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Problema resuelto
F6
F3F2
A
F1
B
F5
F4
Z
F7Y
X
Barra AB
Dimensiones en centímetros
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Problema resuelto
La barra AB esta sometida a siete fuerzas, talcomo se muestra en la figura, asumiendo que elpunto “S” en el empotramiento es el crítico y quedebido a las condiciones de temperatura, sujecióny concentración de esfuerzos se producen:
σy=350 Kpa yz=-180 KPa σz=300KPa
Si E=210 GPa y =0,25 determine
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
a) La dirección del plano respecto a RST, queposee el siguiente esfuerzo resultante
b) Usando el círculo de Mohr, el estadoresultante de esfuerzo y deformación, sobre unplano que la normal posee 17,56º con R;72,56º con S y 88,20º con T
kjisˆ004,426ˆ781,210ˆ56,177
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Matriz de los cosenos directores entre XYZ y RST
X Y Z
R -0,404 0,017 0,914
S -0,752 -0,575 -0,322
T 0,520 -0,818 0,245
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Fuerzas
F1 = 10 KN F2 = 10 KN F3 = 18 KN F4 = 12 KN F5 = 20 KN F6 = 7 KN F7 = 13 KN
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Sección transversal de la barra AB
105 555 10551010
5
55
5
55
2,52,52,52,5
Z
Y
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
s
Fuerzas y momentos sobre la sección transversal de la barra AB
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
My1+My2
Mz3+Mz6
Mz4+Mz5+Mz7
F3+F4
z
y
Área de la sección transversal
222,0
103020510524070
mA
xxxxA
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Parte a
Momentos de inercia de la sección transversal
43
23333
43
23333
10508,10
25105121052
122052
123010
127040
103896,3
5,12520125202
125102
121030
124070
mxI
xxxxxxI
mxI
xxxxxxI
z
z
y
y
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
33
33
1025,9
5,172051525102
10625,20
5,32555,175525205,25,2225152
mxQ
xxxxxYAQ
mxQ
xxxxxxxxYAQ
z
zz
y
yy
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo normal
KPa
xxxx
xxxxx
ICM
ICM
AF
x
x
y
zy
z
yzxx
262,335
103896,31010104
10508,101010105,8
22,01030
3
23
3
233
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos cortantes
KPa
xxxxxx
bIVQ
KPaxxxxxx
bIVQ
xz
yy
zzxz
xy
zz
yyxy
157,109
1050103896,310201025,9
163,255102010508,10102610625,20
23
33
23
33
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Tensor de esfuerzo referido al sistema XYZ
000,300000,180157,109000,180000,350163,255157,109163,255262,335
XYZij
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Transformación de ejes
tijijijij
ij
aa
a
XYZRST
245,0818,0520,0322,0575,0752,0914,0017,0404,0
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Tensor de esfuerzos referido al sistema RST
4346,4428,292227,39428,292106,164799,102227,394799,102287,106
RSTij
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
º605,0º457071,0
º605,0
ˆˆ 1
nm
l
obtienesedondede
nn sijijs RSTRST
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Los cosenos l,m, y n, también pueden ser hallados aplicando el siguiente sistema de ecuaciones
nmlS
nmlS
nmlS
zyzxzz
zyyxyy
zxyxxx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Sustituyendo se tiene:
004,4264346,4428,292227,394
781,210284,292106,164799,102
56,177227,394799,102287,106
nml
nml
nml
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtiene:
º605,0
º457071,0
º605,0
n
m
l
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
222
3
2222
1
2 RSTRTSSTRSTRTRSTSR
STRTRSTRTSSR
TSR
I
I
I
4346,44106,164287,1061 I
Sustituyendo los valores se tiene
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Parte b
222
2
28,292227,394799,102
4346,44287,1064346,44106,164106,164287,106
I
2223
199,1024346,44227,394106,16428,292287,106
28,292227,394199,10224346,44106,164287,106
I
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
KPaI
KPaI
KPaI
91,57968851
3642,221879
8276,314
3
2
1
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Entonces los valores de los invariantes de esfuerzo son
Sustituyendo los valores de los invariantes obtenidos anteriormente se tiene:
091,579688513642,2218798276,314 23 iii
KPaKPaKPa
3433,4540452,2421257,527
3
2
1
De donde se obtiene
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
0322
13 III iii
Para hallar los esfuerzos principales se hace uso de la ecuación:
22221
331
232
1
CCC
22221
331
232
1
RRR
Para hallar los centros y radios de los círculosde Mohr se hace uso de las ecuacionessiguientes
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
KPaC
KPaC
KPaC
5855,3842
0452,2421257,527
3912,362
4233,4541257,527
1491,1062
3433,4540542,242
3
2
1
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Sustituyendo los valores correspondientes se tiene que
905,1422
0452,2421257,527
7345,4902
3433,4541257,527
1943,3482
3433,4540452,242
3
2
1
R
KPaR
KPaR
Sustituyendo los valores correspondientes se tiene que
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
KPaCKPaC
KPaC
5855,3843912,361491,106
3
2
1
KPaRKPaRKPaR
905,1427345,4901943,348
3
2
1
Los centros y radios de los círculos de Mohr son entonces:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Direcciones principales
STRT
iRRSi
RTiT
RSTSi
iTST
TSiSi
C
BA
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
227,3941257,527106,16428,292799,102
1257,5274346,44799,102227,39428,292
28,29228,2921257,5274346,441257,527106,164
1
1
1
C
xB
xA
07,11306650,6560488,89798
1
1
1
CBA
Sustituyendo y resolviendo los determinantes se obtiene
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
21
21
21
11
21
21
21
11
21
21
21
11
CBACN
CBABM
CBAAL
7129,0
4137,0
5667,0
1
1
1
N
M
L
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Direcciones principales para el eje 1
227,3940452,242106,16428,292799,102
0452,2424346,44799,102227,39428,292
28,29228,2920452,2424346,440452,242106,164
2
2
2
C
xB
xA
6453,6794955,949109863,70025
2
2
2
CBA
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Direcciones principales para el eje 2
Direcciones principales para el eje 2
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
CBACN
CBABM
CBAAL
0058,0
8047,0
5937,0
2
2
2
N
M
L
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
227,3943433,454106,16428,292799,102
3433,4544346,44799,102227,39428,292
28,29228,2923433,4544346,443433,454106,164
3
3
3
C
xB
xA
5039,273855
5369,166498
2447,223041
3
3
3
C
B
A
Direcciones principales para el eje 3Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
23
23
23
33
23
23
23
33
23
23
23
33
CBACN
CBABM
CBAAL
7014,0
4264,0
5712,0
3
3
3
N
M
L
Direcciones principales para el eje 3Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Direcciones del plano al que se va a referir el círculo de Mohr
0314,020,88cos3002,053,72cos9534,056,17cos
nml
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
nnnN
nnnMnnnL
ˆˆcos3,cosˆˆcos2,cos
ˆˆcos1,cos
3
2
1
Para hallar las nuevas direcciones se hace uso de:
º4131,496506,0*º9232,1083243,0*
º65,466864,0*
NML
Con las ecuaciones anteriores obtenemos entonces
Direcciones del plano al que se va a referir el círculo de Mohr
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Constante de Lame
73911
109
1049,7108276,3141021025,02121
104,825,02125,01
25,010210211
xxx
IE
J
xxE
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
3
49,4131°
12C2C1
J1
46,65°
C3
s
t
n
/2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
2Gn
Coordenadas del punto solución
KPa
KPa
KPa
s
t
n
470
460
85
mmx
mmx
mmx
s
n
/107407,2
/107381,22
/101905,1
6
6
7
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación