Upload
ulrich-agner
View
153
Download
9
Embed Size (px)
Citation preview
Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen
1. Arithmetische Grundvorstellungen - Begriffsbildung2. Grundvorstellungen von Zahlen und Zahlenräumen 2.1. Zahlaspekte 2.2 Zahldarstellung in Lernmaterialien3. Grundvorstellungen zu Addition und Subtraktion 3.1. Aufbau von Operationsverständnis 3.2. Ausbau flexibler Rechenkompetenzen 3.3. Schulung effektiver Rechenkompetenzen 3.4. Rechnen in erweiterten Zahlbereichen4. Grundvorstellungen zu Multiplikation und Division 4.1. Aufbau von Operationsverständnis 4.2. Ausbau flexibler Rechenkompetenzen (4.3. Schulung effektiver Rechenkompetenzen 4.4. Rechnen in erweiterten Zahlbereichen) 5. Aufbau von Arithmetischen Grundvorstellungen 5.1. Aufgabenkultur 5.2. Integration verschiedener Grundvorstellungen
Grundvorstellung - Begriffsbestimmung
Erweiterte und modifizierte Beschreibung
Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen - Unterrichtskultur
förderlich für operatives Handeln
mentale (visuelle) Repräsentation
durch sinnstiftende Lernerfahrungen
integrationsfähig
tragfähig
Grundvorstellung
liegt dem systematischen mathematischen Handeln zugrunde
bedeutungsvoll
ausbaufähig
Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen – UnterrichtskulturGrundvorstellung: - Mentale oder visuelle Repräsentation- sinn- und bedeutungsvoll
Prinzip vom Intermodalen Transfer:Lernerfahrungen sollen so angelegt sein, dass auf Dauerdie Übertragung zwischen allen drei Repräsentationsmodi möglich ist.
E-I-S-Prinzip (J.S. Bruner 1972)Lernerfahrungen müssen sowohl auf der enaktiven wie auf der ikonischen als auch auf der symbolischen Ebene angesiedelt sein.
Terme und Rechenhandlungen regelmäßig interpretieren
Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen – UnterrichtskulturGrundvorstellung: - Offen und förderlich für operatives Handeln
Kennzeichen kognitiver Gruppierungen:- Kompositionsfähigkeit- Assoziativität- Reversibilität- Identität
Operatives Prinzip (H. Aebli 1963)Die aus konkreten Lernhandlungen (durch Verinnerlichung) erworbenen mentalen Operationen sollen sich in Gruppierungen organisieren
Konkrete Rechenhandlungen in systematischen Zusammenhang einbetten: - Nachbaraufgaben - Umwegaufgaben- Umkehraufgaben- Ergebnisgleiche Aufgaben
jeweils anschaulich interpretieren
Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen – UnterrichtskulturGrundvorstellung: - Tragfähig für größere Aufgabenbereiche
speziell: Generalisierende VariationDamit die Allgemeingültigkeit einer mathematischen Regel (einer Formel, eines Verfahrens) erkennbar wird, muss ausgehend von einfachen Beispielen ein beliebig fortsetzbares Netz von Erfahrungen entstehen.
Was passiert, wenn ...?
Prinzip der mathematischen Variation (Z.P. Dienes 1970)Damit es beim Schüler zur Bildung eines Begriffes (Verfahrens ..) kommt, müssen genügend variierte repräsentative Beispiele vorliegen.
speziell: Funktionale VariationDamit die Wirkung einer mathematischen Zuordnung deutlich wird, müssen die Eingaben systematisch variiert werden.
Was passiert, wenn ...?
Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen – UnterrichtskulturGrundvorstellung: - Ausbaufähig bei Erweiterungen des Zahlenraumes
Welche Vorstellungen haben wir bei „einfacheren“ Beispielen ?
Die Behandlung eines Wissensgebietes soll so erfolgen, dass auf höherem Niveau ein Ausbau möglich wird
Die Behandlung eines Wissensgebietes ist nicht aufzuschieben, bis sie abschließend möglich erscheint
Spiralprinzip (Bruner 1972)
Prinzip des vorwegnehmenden Lernens
Prinzip der Fortsetzbarkeit
Ausbau der „digitalen“ Grundvorstellung
Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen
Produkt großer Zahlen
3
6 3 0
1 02
5
6
18
+4 0 2 4 6 4
4 8
1 6+
Einmaleins
27
34
4E
2Z 6H
7E
3Z
8Z
4E
2Z6H
7E
3Z
8Z
Ausbau der „digitalen“ Grundvorstellung
Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen
Deutung
Diese Vorstellung ermöglicht auf allen Ebenen wichtige (arithmetische)Erfahrungen zur Multiplikation
2,7
3,4
.2 ,7 3,4. 1= (27 34) 100
.
.
51= (13 11) 4 5
. 114
134
13
511
. .
Brüche
52
43
43
4von 3
52
Dezimal-brüche
Die systematische Bestimmung von Flächeninhalten ist Grundvorstellung für die systematische Berechnung von Produkten.
Ausbau der „analogen“ Grundvorstellung
Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen
- Teilen
Multiplikation als Operation mit Skalen
a) Vervielfachen mit Skalen1m al 2m al 3m al 4m al 5m al ...
1 4 7 10 13 162 5 8 11 14 173 6 9 12 15M aßzahl-S kala
Zähl-Skala
ab b
Zähl-Skala
M aßzahl-S kala
1
.
a
b) Umkehrungen: Division
- Messenb
M aßzahl-S kalac
c:bZähl-Skala
1
1
aZähl-Skala
M aßzahl-S kalacb :a
1
Ausbau der „analogen“ Grundvorstellung
Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen
Brüche
c) Dezimalbrüche
d) Rationale Zahlen
2,3
1
.
3,72
1
1 2 3
.
3/4
2/5
0 1-1-2-4-5-6 2 3 4 5
12 -1 -20
.-3
Ausbau der Grundvorstellung „proportional“
Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen
b) Vervielfachung mit großen Zahlen
.1 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0
.1 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0
a) Vervielfachung des Zahlenraumes – analoge Skalen
.10
Ausbau der Grundvorstellung „proportional“
Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen
d) Proportionale Zuordnung
c) Division als direkte Umkehroperation
Der Multiplikation (Division) mit Größen entspricht als Grundvorstellung die proportionale Zuordnung mit der Doppelskala als Visualisierung.Diese Grundvorstellung ermöglicht auf allen Ebenen wesentliche Einsichten in die Auswirkung der Multiplikation auf Größenordnungen.
E uro
C H F r
Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen – UnterrichtskulturGrundvorstellung: - Integrationsfähig in arithmetisches Gesamtkonzept
Kannst Du die Aufgabe auch anders darstellen? Was ändert sich, was bleibt gleich?
Prinzip der Variation der Veranschaulichung
Um bei der Begriffsbildung individuelle Zugänge und das Erfassen des mathematischen Kerns zu fördern, muss die begriffliche Struktur in möglichst vielen repräsentativen
Veranschaulichungen geboten werden
Grundvorstellungen - Perspektiven
Erweiterte und modifizierte Beschreibung
Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen
förderlich für operatives Handeln
mentale (visuelle) Repräsentation
durch sinnstiftende Lernerfahrungen
integrationsfähig
tragfähig
Grundvorstellungen werden nur wirksam, wenn sie kontinuierlich genutzt und regelmäßig evaluiert werden
bedeutungsvoll
ausbaufähig