Balanceo de rotores

Balanceo Rotores Rígidos -- Página 1 de 22

República Argentina

Universidad de Buenos Aires

Facultad de Ingeniería

Dto. De Ing. Mecánica

67.12 - MECANISMOS ‘B’

BALANCEO de ROTORES RÍGIDOS

(TEÓRICO)

Prof. Ing. MAYER, Omar E.

[email protected]

SETIEMBRE 2 006

Agradezco la importante colaboración prestada por los actuales ayudantes alumnos Sres. BALSEIRO Santiago y Di IORIO José María, quienes han sabido denunciar serios errores cometidos en la /s versión / es anterior / es de este tema y agregar conceptos, correcciones y modificaciones de enfoques. Consecuentemente con ello, hicieron posible esta nueva edición ‘corregida’.


VECTOR MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Se define como cantidad de movimiento de una partícula al producto de su masa por su velocidad lineal. Siendo la velocidad una magnitud vectorial y la masa una magnitud escalar, la cantidad de movimiento resulta en una magnitud vectorial con las mismas características vectoriales que la velocidad lineal que contempla, esto es, con la misma dirección y sentido. Extrapolando el concepto a un cuerpo, resulta de considerar la velocidad de su centro de masa. Respecto al cuerpo y si el mismo resulta rígido (hipótesis a asumir), la posición de su centro de masa permanece constante cualesquiera sean las cargas que sobre el mismo actúan.

Si con:

M = Masa del cuerpo en consideración. ⎫

→ ⎪ → →V = Vector velocidad lineal del centro de masa del cuerpo ⎬ Q = M * V→ ⎪

Q = Vector cantidad de movimiento del cuerpo ⎭ En una máquina estacionaria se tienen partes (bastidor o estructura) de la misma que resultan fijas respecto al planeta en el cual crecemos. Por otra parte, resultan partes que poseen movimiento respecto al bastidor y en consecuencia respecto a la Tierra. Dichos movimientos, guiados por el bastidor de la máquina, pueden resultar de tipo rectilíneo, circular o una combinación de ambos. En máquinas no estacionarias, pueden resultar submáquinas que respecto a la máquina que las porta, se las puede considerar fijas. De resultar rectilíneo, el movimiento no puede ser continuo y menos de velocidad constante, a tales efectos se necesitaría de un bastidor de longitud infinita, por lo cual las referencias a la Tierra pierden toda validez. Resultan entonces para este tipo de movimiento, la alternancia en el mismo, la no constancia de su velocidad y la existencia de aceleraciones y desaceleraciones. Muy por el contrario, los movimientos circulares pueden ser continuos y de velocidad (angular) constante. Dimensiones finitas del bastidor para referenciar sus características resultan suficientes. De resultar constantes el vector velocidad lineal del centro de masa de un cuerpo y la masa del mismo (en adelante se supondrá que la masa de cualquier cuerpo permanece constante como así también la posición del su centro de masa respecto al mismo (cuerpo rígido)), resulta constante el vector cantidad de movimiento. Esto acontece en un cuerpo que rota y con centro de masas fijo, no así en un cuerpo que se mueve de manera rectilínea, ya que el mismo ve modificar tanto el sentido de su vector velocidad como así también el valor del mismo cuando mantiene el sentido del movimiento.


Para guiar ambos tipos de movimientos los bastidores poseen lo que da en llamarse vínculos, más propiamente guías en el caso de los movimientos rectilíneos y cojinetes en el de los movimientos rotatorios. Mecánicamente en el caso de los movimientos rectilíneos, es común transformar un movimiento rotatorio en uno rectilíneo o viceversa, dependiendo la ‘presentación’ de la transformación de cual de ambos movimientos es motor y cual el conducido. En el caso de los movimientos rectilíneos y por ser alternativos los mismos, los cuerpos experimentan aceleraciones de al menos signo cambiante, de donde los vínculos correspondientes se encuentran sometidos a situaciones ‘desplazativas’ pulsantes (vibraciones) quiérase o no. Si bien puede ser de baja incidencia, la variación del coeficiente de fricción por modificación del valor de la velocidad es una causa de vibración. Este párrafo como así también los que siguen deberían ser de completa comprensión si se recuerda:

→ →

Fact = Vector fuerza activa ;;;; Freact = Vector fuerza reactiva

→ → → →A = Vector aceleración lineal ;; Σ Fact -- Σ Freact = M * A

En el caso de los movimientos rotativos, la cuestión pasa en un principio por la posición del centro de masa del cuerpo rotante respecto al eje de rotación que definen sus cojinetes. De no encontrarse el centro de masa en el eje de rotación, el mismo describe una circunferencia, viéndose sometido así a la acción de una aceleración centrípeta cambiante de dirección. Como la vinculación de los cojinetes no acompaña dicho cambio de dirección (la vinculación de los cojinetes resulta de dirección constante), los mismos resultan sometidos a vibraciones. Conforme lo expuesto y a los efectos de anular las vibraciones resultantes, resulta la necesidad de adicionar masas ‘ad-hoc’ (específicas) que en su movimiento ofrezcan aceleraciones opuestas, a las que se producen sobre los elementos que, en movimiento, ofrecen algún servicio de tipo ‘funcional’ en las máquinas en las cuales se encuentran colocados. La utilización del concepto de cantidad de movimiento resulta útil para resolver la cuestión, dado que el mismo contempla el valor de la masa en juego como así también el valor, dirección y sentido de la velocidad correspondiente. Sin embargo no resulta suficiente. Los cuerpos poseen dimensiones en el espacio y por lo tanto, propiedades másicas espaciales. Por otra parte, resulta que existen casos con varios cuerpos vinculados entre si, los mismos con distintas características cinemáticas, posicionales y eventualmente másicas. Resulta así necesario y conveniente referirse a un sistema de coordenadas y emplear el concepto de momento de la cantidad de movimiento o momento


cinético, magnitud vectorial que resulta del producto vectorial entre el vector cantidad de movimiento y el vector posición del centro de masa del cuerpo respecto al origen del sistema de coordenadas empleado, como así también y posiblemente no necesaria en algún caso, su derivada temporal. De pretender entonces anular las vibraciones que las aceleraciones producen, será necesario hacer constante en el tiempo el momento de la cantidad de movimiento, disponiendo masas ‘ad-hoc’ como arriba se expuso y siempre y cuando dicho momento no resulte constante de ‘por si’, esto es, si las masas en movimiento no producen un momento cinético resultante constante. La constancia del momento cinético resulta entonces absolutamente necesaria para la nulidad de las vibraciones expuestas, de carácter ‘rectilíneo’ las mismas, como se verifica en las guías de los movimiento rectilíneos por cambio del coeficiente de fricción o en la dirección de fijación de los cojinetes en el caso de los movimientos rotativos. Sin embargo y en el caso de los movimientos rotativos, la no constancia del momento cinético resulta necesaria a efectos acelerar angularmente los elementos asociados al movimiento. Sucede que en esta situación la aceleración resulta normal a la dirección de fijación de los cojinetes, razón por lo cual estos últimos no vibran ‘rectilineamente’. En tal caso los elementos ‘asociados’ vibrarán torsionalmente si es que la aceleración angular cambia de valor y haciéndolo durante el cambio de valor de dicha aceleración.

BALANCEO DE ROTORES RÍGIDOS La FIGURA 01 siguiente muestra un elemento diferencial de masa dm, perteneciente a un rotor de masa total M, rotando con pulsación (velocidad

angular) instantánea ω alrededor del eje de rotación impuesto Z, eje coordenado de una terna XYZ FIJA en el espacio y de origen de coordenadas O. Como consecuencia de la rotación, el elemento diferencial de masa dm poseerá una velocidad lineal instantánea Vm perpendicular al eje Z y paralela al plano XY. Se denomina momento cinético, momento angular o momento de la cantidad de movimiento L y que en el caso en análisis resulta en un valor diferencial dL, al producto:

→ → →

dL = ( Pm ∧ Vm ) * dm

Resulta una magnitud vectorial

→ →

por ser Pm vector posición y Vm vector velocidad lineal

y representable por un vector perpendicular al plano

→ → formado por Pm y Vm


→ → → → →

Por ser ω paralelo a Z , resulta: Vm = ω ∧ Rm

→ → → →

luego: dL = Pm ∧ ( ω ∧ Rm ) * dm

ω

Ymi

θ + θo

Xm

X

Rm

O

k

j

zm

Pm

γm dm

Y

Figura 01Zm

Rm

Z

Vm

Aplicando los versores (vectores unitarios) ijk, a los ejes XYZ respectivamente, se tiene:

⎪ i j k ⎪ → → → ⎪ ⎪ Vm = ω ∧ Rm = ⎪ 0 0 ω ⎪

⎪ ⎪ ⎪ Xm Ym 0 ⎪

→ ⎪ 0 ω ⎪ ⎪ ω 0 ⎪ ⎪ 0 0 ⎪Vm = i ⎪ ⎪ + j ⎪ ⎪ + k ⎪ ⎪

⎪ Ym 0 ⎪ ⎪ 0 Xm ⎪ ⎪ Xm Ym ⎪


→

Vm = -- i * ω * Ym + j * ω * Xm

⎪ i j k ⎪ → → ⎪ ⎪ Pm ∧ Vm = ⎪ Xm Ym Zm ⎪

⎪ ⎪ ⎪ -- ω * Ym + ω * Xm 0 ⎪

⎧ -- i * (Xm * Zm)

→ → ⎪

Pm ∧ Vm = ω * ⎨ -- j * (Ym * Zm) ⎪ ⎩ + k * (Xm^2 + Ym^2)

→ ⌠ → ⌠ M ⎡ → → ⎤

Siendo: L = ⎮ dL = ⎮ ⎢ Pm ∧ Vm ⎥ * dm ⌡ M ⌡ 0 ⎣ ⎦

⎧ ⌠ M

⎪ -- i * ⎮ (Xm * Zm) * dm ⎪ ⌡ 0

⎪

→ ⎪ ⌠ M

L = ω * ⎨ -- j * ⎮ (Ym * Zm) * dm ⎪ ⌡ 0

⎪

⎪ ⌠ M

⎪ + k * ⎮ (Xm^2 + Ym^2) * dm ⎩ ⌡ 0

⌠ M

y designando: Ixz = ⎮ (Xm * Zm ) * dm ⌡ 0

⌠ M

Iyz = ⎮ (Ym * Zm) * dm ⌡ 0

⌠ M

Izz = ⎮ (Xm^2 + Ym^2) * dm ⌡ 0

con Ixz = Momento másico biaxial del rotor respecto a los ejes fijos XZ Iyz = Momento másico biaxial del rotor respecto a los ejes fijos YZ Izz = Momento másico monoaxial del rotor respecto al eje de rotación Z


→

resulta: L = ω * (-- i * Ixz -- j * Iyz + k * Izz)

Derivando dL respecto al tiempo t, se tiene:

→ → →

δ ( dL ) δ ( Pm ∧ Vm )

----------------- = ----------------------------- * dm δt δt

→ → →

δ ( dL ) ⎡ δPm → → δVm ⎤

---------------- = ⎢ ----- ∧ Vm + Pm ∧ ------ ⎥ * dm δt ⎣ δt δt ⎦

→

Sí Am = Aceleración lineal resultante sobre la masa dm y

→ →

δPm → → → δVm → siendo: -------- = Vm ;;; Vm ∧ Vm = 0 ;;; ------- = Am

δt δt

→ →

y Am * dm = dFm = diferencial de fuerza resultante sobre la masa dm

→ δ (dL) → → → → →

resulta: ---------- = Pm ∧ ( Am * dm ) = Pm ∧ dFm = dMf δt

con →

dMf = Diferencial de momento forzal resultante sobre lamasa dm referido al origen O de la terna fija XYZ

⌠ →

δ ⎮ dL → ⌠ → ⌡ M → δL Siendo: ⎮ dMf = ---------------------- ⇒ Mf = ----

⌡ M δt δt Derivando L respecto al tiempo t, resulta entonces un momento forzal Mf sobre el rotor conforme sea la variación de L. De permanecer L constante en el tiempo, Mf es nulo. Nótese que por ser L un vector, su variación puede comprender un cambio de dirección y/o de sentido del mismo y/o una variación de su módulo, luego la existencia de un momento forzal Mf sobre el rotor provoca la variación de L, en dirección, sentido y/o módulo.

δω---- Siendo Aa = Módulo de la aceleración angular aplicada al rotor =δt


y pudiendo ser variables en el tiempo los momentos másicos biaxiales Ixz e Iyz, por serlo así xm e ym (rotor rotatorio y terna XYZ FIJA en el espacio), dicha posibilidad debe ser contemplada y siendo Izz constante, resulta:

→ ⎧ Aa * ( -- Ixz i -- Iyz j + Izz k ) → δL ⎪

Mf = ---- = ⎨ ⎡ δIxz δIyz ⎤

δt ⎪ + ω * ⎢ -- ----- i -- ----- j ⎥

⎩ ⎣ δt δt ⎦

⎡ δIxz ⎤ ⎧ -- i * ⎢ Aa * Ixz + ω * ------- ⎥

⎪ ⎣ δt ⎦

→ ⎪

reagrupando: Mf = ⎨ ⎡ δIyz ⎤ ⎪ -- j * ⎢ Aa * Iyz + ω * ------- ⎥⎪ ⎣ δt ⎦

⎩ + k * ( Aa * Izz )

⌠ M

siendo: Ixz = ⎮ (Xm * Zm ) * dm ⌡ 0

y con θ = ángulo rotado, θo = ángulo inicial, Xm = Rm * cos(θ + θo)

⌠ M

Ixz = ⎮ Rm * Zm * cos(θ + θo) * dm ⌡ 0

⌠ M

δ ⎮ Rm * Zm * cos(θ + θo) * dm δIxz ⌡ 0

----- = ------------------------------------------------------ δt δt

Siendo que para cada elemento diferencial de masa, Rm y Zm resultan constantes:

δIxz ⌠ M δ(cos(θ + θo))

----- = ⎮ Rm * Zm * ------------------ * dm δt ⌡ 0 δt

Siendo θ0 y ω0 parámetros iniciales, con Aa (aceleración angular) CONSTANTE se tiene:

Aa * t^2

θ = θ0 + ω0 * t

+ ----------

2


Aa * t^2 δ(θ + θo)

θ + θ0 = 2 * θ0 + ω0 * t

+ ---------- ⇒ ------------- = ω0 + Aa * t

= ω 2 δt

δ(cos(θ+θo)) δ(θ+θo)

---------------- = -- seno(θ+θo) * ---------- = -- ω * seno(θ+θo) δt δt

δIxz ⌠ M

----- = -- ω * ⎮ Rm * Zm * seno(θ + θo) * dm δt ⌡ 0

⌠ M ⌠ M

Siendo: Iyz = ⎮ Ym * Zm * dm = ⎮ Rm * Zm * seno(θ + θo) * dm ⌡ 0 ⌡ 0

δIxz δIyz

resulta: ----- = -- ω * Iyz ;;;;; análogamente: ----- = + ω * Ixz δt δt

Estas dos últimas derivadas en la expresión del vector momento forzal Mf:

⎧ -- i * (Aa * Ixz -- ω^2 * Iyz)

→ ⎪

Mf = ⎨ -- j * (Aa * Iyz + ω^2 * Ixz) ⎪

⎩ + k * (Aa * Izz)

→ → → → → → → → Siendo: Mf = Mx + My + Mz y L = Lx + Ly + Lz

→

→ δLx

resulta: Mx = ----- = -- i * (Aa * Ixz -- ω^2 * Iyz) δt →

→ δLy

My = ----- = -- j * (Aa * Iyz + ω^2 * Ixz) δt →

→ δLz

Mz = ----- = + k * (Aa * Izz) δt

resultan así: Mx = Momento flector resultante en el plano YZ My = Momento flector resultante en el plano XZ Mz = Momento torsor actuante en el plano XY


a) Mx es un momento flector que se produce en el plano fijo YZ y que se traduce en reacciones oscilantes (vibraciones) en los vínculos del rotor con ‘dirección’ Y, apareciendo las mismas por la NO nulidad de Ixz y de Iyz, características propias del rotor respecto al eje de rotación y por la rotación del mismo. b) Análogamente, My es un momento flector que se produce en el plano fijo XZ y que se traduce en reacciones oscilantes (vibraciones) en los vínculos del rotor con ‘dirección’ X, apareciendo las mismas por la NO nulidad de Iyz y de Ixz, características propias del rotor respecto al eje de rotación y por la rotación del mismo.

c) Mz es un momento torsor que hay que introducir desde el exterior, a efectos de acelerar positivamente (motorizar) o negativamente (frenar) el rotor, variando la potencia que por el mismo circula. No siendo nulos Ixz e Iyz, Mx y My no son nulos y son periódicos en el tiempo y así lo serán las reacciones de vínculo correspondientes QUE SE GENERAN, por lo que dichos vínculos (cojinetes) vibrarán en las direcciones (normalmente dos normales entre si) de su fijación al bastidor de la máquina que contiene al rotor y guía su rotación. Interesa pues: MODIFICAR, SI ES NECESARIO, LA DISTRIBUCIÓN DE MASAS EN EL ROTOR, QUITANDO / AGREGANDO MASA DEL / AL MISMO A EFECTOS DE ANULAR Ixz e Iyz, PARA TODO ‘O’, ‘BALANCEANDO’ ASÍ EL ROTOR.

CENTRO CM DE MASAS Definiendo el centro CM de masas de un conjunto de n masas, como el punto que, supuesta la sumatoria de las n masas aplicada en el mismo, cumple con la condición de presentar el mismo momento másico vectorial de primer orden; referido a cualquier punto; que la sumatoria de los momentos másicos vectoriales de primer orden de las n masas respecto al mismo punto, si M es la sumatoria de las n masas, el vector Pm el vector posición de los elementos diferenciales de masa dm y el vector Pcm el vector posición del centro de masas, resulta:

⌠ M →

⎮ Pm * dm

→ ⌡ 0

Pcm = ---------------------------- = vector posición del centro de masas M

ROTOR PLANO (DISCO) -- ROTOR CON ELEMENTOS MÁSICOS CON

COORDENADA Zm NO NULA Y CONSTANTE Para una serie de elementos diferenciales de masa que se encuentren a la misma coordenada Zm y NO NULA, Zm resulta constante y no siendo nula la misma (siempre va a resultar un origen de coordenadas que hace nulo


Zm), Ixz e Iyz serán nulos siempre y cuando cada elemento másico ‘encuentre’ en una dirección ‘transversal’ al eje de rotación, por ejemplo, otro elemento másico de manera tal que ambos mutuamente anulen la parte de Ixz e Iyz que les corresponde. Teniendo Zm el mismo valor para ambos elementos y estando los mismos sobre una dirección ‘transversal’ al eje de rotación, las coordenadas Xm e Ym para ambos elementos resultan correspondientemente de signos opuestos y basta con que se anule Ixz para que se anule Iyz (o viceversa), por guardar las coordenadas Xm e Ym de ambos elementos la misma relación. La siguiente Figura 02, con el eje de rotación Z normal al plano en que dicha figura se desarrolla, ejemplifica la situación que se expone. Teniendo las masas m1 y m2 la misma coordenada Z, ambas poseen y por estar en una dirección transversal al eje de rotación Z, tanto la coordenada X como la Y de signo opuesto. Así las cosas, si el valor absoluto del producto m1 * Xm1 (m1 * Ym1) resulta igual al valor absoluto del producto m2 * Xm2 (m2 * Ym2), los Ixz e Iyz (momentos centrípetos) resultan nulos.

-- Ym

Ym2

+ Ym

Rm1

m1

-- Xm Xm1Xm2

Figura 02Ym1

O

Rm2

+ Xm

m2

Notando con abs = valor absoluto:

abs(m1 * Xm1) = abs(m2 * Xm2) ⎫

⎪

Xm1 Xm2 ⎬ abs(m1 * Ym1) = abs(m2 * Ym2) --------------------- = --------------------- ⎪

Ym1 Ym2 ⎭

Atendiendo a los signos de las coordenadas X e Y:


m1 * Xm1 + m2 * Xm2 = 0 ⎫

⎪ Ixz = m1 * Xm1 * Zm1 + m2 * Xm2 * Zm2 = 0Zm1 = Zm2 ⎬

⎪ Iyz = m1 * Ym1 * Zm1 + m2 * Ym2 * Zm2 = 0m1 * Ym1 + m2 * Ym2 = 0 ⎭

Atendiendo a la posición del centro de masas CM y siendo Rm1 y Rm2 los módulos de los vectores Rm1 y Rm2 respectivamente, el centro de masas CM se ubica en la ‘proyección’ del origen de coordenadas sobre la recta que une ambas masas, a como seguidamente se demuestra:

-- Xm1 -- Ym1 Rm1 ⎫

------------ = ------------ = ------ ⎪

Xm2 Ym2 Rm2 ⎪

⎬ m1 * Rm1 -- m2 * Rm2 = 0 m1 * Xm1 + m2 * Xm2 = 0 ⎪

⎪

m1 * Ym1 + m2 * Ym2 = 0 ⎭ Estando los vectores Rm1 y Rm2 en una misma dirección, siendo los mismos de sentido opuesto y siendo m1 * Rm1 -- m2 * Rm2 = 0, resulta:

⌠ M →

⎮ Rm * dm → ⌡ 0

Rcm = vector posición del centro de masas = -------------------------- M = m1 + m2

→ →

→ Rm1 * m1 + Rm2 * m2

Rcm = ------------------------------------ = 0 M = m1 + m2

Siendo nulo el vector Rcm entonces, el CM del caso expuesto se ubica en el eje de rotación Z correspondiente. La Figura 03 siguiente página y con la misma masa m2 de la Figura 02 y en el mismo lugar, muestra dos masas m1a y m1b equivalentes a la masa m1 de la Figura 02, de manera tal que y entre ambas figuras:

Cm1 = centro de masas correspondiente a las masas m1a y m1b

→ → Rm1 = Rcm1

m1a * Xm1a + m1b * Xm1b = m1 * Xm1 = -- m2 * Xm2

m1a * Ym1a + m1b * Ym1b = m1 * Ym1 = -- m2 * Ym2

→ → → → m1a * Rm1a + m1b * Rm1b = m1 * Rm1 = -- m2 * Rm2

Así las cosas, un conjunto de u masas ma resulta equivalente a otro conjunto de v masas mb siempre y cuando:


u → v → Σ ma * Rma = Σ mb * Rmb 1 1

-- Ym

Ym2

+ Ym

-- Xm

Xm2m2

O

Rm2

+ Xm

m2

Rcm1

Ycm1

Xcm1Rm1bm1a

m1bFigura 03

Cm1(m1a + m1b)

Rm1a

Estos dos simples ejemplos deben servir para comprender que el centro de masas de cualquier rotor, plano o espacial, a efectos el rotor resulte equilibrado, debe estar en el eje de rotación del rotor. Sin embargo y siendo en el caso de los rotores planos una condición necesaria y suficiente, en el caso de los rotores espaciales, es necesaria y no suficiente.

ROTOR CON ELEMENTOS MÁSICOS CON COORDENADA Zm VARIABLE La Figura 04 siguiente página muestra dos elementos másicos m1 y m2 que verifican poseer el centro de masas CM en el eje de rotación y no verifican la nulidad de los valores de los momentos másicos centrípetos Ixz e Iyz por que siendo las coordenadas X (Y) de signo opuesto, también lo son así las coordenadas Z (recuérdese de que Ixz e Iyz deben ser nulos para todo origen de coordenadas). La Figura 05 siguiente página muestra las mismas masas m1 y m2 ‘balanceadas’ por las respectivas masas agregadas m1b = m1 y m2b = m2, de manera tal que ahora y para todo O, el sistema resulta con Ixz e Iyz nulos. “Generalizando” el caso de la Figura 05, para un cuerpo que presente cierta longitud sobre el eje de rotación y considerando al mismo como formado por infinitos rotores planos infinitesimalmente aledaños, será suficiente que los


infinitos centros de masas correspondientes a las infinitas secciones transversales al eje de rotación, estén contenidos por el eje de rotación. De esta manera también, el centro de masa correspondiente al cuerpo, concebido el mismo como una totalidad, estará contenido por el mismo eje.

Así las cosas, si las infinitas secciones transversales son geométricamente simétricas respecto al eje de rotación y la densidad del material es uniforme dentro de dichas secciones, eje de rotación y eje de simetría másico coinciden. Cuando el cuerpo así resulta configurado, el mismo queda ‘envuelto’ por una superficie de revolución. En base a lo expuesto, decimos que cualquier cuerpo puede ser balanceado agregando masas, de manera tal que los momentos centrípetos Ixz e Iyz resulten nulos para todo origen de coordenadas contenido por el eje de rotación. Siendo infinitas las soluciones (las mismas dependen del valor y de las posiciones de las masas que se agreguen), en los rotores se suelen tomar los dos planos transversales extremos para adicionar o extraer en ellos, las masas que se requieran. El efecto de adicionar una masa, es el mismo que el de extraer la misma masa, si la extracción se hace diametralmente opuesta a la adición y si esta no se efectúa, pudiéndose también efectuar un ‘mix’. Es conveniente entender que en un rotor, generalmente es su superficie ‘lateral’ la que presta la función para la cual fue diseñado (superficie de trabajo o de servicio) y que las superficies ‘frontales’, inevitablemente necesarias (proporcionan ‘estructura’), no prestan ninguna función y que por lo tanto, sobre dichas superficies se puede adicionar / extraer masa al / del rotor.

BALANCEO ‘ANALÍTICO’ Sea el caso que se representa en la FIGURA 06 siguiente página de tres masas dispuestas en el espacio como muestran ambas vistas de las mismas y que deberán ser balanceadas analíticamente, adicionando o quitando masas en los planos A y B transversales al eje de rotación.

X,YO

CM

ω

Z

m2

m1b m1

m2b

Figura 05X,Y

O

CM

m1

ω

Z

m2

Figura 04

Balanceo Rotores Rígidos -- Página 15 de 22 ‘Reduciendo’ (masas equivalentes) las masas m1, m2 y m3, a los planos A y B, resultan: en el plano A las masas ‘reducidas’ m1a, m2a y m3a y en el plano B, las masas ‘reducidas’ m1b, m2b y m3b, siendo las mismas y con i = 1, 2, 3:

mi * bi mi * ai mia = ---------- ;;;;;;;; mib = ----------

c c Siendo Ri los respectivos vectores posición en planos XY (transversales al eje de rotación) se pueden determinar los centros de masa de las masas ‘reducidas’ en ambos planos, resultando sus vectores posición Rcm como sigue:

b2

AB

a1b1

a2Y

ca3

ωm

1m

2

Z

b3

m3

m2

R1

X

m3

R2

R3

Figu

ra 0

6


→ →

→ Σ Ri * mia → Σ Ri * mib Rcma = -------------------- ;;;; Rcmb = --------------------

Σ mia Σ mib De donde entonces y resultando equivalente, por ejemplo en el plano A, la masa ‘reducida’ total m1a + m2a + m3a aplicada en el extremo del vector Rcma, para ‘balancear’ dicho plano será necesario agregar masas de balanceo mba en los extremos de los vectores particulares Rba tal que:

→ → →

Σ mba * Rba = -- (Σ mia) * Rcma = -- Σ Ri * mia

En el plano B y análogamente, resultará:

→ → →

Σ mbb * Rbb = -- (Σ mib) * Rcmb = -- Σ Ri * mib Procediendo así, los nuevos centros de masas ‘reducidos’ de los planos A y B se ubican en el eje de rotación, colocándose también el nuevo centro de masas ‘integral’ en el mismo eje. Así las cosas, una vez balanceado el rotor, cualquier par de planos transversales al eje de rotación que se consideren y a los cuales se reducen todas las masas existentes, los centros de masas ‘reducidos’ de dichos planos estarán contenidos por el eje de rotación. En el caso de que todas las masas estén contenidas por un único plano (situación corporalmente imposible), será suficiente balancear en dicho plano sin tener por que utilizar dos y sin que no se pueda hacer así.

EJES PRINCIPALES DE INERCIA BARICÉNTRICOS Siendo entonces que con la nulidad de Ixz e Iyz resultan nulos los momentos flectores Mx y My, el vector momento cinético L = Lz resulta paralelo al eje de rotación y de existir aceleración angular, ‘proviene’ un momento torsor Mz = Mf a como seguidamente se formula

→ → → →

L = Lz = k * Izz * ω ;;;;;; Mf = Mz = k * Izz * Aa se denominan EJES PRINCIPALES DE INERCIA BARICÉNTRICOS de un rotor, en un principio concebido el mismo como rígido, esto es, absolutamente indeformable ante la acción de cualquier carga incluido su propio peso, a aquellos ejes que conteniendo al centro de masa del rotor y que puesto el rotor a rotar alrededor de ellos, el vector momento cinético L resulta paralelo al vector rotación ω.

En tal caso L solo cambia de magnitud y a como lo hace ω, si existe un momento torsor específico que acelera positiva o negativamente el rotor, se reitera, no variándose la dirección de L. Conforme a lo visto, se deduce que los ejes principales de inercia baricéntricos contienen al centro de masas ‘integral’ y a los ‘reducidos’ que se obtienen en dos planos cualesquiera, no coincidentes y transversales al eje de rotación, a los cuales se deben reducir todas las masas existentes.

PROPIEDADES EJES PRINCIPALES DE INERCIA BARICÉNTRICOS

Balanceo Rotores Rígidos -- Página 17 de 22 Sea ahora una figura plana de área total A como la de la Figura 07 siguiente donde el centro areolar CA (a como el centro de masas en un cuerpo) de la misma coincide con un centro O de ejes coordenados XZ y en donde:

γ'a

Figura 07

Pa

O

γa

Z' Z

Xa

Za

X

dA

X'

CA

ϕ

dA = Elemento diferencial de área orientado al ángulo γa respecto al eje Z

→

Pa = Vector posición elemento diferencial de área dA

⌠ →

⎮ Pa * dA

⌡ A

Por definición centro areolar (centro de masas): ---------------------- = 0 A

con Izz = Momento areolar monoaxial respecto al eje ZZ

(a como el momento másico monoaxial de un cuerpo)

⌠ ⎫

Izz = ⎮ Xa^2 * dA ⎪ ⌠

⌡ A ⎬ Izz = ⎮ Pa^2 * (sen(γa))^2 * dA ⎪ ⌡ A

Xa = Pa * sen(γa) ⎭

Rotando ahora el par XZ (par X’Z’) un valor ϕ de manera tal que γ’a = γa + ϕ, resulta un cambio de valor para Izz (Iz’z’), de manera tal que:

⌠ ⌠

Iz’z’ = ⎮ Pa^2 * (sen(γ’a))^2 * dA = ⎮ Pa^2 * (sen(γa + ϕ))^2 * dA ⌡ A ⌡ A

Siendo que Pa no cambia de valor con la rotación del par, se puede escribir que:


δIz’z’ ⌠ δ(sen(γa + ϕ))^2

------ = ⎮ Pa^2 * ---------------------- * dA δϕ ⌡ A δϕ

δIz’z’ ⌠ δ(γa + ϕ)

------ = ⎮ 2 * Pa^2 * sen(γa + ϕ) * cos(γm + ϕ) * ------------ * dA δϕ ⌡ A δϕ

Por no ser γa (γ’a) lo que es variable y siendo γ’a = γa + ϕ

δIz’z’ ⌠ δϕ

------ = ⎮ 2 * Pa^2 * sen(γ’a) * cos(γ’a) * ---- * dA δϕ ⌡ A δϕ

δIz’z’ ⌠

------ = 2 * ⎮ Pa^2 * sen(γ’a) * cos(γ’a) * dA δϕ ⌡ A

Siendo: X’a = Pa * sen(γ’a) ;;;; Z’a = Pa * cos(γ’a)

y con Ix’z’ = Momento areolar biaxial respecto ejes X’Z’ (a como el momento másico biaxial en un cuerpo)

⌠ ⌠

Ix’z’ = ⎮ (X’a * Za * dA = ⎮ Pa^2 * sen(γ’a) * cos(γ’a) * dA ⌡ A ⌡ A

δIz’z’ δIz’z’

Comparando ahora ------ con Ix’z’ ⇒ ------ = 2 * Ix’z’ δϕ δϕ

δ(Iz’z’)

-------- = 0 ⇔ Ix’z’ = 0 δϕ

de donde entonces cuando el momento areolar biaxial Ix’z’ resulta nulo (al menos sobre ejes baricéntricos), el momento areolar monoaxial Iz’z’ resulta máximo o mínimo, luego los ejes principales areolares baricéntricos verifican los máximos y / o mínimos momentos areolares monoaxiales respecto a los que verifican todos los ejes baricéntricos. Habiéndose obtenido la conclusión con el eje Z’, a la misma conclusión se hubiera llegado si el análisis se hubiera realizado sobre el eje X’, de donde los ejes principales areolares baricéntricos resultan a 90º entre si, uno de ellos verifica el máximo momento areolar monoaxial y el otro el mínimo y el momento areolar biaxial Ix´z’ sobre los mismos es nulo.

Balanceo Rotores Rígidos -- Página 19 de 22 Extrapolando las conclusiones obtenidas a un cuerpo, en todo cuerpo existen al menos tres ejes principales de inercia baricéntricos mutuamente perpendiculares entre si y con momento másico monoaxial máximo, mínimo o intermedio entre ambos y momento másico biaxial nulo sobre los tres pares de ejes que con ellos se pueden formar: Ixy = Ixz = Iyz = 0 Tal vez venga bien aclarar que siendo que dos ejes principales de inercia baricéntricos forman un plano, de entre los dos y de modo relativo y entre si, uno resulta con momento másico monoaxial máximo y el otro con momento másico monoaxial mínimo.

XCM

ZY

Figura 08

Por ejemplo, un prisma rígido, geométricamente ‘perfecto’ y de densidad uniforme, como el mostrado en la Figura 08 anterior, tiene únicamente tres ejes principales de inercia baricéntricos, X Y Z, mutuamente perpendiculares entre sí. Un cilindro rígido, geométricamente ‘perfecto’ y de densidad uniforme, tiene infinitos ejes principales de inercia baricéntricos: uno longitudinal e infinitos diametrales, todos ellos conteniendo al centro de masa y con todos los diametrales con el mismo valor para el momento másico monoaxial respectivo. Una esfera rígida, geométricamente ‘perfecta’ y de densidad uniforme, posee infinitos ejes principales de inercia baricéntricos, todos con el mismo y único momento másico monoaxial, no existiendo ningún eje baricéntrico que no sea principal de inercia.

MÁQUINAS DE BALANCEAR CON LÁMPARA ESTREBOSCÓPICA

Supuesto un rotor con una ‘punta de eje’ en cada uno de sus extremos y con ambos planos frontales perpendiculares a su eje de rotación, se hace rotar al mismo con uno de sus cojinetes - soporte fijo y el otro ‘flotante horizontal’ y consecuentemente pasible de ser desplazado en la misma dirección.

De estar balanceado el rotor, no se generan momentos flectores (recuérdese el carácter senoidal - cosenoidal de sus componentes) y en consecuencia el soporte flotante no sufrirá desplazamiento alguno.

No estando balanceado el rotor, se generan momentos flectores y el soporte flotante vibrará en la dirección (horizontal) que le es permitida, con una frecuencia igual a la velocidad rotacional del rotor y con una cierta amplitud pasible de ser registrada. Realizando una cantidad n de divisiones angulares en el frente ‘flotante’ del rotor e identificando dichas divisiones, por ejemplo con una serie numérica, e

Balanceo Rotores Rígidos -- Página 20 de 22 iluminando dicho frente con una lámpara estroboscópica sincronizada con la rotación del rotor (la misma se enciende y apaga con la ‘frecuencia’ de rotación de rotor y por ende con la de la vibración del soporte flotante), la serie numérica mencionada se verá en una sola posición y a la frecuencia de rotación del rotor. Trazando un gráfico circular (Figura 09 siguiente) de radio vector proporcional a la amplitud de la vibración observada y dividiendo dicho círculo en tantas divisiones angulares como se hizo en el rotor, se puede trazar en el círculo, una posición de referencia del vector desbalanceo observado, acorde a lo que se ve con la lámpara estroboscópica y a llamar D1.

Adicionando ahora una masa mp, a llamar ‘masa de prueba’ y a un ‘radio de prueba’ rp, en el frente en estudio del rotor, la amplitud de la vibración cambia de valor (desbalanceo agregado positiva o negativamente por la masa de prueba) y la serie numérica en el rotor resulta de ser vista en otra posición, por lo que en el gráfico corresponderá un nuevo valor y una nueva posición para el nuevo vector desbalanceo.

→

Llamando al nuevo vector de desbalanceo D2, el vector desbalanceo

→

introducido Dp con la masa de prueba mp, será la diferencia vectorial entre

Angulo entrela dirección de la masa de prueba yla dirección de la masa de balanceo

05

04

09

-D1

10

11

08

DpD2

07

06

15

12

13

14

03

00

D102

01

Figura 09


→ → → → → los vectores D2 y D1, tal que: D2 = D1 + Dp

→ → → → →

los vectores D2 y D1, tal que: D2 = D1 + Dp

→ → →

De haber sido Dp = -- D1 ;; D2 hubiera sido nulo y el rotor, del lado

estudiado al menos, estaría balanceado. Luego, si mb (masa de balanceo) es la masa que corresponde colocar al radio rb, se tiene que y retirando la masa de prueba mp, colocar la masa de balanceo mb sobre una circunferencia de radio rb, tal que:

Dp mp * rp D1

---- = ------------- ⇒ mb * rb = ---- * mp * rp D1 mb * rb Dp

Falta saber la dirección en la cual debe ser colocado mb: dicha dirección posee una diferencia angular con respecto a la fijada por mp, como la que existe en el gráfico entre Dp y -- D1, conforme al sentido de rotación del rotor.

Finalmente corresponde dar ‘vuelta’ el rotor y trabajar el frente opuesto, repitiendo el proceso varias veces (proceso pendular) hasta fijar el desbalanceo dentro de las tolerancias permitidas. Nota 01: Siendo las vibraciones proporcionales a los cuadrados de las velocidades angulares, resultará de balancear con las tolerancias de balanceo y requerida para el funcionamiento, inversamente proporcionales a los cuadrados de las velocidad de balanceo y de funcionamiento.

Tolerancia de balanceo (Velocidad de balanceo)^2 ----------------------------------------- = --------------------------------------------Tolerancia de funcionamiento (Velocidad de funcionamiento)^2

Nota 02: Siendo que con aceleración la velocidad angular cambia de valor, no sería factible balancear con aceleración, debido a la posible imposibilidad de trabajar con valores variables de la amplitud de la vibración causada por el desbalanceo inherente. Nota 03: El tema se ha desarrollado supuesto ‘indeformable (rígido)’ el elemento a balancear y sobre dicha base deben conceptuarse las conclusiones obtenidas y las definiciones pertinentes. Como es bien sabido, ningún cuerpo ante la acción de las cargas que lo soliciten, resulta rígido. Conforme el material con que están construidos (módulos E y G finitos) y a como están dimensionados, algunos resultan más rígidos (menos flexibles) que otros. Las flexiones producidas por cargas exteriores como así también por el propio peso aparentemente no desbalancean los rotores, dado que las cargas flexionantes, de resultar constantes las mismas como magnitud vectorial, no hacen vibrar los vínculos. Lo que si provocan dichas flexiones es el ‘centrifugado’ del ‘eje árbol’ soporte del rotor y esta cuestión resulta de estudiarse en lo que da en llamarse velocidad crítica tratado el tema de manera simple y vibraciones mecánicas de manera mas compleja y certera. Tal vez sea de conceptuar en este caso, ‘ejes principales de inercia y eje de rotación curvilíneos’.

Balanceo Rotores Rígidos -- Página 22 de 22 Así también resulta con la torsión que se manifiesta cuando el rotor transmite potencia. Aquí resulta una modificación de la distribución de masa a lo largo del rotor, dado el ángulo de torsión que manifiestan las secciones transversales inmediatamente vecinas entre si. En el caso del cigüeñal de los motores de combustión interna como en el de los compresores de gases alternativos y de mas de un cilindro, los muñones de biela pueden presentar entre si y respecto a los muñones de bancada, torsiones de igual o distinto signo y con seguridad de distinto valor absoluto, conforme es el instante de la marcha que se considere. Otro tanto sucede con las fuerzas axiales exteriores, existentes por ejemplo en la transmisión de potencia mecánica mediante engranes helicoidales y en el caso de los ‘ejes árboles’ verticales donde el peso de los elementos que posea acoplados como el propio modifica la distribución de masa. Cuando mas rigidez presenta un rotor y de haber sido balanceado el mismo sin carga alguna, menos desbalanceado funcionará y la solución de su desbalanceo resulta mas sencilla y el problema del balanceo menos indeterminado. Nota 04: Conforme se ha expuesto, cuando se desbalancea o balancea un rotor por el agregado de una masa en el frente ‘flotante’, la lámpara estroboscópica que ilumina dicho frente muestra al mismo en otra posición. Tal hecho resulta fácil de comprender si se piensa en un disco sin masa al cual se le agrega una masa en una determinada posición no coincidente con el eje de rotación. La lámpara iluminará el disco cuando la masa agregada se encuentre en uno de los extremos de la oscilación que el disco manifiesta por el desbalanceo resultante y conforme es la dirección de desplazamiento que se le permite. Cuando se cambia de lugar la masa, la lámpara evidentemente mostrará otra posición del disco, esto es, conforme es la nueva posición de la masa respecto al disco a como en la primer oportunidad.

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Balanceo de rotores