Upload
others
View
19
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
BASIC MATHEMATICS FOR ECONOMICS
รฐวชญญ จวสวสด
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
BASIC MATHEMATICS FOR ECONOMICS
รฐวชญญ จวสวสด
รองศาสตราจารย
สาขาวชาเศรษฐศาสตร มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช
พ.ศ. 2557
หนงสอคณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตรเลมน ไดนาเสนอคณตศาสตรพนฐานทสาคญพรอมตวอยาง ไดแก เซต ฟงกชน เมทรกซ ดเทอรมแนนต อนพนธของฟงกชนหนงตวแปรอสระและมากกวา การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซดวยวธการตางๆ ซงคณตศาสตรพนฐานเหลานเปนเครองมอสาคญในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร นอกจากนยงไดอธบายและเสนอตวอยางเมอนาไปประยกตเปนเครองมอในการวเคราะหดลยภาพเชงสถต และดลยภาพเชงสถตเปรยบเทยบของแบบจาลองทางเศรษฐศาสตร รวมถงการวเคราะหฟงกชนสวนเพมและความยดหยนประเภทตางๆ
(2)
คานา คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตรเลมนไดเรยบเรยง เพอใชเปนหนงสอประกอบการเรยนการสอนตามหลกสตรระดบปรญญาตรทางดานเศรษฐศาสตร ซงผทศกษาทางดานเศรษฐศาสตรควรมพนฐานทางคณตศาสตรทด เนองจากทฤษฎเศรษฐศาสตรสวนใหญในปจจบนไดใชคณตศาสตรในการอธบายหรอการพสจน ทาใหการเรยนรทางเศรษฐศาสตรในปจจบนจาเปนตองมพนฐานคณตศาสตรทด หนงสอเลมนยงสามารถนาไปใชประกอบการศกษาทางดานบรหารธรกจและสงคมศาสตรอนๆ ในระดบปรญญาตรทตองศกษาวชาคณตศาสตรเปนวชาพนฐาน นอกจากนแลวยงเหมาะสาหรบใชเปนหนงสอประกอบการศกษาวชาคณตเศรษฐศาสตรหรอการวเคราะหเชงปรมาณสาหรบนกศกษาเศรษฐศาสตรระดบบณฑตศกษา โดยเฉพาะอยางยงนกศกษาระดบบณฑตศกษาทไมไดสาเรจการศกษาระดบปรญญาตรทางดานเศรษฐศาสตรโดยตรงเพอชวยในการทบทวนความร และปรบพนฐานการใชคณตศาสตรสาหรบการวเคราะหทางดานเศรษฐศาสตร ซงจะเปนประโยชนตอการศกษาเศรษฐศาสตรในระดบทสงขนตอไป
เนอหาในหนงสอเลมนจะแบงออกเปน 2 ลกษณะ คอ ความรเกยวกบคณตศาสตรและการนาคณตศาสตรไปประยกตใชในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร เนอหาประกอบดวยบทแรกเปนบทนาทกลาวถงการวเคราะหทางเศรษฐศาสตรโดยใชคณตศาสตรและแบบจาลองทางเศรษฐศาสตร บทตอไปเปนเซต ความสมพนธและฟงกชน เมทรกซ ดเทอรมแนนต การประยกตฟงกชนเมทรกซและการแกระบบสมการในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร ลมตและอนพนธ อนพนธของฟงกชนทมตวแปรอสระมากกวา 1 ตวแปร และการประยกตอนพนธในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร รวมทงหมด 8 บท ขอขอบคณผเขยนทกทานทอางถงในบรรณานกรมของหนงสอเลมน ทไดชวยใหผเขยนไดแนวทางการเรยบเรยงหนงสอเลมนจนสาเรจดวยด โดยเฉพาะอยางยง Alpha Chiang และ Kevin Wainwright ทเขยนหนงสอ Fundamental Method of Mathematical Economics ซงนามาใชเปนหนงสออางองหลก ตองขอขอบพระคณเปนอยางสงมา ณ โอกาสนดวย และสดทายนขอขอบคณ คณศรลกษณ ตาลลกษณ ทไดชวยพมพตนฉบบหนงสอเลมนใหสาเรจลลวงดวยด ดวยความมานะอดทนยง หวงวาหนงสอเลมนจะเปนประโยชนตอนกศกษาและผทสนใจทวไป
รฐวชญญ จวสวสด
(3)
สารบญ หนา
บทท 1 บทน า 1 1.1 การวเคราะหทางเศรษฐศาสตรโดยใชคณตศาสตร 1 1.2 แบบจ าลองทางเศรษฐศาสตร 3 1.2.1 ตวแปร คาคงท และพารามเตอร 4 1.2.2 สมการในแบบจ าลอง 5 1.3 การวเคราะหดลยภาพทางเศรษฐศาสตร 6 แบบฝกหดบทท 1 8 บทท 2 เซต ความสมพนธและฟงกชน 9 2.1 เซต 9 2.1.1 แนวคดเกยวกบเซต 9 2.1.2 ความสมพนธระหวางเซต 11 2.1.3 แผนภาพเวนน 13 2.1.4 การด าเนนการของเซต 15 2.2 ความสมพนธและฟงกชน 21 2.2.1 คอนดบ 21 2.2.2 ผลคณคารทเซยน 23 2.2.3 ความสมพนธ 25 2.2.4 โดเมนและเรนจของความสมพนธ 29 2.2.5 ฟงกชน 33 2.2.6 คาของฟงกชน 39 2.2.7 โดเมนและเรนจของฟงกชน 41 2.3 ชนดของฟงกชน 44 2.3.1 ฟงกชนพหนาม 44 2.3.2 ฟงกชนตรรกยะ 48 2.3.3 ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล 49
(4)
หนา 2.3.4 ฟงกชนลอการทม 51 2.4 ฟงกชนทมตวแปรอสระ 2 ตวแปรหรอมากกวา 57 แบบฝกหดบทท 2 60 บทท 3 เมทรกซ 63 3.1 ความหมายของเมทรกซ 63 3.2 ประเภทของเมทรกซ 64 3.3 การเทากนของเมทรกซ 69 3.4 พชคณตของเมทรกซ 69 3.5 การปฏบตการของเมทรกซ 82 3.6 การปฏบตการของเวกเตอร 87 3.7 เมทรกซสลบเปลยนและสมบตของเมทรกซสลบเปลยน 96 3.8 เมทรกซผกผนและสมบตของเมทรกซผกผน 101 3.9 เงอนไขการเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน 104 3.10 คาล าดบชนของเมทรกซ 110 แบบฝกหดบทท 3 114 บทท 4 ดเทอรมแนนต 116 4.1 ความหมายของดเทอรมแนนต 116 4.2 ขอก าหนดของดเทอรมแนนต 116 4.3 การหาดเทอรมแนนตดวยวธการกระจายของลาปลาส 121 4.4 สมบตของดเทอรมแนนต 126 4.5 การใชดเทอรมแนนตของเมทรกซตรวจสอบเมทรกซไมใชเอกฐาน 136 4.6 การใชดเทอรมแนนตของเมทรกซหาเมทรกซผกผน 139 4.7 การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ 143 4.7.1 การแกระบบสมการเชงเสนโดยวธของเกาส-จอรดอง 144 4.7.2 การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซผกผน 148 4.7.3 การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชกฎของคราเมอร 152
(5)
หนา 4.8 ผลเฉลยกรณตางๆ ของการแกระบบสมการเชงเสน 158 แบบฝกหดบทท 4 166 บทท 5 การประยกตฟงกชน เมทรกซและการแกระบบสมการในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร 169 5.1 ดลยภาพสวนยอยของตลาด 169 5.1.1 กรณแบบจ าลองเชงเสน 169 5.1.2 กรณแบบจ าลองไมใชเชงเสน 177 5.2 ดลยภาพทวไปของตลาดสนคา 182 5.2.1 แบบจ าลองตลาดสนคา 2 ชนด 183 5.2.2 แบบจ าลองตลาดสนคา n ชนด 186 5.2.3 ผลเฉลยของระบบสมการทวไป 187 5.3 ดลยภาพของรายไดประชาชาต 189 5.4 การประยกตใชเมทรกซในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร 192 5.4.1 แบบจ าลองตลาดทวไป 192 5.4.2 แบบจ าลองรายไดประชาชาต 193 5.4.3 แบบจ าลอง IS-LM: ระบบเศรษฐกจแบบปด 195 5.4.4 แบบจ าลองปจจย-ผลผลตของลอองเทยฟ 197 แบบฝกหดบทท 5 208 บทท 6 ลมตและอนพนธ 210 6.1 ลมตและความตอเนอง 210 6.1.1 ความหมายของลมต 210 6.1.2 ทฤษฎของลมต 212 6.1.3 ลมตเกยวกบอนฟนต 212 6.1.4 ความตอเนองและความไมตอเนอง 214 6.2 อนพนธของฟงกชน 227 6.2.1 ความหมายของอนพนธ 227 6.2.2 อนพนธและความชนของเสนสมผส 230
(6)
หนา 6.2.3 กฎของอนพนธส าหรบฟงกชน 1 ตวแปรอสระ 233 6.2.4 อนพนธอนดบสงกวาอนดบหนง 261 6.2.5 คาเชงอนพนธ 263 แบบฝกหดบทท 6 267 บทท 7 อนพนธของฟงกชนทมตวแปรอสระมากกวา 1 ตวแปร 271 7.1 อนพนธยอยของฟงกชนทมตวแปรอสระมากกวา 1 ตวแปร 271 7.1.1 อนพนธยอย 271 7.1.2 อนพนธยอยอนดบทสอง 274 7.2 คาเชงอนพนธรวม 277 7.2.1 แนวคดการหาคาเชงอนพนธรวม 277 7.2.2 กฎของการหาคาเชงอนพนธ 279 7.3 อนพนธรวม 283 7.4 อนพนธของฟงกชนโดยปรยาย 290 7.5 จาโคเบยนดเทอรมแนนต 298 7.6 การวเคราะหกรณสมการเกยวเนอง 300 แบบฝกหดบทท 7 306 บทท 8 การประยกตอนพนธในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร 309 8.1 การวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบของแบบจ าลองโดยวธการหาอนพนธจากสมการลดรป 309 8.1.1 แบบจ าลองตลาด 309 8.1.2 แบบจ าลองรายไดประชาชาต 313 8.1.3 แบบจ าลองปจจย-ผลผลต 314 8.2 การวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบของแบบจ าลองฟงกชนทวไป 316 8.2.1 แบบจ าลองตลาด 317 8.2.2 แบบจ าลองรายไดประชาชาต (IS-LM) 322 8.2.3 แบบจ าลองรายไดประชาชาต: ระบบเศรษฐกจเปด 326
(7)
หนา 8.3 แนวคดเกยวกบสวนเพม 332 8.3.1 การหาฟงกชนรายรบสวนเพมจากฟงกชนรายรบเฉลย 333 8.3.2 การประยกตใชอนพนธเกยวกบตนทน ตนทนเฉลยและตนทนสวนเพม 336 8.3.3 ความสมพนธระหวางผลผลตทงหมด ผลผลตเฉลย และผลผลตสวนเพม 339 8.4 การวเคราะหความยดหยน 341 8.4.1 การวเคราะหความยดหยนแบบจด 341 8.4.2 การค านวณหาความยดหยนของอปสงคตอรายได 349 8.4.3 การค านวณหาความยดหยนไขวของอปสงค 350 8.4.4 การวเคราะหความยดหยนยอย 352 8.5 ผลผลตทางกายภาพสวนเพมของปจจยการผลต 356 8.6 ฟงกชนเอกพนธและทฤษฎออยเลอร 358 แบบฝกหดบทท 8 363 บรรณานกรม 367 อกษรกรก 369 ดรรชน 370 เฉลยแบบฝกหด 374
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 1
บทท 1 บทนา 1.1 การวเคราะหทางเศรษฐศาสตรโดยใชคณตศาสตร การใชคณตศาสตรสาหรบการวเคราะหทางเศรษฐศาสตรเปนการใชสญลกษณทางคณตศาสตรแทนการกาหนดเปนขอความของปญหาทางเศรษฐศาสตรแลวนาความรทางทฤษฎ หลกเกณฑ และวธการคณตศาสตรตางๆ มาใชในการวเคราะหอยางมเหตผล ซงจะเหมอนกบการวเคราะหเศรษฐศาสตรเชงพรรณนา (literary economics) ทตองใชเหตผลอางองเพอใหไดมาซงขอสรปและพฒนาตอไปเปนทฤษฎ การวเคราะหเชงพรรณนานนเปนการอธบายดวยเหตผลซงอาจจะไมสามารถอธบายไดครอบคลมทงหมดหรออธบายแลวเขาใจยากเพราะปญหาทางเศรษฐกจทเปนจรงนนจะสลบซบซอน มปจจยตางๆ ทมผลกระทบมากเกนกวาทตงอยบนขอสมมตทกาหนดไวไดทงหมด จงมการนาคณตศาสตรมาใชเปนเครองมอสาหรบการอธบายความสมพนธของตวแปรตางๆ โดยใชเหตผลเชงคณตศาสตรมาทาการวเคราะหทฤษฎเศรษฐศาสตรอยางกวางขวางทงเศรษฐศาสตรจลภาคและเศรษฐศาสตร มหภาค ปจจบนมการใชคณตศาสตรอธบายในหนงสอหรอตาราเศรษฐศาสตรทวๆ ไปหรอบทความวชาการดานเศรษฐศาสตร โดยใชคณตศาสตรทนอกเหนอจากเรขาคณตอยางงาย เชน พชคณตเมทรกซ (matrix algebra) อนพนธ (derivative) ปรพนธ (integration) หรอ อนทกรลแคลคลส (integral calculus) เปนตน การวเคราะหทางเศรษฐศาสตร โดยใชคณตศาสตรหรอวเคราะหในเชงพรรณนาจะไมแตกตางกน เพราะจดประสงคของการวเคราะหทางทฤษฎใดๆ กตาม ถาไมคานงถงวธการหรอเครองมอทใชแลว ผลสรปทไดหรอทฤษฎทไดจากการกาหนดขอสมมตหรอหลกฐานตางๆ ทใชอางองโดยผานขนตอนของการใชเหตผล ยอมไมแตกตางกน แตขอแตกตางทสาคญทสดระหวางการใชคณตศาสตรกบไมใชคณตศาสตรในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร กคอขอสมมต และผลสรป อยในลกษณะของการใชสญลกษณทางคณตศาสตรมากกวาคาอธบายและใชสมการคณตศาสตรมากกวาการอธบายเชงพรรณนา สาหรบขนตอนของการใชเหตผล ทงสญลกษณและคาอธบายกไมไดมความแตกตางกนเพราะสญลกษณนนกคอความหมายของคาอธบายนนเอง เพยงแตสญลกษณมความสะดวกมากกวาทจะใชในการใหเหตผลเชงนรนย (deductive reasoning) ซงเปนการสรปจากหลกเกณฑทกาหนดขน และยอมมความรดกม แมนยามากกวาคาอธบาย ทางเลอกระหวางการใชตรรกเชงพรรณนา (literary logic) กบตรรกเชงคณตศาสตร (mathematical logic) นน การใชตรรกเชงคณตศาสตรจะใหประโยชนกบนกวเคราะหทจะกาหนดขอสมมตทชดเจนในทกขนตอนของการใหเหตผล ซงทฤษฎทางคณตศาสตรมกจะใช ถา... แลว... (if… then…) ขอความเชงคณตศาสตรหลงคาวาแลว (then) นกคอผลลพธซงเปนสวนหนงของทฤษฎทจะนามาใช จงตองทาใหแนใจวาเงอนไขของคาวาถา (if) นนตรง
2 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
กบขอสมมตทพฒนาขนมาอยางรดกมชดเจน ถอไดวาเปนการหลกเลยงการใชขอสมมตทไมมความชดเจนไดเพราะภาษาคณตศาสตรเปนภาษาทมความรดกมและชดเจน จดสาคญอกเรองหนงกคอ มกจะมคาถามอยเสมอวาทาไมจงมความจาเปนทตองใชวธการทนอกเหนอจากเรขาคณตอยางงาย คาตอบกคอการวเคราะหดวยเรขาคณตอยางงายจะมขอจากดในเรองของมต เชน ใชกราฟอธบายเสนความพอใจเทากน (indifference curve) ซงมขอสมมตสาคญกคอ ผบรโภคบรโภคสนคาเพยง 2 ชนดเทานน ไมสามารถทจะใชกบขอสมมตทผบรโภคบรโภคสนคามากกวา 2 ชนด เปนตนวาบรโภคสนคา 3, 4, ..., n ชนด เพราะเปนการยากทจะเขยนอธบายดวยกราฟ 3 มตหรอมากกวา ดงนนจงมการใชสมการแทนการอธบายดวยกราฟกรณทมตวแปรหลายตวแปร ซงถอวาเปนเครองมอทมความคลองตวในการอธบายมากกวา รวมถงมทฤษฎทางคณตศาสตรทสามารถนามาประยกตกบการวเคราะหทางเศรษฐศาสตรได ทาใหตองศกษาถงวธการทางคณตศาสตรทนอกเหนอจากเรขาคณตอยางงาย สาหรบขอเสยของการใชวธการทางคณตศาสตร กคอ มกจะมขอวจารณวาการใชวธการทางคณตศาสตรเพอสรางทฤษฎทางเศรษฐศาสตร จะทาใหทฤษฎเศรษฐศาสตรนนไมเหมอนจรง (unrealistic) อยางไรกตามขอวจารณนกไมมความตรง (not valid) ในเชงของความเปนเหตเปนผลนก เพราะความเปนจรงนน คาวา “ไมเหมอนจรง” ไมควรนามาใชกบขอวจารณเกยวกบทฤษฎเศรษฐศาสตรโดยทวๆ ไป เพราะทฤษฎเศรษฐศาสตรจะเหมอนจรงหรอไมเหมอนจรงไมไดขนอยกบการใชวธการทางคณตศาสตรหรอไมใชวธการทางคณตศาสตร เชน ทฤษฎเกยวกบโครงสรางตลาดทมการแขงขนสมบรณ อาจจะไมเหมอนจรงในสภาพการณทเปนจรง เพราะโครงสรางตลาดโดยทวไปจะเปนตลาดทมการแขงขนไมสมบรณ ดงน นการไมเหมอนจรงจงไมไดขนอยกบวาทฤษฎน ถกสรางขนมาโดยใชวธการทางคณตศาสตรเขาไปเกยวของหรอไมใชวธการทางคณตศาสตร แตเปนการสรางทฤษฎโดยพจารณาถงปจจยตางๆ และความสมพนธของปจจยทมความสาคญเหลานน เพราะในสภาพการณทเปนจรงจะมความซบซอนของปญหารวมถงความเกยวของกนของปจจยตางๆ เปนจานวนมาก ทาใหไมสามารถนาปจจยทงหมดมาวเคราะหรวมกนได ดงนนการทกลาววาวธการทางคณตศาสตรทาใหทฤษฎเศรษฐศาสตรขาดความเหมอนจรง จงขาดความเปนเหตเปนผล โดยสรปกคอ การใชวธการทางคณตศาสตรเปนเสมอนตวกลางทนาขอมลตางๆ (mode of transportation) ไปสผลสรปทตองการ เพยงแตอาจจะใชเวลาไปสจดหมายปลายทางทรวดเรวกวา เปรยบเสมอนกบการเดนทางไปจดหมายปลายทางทอยไกลออกไป การเดนทางอาจใชวธการขบรถไปยงจดหมายหรอใชวธการเดน ตางกถงจดหมายเหมอนกน แตใชเวลาแตกตางกน ทานองเดยวกนนกเศรษฐศาสตรทตองการผลสรปทรวดเรวกจะตองรวธการตางๆ และเลอกใชตรงกบความตองการเหมอนกบการเลอกวธการขบรถมากกวาทจะเดน ซงในทนกคอการใชเทคนควธทางคณตศาสตรเพอนาไปสเปาหมายทตองการ แตสงทสาคญกคอ เมอเลอกวธการขบรถ ในขนแรกกจะตองรถงวธการขบรถ ซงเปนทกษะทจะตองมการฝกฝน จงจะทาใหสามารถขบรถไดดและมประสทธภาพ
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 3
เชนเดยวกบการใชวธการทางคณตศาสตรกจะตองมการเรยนรถงเครองมอทางคณตศาสตรซงกเปนทฤษฎคณตศาสตรตางๆ ทเกยวของกบการทจะนามาใชในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร จงจะทาใหนกเศรษฐศาสตรมเครองมอทจะนาไปใชและเลอกใชเครองมอทเหมาะสมกบปญหาทางเศรษฐศาสตรนนๆ ดงนนวธการวเคราะหโดยใชวธการทางคณตศาสตรจงเปนอกวธการหนงทจะนาไปสการพฒนาทฤษฎเศรษฐศาสตรเชนเดยวกบการวเคราะหทไมใชคณตศาสตรนนเอง 1.2 แบบจาลองทางเศรษฐศาสตร แบบจาลองทางเศรษฐศาสตรเปนกรอบทางทฤษฎทจะนาไปสการวเคราะหโดยใชวธการทางคณตศาสตรถาแบบจาลองน นถกกาหนดในลกษณะเชงปรมาณ ซงประกอบดวยชดของสมการคณตศาสตรทอธบายถงโครงสรางของแบบจาลอง ทงนสมการจะมความเกยวของกบตวแปร ซงอาจจะมหลายตวแปร สมการทเขยนในรปคณตศาสตรเหลานจะอยบนพนฐานของขอสมมตของการวเคราะหทกาหนดขนมาใหสอดคลองกบปญหาทางเศรษฐศาสตรทตองการวเคราะห ดงนนจงตองมการประยกตใชคณตศาสตรทเกยวของกบสมการทกาหนดขนมา เพอใหไดชดของผลสรปซงเปนไปตามเหตและผลทสอดคลองกบขอสมมตเหลานน ตวอยางเชน แบบจาลองรายไดประชาชาต กรณมรฐบาลเขามาเกยวของและเปนเศรษฐกจระบบปดทยงไมมการตดตอคาขายระหวางประเทศ อปสงครวมจะประกอบดวยการใชจาย 3 ประเภท คอ รายจายในการบรโภค รายจายในการลงทน และรายจายของรฐบาล ระดบรายไดดลยภาพจะอยทผลรวมของรายจายทงหมด 3 ประเภทน จะเทากบผลรวมของมลคาผลผลตทงหมดทผลตไดในระบบเศรษฐกจ เขยนในรปสมการไดดงน
Y = C + I + G เมอ Y หมายถง รายไดประชาชาต
C หมายถง รายจายในการบรโภค I หมายถง รายจายในการลงทน G หมายถง รายจายของรฐบาล
รายจายประเภทตางๆ เขยนอยในรปแบบของสมการ ดงน สมการบรโภค C = a + bYd สมการการลงทน I = I0 สมการการใชจายของรฐบาล G = G0 สมการรายไดหลงหกภาษ Yd = Y - T สมการภาษ T = T0 + tY
4 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
เมอ a หมายถง คาพารามเตอร ทแสดงถงคาใชจายคงทเมอไมมรายได แตจะมคาใชจายในการบรโภคสวนหนง (a > 0)
b หมายถง คาพารามเตอร ทแสดงถงคาใชจายทเพมขนเมอรายไดเพมขน 1 หนวย (0 < b < 1) I0 หมายถง การลงทนโดยอสระทไมขนอยกบปจจยใดๆ ถอวาเปนตวแปรภายนอก G0 หมายถง การใชจายของรฐบาลโดยอสระทไมขนอยกบปจจยใดๆ ถอวาเปนตวแปรภายนอก Yd หมายถง รายไดหลงหกภาษ T หมายถง ภาษ T0 หมายถง ภาษแบบเหมาจายทไมขนกบรายได ถอวาเปนตวแปรภายนอก t หมายถง อตราภาษทใชเกบจากรายได
1.2.1 ตวแปร คาคงท และพารามเตอร
1) ตวแปร (variable) หมายถง ตวอกษรหรอเครองหมายสญลกษณทกาหนดขนมาใหเปนสงทมคาแปรเปลยนไปไดไมคงท ตวอยางของตวแปรทางเศรษฐศาสตรทพบบอยๆ เชน ราคา กาไร รายรบ ตนทน รายไดประชาชาต การบรโภค การลงทน การสงออก การนาเขา เปนตน ตวแปรเหลานตางกมคาทแปรเปลยนไปได ทาใหมการกาหนดสญลกษณทใชแทนคาเฉพาะของตวแปรเหลาน เชน P แทนราคา แทนกาไร R แทนรายรบ C แทนตนทน Y แทนรายไดประชาชาต เปนตน ดงนน ถาตองการใหตวแปรมคาเฉพาะทคาใดคาหนง กจะเขยนโดยกาหนดคาทตองการกากบในสญลกษณแทนตวแปรนนดวย เชน เขยนวา P = 3 หนวยหรอ C = 18 หนวย เปนตน สาหรบโครงสรางของแบบจาลองทางเศรษฐศาสตร บางครงสามารถแกสมการทกาหนดเปนแบบจาลองโดยหาคาของตวแปรหรอสญลกษณในแบบจาลองนนได เชน ระดบราคาตลาด หรอระดบผลผลตทใหกาไรสงสด เปนตน ถาตวแปรเหลานสามารถหาคาไดจากการแกสมการในแบบจาลอง จะเรยกวา ตวแปรภายใน (endogenous variables) บางครงแบบจาลอง อาจจะประกอบดวยตวแปรทคาของตวแปรนจะถกกาหนดขนจากภายนอกแบบจาลองหรอถกกาหนดคาจากขอมลกอนทจะมการแกสมการในแบบจาลอง ตวแปรนเรยกวา ตวแปรภายนอก (exogenous variables) สาหรบตวแปรทเปนตวแปรภายใน ของแบบจาลองหนงอาจจะเปนตวแปรภายนอกของอกแบบจาลองหนงกได เชน การวเคราะหตลาดสนคาชนดใดชนดหนงเพอหาราคาดลยภาพของสนคาชนดนนในกรณนกาหนดให P เปนราคาสนคา P กจะเปนตวแปรภายใน แตสาหรบกรอบทางทฤษฎของคาใชจายของผบรโภค P จะถกกาหนดจากขอมลของผบรโภคแตละคน ตวแปร P ในลกษณะดงกลาวกจะเปนตวแปรภายนอก 2) คาคงทและพารามเตอร (constant and parameter) นอกจากตวแปรแลวจะพบวามจานวนคาคงทแนนอนทประกอบอยในตวแปรนน เชน 10P หรอ 0.8R เปนตน คาคงททเปนตวเลขเหลานจะไมเปลยนแปลง และเรยกคาคงทเหลานวา สมประสทธ (coefficient) ของ
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 5
ตวแปรนน อยางไรกตาม สมประสทธอาจจะเขยนอยในรปของสญลกษณแทนตวเลขได โดยเฉพาะในแบบจาลองทางเศรษฐศาสตรมกไมนยมกาหนดเปนคาตวเลขเฉพาะใดๆ เชน สญลกษณ a แทนคาคงท 10 ใน 10P จงเขยนเปน aP เปนตน และเรยกคาคงททเปนคาสมประสทธของตวแปรทถกกาหนดเปนสญลกษณในแบบจาลองวาคาคงทพารามเตอร หรอพารามเตอร (parameter) โดยทวไปใชสญลกษณเปนตวอกษรภาษาองกฤษตวตาม เชน a, b, c ฯลฯ หรอใชตวอกษรกรก เชน (alpha) (beta) (gamma) เปนตน สาหรบตวแปรภายนอก มกจะกาหนดใหใชสญลกษณทแสดงความแตกตางไปจากตวแปรภายในโดยมกจะใหตวเลข 0 หอยทายตวแปรนน ตวเลขทหอยทายเรยกวาดชนลาง (subscript) เชน P เปนตวแปรแทนราคา ถาราคาเปนตวแปรภายนอก จะใชสญลกษณวา P0 เปนตน
1.2.2 สมการในแบบจาลอง (equations) เมอทราบวาในแบบจาลองน นประกอบดวยตวแปรอะไรบางแลว การกาหนดแบบจาลองจะเปนการกาหนดลกษณะของสมการในแบบจาลองนน ซงสมการนนกจะแสดงถงความสมพนธของตวแปรตางๆ ในเชงคณตศาสตร ณ ทนจะกลาวถงสมการ 3 ประเภท คอ 1) สมการนยาม หรอสมการเอกลกษณ (definitional or identity equations) 2) สมการพฤตกรรม (behavioral equations) 3) สมการเงอนไขดลยภาพ (equilibrium condition equations) 1) สมการนยาม หรอสมการเอกลกษณ เปนสมการทแสดงวาสญลกษณทางดานซายและดานขวาของสมการมความหมายอยางเดยวกน แตโดยทวไปมกจะใหสญลกษณทางดานขวามอของสมการเปนตวแปรทแสดงถงนยามของตวแปรทางดานซายของสมการ และใชเครองหมายทแสดงถงความเทากน คอ (อานวา “เทากนทกประการ” หรอ “is identically equal to”) แตโดยทวไปกใชเครองหมาย = แสดงความเทากนทกประการแทนได ตวอยางเชน กาไรทงหมด หมายถง รายไดสวนเกนทงหมดทมากกวาตนทนทงหมด ซงอาจจะเขยนไดวา
R – C ซงจากคานยามในรปของสมการกคอ กาไร () เทากบ รายรบ (R) ลบดวยตนทน (C) 2) สมการพฤตกรรม เปนสมการทแสดงถงพฤตกรรมของตวแปรหนงมการเปลยนแปลงไปอยางไร เมอตวแปรอนเปลยนแปลง สมการลกษณะนมกจะเกยวของกบพฤตกรรมของมนษย เชน การบรโภคมวลรวมในแบบจาลองรายไดประชาชาตเขยนเปนสมการไดวา Ct = 120 + 0.8Yt (หนวยเปนลานบาท) หมายความวา ถารายไดเปนศนยหรอไมมรายไดเลย การบรโภคจะเทากบ 120 ลานบาทเมอรายไดเพมขน 1 ลานบาท การบรโภคจะเพมขน 0.8 ลานบาท หรอกลาวไดวาความโนมเอยงสวนเพมในการบรโภค หรอ
6 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
MPC (marginal propensity to consume) เทากบ 0.8 หรอในกรณทไมเกยวของกบพฤตกรรมของมนษย เชน ตนทนทงหมดของหนวยธรกจจะเปนอยางไร เมอผลผลตมการเปลยนแปลง เปนตน สมการพฤตกรรมสามารถใชอธบายโครงสรางโดยทวไปของแบบจาลองได ประกอบดวยสมการทแสดงถงเทคโนโลย เชน ฟงกชนการผลต เปนตน หรอทางกฎหมาย เชน ภาษและโครงสรางภาษ เปนตน กอนทจะมการกาหนดสมการพฤตกรรมออกมาเปนสมการนน ควรจะตองมการกาหนดขอสมมตใหชดเจนทเกยวของกบ แบบแผนพฤตกรรมของตวแปร ตวอยางเชน สมการท 1 C = 80 + 15Q สมการท 2 C = 120 + Q2 เมอ Q คอ ปรมาณผลผลต (หนวย) C คอ ตนทนการผลต (บาท) ทง 2 สมการมความหมายตางกนตามเงอนไขของการผลตทตางกน ในสมการท 1 ตนทนคงท คอ 80 หมายความวาเมอไมมการผลต ผลผลตเปนศนย แตในสมการท 2 ตนทนคงทเทากบ 120 (เมอไมมการผลต Q = 0) ตนทนทแตกตางกนในสมการท 1 หมายถงทกๆ หนวยทเพมขนใน Q จะมตนทนเพมขนคงทเทากบ 15 บาท แตในสมการท 2 ขณะท Q เพมขน หนวยตอหนวย แลว C จะเพมขนในจานวนทมากกวาในอตรากาวหนา ดงนนการกาหนดสมการพฤตกรรมในเชงคณตศาสตรควรจะตองมการกาหนดขอสมมตของแบบจาลองใหชดเจนเหมาะสมกบปญหาทตองการวเคราะหดวย 3) สมการเงอนไขดลยภาพ เปนรปแบบของสมการประเภทท 3 ทเกยวของเฉพาะแบบจาลองทเกยวของกบภาวะดลยภาพ เงอนไขดลยภาพนจะเปนสมการทอธบายถงสภาวะกอนทจะเขาสภาวะดลยภาพ โดยเงอนไขนนจะตองเปนจรง เชน เงอนไขดลยภาพทางเศรษฐกจ 2 เงอนไข ดงน Od = Qs (ปรมาณอปสงค = ปรมาณอปทาน) S = I (การออมทตงใจไว = การลงทนทตงใจไว) ในเงอนไขแรกเปนเงอนไขดลยภาพของแบบจาลองของตลาด และเงอนไขท 2 เปนเงอนไขดลยภาพของแบบจาลองรายไดประชาชาต ทง 2 เงอนไขดลยภาพเปนเงอนไขทเขยนในรปแบบทงายทสด โดยทวไปการเขยนเงอนไข ดลยภาพอาจจะกาหนดใหอยในรปแบบใดรปแบบหนงอาจเปนสมการนยาม หรอไมกเปนสมการพฤตกรรม 1.3 การวเคราะหดลยภาพทางเศรษฐศาสตร การวเคราะหดลยภาพทางเศรษฐศาสตรโดยใชแบบจาลองทางเศรษฐศาสตรจาแนกออกเปน 3 ประเภท คอ การวเคราะหเชงสถตย (static analysis) การวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบ (comparative static analysis) และ การวเคราะหเชงพลวต (dynamic analysis)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 7
1.3.1 การวเคราะหเชงสถตย หรอการวเคราะหแบบสภาพนง เปนการวเคราะหดลยภาพในขณะใดขณะหนง โดยไมสนใจเรองของเวลาทเปลยนแปลงไปถอวาในชวงของการวเคราะหตวแปรทกตวในแบบจาลองไมมการเปลยนแปลงไปตามระยะเวลา ซงทาใหเกดดลยภาพในคาของตวแปรตางๆ ในแบบจาลอง เชน การวเคราะหดลยภาพของตลาดสนคา ทตองการทราบวาราคาดลยภาพและปรมาณอปสงค ปรมาณอปทาน ทเปนปรมาณดลยภาพ มจานวนเทาใด โดยวเคราะหจากสมการตางๆ ในแบบจาลองของตลาดสนคาทกาหนด 1.3.2 การวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบ เปนการวเคราะหดลยภาพในขณะใดขณะหนง เพอเปรยบเทยบคาดลยภาพเดม และคาดลยภาพใหม เมอตวแปรในแบบจาลองมการเปลยนแปลง โดยถอวาในชวงของการวเคราะหดลยภาพ ตวแปรทกตวในแบบจาลองไมมการเปลยนแปลงไปตามระยะเวลา เชน การวเคราะหดลยภาพของตลาดสนคา ถารายไดของผบรโภคเพมขนแลว ราคาดลยภาพและปรมาณดลยภาพจะเปลยนแปลงไปอยางไร มการเพมขนหรอลดลง หรอการวเคราะหในแบบจาลองรายไดประชาชาต ถารฐบาลเพมคาใชจายเขามาในระบบเศรษฐกจ จะทาใหรายไดประชาชาตเปลยนแปลงไปอยางไร 1.3.3 การวเคราะหเชงพลวต หรอการวเคราะหแบบสภาพเคลอนไหว เปนการวเคราะหดลยภาพเมอตวแปรทกตวในแบบจาลองมการเปลยนแปลงไปตามระยะเวลาหรอเมอระยะเวลาเปลยนแปลงไปแลว คาของตวแปรจะมการเปลยนแปลงไปอยางไร ทงนตวแปรในแบบจาลองจะขนอยกบระยะเวลา การวเคราะหในลกษณะนจงนาเอาเวลาเปนตวแปรอกตวหนงในการวเคราะห เชน การวเคราะหดลยภาพในตลาดสนคา เพอหาวาราคาดลยภาพและปรมาณอปสงค ปรมาณอปทานดลยภาพเปนอยางไรในชวงเวลานน และเมอราคาเปลยนแปลงไปจากราคาดลยภาพแลว ราคาจะมการปรบตวเขาสราคาดลยภาพอกครงหรอไมถาใชระยะเวลาทนานพอ ทาใหการวเคราะหจาเปนตองมขอสมมตเพมเตมไปจากการวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบ เปนตน
8 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แบบฝกหดบทท 1 1. จงอธบายความหมายของการวเคราะหทางเศรษฐศาสตรโดยใชคณตศาสตร 2. จงอธบายความหมายของตวแปร พรอมยกตวอยางตวแปรทางเศรษฐศาสตรมา 5 ตวอยาง 3. จงอธบายตวแปรภายนอก แตกตางจากตวแปรภายในอยางไร 4. กาหนดให แบบจาลองรายไดประชาชาต เปนดงน
Y = C + I0 + G0 …….. (1) C = 200 + 0.84Y …….. (2)
4.1 ตวเลข 0.84 ทเปนคาสมประสทธของตวแปร Y ในสมการท 2 หมายถงอะไร 4.2 ถาเปลยนสมการท 2 เปน C = a + bY โดยท (a > 0, 0 < b < 1) สญลกษณ b ในสมการน หมายถงอะไร
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 9
บทท 2 เซต ความสมพนธและฟงกชน 2.1 เซต (Sets) เซตเปนเรองทสาคญเรองหนงของการศกษาคณตศาสตร และเปนความรพนฐานทเกยวของกบการศกษาคณตศาสตรเกอบทกเรอง เชน ระบบจานวน ความสมพนธและฟงกชน ความนาจะเปน เปนตน ดงนนจงจาเปนตองทาความเขาใจเกยวกบทฤษฎของเซตพอเปนพนฐานเพอการศกษาคณตศาสตรแขนงอนๆ ตอไป
2.1.1 แนวคดเกยวกบเซต (The concept of sets) เซต หมายถงสงทอยรวมกนหรอกลมของสงของตางๆ ทมคณสมบตหรอเปนไปตามเงอนไขอยางใดอยาง
หนงทชดเจน โดยสามารถบอกไดวา สงใดสงหนงอยในเซตหรอไม ซงสงทอยในเซตนนเรยกวา สมาชก (element) เชน เซตของจานวนเตมบวก เซตของจานวนนกศกษาใหม สาขาวชาเศรษฐศาสตรปการศกษา 2555 เซตของจานวนจรงทนอยกวา 7 และมากกวา -2 เปนตน การเขยนเซตสามารถเขยนได 2 แบบคอ เขยนแบบแจกแจงสมาชก (enumeration) และเขยนแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซต (description) โดยนยมใชอกษรภาษาองกฤษตวนา เชน A, B, C, … แทนชอเซต และอกษรภาษาองกฤษตวตาม เชน a, b, c, … แทนสมาชกของเซต และใชสญลกษณ แทนคาวา “เปนสมาชกของ” หรอ “is an element of” เชน 1 เปนสมาชกของเซต S เขยนในรปสญลกษณไดวา 1 S หรอ a เปนสมาชกของเซต S เขยนไดวา a S และใชสญลกษณ แทนคาวา “ไมเปนสมาชกของ” หรอ “is not an element of” เชน 1 ไมเปนสมาชกของเซต T เขยนไดวา 1 T
เมอกลาวถงเซตใดเซตหนง จะตองมเซตทครอบคลมเซตนนเสมอ เซตทครอบคลมนเรยกวา เอกภพสมพทธ (universal)
ระบบจานวนจรง (the real number system) หรอระบบจานวนทนามาใชเปนเซตของเอกภพสมพทธ เชน N แทนเซตของจานวนนบ หรอจานวนธรรมชาต I แทนเซตของจานวนเตม I+ แทนเซตของจานวนเตมบวก I- แทนเซตของจานวนเตมลบ Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ R แทนเซตของจานวนจรง
10 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
1) การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก เปนการเขยนเซตทระบสมาชกทงหมดของเซตนน อยภายใตเครองหมายวงเลบปกกา และคนสมาชกแตละสมาชกดวยเครองหมายจลภาค “,” การเขยนวธนเหมาะสาหรบเซตทมจานวนสมาชกไมมาก แตถามสมาชกจานวนมาก อาจเขยนโดยระบสมาชกตวตนๆ แลวละดวยเครองหมายจด ... และเขยนบอกสมาชกตวสดทาย (ถาทราบวามจานวนสมาชกทงหมดเทาไร) หรอไมตองเขยนบอกสมาชกตวสดทาย (ถาไมทราบวามจานวนสมาชกทงหมดเทาไร) เชน A เปนเซตของจานวนนบ ตงแต 4 ถง 8 เขยนไดดงน A = 4, 5, 6, 7, 8 B เปนเซตของจานวนนบทนอยกวา 120 และมากกวา 10 เขยนไดดงน B = 11, 12, …, 119 C เปนเซตของจานวนนบทเปนจานวนค เขยนไดดงน C = 1, 3, 5, … 2) การเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซต เปนการเขยนเซตทใชตวแปรแทนสมาชกโดยระบวาตวแปรเปนสมาชกของเอกภพสมพทธใด และอธบายลกษณะของสมาชกทเปนเงอนไขในเซตนน เชน D เปนเซตของจานวนเตมบวก เขยนไดดงน D = x I x เปนจานวนเตมบวก อานวา D เปนเซตของจานวนเตม x โดยท x เปนจานวนเตมบวก A = 4, 5, 6, 7, 8 เขยนแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซตไดดงน A = x N 4 x 8 อานวา A เปนเซตของจานวนนบ x โดยท x นอยกวาหรอเทากบ 8 และ x มากกวาหรอเทากบ 4 B = 11, 12, 13, …, 119 เขยนแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซตไดดงน B = {x N 10 x 120 C = 1, 3, 5 … เขยนแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซตไดดงน C = x N x เปนจานวนค E = x R 3 x 5 อานวา E เปนเซตของจานวนจรง x โดยท x นอยกวา 5 และมากกวา 3 ซงเซต E เขยนแจกแจงสมาชกไมได เพราะจานวนจรงทนอยกวา 5 และมากกวา 3 มมากมายนบไมไดเนองจากจานวนจรงประกอบดวยจานวนตรรกยะ และอตรรกยะ (irrational numbers) ใหพจารณาเซตตอไปน G = x I 4 x 5 จะเหนวา G เปนเซตจานวนเตม x โดยท x นอยกวา 5 และมากกวา 4 ซงไมมจานวนเตมทอยระหวาง 4 และ 5 ดงนน จงเปนเซตทไมมสมาชก เรยก G วาเปนเซตวาง (empty set หรอ null set) ดงนน เซตวาง จงเปนเซตทไมมสมาชก ใชสญลกษณ หรอ แทนเซตวาง
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 11
จากตวอยางการเขยนเซต จะพบวา เซตบางเซตเขยนแจกแจงจานวนสมาชกไดและนบจานวนสมาชกได เชน เซต A เซต B และเซต G แตบางเซตไมสามารถนบจานวนสมาชกไดวามทงหมดจานวนเทาใด เชน เซต C เซต D และเซต E ถาแบงเซตออกตามจานวนสมาชกทสามารถนบได และไมสามารถนบไดแลว จะแบงเซตออกเปน 2 ประเภท คอ เซตจากด และเซตอนนต เซตจากด (finite set) คอ เซตทมจานวนสมาชกทงหมดเทากบศนยหรอเทากบจานวนเตมบวก เซตอนนต (infinity set) คอ เซตทไมใชเซตจากด ซงเซตอนนตนจะแบงเปนเซตอนนตแบบนบได เชน เซตของจานวนธรรมชาต ไดแก เซต C และเซต D และเซตอนนตแบบนบไมได เชน เซตของจานวนจรง ไดแก เซต E
2.1.2 ความสมพนธระหวางเซต (Relationships between sets) เมอมเซต 2 เซต นามาเปรยบเทยบกน ความสมพนธระหวางเซตอาจจะเปนไปไดหลายลกษณะซงสามารถ
สงเกตได ดงน 1) เซตทเทากน (equal set) ถาเซตสองเซต มสมาชกเหมอนกนทกตว เรยกวา เซตทเทากน เชน H = 1, 7, b, c L = b, 7, 1, c จะพบวาสมาชกทกตวของเซต H เปนสมาชกของเซต L ดวย และสมาชกทกตวของเซต L กเปนสมาชกของเซต H ดวยเชนกน ดงนน L = H หรออานวาเซต L เทากบเซต H แมวาจะเขยนสมาชกสลบทกน ลาดบทของสมาชกในเซตทงสองไมมความสาคญ แตถามสมาชกเพยง 1 ตว ทไมเหมอนกน เซตทงสองกไมเทากน 2) เซตยอย (subset) ถาเซตสองเซต เซตหนงมสมาชกทกตวเปนสมาชกของอกเซตหนง เรยกวา เปนเซตยอยของอกเซตหนง เชน S = 3, 5, 7, 9 T = 5, 7 ดงนน T เปนเซตยอยของ S เพราะวาสมาชกทกตวของเซต T เปนสมาชกของเซต S ดวย เขยนไดเปน T S แทนขอความ T เปนเซตยอยของ S กาหนดให M= 1, 3, 5
M เปนเซตทมสมาชกบางตวไมเปนสมาชกของเซต S ดงนน M ไมเปนเซตยอยของ S เขยนไดเปน M S จากนยามของการเทากนของเซต และเซตยอย จะสรปไดวา
12 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
(1) ถา T เปนเซตยอยของ S กตอเมอสมาชกทกตวของ T เปนสมาชกของ S และ S เปนเซตยอยของ T กตอเมอสมาชกทกตวของ S เปนสมาชกของ T หรอเขยนไดเปน T S และ S T หรอเซตทงสองเซตตางกเปนเซตยอยของกนและกน แสดงวาเซตทงสองตองเทากน หรอ T = S ดงนน T = S กตอเมอ S T และ T S
(2) นอกจากน ยงมสมบตของเซตยอย คอ - เซตทกเซตเปนเซตยอยของตวมนเอง เชน T T เมอ T เปนเซตใดๆ - เซตวางเปนเซตยอยของทกเซต เชน T เมอ T เปนเซตใดๆ
3) เซตยอยแท (proper subset) ถาเซตสองเซต เซตหนงมสมาชกทกตวเปนสมาชกของอกเซตหนง หรอเปนเซตยอยของอกเซตหนง และเซตทงสองนนไมเทากน เรยกวา เปนเซตยอยแทของอกเซตหนง เชน A = -2, 0, 4, 5 B = -2, 0 C = 4 เพราะวา B เปนเซตยอยของ A และ B A C เปนเซตยอยของ A และ C A ดงนน B เปนเซตยอยแทของ A เขยนไดเปน B A และ C เปนเซตยอยแทของ A เขยนไดเปน C A จากทกลาวมาจะสงเกตไดวา เปนสญลกษณแทนการเปนสมาชกของเซต และ เปนสญลกษณแทนการเปนเซตยอยของเซต ดงนนเมอนาไปใชกบระบบจานวนจะไดวาเซตของจานวนเตมเปนเซตยอยของเซตจานวนตรรกยะ ในทานองเดยวกน เซตของจานวนตรรกยะเปนเซตยอยของจานวนจรง ถาตองการหาวามจานวนเซตยอยอยมากนอยเทาใด ถา S เปนเซตจากดทมสมาชกเปน 1, 2 และ 3 สงแรก คอ เซตของสมาชกแตละตวเปนเซตยอยของ S คอ 1, 2, 3 ตอมา เปนเซตของสมาชกทละ 2 ตวเปนเซตยอยของ S คอ 1,2, 1,3, 2,3 ตอมา เปนเซตของสมาชกทละ 3 ตว เปนเซตยอยของ S คอ 1, 2, 3, ซงกเปนเซตของตวมนเอง ถอวาเปนเซตยอยทมขนาดใหญทสดทเปนไปได
และสดทายเปนเซตยอยทมขนาดเลกทสดทเปนไปได กคอเปนเซตยอยทไมมสมาชกของเซตหรอเรยกวาเซตวางนนเอง หรอ หรอ การทบอกวาเซตวางเปนเซตยอยของ S นนกเพราะวา ถาเซตวางไมเปนเซตยอยของ S ดงนนเซตวางตองมสมาชกอยางนอย 1 สมาชก เชน x และ x S แตจากคานยามของเซตวางทหมายถงเซตทไมมจานวนสมาชก จงไมสามารถบอกไดวาเซตวางไมเปนเซตยอยของ S ดงนน เซตวางจงเปนเซตยอยของ S
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 13
สรป เมอนบจานวนเซตยอยทงหมดของ S จงตองนบเซตของตวมนเองและเซตวางเขาเปนเซตยอยดวย ประกอบดวยจานวนเซตยอยทงหมด 23 หรอ 8 เซตยอย ดงนนถาเซตหนงประกอบดวย n สมาชก จานวนเซตยอยทงหมดของเซตนจะมจานวน 2n เซตยอย
สาหรบเซตวาง หรอ หรอ กบเซต 0 นนแตกตางกน เพราะเซตวางคอเซตทไมมสมาชกแตเซต 0 คอเซตทมสมาชก 1 ตว คอศนย (0) 4) เซตกาลง (power sets) ถามเซตอยเซตหนงคอ S เปนเซตจากด จานวนเซตยอยทงหมดของเซตนน (2n) เปนสมาชกของอกเซตหนงเรยกเซตนวาเซตกาลงของ S หรอ P(S) เชน S = 1, 2, 3 มจานวนเซตยอยทงหมด 8 เซตยอย ดงนนเซตกาลงของ S หรอ P(S) = , 1, 2, 3, 1,2, 1,3, 2,3, 1,2,3 5) เซตทไมมสมาชกรวมกน (disjoint set) ถาเซตสองเซตไมมสมาชกทเหมอนกนเลยแมแตตวเดยว เรยกเซตทง 2 เซตนวาเปนเซตทไมมสมาชกรวมกน เชน A เปนเซตของจานวนเตมบวก หรอ A = 1, 2, 3, … B เปนเซตของจานวนเตมลบ หรอ B = -1, -2, -3, … ดงนน A และ B เปนเซตทไมมสมาชกรวมกน
2.1.3 แผนภาพเวนน (Venn diagram) แผนภาพเวนน เปนการเขยนแผนภาพแทนเซต ทชวยใหเขาใจความสมพนธระหวางเซตชดเจนมากขน
การเขยนแผนภาพเวนน นยมใชสเหลยมมมฉากแทนเอกภพสมพทธหรอ U และใชวงกลมหรอวงรแทนเซตตางๆ ทเปนเซตยอยของ U
เซตสองเซตใดๆ จะมความสมพนธในลกษณะใดลกษณะหนง ดงแสดงดวยแผนภาพเวนนตามภาพท 2.1 ดงน
1. ไมมสมาชกซ ากนเลย ดงภาพ (ก) 2. มสมาชกบางสมาชกซ ากน แตไมเปนเซตยอยกน ดงภาพ (ข) 3. เซตหนงเปนเซตยอยแทของอกเซตหนง ดงภาพ (ค) 4. เซตทง 2 เทากน ดงภาพ (ง)
14 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ภาพท 2.1 การเขยนแผนภาพเวนนแสดงความสมพนธระหวางเซตในลกษณะตางๆ
ตวอยางท 2.1 ใหเอกภพสมพทธ U = -2, -1, 0, 1, 2, …, 8 A = 0, 1, 2, 3 B = -2, -1, 4, 5 C = 4, 5 D = -1, 0, 1 จงเขยนแผนภาพเวนนแสดงความสมพนธระหวางเซตตางๆ ตามทกาหนดให วธทา
A B U
(ก)
A
B
(ข)
U B
A U
B A
(ค) (ง)
U
0
1 -1
4 5
-2
C
B
8
D
6 A
3
2 7
U
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 15
2.1.4 การดาเนนการของเซต (Operations on sets) การดาเนนการของเซตทสาคญททาใหไดเซตใหมจากเซตทมอยเดมทจะนาเสนอในทนคอยเนยน อนเตอร
เซกชน ผลตาง และสวนเตมเตม 1) ยเนยน (union) ยเนยนของเซตสองเซตเปนการสรางเซตใหมทมสมาชกของเซตทงสองมารวมไวในเซตเดยว เชน A = 1, 3, 5 B = 1, 2, 3, 4 ดงนน A B = 1, 2, 3, 4, 5 อานวา A ยเนยน B เปนเซตทประกอบดวยสมาชก 1, 2, 3, 4 และ 5 (ถาสมาชกตวเดยวกนซ ากน จะเขยนสมาชกเพยงตวเดยว ในกรณนจงเขยนสมาชก 1 และ 3 เพยงอยางละ 1 ตว) จะเหนวา A เปนเซตยอยของ A B หรอ A A B B เปนเซตยอยของ A B หรอ B A B เขยนเปนแผนภาพเวนนตามภาพท 2.2 ไดดงน
สวนทแรเงาหมายถง A B ภาพท 2.2 A ยเนยน B
สรปไดวา ถา A และ B เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U A ยเนยน B คอเซตทประกอบดวยสมาชกของ A หรอของ B และใชสญลกษณ A B แทน A ยเนยน B x เปนสมาชกของ A B กตอเมอ x เปนสมาชกของ A หรอ x เปนสมาชกของ B ดงนน A B = x
U x A หรอ x B
1 3
5
2
4
A B U
16 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 2.2 ให A เปนเซตของจานวนเตม B เปนเซตของเศษสวน A B = C
ดงนน C เปนเซตของจานวนตรรกยะ ตวอยางท 2.3 ให C เปนเซตของจานวนตรรกยะ D เปนเซตของจานวนอตรรกยะ C D = E
ดงนน E เปนเซตของจานวนจรง 2) อนเตอรเซกชน (intersection) อนเตอรเซกชนของเซตสองเซตเปนการสรางเซตใหมทมสมาชกของเซตเปนสมาชกรวมของเซตทงสอง เชน A = 1, 3, 5 B = 1, 2, 3, 4 ดงนน A B = 1, 3 อานวา A อนเตอรเซกชน B เปนเซตทประกอบดวยสมาชก 1 และ 3 เขยนเปนแผนภาพเวนนตามภาพท 2.3 ดงน
สวนทแรเงาหมายถง A B ภาพท 2.3 A อนเตอรเซกชน B
1 3
5
2
4
A B U
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 17
สรปไดวา ถา A และ B เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U A อนเตอรเซกชน B คอเซตทประกอบดวยสมาชกทอยท งใน A และ B ใชสญลกษณ A B แทน A
อนเตอรเซกชน B x เปนสมาชกของ A B กตอเมอ x เปนสมาชกของ A และ x เปนสมาชกของ B ดงนน A B = x
U x A และ x B ตวอยางท 2.4 ให A = -1, -2, 0 B = 1, 2, 3, 4, 5 ดงนน A B = เนองจาก A และ B เปนเซตทไมมสมาชกรวมกน 3) ผลตางของเซต (difference) ผลตางของเซตสองเซตเปนเซตใหมทมสมาชกของเซตเปนสมาชกของเซตทเปนตวตงทไมใชสมาชกของเซตทนาไปลบ เชน A = 1, 3, 5 B = 1, 2, 3, 4 ดงนน A - B = 5 อานวา A ลบ B เปนเซตทประกอบดวยสมาชก 5 จะเหนวาสมาชกของ A – B จะเปนสมาชกของ A ทไมใชสมาชกของ B และถา B – A = 2, 4 อานวา B ลบ A เปนเซตทประกอบดวยสมาชก 2 และ 4 ในทานองเดยวกนจะเหนวาสมาชกของ B – A จะเปนสมาชกของ B ทไมใชสมาชกของ A เขยนเปนแผนภาพเวนน ตามภาพท 2.4 ดงน
ภาพท 2.4 ผลตางของเซต A และ B
5 2
4
A B
สวนทแรเงา คอ A - B
สวนทแรเงา คอ B - A
13
U
18 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
สรปไดวา ถา A และ B เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U A ลบ B คอเซตทประกอบดวยสมาชกของ A ทไมใชสมาชกของ B ใชสญลกษณ A - B แทน A ลบ B x เปนสมาชกของ A - B กตอเมอ x เปนสมาชกของ A และ x เปนไมเปนสมาชกของ B
ดงนน A - B = x U x A และ x B 4) สวนเตมเตม (complement) สวนเตมเตมของเซตหนงเปนการสรางเซตใหมทมสมาชกของเซตเปนสมาชกของเอกภพสมพทธทไมใชสมาชกของเซตนน เชน ใหเอกภพสมพทธ U = 1, 2, 3, …, 7 A = 1, 3, 5 ดงนน U - A = 2, 4, 6, 7 อานวา U ลบ A หรอสวนเตมเตมของ A คอเซตทประกอบดวยสมาชก 2, 4, 6 และ 7 เขยนเปนแผนภาพเวนน ตามภาพท 2.5 ดงน
ภาพท 2.5 สวนเตมเตมของเซต A
สรปไดวา ถา A เปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ U U - A หรอสวนเตมเตมของ A ใน U คอเซตทประกอบดวยสมาชกของ U ทไมใชสมาชกของ A ใช
สญลกษณ A แทนสวนเตมเตมของ A ใน U x เปนสมาชกของ A กตอเมอ x เปนสมาชกของ U และ x เปนไมเปนสมาชกของ A ดงนน A = x U
x A
U
A สวนทแรเงา คอ U – A หรอ A
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 19
5) สมบตเกยวกบการดาเนนการของเซต ให A, B, C เปนเซตยอยหรอสบเซตของเอกภพสมพทธ U
(1) สมบตเกยวกบยเนยน 1. A A = A 2. A B = B A (สมบตการสลบท หรอ commutative law) 3. (A B) C = A (B C) (สมบตการเปลยนกลม หรอ associative law) 4. A = A = A (2) สมบตเกยวกบอนเตอรเซกชน 1. A A = A 2. A B = B A (สมบตการสลบท) 3. (A B) C = A (B C) (สมบตการเปลยนกลม) 4. A = A = (3) สมบตการแจกแจง (distributive law) ของยเนยนและอนเตอรเซกชน 1. A (B C) = (A B) (A C) 2. A (B C) = (A B) (A C) (4) สมบตเกยวกบผลตางของเซตหรอกฎของเดอรมองกอง (De Morgan’s Law) สาหรบผลตาง 1. A - (B C) = (A - B) (A - C) 2. A - (B C) = (A - B) (A - C) (5) สมบตเกยวกบสวนเตมเตมของเซตหรอกฎของเดอรมองกองของสวนเตมเตม 1. (A B) = A B 2. (A B) = A B ในการดาเนนการของเซต 3 เซต คอ A, B, C ในขนแรกตองทาการดาเนนการของ 2 เซตใดๆ กอนกไดแลว
จงนามาดาเนนการเซตท 3 ภายหลง
20 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 2.5 กาหนดเอกภพสมพทธ U = 1, 2, 3, …, 8 A, B, และ C เปนเซตยอยของ U โดยท
A = 1, 2, 3, 8 B = x U 2 x 6 C = x U x 8 และ x หารดวย 2 ลงตว
จงหา 1. A B และ B A 2. (A B) C และ A (B C) 3. A B และ B A 4. (A B) C และ A (B C) 5. A (B C) และ (A B) (A C) 6. A - (B C) และ (A - B) (A - C) 7. (A B) และ A B วธทา จากโจทย A = 1, 2, 3, 8
B = 2, 3, 4, 5 C = 2, 4, 6, 8
1. A B = 1, 2, 3, 4, 5, 8 = B A 2. (A B) C = 1, 2, 3, 4, 5, 8 2, 4, 6, 8 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 A (B C) = 1, 2, 3, 8 2, 3, 4, 5, 6, 8 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 ดงนน (A B) C = A (B C) 3. A B = 2, 3 = B A 4. (A B) C = 2, 3 2, 4, 6, 8 = 2 A (B C) = 1, 2, 3, 8 2, 4 = 2 ดงนน (A B) C = A (B C) 5. A (B C) = 1, 2, 3, 8 2, 4 = 1, 2, 3, 4, 8 (A B) (A C) = 1, 2, 3, 4, 5, 8 1, 2, 3, 4, 6, 8 = 1, 2, 3, 4, 8 ดงนน A (B C) = (A B) (A C)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 21
6. A - (B C) = 1, 2, 3, 8 - 2, 3, 4, 5, 6, 8 = 1 (A - B) (A - C) = 1, 8 1, 3 = 1 ดงนน A - (B C) = (A - B) (A - C) 7. (A B) = U – (A B) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 - 1, 2, 3, 4, 5, 8 = 6, 7 A B = 4, 5, 6, 7 1, 6, 7, 8 = 6, 7 ดงนน (A B) = A B 2.2 ความสมพนธและฟงกชน (Relations and Functions) กอนทจะกลาวถงความสมพนธและฟงกชน ควรจะทาความเขาใจเกยวกบคอนดบและผลคณคารทเซยนกอนซงถอวาเปนพนฐานของการศกษาความสมพนธ
2.2.1 คอนดบ (Ordered pairs)
ถาเขยนเซตใดเซตหนงดงน A = a, b ในเรองของเซตจะไมคานงถงอนดบทของสมาชกของเซตทจะเขยนกอนหรอหลง เพราะถอวา a, b = b, a ดงนนคของสมาชก a และ b ทเขยนนไมใชคอนดบ (unordered pair) และสมาชกนนม 2 สมาชกหรอเปนค แตถาใหความสาคญของอนดบทของสมาชก จะเรยกวาคอนดบ สามารถเขยนได 2 แบบซงการเขยนแตละแบบนนมความหมายแตกตางกน คอ (a, b) หมายถง อนดบแรกคอ a และอนดบทสองคอ b และ (b, a) หมายถง อนดบแรกคอ b และ อนดบทสองคอ a คอนดบท ง 2 น นไมเทากน แมวาจะประกอบดวยสมาชก a และ b เหมอนกนกตาม ดงนนคอนดบ (a, b) และ (b, a) ไมใชคอนดบเดยวกน โดยทวไปทางคณตศาสตร เมอกลาวถงคอนดบจะใชสญลกษณ (x, y) โดย x แทนสมาชกตวหนา และ y เปนสมาชกตวหลง ดงนนคอนดบสองคจะเทากนกตอเมอ คอนดบทงสองนนจะตองมสมาชกตวหนาเทากนและสมาชกตวหลงเทากนดวย เชน (x, y) = (a, b) กตอเมอ x = a และ y = b จากแนวคดของคอนดบสามารถนาไปประยกตใชกบเซตทมสมาชกมากกวา 2 สมาชก โดยคานงถงอนดบทของสมาชกทอยในเซตนนดวย ถามอนดบทของสมาชก 3 สมาชก เรยกวา ordered triples หรอมอนดบทของสมาชก 4 สมาชก เรยกวา ordered quadruples หรอ มอนดบทของสมาชก 5 สมาชก เรยกวา ordered quintuples ฯลฯ
22 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 2.6 บรษททมชอเสยงแหงหนงผลตสนคาทกาลงเปนทนยมของตลาด มสาขาในกรงเทพฯ ทจาหนายสนคาดงกลาวอย 5 แหง ฝายการตลาดของบรษททาการเกบขอมลเกยวกบการขายมาประกอบเพอการวางแผนดาเนนงานของบรษท ดงน
สาขาท คาใชจายในการโฆษณา (ลานบาท) ยอดขาย (สบลานบาท) 1 2 5 2 3 8 3 4 10 4 5 14 5 6 20
การจบคกนระหวางคาใชจายในการโฆษณากบยอดขาย เขยนแสดงในรปคอนดบได คอ (x, y) โดยสมาชกอนดบท 1 คอ x หมายถงคาใชจายในการโฆษณาหนวยเปนลานบาท และสมาชกอนดบท 2 คอ y หมายถง ยอดขายสนคาหนวยเปนสบลานบาท จงเขยนแสดงในรปคอนดบไดดงน (2, 5), (3, 8), (4, 10), (5, 14), (6, 20) (2, 5) อานวาคอนดบสองหา ม 2 เปนสมาชกตวหนาและ 5 เปนสมาชกตวหลง หมายถง คาใชจายในการโฆษณาสองลานบาท มยอดขายสนคาหาสบลานบาท ดงนน (2, 5) กบ (5, 2) ยอมไมใชคอนดบเดยวกน ตวอยางท 2.7 การแขงขนประกวดวงดนตรลกทงระดบนกเรยนทวประเทศประจาป ซงมการจดการแขงขนตดตอกนเปนปท 10 แลว การแขงขนในแตละปจะแบงออกเปน 3 กลม เรยกวา 3 ฤด คอ ฤดฝน ฤดหนาว และ ฤดรอน การแขงขนในแตละฤดจะทาการคดเลอกวงดนตรลกทงทดทสดเพยงโรงเรยนเดยวเปนตวแทนประจาฤด เพอเขาไปแขงขนในรอบสดทาย ชงชนะเลศประจาป ดงนนในรอบสดทายชงชนะเลศจะมโรงเรยน 3 โรงเรยน เขามาแขงขน ในรอบสดทายนยงไมมการจดอนดบโรงเรยนทเขาแขงขนแตจะไดอนดบทเมอการแขงขนสนสดลง เมอคณะกรรมการประกาศผลการตดสนใหแตละโรงเรยนเปนชนะเลศ รองอนดบท 1 และรองอนดบท 2 รายชอโรงเรยนทชนะเลศ รองอนดบท 1 และรองอนดบท 2 ตามลาดบกถอไดวาเปนการจดอนดบครงละ 3 เรยกวาเปน ordered triples นนเอง
2.2.2 ผลคณคารทเซยน (Cartesian product)
คอนดบสามารถเปนสมาชกของเซตไดเหมอนกบสงอนๆ ใหพจารณาเซตตอไปน กาหนดให A = 2, 4 และ B = 1, 3, 5 ในการเขยนคอนดบ ถากาหนดใหสมาชกตวหนาของคอนดบเปนสมาชกของ A และสมาชก ตวหลงของคอนดบเปนสมาชกของ B สามารถเขยนคอนดบไดทงหมด 6 คอนดบ โดยแจกแจงแบบแผนภมตนไม (tree diagram) ไดดงน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 23
สมาชกของ A สมาชกของ B คอนดบ
2 1 (2, 1) 3 (2, 3) 5 (2, 5)
4 1 (4, 1) 3 (4, 3) 5 (4, 5)
นาคอนดบทงหมดมาเขยนเปนเซตได ดงน (2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5) และเรยกเซตนวาผลคณคารทเซยน ของ A และ B จะเหนวาสมาชกของเซตใหมน แตละสมาชกกคอคอนดบแตละคนนเอง สรปไดวา ถา A และ B เปนเซตใดๆ ผลคณคารทเซยน ของ A และ B คอเซตของคอนดบ (a, b) ทงหมดโดยท a เปนสมาชกของ A และ b เปนสมาชกของ B ใชสญลกษณแทนผลคณคารทเซยนของ A และ B วา A B อานวา A คณ B หรอ A cross B และเขยนเปนเซตแบบบอกเงอนไข ไดวา A B = (a, b) a A และ b B ขอควรระวงกคอ A และ B เปนเซตของจานวน แตผลคณคารทเซยนเปนเซตของคอนดบ ถาเซต 2 เซตทนามาหาผลคณคารทเซยนเปนเซตของจานวนจรง จะไดผลคณคารทเซยนทเปนเซตของ คอนดบทมสมาชกคอนดบเปนจานวนจรง สามารถนาไปเขยนกราฟบนระนาบพกดฉากได โดยทคอนดบแตละค กคอ จดๆ หนง (unique point) บนระนาบพกดฉากในทานองตรงขามจดๆ หนงบนระนาบพกดฉากกคอคอนดบเดยว (unique ordered pair) ของเซตผลคณคารทเซยน โดยทวไปกาหนดใหแนวนอนคอแกน x และแนวตงคอแกน y การเขยนกราฟจะใหสมาชกตวหนาของคอนดบเปนคาตามแกน x และสมาชกตวหลงของคอนดบเปนคาตามแกน y ระนาบพกดฉาก (co-ordinate plane) นน เกดจากเสนจานวนจรงสองเสนตดกนเปนมมฉากทจดกาเนด เรยกเสนจานวนในแนวนอนวาแกน x และเรยกเสนจานวนในแนวตงวาแกน y แกน x และแกน y แบงระนาบออกเปน 4 สวนแตละสวนเรยกวา จตภาค (quadrant) จากแนวคดของระนาบพกดฉาก ทาใหสามารถจบคแบบหนงตอหนง (one-to-one correspondence) ระหวางเซตของคอนดบ (a, b) ของผลคณคารทเซยนกบเซตของจดบนระนาบพกดฉาก (x, y) โดย a = x และ b = y ถาผลคณคารทเซยนเปนเซตของจานวนจรง A คณกบเซตของจานวนจรง B เขยนแทน A B ดวย R R (เมอ R คอจานวนจรง) หรอใชสญลกษณวา R2 จากแนวคดในลกษณะเดยวกน ถามเซต 3 เซต คอ A, B และ C ผลคณคารทเซยนของ A, B และ C เขยนไดดงน A B C = (a, b, c) a A, b B, c C
24 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
จะไดเปนเซตของอนดบทของสมาชก 3 สมาชก (ordered triples) ดงนนถา A, B, C เปนเซตของจานวนจรงผลคณคารทเซยนของเซตทง 3 กจะเปนเซตของจดตางๆ บนแกนระนาบ 3 มต ใชสญลกษณแทน A B C ดวย R R R หรอ R3
ตวอยางท 2.8 กาหนดให A = 2, 4 B = 1, 3, 5 จงหาผลคณคารทเซยนของ A B และ B A และเขยนกราฟของผลคณคารทเซยน วธทา เพราะวา A B = (a, b) a A และ b B ดงนน A B = (2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5) และ B A = (b, a) b B และ a A = (1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4) เขยนกราฟของผลคณคารทเซยน ไดดงน
การหาจานวนสมาชกทงหมดของผลคณคารทเซยนของ A และ B (หรอ A B) ถา A และ B เปน เซตจากด จานวนสมาชกของ A B จะเทากบจานวนสมาชกของ A คณกบจานวนสมาชกของ B จากตวอยาง A = 2, 4 B = 1, 3, 5 ฉะนน จานวนสมาชกของ A B = 2 3 = 6 คอนดบ หรอ จานวนสมาชกของ B A = 3 2 = 6 คอนดบ
0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 A
B
A B
(2, 1) (4, 1)
(2, 3) (4, 3)
(2, 5) (4, 5)
0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 B
A
B A
(1, 2) (3, 2)
(1, 4)
(5, 2)
(3, 4) (5, 4)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 25
ตวอยางท 2.9 สหกรณรานคาแหงหนง ขายอาหารใหแกสมาชกเปนชดอาหารทประกอบดวยอาหารคาว 1 อยาง และขนมหวานอก 1 อยาง อาหารคาวมใหเลอก 4 ชนด คอ ขาวผด ขาวกะเพราไขดาว กวยเตยวราดหนา และสกน า ขนมหวานมใหเลอก 3 อยาง คอ ขาวเหนยวเปยกลาไย มนแกงบวด และรวมมตร สมาชกของสหกรณรานคาแหงนสามารถเลอกอาหารชดไดกแบบ วธทา ให A = ขาวผด, ขาวกะเพราไขดาว, กวยเตยวราดหนา, สกน า B = ขาวเหนยวเปยกลาไย, มนแกงบวด, รวมมตร และให a แทน ขาวผด b แทน ขาวกะเพราไขดาว c แทน กวยเตยวราดหนา d แทน สกน า e แทน ขาวเหนยวเปยกลาไย f แทน มนแกงบวด g แทน รวมมตร ดงนน A = a, b, c, d B = e, f, g จานวนสมาชกของผลคณคารทเซยนของ A และ B = 4 3 = 12 คอนดบ จะได A B = (a, e), (a, f), (a, g), (b, e), (b, f), (b, g), (c, e), (c, f), (c, g), (d, e), (d, f), (d, g) ดงนน สมาชกของสหกรณรานคาสามารถเลอกอาหารชดไดทงหมด 12 แบบ
2.2.3 ความสมพนธ (Relations) ความสมพนธในคณตศาสตรจะเปนการกลาวถงความเกยวของกนระหวางสมาชกของเซต 2 เซต ภายใตกฎเกณฑซงอยในรปสมการหรออสมการ ความสมพนธเปนเซตทมสมาชกเปนคอนดบ จากเรองผลคณคารทเซยน ทราบวา ถา A และ B เปนเซตสองเซต A B = (a, b) a A และ b B B A = (b, a) b B และ a A ดงนน A A = (a, b) a, b A และ B B = (b, a) a, b B นนคอ คอนดบทเปนสมาชกของเซตของผลคณคารทเซยน A B สมาชกตวหนามาจากเซต A และสมาชกตวหลงมาจากเซต B
26 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ถาแทนความสมพนธดวยเซต r โดย r เปนเซตยอยหรอสบเซตของผลคณคารทเซยน A B แลว สามารถกลาวไดวา r เปนความสมพนธจาก A ไป B ดงน น r จะเปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r เปนเซตยอยหรอสบเซตของ A Bทาใหความสมพนธจงเปนเซตทมสมาชกเปนคอนดบดวย การเขยนเซตของความสมพนธอาจเขยนแบบแจกแจงสมาชกหรอเขยนแบบบอกเงอนไขของสมาชกกได แตถา r เปนเซตยอยหรอสบเซตของ A A จะเรยกวา r เปนความสมพนธในเซต A ในเรองของความสมพนธนจะเขยนสมาชกคอนดบของผลคณคารทเซยนดวย (x, y) แทน (a, b) ซงเปนสญลกษณทางคณตศาสตรทวๆ ไป ตวอยางท 2.10 การโยนลกเตาทเทยงครงละ 1 ลก 2 ครง ให P1 และ P2 เปนเซตของแตมของการโยนลกเตาครงท 1 และครงท 2 ตามลาดบ จงหาความสมพนธจาก P1 ไป P2 และแสดงกราฟของความสมพนธ เมอ r = (x, y) P1 P2 x + y = 6 วธทา P1 คอ เซตของแตมของการโยนลกเตาครงท 1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 P2 คอ เซตของแตมของการโยนลกเตาครงท 2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ดงนน P1 P2 = (1, 1), (1, 2), (1, 3), …, (6, 6) จานวนสมาชกคอนดบของ P1 P2 = 6 6 = 36 คอนดบ P1 และ P2 เปนเซตจากด ทาให P1 P2 เปนเซตจากดดวย เนองจากความสมพนธ (r) เปนเซตยอยของ P1 P2 ดงนน r จงเปนเซตจากด โดยม P1 P2 เปนเอกภพสมพทธ
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 27
ตวอยางท 2.11 ให r เปนความสมพนธในเซตของจานวนเตม (I) โดยท r = (x, y) I I y = 2x จงแสดงกราฟของ r วธทา r เปนเซตอนนตทเขยนแบบแจกแจงสมาชกได แทนคา x บางคาในสมการแสดงความสมพนธเพอหาคอนดบบางคอนดบทเปนสมาชกของ r และเขยนเปนกราฟของคอนดบบนกราฟของผลคณคารทเซยน I I x 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 y = 2x 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
0
1
2
3
4
5
1 2 3 5 4 P1
P2
(5, 1)
(3, 3)
(4, 2)
(1, 5)
(2, 4)
6
6 การหาสมาชกของ r ทาโดยแทนคา x P1 ในสมการ x + y = 6 หรอ y = 6 – x เพอหา y P2 ไดดงน r = (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
28 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 2.12 ให r = (x, y) I I y xจงแสดงกราฟของ r วธทา r เปนความสมพนธใน I r เปนเซตอนนต แทนคา x ในอสมการ y x เพอหาคอนดบทเปนสมาชกของ r เชน x = 0 y 0 คอ -1, -2, ... x = 1 y 1 คอ 0, -1, -2, ...
ดงนนจะไดคอนดบ เชน (-2, -3), (-2, -4), (-2, -5), … (-1, -2), (-1, -3), (-1, -4), … (0, -1), (0, -2), (0, -3), … (1, 0), (1, -1), (1, -2), …
0
1 2
3 4
5
1 2 3 5 4 x
y
6
6
-2 -1
-4 -3
-2 -1
กราฟของ r เปนจดเรยงกนอยในแนวเสนตรง โดยมสมาชกทเปนคอนดบ ดงน r = …, (-4, -8), (-3, -6), (-2, -4), (-1, -2), (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), … กราฟของ r ทมลกศรไวทกราฟ เพอแสดงวายงมจดอนๆ อกมากมาย ทเปนสมาชกของ r
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 29
จากตวอยางนแสดงใหเหนวา ถา x = 1 y สามารถมคาไดหลายคา เชน 0, -1, -2, ... แสดงวา ความสมพนธในกรณนเมอกาหนดคาบนแกน x 1 คาจะทาใหเกดคาบนแกน y ทสอดคลองกนมากกวา 1 คา ไดจดบนระนาบพกดฉากมากกวา 1 จด
2.2.4 โดเมนและเรนจของความสมพนธ
กาหนดให A = 3, 4, 5, 6, 7, 8 B = 2, 3, 4, 5
แทน r = (x, y) A B y = 21
x
r เปนความสมพนธจาก A ไป B และ r เปนเซตยอยของ A B เขยนแบบแจกแจงสมาชกไดดงน r = (4, 2), (6, 3), (8, 4) จะเหนวาเซตความสมพนธ r นน มสมาชกทเปนคอนดบ 3 คอนดบ และสมาชกตวหนาของทกคอนดบ คอ เซต 4, 6, 8 เรยกเซตนวา โดเมน (domain) ของ r และมสมาชกตวหลงของทกคอนดบ คอ เซต 2, 3, 4 เรยกเซตนวา เรนจ (range) ของ r
0 x
y
ความสมพนธในกรณน จะเปนเซตของจดทกจดทตรงกบเงอนไข y < x และเปนเซตอนนต
จะส ง เกตไดว า เม อกาหนดคา x ใหคาใดคาหนงจะทาใหไดคา y มากกวา 1 คา ตามความสมพนธของอสมการ y < x
30 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แต r เปนความสมพนธ จาก A ไป B โดเมนของ r จะเปนเซตยอยของ A และเรนจของ r จะเปนเซตยอยของ B สรปไดวา ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B โดเมนของ r เขยนแทนดวย Dr เปนเซตของสมาชกตวหนาของทกคอนดบใน r เรนจของ r เขยนแทนดวย Rr เปนเซตของสมาชกตวหลงของทกคอนดบใน r ตวอยางท 2.13 กาหนดให A = -2, -1, 0, 1, 2 B = -1, 0, 1, 2, 3 r เปนความสมพนธจาก A ไป B โดยท r = (x, y) A B y = x2 จงหาโดเมนและเรนจของ r วธทา ทาการแทนคา x ซง x A ในสมการ y = x2 เพอหาคาของ y ซง y B
x y = x2 (x, y) A B -1 1 (-1, 1) 0 0 (0, 0) 1 1 (1, 1)
ดงนน r = (-1, 1), (0, 0), (1, 1)
Dr หรอ โดเมนของ r คอ -1, 0, 1 Rr หรอ เรนจของ r คอ 0, 1
0
1 2
3
1 2 3 x
y
-2 -1
-3
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 31
ตวอยางท 2.14 ให r = (x, y) R R y = 2 – x2 จงเขยนกราฟของ r และหาโดเมนและเรนจของ r วธทา หาคอนดบทเปนสมาชกของ r โดยการแทนคา x บางคา ซง x R ในสมการ y = 2 – x2 เพอหาคาของ y ซง y R
x y = 2 - x2 (x, y) R R -2 y = 2 – (-2)2 = -2 (-2, -2) -1 y = 2 – (-1)2 = 1 (-1, 1) 0 y = 2 – 0 = 2 (0, 2) 1 y = 2 – (1)2 = 1 (1, 1) 2 y = 2 – (2)2 = -2 (2, -2)
กราฟของ r มลกษณะดงน กราฟของ r เปนเสนโคงพาราโบลาควา จดสงสดอยท (0, 2) ทกจดทเรยงกนเปนเสนโคงนคอสมาชกของ r
เมอพจารณาจากกราฟ จะไดวา โดเมนของ r หรอ Dr = x x เปนจานวนจรง เรนจของ r หรอ Rr = y R y 2
0 x
y
(0, 2)
(1, 1)
(2, -2) (-2, -2)
(-1, 1)
32 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 2.15 กาหนดความสมพนธ r ในเซตของจานวนจรง ดงน r = (x, y) R R y = 2x + 4 จงเขยนกราฟของ r และหาโดเมนและเรนจของ r
วธทา เนองจากเงอนไขของความสมพนธเปนสมการเสนตรง y = 2x + 4 กราฟของความสมพนธนจะเปนเสนตรง วธการเขยนกราฟ กรณท x, y เปนจานวนจรง ใหหาคอนดบสองคอนดบทเปนสมาชกของ r ซงเปนจดบนแกน x และจดบนแกน y วธการทงายทสดคอใหแทนคา x และ y เทากบ 0 ถา x = 0 สมการ y = 2x + 4 จะได y = 4 ดงนนจดตดบนแกน x คอ (0, 4) ถา y = 0 สมการ y = 2x + 4 จะได x = -2 ดงนนจดตดบนแกน y คอ (-2, 0) กราฟของ r เปนดงน
จดทเรยงกนตอเนองเปนเสนตรงเปนสมาชกของ r จากกราฟจะไดวา ถา x = -2, y = 0 ถา x > -2, y > 0 ถา x < -2, y < 0 โดเมนของ r หรอ Dr = x x เปนจานวนจรง เรนจของ r หรอ Rr = y y เปนจานวนจรง
0 (-2, 0)
(0, 4)
y
x
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 33
2.2.5 ฟงกชน (Function) ฟงกชนเปนความสมพนธชนดหนงทม เงอนไขเฉพาะ ดงน นฟงกชนตองเปนความสมพนธแตความสมพนธอาจจะเปนฟงกชนหรอไมกได ใหพจารณาความสมพนธตอไปน ถา r1 = (4, 8), (3, 6), (2, 4), (1, 2), (0, 0) r2 = (1, 0), (1, -1), (0, -1), (0, -2), (-1, -2) เมอพจารณาจากความสมพนธ r1 จะเหนวาทกคอนดบทอยใน r1 มสมาชกตวหนาตางกน ดงภาพท 2.6
ภาพท 2.6 ความสมพนธ r1
แตเมอพจารณาความสมพนธ r2 จะเหนวามคอนดบบางค เชน (1, 0), (1, -1) ทงสองคอนดบนมสมาชกตวหนาเทากน คอ 1 แตสมาชกตวหลงตางกน คอ 0 และ -1 ดงภาพท 2.7
ภาพท 2.7 ความสมพนธ r2
4 3 2 1 0
8 6 4 2 0
r1
1 0
-1
0
-1
-2
r2
34 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
จากภาพท 2.7 มสมาชกตวหนาบางตวจบคกบสมาชกตวหลงมากกวาหนงตว ลกษณะของความสมพนธ r1 เปนฟงกชน แตความสมพนธ r2 ไมเปนฟงกชน “บทนยามของฟงกชนกคอ ความสมพนธทมสมบตวา ถาคอนดบสองคใดๆ มสมาชกตวหนาของคอนดบเทากนแลว สมาชกตวหลงของคอนดบนนตองเทากนดวย” สญลกษณทใชแทนฟงกชน นยมใชอกษรภาษาองกฤษตวตาม เชน f, g, h หรอ บางครงกนยมใชอกษรภาษาองกฤษตวนา เชน F, G, H เปนตน จากบทนยามของฟงกชน เขยนเปนสญลกษณคณตศาสตรไดดงน ถา (x, y) f และ (x, z) f แลว y = z แสดงวา f เปนฟงกชนและความสมพนธ f ไมเปนฟงกชน ถา (x, y) f และ (x, z) f แต y z ดงนน การตรวจสอบวาความสมพนธใดเปนฟงกชนหรอไมเปนฟงกชน ใหดทคอนดบของความสมพนธนนวามคอนดบ คใดบางทมสมาชกตวหนาเหมอนกน แตสมาชกตวหลงตางกน ถามแสดงวาความสมพนธนนไมเปนฟงกชน แตถาไมมแสดงวาความสมพนธนนเปนฟงกชนพจารณาจากภาพท 2.8 ประกอบดงน
ภาพท 2.8 ความสมพนธทเปนฟงกชนและไมเปนฟงกชน จากภาพท 2.8 f เปนฟงกชน แต g ไมเปนฟงกชน ตวอยางท 2.16 จงพจารณาวาความสมพนธใดเปนฟงกชน 1. r1 = (1, 2), (2, 4), (3, 2), (5, 2) 2. r2 = (1, 2), (2, 4), (3, 5), (1, 6) 3. r3 = (x, y) R R y = x + 1 4. r4 = (x, y) R R x2 + y2 = 4
x y f
x
y z
g
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 35
วธทา 1. r1 = (1, 2), (2, 4), (3, 2), (5, 2) คอนดบของความสมพนธ r1 ไมมคอนดบใดทมสมาชกตวหนาซ ากน แสดงวา r เปนฟงกชน ถาพจารณาแผนภาพ r1
ไมมสมาชกตวหนาซ ากน r1 เปนฟงกชน 2. r2 = (1, 2), (2, 4), (3, 5), (1, 6) ม ค อน ดบ 2 ค อน ดบ ท ม สม าชกตวหน าซ ากน และสมาชกตวหลง ต างกน ค อ (1 , 2 ) และ (1, 6) ดงนน r2 ไมเปนฟงกชน ถาพจารณาแผนภาพ r2
มสมาชกตวหนาซ ากนคอ 1 และสมาชกตวหลงไมเทากน คอ 2 และ 6 r2 จงไมเปนฟงกชน 3. r3 = (x, y) R R y = x + 1 เงอนไขความสมพนธ คอ y = x + 1 เมอคอนดบ (x, y) เปนจานวนจรง แทนคา x ในสมการเงอนไข จะไดคา y เพยง 1 คาเทานน ถา x = 0 จะได y = 0 + 1 = 1 คอนดบคอ (0, 1) x = 1 จะได y = 1 + 1 = 2 คอนดบคอ (1, 2)
1 2 3 5
2 4
1 2 3
2 4 5 6
36 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ดงนน r3 เปนฟงกชน ถาพจารณาจากภาพดงน
4. r4 = (x, y) R R x2 + y2 = 4 เงอนไขความสมพนธ คอ x2 + y2 = 4 เมอ (x, y) เปนจานวนจรง แทนคา x ในสมการเงอนไข ถา x = 0 จะได y2 = 4 - x2 = 4 – 0 = 4 y = 4 = 2 จะไดคอนดบ (0, 2), (0, -2) ซงมสมาชกตวหนาซ ากนแตสมาชกตวหลงไมเทากน ดงนน r4 ไมเปนฟงกชน ถาพจารณาจากภาพดงน
0
(1, 2)
y
x (0, 1)
y = x + 1
0
y
x
2
-2
2 -2
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 37
การตรวจสอบความสมพนธวาเปนฟงกชนหรอไมโดยใชกราฟของความสมพนธเปนอกวธการหนงทสะดวกเมอทราบกราฟของความสมพนธ โดยการใชเสนตรงทขนานกบแกน y ใหตดเสนกราฟของความสมพนธนน ถาเสนตรงนนตดกราฟเพยงหนงจด แสดงวา กราฟของความสมพนธนนเปนฟงกชน แตถาเสนตรงนนตดกราฟมากกวาหนงจด กราฟของความสมพนธนนไมใชกราฟของฟงกชน เพราะวาเสนตรงทขนานกบแกน y จะตดแกน x ทคาใดคาหนง ณ ทคา x นนจะไดคา y ทเสนกราฟมากกวา 1 คา แสดงวามคอนดบมากกวาหนงคทมสมาชกตวหนาซ ากน แตสมาชกตวหลงตางกน ตวอยางท 2.17 กราฟของความสมพนธทกาหนดใหเปนฟงกชนหรอไม 1.
2.
O
y
x
O
y
x
38 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
3.
วธทา 1. ใหลากเสนตรงขนานกบแกน y 1 เสน เสนตรงนจะตดกราฟเพยงจดเดยวคอจด (a, b) ดงนน กราฟของความสมพนธนเปนกราฟของฟงกชน
O
y
x
O
y
x
b
a
(a, b)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 39
2. ใหลากเสนตรงขนานกบแกน y 1 เสน เสนตรงนจะตดกราฟเพยงจดเดยวคอจด (c, d) ดงนน กราฟของความสมพนธนเปนกราฟของฟงกชน
3. ใหลากเสนตรงขนานกบแกน y 1 เสน เสนตรงนจะตดกราฟสองจดคอ (a, b) และ (a, c) แต b c ดงนน กราฟของความสมพนธนไมใชกราฟของฟงกชน
2.2.6 คาของฟงกชน
จากความสมพนธ r1 = (x, y) R R y = 2x + 2 เมอแทนคา x ในสมการเงอนไขของความสมพนธ r1 จะพบวา x หนงคาจะกาหนดคา y เพยง 1 คาเทานน ความสมพนธนจะเปนฟงกชน
O
y
x
(c, d) d
c
O
y
x
(a, c) c
b (a, b)
a
40 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ดงนน ถา (x, y) f จะเขยน y ไดอกอยางหนงคอ f(x) หรอ y = f(x) และเรยก f(x) (อานวา เอฟของเอกซหรอเอฟเอกซ) วาคาของฟงกชน f ท x จาก r1 ทกาหนดใหขางตนจงเขยนใหมไดเปน f = (x, y) R R y = 2x + 2 หรอ f = (x, y) R R f(x) = 2x + 2 หรอ f = (x, y) f(x) = 2x + 2 หรออาจจะเขยนเฉพาะเงอนไขทแสดงวาเปนฟงกชนกได คอ y = 2x + 2 หรอ f(x) = 2x+2 แทนฟงกชน f การหาคาของฟงกชน หรอ f(x) นน ใหแทนคา x เทากบคาใดคาหนง เชน x = a ดงนน จงเขยนแทน x ดวย a ในฟงกชน เปน f(a) หมายความวาคาของ f ท x เทากบ a เชน f(1) หมายถง คาของ f ท x เทากบ 1 หรอ f(-2) หมายถง คาของ f ท x เทากบ -2 แลวแทนคาของ x ทางดานขวามอของฟงกชน กจะไดคาของฟงกชนตามตองการ เชน กาหนด x = 1 จะได f(1) = 2(1) + 2 = 4 ถา x = -2 จะได f(-2) = 2(-2) + 2 = -2 หรอ x = 1 y = f(x) = 4 x = -2 y = f(x) = -2 จะเหนวา คา y มคาตางๆ กน ขนอยกบคาของ x ทแปรเปลยนไป จงเรยก x และ y วาตวแปร (variable) แต y แปรเปลยนตามคาของ x และ x ไมไดแปรเปลยนตามคาของ y จงเรยก y วาเปนตวแปรตาม (dependent variable) และเรยก x วาตวแปรอสระ (independent variable) ในกรณทกาหนดคา x ใหแปรเปลยนไปดวยคาจานวนจรงใดๆ ในฟงกชนแลว ปรากฏวาคาของฟงกชนนนเปนคาใดคาหนงทคงทไมแปรเปลยนไป จะเรยกฟงกชนนนวา ฟงกชนคาคงตว เชน f(x) = 4 ไมวาจะกาหนดคา x ดวยจานวนจรงใดๆ จะไดคาของ f เปน 4 เสมอ ตามภาพท 2.9
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 41
ภาพท 2.9 ฟงกชนคาคงตว จากภาพของฟงกชนจะเหนวาสมาชกตวหนาของทกคอนดบจะจบคกบสมาชกตวหลงเพยงตวเดยว คอ 4 ดงนน f(x) = 4 จงเปนฟงกชนคาคงตว
2.2.7 โดเมนและเรนจของฟงกชน
การหาโดเมนและเรนจของฟงกชน สามารถทาไดในลกษณะเดยวกนกบการหาโดเมนและเรนจของความสมพนธเพราะฟงกชนมาจากความสมพนธ
ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B และความสมพนธ r นเปนฟงกชน (f) ดงนน f เปนฟงกชนจาก A ไป B
โดเมนของ f จงเปนเซตของสมาชกตวหนาทกตวของคอนดบใน f หรอเขยนไดวา Df = x (x, y) f และเรนจของ f จงเปน เซตของสมาชกตวหลงทกตวของคอนดบใน f หรอเขยนไดวา Rf = y (x, y) f
0
y
x
f(x) = 4 4
-2 -1 0 1 2
4
f
42 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 2.18 ให f = (0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4) จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน วธทา เขยนภาพของฟงกชนไดดงน
Df = 0, 1, 2, 3 Rf = 1, 2, 3, 4
ตวอยางท 2.19 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนจาก R ไป R และ h(x) = x1
วธทา เขยนภาพของฟงกชนไดดงน
ถา แทน x ดวยคาจานวนจรงใดๆ สามารถหาคาฟงกชน h(x) = x1ได ผลลพธทไดจะเปนจานวนจรง
ยกเวน เมอแทนคา x ดวย 0 จะทาใหไมสามารถหาคาฟงกชนนได
0 1 2 3
1 2 3 4
f
O
y
x
h(x) =
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 43
ดงนน โดเมนของ h คอเซตของจานวนจรง R ทไมรวม 0 หรอ Dh = x R x 0 สาหรบ เรนจของฟงกชน จะพจารณาจากผลลพธเมอแทนคา x ดวยจานวนจรงใดๆ ทไมใชศนย พบวาคาของ h หรอ h(x) มคาเปนจานวนจรง แตจะไมเทากบศนย (เนองจากเศษสวนจะมคาเปนศนยกตอเมอเศษมคาเปนศนย) ดงนน เรนจของ h คอเซตของจานวนจรง R ทไมรวม 0 หรอ Rh = y R y 0 สาหรบแบบจาลองทางเศรษฐศาสตร (economic model) มกจะประกอบดวยสมการพฤตกรรม (behavioral equation) ทเปนฟงกชน และตวแปรตางๆ ในแบบจาลองนนจะมขอจากดโดยตวของมนเองทมกจะเปนจานวนจรงทไมเปนคาลบ (nonnegative real numbers) จงทาใหโดเมนของฟงกชนถกจากดคาตามไปดวย ซงกเปนเหตผลอยางหนงททาใหการวเคราะหทางเศรษฐศาสตรโดยการใชกราฟอธบาย (การใชรปภาพเรขาคณต) จงเขยนแตเฉพาะจตภาคท 1 เปนสวนใหญ โดยทวไปแลวในแบบจาลองทางเศรษฐศาสตรจะไมระบคาเฉพาะของโดเมนในทกๆ ฟงกชน ดงนนในเมอไมมการกาหนดคาเฉพาะใหแตใหเปนทเขาใจกนวา โดเมนและเรนจของฟงกชนจะหมายถงจานวน ททาใหฟงกชนนนๆ มความหมายทเปนไปไดทางเศรษฐศาสตร ตวอยางท 2.20 ถาตนทนทงหมดตอวนของหนวยธรกจแหงหนง เปนฟงกชนของผลผลตทผลตไดในแตละวน ดงน C = 150 + 7Q เมอ C คอ ตนทนทงหมดตอวน Q คอ ผลผลตตอวน หนวยธรกจมกาลงการผลตจากดเพยงวนละ 100 หนวย จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน ตนทนของหนวยธรกจน วธทา จากโจทยนแสดงวา Q เปนตวแปรอสระ C เปนตวแปรตาม Q เปนจานวนจรงทมคา 0 ถง 100 คอไมมการผลตเลยจนถง 100 หนวย ดงนน โดเมนของฟงกชนนกคอ เซตของ Q ทมคาตงแต 0 ถง 100 [เพราะวา Df = x (x, y) f] เขยนไดวา Df = Q 0 Q 100 สาหรบการหาเรนจของฟงกชน ทาโดยการแทนคา Q แตละคาในฟงกชนเพอหาคา C ถา Q = 0 จะได C = 150 + 7(0) = 150 ไดคอนดบ (0, 150) Q = 100 จะได C = 150 + 7(100) = 850 ไดคอนดบ (10, 850)
44 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
2.3 ชนดของฟงกชน (Types of function) ฟงกชนแบงออกเปน 2 ลกษณะใหญๆ คอ ฟงกชนพชคณต (algebraic functions) และฟงกชนทไมใชฟงกชนพชคณต (non algebraic function) หรอเรยกวาฟงกชนอดศย (transcendental functions) ฟงกชนพชคณตประกอบดวยฟงกชนพหนาม (polynomial function) และฟงกชนตรรกยะ (rational function) สาหรบฟงกชนอดศย ซงเปนฟงกชนทไมใชฟงกชนพชคณตนน ประกอบดวย ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล (exponential function) ฟงกชนลอการทม (logarithmic function) และฟงกชนตรโกณมต (trigonometric function) 2.3.1 ฟงกชนพหนาม (Polynomial function)
พหนาม (polynomial) เปนนพจน (expression) เชงพชคณตแบบหนง เชน 3x2+2x – 1, -8x3+41
x2–x+ 5
เปนตน สามารถเขยนเปนนพจนเชงพชคณตในรปแบบทวไป ดงน anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 เรยกนพจนเชงคณตศาสตรนวา “พหนามของ x ดกร (degree) n” คาวาดกร กคอ กาลงมากทสดของตวแปรในพหนามน น สาหรบ an, an-1, …, a2, a1, a0 เรยกวาสมประสทธ (coefficients) ของ พหนาม ซงเปนจานวนจรง และ an 0 เรยก an วาเปนสมประสทธนา และเรยก a0 วาพจนคงท (constant term) พจนหรอเทอม (terms) ของ พหนาม แตละพจนกคอ anxn, an-1xn-1 , … , a2x2 , a1x , a0 ในการเขยนพจนของพหนาม ถาสมประสทธของพจนใดเปนศนย กไมตองเขยนพจนนนในพหนาม ฟงกชนพหนาม เปนฟงกชนจาก R ไป R ซงคาของฟงกชนจะกาหนดโดยพหนามของตวแปรอสระ (x) จะไดวา
f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0
0
y
Q
C = 150 + 7Q
150
850
100
[เพราะวา Rf = y (x, y) f] ดงนน Rf = C 150 C 850
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 45
โดยทสมประสทธของพหนามเปนจานวนจรง และดกรหรอกาลง (exponent) ของตวแปรอสระ กคอดชนบน (superscript) ของตวแปร x และตองเปนจานวนเตมทไมเปนจานวนเตมลบ รวมถง an 0 และเรยกฟงกชนนวา ฟงกชนพหนามของ x ดกร n กรณ n = 0 : f(x) = a0 เปนฟงกชนพหนามของ x ดกร 0 หรอฟงกชนคงตว เชน f(x) = 5 กรณ n = 1 : f(x) = a1x + a0 เปนฟงกชนพหนามของ x ดกร 1 หรอ ฟงกชนเชงเสน เชน f(x) = 4x + 1 กรณ n = 2 : f(x) = a2x2 + a1x + a0 เปนฟงกชนพหนามของ x ดกร 2 หรอฟงกชนกาลงสอง เชน f(x) = 2x2 + 3x + 1 กรณ n = 3 : f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 เปนฟงกชนพหนามของ x ดกร 3 หรอฟงกชนกาลงสาม เชน f(x) =
2x3 + 3x2 - 17x + 12 1) ฟงกชนคงตว (constant function) หมายถง ฟงกชนพหนามทมดกรเปนศนย เขยนไดวา f(x) = a0 โดยท a0 เปนคาคงททไมเทากบศนย กราฟของฟงกชนคงตวจะเปนเสนตรงทขนานกบแกน x และตดแกน y ท (0,a0) เชน f(x) = 5 กราฟของฟงกชนนเปนเสนตรงทขนานกบแกน x และตดแกน y ท (0, 5) ตามภาพท 2.10
ภาพท 2.10 กราฟของฟงกชนคงตว
2) ฟงกชนเชงเสน (linear function) หมายถง ฟงกชนพหนามทมดกรเปน 1 เขยนไดวา f(x) = a1x + a0 โดยท a1 เปนคาสมประสทธของตวแปร x ทไมเทากบศนย
0
y
x
f(x) = 5 (0, 5)
46 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
กราฟของฟงกชนเชงเสน จะเปนเสนตรงทมความชน (slope) ของเสนตรงเทากบ a1 และตดแกน y ท (0, a0) เรยกวา สวนตดแกนตง (y-intercept หรอ vertical intercept) คาสมประสทธ a1 หรอความชนของเสนตรงน หมายความวา ถาตวแปร x เปลยนแปลง 1 หนวย จะทาให y มคาเปลยนแปลง a1 หนวย ขนอยกบวาความชนมคาเปนบวกหรอลบ ถาความชนเปนบวก (a1 > 0) เสนตรงจะเปนเสนทลาดขน การเปลยนแปลงของตวแปร y จะเปนไปในทศทางเดยวกนกบตวแปร x แตถาความชนเปนลบ (a1 < 0) เสนตรงจะเปนเสนทลาดลง การเปลยนแปลงของตวแปร y จะเปนไปในทศทางตรงขามกบการเปลยนแปลงของตวแปร x เชน f(x) = 2x + 1
ภาพท 2.11 กราฟของฟงกชนเชงเสน คาสมประสทธของ x มคาเทากบ +2 หมายความวา ถาตวแปร x มคาเพมขน 1 หนวย จะมผลทาใหตวแปร y มคาเพมขน 2 หนวย หรอตวแปร x มคาลดลง 1 หนวย จะมผลทาใหตวแปร y มคาลดลง 2 หนวย (ทศทางการเปลยนแปลงของ x และ y เปนไปในทศทางเดยวกน) 3) ฟงกชนกาลงสอง (quadratic function) หมายถง ฟงกชนพหนามทมดกรเปน 2 เขยนไดวา f(x) = a2x2 + a1x + a0 โดยท a2 0 กราฟของฟงกชนกาลงสอง จะเปนรปพาราโบลา (parabola) หรอเปนเสนโคง 1 โคง ถา a2 เปนบวก หรอ a2 > 0 กราฟของฟงกชนจะเปนโคงหงาย ถา a2 เปนลบหรอ a2 < 0 กราฟของฟงกชนจะเปนโคงคว า เชน f(x) = x2 + 1 แสดงวา a2 = 1 a1 = 0 จงไมเขยนพจนหรอเทอมของ a1 x และ a0 = 1 เมอแทนคา x ดวยจานวนจรง ใน f(x) จะไดกราฟของฟงกชนเปนโคงหงายตามภาพท 2.12
0
y
x
f(x) = 2x + 1
(0, 1)
กราฟของฟงกชนเชงเสน ตดแกน y ทคอนดบ (0, 1) หรอสวนตดแกนตง อยทคอนดบ (0, 1) ตามภาพท 2.11
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 47
ภาพท 2.12 กราฟของฟงกชนกาลงสอง
4) ฟงกชนพหนามทมดกรมากกวา 2 ในกรณน กราฟของฟงกชนจะมความซบซอนมากขน แตกยงคงเปนไปตามลกษณะทวๆ ไปของกราฟของฟงกชนพหนาม คอ เปนกราฟทตอเนอง ไมขาดชวงและไมมจดหกมม เชน กราฟของฟงกชนกาลงสาม (cubic function) ทวๆ ไปมกจะเปนเสนโคงทม 2 โคง ดงตวอยางฟงกชน f(x) = 50 + 60x - 12x2 + x3 ตามภาพท 2.13
ภาพท 2.13 กราฟของฟงกชนพหนามกาลงสาม ฟงกชนพหนามกาลงสามในลกษณะตามตวอยางดงกลาวมกจะใชมากในแบบจาลองทางเศรษฐศาสตร เชน ฟงกชนตนทน (cost function) เปนตน ในบางครงมการเขยนฟงกชนอยในรปของผลคณของพหนาม กถอวาเปนฟงกชนพหนามทมดกรเทากบผลบวกของดกรของทกๆ พหนามทคณกนนนเอง เชน f(x) = (2x + 1) (x + 3) (x – 1) = 2x3 + 5x2 – 4x – 3 เปนฟงกชนพหนามของ x ดกร 3 f(x) = (x - 1) (2x + 5) (x2 + 3x + 1) = 2x4 + 9x3 + 6x2 – 12x – 5 เปนฟงกชนพหนามของ x ดกร 4
0
y
x
f(x) = x2 + 1
(0, 1)
0
y
x
f(x) = 50 + 60x - 12x2 + x3 (0, 50)
48 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
นอกจากนการเขยนฟงกชนพหนามพจนหรอเทอมทางดานขวามออาจจะเขยนเรยงจากคาคงทกอนแลวเรยงตามพจนทยกกาลงตาสดกอนไปหาพจนทยกกาลงสงสด เชน f(x) = 3 + 2x, f(x) = 1 + x2, f(x) = 110 – 5x – 2x2 + x3 เปนตน 2.3.2 ฟงกชนตรรกยะ (Rational function)
เปนฟงกชนทเขยนอยในรปของอตราสวน (ratio) ของพหนามของ x สองพหนาม เชน f(x) = 4x22x
1x
(เศษเปนพหนามของ x กาลง 1 และสวนเปนพหนามของ x กาลง 2) เปนตน ดงนน จากความหมายของฟงกชนตรรกยะ ฟงกชนพหนามจงเปนฟงกชนตรรกยะเสมอเพราะสามารถเขยนอยในรปของอตราสวนได โดยมสวนเปน 1 ซงกคอฟงกชนคงตว (ฟงกชนพหนามกาลง 0) นนเอง
ฟงกชนตรรกยะทนาไปประยกตใชในทางเศรษฐศาสตรทนาสนใจคอ f(x) = xa
หรอ y = xa
ถอวาเปน
ฟงกชนตรรกยะทมลกษณะพเศษ เมอนาไปเขยนกราฟจะไดกราฟเรยกวาไฮเปอรโบลา (rectangular hyperbola) ตามภาพท 2.14
ภาพท 2.14 กราฟไฮเปอรโบลา
จากฟงกชน y = xa
ดงนน xy = a ซงกคอ ผลคณของตวแปร x และ y จะไดคาคงทเสมอ ฟงกชนนอาจนาไปใชแทนเสนอปสงค (demand curve) ทมลกษณะพเศษแบบหนงทราคา (P) และปรมาณ (Q) อยบนแกนทง 2 นคนละแกน โดยทคาใชจายทงหมด (P Q) จะมคาคงทททกระดบราคา (ในกรณทเสนอปสงคมคาความยดหยนเปน 1 หรอ ความยดหยนเอกภาพ (unitary elasticity) ทกๆ จดบนเสนโคง)
O
y
x
f(x) =
เมอ a > 0
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 49
นอกจากนยงมการนาไปประยกตใชอนๆ อก เชน เสนโคงของตนทนคงทเฉลย (Average Fix Cost หรอ AFC) โดยมแกนตงเปนคา AFC และแกนนอนเปนผลผลต (Q) เสนโคง AFC จะตองเปนเสนโคงไฮเปอรโบลา เพราะวา AFC Q คอตนทนคงททงหมด ซงเปนคาคงท
การเขยนเสนกราฟไฮเปอรโบลา เชน f(x) = xa เสนโคงจะไมตดกบแกนทงสองแกน (แกนตงและแกน
นอน) แตจะเขาใกลแกนทงสอง เสนโคงจะเขาใกลแกนนอนและแกนตงมากเมอ x และ y เพมขนมากอยางไมมขอบเขต (x, y ) กรณนจะเขาใกลเสนกากบแนวตง (vertical asymptote) เมอ y และเขาใกลเสนกากบแนวนอน (horizontal asymptote) เมอ x 2.3.3 ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล (Exponential function) ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล เปนฟงกชนทมคาคงตวเปนฐานและมตวแปรอสระเปนกาลงของคาคงตวนน โดยทคาคงตวเปนจานวนจรงบวกทไมเปน 1 รปแบบฟงกชนเอกซโปเนนเชยล โดยทวไปเขยนไดวา f(x) = ax เมอ a 0 และ a 1 x เปนตวแปรอสระ เรยกวาฟงกชนเอกซโปเนนเชยลฐาน a (exponential function with base a) เชน f(x) = 4x คอฟงกชนเอกซโปเนนเชยลฐาน 4
f(x) = (2
1 )x คอฟงกชนเอกซโปเนนเชยลฐาน 21
f(x) = (3
4 )x คอฟงกชนเอกซโปเนนเชยลฐาน 34
แตถา 0 a 1 อาจจะเขยนฟงกชนเอกซโปเนนเชยลในอกลกษณะหนงได โดยเขยนอยในลกษณะของกาลงเปน –x เชน
f(x) = (2
1 )x เขยนเปน f(x) = 2-x
f(x) = (4
1 )x เขยนเปน f(x) = 4-x
นอกจากนยงมฟงกชนเอกซโปเนนเชยลทมฐานเปนจานวนอตรรกยะ e (มคาประมาณ 2.71828) เรยกวา ฟงกชนเอกซโปเนนเชยลธรรมชาต (the natural exponential function) เขยนไดเปน f(x) = ex หรอเรยกวา ฟงกชนเอกซโปเนนเชยลฐาน e การเขยนกราฟของเอกซโปเนนเชยล ทาไดโดยกาหนดจดบางจดบนกราฟ ซงกคอกาหนดคา x แลวแทนคา x ในฟงกชนเพอหาคาของ y หรอคาของฟงกชนนนเอง ตวอยางเชน f(x) = 4x
50 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แทนคา x ดวยคาตางๆ เพอกาหนดจดบางจดบนกราฟ เชน ถา x = 0 แทนคา x ในฟงกชนจะได f(x) = 4O = 1 x = 1 แทนคา x ในฟงกชนจะได f(x) = 41 = 4 x -2 -1 0 1 2 f(x) = 4x
161
41 1 4 16
เมอไดคา x และ y นาไปเขยนกราฟดงน
ภาพท 2.15 กราฟของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล
ตวอยางท 2.21 กาหนดให f(x) = (41 )x หรอ 4-x หรอ x4
1
แทนคา x ดวยคาจานวนจรงเพอกาหนดจดบางจดบนกราฟ เชน
ถา x = 0 แทนคา x ในฟงกชนจะได f(x) = 04
1 = 1
x = 1 แทนคา x ในฟงกชนจะได f(x) = 14
1 = 41
x = -1 แทนคา x ในฟงกชนจะได f(x) = 14
1 = 41 = 4
x = -2 แทนคา x ในฟงกชนจะได f(x) = 24
1 = 42 = 16
0
y
x
f(x) = 4x
(0, 1)
จะสงเกตไดวา เมอคา x เพมขนจากคาลบไปหาคาบวก คาของฟงกชนจะเพมขน กราฟของฟงกชน เอกซโปเนนเชยลจะไมตดแกน x แตเขาใกลแกน x ดานลบ และตดแกน y ทคอนดบ (0, 1) เพราะเมอแทนคา x = 0 แลว f(x) = ax = a0 = 1 ตามภาพท 2.15
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 51
ในกรณของกราฟของเอกซโปเนนเชยลธรรมชาต หรอ f(x) = ex นน กราฟจะอยระหวาง กราฟของ f(x) = 2x และ f(x) = 3x เพราะวาคา e = 2.71828 หรอ 2 e 3 นนเอง 2.3.4 ฟงกชนลอการทม (Logarithmic function) ฟงกชนลอการทมเปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล ถาเปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลฐาน a จะเรยกวา ฟงกชนลอการทมฐาน a แตถาเปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลธรรมชาต หรอฐาน e จะเรยกวา ฟงกชนลอการทมธรรมชาต หรอ ฟงกชนลอการทมฐาน e 1) ฟงกชนลอกาลทมฐาน a
เปนฟงกชนท x > 0 และ a > 0 แต a 1 จะได f(x) = y = log a x กตอเมอ x = ay
ตวอยางท 2.22 จงหาคาของ log 2 16 และ log 10 10001
วธทา ให y = log 2 16 จะไดวา 16 = 2y หรอ 24 = 2y y = 4 นนคอ log 2 16 = 4
ให y = log 10 10001
จะไดวา 10001 = 10y 310
1 = 10y
หรอ 10-3 = 10y y = -3
0
y
x
f(x) = 4-x
(0, 1)
จะสงเกตไดวา เมอคา x เพม ขนจากคาลบ ไปหาคาบวก คาของฟงกชนจะลดลง กราฟของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลไมตดแกน x แตเขาใกลแกน x ดานบวก และตดแกน y ทคอนดบ (0, 1)
52 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
สมบตของลอการทม 1. loga 1 = 0 เพราะวา a0 = 1 2. loga a = 1 เพราะวา a1 = a 3. loga ax = x 4. ถา loga x = loga y แลว x = y 2) ฟงกชนลอการทมธรรมชาต เนองจากฟงกชนลอการทมเปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล ดงนนฟงกชนลอการทมธรรมชาต หรอฟงกชนลอการทมฐาน e จงเปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลฐาน e ใชสญลกษณแตกตางจากฟงกชนลอการทมฐาน a ดงน
n x อานวา “แอล เอน ออฟ เอกซ” หรอ “natural log of x”
จะไดวา f(x) = loge x หรอ n x เมอ x > 0 และสมบตของฟงกชนลอการทมฐาน a ทง 4 ขอ ยอมเปนจรงสาหรบลอการทมธรรมชาตดวย 3) การเขยนกราฟของฟงกชนลอการทม เนองจากฟงกชนลอการทมเปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล ดงนนกราฟของฟงกชนลอการทมจะสมมาตรกบกราฟของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลบนเสนตรง y = x หรอกราฟทงสองจะสะทอนซงกนและกนในแนวเสนตรง y = x เมอกลาวถงการสมมาตรของกราฟกควรทาความเขาใจวาสมมาตรหมายถงอะไร การสมมาตร (symmetry) ของจดสองจด เปนการพจารณาจากจดสองจดตอแกนใดแกนหนง ถาลากเสนตอจดระหวางจดสองจดนน เสนนจะถกแบงครงโดยแกนดงกลาว การสมมาตรแบงเปน
1. เสนกราฟมลกษณะสมมาตรตอแกน x ถาแตละจด (x, y) อยบนกราฟและจดทสมมาตร (x, -y) กอยบนกราฟดวย หมายถง ถาแทนคา y ดวย –y จะไมเปลยนแปลงรปแบบสมการของเสน ตามภาพท 2.16
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 53
ภาพท 2.16 กราฟสมมาตรตอแกน x
2. เสนกราฟมลกษณะสมมาตรตอแกน y ถาแตละจด (x, y) อยบนกราฟและจดทสมมาตร (-x, y) ก
อยบนกราฟดวย หมายถง ถาแทนคา x ดวย –x จะไมเปลยนแปลงรปแบบสมการของเสน ตามภาพท 2.17
ภาพท 2.17 กราฟสมมาตรตอแกน y
3. เสนกราฟมลกษณะสมมาตรตอจดเรมตน ถาแตละจด (x, y) อยบนกราฟและจดทสมมาตร (-x, -
y) กอยบนกราฟดวย หมายถง ถาแทนคา x ดวย –x และแทนคา y ดวย –y จะไมเปลยนแปลงรปแบบสมการของเสน ตามภาพท 2.18
O
y
x
(x, y)
(x, -y)
d1
d1
O
y
x
(x, y) (-x, y) d2 d2
54 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ภาพท 2.18 กราฟสมมาตรตอจดเรมตน
การสมมาตรของเสนกราฟทง 3 แบบนน ถาพจารณาจากสมการของกราฟสามารถพจารณาไดดงน การสมมาตรตอแกน x ถา f(x, y) = f(x, -y) = 0 การสมมาตรตอแกน y ถา f(x, y) = f(-x, y) = 0 การสมมาตรตอจดเรมตน ถา f(x, y) = f(-x, -y) = 0 ตวอยางท 2.23 จงหาวากราฟจากสมการ y = x2 + 1 มการสมมาตรแบบใด วธทา จากสมการ y = x2 + 1 สามารถเขยนในรปของ f(x, y) = 0 ไดดงน x2 – y + 1 = 0 ถา f(x, -y) = x2 + y + 1 = 0 ซงไมเหมอนกบสมการ f(x, y) = 0 จงไมสมมาตรตอแกน x ถา f(-x, y) = x2 – y + 1 = 0 ซงเหมอนกบสมการ f(x, y) = 0 จงสมมาตรตอแกน y ถา f(-x, -y) = x2 + y + 1 = 0 ซงไมเหมอนกบสมการ f(x, y) = 0 จงไมสมมาตรตอจดเรมตน สรปไดวา กราฟของสมการ y = x2 + 1 หรอ x2 – y + 1 = 0 เปนกราฟทสมมาตรตอแกน y ตามภาพ
O
y
x
(x, y)
(-x, -y)
d3
d3
y
x
f(x) = x2 + 1
(1, 2) (-1, 2)
0
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 55
สวนในกรณของกราฟของฟงกชนลอการทมทสมมาตรกบกราฟของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลบนเสนตรง y = x นน เปนสมบตของฟงกชนผกผน (inverse function) ซงปญหาการหาฟงกชนผกผนของ f(x) เปนปญหาของการมองกราฟ y = f(x) โดยใหแกน x และแกน y สลบกน จงเปนภาพสะทอนของเสน y = x นนเอง การหากราฟทาโดยการลากเสนตงฉากจากจดแตละจดบนกราฟของฟงกชนเดมไปยงเสน y = x แลวลากเสนตงฉากน ใหเลยเสน y = x นไป เทากบระยะจากกราฟของฟงกชนเดมมายงเสน y = x จดใหมเหลานกจะเปนเสนกราฟของฟงกชนผกผน y = f-1(x) ตามภาพท 2.19
ภาพท 2.19 กราฟฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล จากภาพท 2.19 เมอ f(x) = 2x เปนฟงกชนเอกซโปเนนเชยล และ f(x) = log2 x เปนฟงกชนลอการทม ซงเปนฟงกชนผกผนของ f(x) = 2x ภาพทไดของ f(x) = log2 x จงเปนภาพสะทอนของฟงกชนเดม ซงสมมาตรกน บนเสนตรง y = x นอกจากจะใชวธของภาพสะทอนแลว การเขยนกราฟของฟงกชนลอการทมยงทาไดโดยการแทนคา x ดวยจานวนจรงบางคา เพอหาคา f(x) เหมอนกบการเขยนภาพของฟงกชนอนๆ ทไดกลาวมาแลวกอนหนาน จากตวอยางการเขยนกราฟของ f(x) = log2 x เนองจาก f(x) = log2 x หรอ y = log2 x จะไดวา 2y = x ถา x = 1 แทนคาจะได 2y = 1 = 20 ดงนน y = 0
O
y
x
f(x) = log2 x
f(x) = 2x
y = x
56 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ถา x = 2 แทนคาจะได 2y = 2 ดงนน y = 1 ถา x = 4 แทนคาจะได 2y = 4 = 22 ดงนน y = 2 ถา x = 8 แทนคาจะได 2y = 8 = 23 ดงนน y = 3
ถา x = 21
แทนคาจะได 2y = 21
= 2-1
ดงนน y = -1
ถา x = 41
แทนคาจะได 2y = 41
= 2-2
ดงนน y = -2 นามาเขยนกราฟไดตามภาพท 2.20
ภาพท 2.20 กราฟของฟงกชนลอการทม
กราฟของฟงกชนลอการทม f(x) = loga x จะมลกษณะสาคญ ดงน 1. จดทกราฟตดแกน x คอ (1, 0) 2. ถา a 1 กราฟจะเขาใกลแกน y ทางดานลบแตไมตดแกน y เมอ 0 a 1 กราฟจะเขาใกลแกน y ทางดานบวกแตไมตดแกน y 3. เมอ a 1 คาของฟงกชนเพมขน เมอคา x เพมขนจากคานอยไปหาคามาก 4. เมอ 0 a 1 คาของฟงกชนลดลง เมอคา x เพมขนจากคานอยไปหาคามาก
O
y
x
f(x) = log2 x
(1, 0)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 57
2.4 ฟงกชนทมตวแปรอสระ 2 ตวแปรหรอมากกวา (Functions of two or more independent variables) ฟงกชนทประกอบดวยตวแปรอสระเพยง 1 ตวแปรทกลาวมาแตแรกทงหมดนน เขยนในรปแบบทวๆ ไปไดวา y = f(x) ในทน x คอตวแปรอสระ จากแนวคดดงกลาวสามารถขยายไปสกรณของฟงกชนทประกอบดวย ตวแปรอสระ ต งแต 2 ตวแปรหรอมากกวาได และเขยนอยในรปแบบทวไปของฟงกชนหลายตวแปรได เชน z = g(x, y) โดยท x, y คอตวแปรอสระ z คอตวแปรตาม ทงนคอนดบ (x, y) ทกาหนดใหจะทาใหทราบคา z ได ตวอยางของฟงกชนหลายตวแปรทเขยนในรปแบบคณตศาสตร เชน ฟงกชนเชงเสน y = ax + by ฟงกชนกาลงสอง y = a0 + a1x + a2x2 + b1y + b2y2 แนวคดของฟงกชนตวแปรอสระตวเดยว y = f(x) นน เปนการจบค (mapping) จดในโดเมนฟงกชนไปยงจดในเรนจฟงกชน ฟงกชน g นกเชนเดยวกน เพยงแตโดเมนของฟงกชน g ไมใชเซตของตวเลขเดยวๆ เหมอนฟงกชน f แตเปนเซตของคอนดบ (x, y) เพราะคา z จะหาคาไดเมอกาหนดคาหรอรคาของคอนดบ (x, y) ดงนน ฟงกชน g จงเปนการจบคจากจดของคอนดบในระนาบ 2 มตไปยงอกจดหนงบนเสนอกมตหนง ทาใหเกดจดบน 3 มต เชน จากจดของคอนดบ (x1, y1) ไปยงจด z1 จากจดของคอนดบ (x2, y2) ไปยงจด z2 ดงแสดงตามภาพท 2.21 (ก) และ (ข)
(ก) O x1 x2
y1
y2
y
x
(x1, y1)
(x2, y2) z2
z1
g
z
g
58 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
(ข) ภาพท 2.21 การจบคของจดบนระนาบ 2 มต และ 3 มต
ถาแกน z เปนแกนตง ทตงฉากกบระนาบ xy ตามภาพท 2.7 (ข) กจะเกดระนาบ 3 มต ภาพกราฟทวาดในระนาบ 3 มตนกจะแสดงถงฟงกชน g ซงโดเมนของฟงกชน g กคอเซตยอยของจดตางๆ ทเปนคอนดบ (x, y) ในระนาบ xy และคาของฟงกชน g (กคอคา z) กจะถกกาหนดจากจดคอนดบ (x, y) ในโดเมนนน เชน คอนดบ (x1, y1) กจะกาหนดคา z1 ซงเปนความสงของเสนตรงทตงฉากขนไปจากจดนน เปนตน ซงความสมพนธระหวางตวแปรทง 3 คอ ตวแปร x ตวแปร y และตวแปร z สามารถเขยนอยในลกษณะของไตรอนดบ (ordered triple) คอ (x1, y1, z1) ซงเปนจดเฉพาะจดหนงในระนาบ 3 มต ภาพกราฟของฟงกชน g จงเปนภาพพนผว (surface) ไมไดเปนภาพเสน 2 มต เหมอนฟงกชนของตวแปรอสระตวเดยว ดงนน z = g(x, y) จงเปนฟงกชนหลายตวแปรอสระทเปนเซตของไตรอนดบตามทอธบายมา
สาหรบฟงกชนของตวแปรอสระ 2 ตวแปรน ไดถกนาไปใชในแบบจาลองทางเศรษฐศาสตร เชน การประยกตใชในฟงกชนการผลต โดยใหผลผลต (Q) ถกกาหนดจากปจจยทน (capital หรอ K) และปจจยแรงงาน (labor หรอ L) ซงสามารถเขยนในรปแบบทวไปของฟงกชนการผลตได คอ
Q = Q(K, L) ในกรณทเปนฟงกชนทมตวแปรอสระมากกวา 2 ตวแปร เชน ฟงกชนของตวแปรอสระ 3 ตวแปร เขยนใน
รปแบบของฟงกชน ดงน y = h(u, v, w) เมอ u, v, w เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตาม ในลกษณะของแนวคดแบบเดยวกน ทาใหสามารถจบคจดในระนาบ 3 มตคอ (u1, v1, w1) ไปยงจดหนงบนเสนในอกมตหนงคอ y1 ตวอยางของฟงกชนในลกษณะน เชน ฟงกชนอรรถประโยชน (utility function) ของผบรโภคทมการบรโภคสนคาทแตกตางกน 3 ชนด ในปรมาณทแตกตางกน อยางไรกตามการเขยนภาพกราฟในลกษณะ 4 มตทเปน ordered quadruple (u1, v1, w1, y1) ไมสามารถทาได แตในทางพชคณตกยงสามารถคานวณได โดยถอวามภาพกราฟ
x1 x2
y1 y2
z
x
(x1, y1, z1) y
(x2, y2, z2)
O
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 59
ทเปนจดบน 4 มต (ในความจรงแลวเปนไปไมได) ของฟงกชนตวแปรอสระ 3 ตวแปร หรอ y = h (u, v, w) เรยกวา hyper surface และสามารถขยายไปสกรณทมตวแปรอสระทมากกวา 3 ตวแปรไดเปน n มต
ฟงกชนตวแปรอสระหลายตวแปรนจาแนกไดหลายแบบ แตเขยนอยในรปแบบทวไปของฟงกชนไดดงน y = f(x1, x2, …, xn)
แตถาจาแนกประเภทฟงกชนของตวแปรอสระหลายตวแปร สามารถจาแนกไดหลายประเภทแตทสาคญคอ 1. ฟงกชนเชงเสน เปนฟงกชนททกๆ ตวแปรอสระมเลขชกาลงเปน 1 เทานน รปแบบของฟงกชน คอ
y = a0 + a1x1 + a2x2 + … + anxn เมอ a0, a1, a2, …, an เปนคาคงท x1, x2, x3, …, xn เปนตวแปรอสระ 2. ฟงกชนกาลงสอง เปนฟงกชนทตวแปรอสระในแตละพจน มเลขชกาลงสงสดไมเกน 2 โดยทตวแปรอสระในแตละพจนอาจมตวเดยวและมเลขชกาลงเปน 1 หรอเปน 2 หรอในแตละพจนอาจมตวแปรอสระ 2 ตวแปรคณกน แตผลรวมของเลขชกาลงของตวแปรทง 2 จะตองไมเกน 2 เชน z = a0 + a1x + a2x2 + a3x2 + a4x2 หรอ z = a0 + a1x + a2xy + a3y2 แตในแบบจาลองทางเศรษฐศาสตร การเขยนตวแปรอสระในรปแบบเดยวกนกบสมประสทธของตวแปรทมเลขดชนลาง จะชวยใหงายตอการนบจานวนตวแปรอสระทเกยวของกบฟงกชนนน
60 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แบบฝกหดบทท 2 1. จงเขยนเซตตอไปน โดยวธแจกแจงสมาชก และวธกาหนดเงอนไขของสมาชก 1.1 เซตของจานวนจรงทมากกวา 30 1.2 เซตของจานวนจรงทมากกวา 15 แตนอยกวา 50 1.3 เซตของจานวนเตมบวกทเปนจานวนค 1.4 เซตของจานวนเตมทมากกวา 5 และนอยกวาหรอเทากบ 10 2. กาหนดให A = 2, 4, 6 B = 7, 2, 6 C = 4, 2, 6 และ D = 2, 4 เมอ R คอเซตของ
จานวนจรง ขอความขอใดตอไปนเปนจรง 2.1 A = B 2.4 3 B 2.7 A B 2.2 A = R 2.5 4 D 2.8 B 2.3 5 B 2.6 D R 2.9 C 1, 2 3. จากขอ 2 จงหาการดาเนนการของเซตดงน 3.1 A B 3.3 B C 3.5 D B A 3.2 A C 3.4 B D 3.6 C A D 4. จากขอความตอไปน ขอใดถกตอง 4.1 A A = A 4.5 A = 4.2 A A = A 4.6 A U = A 4.3 A = A 4.7 สวนเตมเตมของ A คอ A 4.4 A U = U 5. กาหนดให A = 4, 5, 6 B = 3, 4, 6 7 และ C = 2, 3, 6 จงหาการดาเนนการของเซตตามสมบตการแจกแจงของยเนยน และอนเตอรเซกชน และเขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอร
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 61
6. กาหนดให A = 3, 6, 9 B = a, b และ C = m, n จงหาผลคณคารทเชยน 6.1 A B 6.2 B C 6.3 C A 7. ผลคณคารทเชยน A B = B A หรอไม ภายใตเงอนไขอะไร ผลคณคารทเชยนทง 2 จะเทากน 8. ถาโดเมนของฟงกชน y = 5 + 3x เปนเซต x 1 x 4 จงหาเรนจของฟงกชน และเขยนอยในรปของเซต 9. สาหรบฟงกชน y = -x2 ถาโดเมนคอเซตของจานวนจรงทไมเปนลบทงหมด เรนจของฟงกชนคออะไร 10. จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนตอไปน 10.1 f = (0,1), (-1,2), (-2,2), (4,3) 10.2 f = (x,y) RR y = 2 - 5x
10.3 g = (x,y) y = 5x1
10.4 h(x) = 4x2 – 1 10.5 f(x) = 6
11. กาหนดให B = 2, 3, 4, 5 จงเขยนความสมพนธแบบแจกแจงสมาชกและเขยนกราฟความสมพนธบน B B 11.1 r1 = (x,y) BB y = x - 2 11.2 r2 = (x,y) BB y > x - 2 11.3 r3 = (x,y) BB y < x - 2
12. จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน 12.1 r1 = (x,y) II y = x2 + 1 12.2 r2 = (x,y) II y = -x + 2
62 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
13. จงเขยนกราฟของฟงกชนตอไปน โดยพจารณาเฉพาะโดเมนของฟงกชนทเปนจานวนเตมบวกเทานน 13.1 y = 8 + 3x 13.2 y = 8 – 3x 13.3 y = 3x + 12 14. ความแตกตางทสาคญ ระหวาง ฟงกชน ของขอท 13.1 และขอท 13.2 คออะไร ใหเขยนกราฟประกอบ ความแตกตางทสาคญ ระหวาง ฟงกชน ของขอท 13.1 และขอท 13.3 คออะไร ใหเขยนกราฟประกอบ 15. จงเขยนกราฟของฟงกชนตอไปน 15.1 y = -x2 + 5x – 2 15.2 y = x2 + 5x – 2 กาหนดใหเซตของคา -5 x 5 เปนโดเมนของฟงกชนทง 2 ทาใหทราบเครองหมายของสมประสทธ
ของเทอม x2 จงแสดงใหเหนวากราฟของฟงกชนกาลงสองจะโคงคว า หรอโคงหงาย
16. จงเขยนกราฟของฟงกชน y = x36
เมอสมมตวา x และ y เปนคาบวกเทานน แตถาสมมตวา
ตวแปร x และ y มคาลบ กราฟจะสะทอนใหเหนการเปลยนแปลงขอสมมตอยางไร
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 63
บทท 3 เมทรกซ 3.1 ความหมายของเมทรกซ (Matrix) เมทรกซคอกลมของจานวน หรอพารามเตอร หรอตวแปร ทนามาเขยนเรยงกนเปนแถวๆ ในกรอบสเหลยม เปนแนวนอนอยางเปนระเบยบ โดยทแตละแถวนอนมจานวนหรอพารามเตอรหรอตวแปรในจานวนทเทากนอยภายในเครองหมายวงเลบใหญ
แตละจานวน หรอแตละพารามเตอร หรอแตละตวแปรทอยภายในเครองหมายวงเลบใหญนเรยกวา สมาชกของเมทรกซโดยสวนใหญเมอกลาวถงเมทรกซแลว สมาชกของเมทรกซมกจะเปนจานวน การอธบายตอๆ ไปในเรองนจงใชจานวนเปนสมาชกของเมทรกซ
เชน A =
65
41 B =
412
301
A เปน เมทรกซ ประกอบดวย 2 แถวนอนและ 2 แถวตง B เปน เมทรกซ ประกอบดวย 2 แถวนอนและ 3 แถวตง ตอไปจะเรยกแถวนอนวาแถว (row) และเรยกแถวตงวาสดมภ (column) โดยทวไปนยมแทนเมทรกซดวยอกษรภาษาองกฤษตวนา เชน A B C D เปนตน และแทนสมาชกแตละสมาชกของเมทรกซ ดวยอกษรภาษาองกฤษตวตาม เชน a, b, c, d เปนตน สมาชกแตละสมาชกจะอยในตาแหนงเฉพาะในแถวนนๆ และบอกเลขของตาแหนงโดยระบเลขของแถวและสดมภทสมาชกนนๆ ปรากฏอยเปนตวหอยหรอดชนลาง หรอตวกากบขางลางของสมาชกนนๆ โดยท i แทนตาแหนงของแถว และ j แทนตาแหนงของสดมภ การเขยนใหดชนลางตวแรกแสดงถงแถวและตวทสองแสดงถงสดมภ
เชน A =
232221
131211
aaa
aaa
ตาแหนงสมาชกของแตละสมาชกแสดงโดยดชนลางดงนน a21 จงหมายถงสมาชกในแถวท 2 และสดมภท 1 การเขยนเมทรกซ มกเขยนอยในรปดงน
64 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
A =
mn3m2m1m
n2232221
n1131211
a...aaa
a...aaa
a...aaa
หมายถง เมทรกซ A มสมาชกอย m แถว n สดมภ หรอกลาวไดวา A เปนเมทรกซทมขนาด (dimension) เทากบ m n (อานวา m คณ n หรอ m by n)
หรอเขยนในอกรปหนง คอ A = [aij]mn 3.2 ประเภทของเมทรกซ
3.2.1 เมทรกซแถวและเมทรกซสดมภ (Row matrix and column matrix) เมทรกซใดประกอบดวยสมาชกทเรยงกนอยในแถวเพยงแถวเดยว และถามองในดานสดมภจะมอย n
สดมภ (สดมภละ 1 สมาชก) ดงนน เมทรกซจงประกอบดวยสมาชกทอยในแถว 1 แถว n สดมภ หรอเปนเมทรกซทมขนาด 1 n เมทรกซนเรยกวาเมทรกซแถว (row matrix) เชน A = [a11 a12 a13 … a1n] เมทรกซ A มขนาด 1 n B = [0 1 2 3] เมทรกซ B มขนาด 1 4
สวนเมทรกซทประกอบดวยสมาชกทเรยงกนอยในสดมภเพยงสดมภเดยว และถามองในดานแถวจะมอย m แถว (แถวละ 1 สมาชก) ดงนนเมทรกซจงประกอบดวยสมาชกทอยใน 1 สดมภ m แถว หรอเปนเมทรกซทมขนาด m 1 เมทรกซนเรยกวา เมทรกซสดมภ (column matrix) เชน
C =
1m
12
11
c
c
c
เมทรกซ C มขนาด m 1
D =
0
1
2
3
เมทรกซ D มขนาด 4 1
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 65
เมทรกซใดประกอบดวยสมาชกทเรยงกนอยในแถวเพยงแถวเดยว (เมทรกซแถว) เรยกอกอยางหนงวา เวกเตอรแถว (row vector) และเมทรกซใดทประกอบดวยสมาชกทเรยงกนอยในสดมภเพยงสดมภเดยว (เมทรกซสดมภ) เรยกอกอยางหนงวาเวกเตอรสดมภ (column vector)
เมทรกซทมขนาด m n เปนการรวมกลมของสมาชกทมอนดบ จานวน mn สมาชก เมทรกซจงเปนเซตอนดบของ m เวกเตอรแถว (m row vectors) หรอกลาวอกอยางหนงไดวาเปนเซตอนดบของ n เวกเตอรสดมภ (n column vectors) นนเอง
3.2.2 เมทรกซจตรส (Square matrix) หมายถง เมทรกซทมจานวนแถวและจานวนสดมภเทากน เชน
E =
42
31 เมทรกซ E เปนเมทรกซจตรสขนาด 2 2 หรอเรยกวาเมทรกซจตรสอนดบ 2
F =
101
213
321
เมทรกซ F เปนเมทรกซจตรสขนาด 3 3 หรอเรยกวาเมทรกซจตรสอนดบ 3
3.2.3 เมทรกซศนย (Null matrix หรอ Zero matrix) หมายถง เมทรกซทมสมาชกทกตวเปนจานวน 0 ทงหมด ทงนขนาดของเมทรกซจะเปนเทาไรกได เชน
000
000 เปนเมทรกซศนยขนาด 2 3
00
00 เปนเมทรกซศนย และเปนเมทรกซจตรสขนาด 2 2
เมทรกซศนย ทาหนาทคลายเลขศนยในพชคณต เพราะเมอคณกบเมทรกซอนๆ ทมขนาดทสามารถคณกบเมทรกซศนยแลวจะไดเมทรกซศนย หรอเมอนาเมทรกซทมขนาดเทากบเมทรกซศนยมาบวกหรอลบกนกบเมทรกซศนยจะไดผลเฉลยเทากบเมทรกซนน เมทรกซศนยจะใชสญลกษณแทน คอ [0] หรอ 0 (เลขศนย) เชน
[0]23 = 0(23) =
000
000
แตอยางไรกตาม กรณทเมทรกซ A คณกบเมทรกซ B แลวไดเมทรกซศนย หรอ AB = [0] ไมจาเปนท A = [0] หรอ B = [0]
66 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
เชน A =
01
01 B =
321
000
จะได AB =
01
01
321
000 =
000
000
จะเหนวา A [0] B [0] แต AB = [0] สาหรบวธการคณเมทรกซดวยเมทรกซจะไดกลาวถงตอไปในเรองการปฏบตการของเมทรกซ
3.2.4 เมทรกซเอกลกษณ (Identity matrix) หมายถง เมทรกซจตรสทมสมาชกบนเสนทแยงมมหลกเปน 1 ทงหมด และสมาชกทเหลออนๆ เปนศนย
หมดทกตว สญลกษณทใชแทนเมทรกซเอกลกษณใดๆ เขยนเปน I หรอ In ซง n คอจานวนแถว หรอสดมภ ซงเทากนเพราะเปนเมทรกซจตรส
คาวา “เสนทแยงมมหลก” หรอ principle diagonal หรอ main diagonal หมายถงเสนทแยงมมในเมทรกซจตรสททแยงมมจากบนซายลงมาลางขวา โดยสมาชกทอยบนเสนทแยงมมหลกนเปนสมาชกทอยในอนดบท i = j คอ a11, a22, a33, …, ann
เชน I =
100
010
001
I เปนเมทรกซเอกลกษณขนาด 3 3 หรอเขยนวา I3
I2 =
10
01 I2 เปนเมทรกซเอกลกษณขนาด 2 2
เมทรกซเอกลกษณทาหนาทคลายเลขหนงในพชคณต เพราะถาให a เปนจานวนใดๆ แลว 1a = a1 = a ในทานองเดยวกน ถา A เปนเมทรกซใดๆ เมอนามาคณกบเมทรกซเอกลกษณจะไดผลเฉลยเทากบเมทรกซนนสามารถเขยนไดวา IA = AI = A
เมทรกซเอกลกษณจะเปนเมทรกซสมมาตรและเมอคณดวยตวเองจะยงคงเปนเมทรกซเอกลกษณเดม นนคอ I I = I2 = I เชน
กาหนดให A =
451
213
342
I =
100
010
001
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 67
ดงนน AI =
451
213
342
100
010
001
=
451
213
342
= A
หรอ IA =
100
010
001
451
213
342
=
451
213
342
= A
และ I2 =
100
010
001
100
010
001
=
100
010
001
= I
3.2.5 เมทรกซสลบเปลยน (Transpose matrix) หมายถง เมทรกซทมการสลบสมาชกแตละแถวกบสดมภของเมทรกซเดม เชน เมทรกซ A ทแตละแถว
ไดรบการเขยนใหมใหเปนแตละสดมภ หรอแตละสดมภไดรบการเขยนใหมใหเปนแตละแถว เมทรกซ A ทมการสลบเปลยนแลวน เขยนแทนดวย At หรอ A อานวา A transpose หรอ A prime
ตวอยางเชน ถา A =
102
321 เมทรกซ A มขนาด 2 3
จะได At =
13
02
21
เมทรกซ At มขนาด 3 2
ดงนน ถา A = [aij]mn จะได At = [aji]nm 3.2.6 เมทรกซสมมาตร (Symmetric matrix) หมายถง เมทรกซจตรสทมสมาชกทอยเหนอเสนทแยงมมหลกเหมอนกบสมาชกทอยดานใตของเสนทแยง
มมหลก ทาใหเมอมการสลบเปลยนแถวและสดมภแลว จะไดเมทรกซเดม เชน
เชน A =
572
714
243
A เปนเมทรกซจตรสขนาด 3 3
68 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
เมอทาการสลบเปลยนแถวและสดมภเมทรกซ A จะไดเมทรกซ At ดงน
At =
572
714
243
ดงนน A = At เรยกเมทรกซนวา เมทรกซสมมาตร เมทรกซเอกลกษณกเปนเมทรกซสมมาตรดวย เพราะวาสมาชกทอยเหนอและใตเสนทแยงมมหลกเปนศนยเหมอนกนหมด
3.2.7 เมทรกซทแยงมม (Diagonal matrix) หมายถง เมทรกซจตรสทมสมาชกทอยบนเสนทแยงมมหลกไมเปนศนยทงหมด และสมาชกทอยในอนดบ
อนๆ ทอยเหนอและใตเสนทแยงมมหลกเปนศนยทงหมด หรอเขยนเปนสญลกษณไดวา aij = 0 เมอ i j และ aij 0 หรอ = 0 เมอ i = j
ดงนน ถา A เปนเมทรกซทแยงมม สามารถเขยนไดดงน
A =
nn
22
11
a00
0a0
000a
เชน B =
400
010
002
C =
4000
0200
0000
0001
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 69
3.3 การเทากนของเมทรกซ (Equality of matrices) เมทรกซสองเมทรกซจะเทากนไดกตอเมอเมทรกซทง 2 ตองมขนาดเทากนและมสมาชกในแตละแถวและ
แตละสดมภทกๆ อนดบทจะตองเหมอนกน ให A = [aij]mn B = [bij]mn A = B กตอเมอ aij = bij ทกคาของ i และ j
เชน A =
210
321 เมทรกซ A มขนาด 2 3
B =
210
321 เมทรกซ B มขนาด 2 3
C =
321
120 เมทรกซ C มขนาด 2 3
ดงนน A = B C เมทรกซ C มขนาดเทากบเมทรกซ A และ B แตสมาชกของเมทรกซ C ในแตละแถวและแตละสดมภไม
เหมอนกบเมทรกซ A และเมทรกซ B ทกตาแหนงอนดบททาใหเมทรกซ C จงไมเทากบ เมทรกซ A และเมทรกซ B
ถากาหนดให
b
a =
4
1
หมายความวาเมทรกซทง 2 เทากน สมาชกในอนดบทเดยวกนยอมเทากน ดงนน a = 1 b = 4 ดงนนถากาหนดให A, B, C เปนเมทรกซใด แลว 1. ถา A = B แลว B = A 2. ถา A = B และ B = C สรปไดวา A = C ดวย 3.4 พชคณตของเมทรกซ (Matrix algebra)
3.4.1 การบวกและการลบเมทรกซ (Addition and subtraction of matrices) การบวกหรอการลบเมทรกซ 2 เมทรกซใดๆ มเงอนไขเบองตนอยทการทจะบวกหรอลบกนไดจะตองม
ขนาดเทากนกอน สวนขนตอนการบวกหรอการลบกนระหวางเมทรกซ กคอการนาสมาชกทกตวทอยในตาแหนงหรออนดบเดยวกนของเมทรกซทงสองมาบวกหรอลบกน ถา A = [aij]mn , B = [bij]mn และ C = [cij]mn
70 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ดงนน A + B = [aij]mn + [bij]mn = [aij + bij]mn = [cij] mn เมอ cij = aij + bij ทกคา i และ j และ A - B = [aij]mn - [bij]mn = [aij - bij]mn = [cij] mn เมอ cij = aij - bij ทกคา i และ j
ตวอยางท 3.1 กาหนดให A =
52
01 B =
14
53 จงหา A+B และ A–B
วธทา เมทรกซ A และเมทรกซ B มขนาดของเมทรกซเทากนคอ 2 2 ดงนนจงบวกหรอลบกนได
A + B =
52
01+
14
53 =
1542
5031 =
66
54
A - B =
52
01-
14
53 =
1542
5031 =
42
52
ตวอยางท 3.2 กาหนดให A =
321
011 B =
14
32
01
และ C =
101
012
จงหา A + Bt , A – C และ B + Ct
วธทา Bt =
130
421, Ct =
10
01
12
A + Bt =
321
011 +
130
421 =
133201
402111 =
451
432
A - C =
321
011 -
101
012 =
130211
001121 =
220
001
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 71
B + Ct =
14
32
01
+
10
01
12
=
1104
0312
1021
=
24
33
13
3.4.2 การคณเมทรกซดวยคาคงทหรอสเกลาร (Scalar multiplication) ในเรองของเมทรกซ สเกลาร (scalar) คอจานวนจรงใดๆ เชน 2, 2 , -2 หรอ 0.02 เปนตน การคณเมท
รกซดวยสเกลาร คอ การนาจานวนจรงใดๆ หรอสเกลารนนไปคณกบสมาชกทกตวในเมทรกซนน ถา A = [aij]mn และ k เปนจานวนจรงใดๆ หรอสเกลาร จะได kA = [k aij]mn หรอ Ak = [aij k]mn ดงนน kA = kA
ตวอยางท 3.3 กาหนดให A =
23
12 และ k = 4 จงหา kA
วธทา kA = 4
23
12 =
2434
1424 =
812
48
ตวอยางท 3.4 กาหนดให B =
121
012 จงหา (-1)B
วธทา
(-1)B = (-1)
121
012 =
1)1()2)(1(1)1(
0)1(1)1(2)1( =
121
012
จากตวอยางนจะเหนวา (-1)B = -B ดงนน B + (-1)B = B – B
=
11)2()2(11
001122 =
000
000 = [0] 23
3.4.3 การคณเมทรกซดวยเมทรกซ การคณเมทรกซดวยเมทรกซ แตกตางจากการคณเมทรกซดวยคาคงทหรอสเกลาร เพราะวาคาคงทสามารถ
คณกบเมทรกซทมขนาดเทาใดกได แตการจะคณเมทรกซดวยเมทรกซนนจะตองเปนไปตามเงอนไขสาหรบการคณกคอ จานวนสดมภในเมทรกซทเปนตวตงหรอตวนา (lead matrix) จะตองเทากบจานวนแถวของเมทรกซทเปนตวคณหรอตวตาม (lag matrix) เชน ถา A เปนเมทรกซตวนาทมขนาด m n และ B เปนเมทรกซตวตาม B จะตองม
72 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
จานวนแถวเทากบ n แถว แตจะมจานวนสดมภเทาใดกได ถาให B ม p สดมภ ดงนน B จงมขนาดเทากบ n p ผลการคณของ A ดวย B จะไดเปนเมทรกซของผลคณ สมมตใหเปน C ดงนนเมทรกซ C จะมขนาดเทากบ m p ถา A = [aij]mn B = [bij]np ดงนน A B = C m n n p m p C = [cij] mp โดยท cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + ... + ain bnj เมอ i = 1, 2, 3, …, m j = 1, 2, 3, …, p สมาชก cij นนสามารถหาไดจากการนาเอาสมาชกแตละตวในแถวท i ของเมทรกซ A ทเปนตวนาไปคณกบสมาชกทสอดคลองกน (corresponding) ในสดมภท j ของเมทรกซ B ทเปนตวตาม แลวนาเอาผลคณทไดนนมารวมกน ซงจะเปนตวเลขตวหนง ซงกคอ cij เชน c11 คอ ผลรวมของผลคณซงเกดจากการคณของสมาชกแตละตวในแถวท 1
ของเมทรกซ A กบสมาชกทสอดคลองกนในสดมภท 1 ของเมทรกซ B c21 คอ ผลรวมของผลคณซงเกดจากการคณของสมาชกแตละตวในแถวท 2
ของเมทรกซ A กบสมาชกทสอดคลองกนในสดมภท 1 ของเมทรกซ B c31 คอ ผลรวมของผลคณซงเกดจากการคณของสมาชกแตละตวในแถวท 3
ของเมทรกซ A กบสมาชกทสอดคลองกนในสดมภท 1 ของเมทรกซ B c12 คอ ผลรวมของผลคณซงเกดจากการคณของสมาชกแตละตวในแถวท 1
ของเมทรกซ A กบสมาชกทสอดคลองกนในสดมภท 2 ของเมทรกซ B c22 คอ ผลรวมของผลคณซงเกดจากการคณของสมาชกแตละตวในแถวท 2
ของเมทรกซ A กบสมาชกทสอดคลองกนในสดมภท 2 ของเมทรกซ B C32 คอ ผลรวมของผลคณซงเกดจากการคณของสมาชกแตละตวในแถวท 3
ของเมทรกซ A กบสมาชกทสอดคลองกนในสดมภท 2 ของเมทรกซ B ผลรวมของผลคณซงเกดจากการคณของสมาชกแตละตวในแถวท i ของเมทรกซตวนากบสมาชกแตละตวทสอดคลองกนในสดมภท j ของเมทรกซตวตาม หรอ cij น สามารถอธบายไดจากแนวคด inner product ของผลคณของ 2 เวกเตอร
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 73
คอ ถาให u เปนเวกเตอรแถวทมสมาชก n สมาชกเปน [u1, u2, …, un]
และ v เปนเวกเตอรสดมภทมสมาชก n สมาชกเปน
n
2
1
v
v
v
ดงนน uv = [u1, u2, …, un]
n
2
1
v
v
v
= u1v1 + u2 v2 + … + un vn
ผลรวมของผลคณของสมาชกทสอดคลองกนของ 2 เวกเตอรจะได inner product ทเปนปรมาณสเกลารหรอคาคงทคาหนง ดงนน การคณเมทรกซดวยเมทรกซทมขนาดตางๆ กนทเปนไปตามเงอนไข จงเปนการใชวธการหา inner product ของเวกเตอร 2 เวกเตอร เพยงแตเปนการหาหลายๆ ครงนนเอง และทสาคญผลคณของเมทรกซ 2 เมทรกซใดๆ จะเกดขนไดจะตองมจานวนสดมภของเมทรกซตวนา เทากบจานวนแถวของเมทรกซตวตามเสมอ เมอขยายไปสการคณของเมทรกซทมขนาดตางๆ กน เงอนไขสาคญของการคณกจะตองเปนไปตามน จากตวอยางเมทรกซ A ขนาด m n และเมทรกซ B ขนาด n p เหมอนเดม ถานาเมทรกซ B เปนตวตงและใหเมทรกซ A เปนตวคณ ซงกคอ B A ในกรณนจะไมสามารถหาเมทรกซของผลคณ BA ได เนองจากจานวนสดมภของเมทรกซ B (คอ p) ไมเทากบจานวนแถว (คอ m) ของเมทรกซ A
ตวอยางท 3.5 กาหนดให A =
012
143 B =
1
2
1
จงหา AB และ BA
วธทา การหา AB ใหสงเกตวาจานวนสดมภของ A เทากบจานวนแถวของ B โดยท A เปนเมทรกซมขนาด 2 3 และ B เปนเมทรกซมขนาด 3 1 ดงนน เมอ A B จะไดเมทรกซใหมทมขนาด 2 1
74 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
โดยท a11 = (3)(1) + (4)(2) + (1)(1) = 12 a21 = (2)(1) + (1)(2) + (0)(1) = 4
ดงนน AB =
4
12
การหา BA ไมสามารถหาเมทรกซของผลคณได เพราะจานวนสดมภของ B ไมเทากบจานวนแถวของ A
ตวอยางท 3.6 กาหนดให C =
32
10
13
D =
431
021 E =
20
21
จงหา CD, DC, CE, ED วธทา ผลคณของ C และ D C เปนเมทรกซขนาด 3 2 D เปนเมทรกซขนาด 2 3 ดงนน C คณกบ D ได และจะไดเมทรกซใหมมขนาด 3 3
=
)4)(3()0)(2()3)(3()2)(2()1)(3()1)(2(
)4)(1()0)(0()3)(1()2)(0()1)(1()1)(0(
)4)(1()0)(3()3)(1()2)(3()1)(1()1)(3(
=
1251
431
494
AB =
a21
a11
CD =
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 75
ผลคณของ D และ C D เปนเมทรกซขนาด 2 3 C เปนเมทรกซขนาด 3 2 ดงนน D คณกบ C ได และจะไดเมทรกซใหม มขนาด 2 2
=
)3)(4()1)(3()1)(1()2)(4()0)(3()3)(1(
)3)(0()1)(2()1)(1()2)(0()0)(2()3)(1( =
165
33
ผลคณของ C และ E C เปนเมทรกซขนาด 3 2 E เปนเมทรกซขนาด 2 2 ดงนน C คณกบ E ได และจะไดเมทรกซใหม มขนาด 3 2
=
)2)(3()2)(2()0)(3()1)(2(
)2)(1()2)(0()0)(1()1)(0(
)2)(1()2)(3()0)(1()1)(3(
=
102
20
43
ผลคณของ E และ D E เปนเมทรกซขนาด 2 2 D เปนเมทรกซขนาด 2 3 ดงนน E คณกบ D ได และจะไดเมทรกซใหม มขนาด 2 3
DC =
CE =
ED =
76 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
=
)4)(2()0)(0()3)(2()2)(0()1)(2()1)(0(
)4)(2()0)(1()3)(2()2)(1()1)(2()1)(1(
=
862
883
จากตวอยางจะเหนวา CD DC
ตวอยางท 3.7 กาหนดให A =
43
21 , B =
35
24 จงหา AB และ BA
วธทา
=
)3)(4()2)(3()5)(4()4)(3(
)3)(2()2)(1()5)(2()4)(1( =
1832
814
=
)4)(3()2)(5()3)(3()1)(5(
)4)(2()2)(4()3)(2()1)(4( =
2214
1610
จากตวอยาง จะเหนวา AB BA 3.4.4 กฎบางประการเกยวกบการบวก การลบ เมทรกซ การบวกและลบเมทรกซนน สงสาคญคอจะตองมขนาดของเมทรกซทเทากน จงสามารถทาการบวกหรอ
ลบกนได ทงนมกฎทเกยวของกบการบวกและลบเมทรกซ ดงน ถา A, B, C เปนเมทรกซขนาด m n
1) กฎการสลบท (commutative law) (1) A + B = B + A (2) A – B = A + (-B) = (-B) + A
AB =
BA =
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 77
ตวอยางท 3.8 กาหนดให A =
43
21 และ B =
54
32
จงหา A + B, B + A, A-B และ (-B) + A วธทา
A + B =
43
21+
54
32 =
5443
3221 =
97
53
B + A =
54
32+
43
21 =
4534
2312 =
97
53
ดงนน A + B = B +A
A – B =
43
21-
54
32 =
5443
3221 =
11
11
(-B) + A = -1
54
32+
43
21 =
4534
2312 =
11
11
ดงนน A – B = (-B) +A 2) กฎการเปลยนกลม (associative law) (1) A + (B + C) = (A + B) + C (2) A – (B + C) = A + (-B) + (-C) = (A – B) + (-C)
ตวอยางท 3.9 กาหนดให A =
2
1 B =
4
3 C =
6
5
จงหา A + (B + C), (A + B) + C, A- (B + C) และ (A – B) + (-C) วธทา
(B + C) =
4
3+
6
5 =
10
8
A + (B + C) =
2
1+
10
8 =
12
9
78 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
(A + B) =
2
1+
4
3 =
6
4
(A + B) + C =
6
4+
6
5 =
12
9
ดงนน A + (B + C) = (A + B) + C
A - (B + C) =
2
1-
10
8 =
8
7
(A – B) =
2
1-
4
3 =
2
2
-C = -
6
5 =
6
5
(A – B) + (-C) =
2
2+
6
5 =
8
7
ดงนน A – (B + C) = (A - B) + (-C) 3.4.5 กฎเกยวกบการคณเมทรกซดวยสเกลารและการคณเมทรกซ
ดวยเมทรกซ
ถา A เปนเมทรกซขนาด m n B และ C เปนเมทรกซขนาด n p และ D เปนเมทรกซขนาด p q โดยท k, a, b เปนจานวนจรง 1) กฎการสลบท (commutative law) (1) kA = Ak (2) การคณเมทรกซดวยเมทรกซไมเปนไปตามกฎการสลบท นนคอ AB BA 2) กฎการเปลยนกลม (associative law) (1) A(BD) = (AB)D
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 79
ตวอยางท 3.10 กาหนดให A =
32
10 B =
012
101 D =
31
10
21
จงหา A(BD) และ (AB)D วธทา
(BD) =
012
101
31
10
21
=
)3)(0()1)(1()2)(2()1)(0()0)(1()1)(2(
)3)(1()1)(0()2)(1()1)(1()0)(0()1)(1( =
52
52
A(BD) =
32
10
52
52
=
)5)(3()5)(2()2)(3()2)(2(
)5)(1()5)(0()2)(1()2)(0( =
2510
52
(AB) =
32
10
012
101
=
)0)(3()1)(2()1)(3()0)(2()2)(3()1)(2(
)0)(1()1)(0()1)(1()0)(0()2)(1()1)(0( =
238
012
(AB)(D) =
238
012
31
10
21
=
)3)(2()1)(3()2)(8()1)(2()0)(3()1)(8(
)3)(0()1)(1()2)(2()1)(0()0)(1()1)(2( =
2510
52
ดงนน A(BD) = (AB)(D)
80 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
3) กฎการกระจาย (distributive law) (1) A(B + C) = AB + AC (2) (B + C)D = BD + CD (3) a(B + C) = aB + aC (4) (a + b)A = aA + bA
ตวอยางท 3.11 กาหนดให A =
32
10 B =
012
101
C =
210
112 D =
31
10
21
จงหา A(B + C) , AB +AC , (B +C)D และ BD + CD วธทา
(B + C) =
012
101+
210
112 =
222
213
A(B + C) =
32
10
222
213 =
10812
222
AB =
32
10
012
101 =
238
012
AC =
32
10
210
112 =
854
210
AB + AC =
238
012+
854
210 =
10812
222
ดงนน A(B + C) = AB + AC
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 81
(B + C)D =
222
213
31
10
21
=
124
135
(BD) =
012
101
31
10
21
=
52
52
(CD) =
210
112
31
10
21
=
72
83
(BD)+(CD) =
52
52+
72
83 =
124
135
ดงนน (B + C)D = (BD) + (CD)
ตวอยางท 3.12 กาหนดให B =
012
101 C =
210
112 a = 4, b = 2
จงหา a(B + C) , aB +aC , (a +b)B และ aB + bB วธทา
B + C) =
012
101+
210
112 =
222
213
a(B + C) = 4
222
213 =
888
8412
aB = 4
012
101 =
048
404
aC = 4
210
112 =
840
448
82 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
aB + aC =
048
404+
840
448 =
888
8412
ดงนน a(B + C) = aB + aC
(a + b)B = (4 + 2)
012
101 = 6
012
101 =
0612
606
bB = 2
012
101 =
024
202
aB + bB =
048
404+
024
202 =
0612
606
ดงนน (a + b)B = aB + bB 3.5 การปฏบตการของเมทรกซ (Operation of matrix) การปฏบตการของเมทรกซเปนการดาเนนการดวยวธการตางๆ เพอเปลยนรปเมทรกซนนใหอยในรป ทตองการ โดยทวไปการเปลยนรปเมทรกซน นกเพอนาไปใชแกระบบสมการและหาคาลาดบชน (rank) ของ เมทรกซ วธการตางๆ ทใชในการปฏบตการของเมทรกซ เปนดงน 1. การสลบทระหวาง 2 แถว (หรอสดมภ) ใดๆ 2. การคณสมาชกทกตวในแถว (หรอสดมภ) ใดๆ ดวยคาคงททไมใชศนย 3. การบวกแถว (หรอสดมภ) ทถกคณดวยคาคงททไมใชศนยตามวธท 2 เขากบแถว (หรอสดมภ) อนๆ สญลกษณทใชในการดาเนนการ กาหนดดงน Ri หมายถง แถวท i Ci หมายถง สดมภท i R1 R2 หมายถง การสลบทระหวางแถวท 1 และแถวท 2 C2 C3 หมายถง การสลบทระหวางสดมภท 2 และสดมภท 3 kR2 + R1 หมายถง การคณแถวท 2 ดวยสเกลาร k แลวนาไปบวกกบแถวท 1
การดาเนนการดงกลาวจะใชวธการในขอใดกอนหรอหลงกได แตควรใชขนตอนของการเปลยนใหนอยทสด โดยทวไปการปฏบตการของเมทรกซ มกจะใชเพอเปลยนรปเมทรกซใดๆ ใหเปนเมทรกซเอกลกษณ แตมบางเมทรกซทไมสามารถดาเนนการเปลยนใหเปนเมทรกซเอกลกษณได โดยเฉพาะเมทรกซทมอนดบสมาชกในแถว
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 83
(หรอสดมภ) ใดทมคาเทากบผลคณของสเกลารหรอคาคงทกบอนดบสมาชกในอกแถวหนง (หรอสดมภหนง) เมทรกซจะถกเปลยนใหเปนเมทรกซทเรยกวา เมทรกซโคโนนเคล (cononical matrix)
เมทรกซทไดจากการปฏบตการของเมทรกซจากเมทรกซเดมไปเปนเมทรกซอนๆ ทงหมด เรยกวาเปน เมทรกซทสมมล (equivalent) กบเมทรกซเดม ตวอยางท 3.13 ใหเปลยนเมทรกซ A เปนเมทรกซเอกลกษณโดยใชการปฏบตการของเมทรกซ
A =
345
413
211
วธทา
345
413
211
21 RR3
345
220
211
2R21
345
110
211
32 CC
145
010
111
32 RR4
105
010
111
84 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
12 RR
105
010
101
31 RR5
400
010
101
3R41
100
010
101
13 RR1
100
010
001
ถาการปฏบตการของเมทรกซโดยดาเนนการเกยวกบแถวอยางเดยวเทานนเมทรกซทไดเรยกวา เมทรกซ เอชลอนแบบแถว (Row echlon matrix)
ลกษณะสาคญของเมทรกซเอชลอนแบบแถว ถา A เปนเมทรกซเอชลอนแบบแถวขนาด m n จะมลกษณะสาคญ ดงน 1. ในแถวใดๆ ทมสมาชกไมใชศนยทกตว สมาชกทไมใชศนยตวแรกตองเปน 1 2. สมาชกทเปนศนย และอยหนาสมาชกทเปน 1 ตวแรกในแถวใดๆ จะตองมจานวนนอยกวาสมาชกทเปนศนยทอยหนาสมาชกทเปน 1 ตวแรกในแถวถดลงมา 3. แถวทมสมาชกทเปนศนยทกตว (ถาม) จะตองอยใตแถวทมสมาชกไมใชศนยทกตว สาหรบเมทรกซทไมใชเมทรกซศนย สามารถเปลยนใหเปนเมทรกซเอชลอนแบบแถวไดเสมอ ตวอยางเมทรกซเอชลอนแบบแถว
A =
0000
1000
2010
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 85
B =
00000
10000
63100
54231
C =
01000
13210
05341
ตวอยางท 3.14 ใหดาเนนการแบบแถวของเมทรกซ B อยในรปของเมทรกซเอชลอน
B =
2113
2423
6042
วธทา
2113
2423
6042
1R21
2113
2423
3021
23 RR1
2113
4310
3021
2R1
2113
4310
3021
86 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
31 RR3
11170
4310
3021
32 RR7
392000
4310
3021
3R201
2039
100
4310
3021
3.6 การปฏบตการของเวกเตอร (Vector operations) ในตอนตนไดกลาวถงเมทรกซแบบตางๆ ทงเมทรกซแถวและเมทรกซสดมภหรอเรยกอกอยางหนงวาเวกเตอรแถวและเวกเตอรสดมภตามลาดบ ซงจดวาเปนเมทรกซลกษณะพเศษอยางหนงทสามารถดาเนนการทางพชคณตไดเหมอนกบเมทรกซทวๆ ไป แตอยางไรกตามกมการดาเนนการบางอยางทนาสนใจเกยวกบเวกเตอรแถวและเวกเตอรสดมภ ดงน
3.6.1 การคณเวกเตอร (Multiplication of vectors) ถาให u เปนเวกเตอรสดมภทมขนาด m 1 v เปนเวกเตอรแถวทมขนาด 1 n เมอนาเวกเตอร u และ v มาคณกน ซง u เปนเวกเตอรสดมภเปนตวนาและ v เปนเวกเตอรแถวเปนตวตาม
จะไดเมทรกซใหมทเปนผลคณของ u และ v มขนาด m n
ตวอยางท 3.15 กาหนดให u =
2
3 และ v = [1 2 3] จงหา uv
วธทา u เปนเวกเตอรสดมภทมขนาด 2 1 และ v เปนเวกเตอรแถวทมขนาด 1 3 ผลคณของ uv จะไดเมทรกซใหมทมขนาด 2 3
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 87
uv =
2
3 [1 2 3] =
)3)(2()2)(2()1)(2(
)3)(3()2)(3()1)(3( =
642
963
จากตวอยางนจะเหนวาแตละแถวของ u ประกอบดวยสมาชกเพยง 1 สมาชกเทานน และแตละสดมภของ v ประกอบดวยสมาชกเพยง 1 สมาชกเชนกน สมาชกแตละตวของเมทรกซใหม (คอ uv) จะเปนผลคณของสมาชกทสอดคลองกนเพยงคเดยวเทานนแทนทจะเปนผลรวมของผลคณของสมาชกหลายตวทสอดคลองกน และผลจากการคณของเวกเตอรทง 2 จะไดเมทรกซใหมทมขนาด 2 3 แตถากาหนดให u เปนเวกเตอรแถวมขนาด 1 n และ v เปนเวกเตอรสดมภทมขนาด n 1 ผลคณระหวาง u และ v ซง u เปนเวกเตอรแถวเปนตวนาและ v เปนเวกเตอรสดมภเปนตวตามกจะไดเมทรกซใหมทมขนาด 1 1
ตวอยางท 3.16 กาหนดให u = [1 2] และ v =
6
5 จงหา uv
วธทา uv = [1 2]
6
5 = [(1)(5) + (2)(6)] = [17]
จากตวอยางนจะเหนวา uv เปนเมทรกซทมขนาด 1 1 ทประกอบดวยสมาชกเพยงตวเดยว ซงจะมสมบตเหมอนกบจานวนทเปนคาคงทหรอสเกลารทวไปสามารถนาไปบวกและคณกนได เชน [3]+[5] = [8] มสมบตการบวกเหมอนกบจานวนทเปนสเกลาร 3+5 = 8 หรอ [3] [5] = [15] มสมบตการคณเหมอนกบจานวนทเปนสเกลาร 35 = 15 ในความเปนจรงนนเซตของสเกลารทงหมดและเซตของเมทรกซขนาด 1 1 ทมสมาชกเปนสเกลารทงหมด มความสอดคลองกนแบบหนงตอหนง ดวยเหตนอาจจะใหความหมายใหมวา uv เปนสเกลารทสอดคลองกบผลเฉลยของเมทรกซขนาด 1 1 ดงนนตามตวอยางขางตน จงสามารถเขยน uv = 17 ผลเฉลยนเรยกวาผลเฉลยสเกลาร (scalar product) แตสงทตองระวงกคอ ในขณะทเมทรกซขนาด 11 ถกจดใหเปนสเกลารได แตสเกลารจะนาเมทรกซขนาด 1 1 ไปเขยนแทนไมได ตวอยางท 3.17 กาหนดใหเวกเตอรแถว u = [1 2 3] และ u เปนเวกเตอรสดมภซงเปนเมทรกซสลบเปลยนของ u จงหา uu วธทา u = [1 2 3]
88 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
เมทรกซสลบเปลยนของ u คอ u =
3
2
1
uu = [1 2 3]
3
2
1
= [(1)(1) + (2)(2) + (3)(3)] = [12 + 22 + 32] = [14] = 14 uu เปนเมทรกซขนาด 1 1 ผลเฉลยสามารถเขยนเปนสเกลารไดเทากบ 14 ดงนนในการหาคาตอบจงไมจาเปนตองใสเครองหมายวงเลบใหญของเมทรกซใหมทมสมาชกเปนผลรวมของผลคณของสมาชกทสอดคลองกนได จงเขยนใหมไดดงน
uu = [1 2 3]
3
2
1
= 12 + 22 + 32 = 14
จากตวอยางดงกลาวนอกจากวาจะไมจาเปนตองใสเครองหมายวงเลบใหญแลว ผลเฉลยทไดนนสามารถคานวณไดจากผลรวมของกาลงสองของสมาชกแตละตวของ u โดยทวไป ถาให u = [u1, u2, …, un] ดงนน uu จะเปนผลรวมของกาลงสองของสมาชก uj ดงน
uu = 2n
22
21 u...uu =
n
1j
2ju
จากตวอยางทยกมานน ถาสงเกตจะพบวาผลเฉลยทเปนสเกลารนน จะตองใหเวกเตอรแถวเปนเมทรกซตวนา (lead matrix) และเวกเตอรสดมภเปนเมทรกซตวตาม (lag matrix) ถาไมเปนตามน ผลเฉลยจะไมใชเมทรกซขนาด 1 1 ทมผลเฉลยเปนสเกลารและทสาคญไปกวานนกคอจะตองเขาใจในความหมายทแตกตางกนระหวางเมทรกซทมขนาดใหญกวา 1 1 และเมทรกซทมขนาด 1 1 ทผลเฉลยเปนสเกลาร
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 89
3.6.2 การแปลความหมายทางเรขาคณตของการปฏบตการของเวกเตอร
ความหมายทางเรขาคณตของเวกเตอร ใหพจารณาจากตวอยางของเวกเตอรตอไปน กาหนดให u =
2
3
และเมทรกซสลบเปลยนของ u คอ u = [3 2] ทงน u เรยกวา เวกเตอรสดมภ และ u เรยกวาเวกเตอรแถว ทง 2 เวกเตอรมสมาชก 2 สมาชก สมาชกทง 2 นเปนเสมอนคอนดบทสามารถนาไปลงจดได จดๆ หนงในระนาบ 2 มต ซงทง 2 เวกเตอรนมคอนดบเหมอนกน คอ (3, 2) ดงนนทง 2 เวกเตอรคอ u (เวกเตอรสดมภ) และ u (เวกเตอรแถว) จงลงจดไดจดเดยวกน ความหมายทางเรขาคณตจงเหมอนกนคอเสนกราฟเดยวกน เมอนาไปลงจด (3, 2) ในระนาบสองมต และลากเสนตรงจากจดกาเนด (0, 0) ไปยงจด (3, 2) โดยกาหนดทศทางของเสนตรงทลากจากจดกาเนดไปยงจดนนดวยการใชลกศรแทนเสนตรง หวลกศรจะอยทจด (3, 2) ถาลกศรนแทนเวกเตอร u ตามภาพท 3.1 ดงนนจงสามารถเขยนเวกเตอรตางๆ ไดโดยใชลกศรทออกจากจดกาเนดไปยงจดทเปนคอนดบ (สมาชกของเวกเตอร) แทนเวกเตอรและเรยกลกศรทลากออกจากจดกาเนดไปยงจดตางๆ คลายกบเขมนาฬกาซงมความยาวและทศทางทแนนอนวา เรเดยสเวกเตอร (radius vector)
ภาพท 3.1 การเขยนลกศรแทนเวกเตอร u
การปฏบตการของเวกเตอรทมความหมายทางเรขาคณต ประกอบดวยการดาเนนการดงน 1. การคณเวกเตอรดวยสเกลาร 2. การบวกและลบเวกเตอร 3. การรวมกนเชงเสน (linear combination) ของเวกเตอร 1) การคณเวกเตอรดวยสเกลาร
กาหนดให u =
2
3
ถา k คอสเกลาร เทากบ 2
(3, 2)
เวกเตอร u
x1
x2
O
90 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ดงนน 2u = 2
2
3 =
4
6
การเขยนกราฟโดยลงจดคอนดบ (6, 4) ลกศรของเวกเตอร 2u จะทบกบลกศรของเวกเตอร u (ลกศรเดม) แตมความยาวเปน 2 เทาของลกศรเดม หวลกศรจะอยทจด (6, 4) ตามภาพท 3.2 ดงนน การคณเวกเตอรดวยคาคงท (k) จะไดลกศรใหมททบกนกบลกศรเดม แตหวลกศรจะไมซ าทเดม ยกเวน เมอ k = 1
ภาพท 3.2 การคณเวกเตอรดวยสเกลารทเปนคาบวก
สรปไดวา ถา k > 1 ลกศรจะขยายยาวออกไปจากเดมเรยกวาสเกลอพ (scale up) ถา 0 < k < 1 ลกศรจะสนกวาเดม เรยกวาสเกลดาวน (scale down) ถา k = 0 ลกศรจะอยทจดกาเนด ซงหมายถง เวกเตอรศนย (null vector)
ในกรณนคอ
0
0
แตถา k < 0 คอเปนคาลบ ลกศรจะมทศทางไปในทางตรงกนขามกบทศทางเดม แตยงอยในแนวเสนตรงของลกศรเสนเดม เชน k = -1
ดงนน ku = -1u = -1
2
3 =
2
3
เวกเตอรของ -1u จงเปนตามภาพท 3.3
(3, 2) u
x1
x2
O
(6, 4) 2u
6 3
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 91
ภาพท 3.3 การคณเวกเตอรดวยสเกลารทเปนคาลบ
จากภาพจะเหนวาลกศรของเวกเตอร –u จะมความยาวทแนนอนเทากบเวกเตอร u (เวกเตอรเดม) แตมทศทางตรงขาม 2) การบวกและลบเวกเตอร
กาหนดให v =
4
1 และ u =
2
3
ถาหาผลบวกของเวกเตอรทงสองจะไดวา v + u =
4
1+
2
3 =
6
4
เมอนาไปลงจดบนระนาบจะไดลกศรซงเปนเสนประตามภาพท 3.4
ภาพท 3.4 การบวกเวกเตอร 2 เวกเตอร
(3, 2) u
x1
x2
O
(-3, -2) -u
u (3, 2)
v + u (4, 6)
x1
x2
v (1, 4)
O
92 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
การเขยนลกศรแทนเวกเตอร v + u นน อาจจะทาไดอกวธการหนงคอใหลากเสนขนานกบเวกเตอร u และเวกเตอร v จะไดรปสเหลยมดานขนาน แลวลากเสนทแยงมมของสเหลยมนนออกจากจดกาเนดจะไดลกศรแทนเวกเตอร ผลบวกของ u และ v โดยทวไปการหาผลบวกของเวกเตอร โดยวธการทางเรขาคณตนจะใชวธการสรางสเหลยมดานขนานดงทกลาวมา ซงวธการนสามารถนาไปใชในการหาผลตางของเวกเตอรไดอกดวย เชน v - u ซงเขยนใหมไดเปน v + (-u) ขนแรกตองสรางเวกเตอร v และเวกเตอร –u แลวจงสรางสเหลยมดานขนานของเวกเตอรทง 2 น ลากเสนทแยงมมออกจากจดกาเนด กจะไดเปนตวแทนของเวกเตอร v – u ตามภาพท 3.5 ตรวจสอบการเขยนกราฟวาถกตองหรอไมโดยการใชพชคณตของเวกเตอรดงน
v - u =
4
1-
2
3 =
2
2
ภาพท 3.5 การลบเวกเตอร 2 เวกเตอร
3) การรวมกนเชงเสน (linear combination) การรวมกนเชงเสน หมายความรวมถงผลบวกและผลตางเชงเสนของเวกเตอร ใหพจารณาจากตวอยาง
ดงน
กาหนดให u =
2
3 v =
4
1
ใหหาคาของ 3v + 2u สามารถหาคาทางพชคณตไดดงน
-u (-3, -2)
v - u (-2, 2)
x1
x2
v (1, 4)
O
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 93
3v + 2u = 3
4
1 + 2
2
3 =
12
3+
4
6 =
16
9
การคณเวกเตอร v ดวย 3 และคณเวกเตอร u ดวย 2 ลกศรจะอยทแนวเสนตรงเสนเดมของเวกเตอร เพยงแตหวลกศรจะยาวออกไปจากเดม แตเมอนาเอามารวมกนโดยการใชวธทางเรขาคณตดวยการสรางสเหลยมดานขนาน ลกศรทไดจากผลรวมเชงเสนของเวกเตอรนกไมไดแตกตางไปจากเดมในเรองของการบวกเวกเตอร ลกศรของเวกเตอร 3v + 2u กอยบนแนวเสนตรงเดมของผลบวกเวกเตอรของ v + u เพยงแตลกศรจะยาวออกไปจากเดมตามภาพท 3.6
ภาพท 3.6 การรวมกนเชงเสนของเวกเตอร
u (3, 2)
3v + 2u (9, 16)
x1
x2
v (1, 4)
O
2u (6, 4)
3v (3, 12)
94 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ดงนนจงสามารถสรปไดวาถามหลายๆ พจนหรอหลายๆ เทอมในผลรวมเชงเสนแลวจะไดผลดงน
n
1iii vk = k1 v1 + k2 v2 + … + kn vn
เมอ ki คอ เซตของสเกลาร vi คอ เซตของเวกเตอร
รปของผลรวมน สามารถทาไดโดยการนา 2 เทอมแรกมาบวกกนกอนไดผลเฉลยเทาไรแลวจงนาไปบวกกบเทอมท 3 ไดผลเฉลยแลวจงนาไปบวกกบเทอมท 4 ทาเชนนเรอยไปจนครบทกเทอม จากสมบตของการรวมกนเชงเสนของเวกเตอรสามารถพจารณาถงความเปนอสระและไมเปนอสระเชงเสนของเวกเตอรได
3.6.3 ความไมเปนอสระเชงเสน (Linear dependence) กาหนดใหมเซตของเวกเตอรเซตหนง คอ v1, v2, …, vn เซตของเวกเตอรนจะเปนเวกเตอรทไมมความเปน
อสระเชงเสนไดกตอเมอ เวกเตอรใดเวกเตอรหนงในเซตของเวกเตอรนสามารถแสดงใหเหนไดวาเปนผลรวม เชงเสนของเวกเตอรอนๆ ทเหลอในเซตของเวกเตอรน
ในกรณตรงกนขาม ถาไมสามารถแสดงใหเหนไดวาเปนผลรวมเชงเสน เซตของเวกเตอรนจะเปนเซตของเวกเตอรทเปนอสระเชงเสน
ตวอยางท 3.18 กาหนดให u1 =
7
2, u2 =
8
1 และ u3 =
5
4 จงแสดง
ใหเหนวา เวกเตอรทง 3 เวกเตอรนเปนเวกเตอรทไมมความเปนอสระเชงเสน วธทา นาสเกลารไปคณเวกเตอร u1 และ u2 แลวจงนามาบวกหรอลบกนเพอใหไดเทากบ u3
ถานา 3 ไปคณ u1 จะได 3u1 = 3
7
2 =
21
6
ถานา 2 ไปคณ u2 จะได 2u2 = 2
8
1 =
16
2
นา 3u1 ลบดวย 2u2 ไดดงน
3u1 - 2u2 =
21
6-
16
2 =
5
4 = u3
จะเหนวา u3 เปนผลรวมเชงเสนของ u1 และ u2 ดงนน u1, u2 และ u3 เปนเวกเตอรทไมเปนอสระเชงเสน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 95
จากตวอยางนจะสงเกตเหนวา เมอนาเวกเตอรทง 3 มาเขยนเปนสมการอธบายไดดงน 3u1 - 2u2 - u3 = 0
ซง 0
0
0หรอเรยกวาเวกเตอรศนย ซงกคอเมทรกซศนย นนเอง
ตวอยางท 3.19 กาหนดใหเวกเตอรแถว 2 เวกเตอร คอ u1 = [5 12] และ u2 = [10 24] เวกเตอรทง 2 เวกเตอรมความเปนอสระเชงเสนหรอไม จงอธบาย วธทา จากเวกเตอรทกาหนดใหทง 2 เวกเตอร จะสงเกตไดวา u2 นนจะเทากบ u1 คณดวยสเกลาร 2 ซงกคอ 2u1 = 2[5 12] = [10 24] = u2 ดงนน เมอเวกเตอรหนงเทากบผลคณของสเกลารกบอกเวกเตอรหนง ซงวธการนเปนการอธบายความเปนผลรวมเชงเสนทงายทสด แสดงวาทง 2 เวกเตอรนไมเปนอสระเชงเสน จากตวอยางน ถาเขยนเปนสมการอธบายไดดงน 2u1 - u2 = 0 ซง 0 [0 0] หรอเปนเวกเตอรศนย จากทง 2 ตวอยาง แสดงใหเหนวาเซตของเวกเตอรทเมอนาเวกเตอรมาคณดวยสเกลารแลวนามาบวกหรอลบกน หรอการคณเวกเตอรดวยสเกลารแลว ทาใหเวกเตอรเหลานนมผลรวมเชงเสน สรปไดวา เซตของเวกเตอร มความไมเปนอสระเชงเสนและสามารถเขยนเปนสมการของเวกเตอรทใหผลทางดานขวามอของสมการเปนศนยหรอเทากบเวกเตอรศนย
จากผลสรปดงกลาว จงใหคานยามของความไมเปนอสระเชงเสนใหมไดวา ถามเซตของเวกเตอรทแตละเวกเตอรมสมาชก m สมาชก คอ v1, v2, …, vn เซตของเวกเตอรนจะเปนเวกเตอรทไมมความเปนอสระเชงเสน กตอเมอเซตของสเกลาร k1, k2, …, kn ทแตละสเกลารไมเทากบศนยและทาให
n
1iii vk = 0
(m 1)
แตถา
n
1iii vk = 0 กตอเมอ ki = 0 ทกๆ คาของ i แลวจะไดวาเซตของเวกเตอรเหลานนเปนเวกเตอรทมความ
เปนอสระเชงเสน
96 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ดงน น แนวคดของความไมเปนอสระเชงเสน สามารถแสดงใหเหนไดโดยการแสดงความหมายทางเรขาคณตงายๆ ดวยภาพกราฟ เชน กรณของเวกเตอร 2 เวกเตอร คอ u และ 2u ตามภาพท 3.2 ทลกศรอยบนเสนตรงเสนเดยวกน ลกศรของเวกเตอร 2u ยาวเปนสองเทาของเวกเตอร u แสดงวาเวกเตอรทง 2 คอ u และ 2u ไมเปนอสระเชงเสน เชนเดยวกบ 2 เวกเตอร u และ –u ตามภาพท 3.3 ทไมเปนอสระเชงเสนเชนกน ในทานองตรงขาม เวกเตอร 2 เวกเตอรคอ u และ v ตามภาพท 3.4 จะเปนอสระเชงเสน เพราะวาเปนไปไมไดทจะบอกไดวา เวกเตอรใดเวกเตอรหนงยาวเปนกเทาของอกเวกเตอรหนง การอธบายทางเรขาคณตดวยภาพกราฟ จะเหนวา ลกศรทง 2 ไมไดอยบนเสนตรงเสนเดยวกน แตถามเวกเตอรมากกวา 2 เวกเตอรในระนาบ 2 มต สามารถสรปอยางมนยสาคญไดวา
1. มเวกเตอร 2 เวกเตอรทเปนอสระเชงเสนในระนาบ 2 มตนน เชน เวกเตอร u และเวกเตอร v 2. เวกเตอรอนๆ ในระนาบ 2 มตทอยระหวางเวกเตอรทง 2 เวกเตอรนน (u และ v) จะแสดงใหเหนถง
การรวมกนเชงเสนของเวกเตอรทง 2 เวกเตอรนน ดงเชน ตามภาพท 3.4 และภาพท 3.5 ทอธบายถงผลเฉลยของการรวมกนเชงเสนอยางงายๆ 2 กรณ คอ v + u และ v – u
จากทกลาวมาทงหมดในเรองของการปฏบตการของเวกเตอรในเชงเรขาคณตนน ทงเรองของการขยายลกศรยาวออกไปจากเดม การหดสนกวาเดมของลกศร หรอการผกผนของลกศรทเปนไปในทศทางตรงกนขาม เมอกาหนดเวกเตอร u และ v ให รวมถงการรวมเชงเสนของเวกเตอรโดยใชวธสรางรปสเหลยมดานขนานขนาดตางๆ กน ทาใหไดเวกเตอรใหมๆ จานวนมากมายนบไมถวนนน เปนการพจารณาจากเซตของเวกเตอรทมสมาชกเพยง 2 สมาชกในแตละเวกเตอรทงหมด และเปนการพจารณาถงเซตของเวกเตอรทมเพยง 3 เวกเตอรในระนาบ 2 มตเทานน ซงจะตองม 2 เวกเตอรทเปนอสระเชงเสน แตเวกเตอรท 3 ตองเปนการรวมกนเชงเสนของเวกเตอร 2 เวกเตอรแรกน และทาใหไดเวกเตอรทมความไมเปนอสระเชงเสน 3.7 เมทรกซสลบเปลยนและสมบตของเมทรกซสลบเปลยน 3.7.1 เมทรกซสลบเปลยน เมอสมาชกของเมทรกซมการสลบเปลยนกนจากแถวเปนสดมภโดยแถวท 1 เปลยนเปนสดมภท 1 แถวท 2 เปลยนเปนสดมภท 2 ทาเชนนเรอยไป เมทรกซใหมทมการสลบเปลยนแถวและสดมภจากเมทรกซเดมน เรยกวา เมทรกซสลบเปลยน เชน A เปนเมทรกซเดม แตเมอมการสลบเปลยนสมาชกจากแถวเปนสดมภแลว เมทรกซใหมทไดคอเมทรกซสลบเปลยน ใชสญลกษณเปน A หรอ At ตามทไดเคยกลาวถงชนดของเมทรกซแตละประเภทมาแลวในตอนแรก รวมถงทราบวาเมอเมทรกซมการสลบเปลยนสมาชกแลวขนาดของเมทรกซกจะเปลยนไปตามจานวนแถวและสดมภทสลบกนดวย
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 97
นนคอ ถา A = [aij]mn ดงนน A = [aji]nm
ตวอยางท 3.20 กาหนดให A =
012
143 และ B =
34
26
ใหเขยนเมทรกซสลบเปลยนของ A และ B วธทา
A =
012
143 เปนเมทรกซทมขนาดเทากบ 2 3
จะได A =
01
14
23
เปนเมทรกซทมขนาดเทากบ 3 2
B =
34
26 เปนเมทรกซทมขนาดเทากบ 2 2
B =
32
46 เปนเมทรกซทมขนาดเทากบ 2 2
จากตวอยางดงกลาว จะสงเกตเหนวาในกรณทเมทรกซเดมเปนเมทรกซจตรส เมอมการสลบเปลยนแถวและสดมภเปนเมทรกซสลบเปลยนแลวขนาดของเมทรกซจะยงเทาเดม
ตวอยางท 3.21 กาหนดให D =
37
48 และ E =
054
510
402
จงหา D และ E วธทา
D =
37
48 เปนเมทรกซทมขนาดเทากบ 2 2
98 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
จะได D =
34
78 เปนเมทรกซทมขนาดเทากบ 2 2
E =
054
510
402
เปนเมทรกซทมขนาดเทากบ 3 3
E =
054
510
402
เปนเมทรกซทมขนาดเทากบ 3 3
จากตวอยางนจะเหนวา ทง D และ E ขนาดของเมทรกซเทากบ D และ E ตามลาดบ นอกจากนเมทรกซ
E และ E จะมสมาชกเหมอนกนทกอนดบ ทาใหเมทรกซ E เทากบเมทรกซ E ดวย ซงเปนผลของการทสมาชกทอยเหนอและตากวาเสนทแยงมมหลกของเมทรกซนนเหมอนกนในอนดบทสอดคลองกน โดยเสนทแยงมมหลกเปนเหมอนกระจกเงา ทาใหเกดเมทรกซสมมาตร ดงนน E และ E จงเปนเมทรกซสมมาตรดวย ตวอยางของเมทรกซอกประเภทหนงทเปนเมทรกซสมมาตรดวยคอเมทรกซเอกลกษณ เพราะ I = I
เชน I3 =
100
010
001
I3 =
100
010
001
ดงนน I3 = I3 เปนเมทรกซเอกลกษณและเปนเมทรกซสมมาตรดวย เพราะแนวเสนทแยงมมหลกมสมาชกทอยเหนอและตากวาเหมอนกนทกอนดบและเปนศนยทงหมดเหมอนกน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 99
3.7.2 สมบตของเมทรกซสลบเปลยน เมทรกซสลบเปลยนมสมบตดงน 1. (A) = A 2. (A + B) = A + B 3. (AB) = BA จากสมบตขอท 1 หมายถง การสลบเปลยนของเมทรกซสลบเปลยนจะไดเมทรกซเดมของเมทรกซสลบ
เปลยนนน
เชน กาหนดให A =
520
431
ดงนน A =
54
23
01
และ (A) =
520
431
สรปไดวา (A) = A จากสมบตขอท 2 หมายถง การสลบเปลยนของผลบวกของเมทรกซสองเมทรกซจะไดผลบวกของเมทรกซสลบเปลยนสองเมทรกซนน
เชน กาหนดให A =
520
431 B =
423
210
ดงนน (A+B) =
520
431+
423
210 =
943
641
และ (A+B) =
96
44
31
100 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แต A =
54
23
01
และ B =
42
21
30
ดงนน A+B =
54
23
01
+
42
21
30
=
96
44
31
สรปไดวา (A+B) = A + B สมบตของการบวกขอน สามารถใชไดกบการลบเมทรกซดวย คอ (A – B) = A - B จากสมบตขอท 3 หมายถง ผลเฉลยของการสลบเปลยนของผลคณของเมทรกซสองเมทรกซจะไดเทากบผลเฉลยของผลคณของเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซเดมทง 2 เมทรกซนนทสลบตาแหนงการคณกน อยางไรกตามสมบตขอนตองตรวจสอบ ขนาดของเมทรกซทนามาคณกนดวยวามความเปนไปไดทจะนาเมทรกซสองเมทรกซมาคณกน ทงดานซายและดานขวา เชน สมมตให A เปนเมทรกซขนาด m n B เปนเมทรกซขนาด n p ดงนน AB จงเปนเมทรกซมขนาด m p และ (AB) จะเปนเมทรกซทมขนาด p m ถาตรวจสอบขนาดทางดานขวาทจะตองมขนาดเทากบดานซาย นนคอ BA จะตองมขนาด p m ดวย ดงนน B จะมขนาด p n และ A จะมขนาด n m ผลเฉลยของ BA จะเปนเมทรกซทมขนาด p m ตามตองการ
เชน กาหนดให A =
42
31 และ B =
231
210
ดงนน AB =
42
31
231
210 =
12144
8103
และ AB =
128
1410
43
แต A =
43
21 และ B =
22
31
10
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 101
ดงนน BA =
22
31
10
43
21 =
128
1410
43
สรปไดวา AB = BA 3.8 เมทรกซผกผนและสมบตของเมทรกซผกผน
เมอกาหนดเมทรกซ A มาให สามารถหาเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซ A ได คอ A แตเมทรกซ A อาจจะมเมทรกซผกผน หรออาจจะไมมกได ถาเมทรกซ A มเมทรกซผกผนจะใชสญลกษณแทนเมทรกซผกผนของเมทรกซ A คอ A-1 ซงเมทรกซ A จะมเมทรกซผกผนไดกตอเมอ A เปนเมทรกซจตรส และจะตองเปนไปตามเงอนไขดงน
AA-1 = A-1A = I หมายความวา เมทรกซ A เมอคณดวยเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ทงกรณท A เปนเมทรกซตวนา หรอ
A เปนเมทรกซตวตามในการคณน น ผลเฉลยทไดจะไดเมทรกซเอกลกษณ เชนเดยวกน กรณดงกลาวนเปนขอยกเวนของการคณเมทรกซดวยเมทรกซทเปนไปตามกฎการสลบท (cumutative law) เพราะโดยทวไปแลวการคณเมทรกซดวยเมทรกซจะไมเปนไปตามกฎการสลบท (AB BA) ตามทเคยไดอธบายมาแลวในตอนตน
3.8.1 ประเดนสาคญของเมทรกซผกผนทควรทราบ 1. เมทรกซใดๆ อาจจะมเมทรกซผกผนหรอไมมกได แตสงสาคญทเปนเงอนไขเบองตนของการม
เมทรกซผกผนกคอเมทรกซนนตองเปนเมทรกซจตรส แตเงอนไขนกยงไมเพยงพอทจะกลาวไดวาเมทรกซจตรสทกเมทรกซจตรสตองมเมทรกซผกผน สาหรบเมทรกซจตรสทมเมทรกซผกผนจะเรยกเมทรกซจตรสนวาเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน (nonsingular matrix) แตถาเมทรกซจตรสใดไมมเมทรกซผกผนจะเรยกวาเมทรกซเอกฐาน (singular matrix)
2. ถาสามารถหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ได คอ A-1 ขณะเดยวกนกสามารถหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A-1 ไดเชนกน คอเมทรกซ A หรอกลาวอกนยหนงไดวา เมทรกซ A กเปนเมทรกซผกผนของเมทรกซ A-1 ดงนนทงเมทรกซ A และ A-1 ตางกเปนเมทรกซผกผนซงกนและกน
3. ถาเมทรกซ A มขนาด n n แลว A-1 จะมขนาด n n ดวย เพราะไมเชนนนแลวจะไมสามารถคณเมทรกซ A ดวย A-1 หรอคณเมทรกซ A-1 ดวย A ได และผลเฉลยทไดจะเปนเมทรกซเอกลกษณทมขนาด n n ดวยเชนกน
102 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
4. ถาเมทรกซใดสามารถหาเมทรกซผกผนได เมทรกซผกผนนนกจะเปนเมทรกซผกผนเพยงเมทรกซเดยว เชน สมมตวา B เปนเมทรกซผกผนของเมทรกซ A จากเงอนไขของเมทรกซผกผน จะไดวา BA = AB = I และสมมตให C เปนเมทรกซผกผนอกเมทรกซหนงของเมทรกซ A ดงนน CA = AC = I ถานาเมทรกซ C ไปคณทงดานซายและขวาของสมการ AB = I โดยใหเมทรกซ C เปนเมทรกซตวนา ดงน CAB = CI = C (เพราะวาจากสมบตของเมทรกซเอกลกษณ ทวาเมทรกซใดกตามทคณกบเมทรกซ เอกลกษณ ผลเฉลยทไดจะไดเมทรกซเดมนน) แตจากขอสมมตขางตนท CA = I ดงนน IB = C หรอ B = C (ตามสมบตของเมทรกซเอกลกษณ) นนคอ B และ C ตองเปนเมทรกซผกผนเดยวกน ซงกคอเมทรกซ A ตองมเมทรกซผกผนเพยงเมทรกซเดยวเทานน
5. จากเงอนไขของเมทรกซผกผนทวา AA-1 = A-1A = I สามารถเขยนแยกเปน 2 สมการไดวา AA-1 = I และ A-1A = I ในทางปฏบตแลวแตละสมการกเปนเงอนไขทเพยงพอทจะบอกถงความสมพนธระหวางเมทรกซ A และ A-1 ได เชน กรณ AA-1 = I ถากาหนดให B เปนเมทรกซหนงทเมอคณกบเมทรกซ A แลวทาให BA = I ดงน นจะกลาวไดวา B เปนเมทรกซผกผนของ A หรอ B = A-1 กตอเมอ BA = I นจะตองใหผลเฉลยเหมอนกบสมการ A-1A = I ถาคณทง 2 ขางของสมการ BA = I ดวย A-1 โดยใหเปนเมทรกซตวตาม ดงน (BA)A-1 = I A-1 B(AA-1) = I A-1 (ตามกฎของการเปลยนกลมของผลคณเมทรกซ) BI = I A-1 (เพราะ AA-1 = I ตามเงอนไข) ดงนนสรปไดวา B = A-1 ในทานองเดยวกน กสามารถพสจนไดวา A-1A = I
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 103
ตวอยางท 3.22 กาหนดให A =
20
13 และ B =
30
12
61
จงหา AB และ BA วธทา A และ B เปนเมทรกซจตรสทมขนาด 2 2
B =
30
12
61
หรอ 61
30
12
ดงนน AB =
20
13
61
30
12
= 61
60
06
=
10
01 = I2
สรปไดวา B เปน เมทรกซผกผนของ A
BA =
30
12
61
20
13
=
60
06
61
=
10
01 = I2
สรปไดวา B เปนเมทรกซผกผนของ A 3.8.2 สมบตของเมทรกซผกผน ถา A และ B เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ทมขนาดเทากบ n n 1. AA-1 = A-1A = I 2. (A-1)-1 = A 3. (AB)-1 = B-1A-1 4. (A)-1 = (A-1) สมบตขอ 1 เปนสมบตเงอนไขของเมทรกซผกผนตามทอธบายมาแลวในตอนตน สมบตขอ 2 เปนการหาเมทรกซผกผนของเมทรกซผกผนของเมทรกซ A จะไดเมทรกซเดมคอเมทรกซ A สมบตขอ 3 เปนการหาเมทรกซผกผนของผลคณของสองเมทรกซ คอ AB จะไดผลเฉลยเปนผลคณของ
เมทรกซผกผนของเมทรกซเดมแตสลบตาแหนงการคณคอ B-1 A-1
104 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
สมบตขอ 4 เปนการหาเมทรกซผกผนของเมทรกซสลบเปลยนจะไดผลเฉลยเปนเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซผกผนของเมทรกซเดม 3.9 เงอนไขการเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน (Conditions for nonsingular matrix) การแกปญหาระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซน น สงสาคญทจะทาใหสามารถแกปญหาไดคอสมประสทธของตวแปรทเมอเขยนอยในรปของเมทรกซแลว จะตองเปนเมทรกซไมใชเอกฐานทสามารถหา เมทรกซผกผนได การตรวจสอบวาเมทรกซสมประสทธของตวแปรจะมเมทรกซผกผนหรอไมและจะสามารถหาเมทรกซผกผนไดอยางไรจงเปนสงจาเปน
ถากาหนดใหเมทรกซสมประสทธของตวแปร คอเมทรกซ A และเปนเมทรกซทมเมทรกซผกผน นนคอเมทรกซ A จะตองเปนเมทรกซไมใชเอกฐานและตองเปนเมทรกซจตรสเทานน อยางไรกตามการเปนเมทรกซจตรส ยงไมสามารถสรปไดวาเมทรกซนนจะตองเปนเมทรกซทมเมทรกซผกผนเสมอไป เพราะเมทรกซจตรสบางเมทรกซอาจจะไมมเมทรกซผกผนกได กลาวคอเมทรกซจตรสนนจะเปนเมทรกซเอกฐาน
3.9.1 เงอนไขจาเปนและเงอนไขเพยงพอ (Necessary and sufficient conditions) แนวคดของเงอนไขจาเปนและเงอนไขเพยงพอ ถกนามาใชในทางเศรษฐศาสตรอยเสมอจงควรจะตองทา
ความเขาใจในความหมายของ 2 เงอนไขนกอน 1. เงอนไขจาเปน โดยธรรมชาตแลวจะเปนสงจาเปนทตองเกดขนกอน เชน สมมตวาขอความ p จะเปน
จรงไดกตอเมอ (only if) ขอความ q เปนจรง ดงนน q จงเปนเงอนไขจาเปนสาหรบ p สญลกษณทใชอธบาย คอ p q อานวา “p กตอเมอ q” หรอ “p only if q” หรออกกรณหนงคอ “ถา p แลว q” หรอ “if p, then q” ทง 2 กรณในความหมายเชงตรรกแลวหมายถง ขอความแรกตองเกดขนกอนและตองเปนจรง ขอความทตามมาถงจะเปนจรง โดยนยของการแปลความหมายทถกตองเชงตรรกแลว p จะหมายถง q ดวยหรอหมายถง “p implies q” ถากลาววา “p w” กจะหมายถง p จะเปนจรงกตอเมอ w เปนจรง ดงนน ทง q และ w จงเปนเงอนไขทจาเปนทจะตองเกดขนกอน สาหรบ p ถาให p เปนขอความ “นาย ก. เปนนกศกษามหาวทยาลยเชยงใหมทผานการสอบจากระบบการสอบสวนกลาง” และ q เปนขอความ “นาย ก. สาเรจการศกษาชนมธยมศกษาตอนปลาย” ในความหมายเชงตรรกวทยาแลว ขอความ p จะหมายถงขอความ q ดวย นนคอ ถา p เปนจรง q ตองเปนจรงดวย เพราะฉะนน q จงเปนขอความทเปนเงอนไขทจาเปน (necessary condition) ทจะตองเกดขนกอนและเปนจรง p จงจะเกดขนและเปนจรงดวย ซงกคอ นาย ก. เปนนกศกษามหาวทยาลยเชยงใหมทผานการสอบจากระบบการสอบสวนกลางกตอเมอ นาย ก. สาเรจการศกษาชนมธยมศกษาตอนปลาย แสดงวา การสาเรจการศกษาชนมธยมศกษาตอนปลายเปน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 105
เงอนไขจาเปนสาหรบการเปนนกศกษามหาวทยาลยเชยงใหมทผานการสอบจากระบบการสอบสวนกลาง แตถาเขยนขอความกลบกนจะไมเปนจรง เพราะการเปนนกศกษามหาวทยาลยเชยงใหมทผานการสอบจากระบบการสอบสวนกลางไมไดเปนเงอนไขจาเปนสาหรบการทจะสาเรจการศกษาชนมธยมศกษาตอนปลาย เพราะฉะนน p q เปนจรง กไมไดหมายความวา q p จะเปนจรงดวย
2. เงอนไขเพยงพอในกรณของรปของสถานการณทแตกตางไปจากกรณแรก คอ ขอความ p จะเปนจรงถา q เปนจรง แต p กยงคงเปนจรงได แมวา q จะไมจรง กรณน q จะเปนเงอนไขเพยงพอ (sufficient condition) สาหรบ p ความจรงของ q เพยงพอสาหรบทาใหเกดความจรงของ p แตไมไดเปนเงอนไขจาเปนสาหรบ p กรณดงกลาวนอธบายดวยสญลกษณดงน
p q อานวา “p ถา q” หรอ “p if q” ไมมคาวา only เหมอนกรณแรก หรออานใหมจากขางหลงไปขางหนา แสดงความหมายวา “q implies p” หรอเรยกอกอยางหนงวา “ถา q แลว p” หรอ “if q, then p” ตวอยางท 3.23 ถาให p แทนขอความ “การเดนทางไปจงหวดเชยงใหม” q แทนขอความ “เดนทางไปจงหวดเชยงใหมโดยเครองบน”
ดงนน p q เพราะเครองบนสามารถนาทางไปสจงหวดเชยงใหมไดแตการเดนทางไปจงหวดเชยงใหมอาจจะเดนทางโดยรถไฟ หรอรถโดยสารปรบอากาศได การเดนทางโดยเครองบนกไมใชสงจาเปนทจะตองเกดขน ถงจะสามารถเดนทางไปจงหวดเชยงใหมได จงเขยนอธบายดวย p q ไมใช p q
3. ในสถานการณทเปนไปไดอกกรณหนงคอ q เปนทงเงอนไขทจาเปนและเพยงพอสาหรบ p ในกรณนจะเขยนสญลกษณแทนวา p q อานวา “p if and only if q” หวลกศรทง 2 ดาน แสดงถงการรวมกนของ 2 กรณแรกเขาดวยกน ดงนนจงหมายถง p implies q และ q implies p ดวย ตวอยาง ท 3.24 ถาให p แทนขอความ “มจานวนนอยกวา 30 วน ใน 1 เดอน” q แทนขอความ “เปนเดอนกมภาพนธ”
ดงนน p q เพราะวา กรณแรก p q หรอ p จะเปนจรง q ตองเปนจรงดวย q เปนเดอนกมภาพนธ ซงเดอนกมภาพนธ มจานวนนอย
กวา 30 วน จรง ทาให p จงเปนจรงดวย ดงนน q จงเปนเงอนไขจาเปน กรณทสอง p q หรอ q จะเปนจรง p ตองเปนจรงดวย p เปนจานวนวนในหนงเดอนมนอยกวา 30 วน ซงเดอน
กมภาพนธเปนเดอนทมนอยกวา 30 วนจรง ทาให q เปนจรงดวย ดงนน q เปนเงอนไขทเพยงพอ
106 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แตเนองจาก เดอนกมภาพนธเปนเพยงเดอนเดยวใน 12 เดอนทมจานวนนอยกวา 30 วน ทาให q จงเปนทงเงอนไขทจาเปนและเงอนไขทเพยงพอสาหรบ p
ตวอยาง ท 3.25 ถาให p แทนขอความ “เปนเมทรกซผกผน” q แทนขอความ “เปนเมทรกซจตรส”
ดงนน p q หรอ p only if q เพราะวาถา p จรง q ตองเปนจรงดวย กลาวคอ เมอ q เปนเมทรกซจตรสจรง จงจะทาให p เปนเมทรกซผกผนจรง แตไมไดหมายความวาการเปนเมทรกซจตรสเพยงอยางเดยวนนจะทาใหเกดเมทรกซผกผน เพราะการเปนเมทรกซจตรสอาจจะไมมเมทรกซผกผนกได ดงนน q จงเปนเงอนไขจาเปนของ p เทานน แตจะตองมขอความทมากกวานทเปนเงอนไขเพยงพอ จงจะบอกไดวา เปนเมทรกซผกผน
3.9.2 เงอนไขสาหรบเมทรกซไมใชเอกฐาน (Conditions for nonsingular matrix) เงอนไขของการเปนเมทรกซไมใชเอกฐานในเบองตนทราบแลววาเมทรกซนนตองเปนเมทรกซจตรส ซง
เปนเงอนไขจาเปน และกทราบตอไปอกวาเมทรกซจตรสนนอาจจะมเมทรกซผกผนหรอไมมเมทรกซผกผนกได ทงนขนอยกบเงอนไขบางอยาง ซงเรยกวาเงอนไขเพยงพอ
สาหรบเงอนไขเพยงพอทจะบอกไดวาเมทรกซนนเปนเมทรกซไมใชเอกฐานกคอเมทรกซนนจะตองมสมาชกของแตละแถว ทเปนอสระเชงเสน หรอมสมาชกแตละสดมภทเปนอสระเชงเสนเชนกน หรอกลาวไดวา เมทรกซนนจะตองมสมาชกในแตละแถวหรอสมาชกในแตละสดมภ ทไมไดเปนการรวมกนเชงเสนของแถวอนๆ หรอของสดมภอนๆ ตามลาดบ
เมอเมทรกซใดมทงเงอนไขทเปนเมทรกซจตรสและเงอนไขการเปนอสระเชงเสน ซงกคอเงอนไขทจาเปนและเงอนไขทเพยงพอ ตามลาดบของการเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ดงนนจงเขยนอยในรปของเงอนไขไดวา
เมทรกซไมใชเอกฐาน เมทรกซจตรสและความเปนอสระเชงเสน ถาใหเมทรกซ A เปนเมทรกซสมประสทธของระบบสมการเชงเสนซงมขนาด n n และใหเทากบ
เวกเตอรสดมภทมจานวนท งหมด n แถว ดงน นสามารถพจารณาเซตของอนดบสมาชกของแถวแตละแถวใน เมทรกซ A เทากบสมาชกในแตละแถวของเวกเตอรสดมภได โดยเขยนอยในรปของเวกเตอรแถว ไดดงน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 107
A =
nn2n1n
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
=
n
2
1
v
v
v
ดงนน 1v = [a11 a12 a1n] 2v = [ a21 a22 a2n]
nv = [ an1 an2 ann] หรอเขยนอยในรปทวไปวา iv = [ ai1 ai2 ain] เมอ i = 1, 2, 3, …, n สาหรบแถวแตละแถวซงมอนดบสมาชกในแตละแถวหรอเรยกวาเปนเวกเตอรแถวนนจะเปนอสระเชงเสนกนได กตอเมอตองไมมเวกเตอรแถวใดๆ ทเปนการรวมกนเชงเสนของเวกเตอรแถวอนๆ ทเหลอ นนคอ เซตของเวกเตอรเหลานนจะเปนเวกเตอรทเปนอสระเชงเสน กตอเมอ nn2211 vkvkvk = 0 (เวกเตอรศนย)
โดยท k1, k2, , kn เปนสเกลารและตางกมคาเทากบศนย
หรอ
n
1iii vk = 0
(1 n) โดยท i = 1, 2, 3, …, n และ ki = 0 สาหรบทกๆ คาของ i
ตวอยางท 3.26 ถากาหนดใหเมทรกซสมประสทธ A =
1086
210
543
จงหาวา เมทรกซสมประสทธมความเปนอสระเชงเสนหรอไม วธทา ใหเมทรกซ A เทากบเวกเตอรสดมภทกาหนดขนดงน
108 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
A =
1086
210
543
=
3
2
1
v
v
v
ดงนน 1v = [3 4 5] 2v = [0 1 2] 3v = [6 8 10] เนองจาก อนดบสมาชกในแถวท 3 ของเมทรกซ A หรอ 3v = [6 8 10] = 2[3 4 5] หรอเขยนใหมไดเปน 3v = 2 1v
จะไดวา 3v = 2 1v + 0 2v แสดงวา แถวท 3 เปนผลรวมเชงเสนของแถวท 1 และ 2 ซงกคอแถวแตละแถวหรอเวกเตอรแถวไมเปน
อสระเชงเสน ถาพจารณาอกวธการหนง โดยนาสมการขางตนมาเขยนใหมได ดงน
2 1v + 0 2v - 3v = 0 หรอเวกเตอรศนย 2[3 4 5] + 0[0 1 2] - [6 8 10] = [0 0 0] [6 8 10] + [0 0 0] - [6 8 10] = [0 0 0] แตทราบวา เซตของเวกเตอรแถวจะเปนอสระเชงเสนกตอเมอ 332211 vkvkvk = 0 เมอ k1, k2, k3 = 0
จะเหนวาสเกลารหรอ ki แตละตว นนไมเปนศนยทงหมด โดยม k1 = 2, k2 = 0 และ k3 = -1 ยอมแสดงวาเมทรกซสมประสทธหรอเมทรกซ A ไมมความเปนอสระเชงเสน เงอนไขความเปนอสระเชงเสนเปนเรองทตองใชประสบการณในการสงเกตอนดบสมาชกในแตละแถว จงไมใชเรองงายทจะมองออกไดวา แถวใด เปนการรวมเชงเสนระหวางแถวใด โดยเฉพาะอยางยงเมอมอนดบสมาชกในแตละแถวจานวนมาก ซงจะแตกตางจากเงอนไขการเปนเมทรกซจตรสทพจารณาไดงายกวา ดงนนวธการทดสอบความเปนอสระเชงเสนระหวางแถวหรอสดมภจงจะตองมความเขาใจในเรองการรวมกนเชงเสน และความเปนอสระเชงเสนเปนอยางด โดยปกตการแกปญหาระบบสมการเชงเสนเพอใหไดผลเฉลยเพยงชดเดยว (unique solution) ซงกคอไดคาตอบทแนนอนเพยงคาเดยวของแตละตวแปรนน การทรแตเพยงวาจานวนสมการตองเทากบจานวนตวแปรทไม
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 109
ทราบคานนยงไมเพยงพอ ยงจะตองรเพมเตมอกวา สมการเหลานนตองมฟงกชนเปนอสระซงกคอตองรวาเปนสมการในระบบเชงเสนและแตละสมการมความเปนอสระเชงเสนจากสมการอนๆ ในระบบสมการเชงเสนนน ดงนนเมอตองการแกปญหาระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซจะตองตรวจสอบเมทรกซสมประสทธใหเปนไปตามเงอนไขของเมทรกซไมใชเอกฐาน กลาวคอ ตองเปนเมทรกซจตรส (จากจานวนสมการและตวแปรทไมทราบคาตองเทากน ) จงเปนเงอนไขจาเปนและมความเปนอสระเชงเสนระหวางแถวหรอสดมภซงเปนเงอนไขเพยงพอ จงจะทาใหเมทรกซสมประสทธนนมเมทรกซผกผนทาใหแกปญหาระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซได สาหรบตวอยางการพจารณาความไมเปนอสระเชงเสนระหวางแถวของเมทรกซสมประสทธในระบบสมการเชงเสนหรอความไมเปนอสระเชงเสนระหวางสมการในระบบสมการ ซงเปนสาเหตของความไมสอดคลองตามเงอนไขเพยงพอของการเปนเมทรกซ ไมใชเอกฐาน เมอกาหนดใหระบบสมการเปนดงน Ax = d
โดยท
25
410
2
1
x
x =
2
1
d
d
A เปนเมทรกซสมประสทธซงเปนเมทรกซจตรสขนาด 2 2 เมอพจารณาอนดบสมาชกของแถวท 1 และแถวท 2 จะพบวา อนดบสมาชกในแถวท 1 เปน 2 เทาของอนดบสมาชกในแถวท 2 หรออนดบสมาชกในสดมภท 1
เปน 25เทาของอนดบสมาชกในสดมภท 2
ถาให A =
25
410 =
2
1
v
v
ดงนน 1v = [10 4] 2v = [5 2] จะไดวา 1v = 2 2v ถาไมกาหนดคาคงทใหเปนจานวนแตกาหนดอยในเทอมของ d1 และ d2 โดยกาหนดความสมพนธ 2 รป คอ (1) d1 = 2d2 และ (2) d1 2d2 ในกรณแรก d1 = 2d2 ถาให d1 = 12 ดงนน d2 = 6 สมการ 2 สมการจะมความสมพนธสอดคลองกน แตไมมความเปนอสระเชงเสน กลาวคอสมการแรกจะเปน 2 เทาของสมการทสอง ทาใหในระบบสมการมสมการมากเกนไป สามารถลดสมการลงไดเหลอเพยงสมการ
110 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
เดยว คอ 5x1 + 2x2 = 6 ซงผลเฉลยจากการแกปญหาสมการดงกลาวมจานวนไมจากด เชน ถา x1 เปน 0 x2 เปน 3
หรอ x1 เปน 1 x2 เปน 21
เปนตน
ในกรณทสอง d1 2d2 ถาให d1 = 12 d2 = 0 สมการทง 2 สมการจะไมสอดคลองกน เพราะวา ถาสมการแรกเปนจรง กลาวคอ 10x1 + 4x2 = 12 เปนจรง สมการนสามารถทจะลดแตละเทอมของสมการนไดอยางละครงเหลอเพยง 5x1 + 2x2 = 6 สาหรบสมการทสอง เมอ d2 = 0 จะไดวา 5x1 + 2x2 = 0 แตสมการนไมสามารถเปนจรงไดเพราะขดแยงกบสมการแรก ดงนนจงไมสามารถหาคาตอบของสมการได จากทง 2 กรณ ไมสามารถหาผลเฉลยเพยงชดเดยวทเปนไปได ถาแตละแถวของเมทรกซสมประสทธหรอเมทรกซ A ไมมความเปนอสระเชงเสน ในความเปนจรงนนมวธการเดยวทจะใหผลเฉลยของตวแปรมเพยงชดเดยวกคอเมทรกซสมประสทธจะตองมความเปนอสระเชงเสนในแตละแถวหรอสดมภ ซงกรณดงกลาวน เมทรกซ A จะเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน เพราะสามารถหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ได (A-1) ผลเฉลยทตองการจากการแกระบบสมการเชงเสนดวยเมทรกซกสามารถหาไดจากความสมพนธของเมทรกซคอ x = A-1d ซงสามารถหาคาตอบไดตามตองการ จากการทไดอธบายแนวคดเกยวกบความเปนอสระเชงเสนของแถวทกลาวมาน เปนการอธบายเฉพาะ เมทรกซจตรสเทานน แนวคดดงกลาวสามารถประยกตใชกบเมทรกซใดๆ ทมขนาด m n ไดในลกษณะเดยวกน ถาทราบจานวนสงสดของแถวทเปนอสระเชงเสนของเมทรกซใดๆ วามจานวน r แถว กจะเรยกเมทรกซนนๆ วามคาลาดบชนของเมทรกซเทากบ r (ในทานองเดยวกนกจะเปนจานวนทแสดงใหทราบวาเมทรกซนนมจานวนสดมภทเปนอสระเชงเสนสงสดไดเชนเดยวกน) ดงนนคาลาดบชนของเมทรกซกสามารถพจารณาไดจากจานวนแถวหรอสดมภทเปนอสระเชงเสนจานวนสงสดของเมทรกซนนนนเอง สาหรบแนวคดของคาลาดบชนจะไดกลาวในหวขอตอไป 3.10 คาลาดบชนของเมทรกซ (Rank of matrix) คาลาดบชน (rank) ของเมทรกซเปนคาทบอกใหทราบวาระบบสมการเชงเสนทกาหนดขนมานน เมอเขยนอยในรปเมทรกซแลว สามารถหาผลเฉลยชดเดยวไดหรอไม ในการแกระบบสมการเชงเสนดวยเมทรกซจงควรทาการตรวจสอบคาลาดบชนกอนดาเนนการหาผลเฉลยคาตอบ
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 111
โดยปกตแลวการแกระบบสมการเชงเสนใดๆ ถาระบบสมการนนมตวแปร n ตวแปร จานวนสมการเชงเสนจะตองม n สมการทเปนอสระตอกน จงจะสามารถหาผลเฉลยชดเดยวได แตในทางปฏบตระบบสมการเชงเสนมตวแปรเปนจานวนมาก และไมทราบวาสมการตางๆ ในระบบสมการนนเปนอสระตอกนหรอไม การหาคาลาดบชนของเมทรกซจงเปนการตรวจสอบขนตนกอนทจะทาการแกระบบสมการเพอหาผลเฉลยชดเดยวตอไป วธการตรวจสอบอยางงายๆ สาหรบการหาคาลาดบชนของเมทรกซคอการใชแนวทางการปฏบตการของเมทรกซตามทไดกลาวมาแลวในตอนตน เพอเปลยนเมทรกซทตองการตรวจสอบใหเปนเมทรกซเอชลอนแบบแถว ซงเมอดาเนนการแลว อาจจะมบางแถวมสมาชกทกตวเปนศนย แตสวนใหญหรอทงหมดจะเปนแถวทมสมาชกไมไดเปนศนยทกตว จานวนแถวทมสมาชกไมไดเปนศนยทกตวนกคอคาลาดบชนของเมทรกซนนเอง หรออกวธการหนงจากการทไดอธบายไปแลวในหวขอทผานมาเกยวกบความเปนอสระเชงเสนของแถวในเรองเงอนไขเพยงพอของเมทรกซไมใชเอกฐาน ซงทราบวาจานวนสงสดของแถว (หรอสดมภ) ทเปนอสระเชงเสนของเมทรกซใดๆ กคอคาลาดบชนของเทรกซนน ดงนน ถา A เปนเมทรกซขนาด m n และ r เปนคาลาดบชนของเมทรกซ A แลว r จะมคาเทากบ 0 r min (m, n) หรอ r มคามากกวา 0 แตนอยกวาหรอเทากบคาทนอยกวาของ m หรอ n คาใดคาหนง สาหรบเมทรกซจตรสขนาด n n ทเปนเมทรกซไมใชเอกฐานจะมคาลาดบชนเทากบ n หรอมจานวนแถวทเปนอสระเชงเสนอย n แถว หรอกลาวไดอกอยางหนงวา เมทรกซขนาด n n ทมคาลาดบชนเปน n ตองเปน เมทรกซไมใชเอกฐาน ตวอยางท 3.27 การพจารณาหาคาลาดบชนของเมทรกซเมอดาเนนการโดยการปฏบตการของเมทรกซใหเปน เมทรกซเอชลอนแบบแถว ดงน
กาหนดให A =
512
240
612
134
A เปนเมทรกซขนาด 4 3 เมอดาเนนการโดยการปฏบตการของเมทรกซแลวไดเมทรกซเอชลอนแบบแถว ดงน
112 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
A5 =
000
100
210
211
คาลาดบชน คอจานวนแถวทมสมาชกไมไดเปนศนยทกตว ดงนนเมทรกซ A จงมคาลาดบชน คอ 3
กาหนดให B =
214
131
532
B เปนเมทรกซจตรส ขนาด 3 3 เมอดาเนนการโดยการปฏบตการของเมทรกซแลวไดเมทรกซเอชลอนแบบแถว ดงน
B6 =
1009
710
661
ดงนน เมทรกซ B มคาลาดบชน คอ 3
กาหนดให C =
2113
3021
2423
C เปนเมทรกซ ขนาด 3 4 เมอดาเนนการโดยการปฏบตการของเมทรกซแลวไดเมทรกซเอชลอนแบบแถว ดงน
C6 =
2039100
4310
3021
ดงนน เมทรกซ C มคาลาดบชน คอ 3
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 113
กาหนดให D =
142
511
203
D เปนเมทรกซจตรส ขนาด 3 3 เมอดาเนนการโดยการปฏบตการของเมทรกซแลวไดเมทรกซเอชลอนแบบแถว ดงน
D8 =
100
010
001
เพราะวาเมทรกซเอกลกษณมลกษณะเปนเมทรกซเอชลอนแบบแถว ดงนนเมทรกซ D มคาลาดบชน คอ 3
114 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แบบฝกหดบทท 3
1. กาหนดให A =
96
14, B =
23
30 และ C =
16
38 จงหา
1.1 A + B 1.2 C – A 1.3 3A 1.4 4B + 2C
2. กาหนดให A =
15
03
82
, B =
83
02 และ C =
36
27
2.1 จงหาคา AB และ BA 2.2 จงหาคา BC และ CB ไดหรอไม 3. จงหาคาของเมทรกซตอไปน
3.1
032
403
010
53
10
08
3.2
403
156
10
25
14
4. กาหนดให w =
16
2
3
x =
2
1
x
x y =
2
1
y
y z =
2
1
z
z
จงหาคาของ wx, xy, xy, yy, zz, yw, xy
5. กาหนดให u =
1
5 และ v =
3
0 จงหาคาตางๆ เหลานโดยกราฟ
5.1 2v 5.2 u + v 5.3 u – v 5.4 v – u
6. กาหนดให A =
42
63, B =
48
71 C =
91
43
จงหา (A + B) + C = A + (B + C)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 115
7. ตรวจสอบกฎการเปลยนกลม (associate law) ของการคณ A(BC) = AB(C) ของเมทรกซตอไปน
A =
50
35 B =
231
708 C =
17
30
01
8. กาหนดให A =
420
781 b =
0
6
9
x =
2
1
x
x
8.1 คานวณ AI, IA, Ix, xI 8.2 คานวณ Ab, AIb, xIA, xA
9. กาหนดให A =
31
42 B =
10
83 C =
116
901 จงหา A, B, C
10. กาหนดใหเมทรกซ 4 เมทรกซ จงทดสอบวาเมทรกซใดเปนเมทรกซผกผนของอกเมทรกซหนง
D =
30
121 E =
86
11 F =
31
0
41 G =
21
32
14
11. กาหนดให p เปนขอความแรก q เปนขอความทสอง จงแสดงใหเหนวาในแตละขอเปนกรณใด (1) p q (2) p q (3) p q 11.1 วนนเปนวนหยด ; วนนเปนวนมาฆบชา 11.2 ภาพเรขาคณตทม 4 ดาน ; มนเปนสเหลยม 11.3 คอนดบ 2 ค (a, b) และ (b, a) เทากน ; a เทากบ b 11.4 เมทรกซ A มขนาด 4 4 เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ; อนดบของเมทรกซเปน 4 11.5 ถงนามนในรถยนตของฉนวางเปลา ; ฉนไมสามารถสตารทเครองยนตได
116 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
บทท 4 ดเทอรมแนนต 4.1 ความหมายของดเทอรมแนนต (Determinant) ดเทอรมแนนตเปนจานวนจรงจานวนหนง และเปนจานวนเดยวเทาน นทไดจากเมทรกซจตรส ถากาหนดให A เปนเมทรกซจตรส ขนาด n n โดยท n 1 ดเทอรมแนนต ขนาด n n ของเมทรกซ A หรอดเทอรมแนนตทมอนดบ n จะเขยนดวยสญลกษณ A หรอ det A ดงน
A หรอ det A =
nn2n1n
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
เชน A =
2221
1211
aa
aa A =
2221
1211
aa
aa
เนองจากดเทอรมแนนตเปนคาจรงเพยงคาเดยว อาจมคาเปนลบ เปนศนย หรอเปนบวก ถาดเทอรมแนนต ของเมทรกซใดมคาทไมใชศนย เมทรกซนนจะเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน และสามารถหาเมทรกซผกผนได แตถา ดเทอรมแนนตของเมทรกซใดมคาเทากบศนย เมทรกซนนเปนเมทรกซเอกฐาน ซงกคอเมทรกซนนจะไมมอสระ เชงเสนในแถวหรอสดมภนนเองไมสามารถหาเมทรกซผกผนได 4.2 ขอกาหนดของดเทอรมแนนต
4.2.1 ถา A เปนเมทรกซอนดบหนง (first order matrix) A = [aij]11 แลว ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A หรอเรยกวาดเทอรมแนนตอนดบหนง A = aij = a11
4.2.2 ถา A เปนเมทรกซอนดบสอง (second order matrix) A = [aij]22 แลว ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A หรอเรยกวาดเทอรมแนนตอนดบสอง
A = 2221
1211
aa
aa = a11 a22 – a21a12
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 117
ผลเฉลยหรอผลเฉลยทไดจะเปนจานวนจรงคาเดยวซงเปนสเกลาร หาไดจากการคณทแยงลงของสมาชกลบดวยการคณทแยงขนของสมาชกตามแนวลกศรในดเทอรมแนนต A
ตวอยางท 4.1 จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซตางๆ ดงน
A = [4] B =
42
31 C =
32
14
วธทา A = 4 = 4
B = 42
31 = (1)(4) – (2)(3) = 4 – 6 = -2
C = 32
14 = (4)(3) – (2)(1) = 12 – 2 = 10
ตวอยางท 4.2 จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A =
84
21 B =
31
31
วธทา
A = 84
21 = (1)(8) – (4)(2) = 8 – 8 = 0
B = 31
31 = (1)(3) – (1)(3) = 3 – 3 = 0
จะเหนวาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A และดเทอรมแนนตของเมทรกซ B มคาเปน 0 ซงบอกไดวาเมทรกซ A และเมทรกซ B เปนเมทรกซเอกฐาน แตถาพจารณาในลกษณะของความเปนอสระเชงเสนของเมทรกซจะพบวา เมทรกซทง 2 ไมมความเปนอสระเชงเสน กลาวคอ
ให A =
84
21 =
2
1
c
c
จะไดวา 1c = [1 2] 2c = [4 8]
118 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
หรอ 2c = 4 1c
และให B =
31
31 =
2
1
d
d
จะไดวา 1d = [1 3] 2d = [1 3] หรอ 1d = 2d
ดงนนเมทรกซ A และ B ไมมความเปนอสระเชงเสนจงเปนเมทรกซเอกฐาน 4.2.3 ถา A เปนเมทรกซอนดบสาม (third order matrix) A = [aij]33 ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A
หรอเรยกวาดเทอรมแนนตอนดบสาม
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
สามารถหาไดจากการรวมกนของผลคณของสมาชก 3 ตวในเมทรกซ ดงน 1. กาหนดสมาชกตวแรก ในแถวท 1 คอ a11 และไมคานงถงสมาชกตวอนๆ ในแถวท 1 และสดมภท 1 สาหรบสมาชกทเหลอจะเปนเมทรกซขนาด 22 ใหคานวณดเทอรมแนนตแลวนาไปคณกบ a11 ดงน
2. กาหนดสมาชกตวท 2 ในแถวท 1 คอ a12 และทาในลกษณะเดยวกนกบขอ 1 ดงน
จะได a11 หรอ
a11( a22 a33 - a32 a23)
จะได a12 หรอ
a12( a21 a33 - a31 a23)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 119
3. กาหนดสมาชกตวท 3 ในแถวท 1 คอ a13 และทาในลกษณะเดยวกนกบขอ 1 ดงน
4. นาผลคณจากทง 3 ขอขางตนมารวมกนได ดงน A = a11( a22 a33 - a32 a23) + (-1)a12( a21 a33 - a31 a23) + a13( a21 a32 - a31 a22) = a11a22a33 - a11a32a23 - a12a21a33 + a12a31a23 + a13a21a32 - a13a31a22 = คาจานวนจรงคาหนง
ผลเฉลยในแถวสดทายของ A น ถานามาจดเรยงใหมใหพจนทมเครองหมายบวกนาหนาอยรวมกนและพจนทมเครองหมายลบนาหนาอยรวมกน ดงน A = a11a22a33 + a12a31a23 + a13a21a32 - a11a32a23 - a12a21a33 - a13a31a22
ผลเฉลยดงกลาวนกคอผลเฉลยเดยวกนกบการทนาสมาชกของสดมภท 1 และสดมภท 2 ของเมทรกซมาเขยนตอทางขวาของเมทรกซเปนสดมภท 4 และสดมภท 5 ตามลาดบ แลวคณทแยงตามภาพ โดยการคณทแยงลงเปนบวก การคณทแยงขนเปนลบ แลวนาผลคณทงหมดมารวมกน
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A =
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a31a22a13 - a32a23a11 - a33a21a12 การหาคาดเทอรมแนนตของเมทรกซ ขนาด 3 3 ดวยวธน บางครงเรยกวาเปนการทาดวยวธลด
จะได a13 หรอ
a13( a21 a32 - a31 a22)
120 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 4.3 จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A =
213
524
132
วธทา
A = 2 21
52 + (-1)3 23
54 + 1 13
24
= 22(2) – 1(5) - 34(2) – 3(5) + 14(1) – 3(2) = 2(-1) – 3(-7) + 1(-2) = -2 + 21 - 2 = 17 เนองจาก A ไมเปนศนย A จงเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ถาหาโดยวธลดเปนดงน
A =
13
24
32
213
524
132
= (2)(2)(2) + (3)(5)(3) + (1)(4)(1) – (3)(2)(1) – (1)(5)(2) – (2)(4)(3) = 8 + 45 + 4 – 6 – 10 – 24 = 57 – 40 = 17
ตวอยางท 4.4 กาหนดให A =
121
640
132
จงหาดเทอรมแนนตของ A
วธทา
A =
121
640
132
= (2)(4)(1) + (3)(6)(1) + (1)(0)(2) – (1)(4)(1) – (2)(6)(2) – (1)(0)(3) = 8 + 18 + 0 – 4 – 24 – 0 = 26 – 28 = -2
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 121
การใชวธลดสาหรบหาคาดเทอรมแนนตนจะรวดเรวและสะดวกมากกวา แตสามารถใชไดเฉพาะกบเมทรกซทมขนาด 3 3 หรอเมทรกซอนดบ 3 เทานน ไมสามารถใชไดกบเมทรกซทอนดบมากกวา 3 แตถาเมทรกซทมอนดบมากกวา 3 จะตองใชวธของลาปลาส หาคาดเทอรมแนนต 4.3 การหาดเทอรมแนนตดวยวธการกระจายของลาปลาส (Laplace expansion) การหาดเทอรมแนนตวธการกระจายของลาปลาส สามารถใชไดกบเมทรกซตงแตอนดบ 3 เปนตนไป ถา A = [aij]nn โดยท n 3 แลว A = ai1 ci1 + ai2 ci2 + ai3 ci3 + … + ain cin สาหรบ i = 1, 2, 3, …, n เมอ cij = (-1)i+j Mij ทกคา i, j โดยท Mij คอ ดเทอรมแนนตทเรยกวาไมเนอร (minor) ของ aij หรอดเทอรมแนนตยอย (sub determinant)
ซงเปนดเทอรมแนนตของเมทรกซยอยทไดจากเมทรกซ A เมอตดสมาชกในแถวท i และสดมภ j ออก
และ cij คอ ดเทอรมแนนตทเรยกวา โคเฟกเตอร (cofactor) ของ aij ใหยอนกลบไปพจารณาการหาดเทอรมแนนอนดบ 3 เมอตดสมาชกในแถวท 1 สดมภท 1 จะได ดเทอรมแนนตของเมทรกซขนาด 2 2 ในทานองเดยวกนเมอตดสมาชกในแถวท 1 สดมภท 2 และแถวท 1 สดมภท 3 กจะไดดเทอรมแนนตของเมทรกซขนาด 2 2 เชนเดยวกน และสามารถหาคาเปนจานวนจรงหรอสเกลารได ซงกคอ
M11 = 3332
2322
aa
aa M12 =
3331
2321
aa
aa M13 =
3231
2221
aa
aa
การหาโคเฟกเตอร หรอ cij นน มการพจารณาเครองหมายบวกและลบดวย กลาวคอ ถา i + j เปนเลขค คาของ (-1)i+j จะเปนบวกนนคอ cij = Mij หรอ i + j เปนเลขค คาของ (-1)i+j จะเปนลบนนคอ cij = -Mij เชน c11 = (-1)1+1 M11 = M11 c12 = (-1)1+2 M12 = -M12 c13 = (-1)1+3 M13 = M13 ดงนน ถาตองการหาดเทอรมแนนตอนดบ 3 ของเมทรกซขนาด 3 3 หรอ A = [aij]33 สามารถหาดเทอรมแนนตโดยวธการกระจายของลาปลาสไดดงน
122 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
A = a11 c11 + a12 c12 + a13 c13 หรอเขยนใหมใหอยในรปของไมเนอรไดดงน A = a11 M11 + a12 (-M12) + a13 M13 = a11 M11 + (-1) a12 M12 + a13 M13
= a11 3332
2322
aa
aa +(-1) a12
3331
2321
aa
aa + a13
3231
2221
aa
aa
A = a11 (a22 a33 – a32 a23) + (-1) a12 (a21 a33 – a31 a33) + a13 (a21 a32– a31 a22) จะเหนวาการหาดเทอรมแนนตอนดบ 3 ในตอนแรกทอธบายมากอนหนาน เปนวธการเดยวกบวธการกระจายของลาปลาสนนเอง อยางไรกตาม วธการกระจายของลาปลาสน การกาหนดสมาชกเพอใหคณกบโคเฟกเตอรของตวมนเองนน จะเลอกจากสมาชกในแถวใดแถวหนง หรอสดมภใดสดมภหนงกได จะใหผลเฉลยทเทากน ในทางปฏบตเพอใหงายตอการคานวณ ควรเลอกแถวหรอสดมภทมสมาชกเปนศนยมากทสด
ตวอยางท 4.5 กาหนดให A =
203
142
403
ใหหาดเทอรมแนนตโดยวธการกระจายของลาปลาส วธทา เลอกสมาชกในสดมภท 2 เปนตวคณกบโคเฟกเตอรเพราะวามสมาชกเปนศนยมากทสด จะไดวา A = a12 c12 + a22 c22 + a32 c32 เนองจาก a12 = 0 และ a32 = 0 ดงนน A = a22 c22 เพราะวา c22 = (-1)2+2 M22 = M22 (ตดสมาชกในแถวท 2 และสดมภท 2)
= 23
43 = (3)(2) – (3)(4) = 6 – 12 = -6
ดงนน A = 4(-6) = -24 หรอเลอกสมาชกในแถวอน หรอสดมภอนจะไดคาตอบเดยวกน เชน ถาเลอกสมาชกในแถวท 3 ดงน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 123
A = a31 c31 + a32 c32 + a33 c33 = a31(-1)3+1 M31 + 0 + a33(-1)3+3 M33
= 3(-1)4
14
40 + 2(-1)6 42
03
= 3(0)(1) – (4)(4) + 2(3)(4) – (2)(0) = 3(-16) + 2(12) = -48 + 24 = -24 ถาเลอกสมาชกในแถวท 2 ดงน A = a21 c21 + a22 c22 + a23 c23 = a21(-1)2+1 M21 + a22(-1)2+2 M22 + a23(-1)2+3 M23
= 2(-1)3
20
40 + 4(-1)4 23
43 + 1(-1)5 03
03
= -2(0)(2) – (0)(4) + 4(3)(2) – (3)(4) + (-1)(3)(0) – (3)(0) = 0 + 4(-6) + 0 = -24
ตวอยางท 4.6 กาหนดให B =
210
111
211
จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ B โดยวธการกระจายของลาปลาส วธทา เลอกสมาชกในแถวท 3 ดงน A = a31 c31 + a32 c32 + a33 c33 = 0 + 1(-1)3+2 M32 + 2(-1)3+3 M33
= (-1) 11
21
+ 2 11
11
= (-1)(1)(1) – (-1)(2) + 2(1)(1) – (-1)(1) = (-1)(3) + (2)(2) = -3 + 4 = 1 อาจตรวจสอบคาตอบโดยการเลอกสดมภหรอแถวอน ดงน เลอกสมาชกในสดมภท 1 ไดดงน
124 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
A = a11 c11 + a21 c21 + a31 c31 = 1(-1)1+1 M11 + (-1)(-1)2+1 M21 + 0
= 21
11 + 21
21 = (1)(2) – (1)(1) + (1)(2) – (1)(2) = 1
ในกรณของการหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ จตรสทมขนาดมากกวา 3 3 กสามารถใชวธการกระจายของลาปลาสไดเชนเดยวกน เชน เมทรกซขนาด 4 4 A = [aij]44 ถาเลอกสมาชกในแถวท 1 จะได A = a11 c11 + a12 c12 + a13 c13 + a14 c14
สาหรบโคเฟกเตอร (cij) ของสมาชก aij จะเปนดเทอรมแนนตอนดบ 3 ซงจะตองทาการกระจายโดยวธลาปลาสอกครงหนงใหอยในรปของผลบวกโคเฟกเตอร ซงเปนดเทอรมแนนตอนดบ 2
ในทานองเดยวกน สามารถเลอกสมาชกในแถวใดแถวหนงหรอสดมภใดสดมภหนง เพอหาดเทอรมแนนตไดเชนเดยวกน
โดยทวไปแลววธการกระจายของลาปลาส สามารถหาดเทอรมแนนตอนดบท n ไดโดยการใชวธการน ซ าๆ กน จนกระทงเหลออนดบนอยลงเรอยๆ จนถงอนดบ 2 กจะสามารถหาดเทอรมแนนตอนดบ n ไดตามตองการ ตวอยางท 4.7 จงหาดเทอรมแนนตโดยวธการกระจายของลาปลาส ของเมทรกซ
A =
1201
2014
3120
1012
วธทา เลอกสมาชกในสดมภท 3 ดงน A = a13 c13 + a23 c23 + a33 c33 + a43 c43
= 0 + (1)(-1)2+3 M23 + 0 + (-2)(-1)4+3 M43
= (-1)
101
214
112
+ 2
214
320
112
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 125
เพราะวา M23 =
101
214
112
เลอกสมาชกในสดมภท 2
= 1(-1)1+2
11
24 + 1(-1)2+2
11
12 + 0
= (-1)(-4)(1) – (-2)(1) + (1)(2)(1) – (1)(1) = (-1)(-2) + (1)(1) = 2 + 1 = 3
และ M43 =
214
320
112
เลอกสมาชกในสดมภท 2
= 0 + (-2)(-1)2+2
24
12
+ (3)(-1)2+3
14
12
= -2)(2)(-2) – (-4)(1) + (-3)(2)(1) – (-4)(1) = (-2)(0) + (-3)(6) = -18 ดงนน A = (-1)(3) + 2(-18) = -3 - 36 = -39 ลองตรวจคาตอบวาถกตองหรอไม โดยเลอกสมาชกในแถวท 4 ดงน A = a41 c41 + a42 c42 + a43 c43 + a44 c44 = (1)(-1)4+1 M41 + 0 + (-2)(-1)4+3 M43 + (1)(-1) 4+4 M44 = (-1) M41 + (2)M43 + M44
M41 =
201
312
101
126 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
เลอกสมาชกในสดมภท 2
= 0 + (1)(-1)2+2
21
11
+ 0
= (1)(-2) – (1)(1) = -3 M43 = -18
M44 =
014
120
012
เลอกสมาชกในสดมภท 3
= 0 + (1)(-1)2+3
14
12
+ 0
= (-1)(2)(1) – (-4)(1) = (-1)(6) = -6 ดงนน A = (-1)(-3) + 2(-18) + (-6) = 3 - 36 - 6 = -39 การหาดเทอรมแนนตโดยวธการกระจายของลาปลาส สามารถเขยนอยในรปทวไปไดโดยการกระจายในแถวใดแถวหนง หรอสดมภใดสดมภหนง ไดดงน ถา A เปนเมทรกซขนาด n n
A =
n
1jijijca (เปนการกระจายโดยเลอกแถวท i)
หรอ =
n
1iijijca (เปนการกระจายโดยเลอกสดมภท j)
4.4 สมบตของดเทอรมแนนต (Basic properties of determinants) สมบตพนฐานตอไปนเปนสมบตพนฐานของดเทอรมแนนตทกๆ อนดบ จะทาใหทราบถงความสมพนธระหวางความไมเปนอสระเชงเสนระหวางแถวตางๆ ของเมทรกซจตรส และการทดเทอรมแนนตของเมทรกซมคาเปนศนย รวมถงการหาดเทอรมแนนตของเมทรกซไดรวดเรวขน
ถา A เปนเมทรกซจตรสทมขนาด n n จะมสมบตดงน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 127
(1) ดเทอรมแนนตของเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซ A จะเทากบดเทอรมแนนตของเมทรกซ A หรอเขยนวา A = A
เชน ให A =
43
21
A = 43
21 = (1)(4) – (3)(2) = -2
และ A =
42
31
A = 42
31 = (1)(4) – (2)(3) = -2
ตวอยางท 4.8 A =
dc
ba
A = ad – cb
A =
db
ca
A = ad – bc ดงนน A = A = ad – bc
(2) ถาเมทรกซ B เปนเมทรกซทไดจากการสลบเปลยนระหวางแถว 2 แถว หรอสดมภ 2 สดมภ ของ เมทรกซ A แลวดเทอรมแนนตของเมทรกซ B จะเทากบดเทอรมแนนตของเมทรกซ A แตเครองหมายตรงกนขาม หรอ B = -A
ตวอยางท 4.9 ให A =
dc
ba
A = ad – cb ถาสลบเปลยนระหวางแถวท 1 และแถวท 2 ของเมทรกซ A
128 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
หรอ R1 R2 จะได B =
ba
dc
B = cb – ad = -ad + cb = -(ad – cb) ดงนน B = -A ตวอยางท 4.10 กาหนดให
A =
103
752
310
B =
103
310
752
C =
301
257
013
จงหา A , B , C วธทา ใชวธการกระจายของลาปลาส เลอกสมาชกของแถวท 1 ของเมทรกซ A A = 0 + 1(-1)1+2M12 + 3(-1)1+3M13
= (-1) 13
72 + 3 03
52
= (-1)(2)(1) – (3)(7) + 3(2)(0) – (3)(5) = (-1)(-19) + 3(-15) = 19 – 45 = -26 เลอกสมาชกของสดมภท 1 ของเมทรกซ B B = 2(-1)1+1M11 + 0 + 3(-1)3+1M31
= 2 10
31 + 3 31
75
= 2(1)(1) – (0)(3) + 3(5)(3) – (1)(7) = 2(1) + 3(8) = 2 + 24 = 26 เลอกสมาชกของแถวท 3 ของเมทรกซ C C = (1)(-1)3+1M31 + 0 + 3(-1)3+3M33
= 25
01 + 3 57
13
= (1)(2) – (5)(0) + 3(3)(5) – (7)(1) = 2 + 3(8) = 26
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 129
เพราะวาเมทรกซ B เปนเมทรกซทไดจากการสลบเปลยนแถวท 1 และแถวท 2 ของเมทรกซ A และ เมทรกซ C เปนเมทรกซทไดจากการสลบเปลยนสดมภท 1 และสดมภท 3 ของเมทรกซ A จงทาใหไดผลเฉลยตามสมบตของดเทอรมแนนตขอท (2) ดงน
B = -A = --26 = 26 C = -A = --26 = 26 (3) ถาเมทรกซ B เปนเมทรกซทไดจากการคณดวยคาคงท (scalar) เทากบ k กบแถวใดแถวหนงหรอ
สดมภใดสดมภหนงของเมทรกซ A ดเทอรมแนนตของเมทรกซ B จะเทากบดเทอรมแนนตของเมทรกซ A คณกบคาคงท k นน หรอ B = kA
ตวอยางท 4.11 ให A =
dc
ba
A = ad – cb และ k เปนคาคงทคณกบแถวท 1 ของเมทรกซ A ดงน
B =
dc
kbka
B = kad – kcb = k(ad – cb) ดงนน B = kA สงสาคญทตองระวงกคอ kA กบ kA แตกตางกน สาหรบ kA หมายถง การคณคาคงท k กบเมทรกซ A ดงนนทกๆ สมาชกในเมทรกซ A จะตองคณดวย k แตถา kA หมายถง การคณดเทอรมแนนต A ดวยคาคงท k ทง 2 กรณ สามารถนาไปใชเปนหลกในการนาตวรวมออกจากเมทรกซและดเทอรมแนนตได
ตวอยางท 4.12 A = d2c12
b5a18 = 36ad – 60cb
ใชวธการดงตวรวมออกจากดเทอรมแนนตไดดงน
A = 6 d2c2
b5a3 = 6(2) dc
b5a3 = 12(3ad – 5cb) = 36ad – 60cb
130 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
กาหนดให A =
kckc
kbka
สามารถดงตวหารรวมออกจากสมาชกทกตวของเมทรกซไดดงน
A = k
dc
ba
ตวอยางท 4.13 กาหนดให A =
410
231
121
B =
410
231
242
จงหา A และ B วธทา เลอกสมาชกของสดมภท 1 ของเมทรกซ A ดงนน A = 1(-1)1+1M11 + 1(-1)2+1M21 + 0
= 41
23 + (-1) 41
12 = (12 – 2) – (8 + 1) = 10 – 9 = 1
เลอกสมาชกในแถวท 3 ของเมทรกซ B B = 0 + 1(-1)3+2M32 + 4(-1)3+3M33
= (-1) 21
22 + 4 31
42 = (-1)(4 + 2) + 4(6 – 4) = -6 + 8 = 2
สาหรบเมทรกซ B จะเหนวาเปนเมทรกซทไดจากเมทรกซ A โดยการนาคาคงท 2 คณกบแถวท 1 ของเมทรกซ A ดงนน ตามสมบตของดเทอรมแนนต ขอท (3) จะได B = 2A = 2(1) = 2 (4) ถาเมทรกซ B เปนเมทรกซทไดจากเมทรกซ A โดยการเอาคาคงทคณกบแถวใดแถวหนง (หรอสดมภใดสดมภหนง) แลวนาไปบวกกบแถวอนแถวใดแถวหนง (หรอสดมภอนสดมภใดสดมภหนง) จะไมทาใหคา ดเทอรมแนนตเปลยนแปลง กลาวคอ ดเทอรมแนนตของเมทรกซ B จะเทากบดเทอรมแนนตของเมทรกซ A หรอ B = A
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 131
ตวอยางท 4.14 กาหนดให A =
dc
ba
ดาเนนการระหวางแถวโดย kR1 + R2 ของเมทรกซ A จะได
B =
bkdakc
ba
B = a(d + bk) – b(c + ak) = ad + abk – bc - abk = ad - bc
A =
dc
ba = ad – bc
ดงนน A = B ตวอยางท 4.15 กาหนดให
A =
304
120
213
B =
304
546
213
C =
384
120
273
จงหา A , B และ C วธทา เลอกสมาชกของสดมภท 2 ของเมทรกซ A ดงนน A = 1(-1)1+2M12 + 2(-1)2+2M22 + 0
= (-1) 34
10 + 2 34
23
= (-1)(0)(3) – (4)(-1) + 2(3)(3) – (4)(-2) = (-1)(4) + 2(17) = 30 เลอกสมาชกในแถวท 3 ของเมทรกซ B B = 4(-1)3+1M31 + 0 + 3(-1)3+3M33
= 4 54
21
+ 3 46
13
= 4(1)(-5) – (4)(-2) + 3(3)(4) – (6)(1) = 4(3) + 3(6) = 30
132 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
เลอกสมาชกในสดมภท 1 ของเมทรกซ C C = 3(-1)1+1M11 + 0 + 4(-1)3+1M31
= 3 38
12 + 4 12
27
= 3(2)(3) – (8)(-1) + 4(7)(-1) – (2)(-2) = 3(14) + 4(-3) = 42 – 12 = 30 ดงนน A = B = C
จากเมทรกซ A, B และ C จะเหนวา เมทรกซ B เปนเมทรกซทสมมลระหวางแถวกบเมทรกซ A เพราะไดจาก 2R1 + R2 ของเมทรกซ A และเมทรกซ C เปนเมทรกซทสมมลระหวางสดมภกบเมทรกซ A เพราะไดจาก 2C1 + C2 ของเมทรกซ A จงเปนไปตามสมบตของดเทอรมแนนตขอท (4) ทดเทอรมแนนตจะไมเปลยนแปลงไปจากเดม
จากสมบตขอท (4) น สามารถนาไปประยกตใชในการคานวณหาคาดเทอรมแนนตโดยวธการกระจายของ
ลาปลาสใหงายขน เพอใหไดสมาชกหลายตาแหนงมคาเปน 0 กอน แลวจงใชแถวหรอสดมภซงมสมาชกทมคาเปน 0 อยหลายตาแหนงนนหาคาดเทอรมแนนตตอไป ตามตวอยาง
ตวอยางท 4.16 กาหนดให A =
5934
1421
1412
0513
จงหา A
วธทา ดาเนนการระหวางแถวโดย (-1)R2 + R3
A =
5934
0813
1412
0513
ดาเนนการระหวางแถวโดย (-5)R2 + R4
=
01126
0813
1412
0513
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 133
เลอกสมาชกในสดมภท 4 ของเมทรกซ A A = 0 + 1(-1)2+4M24 + 0 + 0
=
1126
813
513
ดาเนนการระหวางแถวโดย R1 + R2
=
1126
1320
513
เลอกสมาชกในสดมภท 1 = 3(-1)1+1M11 + 0 + (-6)(-1)3+1M31
= 3 112
132
+ (-6) 132
51
= 3(2)(-11) – (-2)(-13) + (-6)(1)(-13) – (2)(-5) = 3(-48) - 6(-3) = -144 + 18 = -126
ในการตรวจสอบคาตอบวาการดาเนนการโดยการประยกตใชตามสมบตขอท (4) ของดเทอรมแนนตจะจรงหรอไม สามารถดาเนนการไดโดยใชวธการกระจายของลาปลาส กบเมทรกซขนาด 4 4 จะไดคาตอบเชนเดยวกน (5) ถาเมทรกซ A ประกอบดวยสมาชกในแถวใดแถวหนงหรอสดมภใดสดมภหนงมคาเปน 0 หมด แลวดเทอรมแนนตของเมทรกซนนจะเปนศนย หรอ A = 0
กาหนดให A =
00
ba
ดงนน A = 00
ba = a(0) – (0)b = 0
134 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 4.17 กาหนดให A =
000
542
121
จงหา A
วธทา A =
000
542
121
เลอกสมาชกของแถวท 3 = 0 + 0 + 0 = 0
ตวอยางท 4.18 กาหนดให A =
121
543
121
จงหา A
วธทา ดาเนนการระหวางแถวโดยให (-1)R1 + R3
A =
000
543
121
ตามสมบตของดเทอรมแนนตขอท (5) จะไดวา A = 0 จะสงเกตเหนวาเมทรกซ A สมาชกในแถวท 1 และแถวท 3 มสมาชกในอนดบตางๆ เหมอนกน ทาให
เมทรกซ A มความไมเปนอสระเชงเสน เมทรกซ A จงเปนเมทรกซเอกฐาน ดเทอรมแนนตของเมทรกซเอกฐาน มคาเปนศนย ตามทไดเคยอธบายในตอนตนในหวขอความหมายของดเทอรมแนนตมาแลว (6) ถาเมทรกซ A มสมาชกในแถวใดแถวหนงหรอสดมภใดสดมภหนง ทเปนผลคณของคาคงทกบแถวอนหรอสดมภอน ดเทอรมแนนตจะเปนศนย หรอ A = 0
ตวอยางท 4.19 กาหนดให A =
b2a2
ba
สมาชกในแถวท 2 ของเมทรกซ A เทากบ 2R1 A = 2ab – 2ab = 0
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 135
ตวอยางท 4.20 กาหนดให A =
642
654
321
จงหา A
วธทา เลอกสมาชกในแถวท 1 A = 1(-1)1+1M11 + 2(-1)1+2M12 + 3(-1)1+3M13
= 64
65 + (-2) 62
64 + 3 42
54
= (30 – 24) – 2(24 – 12) + 3(16 – 10) = 6 – 24 + 18 = 0 จะเหนวาเมทรกซ A มสมาชกในแถวท 3 เปน 2 เทาของสมาชกในแถวท 1 เปนไปตามสมบตขอท (6) ซง A เปนศนย หรอกลาวไดวาเมทรกซ A ไมมความเปนอสระเชงเสนจงเปนเมทรกซเอกฐาน ดเทอรมแนนตจงเปนศนย (7) ถาวธการกระจายของลาปลาสเพอหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A โดยเลอกใชสมาชกในแถวใดแถวหนงหรอสดมภใดสดมภหนง แตใชโคเฟกเตอรทผดแถวหรอสดมภนน จะทาใหดเทอรมแนนตเปนศนยเสมอโคเฟกเตอรทผดแถวหรอผดสดมภนเรยกวา เอเลยนโคเฟกเตอร (alein cofactors)
ตวอยางท 4.21 กาหนดให A =
301
025
214
จงหา A โดยวธการกระจายของลาปลาส โดยเลอกสมาชกในแถวท 1 แตใชโคเฟกเตอรของแถวท 2
วธทา A =
301
025
214
เลอกสมาชกในแถวท 1 แตใชโคเฟกเตอรแถวท 2 ดงน = 4C21 + 1C22 + 2C23
= 4(-1)2+1M21 + (-1)2+2M22 + 2(-1)2+3M23
136 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
= -4 30
21 + 31
24 - 2 01
14
= -4(3 – 0) + (12 – 2) – 2(0 – 1) = -12 + 10 + 2 = 0 4.5 การใชดเทอรมแนนตของเมทรกซตรวจสอบการเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน จากสมบตของดเทอรมแนนตบางขอไดมการเชอมโยงถงความไมเปนอสระเชงเสนของแถวหรอสดมภของเมทรกซ ซงจะมผลทาใหดเทอรมแนนตเปนศนย นน เมอนาสมบตตางๆ ของดเทอรมแนนตมาใชสาหรบการพจารณาระบบสมการเชงเสน โดยเฉพาะเมทรกซสมประสทธของระบบสมการกจะสามารถบอกไดวาเมทรกซสมประสทธเปนเมทรกซไมใชเอกฐานได
ถาใหระบบสมการเปนดงน Ax = d และเขยนอยในรปแบบเมทรกซ ดงน
104
102015
243
3
2
1
x
x
x
=
3
2
1
d
d
d
ระบบสมการเชงเสนนจะมผลเฉลยชดเดยวได ถาสมาชกแตละแถวของเมทรกซสมประสทธ A เปนอสระเชงเสน เทานน ซงกคอ A จะเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน แตสาหรบเมทรกซ A ในระบบสมการน จะพบวาสมาชกในแถวท 2 เปน 5 เทาของสมาชกในแถวท 1 แสดงวาเมทรกซ A ไมมความเปนอสระเชงเสนของแถว จงทาใหไมมผลเฉลยชดเดยว การพจารณาสมาชกของแถวทกแถววาเปนอสระเชงเสนหรอไมสาหรบกรณนสามารถพจารณาไดงายๆ เนองจากไมซบซอนแตถาใชสมบตของดเทอรมแนนตขอท (6) กจะบอกไดทนทวา A มคาเทากบ 0 แตถาสมาชกแตละแถวของเมทรกซมความซบซอนการจะพจารณาวาไมมความเปนอสระเชงเสนนนอาจจะมองไมเหนลกษณะความสมพนธเพราะอาจจะอยในรปแบบทเปนลกษณะทเขาใจ ยากหรอมความซบซอน ดงตวอยางดงน
B =
101
125
214
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 137
เมทรกซ B เปนเมทรกซทไมมความเปนอสระเชงเสน ซงสมาชกแตละแถวอยในรปแบบของความสมพนธทมความซบซอน
ถากาหนดให
101
125
214
3
2
1
v
v
v
และทราบวา 2 1v - 2v -3 3v = 0 ทาใหเกดความไมเปนอสระเชงเสน ซงการตรวจสอบดงกลาวเปนเรองยากทจะมองเหนลกษณะความสมพนธเชงเสนระหวางแถว แตถาใชสมบตของดเทอรมแนนต ตรวจดจะพบวา B = 0 การทดเทอรมแนนตมคาเปนศนยยอมแสดงวาเมทรกซนนมความสมพนธเชงเสนระหวางแถวหรอสดมภ ไมวาความสมพนธนนจะอยในรปแบบลกษณะใดๆ กตาม หรอกลาวไดวาเมทรกซไมมความเปนอสระเชงเสนระหวางแถวหรอสดมภด เทอรมแนนตของเมทรกซน นตองมคาเปนศนยเสมอ ในทานองตรงกนขาม ถาเมทรกซใดมความเปนอสระเชงเสนระหวางแถวหรอสดมภ เมทรกซนนจะมดเทอรมแนนตไมเทากบศนย จากการทอธบายมาท งหมดเกยวกบเมทรกซไมใชเอกฐานน สรปไดวาสงทสาคญทแสดงถงการเปน เมทรกซไมใชเอกฐานกคอ ความเปนอสระเชงเสนระหวางแถวหรอสดมภตางๆ ซงจะทาใหดเทอรมแนนตของเมทรกซไมเทากบศนย ดงนน ในระบบสมการเชงเสนทกาหนดให คอ
Ax = d โดยท A คอเมทรกซสมประสทธทมขนาด n n แลว A 0 แสดงวา เมทรกซ A มความเปนอสระเชงเสนระหวางแถวหรอสดมภ
ดงนน เมทรกซ A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน สามารถหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ได (หา A-1 ได) และเมอแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซนแลวจะไดผลเฉลยชดเดยว ดงน x = A-1d
138 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 4.22 กาหนดใหระบบสมการเชงเสนตอไปน จะมผลเฉลยชดเดยวหรอไม 7x1 - 3x2 - 3x3 = 7 2x1 - 4x2 + x3 = 0 - 2x2 - x3 = 2 วธทา เขยนระบบสมการเชงเสนใหอยในรปแบบของเมทรกซไดดงน
Ax = d
เมอ A =
120
142
337
หรอเมทรกซสมประสทธ
x =
3
2
1
x
x
x
d =
2
0
7
ตองตรวจสอบวาเมทรกซสมประสทธหรอเมทรกซ A เปนเมทรกซไมใชเอกฐานหรอไม ถาเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A ตองไมเทากบศนย และสามารถหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ได เมอแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซจงทาใหหาผลเฉลยชดเดยวของระบบสมการเชงเสนนได
หาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A ดวยวธการกระจายของลาปลาส โดยเลอกสมาชกแถวท 3 ดงน
A =
120
142
337
= 0 + (-2)(-1)3+2
12
37 + (-1)(-1)3+3
42
37
= 2(7 + 6) – (28 + 6) = 26 - 34 = -8 0 สรปไดวา เมทรกซ A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ทาใหระบบสมการเชงเสนมผลเฉลยชดเดยว
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 139
4.6 การใชดเทอรมแนนตของเมทรกซหาเมทรกซผกผน 4.6.1 เมทรกซโคเฟกเตอร (Co-factor matrix) หมายถง เมทรกซทมสมาชกทกตวเปนโคเฟกเตอร
ของสมาชกนนๆ ซงกคอเขยนแทน aij ดวย cij ซงเปนคาจรงคาเดยว ดงน
ถากาหนดให A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
เมทรกซโคเฟกเตอร (C) ของเมทรกซ A คอ
C =
333231
232221
131211
ccc
ccc
ccc
4.6.2 เมทรกซผกพน (Adjoint matrix) หมายถง เมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซโคเฟกเตอร จากตวอยางขางตน สามารถหาเมทรกซผกพน A หรอ Adj A ไดดงน หาเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซโคเฟกเตอร C หรอ C หรอ Ct
C =
332313
322212
312111
ccc
ccc
ccc
= Adj A
ตวอยางท 4.23 กาหนดให A =
314
625
231
จงหาเมทรกซโคเฟกเตอรของเมทรกซ A และเมทรกซผกพนของเมทรกซ A วธทา ให C คอ เมทรกซโคเฟกเตอรของเมทรกซ A และ Adj A คอ เมทรกซผกพน ของเมทรกซ A
A =
314
625
231
c11 = (-1)1+1
31
62 = (6 – 6) = 0
โดยท cij = (-1)i+j Mij
และ Mij = ไมเนอรของ aij
140 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
c12 = (-1)1+2
34
65 = -(15 – 24) = 9
c13 = (-1)1+3
14
25 = (5 – 8) = -3
c21 = (-1)2+1
31
23 = -(9 – 2) = -7
c22 = (-1)2+2
34
21 = (3 – 8) = -5
c23 = (-1)2+3
14
31 = -(1 – 12) = 11
c31 = (-1)3+1
62
23 = (18 – 4) = 14
c32 = (-1)3+2
65
21 = -(6 – 10) = 4
c33 = (-1)3+3
25
31 = (2 – 15) = -13
ดงนน C =
13414
1157
390
และ Adj A หรอ C =
13113
459
1470
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 141
4.6.3 การหาเมทรกซผกผน จากการทไดอธบายมาแลวในตอนตนของเรองเมทรกซ ทาใหทราบวา เมทรกซใดๆ จะมเมทรกซผกผนได
กตอเมอ เมทรกซนนตองเปนเมทรกซจตรส และเปนเมทรกซไมใชเอกฐานและมสมบตทสาคญคอ เมอนาเมทรกซผกผนมาคณกบเมทรกซเดมแลวจะไดผลเฉลยเปนเมทรกซเอกลกษณ นนคอ
ถาให A เปนเมทรกซจตรส มขนาด n n และเมอ A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน จะสามารถหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ได เปน A-1 ดงนน A A-1 = I = A-1A ถาเปรยบเทยบเมทรกซ A เปนจานวนจรงบวก เชน 4 เมทรกซผกผน (A-1) กคอสวนกลบของจานวนจรง
บวกนน ซงกคอ 41นนเอง และเมอนามาคณกบเลขจานวนจรงบวกเดม จะมคาเทากบ 1
สาหรบการหาเมทรกซผกผนนน มขนตอนทวไป ดงน ถา A เปนเมทรกซใดๆ 1. ตรวจสอบวา A เปนเมทรกซจตรส โดยพจารณาจากขนาดของเมทรกซเปน n n 2. ตรวจสอบวา A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน โดยการหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A ตองไมเทากบศนย หรอ A 0 3. หาโคเฟกเตอรของสมาชกทกอนดบของเมทรกซ A ทกๆ สมาชก และนามาจดเรยงเปนเมทรกซโคเฟกเตอร หรอ C = [cij]nn 4. หาเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซโคเฟกเตอร หรอเรยกวาเมทรกซผกพน หรอ Adj A
5. หาเมทรกซผกผน หรอ A-1 จากสตร A-1 = A1
Adj A
ถาตองการตรวจสอบวา เมทรกซผกผนทหาไดน ถกตองหรอไม โดยการนาเมทรกซผกผนทไดนไปคณกบเมทรกซเดม ถาไดผลเฉลยเปนเมทรกซเอกลกษณ แสดงวาการหาเมทรกซผกผนนนถกตอง ซงกคอ AA-1 = I = A-1A นนเอง
ตวอยางท 4.24 จงหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A =
01
23
วธทา 1. ตรวจสอบวา A เปนเมทรกซจตรส ซงปรากฏวา A มขนาด 2 2 2. ตรวจสอบวา A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ซง A 0 ดงน A = (3)(0) – (1)(2) = -2
142 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แสดงวา เมทรกซ A สามารถหาเมทรกซผกผนได 3. หาเมทรกซโคเฟกเตอร (C) ของเมทรกซ A ดงน c11 = (-1)1+1 (0), c12 = (-1)1+2 (1) c21 = (-1)2+1 (2), c22 = (-1)2+2 (3)
ดงนน C =
32
10
4. หาเมทรกซผกพน (Adj A) โดยการสลบเปลยนของเมทรกซโคเฟกเตอร
Adj A =
31
20
5. หาเมทรกซผกผน โดยใชสตร ดงน
A-1 = A1
Adj A = )2(
1
31
20 =
21
31
20 =
23
21
10
การตรวจสอบวาเมทรกซผกผนถกตองหรอไม โดย AA-1 = I
01
23
23
21
10 =
)23
)(0()1)(1()21
)(0()0)(1(
)23
)(2()1)(3()21
)(2()0)(3( =
10
01 = I
แสดงวาเมทรกซผกผนทหาไดถกตอง
ตวอยางท 4.25 จงหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A =
012
301
212
วธทา เพราะวา เมทรกซ A เปนเมทรกซจตรสขนาด 3 3 หาดเทอรมแนนต โดยเลอกสมาชกในแถวท 2
A = 1(-1)2+1
01
21 + 0 + 3(-1)2+3
12
12 = (-1)(0 - 2) + (-3)(2 + 2) = 2 – 12 = -10
เมทรกซ A จงเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน สามารถหาเมทรกซผกผนได โดยหาเมทรกซโคเฟกเตอร ดงน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 143
c11 = (-1)1+1
01
30 , c12 = (-1)1+2
02
31, c13 = (-1)1+3
12
01
c21 = (-1)2+1
01
21 , c22 = (-1)2+2
02
22, c23 = (-1)2+3
12
12
c31 = (-1)3+1
30
21 , c32 = (-1)3+2
31
22, c33 = (-1)3+3
01
12
C =
143
442
163
หาเมทรกซผกพน (Adj A) ไดดงน
Adj A =
141
446
323
เพราะวา A-1 = A1
Adj A
ดงนน A-1 = 101
141
446
323
=
101
104
101
104
104
106
103
102
103
4.7 การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ ในระบบสมการเชงเสน n สมการ โดยทแตละสมการเกยวของกบตวแปร n ตวแปร คอ x1, x2, …, xn ดงน
)n(dxaxaxa
)2(dxaxaxa
)1(dxaxaxa
nnnn22n11n
2nn2222121
1nn1212111
เมอ aij และ di เปนจานวน
จรงซงเปนคาคงท
144 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
เมอ i = 1, 2, 3, …, n j = 1, 2, 3, …, n ระบบสมการน เขยนอยในรปของเมทรกซไดดงน
A x = d (n n) (n 1) (n 1) โดย A เปน เมทรกซสมประสทธของตวแปร
x เปน เมทรกซของตวแปร ซงเปนสดมภเวกเตอร d เปน เมทรกซของคาคงท ซงเปนสดมภเวกเตอร
ดงนน
A =
nn2n1n
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
x =
n
2
1
x
x
x
และ d =
n
2
1
d
d
d
เรยก Ax = d วาระบบสมการเชงเสน n สมการ n ตวแปร การหาคาตอบของระบบสมการเชงเสน หมายถง การหาคาของตวแปร n ตวแปรซงสอดคลองกบสมการ n
สมการ โดยทวไปเรยกการหาคาตอบของระบบสมการเชงเสนวาการแกระบบสมการเชงเสน ซงมวธการอยหลายวธ ในบทนจะกลาวถงวธการแกระบบสมการเชงเสน 3 วธ คอ วธของเกาส-จอรดอง (guassian method) วธใชเมทรกซผกผน (inverse matrix) และวธของกฎคราเมอร (Cramer’s rule)
4.7.1 การแกระบบสมการเชงเสนโดยวธของเกาส-จอรดอง (Guassian method) การหาคาตอบของระบบสมการเชงเสน Ax = d มขนตอนดงน
1. สรางเมทรกซแตงเตม (augmented matrix) กลาวคอ นาเมทรกซ d มารวมไวกบเมทรกซ A กลายเปนเมทรกซแตงเตม A:d หรอ [A:d] ทมขนาด n (n+1)
2. ดาเนนการโดยใชวธปฏบตการของเมทรกซกบเมทรกซแตงเตม ดงน - การสลบแถว i กบแถว j เขยนแทนดวย Ri Rj - การคณแถว i ดวยจานวนจรง k ท k 0 เขยนแทนดวย Ri kRi - การแทนทแถว j ดวย k เทาของแถว i บวกกบแถว j เขยนแทนดวย Rj kRi + Rj การปฏบตการของเมทรกซดงกลาวน เพอเปลยนใหเปนเมทรกซเอชลอนแบบแถว กลาวคอ การปฏบตการ
ของเมทรกซเพอเปลยนเมทรกซแตงเตม [A:d] ใหเปนเมทรกซแตงเตม [B:c] โดยพยายามทาให B เปนเมทรกซ
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 145
เอกลกษณขนาดเดยวกบ A แลว จะไดวา c คอคาตอบของระบบสมการ Ax = d ซงระบบสมการทไดจากการปฏบตการทง 3 วธขางตน จะเปนระบบสมการทสมมลกนและมคาตอบเดยวกน
แตถา B ไมเปนเมทรกซเอกลกษณแลว ใหพจารณาแถวสดทายของเมทรกซแตงเตม [B:c] ถาแถวสดทายประกอบดวยสมาชกทเปน 0 หมดทกตว จะไดวาระบบสมการนมหลายคาตอบ แตถาแถวสดทายของ B ประกอบดวยสมาชกทเปน 0 หมด แตมสมาชกตาแหนงสดทายของ c ไมเปน 0 แลว จะไดวาระบบสมการนไมมคาตอบ ตวอยางท 4.26 จงแกระบบสมการตอไปน ดวยวธของเกาส-จอรดอง 2x1 - x2 = 5 x1 + 3x2 = -1 วธทา เขยนระบบสมการใหอยในรปแบบของเมทรกซดงน A x = d (2 2) (2 1) (2 1)
31
12
2
1
x
x =
1
5
ขนตอนท 1 สรางเมทรกซแตงเตม [A:d] มขนาด 2 (2 + 1)
1
5
31
12
ขนตอนท 2 ใชปฏบตการแบบแถวของเมทรกซกบเมทรกซแตงเตม [A:d] เพอเปลยนใหเปนเมทรกซเอชลอน แบบแถว ดงน
1
5
31
12
1R
21
125
3121
1
21 RR
27
25
27
021
1
146 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
1R72
125
1021
1
12 RR
21
1
2
10
01
จะเหนวาเปลยน [A : d] เปน [B : c] โดย B เปนเมทรกซเอกลกษณทมขนาดเทากบเมทรกซ A คอ 2 2 และ c จะเปนคาตอบของระบบสมการดงน
10
01
2
1
x
x =
1
2
ดงนน
2
1
x
x =
1
2
จะไดวา x1 = 2 และ x2 = -1 ตวอยางท 4.27 จงแกระบบสมการตอไปน ดวยวธของเกาส-จอรดอง 3x + 2y + 5z = 2 2x + 4z = 2 x + 3y - z = -2 วธทา เขยนระบบสมการในรปเมทรกซ ไดดงน A x = d
131
402
523
z
y
x
=
2
2
2
ขนตอนท 1 สรางเมทรกซแตงเตม [A:d] ดงน
2
2
2
131
402
523
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 147
ขนตอนท 2 ใชปฏบตการแบบแถวของเมทรกซกบเมทรกซแตงเตม [A:d] เพอเปลยนใหเปนเมทรกซเอชลอน แบบแถว ดงน
2
2
2
131
402
523
31 RR
2
2
2
523
402
131
21 RR2
2
6
2
523
660
131
31 RR3
8
6
2
870
660
131
2R61
8
1
2
870
110
131
12 RR3
8
1
1
870
110
201
32 RR7
1
1
1
100
110
201
13 RR2
1
1
1
100
110
001
148 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
23 RR
1
0
1
100
010
001
เปลยน [A : d] เปน [B : c] โดย B เปนเมทรกซเอกลกษณอนดบ 3 ขนาดเทากบเมทรกซ A เขยนในรปแบบเมทรกซผลคณไดดงน
100
010
001
z
y
x
=
1
0
1
จะไดวา x = -1, y = 0 และ z = 1 4.7.2 การแกระบบสมการเชงเสนโดยการใชเมทรกซผกผน จากการศกษาเมทรกซ รวมถงเงอนไขและสมบตของเมทรกซผกผนไปแลว สามารถนาแนวคดของเมท
รกซและแนวคดของเมทรกซผกผนไปประยกตกบการแกระบบสมการเกยวเนองไดดงตวอยาง กาหนดใหระบบสมการเชงเสนเปนดงน 6x1 + 3x2 + x3 = 22 x1 + 4x2 - 2x3 = 12 4x1 - x2 + 5x3 = 10 ตองการหาคาของ x1 x2 และ x3 โดยการใชเมทรกซ จากระบบสมการเชงเสนสามารถเขยนอยในรปแบบของเมทรกซไดดงน
ให A =
514
241
136
x =
3
2
1
x
x
x
d =
10
12
22
หรอเขยนใหมแทนระบบสมการเชงเสนไดวา A x = d
ขนาดเมทรกซ (3 3) (3 1) (3 1) ถานาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A หรอ A-1 คณสมการนทงดานซายและขวาโดยให A-1 เปนเมทรกซ
ตวนาของผลคณ ดงน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 149
A-1Ax = A-1d แตเนองจาก A-1A = A A-1 = I ตามสมบตของเมทรกซผกผนจะไดวา Ix = A-1d และ IA = AI = A ตามสมบตของเมทรกซเอกลกษณ ดงนน x = A-1 d (3 1) (3 3) (3 1) ดานซายมอของสมการเปนเมทรกซ x ซงเปนเวกเตอรสดมภของตวแปรและทางดานขวามอของสมการเปนผลเฉลย ซงเปนเวกเตอรสดมภของจานวนททราบคาแนนอน ดงนนจากความหมายของการเทากนของเมทรกซหรอเวกเตอรตามสมการขางตนจะไดคาของตวแปรตางๆ ในระบบสมการเชงเสนนน แตเนองจาก A-1 เปนเมทรกซผกผนทเปนเมทรกซเดยว ทาใหผลคณของ A-1d ตองเปนเวกเตอรของคาของผลเฉลยทมเพยงเวกเตอรเดยวดวย ถาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A คานวณไดดงน
A-1 =
211817
132613
101618
521
ดงนน
3
2
1
x
x
x
=
211817
132613
101618
521
10
12
22
=
1
3
2
จะไดคาตอบของตวแปรทง 3 ดงน x1 = 2 x2 = 3 x3 = 1
สรปไดวา การแกปญหาของระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ จะไดความสมพนธของเมทรกซ ดงน Ax = d
ถา เมทรกซสมประสทธของตวแปรหรอเมทรกซ A เปนเมทรกซไมใชเอกฐานซงสามารถหาเมทรกซผกผนของ A ได (A-1) x เปนเวกเตอรสดมภของตวแปรในระบบสมการเชงเสน d เปนเวกเตอรสดมภของคาคงทของระบบสมการเชงเสน
เมอหา A-1 หรอเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ไดแลว จงนาไปคณกบเวกเตอร d โดยให A-1 เปนเมทรกซตวนาของผลคณ ผลเฉลยของผลคณ A-1d กคอคาของตวแปรทเปนคาตอบทตองการนนเอง
150 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
A-1Ax = A-1d เพราะวา A-1A = I (ตามสมบตของเมทรกซผกผน)
ดงนน x = A-1d ตวอยางท 4.28 จงแกระบบสมการเชงเสนดวยการใชเมทรกซผกผน 2x + y -3z = -5 -x + 4y + 3z = 16 5x - y + 2z = 9 วธทา เขยนระบบสมการเชงเสนใหอยในรปแบบของเมทรกซ ดงน Ax = d
215
341
312
z
y
x
=
9
16
5
หาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A เพอตรวจสอบวา A เปนเมทรกซไมใชเอกฐานโดย A 0 เลอกสมาชกในแถวท 1 ดงน
A = 2(-1)1+1
21
34
+ (1)(-1)1+2
25
31 + (-3)(-1)1+3
15
41
= 2(8 + 3) – (-2 - 15) - 3(1 - 20) = 22 + 17 + 57 = 96 ดงนน A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน สามารถหาเมทรกซผกผนได หาเมทรกซโคเฟกเตอร ของเมทรกซ A ดงน
c11 = (-1)1+1
21
34
= 8 + 3 = 11
c12 = (-1)1+2
25
31 = -(-2 - 15) = 17
c13 = (-1)1+3
15
41
= 1 – 20 = -19
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 151
c21 = (-1)2+1
21
31
= -(2 – 3) = 1
c22 = (-1)2+2
25
32 = 4 + 15 = 19
c23 = (-1)2+3
15
12
= -(-2 – 5) = 7
c31 = (-1)3+1
34
31 = 3 + 12 = 15
c32 = (-1)3+2
31
32
= -(6 – 3) = -3
c33 = (-1)3+3
41
12
= 8 + 1 = 9
ดงนน C =
9315
7191
191711
หาเมทรกซผกพน (Adj A) โดยการสลบเปลยนเมทรกซโคเฟกเตอร
Adj A =
9719
31917
15111
หาเมทรกซผกผนโดยใชสตร ดงน
A-1 = A1
Adj A = 961
9719
31917
15111
=
969
967
9619
963
9619
9617
9615
961
9611
152 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
เพราะวา x = A-1d
z
y
x
=
969
967
9619
963
9619
9617
9615
961
9611
9
16
5
=
969
9967
169619
5
963
99619
169617
5
9615
9961
169611
5
=
968111295
962730485
961351655
=
3
2
1
ดงนน x = 1 y = 2 z = 3 4.7.3 การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชกฎของคราเมอร
การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ ซงมระบบสมการดงน Ax = d โดย A เปนเมทรกซจตรส ซงแสดงวาจานวนสมการเทากบจานวนตวแปร กาหนดใหมขนาด n n
การหาคาตอบของการแกสมการอาจใชดเทอรมแนนต ตามกฎของคราเมอรได ซงเรยกวา Cramer’s rule ทมาของกฎน มาจากวธการแกระบบสมการโดยใชเมทรกซผกผน ดงน x = A-1 d
เพราะวา A-1 = A1
Adj A
ดงนน x = A1
Adj Ad
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 153
n
2
1
x
x
x
=
A1
nnn2n1
2n2212
1n2111
ccc
ccc
ccc
n
2
1
d
d
d
= A1
nnnn22n11
2nn222121
1nn212111
cdcdcd
cdcdcd
cdcdcd
= A1
n
1iini
n
1i2ii
n
1i1ii
cd
cd
cd
เมทรกซ 2 เมทรกซเทากน จะไดวาสมาชกของเมทรกซทอยในอนดบเดยวกนยอมเทากนจะไดคาตอบของระบบสมการดงน
n
1iinin
n
1i2ii2
n
1i1ii1
cdA1
x
cdA1
x
cdA1
x
154 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
เพราะวาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A คอ
nn2n1n
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
การหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A โดยวธการกระจายของลาปลาส โดยเลอกสมาชกในสดมภท 1 ของเมทรกซ A ดงน
A = a11c11 + a21c21 + … + an1cn1
=
n
1i1i1i ca
ถาแทนทสดมภท 1 ของ A ดวยเมทรกซ d หรอเวกเตอรสดมภ d แตใหสดมภอนๆ คงท ดงน
1A =
nn2nn
n2222
n1121
aad
aad
aad
จะไดดเทอรมแนนตใหม ถาเลอกสมาชกในสดมภท 1 โดยการกระจายของลาปลาส ดงน
1A = d1c11 + d2c21 + … + dncn1
=
n
1i1iicd
ในทานองเดยวกน ถาแทนทสดมภท 2 ของ A ดวยเวกเตอรสดมภ d และสดมภอนๆ คงท แลวกจะไดดเทอรมแนนตใหม ถาเลอกสมาชกในสดมภท 2 โดยวธการกระจายของลาปลาส
2A = d1c12 + d2c22 + … + dncn2
=
n
1i2ii cd
ในทานองเดยวกน กจะได
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 155
n
1iinin
n
1i3ii3
cdA
cdA
ผลเฉลยของการแกระบบสมการคานวณไดดงน
nn
22
11
AA1
x
AA1
x
AA1
x
หรอเขยนในรปแบบทวไปไดวา ผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนตวแปรท j หรอ xj หาคาตอบไดโดยการแทนทสดมภท j ใน A ดวยเวกเตอรสดมภ d ซงเปนคาคงทของระบบสมการเพอจะไดดเทอรมแนนตใหม คอ
jA แลวหารดวย A กจะไดผลเฉลย ดงน
xj = A
A j
เมอ xj = ตวแปรท j A = ดเทอรมแนนตของเมทรกซสมประสทธของตวแปร
jA = ดเทอรมแนนตของเมทรกซซงกาหนดขนใหมจากเมทรกซ A โดยการแทนทสมาชกใน
สดมภท j ดวยสมาชกของเวกเตอรสดมภ d สรปขนตอนการแกระบบสมการเชงเสนโดยใชกฎของคราเมอร 1. หาคาดเทอรมแนนต A
2. ถา A 0 แลว จะหา x =
n
2
1
x
x
x
ไดโดยท xj =
A
A j
156 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
3. ถา A = 0 โดยม jA 0 อยางนอยหนงคาแลว จะไดวาระบบสมการ Ax = d ไมมคาตอบ
4. ถา A = 0 โดยม jA = 0 ทกคาของ j = 1, 2, 3, …, n แลวจะไดวาระบบสมการ Ax = d มหลาย
คาตอบ ตวอยางท 4.29 จงแกระบบสมการตอไปน โดยใชกฎของคราเมอร 3x1 + 2x2 = 1 x1 + 4x2 = 2 วธทา นาระบบสมการเชงเสนเขยนอยในรปของเมทรกซ ไดดงน
A =
41
23 x =
2
1
x
x d =
2
1
เพราะวา Ax = d
ดงนน
41
23
2
1
x
x =
2
1
หาคาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A
A =
41
23 = 12 – 2 = 10
โดยท 1A =
42
21 = 4 – 4 = 0
2A =
21
13 = 6 – 1 = 5
ดงนน x1 = AA1 =
100
= 0
x2 = AA 2 =
105
= 21
ตวอยางท 4.30 จงแกระบบสมการเชงเสนตอไปน โดยใชกฎของคราเมอร 3x + 2y - z = 9 2x - y + 4z = 13
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 157
7x + y - 5z = 12 วธทา นาระบบสมการเชงเสน เขยนอยในรปของเมทรกซ ดงน Ax = d
517
412
123
z
y
x
=
12
13
9
หาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A
A =
517
412
123
เลอกสมาชกในสดมภท 2
= 2(-1)1+2
57
42
+ (-1)(-1)2+2
57
13
+ 1(-1)3+2
42
13
= -2(-10 - 28) – (-15 + 7) - (12 + 2) = 36 + 8 - 14 = 70
โดยท 1A =
5112
4113
129
เลอกสมาชกในสดมภท 2
= -2 512
413
- 512
19
- 413
19
= -2(-65 - 48) – (-45 + 12) - (36 + 13) = 226 + 33 - 49 = 210
2A =
5127
4132
193
เลอกสมาชกในสดมภท 2
158 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
= -9(-10 - 28) + 13(-15 + 7) - 12(12 + 2) = 342 – 104 - 168 = 70
3A =
1217
1312
923
เลอกสมาชกในสดมภท 2 = -2(24 - 91) - (36 - 63) - (39 – 18) = 134 + 27 – 21 = 140
ดงนน x = A
A1 = 70210
= 3
y = A
A2 = 7070
= 1
z = A
A3 = 70
140 = 2
4.8 ผลเฉลยกรณตางๆ ของการแกระบบสมการเชงเสน ตามทไดอธบายถงวธการแกระบบสมการดวยวธการตางๆ กน นน ไดแสดงใหเหนถงเฉพาะกรณทจานวนสมการเทากบจานวนตวแปร และคาลาดบชนของเมทรกซ (rank of matrix หรอ r) ของเมทรกซสมประสทธเทากบจานวนตวแปรในระบบสมการ (n) ซง r = n กตอเมอเมทรกซนนตองเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน กรณดงกลาวนระบบสมการจะมผลเฉลยชดเดยวเปนคาตอบทตองการ
โดยทวไป เมทรกซสมประสทธของตวแปรหรอเมทรกซ A ในระบบสมการเชงเสน Ax = d น น จะแบงเปน 2 ประเภท คอ มจานวนสมการเทากบจานวนตวแปร หรอเมทรกซ A มขนาด n n และประเภททสอง คอ มจานวนสมการไมเทากบจานวนตวแปรหรอเมทรกซ A มขนาด m n ในทนจะกลาวถงกรณทมจานวนสมการเทากบจานวนตวแปรเทานน
ระบบสมการเชงเสนทมจานวนสมการเทากบจานวนตวแปร ม 2 กรณ คอ เมทรกซ d 0 และเมทรกซ d = 0 4.8.1 กรณแรก เมอเมทรกซ d 0 ระบบสมการนเรยกวา non-homogeneous equation system ถาระบบสมการนเขยนในรปแบบเมทรกซ ไดดงน
Ax = d โดย A เปนเมทรกซสมประสทธของตวแปร มขนาด n n
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 159
x และ d เปนเวกเตอรสดมภ มขนาด n 1 กรณนจะแบงออกเปน 2 ประเภท คอ 1) เมทรกซ A มคาลาดบชน (r) เทากบจานวนตวแปร (n) หรอ r = n การทเมทรกซ A จะม r = n ได
กตอเมอ A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ดงนน A 0 ถาเปนไปตามลกษณะดงกลาวน ระบบสมการจะมผลเฉลยชดเดยวดงตวอยางการแกระบบสมการดวยวธการตางๆ ทไดอธบายมากอนหนาน
2) เมทรกซ A มคาลาดบชน (r) นอยกวาจานวนตวแปร (n) หรอ r n แสดงวาเมอใชการปฏบตการของเมทรกซโดยเปลยนเมทรกซ A ใหเปนเมทรกซเอชลอนแบบแถวแลว จะมบางแถวอยางนอย 1 แถวทมสมาชกในแถวเปน 0 ทงหมด ซงการแกระบบสมการโดยวธของเกาส-จอรดอง จะชวยทาใหสามารถหาผลเฉลยได ผลเฉลยทไดไมใชผลเฉลยชดเดยวแตเปนผลเฉลยทอาจมหลายคาตอบ หรออาจจะไมมคาตอบ ซงขนอยกบเงอนไขคอ ถาเมทรกซแตงเตม [A : d] เปลยนเปนเมทรกซแตงเตม [B : c] แลว B ไมไดเปนเมทรกซเอกลกษณ ใหพจารณา แถวนอนสดทายของเมทรกซแตงเตม [B : c] ดงน :- ถาแถวนอนของเมทรกซแตงเตม [B : c] ประกอบดวยสมาชกทเปน 0 ทงหมด ระบบสมการจะไดผลเฉลยหลายคาตอบ
:- แตถาแถวนอนสดทายของเมทรกซ B ประกอบดวยสมาชกทเปน 0 ทงหมด แตมสมาชกตาแหนงสดทายของ c ไมเปน 0 แลว ระบบสมการจะไมมคาตอบ
หรอกลาวอกอยางหนงไดวากรณนเมทรกซ A เปนเมทรกซเอกฐาน A จะเทากบ 0 เมอทาการแกระบบสมการดวยวธการตามกฎของคราเมอร จะไมสามารถหาคาตอบซงเปนผลเฉลยชดเดยวได ดงน
เพราะวา xj = A
A j
= 0
A j ไมสามารถหาคาตอบได (undefined)
ถา Aj 0 อยางนอย 1 คาแลว จะไดวาระบบสมการ Ax = d จะไมมคาตอบ แตถา Aj 0 ทกคาของ j = 1, 2, 3, …, n แลว จะไดวาระบบสมการ Ax = d มหลายคาตอบ ดงนนการแกระบบสมการ เมอเมทรกซ A เปนเมทรกซเอกฐาน กรณมหลายคาตอบ จงควรใชวธการของเกาส-จอรดอง กจะชวยทาใหหาผลเฉลยทมหลายคาตอบได
4.8.2 กรณทสอง เมอเมทรกซ d = 0 ระบบสมการนเรยกวา homogeneous equation system ถาระบบสมการเขยนอยในรปแบบของเมทรกซ ไดดงน
Ax = d
160 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
โดย A เปนเมทรกซสมประสทธของตวแปรมขนาด n n x เปนเวกเตอรสดมภ มขนาด n 1 และ d เปนเวกเตอรศนยทมขนาด n 1 กรณนจะแบงออกเปน 2 ประเภท คอ
1) เมทรกซ A มคาลาดบชน (r) เทากบจานวนตวแปร (n) หรอ r = n หรอเมทรกซ A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน
กรณดงกลาวน ผลเฉลยของตวแปรทกตวมคาเทากบศนย และเรยกผลเฉลยนวาเปนผลเฉลยทรฟเอยล (trivial solution) กลาวคอ x1 = x2 = … xn = 0 เพราะวา เมอ A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน ทาใหสามารถหา A-1 ได
ดงนน x = A-1d แต d = 0 จะได x = 0 หรอการหาผลเฉลยโดยใชวธของคราเมอร เมอ d = 0 แสดงวา Ajสาหรบทกๆ สดมภท j จะม
สมาชกในสดมภนนเปนศนยหมด ทาให Aj = 0
ดงนน xj = A
A j = A0
= 0 (เมอ j = 1, 2, 3, …, n) 2) เมทรกซ A มคาลาดบชน (r) นอยกวาจานวนตวแปร (n) หรอ r n หรอเมทรกซ A เปนเมทรกซ
เอกฐาน ผลเฉลยทไดจะเปน นอน-ทรฟเอยล (non-trivial solution) แตจะมผลเฉลยจานวนไมจากดไมสามารถหาคาตอบได เพราะถา A เปนเมทรกซเอกฐานแลว A = 0
การแกระบบสมการดวยวธของคราเมอร จะได xj = A
A j
หรอ xj = 00
0 ไมสามารถหาคาตอบได
ดวยเหตนการหาผลเฉลยดวยวธของคราเมอร จงไมสามารถนามาใชหาคาตอบได เพราะไมสามารถหาผลเฉลยชดเดยวได เนองจากมหลายคาตอบ (infinite) ตองใชวธการของเกาส-จอรดอง
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 161
ตวอยางท 4.31 จงหาผลเฉลยของระบบสมการตอไปน x1 + x2 + x3 = 2 x1 - 2x2 - 2x3 = -1 x1 + 2x2 + 2x3 = 1 วธทา เขยนระบบสมการใหอยในรปแบบของเมทรกซไดดงน
Ax = d
221
221
111
3
2
1
x
x
x
=
1
1
2
ตรวจสอบเมทรกซ A โดยการหา A
A =
221
221
111
ใชวธการกระจายของลาปลาส โดยเลอกสมาชกในแถวท 1
A = (-1)1+1
22
22 + (-1)1+2
21
21 + (-1)1+3
21
21
= (-4 + 4) – (2 + 2) + (2 + 2) = 0 – 4 + 4 = 0 A เปนเมทรกซเอกฐาน ไมมผลเฉลยชดเดยว ไมสามารถหาคาตอบได แตถาตองการรคาตอบ จะตองใชวธของเกาส-จอรดอง ดงน สรางเมทรกซแตงเตม คอ [A :d] และดาเนนการปฏบตการของเมทรกซเพอเปลยนเมทรกซ A ใหเปนเมทรกซเอชลอนแบบแถว ดงน
1
1
2
221
221
111
21 RR
1
2
1
221
111
221
162 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
21 RR)1(
1
3
1
221
330
221
31 RR)1(
2
3
1
440
330
221
2R31
2
1
1
440
110
221
12 RR2
2
1
1
440
110
001
3RR)4( 2
2
1
1
000
110
001
จากเมทรกซแตงเตม [A : d] เปน [B : c] จะเหนวาเมทรกซ B ไมใชเมทรกซเอกลกษณและมสมาชกแถวนอนสดทายเปน 0 หมด แตเมทรกซ c สมาชกแถวนอนสดทายไมเปนศนยสรปไดวาระบบสมการจะไมมคาตอบ ดงน เขยนเมทรกซแตงเตมใหมใหกลบไปอยในรปของเมทรกซผลคณไดดงน
000
110
001
3
2
1
x
x
x
=
2
1
1
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 163
หาผลคณของเมทรกซดวยเมทรกซทางดานซายมอของสมการ
0
xx
x
32
1
=
2
1
1
จะไดวา x1 = 1 x2 + x3 = 1 และ 0 = -2 ซงผลเฉลยนเปนไปไมได จงสรปไดวาระบบสมการน ไมมคาตอบ
ตวอยางท 4.32 จงหาผลเฉลยของระบบสมการตอไปน -x1 + x2 + 2x3 = 1 -x1 + 2x2 + x3 = -3 x1 - 2x2 - x3 = 3 วธทา เขยนระบบสมการใหอยในรปแบบของเมทรกซไดดงน
Ax = d
121
121
211
3
2
1
x
x
x
=
3
3
1
หาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A โดยวธการกระจายของลาปลาส โดยเลอกสมาชกในสดมภท 1
A = (-1)(-1)1+1
12
12
+ (-1)(-1)2+1
12
21
+ (-1)3+1
12
21
= -(-2 + 2) + (-1 + 4) + (1 - 4) = +3 -3 = 0 A เปนเมทรกซเอกฐาน ไมมผลเฉลยชดเดยว ใชวธการของเกาส-จอรดอง ดงน สรางเมทรกซแตงเตม คอ [A :d] และดาเนนการปฏบตการของเมทรกซเพอเปลยนเมทรกซ A ใหเปนเมทรกซเอชลอนแบบแถว ดงน
164 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
3
3
1
121
121
211
21 RR
3
1
3
121
211
121
31 RR
3
1
3
121
211
121
31
21
RR1
RR1
0
4
3
000
110
121
2R)1(
0
4
3
000
110
121
12 RR2
0
4
5
000
110
301
จากเมทรกซแตงเตม [A : d] เปน [B : c] จะเหนวาเมทรกซ B ไมใชเมทรกซเอกลกษณและเมทรกซแตงเตม [B : c] มสมาชกแถวนอนสดทายเปน 0 หมด ระบบสมการจะไดผลเฉลยหลายคาตอบ เมอเขยนในรปของเมทรกซผลคณไดดงน
000
110
301
3
2
1
x
x
x
=
0
4
5
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 165
หาผลคณของเมทรกซดวยเมทรกซทางซายมอของสมการ เปนดงน
0
xx
x3x
32
31
=
0
4
5
จะไดวา x1 – 3x3 = -5 x2 - x3 = -4
และ 0 = 0 เปนจรงเสมอ จะไดวา x1 = -5 + 3x3 และ x2 = -4 + x3 ระบบสมการนมหลายคาตอบ เมอกาหนดให x3 เทากบ a ซงเปนจานวนจรงใดๆ จะไดวา
3
2
1
x
x
x
=
a
a4
a35
=
0
4
5
+ a
1
1
3
เมอ a เปนจานวนจรงใดๆ
เชน ถา a = 1 จะไดวา x1 = -5 + 3 = -2 x2 = -4 + 1 = -3 x3 = 1 ถา a = 2 จะไดวา x1 = -5 + 6 = 1 x2 = -4 + 2 = -2 x3 = 2
166 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แบบฝกหดบทท 4 1. จงคานวณหาคาดเทอรมแนนตของเมทรกซตอไปน
1.1 A =
64
96 1.6 A =
197
812
563
1.2 B =
97
46 1.7 B =
164
529
3012
1.3 C =
1815
139 1.8 C =
967
253
060
1.4 D =
525
1040 1.9 D =
306
104
318
1.5 E =
65
43
21
1.10 E =
963
574
321
2. จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซตอไปนดวยวธการกระจายของลาปลาส
2.1 A =
1209
652
9715
2.4 D =
328
306
204
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 167
2.2 B =
967
253
060
2.5 E =
2343
4121
1523
5142
2.3 C =
306
104
318
2.6 F =
8050
1061
6432
9021
3. จงใชดเทอรมแนนต
933
711
102 ตรวจสอบตามสมบต 4 ขอแรกของดเทอรมแนนต
4. จงทดสอบวาเมทรกซใดเปนเมทรกซไมใชเอกฐาน [ขอเสนอแนะ : A 0]
4.1 A =
745
3119
104
4.3 C =
4313
411
017
4.2 B =
307
065
124
4.4 D =
6810
103
597
5. จงหาเมทรกซผกผนของเมทรกซตอไปน
5.1 A =
10
25 C =
13
77 E =
78
1524
B =
29
01 D =
30
67 F =
126
97
168 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
5.2 A =
102
337
124
C =
010
100
001
B =
204
301
211
D =
100
010
001
6. จงแกระบบสมการตอไปน โดยใชกฎของคราเมอร 6.1 3x1 – 2x2 = 11 6.3 -x1 + 3x2 = -3 2x1 + x2 = 12 4x1 - x2 = 12 6.2 -8x1 – 7x2 = -6 6.4 6x1 + 9x2 = 15 x1 + x2 = 3 7x1 - 3x2 = 4 7. ในแตละระบบสมการของขอ 6 ใหหาเมทรกซผกผนของเมทรกซสมประสทธ และหาผลเฉลยของระบบ
สมการเชงเสนโดยใชเมทรกซผกผน [ขอเสนอแนะ : x = A-1d] 8. จงหาผลเฉลยของระบบสมการตอไปน โดยใชกฎของคราเมอร 8.1 8x1 – x2 = 15 8.3 4x + 3y – 2z = 7 x2 + 5x3 = 1 x + y = 5 2x1 + 3x3 = 4 3x + z = 4 8.2 -x1 + 3x2 + 2x3 = 2 8.4 -x + y + z = a x1 + x3 = 6 x – y + z = b 5x2 - x3 = 8 x + y - z = c 9. จากโจทยขอ 8 จงแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซผกผน [ขอเสนอแนะ: x = A-1d]
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 169
บทท 5 การประยกตฟงกชน เมทรกซและการแกระบบสมการ ในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร
ในบทนเปนการประยกตฟงกชน เมทรกซและการแกระบบสมการในการวเคราะหแบบจาลองทางเศรษฐศาสตรโดยเปนการประยกตในกรณของการวเคราะหดลยภาพเชงสถตย หรอการวเคราะหดลยภาพสภาพนงซงเปนการพจารณาวาเมอเกดภาวะสมดลแลว มแนวโนมจะหยดนงหรอมการปรบตวใหเขาสสภาวะนตลอดไปจนกวาจะมการเปลยนแปลงในตวแปรภายในของแบบจาลอง ในบทนจะเปนวเคราะหดลยภาพของตลาด เมอกาหนดเงอนไขของอปสงคและอปทาน และดลยภาพของรายไดประชาชาตภายใตเงอนไข การบรโภคและ การลงทน 5.1 ดลยภาพสวนยอยของตลาด (Partial market equilibrium) 5.1.1 กรณแบบจาลองเชงเสน (A linear model)
สาหรบการวเคราะหดลยภาพเชงสถตย ปญหาสาคญกคอการหาคาของเซตของตวแปรภายในททาใหเกดเงอนไขดลยภาพในแบบจาลอง ในกรณของแบบจาลองของตลาด ฟงกชนหรอสมการคณตศาสตรของแบบจาลอง จะเปนสมการอปสงคและสมการอปทาน โดยกาหนดใหอปสงคและอปทานขนอยกบปจจยราคา เพยงปจจยเดยวและถอวาปจจยอนๆ ไมเปลยนแปลงหรอมคาคงท การวเคราะหดงกลาวจงเปนการวเคราะหดลยภาพสวนยอย
1) โครงสรางของแบบจาลอง ในตลาดสนคาชนดใดชนดหนง แบบจาลองของตลาดประกอบดวยตวแปร 3 ตวแปร ดงน Qd หมายถง ปรมาณความตองการบรโภคสนคา หรอปรมาณอปสงค Qs หมายถง ปรมาณการเสนอขายสนคา หรอปรมาณอปทาน P หมายถง ราคา เงอนไขสาคญของการวเคราะหดลยภาพของตลาดกคอ อปสงคสวนเกนเปนศนย หรอ Qd – Qs เทากบ
ศนย แตกอนทจะทาการวเคราะห ควรจะตองทาความเขาใจในลกษณะของเสนอปสงคและเสนอปทาน รวมถงรปแบบของฟงกชนอปสงคและอปทานเสยกอน
170 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
2) เสนอปสงค (demand curve) เสนอปสงคสาหรบสนคาชนดใดชนดหนง สมมตใหเปนสนคา x เปนเสนทแสดงความสมพนธ
ระหวางปรมาณสนคาทตองการบรโภค และปจจยทมอทธพลตอความตองการบรโภคสนคานน เชน ราคาสนคาชนดนน (Px) รายได (Y) ราคาสนคาชนดอนทเกยวของ (Py) เปนตน และสามารถเขยนอยในรปแบบของฟงกชน อปสงคไดดงน Qd = f(Px , Y, Py)
แตถาสนใจตวแปรอสระเพยงตวแปรเดยว คอ ราคาสนคาชนดนนๆ (Px) และถอวาตวแปรอนๆ คงท ไมเปลยนแปลง ฟงกชนอปสงคจะเขยนใหมไดเปน Qd = f(P) หรออาจจะเขยนในรปแบบ P = g( Qd) หรอ F( Qd, P) = 0 กได
ถาเขยนฟงกชนในรปแบบ Qd = f(P) การอธบายดวยเรขาคณตในลกษณะเสนกราฟมกจะกาหนดใหตวแปรทางดานขวามอของสมการเปนแกนนอน และตวแปรทางดานซายมอของสมการเปนแกนตง จากฟงกชนดงกลาว จงใหแกนนอนเปน P (ตวแปรอสระ) และแกนตงเปน Qd (ตวแปรตาม) แตถาเขยนฟงกชนในรปแบบ P = g( Qd) จะกาหนดให Qd เปนแกนนอนและ P เปนแกนตง กรณดงกลาวนถอไดวา ทง f และ g เปนฟงกชนผกผนซงกนและกน
ในกรณน กาหนดใหเสนอปสงคเปนฟงกชนเชงเสนของ P เขยนในรปแบบสมการได ดงน Qd = a – bP เมอ a > 0 และ b > 0 a หมายถง สวนตดแกนตง หรอแกน Qd b หมายถง คาความชนของเสนอปสงค เครองหมายหนา b ตองเปนลบ เพอแสดงถงทศทาง
การเปลยนแปลงของราคาและปรมาณอปสงคเปนไปในทศทางตรงกนขามตามกฎของอปสงค ตามภาพท 5.1 (ก)
ภาพท 5.1 เสนอปสงคของสนคาชนดหนง
สาหรบภาพท 5.1 (ข) เขยนฟงกชนอปสงคในรปแบบ P = g( Qd) หรอเขยนสมการใหมไดดงน Qd = a – bP bP = a - Qd
a
0 P
Qd
Qd = a - bP
ก
ba
0 Qd
P
P = ba
- b1
Qd
ข
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 171
P = ba
-b1
Qd
เมอ ba
หมายถง สวนตดแกนตงหรอแกน P
b1
หมายถง สวนกลบคาความชนของเสนอปสงค Qd
[คาความชนของเสนอปสงคเมอ P อยในแกนตง และ Q อยในแกนนอน คอ dQdP
] โดยทวไปเมอกลาวถง
เสนอปสงคจะนยมเขยนในรปแบบของ Qd = f(P) แตการเขยนรปอธบายเชงเรขาคณตของฟงกชนอปสงค มกกาหนดให Qd เปนแกนนอนและ P เปนแกนตง ดงน
ภาพท 5.2 ฟงกชนอปสงค Qd = f(P) เมอ P เปนแกนตงและ Qd เปนแกนนอน
อยางไรกตาม การหาขอบเขตของจานวน Qd และ P ในเชงคณตศาสตรเพอใหเปนไปตามหลกการวเคราะหทางเศรษฐศาสตรภายใตขอสมมตของการแขงขนอยางสมบรณ จะตองประกอบดวย
1. คา Q และ P จะตองมากกวาหรอเทากบศนย เมอเขยนกราฟอธบายเชงเรขาคณตแลว Q และ P จะตองอยในจตภาคท 1 เพราะ P ทตดลบจะไมมความหมาย
2. เสนอปสงคตองเปนฟงกชนลดทเรยกวา monotonically decreasing function กลาวคอ แตละคาของ P สามารถหาคา Q ไดเพยงคาเดยว และทศทางการเปลยนแปลงของตวแปรในฟงกชนตองมทศทางตรงขาม
3) เสนอปทาน (supply curve) เสนอปทานสาหรบสนคาชนดใดชนดหนง เปนเสนทแสดงความสมพนธระหวางปรมาณสนคาท
ผขายยนดเสนอขาย และปจจยทมอทธพลตอปรมาณเสนอขายสนคานน ในกรณนเปนการแสดงความสมพนธระหวางปรมาณเสนอขาย (QS) และราคา (P) ของสนคานนๆ เขยนอยในรปแบบของฟงกชนไดเปน
Qs = f(P) หรอ P = g(Qs) หรอ F(Qs, P) = 0
ba
0 Qd
P
Qd = a - bP
172 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
การเขยนเสนอปทานในเชงเรขาคณตกใชหลกการเดยวกบเสนอปสงค และเขยนสมการไดดงน Qs = f(P) เมอกาหนดใหแกนนอนคอ P และแกนตงคอ Qs ฟงกชนอปทานสามารถเขยนใหมได 3 รปแบบคอ Qs = c + dP เมอ (c, d > 0) Qs = dP Qs = -c + dP เมอ (c, d > 0) เมอ c หมายถง สวนตดแกนตง หรอแกน Qs หรอปรมาณสนคาทเสนอขายเมอสนคาไมมราคา d หมายถง ความชนของเสน อปทาน เค รองหมาย d ตองเปนบวก เพ อแสดงว า
การเปลยนแปลงของปรมาณเสนอขาย และราคาตองเปลยนแปลงในทศทางเดยวกน
ภาพท 5.3 เสนอปทานของสนคากรณ Qs = f(P)
จากสมการอปทานสามารถเขยนใหมได ดงน (เมอกาหนดใหแกนตงเปน P และแกนนอนเปน Qs)
P = -dc
+d1
Qs
P = d1
Qs
P = dc
+d1
Qs
เมอ dc
หมายถง สวนตดแกนตงหรอแกน P
d1
หมายถง สวนกลบคาความชนของเสนอปทาน Qs
การเขยนกราฟอธบายเชงเรขาคณตของสมการทง 3 เปนดงน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 173
ภาพท 5.4 เสนอปทานของสนคากรณ P = g( Qs)
โดยทวไป เสนอปทานมกนยมเขยนในรปแบบของ Qs = f(P) แตการเขยนอธบายเชงเรขาคณตมกใชแกนนอนเปน Qs และแกนตงเปน P สมการอปทานเปนเสนทตดแกนตง P ทคาบวก เพราะการผลตสนคาทนาออกมาขาย จะผลตเมอราคาสนคาตองสงเพยงพอซงกคอราคาตองเปนบวก ตามภาพท 5.5
ภาพท 5.5 ฟงกชนอปทาน Qs = f(P) เมอ P เปนแกนตง และ Q เปนแกนนอน
แบบจาลองตลาดเชงเสน เขยนในรปแบบเชงคณตศาสตรไดดงน Qd = Qs Qd = a - bP เมอ (a, b > 0) Qs = -c + dP (c, d > 0) คาพารามเตอร a, b, c, d ทปรากฏในฟงกชนเชงเสน 2 ฟงกชน ทงหมดมคาเปนบวก เมอเขยนอธบาย
ฟงกชนอปสงค ฟงกชนอปทานตามสมการ 5.1 โดยกาหนดใหแกนนอนเปน P และแกนตงเปน Qd และ Qs ตามภาพท 5.6 พบวา ฟงกชนอปสงค สวนตดแกนตงคอ a มคาความชนเปน b แตมเครองหมายลบ ฟงกชนอปทาน สวนตดแกนตงคอ c แตมเครองหมายเปนลบ และมคาความชนเปน d เปนคาบวก
0
P
Qs
Qs = -c + dP
-c
dc
........ 5.1
174 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ภาพท 5.6 ฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานของตลาดสนคาชนดหนง
ในกรณทกาหนดใหแกนนอนเปน Qd และ Qs และแกนตงเปน P ดลยภาพของตลาดเปนตามภาพท 5.7
ภาพท 5.7 ฟงกชนอปสงคและอปทานของตลาดสนคาชนดหนง
เมอ P เปนแกนตงและ Qd , Qs เปนแกนนอน
การหาคาตอบโดยการแกสมการทง 2 สมการโดยใหตวแปรถกกาจดไปทละตวแปรทาไดดวยการทาให คา P หรอ Q เทากน หรอแทนคาของตวแปรใดตวแปรหนงในอกสมการหนง หรอพจารณาจากจดตดกนของเสน อปสงคและเสนอปทานเมอพจารณาจากกราฟในเชงเรขาคณต
Qd = a – bP
Qs = -c + dP
Qd , Qs a
0 -c
dc
P
P
( P , Q )
Q = dQ = SQ
ba
Qd = a – bP
QS = -c + dP
Qd , Qs
a
0
-c P1 P
P
( P , Q ) Q = Q d= Q s
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 175
เนองจากเงอนไขดลยภาพของตลาดกคอ Q = Qd = Qs จงเขยนแบบจาลองของตลาดไดใหม ดงน Q = a - bP Q = -c + dP
แบบจาลองม 2 สมการ 2 ตวแปร ตามสมการ 5.2 ทาไดโดยการแทนคาสมการหนงในอกสมการหนงจะเหลอตวแปรเพยงตวแปรเดยวดงน
a - bP = -c + dP bP +dP = a + c (b + d)P = a + c
P = dbca
P หรอ Pหมายถง ราคาดลยภาพซงมคาเปนบวก เพราะคาพารามเตอรทง 4 คาของแบบจาลองมคาเปนบวก สาหรบการหาคาปรมาณดลยภาพ Q d = Q s หรอ Q ขนอยกบคา P โดยการแทนคาลงในสมการใดสมการหนงแตละสมการในสมการท 5.2 เชน แทนคา P ในฟงกชนอปสงค ดงน
Q = a - b
dbca
= )db(
)ca(b)db(a
=
dbbcad
เนองจาก คา Q ตองการเฉพาะคาบวก จงจะมความหมายทางเศรษฐศาสตร และ b + d มคาบวก ดงนน ad – bc ตองเปนคาบวกดวยเชนกน ดงนน ad > bc
ถาพจารณาตามภาพท 5.7 ทราบวาราคาดลยภาพ ( P ) และปรมาณดลยภาพ ( Q ) ของแบบจาลองตลาดสนคาจะอยทจดตดกนของเสนอปสงคและเสนอปทาน ซง P > 0 แสดงวาจดตดกนของเสนอปสงคและเสนอปทานจะตองอยเหนอแกนนอน ตวอยางท 5.1 กาหนดให Qd = f(P) และ Qs = f(P) ดงน
Qd = 100 - 5P Qs = -20 + 3P
จงหาราคาดลยภาพและปรมาณดลยภาพของตลาดสนคาชนดน วธทา กาหนดให ฟงกชนอปสงค Qd = 100 - 5P ฟงกชนอปทาน Qs = -20 + 3P
ตลาดอยในภาวะดลยภาพ ดงนน Qd = Qs ดงนน 100 – 5P = -20 + 3P
........ 5.2
176 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
8P = 120
P = 8120
= 15
ราคาดลยภาพของตลาด ( P ) = 15 หนวย แทนคา P ในฟงกชนอปสงค
Q = 100 – 5(15) = 100 – 75 = 25 ปรมาณดลยภาพของตลาด ( Q ) = 25 หนวย
ตวอยางท 5.2 จงวเคราะหดลยภาพสวนยอยของตลาดสนคาชนดหนง ซงมฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทาน ดงน
ฟงกชนอปสงค Qd + 4P - 24 = 0 ฟงกชนอปทาน Qs – 13P + 27 = 0
วธทา ในภาวะดลยภาพ Q = Qd = Qs ฟงกชนอปสงค Qd = 24 - 4P ฟงกชนอปทาน Qs = -27 + 13P ดงนน 24 – 4P = -27 + 13P 17P = 24 + 27 = 51
P = 1751
= 3
ราคาดลยภาพของตลาด ( P ) = 3 หนวย แทนคา P ในฟงกชนอปสงค
Qd = 24 - 4(3) = 12 ปรมาณดลยภาพของตลาด ( Q ) = 12 หนวย
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 177
5.1.2 กรณแบบจาลองไมใชเชงเสน (A nonlinear model) นอกจากแบบจาลองตลาดสนคาชนดเดยวจะประกอบดวยฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทาน เปนฟงกชน
เชงเสนแลว ฟงกชนอปสงคหรอฟงกชนอปทานหรอทง 2 ฟงกชน อาจมความสมพนธระหวางตวแปรในรปแบบอนทไมใชเชงเสน เชน ฟงกชนกาลงสอง (quadratic function) ฟงกชนพหนาม (polynomial function) เปนตน ความสมพนธระหวางราคาและปรมาณตองเปนไปตามเงอนไขของฟงกชนรปแบบนนๆ
ถาใหฟงกชนอปสงคเปนฟงกชนกาลงสอง แตฟงกชนอปทานยงคงเปนฟงกชนเชงเสน เชน แบบจาลองของตลาดเปนดงน
Qd = 4 - P2 Qs = 4P – 1 Qd = Qs การแกสมการเพอหาราคาและปรมาณในกรณนยงคงใชวธการเหมอนเดมกบกรณแบบจาลองเชงเสน โดย
การทาสมการใหเทากนไดดงน 4 – P2 = 4P – 1 หรอ P2 + 4P – 5 = 0 สมการทไดนเรยกวา สมการกาลงสอง นพจนทางดานซายของสมการจะเปนฟงกชนกาลงสองของ P
ดงนน ผลเฉลยทไดจากการแกระบบสมการดงกลาวจะได 2 คาตอบ 1) สมการกาลงสองและฟงกชนกาลงสอง ถาใหนพจนคอ P2 + 4P – 5 เรยกวา ฟงกชนกาลงสอง หรอ f(P) ซงอาจเขยนไดเปน
f(P) = P2 + 4P – 5 …….. 5.4 เมอแทนคา P ดวยคาตางๆ จะไดคา f(P) ตามตาราง เชน
P … -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 … f(P) … 7 0 -5 -8 -9 -8 -5 0 7 … เมอนาคาตางๆ เหลานไปเขยนกราฟ โดยกาหนดเปนคอนดบตามตาราง เชน (7, -6), (0, -5) , (-5, -4) จะไดกราฟพาราโบลาตามภาพท 5.8
........ 5.3
178 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ภาพท 5.8 กราฟพาราโบลาของฟงกชน P2 + 4P – 5
จากสมการ P2 + 4P – 5 = 0 จะเหนวากาหนดให f(P) เทากบศนย และฟงกชนกาลงสองประกอบดวย ตวแปร P เพยงตวแปรเดยว เมอกาหนดคา P บางคาในฟงกชนกาลงสอง ผลเฉลยทไดจะไดกราฟพาราโบลาตามภาพท 5.8 และตดแกนตงท f(P) เปนศนย ซงคาผลเฉลยกคอคา P ททาให f(P) เปนศนย นนเอง บอยครงทคาผลเฉลย P นนหาไดจากรากทสองของสมการกาลงสอง f(P) = 0 หรอเปนคาททาให f(P) เปนศนย
จากภาพท 5.8 มจดตดแกน P 2 จดคอทจด (0, 1) และ (0, -5) สมาชกตวแรกของแตละคอนดบแสดงใหเหนวาเปนคาของ f(P) = 0 และสมาชกตวทสองของคอนดบแตละคอนดบคอคาผลเฉลยของ P ดงนนผลเฉลยจะม 2 คาตอบ คอ
1P = 1 และ 2P = -5 แตคาตอบแรกคอคาตอบทเปนไปไดในทางเศรษฐศาสตรกคอราคาจะเปนคาบวกแตไมมความหมายทเปน
คาลบ ราคาดลยภาพจงเทากบ 1 จากสมการ P2 + 4P – 5 = 0 สามารถหาผลเฉลยโดยวธเรขาคณตหรอเขยนกราฟ ตามทไดอธบายไปแลว
แตวธทสะดวกและงายกวาคอวธทางพชคณต ซงมรปแบบของสมการกาลงสองเปน ดงน ax2 + bx + c = 0 เมอ (a 0) …….. 5.5
สามารถหาคาไดจากสตรของสมการกาลงสอง ดงน
1x , 2x = a2
)ac4b(b 21
2 …….. 5.6
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 179
เมอ 1x คอ ผลเฉลยทไดจากคา + ของเครองหมาย 2x คอ ผลเฉลยทไดจากคา – ของเครองหมาย ดงนน สมการ P2 + 4P – 5 = 0 นาไปหาคาจากสมการ 5.6 ไดดงน แทนคาในสมการ 5.6 ดวย a = 1, b = 4, c = -5 และ x = P
1P , 2P = 2
)2016(4 21
= 264
= 1, -5 นอกจากวธการหาผลเฉลยดวยวธทางเรขาคณตหรอโดยกราฟตามทไดอธบายไปแลวดวยการกาจดตวแปร
Q เพอใหไดสมการกาลงสองของคา P เทานน แตถาตองการหาคา P และ Q ทเกยวเนองกนโดยกราฟ จะตองเขยนภาพกราฟโดยให Q อยบนแกนใดแกนหนง และ P อยบนแกนทเหลอเหมอนกบการเขยนภาพกราฟตามภาพท 5.6 หรอ 5.7 ในทน ไดแสดงใหเหนตามภาพท 5.9
D = P, Q Q = 4 – P2 S = P, Q Q = 4P - 1
ภาพท 5.9 กราฟของฟงกชน Qs = 4P – 1 และ Qd = 4 - P2
การหาผลเฉลยโดยการหาอนเตอรเซกชนของเซตของจดทเปนคอนดบ 2 เซต ดงน D S = (3, 1) , (-21, -5)
O
P
Qs, Qd
(3, 1)
1 2 3 4 -2 -1
2
1
Qd = 4 – P2 Qs = 4P - 1
-1
-2
180 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
คอนดบท 1 (3, 1) อยบนจตภาคท 1 และคอนดบท 2 ทไมไดเขยนกราฟ (-21, -5) อยบนจตภาคท 3 ถาคาตอบทตองการเปนโดเมนและเรนจทไมเปนคาลบ ดงนนคอนดบแรกจะเปนคาตอบทตองการ
2) สมการพหนามกาลงมากกวาสอง ถาระบบสมการเกยวเนองเปนสมการพหนามกาลงสาม (cubic polynomial equation) หรอกาลงส
(quartic polynomial equation) การแกระบบสมการทนยมใชคอการแยกเฟกเตอรของฟงกชน ตวอยางเชน นพจน x3–x2–4x+4 สามารถแยกเฟกเตอรได 3 เฟกเตอรคอ (x + 1) (x + 2) และ (x – 2) ดงนน ถาสมการกาลงสามเปนดงน x3 – x2 – 4x + 4 = 0 หรอ (x + 1) (x + 2) (x – 2) = 0 ผลเฉลยทางดานซายมอของสมการเปนศนย แสดงวาอยางนอยทสด หนงในสามพจนตองเปนศนย ถาใหแตละพจนเทากบศนย จะไดวา x + 1 = 0 หรอ x + 2 = 0 หรอ x – 2 = 0 ทง 3 สมการ จะไดวารากทสามของสมการกาลงสาม ดงน 1x = 1 2x = -2 และ 3x = 2 ดงนน เมอเปนสมการพหนามกาลง n ให f(x) = 0 จะไดรากท n ดงน ขนตอนแรก หาคาคงท c1 จากนน หาร f(x) ดวย (x + c1) ผลหารทไดกคอฟงกชนพหนามทมกาลงนอยกวา n อยหนง หรอกาลง n – 1 กาหนดใหเปน g(x) f(x) = (x + c1) g(x) ตอไป พยายามหาคาคงท c2 จากนน หาร g(x) ดวย (x + c2) ผลหารทไดกคอฟงกชนพหนามทมกาลง n - 2 กาหนดใหเปน h(x) g(x) = (x + c2) h(x) จะไดวา f(x) = (x + c1) g(x) = (x + c1)(x + c2) h(x) ทาซ าเชนนไปเรอยๆ จะลดกาลงของพหนามกาลง n ไดจานวน n พจน ดงน f(x) = (x + c1)(x + c2) … (x + cn) ถากาหนดให f(x) เทากบศนย จะไดผลเฉลยเทากบจานวนรากท n เชน เมอกาหนดใหเฟกเตอรแรกเทากบศนย เชน (x + c1) = 0 1x = - c1 ในทานองเดยวกนจะไดวา 2x = -c2 , 3x = -c3 … หรอเขยนผลเฉลยอยในลกษณะของดชนลาง ดงน ix = - ci (i = 1, 2, 3, …, n)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 181
ตวอยางท 5.3 จงหาระดบราคาดลยภาพและปรมาณดลยภาพจากฟงกชนอปสงคและอปทานตอไปน Qd = 40 – 4P Qs = -4 + P2
วธทา เนองจาก Q = Qd = Qs 40 - 4P = -4 + P2 P2 + 4P – 44 = 0
เพราะวา 1x , 2x = a2
)ac4b(b 21
2
1P , 2P = )1(2
)]44)(1(416[4 21
= 2
)17616(4 21
1P = 4.93 2P = -8.92 แตคา P ใชเฉพาะคาทเปนบวก ดงนน P = 4.93 แทนคา P ในฟงกชนอปสงค
Q = 40 – 4(4.93) = 40 – 19.72 = 20.28 ดงนน ราคาดลยภาพ = 4.93 ปรมาณดลยภาพ = 20.28 ตวอยางท 5.4 จงหาดลยภาพของตลาดสนคาชนดหนง ถากาหนดใหฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานเปนดงน
P + Q2 + 3Q - 20 = 0 และ P - 3Q2 + 10Q = 5
วธทา ฟงกชนอปสงค P + Q2 + 3Q - 20 = 0 ฟงกชนอปทาน P - 3Q2 + 10Q = 5 P = 3Q2 - 10Q + 5
182 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แทนคา P ในฟงกชนอปสงค (3Q2 - 10Q + 5) + Q2 + 3Q – 20 = 0 4Q2 - 7Q – 15 = 0
จากสตรการหาคาของสมการกาลงสอง 1Q , 2Q = a2
)ac4b(b 21
2
เมอ a = 4 b = -7 c = -15
1Q , 2Q = )4(2
)]15)(4(4)7[()7( 21
2
= 8
)24049(7 21
= 8177
1Q = 824
= 3
และ 1Q = 810
= -1.25
แตเนองจากราคาดลยภาพและปรมาณดลยภาพตองเปนคาบวกเทานน ดงนนปรมาณดลยภาพจงเทากบ 3 หนวย แทนคา Q = 3 ในฟงกชนอปทาน
P = 3(3)2- 10(3) + 5 = 27 – 30 + 5 = 2 ดงนน ราคาดลยภาพเทากบ 2 หนวย 5.2 ดลยภาพทวไปของตลาดสนคา (General market equilibrium) การวเคราะหดลยภาพของตลาดทอธบายมาแลวนน เปนการพจารณาแบบจาลองของตลาดสนคาเพยงชนดเดยวจากฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทาน แตในสภาพทเปนจรง สนคาชนดตางๆ กนนนมความสมพนธในลกษณะของการใชทดแทนกนหรอใชประกอบกน ดงนนฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานของสนคาจะมความเกยวของไมเฉพาะกบราคาสนคาทกาลงพจารณาเทานน แตยงเกยวของกบราคาสนคาอนๆ ทเกยวของดวย ดงนน ตวแปรราคาและตวแปรปรมาณของสนคาทเกยวของจะถกนามาพจารณาเปนตวแปรภายในของแบบจาลองดวย
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 183
ในกรณของการแยกตลาดสนคาชนดใดชนดหนงนน เงอนไขดลยภาพประกอบดวยสมการเดยวเทานนคอ Qd = Qs หรอ E Qd – Qs = 0 เมอ E คออปสงคสวนเกน แตในกรณทสนคาหลายชนดมความเกยวของขนแกกนจะพจารณาในลกษณะของความเกยวเนอง ดลยภาพจะเกดขนเมอไมมอปสงคสวนเกนของแตละสนคาและทกชนดของสนคาทเกยวของกนในแบบจาลองนน ถาสนคาชนดใดชนดหนงมอปสงคสวนเกน ราคาสนคาชนดนนจะถกปรบซงจะสงผลกระทบตอปรมาณอปสงคและปรมาณอปทานของสนคาอนๆ ดวย ทาใหเปนสาเหตของการเปลยนแปลงราคาสนคานนทงหมด เมอมการนาสนคา n ชนดมาพจารณารวมกนในตลาดสนคา n ชนดนน เงอนไขดลยภาพจะม n สมการ ในแตละสนคาจะมเงอนไขดงน
Ei Qdi – Qsi = 0 (i = 1, 2, 3, …, n) …….. 5.7 ในการหาผลเฉลยจะไดเซตของราคาดลยภาพ ( iP ) และปรมาณดลยภาพ ( iQ ) ซงสมการทงหมด n สมการในเงอนไขดลยภาพจะมความเกยวเนองกน 5.2.1 แบบจาลองตลาดสนคา 2 ชนด (Two-commodity market model) ในกรณนสมมตวาฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานเปนฟงกชนเชงเสน เขยนในพจนของพารามเตอรซงมแบบจาลองดงน Qd1 – Qs1 = 0 ……. (1) Qd1 = a0 + a1P1 + a2P2 ……. (2) Qs1 = b0 + b1P1 + b2P2 ……. (3) Qd2 – Qs2 = 0 ……. (4) Qd2 = 0 + 1P1 + 2P2 ……. (5) Qs2 = 0 + 1P1 + 2P2 ……. (6) เมอ a, b เปนสมประสทธของฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานของสนคาชนดแรก , เปนสมประสทธของฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานของสนคาชนดทสอง ในกรณนยงไมไดกาหนดเครองหมายเฉพาะของคาสมประสทธแตในการวเคราะหจะใชเหตผลในทางเศรษฐศาสตรเปนตวกาหนด การหาคาตอบหรอผลเฉลยจากแบบจาลองนน สงแรกกคอตองมการกาจดตวแปรโดยแทนคาสมการท (2) และสมการท (3) ในสมการท (1) ของสมการ 5.8 ซงเปนของสนคาชนดแรก และสมการท (5) และสมการท (6) แทนในสมการท (4) ของสมการ 5.8 สาหรบสนคาชนดทสอง แบบจาลองกจะลดสมการลง 2 สมการใน 2 ตวแปร ดงน a0 + a1P1 + a2P2 = b0 + b1P1 + b2P2 (a0 - b0) + (a1 - b1)P1 + (a2 - b2)P2 = 0 …….. 5.9
......... 5.8
184 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
และ 0 + 1P1 + 2P2 = 0 + 1P1 + 2P2
(0 - 0) + (1 - 1)P1 + (2 - 2)P2 = 0 …….. 5.10 ทง 2 สมการจะประกอบดวยพารามเตอร 12 คา ถากาหนดให ci = (ai – bi) เมอ (i = 0, 1, 2) γ i = (i - i) แทนคาในสมการ 5.9 และสมการ 5.10 จากสมการ 5.9 c0 + c1P1 + c2P2 = 0 c1P1 + c2P2 = -c0 …….. 5.11 จากสมการ 5.10 γ 0 + γ 1P1 + γ 2P2 = 0 γ 1P1 + γ 2P2 = -γ 0 …….. 5.12
หาผลเฉลยโดยกาจดตวแปร จากสมการ 5.11 จะได P2 = 2
110
c]Pcc[
แลวนาไปแทนคาในสมการ 5.12 ไดดงน
1P = 1221
2002
ccccγγ
γγ
คา 1P อยในพจนทเปนพารามเตอรของแบบจาลอง โดยวธการเดยวกน ราคาดลยภาพของสนคาชนดท 2 หาไดดงน
2P = 1221
0110
ccccγγ
γγ
คา 1P และ 2P ทคานวณไดน จะตองเปนไปตามเงอนไขดงน 1. ตวสวนจะตองไมเทากบศนย เพราะถาเทากบศนยจะหาคาผลเฉลยไมได นนคอ 21c γ 12c γ 2. เพอใหผลเฉลยเปนคาบวกตวเศษจะตองมเครองหมายเหมอนกบตวสวนเมอคานวณหา 1P และ 2P ไดแลวกสามารถหาคา 1Q และ 2Q ได โดยแทนคา 1P และ 2P ในสมการ 5.8 ตวอยางท 5.5 กาหนดใหฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทาน เปนดงน Qd1 = 10 - 2P1 + P2 Qs1 = -2 + 3P1 Qd2 = 15 + P1 - P2 Qs2 = -1 + 2P2
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 185
จงหาดลยภาพของตลาดสนคาทง 2 ชนด วธทา กาหนดให ci = (ai – bi) γ i = (i - i) (i = 0, 1, 2) a0 = 10, a1 = -2, a2 = 1, b0 = -2, b1 = 3, b2 = 0 0 = 15, 1 = 1, 2 = -1, 0 = -1, 1 = 0, 2 = 2 ดงนน c0 = 10 – (-2) = 12 c1 = (-2) - 3 = -5 c2 = 1 – 0 = 1 γ 0 = 15 – (-1) = 16 γ 1 = 1 - 0 = 1 γ 2 = (-1) - 2 = -3
เพราะวา 1P = 1221
2002
ccccγγ
γγ
= )1)(1()3)(5(
)3(12)16(1
= 1153616
= 1452
2P = 1221
0110
ccccγγ
γγ
= 14
)16)(5()1(12 =
148012
= 1492
แทนคา 1P และ 2P ในฟงกชนอปสงค และฟงกชนอปทานของสนคา 2 ชนดได ดงน
1Q = -2 + 3
1452
= 14128
= 764
2Q = -1 + 2
1492
= 14170
= 785
นอกจากการใชสตรหาคาตอบแลว อาจจะใชวธการกาจดตวแปรทละตวออกจากสมการ แลวนาไปแทนคาในสมการเพอหาคาตอบเหมอนกบวธการหาสตรสาเรจสามารถทาไดเชนกน จาก Qd1 = Qs1 ดงนน 10 – 2P1 + P2 = -2 + 3P1 5P1 – P2 = 12 …….. 5.13 และ Qd2 = Qs2 ดงนน 15 + P1 - P2 = -1 + 2P2
-P1 + 3P2 = 16
186 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
นา 5 คณสมการนทงซายและขวา -5P1 + 15P2 = 80 …….. 5.14 บวกสมการ 5.13 กบ สมการ 5.14 14P2 = 92
2P = 1492
แทน P2 ในสมการ 5.13
5P1 - 1492
= 12
5P1 = 12 + 1492
1P = 514
260
= 1452
แทน P1 ในฟงกชนอปทาน
Qs1 = -2 + 3P1 = -2 + 3
1452
= 14128
1Q = 764
แทน P2 ในฟงกชนอปทาน
Qs2 = -1 + 2P2 = -1 + 2
1492
2Q = 785
5.2.2 แบบจาลองตลาดสนคา n ชนด ดลยภาพสวนยอย (partial equilibrium) ทอธบายในสวนแรกนน เปนการวเคราะหโดยกาหนดใหปจจยอนๆ คงท แตพจารณาเฉพาะราคาสนคาชนดหนงเทานนทมการเปลยนแปลง ตอมามการอธบายถงตลาดสนคาหลายชนด โดยเรมจากตลาดสนคา 2 ชนด การวเคราะหดลยภาพจะเรยกวาเปนการวเคราะหดลยภาพทวไป และเมอเพมจานวนสนคามากชนดเขาไปในแบบจาลอง กจะมตวแปรมากขน รวมถงสมการกมากขนและซบซอนมากขนดวย ถารวมสนคาทงหมดในระบบเศรษฐกจในแบบจาลองตลาดกจะไดแบบจาลองดลยภาพทวไป ซงอปสงคสวนเกนของทกๆ ชนดสนคาจะถกกาหนดในรปของฟงกชนของราคาสนคาทงหมดในระบบเศรษฐกจนน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 187
ราคาสนคาบางชนด อาจจะมคาสมประสทธเปนศนย เมอเปนสนคาทไมไดถกกาหนดในอปสงคสวนเกน เชน ในฟงกชนอปสงคสวนเกนของสนคาเปยโน ราคาสนคาของขนมปงอาจจะมคาสมประสทธเปนศนย ดงนนในรปแบบทวไป ของสนคา n ชนด อาจจะกาหนดฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานเปนดงน (ใช Qdi และ Qsi เปนสญลกษณของฟงกชนแทน f และ g) Qdi = Qdi (P1,P2, …, Pn) Qsi = Qsi (P1,P2, …, Pn) (เมอ i = 1, 2, …, n) Qd มทงหมด n สมการ และ Qs มทงหมด n สมการ เพราะฉะนนในแบบจาลองจะประกอบดวย 2n สมการ โดยทฟงกชนเหลานนไมจาเปนตองเปนฟงกชนเชงเสน อยางไรกตาม เงอนไขดลยภาพประกอบดวยเซตของ n สมการ คอ Qdi – Qsi = 0 (i = 1, 2, 3, …, n) …….. 5.16 เมอรวมสมการ 5.1.6 ในแบบจาลอง จงทาใหแบบจาลองสมบรณ และมสมการรวมทงสน 3n สมการ เมอแทนสมการ 5.1.5 ลงใน 5.1.6 แบบจาลองจะลดเซตของสมการเกยวเนองเหลอเพยง n สมการเทานน คอ Qdi (P1,P2, …, Pn) – Qsi (P1,P2, …, Pn) = 0 (i = 1, 2, 3, …, n)
ซงกคอ Ei Qdi – Qsi เมอ Ei คอ ฟงกชนของราคาสนคา n ชนด ดงนนจงเขยนสมการขางบนไดใหมเปน Ei (P1,P2, …, Pn) = 0 (i = 1, 2, 3, …, n)
การแกปญหาของสมการเกยวเนอง n สมการ จะสามารถหาราคาดลยภาพได n คา ( iP ) จากนนจงหาคา
iQ จากฟงกชนอปสงคหรอฟงกชนอปทาน 5.2.3 ผลเฉลยของระบบสมการทวไป ถาแบบจาลองประกอบดวยคาสมประสทธทเปนตวเลข เชน สมการตามตวอยางท 5.5 คาดลยภาพของ ตวแปรจะเปนคาตวเลขดวยเชนกน แตในรปแบบทวๆ ไป แลวถาแบบจาลองกาหนดอยในพจนคาพารามเตอร คาดลยภาพจะเกยวของกบพารามเตอรนนๆ เหมอนกบดงทแสดงใหเหนในตลาดสนคา 2 ชนด ในกรณแบบจาลองฟงกชนทวไปทม m พารามเตอร (a1, a2, ..., am) (m ไมจาเปนตองเทากบ n) ราคา ดลยภาพ n คา สามารถหาไดจากรปแบบดงน iP = iP (a1, a2, ..., am) (i = 1, 2, 3, …, n) ........ 5.17 ขอความสญลกษณทแสดงใหเหนนแสดงวาคาผลเฉลยของแตละตวแปร (เชน ราคา) เปนฟงกชนของเซตของพารามเตอรทงหมดของแบบจาลอง ซงกคอขอความในรปแบบทวไปทไมไดใหรายละเอยดเกยวกบผลเฉลยนน การเขยนผลเฉลยทงาย อยางหนงกคอ ผลเฉลยตามสมการ 5.17 สามารถเขยนแจกแจงรายละเอยดได ถา ผลเฉลยมคาตอบทเปนคาตอบเดยว (unique) ดงนนจงสามารถจดกระทาอนดบ m อนดบ (a1, a2, ..., am) ในคาของ
........ 5.15
188 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
iP แตละคาได อยางไรกตามการนบจานวนสมการและจานวนตวแปรทไมทราบคาวาจะตองเทากนนนกไมไดเปนหลกประกนไดวาผลเฉลยจะเปนคาตอบเดยว (unique) เชน ใหพจารณาระบบสมการเกยวเนอง 3 ระบบสมการดงน 1. x + y = 18 x + y = 9 2. 2x + y = 12 4x + 2y = 24 3. 2x + 3y = 58 y = 18 x + y = 20 สาหรบระบบสมการท 1 ตวแปรทไมทราบคา 2 ตวแปร มความเกยวของกนใน 2 สมการ ซงไมสามารถหาผลเฉลยได เนองจาก 2 สมการน ไมสอดคลองกน (inconsistent) เพราะถาผลรวมของ x และ y เทากบ 18 แลวจะเปนไปไมไดทใหผลรวมเทากบ 9 ในเวลาเดยวกน สาหรบระบบสมการท 2 ม 2 ตวแปร 2 สมการ ซงทง 2 สมการ เปนฟงกชนทขนตอกน ซงหมายความวา หนงใน 2 สมการนน สามารถหาไดจากอกสมการหนง จากตวอยางแสดงวาสมการท 2 จะเปน2 เทาของสมการแรก สามารถตดสมการหนงออกจากระบบสมการไดโดยจะเหลอสมการเดยวทม 2 ตวแปร ในกรณนผลเฉลยอยในรปของสมการ y = 12 – 2x ผลเฉลยทไดจะไมเปนคอนดบทมคาเดยว ( x , y ) แตมจานวนทนบไมได เชน (0, 12) , (1, 10) , (2, 8) เปนตน สาหรบระบบสมการท 3 จะมจานวนสมการมากกวาจานวนตวแปร จะไดคอนดบ (2, 18) เปนคาตอบทมเพยงคาเดยว เหตผลกคอมฟงกชนทขนแกกนจากสมการทกาหนดใหนนคอสมการแรกเทากบสมการท 2 บวกกบ 2 เทาของสมการท 3 จงทาใหมฟงกชนทเปนอสระตอกน 2 ฟงกชน ซงประกอบดวยสมการทม 2 ตวแปร จากตวอยางเหลานสงสาคญกคอ ความสอดคลองกน (consistency) และฟงกชนทเปนอสระตอกน ซงเปนสงสาคญทตองพจารณากอนทมการนบจานวนสมการและจานวนตวแปรทไมทราบคา รวมถงไมมสมการทมากเกนความจาเปน จากตวอยางกรณสนคา n ชนด ตามสมการ 5.15 มฟงกชนอปสงค n ฟงกชน ฟงกชนอปทาน n ฟงกชน ตองสมมตวาเปนอสระตอกน แตละฟงกชนสามารถหาไดจากแหลงอนๆ เชน แตละฟงกชนอปสงค มาจากกลมผบรโภค และแตละฟงกชนอปทานมาจากกลมผผลต ดงนนแตละฟงกชนจงใชอธบายแตละสถานภาพของแตละตลาด เปนตน ไมมฟงกชนทมากเกนจาเปน และมความสอดคลองกน สมการเงอนไขดลยภาพตามสมการ 5.16 มความเปนอสระ ดงนน ผลเฉลยจากการวเคราะหทเขยนในรปแบบสมการ 5.17 สามารถใชเปนรปแบบทวไปได สาหรบแบบจาลองสมการเกยวเนอง มวธการทดสอบทเปนระบบททาใหเชอไดวาผลเฉลยมเพยงคาเดยว สวนการหาผลเฉลยสาหรบแบบจาลองเชงเสน นาแนวคดของดเทอรมแนนตมาประยกตใช ในกรณของแบบจาลองไมใชเชงเสนกสามารถนาความรเกยวกบอนพนธยอยและจาโคเบยนดเทอรมแนนตมาใชในการหาผลเฉลยไดเชนกน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 189
5.3 ดลยภาพของรายไดประชาชาต (Equilibrium in National – Income) จากการวเคราะหเชงสถตยทผานมาจะพบขอจากดหลายอยางในการวเคราะหแบบจาลองตลาดท ง
แบบจาลองเชงเสน และไมใชเชงเสน สนคา 1 ชนดและสนคาหลายชนด แตอยางไรกตามการวเคราะหเชงสถตยกยงสามารถนาไปใชในการวเคราะหดานอนๆ ไดอก ในบทนจะเปนการวเคราะหถงดลยภาพของรายไดประชาชาตทเรยกวาแบบจาลองรายไดประชาชาตของเคนส กาหนดใหแบบจาลองเปนดงน Y = C + I0 + G0 …….. 5.18 C = a + bY (a > 0, 0 < b < 1) …….. 5.19 เมอ Y และ C เปนตวแปรภายในของแบบจาลอง โดย Y หมายถง รายไดประชาชาต และ C
หมายถง คาใชจายในการบรโภค I0 และ G0 เปนตวแปรภายนอก โดย I0 หมายถง การลงทนโดยอสระ และ G0 หมายถง
คาใชจายของรฐ สมการ 5.18 เปนเงอนไขดลยภาพ (รายไดประชาชาต = คาใชจายทงหมด) สมการ 5.19 เปนฟงกชนการบรโภค ซงเปนสมการแสดงพฤตกรรม มพารามเตอร 2 คา คอ a และ b โดยท a
หมายถง คาใชจายในการบรโภคโดยอสระเมอไมมรายได และ b หมายถง ความโนมเอยงสวนเพมในการบรโภค หรอ MPC
เพอความชดเจนในการวเคราะห ทง 2 สมการ ทมตวแปรภายใน 2 ตวแปร ซงเปนฟงกชนทเปนอสระตอกน และมความสอดคลองกน ดงนนจงสามารถหาคาดลยภาพของรายไดประชาชาตและคาใชจายในการบรโภคได ( Y และ C ) ซงทง 2 คาน จะหาคาไดในพจนของพารามเตอร a และ b และตวแปรภายนอก I0 และ G0
การหาผลเฉลยสามารถทาไดโดยแทนคาสมการ 5.19 ในสมการ 5.18 ทาใหเหลอสมการเดยวและมตวแปรเพยงตวเดยวคอ Y ดงน
Y = (a + bY) + I0 + G0 หรอ (1 – b)Y = a + I0 + G0 ดงนนจะไดผลเฉลยซงเปนคาของ Y (รายไดประชาชาตดลยภาพ) ดงน
Y = )b1(GIa 00
........ 5.20
จะสงเกตไดวา ผลเฉลยจะอยในพจนของพารามเตอร (a, b) และตวแปรภายนอก (I0 , G0) ทเปนขอมล ทกาหนดใหในแบบจาลอง นาคา Y ทไดนไปแทนคาลงในสมการ 5.19 กจะไดระดบดลยภาพของคาใชจายในการบรโภค ดงน
190 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
C = a + b Y
= a + b)b1(
)GIa( 00
= )b1(
)GIa(b)b1(a 00
= )b1(
)GI(ba 00
…….. 5.21
ทง Y และ C มนพจน (1-b) เปนตวสวน ดงนนขอจากดกคอ b ตองไมเทากบ 1 (b 1) เพอหลกเลยงทจะใหตวหารเปนศนย ซงจะทาใหหาคา Y , C ไมได สาหรบคา b หรอ ความโนมเอยงสวนเพมในการบรโภค ตองมคาเปนเศษสวนและเปนบวก ซงเปนขอจากด ทจะทาให Y และ C หาคาได สาหรบ Y และ C ตองเปนคาบวก ดงนนตวสวนในสมการ 5.20 และ 5.21 ตองเปนบวก ซงโดยปกตแลวตวแปรภายนอก I0 และ G0 เปนบวกเหมอนกบพารามเตอร a (ซงกคอสวนตดแกนตงของฟงกชนการบรโภค) เครองหมายของตวสวนของนพจนจงจะสามารถหาคาไดเชนกน การตรวจสอบการคานวณ จะทาไดโดยบวกนพจน C ทคานวณไดจากสมการ 5.21 ดวย (I0 + G0) และพจารณาผลรวมวาเทากบนพจน Y ตามสมการ 5.20 ทคานวณไดหรอไม ถาตรงกนกแสดงวา C และ Y ทคานวณได เปนเงอนไขดลยภาพและมความตรงของคาตอบ แบบจาลองรายไดประชาชาตทแสดงมานมความชดเจนและเปนแบบจาลองทธรรมดามากทสด แตในแบบจาลองรายไดประชาชาตอนๆ จะมความแตกตางกนไปตามระดบของความซบซอน แตกสามารถทจะหา ดลยภาพไดโดยใชหลกการเกยวกบโครงสรางของแบบจาลองและการวเคราะหแบบจาลองทไดอธบายไปแลว ตวอยางท 5.6 กาหนดใหระบบเศรษฐกจประกอบดวยภาคการบรโภค และภาคการลงทน ดงน Y = C + I และ C = a + bY โดยท a = 85 b = 0.9 และ I0 = 55
จงคานวณหาระดบรายไดดลยภาพทอยในพจนพารามเตอรของรปแบบทวไป และคาเฉพาะทกาหนดใหขางตนน วธทา สมการดลยภาพ คอ Y = C + I เนองจาก C คอ คาใชจายในการบรโภค และ I คอการลงทนโดยอสระ (I0)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 191
แทนคา C และ I0 ในสมการดลยภาพ Y = a + bY + I0 Y – bY = a + I0 (1 – b)Y = a + I0
Y = b1Ia 0
หาคาเฉพาะตามทกาหนดคาใหโดยทาได 2 วธคอ 1. แทนคาในสมการดลยภาพดงน Y = 85 + 0.9(Y) + 55 Y – 0.9Y = 140 0.1Y = 140
Y = 1.0140
= 1400
2. แทนคาในผลเฉลยทไดจาก
Y = b1Ia 0
Y = )9.01(5585
= 1.0140
= 1400
ตวอยางท 5.7 กาหนดให Y = C + I + G C = a + bY I = I0 และ G = G0 เมอ a = 135 b = 0.8 I0 = 75 และ G0 = 30 จงหา 1. สมการระดบรายไดดลยภาพ 2. หาคาระดบรายไดดลยภาพ วธทา จากสมการดลยภาพ Y = C + I + G แทนคา C, I และ G ในสมการดลยภาพ Y = a + bY + I0 + G0
192 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
(1 – b)Y = a + I0 + G0
Y = )b1(GIa 00
แทนคา a = 135 b = 0.8 I0 = 75 และ G0 = 30
Y = )8.01(3075135
= 2.0
240 = 1200
5.4 การประยกตใชเมทรกซในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร 5.4.1 แบบจาลองตลาดทวไป
แบบจาลองตลาดทวไปสาหรบสนคา 2 ชนด ทไดอธบายไปแลวในกรณทใชวธการกาจดตวแปรเชงปรมาณ และไดระบบสมการเชงเสน 2 สมการ (สมการ 5.11 และสมการ 5.12) ดงน c1P1 + c2P2 = -c0 γ 1P1 + γ 2P2 = -γ 0
การวเคราะหอกวธการหนง กคอการแกระบบสมการโดยใชเมทรกซ ซงตองหาดเทอรมแนนต 3 คาเพอแกระบบสมการดงกลาวโดยวธของคราเมอร คอ A , 1A , 2A ซงมคาดงน
A = 21
21 cc
γγ = c1γ 2 – c2γ 1
1A = 20
20 cc
γγ
= -c0γ 2 + c2γ 0
2A = 01
01 cc
γγ
= -c1γ 0 + c0γ 1
ดงนน ราคาดลยภาพ คานวณไดดงน
1P = AA1 =
1221
0220
ccccγγ
γγ
2P = AA 2 =
1221
1001
ccccγγ
γγ
ดงนนราคาดลยภาพทคานวณไดน กคอ P1 = 1P และ P2 = 2P ซงนาคาราคาดลยภาพนไปแทนคาในฟงกชนอปสงคหรอฟงกชนอปทาน กจะสามารถคานวณหาปรมาณดลยภาพได
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 193
5.4.2 แบบจาลองรายไดประชาชาต แบบจาลองรายไดประชาชาตอยางงายทอธบายไปแลวกอนหนาน สามารถแกปญหาไดโดยใชกฎของ
คราเมอร เมอกาหนดแบบจาลองใหซงประกอบดวยสมการเกยวเนองดงน Y = C + I0 + G0 C = a + bY (a > 0, 0 < b < 1)
จดรปสมการใหมใหอยในรปแบบของนพจนของตวแปรภายในอยทางดานซายมอและตวแปรภายนอกหรอพารามเตอรอยทางดานขวามอ ดงน Y - C = I0 + G0 -bY + C = a
A คอ เมทรกซสมประสทธของตวแปร คอ
1b
11
d คอ เวกเตอรสดมภของคาคงท คอ
a
GI 00
x คอ เวกเตอรสดมภของตวแปร คอ
C
Y
จากกฎของคราเมอร จะไดวา A =
1b
11 = 1 - b
1A = 1a
1GI 00 = (I0 + G0) + a
2A = ab
GI1 00
= a + b(I0 + G0)
Y = AA1 =
b1a)GI( 00
C = AA 2 =
b1)GI(ba 00
194 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
นอกจากใชวธตามกฎของคราเมอรแลว ยงสามารถใชวธการหาเมทรกซผกผนของเมทรกซสมประสทธซงในทน
เมทรกซสมประสทธ คอ A =
1b
11
เมอ A 0 เพอตรวจสอบวา A เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน หาโคเฟกเตอรเมทรกซของเมทรกซ A ไดดงน c11 = (-1)1+1 (1) = 1 c12 = (-1)1+2 (-b) = b c21 = (-1)2+1 (-1) = 1 c22 = (-1)2+2 (1) = 1
ดงนน โคเฟกเตอรเมทรกซ คอ C =
11
b1
หาเมทรกซผกพน (Adj A) โดยการสลบเปลยนโคเฟกเตอรเมทรกซไดดงน
Adj A =
1b
11
จากนน จงหาเมทรกซผกผน (A-1) จากสตรดงน
A-1 = A1
Adj A = )b1(
1
1b
11
เนองจากระบบสมการ Ax = d ผลเฉลยสามารถหาไดจาก x = A-1d
ดงนน
C
Y =
)b1(1
1b
11
a
GI 00
= )b1(
1
a)GI(b
aGI
00
00
Y = b1
aGI 00
C = b1
a)GI(b 00
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 195
5.4.3 แบบจาลอง IS-LM: ระบบเศรษฐกจแบบปด แบบจาลองเชงเสนของระบบเศรษฐกจ สามารถแบงออกเปน 2 ภาค คอ ภาคสนคาทแทจรงและ
ภาคการเงน โดยทตลาดสนคาจะเกยวของกบสมการตอไปน Y = C + I + G C = a + b(1-t) Y I = d – ei G = G0
ตวแปรภายใน คอ Y, C, I และ i (เมอ i คออตราดอกเบย) ตวแปรภายนอก คอ G0 สวน a, b, c, d และ t คอ พารามเตอร
สาหรบตลาดเงน จะเกยวของสมการตอไปน เงอนไขดลยภาพ : Md = Ms
อปสงคของเงน : Md = kY - i อปทานของเงน : Ms = M0
เมอ M0 คอ สตอกของเงนซงเปนตวแปรภายนอก k และ คอ พารามเตอร ทง 3 สมการสามารถเขยนรวมกนไดดงน
M0 = kY - i เมอรวมทง 2 ภาค จะไดระบบสมการ ดงน
Y – C – I = G0 b(1-t)Y – C = -a
I + ei = d
kY + i = M0 จากระบบสมการดงกลาว สามารถเขยนอยในรปแบบเมทรกซ คอ
00k
e100
001)t1(b
0111
i
I
C
Y
=
0
0
M
d
a
G
196 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
หาดเทอรมแนนตของเมทรกซสมประสทธโดยสามารถใชการกระจายของลาปลาส ไดดงน
A = (-e)
00k
01)t1(b
111
-
100
01)t1(b
111
= (-e)(k) 01
11
- 1)t1(b
11
= ek - [(-1) – (-1) b (1-t)]
= ek + [1 – b(1-t)] ใชกฎของคราเมอรหารายไดดลยภาพ Y โดยการแทนทสดมภแรกของเมทรกซสมประสทธ A ดวย
เวกเตอรของตวแปรภายนอก และหาอตราสวนของดเทอรมแนนตของเมทรกซใหมกบดเทอรมแนนตเดม ดงน
Y = AA 1 =
)]t1(b1[ek
00M
e10d
001a
011G
0
0
ใชการกระจายของลาปลาสกบสดมภทสองของคาทเปนตวเศษ
Y = )]t1(b1[ek
0M
e1d
00a
)1)(1(
0
3
+
)]t1(b1[ek
0M
e1d
01G
)1)(1(
0
0
4
= )]t1(b1[ek
0M
e1d
01G
0M
e1d
00a
0
0
0
ใชการกระจายตอจะไดวา
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 197
Y = )]t1(b1[ek
M
0G)1(
M
ed)1)(1(
M
0a)1(
0
04
0
3
0
= )]t1(b1[ek
)(G]eM)(d[a 00
= )]t1(b1[ek
eM)Gda( 00
ผลเฉลย Y เปนเชงเสนเมอเทยบกบตวแปรภายนอก ซงสามารถเขยนใหมไดดงน
Y =
)]t1(b1[eke
M0 +
)]t1(b1[ek
(a + d + G0)
จากการเขยนอยในรปแบบนจะเหนวา ตวทวนโยบายเคนส (Keynesian policy multipliers) เมอเทยบกบอปทานของเงน และการใชจายของภาครฐ กคอสมประสทธของ M0 และ G0 นนคอ
ตวทวอปทานของเงน หรอ )]t1(b1[ek
e
และ ตวทวการใชจายภาครฐ หรอ )]t1(b1[ek
5.4.4 แบบจาลองปจจย-ผลผลตของลอองเทยฟ (Leon Tief input-output models) 1) โครงสรางของแบบจาลองปจจย-ผลผลต การวเคราะหปจจย-ผลผลตของลอองเทยฟ มแนวคดหลกเพอตองการตอบคาถามวาในแตละ
อตสาหกรรมทงหมด n อตสาหกรรม ทผลตสนคาในระบบเศรษฐกจสามารถผลตผลผลตทจะนาไปเปนปจจยการผลตไดในจานวนเทาไรจงพอเพยงตอความตองการทงหมดทจะนาไปผลตเปนผลผลต เชน อตสาหกรรมผลตเหลก เหลกทผลตไดถกนาไปใชเปนปจจยการผลตในอตสาหกรรมอนๆ หรอแมแตเปนปจจยการผลตของอตสาหกรรมผลตเหลกเอง ดงนน ระดบผลผลตเหลก หรอ เรยกวา correct level ทผลตจะขนอยกบความตองการใชเปนปจจยการผลตใน n อตสาหกรรมท งหมด ในทางกลบกนผลผลตจากอตสาหกรรมอนๆ กจะไปเปนปจจยการผลตของอตสาหกรรมเหลกดวย กลาวคอ correct level ของผลผลตอนๆ กจะขนอยกบความตองการปจจยการผลตบางสวนของอตสาหกรรมเหลกดวย จงกลาวไดวา ทงหมดเปนอตสาหกรรมทขนแกกนและกน
แบบจาลองปจจย-ผลผลตไดถกนามาใชในกรอบการทางานสาหรบการวางแผนการผลตของอตสาหกรรมตางๆ จานวนมากในระบบเศรษฐกจ เชน นาไปใชในการวางแผนพฒนาเศรษฐกจของประเทศ เปนตน โดยมการกาหนดสมมตฐาน ดงน
198 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
(1) แตละอตสาหกรรมผลตสนคาเพยงชนดเดยวและสนคาน นมลกษณะเหมอนกนทกประการ (homogeneous commodity) รวมถงอตสาหกรรมทมการผลตสนคาหลายชนดรวมกน แตมสดสวนของการผลตสนคาแตละชนดทคงท แตถาเปนการผลตสนคาทไมใชสนคารวมกนหรอมสดสวนไมคงทจะถอวาไมใชอตสาหกรรมเดยวกน
(2) แตละอตสาหกรรมจะใชปจจยการผลตในอตราสวนคงทสาหรบการผลตสนคานน (3) การผลตในทกๆ อตสาหกรรมเปนการผลตทมผลไดตอขนาดคงท (constant return to scale) ซงก
คออตราการใชปจจยการผลตทเพมขนจะทาใหผลผลตเพมขนในอตราเดยวกน ขอสมมตฐานเหลานอาจจะไมสอดคลองกบสภาพเปนจรง เชน อตสาหกรรมทมการผลตสนคา 2 ชนด หรอใชปจจยการผลตรวมกนทเปนไปไดแตกตางกน 2 ชนด เพอใหเปนไปตามขอสมมตฐานน อตสาหกรรมนนตองแบงออกเปน 2 อตสาหกรรม สาหรบการผลตสนคาแตละหนวยของสนคาชนดท j ตองการปจจยการผลตทเปนสนคาชนดท i จานวนทคงทแนนอนจานวนหนงจะใชสญลกษณ aij ดงนนการผลตสนคาแตละหนวยของสนคาชนดท j จะตองการปจจยการผลตทเปนสนคาท i จานวน a1j สนคาชนดท 2 จานวน a2j และสนคาชนดท n จานวน anj (ดชนลางของ aij จะชวยใหเขาใจมากขนเพราะดชนลางตวแรก หมายถงปจจยการผลตดชนลางตวท 2 หมายถงผลผลต ดงนน aij จงหมายถง สนคาชนดท i ถกนาไปใชเปนปจจยการผลตสาหรบการผลตของแตละหนวยของสนคาท j) ในทนถาสมมตวาเปนราคาโดยกาหนดใหมลคาของสนคาแตละชนดหนวยละ 1 บาท เชน a32 = 0.35 หมายถง สนคาชนดท 3 มลคา 35 สตางค ถกนาไปใชเปนปจจยการผลตของสนคาชนดท 2 ทมมลคา 1 บาท สญลกษณ aij จงหมายถงสมประสทธปจจยการผลต (input coefficient) สาหรบระบบเศรษฐกจทม n อตสาหกรรม สมประสทธปจจยการผลตสามารถเขยนใหอยในรปแบบของเมทรกซ A = [aij] ตามตารางท 5.1 ซงแตละสดมภ หมายถง อตสาหกรรมทผลตสนคาตองการปจจยการผลตมาผลตสนคา 1 หนวย ตวอยางเชน สดมภท 2 หมายถงการผลตสนคาชนดท 2 จานวน 1 หนวย (มลคา 1 บาท) ตองการปจจยการผลตทเปนสนคาชนดท 1 จานวน a12 ใชสนคาชนดท 2 เปนปจจยการผลตจานวน a22 เปนตน ถาอตสาหกรรมใดไมไดใชสนคาของตนเองเปนปจจยการผลต สมาชกในแนวทแยงมมหลกของเมทรกซ A จะเปนศนย
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 199
ตารางท 5.1 เมทรกซสมประสทธปจจยการผลต ปจจยการผลต
(Input) การผลต (output)
1 2 3 n 1
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
2
3
n
2) แบบจาลองระบบเปด (the open model) แบบจาลองระบบเปดเปนแบบจาลองทนอกจากจะมอตสาหกรรมตางๆ ในระบบจานวน n
อตสาหกรรมทถอวาเปนภาคภายใน (endogenous sector) ของแบบจาลองแลวยงมภาค เปดหรอ open sector (เชน ครวเรอน) ซงถอวาเปนภาคภายนอก (exogenous sector) ทตองการผลผลตขนสดทาย (final demand) ของแตละอตสาหกรรมไปบรโภค (ไมใชความตองการใชเปนปจจยการผลต) และขณะเดยวกนภาคครวเรอนกเปนแหลงอปทานปจจยการผลตขนตน (primary input) เชน แรงงาน บรการ เปนตน ซงนาไปเปนปจจยการผลตใหแก n อตสาหกรรม
แบบจาลองระบบเปดน ผลรวมของสมาชกในแตละสดมภของเมทรกซสมประสทธปจจยการผลต A (หรอ เมทรกซปจจยการผลต A) ตองนอยกวา 1 เพราะผลรวมของแตละสดมภจะเปนตนทนปจจยการผลตบางสวน (partial input cost) ทไมรวมตนทนปจจยการผลตขนตน แตถาผลรวมของแตละสดมภมากกวาหรอเทากบ 1 แสดงวาการผลตจะขาดทนหรอไมมรายรบเพยงพอตามลาดบ ซงไมสมเหตผลในเชงเศรษฐศาสตร ใชสญลกษณดงน
1an
1iij
(j = 1, 2, …, n)
หมายถงผลรวมทกแถวตงแตแถวท 1 ถงแถวท n เฉพาะสดมภท j ตองนอยกวา 1 ถาการผลตสนคาในสดมภใดสดมภหนงมมลคาของผลผลตเปน 1 บาท และถกใชจายไปยงปจจยการผลตตางๆ ทงหมด จานวนมลคา ททาใหผลรวมของสดมภทนอยกวา 1 นน หมายถง ไดถกนาไปใชจายเปนปจจยการผลตขนตน แกภาคเปด ดงนน มลคาของปจจยการผลตขนตนทใชในการผลตสนคาชนดท j หรออตสาหกรรมท j (มลคา 1 บาท) จะเทากบ
1 -
n
1iija
200 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ถาอตสาหกรรมท 1 ทาการผลตสนคาจานวน x1 ผลผลตทไดนจะเพยงพอตอความตองการของ n อตสาหกรรมทจะนาไปใชเปนปจจยการผลต รวมถงเปนความตองการสนคาขนสดทายของภาคทเปดดวยเขยนเปนสมการไดดงน x1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn + d1 หรอ (1 - a11) x1 - a12 x2 - ... - a1n xn = d1 เมอ d1 แทน ความตองการเปนสนคาขนสดทายในผลผลตท 1 สาหรบภาคเปด a1jxj แทน ความตองการผลผลตท 1 ใชเปนปจจยการผลตของอตสาหกรรมท j จะสงเกตไดวาในสมการสดทาย นอกจากสมประสทธตวแรก (1 - a11) แลว สมประสทธตวอนๆ จะยงคงเดมเหมอนสมการแรก เพยงแตมการเปลยนแปลงเครองหมายหนาสมประสทธเปนลบ ในทานองเดยวกน อตสาหกรรมท 2 จะมคาสมประสทธเขยนเปนสมการไดดงน -a21x1 + (1 – a22)x2 - ... – a2nxn = d2 ดงนนใน n อตสาหกรรม ปรมาณผลผลตทตองการในแตละอตสาหกรรมเขยนเปนระบบสมการเชงเสน n สมการไดดงน (1 - a11) x1 - a12 x2 ... - a1n xn = d1 -a21x1 + (1 – a22)x2 ... – a2nxn = d2
-an1x1 – an2x2 - ... + (1 – ann)xn = dn เขยนใหอยในรปเมทรกซไดดงน
)a1(aa
a)a1(a
aa)a1(
nn2n1n
n22221
n11211
n
2
1
x
x
x
=
n
2
1
d
d
d
ถาเขยนเมทรกซสมประสทธใหม โดยใหคาของเมทรกซยงคงเดม ทาไดโดยนาเอาเมทรกซเอกลกษณ (In) ลบดวยเมทรกซ A ไดดงน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 201
100
010
001
–
nn2n1n
n22221
n11211
aa
aaa
aaa
= I - A
ดงนนเขยนใหมไดดงน (I – A) x = d เมอ x เปน เวกเตอรตวแปร d เปน เวกเตอรความตองการสนคาขนสดทาย เมทรกซ (I – A) เรยกวา เมทรกซเทคโนโลย (Technology matrix) หรอลอองเทยฟเมทรกซ (Leontief matrix) ซงจะใชสญลกษณ T แทน สามารถเขยนไดเปน Tx = d ถา T เปนเมทรกซไมใชเอกฐาน จะสามารถหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ T ได (T-1) และจะสามารถหา ผลเฉลยของระบบสมการได ดงน x = (T-1)d หรอ = (I – A)-1 d และเรยก (I – A)-1 วา ตวผกผนลอองเทยฟ (Leontief inverse) ตวอยางท 5.8 กาหนดใหระบบเศรษฐกจหนงประกอบดวย 3 อตสาหกรรม และมเมทรกซสมประสทธปจจยการผลต ดงน
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
=
2.03.01.0
2.01.04.0
2.03.02.0
และมเวกเตอรความตองการสนคาขนสดทายมหนวยเปนลานบาท ดงน
d =
6
5
10
จงหาวา แตละอตสาหกรรมจะตองผลตสนคามลคาเทาใด ใหวเคราะหโดยใชแบบจาลองปจจย-ผลผลตของลอองเทยฟ วธทา กาหนดใหอตสาหกรรม 3 อตสาหกรรมผลตสนคามลคา จานวน x1, x2 และ x3
202 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
จากโจทยทกาหนดให สงเกตไดวา เมทรกซ A มผลรวมของแตละสดมภนอยกวา 1 ถาใหสญลกษณ aoj แทนจานวนมลคาของปจจยการผลตขนตนตอหนวยผลผลตสนคาท j จะไดวา a01 = 0.3 a02 = 0.3 a03 = 0.4 จากเมทรกซ A ทกาหนดใหแสดงวาเปนแบบจาลองปจจย-ผลผลตแบบเปดและเวกเตอร d เขยนเปนระบบสมการเชงเสนในรปแบบของเมทรกซไดดงน (I – A) x = d เมอ T = (I – A) ดงนน Tx = d
หรอ
8.03.01.0
2.09.04.0
2.03.08.0
3
2
1
x
x
x
=
3
2
1
d
d
d
และสามารถหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนได x = (T-1)d
หรอ
3
2
1
x
x
x
= 384.01
60.027.021.0
24.062.034.0
24.030.066.0
3
2
1
d
d
d
แต
3
2
1
d
d
d
=
6
5
10
ดงนน
3
2
1
x
x
x
= 384.01
60.027.021.0
24.062.034.0
24.030.066.0
6
5
10
= 384.01
)6(60.0)5(27.0)10(21.0
)6(24.0)5(62.0)10(34.0
)6(24.0)5(30.0)10(66.0
= 384.01
05.7
94.7
54.9
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 203
จะได x1 = 384.054.9
= 24.84 ลานบาท
x2 = 384.094.7
= 20.68 ลานบาท
x3 = 384.005.7
= 18.36 ลานบาท
และปรมาณมลคารวมของปจจยการผลตขนตนของแตละอตสาหกรรมเปนดงน
3
1jjj0 xa = a01x1 + a02x2 + a03x3
= 0.3(24.84) + 0.3(20.68) + 0.4(18.36) = 20.752 ลานบาท
ความตองการบรโภคเปนสนคาขนสดทาย d =
6
5
10
จะเปนไปไดกตอเมอจานวนปจจยการผลตขนตน
ตองมมลคาอยางนอย 20.752 ลานบาท ตวอยางท 5.9 จงหาอปสงครวมทงหมดของอตสาหกรรม 3 อตสาหกรรม โดยใชแบบจาลองปจจย-ผลผลตของลอองเทยฟระบบเปด เมอกาหนดเมทรกซสมประสทธปจจยการผลต A และเวกเตอรอปสงคขนสดทาย d
A =
1.03.01.0
6.02.05.0
1.04.03.0
d =
30
10
20
วธทา คานวณหาเมทรกซเทคโนโลย (I – A) ไดดงน
(I – A) =
100
010
001
-
1.03.01.0
6.02.05.0
1.04.03.0
=
9.03.01.0
6.08.05.0
1.04.07.0
หาเมทรกซผกผนของ I – A หรอ (I – A)-1
204 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
(I – A)-1 = 151.01
36.025.023.0
47.062.051.0
32.039.054.0
แต x = (I – A)-1 d
3
2
1
x
x
x
= 151.01
36.025.023.0
47.062.051.0
32.039.054.0
30
10
20
= 151.01
9.17
5.30
3.24
=
54.118
99.201
93.160
ดงนน x1 = 160.93 x2 = 201.99 x3 = 118.54 จากการวเคราะหขางตนน สงสาคญกคอ สมประสทธปจจยการผลตจะตองคงเดมไมเปลยนแปลง หรอ เมทรกซผกผน T-1 = (I – A)-1 ไมเปลยนแปลง นอกจากนถาระบบเศรษฐกจประกอบดวยอตสาหกรรมจานวนมาก แบบจาลองปจจย-ผลผลตกจะมระบบสมการเชงเสนทซบซอนมากขน การหาเมทรกซผกผน หรอ T-1 กจะมความยงยากมากขน (แมวาในทางปฏบตจะสามารถหาเมทรกซผกผนไดจากการใชโปรแกรมสาเรจชวยคานวณไดกตาม) การหาเมทรกซผกผนโดยการประมาณกจะชวยใหการหาผลเฉลยของระบบสมการมความสะดวกมากขน การประมาณเมทรกซผกผนสามารถพจารณาไดดงน กาหนดให A เปน เมทรกซจตรสใดๆ m เปนจานวนเตมบวก I เปน เมทรกซเอกลกษณ ถาใหพจารณาผลคณของเมทรกซ 2 เมทรกซ ดงน (I – A)(I + A + A2 + … + Am) เมอกระจายผลคณจะได = I(I + A + A2 + … + Am) - A(I + A + A2 + … + Am) = I(I + A + A2 + … + Am) – IA - A2 – A3 - … -Am - Am+1 [เนองจาก ผลคณของเมทรกซเอกลกษณกบเมทรกซใดๆ จะไดเมทรกซเดมนน ดงนน IA = A และ I(I + A + A2 + … + Am) = (I + A + A2 + … + Am)] = (I + A + A2 + … + Am) – A - A2 - … -Am - Am+1 ดงนน (I – A)(I + A + A2 + … + Am) = I - Am+1 จากสมบตของเมทรกซผกผนจะไดวา AA-1 = I ถาพจารณาผลรวมของเมทรกซ (I + A + A2 + … + Am) พบวา จะเปนเมทรกซผกผนของ (I – A) ไดกตอเมอไมมพจน Am+1 ปรากฏอยทางซายมอของสมการ ซงกคอตองใหเมทรกซ Am+1 เปนศนย และเมทรกซ Am+1 จะ
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 205
มคาเขาใกลเมทรกซศนยกตอเมอเมทรกซ I - Am+1 มคาเขาใกล I ดงนนจงกลาวไดวา ผลรวมของเมทรกซ (I + A + A2 + … + Am) จะเขาใกลเมทรกซผกผน (I – A)-1 ไดกตอเมอทาให Am+1 เขาใกลศนยและจะไดเมทรกซผกผนโดยประมาณดวยการบวกเมทรกซ I, A, A2, …, Am เขาดวยกน เมทรกซ Am+1 เขาใกลศนยสามารถทาไดถาแบบจาลองปจจย-ผลผลตเปนจรงโดยพจารณาสมาชกในแตละสดมภของเมทรกซ A ทไมเปนจานวนลบ และรวมกนแลวมคานอยกวา 1 ดงนนการทาใหเมทรกซ Am+1 มคาเขาใกลศนยหรอเมทรกซศนย เลขยกกาลง m จะตองใหญเพยงพอ ซงการยกกาลง m กคอการคณดวยตวมนเองซ าๆ กน m ครง ดงนนถา m + 1 มคามาก ตองคณเมทรกซ A ซ าๆ กน m + 1 ครงทาใหสมาชกแตละตว หรอ aij แตละตวของเมทรกซ Am+1 มคาเขาใกลศนยมากขนมผลให Am+1 มคาเขาใกลเมทรกซศนย เมทรกซผกผนของ (I – A) หรอ (I – A)-1 กจะคานวณไดจาก (I + A + A2 + … + Am) จากเมทรกซสมประสทธปจจยการผลต A = [aij] ทมสมาชกแตละตวไมเปนคาลบและผลรวมของสมาชกทกตวในแตละสดมภ นอยกวา 1 เมทรกซ Am+1 จะเขาใกลเมทรกซศนย เมอ m เพมมากขนอยางไมจากด จากแนวคดของนอรม (norm) ของเมทรกซ A ซงหาไดจากผลรวมของสมาชกทกตวของแตละสดมภทมคามากทสด และ ใชสญลกษณวา N(A) สาหรบเมทรกซ A ตามตวอยางท 5.8
A =
2.03.01.0
2.01.04.0
2.03.02.0
ผลรวม 0.7 0.7 0.6 ดงนน ผลรวมของสมาชกในสดมภแรก เทากบ 0.7 มคามากทสด และมคาเทากบผลรวมของสมาชกในสดมภทสองดวยเชนกน ดงน น คานอรมของเมทรกซ A หรอ N(A) = 0.7 และจะเหนวาไมมสมาชกตวใดใน เมทรกซ A ทมคามากกวาคานอรม นนคอ aij N(A) (ทกๆ คา i และ j) จะเหนวา N(A) < 1 และ aij < 1 แต aij แตละคาเปนคาบวกเสมอ หรอ aij > 0 จะไดวา 0< N(A) < 1 การหาคานอรมของเมทรกซมทฤษฎทเกยวของกคอ เมอกาหนดเมทรกซ A และเมทรกซ B ทสามารถ คณกนไดตามคณสมบตการคณเมทรกซดวยเมทรกซ จะไดวา N(AB) N(A) N(B)
206 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ถา A = B จะไดวา N(AA) N(A) N(A) N(A2) [N(A)]2 เมอ B = A2 จะไดวา N(AA2) N(A) N( A2) N(A3) N(A) [N(A)]2 [N(A)]3 สามารถเขยนอยในรปแบบทวไปไดดงน N(Am) [N(A)]m เนองจาก 0 < N(A) < 1 และ m มขนาดใหญมากหรอไมจากด [N(A)]m ตองมคาเขาใกลศนย เพราะคาเศษสวนทเปนบวกเมอยกกาลงมากๆ จนไมจากด ผลเฉลยจะเขาใกลศนยแต N(A m) นอยกวาหรอเทากบ [N(A)]m ดงนน N(A m) กตองเขาใกลศนยดวยเชนกน อยางไรกตามถาพจารณาสมาชกในเมทรกซ A m พบวาจะมคาเขาใกลศนยดวย เมอ m มขนาดใหญมากจนไมจากด เพราะวาจะไมมสมาชกในเมทรกซ A m มคามากกวานอรม N(A m) ดงนนเมอ m มขนาดใหญเพยงพอ เมทรกซ Am+1 จะมคาเขาใกลเมทรกซศนย เมอเงอนไข 0 < N(A) < 1 เปนจรง
3) แบบจาลองระบบปด (the closed model) แบบจาลองระบบปดจะมลกษณะทแตกตางไปจากแบบจาลองระบบเปดตรงทภาคภายนอกไดถก
รวมเขาเปนสวนหนงของระบบเปนเสมอนอตสาหกรรมหนงในระบบ ทาใหความตองการสนคาขนสดทาย และปจจยการผลตขนตน ไมปรากฏในแบบจาลอง ผลผลตหรอสนคาจะเปนสนคาขนกลาง เพราะการผลตสนคาทกๆ หนวยสนคาในระบบจะตองผลตใหเพยงพอตอความตองการสนคาเพอเปนปจจยการผลตของแตละอตสาหกรรมรวมทงหมด ซงจะมอตสาหกรรมทงหมดในระบบจานวน n + 1 อตสาหกรรม
อตสาหกรรมใหมทถกรวมเขาไวในระบบนจะมความตองการผลผลตหรอสนคาของอตสาหกรรมอนแตละอตสาหกรรมในอตราสวนทคงท ขณะเดยวกนผลผลตทอตสาหกรรมใหมนผลตไดกจะเปนปจจยการผลตของอตสาหกรรมอนๆ ในสดสวนทคงทเชนกน ตวอยางเชน อตสาหกรรมใหมเปนครวเรอนทจะบรโภคสนคาแตละชนดในสดสวนทคงท ขณะเดยวกน แรงงานในครวเรอนกเปนอปทานสาหรบอตสาหกรรมอนๆ ในอตราสวนทคงท เชนกน
แบบจาลองระบบปดมการเปลยนแปลงกรอบการวเคราะหทแตกตางไปจากระบบเปด กลาวคอ ผลรวมของสมาชกแตละสดมภของเมทรกซ A ตองเทากบ 1 นนคอ
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 207
n
0iija = 1 เมอ j = 0, 1, 2, …, n
j = 0 หมายถง อตสาหกรรมใหมทมาจากภาคภายนอกของแบบจาลองระบบเปด และโครงสรางของแบบจาลองจะไมปรากฏความตองการสนคาขนสดทาย (อปสงคขนสดทาย) หรอมความตองการเปนศนย ระบบสมการของแบบจาลอง จงเปนระบบสมการเอกพนธ (homogeneous equation system) และเขยนอยในรปแบบของเมทรกซไดดงน
)a1(aa
aa1a
aaa1
nn1n0n
n11110
n00100
n
1
0
x
x
x
=
0
0
0
หรอ (I – A)x = 0
ตวอยางเชน แบบจาลองปจจย-ผลผลต ระบบปดมทงหมด 4 อตสาหกรรม รวมถงอตสาหกรรมใหมดวย ระบบสมการเอกพนธเขยนในรปแบบของเมทรกซดงน
)a1(aaa
a)a1(aa
aa)a1(a
aaaa1
33323130
23222120
13121110
03020100
3
2
1
0
x
x
x
x
=
0
0
0
0
เพราะวาเปนระบบสมการเอกพนธ ผลเฉลยของระบบสมการจะไมเปนศนย กตอเมอเมทรกซเทคโนโลยขนาด 4 4 หรอ (I – A) มคาดเทอรมแนนตเปนศนย หรอ I - A = 0 และผลรวมของแตละสดมภของเมทรกซสมประสทธปจจยการผลต หรอเมทรกซ A ตองเทากบ 1 นนคอ a0j + a1j + a2j + a3j = 1 หรอ a0j = 1 - a1j - a2j - a3j นนคอแตและแถวทง 4 แถวของเมทรกซเทคโนโลย หรอ (I – A) จะมความสมพนธเชงเสนซงกนและกน (linearly dependent) ทาให I - A = 0 ทาใหไมสามารถคานวณหาผลเฉลยของระบบสมการทถกตองได แตจะสามารถหาสดสวนของระดบผลผลต x1, x2, …, x4 ได แตถามการเพมขอจากดในแบบจาลอง กจะสามารถคานวณผลเฉลยเปนคาทแนนอนได
208 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แบบฝกหดบทท 5 1. จงหาปรมาณดลยภาพและราคาดลยภาพของตลาดสนคาชนดหนง ดงน 1.1 Qs = -20 + 3P 1.2 Qs = -32 + 7P 1.3 Qs + 45 – 8P = 0 Qd = 220 - 5P Qd = 128 - 9P Qd – 125 + 2P = 0
2. จงหาปรมาณและราคาดลยภาพของตลาดสนคาทมฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานดงน ฟงกชนอปสงค Q2 + 3P + 5Q – 102 = 0 ฟงกชนอปทาน P - 2Q2 + 3Q + 71 = 0 3. กาหนดใหตลาดสนคา 2 ชนด คอ เนอวว (B) และเนอหม (P) มระบบสมการเกยวเนองของสนคา ดงน เนอวว (B) ฟงกชนอปสงค QdB = 82 – 3PB + PP ฟงกชนอปทาน QsB = -5 + 15PB เนอหม (P) ฟงกชนอปสงค QdP = 92 + 2PB - 4PP ฟงกชนอปทาน QsP = -6 + 32PP จงหาราคาและปรมาณดลยภาพของสนคาทง 2 ชนด 4. จงหาราคาดลยภาพและปรมาณดลยภาพของสนคา 2 ชนด คอ กางเกงยนส (J) และ เสอเชรต (S) เมอกาหนด
สมการอปสงคและอปทาน ดงน เสอเชรต (S) Qds – 410 + 5PS + 2Pj = 0 Qss + 60 – 3Ps = 0 กางเกงยนส (J) Qdj – 295 + PS + 3Pj = 0 Qsj + 120 – 2Pj = 0 5. จงหาราคาดลยภาพและปรมาณดลยภาพของแบบจาลองตอไปน 5.1 Qd = Qs 5.2 Qd = Qs Qd = 3 – P2 Qd = 10 – P2 Qs = 6P – 4 Qs = P - 2
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 209
6. กาหนดใหฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานของแบบจาลองตลาดสนคา 2 ชนด เปนดงน Qd1 = 18 – 3P1 + P2 Qd2 = 12 + P1 -2P2 Qs1 = -2 + 4P1 Qs2 = -2 + 3P2 จงหา iP และ iQ (ใชเศษสวนแทนทศนยม) 7. จงคานวณรายไดประชาชาตดลยภาพจากแบบจาลองทกาหนดให โดยทการลงทนไมใชการลงทนโดยอสระ แต
กาหนดใหเปนฟงกชนของรายได ดงน Y = C + I C = C0 + bY I = I0 + aY และ C0 = 65 I0 = 85 b = 0.65 และ a = 0.2 8. แบบจาลองรายไดประชาชาตเปนดงน Y = C + I0 + G0 C = a + b(Y – T) (a > 0, 0 < b < 1) T = d + tY (d > 0, 0 < t < 1) เมอ T คอ ภาษ t คอ อตราภาษรายได จงหา Y , T และ C 9. แบบจาลองปจจย-ผลผลต ตามตวอยาง 5.8 ถาอปสงคขนสดทาย คอ d1 = 30 d2 = 15 และ d3 = 10 (หนวยเปน
พนลานบาท) ปรมาณผลผลตของ 3 อตสาหกรรมคดเปนมลคาเทาใด 10. จากขอ 9 ถา a01 = 0.3 a02 = 0.3 และ a03 = 0.4 จงคานวณจานวนความตองการปจจยการผลตขนตนทงหมด
ทใชในการผลต
210 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
บทท 6 ลมตและอนพนธ 6.1 ลมตและความตอเนอง (Limit and continuity) 6.1.1 ความหมายของลมต แนวคดเกยวกบลมตไดถกนามาใชในการวเคราะหทางดานเศรษฐศาสตรและบรหารธรกจอยเสมอๆ เชน ปรมาณการผลตของโรงงานแตละแหงทผลตได ปรมาณขายสนคาหรอบรการทหนวยธรกจแตละหนวยขายไดแตละเดอน ทงปรมาณการผลต และปรมาณขายสนคาหรอบรการยอมมขดจากดทหนวยธรกจสามารถทาไดทงนขนอยกบปจจยตางๆ ทแปรเปลยนไป ความจากดตามตวอยางทยกมานกคอ ลมต นนเอง ในการทาความเขาใจเกยวกบลมตใหพจารณาจากตวอยางตอไปน
ใหพจารณาคาของฟงกชน f ถากาหนดให f(x) = 1x1x 2
จากสตรของฟงกชนทกาหนดให จะเหนวา ถา x = 1 จะไมสามารถหาคาของ f(x) ได แตสามารถหาคาของ f(x) ได สาหรบ x ใดๆ ทไมใช 1 หรอ x 1 ดงนน 1 จงไมอยในโดเมนของ f
ดงนน f(x) = )1x(
)1x)(1x(
สาหรบทกๆ คาของ x 1 เมอกาหนดคาของ x เปนคาใดๆ และ x มคาเขา
ใกล 1 จะไดคา f(x) ดงน
x 0 0.5 0.9 0.999 1.001 1.1 1.5 2.0 f(x) 1 1.5 1.9 1.999 2.001 2.1 2.5 3 จากการคานวณจะเหนวา เมอ x มคาเขาใกล 1 แลว f(x) จะมคาเขาใกลคา 2 จงเรยกวา 2 นวา เปนคา “ลมตของ f(x) เมอ x เขาใกล 1” ดงนนจงสรปความหมายของลมตไดวา ลมต (limit) หมายถง ระดบหรอขอบเขตของคาของฟงกชนใดฟงกชนหนงในขณะทตวแปรของฟงกชนนนมคาใกลเคยงกบคาใดคาหนงทถกกาหนดขน จากตวอยางขางตน ถาเขยนดวยสญลกษณ จะไดวา x 1 แลว f(x) 2 อานวา x เขาใกล 1 แลว f(x) จะเขาใกล 2 หรอเขยนใหมไดวา
1xlim
f(x) = 2 อานวา ลมตของ f(x) เทากบ 2 ในขณะท x เขาใกล 1 หรอเขยนให
ชดเจนยงขนไดวา 1x
lim
1x1x 2
= 2
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 211
โดยทวไป ถา f เปนฟงกชน เมอพจารณาเฉพาะ x > a แลวไดวา f(x) มคาเขาใกล L (จานวนหนงจานวนเดยว) เมอ x มคาใกล a หรอกลาวอกอยางหนงวา “f(x) มลมตเปน L เมอ x เขาใกล a จากทางขวา” ลมตเชนนเรยกวาลมตขวา (right-hand limit) แสดงโดยเครองหมาย + เหนอ a เขยนเปนสญลกษณไดวา
axlim f(x) = L
จากตวอยางขางตน จงสามารถเขยนไดวา
1xlim f(x) = 2
อานวา “f(x) มลมตเปน 2 เมอ x เขาใกล 1 จากทางขวา” ในทานองเดยวกน ถา f เปนฟงกชน เมอพจารณาเฉพาะ x < a แลวไดวา f(x) มคาเขาใกล L (จานวนหนงจานวนเดยว) เมอ x มคาใกล a หรอกลาวอกอยางหนงวา “f(x) มลมตเปน L เมอ x เขาใกล a จากทางซาย” ลมตเชนน เรยกวา ลมตซาย (left-hand limit) แสดงโดยเครองหมาย – เหนอ a เขยนเปนสญลกษณไดวา
axlim f(x) = L
จากตวอยางขางตน จงสามารถเขยนไดวา
1xlim f(x) = 2
อานวา “f(x) มลมตเปน 2 เมอ x เขาใกล 1 จากทางซาย” ถา f เปนฟงกชน ซง f(x) มคาเขาใกล L (จานวนหนงจานวนเดยว) เมอ x มคาใกล a (x > a และ x < a) ซงกคอ f(x) มลมตเปน L เมอ x เขาใกล a เขยนเปนสญลกษณไดวา )x(flim
ax = L
การพจารณาคาลมตของ f(x) เมอ x a จะตองพจารณาท งคาของ x ทนอยกวา a และทมากกวา a กลาวคอการพจารณาทงคา x ทใกล a ทางขวาและทางซายแลว นาไปสคา f(x) เดยวกน แสดงวาสามารถหาคาลมตของ f(x) ได ดงนน ถา )x(flim
ax = L แลว
จะไดวา ax
lim f(x) = L และ
ax
lim f(x) = L ดวย
และในทานองตรงกนขาม ถา
axlim f(x) = L และ
axlim f(x) = L แลว
จะไดวา )x(flimax
= L เปนจรง
212 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แตถา ax
lim f(x) ax
lim f(x)
แสดงวา )x(flimax
ไมมคา
ตวอยางท 6.1 กาหนดให f(x) = 4x + 1 จงหา )x(flim
4x
วธทา หาคาของ f(x) เมอแทนคา x ทใกล 4 ทงนอยกวา 4 และมากกวา 4 เมอ x 4 ทางซาย จะไดวา f(x) 17 หรอ
4xlim f(x) = 17
และ x 4 ทางขวา จะไดวา f(x) 17 หรอ
4xlim f(x) = 17
สรปไดวา )x(flim
4x = 17 หรอ
1x4lim4x
= 17
6.1.2 ทฤษฎของลมต ทฤษฎของลมตตอไปนจะชวยใหการหาลมตของฟงกชนทาไดงายขน ในทนจะสรปเฉพาะทฤษฎของลมต
เทานน กาหนดให k เปนคาคงท
ทฤษฎท 1 ลมตของคาคงท klimax
= k
ทฤษฎท 2 ลมตของผลบวกและผลลบระหวางฟงกชน ax
lim
[f(x) g(x)] = )x(flimax
)x(glimax
ทฤษฎท 3 ลมตของผลคณระหวางฟงกชน ax
lim
[f(x) g(x)] = )]x(flim[ax
)]x(glim[ax
ทฤษฎท 4 ลมตของผลหารระหวางฟงกชน ax
lim )x(g
)x(f =
)x(glim
)x(flim
ax
ax
เมอ )x(glimax
0
ทฤษฎท 5 ลมตของผลคณระหวางคาคงทกบฟงกชน )x(kflimax
= )x(flimkax
ทฤษฎท 6 ลมตของรากท n ของฟงกชน n
ax)x(flim
= n
ax)x(flim
ทฤษฎท 7 ลมตของฟงกชนยกกาลง ax
lim
[f(x)]n = n
ax)]x(flim[
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 213
ตวอยางท 6.2 จงหาลมตของ f(x) = x2 + 3x + 4 เมอ x เขาใกล 2 วธทา เขยนเปนลมตไดดงน
)x(flim2x
= 2x
lim
x2 + 3x + 4
= 2x
lim
x2 + 2x
lim
3x + 2x
lim
4 (โดยทฤษฎท 2)
= 2
2x]xlim[
+ 3
2xlim
x + 4 (โดยทฤษฎ 1, 5, 7)
= (2)2 + 3(2) + 4 = 4 + 6 + 4 = 14
ตวอยางท 6.3 จงหาลมต )x(flim2x
เมอ f(x) = 2-x
2 3x - x 2
วธทา ในกรณนจะใชทฤษฎลมตของผลหารระหวางฟงกชนได กตอเมอ 2x
lim
x-2 0 ดงนน f(2) จงหาคาไมได
จงจาเปนตองพจารณาฟงกชนใหม จะเหนวาพจนในเศษมพจนทเปนตวประกอบรวมกนเหมอนกบพจนในสวน จงแยกตวประกอบพจนในเศษไดดงน x2 - 3x + 2 = (x – 2)(x – 1)
จะไดวา f(x) = )2x(
)1x)(2x(
= (x – 1)
ดงนน 2x
lim
2-x
2 3x - x 2 =
2xlim
x – 1
= 2x
lim
x - 2x
lim
1 (โดยทฤษฎ 2)
= 2 – 1 (โดยทฤษฎ 1, 7) = 1
ตวอยางท 6.4 จงหาลมต 1x
lim
1-x
4 3x - x2
2
วธทา เนองจาก 1x
lim
x2 – 1 = 1x
lim
x2 - 1x
lim1
= 1 – 1 = 0 จะใชทฤษฎลมตผลหารระหวางฟงกชนยงไมได ใหพจารณาตวประกอบของพจนในเศษและพจนในสวนของฟงกชนกอน ซง x2 - 3x – 4 = (x + 1)(x – 4) และ x2 – 1 = (x - 1)(x + 1)
214 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ดงนน 1x
lim
1-x
4 3x - x2
2 =
1xlim
)1x)(1x()4x)(1x(
= 1x
lim
)1x()4x(
= 1xlim
4xlim
1x
1x
(โดยทฤษฎ 4)
= 1)1(4)1(
(โดยทฤษฎ 1, 7)
= 25
= 25
6.1.3 ลมตเกยวกบอนฟนต
ใหพจารณาคาของ f(a) ตอไปน เมอกาหนดให f(a) = 1a
a2
ถา a มคาเพมมากขน จะไดคาของ f(a) เขาใกลจานวนหนงจานวนเดยวตามตาราง a 10 1,000 10,000 100,000
f(a) 1.81818 1.99800 1.99980 1.99998 จะเหนวายง a มคาเพมมากขน คา f(a) จะยงเขาใกล 2 มากขนจากความหมายของลมตทไดเคยอธบาย
มาแลวจะไดวา 2 เปนคาของลมตของ f(a) เมอ a มคามากขนอยางไมจากด เขยนแทนดวยสญลกษณไดวา
alim f(a) = 2
อานวา ลมตของ f(a) เทากบ 2 ในขณะท a เพมขนเขาใกลอนฟนต ดงนน ถา f(a) มคาเขาใกลจานวน L จานวนหนง เมอ a มคามากขนอยางไมจากด ซงกคอ L เปนลมตของ f(a) เมอ a เพมขนอยางไมจากดเขยนเปนสญลกษณไดดงน
alim f(a) = L
ในการคานวณหา f(a) เมอ a มคาเพมมากขนนน ถาพจารณาท f(a) สามารถเขยนใหมไดเปน
f(a) = )1a(
a2
aa
=
a)1a(
2 =
)a1
1(
2
เมอ a มคามากๆ แลว a1
จะมคานอยมากจนใกลศนยทาให
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 215
f(a) )01(
2
2
2 จงเปนลมตของ f(a) เมอ a มคามากขนอยางไมจากด
ถาให x = a1
เมอ a มคาเพมมากขน x จะมคาเขาใกลศนย แตยงคงเปนจานวนบวก อาจกลาวไดวา ลมตของ f(a) เมอ a มคาเพมมากขนอยางไมจากด ซงกคอ ลมตของ f(a) เมอ x มคาเขาใกลศนยจากทางขวานนเอง เขยนเปนสญลกษณไดดงน
alim f(a) =
0xlim f(a)
จากความสมพนธทกาหนดให x = a1
นน เขยนใหมไดเปน a = x1
ดงนน a
lim f(a) = 0x
lim f(x1
)
สามารถนาความสมพนธนไปใชคานวณลมตเกยวกบอนฟนตได เชน
จาก f(a) = 1a
a2
และ a
lim f(a) = 0x
lim f(x1
)
ดงนน a
lim 1a
a2
= 0x
lim1)
x1
(
)x1
(2
=
0xlim
x
x
1)x
1(
)x
1(2
= 0x
limx1
2
= 2
ในทานองตรงกนขาม ถา f(a) มคาเขาใกล L จานวนหนง เมอ a มคาลดลงอยางไมจากด คา L นเรยกวา ลมตของ f(a) เมอ a มคาลดลงอยางไมจากด เขยนเปนสญลกษณดงน
alim f(a) = L
และเมอ x = a1
ดงนน x จะมคาเขาใกลศนยทางซาย เมอ a มคาลดลงมากขนอยางไมจากด จะไดวา
a
lim f(a) = 0x
lim f(x1
)
และสามารถนาความสมพนธนไปใชในการคานวณลมตเกยวกบอนฟนตไดเชนเดยวกน
216 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 6.5 จงหาคาลมตของ a
lim 5aa44a2a3
2
2
วธทา เพราะวา a
lim 5aa44a2a3
2
2
= 0x
lim 5
x1
x1
4
4x1
2x1
32
2
นา x2 คณทงเศษและสวน เพอทาใหเศษสวนเปนจานวนเตม
= 0x
lim 2
2
22
x5x1
x1
4
x4x1
2x1
3
= 0x
lim 2
2
x5x4x4x23
= 2
0x
2
0x
x5x4lim
x4x23lim
= 2
0x0x0x
2
0x0x0x
]xlim[5xlim4lim
]xlim[4xlim23lim
=
2
2
)0(504)0(4)0(23
= 43
โดยทวไป การเขยนสญลกษณ บวกอนฟนตนนจะเขยน แทน + แตลบอนฟนต ยงคงใชสญลกษณ - เชน )a(flim
a อานวา ลมตของ f(a) เมอ a เขาใกลอนฟนต และ
)a(flima
อานวา ลมตของ f(a) เมอ a เขาใกลลบอนฟนต
ตวอยางท 6.6 จงหาคาลมตของ a
lim
1a2
4
วธทา เพราะวา a
lim
1a2
4 = 0x
lim
1
x1
24
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 217
=
1x1
2lim4lim
0x0x
= 4 - 0x
lim
1
x1
2
x
x
= 4 - 0x
lim
x1
x2
= 4 - x1lim
x2lim
0x
0x
= 4 - 10
= 4
จากตวอยางนสามารถคานวณหาคาของลมตไดอกวธหนง ดงน
a
lim
1a2
4 = 4lima
- a
lim 1a
2
= 4 - a
lim
1a2
a
a
(นา a หารทงเศษและสวนใหได a1
)
= 4 - a
lim
a
11
a
12
= 4 -
a
11lim
a
12lim
a
a
= 4 - 01)0(2
= 4
218 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 6.7 จงหาคาลมตของ t
lim f(t) เมอ f(t) = 2tt1tt5
23
23
วธทา เพระวา t
lim f(t) = t
lim 2tt1tt5
23
23
หารทงเศษ และสวนดวยตวแปรทมกาลงมากทสด
= t
lim
2tt1tt5
23
23
3
3
tt
= t
lim
3
3
t1
2t1
1
t1
t1
5
=
3
ttt
3
ttt
t1
2limt1
lim1lim
t1
limt1
lim5lim =
001005
= 5
สญลกษณ และ - เปนสญลกษณทไมไดแทนจานวนจรงจานวนใด แตเปนสญลกษณทางคณตศาสตรทกาหนดขนเพอใชในการศกษาทางคณตศาสตร การบวก การลบ การคณ การหาร และการเปรยบเทยบ ระหวางจานวนจรง กบ และ - ใหเปนไปตามสมบตเกยวกบอนฟนต เชน สาหรบจานวนจรง x ใดๆ 1. - < x < 2. + x = = x 3. x – (-) = สาหรบจานวนจรง x ใดๆ ซง x 0 4. x = x = ถา x > 0 - ถา x < 0 5. x (-) = (-) x = - ถา x > 0 ถา x < 0
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 219
6. x
= x
= 0
นอกจากการพจารณาหาคาลมตของฟงกชนทคาของตวแปรเขาใกลอนฟนตท ง และ - แลว ยงสามารถใช และ - เปนคาลมตได ถาฟงกชนมคาเพมขนหรอลดลงโดยไมมขดจากด เมอตวแปรของฟงกชนนนเขาใกลจานวนหนง หรอกลาวไดวา ถา f(a) มคาเพมขน โดยไมมขดจากด () เมอ a เขาใกลจานวน t จานวนหนง ซงกคอ เปนลมตของ f(a) เมอ a เขาใกล t เขยนแทนดวยสญลกษณไดวา
talim
f(a) =
หรอ ถา f(a) มคาลดลงโดยไมมขดจากด (-) เมอ a เขาใกลจานวน t จานวนหนง ซงกคอ - เปนลมตของ f(a) เมอ a เขาใกล t เขยนแทนดวยสญลกษณไดวา
talim
f(a) = -
ตวอยางท 6.8 จงหา 1a
lim
f(a) เมอ f(a) = 2)1a(1
วธทา เพราะวา f(a) = 2)1a(
1
เมอพจารณา 2)1a(1
จะพบวา ถา a เขาใกล 1 น น (a – 1)2 จะมคาใกลศนย และมคาเปนบวกเสมอ
เนองจากเปนการยกกาลงสองของคาผลตาง ซงจะมผลลพธเปนบวกเสมอ ดงนนคาของ 2)1a(1
หรอ f(a) จงเปน
บวก และมคามากขนเรอยๆ อยางไมมขดจากด ถา a ยงเขาใกล 1
ดงนน 1a
lim
f(a) = 1a
lim
2)1a(1
=
ตวอยางท 6.9 จงหาคาของ 3a
lim 3a4a
วธทา เนองจาก 3a4a
= 3a
343a
= 1 +
3a7
ใหพจารณา a – 3 เมอ a เขาใกล 3 จากทางซาย ซงกคอ a < 3 คา a – 3 จงเปนลบเสมอ และมคาใกลศนย ยง
a เขาใกล 3 มากยงขน ดงนน คาของ 3a
1
จงเปนลบดวย และจะมคายงนอยลงอยางไมมขดจากด เมอ a ยงเขาใกล
คา 3 จะไดวา
220 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
3a
lim 3a
1
= -
ดงนน 3a
lim 3a4a
= 3a
lim
3a7
1 = 3a
lim 1 + 73a
lim 3a
1
= 1 + 7(-) = -
ตวอยางท 6.10 จงหาคาลมตของ x
lim 1x
4x3x2 2
วธทา x
lim 1x
4x3x2 2
= x
lim )1x(
)4x3x2( 2
xx
= x
lim
x1x
x4x3x2 2
= x
lim
x1
1
x1
43x2
=
x1
1lim
x1
43x2lim
x
x
=
x1
lim1limx1
lim43limx2lim
xx
xxx
= 01
)0(43)(2
=
6.1.4 ความตอเนองและความไมตอเนอง (Continuity and discontinuity) ความตอเนองและความไมตอเนองของฟงกชน เปนเรองทมความเกยวของกบลมต กลาวคอ ในการหาคาลมตของฟงกชนนน เปนการหาคาลมตจานวนหนงจานวนเดยวเมอตวแปรของฟงกชนนนเขาใกลคาหนง เขยนเปนสญลกษณไดวา
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 221
ax
lim
f(x) = L
สาหรบการหาคาของฟงกชนเปนการแทนคา x = a ใน f(x) ถาปรากฏวาคาของ f(a) เทากบ L แสดงวา f(x) มคาตอเนองท x = a หรออกวธการหนง โดยการพจารณาเสนกราฟของฟงกชน ถาปรากฏวาเสนกราฟของฟงกชนเปนเสนทตอกนอยเปนเสนเดยว หรอไมมการขาดตอน กแสดงวาฟงกชนนนเปนฟงกชนทมความตอเนอง แตถาเสนกราฟของฟงกชนไมตอเนองเปนเสนเดยวหรอมการขาดตอน กแสดงวาฟงกชนนนเปนฟงกชนทไมตอเนอง
เชน f(x) = 1x1x 2
เมอนาไปสรางเสนกราฟ โดยแทนคา x ดวยคาตางๆ ปรากฏวา เมอ x = 1 แลว f(1) จะไมมคา ทาใหเสนกราฟขาดตอน ณ ทจด เมอ x = 1 ตามภาพ
จงกลาวไดวา f(x) เปนฟงกชนไมมความตอเนอง ท x = 1 แตถากาหนดใหฟงกชน f(x) เปนดงน
f(x) = 1x1x 2
เมอ x 1
2 เมอ x = 1 จะเหนวา f(x) ไมมการขาดตอนท x = 1 เพราะกาหนดให f(1) = 2 ดงนนเสนกราฟของ f(x) จงเปนเสนทตอกนอยเปนเสนเดยว ทาให f(x) เปนฟงกชนทมความตอเนอง และเมอพจารณาลมตของ f(x) เมอ x เขาใกล 1 นน เปนดงน
1x
lim 1x
1x 2
= 1x
lim
)1x(
)1x)(1x(
= 1x
lim
(x + 1)
= 1x
lim
x + 1x
lim
1
= 1 + 1 = 2
f(x)
x
y
2
0 1
222 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แสดงวา 1x
lim 1x
1x 2
สามารถหาคาได และจะไดวา 1x
lim
f(x) = f(1) ดวย แสดงวา f(x) เปนฟงกชนทม
ความตอเนอง จงสรปไดวา ฟงกชน f(x) จะเปนฟงกชนทมความตอเนอง ท x = a ได กตอเมอ เปนไปตามเงอนไข ตอไปน 1. สามารถหาคา f(a) ได 2. สามารถหาคา
axlim
f(x) ได
3. ax
lim
f(x) = f(a)
อยางไรกตาม ฟงกชน f(x) จะตอเนองอยในชวงทกาลงพจารณาเชน c x d หรอ c x d ซงหมายความวา f(x) จะตองตอเนองกนทกๆ จดในชวงนน และในกรณท
axlim
f(x) = น น เนองจาก เปนเพยงสญลกษณทางคณตศาสตร ไมใชจานวนจรง
จานวนใด ดงนน ax
lim
f(x) = จงถอไดวา หาคาของ ax
lim
f(x) ไมได
สาหรบฟงกชนใดๆ ทไมตอเนอง จงหมายถงฟงกชนทไมไดเปนไปตามเงอนไขท ง 3 ขอทเปนความตอเนองขางตน ทงน ความไมตอเนองของฟงกชนจะเปนไปใน 4 ลกษณะ ดงน 1. เปนไปตามเงอนไขขอท 2 คอ หาคา
axlim
f(x) ได แตไมสามารถหา f(a) ตามเงอนไขขอท 1 ได เรยกวา
เปนความไมตอเนองทจดหนง (missing-point discontinuity) ตวอยางเชน
2. ไมเปนไปตามเงอนไขขอท 1 คอหาคา f(a) ไมได และเมอหาคาตามเงอนไขขอท 2 คอ
axlim
f(x) แลว
จะเทากบ ซงหาคาไมไดเชนกน เรยกวาเปนความไมตอเนองทไมมทสนสด (infinite discontinuity) ตวอยางเชน
x
y
0 a
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 223
3. ไมเปนไปตามเงอนไขขอท 2 คอหาคา
axlim
f(x) ไมได เนองจากลมตซายไมเทากบลมตขวา เรยกวา
เปนความไมตอเนองทมทสนสด (finite discontinuity) ตวอยางเชน
4. ไมเปนไปตามเงอนไขขอท 2 คอ ลมตซายไมเทากบลมตขวาเปนชวงๆ อนเนองมาจากเปนฟงกชนทมโดเมนเปนเซตจากดหลายเซต ทาใหกราฟของฟงกชนขาดหรอไมตอเนองเปนชวงๆ เรยกวาเปนฟงกชนไมตอเนอง (discrete function) ตวอยางเชน
x
y
0 a
x
y
0 a
f(a)
x
y
0 a b c
224 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 6.13 กาหนดให f(x) = 2x6xx 2
จงหาวา f(x) ตอเนองท x = 2 หรอไม
วธทา พจารณาตามเงอนไขความตอเนองของฟงกชนดงน ในกรณท x = 2 หาคา f(2) ปรากฏวาไมสามารถหาคาได เพราะวา
f(x) = 2x6xx 2
เมอ x = 2 แลว x – 2 = 0 ดงนน f(2) จงหาคาไมได สรปไดวา f(x) ไมตอเนอง ท x = 2
ตวอยางท 6.14 กาหนดให f(x) = 2x6xx 2
เมอ x 2
3 เมอ x = 2 จงหาวา f(x) ตอเนองท x = 2 หรอไม วธทา ตามเงอนไขขอท 1 สามารถหาคา f(2) ได เพราะกาหนดให f(2) = 3 เมอพจารณาตามเงอนไขขอท 2 คอ หาคา
2xlim
f(x) ไดดงน
2x
lim
f(x) = 2x
lim 2x
6xx 2
= 2x
lim )2x(
)3x)(2x(
= 2x
lim
x + 3 = 5
สามารถหาคาของ 2x
lim
f(x) ได แตไมเปนไปตามเงอนไขขอท 3 กลาวคอ f(2) 2x
lim
f(x)
ดงนน f(x) จงไมตอเนอง ท x = 2
ตวอยางท 6.15 กาหนดให g(x) = 2x4
x2
จงหาวา g(x) ตอเนองท x = -2 หรอไม
วธทา ถา x = -2 หาคา g(-2) จะไมสามารถหาคาได เพราะวา
4 - 2x = 4 – (-2)2 = 0 และเมอหา
2xlim
g(x) หาคาไมไดเชนกน เพราะวา
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 225
(1) 2x
lim g(x) = 2x
lim2x4
x2
เนองจาก x เขาใกล -2 ทางซาย คา (4 - 2x ) มคาเปนลบเสมอ และมคาใกลศนย ดงนน )x4(
12
จงมคาเปนลบ และเมอ x มคาเขาใกล -2 ทางซายเขาไป คา )x4(
12
กยงนอยลงอยางไมมขดจากด จะไดวา
2xlim
)x4(1
2 = - และ
2xlim x มคาเปนลบเสมอ
ดงนน 2x
lim2x4
x2
= 2x
lim 2x 2x
lim2x4
1
= 2 2x
lim x 2x
lim2x4
1
= 2 (-2) (-) =
และ (2) 2x
lim g(x) = 2x
lim2x4
x2
เนองจาก x เขาใกล -2 ทางขวาและนอยกวา 0 คา (4 - 2x ) มคาเปนบวกและมคาใกลศนย ดงนน 2x4
1
จงมคาเปนบวก และเมอ x มคาเขาใกล -2 ทางขวาเขาไป คา 2x4
1
กยงนอยลงอยางไมมขดจากด จะไดวา
2xlim
2x41
= และ 2x
lim x มคาเปนลบ เมอ x 0
ดงนน 2x
lim2x4
x2
= 2 (-2) () = -
จะเหนวา ลมตซาย ไมเทากบลมตขวา และหาคาไมได จงสรปวา
2xlim
g(x) หาคาไมได
ดงนน g(x) = 2x4
x2
จงเปนฟงกชนทไมตอเนอง ท x = -2
ถาเขยนกราฟของฟงกชน g(x) = 2x4
x2
เมอ x เขาใกล -2 ไดดงน
226 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
g(x) ไมเปนไปตามเงอนไขท 1 และ 2 และ g(x) เมอ x -2+ และ g(x) - เมอ x -2- จงเปนฟงกชนไมตอเนองทเรยกวาความไมตอเนองทไมมทสนสด
ตวอยางท 6.16 จงพจารณาวา g(x) = x
xx 2 มความตอเนองท x = 0 หรอไม และควรจะกาหนดคา g(0) เปน
เทาใด จงจะทาให g(x) เปนฟงกชนทตอเนอง
วธทา เพราะวา g(x) = x
xx 2
เมอ x = 0 จะไดวา = 0
xx 2 ทาให g(0) ไมสามารถหาคาได
เมอพจารณาหาคา 0x
lim
g(x) ไดดงน
0x
lim
g(x) = 0x
lim x
xx 2 =
0xlim x
)1x(x =
0xlim
x-1 = 0x
lim
x - 0x
lim
1 = 0 – 1 = -1
สรปไดวา g(x) ไมเปนไปตามเงอนไขขอท 1 แตสามารถหาคา limit g(x) ได จงเปนฟงกชนทไมตอเนองทเรยกวาความไมตอเนองทจดหนง ถาตองการให g(x) เปนฟงกชนทตอเนอง จะตองกาหนดคาของฟงกชนใหม ดงน
g(x) = x
xx 2 เมอ x 0
-1 เมอ x = 0
x
g(x)
-2 0
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 227
6.2 อนพนธของฟงกชน (The derivative of function) 6.2.1 ความหมายของอนพนธ กาหนดให x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตามทมความสมพนธกน ดงน y = f(x) เมอตวแปร x เปลยนแปลงจาก x0 เปน x1 การเปลยนแปลงในคาของ x จะเทากบผลตางของ x1 – x0 หรอใชสญลกษณ x แทน ( อานวา เดลตา หมายถง ผลตาง) ดงนน x = x1 – x0 ในทานองเดยวกน เมอ y เปลยนแปลงจาก y0 เปน y1 จะใชสญลกษณ y แทนผลตางของ y1 – y0 หรอ y = y1 – y0 และเมอ x มการเปลยนแปลง คาของ f(x) จะแปรเปลยนไปตามคาตางๆ ของ x โดยท f(xi) กคอคาของ f(x) เมอ x = xi เชน f(x) = 3 + x2 เมอ x = 0 จะไดวา f(0) = 3 + 02 = 3 x = 1 จะไดวา f(1) = 3 + 12 = 4 การเปลยนแปลงคาของ x จาก x0 เปน x1 นน อาจเขยนใหมไดวา x1 = x0 + x คาของฟงกชน y = f(x) กจะเปลยนจาก y0 = f(x0) เปน y1 = f(x0 + x) การเปลยนแปลงใน y ตอหนวยของการเปลยนแปลงของ x เขยนอยในรปของผลหารของผลตางไดดงน
xΔ
yΔ =
xΔ)x(f)xΔx(f 00
…….. 6.1
ผลหารดงกลาว แสดงถงอตราเฉลยของการเปลยนแปลงของ y (the average rate of change of y) ซง
สามารถหาคาไดเมอทราบคาของ x0 และ ปรมาณการเปลยนแปลงของ x หรอ x ดงนน xΔ
yΔ กคอฟงกชนของ x0
และ x นนเอง ตวอยางเชน กาหนดให y = 5x2 - 4 เมอ x เปลยนแปลงคาจาก x0 เปน x1 จะไดวา x = x1 – x0 เขยนอยในรปของฟงกชนของ x0 ได ดงน f( x0) = 5( x0)2 - 4 และ f(x0 + x) = 5( x0 + x)2 – 4
ดงนน xΔ
yΔ =
x4)x(54 -x) x 5( 2
02
0
Δ
Δ
= x
4)x(54x)(x x2 x 5 20
20
20
Δ
ΔΔ =
x)x(5xx 10 2
0
Δ
ΔΔ
228 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
xy
Δ
Δ = 10x0 + 5x …….. 6.2
สมการ 6.2 สามารถหาคาได เมอทราบคา x0 และ x เชน กาหนดให x0 = 3 และ x = 4
ดงนน อตราเฉลยของการเปลยนแปลงของ y หรอ xΔ
yΔ = 10(3) + 5(4) = 30 + 20 = 50
คาเฉลยดงกลาว หมายถง เมอ x เปลยนแปลงจาก 3 หนวย เปน 7 หนวย การเปลยนแปลงใน y เทากบ 50 หนวย ตอหนวยการเปลยนแปลงใน x โดยปกตจะใหความสาคญของอตราการเปลยนแปลงของ y เมอการเปลยนแปลงใน x หรอ x มคานอย
มาก โดยจะประมาณคาของ xΔyΔ ดวยการไมนาคาของพจนตางๆ ทม x รวมดวยมาคานวณในผลหารของ
ผลตางของตวแปร อยางเชนในสมการ 6.2 จะถอวา x มคานอยมาก จนสามารถตดพจนทม x รวมดวยทงได
ดงนนคาประมาณของ xΔyΔ จงเทากบ 10x0 ซงคาประมาณทไดนเปนคาทใกลเคยงกบคาจรงของ xΔ
yΔ
มากทสด แนวคดดงกลาว หมายความวา ขณะท x มคาเขาใกลศนย หรอเกอบจะเทากบศนยแตไมเทากบศนย คา
ของ 10x0 + 5x จะเขาใกลคา 10x0 ทาให xΔ
yΔ จะเขาใกลคา 10x0 ดวยเชนเดยวกน เขยนเปนสญลกษณไดวา
xΔ
yΔ 10x0 เมอ x 0 สามารถเขยนอยในรปแบบของลมตไดดงน
0xΔ
lim xΔ
yΔ = 10x0 …….. 6.3
อานวา “ลมตของ xΔ
yΔ เทากบ 10x0 เมอ x เขาใกลศนย” ลมตของผลหารของผลตาง
xΔ
yΔ เมอ x
0 น เรยกวา อนพนธของฟงกชน y = f(x) ดงนน อนพนธ (derivative) จงหมายถง อตราการเปลยนแปลงระหวางตวแปรของฟงกชนในขอบเขตจากด ณ ระดบใดระดบหนง และเขยนเปนสญลกษณแทนอนพนธของฟงกชน y = f(x) ท x ใดๆ ไดวา f(x) โดยท
f(x) = 0x
limΔ
xΔ
yΔ =
0xlimΔ
x
)x(f)xx(f 00
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 229
ขอสงเกตบางประการเกยวกบอนพนธของฟงกชน 1. อนพนธเปนฟงกชน คาวาอนพนธ (derivative) หมายถง ไดมาจากฟงกชน (derived function) ถา ฟงกชนเดมคอ y = f(x) อนพนธกคอฟงกชนอนๆ ทไดมาจากฟงกชนเดมน ดงเชน ผลหารของผลตางกคอฟงกชนของ x0 และ x สงเกตไดจากสมการ 6.3 อนพนธของฟงกชนกคอฟงกชนของ x0 เทานน เพราะวา x มคาเขาใกลศนยซงมคานอยมากและเกอบจะเทากบศนย การทใชสญลกษณ x0 ซงเปนตวแปรทมสญลกษณหอยทายหรอดชนลางกากบไว กเพอแสดงใหเหนวา คาของตวแปร x ตองเรมตนจากคาเฉพาะคาใดคาหนงของ x โดยทวไปสามารถตดดชนลาง นออกจากอนพนธไดเพอใหเหมอนกบฟงกชนเดมซงเปนฟงกชนของตวแปรอสระ x และใช x แสดงถงอนพนธของฟงกชนแทน 2. อนพนธเปนลมตของผลหารของผลตางซงเปนการวดอตราการเปลยนแปลงของ y อนพนธ จงมความสาคญตอการวดอตราการเปลยนแปลง โดยเฉพาะการวดการเปลยนแปลงของ x ซง มการเปลยนแปลงนอยมากจนเกอบเทากบศนย (x 0) 3. สญลกษณทใชแทนอนพนธของฟงกชนโดยทวไปมการใชใน 2 แนวทาง คอ ใช f(x) หรอ f(กาหนด
โดย Lagrange) และ dxdy
(กาหนดโดย Leibniz) แตอาจจะมการใชสญลกษณอนๆ เชน Dy หรอ Df(x) แทนกได แต
ไมนยม การใช f(x) จะแสดงใหเหนวามาจากฟงกชนเดม f(x) และการใช dxdy
จะแสดงถงการใหความสาคญของ
อนพนธวามาจากการวดอตราการเปลยนแปลง ตวอกษร d ใชแทนอกษรกรก แต dxdy
แตกตางจาก xΔyΔ
ตรงท dxdy
หมายถงลมตของ xΔ
yΔ เมอ x 0
ดงนน การใชสญลกษณแทนอนพนธของฟงกชน y = f(x) จงอาจใชไดวา
dxdy
= f(x) = 0x
limΔ
xΔ
yΔ
และ dxdy
เรยกวา อนพนธของ y เทยบกบ x ตวอยางเชน จากฟงกชนเดม y = 5x2 – 4 สามารถหาคาผลหาร
ของผลตางตามสมการ 6.2 และลมตของผลหารผลตางตามสมการ 6.3 และใช x แทน x0 จะไดวา
dxdy
= 0x
limΔ
xΔ
yΔ = 10x
หรอ f(x) = 10x
230 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ถากาหนดให x มคาตางๆ กน จะสามารถหาคาของอนพนธของฟงกชนเมอ x มคาแตกตางกนนนได เชน เมอกาหนดให x = 3 จะไดวา f(3) = 10(3) = 30 เมอกาหนดให x = 4 จะไดวา f(4) = 10(4) = 40 6.2.2 อนพนธและความชนของเสนสมผส กาหนดให y = f(x) และเขยนเปนเสนกราฟของฟงกชนไดตามภาพท 6.1
ภาพท 6.1 เสนโคงของฟงกชน y = f(x) เสนซเคนทและเสนสมผส
จากภาพ เสนกราฟของฟงกชน y = f(x) ทจด A แสดงถงคอนดบ x0 และ y0 และจดท B แสดงถงคอนดบ x1 และ y1 ตวแปร x มการเปลยนแปลงคาจาก x0 ทจด A เปน x1 ทจด B แสดงวา x มคาเพมขน x1 – x0 หรอ x ขณะเดยวกน y มการเปลยนแปลงคาจาก y0 ทจด A เปน y1 ทจด B แสดงวา y มคาเพมขน y1 – y0 หรอ y เมอลากเสนตรงใหผานจด A และจด B เสนตรงดงกลาวจะตดเสนกราฟของฟงกชน y = f(x) เสนตรงนเรยกวา เสนซเคนท (secant) และลากเสนสมผสทจด A ถากาหนดใหเสนซเคนททามมกบแกน x เทากบ (ซตา) และเสนสมผสทามมกบแกน x เทากบ (แอลฟา) เมอ x มการเปลยนแปลงนอยมากจนเขาใกลศนย หรอ x 0 ซงกคอจด B มการเคลอนทไปตามเสนโคงของฟงกชน และเขาใกลจด A มากยงขน จนทาใหเสนซเคนทกลายเปนเสนสมผสทจด A
y
x x0
x
C
y
B
A
0
y = f(x)
x1
y1
y0
เสนซเคนท
เสนสมผส
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 231
แตเนองจากความชนของเสนซเคนท = ACBC
= xy
= tan
ในขณะท จด B เคลอนทเขาใกลจด A น น หรอ B A จะไดวา หรอ tan tan แต B A กคอ x1 x0 และเมอ x1 x0 จะไดวา tan tan จากความหมายของลมต
ดงนน tan = 01 xx
lim
tan = 01 xx
lim
xΔ
yΔ
เพราะวา xΔ
yΔ =
01
01
xx)x(f)x(f
= x
)x(f)xx(f 00
Δ
Δ
และ x1 x0 กคอ x 0
ดงนน tan = 0x
limΔ
x
)x(f)xx(f 00
Δ
Δ
ซงกคอความชนของเสนสมผสทจด x0 ใดๆ นนเอง
แต f(x) = 0x
limΔ
x
)x(f)xx(f 00
Δ
Δ
ดงนน tan = f(x) หรอ ความชนของเสนสมผสของฟงกชน y = f(x) ณ จดใดจดหนงจงเทากบ อนพนธของฟงกชนนนๆ การใชอนพนธในทางเศรษฐศาสตรมกจะเกยวของกบการวเคราะหเกยวกบหลกการสวนเพมหรอหลกการหนวยสดทาย (principle of marginality) ตวอยางเชน การวเคราะหตนทนสวนเพมหรอตนทนหนวยสดทาย (marginal cost) ซงเปนททราบดวา ตนทนสวนเพม หมายถง ตนทนทงหมดทเปลยนแปลงไปอนเนองมาจาก มการ
ผลตเพมขนอก 1 หนวย หรอ MC = QC
เมอ MC = ตนทนสวนเพม (marginal cost) C = ตนทนทงหมด (total cost) Q = ผลผลต (output) กาหนดใหฟงกชนตนทนท งหมด คอ C = f(Q) ในกรณของการผลตน ผลผลตเปนตวแปรประเภทไมตอเนอง (discrete variable) แตการวเคราะหเกยวกบการเปลยนแปลงของผลผลตหรอ Q นน จะกาหนดใหมการ
232 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
เปลยนแปลงนอยมากหรอเขาใกลศนยจงสมมตใหเปนตวแปรตอเนอง (continuous variable) ดงน น การหาคา
ตนทนสวนเพม จงหาไดจากลมตของอตราสวนของ QC
เมอ Q เขาใกลศนย
ถาฟงกชนตนทนทงหมด เปนไปตามเสนกราฟตามภาพท 6.2
ภาพท 6.2 เสนโคงของฟงกชน ตนทนทงหมด
จากภาพ เสนโคง C แสดงถงตนทนทงหมดของการผลต และมการผลตปรมาณ Q0 ณ ทจด A ของเสนโคง C เมอมการผลตเพมขนอก Q เปน Q2 ณ ทจด B ซง Q2 = Q0 + Q ตนทนทงหมดจะเพมขน จาก C0 เปน C2 ซง C2 = C0 + C
ดงนน QC
= 02
02
QQCC
ผลหารของผลตางนกคออตราเฉลยของการเปลยนแปลงในกรณนกคอตนทน
สวนเพมเฉลย และจะเทากบ ความชนของเสน AB ซงเทากบ AEEB
ถา Q เปลยนแปลงไปโดยมการผลตเพมขนนอยกวา Q2 สมมตใหเปน Q1 ตนทนสวนเพมเฉลย กจะถกวดโดยความชนของเสนตรง AD แทนทจะเปนเสนตรง AB และเมอลดปรมาณผลผลตทเพมขน (Q) ใหนอยลงอกจนกระทง Q 0 ตนทนสวนเพมเฉลยกจะถกวดโดยความชนของเสนตรง KG หรอเสนสมผส ซงมคาเทากบ
KHHG
ซงความชนของเสนสมผส KG กคอความชนของเสนโคงตนทนทงหมดทจด A และสามารถหาคาไดจากลมต
ของ QC
เมอ Q 0 โดยผลผลตแรกเรม คอ Q0 ดงนนอนพนธของฟงกชนตนทนทงหมด กคอความชนของ
ฟงกชน C = f(Q) ทจด A เขยนแทนดวยสญลกษณ f(Q)
C
Q Q0
Q
E
C D
A
0
C = f(Q)
Q1
C1
C0
C2 B
F
Q2
G
H K
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 233
ในกรณทผลผลตเปลยนแปลงไปจาก Q0 เปน Q2 ซงกคอจด B ของเสนโคงฟงกชนตนทนทงหมด ในกรณนจะใชจด B บนเสนโคงในการวเคราะหแทนจด A ความชนของเสนโคงทจด B กคอคาอนพนธหรอ f(Q2) นนเอง
ตวอยางท 6.17 กาหนดให f(x) = x3 + 2 จงหา f(x) และความชนของเสนสมผสกราฟของฟงกชนทจด x เทากบ 4 และ 5
วธทา เพราะวา f(x) = 0x
limΔ
x
)x(f)xx(f 00
Δ
Δ
= 0x
limΔ
x
]2)x[(2] x) x ([ 30
30
Δ
Δ
เพราะวา (x0 + x)3 = 3)x()x(x3xx3x 20
20
30 ΔΔΔ
ดงนน f(x) = 0x
limΔ
x
x)](x3x) ( x 3x[ 022
0
Δ
ΔΔΔ
= 0x
limΔ
)x(x3)x(x3 022
0 ΔΔ = 20x3
เมอ x0 = 4 f(4) = 3(4)2 = 48 x0 = 5 f(5) = 3(5)2 = 75 นนคอ ความชนของเสนสมผสเสนโคงของฟงกชนทจด x = 4 เทากบ 48 และความชนของเสนสมผสเสนโคงของฟงกชนทจด x = 5 เทากบ 75 6.2.3 กฎของอนพนธสาหรบฟงกชน 1 ตวแปรอสระ การหาอนพนธของฟงกชนในรปของลมตเปนวธการทไมสะดวกในการคานวณ นกคณตศาสตรจงสรางสตรสาเรจโดยตงเปนกฎของอนพนธ (rules of differentiation) เพอใหสะดวกตอการนาไปใช ถากาหนดให f และ g เปนฟงกชน และ c เปนคาคงท 1) ฟงกชนพชคณต (algebraic function) สตรทใชกบฟงกชนพชคณตน สามารถใชกบผลบวก ผลลบ ผลคณ เศษสวน กาลง และกรณ (roots) ของฟงกชนทมอนพนธ (1) ฟงกชนพหนาม (polynomial function) การหาอนพนธของฟงกชนพหนามหาไดจากสตรตามกฎตอไปน
234 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
1) กฎของฟงกชนของคาคงท (constant-function rule) กฎท 1 อนพนธของฟงกชนของคาคงท y = f(x) = c มคาเทากบศนย หมายถง มคาเทากบศนยสาหรบทกๆ คาของ x ดงน
dxdy
= 0 หรอ dxdc
= 0 หรอ f(x) = 0
หรออาจจะเขยนอยในรปแบบตอไปนกได
dxd
y = dxd
f(x) = dxd
(c) = 0
ตวอยางท 6.18 ฟงกชนตนทนคงท c = f(Q) = 15,000 บาท จงหาอนพนธของฟงกชนตนทนคงทน วธทา กราฟของฟงกชนตนทนคงท จะเปนเสนตรงทขนานไปตามแกนนอน ซงมความชนเปนศนย ดงน น อนพนธของฟงกชนมคาเทากบ ศนยสาหรบทกๆ คาของ Q
ดงนน dQd
c = dQd
(15,000) = 0
หรอ f(x) = 0 2) กฎของฟงกชนยกกาลง (power-function rule) กฎท 2 อนพนธของฟงกชนยกกาลง y = f(x) = xn จะไดผลลพธเทากบ nxn-1 เมอ n เปนจานวนจรง
dxdy
= dxd
( xn) = nxn-1 หรอ f(x) = nxn-1
ตวอยางท 6.19 จงหาอนพนธของ y = x3 และ y = x9 วธทา จากกฎขอท 2 จะไดวา เมอ y = x3
dxdy
= dxd
(x3) = 3(x)3-1 = 3x2
และ y = x9
dxdy
= dxd
(x9) = 9(x)9-1 = 9x8
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 235
ตวอยางท 6.20 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
1. y = x0 2. y = 3x1
3. y = x
วธทา 1. y = x0
dxdy
= dxd
(x0) = 0(x)0-1 = 0
2. y = 3x1
= x-3
dxdy
= dxd
(x-3) = -3(x)-3-1 = -3(x)-4 = 4x3
3. y = x = 21
)x(
dxdy
= dxd
21
)x( = 21 1
21
)x(
= 21
21
)x(
= x2
1
กฎท 3 อนพนธของผลคณของคาคงทกบฟงกชนยกกาลง y = f(x) = cxn จะไดผลลพธเทากบ cnxn-1
dxdy
= dxd
(cxn) = cdxd
(xn) = cnxn-1
f(x) = cnxn-1 ตวอยางท 6.21 กาหนดให f(x) = 4x และ g(x) = 2x3 จงหาอนพนธของฟงกชนทง 2 วธทา y = f(x) = 4x
dxdy
= f(x) = dxd
(4x) = 4dxd
(x) = 4(1)x1-1 = 4x0 = 4
y = g(x) = 2x3
dxdy
= g(x) = dxd
(2x3) = 2dxd
(x3) = 2(3)x3-1 = 6x2
236 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 6.22 จงหาอนพนธของ y = 6x-3 วธทา y = 6x-3
dxdy
= dxd
(6x-3) = 6dxd
(x-3) = 6(-3)(x)-3-1 = -18(x)-4
3) กฎของผลบวกและผลตาง (sum-difference rule) กฎท 4 อนพนธของผลบวก (ผลตาง) ของ 2 ฟงกชน u = f(x) และ v = g(x) จะไดผลลพธเทากบ ผลบวก (ผลตาง) ของอนพนธของ 2 ฟงกชนนน ถา y = u v เมอ u = f(x) และ v = g(x) จะได
dxdy
= dxdu
dxdv
หรอ
dxdf(x) g(x) =
dxd
f(x) dxd
g(x)
ตวอยางท 6.23 จงหาอนพนธของ y = 6x3 + 4x2 วธทา ถา u = 6x3 v = 4x2 ดงนน y = u + v
dxdy
= dxdu
+ dxdv
= dxd
(6x3) + dxd
(4x2)
= 6dxd
(x3) + 4dxd
(x2)
= 6(3)(x)3-1 + 4(2)(x)2-1 = 18x2 + 8x ตวอยางท 6.24 จงหาอนพนธของ y = 8 - 3x2 วธทา
dxdy
= dxd
(8 - 3x2) = dxd
(8) - dxd
(3x2) = 0 - 3dxd
(x2) = -3(2)(x)2-1 = -6x
กฎนสามารถขยายไปยงฟงกชนทมากกวา 2 ฟงกชนได ดงน
dxd
[f(x) g(x) h(x)] = f(x) g(x) h(x)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 237
ตวอยางท 6.25 จงหาอนพนธของฟงกชน y = 5x4 + 3x3 – 4x2 + 40
วธทา dxdy
= dxd
(5x4 + 3x3 – 4x2 + 40)
= dxd
(5x4) + dxd
(3x3) - dxd
(4x2) + dxd
40
= 5dxd
(x4) + 3dxd
(x3) - 4dxd
(x2) + 0
= 5(4)x3 + 3(3)x2 – 4(2)x = 20x3 + 9x2 – 8x
ตวอยางท 6.26 กาหนดให Q = P2 – 4P + 3 จงหา dPdQ
วธทา dPdQ
= dPd
(P2 – 4P + 3)
= dPd
(P2) - dPd
(4P) + dPd
(3)
= 2(P)2-1 – 4(P)1-1 + 0 = 2P - 4 ตวอยางท 6.27 กาหนดใหฟงกชนตนทนทงหมดระยะสน เปนดงน TC = Q3 – 4Q2 + 8Q + 90 จงหาอนพนธของฟงกชน
วธทา dQ
dTC =
dQd
(Q3 – 4Q2 + 8Q + 90)
= dQd
(Q3) – dQd
(4Q2) + dQd
(8Q) + dQd
(90)
= 3(Q)3-1 – (4)(2)(Q)2-1 + 8(Q)1-1 + 0 = 3Q2 – 8Q + 8
จากตวอยางขางตนจะเหนวา dQ
dTC กคอตนทนสวนเพม ซงหาไดจาก
0QlimΔ QΔ
TCΔ หรออนพนธของ
ฟงกชนตนทนทงหมดนนเอง เมอพจารณาฟงกชนตนทนทงหมด จะประกอบดวย 2 สวน คอ ตนทนแปรผนและตนทนคงท ตนทนแปรผนจะแปรตามปรมาณผลผลต (Q) สวนตนทนคงทกคอคาคงททบวกเพมในฟงกชนตนทนทงหมดนน เมอหาอนพนธของฟงกชนตนทนทงหมด คาคงทจะถกตดออกไป เพราะอนพนธของคาคงทเปนศนย จงทาใหตนทนคงทไมมผลตอการหาตนทนสวนเพม
238 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
โดยทวไป ถาฟงกชน y = f(x) เปนฟงกชนทงหมด อนพนธของฟงกชนทงหมดนกคอฟงกชนสวนเพม
หรอ dxdy
ฟงกชนทง 2 นสามารถเขยนแสดงดวยเสนกราฟได เพราะวามความเกยวของกนระหวางอนพนธของ
ฟงกชนกบความชนของเสนโคงททกๆ คาของ x ฟงกชนสวนเพมจงสามารถแสดงดวยความชนของฟงกชนทงหมดทคาของ x นนๆ ภาพท 6.3 ถาฟงกชนท งหมดเปนฟงกชนเชงเสนซงมความชนคงท ฟงกชนสวนเพมกจะเปนฟงกชน เชงเสนของคาคงทนน
ภาพท 6.3 ฟงกชนทงหมดเปนฟงกชนเชงเสน
จากภาพท 6.4 ถาฟงกชนทงหมดเปนฟงกชนไมใชเชงเสน (ความชนของเสนโคงมคาแปรเปลยนไปไมคงท) และทาใหฟงกชนสวนเพมเปนเสนโคงทเพมขน โดยเสนโคงของฟงกชนสวนเพมจะอยต ากวาแกนนอนเมอฟงกชนทงหมดมคาความชนเปนลบ และจะอยสงกวาแกนนอนเมอฟงกชนทงหมดมคาความชนเปนบวก
ภาพท 6.4 ฟงกชนทงหมดเปนฟงกชนไมใชเชงเสน
y
x
y = 1 + x
1
0
y = x3 – 10x + 50
x
y
10
0 2
20 30 40 50
-10 4 6 8 10
= x2 – 10
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 239
จากภาพท 6.5 ฟงกชนทงหมดเปนฟงกชนหกงอ (non-smoothness) จะมผลทาใหอนพนธของฟงกชนหรอฟงกชนสวนเพมเปนฟงกชนไมตอเนอง
ภาพท 6.5 ฟงกชนทงหมดเปนฟงกชนหกงอ
เมอพจารณาเปรยบเทยบภาพท 6.4 และภาพท 6.5 จะพบวาภาพท 6.4 นน ฟงกชนทงหมดเปนเสนโคงทเรยบ (smoothness) ทกๆ จดของเสนโคงซงมผลทาใหฟงกชนสวนเพมเปนเสนโคงทมคาเพมขนอยางตอเนอง ดวยเหตผลนจงสรปไดวาถาฟงกชนเดมเปนฟงกชนทเรยบททกๆ จดของเสนโคงจะสงผลใหอนพนธของฟงกชนเปนฟงกชนทตอเนอง 4) กฎของผลคณ (product rule) กฎท 5 อนพนธของผลคณของ 2 ฟงกชน u = f(x) และ v = g(x) จะไดผลลพธเทากบ ผลคณของฟงกชนแรกกบอนพนธของฟงกชนหลง บวกดวยผลคณของฟงกชนหลงกบอนพนธของฟงกชนแรก
ถา y = uv เมอ u = f(x) และ v = g(x) จะได dxdy
= udxdv
+ vdxdu
หรอ dxdf(x) g(x) = f(x)
dxdg(x) g(x)
dxd
f(x)
= f(x) g(x) + g(x)f (x)
ตวอยางท 6.28 กาหนดให y = (2x + 3) (3x2) จงหา dxdy
วธทา ให u = (2x + 3) v = (3x2)
ดงนน dxdy
= (2x + 3)dxd
(3x2) + (3x2) dxd
(2x + 3)
= (2x + 3)(3)(2)(x)2-1 + (3x2) 2 + 0
y = 5-x เมอ x 3 x-1 เมอ x 3
x
y
1
0 1
2 3 4 5
-1 2 3 4 5
= -1 เมอ x < 3
1 เมอ x > 3
6
240 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
= (2x + 3)6x + (3x2)(2) = 12x2 + 18x + 6x2 = 18x2 + 18x จากตวอยางนสามารถตรวจสอบคาตอบไดโดยการหาผลคณของ 2 ฟงกชน ซงจะทาใหเปนฟงกชนพหนาม แลวจงหาอนพนธของฟงกชนพหนามกจะไดคาตอบตามตองการ ดงนน (2x + 3) (3x2) =6x3 + 9x2
dxdy
= dxd
(6x3 + 9x2)
= dxd
(6x3) + dxd
(9x2)
= 6 (3)(x)3-1 + 9 (2)(x)2-1 = 18x2 + 18x คาตอบทง 2 วธ เทากน ตวอยางท 6.29 จงหาอนพนธของ g = (x + 1) (4x2 – 10x + 6) วธทา ให u = (x + 1) และ v = (4x2 – 10x + 6)
ดงนน dxdu
= dxd
(x + 1)
= dxd
(x) + dxd
(1) = 1(x)1-1 + 0 = 1
และ dxdv
= dxd
(4x2 – 10x + 6)
= dxd
(4x2) - dxd
(10x) + dxd
(6)
= 4 (2)(x)2-1 – 10(x)1-1 + 0 = 8x - 10
เพราะวา dxdg
= u dxdv
+ v dxdu
= (x + 1)(8x – 10) + (4x2 – 10x + 6)(1) = 8x2 – 2x – 10 + 4x2 – 10x + 6 = 12x2 - 12x - 4 กฎนสามารถขยายไปสกรณทเปนผลคณของ 3 ฟงกชน ไดดงน
dxd
f(x) g(x) h(x) = f(x) g(x) h(x) + f (x) g (x) h(x) + f (x) g (x) h (x)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 241
ตวอยางท 6.30 จงหาอนพนธของ y = (x +2)(3x + 2)(x2 + 1) วธทา ให f(x) = (x + 2) g(x) = (3x + 2) h(x) = (x2 + 1)
ดงนน f (x) = dxd
(x + 2) = 1
g (x) = dxd
(3x + 2) = 3
h (x) = dxd
(x2 + 1) = 2(x)2-1 = 2x
เพราะวา dxdy
= f(x) g(x) h(x) + f (x) g (x) h(x) + f (x) g (x) h (x)
= 1(3x + 2)(x2 + 1) + (x + 2)(3)(x2 + 1) + (x + 2)(3x + 2)2x = 3x3+2x2+3x+2 + 3x3+6x2+3x+6 + 6x3+16x2+8x = 12x3 + 24x2 + 14x + 8 ในกรณท y ประกอบดวยฟงกชนทเหมอนกนคณกน หรอเปนฟงกชนทยกกาลงจะไดดงน กฎท 6 ถา u = f(x) และ y = un เมอ n เปนจานวนจรง
dxdy
= dxd
(u)n = n(u)n-1 dxdu
หรอ dxd
[f(x)]n = n [f(x)]n-1 f(x)
ตวอยางท 6.31 จงหาอนพนธของ y = (x2 + 5)4 วธทา ให u = (x2 + 5)
ดงนน dxdy
= dxd
(x2 + 5)4
= 4 (x2 + 5)4-1 dxd
(x2 + 5)
= 4 (x2 + 5)3 (2x) = 8x (x2 + 5)3
242 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 6.32 กาหนดให y = 4 2x1 จงหาอนพนธของฟงกชนน
วธทา เพราะวา y = 4 2x1 หรอ 41
2 )x1( ให u = (1 – x2)
ดงนน dxdy
= dxd
(u)n = dxd
41
2 )x1(
= 41
1
41
2 )x1(
dxd
(1 - x2)
= 41
43
2 )x1(
(-2x)
= 43
2 )x1(4
x2
ตวอยางท 6.33 จงหาอนพนธของ y = 2x2 + 1x 2
วธทา dxdy
= dxd
[2x2 + 1x 2 ]
= (2)(2)(x)2-1 + dxd
21
2 )1x(
= 4x +
)1x(
dxd
)1x(21 21
21
2
= 4x +
)x2()1x(
21
21
2
= 4x + x 21
2 )1x(
= 4x + 1x
x2
= x (4 +1x
12
)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 243
(2) ฟงกชนตรรกยะ (rational function) 1) กฎของผลหาร (quotient rule) กฎท 7 อนพนธของผลหารของ 2 ฟงกชน u = f(x) และ v = g(x) จะไดผลลพธเทากบผลคณของฟงกชนทเปนสวนกบอนพนธของฟงกชนทเปนเศษลบดวยผลคณของฟงกชนทเปนเศษกบอนพนธของฟงกชนทเปนสวนคาทงหมดหารดวยฟงกชนทเปนสวนยกกาลงสอง
ถา y = vu
dxdy
= dxd
(vu
)
= 2v
dxdv
udxdu
v หรอ
dxd
)x(g)x(f
= 2)]x(g[
)x(g)x(f)x(g)x(f
ตวอยางท 6.34 จงหา dxdy
เมอ y = )1x()3x2(
วธทา ให u = (2x + 3) v = (x + 1)
ดงนน dxdu
= dxd
(2x + 3) = 2
dxdv
= dxd
(x + 1) = 1
เพราะวา dxdy
= 2v
dxdv
udxdu
v
= 2)1x(
)1)(3x2()2)(1x(
= 2)1x(
3x22x2
= -
2)1x(1
244 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 6.35 จงหา f(x) เมอ y = x2
5x3 2
วธทา ให u = 3x2 + 5 v = 2x
ดงนน dxdu
= dxd
(3x2 + 5) = (3)(2)(x)2-1 = 6x
dxdv
= dxd
(2x) = 2
เพราะวา f(x) = dxdy
= 2v
dxdv
udxdu
v
= 2
2
)x2()2)(5x3()x6)(x2(
= 2
22
x410x6x12
= 2
2
x410x6
= 2
2
x25x3
ตวอยางท 6.36 กาหนดให y = 2
)1x()1x2(
จงหา dxdy
วธทา ให u = )1x()1x2(
ใชกฎขอท 7 หาอนพนธของผลหาร ดงน
dxd
(2x + 1) = 2 dxd
(x - 1) = 1
ดงนน dxdu
= 2)1x(
)1)(1x2()2)(1x(
= 2)1x(
1x22x2
=
2)1x(3
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 245
ใชกฎขอท 6 หาอนพนธของฟงกชนยกกาลง ดงน
เพราะวา dxd
(u)n = n(u)n-1 dxdu
dxdy
= 2
2
12
)1x(3
)1x()1x2(
= 2)1x)(1x()3)(1x2(2
= 3)1x(
)1x2(6
ตวอยางท 6.37 กาหนดให y = x2 (x+1)-1 จงหา dxdy
วธทา ให u = x2 v = (x + 1)-1
ดงนน dxdu
= 2x
dxdv
= (-1)(x+1)-1-1 dxd
(x + 1) = (-1)(x+1)-2 (1) = -(x + 1)-2
ใชกฎของผลคณของฟงกชน
dxdy
= x2 [-(x + 1)-2] + (x + 1)-1 (2x)
= -x2 (x + 1)-2 + 2x (x + 1)-1
= )1x(
x2)1x(
x2
2
= 2
2
)1x()1x(x2x
= 2
22
)1x(x2x2x
= 2
2
)1x(x2x
= 2)1x()2x(x
246 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
กรณเดยวกนสามารถคานวณโดยใชกฎของผลหารได ดงน
y = x2 (x + 1)-1 = )1x(
x 2
ให u = x2 dxdu
= 2x
v = (x + 1) dxdv
= 1
ดงนน dxdy
= dxd
1xx 2
= 2
2
)1x()1(xx2)1x(
= 2
22
)1x(xx2x2
= 2)1x()2x(x
(3) ฟงกชนคอมโพสท (composite function) ถา y เปนฟงกชนของ u หรอ y = f(u) ในขณะท u เปนฟงกชนของ x หรอ u = g(x) ดงนน y จงเปนฟงกชนของฟงกชน (function of a function) หรอเรยกวาเปนฟงกชนคอมโพสท เขยนเปนสญลกษณไดวา y = fg(x) 1) กฎลกโซ (chain rule) กฎท 8 ถา y = f(u) และ u = g(x) แลว อนพนธของ y เมอเทยบกบ x จะเทากบผลคณของอนพนธของ y เมอเทยบกบ u กบอนพนธของ u เมอเทยบกบ x เขยนเปนสญลกษณไดดงน
dxdy
= dxdu
dudy = f(u) g(x)
กฎนเรยกวา กฎลกโซและสามารถขยายไปยงฟงกชนทเกยวของกนโดยตรง 3 ฟงกชน หรอมากกวาได เชน ถามฟงกชน y = f(u) u = g(x) และ x = h(w) จะไดวา
dwdy
= dwdx
dxdu
dudy
= f(u) g(x) h(w)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 247
ตวอยางท 6.38 กาหนดให y = 4u2 และ u = 3x + 5 จงหา dxdy
วธทา เพราะวา y = 4u2
dudy
= du
d 4u2 = (4)(2)u = 8u และ u = 3x + 5
dxdu
= dxd
(3x + 5) = 3
ดงนน dxdy
= dxdu
dudy
= (8u)(3) = 24u = 24 (3x + 5)
ตวอยางท 6.39 กาหนดให y = u - 3 และ u = x2 จงหา dxdy
วธทา เพราะวา y = u – 3
dudy
= du
d (u – 3) = 1
และ u = x2
dxdu
= dxd
(x2) = 2x
ดงนน dxdy
= dxdu
dudy = (1)(2x) = 2x
ตวอยางท 6.40 กาหนดให y = 2u + u2 และ u = x2 - 5 จงหา dxdy
วธทา เพราะวา y = 2u + u2
dudy
= du
d (2u + u2) = 2 + 2u
และ u = x2 - 5
dxdu
= dxd
(x2 - 5) = 2x
ดงนน dxdy
= dxdu
dudy = (2 + 2u)(2x)
แต u = x2 – 5
248 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
= [2 + 2(x2 – 5)] 2x = [2 + 2x2 – 10] 2x = (2x2 – 8) 2x = 4x3 – 16x
ตวอยางท 6.41 กาหนดให y = 32
u และ u = 2(x2 + 1) จงหา dxdy
วธทา
เพราะวา y = 32
u
dudy
= dud
32
)u( = 32
1
32
)u(
= 32
31
)u(
และ u = 2(x2 + 1)
dxdu
= dxd
[2(x2 + 1)] = 2dxd
(x2 + 1) = 2(2x) = 4x
ดงนน dxdy
= dxdu
dudy
= 32
31
)u(
(4x) = 31
)u(3
x8 =
31
2 )]1x(2[3
x8
=
31
2 )2x2(3
x8
หรออกวธหนงกจะไดคาตอบเชนเดยวกน
เพราะวา y = 32
)u( = 32
2 )]1x(2[
dxdy
= dxd
32
2 )]1x(2[
= 32
1
32
2 )]1x(2[
dxd
[2(x2 + 1)]
= 32
31
2 )]1x(2[
(2)(2x)
= 31
2 )]1x(2[3
x8
=
31
2 )2x2(3
x8
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 249
ตวอยางท 6.42 กาหนดให y = 1c
c2
2
และ c = 1x2 จงหา
dxdy
วธทา ให u = c2 v = c2 + 1
เพราะวา dcdu
= 2c dcdv
= 2c
จากกฎของผลหาร
dcdy
= 22
22
)1c()c2(c)c2)(1c(
= 22
33
)1c(c2c2c2
= 22 )1c(c2
และ c = 1x2 = 21
)1x2(
dxdc
= 21
21
)1x2(
(2) = 21
)1x2(
ดงนน dxdy
= dxdc
dcdy =
22 )1c(c2
21
)1x2(
แต c = 1x2
= 1x2
1]1)1x2[(
1x2222
= 2)11x2(
2
= 2)]1x(2[
2
= 2)1x(4
2
= 2)1x(2
1
หรออกวธหนงกจะไดคาตอบเชนเดยวกน
250 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
เพราะวา y = 1c
c2
2
=
1)1x2()1x2(
2
2
= )11x2(
1x2
= 2x21x2
ให u = 2x + 1 และ v = 2x + 2
dxdu
= 2 และ dxdv
= 2
จากกฎผลหาร จะไดวา
dxdy
= 2)2x2(
)2)(1x2()2)(2x2(
= 2)2x2(
2x44x4
= 2)2x2(
2
= 2)]1x(2[
2
= 2)1x(4
2
= 2)1x(2
1
(4) ฟงกชนผกผน (inverse function) ถากาหนดให y = f(x) เปนฟงกชนทความสมพนธระหวางตวแปร x และตวแปร y มการจบคแบบหนง ตอหนง (one-to-one mapping) หมายความวา เมอแทนคา x ดวยคา x ใดๆ แลว จะไดคา y ทแตกตางกนไมซ ากน f ฟงกชนนจะมฟงกชนผกผนกคอ x = f-1(y) [อานวา x เปนฟงกชนผกผนของ y]
สญลกษณ f-1 หมายถง ฟงกชนผกผน ไมใชหมายความวาเปน f1
ในความหมายของการจบคแบบหนง
ตอหนงน สาหรบคา x หนงคา เมอแทนคาในฟงกชน y = f(x) แลว จะใหคา y เพยงคาเดยว ในทานองเดยวกน เมอกาหนดคา y เพยงหนงคาในฟงกชนผกผนแลว ยอมใหคา x เพยงคาเดยวเชนกน ตวอยางทแสดงถงการจบคแบบหนงตอหนงทชดเจนกรณหนงคอการจบคแบบหนงตอหนงของเซตทประกอบดวยสาม และเซตทประกอบดวยภรรยา ของสงคมทมสามหรอภรรยาเพยงคนเดยว (monogamous society) สามแตละคนจะมภรรยาเพยงคนเดยว และภรรยาแตละคนจะมสามเพยงคนเดยว ในทานองตรงขาม การจบคกนของเซตของคณพอทงหมดกบเซตของ
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 251
ลกชายทงหมด จะไมเปนการจบคแบบหนงตอหนง เพราะวาคณพอคนเดยวอาจจะมลกชายหลายคนถงแมวาลกชายแตละคนจะมคณพอเพยงคนเดยว เมอ x และ y เปนตวแปรทเปนจานวนตวเลข ฟงกชนทมคณสมบตของการจบคของตวแปรแบบหนงตอหนงจะเรยกวาเปนฟงกชนแบบหนงตอหนง (monotonic function) เมอกาหนดคา x เพมขนแลวทาใหคาของ f(x) เพมขนดวยเสมอ หมายความวา ถา x1 > x2 f(x1) > f(x2) ฟงกชน f น เรยกวาฟงกชนเพม (increasing function) หรอเพมขนแบบหนงตอหนง (monotonically increasing) แตถากาหนดคาของ x เพมขนแลวปรากฏวาคาของ f(x) กลบมคาลดลงเสมอ กลาวคอ ถา x1 > x2 f(x1) < f(x2) ฟงกชน f น เรยกวาฟงกชนลด (decreasing function) หรอลดลงแบบหนงตอหนง (monotonically decreasing) ในทางปฏบตจะพจารณาจากเครองหมายของอนพนธของฟงกชน [f(x)] ในลกษณะเดยวกบเครองหมายทางพชคณต(มากกวาศนยหรอนอยกวาศนย) สาหรบทกๆ คาของ x ถาฟงกชนมฟงกชนผกผน อนพนธของฟงกชนผกผนจะตองมเครองหมายเหมอนกบอนพนธของฟงกชนเดมดวย ตวอยางเชน กาหนดให y = 5x + 25 หาอนพนธของฟงกชนไดดงน
dxdy
= dxd
(5x + 25) = 5 > 0
อนพนธของ f(x) มคาเปนบวกทกๆ คาของ x ดงนน f(x) จงเปนฟงกชนแบบหนงตอหนง ในกรณนจะเปนฟงกชนเพม เพราะวาอนพนธมคาเปนบวกและจะมฟงกชนผกผน ซงฟงกชนผกผนของ f(x) กคอ
x = 51
y - 5 หรอ x = f-1(y)
ฟงกชนผกผนจะเปนฟงกชนแบบหนงตอหนง และเปนฟงกชนเพมดวยเพราะวา
dydx
= dyd
(51
y – 5) = 51
> 0
อนพนธของฟงกชนผกผนมคาเปนบวกทกๆ คาของ y ในลกษณะเดยวกนกบอนพนธของฟงกชนเดม สรปไดวา ถาฟงกชน f เปนฟงกชนแบบหนงตอเนองทงในกรณ ฟงกชนเพม และฟงกชนลด จะมฟงกชนผกผนเสมอ และทงฟงกชนเดมและฟงกชนผกผนจะตองเปนฟงกชนแบบหนงตอหนงทงค ถา f-1 เปนฟงกชนผกผนของ f ดงนน f ตองเปนฟงกชนผกผนของ f-1 นนคอทง f และ f-1 ตองเปนฟงกชนผกผนซงกนและกน 1) กฎฟงกชนผกผน (inverse-function rule) กฎท 9 ถา y = f(x) และสามารถหาคา x ได และ x = f-1(y) เปนฟงกชนผกผนของ f(x) โดยท f(x) และ f-1(y) เปนฟงกชนทมอนพนธ จะไดวา อนพนธของฟงกชนผกผนจะเทากบ สวนกลบของอนพนธของฟงกชนเดม หรอ
252 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
dydx
=
dxdy1
หรอ เขยนใหมไดเปน dxdy
=
dydx1
ตวอยางท 6.43 กาหนดให y = 3x + 8 และมฟงกชนผกผน จงหาอนพนธของฟงกชนผกผน วธทา เพราะวา y = f(x) = 3x + 8
ดงนน dxdy
= dxd
(3x + 8) = 3
เนองจาก dxdy
> 0, f(x) จงเปนฟงกชนแบบหนงตอหนงประเภทฟงกชนเพม
แต y = 3x + 8
ดงนน ฟงกชนผกผนของ f(x) กคอ x = 3
8y = f-1(y)
และ dydx
= dyd
(3
8y ) =
31
=
dxdy1
อนพนธของ f-1(y) หรอ dydx
>0 จงเปนฟงกชนเพม
ตวอยางท 6.44 กาหนดให y = x5 + x จงหาอนพนธของฟงกชนผกผน วธทา ถาฟงกชน y = f(x) มฟงกชนผกผน คอ f-1(y) อนพนธของฟงกชน คอ
dydx
=
dxdy1
แต dxdy
= dxd
(x5 + x) = 5x4 + 1 > 0
หรบทกๆ คาของ x ฟงกชนนเปน ฟงกชนเพมแบบหนงตอหนง และฟงกชนผกผนกตองเปนฟงกชนเพมแบบหนงตอหนงเชนเดยวกน คอ
dydx
= 1x5
14
> 0
ฟงกชนผกผนทกลาวมาน นเกยวของกบการจบคแบบหนงตอหนงของตวแปรของฟงกชน ในกรณทฟงกชนเปนลกษณะของเสนโคงตวย (u-shaped) กจะพจารณาเฉพาะสวนของความชนของเสนโคงทลาดลงหรอลาด
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 253
ขน แยกออกจากกนเปนฟงกชน 2 ฟงกชน แตละฟงกชนจะเปน ฟงกชนแบบหนงตอหนงทมโดเมนของฟงกชนทจากด ทาใหสามารถใชกฎของฟงกชนผกผนหาอนพนธได
ตวอยางท 6.45 กาหนดให y = x + 31
x3 + 51
x5 จงหาอนพนธของฟงกชนผกผน
วธทา เพราะวา y = x + 31
x3 + 51
x5
dxdy
= dxd
(x + 31
x3 + 51
x5) = 1 + 31
(3)(x)3-1 + 51
(5)(x)5-1 = 1 + x2 + x4
อนพนธของ f-1(y) = dydx
=
dxdy1
= 42 xx11
ตวอยางท 6.46 กาหนดให y = 21
x - 31
x จงหา dydx
วธทา dxdy
= dxd
( 21
x - 31
x )
= 21
1
21
)x(
- 31 1
31
)x(
= 21
21
x
- 31
32
x
เพราะวา dydx
=
dxdy1
=
32
21
x3
1
x2
11
=
32
61
x6
2x3
1
=
2x3
x6
61
32
2) ฟงกชนอดศย (transcendental function) (1) ฟงกชนลอการทม (logarithmic function)
กาหนดให x > 0, a> 0 และ a 1 เมอ x = ay ดงนน y = loga x อานวา y เทากบ ลอการทมของ x ฐาน a ฟงกชนทเขยนอยในรปของ f(x) = loga x เรยกวาฟงกชนลอการทม ซงจะตองมการระบฐานใหชดเจนทนยมใชมอย 2 ระบบ คอ
254 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
1) สาหรบฟงกชนทกาหนดโดยใหมฐานเทากบ 10 หรอ a = 10 เรยกวา ฟงกชนลอการทม (common logarithm) ไมนยมเขยนฐาน 10 แตละไวในฐานะทเขาใจ ดงน
f(x) = log x เชน y = log x หมายถง x = 10y 2) ในกรณทกาหนดใหเปนฐาน e ซงคาประมาณของ e เทากบ 2.71818 เรยกวาฟงกชนลอการทมธรรมชาต (natural logarithm) กาหนดใหเขยนฟงกชน ดงน
f(x) = loge x = n x
เชน y = n x หมายถง x = ey กฎท 10 1. ถา y = loga x อนพนธของฟงกชนลอการทมเปนดงน
dxdy
= dxd
loga x = x1
loga e
2. แตถาอยในรปของฟงกชนลอการทมธรรมชาตเปนดงน
y = loge x = n x
จะไดวา dxdy
= x1
loge e = x1
n e
แต n e = 1 ดงนน dxdy
= x1
3. ถา y = loga u และ u = f(x)
จะไดวา dxdy
= dxd
loga u = u
1 [loga e]
dxdu
4. ถา y = loge u หรอ = n u และ u = f(x)
จะไดวา dxdy
= dxd
n u
= u
1 [loge e]
dxdu
= u
1 n e
dxdu
แต n e = 1
ดงนน dxdy
= u
1
dxdu
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 255
ตวอยางท 6.47 จงหาอนพนธของฟงกชนลอการทม ดงน 1. y = log 2x 2. y = log (1 + x2)
3. y = n 1x
x
4. y = log (x2 – 3x) วธทา 1. y = log 2x
dxdy
= dxd
log 2x
= x2
1 [log e]
dxd
(2x)
= x2
1 (2) [log e] =
x1
log e
2. y = log (1 + x2)
dxdy
= dxd
log (1 + x2)
= )x1(
12
[log e] dxd
(1 + x2)
= )x1(
12
(2x) [log e] = )x1(
x22
[log e]
3. y = n 1x
x
dxdy
= dxd
(n 1x
x
)
=
)1x(x1
dxd
1xx
256 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
= x
)1x(
2)1x(x)1x(
= x
)1x(
2)1x(1
= )1x(x
1
4. y = log (x2 – 3x)
dxdy
= dxd
log (x2 – 3x)
= )x3x(
12
log e dxd
(x2 – 3x)
= )x3x(
12
log e (2x – 3)
= )x3x(
3x22
log e
สาหรบขอยอยท 3 สามารถคานวณไดอกวธหนง คอ ใชกฎของลอการทมกอนหาอนพนธของฟงกชนลอการทม ดงน
y = n x – n (x + 1)
dxdy
= dxd
n x - dxd
n (x + 1)
= x1
- )1x(
1
dxd
(x + 1)
= x1
- )1x(
1
(1)
= )1x(xx)1x(
= )1x(x
1
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 257
ตวอยางท 6.48 จงหาอนพนธของ y = n (1 – 2x + x2)
วธทา y = n (1 – 2x + x2)
dxdy
= dxd
n (1 – 2x + x2)
= )x 2x - (1
12
dxd
(1 – 2x + x2)
= )x 2x - (1
)x22(2
ตวอยางท 6.49 จงหาอนพนธของ y = x2n
วธทา y = x2n
dxdy
= dxd
21
)x2n(
= 21
1
21
)x2n(
dxd
(n 2x)
= 21
21
)x2n(
x2
1
dxd
(2x) = x2nx2
1
ตวอยางท 6.50 จงหาอนพนธของ y = x2 n (x + 1)
วธทา y = x2 n (x + 1) เนองจาก y เปนฟงกชนผลคณ ใหหาอนพนธของผลคณกอนจงหาอนพนธของฟงกชนลอการทม
dxdy
= dxd
[x2 n (x + 1)]
= x2 dxd
[n (x + 1)] + n (x + 1) dxd
x2
= x2
)1x(
dxd
)1x(1
+ n (x + 1) (2x)
= x2
)1(
)1x(1
+ 2x n (x + 1)
= )1x(
x 2
+ 2x n (x + 1)
258 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 6.51 จงคานวณหา dxdy
ของฟงกชน y = n x2
)1x(
)1x(
วธทา y = n x2
)1x(
)1x(
จากกฎของลอการทม จะไดวา
y = n x2 + n )1x(
)1x(
= 2 n x + [n (x – 1) – 21
)1x(n ]
= 2 n x + n (x -1) - 21
n (x + 1)
หาอนพนธของฟงกชน
dxdy
= dxd
[2 n x + n (x – 1) - 21
n (x + 1)]
= 2 dxd
n x + dxd
[n (x – 1)] - 21
dxd
[n (x + 1)]
= (2)x1
+ )1x(
1
dxd
(x-1) -
2
1
)1x(1
dxd
(x + 1)
= x2
+ )1x(
1
- )1x(2
1
= )1x(x2
)1x(x)1x(x2)1x(42
2
= )1x(x2
1x52
2
(2) ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล (exponential function) ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล เปนฟงกชนผกผนของฟงกชนลอการทม โดยท y = ax หรอ f(x) = ax เมอ a > 0 และ a 1 เรยกวา ฟงกชนเอกซโปเนนเชยลฐาน a ในกรณท y = ex หรอ f(x) = ex เรยกวา ฟงกชนเอกซโปเนนเชยลธรรมชาต
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 259
กฎท 11 1. ถา y = ax อนพนธของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลเปนดงน
dxdy
= dxd
ax = ax n a
2. ถา y = ex
จะไดวา dxdy
= dxd
ex = ex ln e
แต n e = 1
ดงนน dxdy
= ex
3. ถา y = au และ u = f(x)
จะไดวา dxdy
= dxd
au = au n e dxdu
4. ถา y = eu และ u = f(x)
จะไดวา dxdy
= dxd
eu = eu n edxdu
แต n e = 1
ดงนน dxdy
= eu dxdu
ตวอยางท 6.52 จงหาอนพนธของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลตอไปน
1. y = 4x 3. y = 1x2
10 2. y = e2x – 1 4. y = x2 e3x วธทา 1. y = 4x
dxdy
= dxd
4x = 4x n 4dxdx
= 4x n 4
260 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
2. y = e2x – 1
dxdy
= dxd
e2x – 1 = e2x – 1 dxd
(2x - 1) = 2e2x – 1
3. y = 1x 210
dxdy
= dxd
1x 210 = 1x 2
10 [n 10] dxd
x2 – 1 = 1x 210 [n 10] 2x
4. y = x2 e3x
dxdy
= dxd
x2 e3x
หาอนพนธของฟงกชนผลคณ
dxdy
= x2 dxd
e3x + e3x dxd
x2
= x2 [e3x ]dxd
3x + e3x [2x] = 3x2 e3x + 2x e3x
ตวอยางท 6.53 จงหาอนพนธของ y = e2x n (3x - 1)
วธทา y = e2x n (3x - 1)
dxdy
= dxd
[e2x n (3x - 1)]
หาอนพนธของฟงกชนผลคณ
dxdy
= e2x dxd
[n (3x - 1)] + n (3x – 1)dxd
e2x
= e2x
)1x3(
dxd
)1x3(1
+ n (3x – 1)
x2
dxd
e x2
= e2x
)3(
)1x3(1
+ n (3x – 1) [e2x (2)]
= 3)1x3(
e x2
+ 2e2x n (3x – 1)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 261
6.2.4 อนพนธอนดบสงกวาอนดบหนง (Second and higher derivatives) การหาอนพนธของฟงกชนประเภทตางๆ ทกลาวมาแตแรกนน เปนการหาอนพนธอนดบทหนง (first
derivative) โดยทวไปใชสญลกษณวา dxdy
หรอ f(x) หรอ dxd
f(x) เมอฟงกชน y = f(x) เชน อนพนธของฟงกชน f
เทยบกบตวแปร x คอ dxdy
= 8x + 2 + 8x3 ถาทาการหาอนพนธของอนพนธของฟงกชนนอกครงหนง จะไดวา
dxd
dxdy
= dxd
[8x + 2 + 8x3]
= 8 + 0 + 24x2 = 8 + 24x2
และใชสญลกษณ 2
2
dxyd
แทน dxd
dxdy
หรออาจใช f(x) หรอ f2(x) การหาอนพนธในลกษณะน
เรยกวา อนพนธอนดบทสอง (second derivatives) ในทานองเดยวกน สามารถหาอนพนธของอนพนธอนดบทสองได ถาอนพนธอนดบทสองเปนฟงกชนท
หาอนพนธได เรยกวา อนพนธอนดบทสาม หรอ dxd
2
2
dxyd
หรอ 3
3
dxyd
หรอ )x(f หรอ f3(x)
ในทานองเดยวกนสาหรบการหาอนพนธของฟงกชนอนดบตอๆ ไป กสามารถทาไดเชนกน ดงน น
ถาตองการหาอนพนธอนดบท n ของ f(x) จะใชสญลกษณ n
n
dxyd
หรอ fn(x)
ตวอยางท 6.54 จงหาอนพนธอนดบทหนงและอนดบทสองของฟงกชน f(x) = 3x – 2x3 วธทา กาหนดให y = 3x – 2x3
dxdy
= dxd
(3x – 2x3) = 3 – 6x2
dxd
dxdy
= dxd
(3 – 6x2)
2
2
dxyd
= 0 – 12x = -12x
262 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 6.55 กาหนดให f2(x) = 3x2 – 10x + 6 จงหา f4(x)
วธทา f3(x) = dxd
[3x2 – 10x + 6] = 6x - 10
f4(x) = dxd
[6x – 10] = 6
ตวอยางท 6.56 กาหนดให P = 15Q5 – 10Q4 + 2Q2 จงหา 3
3
dQPd
วธทา P = 15Q5 – 10Q4 + 2Q2
dQdP
= dQd
[15Q5 – 10Q4 + 2Q2] = 75Q4 – 40Q3 + 4Q
2
2
dQPd
= dQd
[75Q4 – 40Q3 + 4Q] = 300Q3 – 120Q2 + 4
3
3
dQPd
= dQd
[300Q3 – 120Q2 + 4] = 900Q2 – 240Q
6.2.5 คาเชงอนพนธ (Differential) สญลกษณ dy/dx ทกลาวมาต งแตตนน น ใชแทนอนพนธของฟงกชน y = f(x) แตยงไมไดพจารณาความหมายของแตละคาของ dy และ dx ซงสามารถนาไปประยกตใชในเรองอนๆ ทเกยวของกบวชาแคลคลสได ถากาหนดให y = f(x) x เปนสวนทเปลยนแปลงของ x y เปนสวนทเปลยนแปลงของ y
และ xΔ
yΔ หมายถง อตราการเปลยนแปลงของ y เมอเทยบกบ x สามารถเขยนใหมไดเปน
y (xΔ
yΔ) x ........ 6.4
y สามารถหาคาได ถาทราบอตราการเปลยนแปลงของ y/x และคาการเปลยนแปลงของ x เมอ x เปนคาเปลยนแปลงของ x เพยงเลกนอย y จะเปนคาเปลยนแปลงของ y เลกนอยเชนกน ผลหารของการเปลยนแปลงหรอ y/x กจะแสดงถงอนพนธ dy/dx ดงนน ถาใหการเปลยนแปลงของ x และ y เพยงเลกนอย แทนดวย dx และ dy ตามลาดบ สามารถเขยนสมการ 6.4 ใหมไดเปน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 263
dy
dxdy
dx หรอ f(x) dx ........ 6.5
สญลกษณ dy และ dx แตละคาเรยกวาคาเชงอนพนธของ y และ x ตามลาดบ จากสมการ 6.5 หารดวย dx ทง 2 ขาง จะไดวา
dxdy
dxdy
หรอ f(x) ........ 6.6
ผลลพธตามสมการ 6.6 จะไดวา อนพนธของฟงกชนหรอ f(x) อาจหมายถง ผลหารของคาเชงอนพนธแตละคา 2 คา ซงกคอ dy และ dx ดงนนเมอกาหนดอนพนธของฟงกชน y = f(x) ใหจะสามารถหาคาของ dy ไดโดยมคาเทากบ f(x) dx ตวอยางท 6.57 กาหนดให y = 3x2 + 7x – 5 จงหา dy วธทา เพราะวา y = 3x2 + 7x – 5
dxdy
= dxd
3x2 + 7x – 5 = 6x + 7
ดงนน dy = (6x + 7) dx …….. 6.7 ผลลพธดงกลาวจะสามารถคานวณหาผลของการเปลยนแปลงของ y อนเนองมาจากการเปลยนแปลงของ x ได อยางไรกตาม dy และ dx ในทนจะหมายถงการเปลยนแปลงทนอยมาก ถาแทนคาการเปลยนแปลงของ x ทนอยมากนดวย x ในสมการ 6.7 ผลลพธ dy กจะเปนคาประมาณทเปนการเปลยนแปลงของ y หรอ y เชนกน จากตวอยางน ถาให x มการเปลยนแปลงจาก 5 เปน 5.01 ซงกคอ x = 5 และ dx = 5.01 – 5 = 0.01 เมอแทนคาในสมการ 6.7 จะไดวา dy = [6(5) + 7](0.01) = 37 (0.01) = 0.37 ถาตองการเปรยบเทยบการเปลยนแปลงทแทจรงของ y เมอ x = 5 แทนคา x ในฟงกชน y = 3x2 + 7x – 5 จะไดวา y = 3(5)2 + 7(5) – 5 = 75 + 35 – 5 = 105 และเมอ x = 5.01 y = 3(5.01)2 + 7(5.01) – 5 = 3(25.1001) + 35.07 – 5 = 105.3703 คาเปลยนแปลงทแทจรงของ y หรอ y = 105.3703 – 105 = 0.3703
264 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แตจากการคานวณไดวา dy = 0.37 แสดงวาคาประมาณการเปลยนแปลงของ y หรอ dy คลาดเคลอนไปจากความเปนจรงเทากบ 0.0003 การอธบายถงความคลาดเคลอนของคาประมาณการเปลยนแปลงของ y พจารณาไดจาก ภาพท 6.6
ภาพท 6.6 การเปลยนแปลงของ y เมอเทยบกบ x
จากภาพท 6.6 x = AC y = BC
ความชนของเสนตรง AB = xΔ
yΔ =
ACBC
เมอแทนคาในสมการ 6.4 จะได
y = (xΔ
yΔ) x = (
ACBC
) AC = BC
จากสมการท 6.5 นนใชคาอนพนธ dy/dx แทน y/x และใช slope หรอความชนของเสนตรง AD แทน
เสนตรง AB ดวยคา tan หรอ ACCD
dy = (dxdy
) dx = (ACCD
) AC = CD
ซงจะแตกตางจากการเปลยนแปลงทแทจรง (BC) หรอมความคลาดเคลอนเทากบ DB โดยทคาความคลาดเคลอนนจะนอยลงๆ เมอ x มคานอยมาก ซงกคอคา x เคลอนทจากจด B เคลอนไปยงจด A จากภาพและคาอธบายขางตน จะสงเกตเหนไดวา การเปลยนแปลงของ y หรอคาเชงอนพนธ (dy) และสวนทเพมขน (y) ของฟงกชน โดยทวไปแลวจะมคาไมเทากน ถาฟงกชนนนไมไดเปนสมการเสนตรง จากภาพท 6.6 จะพบวา dy = CD และ y = BC แตโดยประมาณแลว เมอ x = AC ซงมคานอยมาก y = BC จะเทากบ dy = CD เมอ x มการเปลยนแปลงนอยมากๆ สรปไดวา คาของ dy หรอคาเชงอนพนธ dy สามารถใชแทนการเปลยนแปลงในฟงกชนโดยประมาณได
y
x x0
x C
y D B
A
0
y = f(x)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 265
กระบวนการของการหาคา dy หรอการเปลยนแปลงของ y เรยกวาการหาคาเชงอนพนธ (differentiation) แตถาใชคาวาการหาคาเชงอนพนธเมอเทยบกบ x จะหมายถงการหาคาอนพนธ dy/dx ดงนน เมอกาหนดฟงกชน y = f(x) จะสามารถหาคาตางๆ ไดดงน 1. หาคาเชงอนพนธ หรอ dy ไดโดยการคณอนพนธของฟงกชน (dy/dx) ดวย dx 2. หาคาอนพนธของฟงกชน (dy/dx) ดวยการหารคาเชงอนพนธ หรอ dy ดวย dx ตวอยางท 6.58 กาหนดให y = x4 + 4x3 + x – 7 ใหใช คาเชงอนพนธหาคาของฟงกชน หรอ y โดยประมาณ เมอ x0 = 2.998 วธทา เพราะวา y = x4 + 4x3 + x – 7
dxdy
= dxd
(x4 + 4x3 + x – 7) = 4x3 + 12x2 + 1
ดงนน dy = [4x3 + 12x2 + 1] dx ถาคาเรมแรกคอ x1 = 3 และ x0 = 2.998 จะไดวา dx = (-0.002) จะได dy = [4(3)3 + 12(3)2 + 1] [-0.002] = [108 + 108 + 1] [-0.002] = 217 (-0.002) = -0.434 หาคาทแทจรงของ y เมอ x1 = 3 y = (3)4 + 4(3)3 + 3 - 7 = 81 + 108 + 3 – 7 = 185 เนองจาก -0.434 เปนคาเปลยนแปลงโดยประมาณของ y หรอ dy เมอ x เปลยนแปลงจาก 3 ไปเปน 2.998 ดงนน เมอ x = 2.998 y = 185 – 0.434 = 184.566 ตวอยางท 6.59 จงใชคาเชงอนพนธ หาคาโดยประมาณของ 80 วธทา ให x = 80 และ y เปนคาโดยประมาณของ 80 จะได y = 80 หรอ x
ดงนน dxdy
= dxd
x = dxd
( 21
x ) = 21
1)x(
21
= 21
)x(21
ดงนน dy =
21
)x(21
dx
ถา x = 81 และ dx = 80 – 81 = -1
266 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
dy = )1(811
21
=
921
= -0.0555
ดงนน 80 = 81 - 0.0555 = 9 – 0.0555 = 8.9445 โดยประมาณ
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 267
แบบฝกหดบทท 6 1. จงหาลมตของฟงกชนตอไปน f(x) = 7 – 9x + x2
1.1 เมอ x 0 1.2 เมอ x -1 2. จงหาลมตของฟงกชนตอไปน g(x) = (x + 2)(x – 3)
2.1 เมอ x -1 2.2 เมอ x 5 3. จงหาลมตตอไปน
3.1 2x
lim
x2 + 2x – 5 3.2 0x
lim
3x
18x2x 2
3.3 3x
lim
3x
15x2x 2
3.4 4x
lim
4x
12xx 2
3.5 2x
lim
1x6 3
4. จงหาลมตของฟงกชนตอไปน
4.1 f(x) = 9x4x57x5x4
3
3
เมอ x
4.2 f(x) = 9x4x57x5x4
3
3
เมอ x -
4.3 f(x) = 3x2x
3x2
เมอ x 1+
4.4 f(x) = 2x3x
2x2
เมอ x 1-
268 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
5. จงหาวาฟงกชนทกาหนดใหตอไปน มความตอเนองหรอไมตอเนอง
5.1 f(x) = 2x4x 2
เมอ x 2
4 เมอ x = 2 ณ จด x = 2 5.2 f(x) = 5x2 -8x +9 ณ จด x = 3
5.3 g(x) = 9x
3x2
ณ จด x = 3
6. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน 6.1 f(x) = 20 6.7 g(x) = 8x -6 6.2 y = x6 6.8 f(x) = -5x3 6.3 y = 5x4 6.9 f(x) = -6x-4
6.4 u = 2a-1 6.10 y = x5
6.5 u = -4 21
a 6.11 y = x8 6.6 g(x) = 5x + 10 6.12 y = 18 3 x 7. จงหา f(1) และ f(2) จากฟงกชนตอไปน
7.1 y = f(x) = 15x 7.4 f(x) = -3 61
x
7.2 y = f(x) = ax4 7.5 f(x) = 3x5 + 3x2
7.3 f(x) = 6 31
x 8. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน 8.1 y = (9x2 – 2)(3x + 1) 8.2 y = (3x + 10)(6x2 – 7x) 8.3 f(x) = x2 (4x + 6) 8.4 f(x) = 5x4 (3x – 7) 8.5 f(x) = (x8 + 8)(x6 + 10)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 269
9. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
9.1 y = f(x) = x2
x6x10 78
9.2 f(x) = x31
x4 5
เมอ x
31
9.3 g(x) = 3x7x2
x152
2
10. จงหา dxdy
ของฟงกชนตอไปน
10.1 y = (3x4 + 5)4 10.2 y = (7x + 9)3 10.3 y = (x2 + 3x + 1)4 11. จงหาอนพนธอนดบสองของฟงกชนตอไปน และเมอ x = 3 อนพนธอนดบสองมคาเทาใด 11.1 f(x) = 7x3 + 5x2 + 12 11.4 y = (x4 – 3)(x3 – 2)
11.2 y = x6 + 3x4 + x 11.5 f(x) = x31
x5
11.3 f(x) = (2x + 3)(8x2 – 6) 11.6 y = (8x – 2)3 12. กาหนดให y = 7x + 21 จงหาอนพนธของฟงกชนผกผนของฟงกชนน และใชกฎฟงกชนผกผนตรวจสอบฟงกชนผกผนนวาเปนฟงกชนแบบหนงตอเนองประเภทใด 13. จงหาอนพนธของฟงกชนลอการทมตอไปน
13.1 y = n 2x3 13.2 y = n (1 +x)
13.3 y = n (x - 4)2 13.4 y = n [(3x + 5)(4x + 4)]
13.5 y = n 1x
x62
2
14. จงหาอนพนธของฟงกชนเอกซโปแเนนเชยลตอไปน
14.1 y = e2x 14.2 y = x2 e5x 14.3 y = ex n x
270 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
15. จงหาคาเชงอนพนธ (dy) ของฟงกชนตอไปน 15.1 y = f(x) = x3 + 4x2 – 6x + 3 15.2 y = f(x) = (2x – 5)2 15.3 y = x2 (x + 1) 16. จากโจทยขอ 15.1 ใหใชคาเชงอนพนธ (dy) หาคาของฟงกชนหรอคาของ y โดยประมาณ เมอ x0 = 1.998 และ
คาเรมแรกคอ x1 = 2
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 271
บทท 7 อนพนธของฟงกชนทมตวแปรอสระมากกวา 1 ตวแปร การหาอนพนธของฟงกชนทไดอธบายมาตงแตแรกนนเปนการหาอนพนธของฟงกชนทมตวแปรอสระเพยง 1 ตวแปรเทานน การวเคราะหทางเศรษฐศาสตรบางสถานการณแบบจาลองจะประกอบดวยพารามเตอรหรอตวแปรอสระมากกวา 1 ตวแปร ดงนนจงจาเปนทจะตองทาความเขาใจถงวธการหาอนพนธของฟงกชนทมตวแปรอสระหลายตวแปร เพอนาไปประยกตใชกบการศกษาเชงสถตยเปรยบเทยบตอไป 7.1 อนพนธยอยของฟงกชนทมตวแปรอสระมากกวา 1 ตวแปร 7.1.1 อนพนธยอย (Partial derivatives) การหาอนพนธยอยหรออนพนธบางสวน หมายถง อนพนธของฟงกชนทประกอบดวยตวแปรอสระหลายตวแปร โดยพจารณาถงผลทจะเกดขนกบตวแปรตามเมอมการเปลยนแปลงของตวแปรอสระ 1 ตวแปรอสระ และกาหนดใหตวแปรอสระอนๆ คงท
ถากาหนดใหฟงกชน y ประกอบดวยตวแปรอสระทเปนอสระตอกน 2 ตวแปร คอ x1 และ x2 หรอ y = f(x1, x2)
ถาใหตวแปร x1 มการเปลยนแปลงไป x1 ขณะท x2 คงท และทาให y มการเปลยนแปลงไป y ผลหารของความแตกตางทเปลยนแปลงไปเขยนไดดงน
1xy
= 1
21211
x)x,x(f)x,xx(f
หาลมตของ 1x
y
เมอ x1 0 คาลมตดงกลาวกคออนพนธ แตจะเรยกวา อนพนธยอย ของ y เมอ
เทยบกบ x1 อนพนธยอยดงกลาวจะบอกใหทราบวาตวแปรอสระอนๆ ในฟงกชนในทนคอ x2 คงท กระบวนการในการหาอนพนธยอยนเรยกวา partial differentiation
272 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
การหาอนพนธยอยจะใชสญลกษณ แทนตวอกษร d กรณดงกลาวจงใชสญลกษณแทนอนพนธยอย
ดงนคอ 1x
y
อานวา อนพนธยอยของ y เมอเทยบกบ x1 บางครงอาจใชสญลกษณ 1x
y หรอ
1xf
หรอ
1
21
x)x,x(f
หรอ f1 ในกรณนจะไดวา f1 1x
y
0x1
lim
1xy
ในทานองเดยวกน ถาให x1 มคาคงท และ x2 มคาเปลยนแปลงไป x2 อนพนธยอยของ y เมอเทยบกบ x2
เขยนไดดงน 2x
y
หรอ 2x
y หรอ
2xf
หรอ 2
21
x)x,x(f
หรอ f2
ถากาหนดให ฟงกชนประกอบดวยตวแปรอสระ n ตวแปร เขยนเปนฟงกชนไดดงน y = f(x1, x2, …, xn) เมอตวแปรอสระ xi (i = 1, 2, …, n) เปนอสระซงกนและกน การเปลยนแปลงคาของตวแปรอสระแตละตว
จะไมมผลตอการเปลยนแปลงของตวแปรอสระอนๆ ถา x1 หมายถง คาทเปลยนแปลงไปของ x1 ขณะท x2 ... xn คงท และ y หมายถงการเปลยนแปลงของ y ผลหารของความแตกตางทเปลยนแปลงไปเขยนไดดงน
1xy
Δ
Δ =
1
n21n211
x)x,...,x,x(f)x,...,x,xx(f
Δ
Δ
หาลมตของ 1x
yΔ
Δ ขณะท x1 0 จะไดอนพนธยอยของ y เมอเทยบกบ x1
ถาตวแปรอสระทเปลยนแปลงไป คอ xi จะไดอนพนธยอยของ y เมอเทยบกบ xi เขยนเปนสญลกษณดงน
ixy
หรอ ix
y หรอ
ixf
หรอ fi ในกรณทตวแปรอสระไมไดเขยนอยในพจนทมดชนลาง แตเขยนเปนอกษร
อารบค เชน y = f(u, v, w) การเขยนอนพนธยอยนยมเขยนอกษรอารบคเปนดชนลาง ดงน fu , fv , fw
ตวอยางท 7.1 กาหนดให y = 3 21x + x1x2 + 2 2
2x จงหา 1x
y
และ 2x
y
วธทา การหาอนพนธยอยจะตองระลกเสมอวา ตวแปรอสระ (n – 1) ตวแปรตองมคาคงทขณะทมตวแปรอสระ
เพยงตวเดยวทเปลยนแปลงไปในขณะน น ในกรณนตองการหา 1x
y
หรอ f1 แสดงวาตวแปรอสระ x1
เปลยนแปลงไป แตตวแปรอสระ x2 คงท ขณะทหาอนพนธสาหรบฟงกชนน พจน 2 22x จะถกตดออกใน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 273
กระบวนการหาอนพนธ เพราะอยในพจนของผลบวกของคาคงท ซงอนพนธของคาคงทมคาเปนศนย แต x1x2 จะยงคงไวเพราะตวคงท x2 อยในพจนของผลคณกบตวแปร x1
1xy
f1 = 6x1 + x2
ในทานองเดยวกน ถาให x1 เปนคาคงท อนพนธยอยของ y เมอเทยบกบ x2 คอ
2xy
f2 = x1 + 4x2
จะสงเกตเหนวา อนพนธยอยทง 2 อนพนธยอยเปนฟงกชนของตวแปร x1 และ x2 ซงจะเหมอนกบฟงกชนเดม ซงกคอ y = f(x1, x2) จงเขยนฟงกชนอนพนธยอยทง 2 ไดวา
f1 = f1 (x1, x2) และ f2 = f2 (x1, x2) ถากาหนดจด (x1, x2) เปน (1, 3) ในโดเมนของฟงกชน f สาหรบตวอยางขางตน อนพนธยอยจะสามารถหา
คาไดเมอแทนคา x1, x2 ทกาหนดใหในอนพนธยอยทง 2 นน ดงน f1 = f1 (1, 3) = 6(1) + (3) = 9 f2 = f2 (1, 3) = (1) + 4(3) = 13
ตวอยางท 7.2 กาหนดให y = (2u + 4) (3u + v) จงหา fu และ fv วธทา เพราะวา y เปนฟงกชนของ u และ v หรอ y = f(u, v) การหาอนพนธยอยของ y เมอเทยบกบ u หรอ fu จะตองให v เปนตวคงท แตเนองจาก y เปนฟงกชนของผลคณ จงตองใชกฎของผลคณในการหาอนพนธ ดงน
uy
= u
(2u + 4) (3u + v)
= (2u + 4) u
(3u + v) + (3u + v) u
(2u + 4)
= (2u + 4)(3) + (3u + v)(2) = 6u + 12 + 6u + 2v = 2(6u + 2v + 6)
vy
= v
(2u + 4) (3u + v)
= (2u + 4) v
(3u + v) + (3u + v) v
(2u + 4)
= (2u + 4)(1) + (3u + v)(0) = 2u + 4
274 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 7.3 จากตวอยางท 7.2 กาหนดให u = 1 v = 2 จงหา fu (1, 2) และ fv (1, 2) วธทา กาหนดให u = 1 v = 2 fu = fu (1, 2) = 2(6u + 2v + 6) = 2 [6(1) + 2(2) + 6] = 2(16) = 32 fv = fv (1, 2) = 2u + 4 = 2(1) + 4 = 6 ตวอยางท 7.4 กาหนดให y = (u – 2v) / (u2 + v) จงหา fu และ fv
วธทา y = )vu()v2u(
2
หาอนพนธยอยโดยกฎของผลหาร
uy
= 22
22
)vu(
)vu(u
)v2u()v2u(u
)vu(
= 22
2
)vu(u2)v2u()1)(vu(
= 222
22
)vu(uv4u2vu
= 22
2
)vu(vuv4u
vy
= 22
22
)vu(
)vu(v
)v2u()v2u(v
)vu(
= 22
2
)vu()1)(v2u()2)(vu(
= 22
2
)vu(v2uv2u2
= 22
2
)vu(uu2
7.1.2 อนพนธยอยอนดบทสอง จากฟงกชนเดมทมการหาอนพนธยอยอนดบทหนงไปแลว สามารถนามาหาอนพนธยอยอนดบทสองได โดยอาจเปนการหาอนพนธยอยอนดบทสองเมอเทยบกบตวแปรอสระเดมเหมอนการหาอนพนธยอยอนดบทหนง
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 275
หรออาจเปนการเทยบกบตวแปรอสระอน ทงนตวแปรอสระทเหลอจะตองคงท ซงทงสองกรณการเขยนสญลกษณ เปนดงน กาหนดให y = f(x1, x2, …, xn)
(1) อนพนธยอยอนดบทหนงของ y เมอเทยบกบ x1 = 1x
y
หรอ 1x
f
หรอ f1
อนพนธยอยอนดบทสองของ y เมอเทยบกบ x1
= 1x
1xy
= 21
2
xy
หรอ 21
2
xf
หรอ f11
สาหรบการหาอนพนธยอยอนดบทสองของ y เมอเทยบกบ x2 = เรยกวา การหาอนพนธยอยแบบไขว (Cross or mixed partial derivative)
= 2x
1xy
= 21
2
xxy
หรอ = 21
2
xxf
หรอ f12
(2) อนพนธยอยอนดบทหนงของ y เมอเทยบกบ x2 = 2x
y
หรอ 2x
f
หรอ f2
อนพนธยอยอนดบทสองของ y เมอเทยบกบ x1
= 1x
2xy
= 12
2
xxy
หรอ =
12
2
xxf
หรอ f21
อนพนธยอยอนดบทสองของ y เมอเทยบกบ x2
= 2x
2xy
= 22
2
xy
หรอ = 22
2
xf
หรอ f22
จะเหนวา 21
2
xxf
= f12
และ 12
2
xxf
= f21
ดงนน f12 = f21
276 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 7.5 กาหนดให y = 7 31x + 9x1x2 + 2 5
2x จงหาอนพนธยอยอนดบทสองของ y เมอเทยบกบตวแปรอสระในทกๆ กรณ วธทา y = 7 3
1x + 9x1x2 + 2 52x
หาอนพนธยอยอนดบทหนง
1xy
= 21 21x + 9x2 และ
2xy
= 9x1 + 10 42x
หาอนพนธยอยอนดบทสอง
1x
1xy
= 1x
[21 2
1x + 9x2] 21
2
xy
= f11 = 42 x1
2x
1xy
= 2x
[21 2
1x + 9x2] 21
2
xxy
= f12 = 9
2x
2xy
= 2x
[9x1 + 10 4
2x ] 22
2
xy
= f22 = 40x2
1x
2xy
= 1x
[9x1 + 10 4
2x ] 12
2
xxy
= f21 = 9
จะเหนวา f12 = f21 = 9
ตวอยางท 7.6 กาหนดให z = (x2 + y2)2 จงหา 2
2
xz
, 2
2
yz
, yx
z2
, xy
z2
วธทา z = (x2 + y2)2
xz
= x
(x2 + y2)2 = 2 (x2 + y2) 2x = 4x3 + 4xy2
yz
= y
(x2 + y2)2 = 2 (x2 + y2) 2y = 4x2y + 4y3
x
xz
= x
[4x3 + 4xy2] 2
2
xz
หรอ fxx = 12x2 + 4y2
y
xz
= y
[4x3 + 4xy2] yx
z2
= fxy = 8xy
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 277
y
yz
= y
[4x2y + 4y3] 2
2
yz
= fyy = 4x2 + 12y2
x
yz
= x
[4x2y + 4y3] xy
z2
= fyx = 8xy
7.2 คาเชงอนพนธรวม (Total differential) 7.2.1 แนวคดการหาคาเชงอนพนธรวม การหาคาเชงอนพนธ (differential) สาหรบฟงกชนทมตวแปรอสระ 1 ตวแปร สามารถขยายไปสฟงกชนทมตวแปรอสระตงแต 2 ตวแปรขนไปได ถากาหนดให y = f(x1, x2) โดยท x1 มการเปลยนแปลงเพยงเลกนอย แต x2 คงท จะทาให y มการเปลยนแปลงเลกนอยจะไดวา
dy =
1xy
dx1
โดยท 1x
y
เปนอตราการเปลยนแปลงในคาของ y อนเนองมาจากการเปลยนแปลงในคา x1 เพยงเลกนอย
โดยท x2 คงท และ dx1 เปนการเปลยนแปลงในคาของ x1 ในทานองเดยวกนถาให x2 มการเปลยนแปลงเพยงเลกนอย แต x1 คงท จะทาให y มการเปลยนแปลง
เลกนอย จะไดวา
dy =
2xy
dx2
แตการเปลยนแปลงใน y เปนผลรวมจากการเปลยนแปลงทงของ x1 และ x2 จะไดวา
dy =
1xy
dx1 +
2xy
dx2
พจน
1xy
dx1 และ
2xy
dx2 เรยกวา คาเชงอนพนธยอย (partial differentials) ของ y เมอเทยบกบ x1 และ
x2 ตามลาดบ dy เปนผลบวกของคาเชงอนพนธยอยของฟงกชน เรยกวา คาเชงอนพนธรวม (total differential) ของฟงกชน และกระบวนการในการหาคาเชงอนพนธรวม เรยกวา total differentiation โดยทวไป ถา y = f(x1, x2, …, xn) คาเชงอนพนธรวมของฟงกชนเปนดงน
278 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
dy = 1x
y
dx1 + 2x
y
dx2 + … + nx
y
dxn
= 1x
f
dx1 + 2x
f
dx2 + … + nx
f
dxn
= f1 dx1 + f2 dx2 + … + fn dxn
dy =
n
1iiidxf
และถา xi เปนฟงกชนทสามารถจะหาอนพนธได เมอเทยบกบตวแปรอนหนงตวแปร เชน เมอเทยบกบตว
แปรอสระ t จะไดวา dxi = dt
dxi dt
หรอ xi เปนฟงกชนทสามารถจะหาอนพนธได เมอเทยบกบตวแปรอสระอน 2 ตวแปร เชน เมอเทยบกบตวแปรอสระ r และ s จะไดวา
dxi = r
x i
dr + s
x i
ds
ตวอยางท 7.7 กาหนดให y = 21
121 )x - (x )x (x 2
จงหาคาเชงอนพนธรวมของฟงกชน เมอ x1 = 6, x2 = 2, dx1 = 21
, และ dx2 = -1
วธทา เพราะวา
dy =
n
1iiidxf = f1 dx1 + f2 dx2 =
1xf
dx1 + 2x
f
dx2
และ y = 21
121 )x - (x )x (x 2
ดงนน dy = 1x
[ 2
1
121 )x - (x )x (x 2 ] dx1 +2x
[ 2
1
121 )x - (x )x (x 2 ] dx2
ใชกฎของผลคณของฟงกชนไดดงน
= [ 21
121
121 )x - (x)x - (x 21
)x (x 22
] dx1 +
[ 21
121
121 )x - (x)1()x - (x 21
)x (x 22
] dx2
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 279
= [ 21
21
2)-(62)-(6 212)(6
] (21
) +
[ 21
21
2)-(6)1(2)-(6 212)(6
] (-1)
=
21
441
21
)8(
)1(4)1(41
21
)8(
= (-1)]22[21
]22[
dy = 2 + 0 = 2 ตวอยางท 7.8 จงหาคาเชงอนพนธรวมของฟงกชน z = 5x2 + xy – 2y3 เมอ x = r2 + 1 และ y = 2r + 3
วธทา เพราะวา dz = xf
dx + yf
dy
= x
[5x2 + xy – 2y3] dx + y
[5x2 + xy – 2y3] dy
= [10x + y] dx + [x – 6y2] dy
[ เพราะวา dx = r
(r2 + 1) dr = 2r dr
dy = r
(2r + 3) dr = 2dr ]
dz = [10(r2 + 1) + (2r + 3)] 2rdr + [(r2 + 1) - 6(2r + 3)2] 2dr = [10r2 + 10 + 2r + 3] 2rdr + [r2 + 1 - 6(4r2 + 12r + 9)] 2dr = [10r3 + 13r + 2r2] 2dr + [-23r2 - 72r - 53] 2dr = 2 [10r3 – 21r2 – 59r - 53] dr 7.2.2 กฎของการหาคาเชงอนพนธ (Rules of differentials) การหาคาเชงอนพนธรวม หรอ dy ของฟงกชน y = f(x1, x2) สามารถทาไดโดยการหาคาอนพนธยอย f1 และ f2 แลวเขยนอยในรปแบบของสมการ ดงน dy = f1 dx1 + f2 dx2
280 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แตยงมวธทสะดวกมากกวาโดยการใชกฎของการหาคาเชงอนพนธ (rules of differentials) ซงจะคลายกบสตรหรอกฎของการหาอนพนธทไดศกษามาแลว กาหนดให u และ v เปนฟงกชน 2 ฟงกชน ของตวแปร x1 และ x2 ดงน u = g (x1, x2) v = h (x1, x2) และให k เปนคาคงท กฎท 1 dk = 0 (กฎของฟงกชนคาคงท) กฎท 2 d(cun) = cnun-1 du (กฎของฟงกชนยกกาลง) กฎท 3 d (u v) = du dv (กฎผลบวกและผลตาง) กฎท 4 d (uv) = vdu + udv (กฎของผลคณ)
กฎท 5 d
vu
= 2v1
[vdu - udv] (กฎของผลหาร)
ตวอยางท 7.9 จงหาคาเชงอนพนธรวมของฟงกชน y = 4 21x + 3x2 วธทา วธแรก โดยการหาอนพนธยอย f1 และ f2 แลวแทนคาลงในสมการ
f1 = 1x
f
= 1x
[4 21x + 3x2] = 8x1
f2 = 2x
f
= 2x
[4 21x + 3x2] = 3
เพราะวา dy = f1 dx1 + f2 dx2 = 8x1dx1 + 3dx2 วธท 2 โดยการใชสตรของกฎตางๆ ของการหาคาเชงอนพนธ
ให u = 4 21x และ v = 3x2 ใชกฎท 3 กฎของผลบวกดงน
dy = d (4 21x ) + d (3x2) ใชกฎท 2 กฎของฟงกชนยกกาลง dy = 8x1dx1 + 3dx2
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 281
ตวอยางท 7.10 จงหาคาเชงอนพนธรวมของฟงกชน z = 3x2 + xy2 วธทา วธแรก หาอนพนธยอย f1 และ f2 ดงน
f1 = x
[3x2 + xy2] = 6x + y2
f2 = y
[3x2 + xy2] = 2xy
เพราะวา dz = f1 dx + f2 dy = (6x + y2) dx + (2xy) dy วธท 2 ใชกฎของการหาคาเชงอนพนธดงน dz = d [3x2 + xy2] กฎของผลบวก = d (3x2) + d (xy2) กฎฟงกชนยกกาลงและกฎผลคณ = 6x dx + [y2 dx + xdy2] = 6x dx + y2 dx + 2xy dy = (6x + y2) dx + 2xy dy
ตวอยางท 7.11 จงหาคาเชงอนพนธรวมของฟงกชน z = 2x2yx
วธทา วธท 1 หาอนพนธยอย f1 และ f2 ดงน
f1 = x
[ 2x2yx
]
= 2222
)x2(1
x2x
)yx()yx(x
x2
= [2x2 – 4x(x + y)] 4x41
= 2x [x – 2x – 2y] 4x41
= [-x –2y] 3x21
f2 = y
[ 2x2yx
]
282 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
= 22
22
)x2(1
x2y
)yx()yx(y
x2
= [2x2 – (x + y)(0)] 4x41
= 4
2
x4x2
= 2x21
เพราะวา dz = f1 dx + f2 dy = [-x –2y]3x21
dx + 2x21
dy
วธท 2 ใชกฎของการหาคาเชงอนพนธดงน
dz = d
2x2yx
= [2x2 d(x + y) – (x + y) d 2x2] 22 )x2(
1
= [2x2 (dx + dy) – (x + y) 4x dx] 4x41
= [(2x2 - 4x2 – 4xy) dx + 2x2 dy] 4x41
= [2x (-x – 2y) dx] 4x41
+ 4
2
x4dyx2
= (-x – 2y)3x21
dx + 2x21
dy
กฎการหาคาเชงอนพนธตางๆ เหลานสามารถประยกตใชกบฟงกชนทมตวแปรอสระมากกวา 2 ตวแปรไดดงน กฎท 6 d (u v w) = du dv dw กฎท 7 d (uvw) = vwdu + uwdv + uvdw ตวอยางท 7.12 จงหาคาเชงอนพนธรวมของฟงกชน g = 4x (2y + 1)(z + 5) วธทา g = 4x (2y + 1)(z + 5) dg = d [4x (2y + 1)(z + 5)] = (2y + 1)(z + 5) d4x + 4x (z + 5)d (2y + 1) + 4x (2y + 1) d (z + 5) = 4 (2y + 1)(z + 5) dx + 8x (z + 5)dy + 4x (2y + 1) dz
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 283
7.3 อนพนธรวม (Total derivative) การหาอนพนธของฟงกชนทมตวแปรอสระหลายตวแปร (ตงแต 2 ตวแปรอสระขนไป) และตวแปรอสระแตละตวตางกเปนอสระซงกนและกน การเปลยนแปลงคาของตวแปรอสระตวใดตวหนงจะไมมผลกระทบถงการเปลยนแปลงในตวแปรอสระอนๆ และเมอกาหนดใหตวแปรอสระตวหนงมการเปลยนแปลงและตวแปรอนๆ คงท การหาอนพนธของฟงกชน จะเปนการหาคาของอนพนธยอยตามทไดอธบายมากอนหนาน ในบางกรณฟงกชนของตวแปรอสระหลายตวแปร ตวแปรอสระมความสมพนธเกยวของกน การหาอนพนธยอยในกรณนจะไมเหมาะสมเพราะไมสอดคลองกบแนวคดของอนพนธยอยทตวแปรอสระแตละตวแปรตองเปนอสระซงกนและกน ในกรณดงกลาวน การเปลยนแปลงของตวแปรอสระตวใดตวหนงจะทาใหตวแปรอสระทเกยวของดวยเปลยนแปลงตามไปดวย (1) ในกรณท y = f(x, w) และ x = g(w) โดยเหตท y เปนฟงกชนของ x และ w ซง x เปนฟงกชนของ w ดวยจงสามารถเขยนฟงกชนใหมไดวา y = f(g(w), w) สามารถเขยนเปนภาพไดดงน
ภาพท 7.1 ความสมพนธของตวแปร
จากภาพท 7.1 จะเหนวาตวแปร w จะสงผลตอตวแปร y 2 ชองทาง คอ
(1) สงผลทางออมโดยผานฟงกชน g แลวจงสงผลตอฟงกชน f (ลกศรทเปนเสนตรง) (2) สงผลโดยตรง โดยผานฟงกชน f (ลกศรทเปนเสนโคง) ดงน น เมอตวแปร w เปลยนแปลง นอกจากจะสงผลโดยตรงตอฟงกชน y แลวยงจะทาใหตวแปร x เปลยนแปลงดวยโดยผานฟงกชน g การหาอนพนธของฟงกชน y จงตองใชการหาอนพนธรวม (total derivative) จงจะเปนการถกตองมากกวา โดยการใชอนพนธยอยแทนในคาเชงอนพนธรวมของฟงกชน y = f(x, w) ดงน dy = fx dx + fw dw
หารสมการนทง 2 ขางดวย dw จะได
dwdy
= fx dwdx
+ fw dwdw
= xy
dwdx
+ wy
(เพราะวา dwdw
= 1)
284 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
เพราะวาอนพนธกคออตราสวนของคาเชงอนพนธ 2 คา ในทนอนพนธของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร
w คอ dwdy
(หมายความวา เปนการวดอตราการเปลยนแปลงของ y เมอมการเปลยนแปลงเพยงเลกนอยของ w) จะ
ประกอบดวย 2 พจน ถาพจน 2 พจนทางขวามอของสมการสามารถหาคาได โดยทพจนแรกเปนผลโดยออมและพจนท 2 เปนผลโดยตรงของ w ทมตอ y
พจนแรกของสมการทเปนผลโดยออมน คอพจนของ xy
dwdx
ซงเปนขนาดของการเปลยนแปลงใน y
อนเนองมาจากการเปลยนแปลงของ x ซงการเปลยนแปลงของ x มสาเหตมาจากการเปลยนแปลงของ w ดงแสดงใหเหนจากลกศร ตามภาพ
และพจนท 2 ของสมการทเปนผลโดยตรงน คอพจนของ wy
ซงเปนขนาดของการเปลยนแปลงใน y
อนเนองมาจากการเปลยนแปลงของ w โดยท x คงท
อนพนธของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร w หรอ dwdy
ตามสมการดงกลาว เรยกวา คาอนพนธรวม (total
derivative) ของฟงกชน y เมอเทยบกบ w
ตวอยางท 7.13 จงหาอนพนธรวม
dwdy
ของฟงกชน y = f(x, w) = 6x + 2w2
โดยท x = g(w) = 4w2 + 3w + 5 วธทา จาก y = 6x + 2w2
อนพนธรวมทงหมดของฟงกชน y เมอเทยบกบ w เปนดงน
dwdy
= fx dwdx
+ fw dwdw
= xy
dwdx
+ wy
เพราะวา wy
= w
[6x + 2w2] = 4w
และ xy
= x
[6x + 2w2] = 6
และ dwdx
= w
[4w2 + 3w + 5] = 8w + 3
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 285
ดงนน dwdy
= 6 [8w + 3] + 4w = 48w + 18 + 4w = 52w + 18
การตรวจสอบคาตอบ ทาไดโดยการแทนคาฟงกชน g ลงในฟงกชน f ไดดงน y = 6 [4w2 + 3w + 5] + 2w2 = 24w2 + 18w +30 +2w2 = 26w2 + 18w + 30
ดงนน dwdy
= dwd
[26w2 + 18w + 30] = 52w + 18
จะเหนวาคาตอบทง 2 วธ เทากน ตวอยางท 7.14 กาหนดให z = f(x, y) จงหาอนพนธรวมเมอเทยบกบ x โดยท z = 3x2 + 4y และ y = g(x) = 2x2 + 2x + 5 วธทา
เพราะวา dxdz
= fx dxdx
+ fy dxdy
= xz
+ yz
dxdy
เพราะวา xz
= x
[3x2 + 4y] = 6x
yz
= y
[3x2 + 4y ] = 4
และ dxdy
= dxd
[2x2 + 2x + 5] = 2x + 2
ดงนน dxdz
= 6x + 4 [4x + 2] = 6x + 16x + 8 = 22x + 8
ตรวจสอบคาตอบ โดยการแทนคาฟงกชน g ลงในฟงกชน f ไดดงน z = 3x2 + 4 [2x2 + 2x + 5] = 3x2 + 8x2 + 8x + 20 = 11x2 + 8x + 20
dx
dz = dx
d [11x2 + 8x + 20] = 22x + 8
ตวอยางท 7.15 กาหนดใหฟงกชนอรรถประโยชน u = f(c, s) โดยท c คอ ปรมาณการบรโภคกาแฟ s คอ ปรมาณการบรโภคน าตาล และ s = g(c) ซงเปนฟงกชนทแสดงความสมพนธของสนคาทง 2 ชนดน จงหาอนพนธรวมของฟงกชนอรรถประโยชนเมอเทยบกบการบรโภคกาแฟ วธทา เนองจาก u = f(c, s) แต s = g(c)
286 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ดงนน เขยนฟงกชนอรรถประโยชนใหมโดยแทน g(c) ใน s ไดดงน u = f [c, g(c)] หาอนพนธรวมของฟงกชน u เมอเทยบกบ c
จาก dc
du = fc dc
dc + fs dc
ds
= c
u
+
s
u
dc
ds
= c
u
+
)c(g
u
g(c)
(2) ในกรณท y = f(x1, x2, w) โดยท x1 = g(w) x2 = h(w) กรณนความสมพนธของตวแปรเปนดงน
ภาพท 7.2 ความสมพนธของตวแปรอสระ 3 ตวแปร ทมตอตวแปรตาม
จากภาพท 7.2 จะเหนวา ตวแปร w มผลตอตวแปร y โดยผาน 3 ชองทาง คอ 1) มผลโดยออม โดยผานฟงกชน g และฟงกชน f 2) มผลโดยออม โดยผานฟงกชน h และฟงกชน f 3) มผลโดยตรง โดยผานฟงกชน f ดงนนจะไดคาอนพนธรวมของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร w ไดดงน
dwdy
= f1 dwdx1 + f2
dwdx 2 + fw
dwdw
= 1x
y
dwdx1 +
2xy
dwdx 2 +
wy
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 287
ตวอยางท 7.16 กาหนดใหฟงกชนการผลตเปนดงน Q = f(K, L, t) โดยทปจจยการผลตไดแก เงนทน K และแรงงาน L และตวแปรเวลา t ตวแปร t จะแสดงใหเหนวาปจจยทนและแรงงานของฟงกชนการผลตน สามารถเปลยนแปลงไดตลอดเวลา ซงสะทอนถงการเปลยนแปลงในเทคโนโลยการผลต ดงนนฟงกชนการผลตจงเปนลกษณะเชงพลวตมากกวาเชงสถตย ปจจยทนและแรงงานจงเปนฟงกชนของตวแปรเวลาดงน วธทา K = g(t) และ L = h(t) อตราการเปลยนแปลงของผลตผลเมอเทยบกบเวลา สามารถหาไดจากการหาอนพนธรวมไดดงน
dtdQ
= KQ
dtdK
+ LQ
dtdL
+ tQ
หรอเขยนใหมไดเปน
dtdQ
= fK g(t) + fL h(t) + ft
(3) ในกรณท y = f(x1, x2, u, v) โดยท x1 = g(u, v) x2 = h(u, v) การหาอนพนธรวมของฟงกชน y ยงคงใชหลกแนวคดเดยวกน กลาวคอ อนพนธรวมของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร u (กาหนดใหตวแปร v คงท) ทาไดโดยการหาคาเชงอนพนธรวมของ y กอนแลวหารดวยคาเชงอนพนธ du ทงดานซายและขวาของสมการ ดงน dy = f1 dx1 + f2 dx2 + fu du + fv dv
dudy
= f1 dudx1 + f2
dudx 2 + fu
dudu
+ fv dudv
= 1x
y
dudx1 +
2xy
dudx 2 +
uy
dudu
+ vy
dudv
เพราะวา dudu
= 1 และ dudv
= 0 (เมอ v = คาคงท)
dudy
= 1x
y
dudx1 +
2xy
du
dx 2 + uy
การหาอนพนธรวมไมสามารถใหตวแปร u และ v เปลยนแปลงไปพรอมๆ กนได จะตองใหตวแปรใดตวแปรหนงเปลยนแปลง และอกตวแปรหนงคงท และจากสมการทได สามารถแปลความไดดงน
288 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
1) อนพนธ dudx1 และ
dudx 2 ทางดานขวามอของสมการ ควรเขยนใหมในรปแบบของเครองหมาย
อนพนธยอยเปน ux1
และ u
x 2
เพราะเปนการหาคาการเปลยนแปลงของ y โดยผานตวแปร x1 และ x2 ซงเปน
ฟงกชนของ g และ h ตามลาดบ และฟงกชน g และ h มความสมพนธเกยวของกบตวแปร u และ v จงตองใชสญลกษณ แทน d
2) อตราสวน dudy
ทางดานซายมอของสมการ แปลความหมายไดวาเปนอนพนธยอย แมวาจะเปนการหา
อนพนธรวมโดยผานกระบวนการของการหาอนพนธรวมของ y กตาม เพราะวามตวแปร v อกตวแปรหนงรวมอยดวย และกาหนดใหมคาคงท ดวยเหตนจงควรใชสญลกษณของอนพนธยอยแทนเรยกวาเปนอนพนธรวมยอย
(partial total derivative) และใชสญลกษณ § แทน ดงน u§y§
หรอ อาจใชสญลกษณ คงทvdu
dyหรอ
0dvdudy
กได และสามารถเขยนสมการใหมได ดงน
u§y§
= 1x
y
ux1
+ 2x
y
u
x 2
+ uy
ในทานองเดยวกนสามารถหาคา v§y§
ไดเชนกน โดยใชสญลกษณ v แทน u ในสมการ ไดดงน
v§y§
= 1x
y
vx1
+ 2x
y
v
x 2
+ vy
(4) แตสาหรบกรณทฟงกชน f อยในรปแบบดงน y = f(x1, x2) โดยไมมตวแปร u และ v เปนตวแปรภายในฟงกชน f และ x1 = g(u, v) , x2 = h(u, v) ซงหมายถงตวแปร u และ v ไมมผลโดยตรงโดยผานฟงกชน f แตมผลโดยออมโดยผาน g และ h
การหาอนพนธรวมยอยของ y เมอเทยบกบ u และ เมอเทยบกบ v นน uy
และ vy
จะไมถกกาหนดใน
พจนสดทายของสมการดงกลาว ดงน
u§y§
= 1x
y
ux1
+ 2x
y
u
x 2
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 289
v§y§
= 1x
y
vx1
+ 2x
y
v
x 2
ขอสงเกต 1) จากกรณตางๆ ทไดอธบายในการหาอนพนธรวมมาทงหมดน สญลกษณทใชหาอนพนธจะเปนไปตามกฎลกโซ 2) การหาอนพนธโดยใชกฎลกโซ ไมไดจากดอยเพยงการเชอมตอของ 2 อนพนธทอยในลกษณะของผลคณ แตแนวคดของอนพนธรวมสามารถขยายไปสการเชอมตอของอนพนธทเปนผลคณของ 3 อนพนธหรอมากกวา 3 อนพนธ ในคอมโพสท ฟงกชน (composite function) (5) ถา y = f(x1, x2, x3) โดยท x1, x2, x3 เปนฟงกชนของตวแปร w ดงน x1 = g(w), x2 = h(w) และ x3 = k(w) ตวแปร w จะมผลตอตวแปร y ซงเปนผลทางออมโดยผานฟงกชน g, h และ k อนพนธรวมของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร w เปนดงน
dwdy
= 1x
y
dwdx1 +
2xy
dwdx 2 +
3xy
dwdx 3
(6) ถา y = f(x1, x2, x3) โดยท x1 = g(w), x2 = h(x1) และ x3 = k(w) อนพนธรวมของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร w เปนดงน
dwdy
= 1x
y
dwdx1 +
2xy
1
2
dxdx
dwdx1 +
3xy
dwdx 3
(7) ถา y = f(x1, x2, x3) โดยท x1 = g(u, v) x2 = h(u) และ x3 = k( x2) อนพนธรวมของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร u ดงน
u§y§
= 1x
y
ux1
+ 2x
y
du
dx 2 + 3x
y
2
3
dxdx
du
dx 2
อนพนธรวมของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร v ดงน
v§y§
= 1x
y
vx1
(เนองจาก v
x 2
= 0)
(8) ถา y = f(x1, x2, x3) โดยท x1 = g(w) x2 = h(x1) และ x3 = k( x2) อนพนธรวมของฟงกชน y เมอเทยบกบตวแปร w ดงน
dwdy
= 1x
y
dwdx1 +
2xy
1
2
dxdx
dwdx1 +
3xy
2
3
dxdx
1
2
dxdx
dwdx1
290 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
7.4 อนพนธของฟงกชนโดยปรยาย (Implicit function) ลกษณะของความสมพนธของตวแปรทกาหนดเปนฟงกชนและเขยนอยในรปแบบ y = f(x) โดยทวไปกาหนดใหตวแปรตามอยทางซายมอของสมการ และตวแปรอสระอยทางดานขวามอของสมการ เชน
y = f(x) = 4x5 ลกษณะของความสมพนธทกาหนดในรปแบบน เรยกวา ฟงกชนชดแจง (explicit function) หรอกลาววา ตวแปรตาม y เปนฟงกชนของตวแปร x บางครงอาจมการเขยนในรปแบบอน โดยใหสมการเทากบศนย เชน
y - 4x5 = 0 จากสมการดงกลาว ลกษณะของความสมพนธทกาหนดในรปแบบนเรยกวา ฟงกชนโดยปรยาย (implicit function) และเขยนรปแบบของความสมพนธเปน F(y, x) = 0 โดยใหดานซายของสมการเปนฟงกชนของ 2 ตวแปร คอ y และ x และการใชอกษรตวใหญ F แสดงใหเหนวามาจากฟงกชน f(x) ซงเปนฟงกชนชดแจงทประกอบดวย ตวแปรตวเดยวคอ x ฟงกชน F จงหมายถงฟงกชนทแสดงถงนพจนดานซายมอทประกอบดวยตวแปร y และ x ในกรณทฟงกชน F ประกอบดวยตวแปรทมากกวา 2 ตวแปร สามารถเขยนไดเปน
F(y, x1, …, xm) = 0 ซงสมการดงกลาวอาจจะกาหนดใหเปนฟงกชนโดยปรยายในรปแบบ y = f(x1, …, xm) ได แตโดยทวไปแลวฟงกชนชดแจง y = f(x) สามารถแปลงใหอยในรปแบบของฟงกชนโดยปรยาย F(y, x) = 0 ไดเสมอโดยการยายนพจนทางดานขวาไปอยทางดานซายของเครองหมายเทากบของสมการ แตบางกรณการแปลงฟงกชน F(y, x) = 0 ใหกลบมาเปนฟงกชน y = f(x) ไมสามารถทาได โดยเฉพาะเมอ F(y, x) = 0 ทเขยนอยในลกษณะของเลขยกกาลงของ y ซงโดยทวไปจะไมใชฟงกชน แตเปนความสมพนธระหวาง x กบ y เชน สมการ x2 + y2 = 0 จะเปนฟงกชนทจดกาเนด (0, 0) เทานน แตทคอนดบอนๆ ไมไดมความหมายวาเปนฟงกชน หรอกรณตวอยางอน เชน F(y, x) = x2 + y2 – 9 = 0 สมการดงกลาวไมสามารถบอกไดวาเปนฟงกชนแตเปนความสมพนธ เพราะวาเมอนาไปพลอตเปนกราฟวงกลมตามภาพท 7.3 คา x แตละคาจะไมไดใหคา y เพยงคาเดยว
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 291
ภาพท 7.3 กราฟของสมการวงกลม x2 + y2 – 9 = 0
แตถากาหนดให y เปนคาจากดเฉพาะทไมใชคาลบเทานน จะไดครงวงกลมดานบน ซง x แตละคาจะให
คา y เพยงคาเดยว ดงนนความสมพนธของ y = + 2x9 จะเปนฟงกชน ในทานองเดยวกน ถากาหนดให y เปนคาจากดเฉพาะทไมใชคาบวกเทานน จะไดกราฟครงวงกลมดานลาง
และคา x แตละคาจะใหคา y เพยงคาเดยว ความสมพนธของ y = - 2x9 จงเปนฟงกชน ดงน นไมวา ครงวงกลมดานบนและครงวงกลมดานลางตางกเปนฟงกชน ถา F(y, x1, …, xm) = 0 และสามารถบอกไดวาเปนฟงกชนโดยปรยาย โดยเขยนอยในรปฟงกชน y = (x1, …, xm) ได ถามสมบตดงน (หรอเรยกวาเปนไปตามเงอนไขทฤษฎของฟงกชนโดยปรยาย 1) ฟงกชน F มอนพนธยอยทตอเนอง เปน Fy, F1, …, Fm 2) ทจด (y0, x10, …, xm0) สอดคลองกบสมการของฟงกชน F และ Fy ไมเทากบศนย โดยคาตวแปร x m มตหรอ (x10, …, xm0) จานวน N สามารถหาคา y แตละ m มตของ x ไดเพยงคาเดยว ซงกคอ y สามารถกาหนดคาไดจากฟงกชนของตวแปร (x1, …, xm) ในรปแบบของ y = f(x1, …, xm) ได ดงนน ฟงกชนโดยปรยายจะสอดคลองกบ y0 = f(x10, …, xm0) นนเอง จากตวอยางสมการวงกลมขางตน สามารถแกปญหาไดเมอแยกออกเปน 2 ฟงกชน ดงน
y+ = + 2x9 (ครงบนของวงกลม)
y- = - 2x9 (ครงลางของวงกลม) และเมอหาอนพนธของทง 2 ฟงกชนไดดงน
dx
dy =
dxd
21
2 )x9(
y
x 0 -3
-3
3
3
วงกลม x2 + y2 = 9
ครงวงกลมดานบน y+ = +
ครงวงกลมดานลาง y- = -
292 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
= 21
1
21
2 )x9(
(-2x)
= -x 21
2 )x9(
= 2x9
x
=
y
x (เมอ y+ 0)
และ dx
dy
= dxd
2
12 )x9(
= -21
1
21
2 )x9(
(-2x)
= x 21
2 )x9(
= 2x9
x
= 2x9
x
=
y
x (เมอ y- 0)
แตถาสมการ F(y, x1, …, xm) = 0 ไมสามารถแกปญหาโดยการหาคา y ทเขยนในรปฟงกชนชดแจงในรปของ x ได แตทราบวาสามารถหาคาไดและเปนฟงกชนโดยปรยาย กยงคงสามารถหาอนพนธไดตามกฎของฟงกชนโดยปรยาย กฎนสามารถหาอนพนธได ทกๆ ฟงกชนโดยปรยาย ทงนขนอยกบหลกการพนฐานทเปนขอเทจจรง ดงน 1) ถานพจนทง 2 นพจนทเทากน เมอหาคาเชงอนพนธรวมแลวตองไดผลเฉลยเพยงคาเดยวทเทากน จากหลกการขอท 1) ดงกลาว ถากาหนดใหนพจน 2 นพจนเปนดงน x2 - y2 (x + y)(x – y) นพจนทง 2 นพจนมความหมายอยางเดยวกนหรอเปนเอกลกษณ (identity) หรอกลาวไดวาเปนสมการเอกลกษณ (identity equation) เพราะวาทง 2 ดานของสมการเทากนทกๆ คาของ x และ y เมอหาคาเชงอนพนธรวมของแตละดานจะเทากนเปนดงน ทางดานขวาของสมการ d (x2 - y2) = 2x dx – 2y dy
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 293
ทางดานซายของสมการ d (x + y)(x – y) = (x - y) d (x + y) + (x + y) d (x – y) = (x - y)(dx + dy) + (x + y)(dx – dy) = 2x dx - 2y dy ผลเฉลยท ง 2 ขางเทากน แตถานพจนท ง 2 นพจนไมเปนเอกลกษณททกคาของ x และ y แตจะเทากนเฉพาะคาบางคาของตวแปรเทานน คาเชงอนพนธรวมจะไมเทากนของทง 2 ดาน เชน x2 - y2 = x2 + y2 - 2 นพจนทง 2 จะเทากนเฉพาะ y = 1 เทานน เมอหาคาเชงอนพนธรวมเปนดงน d (ดานซาย) = 2x dx – 2y dy d (ดานขวา) = 2x dx + 2y dy คาเชงอนพนธรวมทง 2 ขางจะไมเทากน 2) กระบวนการหาคาอนพนธของนพจนทเกยวของกบ y, x1, …, xm จะไดคาเชงอนพนธเปน dy, dx1, …, dxm 3) ถาหาร dy ดวย dx1 และใหคาเชงอนพนธอนๆ ทเหลอ (dx2, …dxm) เปนศนย ผลหารดงกลาวสามารถ
แปลความหมายไดวาเปนคาอนพนธยอย [1x
y
] ในทานองเดยวกน ถาหาร dy ดวย dx2 และคาเชงอนพนธอนๆ
เปนศนย กสามารถหาอนพนธยอย [2x
y
] ไดเชนเดยวกน
เมอประยกตหลกการเหลานกบสมการ F(y, x1, …, xm) = 0 ซงเปนฟงกชนโดยปรยาย ทาใหสามารถเขยนไดวา dF = d0 หรอ Fy dy + F1 dx1 + … + Fm dxm = 0 สมมตวา y และ x1 เทานนมการเปลยนแปลง (dy และ dx1 เทานนไมเทากบศนย) สามารถเขยนสมการขางตนได เปน Fy dy + F1 dx1 = 0 หารตลอดดวย dx1 จะไดวา
ๆคงทตวแปรอนdx
dy
1
1x
y
= y
1
FF
ในทานองเดยวกน สามารถหาคาอนพนธยอยอนๆ ทงหมดของฟงกชนโดยปรยายไดเชนกน และสามารถสรปเปนกฎทวๆ ไปของฟงกชนโดยปรยายไดดงน
294 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ถากาหนดให F(y, x1, …, xm) = 0 และสามารถหาคาฟงกชนโดยปรยายจาก y = f(x1, …, xm) ได ดงน น อนพนธยอยของ f เปนดงน
ix
y
= y
i
FF
(i = 1, 2, …, m)
ถากาหนดให F(y, x) = 0 จะไดวา
dxdy
= y
x
FF
ตวอยางท 7.17 จงหา dxdy
จากฟงกชนโดยปรยายทกาหนดใหดงน y – 3x4 = 0
วธทา หาอนพนธของฟงกชนโดยใชกฎของฟงกชนโดยปรยาย ดงน
dxdy
= y
x
FF
แต Fx = -12x3 Fy = 1
ดงนน dxdy
= 1
)(-12x- 3
= 12x3
หรออกวธการหนงโดยการหาอนพนธทง 2 ขางของทกพจนเมอเทยบกบ x ของ F(y, x) = 0
dxd
[y - 3x4] = dx0d
dxdy
- 12x3
dxdx
= 0
dxdy
= 12x3
ในกรณนจากฟงกชนโดยปรยาย สามารถเขยนใหอยในรปแบบฟงกชนชดแจงไดเปน y = 3x4 การหาอนพนธกสามารถใชกฎตางๆ ของอนพนธตามทไดกลาวถงมาแลว
ดงนน dxdy
= dxd
(3x4) = 12x3
ทกวธทยกตวอยางจะใหคาตอบเดยวกน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 295
ตวอยางท 7.18 กาหนดให F(y, x) = xy2 – x2 + y = 0 จงหาอนพนธของฟงกชนโดยใชกฎของฟงกชนโดยปรยาย วธทา
เพราะวา dxdy
= y
x
FF
แต Fx = dxd
[xy2 – x2 + y ] = y2dxdx
- 2xdxdx
+ 0 = y2 - 2x
Fy = dyd
[xy2 – x2 + y ] = x2y dydy
- 0 + dydy
= 2xy + 1
ดงนน dxdy
= -1)(2xy2x)-(y 2
=
12xyy-2x 2
จากตวอยางน ถาหาอนพนธของทกพจนเมอเทยบกบตวแปร x ของ F(y, x) = 0 ซง x และ y ตางเปนฟงกชนโดยปรยายซงกนและกนกจะไดคาตอบเดยวกนดงน
dxd
[xy2 – x2 + y ] = dx0d
dxd
xy2 –dxd
x2 + dxd
y = 0
ใชกฎของผลคณของฟงกชน
dxdy
xdxdx
y2
2 - 2x + dxdy
= 0
ใชกฎของฟงกชนยกกาลง
y2 + 2xydxdy
- 2x + dxdy
= 0
(y2 – 2x) +
dxdy
dxdy
xy2 = 0
(2xy + 1) dxdy
= - (y2 – 2x)
dxdy
= -1)(2xy2x)-(y 2
=
12xyy-2x 2
296 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 7.19 จงหาอนพนธของฟงกชนโดยปรยาย F(y, x) = x3 -2x2y2 + y4 – 5 = 0
วธทา เพราะวา dxdy
= y
x
FF
แต Fx = dxd
[ x3 -2x2y2 + y4 – 5]
= 3x2 – 2y2(2x) + 0 – 0 = 3x2 – 4xy2
Fy = dyd
[ x3 -2x2y2 + y4 – 5]
= 0 – 2x2(2y) + 4y3 – 0 = 4y3 - 4x2y = 4 (y3 - x2y)
dxdy
= -)yx4(y)4xy-(3x
23
22
=
)yx4(y3x-4xy23
22
ตวอยางท 7.20 จงหาอนพนธของฟงกชนโดยปรยายทอนดบ (y, x, w) เปน (1, 1, 1) เมอ F(y, x, w) = y3 x2 + w3 + yxw - 3 = 0 โดยท y เปนฟงกชนของ x และ w หรอ y = f(x, w) ถาฟงกชน F มอนพนธยอยทตอเนอง เปน Fy, Fx และ Fw และ Fy ไมเทากบศนย วธทา เพราะวา F(y, x, w) = y3 x2 + w3 + yxw - 3 = 0 หาอนพนธยอยทตอเนอง Fy, Fx และ Fw ไดดงน
Fy = dyd
[y3 x2 + w3 + yxw - 3] = 3x2y2 + 0 + xw – 0 = 3x2y2 + xw
Fx = dxd
[y3 x2 + w3 + yxw - 3] = 2xy3 + 0 +yw – 0 = 2xy3 + yw
Fw = dwd
[y3 x2 + w3 + yxw - 3] = 0 + 3w2 + yx – 0 = 3w2 + yx
เพราะวา xy
= y
x
F
F = -
)xwy(3xyw)(2xy
22
3
และ wy
= y
w
F
F = -
)xwy(3xyx)(3w
22
2
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 297
เมอ Fy ไมเทากบศนย อนพนธยอยของฟงกชนโดยปรยายเมอ (y, x, w) เปน (1, 1, 1) เปนดงน
xy
= )13()12(
= 43
และ wy
= )13()13(
= -1
ตวอยางท 7.21 กาหนดให F(Q, K, L) = 0 เปนฟงกชนโดยปรยาย โดยทฟงกชนการผลต Q = f(K, L) จงหาผลตผลสวนเพมของ K และ L หรอ MPPK และ MPPL วธทา จากความหมายของผลตผลสวนเพมหรอผลตผลหนวยสดทาย (Marginal Physical Product) จะไดวา
MPPK KQ
เมอ L คงท
และ MPPL LQ
เมอ K คงท
การหาอนพนธยอยจากกฎของฟงกชนโดยปรยาย ทาไดดงน
KQ
= Q
K
FF
LQ
= Q
L
FF
จากตวอยางขางตน สามารถนาไปประยกตใชหาคา LK
ได โดยยงคงใชหลกการตามแนวคดเดมของการ
หาอนพนธยอย ซงให Q เปนตวแปรทมคาคงท K และ L มการเปลยนแปลง นนกคอเมอ Q เปนปรมาณผลตผลซงมคาคงทแตปจจยการผลต K และ L เปลยนแปลง หรอกลาวไดวาเปนการใชปจจยการผลตในอตราสวนตางๆ ทยงคงใหปรมาณผลตผลเทาเดม บนเสนผลตผลเทากน (isoquant) นนเอง
ดงนน อนพนธยอย LK
จงเปนคาความชนของเสนผลตผลเทากนทมคาความชนเปนลบ ดงน
LK
= K
L
FF
หรอเรยกอกอยางหนงวาเปนการวดอตราการทดแทนทางเทคนคหนวยสดทาย (Marginal Rate of Technical Substitution หรอ MRTS) ระหวางปจจยการผลต 2 ชนด
298 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
7.5 จาโคเบยนดเทอรมแนนต (Jacobian determinant) จากการศกษาอนพนธยอยไมเพยงแตจะนาความรไปใชในการวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบแลวยงสามารถนาไปใชในวธการทดสอบการขนแกกนของฟงกชน (functional dependence) ทงทเปนฟงกชนเชงเสน และไมใชเชงเสน ซงเปนเซตของ n ฟงกชน หรอ n สมการ และ n ตวแปร โดยใชจาโคเบยนดเทอรมแนนต
ใหพจารณา 2 ฟงกชน ดงน y1 = 2x1 + 3x2 ........ 7.1 y2 = 4 2
1x + 12 x1x2 + 9 22x
จากฟงกชนทง 2 สามารถหาอนพนธยอยของ y1 และ y2 เมอเทยบกบ x1 และ x2 ไดดงน
1
1
xy
= 2 2
1
xy
= 3
1
2
xy
= 8x1 + 12x2 2
2
xy
= 12x1 + 18x2
ถาจดอนพนธยอยเหลานใหอยในรปแบบของเมทรกซจตรสทเรยกวาจาโคเบยนเมทรกซ ซงใชสญลกษณวา J แลวนามาหาคาดเทอรมแนนต ผลเฉลยทไดเรยกวา จาโคเบยนดเทอรมแนนตหรอเรยกสนๆ วา จาโคเบยน ใชสญลกษณวา J ไดดงน
J =
2
2
1
2
2
1
1
1
xy
xy
xy
xy
= )x18x12()x12x8(
32
2121 ........ 7.2
หรอเขยนเปนสญลกษณยอไดวา J = )x,x()y,y(
21
21
ถาม n ฟงกชนทแตกตางกน และ n ตวแปร y1 = f1 (x1, x2, …, xn) y2 = f2 (x1, x2, …, xn) …….. 7.3
yn = fn (x1, x2, …, xn)
สญลกษณ fn แทนฟงกชนท n (ไมใชฟงกชนยกกาลง n) สามารถเขยนอนพนธยอยรวมทงหมดไดเทากบจานวน n2 อนพนธในรปแบบของจาโคเบยนไดดงน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 299
J )x,,x,x()y,,y,y(
n21
n21
n
n
2
n
1
n
n
1
2
1
1
1
xy
xy
xy
xy
xy
xy
........ 7.4
การทดสอบจาโคเบยนสาหรบพจารณาการขนแกกนของฟงกชน n ฟงกชน จะเหมอนกบการทดสอบการขนแกกนของฟงกชนเชงเสน กลาวคอ สามารถสรปเปนทฤษฎไดวา ถาจาโคเบยน J ตามสมการ 7.4 มคาเทากบศนย [ J = 0] สาหรบทกคาของ x1 …, xn แลว n ฟงกชน f1, …, fn ตามสมการ 7.3 จะเปนฟงกชนทขนแกกน (เชงเสนหรอไมใชเชงเสน) จากตวอยางตามสมการ 7.1 จาโคเบยนตามสมการ 7.2 จะมคาดงน J = (24x1 + 36x2) – (24x1 + 36x2) = 0 นนคอ จาโคเบยนเปนศนย สาหรบทกๆ คาของ x1 และ x2 แสดงวา 2 ฟงกชนตามสมการ 7.1 ตองขนแกกนหรอไมเปนอสระตอกน และหาคาไดวา y2 = 2
1y ถาพจารณาถงกรณทเปนฟงกชนเชงเสน สามารถกลาวไดวาเมทรกซสมประสทธหรอ A ของระบบสมการเชงเสน มคาดเทอรมแนนตหรอ A = 0 แสดงวา ฟงกชนเชงเสนนนขนแกกน ถาระบบสมการเชงเสนเปนดงน
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = d1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = d2 …….. 7.5
an1x1 + an2x2 + … + annxn = dn
ใหพจารณาดานซายมอของแตละสมการในสมการ 7.5 จะเหนวาฟงกชนของ n ตวแปร และเขยนแทนฟงกชนเหลานนดวย y1, ..., yn อนพนธยอยของฟงกชนเมอเทยบกบตวแปรอสระแตละตวแปรจะเปนดงน
1
1
xy
= a11, 2
1
xy
= a12 … สามารถเขยนอยในรปแบบทวๆ ไปไดวา j
i
xy
= aij
จากแนวคดดงกลาว สมาชกของจาโคเบยน n ฟงกชน กจะเปนสมาชกของเมทรกซสมประสทธ A นนคอ J = A
300 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ดงนน เกณฑจาโคเบยนของการขนแกกนของฟงกชนจานวน y1 … yn กจะเปนเกณฑเดยวกนกบกรณของเมทรกซสมประสทธทจะแสดงวาฟงกชนนนขนแกกน เมอ A = 0 หรอ J = 0 และฟงกชนเหลานนเปนอสระตอกน เมอ A 0 หรอ J 0 ตวอยางท 7.23 จงทดสอบการขนแกกนของฟงกชนทกาหนดใหโดยใชจาโคเบยนดเทอรมแนนต
y1 = 5x1 + 3x2 y2 = 25 2
1x + 30x1x2 + 9 22x
วธทา หาอนพนธยอยของฟงกชน y1 และ y2 เมอเทยบกบ x1 และ x2
1
1
xy
= 5 2
1
xy
= 3
1
2
xy
= 50x1 + 30x2 2
2
xy
= 30x1 + 18x2
เขยนอยในรปแบบจาโคเบยนไดดงน
J = 2121 x18x30x30x50
35
= 5(30x1 + 18x2) - 3(50x1 + 30x2) = 0 เนองจาก J = 0 ดงนน ฟงกชนทง 2 ฟงกชนขนอยแกกน จากกรณดงกลาวนแสดงวา y2 = 2
1y หรอ 25 2
1x + 30x1x2 + 9 22x = (5x1 + 3x2)2
7.6 การวเคราะหกรณสมการเกยวเนอง (Simultaneous equation case) กาหนดใหเซตของสมการเกยวเนองเปนดงน F1 (y1 … yn ; x1 … xm) = 0 F2 (y1 … yn ; x1 … xm) = 0 ……... 7.6
Fn (y1 … yn ; x1 … xm) = 0
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 301
ฟงกชนโดยปรยายดงกลาว สามารถเขยนอยในรปแบบของฟงกชน y ทเปนฟงกชนของตวแปร x1 … xm ไดดงน y1 = f1 (x1 … xm) y2 = f2 (x1 … xm) ……... 7.7
yn = fn (x1 … xm) จากระบบสมการเกยวเนองตามสมการ 7.6 นน ถา 1. ฟงกชน F1 … Fn ม อนพนธยอยทตอเนองเมอเทยบกบทกคาของตวแปร y และตวแปร x ทกตวแปร 2. ทจด (y10 ... yno ; x10, ... xmo) สอดคลองกบสมการ 7.6 และจาโคเบยนดเทอรมแนนต ไมเทากบศนย ดงน
J n1
n1
y...y()F...F(
=
n
n
2
n
1
n
n
2
2
2
1
2n
1
2
1
1
1
yF
yF
yF
yF
yF
yF
yF
yF
yF
0
และสามารถหาคาไดจาก m มต บรเวณ (neighborhood) รอบๆ ของ (x10 … xm0) จานวน N ในแตละตวแปร y (y1 … yn) ซงเปนฟงกชนของตวแปร x1 … xm ตามสมการ 7.7 ดงน y10 = f1 (x10 … xm0)
yn0 = fn (x10 … xm0) และสอดคลองกบสมการ 7.6 สาหรบทกๆ m อนดบ ในบรเวณ (x1 … xm) จานวน N ดงนน ฟงกชนโดยปรยาย f1, ... , fn จงเปนฟงกชนตอเนองและมอนพนธยอยทตอเนองเมอเทยบกบตวแปร x ทงหมด ในแตละสมการตามสมการ 7.6 สามารถหาคาอนพนธยอยของฟงกชนโดยปรยายโดยตรงไดจาก n สมการ โดยการทาคาเชงอนพนธรวม (total differential) ของแตละสมการใหเทากบศนยและเขยนไดเปน dFj = 0 (เมอ j = 1, 2, …, n) ผลเฉลยกคอเซตของสมการทเกยวของกบคาเชงอนพนธ dy1, ... dyn และ dx1, ..., dxm และทาการยายคาของพจน dxi จากดานซายไปทางดานขวาของเครองหมายเทากบ จะไดวา
302 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
1
1
yF
dy1 + 2
1
yF
dy2 + … + n
1
yF
dyn = -
m
m
1
1
1
1
dxxF
...dxxF
n
n
2
2
2
2
1
1
2
dyyF
...dyyF
dyyF
= -
m
m
2
1
1
2
dxxF
...dxxF
……... 7.8
n
n
n
2
2
n
1
1
n
dyyF
...dyyF
dyyF
= -
m
m
n
1
1
n
dxxF
...dxxF
ในการหาคาเชงอนพนธ dyj (จะกาหนดใหเปนตวแปรภายใน) จะเขยนอยในพจนของคาเชงอนพนธ dxi (จะกาหนดใหเปนตวแปรภายนอก) และกาหนดใหคาเชงอนพนธ dxi เปนศนย ยกเวน dx1 ทมคาแปรเปลยนไปได ดงนน พจนของ dx2 … dxm จะถกตดออกจากระบบสมการ ถาหารแตละพจนทเหลอดวย dx1จะไดนพจน
1x
y 1
, … ,
1x
y n
การแปลความหมายของอนพนธจากสมการ 7.7 ถอไดวาเปนอนพนธยอยซงจะกาหนดใหตวแปร x ทกตว
คงท ยกเวน x1 อาจจะเขยนใหมไดเปน 1x
y 1
, … ,
1x
y n
ดงนนจากระบบสมการ 7.8 เขยนใหมเปนระบบสมการ
เชงเสนไดดงน
1
1
yF
1
1
xy
+ 2
1
yF
1
2
xy
+ … + n
1
yF
1
n
xy
= -1
1
xF
1
2
yF
1
1
xy
+ 2
2
yF
1
2
xy
+ … + n
2
yF
1
n
xy
= -1
2
xF
.……. 7.9
1
n
n
n
1
2
2
n
1
1
1
n
xy
yF
...xy
yF
xy
yF
= -1
n
xF
จากระบบสมการ 7.9 ซงเปนระบบสมการเชงเสน n สมการ สามารถแกระบบสมการเชงเสนโดยเขยนอยในรปแบบเมทรกซไดดงน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 303
n
n
2
n
1
n
n
2
2
2
1
2n
1
2
1
1
1
yF
yF
yF
yF
yF
yF
yF
yF
yF
1
n
1
2
1
1
xy
xyxy
=
1
n
1
21
1
xF
xFxF
........ 7.10
ดเทอรมแนนตของสมประสทธของเมทรกซตามสมการ 7.10 กคอ จาโคเบยนดเทอรมแนนต ซงทราบวาไมเปนศนย ตามเงอนไขของคณสมบตของฟงกชนโดยปรยาย และระบบสมการนตองไมเปนเอกพนธ ซงจะใหผลเฉลยทมคาเพยงคาเดยว เมอใชตามวธการของคราเมอร ผลเฉลยอาจจะหาไดดงน
1
j
x
y =
J
J j (เมอ j = 1, 2, 3, …, n) …….. 7.11
ตามขนตอนทไดอธบายมาน อนพนธยอยของฟงกชนโดยปรยายเมอเทยบกบตวแปรอนๆ (x2, ..., xm) สามารถใชวธการเดยวกน สงเกตไดวา J ตองไมเทากบศนยเชนเดยวกบ Fy 0 ตามกฎของฟงกชนโดยปรยาย ดงนนการวเคราะหในกรณดงกลาวน จะไดเงอนไขสาคญทวา J 0 จงจะทาใหผลเฉลยของฟงกชนโดยปรยายมเพยงคาเดยว ตวอยางท 7.22 กาหนดใหแบบจาลองรายไดประชาชาต เขยนในรปแบบของระบบสมการไดดงน Y – C – I0 – G0 = 0 C - - (Y – T) = 0 T – - Y = 0 จากระบบสมการตวแปรภายใน (Y, C, T) เปรยบเสมอนเปน (y1, y2, y3) ตวแปรภายนอกและพารามเตอร (I0, G0, , , , ) เปรยบเสมอนเปน (x1, x2, …, x6) ดงนน นพจนทางดานซายของแตละสมการของระบบสมการ (1) เขยนอยในรปแบบของฟงกชน F ไดเปน Fj (Y, C, T; I0, G0, , , , )
304 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ในทน n = 3 และ m = 6 นนคอ j = 1, 2, 3 จะไดฟงกชน F1, F2, F3 ดงน F1 = Y – C – I0 – G0 = 0 F2 = - Y + C + T - = 0 F3 = -Y + T – = 0 มอนพนธยอยทตอเนองและจาโคเบยนดเทอรมแนนตเปนดงน
J =
TF
CF
YF
TF
CF
YF
TF
CF
YF
333
222
111
0
แตจาโคเบยนดเทอรมแนนต กคอดเทอรมแนนตของสมประสทธของตวแปรในระบบสมการเชงเสนนนเอง ดงนน
J =
10δ
β1β
011
= 1 - +
แต J 0 แสดงวาทง และ ตองเปนเศษสวนทเปนคาบวก และจากระบบสมการขางตน เมอระบบสมการดงกลาวสอดคลองกบคณสมบตของฟงกชนโดยปรยายและสามารถเขยนอยในรปแบบดงน Y = f1 (I0, G0, , , , ) C = f2 (I0, G0, , , , ) T = f3 (I0, G0, , , , ) ซงจะแสดงใหเหนวา คาดลยภาพของตวแปรภายในกคอฟงกชนโดยปรยายของตวแปรภายนอกและ
พารามเตอร การคานวณหาอนพนธยอยของฟงกชนโดยปรยาย เชน 0I
Y
และ 0G
Y
เปนตน เปนการหาอนพนธ
เชงสถตยเปรยบเทยบ ดงนนในการหาอนพนธยอยของฟงกชน F ณ จดดลยภาพของแบบจาลอง เมอ n = 3 โดย
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 305
เทยบกบตวแปรภายนอกตวใดตวหนงและใหตวอนคงท เชน สมมตใหตวแปรภายนอกและพารามเตอรคงทยกเวน G0 ทเปลยนแปลงไป สามารถเขยนสมการไดเปน
10
1
011
δ
ββ
0
0
0
GT
GC
GY
=
0
30
20
1
GF
GF
GF
=
0
0
1
จากอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบทง 3 คา เมอเทยบกบ GO สามารถคานวณได ดงน
0GY
= J
J1 = βδβ1
100
10
011
β
= βδβ1
1
0GC
= JJ 2 =
βδβ
β
1
10δ
0β
011
= βδβ
βδβ
1
0GT
= JJ3 =
βδβ
δ
β
1
00
01
111
= βδβ
δ
1
306 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แบบฝกหดบทท 7 1. จงหาอนพนธยอยอนดบหนงของฟงกชนตอไปน 1.1 y = 6 5
222
21
31 x7xx3x
1.2 y = 4 522
21
31 x7xx2x
1.3 z = 2x3 – 10x2y + 3y2 1.4 z = 7x + 6xy2 - 9y3 1.5 z = 3u3 + 4ux + 3x2 – 7xy – 8y2
2. จงหาอนพนธยอยอนดบหนงของฟงกชนตอไปนโดยใชกฎของผลคณ 2.1 z = (2x + 3)(y – 2) 2.4 y = (9x – 4z)(12x + 2z) 2.2 z = (5x + 3)(y – 2) 2.5 z = (2x2 + 5y)(5x – 2y3) 2.3 y = 3x2 (5x + 7z)
3. จงหาอนพนธยอยอนดบหนงของฟงกชนตอไปนโดยใชกฎของผลหาร
3.1 f(x, y) = y7x6
x5
3.4 f(x, y) = y2x3
yx 22
3.2 f(x, y) = y3
yx 3.5 z =
yxy3x2
3.3 f(x, y) = y2x5y9x4
3.6 z = xy1x 2
4. จงหา fx และ fy จากฟงกชนตอไปน 4.1 z = f(x, y) = (x + y)2 4.3 z = f(x, y) = (7x2 + 4y3)2 4.2 z = f(x, y) = (2x – 4y)3 5. จงหาอนพนธยอยอนดบทสองของ z เมอเทยบกบตวแปรอสระ x และ y ในทกๆ กรณ 5.1 z = x2 + 2xy + y2 5.3 z = 2xy3 + 6x2y 5.2 z = x3 – 8xy – 3y3 5.4 z = (10x – 7y)2
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 307
6. จงหาคาเชงอนพนธรวมของฟงกชนตอไปน 6.1 z = 2x2 + xy – 2y3 6.5 y = 3x2 (8x – 7z)
6.2 z = 2x + 8xy + y2 6.6 z = yx
x
6.3 z = 5x3 – 10xy – 6y5 6. 7 z = yx
xy2
6.4 y = 7x2z3 6.8 u = yx
y9 3
7. จงหาอนพนธรวม dxdz
ของฟงกชนตอไปน
7.1 z = f(x, y) = 5x + xy – y2 เมอ y = g(x) = 3x2 7.2 z = f(x, y) = 6x2 + 15xy + 3y2 เมอ y = g(x) = 7x2 7.3 z = f(x, y) = (13x - 18y)2 เมอ y = g(x) = x + 6
8. จงหาอนพนธ dxdy
ของฟงกชนโดยปรยาย F(x, y) = 0 ตอไปน
8.1 y + 6x – 10 = 0 8.2 3y + 12x + 10 = 0 8.3 x2 + 6x – 12 – y = 0
9. ใหใชกฎของฟงกชนโดยปรยายหาอนพนธ dxdy
ของฟงกชนโดยปรยายตอไปน
9.1 F(x, y) = 3x2 + 2xy + 5y3 = 0 9.2 F(x, y) = 12x5 - 4y = 0 9.3 F(x, y) = 7x2 + 2xy2 + 8y4 = 0 9.4 F(x, y) = 6x3 – 4y = 0
10. ใหใชกฎของฟงกชนโดยปรยาย หาอนพนธยอย xy
และ zy
จากฟงกชนโดยปรยายตอไปน
10.1 F(x, y, z) = x2y3 + z2 + xyz = 0 10.2 F(x, y, z) = x3z2 + y3 + 4xyz = 0
308 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
11. จงทดสอบการไมเปนอสระตอกนของฟงกชน 2 ฟงกชนทกาหนดให โดยใชจาโคเบยนดเทอรมแนนต 11.1 y1 = 3 2
1x + x2 y2 = 9 4
1x + 6 21x (x2 + 4) + x2(x2 + 8) + 12
11.2 y1 = 3 21x + 2 2
2x y2 = 5x1 + 1
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 309
บทท 8 การประยกตอนพนธในการวเคราะหทางเศรษฐศาสตร เมอทราบถงความหมาย กฎตางๆ และวธการของการหาอนพนธแลว ขนตอนตอไปกคอการนาความรเหลาน นมาวเคราะหปญหาทางเศรษฐศาสตรโดยเฉพาะการทจะพจารณาวาดลยภาพของตวแปรภายในจะม การเปลยนแปลงไปอยางไร เมอมการเปลยนแปลงของตวแปรภายนอกหรอพารามเตอร วธการวเคราะหนเรยกวา การวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบ ซงจะเปนการเปรยบเทยบดลยภาพเดมและดลยภาพใหมทเปลยนแปลงไป วธการวเคราะหในบทนจะใชวธการหาอนพนธ 2 วธ คอ การหาอนพนธจากสมการลดรป (reduce form) โดยตรง และการหาอนพนธของฟงกชนโดยปรยาย (implicit function) 8.1 การวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบของแบบจาลองโดยวธการหาอนพนธจากสมการลดรป 8.1.1 แบบจาลองตลาด (Market model) กาหนดใหแบบจาลองตลาดสนคาชนดหนงเปนแบบจาลองอยางงายทประกอบดวยสมการอปสงค สมการอปทาน ดงน อปสงค Qd = a – bP (a, b > 0) อปทาน QS = -c + dP (c, d > 0) และสามารถหาผลเฉลยโดยวธสมการลดรปตามทไดเคยอธบายมาแลวในบทกอนจะไดผลเฉลยของคา ตวแปรภายในทเขยนอยในคาของพารามเตอร 4 คา ดงน
P = dbca
…….. 8.1
Q = dbbcad
…….. 8.2
P และ Q เปนราคาดลยภาพและปรมาณดลยภาพตามลาดบ ประเดนทกาลงพจารณาคอถาเกดม การเปลยนแปลงของคาพารามเตอรจะสงผลตอการเปลยนแปลงของ P และ Q อยางไร การหาคาตอบจะเปน การพจารณาถงการเปลยนแปลงทนอยมากของคาพารามเตอรตวใดตวหนง ซงมผลตอการเปลยนแปลงคาของราคา
ดลยภาพ ( P ) วธดงกลาวเปนวธการหาอนพนธยอยเมอเทยบกบคาพารามเตอรแตละคา เชน การหาคา aP
คาดงกลาวสามารถหาคาผลเฉลยไดจากขอมลคาพารามเตอรทกาหนดใหจากระบบสมการเกยวเนองของแบบจาลอง
310 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
นนทาใหทราบทศทางของการเปลยนแปลงของ P เมอพารามเตอร a มการเปลยนแปลง ทานองเดยวกนสามารถสรปผลในเชงปรมาณหรอในเชงคณภาพไดจากอนพนธยอยของ Q เมอเทยบคาพารามเตอรแตละคาไดเชนกน เชน
aQ
เปนตน เพอปองกนการเขาใจผด ควรจะทาความเขาใจใหชดเจนระหวาง 2 อนพนธ คอ aQ
และ aQ
สาหรบ aQ
หมายถง การหาอนพนธจากฟงกชนอปสงคเพยงอยางเดยวโดยไมเกยวของกบฟงกชนอปทาน แต
อนพนธ aQ
หาไดจากปรมาณดลยภาพจากสมการ 8.2 ซงเปนผลเฉลยของแบบจาลองทหาไดจากปรมาณของ
อปสงคและอปทานเมอนามาวเคราะหรวมกนโดยวธสมการลดรป ดงนนเมอกลาวถงอนพนธยอยของ P และ Q เมอเทยบคาพารามเตอรกจะหมายถงอนพนธของสภาวะเชงสถตยเปรยบเทยบ จากสมการราคาดลยภาพตามสมการ 8.1 สามารถหาอนพนธยอยได 4 อนพนธยอยดงน
aP
=
dbca
a
= db
1
[การหาอนพนธยอยของ P เมอเทยบกบ a โดยท db
1
เปนสมประสทธของพารามเตอร a]
bP
= 2)db(
)ca(1)db(0
[ใชกฎของผลหาร]
= 2)db()ca(
cP
= db
1
[เมอ db
1
เปนสมประสทธของพารามเตอร c]
= aP
dP
= 2)db(
)ca(1)db(0
[ใชกฎของผลหาร]
= 2)db()ca(
= bP
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 311
แตเนองจากแบบจาลองกาหนดใหคาพารามเตอรทกคา > 0
ดงนน aP
= cP
> 0
bP
= dP
< 0
ผลเฉลยทไดตามสมการ 8.3 ดงแสดงตามภาพท 8.1 (ก) (ข) (ค) (ง) ทแสดงถงการเปลยนแปลงของคาพารามเตอรแตละคา โดยกาหนดให Q อยบนแกนนอน และ P อยบนแกนตง
ภาพท 8.1 ราคาดลยภาพทเปลยนแปลงไปเมอมการเปลยนแปลงพารามเตอรแตละคา
…….. 8.3
312 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
จาก สมการอปสงค Qd = a - bP หรอเขยนใหมเปน P = b
1
b
a Qd
สมการอปทาน Qs = -c + dP หรอเขยนใหมเปน P = d
1
d
c Qs
จากภาพท 8.1 (ก) แสดงถงพารามเตอร a มการเปลยนแปลงเพมขน เปน a ซงกคอเสนอปสงคมสวนตดแกนตง (แกน P) สงขน ขณะทความชน (b) ของเสนอปสงคไมเปลยนแปลง การเพมขนของ a จะทาใหเสนอปสงคเคลอนยายไปทางขวามอและขนานกบเสนอปสงคเดม จาก D เปน D จดตดกนของเสนอปสงค D และเสนอปทาน
S กคอราคาดลยภาพใหม ( P ) ซงมคามากกวาราคาดลยภาพเดม ( P ) หรอ aP
> 0
จากภาพท 8.1 (ค) การแปลความหมายจะคลายกบกรณ (ก) เพยงแตเปนการเพมขนของพารามเตอร c เปน c (ไมคานงเครองหมายลบทอยหนา c เพราะกาหนดคา c > 0 ในแบบจาลอง) ซงกคอเสนอปทานมสวนตดแกนตง (แกน P) สงขน ทาใหเสนอปทานเคลอนยายไปทางซายมอและขนานกบเสนอปทานเดม จาก S เปน S จดตดกนของเสน D และ S คอราคาดลยภาพใหม ( P ) ซงมคามากกวาราคาดลยภาพเดม ( P ) หรอ P เพมขนจาก
P หรอ cP
> 0
จากภาพท 8.1 (ข) และ (ง) อธบายถงผลของการเปลยนแปลงพารามเตอร b และ d ทเปนความชนของเสนอปสงคและเสนอปทานของแบบจาลองตามลาดบ การเพมขนของ b หมายความวา สวนกลบคาความชนของเสน
อปสงคลดลง เสน D เปลยนเปน D ซงกคอ bP
< 0 และพบวา P ลดลง ในทานองเดยวกนการเพมขนของความ
ชน (d) ของเสนอปทาน หมายความวาสวนกลบคาความชนของเสนอปทานลดลง เสน S เปลยนเปน S สงผลให
ราคาดลยภาพใหมลดลงหรอ P ลดลง ดงนน dP
< 0
แมวาผลการวเคราะหโดยกราฟจะใหผลเฉลยเหมอนกบการหาอนพนธยอย แตการวเคราะหดวยกราฟกมขอจากดมากกวาโดยเฉพาะขอจากดในเรองของมตของกราฟเมอมตวแปรมากขนทาใหการใชวธการหาอนพนธทาไดดกวา
และจากสมการ 8.2 สามารถหาอนพนธยอย 4 อนพนธยอยคอ aQ
, bQ
, cQ
และ dQ
ได
เชนเดยวกน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 313
8.1.2 แบบจาลองรายไดประชาชาต (National – income model) จากแบบจาลองรายไดประชาชาตอยางงายทเคยอธบายมาแลว ถากาหนดใหตวแปรภายใน คอ Y (รายไดประชาชาต) C (การบรโภค) T (ภาษ) และมแบบจาลองเปน ดงน
Y = C + I0 + G0 …….(1) C = + (Y – T) ( > 0, 0 < < 1) …….(2) T = + Y ( > 0, 0 < < 1) …….(3)
สมการแรกในระบบสมการท 8.4 แสดงถงเงอนไขดลยภาพของรายไดประชาชาต ขณะทสมการท 2 และ 3 แสดงถงแบบจาลองของ C และ T ตามลาดบ ขอจากดของพารามเตอร , , และ เปนดงน มคาบวก เพราะวามการบรโภคเกดขน แมวาไมมรายได [(Y-T) เปนศนย] ทาใหมคาเปนบวก เปนเศษสวนทมคาเปนบวก เพราะเปนคาทแสดงถงแนวโนมสวนเพมการบรโภค (Marginal Propensity to Consume) หรอ MPC มคาบวกเพราะวา แมวารายได (Y) เปนศนยรฐบาลกยงคงมรายรบจากภาษทเกบจากฐานภาษอนๆ ทไมใชรายได เปนเศษสวนทมคาบวก เพราะเปนอตราภาษรายได แตจะมคาไมเกน 100 เปอรเซนตหรอไมเกน 1
สาหรบตวแปรภายนอก I0 (การลงทนโดยอสระ) และ G0 (การใชจายโดยอสระของรฐบาล) จะมคาเปนบวก และจะสมมตใหตวแปรภายนอกและพารามเตอรตางกเปนอสระซงกนและกน ดงนนการเปลยนแปลงของตวแปรภายนอกและพารามเตอรแตละตวจะไมมผลตอการเปลยนแปลงซงกนและกน
จากแบบจาลองสามารถหาผลเฉลยของ Y โดยวธสมการลดรปดวยการแทนสมการท 3 ลงในสมการท 2 ของระบบสมการ 8.4 แลวจงนาไปแทนคาในสมการท 1 จะไดรายไดดลยภาพในรปแบบดงน
Y = βδβ
βγα
1GI 00 …….. 8.5
ในทานองเดยวกน คาดลยภาพของตวแปรภายใน C และ T กสามารถหาไดเมอทราบ Y โดยแทนคา Y ในสมการท 3 เพอหาคา T และแทนคา T และ Y ในสมการ 2 เพอหาคา C
จากสมการ 8.5 สามารถหาคาอนพนธยอยเชงสถตยเปรยบเทยบ 6 คา แตทง 6 อนพนธยอย มความสาคญตอการดาเนนนโยบายและวางแผนเศรษฐกจเพยง 3 อนพนธยอยกคอ
0GY
= βδβ1
1 > 0 …….. 8.6
…….. 8.4
314 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
γ
Y
= βδβ
β
1 < 0 …….. 8.7
δ
Y
=
βδβ
βγαβ
1GI 00 =
βδβ1Yβ
< 0 …….. 8.8
อนพนธยอยตามสมการ 8.6 หมายถง ตวทวการใชจายของรฐบาล จะมเครองหมายบวก เพราะ ตองนอยกวา 1 เสมอ และ ตองมากกวาศนย ดงนนเมอกาหนดคาตวเลขของ และ กจะหาคาตวทวการใชจายของรฐบาลได
อนพนธยอยตามสมการ 8.7 หมายถง ตวทวภาษทไมใชภาษรายได เพราะเปนการหาการเปลยนแปลงของ (รายรบของรฐบาลจากแหลงภาษทไมใชภาษรายได) จะมผลตอรายไดประชาชาตดลยภาพอยางไร ตวทวนจะมคาเปนลบในแบบจาลองนเพราะในสมการ 8.7 เศษมคาเปนลบ แตสวนมคาเปนบวก
อนพนธยอยตามสมการ 8.8 หมายถง ตวทวอตราภาษรายได มคาเปนลบ
จะสงเกตเหนวา มความแตกตางระหวาง 0G
Y
และ 0G
Y
เนองจาก 0G
Y
หาไดจากสมการ 8.5 แต
0GY
หาไดจากสมการ 8.4 ของแบบจาลองซงจะมคา = 1
8.1.3 แบบจาลองปจจย-ผลผลต (Input-output model) การหาผลเฉลยจากแบบจาลองปจจย-ผลผลต ระบบเปดจะกาหนดใหแบบจาลองเขยนอยในรปแบบของสมการเมทรกซ x = (I-A)-1 d เมอ x คอระดบผลผลต A คอ สมประสทธของปจจยการผลต d คอ อปสงคขนสดทาย ถาใหเมทรกซผกผน (I-A)-1 แทนดวย B = [bij] ผลเฉลยของระบบเศรษฐกจทม 3 อตสาหกรรมจะเขยนไดดงน
x = Bd หรอ
3
2
1
x
x
x
=
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
3
2
1
d
d
d
............ 8.9
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 315
อตราการเปลยนแปลงของ x j ทเกดจากการเปลยนแปลงอปสงค สนคาขนสดทายทเปนตวแปรภายนอก ไดแก d1, d2, และ d3 กคอการหาอนพนธยอยของ x j เมอเทยบกบ dk เปนดงน
k
j
d
x
= bjk (j, k = 1, 2, 3) …….. 8.10
สมการ 8.10 หาไดจากสมการ 8.9 โดยหาผลคณของ Bd ไดดงน
3
2
1
x
x
x
=
333232131
323222121
313212111
dbdbdb
dbdbdb
dbdbdb
จากระบบสมการทอยในรปเมทรกซนกจะไดผลเฉลยทงหมด 3 สมการ ผลเฉลยแตละคากจะเปนฟงกชนของอปสงคสนคาขนสดทายและการหาอนพนธยอย จะทาใหไดอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบทงหมด 9 อนพนธยอย ดงน
1
1
dx
= 1d
[b11d1+ b12d2+ b13d3] = b11
ในทานองเดยวกน 2
1
dx
= b12 3
1
dx
= b13 …….. 8.11
1
2
dx
= b21 2
2
dx
= b22 3
2
dx
= b23
1
3
dx
= b31 2
3
dx
= b32 3
3
dx
= b33
จะเหนวาสมการ 8.11 กเปนการกระจายมาจากสมการ 8.10 นนเอง จากสมการ 8.11 สามารถรวม 3 อนพนธยอยเขาดวยกนดงน
316 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
1d
x
= 1d
3
2
1
x
x
x
=
31
21
11
b
b
b
2d
x
=
32
22
12
b
b
b
…….. 8.12
3d
x
=
33
23
13
b
b
b
เวกเตอรสดมภท ง 3 เวกเตอร ตามสมการ 8.12 กคอสดมภ 3 สดมภของเมทรกซ B โดยสามารถรวม
อนพนธยอยทง 9 อนพนธยอยไวในเมทรกซอนพนธ dx
เมอกาหนดให x = Bd จะเขยนใหมไดดงน
dx
=
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B (I-A)-1
เมอ (I-A)-1 กคอ เมทรกซผกผนของเมทรกซลอองเทยฟ หรอกลาวไดวา คานกคออนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบทงหมดของแบบจาลองปจจย-ผลผลต ระบบเปด จากเมทรกซอนพนธของแบบจาลอง 3 อตสาหกรรมนสามารถขยายไปสกรณ n อตสาหกรรมได อนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบของแบบจาลองปจจย-ผลผลตนไดนาไปใชประโยชนโดยเปนเครองมอของการวางแผนเศรษฐกจเพอทจะตอบคาถามวา ถาเปาหมายของการวางแผนทปรบปรงใหมนคอ d1,d2, …, dn โดยทยงคงความตองการทางตรงและทางออมทงหมดในระบบเศรษฐกจ จะตองเปลยนแปลงเปาหมายผลผลตของ n อตสาหกรรมอยางไร 8.2 การวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบของแบบจาลองฟงกชนทวไป จากการทไดอธบายมาแลวถงการวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบในการทหาคาดลยภาพของตวแปรภายในของแบบจาลองและคาดลยภาพเขยนอยในพจนของตวแปรภายนอกและพารามเตอรซงการวเคราะหในกรณ
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 317
ดงกลาวนจะใชเทคนคการใชสมการลดรปและหาอนพนธยอยแบบธรรมดา แตเมอแบบจาลองเขยนอยในรปแบบฟงกชนทวไปทมความซบซอนมากขน เทคนคทใชจะตองมการปรบเปลยนโดยใชแนวคดของการหาคาเชงอนพนธรวม การหาอนพนธรวม กฎของฟงกชนโดยปรยาย และทฤษฎของฟงกชนโดยปรยาย 8.2.1 แบบจาลองตลาด (Market model) ในกรณของตลาดสนคาชนดเดยวและฟงกชนอปสงค (Qd) ไมใชฟงกชนของราคา (P) เพยงตวแปรเดยว แตจะมตวแปรภายนอกเขามาเกยวของดวยคอรายได (Y0) และฟงกชนอปทาน (QS) เปนฟงกชนของราคาเพยงอยางเดยว เขยนอยในรปแบบทวไปได ดงน
Qd = QS
Qd = D (P, Y0) (PD
< 0 ; 0Y
D
> 0) …….. 8.13
QS = S(P) (PS
> 0)
กาหนดใหฟงกชน D และฟงกชน S เปนฟงกชนทมอนพนธตอเนอง และกาหนดเครองหมายของอนพนธ
คอ dPdS
> 0 หมายความวา ฟงกชนอปทานเปนฟงกชนเพมแบบหนงตอหนง ไมวาจะเปนฟงกชนเชงเสนหรอไมใช
เชงเสน ในทานองเดยวกนขอจากดของฟงกชนอปสงคทมอนพนธยอย 2 อนพนธ คอ PD
< 0 แสดงวาเปนฟงกชน
ลดของราคา และ 0Y
D
> 0 แสดงวาเปนฟงกชนเพมของรายได
สาหรบการอธบายโดยกราฟ จะใชระนาบ 2 มต แสดงถงเสนอปสงคโดยกาหนดใหระดบรายไดคงท แตเมอระดบรายไดเปลยนแปลงไปจะทาใหดลยภาพเปลยนแปลงเนองจากจะทาใหเสนอปสงคเคลอนยายไปจากเดม ดงนน Y0 จงเปนตวแปรภายนอกหรอพารามเตอร การวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบของแบบจาลองนจะใชอธบายวาเมอมการเปลยนแปลง Y0 แลวจะมผลทาใหดลยภาพของแบบจาลองเปลยนแปลงไปอยางไร การหาดลยภาพของตลาดทาไดโดยอยบนเงอนไขดลยภาพ Qd = QS เขยนสมการ 8.13 ใหมไดดงน D (P, Y0) – S(P) = 0 …….. 8.14 แมวาสมการนจะไมสามารถหาคาราคาดลยภาพ ( P ) ทแนนอนชดแจงได แตจะสมมตวามดลยภาพเกดขนในสภาวะสถตย และจากประสบการณการวเคราะหจากแบบจาลองของฟงกชนทชเฉพาะทาใหทราบวาคาคาดหวง P จะเปนฟงกชนของตวแปรภายใน Y0 ดงน P = P (Y0) …….. 8.15
318 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แตจากทฤษฎฟงกชนโดยปรยาย สมการ 8.14 เขยนอยในรปแบบ F(P, Y0) = 0 ได ซงเปนเงอนไขทสาคญของทฤษฎฟงกชนโดยปรยายทบอกไดวาทกๆ คาของ Y0 จะมคาตอบเพยงชดเดยวของ P ในบรเวณรอบๆ ของสมการ 8.14 ซงกคอในบรเวณของผลเฉลยทเปนดลยภาพ ในกรณนสามารถเขยนฟงกชนโดยปรยาย P = P (Y0)
และสามารถหาอนพนธของฟงกชน ซงกคอ 0dY
Pd ได
การตรวจสอบเงอนไขของทฤษฎฟงกชนโดยปรยายของการวเคราะห คอ 1. F(P, Y0) จะตองมอนพนธทตอเนองเพราะวาโดยขอสมมต D(P, Y0) และ S(P) ตางกมอนพนธท
ตอเนอง
2. อนพนธยอยของ F เมอเทยบกบ P กคอ FP = PD
- dPdS
มคาเปนลบ และไมเทากบศนย เพราะถา
เทากบศนยจะหาคาผลเฉลยไมได เมอเปนไปตามเงอนไข จงสามารถนาทฤษฎฟงกชนโดยปรยายมาประยกตได และสมการ 8.15 กถกตอง
จากทฤษฎเดยวกน เงอนไขดลยภาพของสมการ 8.14 กสามารถหาผลเฉลยดลยภาพไดเชนเดยวกน อาจจะเขยนดลยภาพไดดงน
D ( P , Y0) – S( P ) = 0 หรอ F( P , Y0) = 0 …….. 8.16
จากทฤษฎของฟงกชนโดยปรยายสามารถหาอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบ 0dY
Pd ได ซงกคอ
0dYPd
= P
F
F0Y =
PF
YF 0
=
PddSPD
YD 0
> 0 …..… 8.17
จากผลเฉลยตามสมการ 8.17 น D/ P และ dS/d P ไดจากการหาดลยภาพทเกดขนในตอนแรกเมอ P = P รวมถง D/Y0 หาไดจากดลยภาพดวยเชนกนและจากเครองหมายทกาหนดในสมการ 8.13 d P /dY0 จะมคาเปนบวก ทาใหสามารถสรปไดวา ระดบรายไดทเพมขน (หรอลดลง) จะสงผลใหราคาดลยภาพเพมขน (หรอลดลง) เสมอ และถาอนพนธของฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทาน สามารถหาดลยภาพในครงแรกได สมการ 8.17 กจะสามารถหาคาได ซงกคอผลสรปเชงปรมาณนนเอง
การอธบายขางตนแสดงถงผลของการเปลยนแปลงใน Y0 ทมตอ P ทาใหสามารถหาผลทเกดขนทมตอปรมาณดลยภาพ Q (= Q d = Q S) ไดแตเนองจากในสภาวะดลยภาพจะไดวา Q = S( P ) และ P = P ( Y0) จงสามารถนากฎลกโซมาใชหาอนพนธไดดงน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 319
0dYQd
= Pd
dS
0dYPd
> 0 [เมอPd
dS > 0] …….. 8.18
สมการ 8.18 สามารถสรปผลเชงปรมาณของอปทานได เมอสามารถหาคาตางๆ ของอนพนธ ณ ทดลยภาพได ผลเฉลยตามสมการ 8.17 และ 8.18 เปนผลทเกดจากแบบจาลองของการวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบ
และมคาเปนบวก (การทเสนอปสงคมการเคลอนยายเพมขนไปทางขวาของเสนเดม จะสงผลใหราคาดลยภาพเพมสงขน และปรมาณดลยภาพทเพมสงขนดวย) การวเคราะหสมการเกยวเนอง จากแบบจาลองตามสมการ 8.13 นน เปนการวเคราะหทอยบนพนฐานของสมการเชงเดยว แตตอไปนจะกลาวสมการเกยวเนอง โดยมแบบจาลองของตลาดดงน F1 (P, Q ; Y0) = D(P, Y0) – Q = 0 F2 (P, Q ; Y0) = S(P) – Q = 0 [ใหยอนกลบไปดทฤษฎฟงกชนโดยปรยายภายใตเงอนไขของเซตของระบบสมการเกยวเนองตามสมการ 7.6] ในกรณน n = 2 และ m = 1 ตรวจสอบเงอนไขของทฤษฎฟงกชนโดยปรยาย ดงน 1. ฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานตองมอนพนธทตอเนอง และเขยนเปนฟงกชน F1, F2 2. จาโคเบยนดเทอรมแนนตหรอ J ไมเทากบศนย ในกรณน เปนดงน
J =
QF
PF
QF
PF
22
11
= 1
dPdS
1PD
= dPdS
- PD
> 0 …….. 8.20
ดงนน ถาผลเฉลยดลยภาพ ( P , Q ) หาคาไดแลว (แสดงวาเปนการวเคราะหเชงสถตยเปรยบเทยบ) จากทฤษฎฟงกชนโดยปรยายจะบอกไดวา ฟงกชนโดยปรยายเปนดงน P = P (Y0) และ Q = Q (Y0) …….. 8.21 แมวาจะไมสามารถหาคา P และ Q เปนคาทชดแจง แตฟงกชนเหลานกทราบวามอนพนธตอเนอง ทาใหสมการ 8.19 จะมสภาพดลยภาพเกดขน เขยนไดเปน D ( P , Y0) - Q 0 S( P ) – Q 0
…….. 8.19
…….. 8.22
320 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
คา 0dY
Pd และ
0dYQd
จะประกอบดวยคาเชงอนพนธ d P , d Q และ dY0 สามารถหาไดจากระบบสมการเกยวเนองน
เมอทาการหาคาเชงอนพนธ สมการ 8.22 ผลเฉลยทไดสามารถจดรปใหมใหเปนระบบสมการเชงเสนของ d P และ d Q ดงน
PD
d P - d Q = -0Y
D
dY0
dPdS
d P - d Q = 0
ระบบสมการนเปนเชงเสนเพราะวา d P และ d Q มกาลงเปนหนง ถาใหอนพนธสมประสทธ (หาไดจากดลยภาพตอนแรก) และ dY0 เปนคาคงท เมอหารตลอดแตละสมการดวย dY0 และเขยนในรปแบบเมทรกซ ดงน
1Pd
dS
1P
D
0
0
dYQd
dYPd
=
0dYdD
0
ใชกฎของคราเมอร และใชสมการ 8.20 จะไดผลเฉลย ดงน
0dY
Pd =
J
10
1YD
0
= JYD
0
…….. 8.23
0dY
Qd =
J
0Pd
dSYD
PD
0
= J
Y
D
Pd
dS
0
เมออนพนธทงหมดของฟงกชนอปสงคและอปทาน (ประกอบดวยอนพนธทงหมดในจาโคเบยน) สามารถหาไดจากดลยภาพในครงแรก และสามารถตรวจสอบผลเฉลยได โดยใชสมการ 8.17 และ 8.18
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 321
การใชอนพนธรวม ทงสมการเชงเดยว และระบบสมการเกยวเนอง สามารถใชวธการหาอนพนธรวม (total derivative) ของ ทง 2 ขางของคาดลยภาพ เมอเทยบกบบางสวนของตวแปรภายนอกหรอพารามเตอร ในการใชวธการสมการเชงเดยว ซงมดลยภาพดงน D ( P , Y0) - S( P ) 0 (จาก 8.16) เมอ P = P (Y0) (จาก 8.15) หาอนพนธรวมของคาดลยภาพเมอเทยบกบ Y0 จะได
PD
0dYPd
+ 0Y
D
- Pd
dS
0dYPd
= 0
(ผลทางออมของ Y0 ตอ D) (ผลทางตรงของ Y0 ตอ D) (ผลทางออมของ Y0 ตอ S) เมอหาคา d P /dY0 ผลเฉลยจะไดคาเพยงคาเดยวตามสมการ 8.18
ภาพท 8.2 ผลทางตรงและทางออมของ Y0 ทมตอฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทาน
สาหรบการใชสมการเกยวเนองจะมคของคาดลยภาพ ดงน D ( P , Y0) - Q 0 S( P ) – Q 0 (จากสมการ 8.22) เมอ P = P (Y0) Q = Q (Y0) (จากสมการ 8.21) ผลตางๆ ของ Y0 ทมตอการเปลยนแปลงของฟงกชนอปสงค และฟงกชนอปทานเปนไปตามภาพท 8.2 กลาวคอ การหาอนพนธของฟงกชนอปสงคเมอเทยบกบ Y0 จะมทงผลทางตรงและผลทางออมโดยผาน P และการหาอนพนธของฟงกชนอปทานเมอเทยบกบ Y0 จะมแตผลทางออมเพยงอยางเดยวโดยผาน P เชนกน ดงนนการหาอนพนธรวมจะมผลเฉลย 2 ผลเฉลย เมอเทยบกบ Y0 เมอมการจดเรยงใหม จะไดคของ 2 สมการ ดงน
ฟงกชนอปสงค
ฟงกชนอปทาน
322 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
PD
0dYPd
-
0dYQd
= -0Y
D
Pd
dS
0dYPd
-
0dYQd
= 0
สมการเหลานเปนผลของวธการวเคราะหดวยการหาอนพนธรวม ซงกคออนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบนนเอง 8.2.2 แบบจาลองรายไดประชาชาต (IS-LM) การประยกตทฤษฎฟงกชนโดยปรยายกบรปแบบของแบบจาลองรายไดประชาชาต (IS-LM) ทเขยนอยในรปแบบฟงกชนโดยทวไป หลกการอยทการวเคราะหดลยภาพจะพจารณาทระดบรายไดและอตราดอกเบยดลยภาพในตลาดสนคาและตลาดเงน (goods market and the money market) สาหรบตลาดสนคาอธบายโดยเซตของสมการดงน Y = C + I + G C = C(Y – T) I = I(r) G = G0 T = T(Y) โดยท Y คอ ระดบรายไดประชาชาต หรอ GDP ซงในแบบจาลองน Y อาจจะหมายถงอปทานมวลรวม
(aggregate supply หรอ AS) C คอ การบรโภค I คอ การลงทน G คอ การใชจายของภาครฐ T คอ ภาษ จากเซตของสมการดงกลาวอปสงคมวลรวม (aggregate demand หรอ AD) อธบายได ดงน 1. การบรโภค (consumption) เปนฟงกชนเพมอยางแทจรง (strictly increasing function) ของรายไดหลงหกภาษแลว (disposable income) เทากบ Y – T ถากาหนดใหรายไดหลงหกภาษ คอ Yd ดงนน ฟงกชนการบรโภคจงเขยนแทนดวย C = C(Yd)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 323
การหาอนพนธของ C เมอเทยบกบ Yd กคอ ความโนมเอยงสวนเพมของการบรโภค หรอ MPC ดงน
ddY
dC = C(Yd) หรอ C และ 0 < C(Yd) < 1
2. คาใชจายในการลงทนเปนฟงกชนลดอยางแทจรง (strictly decreasing function) ของอตราดอกเบย (r) ดงน I = I(r) หาอนพนธของ I เมอเทยบกบ r ไดดงน
drdI
= I(r) หรอ I < 0
3. ภาครฐบาลอธบายดวย 2 ตวแปร คอ การใชจายภาครฐ (G) และภาษ (T) การใชจายภาครฐกาหนดใหเปนตวแปรภายนอกและถกกาหนดโดยนโยบายของรฐบาล และภาษเปนฟงกชนเพมของรายได ดงน T = T(Y) หาอนพนธของ T เมอเทยบกบรายได กคอ อตราภาษสวนเพม (marginal tax rate) ดงน
dYdT
= T(Y) หรอ T และ 0 < T(Y) < 1
ตลาดสนคา เมอแทนฟงกชน C, I และ G ในสมการดลยภาพ Y = C + I + G ไดดงน Y = C [Y – T(Y)] + I(r) + G0 (เสน IS) สมการน ประกอบดวยตวแปรภายใน Y และ r ดลยภาพนเปนดลยภาพในตลาดสนคา ซงแสดงไดโดย เสน IS การหาความชนของเสน IS: จากสมการดลยภาพถาเขยนใหมใหเปนสมการ IS ไดดงน Y - C(Yd) - I(r) - G0 0 หาคาเชงอนพนธรวม เมอเทยบกบ Y และ r ไดคอ dY - C(Yd) [1 – T (Y)] dY - I(r) dr = 0
[ขอสงเกต dYdYd
= 1 - T(Y)]
324 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
เมอจดรปสมการใหมใหเขยนอยในพจนของ dY และ dr จะไดความชนของเสน IS ดงน
dYdr
= )r(I
)Y(T1)Y(C1 d
< 0
เพราะเมอพจารณาคาของอนพนธของ C, I และ T ในสมการดงกลาว จะพบวา ความชนของเสน IS เปนลบ ตลาดเงน ตลาดเงนอธบายไดดวย 3 สมการ ดงน 1. อปสงคของเงน Md = L (Y, r) เปนฟงกชนของ Y และ r เมอ Ly > 0 และ Lr < 0
2. อปทานของเงน MS = S0M
กาหนดให อปทานของเงนเปนตวแปรภายนอก เนองจากอปทานของเงนถกกาหนดโดยนโยบายของรฐ หรอธนาคารกลาง 3. เงอนไขดลยภาพ คอ Md = MS แทนคาสมการท 1 และ 2 ในสมการท 3 จะไดเสน LM ดงน
L (Y, r) = S0M
การหาความชนของเสน LM: จากสมการดลยภาพสามารถเขยนใหมไดดงน
L (Y, r) - S0M 0
หาคาเชงอนพนธรวม เมอเทยบกบตวแปรภายใน Y และ r ไดคอ LY dY + Lr dr = 0 เขยนสมการใหมใหอยในพจนของความชนของเสน LM คอ
dYdr
= r
Y
LL
> 0
เพราะวา LY > 0 และ Lr < 0 ทาใหคาความชนของเสน LM เปนบวก การวเคราะหดลยภาพทเกยวเนองของตลาดสนคาและตลาดเงนอธบายโดยระบบสมการ ดงน
Y C(Yd) + I(r) + G0 L(Y, r) S
0M จากท ง 2 สมการ การหาคาตวแปรภายใน (Y และ r) ใหอยใน รปของฟงกชนตวแปรภายนอก
(G0 และ S0M ) โดยการหาคาเชงอนพนธรวมของระบบสมการ ดงน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 325
dY - C(Yd) [1 – T (Y)] dY - I(r) dr = dG0 และ LY dY + Lr dr = d S
0M ถาเขยนในรปของเมทรกซ จะได
rY LL
)r(I)]Y(T1)[Y(C1 d
dr
dY =
S0
0
dM
dG
หาจาโคเบยนดเทอรมแนนต
J = rY LL
)r(I)]Y(T1)[Y(C1 d
= 1 - C(Yd) [1 – T (Y)] Lr + LY I(r) < 0 เมอ J 0 ระบบสมการนจะเปนไปตามเงอนไขของทฤษฎฟงกชนโดยปรยายและฟงกชนโดยปรยาย
ดงน Y = Y (G0,
S0M )
และ r = r (G0, S0M )
การทเขยนอยในรปสมการดงกลาว เพราะวาไมสามารถหาผลเฉลยของ Y และ r อยางชดแจงได แต
สามารถอธบายถงผลของการเปลยนแปลงของตวแปรภายนอกตวใดตวหนง (G0, S0M ) ทมตอคาดลยภาพของ Y
และ r โดยการหาอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบ 0G
Y
และ 0G
r
ซงทาไดโดยการประยกตใชทฤษฎของ
ฟงกชนโดยปรยายกบระบบสมการทเขยนอยในรปเมทรกซของคาเชงอนพนธรวม ตอไปน
rY LL
)r(I)]Y(T1)[Y(C1 d
dr
dY =
S0
0
dM
dG
ขนตอนแรก จะไดวา d S0M = 0 และหารทง 2 ขางของสมการดวย dG0
rY LL
)r(I)T1(C1
0
0
dGrd
dGYd
=
0
1
ใชวธของคราเมอร ไดดงน
326 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
0dG
Yd =
J
L0
I1
r
= J
Lr > 0
และ 0dG
rd =
J
0L
1)r1(C1
Y
= J
LY > 0
จากทฤษฎฟงกชนโดยปรยาย อตราสวนของคาเชงอนพนธ 0dG
Yd และ
0dGrd
หมายถง อนพนธยอย ดงน
0
S00
G)M,G(Y
และ 0
S00
G)M,G(r
ซงอนพนธยอยทง 2 อนพนธ เปนอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบ 8.2.3 แบบจาลองรายไดประชาชาต : ระบบเศรษฐกจเปด การขยายแบบจาลองรายไดประชาชาตพนฐานไปสภาคตางประเทศ ทาไดดงน 1. การสงออกสทธ (net exports) กาหนดให X คอ การสงออก M คอ การนาเขา E คอ อตราการแลกเปลยนเงนตราตางประเทศ การสงออก เปนฟงกชนเพมของอตราแลกเปลยน ดงน X = X(E) เมอ X(E) > 0 การนาเขา เปนฟงกชนลดของอตราแลกเปลยน แตเปนฟงกชนเพมของรายได ดงน M = M(Y, E) เมอ MY > 0 , ME < 0 2. การไหลของเงนทน (capital flows) การไหลของเงนทนสทธของประเทศ คอ ฟงกชนของอตราดอกเบยในประเทศ (r) และอตราดอกเบยระหวางประเทศ (rw) ให K แทนการไหลเขาของเงนทนสทธ ดงนน K = K(r, rw) เมอ Kr > 0 ,
wrK < 0
3. ดลการชาระเงน (Balance of Payment หรอ BP) กระแสการไหลเขาและกระแสการไหลออกเงนตราตางประเทศของประเทศแบงออกเปน 2 บญช คอ บญชเดนสะพด (Current Account) ไดแก การสงออกสทธของ
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 327
สนคาและบรการ และบญชทน (Capital Account) ไดแก การซอหนภายในประเทศและตางประเทศ เมอรวมทง 2 บญชจะไดดลการชาระเงน ดงน BP = บญชเดนสะพด + บญชทน = [X(E) – M(Y, E)] + K(r, rw) ภายใตอตราการแลกเปลยนลอยตว อตราการแลกเปลยนจะปรบเปลยนเพอรกษาดลการชาระเงนใหเทากบศนย การกาหนดใหดลการชาระเงนเทากบศนยกเพอใหเกดการเทากนของอปสงคของเงนตราตางประเทศกบอปทานของเงนตราตางประเทศของประเทศนนเอง ดลยภาพของระบบเศรษฐกจแบบเปด ดลยภาพของระบบเศรษฐกจแบบเปด แสดงใหเหนโดยเงอนไข ดงน 1. อปสงคมวลรวม เทากบอปทานมวลรวม (AD = AS) 2. อปสงคของเงน เทากบอปทานของเงน (Md = MS) 3. ดลการชาระเงน เทากบศนย (BP = 0) เมอรวมภาคตางประเทศเขากบแบบจาลองรายไดประชาชาตพนฐานจะไดระบบสมการ 3 สมการ ดงน Y = C(Yd) + I(r) + G0 + X(E) – M(Y, E)
L(Y, r) = S0M
X(E) – M(Y, E) + K(r, rw) = 0
ระบบสมการม 3 สมการ ตวแปรภายใน 3 ตวแปร คอ Y, r และ E ตวแปรภายนอก คอ G0, S0M และ rw ถา
เขยนระบบสมการใหม เมออยในดลยภาพจะไดวา F1 0, F2 0, F3 0 และหาคาจาโคเบยนดเทอรมแนนต ดงน Y - C(Yd) - I(r) - G0 - X(E) + M(Y, E) 0
L(Y, r) - S0M 0
X(E) – M(Y, E) + K(r, rw) 0
J =
ErY
rY
EY
MXKM
0LL
XMIM)T1(C1
ใชการกระจายของลาปลาส ไดดงน
J = (ME-X)rY
rY
KM
LL
+(X-ME) rY
Y
LL
IM)T1(C1
328 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
= (ME-X)(LYKr + LrMY) + (X-ME) [1 - C(1 – T) + MY] Lr + ILY = (ME-X) LY (Kr-I) + Lr [C(1 – T)-1] กาหนดใหเครองหมายของอนพนธยอย และขอจากดเปนดงน 0 < C (1 – T) < 1 และสามารถหาไดวา
J < 0 ดงนนจงเขยนฟงกชนโดยปรยายไดดงน Y = Y (G0,
S0M , rw)
r = r (G0, S0M , rw)
E = E (G0, S0M , rw)
หาคาเชงอนพนธรวมของระบบสมการและเขยนในรปแบบเมทรกซ ดงน
ErY
rY
EY
MXKM
0LL
XMIM)T1(C1
Ed
rd
Yd
=
wr
S0
0
drK
dM
dG
w
จากสมการดงกลาวนสามารถคานวณหาอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบได เชน ถาพจารณาผลกระทบของการเปลยนแปลงในอตราดอกเบยระหวางประเทศ (rw) ทมตอคาดลยภาพของ Y, r และ E ซง dG0 = d S
0M = 0 และหารทง 2 ขางของสมการดวย drw
ErY
rY
EY
MXKM
0LL
XMIM)T1(C1
w
w
w
drEd
drrd
drYd
=
wrK
0
0
ใชกฎของคราเมอร เพอหาอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบ ดงน
wrY
= J
MXKK
0L0
XMI0
Err
r
E
w
= J
)XM)(L)(K( Errw
> 0
[เพราะวา wr
K < 0, Lr < 0, ME < 0 และ X> 0]
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 329
และ wrr
= J
MXKM
00L
XM0M)T1(C1
ErY
Y
EY
w
= J
)K)(L)(XM(wrYE
> 0
และ wrE
= J
KKM
0LL
0IM)T1(C1
wrrY
rY
Y
=
J
)I)(L)(K(M)T1(C1)L)(K( YrYrr ww
= J
]I)L(L}M)T1(C1)[{K( YrYrw
> 0
ทจดนสามารถเปรยบเทยบผลเฉลยทหาไดกบหลกเศรษฐศาสตรมหภาค กลาวคอ การเพมขนของอตราดอกเบยระหวางประเทศจะทาใหเกดกระแสการไหลออกของเงนทนเพมขน และการถดถอยของเงนตราภายในประเทศ นอกจากนจะนาไปสการเพมขนของการสงออกสทธ และรายไดทเพมขน รายไดในประเทศทเพมขนจะเปนสาเหตของการเพมขนในอปสงคของเงน และอตราดอกเบยภายในประเทศสงขน ผลทเกดขนนอธบายไดดวยกราฟ ตามภาพท 8.3 ทแสดงถงอตราดอกเบยระหวางประเทศทเพมขนนาไปสการเคลอนของเสน IS ไปทางขวามอ
330 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ภาพท 8.3 เสน IS เคลอนไปทางขวามอเนองจากการเพมขนของอตราดอกเบยระหวางประเทศ
สรปขนตอนการวเคราะห การวเคราะหแบบจาลองตลาดและแบบจาลองรายไดประชาชาตทเขยนอยในรปแบบฟงกชนทวไป ผล
เฉลยของการวเคราะหไมสามารถหาคาตวแปรภายในทเปนคาทชดแจงได แตสามารถนาทฤษฎของฟงกชนโดยปรยายมาประยกตใชและเขยนผลเฉลยอยในรปแบบของฟงกชนโดยปรยายได เชน P = P (Y0) r = r (G0,
S0M )
ลาดบขนตอนตอไปกคอการหาอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบ เชน 0dY
Pd และ
0Gr
และใชทฤษฎของ
ฟงกชนโดยปรยายเพอสรปไดวา ฟงกชน P และฟงกชน r มอนพนธทตอเนอง การประยกตใชทฤษฎนจะตองเขยนสมการของแบบจาลองใหอยในรปแบบมาตรฐานของเงอนไขดลยภาพ
ของแบบจาลองในรปแบบของ F(y, x1, ..., xm) = 0 และ y = f(x1, ..., xn) และตรวจสอบวา 1. ฟงกชน F มอนพนธตอเนอง 2. คาของ Fy หรอจาโคเบยนดเทอรมแนนต (มสมาชกเปนตวแปรภายใน) ไมเทากบศนย ณ ทจดดลยภาพเรมแรกของแบบจาลอง อยางไรกตาม เปนการยอมรบโดยอตโนมตวาฟงกชนแตละฟงกชนในแบบจาลองมอนพนธทตอเนอง ซงถอวาเปนขอสมมตทไดถกนาไปประยกตใชกบแบบจาลองทอยในรปแบบของฟงกชนโดยทวไป สาหรบในทางปฏบตแลว ตองการเพยงแตการตรวจสอบคา Fy หรอจาโคเบยนดเทอรมแนนตเทานน และถาไมเทากบศนยทจดดลยภาพ กสามารถใชวธการดงกลาวหาอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบได
A
B
Y
LMO
O
r
ISO
IS1
rw rw
rw = rw
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 331
ในขนตอนสดทาย ใชทฤษฎของฟงกชนโดยปรยาย สาหรบในกรณสมการเดยวสามารถหาเซตของตวแปร
ภายในไดเทากบคาดลยภาพ (เชน P = P ) ในเงอนไขดลยภาพและประยกตใชตามกฎดงน dxdy
= y
x
FF
สาหรบระบบสมการเกยวเนอง สงแรกตองใหเซตของตวแปรภายในทงหมด เทากบคาดลยภาพตามลาดบในเงอนไขดลยภาพ จากนนจงประยกตใชทฤษฎของฟงกชนโดยปรยายตามสมการ ดงน
1
j
x
y =
J
J j (j = 1, 2, …, n)
หรออาจใชขนตอนดงตอไปนกจะสามารถหาผลเฉลยไดเชนเดยวกน 1. หาคาเชงอนพนธรวมของแตละคาดลยภาพทหาได 2. เลอกตวแปรภายนอกครงละ 1 ตวแปร เพยงตวแปรเดยว เชน x0 ท เปนปจจยทาให ดลยภาพเปลยนแปลงไป และกาหนดใหคาเชงอนพนธของตวแปรภายนอกทเหลอทงหมดเทากบศนย จากนนหารเทอมท คงเหลออยท งหมดดวย dx0 การแปลความหมายของผลหารของอนพนธ 2 อนพนธ แตละผลหารจงถอวาเปนอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบ และเปนคาอนพนธยอยถาแบบจาลองประกอบดวยตวแปรภายนอก 2 ตวแปรหรอมากกวา 3. หาผลเฉลยของระบบสมการทเปนอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบและแปลความหมายเชงเศรษฐศาสตร ในขนตอนนถาใชกฎของคราเมอร จะทาไดงายกวาสาหรบการตรวจสอบเงอนไข J ≠ 0 ซงจะตองคานวณหาคาดเทอรมแนนตของเมทรกซสมประสทธของระบบสมการ 4. สาหรบการวเคราะหปจจยอนๆ ททาใหเกดการเปลยนไปของดลยภาพ (ตวแปรภายนอกอนๆ) ใหทาซ าในขนตอนท 2 และ 3 แมวากลมของอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบทไดจะแตกตางไป แตเมทรกซสมประสทธจะเหมอนเดมซงทราบคาของ J อยแลว กสามารถนาไปใชได ถากาหนดใหแบบจาลองมตวแปรภายนอก m ตวแปร กจะสามารถหาคาอนพนธเมอเทยบกบตวแปรภายนอก m ตวแปรไดตามขนตอน 1, 2 และ 3 ซงจะทาใหไดคาอนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบท งหมดไดเชนเดยวกน นอกจากการวเคราะหดลยภาพเชงสถตยเปรยบเทยบของแบบจาลองตลาด และแบบจาลองรายไดประชาชาตแลว ยงสามารถนาความรเกยวกบอนพนธมาใชวเคราะหทางเศรษฐศาสตรประเดนอนๆ อก เชน การวเคราะหสวนเพม การวเคราะหความยดหยน เปนตน
332 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
8.3 แนวคดเกยวกบสวนเพม (Marginal concept) แนวคดเกยวกบสวนเพมในทางเศรษฐศาสตรมความสาคญเพราะไดมการนาไปใชวเคราะหพฤตกรรมของผบรโภคและพฤตกรรมผผลต รวมถงการวเคราะหในเชงมหภาค แตสาหรบบทนเปนการกลาวถงในบางเรองเทานน ตนทนสวนเพม (Marginal Cost หรอ MC) ในทางเศรษฐศาสตร หมายถง ตนทนทงหมดทเปลยนแปลงไป เมอมการผลตเพมขน 1 หนวย รายรบสวนเพม (Marginal Revenue หรอ MR) หมายถง รายรบทงหมดทเปลยนแปลงไปเมอมการขายสนคาเพมขนอก 1 หนวย ทงตนทนทงหมด (Total Cost หรอ TC) และรายรบทงหมด (Total Revenue หรอ TR) จงเปนฟงกชนของปรมาณผลผลต (Q) และตนทนสวนเพม รายรบสวนเพม จงคานวณไดจากการหาอนพนธของฟงกชนตนทนทงหมดและรายรบทงหมดตามลาดบ
ถา TC = C(Q) ดงนน MC = dQ
dTC
และถา TR = R(Q) ดงนน MR = dQ
dTR
โดยสรปกคอ แนวคดของสวนเพมของฟงกชนในทางเศรษฐศาสตรใดๆ กตาม สามารถหาไดจากการหาอนพนธของฟงกชนทงหมด เชน ถา TR = 75Q – 4Q2
ดงนน MR = dQ
dTR =
dQd
[75Q – 4Q2] = 75 – 4(2)Q = 75 – 8Q
หรอ ถา TC = Q2 + 7Q + 23
ดงนน MC = dQ
dTC =
dQd
[ Q2 + 7Q + 23] = 2Q + 7
ตวอยางท 8.1 กาหนดใหฟงกชนอปสงค คอ P = f(Q) = 30 – 2Q จงหารายรบสวนเพม เมอ Q = 4 และ Q = 5 วธทา การหาฟงกชนรายรบสวนเพมจะตองหาจากฟงกชนรายรบทงหมด แลวจงหาอนพนธของฟงกชนรายรบทงหมดเทยบกบผลผลต (Q) เพราะวา TR = PQ แต P = 30 – 2Q
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 333
ดงนน TR = (30 – 2Q) Q = 30Q – 2Q2
แต MR = dQ
dTR =
dQd
[30Q – 2Q2] = 30 – 2(2) Q = 30 – 4Q
ถา Q = 4 MR = 30 – 4(4) = 30 – 16 = 14 และถา Q = 5 MR = 30 – 4(5) = 30 – 20 = 10 ตวอยางท 8.2 กาหนดใหฟงกชนตนทนทงหมดเปนดงน TC = C(Q) = 35 + 5Q – 2Q2 + 2Q3 จงหาตนทนสวนเพม และตนทนเฉลย เมอกาหนดให Q = 3 และ Q = 5 วธทา เพราะวา TC = C(Q) = 35 + 5Q – 2Q2 + 2Q3
MC = dQ
dTC =
dQd
[35 + 5Q – 2Q2 + 2Q3]
= 5 – 2(2)Q + 2(3)Q2 = 5 - 4Q + 6Q2 เมอ Q = 3 MC = 5 – 4(3) + 6(3)2 = 5 – 12 + 54 = 47 และ Q = 5 MC = 5 – 4(5) + 6(5)2 = 5 – 20 + 150 = 135
เพราะวา AC = Q
TC =
Q2Q 2Q - 5Q 35 32
เมอ Q = 3 AC = 3
2(3) 2(3) -5(3) 35 32 = 28.67
และ Q = 5 AC = 5
2(5) 2(5) -5(5) 35 32 = 52
8.3.1 การหาฟงกชนรายรบสวนเพมจากฟงกชนรายรบเฉลย กาหนดใหฟงกชนรายรบเฉลยเปนดงน AR = 15 - Q ฟงกชนรายรบสวนเพมสามารถคานวณไดโดยขนตอนแรก คณรายรบเฉลย (Average Revenue หรอ AR) ดวย Q ผลเฉลยทไดคอฟงกชนรายรบทงหมด TR = [AR] Q = (15 – Q) Q = 15 Q – Q2
334 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ขนตอนตอมาหาอนพนธของ TR เมอเทยบกบ Q ดงน
dQ
dTR =
dQd
[15Q – Q2]
MR = 15 – 2Q
คา dQ
dTR น หมายความวา เมอมการขายสนคาเพมขนอก 1 หนวย จะทาใหมรายรบทงหมดเพมขนอก
จานวนเทาใด รายรบทงหมดทเพมขนนเรยกวารายรบสวนเพม แตถากาหนดฟงกชน AR อยในรปแบบทวไปคอ AR = f(Q) ดงนน ฟงกชนรายรบทงหมด สามารถเขยนอยในรปแบบทวไปไดเชนกน คอ TR = AR Q = f(Q) Q แตเนองจาก TR เปนผลคณของฟงกชน Q 2 ฟงกชน ไดแก f(Q) และ Q เมอหาคาอนพนธของ TR โดยใชกฎของผลคณของ 2 ฟงกชน กจะไดฟงกชน MR ดงน
MR = dQ
dTR =
dQd
[f(Q) Q]
= Q f(Q) + f(Q) 1 = f(Q) + Q f(Q) …….. 8.24 ผลเฉลยทไดเขยนอยในรปแบบทวไปและสามารถบอกความมนยสาคญเกยวกบ MR ไดเชนกน แตเปนททราบวา f(Q) กคอ ฟงกชน AR ถาจดรปการเขยนสมการ 8.24 ใหม เปน MR – AR = f(Q) + Q f(Q) – f(Q) = Q f(Q) …….. 8.25 จากสมการนจะเหนความสมพนธระหวาง MR และ AR ซงมคาผลตางเทากบจานวน Q f(Q) นพจนหรอขอความ Q f(Q) ประกอบดวย Q ซงหมายถงผลผลตและมคาไมเปนลบเสมอ สวน f(Q) หมายถง ความชนของเสนโคง AR แตรายรบเฉลยและราคาคอสงเดยวกนดงน
AR = Q
TR =
QPQ
= P
เสนโคง AR เปนเสนโคงทมความเกยวของกบราคา P และผลผลต Q ไดแก AR = P = f(Q) และเปนเสนโคงผกผนของเสนอปสงคผลผลตของหนวยธรกจ [Q = f(P)] สาหรบตลาดสนคาทเปนตลาดแขงขนสมบรณ เสน AR จะเปนเสนตรง ขนานกบแกนนอน ซงกคอ f(Q) = 0 และจากสมการ 8.25 จะไดวา MR – AR = 0 สาหรบทกๆ คาทเปนไปไดของ Q ดงนนเสน MR และ AR จงทบกนสนทพอด
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 335
สาห รบตลาดท มการแขงขนไมสมบรณ เสนโคง AR จะเปน เสนโคงทลาดลง ตามภาพ ท 8 .4 ดงนน f(Q) < 0 และจากสมการ 8.25 จะไดวา MR – AR < 0 ดวยสาหรบทกระดบผลผลตทมคาเปนบวกทงหมด ในกรณนเสน MR จงอยต ากวาเสน AR
ภาพท 8.4 เสนรายรบเฉลย
กาหนดใหระดบผลผลตเทากบ N จากภาพท 8.4 จะพบวานพจน Q f(Q) สามารถเขยนไดเปน N f(N) และถาสามารถหาปรมาณ N f(N) ไดกจะรวา จดบนเสน MR จะอยต ากวาจด G ของเสน MR เทาใด จานวนผลผลตทราบวามขนาด N หนวย และ f(N) คอความชนของเสนโคง AR ทจด G หรอแทนดวยความชนของเสนสมผส (tangent line) JM ซงหาคาไดจากอตราสวนของ OJ/OM แตทราบวา OJ/OM = HJ/HG (เพราะวา JHG และ JOM เหมอนกนทกประการ) นอกจากนระยะ HG คอจานวนผลผลตทกาลงพจารณา (N) ดงนนระยะ N f(N) จงเปนระยะทเสนโคง MR อยต ากวาเสนโคง AR ทระดบผลผลต N มคา ดงน
N f(N) = HG
HGHJ
= HJ
จากจด G ลากเสนตรงลงมาใหตงฉากกบแกนนอน หาระยะ KG = HJ ทจด K โดยทจด K นจะตองอยบนเสนโคง MR (วธการทงาย และมความแมนยาถกตองในการหาระยะ KG กคอการลากเสนตรงใหผานจด H และขนานกบ JG จะไดจด K ซงเปนจดทเสนตรงเสนนตดกบเสนแนวตง NG) ดวยวธการเดยวกนนสามารถใชกบการหาจดอนๆ บนเสนโคง MR ได สมมตใหจด G เปนจดใดๆ บนเสนโคง AR ขนตอนแรกจะตองเขยน เสนสมผส ใหสมผสเสนโคง AR ทจด G โดยทเสนสมผส นตดแกนตงทจด J แลวจงลากเสนขนานกบแกนนอนจากจด G ไปตดกบแกนตงทจด H จากจด G ลากเสนตรงใหตงฉากกบแกนนอน หาจด K ททาใหระยะ KG = HJ กจะไดจด K เปนจดบนเสนโคง MR วธการนเปนการหาเสนโคง MR จากเสนโคง AR โดยวธกราฟ แตสาหรบกรณทเสน AR เปนเสนตรง เสนสมผส ทจดใดๆ บนเสน AR กคอเสนตรง AR นนเอง จงไมจาเปนทจะตองหาเสนสมผส
G
AR P = f(Q)
Q M N O
AR P
H
J
K
336 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
และเสน MR ทหาไดโดยวธกราฟกจะเปนเสนตรงเหมอนกบเสน AR เพยงแตอยต ากวาเสน AR เหมอนกบกรณทเสน AR เปนเสนโคง 8.3.2 การประยกตใชอนพนธเกยวกบตนทน ตนทนเฉลย และตนทนสวนเพม ในการผลตสนคาชนดหนงจานวน Q หนวย ตองใชตนทนทงหมด เทากบ TC หรอกลาวไดวา TC เปนฟงกชนของ Q สามารถเขยนในรปแบบของฟงกชนตนทนทงหมดไดดงน TC = C(Q) โดยทวไปเสนตนทนทงหมดจะมสมบตดงน 1. การผลตในระยะสน ตนทนการผลตประกอบดวยตนทนคงทและตนทนแปรผน ดงนนเมอไมมการผลตสนคาเลย (Q = 0) ตนทนทงหมดจะมากกวา 0 หรอ C(0) > 0 แสดงวา C(0) เปนตนทนคงทในการผลตสนคาน สาหรบการผลตระยะยาว ตนทนการผลตจะมแตตนทนแปรผน ดงนนเมอไมมการผลตสนคา ตนทนทงหมดจะเทากบ 0 2. ตนทนทงหมดจะเพมขน เมอมการผลตสนคาเพมมากขน ทาให C(Q) มคาเปนบวกเสมอ 3. การผลตสนคาในชวงแรกๆ เมอมการผลตเพมขน เสนตนทนทงหมดจะมลกษณะเปนเสนโคงทลาดขนหรอมอตราการเพมขนของตนทนท งหมดในอตราทลดลง ซงจะสอดคลองกบตนทนสวนเพมทลดลง (decreasing marginal cost) และเมอมการผลตสนคาเพมมากขนไปอกจนถงจดหนงททาใหตนทนสวนเพมตาสด ตนทนทงหมดจะเรมเปลยนหรอมอตราการเพมขนของตนทนทงหมดในอตราทเพมขน ดงนนเสนตนทนทงหมดจงมลกษณะโคงขน จากทกาหนดในตอนแรก กาหนดให TC = ตนทนทงหมด Q = ปรมาณผลผลต และ TC = C(Q) ดงนน ตนทนเฉลย (average cost หรอ AC) คอ
AC = Q
TC หรอ
Q)Q(C
ตนทนสวนเพม (marginal cost หรอ MC) คอ
MC = dQ
dTC หรอ C(Q)
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 337
ความสมพนธระหวางฟงกชนตนทนสวนเพมและฟงกชนตนทนเฉลย การประยกตกฎผลหารของการหาอนพนธในทางเศรษฐศาสตร ในกรณนกาลงพจารณาถงอตราการเปลยนแปลงของตนทนเฉลย เมอปรมาณผลผลตแปรเปลยนไป กาหนดให ฟงกชนตนทนทงหมด TC = C(Q) หาอนพนธของตนทนทงหมด เมอเทยบกบผลผลต (Q) ไดดงน
dQ
dTC =
dQd
[C(Q)] = C(Q)
คา dQ
dTC หมายความวา ถามการขยายการผลตเพมขนอก 1 หนวย จะมผลทาใหตนทนทงหมดเพมขน
การเพมขนของตนทนทงหมดนเรยกวาตนทนสวนเพม
ฟงกชนตนทนเฉลย หรอ AC คอผลหารของ 2 ฟงกชน ของ Q ซงกคอ AC =Q
TC=
Q)Q(C
(เมอ Q > 0)
ดงนน อตราการเปลยนแปลงของ AC เมอเทยบกบ Q จะหาไดโดยการหาอนพนธของ AC ดงน
AC = Q
)Q(C
dQ
dAC =
dQd
Q)Q(C
=
2Q1)Q(CQ)Q(C
= Q1
Q)Q(C
)Q(C ….. 8.26
แต Q > 0 ดงนน
dQd
Q)Q(C
0 ถา C(Q)
Q)Q(C
…….. 8.27
คาอนพนธ C(Q) หมายถง ฟงกชนตนทนสวนเพม (MC)
Q
)Q(C หมายถง ฟงกชนตนทนเฉลย (AC)
ความหมายทางเศรษฐศาสตรสาหรบสมการ 8.27 กคอ ความชนของเสนโคง AC จะมคาเปนบวก เปนศนย หรอเปนลบ กตอเมอเสนโคง MC อยเหนอ อยทจดตดกนหรออยต ากวาเสนโคง AC ตามลาดบ จากภาพท 8.5 ฟงกชน MC และ ฟงกชน AC เปนฟงกชนทพลอตและคานวณไดจากฟงกชนตนทนทงหมด ดงน C = Q3 – 12Q2 + 60Q
338 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ภาพท 8.5 เสนโคง MC และ AC
จากภาพท 8.5 ปรมาณ Q ทนอยกวา 6 หนวย เสนโคง AC จะเปนเสนโคงทลาดลง ขณะเดยวกนเสนโคง MC กอยต ากวาเสนโคง AC สาหรบทางดานขวาของปรมาณ Q ซงมคามากกวา 6 หนวย เสนโคง AC จะเปนเสนทลาดขนและเสนโคง MC จะอยเหนอกวาเสนโคง AC และทปรมาณ Q เทากบ 6 หนวย เสนโคง AC มคาความชนเปนศนย แสดงวา MC และ AC มคาเทากน [จะสงเกตเหนวา สมการ 8.27 ไมไดหมายความวา เมอ AC มคาความชนเปนลบ แลว MC ตองมคาความชนเปนลบ แตหมายถง AC ตองมปรมาณมากกวา MC เชนท Q = 5 เสน AC เปนเสนโคงทลาดลง แต MC เปนเสนโคงทกาลงลาดขน ดงนน ความชนของเสนโคงทง 2 จะมเครองหมายตรงขามกน] ดงนน ตนทนเฉลยจะมคาตาสด ณ ปรมาณผลผลต (Q) ทตนทนเฉลยเทากบตนทนสวนเพม ซงกคอ เสนโคง AC ตดกบเสนโคง MC ทจดตาสดของเสนโคง AC
O
ตนทนทงหมด
ตนทนเฉลยและตนทนสวนเพม
O 1
10
MC = 3Q2 – 24Q + 60
Q
AC = Q2 – 12Q + 60
80 70 60 50 40
30 20
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q
TC = Q3 – 12Q2 + 60Q
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 339
8.3.3 ความสมพนธระหวางผลผลตทงหมด ผลผลตเฉลย ผลผลตสวนเพม กาหนดใหผลผลตทผลตไดมการใชปจจยการผลต L เพยงปจจยเดยว (เมอ L คอปจจยแรงงาน) โดยใหปจจยการผลตอนๆ คงท (เชน ทน และทดน) ผลผลตท งหมด (Total Product หรอ TP) ผลผลตเฉลย (Average Product หรอ AP) และผลผลตสวนเพม (Marginal Product หรอ MP) แสดงความสมพนธกนตามภาพท 8.6
ภาพท 8.6 ความสมพนธของ TP, AP และ MP
ผลผลตทงหมด (TP) หมายถง ผลผลตของการผลตสนคาชนดหนงชนดใด ทมการใชปจจยการผลตรวมกนทงปจจยการผลตคงท และปจจยการผลตแปรผน ถากาหนดให L คอ ปจจยแปรผน และ K คอปจจยคงท Q คอ ผลผลต จะไดฟงกชนการผลตเมอมการใชปจจย K และ L ดงน TP = Q = f(L, K)
C
D
L L1 LO O
TP
E TP
MP, AP
O L1 LO
A
B
AP
L
MP
340 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แตเนองจาก K เปนปจจยคงท ใหเทากบ K0 ดงนน Q = f(L, K0) หรอ = f(L) เมอ K คงท ผลผลตเฉลย (AP) หมายถง ผลผลตทงหมดทไดเมอมการใชปจจยแปรผน 1 หนวย
ดงนน AP = L
TP =
LQ
= L
)L(f
คาผลผลตเฉลย ณ ระดบของการใชปจจยการผลต สามารถหาไดจากการลากเสนตรงออกจากจดกาเนดใหสมผสกบเสนโคง TP เชน ทจด D คา AP จะเทากบความชนของเสน OD เทากบ tangent
ผลผลตสวนเพม (MP) หมายถง ผลผลตทงหมดทเพมขนเมอมการใชปจจยแปรผนเพมขนอก 1 หนวย
ดงนน MP = dL
dTR หรอ
dLdQ
= dLd
[f(L)]
ความสมพนธระหวาง TP และ MP 1. ในชวงการผลตตงแตเรมแรกจากจดกาเนดถงจดเปลยนเวา (inflection point) ทจด C ผลผลตทงหมด
จะเพมขนในอตราทเพมขน นนคอ TP เพมขนมคาความชนเปนบวก และ MP เพมขนจนถงจดสงสดทจด A 2. ในชวงการผลตตงแตจด C ถงจด E ผลผลตทงหมดยงคงเพมขน แตเพมขนในอตราทลดลง (ความชน
มคาลดลง แตยงคงมคาเปนบวก) นนคอ TP เพมขนจนถงจดสงสดทจด E แต MP เรมลดลงแตยงคงมคาเปนบวกจนเปนศนยเมอ TP สงสด (คาความชนเปนศนย)
3. เลยจด E เปนตนไปทางขวามอ ผลผลตทงหมดลดลง (คาความชนเปนลบ) และ MP มคาตดลบ (อยต ากวาแกนนอน) ความสมพนธระหวาง AP และ MP
1. ในขณะท AP มคาเพมขน MP มคาเพมขนดวย และ MP > AP 2. MP จะเทากบ AP ณ จดท AP มคาสงสด 3. เมอ AP มคาลดลง MP มคาลดลงเชนกน และ MP < AP
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 341
ตวอยางท 8.3 กาหนดให TP = 90L2 – L3 จงหาผลผลตเฉลย และผลผลตสวนเพม เมอกาหนดให L = 30 หนวย วธทา เพราะวา TP = 90L2 – L3
ดงนน AP = L
TP =
LL - 90L 32
= 90L – L2
เมอ L = 30 หนวย AP = 90(30) – (30)2 = 2700 – 900 = 1800 หนวย
เพราะวา MP = dL
dTR =
dLd
[90L2 – L3] = 180L – 3L2
เมอ L = 30 หนวย MP = 180(30) – 3(30)2 = 5400 – 2700 = 2700 หนวย 8.4 การวเคราะหความยดหยน (Elasticity) 8.4.1 การวเคราะหความยดหยนแบบจด (Point elasticity) การประยกตใชการหาคาเชงอนพนธในทางเศรษฐศาสตรตอไปนจะเปนการพจารณาถงฟงกชนความยดหยน เมอกาหนดใหฟงกชนอปสงค Q = f(P) ความยดหยนของอปสงค (elasticity of demand) กจะหาไดจาก
P/PQ/Q ΔΔ ในทนจะแทน Q ดวย dQ และแทน P ดวย dP คาความยดหยนโดยประมาณนเรยกวา ความ
ยดหยนแบบจดของอปสงค (point elasticity of demand หรอ d) เปนอกษรกรกอานวา เอบซลอน (epsilon) เขยนเปนสตรดงน
d = P/dPQ/dQ
= P/QdP/dQ
…….. 8.28
การหาคาความยดหยนแบบจด อาจหาไดอกวธหนงโดยการหาลมตของ P/PQ/QΔ
Δ เมอ P 0
หรอ d = 0P
limΔ P/P
Q/QΔ
Δ
นพจนทางดานขวามอของสมการ 8.28 ทเขยนอยในรปของอตราสวน dPdQ
หมายถง อนพนธหรอฟงกชน
สวนเพม (marginal function) ของฟงกชนอปสงค Q = f(P) ความหมายของอตราสวน PQ
ทเปนตวสวนหมายถง
342 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ฟงกชนคาเฉลยของฟงกชนอปสงค ความยดหยนแบบจดของฟงกชนอปสงค (d) ตามสมการ 8.28 จงเปนอตราสวนของฟงกชนสวนเพมกบฟงกชนคาเฉลยของฟงกชนอปสงค การแปลความหมายดงกลาวไมเพยงแตจะใชไดกบฟงกชนอปสงคเทานน แตสามารถใชไดกบฟงกชนอนๆ ดวย เชน กาหนดใหฟงกชน y = f(x) สามารถเขยนสตรสาหรบการหาความยดหยนแบบจดของ y เมอเทยบกบ x ไดเปน
yx = x/ydx/dy
= าเฉลยฟงกชนควนเพมฟงกชนส
…….. 8.29
การคานวณและแปลความหมายคาความยดหยนจะใชเปนคาสมบรณ ซงมคาตงแต 0 ถง คาสมบรณของความยดหยนทวดไดสามารถแปลความไดวา
มความยดหยนมากทสด (perfectly elastic) = มความยดหยนมาก (elastic) > 1 แตนอยกวา มความยดหยนคงทเปนเอกภาพ (unitary elastic) เมอ = 1 มความยดหยนนอย (inelastic) < 1 แตมากกวา 0 ไมมความยดหยนเลย (perfectly inelastic) = 0
จากฟงกชนความยดหยนของฟงกชนอปสงค เมอกาหนดให Q = f(P) แลว จะไดวา
d = P/QdP/dQ
เนองจากฟงกชนอปสงคเปนฟงกชนของราคา จงเรยกความยดหยนของอปสงคนวาความยดหยนของ อปสงคตอราคา (price elasticity of demand) แตถาฟงกชนอปสงคเปนฟงกชนของรายได Q = f(Y) ความยดหยนของอปสงคจะเรยกวา ความยดหยนของอปสงคตอรายได (income elasticity of demand) แตถากาหนดให P = f(Q) ซงเปนฟงกชนผกผนของ Q = f(P) การคานวณหาอนพนธของ P เมอเทยบกบ Q
จะได dQdP
ถาเขยนใหม จะไดวา dPdQ
= )dQ/dP(
1 ดงนน ความยดหยนจงเทากบ
d = )dQ/dP(
1
QP
= )dQ/dP(
)Q/P( =
วนเพมฟงกชนสาเฉลยฟงกชนค
ดงน น การคานวณจงจาเปนตองพจารณาฟงกชนอปสงควาเปนฟงกชนของอะไรจงจะเลอกใชสตร การคานวณใหสอดคลองกน
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 343
ตวอยางท 8.4 จงหาความยดหยนของอปสงค เมอฟงกชนอปสงคกาหนดใหเปน Q = f(P) = 100 – 2P วธทา จากฟงกชนอปสงค Q = 100 – 2P หาฟงกชนสวนเพมโดยการหาอนพนธของ Q เมอเทยบกบ P ดงน
dPdQ
= dPd
[100 – 2P ] = -2
และหาฟงกชนคาเฉลยของฟงกชนอปสงค ดงน
PQ
= P
P2100
แต d = )P/Q()dP/dQ(
=
P)P2100(
2
= P2100
P2
= P50
P
จากตวอยางน คาความยดหยนเขยนอยในรปแบบของฟงกชนของ P ถากาหนดให P มคาเทากบคาใดคาหนง กจะสามารถหาคาความยดหยนแบบจดนได เชน เมอ P = 25 จะไดวา d = -1 หรอ d = 1 ดงนน ความยดหยนแบบจดของอปสงคเปนแบบคงทหรอเอกภาพทจดน แตถา P = 30 จะไดวา d = -1.5 หรอ d = 1.5 ดงนนฟงกชนอปสงคมความยดหยนมากทจดราคาน หรอเขยนรปแบบทวไปไดวา d > 1 เมอ 25 < P < 50 และ d < 1 เมอ 0 < P < 25
344 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 8.5 กาหนดใหฟงกชนอปสงค Q = f(P) = 1,400 - P2 จงหาความยดหยนของอปสงคตอราคาทระดบราคา P = 20 วธทา เนองจากฟงกชนอปสงค คอ Q = f(P) = 1,400 - P2
ดงนน P = P/QdP/dQ
…….. (1)
หาฟงกชนสวนเพมโดยการหาอนพนธของ Q เมอเทยบกบ P จากฟงกชนอปสงค
dPdQ
= dPd
[1,400 - P2] = -2P
หาฟงกชนคาเฉลยของฟงกชนอปสงค
PQ
= P
P1400 2
แทนคาใน (1) P =
P)P400,1(
P22
=
2
2
P400,1P2
เมอ P = 20 ดงนน
P = 2
2
)20(400,1)20(2
=
000,1800
= -0.8
ในกรณทฟงกชนทตองการหาความยดหยนเปนฟงกชนอปทาน วธการคานวณและการแปลความหมายเหมอนกบกรณฟงกชนอปสงคจะตางกนตรงทใชสญลกษณ S แทนความยดหยนของอปทาน ตวอยางท 8.6 จงหาความยดหยนแบบจดของอปทาน (S) จากฟงกชนอปทาน Q = P2 + 7P และเมอ P = 3 จงหาความยดหยนของอปทาน วธทา หาฟงกชนสวนเพม โดยการหาอนพนธของ Q เมอเทยบกบ P ดงน
dPdQ
= dPd
[P2 + 7P] = 2P + 7
หาฟงกชนคาเฉลยของฟงกชนอปทานได ดงน
PQ
= P
P7P2 = P + 7
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 345
เพราะวา S = P/QdP/dQ
= 7P7P2
เมอ P = 3 S = 73
7)3(2
= 1013
> 1
สรปไดวาฟงกชนอปทานมความยดหยนมากทระดบราคาเทากบ 3 สาหรบการหาความยดหยนแบบจดโดยวธกราฟ หรอเรขาคณต ตามภาพท 8.7 จะเหนวาภาพ (ก) และภาพ (ข) เสนโคงมความชนเปนลบและเปนบวกตามลาดบ ในแตละกรณ คาฟงกชนสวนเพมทจด A บนเสนโคง (หรอท x = x0) จะถกวดโดยความชนของเสนสมผส AB และคาฟงกชนเฉลยจะวดจากความชนของเสน OA (เสนตรงทลากออกจากจดกาเนด ใหผานจด A ของเสนโคง ซงเปรยบเสมอนเปนเวกเตอรของรศมนนเอง) ทจด A
ภาพท 8.7 การหาความยดหยนแบบจดโดยวธกราฟ
จะไดวา y เทากบระยะ x0A และ x เทากบระยะ Ox0
ดงนน คาเฉลยกคอ xy
= 0
0
OxAx
หรอความชนของ OA
ความยดหยนทจด A จงใชการเปรยบเทยบคาทเปนตวเลขของความชนทเกยวของ 2 ความชน คอ ความชนของเสน OA และ AB เชน ถา AB มความชนมากกวา OA ฟงกชนจะมความยดหยนมาก (elastic) ทจด A ในกรณตรงขาม ทจด A จะมความยดหยนนอย (inelastic) เมอ AB มความชนนอยกวา OA จากภาพท 8.7 จะไดวา ภาพ (ก) ทจด A จะมความยดหยนนอย (เพราะความชนของ AB นอย แตภาพ (ข) มความยดหยนมากทจด A (เพราะเสน AB มความชนมากกวาความชนของ OA)
A
x B xo O
y
a
y = f(x)
m
A
x B xo O
y
y = f(x)
m a
346 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
อยางไรกตาม ความชนของเสนตรง 2 เสน ทเปรยบเทยบกขนอยกบมม 2 มม คอ m และ a [ เปนอกษรกรก อานวา ซตา (theta) ดชนลาง m และ a แสดงวาเปนมมของสวนเพม และคาเฉลย ตามลาดบ] ถามมมนอยกวากแสดงวามความชนนอยกวา ซงตามภาพ (ก) m < a แสดงวาคาฟงกชนสวนเพมนอยกวาคาฟงกชนคาเฉลยจงมความยดหยนนอยทจด A ในบางกรณ อาจจะใหความสนใจกบจดททาใหมความยดหยนคงทหรอเอกภาพ (unitary elasticity) จากภาพ 8.8 (ก) เสนโคงมความชนเปนลบ การหาจด C ททาใหเสน OC และเสนสมผส BC มมมเทากนบนแกน x (แตมทศทางตรงกนขาม) และภาพ (ข) เสนโคงมความชนเปนบวก จะมจด C เพยงจดเดยวเทานนบนเสนโคง ททาใหเสนสมผส ผานจด C พอด และเปนเสนทลากออกจากจดกาเนด
ภาพท 8.8 ความยดหยนเอกภาพของเสนโคงทมความชนเปนลบและเปนบวก
สงทตองระวงในการใชวธกราฟอธบายกคอ ฟงกชน y = f(x) เมอนาไปพลอตกราฟจะตองใหตวแปรตาม (y) อยในแกนตง ตวแปรอสระ (x) อยแกนนอน ดงนนการใชวธกราฟอธบายกรณฟงกชนอปสงค Q = f(P) จะตองแนใจวาตวแปร Q ซงเปนตวแปรตาม อยบนแกนตง (เมอเปรยบเทยบกบการอธบายตามภาพท 8.7 และ 8.8 Q จะตองอยบนแกนตง) แตการอธบายดวยกราฟของเสนอปสงคโดยทวไปมกจะให Q อยบนแกนนอน P อยบนแกนตง ดงนนการใชวธกราฟเพออธบายความยดหยนแบบจด จะตองมการปรบการใชใหเหมาะสมในแตละเงอนไขตามทกลาวมา
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 347
ตวอยางท 8.7 จงหาความยดหยนแบบจดของฟงกชนอปสงค และฟงกชนอปทานทจด A และ D ตามลาดบ จากภาพทกาหนดให โดยวธกราฟ
วธทา การประมาณคาฟงกชนสวนเพมและฟงกชนคาเฉลยทจด A และจด D ซงเปนจดทตองการหาคาความยดหยนนน จะประมาณคาฟงกชนสวนเพมจากความชนของเสนสมผส AC และ ED ตามลาดบ และประเมนฟงกชนคาเฉลยจากความชนของเสนตรงลากออกจากจดกาเนด คอ เสน OA และ OD ตามลาดบ สาหรบภาพ (ก) เปนฟงกชนอปสงคมความชนเปนลบ ความชนของเสนโคงทจด A หรอฟงกชนสวนเพมใหพจารณาจาก ABC โดยมมม m ททากบแกน x ในทศทางตามเขมนาฬกาเปนมมทตองการหาคา tangent m ซงเปนคาความชนของเสนสมผส AC จะไดคาดงน
ความชนของเสนสมผส AC = -BCAB
ความชนของเสน OA หรอฟงกชนคาเฉลยคอคา tangent a ของ OAB = OBAB
เนองจากฟงกชนอปสงคม Q เปนแกนตงและ P เปนแกนนอน ดงนนสตรคานวณคอ
d = าเฉลยฟงกชนควนเพมฟงกชนส
d = OB/AB
BC/AB =
BCOB
ผลจากการคานวณหมายความวา เมอ Q = f(P) ความยดหยนของอปสงคตอราคา d ทจด A จงหาไดเทากบระยะทางบนแกนนอนจากจดกาเนดถงจด B บนแกนนอนซงเกดจากการลากจากจด A ทตองการหาคาความยดหยนบนเสนอปสงคลากลงมาตงฉากกบแกนนอน (มระยะเทากบ OB) หารดวยระยะทางบนแกนนอนจากจด B ถงจดท
348 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
เสนสมผส บนเสนอปสงคตดกบแกนนอน ทจด C (เทากบระยะ BC) แตเนองจากเสนอปสงคเปนเสนทมความชนเปนลบ ทาใหคาความยดหยนจงมคาเปนลบเสมอแตเครองหมายลบของคาความยดหยนไมไดมความหมายในเชงปรมาณทหมายความวามคานอยกวาศนย เพยงแตแสดงใหเหนวาการเปลยนแปลงของตวแปรอสระและตวแปรตามของฟงกชนนนมการเปลยนแปลงในทศทางตรงกนขามเสมอ เนองจาก OB < BC ดงนน d < 1 แสดงวาทจด A เสนอปสงคมความยดหยนนอย หรอเมอพจารณาจากมม m และ a ปรากฏวา a > m แสดงวาเสน AB มความชนนอยกวาเสน OA ทาใหฟงกชนสวนเพมนอยกวาฟงกชนคาเฉลย ผลเฉลยทไดจงมคานอยกวา 1 ไดคาตอบเชนเดยวกน สาหรบภาพ (ข) เปนฟงกชนอปทาน มความชนเปนบวก
ความชนของเสนสมผส ED ทจด D ซงเปนฟงกชนสวนเพม มคาเทากบ EFDF
และความชนของเสน OD
ทจด D ซงเปนฟงกชนคาเฉลย มคาเทากบ OFDF
ดงนน
S = าเฉลยฟงกชนควนเพมฟงกชนส
= OF/DFEF/DF
= EFOF
จากภาพ (ข) แสดงวาฟงกชนอปทานคอ Q = f(P) (Q เปนแกนตง และ P เปนแกนนอน) ความยดหยนของเสนอปทาน (S) ทจด D จะเทากบระยะทางบนแกนนอนจากจดกาเนดถงจด F (ซงเปนจดบนแกนนอนทเกดจากการลากเสนตรงจากจด D ลงมาใหตงฉากกบแกนนอน) หารดวยระยะทางจากจด E (ซงเปนจดทเสนสมผส ของจด D ลากลงมาตดกบแกนนอน) ถงจด F และเนองจากเสนอปทานเปนเสนทมความชนเปนบวก คาความยดหยนทคานวณตองมคาเปนบวกเสมอ และมคาตงแตศนยถงอนฟนต การแปลความหมายคาความยดหยนของเสนอปทานกแปลความหมายเหมอนกบความยดหยนของเสนอปสงค แตเนองจาก OF > EF ดงนน S > 1 แสดงวา ทจด D เสนอปทานมความยดหยนมาก
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 349
ตวอยางท 8.8 จงหาความยดหยนของอปสงคตอราคาทจด A เมอฟงกชนอปสงคเปนฟงกชนเชงเสนตามภาพ
วธทา จากภาพทกาหนด แสดงวาเสนอปสงคถกกาหนดเปน P = f(Q) เนองจาก แกนนอนคอ Q และแกนตงคอ P
ดงนน d = )dQ/dP(
1
QP
หรอ = วนเพมฟงกชนสาเฉลยฟงกชนค
dQdP
หรอฟงกชนสวนเพม หาไดจากความชนของเสนสมผส AC = BCAB
และทจด A คา P เทากบระยะ OF หรอ AB คา Q เทากบระยะ OB
แทนคาในสตร d = )BC/AB(
1
OBAB
= ABBC
OBAB
= OBBC
แตระยะ BC > OB ดงนน d > 1 แสดงวาทจด A เสนอปสงคมความยดหยนมาก 8.4.2 การคานวณหาความยดหยนของอปสงคตอรายได ความยดหยนของอปสงคตอรายได เปนการวดเปอรเซนตการเปลยนแปลงของปรมาณสนคาชนดหนงทผบรโภคตองการบรโภคตอเปอรเซนตการเปลยนแปลงไปของรายไดของผบรโภค หรอคานวณไดดงน
ความยดหยนของอปสงคตอรายได = เปอรเซนตการเปลยนแปลงของปรมาณสนคา
เปอรเซนตการเปลยนแปลงของรายได
หรอ เมอ Q = f(Y) = Y/QdY/dQ
= าเฉลยฟงกชนควนเพมฟงกชนส
A
Q C B O
P
a m
F
E
350 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
คา เปนไปไดทงคาบวกและคาลบ มความหมาย ดงน 1. ถาเปนสนคาปกต คา จะเปนบวก เพราะเมอผบรโภคมรายไดเพมมากขนแลวจะบรโภคสนคาชนดนนเพมมากขนดวย การเปลยนแปลงของ Y และ Q เปนไปในทศทางเดยวกน 2. ถาเปนสนคาดอย คา จะเปนลบ เพราะเมอผบรโภคมรายไดเพมมากขนแลวจะบรโภคสนคาชนดนนนอยลง การเปลยนแปลงของ Y และ Q เปนไปในทศทางตรงกนขาม ตวอยางท 8.9 กาหนดใหฟงกชนอปสงคของสนคาชนดหนงตอรายได Q = f(Y) = 20 + 0.1Y ถากาหนดใหราคาของสนคาชนดนและราคาสนคาอนๆ ไมเปลยนแปลง ถา Y = 300 จงหาความยดหยนของอปสงคตอรายไดทมตอสนคาชนดน
วธทา เพราะวา ความยดหยนของอปสงค = าเฉลยฟงกชนค
วนเพมฟงกชนส
ฟงกชนสวนเพม = dYdQ
= dYd
[20 + 0.1Y]
= 0.1 จากฟงกชนอปสงคตอรายไดทกาหนดใหแสดงวาเมอรายไดเปลยนแปลงไปความตองการบรโภคในสนคาชนดนจะเปลยนแปลงไปในทศทางเดยวกน แสดงวาสนคานเปนสนคาปกต เมอ Y = 300 จะได Q = 20 + 0.1(300) = 50
ฟงกชนคาเฉลย = YQ
= 30050
= 61
ดงนน ความยดหยนของอปสงคตอรายได = )6/1(
1.0 = 0.6
การคานวณคาความยดหยนของอปสงคตอรายได มคาเปนบวก แสดงวาสนคานเปนสนคาปกตแตมความยดหยนนอย (เพราะนอยกวา 1) 8.4.3 การคานวณหาความยดหยนไขวของอปสงค ความยดหยนไขวของอปสงค เปนการวดเปอรเซนตการเปลยนแปลงในการบรโภคสนคาชนดหนงตอเปอรเซนตการเปลยนแปลงไปของราคาสนคาอกชนดหนง หรอคานวณไดดงน
ความยดหยนไขวของอปสงค = เปอรเซนตการเปลยนแปลงของปรมาณสนคาชนดท
เปอรเซนตการเปลยนแปลงของราคาสนคาชนดท
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 351
หรอ 12 = 21
21
P/QdP/dQ
เมอ 12 คอ คาความยดหยนไขวของอปสงค เมอราคาสนคาชนดท 2 เปลยนแปลงไป ทาใหความตองการบรโภคสนคาชนดท 1 เปลยนแปลงไป
P2 คอ ระดบราคาสนคาชนดท 2 Q1 คอ ปรมาณความตองการบรโภคสนคาชนดท 1 คา 12 เปนไปไดทงคาบวก และคาลบ มความหมาย ดงน 1. คา 12 จะเปนบวก เมอสนคาท ง 2 ชนด เปนสนคาทใชทดแทนกน (substituted goods) เพราะการเปลยนแปลงของปรมาณสนคาชนดท 1 และการเปลยนแปลงของราคาสนคาชนดท 2 เปลยนแปลงไปในทศทางเดยวกน เชน ขณะนกาลงพจารณาปรมาณการบรโภคเนอไก (Q1) โดยทราคาเนอไกคงท (P1 คงท) แตราคาเนอหมแพงขน (P2 เพมขน) ปรมาณความตองการบรโภคเนอหมจะลดลง เพราะผบรโภคบางสวนจะหนไปบรโภคเนอไกทดแทน เพราะฉะนนความตองการเนอไกจะเพมขน (Q1 เพมขน) 2. คา 12 เปนลบ เมอสนคาทง 2 ชนด เปนสนคาทใชประกอบกน (complementary goods) เพราะการเปลยนแปลงของปรมาณสนคาชนดท 1 และการเปลยนแปลงของราคาสนคาชนดท 2 เปลยนแปลงไปในทศทางตรงกนขาม เชน ขณะนกาลงพจารณาการบรโภคกาแฟสาเรจรป (Q1) โดยทราคากาแฟสาเรจรปคงท (P1 คงท) แตราคาน าตาลทรายแพงขน (P2 เพมขน) ปรมาณความตองการบรโภคน าตาลทรายลดลง ผบรโภคจงลดปรมาณการบรโภคกาแฟสาเรจรปลงตามไปดวย กาแฟสาเรจรปจงขายไดนอยลง (Q1 ลดลง) 3. คา 12 เปนศนย แสดงวาสนคาทง 2 ชนดไมเกยวของกน ตวอยางท 8.10 อปสงคของเนอไก มความเกยวของกบราคาของเนอหมอยในรปของฟงกชน Q1 = 5 + 2 2P เมอ Q1 คอ อปสงคของเนอไก (หนวย : กโลกรม) และ P2 คอราคาของเนอหม (หนวย : บาท/กโลกรม) จงหาฟงกชนทแสดงถงความยดหยนไขว (12) ของอปสงคเนอไกตอราคาเนอหม และถาราคาของเนอหมเพมขนจาก 81 บาท/กโลกรม เปน 121 บาท/กโลกรม อปสงคของเนอไกจะเพมขนเทาไร และคาความยดหยนไขวของอปสงคเนอไกตอราคาเนอหม จะเปนเทาไร วธทา เพราะวา อปสงคของเนอไก Q1 = f(P2) = 5 + 2 2P
2
1
dPdQ
= 2dP
d [5 + 2 2
1
2 )P( ] = 2
21
21
2P
= 2P
1
แต 12 = 21
21
P/QdP/dQ
= 2P
1
2
2
P25P
=
2
2
P25
P
352 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ถา P2 = 81 Q1 = 5+2 81 = 5 + 18 = 23 กโลกรม ถา P2 = 121 Q1 = 5+2 121 = 5 + 22 = 27 กโลกรม
12 = 2
2
P25
P
เมอ P2 = 81 12 = 8125
81
= 239
= 0.39
เมอ P2 = 121 12 = 12125
121
= 2711
= 0.41
คาความยดหยนไขวทคานวณไดเปนคาบวก แสดงวาสนคาทง 2 ชนดเปนสนคาทใชทดแทนกน และม ความยดหยนนอยทระดบราคาเนอหมท 81 บาท/กโลกรม และ 121 บาท/กโลกรม 8.4.4 การวเคราะหความยดหยนยอย (Partial elasticity) ในกรณทฟงกชนประกอบดวยตวแปรอสระหลายตวแปร การคานวณคาของความยดหยนของตวแปรอสระตวใดตวหนง จะตองกาหนดใหตวแปรอสระอนๆ คงทไมเปลยนแปลง คาความยดหยนทคานวณตามฟงกชนนจะใชวธการหาอนพนธยอย มาชวยคานวณ และความยดหยนนจะเรยกวา ความยดหยนยอย (partial elasticity) เชน กรณของฟงกชนอปสงคทมตอสนคาชนดใดชนดหนง ซงในสภาพเปนจรงนน อปสงคในการบรโภคสนคาชนดใดชนดหนงจะมความสมพนธกบปจจยอนๆ นอกเหนอจากระดบราคาสนคาชนดนน เชน รายไดของผบรโภค รสนยมของผบรโภค ราคาสนคาอนๆ ทเกยวของ เปนตน ถากาหนดใหฟงกชนอปสงคเปน Q1 = f(P1, Y, P2) โดยท Q1 คอ ปรมาณสนคาชนดท 1 ทผบรโภคตองการซอ P1 คอ ราคาสนคาชนดท 1 P2 คอ ราคาสนคาชนดท 2 ทเกยวของกบสนคาชนดท 1 Y คอ รายได จากฟงกชนดงกลาว สามารถหาความยดหยนยอยสาหรบอปสงค ไดดงน
1. ความยดหยนยอยของอปสงคตอราคา (partial price elasticity of demand) กรณนเปนการหาความยดหยนของอปสงคสาหรบสนคาชนดท 1 ตอราคาสนคาชนดท 1 และกาหนดใหรายไดและราคาสนคาชนดท 2 คงทไมเปลยนแปลง
d = 11
11
PQ
PQ
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 353
2. ความยดหยนยอยไขวของอปสงค (partial cross elasticity of demand) เปนการหาความยดหยนของ อปสงคในสนคาชนดท 1 ตอราคาของสนคาชนดท 2 ซงมความเกยวของกบสนคาชนดท 1 และกาหนดใหราคาสนคาชนดท 1 และรายไดคงทไมเปลยนแปลง
12 = 21
11
PQ
PQ
การแปลความหมายเครองหมายของคาความยดหยนยอยไขวของอปสงคถามเครองหมายบวก แสดงวาสนคาชนดท 1 และสนคาชนดท 2 เปนสนคาทใชทดแทนกน แตถามเครองหมายลบ แสดงวาสนคาชนดท 1 และสนคาชนดท 2 เปนสนคาทใชประกอบกน
3. ความยดหยนยอยของอปสงคตอรายได (partial income elasticity of demand) เปนการหาความยดหยนของอปสงคในสนคาชนดท 1 ตอรายไดของผบรโภค และกาหนดใหราคาสนคาชนดท 1 และชนดท 2 คงทไมเปลยนแปลง
y = YQ
YQ
1
1
การแปลความหมายเครองหมายของคาความยดหยนยอยของอปสงคตอรายได ถามเครองหมายบวก แสดงวาสนคาชนดท 1 เปนสนคาปกต (normal goods) กลาวคอ เมอผบรโภคมรายไดมากขน จะบรโภคสนคาชนดท 1 เพมขน แตถามเครองหมายลบ แสดงวาสนคาชนดท 1 เปนสนคาดอย (inferior goods) กลาวคอ เมอผบรโภคมรายไดมากขนจะบรโภคสนคาชนดท 1 ลดลงโดยเปลยนแปลงไปบรโภคสนคาชนดอน ตวอยางท 8.11 กาหนดใหฟงกชนอปสงคในสนคาชนดหนงคอ Q1 = f(P1, P2, Y) = 4,000 - 4P1 + 2 P2 + 0.4Y โดยท Y คอ รายไดตอเดอน Q1 คอ ปรมาณสนคาชนดท 1 P1 คอ ราคาสนคาชนดท 1 P2 คอ ราคาสนคาชนดท 2 ถา P1 = 100 P2 = 200 และ Y = 5,000 จงหาคาความยดหยนยอยของอปสงคตอราคาสนคาชนดท 1 ความยดหยนยอยของอปสงคตอรายไดและความยดหยนยอยไขวของอปสงค
354 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
วธทา โจทยกาหนดให P1 = 100 P2 = 200 และ Y = 5,000 แทนคาในฟงกชนของอปสงค Q1 = 4,000 – 4(100) + 2(200) + 0.4(5,000) = 4,000 – 400 + 400 + 2,000 = 6,000
ความยดหยนยอยของอปสงคตอราคา d = 11
11
PQ
PQ
1
1
PQ
= 1P
[4,000 – 4P1 + 2P2 + 0.4Y] = -4
d = -4
000,6100
= -0.07
คาความยดหยนทไดหมายความวา ถาราคาสนคาชนดท 1 เพมขน (ลดลง) 1 เปอรเซนต อปสงคในสนคาชนดท 1 จะลดลง (เพมขน) 0.07 เปอรเซนต
ความยดหยนยอยของอปสงคตอรายได y = YQ
YQ
1
1
YQ1
= Y
[4,000 – 4P1 + 2P2 + 0.4Y] = 0.4
y = 0.4
000,6000,5
= 0.33
คาความยดหยนทไดหมายความวาถารายไดเพมขน (ลดลง) 1 เปอรเซนต อปสงคในสนคาชนดท 1 จะเพมขน (ลดลง) 0.33 เปอรเซนต คาเปนคาบวกแสดงวาสนคาชนดท 1 เปนสนคาปกต
ความยดหยนยอยไขวของอปสงค 12 = 21
21
PQ
PQ
2
1
PQ
= 2P
[4,000 – 4P1 + 2P2 + 0.4Y] = 2
12 = 2
000,6200
= 0.07
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 355
คาความยดหยนทไดหมายความวาถาราคาสนคาชนดท 2 เพมขน (ลดลง) 1 เปอรเซนต อปสงคในสนคาชนดท 1 เพมขน (ลดลง) 0.07 เปอรเซนต คาเปนคาบวกแสดงวาสนคาทง 2 เปนสนคาทใชทดแทนกน ตวอยางท 8.12 ถาฟงกชนอปสงคสาหรบสนคา x เปนดงน Qx = 500 - 40Px - 3Py + 2Pz + 0.001Y และ Px = 5 Py = 10, Pz = 20 และ Y = 10,000 จงคานวณหา 1. ความยดหยนยอยของอปสงคตอราคา (d) ความยดหยนยอยของอปสงคตอรายได (y) ความยดหยนยอยไขวของอปสงคตอราคาสนคา y(xy) และ ความยดหยนยอยไขวของอปสงคตอราคาสนคา z (xz) 2. ถาราคาสนคา y และสนคา z เพมขน 5% จะมผลกระทบตอปรมาณอปสงคตอสนคา x เทาใด วธทา 1. จาก Qx = 500 - 40Px - 3Py + 2Pz + 0.001Y แทนคา Px = 5 Py = 10, Pz = 20 และ Y = 10,000 ในสมการ Qx Qx = 500 – 40(5) – 3(10) + 2(20) + 0.001(10,000) = 500 – 200 – 30 + 40 + 10 = 320
เพราะวา d = xx
xx
PQ
PQ = -40
320
5 = -0.625
y = YQ
YQ
x
x = 0.001
320
000,10 = 0.031
xy = yx
yx
PQ
PQ = -3
32010
= -0.093
xz = zx
zx
PQ
PQ = 2
32020
= 0.125
xy มคาเปนลบ สนคา x และสนคา y เปนสนคาทใชประกอบกน ถาราคาสนคา y เพมขน จะสงผลใหปรมาณการบรโภคสนคา x ลดลง และ xz มคาเปนบวก สนคา x และสนคา z เปนสนคาทใชทดแทนกน ถาราคาสนคา z เพมขน จะทาใหปรมาณการบรโภคสนคา x เพมขน
356 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
2. ความยดหยนยอยไขวของอปสงคตอราคาสนคา y
= เปอรเซนตการเปลยนแปลงปรมาณสนคา
เปอรเซนตการเปลยนแปลงราคาสนคา
หรอ xy = yy
xx
PP
x
x
= xy y
y
PP
= (-0.093) (0.05) = -0.00465 ดงนน ถาราคาสนคา y เพมขน 5 เปอรเซนต ผบรโภคจะมอปสงคตอสนคา x ลดลง 0.465 เปอรเซนต
และ xz = zz
xx
PP
x
x
= xz z
z
PP
= (0.125) (0.05) = 0.00625
ดงนน ถาราคาสนคา z เพมขน 5 เปอรเซนต ผบรโภคจะมอปสงคตอสนคา x เพมขน0.625 เปอรเซนต
8.5 ผลผลตทางกายภาพสวนเพมของปจจยการผลต การผลตสนคาใดๆ กตามตองการปจจยการผลต (input factor) อยางนอย 2 ชนด เชน แรงงาน ทน ทดน เครองมอเครองจกร เปนตน ถาสมมตใหการผลตสนคาชนดหนง ปรมาณ Q มการใชปจจยการผลต 2 ชนด คอ ปจจย x และปจจย y ฟงกชนการผลตของสนคานเขยนไดเปน Q = f(x, y) และกาหนดใหฟงกชนการผลตน เปนฟงกชนการผลตแบบตอเนองในชวงทกาลงวเคราะหการผลต การหา
อนพนธยอยของ Q ทมตอ x โดยกาหนดให y คงท กคอ xQ
จะหมายถงประสทธภาพในการผลตสวนเพมของ
ปจจย x (marginal productivity) หรอเรยกอกอยางหนงวา ผลผลผลตทางกายภาพสวนเพมของปจจย x (Marginal
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 357
Physical Product of x) หรอ MPPx ในทานองเดยวกน yQ
เมอ x คงท จะหมายถงประสทธภาพในการผลตสวน
เพมของปจจย y หรอ ผลผลตทางกายภาพสวนเพมของปจจย y หรอ MPPy ในการหาอนพนธยอยดงกลาวนจะเหนวาคา MPP ของปจจยการผลตชนดใดชนดหนงกคออตราสวนของผลผลตทงหมดทเพมขนเมอปจจยการผลตชนดนนเพมขน โดยกาหนดใหปจจยการผลตอนๆ คงทไมเปลยนแปลง อยางไรกตามฟงกชนการผลตจะเปนไปตามกฎแหงการลดนอยถอยลง (law of diminishing) ซงกคอ เมอมการใชปจจยการผลตชนดหนงเพมขนและปจจยการผลตอนๆ คงทในชวงแรกๆ ผลผลตจะมปรมาณเพมขนในอตราทเพมขน และเมอมการใชปจจยการผลตชนดนนเพมขนไปอก ผลผลตจะมปรมาณเพมขนแตจะเพมขนในอตราทลดลงจนถงจดๆ หนงทมปรมาณผลผลตมากทสด [ซงในชวงดงกลาวนผลผลตสวนเพมจะมคามากกวาหรอเทากบศนย] และเมอเพมปจจยการผลตเขาไปอกผลผลตทงหมดจะลดลง [ผลผลตสวนเพมจะนอยกวาศนย] ตวอยางท 8.13 กาหนดใหฟงกชนการผลต Q = f(x, y, z) = 2x2 + y2 + 5z2 + 2xy เมอ Q คอปรมาณผลผลต x, y, z คอปจจยการผลต จงหาผลผลตทางกายภาพสวนเพมของปจจยการผลต x, y และ z วธทา โจทยตองการหาคา MPPx , MPPy และ MPPz ซงสามารถหาไดโดยการหาอนพนธยอยของฟงกชนการผลต เมอเทยบกบปจจยการผลตชนดใดชนดหนงโดยใหปจจยการผลตอนๆ คงท
MPPx = xQ
= x
[2x2 + y2 + 5z2 + 2xy ]
= 2(2)x + 2y = 4x + 2y ในทานองเดยวกน
MPPy = yQ
= 2y + 2x
MPPz = zQ
= 10z
358 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอยางท 8.14 จงหา MPPx และ MPPy เมอฟงกชนการผลต Q = f(x,y) = 6xy-x2-3y2 วธทา เพราะวา Q = 6xy - x2 - 3y2
MPPx = xQ
= x
[6xy - x2 - 3y2]
= 6y – 2x ในทานองเดยวกน
MPPy = yQ
= 6x – 6y
8.6 ฟงกชนเอกพนธและทฤษฎออยเลอร (Homogeneous function & Euler’s theorem) ถาฟงกชน Q = f(x1, …, xn) มสมบตของการเปนฟงกชนเอกพนธ กตอเมอมตวคงท (k) ซงเปนคาบวก คณกบตวแปรแตละตวแปรของฟงกชนนน ไดดงน f(k x1, …, kxn) แลว ไดผลเฉลยเปน kr f(x1, …, xn) สามารถกลาวไดวา Q เปนฟงกชนเอกพนธของ r (homogeneous of degree r) ถา r > 0 ฟงกชน Q เรยกวาฟงกชนเอกพนธองศาบวก (positively homogeneous function) แตถา r = 1 เรยกวาฟงกชนเอกพนธเชงเสน (linear homogeneous function) การพจารณาวาเปนฟงกชนเอกพนธองศาเทาใดนน ใหพจารณาทคายกกาลงของตวคงททเปนผลเฉลยซงกคอคา r นนเอง เชน k2 f(x1, …, xn) เรยกวาฟงกชนเอกพนธองศา 2 เปนตน ตวอยางท 8.15 จากฟงกชนทกาหนดใหเปนฟงกชนเอกพนธองศาเทาใด
1. Q = 8x + 5y 2. Q = x2 + xy + y2 3. Z = x0.4 y0.3
4. Z = xy2
5. B = x3 + 2xy + y3
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 359
วธทา 1. Q = 8x + 5y = f(x, y) ให k เปนคาคงทบวก คณกบตวแปร x และ y ของฟงกชน ดงน f(kx, ky) f(kx, ky) = 8kx + 5ky = k(8x + 5y) ฟงกชน Q เปนฟงกชนเอกพนธองศา 1 2. Q = x2 + xy + y2 = f(x, y) f(kx, ky) = (kx)2 + (kx)(ky) + (ky)2 = k2x2 + k2xy + k2y2 = k2(x2 + xy + y2) ฟงกชน Q เปนฟงกชนเอกพนธองศา 2 3. Z = x0.4 y0.3 = f(x, y) f(kx, ky) = (kx)0.4 (ky)0.3 = k0.4 + 0.3 (x0.4 y0.3) = k0.7(x0.4 y0.3) ฟงกชน Z เปนฟงกชนเอกพนธองศา 0.7
4. Z = xy2 = f(x, y)
f(kx, ky) = )kx()ky(2
= 1 x
)y2( เพราะ
kk
= k1-1= k0
ฟงกชน Z เปนฟงกชนเอกพนธองศา 0 5. B = x3 + 2xy + y3 = f(x, y) f(kx, ky) = (kx)3 + 2(kx)(ky) + (ky)3 = k3x3 + 2k2xy + k3y3 = k2 (kx3 + 2xy + ky3 ฟงกชน B ไมเปนฟงกชนเอกพนธ เพราะคาคงท k ไมสามารถแยกองคประกอบออกมาจากฟงกชนอยางสมบรณ ยงคงม k เหลออยในฟงกชน
360 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
8.6.1 สมบตของฟงกชนเอกพนธ 1. ถา f(x1, …, xn) เปนฟงกชนเอกพนธองศาบวกเทากบ r และสามารถหาอนพนธยอยอนดบท 1 ไดเปน f1, …, fn อนพนธยอยอนดบท 1 แตละอนพนธยอยนจะเปนฟงกชนเอกพนธองศา r – 1 ดงนนอนพนธยอยอนดบท m จะเปนฟงกชนเอกพนธองศา r - m 2. ถา f(x1, …, xn) เปนฟงกชนเอกพนธองศาบวกเทากบ r และมอนพนธยอยอนดบท 1 ดวยแลวจะไดวา
x1
1xf
+ x2
2xf
+ … + xn
nxf
r f(x1, x2, …, xn)
สมบตขอท 2 นเรยกวา ทฤษฎออยเลอร (Euler’s theorem) ตวอยางท 8.16 จงหาวาฟงกชน f(x, y) = x2 + xy เปนฟงกชนเอกพนธองศาทเทาใด และเปนไปตามทฤษฎออยเลอรหรอไม วธทา f(x, y) = x2 + xy f(kx, ky) = (kx)2 + (kx)(ky) = k2x2 + k2xy = k2 (x2 + xy) ดงนน f(x, y) เปนฟงกชนเอกพนธองศา 2 การพสจนวาเปนไปตามทฤษฎออยเลอร โดยการหาอนพนธยอยอนดบหนงของฟงกชน ดงน f(x, y) = x2 + xy
xf
= x
[x2 + xy] = 2x + y
yf
= y
[x2 + xy] = x
ดงนน
x xf
+ y yf
= x (2x + y) + y(x)
= 2x2 + xy + xy = 2x2 + 2xy = 2(x2 + xy) = 2f(x, y) ดงนน ฟงกชนนเปนฟงกชนเอกพนธองศา 2 ซงเปนไปตามทฤษฎออยเลอร
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 361
ตวอยางท 8.17 กาหนดให Q = f(x, y) = 3x4 + 2x2y2 + 6y4 จงหาวาฟงกชนนเปนฟงกชนเอกพนธตามทฤษฎ ออยเลอรหรอไม วธทา เพราะวา Q = 3x4 + 2x2y2 + 6y4 หาอนพนธยอยอนดบหนงของฟงกชน Q
xQ
= x
[3x4 + 2x2y2 + 6y4]
= 12x3 + 4xy2
yQ
= y
[3x4 + 2x2y2 + 6y4]
= 4x2y + 24y3 ดงนน
x xQ
+ y yQ
= x (12x3 + 4xy2) + y(4x2y + 24y3)
= 12x4 + 4x2y2 + 4 x2y2 + 24y4 = 4 (3x4 + 2x2y2 + 6y4) = 4 f(x, y) ฟงกชนนเปนฟงกชนเอกพนธองศา 4 ตามทฤษฎออยเลอร
8.6.2 ฟงกชนเอกพนธกบผลไดตอขนาด ผลไดตอขนาด (returns to scale) เปนการอธบายถงสดสวนของการเปลยนแปลงทเพมขนในผลผลต โดยเปรยบเทยบกบสดสวนของการเปลยนแปลงทเพมขนในปจจยการผลต ซงม 3 ลกษณะ คอ 1. ผลผลตเพมขนในสดสวนมากกวาการเพมขนของปจจยการผลต เชน ผผลตเพมปจจยการผลตทกชนดในสดสวนเทากบ k แตผลผลตทผลตไดเพมขนในสดสวนทมากกวา k จะเรยกวาผลไดตอขนาดเพมขน (increasing returns to scale หรอ economics of scale) 2. ผลผลตเพมขนในสดสวนนอยกวาการเพมขนของปจจยการผลต เชน ผผลตเพมปจจยการผลตทกชนดในสดสวนเทากบ k แตผลผลตทผลตไดเพมขนในสดสวนทนอยกวา k จะเรยกวา ผลไดตอขนาดลดลง (decreasing returns to scale หรอ diseconomies of scale) 3. ผลผลตเพมขนในสดสวนเทากบการเพมขนของปจจยการผลต เรยกวาผลไดตอขนาดคงท (constant returns to scale)
362 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ผลไดตอขนาดของฟงกชนการผลต สามารถพจารณาไดจากองศาของฟงกชนการผลตทเปนฟงกชนเอกพนธ (องศา r) เมอ r > 1 เปนผลไดตอขนาดเพมขน r = 1 เปนผลไดตอขนาดคงท r < 1 เปนผลไดตอขนาดลดลง หรออาจจะกลาวไดวาฟงกชนการผลต (production function) ทเปนฟงกชนเอกพนธองศาเปน 1 มากกวา 1 และนอยกวา 1 เรยกวา ฟงกชนการผลตนนจะเปนไปตามกฎผลไดตอขนาดคงท ผลไดตอขนาดเพมขน และผลไดตอขนาดลดลง ตามลาดบ ตวอยางท 8.18 จงหาผลไดตอขนาดของฟงกชนการผลตทเปนฟงกชนเอกพนธ ดงน
1. Q = 8x + 5y 2. Q = x2 + xy + y2 3. Z = x0.4 y0.3 4. Z = xy2
วธทา 1. Q = 8x + 5y f(kx, ky) = k(8x + 5y) เปนฟงกชนเอกพนธองศา 1 หรอ r = 1 ฟงกชนการผลตมผลไดตอขนาดคงท 2. Q = x2 + xy + y2 f(kx, ky) = k2(x2 + xy + y2) เปนฟงกชนเอกพนธองศา 2 หรอ r = 2 ฟงกชนการผลตมผลไดตอขนาดเพมขน 3. Z = x0.4 y0.3 f(kx, ky) = k0.7(x0.4 y0.3) เปนฟงกชนเอกพนธองศา 0.7 หรอ r = 0.7 ฟงกชนการผลตมผลไดตอขนาดลดลง
4. Z = xy2
f(kx, ky) = 1x
)y2( หรอ k0
x)y2(
เพราะ kk
= k1-1= k0
เปนฟงกชนเอกพนธองศา 0 หรอ r = 0 ฟงกชนการผลตมผลไดตอขนาดลดลง
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 363
แบบฝกหดบทท 8 1. กาหนดใหเงอนไขดลยภาพของรายไดประชาชาต คอ S(Y) + T(Y) = I(Y) + G0
เมอ S, T, I, > 0 และ S+ T> I S, Y, T, I, G หมายถง การออม รายไดประชาชาต ภาษ การลงทน และการใชจายภาครฐ ตามลาดบ และอนพนธทงหมดตอเนอง จงแปลความหมายเชงเศรษฐศาสตรของอนพนธ S, T และ I 2. กาหนดฟงกชนอปสงคและฟงกชนอปทานของสนคาชนดหนงเปนดงน Qd = D (P, Y0) (DP < 0 ;
0YD > 0)
QS = S (P, T0) (SP > 0 ; 0TS < 0)
เมอ Y0 คอรายได และ T0 คอ ภาษของสนคานและอนพนธทงหมดตอเนอง 2.1 เขยนเงอนไขดลยภาพในลกษณะสมการเดยว 2.2 ตรวจสอบการประยกตใชทฤษฎของฟงกชนโดยปรยายสามารถนาไปประยกตใชไดหรอไม ถาใชไดใหเขยนคาดลยภาพ
2.3 จงหา 0dY
Pd และ
0dTPd
และอภปรายเชงเศรษฐศาสตร
3. จากสมการ Y = βδβ
βγα
1GI 00
จงหาอนพนธยอยของ 0I
Y
, αY
และแปลความหมายของอนพนธยอยดงกลาว พรอมระบเครองหมาย
4. แบบจาลองปจจย-ผลผลต ระบบเปด ดงน
3
2
1
x
x
x
=
8.03.01.0
2.09.04.0
2.03.08.0
3
2
1
d
d
d
4.1 อนพนธเชงสถตยเปรยบเทยบสามารถหาไดกจานวน 4.2 เขยนอนพนธเหลานนในรปสมการ 8.11 และ 8.12
364 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
5. จงหา ฟงกชนสวนเพม และฟงกชนคาเฉลย จากฟงกชนทงหมด และหาคาเมอ Q = 3 และ Q = 5 5.1 TC = 3Q2 + 7Q + 12 5.2 TR = 12Q – Q2 6. กาหนดใหฟงกชนอปทาน P = f(Q) = Q2 + 0.5Q + 3 และรายจายทงหมด (Total Expense หรอ TE) เทากบ ผล
คณของ P และ Q จงหาฟงกชนรายจายสวนเพม (ME) และหาคาของรายจายสวนเพม เมอ Q = 5 7. จงหาฟงกชนรายรบสวนเพม เมอกาหนดใหฟงกชนอปสงค Q = f(P) = 36 – 2P และหาคาของ MR เมอ Q = 10 8. จงหาฟงกชนตนทนสวนเพมจากฟงกชนตนทนเฉลยทกาหนดใหตอไปน
8.1 AC = 1.5Q + 4 + Q46
8.2 AC = Q
160 + 5 – 3Q + 2Q2
(ขอเสนอแนะ ตองหาฟงกชนตนทนทงหมดกอนจากความสมพนธของ AC = Q
TC)
9. จงหาความยดหยนของฟงกชนตอไปน 9.1 Q = 75 – 5P เมอ P = 4 และ 6 บาท ตามลาดบ 9.2 8Q + 2P = 56 เมอ P = 2 และ 3 บาท ตามลาดบ 10 จงหาความยดหยนของอปทาน เมอราคาขายตอหนวยเทากบ 10 10.1 Q + 2 – 0.8P = 0 10.2 Q = -3 + 1.5P 11. จงพสจนวาฟงกชนอปสงคทเปนฟงกชนเชงเสน มรปแบบฟงกชนเปน P =f(Q) 11.1 d = 1 ทจดกงกลางของเสนอปสงค 11.2 d > 1 ทจดเหนอกวาจดกงกลางของเสนอปสงค
คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 365
12. จากภาพ เมอกาหนดให P = f(Q) จงหาความยดหยนของฟงกชนทจด A
13. จงหาคาสวนเพมตอไปน 13.1 กาหนดให TC = Q2 + 3Q + 15 จงหา MC 13.2 กาหนดให AR = Q2 + 4Q + 2 จงหา MR 13.3 กาหนดให TP = 60L2 - L3 จงหา MP ท L = 10 13.4 กาหนดให TU = Q3 + 4Q2 + Q + 5 จงหา MU ท Q = 2 13.5 กาหนดใหฟงกชนอปทาน P = f(Q) = Q2 + 4Q + 1 จงหาฟงกชนรายไดสวนเพม 14. จงหาฟงกชนความยดหยนของอปสงคตอราคา เมอกาหนดฟงกชนอปสงค ดงน 14.1 Q = f(P) = 40 – 2P 14.2 P = f(Q) = 5 – 2Q ถา P = 10 บาท จงคานวณหาคาความยดหยนของอปสงคตอราคาของฟงกชนอปสงคทง 2 15. ถา Q = f(Y) = 40 + 0.2Y จงคานวณหาคาความยดหยนของอปสงคตอรายไดเมอรายไดเปน 1,000 บาทตอเดอน 16. จงหาฟงกชนของความยดหยนไขวของฟงกชนตอไปน และหาคาความยดหยนไขว เมอกาหนดให P2 = 10 และ P1 = 5 16.1 Q1 = 60 - 2P2 16.2 Q2 = 40 + 4P1 17. กาหนดใหฟงกชนอปทาน Q = f(P) = 50 + 4P จงหาฟงกชนความยดหยนของอปทานตอราคา
และเมอ P = 10 บาทตอหนวย จงหาคาความยดหยนของอปทานตอราคา
A
S
Q B C O
P
366 คณตศาสตรพนฐานสาหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
18. กาหนดให Q1 = 500 - 2P1 - 5P2 + 0.1Y และ P1 = 50 P2 = 20 Y = 12,000 จงหา 18.1 ความยดหยนยอยของอปสงคตอราคา 18.2 ความยดหยนยอยของอปสงคตอรายได 18.3 ความยดหยนยอยไขวของอปสงค 19. กาหนดให Q1 = 200 - P1 + 0.5P2 - 0.75P3 + 0.075Y และ P1 = 30 P2 = 40 P3 = 20 และ Y = 1,000 จงหา d , 12 , 13 , y 20. กาหนดให Q = 700 – 2P + 0.02Y เมอ P = 25 และ Y = 5,000 จงหาความยดหยนยอยของอปสงคตอราคา และความยดหยนยอยของอปสงคตอรายได 21. จงหาวาฟงกชนการผลตตอไปนเปนฟงกชนเอกพนธองศาทเทาใด และมผลไดตอขนาดเปนแบบใด
21.1 Q = x2 + 4xy + 5y2 21.2 Q = x3 – 2xy2 + 3y3 + x2y 21.3 Q = 2
2
y4x3
22. จงหาองศาของฟงกชนเอกพนธตอไปน 22.1 Q = 3x3 + 5xy2 + y3 22.2 Q – 25y6 – x2y4 = 0 22.3 Z = 4x3 + x2y – 3xy2 – 5y3 22.4 Z = 3x2 + 4xy – 10y3 22.5 Z = 3x2y – 4xy2 + y3 + 8
23. จงหาประสทธภาพในการผลตสวนเพมในฟงกชนการผลตตอไปน 23.1 Q – 5xy + 2x2 + 2y2 = 0 เมอ x = 1, y = 2 23.2 Q = 3x3 + 5xy2 + y3 เมอ x = 2, y = 1
ภาคผนวก
368 คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ตวอกษรกรก
ตวอกษรเลก ตวอกษรใหญ ชอ
alpha แอลฟา beta บตา gamma แกมมา , delta เดลตา
epsilon เอปไซลอน zeta ซตา eta อตา theta ทตา iota ไอโอตา kappa แคปปา lambda แลมปดา mu มว nu นว xi ไซ omicron โอไมครอน pi พาย rho โร sigma ซกมา tau เทา upsilon อปไซลอน phi ฟาย chi ไค psi ซาย omega โอเมกา
คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 369
ดรรชน
ก กฎของการหาคาเชงอนพนธ 279 กฎของอนพนธ 233 กฎลกโซ 246 กราฟสมมาตร 52 กราฟไฮเปอรโบลา 48 การกระจายของลาปลาส 121-126
โคเฟกเตอร 121 ไมเนอร 121
การแกระบบสมการเชงเสน 143-158 วธของเกาส-จอรดอง 144 วธเมทรกซผกผน 148 วธของคราเมอร 152
การด าเนนการของเซต 15-20 ยเนยน 15 อนเตอรเซกชน 16 ผลตางของเซต 17 สวนเตมเตม 18 สมบตเกยวกบการด าเนนการของเซต 18
การเทากนของเมทรกซ 69 การเทากนทกประการ 5 การบวกและลบเมทรกซ 69 การปฏบตการของเวกเตอร 86-94
การบวกและลบเวกเตอร 91 การคณเวกเตอร 86 การรวมกนเชงเสนของเวกเตอร 92
การวเคราะหดลยภาพทางเศรษฐศาสตร 6-7
การวเคราะหเชงสถตย 7 การวเคราะหเชงสถตเปรยบเทยบ 7 การวเคราะหเชงพลวต 7
ข
ขนาดของเมทรกซ 64 ค
คาคงท 5 คาล าดบชนของเมทรกซ 110 คาเชงอนพนธ 262 คาเชงอนพนธยอย 277 คาเชงอนพนธรวม 277 คอนดบ 21 ความตอเนองของฟงกชน 218 ความไมเปนอสระเชงเสน 94 ความไมตอเนองของฟงกชน 218 ความยดหยน 341,349,350 ความยดหยนยอย 352 ความสมพนธ 25-31
โดเมนของความสมพนธ 29 เรนจของความสมพนธ 29
ง
เงอนไขจ าเปน 104 เงอนไขเพยงพอ 105
370 คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
จ จตภาค 23 จาโคเบยนดเทอรมแนนต 298-305
ซ
เซต 9 เซตก าลง 13 เซตจ ากด 11 เซตทเทากน 11 เซตทไมมสมาชกรวมกน 13 เซตยอย 11 เซตยอยแท 12 เซตวาง 10 เซตอนนต 11
ด
ดเทอรมแนนต 116 ดเทอรมแนนตอนดบหนง 116 ดเทอรมแนนตอนดบสอง 116 ดเทอรมแนนตอนดบสาม 118 ดลยภาพทวไปของตลาดสนคา 182-187
แบบจ าลองตลาดสนคา 2 ชนด 183 แบบจ าลองตลาดสนคา n ชนด 186
ดลยภาพรายไดประชาชาต 189-192 ดชนลาง 5, 63 ดลยภาพสวนยอยของตลาด 169-182
แบบจ าลองเชงเสน 169 แบบจ าลองไมใชเชงเสน 177
ต ตวแปร 4-5
ตวแปรภายนอก 4 ตวแปรภายใน 4 ตวแปรอสระ 40 ตวแปรตาม 40
ท
ทฤษฎของลมต 212 ทฤษฎออยเลอร 360
น
แนวคดสวนเพม 332 บ
แบบจ าลองตลาด 309, 317 แบบจ าลองตลาดทวไป 192 แบบจ าลองทางเศรษฐศาสตร 3 แบบจ าลองปจจย-ผลผลต 314 แบบจ าลองปจจย-ผลผลตของลอองเทยฟ 197-207
โครงสรางของแบบจ าลอง 197 แบบจ าลองระบบเปด 199 แบบจ าลองระบบปด 206
แบบจ าลองรายไดประชาชาต 193, 313, 326 แบบจ าลอง IS-LM 195, 322
คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 371
ป
ปฏบตการของเมทรกซ 82 ปรมาณดลยภาพ 175
ผ
แผนภาพเวนน 13 ผลคณคารทเซยน 23 ผลไดตอขนาด 361 ผลผลตทางกายภาพสวนเพมของปจจยการผลต 356
พ
พารามเตอร 4 พชคณตของเมทรกซ 69-76
การบวกและการลบเมทรกซ 69 การคณเมทรกซดวยคาคงท 71 การคณเมทรกซดวยเมทรกซ 71-76
ฟ
ฟงกชน 33 โดเมนของฟงกชน 41 เรนจของฟงกชน 41
ฟงกชนก าลงสอง 46 ฟงกชนก าลงสาม 47 ฟงกชนคงตว 45 ฟงกชนเชงเสน 45 ฟงกชนชดแจง 290 ฟงกชนโดยปรยาย 290 ฟงกชนตรรกยะ 48, 243
ฟงกชนผกผน 250 ฟงกชนพหนาม 44, 233 ฟงกชนเพม 251 ฟงกชนลด 251 ฟงกชนลอการทม 51, 253 ฟงกชนเอกซโปแนนเชยล 49, 258
ม เมทรกซ 63 เมทรกซโคโนนเคล 83 เมทรกซโคเฟกเตอร 139 เมทรกซจตรส 65 เมทรกซตวตาม 71, 88 เมทรกซตวน า 71, 88 เมทรกซแตงเตม 144 เมทรกซแถว 64 เมทรกซทแยงมม 68 เมทรกซผกผน 101, 141 เมทรกซผกพน 139 เมทรกซไมใชเอกฐาน 101, 104, 136 เมทรกซศนย 65 เมทรกซสดมภ 64 เมทรกซสมมาตร 67 เมทรกซสลบเปลยน 67, 96 เมทรกซเอกฐาน 101 เมทรกซเอกลกษณ 66 เมทรกซเอชลอน 84
372 คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
ร ระบบจ านวนจรง 9 ระนาบพกดฉาก 23 ราคาดลยภาพ 175 เรเดยสเวกเตอร 89
ล
ลมต 210 ลมตเกยวกบอนฟนต 214-220
ว
เวกเตอรแถว 65, 73 เวกเตอรสดมภ 65, 73
ส
สมการในแบบจ าลอง 5-6 สมการเงอนไขดลยภาพ 6 สมการพฤตกรรม 5 สมการเอกลกษณ 5
สมบตการเปลยนกลม 19, 77, 78 สมบตการสลบท 19, 76, 78 สมบตของดเทอรมแนนต 126 สเกลาร 71 สมประสทธของตวแปร 4 เสนซเคนท 230 เสนทแยงมมหลก 66 เสนสมผส 230
เสนอปทาน 171 เสนอปสงค 170
อ
อนพนธของฟงกชน 227 อนพนธของฟงกชนโดยปรยาย 290 อนพนธรวม 283 อนพนธยอย 271 อนพนธยอยไขว 275 อนพนธยอยอนดบทสอง 274 อนพนธอนดบสงกวาอนดบหนง 261 เอกภพสมพทธ 9 เอเลยนโคเฟกเตอร 135
คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 373
เฉลยแบบฝกหด แบบฝกหดบทท 1 1. การใชคณตศาสตรส าหรบการวเคราะหทางเศรษฐศาสตรเปนการใชสญลกษณทางคณตศาสตรแทนการก าหนด
เปนขอความของปญหาทางเศรษฐศาสตร แลวน าความรทางทฤษฎ หลกเกณฑและวธการคณตศาสตรตางๆ มาใชในการวเคราะหอยางมเหตผล
2. ตวแปร หมายถง ตวอกษรหรอเครองหมายสญลกษณทก าหนดขนมาใหเปนสงทมคาแปรเปลยนไดไมคงท เชน ราคาสนคา ก าไร รายรบ ตนทนการผลต การลงทน
3. ตวแปรภายนอก คาของตวแปรจะถกก าหนดขนจากภายนอกสมการของแบบจ าลอง ตวแปรภายในสามารถหาคาไดจากการแกสมการภายในแบบจ าลอง
4. 4.1 0.84 หมายถง คาความโนมเอยงสวนเพมในการบรโภคหรอ MPC 4.2 b หมายถง ความชนของสมการเชงเสน แบบฝกหดบทท 2
1. 1.1 A = 31, 32, … 1.3 C = 2, 4, 6, … A = X R 30 < X C = X I+ X เปนจ านวนค 1.2 B = 16, 17, …, 49 1.4 D = 6, 7, 8, 9, 10 B = X R 15 < X < 50 D = X I 5 X 10 2. 2.1 ไมจรง 2.4 ไมจรง 2.7 ไมจรง 2.2 ไมจรง 2.5 จรง 2.8 จรง 2.3 ไมจรง 2.6 จรง 2.9 ไมจรง 3. 3.1 2, 4, 6, 7 3.3 2, 6 3.5 2 3.2 2, 4, 6 3.4 2 3.6 2, 4, 6 4. 4.1 ถก 4.4 ถก 4.7 ไมถก 4.2 ถก 4.5 ถก 4.3 ถก 4.6 ถก
374 คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
5. AB = 3, 4, 5, 6, 7 AC = 2, 3, 4, 5, 6 BC = 2, 3, 4, 6, 7 AB = 4, 6 AC = 6 BC = 3, 6 6. 6.1 A B = (3, a), (3, b), (6, a), (6, b), (9, a), (9, b) 6.2 B C = (a, m), (a, n), (b, m), (b, n) 6.3 C A = (m, 3), (m, 6), (m, 9), (n, 3), (n, 6), (n, 9) 7. A B B A แตจะเทากนกตอเมอ A = B 8. Df = 1, 2, 3, 4 Rf = 8, 11, 14, 17 9. เรนจ คอ เซตของจ านวนจรงทไมเปนลบ 10. 10.1 Df = -1, -2, 0, 4 10.4 Dn = x R Rf = 1, 2, 3 Rn = y R 10.2 Df = x R 10.5 Df = x R Rf = y R Rf = y = 6 10.3 Dg = x R x 5 Rg = y R y 0
11. 11.1 r1 = (4, 2), (5, 3)
11.2 r2 = (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5) 11.3 r3 = (5, 2)
คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 375
12. 12.1 กราฟของ r1 เปนพาราโบลาหงาย
12.2 กราฟของ r2 เปนเสนตรง
13. 13.1 กราฟเสนตรงลาดขน 13.2 กราฟเสนตรงลาดลง 13.3 กราฟเสนตรงลาดขน 14. กราฟ 13.1 ลาดขนโดยล าดบ แตกราฟ 13.2 ลาดลงโดยล าดบ กราฟ 13.1 และกราฟ 13.2 ลาดขนโดยล าดบและขนานกน 15. 15.1 และ 15.2 เปนกราฟโคงหงาย 16. กราฟไฮเปอรโบลา เมอ x, y > 0 กราฟจะอยในจตภาค 1 เมอ x, y < 0 กราฟจะอยในจตภาค 3 แบบฝกหดบทท 3
1. 1.1
79
24 1.2
80
24 1.3
2718
312 1.4
624
1816
2. 2.1 AB =
813
06
6428
BA = ไมสามารถหาคาได
2.2 BC =
3069
414 CB =
2421
1620
3. 3.1
316
2036
10
3.2
112
549
376 คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
4. wx, xy, xy หาคาไมได
xy =
2212
2211
yxyx
yxyx yy = [y1
2 + y22]
zz =
2
21
21
2
1
zzz
zzz yw =
222
111
y16y2y3
y16y2y3
5. ใหทบทวนการเขยนกราฟกรณการคณเวกเตอรดวยสเกลาร การบวกและลบเวกเตอร
6. (A + B) + C =
1711
175 A + (B + C) =
1711
175
7. A (BC) =
5575
68250 = (AB) C
8. 8.1 AI = IA = A 8.2 Ab =
12
39 = AIb
Ix = x xIA = xA = [-x1 8x1-2x2 7x1+4x2] xI = x = [x1 x2]
9. A =
34
12 B =
18
03 C =
19
10
61
10. ทดสอบโดยใชสมบตของเมทรกซผกผน โดย A และ B เปนเมทรกซจตรส และ AB = BA = I แสดงวา B เปนเมทรกซผกผนของ A 11. 11.1 p q 11.4 p q 11.2 p q 11.5 p q 11.3 p q
คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 377
แบบฝกหดบทท 4 1. 1.1 0 1.6 66 1.2 26 1.7 -198 1.3 -33 1.8 -24 1.4 450 1.9 -6 1.5 หาคาไมได 1.10 0 2. 2.1 705 2.3 -6 2.5 36 2.2 -78 2.4 0 2.6 32 3. ด าเนนการตามสมบตของดเทอรมแนนต 4. 4.1 51 4.2 0 4.3 0 4.4 -8
5. 5.1 A-1 =
105
25
1 D =
310
216
71
B-1 =
21
29
01 E =
21
61
4815
487
C =
4
128
34
128
1 F =
307
51
309
3012
5.2 A-1 =
826
84
86
85
84
81
83
82
83
C =
010
100
001
B =
141
1440
141
146
1410
143
1420
D =
100
010
001
378 คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
6. 6.1 x1 = 5 6.3 x1 = 3 x2 = 2 x2 = 0 6.2 x1 = -15 6.4 x1 = 1 x2 = 18 x2 = 1
7. 7.1 A-1 =
7
37
27
27
1 7.3 A-1 =
111
114
113
111
7.2 A-1 =
81
71 7.4 A-1 =
81
681
781
981
3
8. 8.1 x1 = 2 x2 = 1 x3 = 0 8.2 x1 = 18
92 x2 = 1832 x3 = 18
16
8.3 x = 0 y = 5 z = 4
8.4 x = 2
cb y =
2
ca z =
2
ba
9. ค าตอบเหมอนขอ 8 แบบฝกหดบทท 5 1. 1.1 P = 30 Q = 70
1.2 P = 10 Q = 38 1.3 P = 17 Q = 91
2. P = 6 Q = 7 3. PB = 5 QB = 70 PP = 3 QP = 90
คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 379
4. PS = 40 QS = 60 PJ = 75 QJ = 30 5. 5.1 P = 1 Q = 2 5.2 P = 3 Q = 1 6. 1P = 17
57 1Q = 17194
2P = 1759 2Q = 17
143
7. Y = 1000
8. Y = )t1(b1
]bdaGI[ 00
C = )t1(b1
)GI)(t1(bbda 00
T = )t1(b1
]bdaGI[td 00
9. x1 = 69.53 ลานบาท x2 = 57.03 ลานบาท x3 = 42.58 ลานบาท 10. 55 ลานบาท แบบฝกหดบทท 6 1. 1.1 7 1.2 17 2. 2.1 -4 2.2 14
380 คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
3. 3.1 3 3.4 -7 3.2 6 3.5 7 3.3 8 4. 4.1 5
4 4.3
4.2 54 4.4 -
5. 5.1 ตอเนอง 5.2 ตอเนอง 5.3 ไมตอเนอง
6. 6.1 0 6.5 -2a 2
1
6.9 24x-3 6.2 6x5 6.6 5 6.10 -5x-2
6.3 20x3 6.7 8 6.11 4x 2
1
6.4 -2a0 6.8 -15x2 6.12 6x 3
2
7. ขอ 7.1 – 7.5 f(1) = 0 และ f(2) = 0 8. 8.1 81x2 + 18x + 6 8.4 75x4 – 140x3 8.2 54x2 + 78x - 70 8.5 14x13 + 80x7 + 48x5 8.3 12x2 + 12x
9. 9.1 35x6 – 18x5 9.3 22
2
)3x7x2(
x90x315
9.2 2
54
)x31(
x48x20
10. 10.1 48x3 (3x4 + 5)3 10.3 4(x2 + 3x + 1)3 (2x + 3) 10.2 21(7x + 9)2
คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 381
11. 11.1 136 11.3 336 11.5 25615
11.2 2754 11.4 1296 11.6 8448
12. f(y) = 7
1 เปน increasingly function
13. 13.1 x
3 13.4
5x8x3
8x62
13.2 )x1(
1
13.5
)1x(x
22
13.3 )4x(
2
14. 14.1 2e2x 14.2 5x2 e5x + 2x e5x 14.3 x
1ex +nx ex
15. 15.1 (3x2 + 8x – 6) dx 15.2 (8x – 20) dx 15.3 (3x2 + 2x) dx 16. y = 14.956 แบบฝกหดบทท 7 1. 1.1 f1 = 2
21
2
1 xx6x18 1.4 zx = 7 + 6y2 f2 = 4
22
2
1 x35xx6 zy = 12xy – 27y2 1.2 f1 =
21
2
1 xx4x12 1.5 zx = 4u + 6x – 7y f2 = 4
2
2
1 x35x2 zy = -7x – 16y 1.3 zx = 6x2 – 20xy zx = 6u + 4x zy = -10x2 + 6y
2. 2.1 zx = 2(y – 2) 2.4 fx = 216x – 30y zy = 2x + 3 fz = -30x – 16y
382 คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
2.2 zx = 5(y – 2) 2.5 fx = 30x2 – 8xy3 + 25y zy = 5x + 3 fy = 12x2y2 – 40y3 + 25x 2.3 fx = 45x2 + 7z Fz = 21x2
3. 3.1 fx = 2)y7x6(
y35
3.4 fx = 2
22
)y2x3(
y3xy4x3
fy = 2)y7x6(
x35
fy = 2
22
)y2x3(
y2xy6x2
3.2 fx = )y3(
1 3.5 fx =
2)yx(
y5
fy = 2)y3(
x3 fy =
2)yx(
x5
3.3 fx = 2)y2x5(
y53
3.6 fx = 2
2
)xy(
yyx
fy = 2)y2x5(
y53
fy = 2
2
)xy(
)1x(x
4. 4.1 fx = 2x + 2y 4.3 fx = 196x3 + 112y3x fy = 2x + 2y fy = 168x2y2 + 96y5 4.2 fx = 24x2 – 96xy + 96y2 fy = -48x2 + 192xy – 192y2 5. 5.1 fxx = 2 fyy = 2 fxy = 2 5.2 fxx = 6x fyy = -18y fxy = -8 5.3 fxx = 12y fyy = 12xy fxy = 12 5.4 fxx = 200 fyy = 98 fxy = -140
คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 383
6. 6.1 dz = (4x + y) dx + (x – 6y2) dy 6.2 dz = (2 + 8y) dx + (8x + 2y) dy 6.3 dz = (15x2 – 10y) dx – (10x +
30y4) dy
6.4 dy = 21x2z2dz + 14xz3 dx 6.5 dy = (72x2 – 42xz) dx – 21x2 dz
6.6 dz = 2)yx(
y
dx -
2)yx(
x
dy
6.7 dz = 2
2
)yx(
y2
dx +
2
2
)yx(
x2
dy
6.8 du = 2
32
)yx(
y18xy27(
dy - 2
3
)yx(
y9
dx
7. 7.1 5 + 9x2 – 36x3 7.2 12x+315x2 + 588x3 7.3 50x + 1080 8. 8.1 -6 8.2 -4 8.3 2x + 6
9. 9.1 )y15x2(
)y2x6(2
9.3
)y32xy4(
)y2x14(3
2
9.2 15x4 9.4 2
9x2
10. 10.1 xy
=
)xzyx3(
)yzxy2(22
3
10.2
xy
=
)xz4y3(
)yz4zx3(2
22
zy
=
)xzyx3(
)xyz2(22
zy
=
)xz4y3(
)xy4zx2(2
3
11. 11.1 J = 0 11.2 J 0
384 คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
แบบฝกหดบทท 8 1. ตวทวการออม ตวทวภาษ และตวทวการลงทน 2. 2.1 Qd = QS 2.2 P = P (Y0)
2.3 0dY
Pd =
P/SP/D
Y/D 0
และ
0dTPd
= 0
0
T/SP/D
T/S
3. 0I
Y
=
βδβ1
1
=
α
Y
4. 4.1 และ 4.2 1d
X
=
1.0
4.0
8.0
2d
X
=
3.0
9.0
3.0
3d
X
=
8.0
2.0
2.0
5. 5.1 MC = 6Q + 7 แทนคา Q = 3 และ 5
AC = 3Q2 + 7 + 12
Q
5.2 MR = 12 – 2Q แทนคา Q = 3 และ 5 AR = 12 – Q 6. ME = 2Q2 + Q + 3 = 58
7. MR = 18Q - Q2
2 = 130
คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร 385
8. 8.1 MC = 3Q + 4 8.2 MC = 5 – 6Q + 6Q2
9. 9.1 11
4 และ
3
2 9.2
13
1 และ
25
3
10 10.1 1.33 10.2 1.25 11. วธการพสจนตามตวอยางท 8.8 12. วธการพสจนตามตวอยางท 8.7 13. 13.1 MC = 2Q + 3 13.4 MU = 29 13.2 MR = 3Q2 + 8Q + 2 13.5 MR = 3Q2 + 8Q + 1 13.3 MP = 800 14. 14.1 -1 14.2 2
15. 6
5
16. 16.1 2
1 16.2 1
17. 9
4
18. 18.1 15
1 18.2 0.8 18.3
15
1
386 คณตศาสตรพนฐานส าหรบการศกษาเศรษฐศาสตร
19. 25
3,
25
2,
50
3 และ 0.3
20. 15
1 และ
15
2
21. 21.1 องศา 2 ผลไดตอขนาดเพมขน 21.2 องศา 3 ผลไดตอขนาดเพมขน 21.3 องศา 0 ผลไดตอขนาดลดลง 22. 22.1 องศา 3 22.4 ไมเปนฟงกชนเอกพนธ 22.2 องศา 6 22.5 ไมเปนฟงกชนเอกพนธ 22.3 องศา 3 23. 23.1 MPx = MPy = 6 23.2 MPx = 17 MPy = 23