Bahan Ajar Sistem Persamaan

Sistem Persamaan www.briliantprivate.com

SISTEM PERSAMAAN

A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH (VARIABEL)

Bentuk umum :

=+=+

222

111

cybxa

cybxa

Dimana Rccbbaa ∈212121 ,,,,,

Himpunan pasangan berurutan ( )yx, yang memenuhi kedua persamaan di atas disebut Himpunan Penyelesaian (HP). Secara geometri, penyelesaian sistem persamaan di atas merupakan titik potong dua buah garis lurus.

Ada 4 cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah, yaitu :1. Eliminasi (penghilangan/penghapusan)2. Substitusi (penggantian)3. Determinan (Aturan Cramers)4. Grafik

1. METODE ELIMINASI

Yaitu dengan menghilangkan salah satu variabel (peubah) sehingga menjadi satu persamaan dengan satu peubah. Cara menghilangkannya bisa dikurangi atau ditambah dengan mengalikan terlebih dahulu kedua persamaan tersebut dengan suatu bilangan sehingga terdapat koefisien suatu peubah yang sama atau berlawanan tanda dari kedua persamaan di atas. Jika salah satu peubah sudah diketahui penyelesaiannya, maka untuk menentukan penyelesaian peubah yang lain dengan mengganti nilai peubah itu ke salah satu persamaan di atas sehingga persamaan tersebut dapat diselesaikan.

Contoh 1: Tentukan HP dari

=+=+143

132

yx

yx dengan menggunakan eliminasi !

Jawab : .........

.....

143

132⇒

=+=+x

x

yx

yx

… … = …

………………………………Jadi HP:{(…..,…..)}

Contoh 2: Tentukan HP dari .3

62

134

−=+−

=+

yx

yx dengan menggunakan eliminasi

Jawab : .......

...

362

134

⇒−=+−

=+

x

x

yx

yx

…. ….


Tidak semua sistem persamaan

=+=+

222

111

cybxa

cybxa mempunyai penyelesaian. Untuk itu perlu

diketahui aturannya sebelum kita menyelesaikannya.

Aturan 1: Jika 2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a == maka dikatakan kedua persamaan bergantungan. Penyelesaiannya

tak terhingga banyaknya. Secara geometri berupa dua garis yang berimpit.

Aturan 2: Jika 2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a ≠= maka dikatakan kedua persamaan bertentangan (berlawanan).

Penyelesaiannya tidak ada. Secara geometri berupa dua garis yang sejajar.

Aturan 3: Jika 2

1

2

1

b

b

a

a ≠ maka kedua persamaan dikatakan bebas. Penyelesaiannya tunggal, yaitu

sepasang ),( yx . Secara geometri berupa dua garis yang berpotongan.

LATIHAN SOAL

1. Tentukan HPnya dengan menggunakan metode eliminasi.

a.

=−=+74

53

yx

yxb.

=+=−923

14

yx

yxc.

=+=−243

1335

yx

yx

d.

=+=+−xy

yx

222

5e.

=+−=−1

62

yx

xy


a.

=−

=+

812

143

yx

yxb.

=−

−=+

6810

145

yx

yxc.

−=−+

=+++

42

13

25

2

3

4

yx

yx

3. Tentukan titik potong antara garis y = 3x + 6 dan –2y = -5x – 11.

4. Suatu pecahan nilainya 3

2. Jika pembilang dikurangi 2 dan penyebut ditambah 7, maka nilai

pecahan itu menjadi 4

1. Tentukan pecahan asalnya !

5. Suatu bilangan terdiri atas dua angka. Jumlah angka-angkanya 9. Bilangan itu 9 kali angka satuannya. Tentukan bilangan itu.

6. Keliling suatu persegi panjang 180 cm. Sedangkan 3 kali panjangnya sama dengan 7 kali lebarnya. Berapa luasnya ?

2. METODE SUBSTITUSI


Yaitu mengganti salah satu peubah dari suatu persamaan dengan peubah lain dari persamaan lainnya. Maka yang tadinya suatu persamaan dengan dua peubah (heterogen) menjadi suatu persamaan dengan hanya satu peubah (homogen). Sehingga persamaan itu mudah diselesaikannya. Untuk menentukan nilai peubah lainnya dengan mengganti salah satu peubah dengan nilai peubah yang sudah diketahui sebelumnya.


=−−=+52

432

yx

yxdengan menggunakan metode substitusi.

Jawab : x – 2y = 5 ....=⇔ xSubstitusi x = … ke 2x + 3y = -4 2x + 3y = -4…. + 3y = -4….y = …y = … substitusi ke x = … sehingga x = …Jadi HP:{(……,……)}

Contoh 2: Tentukan HP dari .3

62

134

−=+−

=+

yx

yx dengan menggunakan metode substitusi.

Jawab : Misal : ax

=1 dan by

=1 maka persamaan di atas menjadi :

… + … = 1 ....=⇔ b… + … = -3Substitusi b = … ke … … + … = -3 a = … sehingga b = …

a = … = …. maka x = …b = … = … maka y = …Jadi HP:{(…,…)}

LATIHAN SOAL

1. Tentukan HP nya dengan menggunakan metode substitusi dari :

a.

=−=+74

53

yx

yxb.

=+=−923

14

yx

yxc.

=+=−243

1335

yx

yx

d.

=+=+−xy

yx

222

5e.

=+−=−1

62

yx

xy

2. Tentukan HPnya dengan menggunakan metode substitusi dari :

a.

=−

=+

812

143

yx

yxb.

=−

−=+

6810

145

yx

yxc.

−=−+

=+++

42

13

25

2

3

4

yx

yx

3. Tentukan persamaan garis lurus y = mx + c yang melalui titik-titik (2,1) dan (6,9)

4. Jumlah dua bilangan 49 dan selisihnya 21. Tentukan kedua bilangan itu.

5. Ali membeli sebuah pensil dan 2 buah buku seharga Rp 2.500 sedangkan Budi membeli 2 pensil dan 5 buku seharga Rp 5.750. Tentukan masing-masing harga sebuah pensil dan sebuah buku.


6. Umur Reza sekarang 7 tahun lebih muda dari Sinta. Tiga tahun yang akan datang umur mereka berjumlah 33. Berapa umur mereka masing-masing sekarang ?

3. METODE DETERMINAN (ATURAN CRAMERS)

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan metode determinan caranya sebagai berikut :

1221

1221

1

2

222

111

baba

bcbcx

xb

xb

cybxa

cybxa

−−=⇒

=+=+

= D

D

ba

ba

bc

bc

x=

22

11

22

11

1221

1221

1

2

222

111

baba

cacay

xa

xa

cybxa

cybxa

−−=⇒

=+=+

= D

D

ba

ba

ca

ca

y=

22

11

22

11

Jadi : D

Dx x= dan

D

Dy

y= syarat 0≠D

Dimana 122122

11 bababa

baD −==

122122

11 bcbcbc

bcDx −==

122122

11 cacaca

caDy −==


==−=+1143

654

yx

yx dengan menggunakan metode determinan.

Jawab : ...=D

...=xD ...=yD

x = … y = …

Jadi HP:{(…..,…..)}

4. METODE GRAFIK

Yaitu penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan perpotongan dua buah garis lurus.



=+=−92

3

yx

yx dengan menggunakan metode grafik

Jawab : Garis x – y = 3 Garis x + 2y = 9 x = 0 maka y = … x = 0 maka y = … y = 0 maka x = … y = 0 maka x = …

Maka garis x – y = 3 melalui titik (…,…) dan (…,…).Sedangkan garis x + 2y = 9 melalui titik (…,…) dan (…,…)

Gambarnya : Y

0 X

Karena titik potongnya di titik (….,….), maka HP:{(….,….)}

LATIHAN SOAL

1. Tentukan HPnya dengan menggunakan metode determinan

a.

=−=+74

53

yx

yxb.

=+=−923

14

yx

yxc.

=+=−243

1335

yx

yx

d.

=+=+−xy

yx

222

5e.

=+−=−1

62

yx

xyf.

=+=+4823

14

yx

yx

g.

=−=+−1835

2752

yx

yxh.

−=+

=−

753

2

893

1

yx

yx

2. Tentukan HPnya dengan menggunakan metode grafik

a.

+−==

2xy

xyb.

=−=+32

3

yx

yxc.

=+=

6

2

yx

xyd.

−=−=+352

743

yx

yx

B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN TIGA PEUBAH (VARIABEL)


Bentuk umumnya :

=++=++=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

Penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga peubah berupa himpunan pasangan berurutan (x,y,z). Secara geometri berupa titik potong dari tiga buah bidang datar.

Cara menyelesaikannya ada 3 cara, yaitu :1. Metode Eliminasi2. Metode Substitusi3. Metode Determinan (Aturan Cramers)

1. METODE ELIMINASI

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga peubah dengan eliminasi yaitu dengan mengeliminasi (menghilangkan) salah satu peubah sehingga yang tadinya 3 persamaan dengan 2 peubah menjadi 2 persamaan dengan 2 peubah. Lalu diselesaikan dengan cara menyelesaikan sistem persaman linear 2 peubah. Untuk menentukan nilai peubah yang terakhir, dengan mengganti dua peubah yang sudah diketahui dari salah satu persamaan.


=−+=+−=−+

13433

024

832

zyx

zyx

zyx

dengan menggunakan metode eliminasi

Jawab : Eliminasi z dari :

........

....

024

832⇒

=+−=−+x

x

zyx

zyx …(1)

Eliminasi z dari :

........

....

13433

024⇒

=−+=+−

x

x

zyx

zyx …(2)

Dari (1) dan (2) akan didapat nilai x dan y, yaitu :………

Untuk menentukan nilai z, maka x = … dan y = … disubstitusi ke x + 2y – 3z = 8……Jadi HP:{(…,….,….)}

LATIHAN SOAL


a.

−=−+=−−=++

1223

352

243

zyx

zyx

zyx

b.

=+−=+−=+−

1042

32

22

zyx

zyx

zyx

c.

=+−=−+=+−

52

423

8432

zyx

zyx

zyx

d.

−=−=+−=−

143

654

1832

zx

zy

yx

e.

=+=−−=+−

6

032

74

zx

zyx

zyx

f.

=++

−=−+

=++

13532

9354

19423

zyx

zyx

zyx


2. Tentukan persamaan parabola cbxaxy ++= 2 yang melalui titik-titik (1,2,3), (3,7,5) dan (6,4,2)

3. Suatu bilangan terdiri atas tiga angka. Jumlah angka-angkanya 15. Jika angka ratusan dan puluhan dipertukarkan, maka bilangan yang baru 360 kurangnya dari bilangan asal. Sedangkan jika angka puluhan dan satuan dipertukarkan tempatnya, maka bilangan baru 198 kurangnya dari bilangan asal. Tentukan bilangan asal !

2. METODE SUBSTITUSI

Menyelesaikan sistem persamaan linear 3 peubah dengan menggunakan metode substitusi yaitu dengan mengganti salah satu peubah dari dua persamaan dengan peubah dari persamaan lainnya sehingga yang tadinya 3 persamaan dengan 3 peubah menjadi 2 persamaan dengan 2 peubah. Lalu selesaikan seperti menyelesaikan sistem persamaan linear dengan 2 peubah. Untuk menentukan nilai peubah yang ketiga, substitusikan 2 nilai peubah yang sudah diketahui ke salah satu persamaan yang ada.


=−+=+−=−+

13433

024

832

zyx

zyx

zyx

dengan menggunakan metode substitusi !

Jawab : x + 2y – 3z = 8 ...=⇔ xSubstitusi x = … ke persamaan (2) dan (3), maka :4( … ) – y + 2z = 0 ....⇔ …(4)3( … ) + 3y – 4z = 13 ....⇔ …(5)Dari (4) dan (5) selesaikan dengan substitusi :….….Maka y = … dan z = …Substitusi y = … dan z = … ke x = …

x = … Jadi HP:{( …, … , ….)}

LATIHAN SOAL

1. Tentukan HPnya dengan menggunakan metode substitusi dari :

a.

−=−+=−−=++

1223

352

243

zyx

zyx

zyx

b.

=+−=+−=+−

1042

32

22

zyx

zyx

zyx

c.

=+−=−+=+−

52

423

8432

zyx

zyx

zyx

d.

−=−=+−=−

143

654

1832

zx

zy

yx

e.

=+=−−=+−

6

032

74

zx

zyx

zyx

f.

=++=−

−=+−

923

1172

53

2

4

1

zyx

zx

zyx

2. Jumlah tiga buah bilangan sama dengan 6. Bilangan pertama ditambah bilangan kedua sama dengan bilangan ketiga, dan bilangan kedua besarnya dua kali bilangan pertama. Tentukan masing-masing bilangan tersebut !

3. Skor ujian 3 siswa berjumlah 78, skor siswa pertama 10 lebihnya dari iswa kedua, sedangkan skor siswa ketiga 4 kurangnya dari siswa pertama. Berapa skor masing-masing siswa ?


4. METODE DETERMINAN

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear 3 peubah dengan meggunakan metode determinan sama seperti yang dua peubah, yaitu :

D

Dy

D

Dx

yx == , dan D

Dz z=

Bedanya hanya cara menentukan nilai determinannya. Untuk menentukan nilai determinan matriks 3 x 3 yaitu dengan diagram SARRUS. Caranya :

1 1. Salin kolom ke-1 dan kolom ke-2 lalu tempatkan di kolom ke-4 dan ke-5 2. Jumlahkan perkalian bilangan-bilangan pada diagonal ke bawah, lalu kurangkan dengan perkalian

bilangan-bilangan pada diagonal ke atas.

Contoh 1: Tentukan determinan A atau A jika

=

963

852

741

A

Jawab :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).................................................................................

........

........

........

963

852

741

−−−++==A

= …


=−+=+−=−+

13433

024

832

zyx

zyx

zyx

dengan menggunakan metode determinan

Jawab : ...

......

......

......

.........

.........

.........

==D

...

......

......

......

.........

.........

.........

==xD

...

......

......

......

.........

.........

.........

==yD

...

......

......

......

.........

.........

.........

==zD

D

Dx x= = …

D

Dy

y= = …

D

Dz z= = …

Jadi HP:{(….,….,….)}

LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilai determinannya dari matriks berikut ini :


a.

−=

102

220

331

A b.

−

−=

120

053

413

B c.

−−=

431

034

213

C

2. Tentukan Hpnya dengan metode determinan dari :

a.

−=−+=−−=++

1223

352

243

zyx

zyx

zyx

b.

=+−=+−=+−

1042

32

22

zyx

zyx

zyx

c.

=+−=−+=+−

52

423

8432

zyx

zyx

zyx

d.

−=−=+−=−

143

654

1832

zx

zy

yx

e.

=+=−−=+−

6

032

74

zx

zyx

zyx

f.

=++=−

−=+−

923

1172

53

2

4

1

zyx

zx

zyx

3. Tentukan nilai x jika :

a. 41

32=

−xb. 3

410

312

00

=x

c. 1

023

312

102

=−x

A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN PERSAMAAN KUADRAT

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dan persamaan kuadrat yaitu dengan metode substitusi. Caranya dengan mensubstitusi salah satu peubah dari persamaan kuadrat dengan peubah lain yang berasal dari persamaan linear.


=−=−−−22

062

yx

yxx

Jawab : 2x – y = 2 ....=⇔ y

Substitusi y = …. ke 062 =−−− yxx

06...)(.........2 =−−−xx

……

.......... 11 =⇒= yx

......... 22 =⇒= yx

Jadi HP:{(…..,…..),(…,.…)}


LATIHAN SOAL

1. Tentukan Hpnya !

a.

=+++−=3

22

xy

xxyb.

=+−=

085

22

yx

xyc.

=−=+42

1322

yx

yx

d.

=−=+−−

12

02642 22

yx

yyxe.

−+==−

103

72 xxy

yxf.

−=++=2310

22

xy

xy

2. Tentukan dua bilangan yang selisihnya 3 dan hasilkalinya 28

4. Tentukan titik potong antara garis y = x + 6 dan parabola y = x 2

5. Tentukan ukuran suatu persegi panjang yang kelilingnya 68 cm dan panjang diagonalnya 26 cm

6. Dua bilangan jumlahnya 8, sedangkan jumlah kebalikan-kebalikannya adalah 15

8. Tentukan kedua

bilangan itu



Documents

Bahan Ajar Sistem Persamaan