balotario unac

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

INSTITUTO DE INVESTIGACION DE INGENIERIA ELECTRICA Y

ELECTRONICA

RESOLUCION DEL BALOTARIO

GRUPO: 7

AUTOR:

Pimentel Monzon Alexis

Llerena Caldern Katherine Marisol

Quispe Canchari Christian

Santisteban Ruiz Jairo Franco Cesar

Guardamino Robles Juan Diego Andree

Santiago Valerio Juan Carlos

Quispe Mamani Omar Vidal

PROFESOR : ING. RAUL CASTRO

CALLAO-2015

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA MATEMATICA AVANZADA

RESOLUCION DEL BALOTARIO Pgina 1

BALOTARIO DE MATEMATICA AVANZADA

PROBLEMA N1: Usando la integracin de contorno, evale:

a)

SOLUCION:

Al tomar , de manera que:

(

)

Sustituyendo la integral se vuelve:

2

2

4 11 12

2

c c

dz dzI

j z zjz z

z

Donde C es el crculo unitario | | que se muestra en la siguiente figura: El integrando tiene singularidades en:

Esto es, en . La singularidad dentro del contorno de C es el polo

simple en

Residuo en

*

( )

( )( )+

(

)

As por el teorema del residuo,

(

)

En consecuencia:



b)

( )

SOLUCION: Considere la integral de contorno

2

2 4C

dzI

z

Donde C es el contorno semicircular cerrado que se muestra en la figura El integrando ( ) tiene polos de orden dos en . Sin embargo, la nica singularidad dentro del contorno C es el polo doble en . De residuo en

( )

( ) ( )

( )

( )

As por el teorema del residuo,

2

2

1 12

32 164C

dzj j

z

Como

2 2 2

2 2 24 4 4

R

C CR

dz dx dz

z x z

Haciendo y al observar que la segunda integral se hace cero, entonces:

2 2

2 2

1

164 4C

dz dx

z x

Cabe indicar que, en esta ocasin particular, podramos haber evaluado la integral sin utilizar la integracin de contorno. Haciendo la sustitucin obtenemos:



( )

( )

[

]

c)

23 2 2 2

C

dz

z z z donde | |

SOLUCION: Los polos de ( ) son como sigue; un polo de orden tres en , y dos polos simples donde ( ) , esto es en . Todos estos polos estn dentro del contorno C. Se sabe que el residuo en esta dado por:

[

]

* ( )

( ) +

*

( )

( ) +

( ) ( ) ( )( )

( )

El residuo en es

( )

( )( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Al utilizar ( ) De donde el residuo en ser

(

)

(

)

( )



El residuo en

( )

( )( )

Que es precisamente el conjugado complejo del residuo en . De lo

anterior, se puede abreviar el lgebra y establecer el residuo como

( )

La suma de los residuos es:

( )

( )

As, por el teorema del residuo:

2

3 22 0 0

2 2C

dzj

z z z

PROBLEMA N2: Calcular la transformada Z inversa de:

( )

( )

( )

SOLUCION:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Y por tanto:

[ ] ( (

)

(

)

(

)

) [ ]



PROBLEMA N3: Un sistema T de tipo LTI y causal viene descrito por esta ecuacin de diferencias:

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

Hallar la funcin de transferencia y la respuesta al impulso de este sistema SOLUCION: Hallamos la funcin de transferencia:

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

( )

( )

( ) ( )

( ) [

] ( )

( ) ( )

( )

(

)

( )

( ) (

) | |

Hallamos el impulso: ( )

( ) (

)

Los polos son

y

de esta forma podemos escribir:

( )

( )

( )

Donde y . Sustituyendo:



( )

( )

( )

La respuesta temporal de un sistema causal con una Transformada z del tipo:

( )

( )

Es [ ] [ ] Por lo tanto:

[ ] ( (

)

(

)

) [ ]

PROBLEMA N4: Encontrar la serie de Fourier para la funcin est definida por:

( ) {

SOLUCION: Puesto que el valor promedio de ( ) durante un periodo es cero,

( )

Se obtiene:

( )

( )

( )

La primera integral del segundo miembro es igual a cero. Haciendo en la segunda integral se obtiene:

( ) [ ( )] ( )

( )

[ ]

( )



[ ]

( )

( )

Ahora, integrando por partes, se obtiene:

( )

( ) ( )|

( )

( )

( ( ))

Donde:

( )

( )

( )

Puesto que ( )

{

Anlogamente, se obtiene:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ( ))( )

( )

( )

( )



Donde:

( )

(

)

PROBLEMA N5: Solapamiento en el tiempo Considerar la secuencia temporal [ ] [ ]

5.1. Determinar ( )

5.2. Determinar la secuencia [ ] ( )| para 5.3. Si la secuencia obtenida en el punto anterior fueran los coeficientes de una

Transformada Discreta de Fourier, determinar la secuencia temporal que se deriva de dicha secuencia.

5.4. Comprar la secuencia obtenida con [ ] y justifique el resultado

SOLUCION:

2.1. La transformada de Fourier de tiempo discreto es:

( )

2.2. La secuencia obtenida para w=2k/4 con k=0;1;2;3 es:

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

2.3. La secuencia temporal que generara X[k]es:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2.4. La transformada inversa de X[k]es diferente de X[n] porque existe solapamiento a

nivel temporal ya que X[n]es diferente para n>N

[ ] [ ]

( ) [ ]



PROBLEMA N6:

Determinar la representacin en serie de Fourier discreta de la secuencia:

( )

SOLUCION:

Tomemos

( )

( ) ( ) Donde

( )

( )

Como /2 =1/6, F (T) es peridica con periodo fundamental N=6 y como /2 =1/8,

F (T) es peridica con periodo fundamental N=8. Por lo tanto F(T) es peridica y su

periodo fundamental esta dado por el mnimo como un mltiplo de 6 y 8, es decir, N=24

y =2 /N= /12. Por la formula de Euler tenemos:

( )

* (

) (

) +

* (

) (

) +

Operando

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

As que C3=-j(1/2),C4=1/2,C-4=C-4+24=C20=1/2,C-3=C-3+24=C21=j(1/2) y para todos los otros

CK=0, por lo tanto la serie de Fourier discreta est dado por F(T) de la siguiente manera:

( )



PROBLEMA N7:

Calcular la transformada de Fourier de la siguiente funcin:

0

0 , 2

( )

cos( ) , 2

Tt

f tT

t t

SOLUCION:

Podemos hacerlo aplicando la definicin:

0 02 2

0

2 2

cos( )2

T T

i t i ti ti t

T T

e ef t dt e dte

0 0( ) ( ) 2

0 02

1 ( )2

Ti t i t

T

ie ief

0 0

0 0

1 ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( )2 2 2

i i T i i Tf sen sen

0 0

0 0

( ) ( )2 2 ( )

2

2 2

T Tsen sen

Tf

T T

Pero, tambin podemos usar:

f hg h g

0 , 2

( )

1 , 2

Tt

h tT

t

2( )

2

Tsen

h TT



0cos( )g t t 0 0( ) ( ) ( )2

g

0

0 , 2

( )

cos( ) , 2

Tt

f tT

t t

( ) ( )f t h t g t

f hg h g

1 ( ) ( ) ( ) 2

i th g h t g t dte

0 0'

1 2 ( ) ( ') ( ') ' ( ' ) ( ' ) '22 '

2

Tsen

h g h g d T dT

0 0

0 0

( ) ( )1 2 2 ( ) ( )( )

22

2 2

T Tsen sen

Tf h g

T T

PROBLEMA N8: Determinar la respuesta del sistema: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ante una entrada de ( ) ( ). SOLUCION: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Escribiremos la funcin discreta en forma de su transformada Z. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )



Sabiendo que ( ) ( ) , entonces tendremos que ( ) ( [ ( )])

.

( ) (

)

( ) (

)

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

Reemplazando ( ) en el sistema LTI.

( ) ( )

( )

( )

El polinomio ( )se puede expresar como: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) (

) (

)

( ) (

) (

)

( ) (

)

(

) (

) ( )

( ) (

)

(

) (

) ( )

( ) (

)

( ) (

) (

) (

) ( )

( )

( ) (

)

( ) (

) ( )

( )

(

)

( ) (

) ( )

( ) (

) ( )

( )

( )

( )

( )

Multiplicando la expresin por (

) y haciendo



( ) ( )

(

)

( ) (

)

( )

( )

( )

(

) (

)

Multiplicando la expresin por (

) y haciendo

( ) ( )

(

)

( ) (

)

( ) (

)

( )

(

) (

)

Multiplicando la expresin por ( ) y haciendo z=1.

( )

( ) (

) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) (

)

El ltimo trmino de la expresin se puede hallar diferenciando la expresin respecto a z y haciendo z =1.

[( )

( ) (

)]

[ ( )]

[ ( )

( )

]

[ ( )

( )

]

[( )

(

)]

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)



(

) (

)

(

)

Finalmente la expresin se convierte en:

(

)(

)( )

( )

( )

(

)

(

)

Regresando a la funcin Y(z): ( )

(

)

( ) (

) ( )

( )

(

) [

( )

( )

( )

( )]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

(

)

(

)

Para encontrar la respuesta en tiempo discreto y(n) aplicamos la transformada inversa de Z.

( ) [ ( )] [ ( )]

(

)

(

)

( ) [ ( )] [ ( )] *(

)

( )+ *(

)

( )+

( ) * (

)

(

)

+ ( )



PROBLEMA N9:

Obtenga la transformada de Fourier de la funcin exponencial, que se muestra en la

figura:

SOLUCION:

( ) ( ) {

De esta forma:

( ) ( )

( )

( ) |

( )

PROBLEMA N10:

Sea f una funcin de periodo dada por:

(2 ),0 x2

( )

0,2

sen x

f x

x



SOLUCION:

a) Calculando los coeficientes de Fourier:

2

0 0

2

1 1( ) ( ) ( )

2 2oa f x dx f x dx f x dx

0

22

1 1 cos(2 ) 1(2 )dx

2

xa sen x

2

0 0

1 1( )cos( ) (2 )cos( )na f x nx dx sen x nx dx

Si usamos el mtodo de integracin por partes obtendremos lo siguiente:

2

2

0

1 1(2 ) ( ) 2cos(2 )cos( )

1na nsen x sen nx x nx

n

2

2

0

( 1)2cos( ) 22

0( 1)

4

0 2

n

Para n par

Para n im

nn

an

par

Para n

Pero sabemos que la serie de Fourier tiene la siguiente forma:

0

1

cos( )nn

a a nx

Por lo tanto la serie de Fourier ser:



21

2cos 21 2

cos( )1n

n

nxn

b) Analizando la convergencia de la siguiente sumatoria:

211

4 1n n

21 11 1

2 1 (2 1)4 1n n n nn

1

1 12

2 1 2 1n n n

1 1

1 12 2

2 1 2 1n nn n

Podemos ver que ambas sumatorias divergen por lo que podemos concluir que:

211

4

1ndiverge

n

PROBLEMA N 11:

Un pulso triangular simtrico de altura y ancho ajustable es descrito por:

1 0

0

xa si x b

f x b

sib x

a) Muestre que los coeficientes de Fourier son: 0

2

aba

2

2 1 (nb)n

ab Cosa

nb



b) Tome 1a y 2

b

calcule y represente las cinco primeras sumas parciales.

SOLUCION:

0

2 21

2W

T

0 1W

a) 0

0

0

1 1 1

2 2 2

b b

b b

ax axa f x dx f x dx a dx a dx

b b

02 2 2

ab ab aba

02

aba

0

0

21 (nx)dx 1 (nx)dx

2

b

n

b

x xa a Cos a Cos

b b

0

0

1 (nx)dx 1 (nx)dx

b

n

b

a x xa Cos Cos

b b

2 2

2

2

1 11 ( ) 1 ( )

2 1 ( )

1 ( )2

(nb)

n

n

n

aa Cos nb Cos nb

bn bn

a Cos nb ba

bn b

Cos nbaba

b) 1a Y 2

b

: reemplazando tenemos:



01

(x) (nx) b (nx)2

n n

n

af a Cos Sen

Pero 0nb (Simtrica) reemplazando:

221 1

21

1 ( )2 (1 (nb)) 1 2

(x)4 (nb) 8

(n )2

1 ( )1 2

(x)8

(n )2

n n

n

nCos

ab ab Cosf

nCos

f

Para n= 1, 2, 4,5

2 2 2 2

2

1 4 2 4 4(x) 0

8 9 25

1 1486(x)

8 225

f

f

PROBLEMA N12:



Sea F la funcin dada por F(x)=1+| | x [-1,1]

a) Obtener la serie de Fourier de f(x).

SOLUCION:

Serie de Fourier:

( ) [ ]

( )

( )

( )

( )

( )

|

|

(

)

( )

( )

( )

|

( ) |

|

( ) |

( )

( )

[

( ) ]

[

( ) ] [

( )

( ) ]

[( )

( ) ]



( )

( )

( )

( )

( )

|

( ) |

|

( ) |

( )

( )

La serie de Fourier seria:

( )

[

( )

( ) ]

( ) [( )

( ) ]

b) Deducir la convergencia de la serie:

Solucin:



Sea:

( )

( )

( )

( )

( )

Por propiedad telescpica:

( ( )

( ))

( ( ) ( )

)

( ( ) ( ))

[( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))]

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( )]

[

( ) ( )]

[

(

)

( ) ]

[

(

)

( ) ]

[(

)

( ) ]

[(

) ]

[ ]

Por lo tanto:



PROBLEMA N13:

a) Establecer que si f(x)=x, -



b) Con la identidad de Parseval deducir la convergencia 2

2n 1

1

n 6

=

p=

Como f(x) es una funcin impar se tiene que: an=0 para n=0, 1,2,.y

n

0 0

1 2b x sin(n )dx x sin(n )dx

2xcos(nx)[ ]

n

pp p

- p

= p = p = -p p p

21,3,5,...

22, 4,6,...

n

n

b nn

b nn

Por lo tanto:

n 1

n 1

sin(nx) sin x sin 2x sin 3xf (x) 2 ( 1) 2[ .....]

n 1 2 3

+

=

- = - +:

Aplicando la identidad de Parseval

2

2 2 2 2

1 1 1 1 1x dx 4[ .....]

1 2 3 4

p

- p

= + + + +p

3 2 22

2 2n 1 n 1

1 1 1 x 1x dx

n 4 4 3 6 n 6

pp

- p= =- p

p p= = = =

p p

PROBLEMA N14:



Sea ( ) { | | | |

, Obtener la integral de Fourier y estudie su

convergencia en .

SOLUCION:

La integral de Fourier de f(x) es:

[ ( ) ( ) ]

Donde:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

|

[( ) ( ) ( ) ( )]|

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

|

[ ( ) ( ) ( ) ( )]|

( )

( )

[

( )]



PROBLEMA N15:

a) obtener la integral de Fourier de ( ) { | | | |

b) estudiar la convergencia de la IF en ,

SOLUCIN:

La integral de Fourier de f(x) es:

[ ( ) ( ) ]

Donde:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

*

( )

+

PROBLEMA N 16:



a) Obtener IF.cos

( )0

xf x

; x

x

IF:

0

1( ) ( )cos ( )f x f t w x t dtdw

0

1( ) cost cos ( )f x w x t dtdw

.. (1)

Integramos por partes en. (1)

0

1 4 ( ) 4 ( )( )

4( 1)( 1) 4( 1)( 1)

wsenw x wsenw xf x dw

w w w w

0

1( ) ( ) ( )

( 1)( 1)

wf x senw x senw x dw

w w

Adems la transforma de Fourier:

2( ) ( ) cos

( 1)( 1)

jwx jwx wF w f x e dx e dx sen ww w

2( )

( 1)( 1)

wsen wF w

w w

PROBLEMA N 17:

Si f(x) es una funcin par con integral de Fourier:



0

( ) (w)Cos(wx)dwf x A

Demuestre que:

0

1(a ) ( )Cos(wx)dw, 0

wf x A a

a a

SOLUCIN

f(x) es par con integral de Fourier:

0

( ) (w)Cos(wx)dw.......(1)f x A

Pero Sabemos que :

1( ) F(w)Cos(wx)dw

2f x

Como f(x) es par:

0

0

1( ) F(w)Cos(wx)dw

( )( ) Cos(wx)dw........(2)

f x

F wf x

Comparando

(2) (1) A(w) F(w).........( )

f(x) ( )

1( )

F w

wf ax F

a a

propiedad de escalamiento pero como a>0

1( ) ( )..........(3)

wf ax F F w

a a

Pero:

0

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ......(4)

2f ax F w Cos wx dw F w Cos wx dw

Reemplazando (3) en (4):



0

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

w wf ax F Cos wx dw F Cos wx dw

a a a a

Pero de (*):

0

( ) ( ) (

1( ) ( ) ( )

w wA w F w A F

a a

lqqd

wf ax A Cos wx dw

a a

PROBLEMA N18:

Desarrollar en serie de Fourier la funcin peridica de perodo 2 . Representar

grficamente y estudiar la convergencia de la serie en .

( )

0 0

0x

si xf

x si x

A partir del resultado anterior obtenga la suma de la serie:

21

1

(2 1)n n

Sol (i):

I. Calculo de los coeficientes de Fourier:

0

0 ( ) ( ) ( )

0 0

1 1 1

2 2 2x x xa f dx f dx f dx xdx

2

0

0

1

2 2 4

xa

( ) ( ) ( )

0

1 1cos cosn x nx nxa f dx x dx



Usando el mtodo de integracin por partes se tiene:

2 2 2

0

1 cos( ) cos( ) 1 ( 1) 10 0

n

n

x nx nxa

n n n n

2

2

0( 1) 1

2

n

n

para n par

an para n impar

n

As:

2 0na n

2 1 2

2

(2 1)na n

n

( )

0

1 1sin( ) sin( )n xb f nx dx x nx dx

2

0

1 cos( ) sin( ) cos( )x nx nx x n

n n n

Luego el coeficiente es:

1( 1)n

nbn

Por lo tanto la serie de Fourier ser:

1

21

2 ( 1)cos((2 1) ) sin( )

4 (2 1)

n

n

n x nxn n

En todos los puntos de continuidad la serie converge a ( )xf y en los puntos de

discontinuidad del tipo 2x n con n , la serie converge a 2

.

II. A partir del resultado anterior obtenga la suma de la serie:

21

1

(2 1)n n



Sol (ii):

Evaluando en 0x se tiene

2 2 2

2 1 1 10 ...

4 1 3 5

De donde

2 2 2

2 1 1 1...

4 1 3 5

Y de aqu

2

21

1

(2 1) 8n n

PROBLEMA N19:

Desarrollar en serie de Fourier la funcin peridica de periodo 2 , definida por:

2

( ) ,xf x x

A partir del resultado obtenido calcular la suma de:

21

1

n n

Determine la convergencia de la serie: 41

1

n n

SOLUCION:

La funcin f es par por lo cual obtendremos una serie de cosenos, que tiene la forma:



0

1

cos( )nn

a a nx

3 22

0 ( )

0 0 0

1 1 1

3 3x

xa f dx x dx

2

( )

0 0

2 2cos( ) cos( )n xa f nx dx x nx dx

2

2 2 2

0

sin( ) 2 cos( ) 4cos( ) 4( 1)n

n

x nx x nx na

n n n n

Luego, la serie es: 2

21

( 1)4 cos( )

3

n

n

nxn

, todo x real.

La serie numrica se puede obtener haciendo x y 2( )xf

22

2 2 2

1 1 14 ...

3 1 2 3

De donde: 2 2

21

1 1

4 3 6n n

Como la funcin f es seccionada suave para x y ( ) ( )f f se cumplen las

condiciones de suficiencia de la identidad de Parseval entonces:

22 2

2

21

1 4( 1)2

3

n

n

x dxn

54

41

1 2 16

5 9 n

x

n

4

21

1

90n n



PROBLEMA N20:

Halle la representacin de la integral de Fourier de la funcin ( )at

tf e si 0t

considerando una extensin par de ( )tf y estudie la convergencia en .

SOLUCION:

Sea 0

( )0

at

p at

e si tf t

e si t

, as definida es una funcin par, luego:

( ) ( )

0 0

2 cos( ) 2 cos( )auw uA f wu du e wu du

0

2 cos( )limb

au

b

e wu du

2 2

0

2 ( cos( ) sin( ))limb

au

b

ea wu w wu

a w

2 2 2 22 ( cos( ) sin( ))lim

ab

b

e aa wb w wb

a w a w

2 2

2a

a w

Entonces la integral de Fourier de ( )tf es: 2 2 2 20 0

1 2 2 cos( )cos( )

a a wxwx dw dw

a w a w

Como la funcin es continua en , aplicando el criterio de la convergencia, la integral

converge

2 2

0

cos( )

2

auwx dw ea w a



PROBLEMA N21:

Halle la representacin de la integral de Fourier de la funcin ( )x

xf xe

si

,x considerando una extensin par de ( )tf y estudie la convergencia en .

SOLUCION:

Se tiene que ( )xf es una funcin impar. Examinemos, si se cumplen las condiciones de

existencia de integral de Fourier.

En primer lugar

0

0 0

2 2 2 1 2x x x xxe dx xe dx xe e dx

Adems, f es continua y diferenciable x .

Los coeficientes de Fourier de f son:

( ) 0A w ya que f es una funcin impar

2 2

4( ) sin( )

(1 )

u wB w ue wu du

w

Entonces, para todo x la integral de Fourier converge a:

2 2

0

4sin( )

(1 )

x wxe wx dww

PROBLEMA N22:



Si una funcin par, con integral de Fourier ( )

0

1( )cos( )xf A w wx dw

, demuestre que:

a) ( )

0

1( )cos( )xxf A w wx dw

, donde ( )

( )dA w

A wdw

b) 2( )

0

1( )cos( )xx f A w wx dw

, donde 2

2

( )( )

d A wA w

dw

SOLUCION:

a) Se tiene que ( )

0

1( )sin( )xxf A w wx dw

, es una funcin impar,

entonces ( )

0

( ) 2 sin( )vA w vf wx dw

(1).

Como ( )

0


con ( )0

( ) 2 cos( )vA w f wv dv

.

Entonces, derivando el coeficiente queda: ( )

0

( )2 cos( )v

dA wf wv dv

dw

(2)

Por lo tanto, comparando (1) y (2) se tiene ( )

( )dA w

A wdw

b) Como 2( )

0

1( )cos( )xx f A w wx dw

, es una funcin par,

entonces 2( )

0

2( ) cos( )vA w v f wv dv

(1)

Como, ( )

0


con ( )0

( ) 2 cos( )vA w f wv dv

.

Por consiguiente ( )

0

( )2 sin( )v

dA wvf wv dv

dw



22

( )2

0

( )2 cos( )v

d A wv f wv dv

dw

(2)

Por lo tanto, comparando (1) y (2) se tiene:

2

2

( )( )

d A wA w

dw

.

PROBLEMA 24

a)

2 22

2 2

( ) ( )

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2

2

( ) ( )

( , ) ( , )

( , )

" "

" "1

x t

x t t x

t x

t x

u x t u x tv

t x

u x t X T

X T v T X

T X

v T X

Tenemos

( ) 2 2

( )

2 2

( ) ( )

"

" 0

t

t

t t

Tv

T

T v T

Recordar la ecuacin caracterstica: 2 2 2

( ) 1 2

0

cos( ) ( )t

v v

v v i

T C v t C sen v t

Para la ecuacin de ( )xX

( ) 2

( )

2

( ) ( )

"

" 0

x

x

x x

X

X

X X

Recordar 2 2

( ) 3 4

0

cos( ) ( )x

v

v i

X C t C sen t



3 4 1 2cos( ) ( ) cos( ) ( )C x C sen x C v t C sen v t

Utilizamos condiciones de frontera para 1 2 3, ,C C C y 4C

(0, )

3 1 2

3

0

0 cos( ) ( )

0

tu

C C v t C sen v t

C

( , )

4 1 2

4

0

0 ( ) cos( ) ( )

0

L tu

C sen L C v t C sen v t

C

( , ) 4 1 2

1

( ) 0

;

;

( ) cos( ) ( )

( ) cos( ) ( )

x t

n n

n

sen L

L n n Z

nn Z

L

n n nu C sen x C vt C sen vt

L L L

n n nsen x A vt B sen vt

L L L

Utilizamos condiciones iniciales para determinar nA y nB

( ,0)

1

( )

( ) ( )

x

n

n

u f x

nf x sen x A

L

Calculamos nA mediante series de Fourier:

0

( ) ( )

L

n

nA f x sen x dx

L L

( )

( )



( )

(

) [ (

)

(

) (

)]

( )

(

) (

)

( )

(

)

( ) (

)

( ) (

)

b)



2 22

2 2

2

2

2

2

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( ) ( )

1( ). ( ) . ( ). ( ) . ( ). ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).

( ) ( )

1 ( ) ( ) (

( )

u x t u x t u x tv k

t x t

u x t X x T t

X x T t v T t X x k X x T tX x T t

T t X x T tv k

T t X x T t

T t kT t X xv

T t X x

T t kT t X

v T t

2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 21 2

)

( )

tenemos :

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) 0

recordar :

0

4

2

pero por la condicion :

4 0

4

2 2

4 4( ) cos sin

2

k kt t

x

X x

T t kT tv

T t

T t kT t v T t

r kr v

k k vr

k v

k v kr i

v k vT t c e t c e

2

2

kt



2

2

2 2

3 4

2 2 2 2 2 2

23 4 1 2

para la ecuacion de ( )

( )0

( )

( ) ( ) 0

:

0

( ) cos( ) sin( )

:

4 4( , ) cos( ) sin( ) cos sin

2 2

util

kt

X x

X x

X x

X x X x

rerecordar

v

v i

X x c x c x

entonces

v k v ku x t c x c x e c t c t

1 2 3 4

3

3

4 4

2

24 1

1

izamos condiciones de frontera para determinar , , , :

* ( , ) 0

. ( ) 0

0

* ( , ) 0

sin( ). ( ) 0 ; ( ) 0 0

sin( ) 0

;

;

4

( , ) sin coskt

n

c c c c

u o t

c T t

c

u L t

c L T t T t c

L

L n n Z

nn Z

L

nv

nu x t c x e c

L

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2 2 2

2

1

4

sin2 2

4 4

( , ) sin cos sin2 2

kt

n n

n

nk v k

L Lt c t

n nv k v k

L Lnu x t x e A t B t

L



2

2 22 2

2 2

2

1

1

:

4

4 4

( , ) sin cos sin

utilizamos condiciones de frontera:

( ,0) ( )

( ) sin

calculamos mediante series

n n

kt

n n n n

n

n

n

n

cambio

nv k

n kLvL

nu x t x e A t B t

L

u x f x

nf x x A

L

A

0

2 2

1

1

de Fourier

2( )sin

otra condicion para determirar

( , )( )

( , )sin cos sin

( , )sin sin

L

n

n

k kt t

n n n n

n

n n n

n

nA f x x dx

L L

B

u x tg x

t

u x t nx A t e B t e

t L

u x t nx A t e

t L

2 2

2 2

1

1

0

cos ( )2

cos sin ( )2

( , )sin

2

( ) sin2

1( )sin

2

1

k kt t

n

k kt t

n n n n

nn n

n

nn n

n

L

nn n

n

n

kt e

kB t e t e

A ku x t nx B

t L

A kng x x B

L

A k nB g x x dx

L L

B gL

0 0

( )sin ( )sin

L L

n

n k nx x dx f x x dx

L L L



)](.)cosh(.[)(),(

:

0)2

()(:

;;0

:*

:mindet

)]](.)cosh(.[)].[(.)cos(.[),(

:

)(.)cos(.

:

)](.)cosh(.[

04:

2

4

0

:Re

0

:

][1

.),(

:

.)..

1

2

222

3

43

212

43

43)(

)(

212

)(

222

222

222

)(

22

)()(

22

)(

)()(

2

)(

)(

)(

)()(

2

)()(

tsenhBtAeL

xnsentxu

Entonces

k

L

vnTambien

L

nc

bpartelaencalculoslosPor

cycarerparainicialesscondicioneUtilizamos

tsenhctcexsencxctxu

ecuacionLa

xsencxcX

XdeecuacionlaPara

tsenhctceT

VkcondicionlaporPero

Vkkr

Vkrr

cordar

TVTkT

VT

TkT

Tenemos

X

X

T

TkT

V

TXtxu

Tenemos

bpartelaaparecidaescpartelac

nn

n

nn

tk

n

tk

X

X

tk

T

TTT

T

TT

X

X

T

TT

TX



n

n

L

n

n

L

n

nn

Ak

dxL

xnxg

LB

dxL

xnxf

LA

xgt

xu

xfxu

ByAarerparainicialesscondicioneUtilizamos

2)sin().(

2

)sin().(2

)()0,(

)()0,(

:mindet

0

0

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