A fizikai gondolkods iskolja

j&aranyi Kroly

A fizikai gondolkods iskolja

3. ktet

Feladatmegoldsok

Akadmiai Kiad ' Budapest 1992

Lektorlta:

Halmai Gyrgy Matolcsi Tams

Az brkat rajzolta: Olgyay Gzn

ISBN 963 05 6095 X III. ktet ISBN 963 05 5840 8 (sszkiads)

Kiadja az Akadmiai Kiad, Budapest Els kiads: 1992

Baranyi Kroly, 1992

Minden jog fenntartva, belertve a sokszorosts, a nyilvnos elads, a rdi- s televziads, valamint a fordts jogt, az egyes fejezeteket illeten

Primed in Hungary

Tartalom

V. rsz XI. Feladatcsoport: folyadkok . . 156Feladatmegoldsok XII. Feladatcsoport, gzok . . . . 169

XIII Feladatcsoport: htguls . . 179I. Feladatcsoport: egyenes vonal XIV. Feladatcsoport: az idelis gzok

m ozgsok................................... 9 h t a n a ............................... 181II. Feladatcsoport: forgmozgs . 31 XV. Feladatcsoport: relis gzok, hal-

III. Feladatcsoport: trbeli mozg mazllapot-vltozsok . . . . 200sok, hajtsok, krmozgs, rela XVI. Feladatcsoport: statisztikus metv mozgs................................... 36 chanika ...................................... 204

IV. Feladatcsoport: Newton-trv XVII. Feladatcsoport: elektrosztatika 208nyek .......................................... 48 XVIII. Feladatcsoport: egyenram . . 227

V. Feladatcsoport: munkattel, ener XIX. Feladatcsoport: mgneses tr . 250giamrleg ................................... 78 XX. Feladatcsoport: elektromgne-

VI. Feladatcsoport: a krmozgs s ses indukci ............................... 256a harmonikus rezgmozgs dina XXI. Feladatcsoport: vltakoz ramikja ...................................... 87 m k r k .................................. 266

VII. Feladatcsoport: gravitci. . . 110 XXII. Feladatcsoport: elektromgne-VIII. Feladatcsoport: pontrendszerek, 270

tmegkzppont....................... 115 XXIII. Feladatcsoport: optika . . . . 273IX. Feladatcsoport: merev testek XXIV. Feladatcsoport: relativitsel-

m o z g s a ............................... 119 284X. Feladatcsoport: rugalmas tes XXV. Feladatcsoport: mikrofizika . . 295

tek, a rugalmas deformci terjedse .......................................... 153 Fggelk.................................... 298

5

I

V. rsz

F eladatmegoldsok

I. Feladatcsoport: egyenes vonal mozgsok

I / l .A mozgs grafikonjnak az egyenlete:

X = Vt + X 0

A 2 s idpontban a test az 5 m koordintj helyen van, a 6 s idpontban pedig 5 m koordintval jellemzett helyen (I. 1. bra):

5 = v 2 + x o ,

5 = v ( 6) + jco .

Innen v 5/4 m/s, s x 0 = 2,5 m, itt van a test a / o= 0 s idpontban.

X

1/2. A mozgst ler fggvny:

x(t) = vt + x o .

Az (1 s, 6 m) s a (6 s, 4 m) pontok rajta vannak a fggvny grafikonjn (I. 2. bra):

6 v 1 + x o ,

4 = v 6 + xo .

Innen v= 0,4 m/s, s xo = 6,4 m, itt van a test a to = 0 s idpontban. Jelljk /-vei azt az idpontot, amikor a test thalad az orign:

0 = v t + x o ,

0 = - 0 ,4 /+ 6,4,

= 16 s .

X

k

9

X fggvnyek:

/. 3. bra

1/3. A kt mozgs helyfggvnye (I. 3.bra):

x i( )= 1 2 0 ( /-0 ,5 ) , 0,5;

x 2(t) = 6 0 t+ 120, / > 0 .

Abban a ti idpontban, amikor a kt aut tallkozik:

V2 ( l ) = X, ( / i ) ,

vagyis

60Innen ti = 3 ra s xi(3) = x 2(3) = 300 km. Az A vrostl mrve ilyen messze ri uti a gyorsabb aut a lassbbat.

1/4. A mozgsok hely-id grafikonja az I. 4. brn lthat. A sebessg a grafikon meredeksge. Az els test esetn:

2 m ui = tg a = = 0,66 ,

3 s

a msodik test esetn:

. 2 ( 6) 8 m2 = tg/?= v ' = - = 4 - .

3 - 1 2 s

1/5. A koordinta-rendszer fggleges tengelye megfelel az orszgtnak. Az A vros az origban van, a B vros az Xo = 120 km koordintj helyen. A hromjrm mozgsa egy-egy egyenessel brzolhat (I. 5. bra). A mozgsokat ler

x i( t) = 90t,

X2(t)=60t,

x 3(t)= - 100/ + 120 .

A motoros a ti idpontban tallkozik az els autval, a t2 idpontban a msodik autval:

* i( / l) = X3( /i) ,

X2(2) = X3(2)

/. 4. bra

I. 5.bra

/ . 6. bra

Rszletesen:

90/i = - lOOi + 120,

60f2= - 1 0 0 f 2+ 1 2 0 .

Innen ti = 0,632 ra, 2 = 0,75 ra. A kt idpont klnbsge:

A/: =

X1.8.bra

a hangjel sebessge:

,, x tg j? = f=

Innen

A/* = A ^1 +

1/9. A kt aut s a hangjel grafikonja az I. 9. brn lthat. Az autk a t2 idpontban tallkoznak. gy vlasztjuk meg a kezdetben kztk lv tvolsgot, hogy a hangjel ppen a t2 idpontban fejezdjk be, s a 0 s idpontban kezddjk. A hangjel eleje a 11 idpontban tallkozik a szembe jv autval. A feladatunk a t2 ti = = :At* idintervallum hossznak meghatrozsa. A hangjelet kibocsjt aut mozgst az

xi{t) = vit, t> 0 ,

a szembe halad aut mozgst az

x 2(t) = v2t+ x 0, t> 0 ,

s a hangjel elejnek a mozgst az

x i( t)= c t , t> 0

fggvny rja le. A h s t2 idpontok rtel-

c ) = 5 31 S'

X

X

mezse szerint:

* 2(fl) = * 3( l ) ,

Xi(t2) = X2(t2) .

Rszletesen:

v2t i+ Xo = Cti ,

V2t2 + X0 = Vit2

A kt egyenletet kivonjuk egymsbl:

V2t2 V2ti V\t2 Cti ,

s

( c - v 2)ti = (v1- v 2) t2 ,

12

innen

11 2 -v i ~ v 2c v 2

De At* : = t 2~ ti, s legyen A t : = t 2, ekkor

a * (^ V\ - V 2 \ c - v 1At* = 2 1------------ I = 2

V C -V 2 J

A C ~ V 1 C= A / ------- = 5 -

c v 2

3 2 0 -3 0= 4,26 s .

Megjegyzs: Ha v2 = 0, akkor az rhz fel kzeled vonat esett kapjuk. Ha emellett mg v i< 0 , akkor az rhztl tvolod vonat esetrl van sz.

A grafikus megolds egy msik kivitelezse a kvetkezkppen kpzelhet el (lsd az I. 9. bra als rszt):

A t= T + A t* ,

Xitg a = vi =

tg p = c =

A t '

Xi + X2

tg y = V2 = X2At*

Innen a fenti eredmnyt kapjuk, azonban most i;2 = 20 m/s-t kell helyettesteni (az elbb v2 = 20 m/s volt, ezzel kifejeztk a sebessg eljelt).

1/10. A tvolod megfigyel At* ideig hallja a hangkzket. Az els hangjelet a0 s idpontban szleli, a msodikat a At* idpontban. Ekkor az I. 10. bra fels rsze alapjn

A/* = A + 7 \

tga = v-A t*

xtg P=C= .

Innen

At* =At

= 1,032 s .

1 - i

Okoskodhatnnk a kvetkezkppen is. A msodik koppans mozgst ler fggvny:

Xi{t) = c ( t At ) , t > A t .

A megfigyel mozgst az

X2{t)=Vt, t> 0

fggvny rja le. Ekkor a At* idpontban

xi(A t*)=X2(A t*) ,

c(At* At) = vAt* .

1. 10.bra

13

innen

At*= - A t

1 - "

Ha a megfigyel kzeledik, akkor legjobb, ha a msodik koppans indulsakor rkezik meg; az I. 10. bra als rsze alapjn

At* + T = A t ,

tg a = v =x

A1*

tg P = c=x

Innen

A t* =At

= 0,969 s .1+ -

1/ 11. Az autbuszokat At idkznknt indtjk, s a szembejvkkel a biciklis Ah idkznknt tallkozik. A buszok megfeleltethetk az elz feladat koppansai- nak, a Ai pedig

Afi =At

= 22,5 perc = 0,375 ra ,

1 +

ahol v a kerkpros, c a buszok sebessge. Az egy irnyba halad buszok a megfigyelvel egy irnyba halad hangjeleknek felelnek meg, At2 idkznknt hagyjk el a kerkprost:

- 'c

Az els egyenletbe helyettestve:

0,375= 0,5

1 + *c

I. U. bra

gy c = 60 km/h. A msodik egyenletbl A2 = 0,75 h = 45 perc (I. 11. bra).

1/12. A mozdony mozgst ler fggvny:

x i() = 20 + 800 ,

az utols kocsi hely-id fggvnye:

x 2{t) = 2 0 t .

Az egy irnyba halad aut a o= 0 s idpontban a vonat vgvel egytt az origban volt. A mozgst ler fggvny (1 .12. bra):

x 3(0 = 3 0 .

Legyen t i az az idpont, amikor az aut elmegy a mozdony mellett: x 3( t i) = Jti ( t i ) , vagyis

20fi + 800 = 30f i ,

innen t i = 80 s .

14

Ha az aut szembehalad a vonattal, akkor gy jutunk legknnyebben eredmnyre, ha a o = 0 s idpontban tallkozik a mozdony s az aut, az aut mozgst ler fggvny most:

jt3 (t) = 30/ + 800.A vonat vgvel a f2 idpontban tallkozik, akkor

30/2 + 800 = 202

Innen 2= 16 s.

1/13. A gpjrmoszlop hossza legyen L, a sebessge i?i. A motoros V2 = 30 m/s sebessggel mozog. Ha egy irnyban mozognak, akkor fi ideig mozognak egyms mellett, szembe pedig t2 ideig. A ti idpontra vonatkoz egyenlsg (I. 13. bra)-.

Vitt = Vit 1 + L .

X

t

Behelyettestve:

30- 120 = 120+L .

A 2 idpontra vonatkoz egyenlsg (a motoros sebessge most v*= ~ vj)'-

V2 2 + L = f i 2

Behelyettestve

30 60 = i?! 60 Z,.

Teht

vi 120 + ^ = 3 6 0 0 ,

vi - 6 0 - L = -1 8 0 0 .

A kt egyenletet sszeadva:

vi 180=1800,

innen vi = 10 m/s, s , = 2400 m.

15

Xi Behelyettestve:

1/14. Az 1 .14. brrl leolvashat, hogy a test elmozdulsa Ji + s2 = 4 + 2 = 6 m. Az eltelt id i + 2 = 5 + 3 = 8 s. Az tlagsebessg.__ S1 + J2 _ 6 m _ 3 m

ti + t2 8 s 4 s

a grafikon kezd- s vgpontjt sszekt egyenes meredeksge!

1/15. Mivel a ti id alatt megtett t v ih , s a /2 id alatt megtett t v2t2, az tlagsebessg:

__ J1+ J2 _ Viti + V2tl ti + t2 t\-Vt2

10-4 + 22 -3 m7 s '

1/16. Az els szakasz megttelhez szksges id si/vi, a msodikhoz s2/v2. Az tlagsebessg:__ 5i + 2 _ 10 10 m

s2 4 6 8 s + - + - vi v2 2 1

1/17. Az tlagsebessg rtelmezse alapjn

+ -_= _2___2 2

j j 1 ^ 1 2 2 vi v2

+ fi l>2

H----2 v2

ahonnan 02 = 3,3 m/s.1/18. Az tlagsebessg rtelmezse sze

rint

S i+ S 2v ----------- .

+ l Vl v2

itt most 52 az ismeretlen, ha vi = 80 km/h, v2 = 40 km/h s j i + j 2=100 km. Legyen x : = s 2. Teht

100 x x 80 40

A szmolst elvgezve: x = 3,9 km. A sebessgkorltozs mintegy 4 km hossz tra vonatkozik.

1/19. Az egyenletesen vltoz mozgst ler

a 2x(t)= t + v0t + x 0 ,

2

v(t)=at + v0

fggvnyekben most a kezdsebessg nulla, s a kezdhelyet az induls helynek vlasztjuk. Teht: ha az aut j ton gyorsul fel, akkor

v = a t .

Itt ismeretlen az a s a t. Ha az els egyenletet osztjuk a msodikkal, akkor s _ t ~v~~2'

16

innen t = 20 s. Ha az els egyenletet a msodik ngyzetvel osztjuk, akkor

s _ 1v2 2 a

Innen:

v2 m a= = 1

1/20. A v0 s az xo paramterek most is nullk. Az

h,t 100 m, 2 s

I. 15. bra

s = - 2 l ,

v = al

egyenletrendszerben s s / az ismeretlen. A msodik egyenletbl

= ^ = 22,2 s2,5

(hiszen v=200 km/h = 55,5 m/s). Az els egyenletbl: j = 617 m.

1/21. Az

, = ! ^ 2 2

2 0 = 1,2 - /

egyenletrendszerbl t= 16,6 s, s= 166,6 m. 1/22. A

2

v= gt

egyenletek alapjn: /= 15/10= 1,5 s, s h= 11,2 m. (A msodfok fggvny most sem tartalmazza a v0t s az x 0 tagokat.)

1/23. Az

j= 5 0 = 1 12 ,

v = gt

egyenletrendszer megoldsa: f = v / 0 s, =31,6 m/s.

1/24. Az egsz tra

h = g- t 2 .

A 100 m-rel rvidebb fels szakaszt t 2 msodperc alatt tette meg a test (I. 15. bra):

h 1 0 0 = | ( / - 2 ) 2 .

A kt egyenletbl

- 12- (r2)2 = 100 .2 2

Mindkt oldalt g/2-vel osztva s g rtkt behelyettestve:

2 (f2)2 = 2 0 .

A ngyzetreemelst elvgezve s sszevonva:

4 4 = 20,

teht = 6 s, s h = 180 m. Ekkor valban4 msodperc alatt megtett t 80 m, a htramarad 2 msodpercre 100 mter jut.

17

h t(

)x. t-2 s

> 3x, 2 s

I. 16. bra

az utols eltti 1 msodpercben x-et tett meg. Az ess els t 3 msodperce alatt h 4x utat, az els 1 2 msodperc alatt h 3x utat tett meg a test (I. 17. bra):

h - 4 x = | ( - 3 ) 2 ,

h - 3 x = ( t2)2 .2

A hrom egyenlet alapjn:

1/25. A ngyzetes sszefggs az ess kezdettl mrt tvolsgokra (1 .16. bra):

h = 4x= t2 ,2

x = | ( - 2)2 .

Innen

| 2 = 4 | ( - 2 ) 2 ,

egyszerstve

| 2 - 4 x = | ( / - 3 ) 2 ,

S .2tz - 3 x = (t 2)2 .2 2 V

Az els egyenlet 3-szorost vonjuk ki a msodik 4-szeresbl:

a2 2 2 2

Innen

42 32 = 4( 2)2 3( 3)2 ,

t2 = t2 + 2 t 11,

1t2 = ( t2)2 ,

talakts utn

4 = 2

gykt vonva

0,5=

gy t = 4 s, /z = 80 m.1/26. A teljes essi magassgra a

h = ? - t 2

sszefggs rvnyes. Ha az utols 2 msodpercben 3x utat tett meg a test, akkor

t = 5,5 s .

gy a test 151,25 m magasrl esik. Az utols 2 msodpercben 90 mtert, az utols 3 msodpercben 120 mtert tett meg.

h,th~3x, t-2s

)3x, 2 s

/. 77.

bra

18

X1/27. Legyen a szakaszok hossza x \ , x 2, x 3:

xi + x 2 + *3 = 45 m.

A teljes essi idt a

egyenletbl kiszmthatjuk: = 3 s. Ennek a harmada alatt esik a test x i utat:

* ' ({ )=5m-ktharmada alatt x i + x 2 tvolsgot tesz meg:

* , + - ( ! ) .

gy x 2= 15 m, s vgl x 3 = 25 m.1/28. A to = 0 s idpontban a test a 4 m

koordintj helyen van (I. 18. bra):

x(0)= 02 + vo ' 0 + x o = 4 .2

gy x 0 = 4 m, ami egybknt nyilvnval is. A test az origba a 2 s idpontban rkezik:

x(2) = 0 = j. + Do ' 2 + 4 ,

s itt eljelet vlt a sebessg:

v(2) = 0 = a 2+vo

Ebbl a kt egyenletbl v0 = ~ 4 m/s s a = 2 m/s2. Az 5 s idpontban a test az

x ( 5 ) = | 52 - 4 - 5 + 4 = 9 m

koordintj helyen van. A megtett t

s(5) = 4 + 9 = 13 m .

1/29. Nyilvnval, hogy x 0 = 0. A gyorsulst s a kezdsebessget a

9 = a 3 + vo ,

12 = a 6 + vo

egyenletrendszerbl hatrozzuk meg: a= 1 m/s , 7)0 = 6 m/s. Innen

x(3)= ^ 32 + 6 3 = 22,5 m ,

x (6)= 62 + 6 6 = 54 m .

A test 3 s s 6 s kztt nem fordul meg, ezrt j = x (6) x(3) = 31,5 m.

1/30. A kt mozgs grafikonja az 1. 19. brn lthat. A mozgst ler fggvnyek:

a 2x i ( t ) = - t ,

x 2(t) = v2t .

X

19

I. 20. bra

1/32. A kt test mozgst ler fggvny (I. 21. bra):

x i ( 0 = 2,5/, f>0 ,

x 2(t) = 30 ^ t 2, t> 0 .

Ha a idpontban tallkoznak, akkor

Xi(t) = X2((),

2 ,5 f= 3 0 512 ,

5/2 + 2,5 30 = 0 ,

Ha a t idpontban tallkoznak, akkor

a 2V = V2t

t2 = 2 0 t. 2

Innen a = 0 s megolds mellett t= 33,3 s. Ennyi id alatt ri uti a gyorsabb aut a lassbbat; eddig mindkett megtesz

x i (33.3) = x 2(33,3) = 666,6 m

utat.1/31. A kt mozgs grafikonja az I. 20.

brn lthat. A mozgsokat ler fggvnyek:

* 1(0 = ' 2 / > o ,

gy

. - 2 ,5 + 24,6 ' ---------- l 121 s -

Ebben a pillanatban a testek

x i (2 ,21)=x 2(2,21) = 5,5 m

magasan vannak a talaj felett.1/33. A vontat mozgst ler fgg

vny:

jci() = 5 + 45, f > 0 ,

az aut pedig gy mozog:

2 5 ,* 2(0 = - - ^ - r + 20/, 0.

x 2(t) = v2t > 0 .

A tvolsgot az ejts helytl lefel mrjk. Abban a t idpontban, amikor a kt test tallkozik:

5t2--=2,5t,

30m-

\*iU)

t = 0,5 s . \ Xl(f]

gy xi(0,5) = a:2(0,5)= 1,25 m. A lift s a test 3 0 -1 , 25 = 28,75 m magasan tallko

5,5 m

zik. 2,21 s-t / 21.

bra

20

Ha tkznek, akkor van olyan t idpont, amikor az

x 1(t) = x 2(t)

egyenlsg teljesl:

- ^ - 2 + 2 0 = 5 + 45,

t2 15 + 45 = 0 ,

t2 - 12+36 = 0 .

Innen t = 6 s. A msodfok egyenletnek egyetlen megoldsa van, a diszkriminnsa nulla. gy a parabola s az egyenes csak rinti egymst. Ez azt jelenti, hogy egymst rinti a kt jrm, de nagyobb baj nem trtnik (I. 22. bra).

I. 22. bra

X

1/34. Tegyk fel, hogy fkezskor x 0 tvol voltak. A kt jrm grafikonja szimmetrikus az x= xo /2 egyenlet egyenesre (1. 23. bra). Elg ezrt az egyik vonat mozgst vizsglni, pldul azt, amelyiknek a grafikonja az origbl indul:

x() = t2 + 15 .2

A ti idpontban a vonat sebessge nulla:

u(i) = 0 = l i + 15 .

Innen i = 15 s. Ennyi ideig fkeznek a vonaton. Ebben a pillanatban a vonat az xo/2 helyen van, ha elkerltk az tkzst:

*(15) = y ,

- - 152 + 15 - 15= .2 2

Innen Xo = 225 m. Ennyi volt kztk kezdetben a tvolsg, ha ppen elkerlik az sszetkzst.

1/35. Legyen to = 0 s az az idpont, amikor az els test indul. Ekkor az 5 s idpontban a kt test sebessge megegyezik:

ai 5 = a2(5 2 ),

mert a msodik 2 s-mal kevesebb ideig mozog. Msrszt abban a t idpontban, amikor a kt test ugyanazon koordintj helyen van:

f V = f i ( _ 2 )2 .2 2

A kt egyenletet osszuk el egymssal:

t 2 _ (/ 2)25 _ 3

Innen t = 8,87 s.1/36. A mozgs kt egyenletesen vltoz

mozgsbl tevdik ssze. A kt mozgs grafikonja egy-egy parabola, amely kzs

21

1. 24.bra

rintvel csatlakozik egymshoz (1.24. bra). Az els konvex, mert a hozz tartoz mozgs sorn a test felgyorsul. A msodik parabola konkv, hiszen a test sebessge cskken. Nyilvnval, hogy a sebessg negatvra vlt, hiszen a test visszar az origba. A mozgs els szakasznak vgn a test az

4 2 *0 = '6 = 72 m

2

koordintj helyen van, s szert tesz

vo = 4 6 = 24 m/s

sebessgre. Ezt a helyet s sebessget rkli a msodik mozgs. A feladat tfogalmazhat a kvetkezkppen: Egy test az xo = 12 m helyrl indul, a kezdsebessge 24 m/s. Az orign a = 6 s idpontban halad t. Mekkora az origtl mrt legnagyobb tvolsga, vagyis hol fordult meg a test? Vilgos teht, hogy

x(6) = 0 = 62 + 2 4 ' 6 + 72.2

Innen a= 12 m/s. A test abban a i idpontban fordul meg, amikor

(fi) = 0 = - 1 2 f i + 24.

teht i = 2 s. Ekkor a test az

x(2)= ^ - 2 2 + 24- 2 + 72 = 96 m 2

koordintj helyen van.1/37. A test sebessggrafikonja az I. 25.

brn lthat. A grafikon alatti .terlet a megtett ttal egyenl:

4 + 6

most is a trapz terletvel egyenl:

900 UlOO 20000= ---------------v.

Innen a legnagyobb sebessg: v = 20 m/s. Az tlagsebessg:

_ 20000 mv = ---------= 18,18 .

1100 s

1/39. A lassul test sebessggrafikonjt szemlltettk az I. 27. brn. A megllsig htra lv utat s-sel jelltk. Ekkor az s terlet hromszg hasonl az s + 100 terlet nagy hromszghz. A hasonl hromszgek terletnek az arnya egyenl az oldalak arnynak a ngyzetvel:

,2

(fjs+ 100

Innen

2VO

s _ 1 s+ 100 ~~ 25

s = 4,16 m.

1/40. Az I. 28. brn lthat hromszgek terletnek arnya:

70 cm v2

80 cm 800

Innen v = 748 m/s. Az els 10 cm ton a test sebessge 52 m/s-mal cskken.

1/41. A hrom fggvny: x() = 8 4 243 + 6 - 3 ,

() = 323 722 + 6 ,

a() = 962 144.

Behelyettestve:

x ( l )= 13 m, t ( l ) = 34 m/s, s a (l) =

= - 4 8 m/s2.

/ . 26.bra

I. 27. bra

I. 28. bra

A test koordintja a t = 1 s-ban negatv, 13 m. A sebessge kisebb nullnl, abban a pontban teht az rint meredeksge negatv, az rint lefel lejt . A gyorsuls is negatv, a grafikon (loklisan) az rint alatt van. A mozgs grafikonja a (= 1 s

23

idpont krnyezetben az I. 29. brn lthat mdon viselkedik.

Megjegyzs. A vzolt mdszerrel gyorsan ttekinthetjk a mozgsok tulajdonsgait, a sebessg s a gyorsuls eljelt. Az brn szemlltettk a ngy alapesetet.

1/42. Az I. 30. brn bejelltk a megnevezett intervallumot.

1/43. A hely-, sebessg- s gyorsulsfggvny a t idpontban:

jf()= 8sin (2 r 12 + ti/3),

i;() = 8'2it' 12cos(27f 12 + ti/3),

a(t)= 8 (2jt 12)2sin(271- 12 + h/3).

X

X

____________ /. 30.o> 0 bra

X

V

a

A hrom fggvny grafikonjt ltjuk az 1.31. brn. A fggvnyekbl leolvashat, hogy a krfrekvencia, a frekvencia s a peridusid rendre:

co = 2n' 12 , s

/ = 12 = 700^ , s mm

24

A mozgs legnagyobb sebessge:

Vmax8 '2n 12 = 603 , s

s a legnagyobb gyorsuls:

< w = 8 ( 2 t i 12)2 = 45480s

A test kitrse a 0,01 s idpontban:

jt(0,01)=8 sin (2ti 12 0,01 + tu/3) =

= 8 sin (0,754+1,047) =

= 8sin(l,801).

Ha kalkultorral szmolunk, akkor lltsuk t a zsebszmolgpet radinban trtn szmolsra. Ekkor

sin (1,801) = 0,973,

gy

x(0,01) = 7,78 m.

Szmolhatunk termszetesen fokban is, a tblzatok klnben ezt teszik lehetv. Ilyenkor tszmtjuk a radinban mrt 1,801 szget fokra, a kvetkez arnyossg alapjn:

a na 180

Teht

180a= 1,801------ = 103,2.

7T

Ekkor

sina = sin (103,2) = 0,9736.

1/44. Az 7. 32. brn jl ltszik, hogy a = 0 idpontban a kitrs pozitv (0,8 m), a sebessg is, v=5,16 m/s, mert a grafikon rintje flfel emelkedik. A gyorsuls ekkor negatv, a grafikont az rint fllrl rinti. Leolvashat az is, hogy a

egyenlsgbl: A 14,14 cm. A kezdfzisa

10 cm 14,14 cm

egyenletbl:

- 0. a kezdeti sebessg v= v/3~ m /s< 0 , ezrt a kezdfzisra n/2<

x(0) > 0 x(0)>0v'(0)

fikonjrl leolvashat, hogy a keresett t idtartam a peridusid felnek s kt, i-gyei jellt idtartam sszege:

T _ 2" 15

ahol i az az idpont, amikor

2 = 8 sin y j 500 ti

elszr teljesl:

ti = 0,011 s .

X

V

a

1/48. A mozgs grafikonjrl (I. 36. bra) leolvashat, hogy az a= g felttelnek egyenslyi helyzet fltt felel meg egy kitrs, ehhez a kitrshez kt azonos nagysg, ellenttes eljel sebessg tartozik. A gyorsuls teht az egyenslyi helyzet fltt vagy flfel, vagy lefel haladva egyezik meg a nehzsgi gyorsulssal. Az a= g gyorsulshoz tartoz kitrs

a= g= co2x

alapjn:

x = = 0,1 m = 10cm.100

A sebessget az

0,12+ - = 0 ,2 2 102

egyenletbl kapjuk:

v= y f m/s.

1/49. Tegyk fel, hogy

x (0 )= 14 cm,

d(0) = 288 cm/s.

Ekkor a mozgs helyfggvnye (I. 37. bra):

x() = 4sin(tu q>)+ 16.

X

28

Vonjuk le x()-bl 16 cm-t:

>>(/) := * ( /) -1 6 .

(y a kitrst jelli.) Ekkor

y(t) = 4 sin (cu t

Innen:

402 + = 202 +2 2 CD CD

,2 n2 1002 602

2 100 60 160 40( = ---- T------ r = ----------= 5,33,

40 20 60 20

c 2,3 l/s.

Visszahelyettestve:

v42 = 202+ _ ^ - = 2 2 7 5 ,2,3

A = 41,l cm.

Az egyenslyi helyzeten

vmax=Aco= 110 cm/s

sebessggel halad t.1/51. A rezgs amplitdja 12 cm s a

6 cm koordintj helyrl indul a rezgs, vagyis x (0) = 6 cm, ezrt a kezdfzis a

sin ( - ? ) = - f j

egyenlet alapjn:

n- ' = 6 -

A t = 0,2 s idpontban .x (0,2) = 12 cm, ezrt a

1 2= 12 sin (a; 0,2 + rc/6)

egyenlet alapjn:

2n m 1tu = -------- = 5,23 .6 0,2 s

gy a mozgst ler fggvny:

x(t) = 12 sin (5,23/ + n /6 ) .

A maximlis gyorsuls:

flmax = A c2 = 329 cm/s.

1/52. A legnagyobb sebessg:

40 20 = max 1,2m

CL)

29

s a legnagyobb gyorsuls:

2 niamax=Aco = 1 4 ,4 .s

Innen co= 12 l/s s A = 0,1 m. Az amplitd s a krfrekvencia teht ismert. Az

a = aj2 x ,2

2 ^ .2 X + = A03

egyenlsgek alapjn:2 2

C 0)

gy egyrsztin2 2

12 12

innen u = 0,86 m/s, msrszt

4 + ! - W >,12 12

teht a= 10,73 m/s2.1/53. A mozgs grafikonja a 0 idpont

ban az orign halad t: x(0) = 0 , s a sebessge is nulla: u(0) = 0 , a gyorsuls azonban pozitv, a grafikon az rint fltt halad (I. 38. bra). Ennek a felttelnek csak a koszinuszfggvny ( l)-szerese tesz eleget, ha annyival flfel toljuk, hogy a grafi

i. 38.bra

konja fllrl rintse a t tengelyt. Vilgos teht, hogy

T= 0,4488 s

s

03 = 14 l/s.

A legnagyobb gyorsulsbl az amplitdt meghatrozzuk:

Ao32= 19,6 m/s2,

gy

A = 0,1 m.

A mozgst ler fggvnyek:

x( t)= -0 ,1 cos(14) + 0 ,l,

f() = Jc() = 0,1 14sin(14),

a () = jc(0 = 0 , r 142 cos(1 4 ).

30

II. Feladatcsoport: forgmozgs

II/1. Az egyenletes forgmozgs szgsebessge:

w = 244 l /s .

Innen

2nT= =0,0257 s .

co

A fordulatszm:

/ = = 38,8 - .T s

A 12 s alatt az elforduls szge (radinban mrve) a = a)/=244 12 = 2928. A krbe- fordulsok szma:

N_ _ 2928 = 466 2n

II/2. Az ra nagy- s kismutatjnak a szgsebessge adott:

co n

(K =

2n 13600 s

2n 112-3600 s

Ebben a feladatcsoportban az ramutatk jrsnak irnyt vlasztjuk pozitv forgsirnynak. 12 ra utn / id mlva a kt

mutat

on = (On/ ,

aK = coKt

szget zr be a fgglegessel. Ha a / idpontban merlegesek egymsra, akkor

N K .2

Innen71

con/ (Ok> = ,2

vagyis

/ 271 1 271^3600 12 3600J 2

1 \ 360071 3600t 1 -

12 J 2ti-2 4 '

11 36001 12 4

=981,81 s = 16,36 perc,

valban valamivel tbb mint negyed ra mlva kvetkezik ez be.

II/3. 1 ra utn / idvel a kt mutat

0N = Ct>N/ ,

710!k = C k / +

31

szget zr be a fgglegessel. Teht abban a t idpontban, amikor elszr fedik egymst

aN= a K.

gy

con t (Ok t +6

(0>N W k) t , 6

KH-27136003600 12

/ =12 11

= 327 s = 5,45 perc.

II/4. 3 ra 10 perckor a nagymutat 7i/3 szget zr be a fgglegessel, a kismutat pedig 7i/2-nl annyival tbbet, amennyit 10 perc, azaz 600 msodperc alatt elfordul; teht 7i/2 + 600ojk a kismutat fgglegessel bezrt egyik szge. 3 ra 10 perc utn / idvel a kt mutat

ck = cok t + + 600 lk 2

szget zr be a fgglegessel. Amikor a mutatk fedik egymst, akkor

n

* ( l - 12 V 12

271

13 {i ,

3600

271 11T2 T2 3600 12

11 _ 13U ~ 3600

11 .

gy

II. 2. bra

II/7. A szgsebessg-id fggvny grafikonjrl (II. 2. bra) leolvashatjuk a szggyorsulst, ez a grafikon meredeksge, s az elforduls szgt, ez meg a grbe alatti terlet, teht

10 s2

a= 2-10=175.2

A krlfordulsok szma:

N - - 27,8.2n

11/8. A kezdeti szgsebessg:

co = 2ji'60 l/s .

A szggyorsuls:

1 .20 s2

Az elforduls szge:120jt

20=120071.o + / ? 'l ,

a - a i __ 1 19\a \2 o J

11. 3.bra

34

II. 4. bra

cj(l)

II. 5.bra

gy a szgsebessgvektor hossza 11 L/s lesz, llsa nem vltozik. A forgs skja s irnya vltozatlan marad, de a fordulatszm n.

11/11. A sebessgvektor az eredetihez kpest elfordul (II. 5. bra). Az elforduls szge legyen , ekkor

t g a = l i = 0 , l ,0 )0

teht S = 5,7. A szgsebessgvektor hosz- sza is megn:

co = |(o+/?' 11 = y / 102+ 1 2 =

= >/lT= 10,05 l/s .

A forgs skja teht megbillen 5,7-kal, s a fordulatszm igen kis mrtkben, 0,5%- kal n.

35

III. Feladatcsoport: trbeli mozgsok, hajtsok, krmozgs, relatv mozgs

III/l. A pont helyvektora a t idpontban az

r(/) = r0 + v0/ = (2.1) + (1, - 2 ) t =

= (2 + /, 1 - 2 / )

vektor (III. 1. bra). Behelyettestssel nyilvnval, hogy

r(l) = (3, - 1 ) ,

r(2) = (4, - 3 ) ,

r(3) = (5, - 5 ) .

Az elmozdulsvektor az 1 s s 3 s kztt:

Ar = ( 5 - 3 , 5 ( 1)) = (2, - 4 ) .

III/2. A test elmozdulsa a to s ti idpontok kztt:Ar = (2 2,5; 3 2,52; 2,5 1)

- ( 2 1 ; 3 l 2; 1 - 1 ) = (3; 15,75; 1,5).

A sebessgvektor az

r(t) = (2t; 'it2', < - l )

helyvektor derivltja:

i-(t) = v(t) = (2; 6t; 1),

a gyorsulsvektort a sebessgvektor derivltjaknt kapjuk:

r(?) = v(/) = a ( /) = (0; 6; 0).

36

II1/3. A test helyvektora (III. 2. bra):

r(/) =

= (12 + 12cos 30 t; 8 + 12 sin 30 -1 - 5 12) =

= (12 + 6 ^ 3 /; 8 + 6 / - 5 / 2).

A t= l ,2 s idpontban az

r (l,2 ) =

= (12 + 6 ^ 3 1,2; 8 + 6 1 ,2 -5 1,22) =

= (24,5; 8).

helyen van. A sebessgvektor:

v(O = 06^3; 6 10 /)s az 1,2 s idpontban:

v(l,2) = (6v/3 ; 6 - 1 2 ) = (10,4; - 6 ) .

A test akkor r fldet, amikor a hely-id fggvny msodik koordintja nulla:

8 + 6 / 5/2 = 0 ,

innen t= 2s. Ekkor a mozgs els koordintja:

x(2) = 12 + 6^/3 2 = 32,8 m.

A plya cscsn a sebessg msodik komponense nulla:

6 - : 0 / = 0,

yy

a plya cscsra teht a f= 0 ,6 s idpontban r. Ekkor a test az

r(0,6) = (18,23; 9,8)

helyen van. A plyacscs koordinti teht 18,23 mter s 9,8 mter.

m/4. a mozgs kt koordintafggvnye (III. 3. bra):

x(t) = v o c o s a ,

2 y(t) = i;o sin a t ~ - t .

Behelyettestve:

A' = 40 cos 40 t,

1111 v = 15 = 40 sin 40 t 5t2.abra

A msodik egyenletbl:

= 4 ,4 7 s vagy = 0 ,6 7 s.

Ezeket figyelembe vve

A =137m vagy x = 20,5m.

A fggleges egyenes az elhajts helytl20,5 mter vagy 137 mter tvol van. Ekkor az elhajtott test 15 mter magasan tkzik az egyenesbe.

III/5 . A kt koordintafggvnybe helyettestnk:

III 2.bra X = 50 COS 30 t ,

10 = 50sin30 t ~ 5 t 2.

Innen fi =4,56 s, 2 = 0,43s, s x i = 197m, x 2= 18,6m.

III/6. A kt koordintafggvnybe helyettestve

80 = 50 cos 30 ,

y= 50sin 30 t ~ 5 t 2.

Uj $ Innen t= 1,85 s, s gy > = 29,1 m.bra III/7 . A koordintafggvnyekbe he-

37

lyettestnk:

40 = va cos 30'Z,

20 = uosin 30 t 512.

A msodik egyenlet mindkt oldalhoz adjunk 5 t2-et, ezutn osszuk el a kt egyenletet egymssal:

2 0 + 5 12

teht

= tg30.40

Innen t = 0,786 s. Az els egyenletbe visz- szahelyettestve

v= 58,76 m/s

kezdsebessget kapunk.III/8. A mozgs koordintafggvnyei

(III. 4. bra):

x = vocos 30' ,

J^^o + fo sin 30 t - 12,

ahol y 0 = 12 m. A felttel szerint, ha x = = 16 m, akkor a hozz tartoz y = 12 m :

16 = o - y .

12= 12 + / 5/2.2

A msodikbl

1 2 vot=5t ,

10ezt berva az elsbe:

i , uo, 6 " T

a kezdsebessg: r0= 13,6 m/s. Amikor a test fldet r, akkor j=0:

0 = 1 2 + 1 3 , 6 - - 5 2,2

innen / = 2,37 s. A test

x = 13,6 cos 30 2,37 = 28 m

tvol r fdet.III/9. A plya cscsn

vo sina gt = 0,

ahol a felttel szerint = 8 s . Innen

vo sin a = 80.

Msrszt a hajts plyacscsnak a koordintja:

vo 2 802 ycscs = z -s in a = - = 320 m.

2g 2g

III/10. A hajts plyacscsnak koordinti:

vl - 0 87,7 Xcscs = sin 2a = = 43,8 m ,

lg 22

VO - 2 .Vcscs /) sin 0.

2g

Osszuk el a kt egyenlsget egymssal:

>cscs _ sin2 a 1 1

III. 4.bra

cscs

ebbl

.Fcscs

- 0 = r t g a = sin 2a 2 2

= 21,9m .

38

i l l / l l . A test akkor esik le, amikorq 2

vo sin a t t = 0.2

Innen

2vo sin at=

S

Msrszt a plyacscs magassga: 2

In v0 2^cscs=30= sin a.

Innen

fo sin a = y / 2 g y ~ s = 24,5 m /s,

vagyis

2 24,51 = = 4,89s.

Q

A plyacscs koordintinak hnyadosa:

Jcsi.c 1= 2 t S a

gy a v 70, s (pldul)

vo 2

Megjegyzs: rdekes sszehasonltani a kt mozgst! A kt test ugyanazon a helyen esik a talajra; hiszen

2 2

sin 2a = sin 2/?,29 2g .

mert

sin (2-30) = sin (2-60) =

A plyk cscsai gy ugyanazon a fggleges egyenesen egyms alatt (fltt) vannak. Az els test plyjnak a legmagasabb pontja kb. 500 mter magasan, a msodik kb. 1500 mter magasan. Lttuk, amikor az els a plyja cscsra r, a msodik mg a felszll gon mozog.

I I I /13. Tegyk fel, hogy a hajts az origbl indul. Ekkor a hajts koordinti (III. 6. bra):

Xi(t) = vo co sa t,

/ .\ ' 9 .2y i ( t ) = v0 s m a t - - t .

A szabadon es test az (5 m, 8,66 m) pont

bl indul, ezrt a koordinti:

x i ( t ) = 5 ,

>2(0 = 8 ,6 6 - | 2.

Ha a kt test sszetkzik, akkor valamely t idpontban

Al(0 = *2(0> y \ ( t ) = y 2o sin a r - f 2 = 8 ,6 6 - - / 2 .2 2

Innen tg a = 8,66/5. Ebbl a = 60.111/14. A kt test plyja a III. 7. brn

lthat. A vzszintesen kiltt test koordinti:

Xi(t) = V0t,/A -5 Q .2>l(0 = 3 - - / ,

a msodik test koordinti pedig:

*2 (0 = 2,> 2(0 = 8 - | 2.

Ha a t idpontban sszetkznek, akkor

Xi(t) = X2(t),

y i ( t ) = y 2(t).

Ekkor

vot = 2,

8 / - t2 = 3 - Z-t2.2

III. 6.bra

2

Innen

vo t_ _ 2^~8r_yvagyis vo = 5,33 m/s.

40

^ III. 7.bra

111/15. Mivel

271 1con

3600 s

ezrt

v = r(N =

271 in n i in= ------ -1,2 = 0,00209 x 2 ------ .

3600 s s

A pontnak rint irny gyorsulsa nulla, a centripetlis gyorsulsa:

a=rco2 x 3 ,6 10 6 m/s2.

111/16. A Fld sugara: R = 6370 km, a szgsebessge:

2na>-

gy

24 -3600

v = R(o =2 n R

24-360040000000 m--------------=463 .24-3600 s

A gyorsuls v2/R nagysg, a = 0,0336 m/s2, s a Fld kzppontja fel mutat. Ennyi a gyorsulsa a Fld felletn az Egyenltn nyugv testnek. Ha a testet magra hagyjuk, akkor nyilvnvalan a = = 9,81 m/s2.

ni/17. A teljes kr megttele utn az ered gyorsuls nagysgnak s a kezdeti

gyorsuls nagysgnak a hnyadosa legyen x:

tcp + e (xfle) ,

2 _ 2/ 2 , vcp Cle(x 1),

legyen x 2 1 = y 2, ekkor

2 4 2 0 2 2r co ==r p y ,4

2y?2 J

illetve copt miatt,4 2P t = y .

Vonjunk gykt s osszuk el mindkt oldalt 2-vel:

2y2

ami nyilvnvalan a teljes krlforduls szge: 27t. gy

^ = * = 2 7 ,2 2

Teht y = 471, vagyis x = ^ /l6 7 i2 + 1, fggetlenl a plya sugartl s a vgsebessgtl. Msrszt

o vt s - 2 m - j .

innen = 25,1 s.111/18. A szggyorsuls az

at=rP

sszefggsbl:

=0,032 50 s

A szgsebessg induls utn 1,5 s-mal:

w = 0,032 1,5 = 0,048 l/s.

41

A sebessg:

v=rco= 2,4 m/s,

s a centripetlis gyorsuls:

1,2 2 cp= = ra =0 ,1152-2 . r s

Az ered gyorsuls nagysga (III. 8. bra):

a - \Jalp + a? 1,604 m/s2,

vagyis mg alig nagyobb az rint irny gyorsulsnl. Az ered gyorsuls az rintvel 4-os szget zr be. ugyanis

cos 4 =1,6

1,604

111/19. A kerleti pontok kzpponthozviszonytott sebessge: v = rco. A legfels pont a kzpponthoz kpest rco sebessggel mozog vzszintesen, a legals rca sebessggel szintn vzszintes irnyban. A kzppont Do = 4 m/s sebessggel mozog a talajhoz viszonytva. gy a legfels pont sebessge (a talajrl nzve) v \ : = vo + rco, a legals pedig vb ' = vo rco. Tekintve, hogy a legals pont ll,

^H Ilalaj 0 ,

(mert a talaj ll), teht

vo = ra>.

Innen

v 4 1co = = ---- = 20 .r 0,2 s

Az A pont sebessge:

va = vo + rco = 8 m /s.

A C pont s a D pont sebessge egyarnt

v= x/toT nu r = x//2vl"= x/2"v0 = 5,65 m/s

nagysg, irnya a III. 9. brn ltszik.

III. 8.bra

vA- ve + rco

III. 9. bra

[11/20. A legfels pont, illetve a legals pont sebessge:

va = vo + rco = 3 + 0,2 10=5 m /s ,

vb = vo-rco= 3 0,2 ' 10= 1 m/s .

A kerk csszik a talajon, a talajjal rintkez pontja a kzpponttal azonos irnyban mozog a talajon.

111/21. A legfels pont sebessge:

v a = vo + rco= 1 +0,2 10=3 m /s ,

a legals pont pedig

Vb = Vo ~ rco = 1 0,2 10 = - 1 m/s

sebessggel mozog, teht a kzpponthoz kpest htrafel.

111/22. Most co= 10 l/s, mert a kerk htrafel forog. A legfels s a legals pont

42

sebessge:

Va = V0 + rco= 1 + 0 ,2 ( 10)= 1 m /s ,

vb = vo ~rco= 1 0 ,2( 10) = 3 m/s .

111/23. A kerk legfels s legals pontjnak sebessge:

vA= v0 + rco = 5 + 0,2 10 = 7 m / s ,

vb = v0 ra>=5 0,2- 10 =3m /s .

A lap vl sebessge megegyezik in-vel, teht a kerk legals pontja 0 sebessggel mozog a lapon, a legfels pont sebessge a laphoz kpest va vl = 4 m/s, mg a korong kzppontja i;0 l = 5 3 = 2 m/s sebessggel halad a mozg laprl nzve.

111/24. A kerk kerleti sebessge: v = rco, a kzppontjnak kerleti sebessge az R r= 1,4 m sugar plyn: t;0 = 2,8 m/s. A kerk A pontjnak sebessge:

va = v0 rco.

Ez azonban megegyezik a krplya A' pontjainak a nulla sebessgeivel, mert a kerk tapad. Teht

VA' = VA,

gy

Vo = rco,

vo 2,8co- = 2 8 - . 0,1 s

ugyangy, mintha sk talajon grdlne (III. 10. bra).

II/25. A III. 11. brrl lthat, hogy

tOember tOkorong + COre\ ,

a h o l C^ korong 0, COember 0, W rel^O . D e

_ 2n _ 2nCOrcl , Member _ ,4 5

gy

271

T271

= 9 ' I - i k^orong 7^1 | ^271

- 2 0 71 1

1~ S

TI 1/26. Legyen v a relatv sebessg, a mozglpcs sebessge, ekkor

(do + u)60 = / ,

(v0 + 2v)45=/,

ahol / a megtett t. Arra vagyunk kvncsiak, hogy mennyi id alatt r le az ember,

43

ha ll a lpcsn, azaz ha a sebessge vo. Ez az id t=l/vo, s az albbi gondolatmenettel kapjuk meg:

szorozzuk most be a fenti kt egyenlet bal oldalt:

Vo * 60 + v 6 0 = / ,

uo 45 4-1; 90 = / .

Szorozzuk meg az els egyenletet 3-mal, a msodikat 2-vel:

180^o + 180d= 3 / ,

90i>o+ 180 u = 2/.

Innen

9 0 v o = l ,

gy

= r=90 s .Vo

Ennyi ideig tart az t, ha az utas ll a lpcsn.

in/27. A haj sebessge a parthoz kpest VpH, s szaki irny, a foly a parthoz kpest vpf sebessggel halad, mg a haj vzhez viszonytott sebessge vfh- Vilgos, hogy

VpF + VFH = VpH,

vagyis, ha a foly parthoz viszonytott sebessghez hozzadjuk a haj folyhoz viszonytott sebessgt, akkor a haj sebessgt kapjuk a partrl nzve. Ez utbbi nagysga s irnya adott. A III. 12. bra szerint koszinuszttelt alkalmazva:

62 = 52 + 42 2 5 4 cos a ,

cos a = 0,125,

gy

a =82,8.

Az szaki irnytl mrve kelet fel kzel a keleti irnyhoz 82,8 fokkal folyik a foly. (A feladatnak mg hrom ms megoldsa is van. Ezek abbl addnak, hogy a VpF s a vFh vektorok a vektorhrmassgban felcserlhetk, valamint a fgglegesre tkrzhetk az brn.)

111/28. Legyen /= 8 km=8000 m, a foly sebessge: c = 3 m/s, a csnak sebessge llvzben: v = 4 m/s. Ekkor a vzzel egy- irnyban haladva

ti (v+ c) = l ,

a msik irnyban

t i (v c )= l .

Az sszes id:

/ /tl + 2 t ----------- 1-------- ,

V + C V C

2 v 21 1

V

9 1 4 0 s 2 ,5 4 ra .

I l i 12.bra

44

Mivel

ezrt

21 < t , v

ami azt jelenti, hogy a folyn hosszabb ideig tart a tvolsg oda-vissza megttele, mint llvzben. Az egyik irnyban nem segt annyit, mint amennyit ront a msik irnyban. Ha pldul v=c, akkor vissza sem r a haj.

111/29. A feladat megoldsban lnyeges tlet az, hogy a vonatkoztatsi rendszert rgztsk a kulacshoz. Nos, a kulacs kiesett. Mit lt? Ltja, hogy tvolodik a hd, s tvolodik a halsz. A halsz gyorsabban. A halsz htt fl rig ltja, mert a halsz fl ra mlva fordul meg. A halsz hast is fl rig ltja, hiszen a vz a kulacs szempontjbl ll. A kulacs nzpontjbl teht a halsz fl rig oda, fl rig vissza evez az llvzben. gy egy rig vannak tvol. Ez id alatt a hd 5 km-t tett meg. A hd sebessge a kulacshoz (a vzhez) viszonytva 5 km/h. A viz sebessge a hdhoz kpest 5 km/h.

n i/30 . A fecsktl a fszekhez mutat vektor minden pillanatban 30-os szget zr be a plya rintjvel, a sebessgvektorral (III. 13. bra). (Az ilyen grbt logaritmikus spirlisnak nevezik.) Hasonl a helyzet a legels pontban szba kerlt pldhoz. A forg vilgttoronybl nzve a kzeled haj fnye spirlis plyn mozog.

Hogyan tudnnk visszavezetni a feladatot erre a pldra? Gondoljuk el, hogy a fszekben l fecskegyerek nyakba tvcsvet akasztunk. Ezzel ksri nyomon az anyjt, mindig utna fordulva. A kis fecske azt szleli, hogy amikor az anyja 100 mterre van, hirtelen lassabban kzeledik: az eddigi 10 m/s helyett 10 cos 30 = 8,66 m/s a kzeleds sebessge. Egyttal azt is tapasztalja, hogy a tvcsben eddig anyja mindkt flt ltta, mostantl azonban flprofilba fordul s mr csak az egyiket ltja. A kezdetben mrhet 100 mter tvolsgot egyenes vonal, egyenletes mozgssal, 8,66 m/s sebessggel,

100m = ----------- = 11,54 s8,66 m/s

id alatt teszi meg. (Mg egyszer: a kis fecske egyenes vonal mozgsnak szleli az anyja mozgst, ha a tvcsvel utna fordul.) A megtett t a plyagrbe hosz- sza :

s = t r / = 1 0 - 11,54=115,4 m .

111/31. Lnyegben az elz feladatrl van sz (III. 14. bra). A bogarak a hromszg kzppontjhoz viszonytva az elttk jr bogarat 30-kal jobbra ltjk.

45

A hrom bogr plyja a kzppontra csavarod spirlis. Ha a kzppontba olyan megfigyelt ltetnk, aki llandan utnafordul a bogaraknak, akkor ezeket 10 cos 30 = 8,66 cm/s sebessggel kzeledknek szleli. A bogarak egyenes vonal, egyenletes mozgssal mozognak a kzppont fel (s kzben az eredeti hromszg elfordul). A bogarak a cscstl a kzppontig terjed -v/3_/3 m = 57,73 cm hossz szakaszt

57,738,66

= 6,66 s

id alatt teszik meg. Egyszerre rnek a kzppontba. Mindegyik bogr 6,66 10 = = 6,6 cm utat tesz meg a tallkozsig. Ilyen hossz egy-egy spirl: ezeknek a grbeszakaszoknak a hossza 2/3 rsze a hromszg oldalhossznak.

111/32. A kt gyalogos a lgy feltnse utn

150002-2,5

= 3000s.

azaz 50 perc mlva tallkozik. Ekzben a lgy seoessgnek a nagysga lland: v = 4 m/s. A lgy ltal megtett t a plyjnak hossza (annyiszor szmolva az egyenes szakaszait, ahnyszor a lgy vgigmo- 7ng rajta):

5 = 3000 4 = 12000 m = 12 km .

111/33. Nyilvnvalan 500 mterre. A lassul kocsi sebessggrafikonja alatti terlet 500 mter. Az egyenletesen mozg rsz sebessgnek a grafikonja a vzszintes egyenes. Az alatta lv terlet ktszerese a hromszg terletnek, teht 1000 mter. A kt terlet klnbsge a relatv elmozduls (HL 15. bra).

111/34. A kt rsz sebessgnek grafikon-

III. 15. bra

III. 16. bra

III. 17.bra

46

jt ltjuk a III. 16. brn. Az als hromszg terlete a leszakadt rsz ltal megtett t:, 20/200- ,

innen t= 120 s = 2 perc. A fels hromszg terlete azt jelenti, hogy mennyivel tbb utat tett meg az els a hts rszhez kpest:

A trapz terlete klnben a mozdony ltal megtett t 120 msodperc alatt:

20 + 22---------- 120 = 2520m,

ami persze az 1200 mter s az 1320 mter sszege.

111/35. A III. 17. brn lthat, hogy az A rhaj grafikonja egybeesik az idtengellyel, a B rhaj pedig az orign tmen, 0,8 fnyv/v meredeksg egyenes. A t = 0 idpontban, amikor A s B tallkozott, elindtunk kt fnyjelet. Ezek grafikonjt is megrajzoltuk. A C rhaj B-hez kpest nyugalomban van, ez azt jelenti, hogy a sebessge megegyezik B sebessgvel. A grafikonon ez abban tkrzdik, hogy B s C grafikonja prhuzamos egyenes. (Kt megolds is van: vagy B eltt halad, vagy B utn 3 fnyvvel.)

47

IV. Feladatcsoport: Newton-trvnyek

IV /l. Newton II. trvnye:

F=ma.

A mozgs egyenletesen gyorsul, ezrt

2 S = 2 * '

v = at.

E hrom egyenlet hrom ismeretlent tartalmaz, ezek: F, a, v. A msodik egyenletbl a = 0,3 m/s2. gy

F = 2 - 0 ,3 = 0 ,6N.

(A harmadik egyenletbl: v = 0,6 m/s.) IV /2 . Newton II. trvnye:

F = m a,

a mozgst kinematikailag az

a 2 . v + vo s= - t + v0t= /,

v = a t+ v o

egyenlsgek jellemzik. Behelyettestve:

F=2a,

,nn 2 + 2,6 1 0 0 = ,,

2,6 = + 2 .

Innen = 43 ,47s, a = 0,0138 m/s , s F= = 0,0276 N.

IV/3. Newton II. trvnye (a IV. 1. bra alapjn):

F mg = ma.

A kinematikai egyenletek pedig:

o 2x = t + V o t ,

v = at + v o-

Behelyettestve:

140 100= 10a,

x = ^ ' 3 2 + ( 4)3,

v a ' 3 4.

Innen = 4m /s2 (flfel irnyul), a test az orig felett van x = 6 mterre. Itt a sebessge 8 m/s, teht mr poztiv a sebessg (flfel mozog), a test sebessge az els hrom msodpercben eljelet vltott, legyen ennek az idpontja ti. Ebben a pillanatban

0 = 4 / i - 4 ,

teht ti = 1 s. Ekkor a test

x i = - - l 2 - 4 1 = - 2 m2

48

IV. I. bra

koordintj helyen van, vagyis az orig alatt 2 mterre. A megtett t:

s = 2 2 + 6 = 10m.

IV/4. Newton II. trvnye:

K mg = m a,

a test mozgsa egyenes vonal, egyenletesen vltoz, kezdsebessg nlkl, gy

o 2 * = 2 '

v = at.

Behelyettestve:

: - 1 0 0 0 = 1 0 0 ,

1 , 8 - 3 ,

v = a~ 3.

Innen c = 0,4 m/s2, s flfel mutat. A test sebessge a gyorstsi szakasz vgn

v= 1,2 m/s.

A ktelet feszt er:

K = 1040 N .

IV/5. Irnytsuk most a koordinta- rendszer fggleges tengelyt lefel. A mozgs sebessg-id grafikonjt ltjuk a IV. 2. brn. Az els szakasz vgn a testnek

) = 0 , 6 2 = 1,2 s

sebessge van, s megtesz a test

. . _ 06 02 _ , ~ h i . 2 1,2 m

utat. Az els 1,2 mtert s az utols 3 mtert levonjuk a 20 mterbl, akkor az egyenletesen mozg test ltal megtett utat kapjuk: 2 0 -(1 ,2 + 3)= 15,8 m. Ezt az utat1,2 m/s sebessggel teszi meg, teht 13,16 msodpercig tart. Az utols 3 mter hosz- sz t a jobb oldali hromszg terlete:

3 =1,2 /

innen /= 5s. A test teht 2+1 3 ,1 6 + 5 = = 20,16 msodperc alatt r fldet. A test tlagsebessge nyilvnvalan

20= 0,99 m/s.

20,16

A mozgs els szakaszban i =0,6 m/s2, lefel mutat, teht pozitv. Newton II. trvnye alapjn:

m g K i mai,

IV. 2.bra

49

gy K= m ( g - i) = 940N . A kzps szakaszon a gyorsuls nulla, ezrt K 2 = mg = = 1000N a ktler. A harmadik szakaszon

gy, ha a ktlert '3-mal jelljk-

m g K 3 = mai,

teht

K 3 = m(g a3) = 1024 N.

IV/6. A hrom testre rjuk fel NewtonII. trvnyt (IV. 3. bra). Kezdjk a fels testtel:

mg N 1=m a = 0,

a msodik testre:

mg H N i ~ N 2 = ma = 0,

s a harmadik testre:

mg + N 2 Ns = ma = 0.

gy N i = 10N, N 2 = 2 0 N, W3 = 30N. A test 10 N ert fejt ki B-re, a B ugyanannyit flfel A-ra. A B test 20 N ert fejt ki C-re, s C ugyanennyit B-re. Vgl a C test 30 N ervel nyomja a talajt, a talaj pedig ugyan

ennyivel a C testet. gy a hrom test mindegyike nyugalomban van.

IV/7. A IV. 4. bra szerint jelljk be a testek kztt hat erket. Az er-ellener prokat ugyanazzal a betvel jelljk. Newton II. trvnye rendre:

F ~ F i= m a ,

F i - F 2 = ma,

F2 = m a .

(Figyelembe vettk azt a termszetes tnyt, hogy a hrom test gyorsulsa azonos.) Adjuk ssze a hrom egyenletet:

F= 3 ma,

innen a = 4 m/s2, s gy Fi = 8 N, F2 = 4 N . Az A test a B testre 8 N ert fejt ki, ennek ellenerejt B fejti ki A-ra, a B test a C testre4 N ert fejt ki, ennek ellenerejt fejti ki a B testre.

IV/8. Newton II. trvnye a kt testre:

F K = m ia ,

K = m 2a.

sszeadva:

F (m i+ m 2)a,

gy

a= 4 m/s2, s A'=/2a = 8 N.

,T mg

mg'

' mg

IV. 3.bra

IV19. Newton II. trvnye a hrom testre (IV. 5. bra):

F K i = m ia ,

K i ~ K2 = m 2a,

K2 = m 3a,

ahol Ki a jobb oldali ktelet, s K 2 a bal oldali ktelet feszt er. A hrom egyenle-

50

VIV. 4. bra

IV. 5. bra * IV. 6.

bra

tt sszeadva:

F= (mi + m 2 + m 3)a,

7 '

gy ^ 2 = 4 -2 = 8 N , ^1 = 3 6 - 8 - 2 = 2 0 N.IV/10. Newton II. trvnye a kt test

mozgsra:

m \ g - K = m \ a ,

K = m 2a.

A kt egyenletet sszeadva:

m ig = (m i+ m 2)a.

Teht = 4m /s2, s K = m 2a= 24N . IV/11. Newton II. trvnye:

m 1g K = m ia ,

K = m 2a,

a kt testre addig rvnyes, amg az mi tmeg test fldet nem r. Innen a = 2 m/s2 s K= 16 N. A test 2 mter ton t id alatt v sebessgre gyorsul fel:

v = 2t,

teht t = y / l s, v = 2 x/ l m/s. Ekkor az mi tmeg test fldet r, az m 2 tmeg pedig

egyenletesen mozog, a htra lv 2 m hosz- sz utat a csigig 2^/2 m/s sebessggel teszi meg (IV. 6. bra).

IV/12. Vlasszuk pozitv irnynak az ramutat jrsval megegyez irnyt'*. Ekkor

m g Ki = m ia ,

K i ~ K2 = m 2a,

K2 m 3g = m 3a,

ahol Ki a jobboldali, a K2 a bal oldali ktlben hat er. sszeadjuk a hrom egyenletet:

m i g - m i g = (m i+ m 2+ m 3)a.

Teht a= 1,25 m/s2, a hrom test az ramutat jrsnak megfelel krljrs szerint mozog. Az els egyenletbl: Ki = =26,25 N, a harmadik egyenletbl: K2 = = 22,5 N.

** Ez a szemlletes kifejezs azt jelenti, hogy a bal oldali test mozgsnak irnyt akkor tekintjk pozitvnak, ha flfel mozog, az asztalon mozg testt akkor, ha jobbra mozog, mg a jobb oldalit akkor, ha lefel mozog. Ez az igen gyakori eljelvlaszts nem mondhat kvetkezetesnek, ennek ellenre nha mi is lnk ezzel a lehetsggel.

51

IV. 7.

IV /13. Ha a talajon mozg testre K er hat, akkor az mi tmeg testre 2 K ktler hat ( IV . 7. bra). A csigra hat erk eredje ugyanis nulla. Newton II. trvnye:

m i g 2 K = m ia i ,

K = m 2a2 .

Szemlletesen nyilvnval, hogy

2 = 2 l,

de indokolhatjuk is a kvetkezkppen. A mozg csiga tvolsga az y tengelytl legyen x 0, az m 2 tmeg test x 2. Ekkor a fonl hossza:

/ = 2 x 0 ~ x 2 ,

innen

0 = 2 o a 2 .

Az pedig magtl rtetdik, hogy a csiga gyorsulsa s az w i tmeg test gyorsulsa megegyezik (a msik ktl nyjthatatlan- sga miatt). Behelyettestve:

3 0 -2 A := 3 fli,

K = 2 a 2 ,

a2 = 2 a \ .

Innen302 A = 3 i ,

2K=%ai,

30= H i ,

gy30 2

ai = =2,73 m/s ,

a2 = 5,46 m/s2,

K = 10,92 N .IV/14. A Newton trvnyek (a IV. 8.

bra alapjn):

F N K = M a ,

K = m 2a2,

N = m \ ,

m i g - K = m i a i ,

(1)

(2)

(3)

(4)

ahol a az asztal vzszintes gyorsulsa, ai az mi tmeg test fggleges irny gyorsulsa, s a2 az m 2 tmeg test gyorsulsa. Nyilvnval, hogy

a2 a + a i . (5)

Helyettestsk az (5) egyenletbl a2- (2)- be, majd adjuk ssze (2)-t s (4)-et; ekkor

m ig = m 2a + (m i + m 2)ai.

Km2

u u m,g IV. 8.bra52

Behelyettestve:

10 = 2 + 3 i . (6)

Msrszt adjuk ssze az (1) s (3) egyenleteket s a (4) egyenlet ( l)-szerest:

F m ig = M a + m i a ~ m i ai.

Behelyettestve:

10=3 - i . (7)

A (7) egyenlet 3-szorost adjuk ssze a (6) egyenlettel:

40= 11a,

innen

40 mc = -------

11 s2

A tbbi ismeretlent egyszer visszahelyet- testssel kapjuk:

40 10 ma i = 3 - 10---------- - ,

11 11 s2

50 ma z -------------- 7 5

11 s2

u=TTn

IV/15. Ha az mi tmeg testre AT ktler hat, akkor az asztalon mozg testre 2K (IV. 9. bra). Jelljk ai-gyei az mi tmeg test fggleges gyorsulst, a2-vel pedig az m 2 tmeg test vzszintes gyorsulst. A Newton-trvnyek:

m g - K = m i a i ,

2K= m 2a2.

v. 9. bra

A kt test gyorsulsa kztti kapcsolat,

l = 22-

(Ezt a IV. 13. feladat megoldsnl vzolt gondolatmenethez hasonlan igazolhatjuk.) Behelyettestve.

10 K i ,

2K=2az,

l = 22 .

Az egyenletrendszert megoldva:

^ 10 20 m 10 mK= N, a\ = ------ j , a2 = ------

3 3 s2 3 s2

IV /16. Legyen a csszbe tett srt tmege x, a kocsiba tett srt gy 1 x kg tmeg lesz. Newton II. trvnye a kt testre:

xg K = xa ,

K = ( l ~ x ) a .

Innen xg a, teht

K = ( l - x ) x g .

53

teht

v. 10.bra

Vizsgljuk az x -* (l x )x 10 fggvnyt (IV. 10. bra). Kt gyke van: xi = 0, x 2 = 1. A konkv fggvnynek a kt gyk kztt az ( j t i + x 2) / 2 helyen van maximuma. gy a maximum:

Amax 0,5,

a srtet teht fele-fele arnyban kell elosztani. A fonalat feszt er A'max = 2,5N.

IV/17. Fektessk a koordinta-rendszerx tengelyt a lejtre (merlegesen a lejt alaplre, lsd a IV. 11. bra fels rszt). Ekkor a test az origbl indul a tengely pozitv fele irnyban. Az origtl mrt tvolsga a t idpontban:

jc()= j t2 + v0t ,

s a sebessge:

v(t) = a t+ v o

(mindaddig persze, amg vissza nem r). A lejtn srlds nlkl cssz test gyorsulsa:

a= g sin a = 5 m/s2,

amit Newton II. trvnybl kapunk. A mozgs grafikonja a IV. 11. bra als rszn lthat, az orign tmen konkv parabola. A test akkor r vissza, amikor

x(t) = 0,

- /2 + 1 0 / = 0,2

/= 4 s .

Ennek az idnek a fele, ti = 2 s kell ahhoz, hogy a test meglljon. Ekkor a test

5 2x milx: = - 2 + 10 2 = 10 m2

magasan van a lejtn mrve. (A fgglegesen mrt magassg xmax sin 30 = 5 m).

IV/18. Vlasszuk meg a pozitv irnyt az ramutat jrsval ellenttes irnyban. Ekkor

K m ig sin a = wi,

m 2g K = m 2a.

Behelyettestve:

K 1,01 = a

2 0 ~ K = 2 a .

X

t IV . 11.bra

x ~ (1-x)x-10

w. 12

54

A kt egyenletet sszeadva:

12,9 = 3,

a = 4,3 m/s2,

/ i : = l l , 4 N .

(Figyelemre mlt: az m i tmeg test akkora gyorsulssal mozog flfel a lejtn, amekkorval ktl nlkl lefel mozogna.)

IY/19. Legyen most is a pozitv irny ellenttes az ra mutatjnak jrsval. Ekkor

K m ig sin a = w ia ,

m 2g sin f i K = m 2a.

Behelyettestve:

/ : - 4 0 = 8,

42,4 K=6a.

A kt egyenletbl

a = 0,17 m/s2.

A kt test kis gyorsulssal pozitv irnyba mozog. A ktler:

* = 4 1 ,4 N .

IV /20 . A IV. 12. bra alapjn testre hat erk lejt irny komponenseinek sszege:

mg sin a + F cos fi=ma,

a lejtre merleges komponensek sszege:

N + /'sin fi mg cos a = 0.

Behelyettestjk az adatokat:

40+ 11,6=8 ,

N + 3,1 -6 9 ,3 = 0.

Innen a 6,45 m/s2 s N = 66,2N.

v. 12.bra

IV/21. A kt test mozgst az

m \ g K = m \ a \ ,

m 2g ~ K = m 2a 2

Newton-egyenletek rjk le olyan koordinta-rendszerben, amelynek az x tengelye lefel mutat. A kt gyorsuls sszege 0, mert a fonl nyjthatatlan:

l+2 = 0.

Az adatokat behelyettestve az albbi egyenletrendszert kapjuk:

3 0 - K = 3 a i ,

2 0 - K = 2 a 2,

ai + a2 = 0.

Innen

gy

K = 20-1,2 = 24 N ,

i =2 m/s2; s a2 = - 2 m/s2.

A kt test tvolsga akkor 0,8 m, amikor az els test ltal lefel megtett t 0,4 m.

55

Legyen ez az idpont /, ekkor

0 , 4 ^ ,

=0,63 s,

s az elrt sebessg 1,26 m/s, az els test ezzel a sebessggel mozog lefel, a msodik ugyanennyivel flfel.

IV/22. A testek mozgst a IV. 13. brn lthat koordinta-rendszerben az

m \ g K = m \ a \ ,

m2g 2K =m 2a2,

m 3g - K = m 3a3

Newton-egyenletek ijk le. A gyorsulsok kztt az

1 + 22 + 3 = 0

knyszeregyenlet teremt kapcsolatot. Adatokkal:

3 0 - K = 3 a u

40 2K'=42,

2 0 - K = 2 a 3,

l + 2 2 + 3 = 0.

Innen

1 0 - y = a i,

20 K = 2 a 2,

gy

40-*G

IV. 13. bra

K= 21,81N.

Visszahelyettestve: a i = 2,72 m/s2, ai =

/F. /4. bra

= 0,91 m/s2, a3 = 0,91 m/s2. A sebessgek kztt is rvnyben van a vi + + 2v2 + v3 = 0 knyszeregyenlet. A kezd- sebessgre alkalmazva:

-5 ,4 5 + 2- 0,91 + v3(0) = 0.

Innen r3(0) = 3,63 m/s, vagyis kezdetben a harmadik test lefel irnyul, 3,63 m/s kezdsebessggel mozog. A hely-id fggv

56

nyk (IV. 14. bra):

x i ( /)= ^ - / 2- 5 ,4 5 + 2,

0 91x 2 (0 = 0, 91 + 3 ,

0 91x 3 (/) = ------ t2 + 3,63+2,5.

Ezekben a tvolsgok mterben, a sebessgek m/s-ban, a gyorsulsok m/s2-ban vannak megadva. Ezek a fggvnyek addig vannak rtelmezve, amg valamelyik test felr az orighoz.

IV /23. A testek mozgst ler Newtonegyenletek:

m\Q 2 K = m \ a \ ,

m2gK=m2a2,m 3g - K = m 3a3.

A gyorsulsok kztt az

ai + O = 0,

2 o + a 2 + a3 = 0

knyszeregyenletek vannak rvnyben, ahol a0 a csiga gyorsulsa. gy

2 0 - 2 > 2 i ,

2 Q -K = 2 a 2,

\ 0 - K = a 3,

2q\ + (i2 + a3 = 0.

Osszuk el a msodik egyenletet 2-vel, majd adjuk ssze az els hrmat:

K + 1 =0.Innen K= 11,43 N, a\ = 1,42 m/s2, 02 = = 4,28 m/s2, 3= 1,42 m/s2.

IV /24. A testek mozgst a /K 15. brn

v. 15.bra

lthat koordinta-rendszerben az

m i g - K = m i a i ,

m2g - 2 K = m 2a2

Newton-egyenletek rjk le. A kt fonl hossza lland:

x 2 + xo = h ,

h - x 0 + x i - x 0 = l2,

gy a gyorsulsok kztt a kvetkez kapcsolat van:

2 + O = 0 ,

2o + i = 0,

vagyis

a i + 22 = 0.

Az adatokat behelyettestve:2 0 - K = 2 a ly

2 0 -2 K = 2 a 2.

Innen: AT=12N, i = 4m /s2 = - 2 m/s2.

es 2 =

57

IV/25. Ha a msodik (a hosszabb) ktlben K er hat, akkor az els ktl 2K ert fejt ki az m i tmeg testre. A testek mozgst hrom Newton-egyenlet rja le (IV. 16. bra) :

m \ g 2 K -n iy a \ ,

m 2g ~ K = m 2a2,

m 3g - K = m 3a 3.

Az els ktl hossza:

x i + x 0 = h ,

a msodik ktl pedig

x 2 x 0 + h x 0 + h + x 3 = l2.

gy a gyorsulsok kztt fennll knyszeregyenletek: i + o = 0,

a2 2ao + a3 = 0,

vagyis

2l + 2 + 3 = 0.

Behelyettestnk:

4 0 - 2 * = 4 , ,

5 0 - K = 5 a 2,

3 0 - K = 3 a 3,

2a\ + a2 + a3 = Q.

Innen

40 = A" ( 1 + 1 1 \5 + 3 >

gy

A = 2 6 N , i = - 3 m/s2, 2 = 4,8m /s2,

s vgl 3 = 1,3 m/s2. Az els test flfel gyorsul (a kezdsebessg nulla, teht flfel mozog). A megtett t:

s=0,5 = | 2,

2 Km,

K

///////////////////AIV. 16. bra

gy t = 0,577 s. Ekzben a msodik test 0,8 mter, a harmadik 0,22 mter utat tett meg lefel.

IV/26. Az 5 mter magasrl es test

5 = 22

v = g

alapjn v= lOm/s sebessggel tkzik a testhez. A fonl merev, ezrt az tkzsben mindhrom test rszt vesz. Az impulzusmrleg:

0,1-10 = 2,lu ,

ahol a hrom test u sebessggel mozog az tkzs utn:

= 0,476 m/s.

Alkalmazzuk most a testek tovbbi mozgsra Newton II. trvnyt:

1 0 - A = i ,

1 1 - A = 1 , 1 2,

1 + 2 = 0.

58

Innen

20= K ^ i + _ L ^ , k = io,47 N ,

teht

i = 0,47 m/s2, a2 = 0,47 m/s2.

Ezutn a jobb oldali test

s= - y - ' 12 + 0 ,4 7 1 = 0,71 m

utat tett meg lefel, a msik ugyanannyit flfel, teht a kt test tvolsga 1 msodperc mlva 1,42 mter.

IV/27. A mozgst az

i ioAr=t,

I , 2 l 0 - K = \ , 2 a 2,l+2 = 0

egyenletek rjk le, amg a nagyobb tmeg test fldet nem r. Ekkor

20 = T{ + 11,Vl>2 r

gy K = 10,90 N , i = 0,9 m/s2, s c2 = = 0,9 m/s2. Ha a nagyobb tmeg test t id alatt r fldet, akkor

t= 1,62 s ,

s a test v= 1,62 - 0,90= 1,46 m/s sebessggel r fldet. A msik test ekkor 2,2 m magasan van a talaj fltt, s flfel irnyul 1,46 m/s nagysg sebessggel (lefel irnyul g gyorsulssal) emelkedik. Irnytsuk most a koordinta-rendszer x tengelyt flfel (IV. 17. bra). Ekkor a test talajtl mrt tvolsga t idvel azutn, hogy az els fldet rt:

jc(/) = 5t2 + 1,46 + 2,2,

X

s a sebessge:

v(t)= 10+ 1,46.

A test a plya cscsra r abban a ti idpontban, amikor r(i) = 0:

0 = - 1 0 i + l,4 6 ,

teht ti = 0,146 s. Ekkor a test a talaj fltt x(0,146) = 2,3 m magasan van. A kny- nyebb test mg 10 cm-t emelkedik azutn, hogy a fonl meglazul.

IV /28. Legyen a macska tmege mi = = 4 kg, a gyorsulsa pedig a u a rd tmege m 2 = 6 kg, gyorsulsa a2, s az ellensly tmege m3 = 10 kg, a gyorsulsa a3. Tegyk fel, hogy a macska a rdhoz kpest a gyorsulssal mozog. Az a teht a relatv gyorsuls abszolt rtke:

rel &

Ekkor

A hrom testre vonatkoz Newton-egyen- letek (IV. 18. bra):

m xg F = m xa \ , (2)

m2g ~ K + F = m 2a2 , (3)

m 3g - K = m 3a3 , (4)

59

' / / / / / / / " V / / / / / 7 X 'W S S egyenlsggel, ekkor

Im,g

1^9

mtgIV. 18. bra

esa3= - a 2 . (5)Tovbb: a macska gyorsulsa a talajhoz kpest megegyezik a macska rdhoz viszonytott gyorsulsnak s a rd talajhoz viszonytott gyorsulsnak az sszegvel:

l = r e l + 2 = a + 2 (6 )

Behelyettestve:

40 F= 4i , (2')

6 0 ~ K + F = 6 a 2 , (3')

100-/s:=103. (4')

A (2') s (3') egyenletet sszeadva:

100A^=4i + 62 .

A (4') egyenletbl (5) felhasznlsval:

1 0 0 - ^ = - 1 0 2 .

Innen

4i + 62= 10a2 ,

vagyis

i + 4 2 = 0 .

Vessk ssze a (6)-bl kapott

a i ~ a i = a

a2 = 5 '

a= 52 .

rjuk ezt az (l)-be:

2 - ^ .

majd osszuk el 5-tel:

ami a rd elmozdulsa, s (mert 2>0 ) ami megegyezik a rd ltal (lefel) megtett ttal. Ugyanennyit tett meg az ellensly flfel. A macska 2 mtert tett meg flfel haladva a rdon, de a rd 0,4 mtert tett meg lefel. A macska teht 1,6 mtert tett meg flfel (a talajhoz viszonytva).

IV /29. A macska F e rt fejt ki a rdra, a rd ennek ellenerejt a macskra (IV. 19. bra). Legyen a macska tmege m, a rd M. Ekkor

mg F= 0 ,

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

mgMg

IV. 19.bra

60

mert a macska ll a talajhoz kpest,

Mg + F= M a ,

ahol a a rd gyorsulsa. A rdra hat er az Mg nehzsgi ervel egytt lefel hat, mert a macska lefel tapossa a rudat. A kt egyenletet adjuk ssze:

(m+ M)g = M a ,

teht

m + M , , 2 a = /=17,5 m/s .

M

IV/30. A test nyugalomban van, ezrt a r hat erk eredje nulla. A testre vzszintes irnyban csak a talaj fejthetne ki ert (a srldsi ert), de mert nincs ms er. amely a talaj mentn hatna, ezrt a srldsi er nulla. Rviden s vzlatosan:

a = 0, F = S , F = m a ^ S = 0 .

IV/31. A test s a lejt kztt fellp srldsi er vagy

S=fimg cos a = 20,78 N ,

vagy

S = m g sin a = 20 N .

Az els eset akkor valsul meg, ha a test csszik a lejtn, a msodik akkor, ha tapad a test. Mivel a kezdsebessg nulla, s tg a < n, (tg 30 = 0,57 < 0,6), a test valban tapad: gy S = m g sin a = 20 N.

IV/32. A test s a talaj kztt a sebessggel ellenttes irny, S ~ nmg = 0 ,6-40 = = 24 N nagysg srldsi er lp fel. (Ha a sebessg irnya pozitv, akkor

S = 24 N = 4 a ,

a= 6 m/s2.) Ez azt jelenti, hogy a test lassul.

IV/33. A testre pozitv irnyba F, nega-

F IV. 20. ___ bra

tv irnyba S hat (IV. 20. bra):

F S = ma .

Tegyk fel, hogy a test csszik. Ekkor S=/umg = 24 N. gy

20 - 24 = 4a ,

innen a = 1 m/s2 . Ez azonban nem lehetsges, ha i'(0) = 0. Klnben v(t)< 0 ( t> 0) lenne, gy az .S>0 kvetkezik be. Ekkor azonban a < 0 nem lehetsges. Teht a = 0. gy F S = 0, vagyis S = F = 20 N. Ha F= 48 N, akkor a csszst feltve a= = 6 m/s2, teht v(t) = 6 -1 > 0 , t > 0 vagyis a felttelezs beigazoldik.

IV/34. Newton II. trvnye:

F S = m a .

A test csszik, teht S=/xm g= 24 N. Ha F= 20 N, akkor a = 1 m/s2. A test lassul, s 10 msodperc alatt a sebessg 0-ra Cskken, majd megll. Ezutn a = 0, s = = 20 N. A test tapadni fog. Ha F= 48 N, akkor a= 6 m/s2. A test nvekv sebessggel mozog, s pldul 10 s mlva a sebessg: v= 10 + 6 10 = 70 m/s.

IV/35. A test csszik, teht S= iim g= = 24 N. Irnya a sebessggel ellenttes irny: a hzervel megegyez irnyban hat (IV. 21. bra). Newton II. trvnye:

F+ S = m a ,

IV. 21.bra

61

behelyettestve:

20 + 24 = 4a,

teht a= 11 m/s2, gy a test lassul: a sebessge 10/11 = 0,9 s mlva nulla lesz. Ezutn a test nyugalomban marad, mert a 20 N er nem elg nagy ahhoz, hogy megmozdtsa a testet. Ha a hzer 48 N, akkor

48 + 24 = 4a ,

a= 18 m/s2 .

A test most 10/18 = 0,55 s mlva megll, most azonban elmozdul az F irnyba 6 m/s2 gyorsulssal.

IV/36. A testre hat erk lejtvel prhuzamos sszetevinek sszege a lejt menti gyorsulst szolgltatja (IV. 22. bra):

mg sin a S m a ,

de mert a test csszik,

S = fimg cos a .

gy

mg sin a /umg cos a = m a ,

vagyis

g (sin a fi cos a) = a

Behelyettestve: a =3,26 m/s2. Az elmozduls-id fggvny:

a 2x(t) = t + v 0t ,

IV. 22.bra

IV. 23.bra

a felttel szerint valamely t> 0 idpontban:

a 2 t + v0t = 4 ,

3,26 , t + 2 t - 4 = 0 .

2

innen = l ,0 6 s. Ebben a pillanatban asebessg:

v (1,06) = 3,26 1,06 + 2 = 5,45 m /s .

A test teht nvekv sebessggel halad a lejtn.

IV/37. A testre hat erk eredjnek lejt irny sszetevje a test impulzusnak idegysgre es megvltozsval egyenl (IV. 23. bra):

mg sin a + umg cos ct = m a ,

ebbl

a = g(sin ct + n cos a) = 5,86 m/s2'.

A gyorsuls lefel mutat. Vlasszuk ezt az irnyt pozitvnak. A kezdsebessg irnya a lejt teteje fel mutat, teht negatv: vo = 10 m/s. A test flfel haladva akkor ll meg, amikor

u() = uo + a =:0 ,

- 10 + 5,86 = 0 ,

teht

t= 1,7 s .

62

A test elmozdulsa flfel mozogva: ideig mozog a test:

x (l,7 ) = ^ t 2 + v0t= ^ 1 , 7 2 - 1 0 - 1,7,

x (l,7 )= 8,5 m .

A flfel megtett t: 8,5 m. Ha a test elindul lefel, akkor

a = c/(sina /ueosa) = 4,l m/s2

gyorsulssal mozog. A gyorsuls pozitv, teht a test valban elindul lefel. Az elindulsi helyig 8,5 mter utat tesz meg. Ha ehhez ti id szksges, akkor

8 ,5 -

ti = 2,0 s .

gy a flfel indtott test 3,7 msodperc alatt r vissza az elinduls helyre. A srldsi er nmg cos a =3,46 N nagysg, akr flfel csszik a test, akr lefel. Az irnya azonban a sebessggel ellenttes irny.

IV/38. Legyen a lefel mutat irny pozitv. A flfel mozg test gyorsulsa:

a i = y (sin a + n cos a ) ,

a lefel cssz test gyorsulsa:

a2 = g (sin a n cos a ) .

Az nyilvnval, hogy ai > 0, vagyis a flfel mozg test lefel gyorsul. Az a2 is pozitv (lefel mutat), mert a test a felttel szerint elindul lefel. Ha egy test valamilyen negatv kezdsebessgrl ai > 0 gyorsulssal lelassul, s ti id alatt megll, akkor a megtett t:

a2 2h .

gy

a 2 __ 2 2

T Tteht

ti _ a2 _ g(sina /

IV/39. A lejion flfel cssz test gyorsulsa:

i = gr(sin oc + n cos )

a lefel mozg test pedig

a 2 = /(sin a, n cos a)

gyorsulssal mozog. A d i< 0 sebessgrl a i > 0 gyorsulssal lelassul test .v utat tesz meg meglls;' g, akkor

v\ = 2a is . (1)

A lefel cssz test .v ton, v2 sebessggel gyorsul fel:

vl = 2a2s.

A kt egyenlsgbl

Innen

(2)

2 l

2V2

ai _ 0 (sina+jucosa) a2 /(sin oc yu cos a)

Msknt rva:

th _ tga+ju v\ tg

Behelyettestve az adatokat:

io ^ 23

+ H

-V

Innen ju = 0,48.Megjegyzs: Az (1) sszefggst indo

kolni kell! Amikor a test megll:

l + D i= 0 .

a i

Az elmozduls:

x li

012

X I - l1

2Dl2i

A megtett t az elmozduls abszolt rtke:

s =i V1

2a i

IV/40. Nyugalom esetn a test gyorsulsa nulla. A srldsi er nagysga kisebb vagy egyenl, mint fimg cos ot=6,9 N:

I j | < 6 , 9 N .

A srldsi er flfel s lefel is mutathat. Ha flfel hat, akkor

F mgsmoc+ S = 0.

Ekkor

S = mg sin a F < 6 ,9 ,

gy

F > m g sina 6 ,9= 13,1 N .

Abban az esetben, ha a srldsi er lefel hat, akkor

F mg sin oc S = 0 .

Ekkor

S = F mg sin a < 6,9,

gy

F< m g sin a + 6,9 = 26,9 N .

Ha teht olyan flfel irnyul F ervel hatunk a testre, amelynek a nagysga13,1 N s 26,9 N kz esik, akkor a test nyugalomban van. Ha 26,6 N-nl nagyobb flfel irnyul ert fejtnk ki, akkor a test flfel elindul, mg ha ez az er kisebb, mint 13,1 N, akkor a testet nem kpes megtartani nyugalomban, vagyis az elindul lefel.

64

IV/41. A testre hat erk vzszintes sz- szetevnek az sszege:

Fcosa. S = m a ,

a fggleges sszetevinek sszege:

Fsin a + N mg = 0.

Ha a test csszik, akkor S=/uN. Ekkor azonban teljeslni kell az a > 0 felttelnek. A msik lehetsges esetben, teht amikor a test nyugalomban van a = 0 , de ekkor ellenrizni kell az S < f iN felttel teljeslst. Tegyk fel, hogy a test csszik. Mivel

N = mg F sin a = 29,7 N ,

s

S = / tN = 5,94 N ,

ezrt

Fcos a S = 28,19 - 5,94 = 22,2 N .

gy

22,2 2a = =5,56 m/s .

Mivel a > 0, az ellenttes hipotzist nem kell megvilgtani.

IV/42. A talajra merleges N nyomervel a nehzsgi er s az F fggleges sz-

szetevje tart egyenslyt (IV. 24. bra):

mg + F co sa = N.

A testet az F er talajjal prhuzamos sz- szetevjnek s a srldsi ernek az eredje gyorstja:

/"sin a S= m a.

Tegyk fel, hogy a test megcsszik, teht, hogy a > 0, ekkor S = j iN :

F sin a n(mg + F cos a) = ma > 0,

de ez azt jelenti, hogy

F(sin a n cos a) > nm g.

Mivel azonban

sin a jucosa = sin 10 0,2 cos 10 =

= - 0,023 < 0 ,

ezrt

F ( -0 ,0 2 3 )> 8 .

Ez azonban azt jelenti, hogy pozitv F ervel (teht a felttelezs szerinti irny ervel) a testet nem lehet elmozdtani. Minl nagyobb ervel hzzuk a testet, annl nagyobb a talajjal prhuzamos erkomponens, de annl nagyobb a srldsi er is, mert a nyomer is megn.

IV/43. Newton II. trvnye a kocsira helyezett test mozgsra:

F S = m ia i ,

a kocsi mozgsra pedig:

S = m ia 2 ,

ahol mi a test, m 2 a kocsi tmege. Ha a test megcsszik, akkor S= fim ig . Ekkor azonban i > a2. Ha ezzel szemben a test tapad a kocsin, akkor a i= a 2, de ebben az esetben az S < finhg felttelnek teljeslni kell. Tegyk fel elszr, hogy a test tapad, ek

65

kor

F S = m \a ,

S = m 2a.

Itt a-val a kzs gyorsulst jelltk. A kt egyenlet sszege:

F = (m i 4 m 2)a,

teht25 m

a= = 5 ,5 s2

S m 2a = 10 N .

Mivel azonban /umig = 6 N, a test nem tapad, a feltevsnket el kell vetnnk. A kocsira helyezett test teht elmozdul a kocsin:

F S = n i ia i ,

S = m 2a2,

de S = 6 N, gy

2 5 - 6 = 3 a i ,

6 = 2a2,

teht i = 6,3 m/s2, a2 = 3 m/s2.IV/44. Newton II. trvnye a kt test

mozgsra:

S = m 1a1,

F S = m 2a2.

Ha a test megcsszik, akkor S = n m ig , s ilyenkor ellenrizni kell az a2 > a\ felttelt. Ha azonban a test tapad a kocsin, akkor ai = a2 (jelljk a kzs gyorsulst ebben az esetben a-val), s meg kell vizsglni, hogy teljesl-e az S a\, teht a test tnyleg csszik.

IV/45. A Newton-trvnyek:

F S = m i i ,

S = tri2a2.

Tegyk fel, hogy a test megcsszik a kocsin: S = f x m i g= 15 N. Ekkor

F S = 15 15 = mi i ,

gy i =0 , s 15 = 102 alapjn a2 = = 1,5 m/s2, ami nyilvn lehetetlen. Ezrt a tapads valsul meg:

F S = m ia ,

S = m 2a.

Innen

F = (m i+ rn2)a,

teht

= lm /s 2 s 5 = ^ 2 0 = 10 !^ !,

valban kisebb, mint finiig= 15N.IV/46. A IV. 25. bra szerint a Newton

trvnyek:

S i = / i i ,

F S S 2 = m 2a2.

Hrom eset valsulhat meg:1. Az als test csszik, s megcsszik

rajta a fels:

S i= n \m ig = 12 N ,

S 2 = n 2( m x+ m 2)g=2Q~N.

Ekkor teljeslni kell az ci\ < a2, a i > 0 feltteleknek.

2. Ha a kt test sszetapadva mozog, akkor a i= a 2 = :a, s

S 2= n 2(mi + m 2)gr = 2 0 N .

66

IV. 25.Z77777777Z777777777Z77777, bra

Ekkor teljeslni kell az a > 0 , Si< /u itn ig feltteleknek.

3. Ha a kt test nyugalomban van, akkor

ai = 0,

2 = 0,

de ekkor ellenrizni kell az S i< H m ig s az S 2 tga.

Ez a felttele annak, hogy a kt test tapadjon! Adatokkal:

H i > 0,5773, fi2> 0,5773.

2. Ha a fels test csszik, de az als ll, akkor

Si = /iW i0 COsa,

02 = 0 ,

s teljeslni kell az

a i> 0 ,

S 2 < i i 2N 2

(9)(10)

(11)(12)

feltteleknek. Ebben az esetben (1), (9) s (11) alapjn:

ai =g(sinoc n i cos a )> 0 ,

s gy

Hi< tga=0,5773.

IV. 26. bra

67

Msrszt (12) felttelbl (3) s (4) felhasznlsval:

S2

negyedik rszfeladatot is, mintha ezzel kezdtk volna a feladat vizsglatt.

Ha a kt test kln-kln mozog, akkor

1 = H m ig cos a, (21)

S 2=H2 ( m iJr m 2)g cos a, (22)

s teljeslni kell az

ai> 2 , (23)

a2> 0 (24)

feltteleknek. Helyettestsk be (21)-et s (22)-t az (1) s (2) mozgsegyenletekbe:

m g sin a f i im ig c o s a = m ia i ,

w 2 0 s in a + //iw if /c o sa Hiimx + m 2)g cos a = m 2a2.

Ezekbl a gyorsulsok a kvetkezk:

a i = 0 (s in a - // ic o sa ) , (25)

a2 = g sin a +

( mi m i + m 2\+ L ui------- n i ------------ g co sa . (26)

\ m 2 m2 )

A (23) felttel ennek felhasznlsval gy rhat fel:

. 0 s in a -y u i/co sa > 0 sina +

mi mi + m 2+H i g cos a H2 -----------g cos a,

m 2 m2

m i + m 2H2 ----------- gcos a>H g cos a +

m 2

mi+ H gr cos a ,

m 2

tm + m 2 ( m i \H2----------- > Hi\ H ------- ,m 2 \ m 2)

H2>Hi-

Msrszt a (24) felttelbl kvetkezik, hogy

mig s m c + H i g cos a >

m 2

m i + m 2 > H i -----------geos a,

m 2

vagyis

m 2 wi------ --------tg ct + H i ----------------> H 2 .mi + m 2 m i + m 2

Az adatokat behelyettestve:

0,1924 + 0,666^1 > //2-

IV/48. A fels testre vonatkoz dinamikai egyenletek (IV. 28. bra):

S i - Kcoscc=0, ( 1)

K sin a + N i m ig = 0. (2)

Az als testre:

F S i ~ S 2 = m 2a2, (3)

N i + m 2g N 2 = 0. (4)

Az als test mindkt felletnl csszs lp fel:

S i = h i N i , (5)

S 2 H2N2. (6)

69

Az a2 gyorsulst nullnak tekinthetjk, mert elg ha lassan, egyenletesen hzzuk ki az als testet a fels all; teht

2 = 0 . (7)

Oldjuk meg az (1) (7) egyenletrendszert!(l)-bol fejezzk ki K cos a-t, a (2)-bl K sin a-t, osszuk el az gy kapott kt egyenletet egymssal! Helyettestsk ezutn S i helyre jUiTVi-et! Ekkor egyismeretlenes egyenletet kapunk:

m g - N i H Ni

Innen

tg a.

fflifl 40 N i= = - = 3 2 ,5 N .

l + t g a / i i 1,23

Ebbl egyrszt (5) alapjn:

S i= //iW i = 13N,

msrszt (4) alapjn:

N 2 = m 2g + N i =92,5 N ,

s (6) szerint:

S 2= h2N 2 = 18,5N.

Vgl (3) s (7) felhasznlsval:

F = S i + S2 = 31,5N .

IV/49. A dinamika alaptrvnye a V. 29. bra alapjn:

K + K c o s a S = m a ,

K sin a + N mg = 0.

A szn csszik, ezrt

S = hN,

(1)

(2)

(3)

de felteheten kicsi a gyorsulsa, mert elg, ha lassan mozdul meg a szn:

IV. 29. bra

IV. 30. bra

A (2) s a (3) egyenlsgbl:

S'= fimg iiK sin a .

Ezt s (4)-et az (l)-ben figyelembe vve:

K(\ + cosa + h sin a) = ,

innen: K = 20,87 N .IV/50. Vlasszuk meg a koordinta-

rendszert az IV. 30. brn lthat mdon. A test nyugszik a lejtn, ezrt a gyorsulsuk egyenl. A testre hat tapadsi srldsi er irnya flfel is, lefel is mutathat. Az brn flfel mutat srldsi ert jelltk be. Newton II. trvnye a kt test mozgsra:

a = 0. (4)

TV sin a S cos a = ma,

N cos a + S sin a mg = 0,

F N s in a + S cos a = Ma.

A tapads felttele:

S < hN.

(1)

(2 )

(3)

(4)

70

Szorozzuk meg a (1) egyenletet sin a-val, a(2) egyenletet cos a-val, majd adjuk ssze az gy kapott egyenleteket. Ekkor figyelembe vve, hogy sin2 a + cos2 a = 1 , azt kapjuk, hogy

N = m a sin ct + mg cos a.

Szorozzuk meg ezutn az (1) egyenletet cos a-val, a (2) egyenletet sin a-val, s vonjuk ki a kt egyenletet egymsbl, ekkor

S = mg sin a ma cos a .

Mivel hatresetben S=/xN, ezrt

mg sin a ma cos a = n(ma sin a + mg cos a).

Innen

a = 4,51 m/s2.

Ha ennl az rtknl kisebb a lejt gyorsulsa, akkor a test lecsszik rla.

Adjuk most ssze az (1) s a (3) egyenleteket. Ekkor

F = (m + M )a,

innen F= 22,55 N. Legalbb ekkora ert kell a lejtre kifejteni, hogy a test ne csuszk le rla.

Tegyk fel most, hogy a lejtt olyan nagy ervel toljuk, hogy (br a test nyugalomban van hozz kpest), a testre hat srldsi er lefel mutat, a lejt alja fel. Ekkor az (1), (2) s a (3) egyenletekben a srldsi er eljelt ellenttesre vltoztatjuk. A fenti gondolatmenetet rtelemszeren mdostva megismteljk. Azt kapjuk, hogy a lejt nem gyorsulhat nagyobb gyorsulssal, mint 7,18 m/s2, mert klnben a test flfel kezd csszni rajta. Ez azt jelenti, hogy a lejtre legfeljebb 5 7,18 = 35,9 N ert fejthetnk ki.

IV/51. A kzs vgsebessget jellje u, ekkor az impulzusmegmarads miatt:

A kocsin cssz testre csak a srldsi er hat:

fimg = ma t ,

ennek az ellenereje gyorstja fel a kocsit az u sebessgre:

Hmg = M a K. (2)

Ha a csszs t ideig tart, akkor

aKt = u . (3)

Ennyi id alatt a test

- 2 1 ,4)

tvolsgot csszik a kocsi felletn. Az adatokat behelyettestve:

16 . ./i m u= = 1,14 ,14 s2

24 mk ------------- 2,4 ,

10 s2

*= = 0 ,47s,2,4

j= 0 ,95 m .

IV/52. Az aut gyorsulsa

Av 15 ma = = ---- =3,3 ,

At 4,5 s2

a lda gyorsulsa pedig fig = 3 m/s2. A lda

mvo = (m + M ) u . (1)IV. 31.bra

71

sebessge 5 s mlva ri el az aut sebessgt. A lda 0,5 s-mal hosszabb ideig gyorsul, mint az aut. gy a rakfellethez viszonytott elmozduls (IV. 31. bra) :

0,5-15-------------3,75 m .

2

IV/53. A leszakad rsz t id alatt megll, akkor a IV. 32. bra alapjn

S2ZVpt~Y (i)

gy /= 8 0 s. Ez id alatt az els rsz

v i= v 0 + a i t (2)

sebessgre gyorsul fel. A kt vonatrsz kztti tvolsg a t idpontban:

Vl t 2

gy

s=(iv0 + a it) t

(3)

(4)

A gyorsulst Newton II. trvnye segtsgvel hatrozzuk meg. A vonat els rszre az

F - f j m i g = m ia i (5)

formban rvnyes a dinamika alaptrv-

, t IV. 32.bra

nye, ahol F a mozdony hzereje. A htul halad rszre:

- fim2g = ni2a2 (6)

s vgl az egsz vonatra, mg a sztszakads eltt:

F -fx (m i + m2)g = 0 , (7)

hiszen a vonat ekkor mg nem gyorsul. Az(5), (6), (7) egyenletekbl

/im2g := m ia 1,

nm2g m 2a2 .

Innen

2= ~ / ig 0,1 m/s2 s

m ga 1 =mi

-- 0,02 m{s .

A (2) s (4) egyenletbe helyettestve:

r = 21,6 m /s ,

21,6 80s= = 864 m .

IV/54. Tegyk fel, hogy a kt test egytt csszik. Ekkor

m g sin a H mig cos a + F = m l a ,

m 2g sin a //22r cos a F= m 2a ,

ahol F a kt test kztt fellp er, F > 0. Adjuk ssze a kt egyenletet:

(mi + m 2)g sin a

(ji im i+ H2 m 2)g cos a =

= (m \+ m 2) a ,

s gy

ln m i+ H 2 m 2g sin a ------------------gcosa. = a.mi + m 2

Teht a= 2 ,7 m/s2 s F 1,15 N > 0 .

72

IV/55. Az ess s az emelkeds magassgnak az arnya lland:

10= 0,6=: q( = E2) .

Az essi s emelkedsi magassgok mrtani sorozatot alkotnak,

trvnye alapjn A/x-szel egyenl. Msrszt a srlds tulajdonsgai alapjn

A Ix fi A / y .

Teht

mv2 sin P mvi sin a =

- n(mvi cos a mv2 cos fi) ,

innen

V2 _ H cos /?+ sin /?vi h cos a + sin a

Behelyettestve:

02 0,4 cos 55 + sin 55i 0,4 cos 45 + sin 45

= 1,06.

IV/58. A IV. 34. brn lthat koordinta-rendszerben felrva az impulzusmrleget:

(m+ M)u mv cos a = /xAI1,

0 ( mv sin a) = AIL,

ahol A/ 1 a lejtre merleges erlks. (Feltesszk, hogy a test a lejtn elindul flfel, azaz koordinta-rendszernkben u > 0 .) Innen

(m + M )u mv cos a iimv sin a.

Behelyettestve:

4,2 u = 0,2 10 cos 15 - 0,3 0,2 10 sin 15,

gy u = 0,423 m /s> 0, teht feltevsnk he

lyes volt. A test gyorsulsa:

a -g (sin a + /x co s a)= -5 ,5 m/s2

(lefel mutat). gy az egytt mozg kt test

0,423t - -= 0,077 s

5,5

ideig mozog s

s= =0,0162 m = 1,6 cm2

utat tesz meg.TV/59. A h magasbl es test v=

= yj2gh = s/%0 m/s sebessggel esik a nyugv deszkra. Az impulzusmrleg a IV. 35. brn lthat koordinta-rendszerre vonatkoztatva feltve, hogy a kt test elindul lefel

(m + M ) u mv sin a = f iAI1 s

0 ( mv cos a) = A/x .

Innen

(m + M )u / )sina= //mucosa,

vagyis

(m + M )u = mv{sin a /< cos a )< 0 ,

mert tg a < /i . A test teht nem indul el lefel. Ha egy deszka tapad a lejtn, akkor brmilyen nagy fggleges irny ts ri, tovbbra is nyugalomban van. Mivel u = 0 , ezrt A/ 11 = mv sin a = 0,447 N s,

AIL = mvcos a = 0,774 Ns.

IV. 34- bra

IV. 35.bra

74

IV/60. Az impulzusmrleg:

(m + M )u Mv o= //A I1 ,0 ( mv) = AI,

ahol A/1 a talaj ltal kifejtett merleges erlks. Az m tmeg test h magasrl esik, ezrt v= -J lgh = v/s m/s. Innen az adatokat is behelyettestve

5u 4t>o= //A /1,

0 - ( - l v /8)=A/1 .

gy

5w 4d0= 0,1-y/.

A talajon cssz deszka gyorsulsa:

a= ~HQ~ ~ 1 m/s2.

Ha az u kezdsebessggel megtett t 5= = 0,8 m, akkor

u2 = lfigs= 1,6 m2/s2.

Teht

5 V ^ 6 - 4 u o = - 0 , l - v /8 0 ,

ebbl

Do = 1,8 m/s.

A vo kezdsebessggel megtett 50 t s az u

V

IV. 36. bra

kezdsebessggel megtett 0,8 m t arnya (IV. 36. bra):

So _ Vo 0,8 u '

gy

50 = 0,8 = 1,62 m.1.6

A kt t klnbsge 0,82 mter.IV/61. Az impulzusmrleg:

M u Mv o = iiAI1 ,

mv ( mv) = A/1 ,

ahol A/1 a talaj ltal kifejtett merleges erlkssel egyenl. Az m tmeg test h magassgrl esik, ezrt v = y / 2gh =

= m/s . A rugalmas tkzs miatt A/x ktszerese a rugalmatlan esetnl ltottnak. Helyettestsk be az adatokat:

4 - 4 o = - 0 , r 2 -

Ha az u kezdsebessggel megtett t 5=0,8 m, akkor

u = 2figs ,

s a v0 kezdsebessggel megtett t (50), valamint az s arnya:

50 = o

0,8 u '

gy egyrszt w2= l ,6 m 2/s2, msrszt vo = 1,71 m/s, s vgl 5o= 1,46 m. Az t- klnbsg 0,66 mter.

IV/62. Az impulzusmrleg:

miVi+m2V2 = miUi+m2U2,

s

U\ U2 = V2 Vi,

75

mert az tkzsi szm 1, hiszen az tkzs tkletesen rugalmas. Az adatokkal:

4 8 + 6 6 = 4/i + 6u2 ,

Ml ni ~ 2 .

Innen u2 = 7,6 m/s, s ui = 5,6 m/s.IV/63. Az impulzusmrleg:

miVi+m2V2 = miUi+ni2U2,

sUi U2 = V2Vi.

Az adatokat behelyettestve:

4 '8 + 6 '( 6) = 4i + 6u2 ,

u i ~ u2 = 6 8 = 14,

teht u2 = 5,2 m/s, ui = 8,8 m/s. Mindkt test sebessge ellenttesre vltozik.

IV/64. Az impulzusmrleg:

miVi + tri2V2 = m im + m 2u2 ,

s

u i - u 2 = e(v2 v i ) .

Helyettestsnk be:

2 -4 + 1 - 2 = 2 - 3 +1 -U2,

3 m2= (2 4).

A kt egyenletben kt ismeretlen van; a megolds: w2 = 4 m/s, s =0,5. Az tkzs teht nem rugalmas s nem rugalmatlan. Alkalmazzuk most a kapott eredmnyt arra az esetre, amikor a msodik goly szembe halad az elsvel. Legyenek most is az tkzs eltti sebessgek vi, v2, s az tkzs utni sebessgek ui, u2. Teht (adatokkal):

2 " 4 + 1 ( 3) = 2wi + 12 ,

Mi 1

A harmadik test kilvsekor:

11 12

m3 = 2,74 . s

IV/67. Az impulzusmegmarads trvnyt felhasznlva (IV. 37. bra):

10(100, 0)=4(200 cos 45, 200 sin 45) +

+ 6 ( cos a, v sin a ) .

Koordintnknt:

1000 = 800--------1- 6v cos a ,2

y /20 = 800----- + 6v sin a .

2

Innen

434,3 = 6v cos a ,

565,6 = 6v sin a ,

100 m/s ------ >10 kg

IV. 38.bra

IV . 37.bra

vagyis

72,38 = f cos a ,

94,28 = v sin a .

A kt utbbi egyenletbl:

tg a = 1,3; a = 52,5,

v= 118,8 m/s .

IV/68. Az impulzusmegmarads trvnye rvnyes a kt test klcsnhatsra:

2 0 + 0,02 200 = 2wj + 0 ,02?/2 .

Nyilvnval, hogy a kt test egyszerre r fldet (IV. 38. bra):

t= / = y L 2 = 1,095 sV 9

id alatt. Ez id alatt a lvedk vzszintesen mrve 90 m-t tesz meg, gy

J 2 -8 2 ,1 5 . 1,095 s

A goly sebessge azutn, hogy a lvedk tfrdik rajta: ui = 1,18 m/s. A vzszintes elmozdulsa t= 1,095 s alatt:

1,095 1,18 = 1,3 m .

77

V. Feladatcsoport: munkattel, energiamrleg

V /l. Newton II. trvnye:

F mg = ma = 0 .

A testen vgzett munka:

Wi = Fs cos 0,

az elz egyenlet felhasznlsval:

W i~ mgs cos 0 = mgs .

A nehzsgi er munkja:

IV2 = mgs cos 180 = m g s .

A teljestmny:

V> T7 mCJ SPi = Fv mgv = ----- .

Adatokkal: ^ 1 = 40 J, W2= - 4 0 J, = = 50 W.

V/2. Newton II. trvnye:

F mg = m a. (1)

A mozgst kinematikailag az

a 2 s= + Vt ,

v= a t+ v o

(2)

(3)

egyenlsgek jellemzik. A nehzsgi er munkja:

W \ = m g s , (4)

az ltalunk kifejtett er munkja:

W2 = Fs . (5)

A (2) egyenlsgbl a= 5 ,5 m/s2, az (1) alapjn F = 2 (5 ,5 + 10) = 31 N , gy W t = = - 2 0 2 = - 4 0 J, ^ 2 = 3 1 2 = 6 2 J. A (3) egyenlsgbl a vgsebessg i;(0,8)= = 4,7 m/s. A nehzsgi er, illetve az emeler teljestmnye (V. 1. bra):

Pi = mgv == 20(5,5r+0,3)= 1 1 0 + 6 ,

P 2 = Fv == 31(5,5 + 0,3) = 170,5 /+ 9,3.

A nehzsgi er teljestmnye a mozgs vgn 82 watt, az emeler teljestmnye az utols pillanatban 145,7 watt.

V/3. A hrom er munkja:1. A munkt gy szmtjuk, hogy az

ervektor koordintit megszorozzuk az elmozdulsvektor megfelel koordintival, s az gy kapott szorzatokat sszegezzk. Az mgs sin a s- ben a sin a felfoghat gy is, mint a nehzsgi er s az elmozduls kztti szg koszinusza:

Wc = (mg sin a, mg cos a) (s, 0) == mgs sin a s .

78

V. 1.bra

2 . Wn = (0 ,N )(s,0 ) = 0 .

Ez abbl is ltszik, hogy a nyomer merleges a lejtre.

3. W/s = ( iimg cos a, 0) (s, 0) == fmgcos a * s .

Itt a negatv eljel gy is felfoghat, mint a srldsi er s az elmozduls kztti szg koszinuszainak a kifejezse. Adatokkal:WG = 20 J, W"N = 0, Ws= 7 J.

V/4. A lejtn flfel mozg test gyorsulsa lefel mutat; a =6,73 m/s2. A test elmozdulsa:

* 2

X = - t +VC* ,

s sebessge:

v= at + vo .

Innen

1 ( 3) _

V. 2. bra

6,73= 0 ,3 s .

Az elmozduls: x = 0,6 m. A nehzsgi er munkja V. 2. bra):

Wo = mg sin a ( 1)= 20 J ,

ahol s= |jc| . Msknt is felfoghatjuk:

WG = mgs cos (90 + 30) = 20 J .

A srldsi er munkja:

Ws =fimg cos a - s( 1)= 3,46 J .

A nyomer munkja nulla.V/5. Newton II. trvnye:

F= m a .

A teljestmny

P = F v ,

gy

P = ma v = m a m a ' t = ma21.

A gyorsuls

30 2 o = = 3 m/s ,10

teht

P=2400 t

(V. 3. bra). Az tlagteljestmny:

P _ 2400^10 _ 12 k w 2

V/6 . Az emelkeds maximlis magassga ho- A mozgsi energia megvltozsa a

79

V. 3. bra

nehzsgi er munkjval egyenl:

() ~ mvo = mgho ,

teht2

ho= = 8 0 m .2 g

Alkalmazzuk jra a munkattelt:

1 2 1 2 . mv mv,o= mgh .

Innen

V2- V 0 = - 2 gh ,

252 402 - 2 0

= 48,75 m ,

s vgl, harmadszorra is:

1 2 1 2 . mvi mvo~ mghi ,

teht r = 37,4 m /s .V/7. A munkattelt alkalmazzuk. A test

mozgsi energijnak a megvltozsa egyenl a nehzsgi er munkjval:

1 7 1 9-m u m 0 mg (40 30),

teht v 14,14 m/s. A msik krdsre vla

szolva:

m 202 0 = m g (40 /z),

teht / = 20 m. Msknt is okoskodhatunk: a test helyzeti s mozgsi energijnak sszege a mechanikai energia. A mechanikai energia megvltozsa nulla, hiszen a testre nem hat (a nehzsgi er mellett ms) er. gy

1 2mgho + 0 = mgh+ -nro .

A szmols ugyangy keresztlvihet, mint az elbb.

V/8 . Alkalmazzuk a munkattelt: 1 n2 1 2a ) w O mvo >

innen s = 50 m ., x 1 2 1 2b) mv m v o = /im gsi,

s gy 52=48 m .V/9. A munkattel:

l 2 1 2 mv mvo= W /imgs .

Innen 1^=131 J.V/10. A munkattel a fba megllsig

befrd golyra:

1 2 1 2 m 0 - mvo= F ' 0,15 ,2 2

s 5 cm mlysgben:

mv2 mvo= F" 0,05 .2 2

Itt F a fa ltal kifejtett fkezert jelenti. Vilgos, hogy

2 2 Vo-V2VO

5

15

80

es s szorozzuk meg ( l)-gyel:

teht

v = 408,2 m /s .

V /l l . A munkattelt rjuk fel a flfelmozgsra:

1 2 1 2 mvo mv o =2 2

= fwigcosoi s mg sin a s ,

s a lefel mozgsra is:

1 2 1 2 mv mvo =2 2

= mg s in a j fimg cos a s .

Innen, a kt egyenlsget rendezve s egymssal osztva:

v2 _ sin a fi cos a _ tga /j.

vo sin a + yucos a tga + //

Behelyettestve:

---- , h = 0,46 .

+H

V /12. A munkattelt alkalmazzuk. A srldsi er munkja a kt szakaszon a helyzeti energia cskkensvel egyenl, hiszen a kezdeti s a vgs mozgsi energia nulla:

mg sin a (/i + li) =

= fn m g cos a h ~ fi2mg cos a l2 .

Osszuk el az egyenlsget mg cos a /2-vel,

(tga /Ki) =/w2 - t g a ,*2

- = ^2~ tga =o ,59 . l2 tg a /Ki

V/13. A l