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Air Systems Division

Géométrie, médiane et diffusion de spectres de fréquences acoustiques : Ou Comment "médianiser" ou "diffuser" des morceaux de musiquesF. Barbaresco

Air Systems Division2

L’Orateur Frédéric BARBARESCO ([email protected])

Expert au département « Strategy Technology & Innovation » de la BL « Surface Radar » de la division « Air Systems » du groupe THALES (Domaine d’expertise : les senseurs radar cognitifs et le traitement avancé du signal radar, en particulier la refondation du traitement du signal radar sur la géométrie de l’information et la géométrie des matrices de covariance)

En charge de la coordination des thèses au sein de la BL Membre du THALES KTD PCC (Key Technology Domain, Processing Control & Cognition) présidé par J.F.

Marcotorchino (Directeur scientifique de THALES Land & Joint, enseignant à Paris 6) Animateur du groupe MATHERON des experts THALES en traitement d’image Membre Senior SEE, médaille Ampère 2007 et président du club SI2D (Signal, Image, Information & Décision) :

www.see.asso.fr Président du comité d’organisation de la conférence SEE Internationale COGIS (COGnitive systems with

Interactive Sensors) avec Daniel Krob (X : Chaire Thales « Systèmes Complexes ») : www.cogis2009.org Organisation de la journée 2009 SEE/Académie des Sciences «Traitement de l'information : avancées et

défis actuels » (pour les 125 ans de la SEE) : http://www.academie-sciences.fr/conferences/colloques/colloque_html/colloque_27_01_09.htm

Membre du comité d’organisation de la conférence internationale MIA (Mathematic & Image Analysis) sponsorisée par THALES et présidé par L. Cohen & G. Peyré (CEREMADE, GDR MSPC), qui aura lieu à l’Institut Henri Poincaré en Décembre 09 : http://www.ceremade.dauphine.fr/~peyre/mia09/

Membre du club des clubs des partenaires industriels des GDRs : GDR ISIS (Image Signal InformationS) : http://gdr-isis.org/ GDR ONDES : http://gdr-ondes.lss.supelec.fr/

Projet de REI DGA/MRIS « Géométrie de l’information pour le traitement des signaux matriciels » (Prof. Nielsen à l’X, Prof. Rouchon & Angulo à l’Ecole des Mines ParisTech, Prof. Marc Arnaudon à Université de Poitiers, Prof. Snoussi à l’UT Troyes, F. Barbaresco de Thales)

Activité musicale : Choriste dans formation amateur de 80 chanteurs (La Brenadienne) prochain concert Parisien « Benjamin Britten » (Rejoice in the Lamb, Jubilate Deo, Festival Te Deum

op.32, Hymn to Saint Peter)


Géométrie, médiane et diffusion de spectres de fréquences acoustiques : Ou Comment "médianiser" ou "diffuser" des morceaux de musiquesF. Barbaresco


Préambule La théorie de la Géométrie de l'Information introduite de façon parallèle par Rao etChentsov, et la Géométrie Symplectique telle qu'introduite par Carl Ludwig Siegel permet de définir une métrique entre matrices de covariance d'une série temporelle (la matrice de covariance définissant le spectre de fréquences acoustiques présentes dans le signal). La géométrie naturelle de ces matrices de covariance symétriques (ou hermitiennes) définies positives est une géométrie Riemannienne symétrique. Il s'agit d'un espace métrique à courbure négative. Il est alors possible de calculer de façon explicite la géodésique (plus court chemin sur la variété) entre matrices de covariance. Sur la base de travaux du géomètre allemand Herman Karcher, on définit un flot de gradient qui converge vers la médiane de N matrices de covariances (appelée point de Fermat-Weber en Physique) en minimisant le critère égale à la somme desdistances géodésiques à l'ensemble des N matrices (ceci étant l'approche classique du barycentre de Fréchet qui converge vers la moyenne lorsque qu’on prend les distances aux carrés). Sur la base de ce flot et par analogie avec l'équation de diffusion de Fourier, on définie une équation de diffusion sur un graphe de matrices de covariances et cherchons via l'équation de Campbell-Hausdorff à remonter à l'équation de diffusion à temps continu.Le problème de la "médiane dans un espace métrique" est un problème plus vaste qui recouvre des liens avec les sciences sociales par exemple (redécouverte des travaux de Condorcet sur la notion de "vote médian" par J.F. Marcotorchino et P. Michaux).


Prise de mesure de l’onde acoustique



Spectre d’un signal Acoustique







nz

zZ

1

2

21

)1(

2

*

011

*1

01

*1

*10

2)(

avec

fkjn

nkkZ

kmmk

n

n

n

ecfS

zzEc

cccc

ccccc

ZZER


Le voisinage des « choses » Comment définir la distance (et donc la géométrie associée) à deux spectres de fréquences ?

?Spectre 1 Spectre 2


Le voisinage des « choses »

« Les animaux se divisent en : a) appartenant à l’Empereur, b) embaumés, c)apprivoisés, d) cochon de lait, e) sirènes, f) fabuleux, g) chiens en libertés, h)inclus dans la présente classification, i) qui s’agitent comme des fous, j) innombrables, k) dessinés avec un pinceau très fin en poil de chameau, l) et cetera, m) qui viennent de casser la cruche, n) qui de loin semblent des mouches »Encyclopédie chinoise tiré d’un texte de Borges (En préface de l’ouvrage « Les mots et les choses » de Michel Foucault)

« La monstruosité que Borges fait circuler dans son énumération consiste en ceci que l’espace commun des rencontres s’y trouve ruiné. Ce qui est impossible, ce n’est pas le voisinage des choses, c’est le site lui-même où elles pourraient voisiner. … Les choses y sont ‘couchées’, ‘posées’, ‘disposées’ dans des sites à ce point différents qu’il est impossible de trouver pour eux un espace d’accueil , de définir au dessous des uns et des autres un lieu commun . … Sur quelle ‘table’ , selon quel espace d’identités, de similitudes, d’analogie, avons nous pris l’habitude de distribuer tant de choses différentes et pareilles ? »Michel Foucault « Les mots et les choses »


Archéologie Foucaultienne« La trame sémantique de la ressemblance au XVIème siècle, est fort riche : Amicitia, Aequalitas (contractus, consensus, matrimonium, societas, pax et similia), Consonancia, Concertus, Continuum, Paritas, Proportio, Similitudo, Conjunctio, Copula . Mais il y en a quatre qui sont, à coup sûr essentielles :• La CONVENIENTIA : est une ressemblance liée à l’espace dans la forme du ‘proche en proche’. Elle est de l’ordre de la conjonction et de l’ajustement. Elle appartient moins aux choses qu’au monde dans lequel elles se trouvent.• L’AEMULATIO : sorte de convenance affranchie de la loi du lieu, qui jouerait immobile dans la distance. Les anneaux ne forment pas une chaîne comme les éléments de la convenance, mais plutôt des cercles concentriques, réfléchis et rivaux.• L’ANALOGIE : affrontement des ressemblances à travers l’espace.• le JEUX DES SYMPATHIES : nul chemin n’est déterminé à l’avance, nulle distance n’est supposée, nul enchaînement prescrit. Elle parcourt en un instant les espaces les plus vastes. Sa figure jumelle, l’antipathie maintient les choses en leur isolement et empêche les assimilations.Enfin, ll n’y a pas de ressemblance sans signature. Le savoir des similitudes se fonde sur le relevé des signatures et sur leur déchiffrement. »

« Les mots et les choses » de Michel Foucault


Introduction Problème Le spectre des fréquences d’un signal acoustique mesuré via une série

temporelle d’échantillons est décrit via la matrice de covariance de ce vecteur de mesure.

Cette matrice de covariance est structurée et possède les propriétés de symétrie, définie positivité et le caractère Toeplitz

Si l’on cherche la « structure géométrique » inhérente à ces matrices de covariances, les sources sont doubles

Les doubles sources de la géométrie des matrices de covariance Source de la Géométrie de l’Information (Rao/Chentsov) : Si on

modélise le signal par une loi multivariée gaussienne de moyenne nulle, la métrique riemannienne est donnée par la matrice d’information de Fisher. Elle possède une propriété d’invariance par changement non-singulier de paramétrisation. Elle permet d’interpréter la métrique comme une prise en compte de la variance de la matrice de covariance qui déforme l’espace.

Source de la Géométrie Symplectique (C. L. Siegel) : Si on cherche la géométrie intrinsèque à l’espace des matrices symétriques (hermitiennes) définies positives, il peut être introduit naturellement via l’espace de Siegel (généralisation au cas matriciel de l’espace de Poincaré). Dans cette approche, on cherche les automorphismes de cet espace et la métrique qui est invariante par ces automorphismes. Nous verrons que la métrique de la géométrie de l’information est un cas particulier.


Objectifs Objectifs : Ayant définie la métrique associée à ces matrices de covariances via les 2 sources de la géométrie de l’information et la géométrie intrinsèque, on s’intéresse aux problèmes suivants : Définition de la distance entre 2 matrices de covariances Définition de la géodésique entre 2 matrices de covariances Caractérisation du fait qu’il s’agit d’un espace symétrique à courbure

négative Calcul de la moyenne/du barycentre de N matrices de covariance Calcul de la médiane (Point de Fermat-Weber) de N matrices de

covariance Équation de diffusion de Fourier d’un graphe de Matrices Équation de diffusion anisotrope d’un graphe de Matrices Introduction d’une paramétrisation autorégressive pour conserver le

caractère Toeplitz de la matrice de covariance Modélisation variationnelle de la modélisation autorégressive Calcul de moyenne et médiane de N coefficients de réflexion dans

le disque de Poincaré


La géométrie de l’information pour les lois multivariées gaussiennes de moyenne nulle et la géométrie différentielle intrinsèque des matrices hermitiennes définies positives (cas particulier de la géométrie des espaces de Siegel) conduit à la même métrique : Géométrie de l’information :

Géométrie du demi-plan supérieur de C.L. Siegel :

Métrique et géométrie pour les matrices de covariance

212nn dRRTrds

0Im/),( Y(Z)CnSymiYXZSH n

iYXZZdYdZYTrdsSiegel avec 112

nRiYX

.0

nn

nnnnn

RRTrn

nnn

RRE

mZmZR

eRRZp nn

êt

.ˆ avec

..)()/(1.ˆ1

*

2

.)/(ln)(

ji

nnij

ZpEg

0nm

212nn dRRTrds

avec


La métrique est définie : Avantage vu de la Géométrie de l’information : métrique invariante par changement non singulier de paramétrage

Métrique tenant compte de la statistique des paramètres

Bonne métrique au sens de la géométrie de l’information 212

nn dRRTrds

)()()( 22 dswdsWw

dRddIdds

IER

..).(.et

Rao-Cramer de borne : ˆ

12

1


La métrique est définie : Avantage vu de la Géométrie de Siegel : Les isométries de l’espace de Siegel sont données par le

groupe quotient avec le groupe symplectique :

La seule métrique invariante par est la métrique de Siegel :

Bonne métrique au sens de la géométrie des matrices 212

nn dRRTrds

nSH nIRnSpRnPSp 2/),(),(

),( FnSp

1)(

DCZBAZZM

DCBA

M

nTT

TT

IBCDADBCA

FnSpDCBA

M

symétrique et ),(

),2(0

0 , /),2(),( RnSL

II

JJJMMFnGLMFnSpn

nT

)(ZM ZdYdZYTrdsSiegel

112 iYXZ avec

nRiYX

.0

212nn dRRTrds


La métrique est définie : Distance associée : Par intégration, on obtient :

Dans le cas général, pour l’espace de Siegel

De la métrique à la distance

212 dRRTrds

n

kkRRRRRd

1

222/112

2/1121

2 log..log,

0det 12 RR Avec

0 avec XSHiYXZ n

n

n

k k

kSiegel SHZZZZd

21

1

221

2 , avec 11

log,

Avec 0.),(det 21 IZZR

12121

1212121,

ZZZZZZZZZZR


Utilisation dans l’art de la géométrie hyperbolique (Escher )


Espaces de H. Poincaré et de C.L. Siegel

iyxz

dzdzyyy

dzy

dydxds -

avec

*112

2

2

222

*1*1*2

22

22

11

1

dzzzdzzzds

z

dzds

Demi-Plan supérieur de Poincare Disque de Poincaré

Demi-Plan supérieur de SiegelDisque de Siegel

iYXZdZdZYYTrds

avec

*112

*1*1*2 11 dZZZdZZZTrds


« At one point Siegel thought that too many unnecessary things were being published, so he decided not to publish anything at all »George PolyaThe Polya Picture Album, Encounters of a Mathematician, Birkäuser

Carl Ludwig Siegelavec George Polya


Elie Cartan

H. Poincaré

M. Gromov


La géométrie du demi-plan de Siegel et le cas particulier


Demi-Plan de Siegel

X

0Y

ZdYdZYTrds 112

n

iiiZZd

1

221

2 1/1log,

kkk YiXZ .

1k

2k

212 dRRTraceds

kkkk RNWRiZ ,0 si .

1k

2k

n

kkRRd

1

221

2 log,

12121

1212121,

ZZZZZZZZZZR

0...det 2/112

2/11 IRRR

0.,det 21 IZZR


La géodésique entre 2 matrices X et Y est donnée par :

La moyenne est définie comme barycentre au sens de Fréchet :

X

Y

Géodésique et moyenne géométrique symétrisée

2/1 2/12/12/12/1log2/1 2/12/1

)( XYXXXXeXt tYXXt

2/1log2/1

2/1..2/1

2/12/12/12/11

2/12/1

2/12/1

),(exp

),(exp

logexp)(

XeXtv

XeXtv

XYXXXVVgradv

YXXtYXX

XvXtYXX

XYX

YX

YX

2/1/21 2/12/12/12/1 XYXXXYX

YX )1(et )0( 1,0 avec t


2/12/12/12/12/12/12/12/12/12/1

2/12/12/12/12/12/1

2/12/12/12/12/12/11

))(()(

ABAAAXBAAXAA

BAAXAAXAABAAAXAXAABXXA

moyenne géométrique symétrisée La moyenne qui apparaît est bien une matrice symétrique ou

hermitienne définie positive :

Il s’agit bien du barycentre de Fréchet, qui minimise :

On peut remarquer que quand les matrices commutent, il s’agit de la moyenne géométrique classique :

qui n’est pas symétrique définie positive Une autre façon de retrouver la moyenne géométrique « symétrisée »

consiste à la trouver comme solution de l’équation de Ricatti :

2/12/12/12/12/1 ABAAABA

22/12/122/12/1 loglog XBBXAAMin

X

2/1ABBA


En géométrie riemannienne, un espace localement symétrique est une variété riemannienne (M,g) telle que, (localement) autour de chaque point x, il existe une symétrie σx qui inverse les géodésiques issues de x et qui est une isométrie (locale). Un espace localement symétrique est dit symétrique si les

symétries peuvent se prolonger à tout l'espace. De manière équivalente, une variété riemannienne (M,g) est dite symétrique lorsque, pour tout point x de M, il existe une isométrie σx:MM vérifiant : σx(x) = x ; dσx(x) = − Id.

Cette isométrie σx est appelée l'involution en x. Propriétés : Tout espace symétrique est une variété riemannienne

géodésiquement complète, donc complète en vertu du théorème de Hopf-Rinow. Il existe une et une unique involution en x. Le tenseur de courbure d'une variété riemannienne est parallèle.

Il s’agit d’un espace Riemannien symétrique


Pour l’espace considéré, la géodésique entre deux matrices A et B est donnée par :

Pour l’espace symétrique des matrices symétriques ou hermitiennes définies positives, pour chaque paire (A,B), il existe une isométrie bijective qui vérifie :

et Cette isométrie a un unique point fixe Z qui est donné par le milieu

de (A,B), c’est à dire la moyenne géométrique précédemment définie :

avec

Et les propriétés : et Ceci est différent de l’approche classique en traitement du signal

qui suppose un espace normé euclidien :

avec et


1,0 avec )( 2/1log.2/12/1 2/12/12/1 2/12/1

tAeAABAAAt BAAtt

),( BAG ),( BAG BA ),( ABG BA

ZXdXXGd BA ,2,),( )(X -1

),( BABAXG BA 2/12/12/12/12/1 ABAAABA

X- ),( BABAXG BA

2BABA

FBA

),( BABAG BA ),( IBAdG BA



),( AGB BA

BGA BA ),( BAXBAXG(A,B)

X

2

BABA

Espace Normé : isométrie(approche traitementdu signal Classique) ),( AGB BA

BGA BA ),(

)(X -1),( BABAXG BA

X

2/1/21 2/12/12/1 ABAAABA

Espace métrique : isométrie

1,0)( 2/1 2/12/12/1

tABAAAt t

Espace Normé : Géodésique

A)0(

B)1(

A)0(

B)1(

1,0)(

tABtAt

Espace métrique : Géodésique

Courbure nulle Courbure négative


« La Messe est dite » par Marcel Berger

• Premier Miracle :La théorie des espaces symétriques peut être considérée comme le premier miracle de la géométrie riemannienne, en fait comme un nœud de forte densité dans l’arbre de toutes les mathématiques … On doit à Elie Cartan dans les années 1926 d’avoir découvert que ces géométries sont , dans une dimension donnée, en nombre fini, et en outre toutes classées.

• Second Miracle :Entre les variétés localement symétriques et les variétés riemanniennes générales, il existe une catégorie intermédiaire, celle des variétés kählériennes. … On a alors affaire pour décrire le panorama des métriques kählériennes sur notre variété, non pas à un espace de formes différentielles quadratiques, très lourd, mais à un espace vectoriel de fonctions numériques. … La richesse Kählérienne fait dire à certains que la géométrie kählérienne est plus importante que la géométrie riemannienne.

• Pas d’espoir d’autre miracle :Ne cherchez pas d’autres miracles du genre des espaces (localement) symétriques et des variétés kählériennes. En effet, c’est un fait depuis 1953 que les seules variétés riemanniennes irréductibles qui admettent un invariant par transport parallèle autre que g elle-même (et sa forme volume) sont les espaces localement symétriques, les variétés kählériennes, les variétés kählérienne de Calabi-Yau, et les variétés hyperkählériennes.

Marcel Berger (IHES), « 150 ans de Géométrie Riemannienne »,Géométrie au 20ième siècle, Histoire et horizons, Hermann Éditeur, 2005

Plus de détail : Marcel Berger, « A Panoramic View of Riemannian Geometry », Springer 2003

M. Berger


Problème à résoudre « Barycentre de N matrices » :

Moyenne barycentrique

Mediane (Point de Fermat-Weber)

Algorithmes de la moyenne/Médiane : critère à optimiser

N

kk

XXBXdXfX

1,arg)(arg minmin

2

N

kk

XXBXdXfX

1

22 ,arg)(arg minmin

VTBXfgrad X

N

kkX

1

12 exp)(

1

N

kk

AXBXdXfX

11 ,arg)(arg minmin

VT

BXdBXfgrad X

N

k k

kX

1

1

1 ,exp)(

nXn XfgradXn 21 .exp

NkkB 1



Il s’agit d’un flot de gradient sur la variété Algorithme par descente de gradient

La tangente en X à la géodésique rejoignant X à Bk

La somme des tangentes en X des géodésiques de X aux

2/12/12/12/10

2/1log2/12/1 2/12/12/1

log)()(

2/12/1

XXBXXdt

tdXeXXXBXXt

ktk

k

XBXttkk

k

kkk

2/1

1

2/12/12/1

10 log )( XXBXXG

dttdG

N

kkX

N

kt

k

kX

NkkB 1


Karcher Barycenter & Jacobi Field

2/1log2/12/1 2/12/12/1 2/12/1

)( XeXXXBXXt XBXttkk

k

2/12/12/12/10 log)( XXBXX

dttd

ktk

N

k

N

kkt

k XXBXXdt

td1

2/1

1

2/12/12/10 0log)(

1B 2B

3B

4B

5B

6B


Médiane plus robuste que moyenne

X : moyenne

: médiane

La médiane est insensible à la présence de points aberrants tant qu’ils restent minoritaires

La moyenne est immédiatement perturbée par la présence de points aberrants


Mediane et point de Fermat-Weber

Laplace (1774) : Laplace a appelé cette valeur « le milieu de probabilité » ou « la valeur probable ». Le terme médiane a été introduit par Cournot dans l’Exposition de la théorie des chancesen 1883.

mxEMinmediandxxPmedian

mX 5.0).(0


Médiane de matrice

2/12/1

2/12/12/12/11

2/12/1

)(exp

logexp

XeXV

XUXXXUVXX

X

X

0detet

loglog avec1

22/12/1

2/1loglog

2/11

12/12/1

2/12/1

kn

M

iiFnkn

nXBXXBX

nn

BX

XBX

XeXX

N

k Fnkn

nkn

1

N

kk

XXBXdXfX

11 ,arg)(arg minmin

VT

BXdBXfgrad X

N

k k

kX

1

1

1 ,exp)( nXn XfgradX

n 11 .exp


Algorithme de gradient non convergent Algorithme médian par descente de gradient

Non différentiabilité aux points de données : problème de convergence En théorie : régularisation au voisinage des points de données et

extraction diagonale (algorithme général adapté de Huiling Le, mais long d’exécution) En pratique : Assez souvent, les points donnés « entourent » la médiane :

convergence Prendre un pas voisin de la précision voulue (50 itérations

suffisent ici )

0detet

loglog avec1

22/12/1

2/1loglog

2/11

12/12/1

2/12/1

kn

M

iiFnkn

nXBXXBX

nn

BX

XBX

XeXX

N

k Fnkn

nkn


Mediane : autre algorithme de gradient régularisé Autre Algorithme Régularisé proposé Critère de minimisation régularisé

Résolution itérative de problèmes d'optimisation convexes régularisés, dont la suite des solutions converge vers la médiane. Étape m :

Critère d’arrêt :

converge

convergeconvergeconverge

N

k Fmkm

nmknm

econvergenc

nmm

Fnmnmnm

nmXBX

XBX

nmnm

nmmm

XX

XXX

XeXX

XXX

,11

2/11,1,

2/11,1

2/1,1

log

log

2/1,11,1

,0,1

alors

log:arrêt

12/12/1

2/1,1

2/1,1

N

k km

k

Xm BXd

BXdX1

2

1 ,,argmin

Fmmm XXX 2/1

12/1

1log


Tests sur données simuléesSpectre initial

Spectre moyen Spectre médian


Géométrie de Kähler La géométrie d’Erich Kähler étend la géométrie

Riemannienne au domaine complexe : La forme riemannienne définie positive définissant la métrique de

Kähler est donnée par :

Condition de Kähler condition : Il existe localement une fonction potentielle de Kähler, (et les équivalentes Pluri-harmoniques) telle que :

Le tenseur de est alors donné par :

Et la courbure scalaire :

n

ji

jiji dzdzgds

1,

2 .2

jiji zzg

2

ji

lkji zz

gR

detlog2

n

lklk

lk RgR1,

.


Modèle Autorégressif ComplexeModèle du signal : Modèle multivarié complexe circulaire :

Modèle Radar :

Modèle autorégressif complexe :

Lien avec l’algorithme de Issai Schur’s algorithm (1875-1941) [Alpay] D. Alpay, « Algorithme de Schur, espaces à noyau reproduisant et théorie

des systèmes », Panoramas et synthèse, n°6, Société Mathématique de France, 1998

nnnnnnn

RRTrn

nnn

RREmZmZR

eRRZp nn

êt .ˆ avec

..)()/(1.ˆ1

ki

kkkkT

nn

nnn

n

eiyxzzzZ

ZZER

m

avec

Positive Définie eHermitienn Toeplitz

nulle moyenne de processus 0

1

TNN

NNkknn

N

knkn

Nkn aaAbbEbzaz )()(

12

0,*

1

)( ...et avec


Estimation des paramètres autorégressifs régularisés Nous utilisons l’algorithme de Burg régularisé (brevet THALES : F. Barbaresco,

« Procédé et dispositif de détermination du spectre de fréquence d’un signal », brevet n° 95 06983, Juin 1995)

)(.)1()( )1(.)()(

11 , .

1

).()2.( avec ..2)1()(1

...2)1().(2 à 1Pour : (n) .

1

)(.1ech.) nb. : (N 1 , )()()(f

:tion Initialisa .

1*

1

11

)(

)*1()1()(

)(0

221

)(

1

1

0

2)1()(21

21

1

1

1

)1()1()(*11

)0(0

1

20

00

kfkbkbkbkfkf

a

,...,n-k=aaa

a

nkakbkf

nN

aakbkfnN

MnItérationa

kzN

P

,...,N k=kzkbk

nnnn

nnnn

nn

n

nknn

nk

nk

n

nkN

nk

n

k

nk

nknn

N

nk

n

k

nkn

nk

nknn

n

N

k


modèle autorégressif et matrice de covariance La matrice de covariance et son inverse peuvent être

paramétrée à partir des paramètres du modèle autorégressif : Structure Blocs de la matrice de covariance :

1111111

1111

....

nnnnnn

nnnn AARA

AR

111

1111111

....

nnn

nnnnnnn RAR

RAARAR

*)()(111

121 .

00100100

où 1

.0

et .1 avec VVAA

A nn

nnnnn


Récursivité sur l’ordre de la métrique de Siegel Si on utilise la structure blocks des matrices, on peut

calculer la métrique de Siegel à l’ordre n par rapport àl’ordre n-1

Equation récursive sur la métrique de Siegel faisait apparaître la matrice de Fisher sur les paramètres autorégressifs:

On peut remarquer que le second terme s’écrit :

Ceci s’interprète en terme de géométrie de l’information

1111

2

1

121

212 ....

nnnn

n

nnnnn dARdAddsdRRTrds

1

1

111

11111

2

1

1 log0

01.

log...

n

n

nnn

nnnnn

n

n

Ad

RAddARdAd

11

111ˆ

log

nn

nnnA

A

RAIn

111

1

1

1

001loglog

nnn

n

n

n

Ri

AAZ

Extension du casGaussien scalaire(Géométrie de l’information)


Métrique de Kähler d’un modèle autorégressif complexe Dans le cadre de la géométrie Affine de l’information, la

métrique est donnée par le Hessien de l’entropie qui joue ici le rôle du potentiel de Kähler :

L’entropie d’un modèle multivarié gaussien de moyenne nulle :

On peut choisir comme modèle de paramétrisation les coefficients de réflexion

enRRΦ logdetlog~

-RHΗΗΦg

jiij

et ~2

0

1

1

2 ..ln.1ln).(~ Penkn)(RΦn

kkn

n

kk

nnn

zn

P1

20

10

11

21

1 avec

.1

1

1

20

1

0

1 1detn

k

kn

kn

n

kknR

nn

nnnnn

RRTrn

nnn

RRE

mZmZR

eRRZp nn

êt

.ˆ avec

..)()/(1.ˆ1


Erich Kähler…

L’entropie U=-logdet[R] , pour les modèles autorégressifs complexes, peut être considéré comme un potentiel de Kähler qui est paramétrisé à partir des coefficients de réflexion. Cette expression est alors la même que celle proposée par E. Kähler

« Kähler Erich, Mathematical Works », Edited by R. Berndt and O. Riemenschneider, Berlin, Walter de Gruyter, ix, 2003

Papier initial d’Erich Kähler, 1932, Hambourg


Métrique de Kähler : cas hyper-Abelian On retrouve la métrique proposée par E. Kähler dans son

papier initial : : Kähler a nommé ce cas « hyper-Abelian » :

Autre métrique proposée par Kähler, appelé cas « hyper-fuchien » :

),(ln1ln.1

1

2 zzKzΦ D

n

kkk

,...1 1 / et

1),(Bregman deNoyau

avec1

1

2

nkzz

zzz : K

k

n

kkD

k

1 / with 1ln.1k

2

1

2n

k

n

kk zzzΦ


On définit une métrique « Doppler » metric dans le cas de modèles autorégressifs complexes comme le Hessien d’un potentiel de Kähler, où le potentiel est donné comme dans le cas de la géométrie affine de l’information par l’Entropie:

Le potentiel de Kähler paramétré par :

La métrique associée est alors calculée :

10

1

1

2 ..ln.1ln).(~

enkn)(RΦn

kkn

Tnn

nTn

n P )()(1110

)(

20

2011

nPng 221

).(

i

ijij

ing

1

122

22

0

02

1)(.

n

ii

in

din

PdPnds

Métrique de Kähler d’un modèle autorégressif complexe

TnP 110


Courbure scalaire du modèle autorégressif complexe

On utilise l’expression du tenseur de Ricci dans le cas de la géométrie de Kähler :

En géométrie de Kähler, le tenseur de Ricci est donné par :

Pour le cas du modèle autorégressif complexe, on obtient alors :

On en déduit le calcul de la courbure scalaire qui est négative :

ji

lkji zz

gR

detlog2

1,...,2for 1

2

12

22

20

11

nkR

PR

k

kllk

lk

lklk RgR

,.

n

n

j jnR

1

0 )(1.2


Modèle autorégressif # métrique de Kähler-Einstein La métrique précédente n’est pas une métrique de type

Kähler-Einstein, mais une structure « matricielle » proche Une métrique est dite de Kähler-Einstein metric si son tenseur de ricci

est proportionnel à la métrique :

Dans le cas de la métrique de Kähler-Einstein, le potentiel de Kähler est solution de l’équation de Monge-Ampère :

Pour un modèle autorégressif complexe, on a :

,....,2où et

)(1.2 avec

1)(

1

0

)()(

indiagB

jnBTrRgBR

n

n

j

nij

nij

ji

ji

lklkji zz

kzz

gkgkR

2

0

2

00 .detlog

constant : avec .

holomorphefonction Kähler de Potentiel

avec )det( 02

ψ : Φ :

eg klk


Algorithme médian sur les coefficients de réflexions 1/2On se donne , où est un n uplet des coefficients de réflexion à tous les ordres précédés du coefficient de puissance . On calcule d’abord , dans R (méthode classique de calcul du médian pour une valeur scalaire).On estime ensuite la médiane des coefficients de réflexions complexes algorithmiquement : on ramène ces coefficients du disque unité dans le demi-plan de Poincaré avec :

On note Les géodésiques sont alors des demi-cercles centrés sur l’axe des abscisses

1)()(0

)(1

)(1

)(0 ),(),...,,(

nkkkn

kkk DRPP N ,...1

HDC :1

)(

)()()(

11

kj

kjk

jk

j iz

)( )(1)( kk Cz

)))log(),...,log(),(log(exp( )(0

)2(0

)1(00

Nmedian PPPmedianeP

)(1

)(1

)( ,, kn

kk

)(0

kP

c


Algorithme médian sur les CROn initialise l’algorithme à un point quelconque Z dans H :

A l’étape p, on se déplace selon le gradient:

où Z est l’estimé courant et ck désigne le centre de la géodésique rejoignant Z à zk.

L’entier p, initialisé à 1, décroît si l’écart entre deux itérés est moindre que 1/p.Après convergence, on retourne à :

N

kk

lp

l

kl

plk

lp

lplZ pcZ

cZzZsigneit1

)()(

)()()()()(

, /1)(

)Re(2 )()(

2)(2)()(

pl

kl

pl

klk

l ZzZz

c

TnZZZ )0(1

)0(1

)0(

avec

)Im()Re()Im(

)Re( )()(

,

)(,)(

)(p

lplZ

plZp

lZZ

tt

Zc pl

)arg( )()()(

plZ

pl

pl cZ

pcZ

cZcZsigne

MkicZcZ

pl

pl

pl

pl

pl

Zp

l

Zp

l

Zp

lp

lZp

lZp

l/1

))(Re(2

1exp)(

)(

)()()()(

)()()()()1(

iZiZ)C(Zμ

PPPmedianePZCP

convl

convlconv

lmedianl

Nmedian

)(

)()(

)(0

)2(0

)1(00 )))log(),...,log(),(log(exp(

avec ))(,(


Flot de gradient dans le disque unité de Poincaré

)( plZC

)1( plZC

)1()1(ll zC

)2()2(ll zC

)3()3(ll zC )4()4(

ll zC


Résultats sur le premier coefficient de réflexion

Superposition pour toutes les cases distances des moyennes et médianes

locale, avec les points de données


Equation de la chaleur de Joseph Fourier « Les équations différentielles de la propagation de la

chaleur expriment les conditions les plus générales, et ramènent les questions physiques à des problèmes d’analyse pure, ce qui est proprement l’objet de la théorie ... Les formes des corps sont variées à l’infini, la distribution dela chaleur qui les pénètre peut être arbitraire et confuse; mais toutes les inégalités s’effacent rapidement et disparaissent à mesure que le temps s’écoule. La marche du phénomène devenue plus régulière et plus simple, demeure enfin assujettie à une loi déterminée qui est la même pour tous les cas, et qui ne porte plus aucune empreinte sensible de la disposition initiale ... .Les théories nouvelles, expliquées dans notre ouvrage sont réunies pour toujours aux sciences mathématiques et reposent comme elles sur des fondements invariables; elles conserveront tous les éléments qu’elles possèdent aujourd’hui, et elles acquerront, continuellement plus d’étendue. »

Joseph Fourier (1768-1830), « Discours préliminaire à la théorie analytique de la chaleur »

J. Fourier


Équation de diffusion & géodésique Équation de diffusion sur un graphe 1D de données scalaires Dans un espace vectoriel normé dans le cas unidimensionnel,

l’équation de diffusion s’écrit via le Laplacien discret:

avec la moyenne arithmétique : L’équation de Fourier discrétisée peut également s’écrire :

Par analogie sur la base du flot de Karcher, il est possible d’écrire une équation de diffusion sur un graphe 1D de matrices,via la moyenne géométrique des voisins :

nnnnnn uu

xxuu

xuu

xtu

xu

tu

ˆ21

211

2

2

2/ˆ 11 nnn uuu

2,,,,2,12 avec ˆ.).1(ˆ2

xtuuuu

xtuu tntntntntnn,t

tnA ,ˆ tntn AA ,1,1 ,

2/1

,1/21 2/1

,1,12/1,1

2/1,1,2

2/1,

2/1,,

2/1,

2/1,

2/1,

ˆlog22/1

,1,

êt x

t2 avec

ˆ2/1

,,2/1

,2

tntntntntntn

tntntntntntn

XXXx

t

tntn

XXXXXX

XXXXXXeXXtntntn

J. Fourier


Equation de diffusion sur un graphe 1D scalaire Equation de diffusion sur un graphe 1D de données scalaires

J. Fourier

tnu ,

tntntn uuu ,12/1,1,ˆ

tnu ,1tnu ,1

1,0.).1(

vuvu

t

t+1

distance

tnu ,tnu ,1 tnu ,1

tnu ,ˆ

1n,tu

temps

tntntn uuu ,,1, ˆ

1

0

2êt 2 avec

ˆ.).1(

,1,1,2

,,1

tntntn

tntnn,t

uuu

xt

uuu


Equation de diffusion sur un graphe 1D de matrices Equation de diffusion sur graphe 1D de matrices SPD

2/1

,1/21 2/1

,1,12/1,1

2/1,1,2

2/1,

2/1,,

2/1,

2/1,

2/1,

ˆlog22/1

,1,

êt x

t2 avec

ˆ2/1

,,2/1

,2

tntntntntntn

tntntntntntn

XXXx

t

tntn

XXXXXX

XXXXXXeXXtntntn

J. Fourier

tnX ,

tntntn XXX ,12/1,1,ˆ

tnX ,1tnX ,1

1,0

2/1 2/12/12/1

ABAAABA

t

t+1

distance

tnX ,tnX ,1 tnX ,1

tnX ,ˆ

1n,tX

temps

tntntn XXX ,,1,ˆ

1

0


Équation de diffusion : contrainte de discrétisation Une première remarque concernant une contrainte qui apparaît :

vfffff

Tx

txvv

xuuuuuuuu

u

xtuuuu

xtuu

EE

EE

tntntntn

tntntntnn,t

tntntntntnn,t

242

avec 1Shannon on vérifie Si

posant en 2soit 1ˆ si ,ˆ

ˆ si ˆ,

2 avec ˆ.).1(ˆ2

maxmax

,,,,

,,,,1

2,,,,2,1


Équation de diffusion : Du discret au continu L’équation de diffusion discrète sur un graphe 1D de matrices

symétriques ou hermitiennes définies positives est donnée par :

Pour remonter à l’équation continue de diffusion, il faut utiliser l’équation de Campbell-Hausdorff :

2/1

,1/21 2/1

,1,12/1,1

2/1,1,2

2/1,

2/1,,

2/1,

2/1,

2/1,

ˆlog22/1

,1,

êt x

t2 avec

ˆ2/1

,,2/1

,2

tntntntntntn

tntntntntntn

XXXx

t

tntn

XXXXXX

XXXXXXeXXtntntn

YXXYYX

XYYYXXYXYXee YX

, avec4 degré de termes

,,121,,

121,

21log


Équation de diffusion anisotrope Regardons maintenant le cas anisotrope classique : Dans le cas général diffusion sur une variété, l’équation de diffusion

de Laplace-Beltrami s’écrit : Métrique :

Équation de diffusion :

Dans le cas 1D isotrope :

Dans le cas 1D anisotrope :soit :

2

222

xu

tudxds

Njiji

N

kjiji ggdxdxgds

1,,1

,2 avec

Njiji

ji j

ij

i

ggxugg

xgtu

1,,1

, avec )det(

)det(1

22

222 1 dxxududxds

2

1xug

xu

xu

xxu

tu

2/122/12

11


Diffusion anisotrope

Diffusionisotrope

Diffusionanisotrope


diffusion anisotrope sur un graphe de matrices Dans le cas 1D anisotrope, par analogie sur un graphe de

matrices :

Pour la distance , on prend :

2/12,1,

,

2/12,,1

,

2/12,1,1

,2,,,

,,

,

2/1,1

2/1,1,1

2/1,1

2/1,1

2/1,1

log2/1,1,

2/1,

2/1,,

2/1,

2/1,

2/1,

ˆlog2/1,1,

,1et

,1

,1,

. ,

ˆ avec

ˆ2/1,1,1

2/1,1

2/1,,

2/1,

xXXd

xXXd

xXXd

xt

XXXXXXeXX

XXXXXXeXX

tntntn

tntntn

tntntn

tntntn

tntn

tn

tntntntntntnXXX

tntn

tntntntntntnXXX

tntn

tntntn

tntntn

0detet

loglog,

21

1

22/112

2/1121

XX

XXXXXdM

iiF


Diffusion Isotrope Simulation


Diffusion anisotrope Simulation


Les différentes diffusion à 50 itérations


20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Diffusion classique Diffusion médianage

Diffusion

Isotrope

Diffusion

Anisotrope


Les différentes diffusions

64

Diffusion Isotrope Diffusion Anisotrope

Medianage Isotrope Medianage Anisotrope

Moyennage Isotrope Moyennage Anisotrope


Les 2 sources géométriques

Géométrie de l’information & Géométrie des cônes symétriques

Ces 2 géométries ont de multiples liens avec les travaux de Carl Ludwig Siegel (1896-1981) en Géométrie symplectique :

Géométrie des domainesbornés symétriques

Théorie des groupesde Lie semi-simples

Elie Cartan 1930

Théorie des algèbresde Jordan

M. koecher 1960

Équivalencedes 2 approches :

Constructionde kantor-Koecher-Tits

(c.f. I. Satake 1980)

Géométrie de l’information(Rao/Chentsov)

Géométrie Symplectique(Carl Ludwig Siegel)


Références Bibliographiques[1] F. Barbaresco & G. Bouyt, "Espace Riemannien symétrique et géométrie des espaces de matrices de covariance : équations de diffusion et calculs de

médianes", colloque GRETSI'09, Dijon, Sept. 2009[2] F. Barbaresco, "New Foundation of Radar Doppler and Array Processing based on German Mathematical Works: Geometry of Metric Spaces with

negative curvature and Von-Mangoldt-Cartan-Hadamard Manifolds", IRS'09, Hamburg, Sept. 2009[3] F. Barbaresco, “Interactions between Symmetric Cone and Information Geometries”,LIX Fall Colloquium ETCV’08, Ecole Polytechnique,Springer

Lecture Notes in Computer Science, vol.5416, pp. 124-163, 2009, http://www.springerlink.com/content/978-3-642-00825-2[4] F. Barbaresco, “Applications of Information Geometry to Radar Signal Processing”, Video Lectures, http://videolectures.net/etvc08_barbaresco_aoigt/[5] M. Arnaudon and X. Li, « Barycentres of measures transported by stochastic flows”, Ann. Probab. 33, no. 4, pp.1509-1543, 2005[6] C.L. Siegel, «Symplectic Geometry», Acad. Press, 1964[7] M. Émery, G. Mokobodzki, «Sur le barycentre d'une probabilité dans une variété » . Séminaire de probabilités de Strasbourg, n° 25, p. 220-233, 1991[8] H. Karcher, «Riemannian center of mass and mollifier smoothing”, Comm. Pure Applied Math., °30,pp.509-541,1977[9] A. Terras, «Harmonic Analysis on Symmetric Spaces and Applications II», Springer-Verlag, 1988[10] V. Arsigny «Log-Euclidean metrics for fast and simple calculus on diffusion tensors», in Magnetic Resonance in Medicine, Volume 56 Issue 2, Pages

411 - 421, Jun 2006.[11] M. Calvo, J. Oller, «A distance between multivariate normal distributions based in an embedding into the Siegel Group”, Journal of Multivariate

Analysis, vol.35, pp. 223-242, 1990[12] M. Calvo, J. Oller, «An explicit solution of information geodesic equations for the multivariate normal model”, Statistics and Decisions., vol.9, pp.

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geodätischen Linien nie aufhören, kürzeste Linien zu sein“, J. Reine Angew.Math., n°91, pp.23-52, 1881[16] E. Kähler, “Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik”, Abh., Math. Sem. Hamburg Univ., n°9, pp.173-186, 1933[17] K. T. Sturm, “Probability measures on metric spaces of nonpositive curvature”. Contemp. Math. 338 , 357-390, 2003[18] E. Cartan, "Sur les domaines bornés homogènes de l'espace de n variables complexes", Abh. Math. Semin. hamb. Univ., n°11, pp.116-162, 1935,

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parameter Deformations", SUT Journal of Mathematics, vol.35,n°1, pp.113-137, 1999[21] T.Ando and al., "Geometric Means", Linear Algebra Appl., vol.385, pp.305-334, 2004[22] F. Bruhat and J. Tits, « Groupes réductifs sur un corps local », IHES, n°41, pp.5-251, 1972[23] H. Cartan, "Ouverts fondamentaux pour le groupe modulaire",Séminaire Henri Cartan, tome n°10, n°1, exp.n°3, p.1-12, 1957[24] N.N. Chentsov, "Statistical Decision Rules and Optimal Inferences", Trans. of Math. Monog., n°53, Amer. Math. Society, Providence, 1982[25] J. Faraut and A. Koranyi, "Analysis on Symmetric Cones", Oxford University Press, 1994[26] K. Koufany, "Analyse et Géométrie des domaines bornés symétriques", HDR, Institut de Mathematiques Elie Cartan, Nancy, Nov. 2006[27] C. P. Niculescu, “An Extension of the Mazur-Ulam Theorem”, American Institute of Physics Proc., vol. 729, n°248-256, 2004[28] M. Berger, « Panoramic View of Riemannian Geometry », Springer, 2004


Contributions des mathématiciens français

M. Gromov,"Hyperbolic groups". Essaysin group theory. Math. Sci. Res. Inst. Publ. 8. New York: Springer. pp. 75–263, 1987

M. Fréchet, “L’intégrale abstraite d’une fonction abstraite d’une variable abstraite et son application à la

moyenne d’un élément aléatoire de nature quelconque”, Revue Scientifique, pp. 483-512, 1944

J. Hadamard, « Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques », J. Math, sér. 5, 4, pp.27-73, 1898

E. Cartan, « Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann », 2nd édition, revue et

augmentée. Paris, Gauthier-Villars, 1946

F. Bruhat and J. Tits, « Groupes réductifs sur un corps local », IHES, n°41, pp.5-251, 1972


Contributions des mathématiciens allemands

H. Karcher, “Riemannian center of mass and mollifier smoothing”, Comm. Pure Applied Math., °30,pp.509-541,1977

E. Kähler, “Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik”, Abh., Math. Sem. Hamburg

Univ., n°9, pp.173-186, 1933

K. T. Sturm, “Probability measures on metric spaces of nonpositive curvature”. In vol.: Heat kernels and analysis on manifolds, graphs, and metric spaces, Contemp. Math. 338 ,

357-390, 2003

C.L. Siegel, "Symplectic Geometry", Academic Press, New York, 1964

H.C.F. von Mangoldt, “Über diejenigen Punkte auf positiv gekrümmten flächen, welche die

eigenschaft haben, dass die von ihnen ausgehenden geodätischen Linien nie aufhören, kürzeste Linien zu sein“, J. Reine Angew.Math.,

n°91, pp.23-52, 1881


Contributions des mathématiciens italiens

L. Galvani and C. Gini « Di talune estensioni dei concetti di media ai caratteri qualitativi »,

Metron, 8, 3–209, 1929

C. Gini, «L’uomo medio », Giornali deglieconomiste e revista de statica, n°48, pp.1-24,

1914C. GINI, « Di una formula comprensiva delle

medie », Metron 13 , 3–22, 1938

E. Torricelli, Opere di Evangelista Torricelli, G. Loria and G. Vassura (Eds), Vol.I, 2ème partie,

pp.90-97, Vol. III, pp.426-431, Faenza, 1919

B.F. Cavalieri, « Exercitationes geometricae », Bologna, 1647


Contribution des mathématiciens anglais

M.G. Kendall, « Note on the estimation of a ranking », Journal of the Royal Statistical

Society, 105, 119, 1942M.G. Kendall, « Rank Correlation Methods », Londres,

Griffin, 1955


BOURBAKI Group : 60 years ago

Metric MeasureSpace


M. Gromov, “Hyperbolic Groups”, Essays in Group Theory, Math. Sci. Res. Inst. Publ. 8, New york, pp.75-263, 1987

IHESInstitut des Hautes Etudes ScientifiquesBures sur YvettesFrance

Mikhael GROMOV


QUESTIONS

``Constater que les théories les plus parfaites sont les guides les plus sûrs pour résoudre les problèmes concrets~; avoir assez confiance en sa science pour prendre des responsabilités techniques. Puissent beaucoup de mathématiciens connaître un jour ces joies très saines, quelques humbles qu'ils les jugent !'‘Jean LERAY

Carl Ludwig Siegelavec Georges Polya


Planches supplémentairesVersion LongueDétails des calculs


Introduction de la métrique la plus naturelle aux espaces de matrices de covariance


La géométrie de l’information pour les lois multivariées gaussiennes de moyenne nulle et la géométrie différentielle intrinsèque des matrices hermitiennes définies positives (cas particulier de la géométrie des espaces de Siegel) conduit à la même métrique : Géométrie de l’information :

Géométrie du demi-plan supérieur de C.L. Siegel :

Métrique et géométrie pour les matrices de covariance

212nn dRRTrds



nRiYX

.0

nn

nnnnn

RRTrn

nnn

RRE

mZmZR

eRRZp nn

êt

.ˆ avec

..)()/(1.ˆ1

*

2

.)/(ln)(

ji

nnij

ZpEg

0nm

212nn dRRTrds

avec


La métrique est définie : Avantage vu de la Géométrie de l’information : métrique invariante par changement non singulier de paramétrage

Métrique tenant compte de la statistique des paramètres

Bonne métrique au sens de la géométrie de l’information 212

nn dRRTrds

)()()( 22 dswdsWw

dRddIdds

IER

..).(.et

Rao-Cramer de borne : ˆ

12

1


La métrique est définie : Avantage vu de la Géométrie de Siegel : Les isométries de l’espace de Siegel sont données par le

groupe quotient avec le groupe symplectique :

La seule métrique invariante par est la métrique de Siegel :

Bonne métrique au sens de la géométrie des matrices 212

nn dRRTrds

nSH nIRnSpRnPSp 2/),(),(

),( FnSp

1)(

DCZBAZZM

DCBA

M

nTT

TT

IBCDADBCA

FnSpDCBA

M

symétrique et ),(

),2(0

0 , /),2(),( RnSL

II

JJJMMFnGLMFnSpn

nT

)(ZM ZdYdZYTrdsSiegel

112 iYXZ avec

nRiYX

.0

212nn dRRTrds


La métrique est définie : Distance associée : Par intégration, on obtient :

Dans le cas général, pour l’espace de Siegel

De la métrique à la distance

212 dRRTrds

n

kkRRRRRd

1

222/112

2/1121

2 log..log,

0det 12 RR Avec

0 avec XSHiYXZ n

n

n

k k

kSiegel SHZZZZd

21

1

221

2 , avec 11

log,

Avec 0.),(det 21 IZZR

12121

1212121,

ZZZZZZZZZZR


Dans le cas de l’espace de Siegel : Il suffit de remarquer que la différentielle 2nd de en est donnée par

l’expression :

De la métrique à la distance (suite)

ZZRZ ,1 ZZ 1

11112 .2/1)(2 YZddZYZZZdZZdZRD

111

1111,

ZZZZZZZZZZR

RDTrZddZYYTrds 2112 .2


Espaces de H. Poincaré et de C.L. Siegel

iyxz

dzdzyyy

dzy

dydxds -

avec

*112

2

2

222

*1*1*2

22

22

11

1

dzzzdzzzds

z

dzds

Demi-Plan supérieur de Poincare Disque de Poincaré

Demi-Plan supérieur de SiegelDisque de Siegel

iYXZdZdZYYTrds

avec

*112

*1*1*2 11 dZZZdZZZTrds


Utilisation dans l’art de la géométrie hyperbolique (Escher )


La géométrie du demi-plan de Siegel


Demi-Plan de Siegel

X

0Y

ZdYdZYTrds 112

n

iiiZZd

1

221

2 1/1log,

kkk YiXZ .

1k

2k

212 dRRTraceds

kkkk RNWRiZ ,0 si .

1k

2k

n

kkRRd

1

221

2 log,

12121

1212121,

ZZZZZZZZZZR

0...det 2/112

2/11 IRRR

0.,det 21 IZZR


La source de la géométrie de l’information


Géométrie de Chentsov & métrique de Siegel Fondements combinatoire de la divergence de Kullback

La divergence de Kullback peut apparaître naturellement sur des bases combinatoires en utilisant la formule de Stirling :

)(log),(

eEESupqpK qp

in

M

i i

ni

MMM nqNqqnnnP

i

1121 !

!,...,/,...,,

iq

M

ii Nn

1 Nnp i

i

n quand ..2..! nenn nn

),(log.log11

qpKqppP

NLim

M

i i

iiMN

Soit la loi multinomiale de N éléments répartis sur M niveaux

avec les a priori , et

En utilisant la formule de Stirling :

Fondements variationnels de la divergence de Kullback Donsker et Varadhan ont proposé une définition variationnelle de la

divergence de Kullback :


Géométrie de Chentsov & métrique de Siegel Géométrie de l’information et Divergence de Kullback (Rao, 1945)

La métrique Riemannienne de l’information peut être obtenue en faisant un développement de Taylor à l’ordre 2 de la divergence de Kullback :

3

,.).(

!21)/(),/( dOddgdxpxpK

jijiij

jijiij θ.θ

xpE.dxθ.θxpxpg

/log/log/

22

Géométrie de l’information et matrice de Fisher La métrique Riemannienne de l’information s’identifie à la matrice

d’information de Fisher I() :

jiijjiij θ

xp.θ

xpE g gI

/log/log)(et)(,

22 /log/log.. xpdExpdVardIdds T La matrice de Fisher intervient dans la borne de Cramer-Rao :

1ˆˆ

IE

T )()()( 22 dswdsWw


Exemple du cas scalaire : distribution gaussienne Distribution exponentielle : cas loi Gaussienne

La matrice de l’information de Fisher est donnée par :

mIEI T et )( avec

2001

.)( 12

2

22

2

2

2

22

2.2.2..

ddmddmdIdds T

Cette matrice définit la métrique dans l’espace des paramètres :

.2

imz 1

iziz

22

22

1.8

dds

Il s’agit du modèle de Géométrie hyperbolique de Poincaré :

La géométrie des distributions

Gaussiennes est celle du disque de

Poincaré


Exemple du cas scalaire : distribution gaussienne Distribution exponentielle : cas loi Gaussienne

La métrique est donnée comme suit avec , et en intégrant sur une radiale :

On utilise ensuite la transformation suivante pour exprimer la métrique entre 2 points du disque unité :

La distance est finalement donnée par :

rrd

rdrds

11ln.2

1.8

2

22

)(0et .1

)( .

je

et .2

1),( avec

),(1),(1ln.2,,,

2

22112

izizimz

mmD

r


Métrique de Rao

nnnnnnn

RRTrn

nnn

RREmXmXR

eRRXp nn

êt .ˆ avec

..)()/(1.ˆ1

njnninjniji

nnij mRmRRTrXpEg

...

.)/(ln)( 11

nnnnnnn RRRRIRR ... 11 11 ...)( njnninij RRRRTrg

jjnjn

iinin dRRdRRTrds .....)( 112

iinin dRdR 11 comme 21212

nnnn dRRTrdRRTrds

On considère le signal suivre une loi multivariée gaussienne circulaire :

La métrique de Fisher est donnée par :

On considère le processus de moyenne nulle :

then

On en déduit la métrique de Rao :


Géométrie différentielle duale de l’information Gaussiennes multivariées de moyenne nulle

Ces distributions sont uniquement paramétrées par la matrice de covariance et la métrique est celle de Carl Ludwig Siegel

TABTrBAAAA

dRRRRdTrdRRTrds

,et , avec

log2

22/12/12212 Métrique deCarl Ludwig Siegel

Gaussiennes multivariées de moyenne non nulle Les isométries dans le cas de moyenne non nulle sont les

homéomorphismes suivants :

2112 dRRTrdmRdmds T

),(x, avec '

isométrie ,',',222 RnGLRAadsdsds

RAAamARmRmn

TT

22

111

1 Alors Comme

RR dsdsdRRRdRIRR Invariance par rapport

à l’inversion 1

21

121 ,, RRDRRD


Géométrie de Chentsov & métrique de Siegel De la métrique de Siegel à la distance de Siegel

la distance de Siegel déduite de sa métrique est obtenue à partir des valeurs propres étendues dans le cas : 21 mm

0det...det avec

log..log,

122/1

122/1

1

1

222/112

2/1121

2

RRIRRR

RRRRRDn

kk

TABTrBA , avec ,2

Théorème de James Lorsque , alors suit une loi du Khi-2 à

n.(n+1)/2 degrés de liberté.21

n

kk

n1

2log2

Généralisation de Swain (fonction de contraste) Expression de la distance à partir d’une fonction de contraste C3 sur

[0,[ :

n

kkvRRD

121

2 )(, 1 , 0 si 0)(et 2/1)('' , 0)1(')1(

vvvv

)()( si ,, 121

221

2 vwDD wv

22/12/12 dRRRds

Métrique de Siegel

1

1.)1()log(n

nn

nIAA


La source de la géométrie intrinsèque de l’espace de Siegel


Plan hyperbolique de Poincaré Opérations du groupe SL2R sur le plan hyperbolique

Les travaux de Carl Ludwig Siegel exposé dans son ouvrage « Symplectic Geometry » sont une généralisation de SL2R sur le demi-plan hyperbolique de Poincaré

La transformation de Möbius est une action transitive qui transforme le demi-plan complexe en lui-même (espace homogène) :

M et –M ont la même action et ont considère l’action du groupe quotient : Cet espace a également un autre modèle donné par le disque unité via

la transformation de Cayley :

0)Im(:et )( , 2

zCzHz

dczbazzMRSL

dcba

M

222 / IRSLRPSL

11et

1:

zziz

HD

izizz

DH

zCzD

1- 1

i

- i

2

2

2

222

ydz

ydydxds

x

y

H D

22

22

1

4

z

dzds


Plan hyperbolique de Poincaré Opérations du groupe SL2R sur le plan hyperbolique

Ces modèles peuvent être compactifié (tel que chaque transformation ait un point fixe) :

Toute matrice de SL2R, non égale à +/-I2 est conjuguée dans GL2R àl’une des 3 suivantes (transformations hyperbolique/elliptique/parabolique) :

1:)(et 0)(: zCzDClzimCzHCl

abba

gbba

ibaM

gM

gRM

iba0 , 1)(

1011

1)(

00

1)(

22

1

1

zz 2

1zz

abzbazz

Point(s) fixe(s)

H,0

H

Hi


Géométrie Symplectique et Espace de Siegel Définition du groupe Symplectique :

Le groupe Symplectique est défini comme suit :

nTTTT

TT

TT

n

nT

IBCDADBCA

ACBD

MFnSpDCBA

M

RnSLI

IJJJMMFnGLMFnSp

CRFFnMFnSym

et ssymétrique et

),( : eéquivalentfaçon de

),2(0

0 , /),2(),(

, ssymétriquenxn matrices des espace:),(),(

1

Siegel a introduit l’espace SHn « nième demi-plan supérieur de Siegel ». SH1 est le demi-plan supérieur hyperbolic H.

0Im/),( Y(Z)CnSymiYXZSH n L’espace de Siegel est l’espace homogène correspondant au groupe

symplectique quotient par le sous-groupe compact maximal . Le groupe est une sous variété de

),( RnSp n,RSOn,RSpKn 2 nKn,RSp /

nn UCnGLX 22 /),2(


Géométrie Symplectique et Espace de Siegel Espace homogène

Le groupe est le groupe des biholomorphismes de via les transformations de Möbius généralisées :

nSH

On montre que M(Z) appartient à SHn :

nIRnSpRnPSp 2/),(),(

1)(

DCZBAZZM

DCBA

M

0)Im(symétrique

invertible

)0)Im(,( 1

1

1

EFEF

EFM(Z)F

ZZZSHZJJMM

DCZBAZ

FE

IZ

M

-

Tn

T

L’action du groupe symplectique sur SHn est transitive :

nSHZM )(

iYX(iI)

XZZZYYZ

YXYY

YY

IXI

Zn

n

1

2/12/1

2/1

2/12/1

2/1

2/1

1

et

000

0


Géométrie Symplectique et Espace de Siegel Action sur le demi-plan de siegel

Si on utilise que : 021)Im(, alors ZZi

ZZZSHZ Tn

(2) 021

(1)

0Imcar 021

21

car 0

et

EFFEi

EFFE

(Z)IZ

JIZiF

EJFE

i

ZZIZ

JIZJFE

JFE

JJMMDCZBAZ

FE

IZ

M

TT

TTT

T

0)Im()2(et symétrique )1(

invertible 0000 si11

EFEF

FvvEFFEvFvFv


Géométrie Symplectique et Espace de Siegel Algèbre Linéaire Symplectique

Une matrice symplectique est de déterminant 1 : Soit ,on appelle (et la transformation associée)

hyperbolique si M n’a aucune valeur propre sur le cercle unitécomplexe :

Soit M une matrice Symplectique sans valeur propre de module unité, alors M est symplectiquement similaire à une matrice de la forme :

Le sous-groupe (matrices symplectiques orthogonales) est caractérisé par des matrices de la forme :

1det M

nn ORSp 22

RSpM n2

niM ii ,...,1,1et

TA

A0

0

symétrique et avec BAIBBAAABBA T

nTT


Géométrie Symplectique et Espace de Siegel Métrique de Siegel

Le groupe est le groupe des biholomorphismes de via les transformations de Möbius généralisées :

agit comme un sous-groupe d’isométries :

nSH

La distance associée est :

nIRnSpRnPSp 2/),(),(

1)(

DCZBAZZM

DCBA

M


),( RnPSp

2/1

1

221 1

1log,

n

k k

kSiegel r

rZZd

Avec les rk les valeurs propres du bi-rapport :

12121

1212121,

ZZZZZZZZZZR

Soit (A,B) et (C,D) deux pairs de points dans , alors il existe une transformation symplectique qui transforme A en C et B en D si et seulement si :

KRSp n /2

jDCBA jj 11

ZdYdZYTrZdYdZYTrDCZBAZZ 111'11 ''''


Géométrie Symplectique et Espace de Siegel Invariants différentiels dans l’espace de Siegel

On cherche des expressions différentielles invariantes par le groupe G=Sp(n,R) : 1' DCZBAZZ

Etant donné Z=X+iY, les matrices les plus générales qui transforment Z dans le point i.In sont celles de la forme :

2/12/12/1

2/12/12/1

2/1

2/12/1

0 YXYYXYYY

YXYY

DCBA

n

ttt

t

IBCDADCZ(Z)DZC(Z')

DCZdZDCZdZ

car ImIm

'11

11

2/12/1 Zet Z , unitaire YiDCYiDCi On en déduit :

n

t

t

I(Z)YYi(Z)YYiY)(Z

iYdZYidZ

2/12/112/12/11

12/12/11

ImIm''Im

'

ainsi que l’identité : ZddZYYTrYZdYdZYTr

ZddZTrZdYdZYTr112/112/1

11 ''''''


Géométrie Symplectique et Espace de Siegel Invariants différentiels dans l’espace de Siegel

Nous venons de montrer que la formule différentielle (quadratique hermitienne) suivante est invariante par le groupe G=Sp(n,R) :

ZdYdZYTrds 112 Cette expression définit un ds2 hermitien défini positif invariant par G. Cette métrique ds2 est une métrique Kählérienne

0

21

1111

1111

dYddXTrYdYdYY

dXdYYYTrZdYdZYTri

L’élément de volume dans l’espace de Siegel invariant par G est donné par:

i jiijijiiii

jiij

jiijyxyx

yY

xX'2'

',

1

,

ji

ijji

ij δy'δx

En élevant à la puissance extérieure d’ordre n(n+1)/2, le volume invariant par G est donné par :


Géométrie Symplectique et Espace de Siegel Métrique de Siegel

agit comme un sous-groupe d’isométries :

La bijection suivante relie la métrique de Siegel à la métrique d2 :


),(: avec 1

1

1

RnSpSHKZ Z

Sp(n,R)/K:SHΦ

n

n

nn

),( RnPSp

nSiegel SHWZWZdWZds , )(),(2),( 112

BBAA

ABBA

OiIStabKO

TT

nn

et avec

et

2/1

2/12/1

2/1

2/1

1 000

0 YXYY

YY

IXI

Zn

n

BABAMaxBABAdp

pn

i

p

jp1

11

1

/1

1

1 log,loglog),(

Lien avec la métrique dp :


Géométrie Symplectique et Espace de Siegel Autres modèles de l’Espace de Siegel

La compactification naturelle de est donnée par le domaine bornée qui est une extension du disque unité de Poincaré, biholomorphe à .

nSH

ZZZIZSym(n,C)/ZSDn 22

avec

nSD

La frontière de est appelée frontière de Shilov, c’est l’ensemble des matrices nxn unitaires symétriques . Les deux espaces sont reliés par la transformée de Cayley :

nSDnSH

nSD)(nUSym

12

nn

nn

iIZiIZZ

SD:SHΦ

1

12

ZIZIiZ

SH:SDΦ

nn

nn

Les biholomorphismes de sont données par les transformations

de Möbius généralisées induites par le sous-groupe :nSD

nn

T

nnnn

SDZUUUZUZMMRnSpMStabM

IIdiagMIIdiagMCnSLMnnSUnnSUCnSpRnSp

,,)(0)0(/)',()0(

),(),(/),2(),(,,)',(

*

)',( RnSp


Géométrie Symplectique et Espace de Siegel Autre modèle de l’espace de Siegel

Modèle projectif de :nSH

n

nn

IZ

Z

SPH:SHΦ

3

nn IDCZBAZ

DCZBAZ

IZ

DCBA 1))((

Remarque : matrice triangulaire supérieure Soit G un sous-groupe de matrices triangulaires supérieures de type

bloks 2x2 dans alors G est généré par les translations et les congruences :

),( RnSp

100

),,(,)(

0 ),,( ,)(

TT

n

n

AA

QRnGLAAZAZQZ

IBI

TRnSymBBZZTZ


Géométrie Symplectique et Espace de Siegel Lien avec le cône symétrique

Pour nous ramener à notre cas d’étude, prenons x=0 :

0

0

n

n

II

J nIPJ 22

10

0et avec

YY

PIiY

LiLPJLn

1 avec 1 WWYIYIW nn

dYYdYYTrds 112

0)Im( avec 0 YZ)(XiYZ La correspondance entre les points de l’espace de Siegel et les

matrices P symplectiques symétriques et positives :

Autre représentation de l’espace de Siegel :

ds2 hermitien défini positif, définit une métrique Kählérienne invariant par G =Sp(n,R) :


Moyenne (géométrique symétrisée) & Géodésique


Moyenne Géométrique de matrices définies positives Rappel sur la moyenne géométrique de nombres réels positifs

Définitions de la moyenne géométrique de nombres réels positifs :

xxFbaxFx

xxtxabdt

tdxtxLimab

ab

ebeaabe

yxyxabbababa

bxxa

xMax

ue)arithmétiqtrique et que, géomé (harmonibabaabba

abba

babbabaabbaabLimaLimab

bxxaométriquemoyenne géabx

t

yxyx

nnn

nn

nnnnnnn

log)( avec /1))(('' que tel0 9)

0)0(et )(/1)( avec )( 8)

00

X : Möbius de ée transformla de positif fixepoint 7)

, avec 6)

/log),( avec ),(2),(2),( 5)

0 que tel 4)

,max2

2,min

2et 2et , avec 3)

desolution 2) )1

0

1

2

Rx

1100

1


Moyenne arithmetico-géométrique : C.F. Gauss

Gauss (à l’âge de 20 ans) & Lagrange indépendemment ont prouvés : Moyenne arithmético-géométrique de a et b :

Est reliée à l’intégrale :

La transformation de Landen donne :

aaaabbbbn

babababa

bab

baabababa

nnnn

nnnn

nnnn

nnn

nnn

0110

222

12

1

1

100

...... 0

022

2et ,, , 0

2/

02222 sincos

),(

),(

avec ),(

2/,

tbtadtbaI

bLimaLimbaM

baMbaI

nnnn

tabArctu

dttbtabaJbaabIbaJbaJ

baIabbaIbaI

tantan : nsf.Landen tra

sincos, avec ,,,2

,,2

, 2/

0

2222

11

11

4.J(a,b) : Périmètre de l’ellipsede demi-axes a et b


Moyenne Géométrique de matrices définies positives Extension de la moyenne géométrique à des matrices

définies positives : Le procédé itératif présenté pour les nombres réels positifs s’étend aux

matrices symétriques définies positives :

2/et 2

, avec

1111

1

00

nnnnnn

nnnn

BABBAA

BBAABLimALimBA

La moyenne géométrique est solution de l’équation de l’EDP :

SymX

XXABdtdX

tXLimBASymBAt

)0( avec )(,,

1

La moyenne géométrique est solution de :

0 t.q.(Loewner) matrice grande plus ,,

BXXA

BASymBA

La moyenne géométrique est également donnée par :

)det(log)( avec ))(('' 11 XXFBAXXAXF


2/12/12/12/12/12/12/12/12/12/1

2/12/12/12/12/12/1

2/12/12/12/12/12/11

))(()(

ABAAAXBAAXAA

BAAXAAXAABAAAXAXAABXXA

moyenne géométrique symétrisée La moyenne qui apparaît est bien une matrice symétrique ou

hermitienne définie positive :

Il s’agit bien du barycentre de Fréchet, qui minimise :

On peut remarquer que quand les matrices commutent, il s’agit de la moyenne géométrique classique :

qui n’est pas symétrique définie positive Une autre façon de retrouver la moyenne géométrique « symétrisée »

consiste à la trouver comme solution de l’équation de Ricatti :

2/12/12/12/12/1 ABAAABA

22/12/122/12/1 loglog XBBXAAMin

X

2/1ABBA


Moyenne de 2 matrices définies positives Pourquoi la moyenne géométrique plutôt que la moyenne

arithmétique : La Moyenne arithmétique ne tient pas en compte du fait que les

matrices sont des estimés statistiques :

Pour un modèle de loi multivariée gaussienne, la variance de la matrice R est proportionnelle à R. Pour tenir compte de cette variance pour la moyenne arithmétique, il faut considérer l’inverse de cette matrice qui fait intervenir le déterminant suivant qui n’a aucune raison d’avoir un bon comportement : En revanche pour la moyenne géométrique :

Elle tient compte de la variance de la matrice

2ˆ BAR uearithmétiq

12/)(det BA

2/1

commutent Bet A

2/12/12/12/12/1 ABBAABAAABA

22212

)(

dsds

wdRRTrds

w


Géodésique On en déduit l’expression de la géodésique

22/12/12 )(log)(, AtAtAD

BABA

tABAAAt t

)2/1()1(et )0(

10 avec )( 2/12/12/12/1

)(tt ]1,0[t

),(.))(,( BADttAD

)2/1(BA


Méthodes récursives du calcul de la racine carrée Itération de Denman-Beabers :

Itération de Schultz (sans inversion de matrice) :

Méthode de Björk via la décomposition de Schur :

Racine Carrée d’une matrices définies positives

0

00

021

00

1

1

1

11

k

k

k

k

k

kk Y

ZZ

YZ

YX

00

0 IA

Xavec alors

00

2/1

2/1

AA

XLim kk

)3(21

00 2

1

11 kk

k

kk XIX

ZY

X

TAQQ Avec T triangulaire supérieurePar récurrence, on calcule : QUQATU 2/12


Moyenne Géométrique de matrices définies positives Moyenne de N matrices symétriques définies positives :

Comment étendre les approches précédentes pour trouver la définition d’une moyenne sur N matrices symétriques définies positives. Une approche naïve consisterait à faire :

non valideeBet

2)

pascommutent ne les sipositives définies ssymétrique passont ne

... )1

A

2/11

2/12/112

2/11

2/12/loglog

/121

121

B

AA

i

NN

eA

AAAAAe

A

AAA

L’extension de la définition de la moyenne de N matricesSymétriques définies positives est un problème ouvert


Moyenne Géométrique de matrices définies positives Moyenne de 3 matrices symétriques définies positives :

Une première idée pour 3 matrices proposé par Denes Petz en utilisant une récursion interprétée comme une procédure de symétrisation :

nnnnnn

nnnnnnnnn

CLimBLimALimCBAGCBCCABBAA

CCBBAAABAAABA

,, , ,

, ,

111

111

2/12/12/12/12/1



Une extension de la moyenne géométrique à N matrices définies positives a été proposée récemment par T. Ando sur la base des propriétés suivantes :

3/1

1111

222111

212121

****

000000

3/1

3/1

det.det.det,,det : P9

,,,, : P8

10 avec ,,1,, )1(,)1(,)1( : P7

,,,, ,inversible : P6

),,(),,( monotones tesdécroissan séquences ,, : P5

),,(),,(,, Si : P4),,(),,( alors

),,( den permutatio ),,( : P30,, avec ),,(,, : P2

),,(et ),,( alorscommutent et Si : P1

CBACBAG

CBAGCBAG

λCBAGCBAλGCλCBλBAλAG

SCBAGSCSSBSSASSGS

CBAGCBAGCBA

CBAGCBAGCCBBAACBAGCBAG

CBACBAπCBAGCBAG

AAAAGABCCBAGCA,B

nnnn

nnn



T. Ando, C.K. Li et R. Mathias ont proposé la procédure suivantes pour N matrices :

AAALimAAAAG

rAGAGATA

AAA

AG

AAG

AAAAAAAG

r

rkk

kir

iir

irr

k

lii

k

~,...,~ avec ~,,...,

,...2,1 , )(,...,)(

,...,

connu )(

,..., : matricesk pour moyenne lat Connaissanfaire N,...,3kPour

,

)(11

1)(

1)()()1(

11)1(

1k1l

1

2/11

2/12/112

2/11

2/1121


Du Barycentre de Fréchet au Barycentre de Karcher


Problème à résoudre « Barycentre de N matrices » :

Moyenne barycentrique

Mediane (Point de Fermat-Weber)

Algorithmes de la moyenne/Médiane : critère à optimiser

N

kk

XXBXdXfX

1,arg)(arg minmin

2

N

kk

XXBXdXfX

1

22 ,arg)(arg minmin

VTBXfgrad X

N

kkX

1

12 exp)(

1

N

kk

AXBXdXfX

11 ,arg)(arg minmin

VT

BXdBXfgrad X

N

k k

kX

1

1

1 ,exp)(


NkkB 1



Flot de gradient sur une variété


Moyennage de matrices


Moyenne de matrice

2

N

kk

XXBXdXfX

1

22 ,arg)(arg minmin

VTBXfgrad X

N

kkX

1

12 exp)( nXn XfgradX

n 21 .exp

2/12/1

2/12/12/12/11

2/12/1

)(exp

logexp

XeXV

XUXXXUVXX

X

X

2/1

log2/1

11

2/12/1

n

XBX

nn XeXX

N

knkn

avec

2/12/12/12/12 log,log, XBXXBXBXd kkkavec


La géodésique entre 2 matrices X et Y est donnée par :

La moyenne est définie comme barycentre au sens de Fréchet :

X

Y


2/1 2/12/12/12/1log2/1 2/12/1

)( XYXXXXeXt tYXXt

2/1log2/1

2/1..2/1

2/12/12/12/11

2/12/1

2/12/1

),(exp

),(exp

logexp)(

XeXtv

XeXtv

XYXXXVVgradv

YXXtYXX

XvXtYXX

XYX

YX

YX

2/1/21 2/12/12/12/1 XYXXXYX

YX )1(et )0( 1,0 avec t


Il s’agit d’un flot de gradient sur la variété Algorithme par descente de gradient

La tangente en X à la géodésique rejoignant X à Bk

La somme des tangentes en X des géodésiques de X aux

2/12/12/12/10

2/1log2/12/1 2/12/12/1

log)()(

2/12/1

XXBXXdt

tdXeXXXBXXt

ktk

k

XBXttkk

k

kkk

2/1

1

2/12/12/1

10 log )( XXBXXG

dttdG

N

kkX

N

kt

k

kX

NkkB 1


Karcher Barycenter & Jacobi Field

2/1log2/12/1 2/12/12/1 2/12/1

)( XeXXXBXXt XBXttkk

k

2/12/12/12/10 log)( XXBXX

dttd

ktk

N

k

N

kkt

k XXBXXdt

td1

2/1

1

2/12/12/10 0log)(

1B 2B

3B

4B

5B

6B


Notations

Soit une géodésique et on introduit une famille de geodesiques , où y est fixé. soit et . Alors est une famille

de champ de Jacobi. De plus, . Ceci permet de calculer

et correspondent aux dérivées cocvariantes

))(exp(exp),( 1 tstsc yy

),( tscs ),(' tscdsdc

),('))(,( tsctyd

),('),,(' tsctscdtd

),( tscdtdc

dtD

dsD


Calcul du gradient

Par bilinéarité, on trouve

En utilisant le fait que , et que (équation géodésique), du au fait que ne dépend pas de s.

Alors,

comme

1

0),('),,(2),('),,('2),('),,(' dstsctsc

dsDtsctsc

dtDtsctsc

dtd

cdsDc

dtD

' 0'cdsD

'c

),1('),,1(),('),,(2),('),,(21

0

1

0tctcdstsctsc

dsddstsctsc

dsD

0),0(' tc


Calcul du gradient

Par définition de c, et On conclue que

Ceci est valide pour tout chemin géodésique , aussi avec et , on obtient le résultat final

)(),1( ttc )(exp),1(' 1)(

ytct

)(exp),(2),('),,(' 1)(

yttsctscdtd

t

)(exp2),( 12 yyxdistxx

x)0(0t


Notion d’espace symétrique


En géométrie riemannienne, un espace localement symétrique est une variété riemannienne (M,g) telle que, (localement) autour de chaque point x, il existe une symétrie σx qui inverse les géodésiques issues de x et qui est une isométrie (locale). Un espace localement symétrique est dit symétrique si les

symétries peuvent se prolonger à tout l'espace. De manière équivalente, une variété riemannienne (M,g) est dite symétrique lorsque, pour tout point x de M, il existe une isométrie σx:MM vérifiant : σx(x) = x ; dσx(x) = − Id.

Cette isométrie σx est appelée l'involution en x. Propriétés : Tout espace symétrique est une variété riemannienne

géodésiquement complète, donc complète en vertu du théorème de Hopf-Rinow. Il existe une et une unique involution en x. Le tenseur de courbure d'une variété riemannienne est parallèle.



Pour l’espace considéré, la géodésique entre deux matrices A et B est donnée par :

Pour l’espace symétrique des matrices symétriques ou hermitiennes définies positives, pour chaque paire (A,B), il existe une isométrie bijective qui vérifie :

et Cette isométrie a un unique point fixe Z qui est donné par le milieu

de (A,B), c’est à dire la moyenne géométrique précédemment définie :

avec

Et les propriétés : et Ceci est différent de l’approche classique en traitement du signal

qui suppose un espace normé euclidien :

avec et


1,0 avec )( 2/1log.2/12/1 2/12/12/1 2/12/1

tAeAABAAAt BAAtt

),( BAG ),( BAG BA ),( ABG BA

ZXdXXGd BA ,2,),( )(X -1

),( BABAXG BA 2/12/12/12/12/1 ABAAABA

X- ),( BABAXG BA

2BABA

FBA

),( BABAG BA ),( IBAdG BA



),( AGB BA

BGA BA ),( BAXBAXG(A,B)

X

2

BABA

Espace Normé : isométrie(approche traitementdu signal Classique) ),( AGB BA

BGA BA ),(

)(X -1),( BABAXG BA

X

2/1/21 2/12/12/1 ABAAABA

Espace métrique : isométrie

1,0)( 2/1 2/12/12/1

tABAAAt t

Espace Normé : Géodésique

A)0(

B)1(

A)0(

B)1(

1,0)(

tABtAt

Espace métrique : Géodésique

Courbure nulle Courbure négative


« La Messe est dite » par Marcel Berger

• Premier Miracle :

La théorie des espaces symétriques peut être considérée comme le premier miracle de la géométrie riemannienne, en fait comme un nœud de forte densité dans l’arbre de toutes les mathématiques. … On doit à Elie Cartan dans les années 1926 d’avoir découvert que ces géométries sont , dans une dimension donnée, en nombre fini, et en outre toutes classées.

• Second Miracle :

Entre les variétés localement symétriques et les variétés riemanniennes générales, il existe une catégorie intermédiaire, celle des variétés kählériennes. … On a alors affaire pour décrire le panorama des métriques kählériennes sur notre variété, non pas à un espace de formes différentielles quadratiques, très lourd, mais à un espace vectoriel de fonctions numériques (le potentiel de Kähler). … La richesse Kählérienne fait dire à certains que la géométrie kählérienne est plus importante que la géométrie riemannienne.

• Pas d’espoir d’autre miracle :

Ne cherchez pas d’autres miracles du genre des espaces (localement) symétriques et des variétés kählériennes. En effet, c’est un fait depuis 1953 que les seules variétés riemanniennes irréductibles qui admettent un invariant par transport parallèle autre que g elle-même (et sa forme volume) sont les espaces localement symétriques, les variétés kählériennes, les variétés kählérienne de Calabi-Yau, et les variétés hyperkählériennes.

Marcel Berger (IHES), « 150 ans de Géométrie Riemannienne »,Géométrie au 20ième siècle, Histoire et horizons, Hermann Éditeur, 2005

Read More : Marcel Berger, « A Panoramic View of Riemannian Geometry », Springer 2003

M. Berger


Médianage de matrices


Médiane de matrice

2/12/1

2/12/12/12/11

2/12/1

)(exp

logexp

XeXV

XUXXXUVXX

X

X

0detet

loglog avec1

22/12/1

2/1loglog

2/11

12/12/1

2/12/1

kn

M

iiFnkn

nXBXXBX

nn

BX

XBX

XeXX

N

k Fnkn

nkn

1

N

kk

XXBXdXfX

11 ,arg)(arg minmin

VT

BXdBXfgrad X

N

k k

kX

1

1

1 ,exp)( nXn XfgradX

n 11 .exp


Médiane plus robuste que moyenne

X : moyenne

: médiane

La médiane est insensible à la présence de points aberrants tant qu’ils restent minoritaires

La moyenne est immédiatement perturbée par la présence de points aberrants


Mediane et point de Fermat-Weber

Laplace (1774) : Laplace a appelée cette valeur « le milieu de probabilité » ou « la valeur probable ». Le terme mediane a été introduit par Cournot dans l’Exposition de la théorie des chancesen 1883.

mxEMinmediandxxPmedian

mX 5.0).(0


Algorithme de gradient non convergent Algorithme médian par descente de gradient

Non différentiabilité aux points de données : problème de convergence En théorie : régularisation au voisinage des points de données et

extraction diagonale (algorithme général adapté de Huiling Le, mais long d’exécution) En pratique : Assez souvent, les points donnés « entourent » la médiane :

convergence Prendre un pas voisin de la précision voulue (50 itérations

suffisent ici )

0detet

loglog avec1

22/12/1

2/1loglog

2/11

12/12/1

2/12/1

kn

M

iiFnkn

nXBXXBX

nn

BX

XBX

XeXX

N

k Fnkn

nkn


Mediane : autre algorithme de gradient régularisé Autre Algorithme Régularisé proposé Critère de minimisation régularisé

Résolution itérative de problèmes d'optimisation convexes régularisés, dont la suite des solutions converge vers la médiane. Étape m :

Critère d’arrêt :

converge

convergeconvergeconverge

N

k Fmkm

nmknm

econvergenc

nmm

Fnmnmnm

nmXBX

XBX

nmnm

nmmm

XX

XXX

XeXX

XXX

,11

2/11,1,

2/11,1

2/1,1

log

log

2/1,11,1

,0,1

alors

log:arrêt

12/12/1

2/1,1

2/1,1

N

k km

k

Xm BXd

BXdX1

2

1 ,,argmin

Fmmm XXX 2/1

12/1

1log


Equation de diffusion sur un graphe de matrices


Equation de la chaleur de Joseph Fourier « Les équations différentielles de la propagation de la

chaleur expriment les conditions les plus générales, et ramènent les questions physiques à des problèmes d’analyse pure, ce qui est proprement l’objet de la théorie ... Les formes des corps sont variées à l’infini, la distribution dela chaleur qui les pénètre peut être arbitraire et confuse; mais toutes les inégalités s’effacent rapidement et disparaissent à mesure que le temps s’écoule. La marche du phénomène devenue plus régulière et plus simple, demeure enfin assujettie à une loi déterminée qui est la même pour tous les cas, et qui ne porte plus aucune empreinte sensible de la disposition initiale ... .Les théories nouvelles, expliquées dans notre ouvrage sont réunies pour toujours aux sciences mathématiques et reposent comme elles sur des fondements invariables; elles conserveront tous les éléments qu’elles possèdent aujourd’hui, et elles acquerront, continuellement plus d’étendue. »

Joseph Fourier (1768-1830), « Discours préliminaire à la théorie analytique de la chaleur »

J. Fourier


Équation de diffusion & géodésique Équation de diffusion sur un graphe 1D de données scalaires Dans un espace vectoriel normé dans le cas unidimensionnel,

l’équation de diffusion s’écrit via le Laplacien discret:

avec la moyenne arithmétique : L’équation de Fourier discrétisée peut également s’écrire :

Par analogie sur la base du flot de Karcher, il est possible d’écrire une équation de diffusion sur un graphe 1D de matrices,via la moyenne géométrique des voisins :

nnnnnn uu

xxuu

xuu

xtu

xu

tu

ˆ21

211

2

2

2/ˆ 11 nnn uuu

2,,,,2,12 avec ˆ.).1(ˆ2

xtuuuu

xtuu tntntntntnn,t

tnA ,ˆ tntn AA ,1,1 ,

2/1

,1/21 2/1

,1,12/1,1

2/1,1,2

2/1,

2/1,,

2/1,

2/1,

2/1,

ˆlog22/1

,1,

êt x

t2 avec

ˆ2/1

,,2/1

,2

tntntntntntn

tntntntntntn

XXXx

t

tntn

XXXXXX

XXXXXXeXXtntntn

J. Fourier


Diffusion isotrope par l’équation de la chaleur de Fourier

2

2

2

2

yu

xuu

tu


Équation de diffusion & géodésique Équation de diffusion sur un graphe 1D de matrices

Interprétation géométrique : A partir des géodésiques et entre , et :

Comme dans le cas euclidien on remplace la moyenne pondérée par un barycentre pondéré géodésique :

2/1

,1/21 2/1

,1,12/1,1

2/1,1,2

2/1,

2/1,,

2/1,

2/1,

2/1,

ˆlog22/1

,1,

êt x

t2 avec

ˆ2/1

,,2/1

,2

tntntntntntn

tntntntntntn

XXXx

t

tntn

XXXXXX

XXXXXXeXXtntntn

)(1,

, tn

tn

XX

)(,

,

ˆ tn

tn

XX tnX , 1, tnX tnX ,

ˆ

2/1,,

2/1,2

2/1,1,

2/1,

ˆlog2log

tntntntntntn XXXx

tXXX

tn

tntnXtnX

tn

tn

tn

tn XX

XX

XX TT

dd

xt

dd

,

,1,,

,

,

1,

, ˆ

0

ˆ

2

0

//)(

.2)(

yxyx )1(.

2/12/12/12/1 ABAAABA

J. Fourier


Équation de diffusion : contrainte de discrétisation Une première remarque concernant une contrainte qui apparaît :

vfffff

Tx

txvv

xuuuuuuuu

u

xtuuuu

xtuu

EE

EE

tntntntn

tntntntnn,t

tntntntntnn,t

242

avec 1Shannon on vérifie Si

posant en 2soit 1ˆ si ,ˆ

ˆ si ˆ,

2 avec ˆ.).1(ˆ2

maxmax

,,,,

,,,,1

2,,,,2,1


Équation de diffusion : Du discret au continu L’équation de diffusion discrète sur un graphe 1D de matrices

symétriques ou hermitiennes définies positives est donnée par :

Pour remonter à l’équation continue de diffusion, il faut utiliser l’équation de Campbell-Hausdorff :

2/1

,1/21 2/1

,1,12/1,1

2/1,1,2

2/1,

2/1,,

2/1,

2/1,

2/1,

ˆlog22/1

,1,

êt x

t2 avec

ˆ2/1

,,2/1

,2

tntntntntntn

tntntntntntn

XXXx

t

tntn

XXXXXX

XXXXXXeXXtntntn

YXXYYX

XYYYXXYXYXee YX

, avec4 degré de termes

,,121,,

121,

21log


Équation de diffusion : Du discret au continu L’équation de diffusion discrète ré-écrite via l’équation de

Campbell-Hausdorff :

2/1

,,2/1

,2/1

,1,2/1

,2

2/1,,

2/1,2

2/1,1,

2/1,

2/1,,

2/1,

2/1,1,

2/1,

2/1,,

2/1,

2/1,1,

2/1,

ˆloglogˆloglog

ˆlog,log1

ˆlog2log

0ˆlog,log21

ˆloglog

0log2/1

,,2/1

,2/1

,1,2/1

,2/1

,,2/1

,2/1

,1,2/1

,

tntntntntntn

tntntntntntn

tntntntntntn

tntntntntntn

XXXXXXXXXXXX

XXXXXXx

XXXxt

XXX

XXXXXX

XXXXXX

eeIee tntntntntntntntntntntntn

2

2

2

2 log,log2

loglogx

Xt

Xdtx

Xt

X


Équation de diffusion anisotrope Regardons maintenant le cas anisotrope classique : Dans le cas général diffusion sur une variété, l’équation de diffusion

de Laplace-Beltrami s’écrit : Métrique :

Équation de diffusion :

Dans le cas 1D isotrope :

Dans le cas 1D anisotrope :soit :

2

222

xu

tudxds

Njiji

N

kjiji ggdxdxgds

1,,1

,2 avec

Njiji

ji j

ij

i

ggxugg

xgtu

1,,1

, avec )det(

)det(1

22

222 1 dxxududxds

2

1xug

xu

xu

xxu

tu

2/122/12

11


Équation de diffusion anisotrope : cas scalaire 1D Dans le cas 1D anistrope :

Si on discrétise :

avec

xu

xu

xxu

tu

2/122/12

11

xuu

xuu

xt

uu tntntn

tntntn

tntnn,t

,1,,

,,1,

,,1

.

2

,1,1, 1

xuu tntn

tn

2

,,1, 1

xuu tntn

tn

2

,1,, 1

xuu tntn

tn



Diffusionisotrope

Diffusionanisotrope



En bleu, signal soumis à la diffision anisotrope

En vert, différence entre le signal original auquel est soustrait le signal

diffusé anisotropiquement au cours de la diffusion

(apparition des cibles)


diffusion anisotrope sur un graphe de matrices Dans le cas 1D anisotrope, par analogie sur un graphe de

matrices :

Pour la distance , on prend :

2/12,1,

,

2/12,,1

,

2/12,1,1

,2,,,

,,

,

2/1,1

2/1,1,1

2/1,1

2/1,1

2/1,1

log2/1,1,

2/1,

2/1,,

2/1,

2/1,

2/1,

ˆlog2/1,1,

,1et

,1

,1,

. ,

ˆ avec

ˆ2/1,1,1

2/1,1

2/1,,

2/1,

xXXd

xXXd

xXXd

xt

XXXXXXeXX

XXXXXXeXX

tntntn

tntntn

tntntn

tntntn

tntn

tn

tntntntntntnXXX

tntn

tntntntntntnXXX

tntn

tntntn

tntntn

0detet

loglog,

21

1

22/112

2/1121

XX

XXXXXdM

iiF


Diffusion Isotrope Simulation


Diffusion anisotrope Simulation


Les différentes diffusion à 50 itérations


20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Diffusion classique Diffusion médianage

Diffusion

Isotrope

Diffusion

Anisotrope


Les différentes diffusions

156

Diffusion Isotrope Diffusion Anisotrope

Medianage Isotrope Medianage Anisotrope

Moyennage Isotrope Moyennage Anisotrope


Métrique de Siegel pour les modèles autorégressifs complexes


Modèle Multivarié Gaussien Complexe CirculaireModèle du signal Radar : Modèle Multivarié Gaussien Complexe Circulaire :

Modèle Radar :

Utilisation d’un modèle autorégressif complexe :

Littérature mathématique + lien avec l’algorithme d’Issai Schur (1875-1941) [Alpay] D. Alpay, « Algorithme de Schur, espaces à noyau reproduisant et

théorie des systèmes », Panoramas et synthèse, n°6, Société Mathématique de France, 1998

nnnnnnn

RRTrn

nnn

RREmYmYR

eRRYp nn

êt .ˆ avec

..)()/(1.ˆ1

kikkkk

n

n

nnn

n

eibayy

yY

YYER

m

avec

positive définie Toeplitz ehermitienn


1

TNN

NNkknn

N

knkn

Nkn aaAbbEbyay )()(

12

0,*

1

)( ...et avec


Structures blocks des modèles CAR Les modèles autorégressifs complexe modélise le signal

radar multivarié gaussien complexe circulaire de moyenne nulle.

Rappel : Métrique de Rao-Siegel dans le cas Hermitien défini positif :

La matrice de covariance a une structure blocks :

TABTrBAAAAdRRRdRRTrds ,et , avec 222/12/1212

0detet loglog, 2/112

2/11

1

222/112

2/1121

2

IRRRRRRRRDn

kk

1111111

1111

....

nnnnnn

nnnn AARA

AR

111

1111111

....

nnn

nnnnnnn RAR

RAARAR

*)()(111

121 .

00100100

où 1

.0

et .1 avec VVAA

A nn

nnnnn


Géométrie du demi-plan/disque de siegel Etude du domaine fondamental de Minkowski : Domaine fondamental étudié par Minkowski (utilisation du système de coordonnées

partielles d’Iwasawa) (lien avec l’algorithme de Goldberg : inversion d’une matrice de covariance avec modèle autorégressif)

Domaine fondamental par Grenier, il utilise le système de coordonnées :


Structures blocks des modèles CAR La matrice ou qui

intervient dans la métrique de Siegel conserve la structure Blocks

Conservation de la structure Blocks :

On en déduit que les valeurs propres étendues sont zéros de la fonction :

2/1)1(1)2(2/1)1( .. nnn RRR 2/1)1()2(2/1)1( .. nnn RRR

)1(1

)2(1

1-n)1(1

)2(1

2/1)1(1

)1(11

111111

1112/1)1(1)2(2/1)1(

et .. avec

....

..

n

nnnnnn-

nnnnnn

nnnnnnn

AARW

WWWW

RRR

111

1)(

11)()(

1,

)(

1

1)()1(

2)1(1)(

11)()()(

.....1

0.

..

nnnn

knnn

kn

k

nk

n

in

kn

i

ninn

knnn

kn

kn

WUIUXX

XWF


Structures blocks des modèles CAR On en déduit un algorithme récursif sur l’ordre et

parallèlisable pour chaque valeur propre étendue :

111

1)(

11)()(

1,

)(

1

1)()1(

2)1(1)(

11)()()(

.....1

0.

..

nnnn

knnn

kn

k

nk

n

in

kn

i

ninn

knnn

kn

kn

WUIUXX

XWF

..

.1 )(1,

)(2/1

1

12)()1(

2)1(12)(

)(1,

)(

nk

nk

n

in

kn

i

ninn

knk

nk

XXXW

XX

1

12)1(

2)1(1

)1(

12)(1,

)(

1)(

1..

.1.

n

kn

k

nkn

nk

nnk

nk

nn XA

X

F

nnnnn

nn

nn

n Tr

)(1

)1(1

)(2

)(1

)1(1

)( ...0

1111

11.

nnnnn AA

TrTr

)()4( F

Courbe strictement croissante sur chaque intervalle :

)3(1

)3(2

)3(3

4Tr

)4(1

Renormalisation à chaque itération :

avec

)4(3

)4(2

)4(4

.A

1

1

n

1=k)(

1,

)(1)()(

1-n

1

1)()(

nk

nk

nk

n

n

k

nk

n

XXF

F

Interprétation en terme de projection :

0


Récursivité sur l’ordre de la métrique de Siegel Si on utilise la structure blocks des matrices, on peut

calculer la métrique de Siegel à l’ordre n par rapport àl’ordre n-1

Equation récursive sur la métrique de Siegel faisait apparaître la matrice de Fisher sur les paramètres autorégressifs:

On peut remarquer que le second terme s’écrit :

Ceci s’interprète en terme de géométrie de l’information

1111

2

1

121

212 ....

nnnn

n

nnnnn dARdAddsdRRTrds

1

1

111

11111

2

1

1 log0

01.

log...

n

n

nnn

nnnnn

n

n

Ad

RAddARdAd

11

111ˆ

log

nn

nnnA

A

RAIn

111

1

1

1

001loglog

nnn

n

n

n

Ri

AAZ

Extension du casGaussien scalaire(Géométrie de l’information)


Racine carré non-symétrique du groupe de Siegel On s’intéresse à la décomposition de Cholesky de la

matrice : En faisant intervenir les racine carrée des matrices définies positives :

Toute distribution de variable n-dimensionnel est associée naturellement au groupe Affine : c’est l’élément tel que son action sur le vecteur le transforme en vecteur aléatoire :

On peut considérer cette représentation des éléments du groupe affine comme la racine carrée non-symétrique d’un élément du groupe de Siegel :

2/11

2/1112/1

11

2n

1111

121

.et 01

1 avec

.

1.1..

nnnnn

n

nnnn

nnnnnnn

AW

AAAA

WWR

),0(~ nn INZ

),(~ nnn ANX

XAZZA nnnn

1.

11.

01

12/11

2/111

1111

1

.1

nnnn

n

AAAA


Expression récursive de la divergence de Kullback On s’intéresse à l’expression récursive de la divergence de

Kullback : La structure de la divergence de Kullback est donnée par :

Si on utilise de plus les relations suivantes :

On obtient l’expression récursive sur l’ordre de la divergence de Kullback :

nTrRRK nnnn ln21, )2()1(

)1(11

)1(1

2)1(

)1(

)1()1()1()1()1(1

)2(1

1-n)1(1

)2(1

)1(11-n

111111

1112/1)1(1)2(2/1)1(

001

01

1

1

.. avec et .Voù

....

..

nn

n

n

n

nnnnn

nnnn

nnnnnn

nnnnnnn

FIA

F

FFRAAF

VVVV

RRR

11. nnn 1111 .1. nnnnn VVTrTr

11111)2(1

)1(1

)2()1( ln..121,,

nnnnnnnnn VVRRKRRK


Modélisation variationnelle de l’analyse autorégressivecomplexe et le flot de la chaleur sur ces modèles


Formalisation variationelle de l’analyse AR Le théorème de Parseval permet de modéliser l’analyse

autorégressive complexe sous forme variationnelle : Le théorème de Parseval nous dit que :

Si on rajoute un terme de régularisation ( a priori de douceur spectrale) :

Grâce à l’isomorphisme canonique entre le plan Euclidien et le plan complexe, nous formalisons le problème de régularisation de la prédiction linéaire sous l’angle du calcul des variations.

21

0

2)( )()(ˆ)( keEdffSfA nzn

n

kkn

nkkkn zazzke

0

)(ˆ)(

)()(ˆ)(,,

avec ,,)(

)(2)()()(

1

0

)()()(

fAfSfAAAfL

dfAAfLfAS

nfz

nnf

n

nf

nn

*2

0

)(0

2)()( êt ˆ)(ˆ ,1et )( kmmkk

fkjkz

n

k

nfkink

n zzErerfSaeafA

2XX

tiquecas quadra


Formalisation variationelle de l’analyse AR La solution variationnelle de l’analyse autorégressive ,

donnée par l’équation d’Euler-Lagrange Complexe, est solution de l’EDP de type « Schrödinger » :

Equation d’Euler-Lagrange « complexe » (régularisation quadratique) :

Solution de l’EDP :

Dans le cas non régularisé, le Cepstre évolue comme suit :

)*()*( nnf A

LAL

dfd

)(ˆ).()(.)( )(2

)(2)(

fSfAf

fAt

fAz

nnn

2)(2)()()( )()(ˆ)(,, fAfSfAAAfL nfz

nnf

n

)()()(ln)()(

)()( fSt

fCfAfC z

nnn


Formalisation variationelle de l’analyse AR Le théorème de Kolmogorov-Szegö-Krein devient alors

une conséquence du théorème d’Emmy Noether : La fonctionnelle est invariante selon :

Le théorème de Noether nous indique alors que :

Ce qui est l’objet du théorème de Kolmogorov-Szegö-Krein :

NnsnfffAefAfA

fASfAS

nnsin

sn

s

nn

ns

et où )(et )(.)()( avec

)())(()(.)()(

)()(

fcstef.S(f)Af

(f).S(f)Az

(n)z

(n)

02

2

2/1

2/1

)(

).(log2/1

2/1

2)( ).(.)(dffS

zn

A

z

nedffSfAInf 2)(

2

)()(

fAfS

nz


Régularisation variationnelle d’un modèle AR Exemple de régularisation :

On observe la disparition des pics parasites sur une analyse Autorégressive à très faible nombre d’échantillon :


Procédé parMédiane de modèles autorégressifs complexes


Géométrie de Kähler La géométrie d’Erich Kähler étend la géométrie

Riemannienne au domaine complexe : La forme riemannienne définie positive définissant la métrique de

Kähler est donnée par :

Condition de Kähler condition : Il existe localement une fonction potentielle de Kähler, (et les équivalentes Pluri-harmoniques) telle que :

Le tenseur de est alors donné par :

Et la courbure scalaire :

n

ji

jiji dzdzgds

1,

2 .2

jiji zzg

2

ji

lkji zz

gR

detlog2

n

lklk

lk RgR1,

.


Modèle Autorégressif ComplexeModèle du signal radar : Modèle multivarié complexe circulaire :

Modèle Radar :

Modèle autorégressif complexe :

Lien avec l’algorithme de Issai Schur’s algorithm (1875-1941) [Alpay] D. Alpay, « Algorithme de Schur, espaces à noyau reproduisant et théorie

des systèmes », Panoramas et synthèse, n°6, Société Mathématique de France, 1998

nnnnnnn

RRTrn

nnn

RREmZmZR

eRRZp nn

êt .ˆ avec

..)()/(1.ˆ1

ki

kkkkT

nn

nnn

n

eiyxzzzZ

ZZER

m

avec

Positive Définie eHermitienn Toeplitz


1

TNN

NNkknn

N

knkn

Nkn aaAbbEbzaz )()(

12

0,*

1

)( ...et avec


Estimation des paramètres autorégressifs régularisés Nous utilisons l’algorithme de Burg régularisé (brevet THALES : F. Barbaresco,

« Procédé et dispositif de détermination du spectre de fréquence d’un signal », brevet n° 95 06983, Juin 1995)

)(.)1()( )1(.)()(

11 , .

1

).()2.( avec ..2)1()(1

...2)1().(2 à 1Pour : (n) .

1

)(.1ech.) nb. : (N 1 , )()()(f

:tion Initialisa .

1*

1

11

)(

)*1()1()(

)(0

221

)(

1

1

0

2)1()(21

21

1

1

1

)1()1()(*11

)0(0

1

20

00

kfkbkbkbkfkf

a

,...,n-k=aaa

a

nkakbkf

nN

aakbkfnN

MnItérationa

kzN

P

,...,N k=kzkbk

nnnn

nnnn

nn

n

nknn

nk

nk

n

nkN

nk

n

k

nk

nknn

N

nk

n

k

nkn

nk

nknn

n

N

k


modèle autorégressif et matrice de covariance La matrice de covariance et son inverse peuvent être

paramétrée à partir des paramètres du modèle autorégressif : Structure Blocs de la matrice de covariance :

1111111

1111

....

nnnnnn

nnnn AARA

AR

111

1111111

....

nnn

nnnnnnn RAR

RAARAR

*)()(111

121 .

00100100

où 1

.0

et .1 avec VVAA

A nn

nnnnn


Métrique de Kähler d’un modèle autorégressif complexe Dans le cadre de la géométrie Affine de l’information, la

métrique est donnée par le Hessien de l’entropie qui joue ici le rôle du potentiel de Kähler :

L’entropie d’un modèle multivarié gaussien de moyenne nulle :

On peut choisir comme modèle de paramétrisation les coefficients de réflexion

enRRΦ logdetlog~

-RHΗΗΦg

jiij

et ~2

0

1

1

2 ..ln.1ln).(~ Penkn)(RΦn

kkn

n

kk

nnn

zn

P1

20

10

11

21

1 avec

.1

1

1

20

1

0

1 1detn

k

kn

kn

n

kknR

nn

nnnnn

RRTrn

nnn

RRE

mZmZR

eRRZp nn

êt

.ˆ avec

..)()/(1.ˆ1


Erich Kähler…

L’entropie U=-logdet[R] , pour les modèles autorégressifs complexes, peut être considéré comme un potentiel de Kähler qui est paramétrisé à partir des coefficients de réflexion. Cette expression est alors la même que celle proposée par E. Kähler

« Kähler Erich, Mathematical Works », Edited by R. Berndt and O. Riemenschneider, Berlin, Walter de Gruyter, ix, 2003

Papier initial d’Erich Kähler, 1932, Hambourg


Métrique de Kähler : cas hyper-Abelian On retrouve la métrique proposée par E. Kähler dans son

papier initial : : Kähler a nommé ce cas « hyper-Abelian » :

Autre métrique proposée par Kähler, appelé cas « hyper-fuchien » :

),(ln1ln.1

1

2 zzKzΦ D

n

kkk

,...1 1 / et

1),(Bregman deNoyau

avec1

1

2

nkzz

zzz : K

k

n

kkD

k

1 / with 1ln.1k

2

1

2n

k

n

kk zzzΦ


On définit une métrique « Doppler » metric dans le cas de modèles autorégressifs complexes comme le Hessien d’un potentiel de Kähler, où le potentiel est donné comme dans le cas de la géométrie affine de l’information par l’Entropie:

Le potentiel de Kähler paramétré par :

La métrique associée est alors calculée :

10

1

1

2 ..ln.1ln).(~

enkn)(RΦn

kkn

Tnn

nTn

n P )()(1110

)(

20

2011

nPng 221

).(

i

ijij

ing

1

122

22

0

02

1)(.

n

ii

in

din

PdPnds

Métrique de Kähler d’un modèle autorégressif complexe

TnP 110


Courbure scalaire du modèle autorégressif complexe

On utilise l’expression du tenseur de Ricci dans le cas de la géométrie de Kähler :

En géométrie de Kähler, le tenseur de Ricci est donné par :

Pour le cas du modèle autorégressif complexe, on obtient alors :

On en déduit le calcul de la courbure scalaire qui est négative :

ji

lkji zz

gR

detlog2

1,...,2for 1

2

12

22

20

11

nkR

PR

k

kllk

lk

lklk RgR

,

.

n

n

j jnR

1

0 )(1.2


Modèle autorégressif # métrique de Kähler-Einstein La métrique précédente n’est pas une métrique de type

Kähler-Einstein, mais une structure « matricielle » proche Une métrique est dite de Kähler-Einstein metric si son tenseur de ricci

est proportionnel à la métrique :

Dans le cas de la métrique de Kähler-Einstein, le potentiel de Kähler est solution de l’équation de Monge-Ampère :

Pour un modèle autorégressif complexe, on a :

,....,2où et

)(1.2 avec

1)(

1

0

)()(

indiagB

jnBTrRgBR

n

n

j

nij

nij

ji

ji

lklkji zz

kzz

gkgkR

2

0

2

00 .detlog

constant : avec .

holomorphefonction Kähler de Potentiel

avec )det( 02

ψ : Φ :

eg klk


Flot de Calabi & Kähler-Einstein Il existe 2 flots particuliers qui sont déduit de fonctionnelles

dépendant uniquement de la courbure scalaire intégrée sur la variété

Le flot de Kähler-Einstein est donné par :

Le flot de Calabi est donné par (il agit directement sur le potentiel) :

L’inégalité entre les deux fonctionnelles est donnée par :

Action de Hilbert Flot de Ricci

M

M

gdV

gdVgRR

)(

)()(

M

gdVgR )()(jiji

ji gnRR

tg

Action de Calabi Flot de Calabi *

*2 ,

jiji zz

zzg

Flot de Calabi

M

gdVgRgS )()()( 2

*

2

ji

ji

zzR

tg

RRt

MM

gdVgdVgRgS )(/)()()(2


En dimension 2 de la variable complexe, les deux flots sont reliés l’un à l’autre :

Ionnas Bakas a montré le lien entre les 2 flots en remarquant que :

Si la dérivée seconde par rapport au temps du flot de Kähler-Ricci est identifiée à l’opposée de la dérivée première du temps du flot de Calabi , alors les 2 flots sont équivalents :

Ionnas Bakas : Relation entre les 2 flots

RRgt

g

tg

zztg

zzgR

tR

tg

Rt

g

jiji

ji

ji

ji

jiji

jiji

jiji

,

*

2

2

2

*

2

2

2

)det(log

)det(log

)det(log

CR tt

t

2

2

*

2

2

2

ji

ji

zzR

tg


Bakas a établie les relation suivante :

Ionnas Bakas : flots agissant sur le potentiel*),,(2 .2

*

dzdzeds tzz

*

2

*zz

Rzz

et )det(log

** *

2

egzz

gRzzzz

*

2

*

2

*

2

.. avec zz

et

zzte

zzteR

tg

jiji

Flot de Kähler-Ricci

t

zzte

zzeRgR

zzR

tg

jiji

jiji

*

2

,*

2

*

2

et

Flot de Calabi


Si on étudie sur la base de la métrique de Siegel (donnépar le Hessien de l’Entropie du processus AR), la métrique est déformée comme suit :

Flot de Kähler-Ricci sur les coefficients de réflexion :

Flot de Calabi sur les coefficients de réflexion :

flots de kähler-Ricci et Calabi sur les modèle AR

ijij Rt

g

)()0()(

1)(.)0(11)(

000

2)(22

PePtP

et

tnt

itin

t

ii

)(),0(

)(

tt

RRt

)()0()(

1)(.)0(11)(

0

2

00

2)(2

22

2

2

PePtP

et

tn

t

itint

ii


Algorithme médian sur les coefficients de réflexions 1/2On se donne , où est un n uplet des coefficients de réflexion à tous les ordres précédés du coefficient de puissance . On calcule d’abord , dans R (méthode classique de calcul du médian pour une valeur scalaire).On estime ensuite la médiane des coefficients de réflexions complexes algorithmiquement : on ramène ces coefficients du disque unité dans le demi-plan de Poincaré avec :

On note Les géodésiques sont alors des demi-cercles centrés sur l’axe des abscisses

1)()(0

)(1

)(1

)(0 ),(),...,,(

nkkkn

kkk DRPP N ,...1

HDC :1

)(

)()()(

11

kj

kjk

jk

j iz

)( )(1)( kk Cz

)))log(),...,log(),(log(exp( )(0

)2(0

)1(00

Nmedian PPPmedianeP

)(1

)(1

)( ,, kn

kk

)(0

kP

c


Algorithme médian sur les CROn initialise l’algorithme à un point quelconque Z dans H :

A l’étape p, on se déplace selon le gradient:

où Z est l’estimé courant et ck désigne le centre de la géodésique rejoignant Z à zk.

L’entier p, initialisé à 1, décroît si l’écart entre deux itérés est moindre que 1/p.Après convergence, on retourne à :

N

kk

lp

l

kl

plk

lp

lplZ pcZ

cZzZsigneit1

)()(

)()()()()(

, /1)(

)Re(2 )()(

2)(2)()(

pl

kl

pl

klk

l ZzZz

c

TnZZZ )0(1

)0(1

)0(

avec

)Im()Re()Im(

)Re( )()(

,

)(,)(

)(p

lplZ

plZp

lZZ

tt

Zc pl

)arg( )()()(

plZ

pl

pl cZ

pcZ

cZcZsigne

MkicZcZ

pl

pl

pl

pl

pl

Zp

l

Zp

l

Zp

lp

lZp

lZp

l/1

))(Re(2

1exp)(

)(

)()()()(

)()()()()1(

iZiZ)C(Zμ

PPPmedianePZCP

convl

convlconv

lmedianl

Nmedian

)(

)()(

)(0

)2(0

)1(00 )))log(),...,log(),(log(exp(

avec ))(,(


Flot de gradient dans le disque unité de Poincaré

)( plZC

)1( plZC

)1()1(ll zC

)2()2(ll zC

)3()3(ll zC )4()4(

ll zC


Résultats sur le premier coefficient de réflexion

Superposition pour toutes les cases distances des moyennes et médianes

locale, avec les points de données


Flot de la chaleur & Géométrie de l’information


L’équation de la chaleur fait intervenir une moyenne : Opérateur de Laplace intervenant dans le Flot de Fourier de la chaleur:

Ceci reste vrai avec le Laplacien en dimension supérieure :

Équation de la chaleur et Géométrie de l’information

202

2

xxxxxxxLim

x x

2)(ˆ avec )(ˆ2

22

2 xxxxxxxxx

n

nn

n

n

xxxxxxxxx

xxxxx

div

2...)(ˆ avec

)(ˆ2...)(

11

22

2

21

2


L’équation de la chaleur fait intervenir une moyenne : Opérateur de Laplace-Beltrami intervenant dans le Flot de Beltrami sur

une variété :

L’équation de la chaleur se met donc sous la forme générale :

ji j

ij

ig x

ggxg,

1

n

n

g

xxxxg

g

xxxxx

xxx

gg

...et où

2)(ˆ avec

)(ˆ2

21

,

,

2,

,

2

2

xxt

)(ˆ



xxt

)(Êquation de la chaleur

ˆˆ2

dtd

dtd 1 IR

21222. dtIdtRddE

ˆ.ˆ.ˆˆ ddddEddE

2

222ˆ

22

..

..

ˆ..ˆˆˆ.

ndtdI

dtd

dtndsdId

dtndIdddEITr

I



Équation de la chaleur et géodésique : La géodésique est donnée par :

Pour une courbe géodésique , son vecteur tangent est de longueur constante par rapport à la métrique , soit :

La constante peut être choisie pour être de valeur unité quand le paramètre t est choisi comme étant le paramètre d’arc curviligne « s ».

Interpretation of Heat Equation by Information Geometry

)(t )(tdtd

Ids

2

,

ndt

ddt

dgji

jiij

2..)(ˆ ndtdI

dtdxx

t


Conclusion


Références Bibliographiques[1] F. Barbaresco & G. Bouyt, "Espace Riemannien symétrique et géométrie des espaces de matrices de covariance : équations de diffusion et calculs de

médianes", colloque GRETSI'09, Dijon, Sept. 2009[2] F. Barbaresco, "New Foundation of Radar Doppler and Array Processing based on German Mathematical Works: Geometry of Metric Spaces with

negative curvature and Von-Mangoldt-Cartan-Hadamard Manifolds", IRS'09, Hamburg, Sept. 2009[3] F. Barbaresco, “Interactions between Symmetric Cone and Information Geometries”,LIX Fall Colloquium ETCV’08, Ecole Polytechnique,Springer

Lecture Notes in Computer Science, vol.5416, pp. 124-163, 2009, http://www.springerlink.com/content/978-3-642-00825-2[4] F. Barbaresco, “Applications of Information Geometry to Radar Signal Processing”, Video Lectures, http://videolectures.net/etvc08_barbaresco_aoigt/[5] M. Arnaudon and X. Li, « Barycentres of measures transported by stochastic flows”, Ann. Probab. 33, no. 4, pp.1509-1543, 2005[6] C.L. Siegel, «Symplectic Geometry», Acad. Press, 1964[7] M. Émery, G. Mokobodzki, «Sur le barycentre d'une probabilité dans une variété » . Séminaire de probabilités de Strasbourg, n° 25, p. 220-233, 1991[8] H. Karcher, «Riemannian center of mass and mollifier smoothing”, Comm. Pure Applied Math., °30,pp.509-541,1977[9] A. Terras, «Harmonic Analysis on Symmetric Spaces and Applications II», Springer-Verlag, 1988[10] V. Arsigny «Log-Euclidean metrics for fast and simple calculus on diffusion tensors», in Magnetic Resonance in Medicine, Volume 56 Issue 2, Pages

411 - 421, Jun 2006.[11] M. Calvo, J. Oller, «A distance between multivariate normal distributions based in an embedding into the Siegel Group”, Journal of Multivariate

Analysis, vol.35, pp. 223-242, 1990[12] M. Calvo, J. Oller, «An explicit solution of information geodesic equations for the multivariate normal model”, Statistics and Decisions., vol.9, pp.

119-138, 1991[13] Huiling Le, “Estimation of Riemannian Barycenters”, Proc. London Math. Soc., pp. 193-200, 2004[14] Harris, W. F., “The average eye”, Ophthalmic Physiol. Opt., n°24, pp. 580–585, 2004[15] H.C.F. von Mangoldt, “Über diejenigen Punkte auf positiv gekrümmten flächen, welche die eigenschaft haben, dass die von ihnen ausgehenden

geodätischen Linien nie aufhören, kürzeste Linien zu sein“, J. Reine Angew.Math., n°91, pp.23-52, 1881[16] E. Kähler, “Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik”, Abh., Math. Sem. Hamburg Univ., n°9, pp.173-186, 1933[17] K. T. Sturm, “Probability measures on metric spaces of nonpositive curvature”. Contemp. Math. 338 , 357-390, 2003[18] E. Cartan, "Sur les domaines bornés homogènes de l'espace de n variables complexes", Abh. Math. Semin. hamb. Univ., n°11, pp.116-162, 1935,

www.numdam.org[19] C.R. Rao, "Information and Accuracy attainable in the estimation of statistical parameters", Bull. Calcutta Math. Soc., n°37, pp.81-91, 1945[20] S. Yoshizawa and K. Tanabe, "Dual Differential Geometry associated with the Kullback-Leibler Information on the Gaussian Distributions and its 2-

parameter Deformations", SUT Journal of Mathematics, vol.35,n°1, pp.113-137, 1999[21] T.Ando and al., "Geometric Means", Linear Algebra Appl., vol.385, pp.305-334, 2004[22] F. Bruhat and J. Tits, « Groupes réductifs sur un corps local », IHES, n°41, pp.5-251, 1972[23] H. Cartan, "Ouverts fondamentaux pour le groupe modulaire",Séminaire Henri Cartan, tome n°10, n°1, exp.n°3, p.1-12, 1957[24] N.N. Chentsov, "Statistical Decision Rules and Optimal Inferences", Trans. of Math. Monog., n°53, Amer. Math. Society, Providence, 1982[25] J. Faraut and A. Koranyi, "Analysis on Symmetric Cones", Oxford University Press, 1994[26] K. Koufany, "Analyse et Géométrie des domaines bornés symétriques", HDR, Institut de Mathematiques Elie Cartan, Nancy, Nov. 2006[27] C. P. Niculescu, “An Extension of the Mazur-Ulam Theorem”, American Institute of Physics Proc., vol. 729, n°248-256, 2004[28] M. Berger, « Panoramic View of Riemannian Geometry », Springer, 2004


QUESTIONS

``Constater que les théories les plus parfaites sont les guides les plus sûrs pour résoudre les problèmes concrets~; avoir assez confiance en sa science pour prendre des responsabilités techniques. Puissent beaucoup de mathématiciens connaître un jour ces joies très saines, quelques humbles qu'ils les jugent !'‘Jean LERAY

Carl Ludwig Siegelavec Georges Polya

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