BALANBALANO INTEGRALO INTEGRAL

DE ENERGIADE ENERGIA

As leis bsicas que se aplicam no estudo envolvendo o escoamento de fluidos incluem os princpios de conservao de massa, de quantidade de movimento,de energia, etc.

Balano de Energia

Na anlise do escoamento de fluido vamos aplicar a primeira lei da termodinmica:

Se um sistema transportado atravs de um ciclo, o calor total adicionado ao sistema a partir de suas vizinhanas proporcional ao trabalho realizado pelo sistema nas referidas vizinhanas.

Diferente do balano de momento, a eq. de energia resultante estar na forma escalar:

onde Q e W so diferenciais de calor e trabalho. O operador usado uma vez que tanto Q quanto W so funes do caminho escolhido (no so funes de estado) diferenciais inexatas. (obs.: no caso de funes de estado (como T, P e V), estas dependem apenas dos estados inicial e final).

INTRODUO

= WQ

y

2

1

a

b

Considerando um ciclo termodinmico (a):

(1) +=+1

b2

2

a1

1

b2

2

a1WWQQ

Considerando um novo ciclo termodinmico ida por a e volta por c:

(2)

Subtraindo (1) de (2):

Que pode ser escrito como:

Como cada lado da equao acima se refere ao valor da integral de uma funo realizada por caminhos diferentes, o valor obtido no depende deste. Essa propriedade ser designada como dE e representa a quantidade total de energia do sistema.

Expresso alternativa para a primeira lei da termodinmica:

+=+1

c2

2

a1

1

c2

2

a1WWQQ

=1

c2

1

b2

1

c2

1

b2WWQQ

=1

c2

1

b2)WQ()W Q(

WQdE =

y

2

1

a

b

c

Obs: Para um sistema que est submetido a um processo que ocorre em um intervalo de tempo dt:

Q positivo quando calor adicionado ao sistema W positivo quando o trabalho feito pelo sistema.

dtW

dtQ

dtdE

=

A variao de energia de um sistema igual soma de calor e trabalho trocados com o meio.

funo de estado

MTODO DE EULER

Neste estudo do escoamento dos fluidos ser utilizado o mtodo de Euler.

considera um ponto fixo no espao e exprime, a cada instante, as grandezas caractersticas da partcula que passa por esse ponto.

Para a descrio dinmica deste movimento, necessrio o conhecimento de certas caractersticas, como a presso, a velocidade e massa especfica.

MTODOS DE EULER E LAGRANGE

MTODO DE LAGRANGE

Descreve o movimento de cada partcula acompanhando-a em sua trajetria real; Apresenta grande dificuldade em aplicaes prticas; Para a engenharia normalmente no h interesse pelo comportamento individual

da partcula e sim pelo comportamento do conjunto de partculas durante o escoamento.

Escrevendo a equao de balano de energia:

e aplicando ao volume de controle:

Fluxo lquido (sada entrada):

No balano de massa:

No balano de momento:

No balano de energia:

+

=

+

VC no gia-ener de mulo

-ac de taxa

escoamento

pelo sai queenergia de taxa

as vizinhannas VC pelo feita

trabalhode taxa

VC o paraas vizinhandas

calor de taxa

escoamento

pelo entra queenergia de taxa

nv

dA

dAnvdAvAA

n = ).(rr

A

dAnvv ).( rrr

A

dAnve ).( rr

(1)

Ou seja,

Acmulo:

Substituindo na equao de balano (1) os termos obtidos:

=

A

dAnve ).( escoamento

pelo sai queenergia de taxa

escoamento

pelo entra queenergia de taxa

rr

VCdVe

t

+=VCA

dVet

dAnvedtW

dtQ ).( rr

OBSERVAO:

Temos 3 tipos de trabalho:

Trabalho de eixo (Ws): realizado pelo sistema sobre a vizinhana ocasionando a rotao de um eixo, se positivo. Se negativo, a vizinhana promove a rotao do eixo.

Trabalho devido ao escoamento (W): realizado nas vizinhanas para vencer as tenses normais na superfcie do VC.

Trabalho cisalhante (W): realizado para vencer as foras cisalhantes (tangenciais) na superfcie do VC.

nv

dA

S (comp. ii e ij)

S o vetor resultante das tenses normais ()e de cisalhamento (), envolvidas em um escoamento. Assim, a fora atuando em um elemento de rea dA S.dA e a taxa de trabalho realizada dASv

rr.

+=+VCAA

s dVet

dAnvedASvdtW

dtQ ).(. rr

rrAssim:

A fora resultante tem uma forma mais usual de se apresentar. Ela engloba efeitos de presso e efeitos viscosos, da mesma forma que o W. Assim:

atribuindo toda a contribuio viscosa a um trabalho W:

+=VCAA

s dVet

dAnvedtW

dAnvPdtW

dtQ ).().( rrrr

(2)

Reagrupando os termos:

dtW

dVet

dAnvPedtW

dtQ

VCA

s

+

++= ).()(rr

Obs.: a energia total especfica, e, pode ser expressa para incluir as contribuies de energia cintica, energia potencial e energia interna, ou seja:

uvgye ++=2

2(3)

SIMPLIFICAES:Considere um escoamento no volume de controle estabelecido abaixo, na situao de regime permanente e desprezando as perdas por atrito. Determine a equao que rege esse sistema.

Para essas condies, a equao de energia (eq. (2)) fica:

Com base na equao (3), o termo (e+P/) pode ser escrito como:

P

uvgyPe +++=+2

2

mas

(4)

Assim, a equao (4) fica:

Pelo balano de massa: 222111 AvAvm ==&

Superfcie de controle

+++

+++=

1

111

21

2

222

22S Pugy

2vP

ugy2v

m

Wq&

&

mWPgy2v

um

qPgy2v

u s

2

22

22

21

11

21

1&

&

&++++=++++

P

uhPVUH +=+=

m

Whgy2v

m

qhgy2v s

22

22

11

21

&

&

&+++=+++

Ou, na forma mais familiar:

Mas, por definio, entalpia a soma da energia interna e da energia atrelada ao sistema por meio de relaes entre este e sua vizinhana, ou seja:

Com isso, outra forma de se expressar a equao (5) :

(5)

Na situao de regime transiente e desprezando as perdas por atrito:

Retomando a equao global de energia:

dtW

dVet

dA)n.v()Pe(dtW

dtQ

VCA

s

+

++= rr

t

)M.e(w)Pe(w)Pe(wq

t

)M.e(Av)Pe(Av)Pe(wq

11

112

2

22s

1111

11222

2

22s

+++=

+++=

quantidade de energia associada ao conjunto sistema-vizinhana pelo fato do sistema ocupar um volume V quando submetido presso P (mximo trabalho realizado pela vizinhana sobre o sistema)

t)M.e(

w)Pugy2v(w)Pugy

2v(wq 1

1

111

21

22

222

22

s

+

+++

+++=

t)M.e(

w)hgy2v(w)hgy

2v(wq 111

21

222

22

s

+++++=ou

EQUAO DE BERNOULLI

Sob determinadas condies de escoamento a expresso da primeira lei da termodinmica aplicada a um volume de controle se reduz a uma equao muito til, conhecida como equao de Bernoulli.

Consideremos o escoamento de um fluido incompressvel, isotrmico, invscido (viscosidade nula: no h trabalho viscoso), ocorrendo em estado estacionrio. Tomemos um volume de controle, conforme abaixo esquematizado:

0dtW

e 0dtQ s

==

0)Av(Pgy2v)Av(Pgy

2v

1111

11

21

2222

22

22

=

++

++

0dVet VC

=

Nessas condies: - escoamento estacionrio, incompressvel e invscido- no h trabalho de eixo- no h transferncia de calor ou mudana na energia interna, ento:

Com essas simplificaes a equao da 1 Lei fica:

0wPgy2v

wPgy

2v

11

11

21

22

22

22

=

++

++

222111 AvAv =

2

22

22

1

11

21 Pgy

2vPgy

2v

++=

++

gP

g2vy

gP

g2vy

2

222

21

121

1 ++=

++

Como

Dividindo pela acelerao da gravidade:

MEDIDORES DE VAZO

1.DEFINIO DE PRESSO

A presso de estagnao e a presso dinmica podem ser associadas equao de Bernoulli:

2

22

22

1

11

21 Pgy

2vPgy

2v

++=

++

Presso esttica: P a presso termodinmica no fluido que escoa. Para medi-la precisamos nos mover com a velocidade do fluido (ou seja, de modo esttico em relao ao fluido). Um outro modo de se medir usando um tubo piezomtrico: P1 = (h4-3 + h3-1) = h, onde =g, conforme Figura:

Presso dinmica: o termo v2/2 denominado presso dinmica e surge quando a velocidade nula e ele transformado em energia de presso.

Presso de estagnao: aplicando a equao de Bernoulli nos pontos 1 e 2 do grfico, possvel obter: P2 = P1 +v2/2, onde 2 o ponto de estagnao onde a velocidade do fluido zero, aps o lquido preencher o tubo at a altura H. Assim, a presso de estagnao maior que a presso esttica P1 de v12/2, ou seja:

Presso de estagnao = Presso esttica + Presso dinmica

Presso hidrosttica: o termo gy denominado presso hidrosttica pois, apesar de no ser uma presso, pode representar uma possvel mudana na presso devido a variao da energia potencial do fluido.

Observao: Se efeitos de elevao (variao de altura) na linha podem ser desprezados, a presso de estagnao: P2 = P1 +v2/2 a maior presso que uma linha de corrente pode apresentar, ou seja, toda a energia cintica do fluido convertida num aumento de presso.

Presso total: a equao de Bernoulli estabelece que a presso total permanece constante ao longo da linha de corrente (LC), ou seja,

P +v2/2+y = PT = constante ao longo da LC

Observao: lembre-se de verificar se as hipteses usadas na deduo da equao de Bernoulli se aplicam no escoamento em anlise.

TUBO DE PITOTConsiste de um tubo com uma abertura perpendicular direo do escoamento e um segundo tubo cuja abertura paralela ao escoamento

A velocidade de escoamento calculada a partir da diferena entre a presso na abertura paralela ao escoamento, chamada de presso esttica, e a presso no tubo de impacto, chamada de presso de estagnao.

P2 (presso de estagnao) = P1 (presso esttica) +v12/2P2 P1 = v12/2 v1 = (2 P/)1/2 (*)A presso de trabalho para o tubo de Pitot normalmente:

v1 = C (2 P/)1/2 = C [2 (m-)gh/]1/2

onde m a massa especfica do fluido manomtrico, a massa especfica do fluido que escoa e h o desnvel no manmetro. A constante C foi inserida para corrigir desvios em relao equao (*).

O tubo de Pitot mede a velocidade local, mas medindo a velocidade em vrias posies radiais, para um mesmo comprimento de tubo, pode-se estimar a velocidade mdia do escoamento.Obs.: esse sistema se aplica a fluidos incompressveis e aos gases em velocidades moderadas, onde a variao de presso inferior a 15%.Outras formas do tubo de Pitot:

MEDIDORES POR RESTRIO

Um modo eficiente de medir a vazo volumtrica em tubos instalar algum tipo de restrio no tubo e medir a diferena entre as presses na regio de baixa velocidade e alta presso (ponto 1) e de alta velocidade e baixa presso (ponto 2).

Placa (ou medidor) de orifcio

Medidor de Venturi

Medidor de bocal

Todos apresentam o mesmo princpio de funcionamento: um aumento na velocidade provoca uma diminuio na presso. A diferena entre eles uma questo de custo, preciso e como sua condio ideal de funcionamento (efeitos viscosos e de compressibilidade no so levados em conta) se aproxima da condio real.

Admitindo que o escoamento entre os pontos 1 e 2 incompressvel, invscido e horizontal (y1 = y2) e que estamos trabalhando em regime permanente, ento a equao de Bernoulli fica:

Pelo balano de massa:

onde A1 e A2 so as reas das sees transversais 1 e 2.

Substituindo v1 e v2 por Q/ A1 e Q/A2, respectivamente, podemos isolar Q e determin-lo em funo da diferena de presso.

P1 +v12/2 = P2 +v22/2

Q = A1v1 = A2v2