Bahan Ajar Trigonometri

www.briliantprivate.co.cc Page 1


FUNGSI TRIGONOMETRI

A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

1. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DARI SUATU SUDUT SEGITIGA SIKU-SIKU

Y

P(x,y) x disebut absis y disebut ordinat

r y r jari-jari

sudut α positif diukur dari sumbu X berlawanan

α arah putaran jarum jam. 0 x X

22 yxr +=

Definisi :

r

y=αsin

r

x=αcos

x

ytg =α

y

rec =αcos

x

r=αsec

y

xctg =α

Ketentuan di atas juga berlaku untuk kuadran II, III dan IV. Karena rx ≤ dan ry ≤ maka berlaku

1cos1 ≤≤− α dan 1sin1 ≤≤− α . Khusus untuk αtg dan αctg dapat bernilai setiap harga positif dan negatif.

Secara umum, perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku sembarang adalah sebagai berikut :

hipotenusa (sisi miring) sisi di depan sudut

α sisi di samping sudut

Jadi :

miring

depan=αsin

miring

samping=αcos

samping

depantg =α

αα

cos

1cos =ec α

αsin

1sec = α

αtg

ctg1

=

Contoh 1: Tentukan nilai αα cos,sin dan αtg dari gambar berikut :

a. b.

α c b q p

β a r

Jawab : a. ...

...sin =α

...

...cos =α

...

...=αtg

b. ...

...sin =β

...

...cos =β

...

...=βtg


Contoh 2: Diketahui 3

4=αtg . Tentukan αsin dan αcos !

Jawab : 3

4=αtg =

...

... ....=⇒ r

αsin = .......

...= αcos = ....

...

...=

2. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA UNTUK oo 900 ≤≤ α

Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri pada sudut-sudut istimewa oo 900 ≤≤ α kita

pergunakan gambar sebagai berikut :

Y

o45

2 1 o60 P(0,r)

2 1

o45

o30 α X

1 3 P(r,0) Dari gambar di atas jika kita nyatakan dengan tabel sebagai berikut :

α αcos αsin αtg αctg αsec αeccos o0 … … … … … …

o30 … … … … … …

o45 … … … … … …

o60 … … … … … …

o90 … … … … … …

C

Contoh 3: Tentukan AC dan AB ! 5

o60

A B

Jawab : tg o60 = .....

..... ....=⇔ AC

cos .........

.....60 =⇔= ABo

LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilai αα cos,sin dan tg α dari gambar berikut :

c a) b)

α p b a

α q

r


2. Tentukan nilai ββ cos,sin dan tg β dari gambar berikut :

a) B b) P 26

8 β 6 6 R

β A C

Q

3. A o60 B Jika DC = 6 cm, maka tentukan AB

o45

D C

4. Jika 10

3sin =α maka tentukan cos α dan tg α

5. Jika tg 2=β maka tentukan sin β dan cos β 6. Tentukan nilainya :

a. ooo 303630cos330sin2 tg+−

b. oo

oo

30cos645sin2

60sin6603

+

+− tg

C

7. o30 Tentukan AB dan BC

B

12

A

3. SUDUT-SUDUT BERELASI

3.1 RELASI α DAN ( )α−o180

Y ( ) ........

....180sin ==−αo

P’(-x,y) α−o180 P(x,y) ( ) ........

....180cos ==−αo

α X ( ) ........

....180 ==−αotg


3.2 RELASI α DAN ( )α+o180

Y

P(x,y) ( ) ........

....180sin ==+αo

α+o180 α X ( ) ........

....180cos ==+αo

( ) ........

....180 ==+αotg

P’(-x,-y)

3.3 RELASI α DAN ( )α−o360 ATAU ( )α− Y

P(x,y) ( ) ( ) ....sin360sin =−=− ααo

( ) ( ) ....cos360cos =−=− ααo

α ( ) ( ) ....360 =−=− αα tgtg o

α− X P’(x,-y)

3.4 RELASI α DAN ( )α−o90 Y

P’(y,x) ( ) ........

....90sin ==−αo

α−o90 P(x,y) ( ) ........

....90cos ==−αo

( ) ........

....90 ==−αotg

X

3.5 RELASI α DAN ( )α+o90 Y

P’(-y,-x) ( ) ........

....90sin ==+αo

α+o90 P(x,y) ( ) ........

....90cos ==+αo

α ( ) ........

....90 ==+αotg

X

3.6 RELASI α DAN ( )α−o270

Y ( ) ........

....270sin ==−αo

P(x,y) ( ) ........

....270cos ==−αo

α−o270 α X ( ) ........

....270 ==−αotg

P’(-y,-x)


3.7 RELASI α DAN ( )α+o270

Y

P(x,y) ( ) ........

....270sin ==+αo

α X ( ) ........

....270cos ==+αo

α+o270 ( ) ........

....270 ==+αotg

P’(y,-x)

Contoh 1: Tentukan nilai dari :

a. o150sin b.

o225cos c. o330tg

Jawab : a. o150sin = sin( … - … ) = sin … = ….

b. o225cos = ….

c. o330tg = ….

LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilainya dari :

a. o120sin b.

o135sin c. o240cos d.

o300tg

e. o330cos f.

o150tg g. o240sin h.

o120cos

i. o135cos j.

o210tg k. o180sin l.

o270tg

m. ( )o150sin − n. ( )o300cos − o. ( )o210−tg

2. Jika 5

3sin =α dan

oo 18090 << α maka tentukan cos α dan tg α

3. Jika 3−=αtg dan oo 360270 << α maka tentukan sin α dan cos α

4. Tentukan α untuk oo 3600 << α dari :

a. 2

1sin =α b. 2

2

1cos =α c. 3−=αtg

5. Sederhanakan !

a. oooo 315cos2315sin2300cos2225sin4 +−+

b. oooo 33033315sin2210sin22403 tgtg ++−

4. KOORDINAT KUTUB

Y P(x,y) Koordinat Cartesius P(x,y)

Koordinat Kutub P(r, )α r

α X Hubungan koordinat Cartesius dan koordinat Kutub :

1. Dari koordinat Cartesius ke Kutub

P(x,y) = P(r, )α


22 yxr +=

x

yarctg

x

ytg =⇔= αα

2. Dari koordinat Kutub ke Cartesius

P(r, ),() yxP=α αcosrx =

αsinry =

Contoh 1: Tentukan koordinat Cartesius dari titik P(10, )45o

Jawab : x = … = …

y = … = …

Jadi koordinat Cartesius P(….,….)

Contoh 2: Tentukan koordinat kutub dari titik Q(-3,-4)

Jawab : r = … = …

Arctg ....=α = … ....=⇒ α Jadi koordinat kutub Q(……,……)

LATIHAN SOAL

1. Tentukan koordinat Cartesius dari :

a. ( )o60,8A b. ( )o120,10B c. ( )o210,6C d. ( )o300,4D

e. ( )o325,23E f. ( )o300,3F g. ( )o60,4 −G h. ( )o225,2 −H

i. ( )o0,12I j. ( )o90,6J

2. Tentukan koordinat Kutub dari :

a. A(5,5) b. B(-4,4) c. C(2, )32− d. D(0,5)

e. E(-8,0) f. F(-10,-10) g. )5,35(−G h. )3,1(−H

i. )1,3( −I j. J(1,-1)

5. HUBUNGAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT

Y P(x,y) 222 ryx =+ …(1)

r

=

=

αα

sin

cos

ry

rx …(2)

α 0. X

Dari (1) dan (2) didapat hubungan :

222 ryx =+ ⇒ …

......sincos 22 =+ αα

=

=

....sin

....cos2

2

αα

⇒=................

................

x

y

.......

.......=αtg

Contoh 1: Jika 10

8cos =α , maka tentukan sin α dan tg α


Jawab : .....sin2 =α

sin ........=α

tg .......

.......=α = ….

Contoh 2: Buktikan αααα tgtg =+ )1(cossin 2

Jawab : ....)1(cossin 2 =+ ααα tg

= …. = ….

LATIHAN SOAL

1. Diketahui A∠ lancip dan 17

8sin =A . Hitung cos A dan tg A !

2. Jika 15

9cos =B dan

oo 18090 << B , maka tentukan sin B dan tg B !

3. Tunjukkan bahwa :

a. 1120sin120cos 22 =+ oo

b. 1270cos270sin 22 =+ oo

4. Buktikan identitas berikut :

a. αα 22 sin211cos2 −=−

b. αα

α 2

2

2

sin1

=+ tg

tg

c. θθθ

θθ

cos

2

cos1

sin

sin

cos1=

−+

−

d. ( )( ) PPPPP 2sin21sincoscossin −=−+

e. ( )( )( ) αααα sinsec1cos1 =+− ctg

f. αα 22 sincos1 +− αα 22 tgtg =

6. PENGUKURAN SUDUT DENGAN DERAJAT DAN RADIAN

1 putaran = o

360 atau 360

11 =o

putaran

'601 =o

(menit) dan 1’ = 60’’ (detik)

Definisi : 1 radian adalah sudut pusat yang busurnya sama dengan jari-jari lingkarannya. Q

r 1 rad = POQ∠ jika busur PQ = r

Jadi radian yaitu ukuran sudut yang diperoleh dari perbandingan O r P panjang busur lingkaran dengan jari-jarinya.

Keliling 2

1 lingkaran = π r

Q O P Jadi POQ∠ = o180 = π

π=

r

r rad


Jadi π=o180 rad atau cukup ditulis dengan π=o180

1 rad = ''45'1757296,5714,3

180180 oo

oo

≈≈=π

Contoh 1: Nyatakan o120 dengan ukuran radian !

Jawab : o120 = ….

Contoh 2: Nyatakan 3

4π dengan ukuran derajat !

Jawab : 3

4π = ….

LATIHAN SOAL

1. Nyatakan ke dalam ukuran radian dari :

a. o45 b.

o90 c. o135 d.

o210 e. o240

f. o330 g.

o270 h. o360 i.

o420 j. o540

2. Nyatakan ke dalam ukuran derajat dari :

a. 3

π b.

3

2π c.

3

5π d.

6

11π

e. 12

5π f.

18

5π g. 2 h. 30

3. Berapa radian ukuran ?1o

4. Tentukan nilai dari :

a. 2

3sin

π b.

6

11sin

π c.

3

4cos

π d.

4

5πtg e. 30sin

B. FUNGSI TRIGONOMETRI

Domain fungsi trigonometri berupa himpunan sudut-sudut dan kodomainnya berupa bilangan real.

Fungsi trigonometri merupakan fungsi yang periodik, artinya pada selang sudut tertentu nilai fungsi itu

akan berulang sama nilainya. Periode sin dan cos adalah o360 atau π2 . Sedangkan periode tg adalah

o180 atau π .

Jadi sin x = sin (x + k. π2 )

cos x = cos (x + k. π2 )

tg x = tg (x + k. π ) dimana Bk ∈

Contoh 1: Tentukan nilai dari :

a. o480sin b.

o960cos c. o1290tg

Jawab : a. o480sin = …

b. o960cos = …

c. o1290tg = …


1. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

1.1 Grafik y = sin x, y = cos x dan y = tg x pada oo 3600 ≤≤ x

Y = sin x

Y

1

X

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

-1

y = cos x

Y

1

X

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

-1

y = tg x

Y

X 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

LATIHAN SOAL

Lukislah grafik di bawah ini untuk 3600 ≤≤ x !

13sin2.8

2cos3.7

12sin.6

2sin.5

2cos3.4

1sin2.3

cos5.2

sin2.1

+=

=

+=

=

−=

+=

=

=

o

o

o

o

o

o

o

o

xy

xy

xy

xy

xy

y

xy

y

Documents

Bahan Ajar Trigonometri