.hcmut.edu.vn/~hphanh/teach.html

2Lecture 6

Các phần tử tập trung trong hệ thống cơ bao gồm: vật nặng (động năng), lò

so (thế năng), và bộ giảm chấn (tiêu tán năng lượng). Định luật Newton được

dùng để biểu diễn các phương trình về chuyển động.

Khảo sát vật nặng M = W/g treo trên lò so có độ cứng K. Ở điều kiện cân

bằng tĩnh, lực gia tốc W = Mg sẽ cân bằng với lực lò so Kl, với l là độ dãn của lò

so do tác động của lực W.

Nếu vị trí cân bằng được chọn làm điểm tham chiếu, ta chỉ khảo sát các lực

làm vật xê dịch. Khảo sát sơ đồ ở Fig. 4.35(c) của GT.

Định luật Newton: Lực gia tốc theo chiều x dương sẽ cân bằng với tổng đại số

các lực tác động lên vật theo chiều x dương đó.

Khảo sát hệ thống vật nặng-lò so

KxxM −=&& 0=+ KxxM &&hay

3Lecture 6

Khi vị trí cân bằng được chọn làm tham chiếu (xem Fig. 4.36), ta được:

MgKyyM +−=&& MgKyyM =+&&

KlMg =

( ) 0=−+ lyKyM &&

Lưu ý:

Ta tiếp tục khảo sát vật nặng M được đở bởi lò so (xem Fig. 4.37), có phối

hợp thêm lò so-giảm chấn (dashpot). f(t) là lực tác động. Khoảng cách x được

đo từ vị trí cân bằng tĩnh. Bộ dashpot lý tưởng sẽ phát lực tỉ lệ với vận tốc tương

đối giữa 2 node, có kí hiệu thể hiện trên Hình 4.38.

Mx

fK1 fB1f(t)

fK2

( )

( )dtdxBxKxKtf

ffftfxM BKK

−−−=

−−−=

21

21&&

Khảo sát hệ thống vật nặng-lò so có phần tử tiêu tán

4Lecture 6

Lập phương trình cơ cho hệ thống thể hiện trên Hình 4.40.

Bài Tập 4.17

M1

x1

K2x

11B x& x&2B

K1x1

f1(t)

23B x&

M1

x2

K3x2

x&2B

K2x

f2(t)

Ta đặt x2 – x1 = x

( ) ( ) ( ) 1111122122111 xKxBxxBxxKtfxM −−−+−+= &&&&&

( ) ( ) ( ) 2323122122222 xKxBxxKxxBtfxM −−−−−−= &&&&&

5Lecture 6

Thiết lập các phương trình mô tả các ràng buộc điện-cơ cho phép minh họa

quá trình động học của hệ thống. Các phương trình này ràng buộc nhau, biểu

diễn dưới dạng hệ phương trình vi phân bậc nhất. Đó chính là mô hình không

gian trạng thái (state space model ) của hệ thống.

BT 4.19: Khảo sát hệ thống cho ở Hình 4.43, lập hệ phương trình chuyển

động điện-cơ dưới dạng mô hình không gian trạng thái. Sử dụng kết quả từ

thông liên kết có ở BT 4.8:

Thiết lập mô hình không gian trạng thái

( ) ( )xRiN

xRRiN

gc

22

=+

=λ ( )xRiNWm 2

22' =

Quan hệ về điện cho ta,

( ) ( ) dtdx

AxRiN

dtdi

xRNiRvs

02

22 2μ

−+=

6Lecture 6

Quan hệ về cơ của hệ thống,

( ) ( )xARiNf

dtdxBlxK

dtxdM e

20

22

2

2

μ−==+−+

Với l > 0 là vị trí cân bằng tĩnh của thành phần di động. Nếu vị trí thực của thành

phần di động được tính từ vị trí cân bằng, thì phương trình cơ sẽ có biến (x – l).

Phương trình trên có được phải thỏa điều kiện sau,

( ) ( ) 02

2

=−

=−

dtlxd

dtlxd

Mô hình không gian trạng thái của hệ thống sẽ gồm 3 phương trình vi phân

bậc nhất. Ba biến trạng thái ( state variables ) gồm x, dx/dt (hay v), và i.

Thiết lập mô hình không gian trạng thái (tt)

7Lecture 6

Ta xây dựng ba phương trình vi phân bậc nhất này bằng cách lấy vi phân x, v, và i

và tìm cách biểu diễn chúng chỉ theo các biến x, v, i, và các biến đầu vào hệ thống.

Bằng cách này, ta có được mô hình không gian trạng thái của hệ thống như sau,

vdtdx

=

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

−= BvlxK

xARiN

Mdtdv

20

221μ

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−= svv

AxRiNiR

xLdtdi

02

2 21μ

Trong đó( ) ( )xR

NxL2

=

( )32111 ,, xxxfx =&

( )32122 ,, xxxfx =&

( )uxxxfx ,,, 32133 =&

Thiết lập mô hình không gian trạng thái (tt)

8Lecture 6

Khảo sát phương trình . Nếu biến đầu vào u là hằng số, ta

đặt , có thể đưa về dạng phương trình . Phương

trình dạng này có thể cho nhiều nghiệm. Chúng được gọi là các điểm

cân bằng tỉnh ( static equilibrium points ).

Với hệ thống có số chiều không quá lớn, ta có thể dùng đồ thị để

minh họa. Với hệ thống bậc cao có số chiều quá lớn, các kĩ thuật số

thường được áp dụng để cho đáp án khả thi.

Giải BT 4.19, đặt các đạo hàm về 0 sẽ cho kết quả

Các điểm cân bằng( )uxfx ,=&

0=x& ( )uxf ˆ,0 =

0=ev Rvi se = ( ) ( )

( ) ( )xifxAR

iNlxK eee

,20

22

−==−−μ

xe có thể tìm được trên đồ thị là giao điểm của –K(x – l) và –fe(ie, x).

9Lecture 6

Có hai nhóm phương pháp chính: tường minh (explicit) và nội hàm (implicit).

Phương pháp Euler’s là dạng tường minh điển hình, nó dễ dùng khi cài đặt cho hệ

thống nhỏ. Với hệ thống lớn, phương pháp nội hàm tỏ ra mạnh hơn nhờ tính ổn

định với nghiệm số tìm được.

Khảo sát phương trình

Với x, f, và u là các vector.

Thời gian tích phân sẽ được chẻ đều với giá trị chọn Δt phù hợp (xem Fig. 4.45).

Trong khoảng từng bước từ tn đến tn+1, toán tử tích phân được xem là hằng. Vì thế

ta được,

Tích phân số

( )uxfx ,=& ( ) 00 xx =

( ) ( )∫∫++ = 11 ,n

n

n

n

t

t

t

tdtuxfdttx&

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]nnnnnnnn tutxfttutxftttxtx ,,11 Δ=−=− ++

10Lecture 6

Hãy tính x(t) ở các thời điểm t = 0.1, 0.2, và 0.3 seconds.

Bài Tập 4.21

( ) 22 xtx +−=& ( ) 10 =x

( ) ( ) ( )( )[ ]nnnn txftxx ,1 Δ+=+

Ta chọn Δt = 0.1 s. Công thức tổng quát để tính x(n+1) như sau

,...2,1,0=n( ) 10 =xTại t0

Tại t1 = 0.1 s

( )( ) ( ) 2120, 20

0 −=+−=txf( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) 8.021.01, 0

001 =−×+=Δ+= txftxx( ) 8.01 =x ( )( ) ( ) 344.18.021.0, 2

11 −=+−=txf

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) 6656.0344.11.08.0, 1112 =−×+=Δ+= txftxx

Tương tự, ta tìm được ( ) 5681.03 =x ( ) 4939.04 =x

11Lecture 6

Hãy tính i(t) dùng phương pháp Euler. R = (1 + 3i2) Ω, L = 1 H, and v(t) = 10t V.

Bài Tập 4.22

( )tviRdtdiL =+ ( ) ( )tvii

dtdi

=++ 231 ( ) 00 =i

Ta đặt i = x, và v(t) = u

( ) ( ) ( )tuxftuxxdtdx ,,31 2 =++−= ( ) ( )000 xx ==

( ) ( ) ( ) ( )( )nnnnn tuxtfxx ,,1 Δ+=+ ,...2,1,0=n

( ) 00 =x ( ) 00 =u ( ) ( )( ) 0,, 000 =tuxf ( ) 01 =x⇒

( ) 01 =x ( ) 25.01 =u ( ) ( )( ) ( ) 25.025.0001,, 21

11 =++−=tuxf

( ) ( ) ( )( ) 00625.025.0025.012 =+= xx⇒