BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO THEO CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT TẬP 1 TỔ HỢP, XÁC SUẤT VÀ SỐ PHỨC - PHAN HUY KHẢI (TRÍCH ĐOẠN)

8/9/2019 BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO THEO CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT TẬP 1 TỔ HỢP, XÁC SUẤT VÀ SỐ PHỨC - PHAN HUY KHẢI (TRÍCH ĐOẠN)

1/82


2/82

Công ty CP Sách Giáo dục tại TP Hà Nội - Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam giữ quyền công bọ tức phẩm

27-2011/CXB/63-2126/GD Mã số : C3T13S1 -TTS

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú


3/82

l ờ i n ó i đ ầ u

phổ ĩhông hiện nay. Bộ sách nàỵ cũng có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên trong giỏng đợy bộ môn Toán. \

Nội dung sách gôm các bài tập cff bàn và nâng cao theo từng chuyên đề toán THPT, được viết theo

trình tự sau:- Tóm tắt lí thuyết 1- Cácdạng bài tập cơ bản- Các dạng bài tập nâng cao- Bãi tập tự ôn

Cuổi mỗi chuyên để là hoi bài kiểm ừũ 1tiết nhằm đánh giá sựtìếp thu của các bạn học sinh về các kiến thức đã trình bày trong chuyên đề đó. *

Việc trình bày tách biệt hai íoại bài tập nhằm giúp các bạn học sinh trước hết cũng cố lại tất cỗ các kiến thức cơ bản và nơm thật vững líứìuyếtữongphần "bại tập oữbản", rốiSơuđó-dân nâng cao nãng lực tư duy của mình trong phân "bài tập nâng cao".

Bài. tập tự ôn luyện (có kèm theo đáp số và hướng dẫn giỏi khi cần thiết) úp các bạn tự đánh giá nâng Ịực đa mình sau mỗi phần học.

Nội dung của cuốn "ĩổ hợp, xác suất và số phức"được ữình bày ừong bo chương. .

Giương. I Đại số tổ hợp , bao gổm ba chuyên đề:

Chuyên đề 1 "Hoán vị, chỉnh hợp, tổhợp"

Chuyên đề 2 "Cóc bài toan về phép đếm"

Chuyên đề 3 "Nhị thức Newton" Chương II Xác suất, gốm một chuyên để, là íên của chương.

Chương Hi số phức, bao gồm bũ chuyên đề:

ơìuỵên đề 1"Sốphức"

Chuyên đề 2 Xôn bậc hai của số phức và phươnạ ừình bộc hai"

Chuyên đề3 "Dạng lượng giáccỏasốphức và áp dọng"



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




4/82

Với cách trình bày mới mẻ cùng vái nội đung phong phú, hỉ vọng rằng cuốn sách này sẽ đáp ứng được nhtcầụcủơ các đổitượng học sinh vàcác thây cô giáo ở nhàtrtíờng phổ thông.

. Mặc dáu râĩ nghiêm túc ứong quá ữình biên scạn với hĩ vọng cuón sách thật hoơn mĩ, nlìứng do dunglượng lớn của chương trình môn học, châc chân rông,cuốn sáchkhông:thfĩránhkhộinhững khiếmkhuyếChúng toi rất vui lòng chờ đón những ý kiến đóng gópxỏa cácbạnáộc giàrâểcaốn sách tổĩ hơn trong những

ỉâníái bân tiếp thẻo. / ’ I .Thư từ gộp ý xin gửi theo địa chỉ:

Cống ty Co phần Sấdĩ giáơ dục tậi thành phố Hă Nội '

ĩ 4/3 Nguyễn Khánh Toàn - phường Quan Hoũ - quận Cồu Giấy - ĩp. Hà /Vợ/.

Tác gỉá xỉn chân thành cảm ơn.

Hà Nộị những ngày giáp Tết Tán Mão

. ĩ. '.V. c~. Tác giả



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




5/82

C h ư ơ Ỉ1 g I

ĐẬ1 SỘ TO HOP•O' 9

Chưyénđẻ 1. HOÁN VỊ, CHỈNH ỈĨỢP, Tổ HỢP1. TÓM TẮT ự THUYẾT

a) tìọán yị 7

Cho tập hợp: A gồm n phần tử (ị ị > 1). Kill sắp xếp n phần tử nấy theo một thứtự nào đó, ta được' một hoằn vị các phần tử cũa tập hợp A.

Số tất cả các hoán vị của íập hợp A sẽ kí hiệu là Pn .

Ta có Pn = n!, ở đay n! = 1.2....n. ~b) Chỉnh hợp

r . Cho tập.hơp Ạ gồm n phần tử (n > 1) và S.Ốnguyên k với 0 < k < Ĩ1. Khi lấyra k phần tử của tạp hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnhhợp chập k của n phần tử của A.

Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n sẽ kí hiệu là a {J .

b n!

Ta co Aq = — —— , vói quy ựóc 0! = I.(n - k)! . . .

c) Tổ hợp

Cho tập hợp A gồm n phầri tử(n > ỉ). Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A(0 < k < n), được gọi là một tổ hợp chập của n phần íử:eủa A.

2 lcSố tất cả các tổ hợp chập k của Rsẽ kí hiệu ỉà .

n!Ta có C* =

n (n-k) !k!Vài tính chất của các số tổ hợp, số chỉnh hợp và số hoán vị :

• A Ỉ = k ! C £ .

® = 1'-'n '-'n - 1-

5



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




6/82

• = cị j k, với mọi 0 < k < n, n nguyên dương, k nguyên không âm.

• cịj+1 = + 'c£ -1 , vói mọi 1 < k < n, k, n nguyên.

Đ ề phânbìệĩ chỉnh họp vàlổỳiợp tạ cần lưu ý đêh nhận xét sau :

- Chỉnh hợp lặ cách chọn k phần từ trong n phần tử-mà “quaí t̂âm.’-- đên.ứiứsắp xếp. . ............

- Tổ hợp là cách chọn k phần tử trong n phần tử mà “không quan tẩm” đthứ tự sắp xếp.

Việc phân biột đúng lúc nàỗ dẫy chỉnỊlhơp, lúc nậò dắytố%ơp là rất qutrọng. Nếu chọn nhầin cách àứ dụng, kết quả phepiưốv (S ạhu:ên;§ệ 'hoạịi tòàa k h

2. CÁC DẠNG BÀI TẬP Cơ BẢN

LOẠI 1. Các bài tập tính giá trị của các biểu thức có chưa cẳc đlựợng về số chinh hợp, số tổ hợp, số hoán v ị

Phương pháp giải : Để tính được' giẩ trị củá các biểu thức riàỷ chỉ cần thu

các công thức tíhh Pn, A„, c „ và thực hiện thành thạo các .phép tính về biến đ

phân thức đại số.

Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức

■3 5! 5! 2 Ỉ3 4 5a Ị = = 21 = = 60

5 ( 5 - 3 ) ! 2! - 2 Ị

P6 = 6 ! - . 1.2 .3.44 -6 = 720.

T O đ 6 s = H i M - 2 .720 4

Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức

5 - a 6 + 3A§p6

. Giải .

s = Cg + 2C 7 -í- 2Cg 4- C ạ .

6



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




7/82

.Giải .

nlẬp dụng công thức Cq = — —, tạ có• ’• : (n - k )!:k ! : :v .

- : 6! _ 71 8-í - 9! 5.6 ỉ ^ - o ' 8.9 — - *S'—~ + 2 ——” +■2 ••-—'• ’. ■+ 6.7 + 7.8 *r-—■"— :r ■ 4!2! 5Ĩ2! 6!2! 7 !2 ! 2 ' - ' . 2 - ■

= 15 + 42 + 56 + 36 = 149. V : r:

Ví dụ 3. Cho,ham so-f(x) =;:C ^J ^Ììm ..Ị Ịĩ^ ền xác định'' và miền'giá tộ của\

’ Giẩi •

hàm số f(x).

. Hàni sô̂ f(x). xáọ:^nh ỉ^ ;.hê sảu đây thoả mận : -V’̂ ;

X+ 1 > 00 < 2x “ 8 < X+ 1

X€ z

X> -14 < X< 9 X= 4, 5,6,7,8,9 (ở đây Jj là tập cácXe z

số nguyên).

Vậy tập xác định của hàm số f(x) là {4‘; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}, đo đó miền giá trị

của hàm sốf(x) là Ịc ^ ; Cg ; C7 ; Cg ; c | ; c]o) •'

6!4Ỉ21 ~ 2

Tacóngaỳ = cỊg = 1, còn c ị = = ^ệ- = 15 ;

r l - 7!V-7 = -----' 3! 4! 5 ^ 2 = 35 ; c | = 4 L = H = 2 8 ; C l = ^ T2.3 * 216! 2 y 8!1! = 9Vậy miền giá trị của hàm số f(x) là {1 ; 9 ; 15 ; 28 ; 35}. V

Ví dụ 4. Cho ]

trị của hàm số f(x).Ví dụ 4. Cho hám số f(x) = C x+2 + C3 ^ Tìrrí miền xác định và miền giá

Giải

Hàm số f(x) xác định khi hệ sau đây thoả mãn :

X+ 1> 0X+ 2 > 0 X> -ỉX+ 2 ề X+ 1 X> 1

«X- 1> 0 X< 4X- I < 3 XGZX


8/82

Vậy miền xác định của hàm số là D = {1 ; 2 ; 3 ; 4}.

Miền giá trị của hàm số là {f(l) ; f(2 ); f(3 ); f(4)}.

Tacó f(l) = c f + d Ị = 3 + 1 = 4 ;

f(2) = c | + c ị = 4 + 3 = 7 ;

f(3) = Cj + cf ••5 • 3 8 : _ 'f(4) - c ị r ộ j = 6 + 1 = 7 .' ..: t : - : ■- : '

Ị>0 đó miện giá trị của hàm số là {4 ; 7 ; 8 }.

2 f ị—Ví dụ 5. Tính giá trị của i>iểu thức Q = ■n -----:— T 7 , với n được xấc định

:̂ n V- -•y-in+l ọ

hệ thức •

" c 2n+l Giải

pn+I ọ ‘Xét hé thức _2n;- = —. -- •••••-(

r n_1 3

Rõ ràng ta cần có n nguyên và n - 1 > 0 (tức Ĩ1 > 1). Khi đó

^ (2n)!(n + 2)?(n - 1)! 2 o n + 2 _ 2 - ■

(n - l)!(n +.Ị)!(2n + 1)1 .3 _ , 2n + L 3

o 3n + 6 - 4n“ + 2 n = 4.“

a | \ / i S - / 4 4 :v'Ĩ6 ; .Khi n=4, tacó Q = - _- — = — = 4 . 7 -

p4 4! • • > • -

A 12 - u A I I Á;Ỉ9 U- A 9Ví dụ 6. Tính giá trị biểu thức s = 49 „.49 - 17 - 17

A1.0 ' ' Ạ ?'a 49 a Ĩ7,;■■■■ - Giải

k n*Ap đung công thức = 7 — —— , ta có■ - ■ . (n — kM

49! 49! 17! 17!

s = i ĩ i l M , 7: ‘ s: = 39!3Ị + Ỉ _ 9 !i ± ỉ = 392 - 92 = 1440.49! 17!. 38! . .8 !



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




9/82

A.Ẽ + AẼVí dụ 7. I. Rót gọn biểu thức Sn = —°—-——với n > 6 .

.. - : A4 ...... - -■■■■■•

2. Tính s 1004.

Giải ■

1. Ta c ó : A* = - n!— = n(n - lXn - 2 ).,.. (n - k + 1). ■( r i - k ) ! •

s , n(n - í)(-n - 2)(n - 3 )( n - 4)(n - 5) + n(n - l)(n - 2)(n - 3)(n - 4)

n n(n ~ l)(n - 2)(n - 3)

n(n - l)(n - 2)(n - 3)[(n - 5)-HU - ( _ 4)2: f n(n - l)(n - 2)(n.- 3) . ;

2. Áp dụng : Khi n = 1004, thì S1ỌQ4 = 10002 = 1000000.

LOẠI 2. Giải ph ư ơn g trình , bấ t phư ơng trình liên quán đến số chỉnh ; hợp, số tổ họp và h oán vị

Phương pháp giải : Để giải các bài toán thuộc loại này, ta tiến hành theo các bước sau đấy-r --

V - Đặt điều kiện để'-bất phươHg trình, phương trình có nghĩa. Ngoài các điều•kiện bình thường đối với một phưong tành, bất phương tììíừi nói churig, cần đặc biệt

lưu ý các điều kiện sau nói về sự tồn tại các số tổ hợp, số chỉnh hợp,-Số hoán vị. Cụthể A^,Cg,Pn có nghĩa khi n nguyên dương, k nguyên không am và 0 < k < n.

- Sử dụng cẩc côxìg thức tmh An:,Cn,Pn để quy phương trình, bất phưcmg

triph ban đầu về các phương trình, bất phương trình đại số quen thuộc.

- Đối chiếu với điều kiện đặt ra ở bưóc 1 (cần đặc biệt lưu ý các điều kiện vềtính nguyên của nghiệm) để lộại bo bổt các nghiệm ngoại lai.

Ví dụ I. Giải phương trình 2Pn 4-6A„ - PnA„ =12.

- Ọìảỉ

Xét phương.trình 2Pn„+ 6Afl - PnA„ = 12. (Ị)

Điều kiện để (ĩ ) có nghĩa là n > 2, n e z . (2)

(ở đây % là tập hợp các số nguyên).9



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




10/82


11/82


12/82


13/82

1 +

(x - .8) ̂ 9

- 9 )

X - 8 = 3

o (x - 8)(x - 9) + (X - 8) - 9

X- 8 = - 3

Vậ y (.1) có ngh iêm d uy n hấ l X = 11.

4) Xét phương trình PxAx + 72 = 6(Àỵ + 2PX).

Điều kiện để (1) có nghĩa là : X > 2, x e z. •

X= 11

X = 5 (loại dp x.> 10).

Ta có (!) x! x! + 72 = 6 ■XI .

+ 2.XỈ (X - 2)! v ự x . - 2 ) !

x!x!+ 72(x - 2)! = ốx!+ 12x!(x - 2)!

x!(x! -6

) - i2

(x! -2

)(x! -6

) =0

( x ! - 6)(x - 2)![(x - l)x - 12] = 0

(x!- 6)(x - 2)!.(x2 - X - 12) = 0-

Do X> 2 => (x —2)! > 0 nên

(2) (x!- ốXx2 - X- 12) = 0 . ‘ ■

X = 4

X - X— 12 = 0

xí = 6 = 3! X - - 3 . (loại do X> 2)X = 3.

Vậy (1) có các nghiệmX = 3

X = 4.

,1Ví dụ 5. Giải phương trình cjj + 6C„ + 6C„ = 9n2 - 14n.

. ■' Giải

Xét phương trinh C* + 6cịj + 6C„ = 9n2 - 14n.Điều kiện để (1) có nghĩa làn > 3,n e z .

Ta có (1) C2>n! ní

+ 6-nl

(n - 1)!1! (n - 2)12! (n - 3)!3!

n + 3n(n - 1) + (n - 2)(n - ỉ)n - n(9n - 14).

= 9n2 - Ỉ4n

(ỉ)

(2)

( ỉ )

'(2)

(3)

13



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




14/82


15/82

Ta có (I) O '- ——— ■•+2-——— < 9n(n - 3)! (n - 2)121

(n - 2)(n - l)n + (n - l)n < 9n. (3)

Vì n > 3nên (3) (n - 2)(n -1 ) + n - 1 - 9 < ồ

n2 - 2n - 8 < 0 -2 < n < 4» ...=í-v (4)

Từ (2) (4) suy ra n = 3 ; n = 4. ■ . V

Vậy (1) GÓhệ nghiệm là n = 3 và n = 4.

Ví dụ 8. Tìm số tự nhiên n thoả mân bất phương trình _ n + 2 --- — < 0.- - • - ■ ' Pn+2 ^ n - ỉ

Giải : ' -• -

Xét bất phương trình < 0 . - ' (1)Pn+2 4Pn_1

, s i n + 2 >-4 in > '2Điều kiên để (1) có nghĩa là


16/82

.'Điều kiện để (1) có nghĩa là n > 3, n € z.

(2n)! n! 6 n!Dễ thấy (1) — ---------------- ——— < — ---- — -----

2(2n - 2)! (n - 2)1 n (n - 3)!3!

(2n - l)2n

+ 10

- (n - Ị)n < (n - 2)(n -1 1 + 1 0

n(2n - 1) —n(n - I) < (n - 2)(n - 1) + 10

n2 < n2 —3n + 12 3n - 12 < 0 n < 4.

Từ (2) (3) suy ra n = 3 hoặq n = 4. , ^

Vậy (4) là tập hợp nghiệm của bất phương trình (1).

1 ........ . ' ....Ví dụ 10. Giải bất phường trình

c n—3Xét bất phương trình <

/riĩí—3c n - ĩ

A-n+1 14Pĩ

Giải

I4P-Ĩ

Điều kiện để (1) có nghĩaìà <

n - 3 > 0

n + ĩ > 4. ;

n e z

n > 3

n 42 n -t- n —42 > 0.84 - : "r - ■■■■■ ■ ■

2(n + l)n

ri > 6 ' " ’■ . : -■■■ ■■-: - ■■■■'■

n < - 7 (loại don > 3). ■' :

Vậy nghiệm của ( 1) lắ n > 6r n e, L

LOẠI 3. Chứng m inh các hệ thức về các số ch inh họ p , hoá n vị và to họ p

Phương pháp giải : Để giải cảc bài toán thuộc loại này chỉ cẩn thuộc ccông thức tính các số tổ hợp, số chỉnh hợp, số hoán, vị, các tính chất cùa các này. Dĩ nhiên cần sử đụng thành thạo các quy tắc biến đổi biểu thức đại số và c phướng pháp chứng minh :hộ thức đại số đã biết từ cấp hai-

16



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




17/82

Ví dự 1. Cho k > 2 và n là các số tự nhiên. Chứng minh rằng

. . An+k + An + k k An+k-

Giải

Biến đổi vế trái (VT) cửa đẳng thức cầTí chứng minh, ta cổ

VT = (n + *0- ■ (n + k)! .' ^ (n -h k)! | (n + k)i ;(n + k - n - 2)! (n + k - n - l ) ! (k - 2)! (k - 1)!

_ / ĩ \ ĩ í ^ ^ /-1 ,' ..k - 1 + ỉ = (n + R ) l ------------1----------- Ị —(n 4- k)ỉ—■— --------\ ( k - 2 ) ! ( k -I ) Í J ; 5 ( k - ỉ)! * -

= (n + k)!— - - —.= k 2 (n— -- = k 2A ^ = VP. -Í( k - ỉ ) ĩ k! n+k

Vậy hộ thức đã cho ỉấ đúng, (đpcm) .V

Ví-đạ 2. I) Cho n > k > 2, n, k ỉà các số tự nhiên. Chứng minh hệ thức

:.. fc(k - í)Gầ - n(n - l)cịj~2 - >;2) Cho n > k + l> 0 ,ĩ ì , k là các số tự nhiên. Chứng minh hệ thức

n c ị = (k + Ỉ)C^+Ỉ + -kcỊị.

Giải

1) Biến đổi vế phải (VP) cửa hệ thức cắn chóng minh, ta co •.

■ (n>-2)ĩ-( n - k ) ! ( k - 2 )

VP = .n(n - 1) (n - 2)1(lì - 2 —k + 2>!(k - 2 )!

= n(n - 1)

n!XI: _ n ỉk(k - 1)(n-~kjị(k - 2) ~ (n - k)!(k - 2)!k(k - 1)

= k(k - !)-n!

(n— k)!kí

2) Biến đổi vế phải, ta có

n • n ■VP = (k 4- 1)------------------------ + k ------ — -----■(n - k - l)!(k + 1)! (n - k)!k!

_ n - * . k • ~ k! (n - k - 1)! :'{n - kJVi-

= k (k -Ị )C : = VT.

_ n ! n - k + k

ki (n - k)! .

Ĩ2.rvrci2 &N5CTCĐToảnTHPT

= n-n!

- nCL = .VT::(n - k ) :k !I Tl íLT'V ĩ ỆỊ'4 Ị



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




18/82

Ví dụ 3. Cho n, k là các số nguyên và n > k > 3. Chứng minh hệ thức

c£ + 3C*-‘ + 3 0 ^ + é * "3 = C|ị+3.

Giải

Sử dụng công thức C* = c£_! + cỊị :] với H > k + l ( k > l ) , và biến đổ

phải của hệ thức cần chứng minh, ta có\/T> _ /"’k /-ik —1 _ ik , ịpk —1 , p k -1 , /-ik -2VP = Cn+2 ■+ Crt+2 = Cn+I + c n+l + Un+Í + c n+l

_ /̂ ik , 1 , pk-2— ' “ ' n + 1 + ^ n + 1 + ^ n + 1

= C ^ + C JS '‘ + 2 ( c ỉ ‘ ‘ + C^ -2:) + ( c S _ 2 + C Ỉ - 3)

=ck a+3C*-1+3cỊị“2+&„•3- VT.Ví dụ 4. Cho n > k > 0,n > 0, n, k là cấc sọ tự nhiên, Chứng minh hệ thứ

2C* +5cS+t +4Ĉ +2+cỊ;+3=dịtl +cỊ£i-. Giải ' ■ ■

Áp dụng công thức đã sử dụng trong ví dụ 3, ta có

f i k + 2

- u n + l

p k + l

+ u n + i

/ - i k + 3 , / ' - i k + 2

+ V n + 2 n + 2 .

* ~ i J c + 2

- A - n

£ , k + l

^ ' - ' n

. / - i k + l . / ~ > k í - i k + 3 ,

+ C n + V n + C n + 1 +c í ; : ? + c

= c * + 2 C | + 1 + C f 2 + C ^ ? + 2 C ^ + C n í

= < £ + 2 c l + l + c + 2 : + c * + 3 + c ^ + 2 •+ 2 ( c * + 2

= 2 C * - h 5 C * + 1+ 4 C * + 2 + c * + 3 = V T .

+ cỊ;+1) + cỊ;+1 +

n là các số nguyên dương. Chứng minh hệ thức sauLCSUngLiycn uLẳuug. v-nuiig IIUỈÌU

P l t A L l A Ỉ + s A L s = n k ! A = + s

GiảiBiến đổi vế trái (VT) của hộ thức cần chứng minh,

VT = k ĩ (n + 1)! (n ± ?Ì1 (n + 5)! k ĩ(n + 5)!(n - ỉ)! (n + 1)! (n + 3)! (n - 1)!

= nk! (n + 5)ĩ = .nk ì(tl+- ^ = nk!A^+5 = VP.(n - l)!n n!

18



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




19/82

Ví dụ 6. Cho n nguyên đương, chứng minh bất đẳng thức < —C2; í ': 'ĩ ' n

Giải - ,

Ta có < U : i , < > y i .2 .3 . .. .n < - (n 2 ^ -

n n(n - 1)!2 !

2 r > k > 0. Chứng minh

hệth ứcC rnC .̂ = C ^ I kk. .

Giải

(2)

Ta có VT =n! r! -_ n! 1

(n - r)!r! (r - k)!k! _ k f (n - r)!(r,- k)!

7^ 7 = cịịcr nl kk = VP.= n ! __________ ( r i - k ) ì_____________ __ ^k^r-k

(n - k)!k! [(n - k) - (r - k)].!(r - k)!

Đó ỉà điều phải chứng minh.

3 . ĉ d ạ n g b à i i Ị p n a n g c a ì ) • -

LOẠI 1. Giải h ệ phưcmg trình, b ất ph ưo ng tr in h ỉiên q ua n đến các sốchỉnh họp, số tổ họp vả số ho án yị ̂

Phương pháp giả i : Để giải các bài toán thuộc loại nàỵ ta sử dụng phương

pháp như đã trình bày trong loại 2 mục 2 nối trên. Lưu ý rằng vì-ở đây xét hệ

ỵ ị dụ I . (Để íh ĩ tơt nghiệp THTT -20Ồ3) -■ -

Giải hệ phương trình (ẩn số ỉà X-và y ) : C^+I : : c ị ” 1 - 6 : 5 : 2.

19



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




20/82

Xét hộ phương trình

C;+, _ 6

c ự 1-- 6 : 5 : 2 <c r * 5

Cịỉ+I 5Cy-1 2

Điều kiện để hệ ( í) - (2)có ngtìĩã ià

X+ i > ỹ > 0

X + \ > 0 .

X > y + 1 > 0.

X > 0X > y - 1 > 0

x,y G.Z . -

y>X >

x>y.

1

V + 1

G z .

Ta có (ỉ)(2) o <

s

y(y + 0

Nhân vế với vế của (4) và (5) có

X+ ỉ

' (x + l)?(x - y - l)!(y + 1)! = 6

(x + 1 - ỵ)!y!x! " 5

x ! (x -y + Ì ) ! (y - I ) ĩ _ 5 ;

(x - y - l) '(y + I)!x! ~~ 2

(X + l)(y + ĩ) = 6

(x ~ y ) (x - y + i) " 5

(x. - y){x - y + 1) _ 52

y-

= 3 => X+ ỉ = 3y => X = 3y - 1.

Thay (6) vào (4) và có

. 3y(ỵ. + ỉ). = ^ ----- —— = - .w —y + l 2 -í-5 =Bv(2 y -l )2 y .5 ;■2(2ỵ - ỉ) 5 ■■ ; ; ■

Thay vào (6) và có X= 8 . ; ;:

Vậy X = 8, y = 3 -ỈỒnghiệm duy nhất của hệ đã cho: _

20



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




21/82


22/82

Ví dụ 3. (Đề thi tốt nghiệp THPT - 2004)

Giải bất phương trình hai ẩn n, k (với n, k > 0) sau ^n;f5N7 < 60A„+3-(n - k)!

Xét bất phương trình

■Gỉậi

?̂ 5— < 6 0 A ^ ị(n - k)!

k

n + 3 > 0

k + 2 >0

n,k € Z

n > k

k > - 2

n,k € z.

Do n, K> 0, nên điều kiộn là n > k, n, k là các số tự nhiẽĩi.Ta có •

(1) (- +— -- á 60' ( (n + 4)(n + 5) £ — ( n - k ) ! ( n - k + 1)! n - k + 1

(n + 4)(n + 5)(n - k + ỉ) < 60.

(2

60

(3

V i n > k = > n - k + l > l = > ( n + 4)(n + 5)(n - k + 1) > (n '+ 4)(n + 5)

Xết các khả năng sau :®Nếu n > 4, thì ( n + 4 )( n + 5 ) > 72. Từ đó (3) không đúng, vậy mọi n

đều không thoả mãn (3).

®Nếu n = 0. Do 0 < k < n = ^ k = 0.

Khi n = k = 0, thì VT (3) = 20 < 60, vậy n = k = 0 thoả mãn (3).

k = 0

k - 1 .®Nếu n = 1. Do 0 < k < n

Thử lại n = 1 ; k = 0 ; hoặc n = k = 1 đều thoả mãn (3).

• Nếu n = 2. Ta có

(3) o 6-7.(3 - k) < 60 ,0 - 3 - k < — ọ k > — .- 7 . 7 .

Kết hợp vói k < 2 => k = 2.

22



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




23/82


24/82


25/82

.[u = 22 n2 - 9n - 22 = 0

u = -60 n2 - 9n + 60 = 0

In = 11

|_n = - 2 o n = ỉ 1.{do n > 7).

0 '

Ta th.il lại kết quá trên.

Ví dụ -2. (Đề ĩhiĩuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B -2002)

.'Cho da giác đều Aị A2-.-Á2n( > 2) nội tiếp đường tỉòri Ò. Bỉếí rằng- .số tam

giác có 3 đỉĩih trong 2ĩi điểm A i, A2,—,A2n gấp 20 ỉần số hình chữ nhật có 4 đỉnh

trong 2ã điểm AỊ,A2,-..,A2n-Tìm ĨI. • . ■

Giải

SỐ tàm giác cố 3 đỉnh ĩrong 2ĩi điểm

Aj; A2; A 2n ỉà C2n-Một đa giác đềtì 2n đỉĩih, thí có n đường đtéõ

xuyên íâm. Cứ hai đường chéo xuyên tầm thì lậpnên mội hình chữ nhật có 4 GỈnh nằm trọng 2n

điểm Aị; A2; —; A^n . V ìứ iế số jhm hc hữ nhật

theo yêu cầu đề rạ ỉà : .

Theo bài ra ta có phương trình sau : = 20cị .

Điều kiện để (1) có nghĩa ỉầ n > 2; h e z.

(2n)!

Hình 1

(ỉ )

Ta có : (1)(2n-3)!3!

= 20 - Ĩ1:

(n - 2)12!

(2n 2)(2n - l)2n _ 2Q(n - i)ri

: ‘V 2n - ỉ - ■

Do Ĩ1 > 2, ĩiên tạ có : (2) ——— ==5 n = 8.

(2)

Vậy n = 8, lức đa giác đều đã cho ỉ à thập lục giác đều.

; Yí dụ 3„;Cho hai đựờng thẳrts song song d| và d2. Trên đường thẳng dị có

10 điểm phân biệt, trên dọ có n điểm phân biệt. Biết rằng có 2800 tam giác có

đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n.

25



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




26/82

Có hai loại tam giác.

- Một đỉnh trên đ j, hai đĩnh trên d2 .

Do có 10 cách chọn một điểm trên dj

vàc ị cách chọn hai điểm trẽn d ị , nên số tam

giác loại này là 10 c „ .

- Hai đỉnh trên d j , một đỉnh trên ’d’2 .

Đo eó Ĉ Q cách chọn hai đỉnh trên và c„ cách chọn một đỉnh-trên d2 , nên

số tam giác loại này ỉà CiqCJi = nC J Q .

Theo bài xa ta có phương trình : 10C^ + nCjo = 2800.

Điểu kiện đặt ra với (1) là n > 2 , n e z.

n.ĩ 10!

(1)

(2)

Ta có (1) o 10- + n- = 2800(n - 2)!2 ! 8121

5n(n - 1) + 45n = 2800 n2 + 8n “ 560 = 0

n = 20n = -28 (loại do n > 2 ).

Vậy trên d2 có 20 điểm.

Ví dụ 4. (Đề thi tuyển sinh Đại họe, Cao đẳng khốì B - 2006)

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n > 4). Tìm k €{{1,2 n} sao cho số

hợp con gồm k phần tử của tập hợp À là lớn nhất, biết rằngsố tập hợp con gồm

phần tử của A bằng 20 lần số tập họp con gồm 2 phần tử củà A.Giải -

Số tập hợp con cỏ k phần tử của tập hợp A là: Cfl. Theo giả thiết ta có phươ

trình sau để xác định n : = 200^.

Điểu kiện đặt ra với ( ỉ ) là n > 4, n e

26



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




27/82

Ta có

/1\ _ n l n! . 1 20(1) O - - ; - 2 0 :—- o - . . . .

(n - 4)!4! (n - 2)!2! 3.4 : (n -3 )( n - 2 )

(n —3)(n —2) = 240 T? — 5n - 234 ■= ó

Ị_n = -13(ìoạídon > 4).Vậy tập hợp A có 18 phần tử. Bây giờ bài toán trơ thành :

Tìm giá trị lớn nhất của Cjg với k G {1,2 18}.

Muốn vậy ta xét bất phương trình : cỊg < c^g1"-. (3)

18! • 18! 1 1Ta có (3)0 “---- — ----- < — ------— — ------ — -— < —-— *


28/82

Điều kiên đặt ra với (!) là :

7 > k + 2

k > 0 0 < k < 5; k € z.

k e Z r

'(2)

Ta có

7! 11 ■71

ó ic2 - 5k +•' 4 = 0 .

( 1 ) < = > ------------------ -------------+ ------------------------ — --------------------= 2 - T :

" . ;(7 -k }:k ! (5 -k )! (k + 2)! ■ (6 - k)!(k +1)! ■

: ■... ' ỉ 1 • - l = ___ _ 2 ' • • ■:

° (6 - k)(7 - k) + (k 4- l)(k + 2) (6 - k ' ) ( k + í )

(k -h l)(k"+ 2) + (ố - k)(7 - k> = 2 (7 - k)(k +. 2) ;

k = 4

Cả hai giá trị tìm được đều thoấ mãn (2).'Vậy k‘= ỉ ; k'= 4 ỉẵ hải giá trị etìm của k. •.

LOẠI 3. Chứng m inh các hệ thức^/ề sế tổ h ợ p i s â Ghimli. họ p yà số hoá n

Phương phấp gỉẩi : Phương pháp giải các bài toán ĩhuộcloại này tương tự n

phương phầp đã trình òàỷ trorigloại 3 Ở mục 2v ổ đậỵ- trong một số bài CĐthể dụng đến phương pháp quy nạp toán học (nếu thấy cần .thiết).

Ví dọ 1. Chứng minh rằng với mọi số íự nhiên n >.2, ta có hê thức sau :

ỉ \ 1 ] Ĩ1 - 12 + 2 + 2 + + “ ------------- ------A | Af AỊ AỈ n

- ■' Giải

Biến đổi vế trái (VT) củạ hệ thức cần chứng minh ta có :

1 H 21 3!• : VT: = 4;— + 1 4i- + ...4- .................. ...

21 “3! 4! 5! : ' n! ■■■■ 'V ■- - •

- _L '_L _L _L 1 - -: : ....... ,.,r JL2,+ 2.3, 3.4 4.5 '■* (n - l)n . ■ r r

l _ ỉ í " l : . 1 . 1 _ r _ I - j l z i

( n - 2)!

2 2 3 3 4 - 4 • 5,

Chú V ■- Cách giẫi trên la đởn giản.

■(ft - 1) R = VP

28



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




29/82

- Nếu sủ dụng phép quy nạp, ta ỉàm như sau :

1 ỉ ỉ 2 - 1* Vói n = 2, ta có.: VT =,.

Vậy hệ thức đung khi Ĩ1- 2 . ;

* Giả sử hệ thức đã đúng đến n —;ỉc, tức là ta có1 , 1 ỉ' k - 1 , nVT = —T- 4-+ ... + — - = ———- (ỉ).

Ao Aắ Ai.. ■-2* Xéĩ khi n = k + 1, ta có

. . . . "VT =

Theo (ỉ), ĩh ỉ: VT ”

1 r ì ' 1 1- ạ -2. *2A A 2 - -A 2 ..

k - 1• •• 1 . - . Ị ;

1

h

1 C

p X

k Ák +1 ■ k " (k + ĩ)!

_ k - I 1 _ k 2 - 1 + 1 = k■■■■■' V ; - Ị c + k ( k + í ) . ~ k ( k + l ) : ~ ~ k . + r

Vậy hộ ỉhức cHiìg dổĩỉg khi n - k ■+1.

Thẹo nguỵên- H auy nạp toán học SU)' ra điều phải chứng minh.

Ví ểụ :2. Cho số nguyên n > 2 . Chứng minh hệ thức

PrỊ = Ĩ + Pị 'H12?2 + 3P} + ... -T- (h: —l)Pn„ ị. .. ,

Giải

Ta chứng minh hệ thức đã cho bằĩig phép quy nạp.

* Vớin = 2,ta có V Í = 'ĩ^ = 2 1=2 1

VP = I + p2 = ì + ỉ ! = 2

Vậy hệ thức cần ch ứng, minh đúng khi n - 2.

* Giả sử hệ thốc đã cho đã đứĩĩg đến n = k, í ức là=£+ Pr +.;. + ( ỉ c - l ) ỉ \ _ , . . : ; '• ( 0

* X é t k h i n = k + ỉ , í ã ^ G Ó . : V P : = ĩ ^ p Ị + 2?2 t - + , t f í - . O P j j f _ ! . + k P k

Từ ( I ) say ra ■ . .. í

. VP= pk .+ kPk =.pk (k + ĩ) = k!(k í) = (k + ỉ)! = Pk4.j = VT.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




30/82

Vậy hệ thức cần chứng minh cũng đúng khi n = k + 1.

Theo nguyên ỉ í quy nạp suy ra-điều .phải chứng minh: .

Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi n nguyên, n > 1, ta CÓ:

C"+2f +3f +- +n& =Cn+1- ; n '•"n "̂nGiải

Vói mọi k = 1, 2,.. v n ta có

, cỊí n ! (n -k + l ) ! (k - l ) ! _ ;, - n - k + l , ,k -~n - = k — ----- — —- = : k ----- —— = n - k + 1 .

c ( n - k ) ỉ k ỉ n ỉ k

Vậy ta có vế trái (VT) của hệ thức ẹần chứng minh là

VT = n + (n - 1) + (n —2) + ĩ = n(n + 1> = c ị +l = VP.

Chú ỷ : Phép chứng minh sử dụng trong ví dụ trện,.gọì là phép biến đổi “đdiện”. Trong ví dụ trên vế trái là một tổng của n số hạng có cấu trúc “giống nhau

- c k ■Vì thế ta chỉ cần tính môt đai diên (ở ví du trên đai diêri này là k — ), rồi suy

Xfn- . biểu thức tương tự cho các số hạng còn lại.

V

4.BẤITẬP

Bài 1. 1) Chứng minh rằng với mọi n,k e Z; n > k + 1; k > 1, ta có hệ th

K = A*_J +"'kAỈ: , ' .

2) Cho n > r > l,n,r e z. Chứng minh rằng c„ -r

Bài 2. Cho n > m > 0 ; n,m € z . Chứng minh rằng mC™ = nC™ “j1.

Bàĩ 3. Cho n > k > 4,nvk € z. Chứng minh rằng

cỊị + 4C*_1 + 6Cl~2+ 4C^-3 + c*-4 - C*+4.

Bài 4. Tìm số tự nhiên k thoả mãn hộ thức 0^4 + cỊ^"2 = 2Cị4' 1.

30



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




31/82


32/82

hiện theo ni cẩeh (i = i, 2, k). Khi đó công việc có thể thực hiện b

ÍÌỊ + n2 + ... + cách.

Thực chất cua quỵ tắc cộng phận ánh sự kiện sau côạ i í. thuyết tặp hợp ;

Giả sử Aị, A2 ,—, Ak ỉà k tập họp có hữu hạn phần tử và đôi một rời nhau, t

là Aị n Aj = 0 v


33/82


34/82

Theo quy tắc nhân ỊAịỊ = C15C5C10 = 22750;

|A2Ị= C?5CÌC|o = 10500 ; |A3Ị= CỈ5Cl5CỈ0 = 23625.

Từ (1) ta CÓ ÌAÌ =56875 cách chọn đề kiểm tra.

Ví dụ 3. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán, học nữ và 4 nhà vặt lí nam. Glập đoàn công tác 3 người có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và nhà vặt lí. Hcó bao nhiêu cách lập đoàn ?

Giải

Chỉ có 3 khả nãrig sau để lập đoàn công tác :

1) Một nhà toán học nữ, một nhà vặt lí nam, một nhà toán học nam.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn này là C3C4C5 = 60.

2) Một nhà toán học nữ, hai nhà vật lí nam.

Theo quy tắc nhân số cách chọn này là C3C4 = 18.

3) Hai nhằ toán học nữ, một nhà vật lí nam. .

Theo quy tắc nhãn, số cách chọn này là C3C4 = 12. '■

Theo quy tắc cộng, số cách iập đoàn công tác là 60 + 18 +.12 = 90 cách. '■

Vậy có 90 cách lập đoàn công tác.. Ví dụ 4. Trong một tổ học sinh của lớp 12Ạ có 8 nam, 4 nữ. Thầy giáo muchọn 3 học sinh để làm trực nhật lóp học, trong đó phải có ít nhất 1 học .sinh naHòi thầy giáo có thể có bao nhiêụ cách chọn ?

Giải

Gọi Aj là tập hợp .cách chọn học sinh trực nhật, trong đó có 1 nam, 2 nữ.

A~2 là tập hợp cách chọn 2 nam, l nữ và Ạ3 ỉà tập, hơp cách chọn 3 nam

làm trực nhật lóp- Gọi A là tập hợp cách chọn 3 học sinh trực nhật theo yêu cầu

Ta có A = Aị u A2 w A3, trong đó A Ị, A2 , A3 đôi một rời nhau,

Thèo quy tắc cộng, ĩa có ỊaỊ = |Aị| + IA2 I-ỉ- ỊA3 I. (1)

Theo quy tắc nhân, ta có

|A|| =


35/82


36/82

A3' ] à tập hợp cách chọn 3 cuốn- sách gồm hái thứ tiếng Aniĩ và Pháp.

Gọi A ỉà cách chộri 3 'qùyển sách gồm hai thử tiếng, ta có •'

Ắ.= Ar u A2 u ẫ 3 , trong (íó Ạb Ả2;Ạ 3 đôi ntíaú.

Theo quy tắc công, ta eó |a | = IA.J I+ [Aịl + |A3 j. . (ỉ)

Để tính \Aị\ ta ỉưu ý rằng có hai cách chọn 3 cuốn sách gồm hai thớ tiến

Việt và Anh :

- Hoậc là 2 quyển'ừêng Víẹt" l quyển tiếrig Anh

- Hoặc Jà 2 qiiyển tíềĩig Anh, ] quỷển tiếng Việt. ' ? r

Theo quy tắc cộng và quy tắc nhân, íhì “ •'

1 ^ ] = C ^ ẽ | + c f c ị0: = 360+280 = Ó4Q,

Heàn toàn tương tự, ta có

Ịa2| = c^cịị;+ €ịc\0=270 + i50. = 420.

... Ịa3| j= cịcị + cịcị = 168 + 120 = 288.

Thay (2)(3)(4) vào (ỉ) vă cỏ ,|a | - 'Ố40:+;420,+ 288 - 1348. .

Vậy'có 1348 cẩch chộiĩ 3-quyển sách trêngiá theoyeu'eau. : :

Vidb'S. Gíữả hai tfianh phố Ẩ vầ B có 5 cbrì đưồmg đi. Tìỏị có baó nhiêu cácđi từ A đến Brồi írỏ về A mẳ kỈỊôBg^ đường Bào được.đi hai iần ?

: , • -- Giải

Bài toán đượcr giải theo quy ĩắc nhân sau đây :

Bước ì : Tìm số con đường từ A đến B.

Số cách chọn là rì Ị .= c§ = 5. Bước 2 : Tìm số con đường lừ B đến A

(trong số 4 con đườne còn 'íại). Số cách ‘

chọn là n2 = C4 - 4.

Theo quy tắc nhân số cách đi thoấ mãn -

yêu'cầu ỉà n = nỊ.ĩì2 = 5.4 = 20.

36

(2)

(3)

(4)

Hình 3



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




37/82

Ví dụ 9. Một lóp học có 50 học sinh. Gần phân còng 4 bạn quét sân trường và5 bạn xén cây. Bằng hai cách đếm khác nhàu hãy chứng mình đẳng thức


38/82

2) Tuy nhiên ý nghĩa củă bài Ịập trên là ở chỗ : Bằng cách sử dụng phép đếmột sự kiện nào đó (theo các cách khác nhạu) sẽ cho phép ta chứng minh được chệ thức về số tổ hợp, số chỉnh hợp,

Ví dụ 10. Một dãy có 5 ghế đành cho 3 nam sinh và 2 nữ sinh. Có bao nhicách sắp xếp chỗ ngồi nếu: ,r

1) Ngồi chỗ nào cũng được?

2) Nam sinh và nữ sinh ngồi xen kẽ?

Giải

1) Đây chính là số hoán vị của 5 người (mỗi cách hoấri vị 5 ngưòi chính một cách sắp xếp chỗ ngồi). Vậy số cáeh xếp trọng trựèng hợp này là 5! = 120.

2) Vì ngồi xen kề nên cách xếp l à : Nam Nữ Naiĩi Nữ Nam. - '

Bước 1 : Sắp xếp chỗ ngồi cho 3 nam sinh. Số cách xếp là 3! = 6 .

Bước 2 : sắp xêp chỗ ngồi cho 2 nữ sinh. Số cách xếp là 2! = 2.

Theo quy tắc nhẫn, số cách xếp chò ngồi là n = n.^ 2 = 6-2 = 12.

Ví dụ 11. Gieo đổng thcfi 3 con súc sắc. Hỏi có bao nhiêu trựờng hợp tổnsố chấm trên mặt xuất hiện của 3 con súc sắc .là 9 và mỗi mặt xuất hiện chấm khác nhau?

Giải

Ta hãy phân 9 lần tổng của 3 số khác nhau chọn trong tập hợp các số {1; 2;4 ; 5 ;6 }. .

Dễthấy 9= 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 + 3+ 4.

Bài toặn được giải bằng quy tấc nhân sau :

Bước 1 : Chọn 3 số mà tổng bằiig 9 như trên. Có 3 cách chọn.

Bước 2 : Với mỗi cách chọn 3 số cỏ n2 = 3 ! = 6 cách ra chấm trên 3 con s

sắc. Theo quy tắc nhân số trường hợp xảy ra là n - ĨỈỊ .IV) = 3-6 - 18

LOẠI 2. Sử đụn g phiĩOĩìg pháp gián tiếp để g iải các bài toán về ph ép đếm

Phương phấp giải : Phương pháp này đựa trên nguyên lí "Đếm những ckhông cần. đếm, để biết những cái cần đếm". Nói cách khác theo ngôn ngữ củathuyết tập họp, ĩhì phương pháp giản tiếp thực chất dựa' vào “phép lấy phần bù

Như vậy ta cần tiến hành theo ba bước sau :

- Đếm toàn bộ tất cả các khả năng có thể xảy ra, giả sử số khả năng đó là X

38



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




39/82

- Đốm các khả. năng không thoả mãn yệu cầu đề bài, giả sử’ số khả năng độ là Y.

ị - Hiệu X - Y là số qáe khả năng thoảmãn yêu cầu đề bài.

Ị Ví dụ 1.. Một người có 7. áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cà* vạt trong đó có 2I cà vật màu vàng. Hỏi người đó cố bao nhiêu cách chọn bộ ẩò - cà vạt neu như đã

chọn áo trắng thì không chọn cà vạt vàng ? ; .

Giải ^ _ .

ịGọi A là tập hợp tất cả các cách chọn bộ áo - cà vạt. Theo quy tắc nhân, ta có

I - - . |AỈ = c ị . c ị = 7,5 = 35.

I Gọi B là tập hợp tất cả các cách chọn áo trắng - ’cà vạt trắng. Theo quy tắc

I nhân ỈBl = c ị . c ị = 3.2 = 6. ,

I Gọi c là tập hợp cách chọn bộ áo - cà vạt theo đúng yêu cầu (đã áo Ưắng thìcà vạt không trắng). Ta có A = B o C ; B n C = 0 .

Theo quy tắc cộng thì 1a 1= ! b | + ỊcỊ => |c| = Iá Ị- ỉb I = 3 5 -6 = 29.

Vậy có 29 cách chọn bộ ầo —cà vạt theo yểu cầu đề ra,

. Nhậnxét :

1) Cách giải trên là dựa vào “phương pháp gián tiếp”, ờ đây B là tập hợp cáchchọn bộ áo - cà vạt không thoả mãn yêu cầu đề bài.

2) Ta hãy giải lại bài toán trên bằng phương pháp“ trực tiếp” như sau :Gọi là tập hợp cách chọn-bộ áo - cà vạt, trong đó áo khồng phải màu trắng

(khi đó cà vạt màu gì cũng được). Theo quy tắc nhân,, tạ có

ỊAj| = c{.cị = 4.5 = 20.Gọi A 2 là tập hợp cách chọn bộ áo - cà vạt, trong đó áò màu trắng (khi đó cà

vạt không phải màụ vàng, vì thế sẽ chọn cà vạt trong 3 cà vạt không phải màu vàng).

Theo quy tắc nhân, ta có |A2| = C3.C3 = 3.3 = 9.

Khi đó gọi A là .số cách ỉựa chọn chọn thoả mằn ỵêu. cầu đề bài, thì

A = Aị u A2 , Aj n A2 =.0 .

Theo quy tắc cộng ta có |a| = IA:jI + ỊA21. = 20 4- 9 f= 29. Ta thu lại kết quạ trên.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




40/82

Ví dụ 2. (Đề thị tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D - 2006)

Đội thanh niên xung kích của một trường phọ thông có 12 học sinh gồm 5 hsinh lớp T, 4 học sinh lớp L và 3 học sinh lớp H. Cần chọn 4 học sinh đi ỉànhiệm vụ, sao cho 4. học sinh thửộc không quá 2 trong 3 lớp trên. .Hỏi có bao nhicách chọn như vậy ?

s '■ V - ' Giải

Gọi A là tập hợp mọi cách chọn 4 học sinh trọng 12 học sinh.

Ta có ngay IA| = of 2 = 495. " (1)

: Gọi B là tập họp Ịnọi cách chọn 4 học sinh saọ cho có đủ mặt học sinh 3 l: (như,vậy.B4à tậphợpmọị::pách chọn 4 học sinh không thoả. mãn ỵêu cầu đầu bà.Muốn vây ta phải chon l.Iớp có 2 học sinh, mỗi. lộp còn.lại chọn 1học sinhu

Theo quy tắc cộng và quy tắc nhân, ta có ^ '

|bỊ = cịcl 4cị + C5C4C3+ G5C4C3 = 120 + 90 + 60 + 270- (2) 'Gội Gfè';tặp'liòp:cábh':bhọn4ìiộc-^sinh thòả-Tnãn ỷèu cẫũ đế ra/Rõ ràng A = B u C ; B n C = 0 , vây theo quy tắc cộng ta có

!aỉ = |bỉ + ỉcỉ=>!c| = |aI-ỉbI. : &

Thay (1),(2) vào(3), ta có Ịcỉ = 495 - 270 = 225. ! ' ^

hư vậy số cách chọn là 225

Nhận xét : Tagiảrỉạ i ví dụ trển bẵng “phương pháp trực tiếp” '

Gọi A ì à tập hợp cách Ịựa chọn 4 học sinh chỉ từ một lớp. Dễ thấy theo qutâc cộng ÌAl = C5 + C4 =5 + 1 = 6. . (I)

(hoặG chọn 4 học sinh lớp T, họặc chọn 4 học sinh lớp L)

Gọi B là tập hợp cách ỉựa chọn 4 học sinh từ 2 lớp. Khi đó theo quy tắc cộnta lại GÓ B = Bị u B2 o B3. ^ Q)

Ở đây Bị,B2 ^ 3 tươnẵ ứng là cách lựa chọn 4 học sinh từ hai ỉọp T, L ; T,

hoặc L, H. Do B],B2 ,B3 đòi một không giao nhau, nên lại tHeo qũỳ tắc cộng ta " I

(3)

Lại theo quy tắc cộng và nhân, ta có

\B\= C5C4 T. cc+ C5C4 - 40 +60 +20 = 120. (4)



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




41/82

(hoặc chọn 3 học sinh ỉớp T, 1 học sinh lóp L, hoạc chọn mỗi lóp T L 2 họcsinh, hoặc chọn 1 học sinh ỉóp TỲ 3 học sinh lớp L).

Hoàn toàn tứơng tự, ta có

|B2| = c ị c ị + c ị c ị + c ị c ị = 30 +'30 + 5 = 65. . (5)

|B3| = c ị c ị + c ị c ị + c \ c ị = 12 -r 18 + 4 = 34. (6)

Thay (4),(5),(6) vào (3), và có Jb| = 120 + 65 + 34 = 219. ; \ (7)

Gọf D là tập hợp các cách iựa.chọn 4 học sinh theo yêu cầu. Ta có

D = A u B ; A n B = 0 . ....

Theo quy tắc cộng ta có |D| = |ạ | + |Bj. (8)

Thay ( 1), (7) vào (8) vấ có ỊdỊ = 6 + 219 = 225. Ta thu lạikết qụả trên.

Các bạn tự bình ỉuận về tính hiệu quả của từng phương pháp.

Ví dụ 3. Ổ một trường tiểu học có 50 em là hoc sinh giỏi xuất sắc, trong đócó 4 cặp anh em sinh đổi: cần chọn ra 3 học sinh trong số 50 em trên để đi dự trạihè. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong nhóm 3 em được chộn không có cặp sinhđôi nào ?

Giải

Gọi A là tập hợp cách chọn 3 em tuỵ ý trong 50 em, ta có ỊaI = C5Q 5= 19600.Gọi B là tập hợp cách chọn 3 em trong .số 50 em, trong đó có 1 cặp sinh đôi.

Ta sẽ sử đụng quy tắc nhân để tính I b ỉ như sau :

Bước ỉ : Chọn cặp sinh đôi. Số cách chọn ỉ à nj = 4.

Bước 2 : Chọn 1 em còn Ỉạỉ trong 48 em Số cách chọn là n2 = 48.

Vậy ỊbỊ = n tH2 = 4.48 = ỉ92. ..

Kết ỉuậrì: Số cách chọn 3 em theo yêu cầu ỉă 192. Nhận x é ỉ: Các bạn hãy thử giải iại ví dụ trên bằng “phương, pháp trực tiếp” để

thấy rõ sự hiệu quả của “phường pháp gián tiếp” đổi với ví đụ này.

Ví dụ 4. Có 12 cây giống thuộc 3 loại: cam, chanh, quít trong đó có 6 cám, 4chanh, 2 quít. Cần chọn ra 6 cây giống để trổng sao cho có đủ 3 ỉoại cây. Hỏi có

bao nhiêu cách chọn cây siống như trẽn ?

4í .



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




42/82


43/82

6) 2 quýt, 2 cam, 2 chanh.

7) 2 quýt, 1 cam, 3 chahh. V

Theo quy tắc cộng và quy tắc nhân số cách chọn 6 cây giống là : •

f-’l , /-4 Ị-ũl/-i2(-s2L * 2 ' - ' 6 ' - 4 + ' “ ' 2 ^ 6 ^ 4 ' - ' 2 V 4 :v 4 ■ 2 ^ 6 ^ 4 ' - ' 2 ^ 6 ' - ' 4 ' - ' 2 ^ 6 ^ - 4

= 2(6 + 60 + 120 + 60) + (24 +-90 + 80) = 68Ố.;

Ta thu lại kết quả trên. ; r

I •: Ví dụ 5. Cho 10 câu hỏi'trong đó có 4 câu lí thùỷết và 6 ổâu bài tập. Người taI cần cấu tạo tìiấnh một đề thi từ các câư hỏi đó. Biết rang- đề thi phâi thòẫ mãn yêuỊ cầu Iấ mỗi đề thi gồm 3 câu; -txong đõ Tihât thiiết phải Gồ 1 câu ĩí thùyết, 1 câu bàiỊ tập. Hòi có bao nhiêu khả năng cấu: tạõđ ề thi ?

Ị ■ -- Giải . ;'Ị Gọí A là tập hợp tất cả các cách cấu tạo đề thi, gồm 3 câu từ 10 câu trên, ta có

■■■■■■■-■ |a| = c ?0 • 1 2 0 : ; ; ■: • (1 )

! Gọi B là tập hợp tất cậ các cách cấu tạo đề thi gồm 3 câu chỉ cùng một loại, ta

Ị có ỈBl = c ị + c ị = 4 + 20. - : ' (2)

I G ọ i c là lậ p h ợp tấ t c ả c ác c ác h c ấu tạ o đ ề th i th e o y êu c ầu . T a c ó

P...Ia Í = I b I + Id^=> ]cl i= M "I • . : .. ...

Từ (1), (2) suy ra Ịcl = 120 - 24 - 96. -

Nhận x ét: 1) Cách giải trên là theo phương pháp “gián tiếp ”

2) Nếu theo phương pháp trực tiếp ta làm như sau :

Có hai khả năng chọn :

- Chọn 2 cậu lí thuyết, Ị câu bài tâp. Với khả năng này có

C4C5 = 6.0 = 36 (cách chọn).

- Chọn 2 câu bài tập, ỉ câu ỉí thuy.êt. Vói khả năng này có

- C4C5 =■: 4.15 —60 (cách chọn).

Vậy có 36 + 60 =ị 96 cách lập đề. Ta thu lại kết quả trèn.

43



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




44/82


45/82

Bước 4 : Chọn cầu xanh : Lập luân như đã dùng ở irên, ĩa cũng thấy số cách

chọn cầu xanh là 11 4 = 4. ■

Theo quy tắc nhân, số cách chọn 4 qúả cầu thoả mãn yêu cầu âầu bài iấ

R = nj.n2 .n3.n4 = 44 .= 256.

Vậy có 256 'cẩch chộn 4 -óuả cầu vừa khạc mằu, vừa khác số.

Ví dọ 2. Lập được .bao nhiêu số lỗ có 6 chữ.số khác nhau nhỏ hơn 600000 ?

-' Giải ■

Các số lẻ có 6 chữ số khác nhè hơn 600000được chia- thành 5 loại sau :

A Ị là tập họp cáp số ỉẻ có dạng 5a|a^a3a4a5.

;; Ạ7 Iàtập hợp các}sốỉể^ó dạng ’

A3 là tập họp các số ỉẻ có dạng ’

’ Aậ ià tập họp. các. số Ịẻ.pó dạng 2ạỊa2a3a4a5 .

A5 là tập hợp các số lẻ có dạng ia fa ^ a ^ a ^ . .

RÕ ràng A j ; 'Ao , 'A3 , A4 , A5 là các tập họp, trong đó đôi một rời nhau.

Gọi Ả là tập hơp các số lẻ Ihoả mãri yêú cầu đầu bài, thì

' V Ạ = Ằị; 0 Á2: y A3 ^ .A 4 ư A 5 u â 6, : ' . . .

Theo quy tắc cộng, ĩ.a có A |Aj.| 4- ịA2ị + ÌA3I | A 4Ị-i- ỊA5I+ Ịa 6|. : (1.)

(ỊAị | ■= |A3| —|A5| •Do các vai trồ tương đương, nên ta có


46/82

Vậy ỊAịỊ = Iij n2 = 4.Ỉ680 = 6720. (4):

* Tính |A2| . .

- Chọn b5 :b5 được chọn từ tập {1; 3; 5; 7;9}. Số cách chọn b5 là nj = 5

- Chọn bjb2 b3 b4 :Lập luận như trên suy ra số cáchxhọn ở bước này

A4P2 “ Ag. . .

Do đó |A2 | = = 5.1680 = 8400. (5)

Thay (4),(5) vào (3) và có |a | = 3.6720 + 2.8400 = 36960;

Vậy có 36960 số lẻ có 6 chữ số thòả mãn ỹếii cầu đầu bài.

Ỵí dụ 3. Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 4 chữ số sao chò trong mỗị số chữ số đằng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.

Giải

Các số thoả mãn điều kiện đầu bài thi không thể cố số 0 .(vì-nếu có số 0, thì phải có dạng 0 < a.ị < a2 < a3 < a4 < 9).

Tuy nhiên ta biết rằng mọi chữ số hàng nghìn phải khác 0.

Vậy các chữ số phải tìm có 4 chữ số chọn trong tập hợp {1; 2; 3; 4; 5;. 6; 7; 8; 9

Với mỗi cách chọn 4 số bất kì trong tập hợp trên, thì chỉ có một cách sắp xtheo thứ tự tăng dần. Vậv số các số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm chính ỉà số tổ h

chập 4 của 9 phần tử trên. Vậy số các số đó ià Gộ = 126.

Như thế có 126 số thoả mãn yêu cầu đề bài.

-Ví dụ 4. Từ các chữ số 0,1 ,2 , 3,4 , 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nh

mà mỗi số có 7 chữ số khác nhau sao cho chữ số 4 và 5 không đứng cạnh nhau ?

'Giải

Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau lập từ 7 số

cho. Sử dụng quy tắc nhân ta tính IaÌ = 6.6.5.4.3.2.1 5=4320. (ỉ)

Gọi B là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau lập từ 7 số cho, trong đó 4 và 5 luôn đứng cạnh nhau. Ta “dán” hai chữ số 4 và 5 liền vnhau thành chữ số “kép”. Cổ hại cách “dán” (hoặc 45 hoặc 54).

Như vậy để tính Ị b Ị ta quý về bàí toán sau : Có 6 chữ số 0 , 1, 2 , 3, 6 và

“kép”. Ta xem có thể lập được bầo nhỉêu số íự nhỉên mỗi số có 6 chữ số ?

46



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




47/82

[;■: Giải tương tự ta có IbỊ = 5.5.4.3.2.1 = 600. V ' (2)

j Gọi G là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau sao cho chữ số 4 và 5ị không đứng cạnh nhau. Ta có A = B u C ; B n c = 0 .

Ị • Theo quy tắc cộng, ta có ÍAÌ = jBỈ + lcl => ỊcỊ = Ia Ị - [ b í . (3)

I Thay (1), (2) vào (3) vấ CO [cỉ = 4320 - 600 = 3720- ; '

ị Vậy có 3720 cách lập số thoảmãn yêu cầu đề bài.

I . YỊ .dụ 5, Từ các chữ số, 0,1 , 2, 3,4, 5, 6 có thể lap được bao nhiếụ. số tự nhiên! chẩh có 5 chữ số khác nhau mà mỗi số ỉập được đều nhỏ hơn 25000 ?

I ■ 1 _ ' Giảiỉ ;■.. ■■.. --- ---------Ị Gọi Aj ìà .tập hợp các sồ'iự nhiên cố dạng la2av3a4a5 , trong đó a2 ;a3;a4 ;a5

Ị đôi một khác nhau và khác 1 và a5 e [0 , 2,4, 6 }. ,: r , . .

I Tấ sử dụng quy .tắc nhân để tính ỊAi Ịnhư s a u .

I Bước ỉ : Chọn a5 . Rõ ràng số cách chọn ở bước này là ỊỈỊ = 4.

Bước 2 ; Chọn . Đây là cácỊi chọn (tính-cả thứ tự sắp.xếp) 3 số trong

5 số (thuộc tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 }.\.{ L; ạ*}). Vậy số cách chọn ở bước này ỉà

úị = A5 —60. ■ .•••• ' ■' -; ■’

Theo, quy tắc nhân, ta cộ ỊAj ị = 4.60 = 240.

" Gọi A2 là tập hợp các số tự nhiên dạng 2a2a ^ a 5-, trorig đó a2 U 3; a4 ; a5

đôi một khác nhau và khác 2, trong đó a5 G {0;' 4; 6} ; a2 < 4 (vì ta cần có

2a2a3a4a5 < 25000). '

! Dễ thấy A2 là tập hợp của 3 tập hợp rối nhau sau đây :

Ị 1) B ị là tập hợp các số có dạng 2a 2a3a40 , trong đó a2 ;a3 ;a4 đôi một khác

! nhau, khác 2, khác‘0 và a2 < 4. /

Ị .... - 2) B2 là tập^họp các số có dạng 2ạ2a3a44 , trong ;đó> 2,*a3;a4 đội một khác

nhau, khác 2, khác 4 và a2 ̂ 3. ■■■;. ; - . '

ỉ 3) B3 là tập hợp các số có dạng 2a2a3a46 , trong đó aj; a4 đổi 'một khác

I nhau, khác 2, khác 6 và a2 < 4.

I 47



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




48/82

' Theo quy tắc cộng, ta có |A2ị = |B]| -1- |B2| + jB3|. (2).

Tính ỊBị Ị theo quy-tậcnhân như sau.: - - . . r ■'

1) Có 3 cách chọn a7(n j '= 3), c : : •-

2) Chọn ầ3'a4' ỉà cách chọn 2 số (kể cả thử tự) trong 4 số QỌĨỊ. lại sạụ khi đchọn 2 ; 0 và a2 . Số cách chọn là n2 “ a Ị = 12.

3.12 = 36. .. " (3)

Hoàn toàn tương tự, ta có |B2| = 3.! 2 = 36 ; ỊB3Ị =4.12 = 48.

Theo (1) ta có |Àịj_=~ + 36+- 48 -.120. ' . . .

Gọi A là tập họp các số cần tìm, thì A = Aị.U A7;.Aị n A> = 0 .

Thèo qay tắc cộn^Tta có ỊÃỊ = ĨAj| + 1̂ 2 ̂ 'v- .... .

Vậy Ia I - 240 + 120 = 360. Tóm iại có 360 :>ố thoả mãn yê.ư cầụ đề rá,

Ví dụ ổ. Cho hình' thập giác Ịồi. Hỏi có ĩhể ĩập được bao nhiêinam giác cđỉnh ià đỉnh của thập giác lồi, nhưng cạnh của lam giác không phải ỉà cạnh củthạp giácỉồ i? . '

Giải ■ ‘ v ~ ^ ■

Gọi A ỉà tập họp tấi cả các lam giác cỗ 3 đỉnh ià các đỉnh của thập giác.

/ K b i đ ồ I a Ị ^ C ? 0 ; = 1 2 0 . " . 0 )

Gọi B lạ tập hợp tất cả các tam giác có 3 đinh là các:đmfr của thập giác và cíĩ nhất ỉ cạnh cũng là cạnh của thập ạiác. Dễ thấy B.là hợp của haUậpìhợp khônrời nhau sau dày :

~ Bj là tập hợp tất cả các tam giác có 3 đỉnh ià.các đỉnh của thập giác và cđúng 1 cạnh là cạnh của thập giác..

- Bọ là íập hợp tất cả các tam giác cộ 3 đỉnh là các đỉnh, cua thập giácđứng 2 cạnh là cạnh của thập giác.

Theo quy tắc cộng: ta có : |bỊ = |Bj Ị+ |B9 Ị: (2).

Tá tính ]Bị ị như sau :

Bước ì / Chọn 1 cạnh của thập giác. Có n t = 10 cách chọn.

48 ' V -



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




49/82

Bước 2 ; Chọn 1 đỉnh còn lại để tạo thành tam giác,

pỉnh này được chọn trong 6 đỉnh còn lại (loại trừ 2 đỉnh củacanh thập giác chọn trong bước i , và 2 đỉnh của thập giác kề

với mỗi đỉnh ấy). Vậy số cách chọn ở bước này là ữ -2 = 6.

Theo quy tắc nhân, ta có [Bị ị = nj.n2 7=10.6 = 60. (3)Hình 4

Còn |B21tính như sau :

Lấy cạnh AịA2 , khi đó quay theo *chiều kim đồng hồ ta có tam giác có hai

cạnh của thập giác là AjẠ2A3 .

. Tương tự ta có thêm các tam giác A2A3 A4 ; A3A4.Ạ5 ; Aị ọAị . A2 -

Vậy [Iiv = 10. • (4)

Thay (3),(4) vào (2) ta cỗ ÌBl = 60+ 10 = 70. . (5)

Gọi c ỉà tập hợp các tam giác cần tìm. Ta có A = B o C;B n c = 0 .

Nên theo quy tắc cộng thì. ỈAỈ = ỈBÌ + lcí =í> Ịcl = |ấ | - Ịb Ị. (6)

Thay (1), (5) vào (6) và có |c | = 120 - 70 ==50.

Tóm lại có 50 tam giác thoả mãn yêu cầu đề ra.Ví dụ 7. Cho tập họp Q = {4,5,6,7,8,0}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có

4 chữ số đôi một khác nhau chọn từ n , sao cho mỗi số tạo thành đều chia hết cho 4?

; Giải

Thèo dấu hiệu chia hết cho 4, một số chia hết cho 4 khi và chỉ khí hai chữ sốtận cùng của nó chia hết cho 4. Từ tập hợp Q ta suy ra có các số có hai chữ sốkhạc nhau và chia hết cho 4 ỉà : 04, 08,40, 48, 56, 60, 64, 68 , 76, 80, 84.

Xét hai tập sáu đây :

Aị là iâp hợp eác số có 4 chữ số đôi một khác nhau và hái số tận cùng thuộc

tập hợp {04; 08; 40; 60; 80). r

A2 là tập hợp các số có 4 chừ số đối một khác nhau và hai số tận cùng thuộc

tập họp {48;, 56; 64; 68; 76; 84}.

40T4.BTCB&NCTCĐTránTHPT ; y



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




50/82

Tính \Aị\ như sau :

Hai số đầu a ịS .2 của nó lựa chọn trong 4 số còn lại (tính cả thứ tự sắp xế

nên số cách chọn là A4 = 12 cách.

Theo quy tắc nhân ỊA j Ị = 5.12 = 60. ( 0

Tính |A2| như sau :

Số aj được lựa chọn trong tập hợp 3 số (vì aj ^ 0);

Số a2 được lựa chọn trong tập hợp 3 số (bỏ đi số âị vằ háị số tận cùng đã chọn

Theo quy tắc nhân ịA2Ị = 3.3.6 = 54. •* (2)

Gọi A là tập hợp các số cần lập, thì A = Aị u A2, A ị 0 A2 = 0 .

Theo quy tắc cộng thì |a | = |Aị| + ịA2 |. (3)

Thay (I ),(2) vào (3) và có ỊaỊ = 60 + 54 = 114-

Vậy có 114 số cần tìm.

Ví dụ 8. Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có bốn hành khách bước lên tHỏi có bao nhiêu trường hợp* mà một toa có ba người lên, một toa có một ngưlên và hai toa còn lại không có ai lên ?

GiảiBài toán được giải bằng quy tắc nhân như .sau :

Bước l : Chọn toa có 3 người lên. Số cách chọn là nj = 4. .

Bước 2 : Chọn toa có 1 người ỉên (sau khi đã chọn toa có 3 người lên).

cách chọn n2 = 3.

Bước 3 : Chọn 3 khách để cho lêri toa ba người. Số cách chọn ỉà 112 = C4 =

(khi đó dĩ nhiên khách còn lại cho ỉên toa 1 người).Theo quy tắc nhân số trường hợp có thể xảy ra là n = Bị .n2.n3 = 4-3-4 = 4

Ví dụ 9. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu chữ số eó 3 chữđôi một khác nhau và chia hết cho 9?

Giải

Theo đấu hiệu chia hết cho 9, thì các số phải tìm có tính chất “Tổng các csố U)p thành số đó chia hết cho 9”.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




51/82

i . . ■ -

T a'c ó :0 + 4 + 5 = l + 3 + 5 = 2 + 44-5 = 9.

Với bộ ba (1, 3, 5) hoặc (2, 3, 4) thì ứng vói mỗi bộ ba này có 3 ! (tươtig ứngị với hoán vị của 3 số) số có 3 chữ số chia hết cho 9.

Ị Còn vói bộ ba (0, 4, 5), do 0 không đứng đầu nên có 2.2 = 4 số có 3 chữ sốỊ chìa hết cho 9. ' .

ỉ Tóm lại ta lập được 2.6 + 4 = 16 số thóả mãn yêu cầu đầủ bài.

ị Ví dụ 10. Tính tổng tất cả các số có 4 chữ số khác nhau được viết từ 1, 2, 3 4 .

Ị ■■Giâi ' ■ ,i ■■ - *I Số các số có 4 chữ số khác nhau lập từ I, 2, 3, 4 là 4! = 24.

Ị Ta cần tính tổng của 24 số, mỗi số có 4 chữ số khác nhau. Dễ thấy ở hàng đơnị vị mỗi số 1, 2, 3, 4 xuất hiện 6 lần. Tương tự ở hàng c

Documents

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO THEO CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT TẬP 1 TỔ HỢP, XÁC SUẤT VÀ SỐ PHỨC - PHAN HUY KHẢI (TRÍCH ĐOẠN)