Bahan Ajar Sistem Persamaan Kuadrat

www.briliantprivate.co.cc Page 1


PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

A. PERSAMAAN KUADRAT

1. PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah 02 =++ cbxax , dimana 0≠a dan a,b,c R∈ .

Pembuat nol dari persamaan di atas merupakan penyelesaian persamaan kuadrat. Himpunan dari

penyelesaian di atas disebut Himpunan Penyelesaian (HP). Menentukan penyelesaian persamaan

kuadrat sama dengan menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Secara geometri, menentukan

penyelesaian persamaan kuadrat berarti menentukan titik-titik potong kurva cbxaxy ++= 2

dengan sumbu X.

Cara menentukan penyelesaian persamaan kuadrat ada 3 cara, yaitu :

1. memfaktorkan

2. melengkapkan kuadrat sempurna

3. rumus kuadrat (rumus abc)

1.1 Penyelesaian persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

Jika suatu persamaan kuadrat dapat diubah menjadi bentuk AB = 0, maka penyelesaiannya adalah

A = 0 atau B = 0. Langkah pertama untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat

02 =++ cbxax dengan pemfaktoran yaitu dengan menentukan faktor dari perkalian ac yang

jumlahnya adalah b, misalnya faktornya p dan q. Sehingga perkalian luar dan perkalian dalam dari

koefisiennya besarnya p dan q. Perhatikan pola di bawah ini :

Perkalian dalam

(…x + …)(…x + …) = 0

Perkalian luar

Contoh 1: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari 0822 =−− xx

Jawab : 0822 =−− xx ⇔ (x - ….)(x + ….) = 0

....1 =x ....2 =x

Jadi HP:{….,…..}

Contoh 2: Tentukan penyelesaian dari 056 2 =−− xx

Jawab : 056 2 =−− xx ⇔ (…...-……)(……+……) = 0

....1 =x ....2 =x

LATIHAN SOAL

Tentukan HPnya dengan menggunakan cara pemfaktoran !

1. 0122 =−− xx

2. 01272 =++ xx

3. 01682 =+− xx


4. 092 =−x

5. 0812 =+− x

6. 0102 2 =−x

7. 02 =− ax

8. 032 =− xx

9. 0123 2 =+ xx

10. 02 =+ bxax

11. 062 2 =−− xx

12. 0485 2 =−+ xx

13. 03116 2 =++ xx

14. 05188 2 =+−− xx

15. 032012 2 =+− xx

1.2 Penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Yaitu dengan mengubah persamaan 02 =++ cbxax menjadi bentuk ( ) qpx =+ 2 sehingga

penyelesaiannya qpx ±−= . Pertama, usahakan menjadi bentuk a

cxa

bx −=+2 . Kemudian

menjadikan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, yaitu dengan menambahkan kedua ruas

dengan 2)2(a

b.

Contoh 3: Tentukan HP dari 0822 =−− xx dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Jawab : 0822 =−− xx ⇔ …. = …..

………………………….

Jadi HP : {……,…….}

Contoh 4: Tentukan HP dari 056 2 =−− xx dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Jawab : 056 2 =−− xx ⇔ …. = …. 6:

………………………………..

Jadi HP:{ …. }


LATIHAN SOAL

Tentukan HPnya dengan melengkapkan kuadrat sempurna, dari :

1. 0122 =−− xx 11. 062 2 =−− xx

2. 01272 =++ xx 12. 0485 2 =−+ xx

3. 01682 =+− xx 13. 03116 2 =++ xx

4. 092 =−x 14. 05188 2 =+−− xx

5. 0812 =+− x 15. 032012 2 =+− xx

6. 0102 2 =−x

7. 02 =− ax

8. 032 =− xx

9. 0123 2 =+ xx

10. 02 =+ bxax

1.3 Penyelesaian Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat (Rumus abc)

02 =++ cbxax ⇔ …. = … a:

⇔ …. = …

⇔ …. + …. = …. + ….

⇔ ( ) ............2 =+

⇔ … + … = …

⇔ x = …

⇔

Sehingga : a

acbbx

2

42

2.1

−±−= dimana acb 42 − disebut dengan diskriminan (D)

Jadi D = acb 42 −

Rumus di atas dikenal dengan nama rumus kuadrat atau sering dikenal dengan rumus abc.

Contoh 5: Tentukan HP dari 0822 =−− xx dengan menggunakan rumus kuadrat

Jawab : a = … , b = …. , c = ….

a

acbbx

2

42

2.1

−±−= = …

= …

....1 =x

....2 =x

Jadi HP:{ …. }

Contoh 6: Tentukan HP dari 0295 2 =−− xx dengan menggunakan rumus kuadrat


Jawab : a = … , b= …. , c = ….

a

acbbx

2

42

2.1

−±−= = …

Jadi HP:{ …. }

LATIHAN SOAL

Tentukan HPnya dengan menggunakan rumus kuadrat (abc) dari :

1. 0122 =−− xx 11. 062 2 =−− xx

2. 01272 =++ xx 12. 0485 2 =−+ xx

3. 01682 =+− xx 13. 03116 2 =++ xx

4. 092 =−x 14. 08185 2 =−− xx

5. 0812 =+− x 15. 012320 2 =++− xx

6. 0102 2 =−x

7. 0405 2 =+− x

8. 032 =− xx

9. 0123 2 =+ xx

10. 0606 2 =+− xx

2. JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Jenis-jenis akar persamaan kuadrat :

- Jika D < 0 maka akar-akarnya imajiner/ireal/tidak nyata

- Jika D = 0 maka akar-akarnya real dan sama (akar kembar)

- Jika D > 0 maka akar-akarnya real dan berlainan

Jika D > 0 dan D merupakan bentuk akar, maka akar-akarnya irasional dan berlainan

Jika D > 0 dan D bukan bentuk akar, maka akar-akarnya rasional dan berlainan

Harga a pada 02 =++ cbxax menentukan kurva parabola menghadap ke atas atau ke bawah.

- Jika a < 0 maka parabola menghadap ke bawah

- Jika a > 0 maka parabola menghadap ke atas

Definit negatif dan definit positif

- Jika a < 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu menghasilkan nilai cbxax ++2 yang negatif

(definit negatif)

- Jika a > 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu menghasilkan cbxax ++2 yang positif

(definit positif)


Perhatikan gambar berikut :

Definit positif

a >0

D <0 a > 0 a >0

D=0 D >0

Sb X

a < 0 a < 0

D > 0 D = 0 a < 0

D < 0

Definit negatif

Contoh 1: Tentukan jenis akar-akar dari 0453 2 =−+ xx

Jawab : D = … = …

Karena D … 0 maka akar-akarnya …

Contoh 2: Tentukan nilai n agar persamaan 082 2 =++ nxx mempunyai akar kembar !

Jawab : Syarat akar kembar, yaitu D …. 0

… = 0

… = 0

… = 0

( … )( … ) = 0

n = … atau n = …

LATIHAN SOAL

1. Tentukan jenis-jenis akar persamaan berikut :

a. 0252 =+− xx d. 0352 =−+− xx

b. 075303 2 =+− xx e. 045305 2 =++ xx

c. 0354 2 =++ xx

2. Tentukan n, agar persamaan berikut mempunyai akar kembar !

a. 0162 =+− nxx

b. 050202 =++ xnx

c. 020183 2 =++− nxx

d. 03216)1( 2 =+++ xxn

e. 02

112)2(

2

1 2 =+++ xnx


3. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Akar-akar 02 =++ cbxax adalah a

acbbx

2

42

1

−+−= dan

a

acbbx

2

42

2

−−−= .

Sehingga jika dijumlahkan dan dikalikan akar-akarnya akan mendapatkan rumus :

a

cxxdan

a

bxx =−=+ 2121

Contoh 1: Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar :

a. 025102 =++ xx b. 03103 2 =+− xx

Jawab : a. 025102 =++ xx

a = … , b = … , dan c = …

......21 =+ xx

21xx = …..

b. 03103 2 =+− xx

a = … , b = …. dan c = ….

......21 =+ xx

21xx = …..

Contoh 2: Jika 1x dan 2x akar-akar 0352 2 =+− xx maka tentukan nilai :

a. 2

2

2

1 xx + b. 21

11

xx+ c. 21 xx − d.

3

2

3

1 xx +

Jawab : ......21 =+ xx

21xx = …..

a. 2

2

2

1 xx + = ( ) ....2 21

2

21 =−+ xxxx

b. 21

11

xx+ = .....

21

21 =+

xx

xx

c. 21 xx − = ( ) .....4 21

2

21 =−+ xxxx

d. 3

2

3

1 xx + = ( ) ( ) ....3 2121

3

21 =+−+ xxxxxx

LATIHAN SOAL

1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari :

a. 0252 =+− xx b. 063 2 =−+ xx

2. Jika 1x dan 2x akar-akar persamaan 0143 2 =+− xx , maka tentukan harga :

a. 2

2

2

1 xx + b. 21

11

xx+ c. 21 xx − d.

3

2

3

1 xx +

3. Tentukan n agar 0452 =++ xnx hasil kali akar-akarnya 1 atau akar-akarnya saling

berkebalikan.

4. Tentukan n agar 034 2 =++ nxx akar-akarnya berlawanan tanda.

5. Tentukan n agar 0102 =++ nxx hasil kali akar-akarnya 5.


4. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT

4.1 Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya 1x dan 2x .

Digunakan rumus sebagai berikut :

( )( ) ( ) 00 2121

2

21 =++−=−− xxxxxxatauxxxx

Contoh 1: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan –3

Jawab : Cara I : ( )( ) 021 =−− xxxx .....⇒

Cara II : ( ) 02121

2 =++− xxxxxx .....⇒

4.2 Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya Berhubungan Dengan Akar-akar

Persamaan Kuadrat Lainnya

Misal 1x dan 2x akar-akar dari 02 =++ cbxax , sedangkan 21 ydany akar-akar persamaan

kuadrat baru, dimana 2211 kxydankxy == , maka cara menentukan persamaan kuadrat baru itu

ada 2 cara, yaitu :

1. Cara I : Substitusi y = kx atau k

yx = ke 02 =++ cbxax , lalu ganti y dengan x

2. Cara II: dengan menggunakan rumus :

( ) 22112121

2 dim0 kxydankxyanayyxyyx ===++−

Contoh 2: Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kali akar-akar 0352 =+− xx

Jawab : Cara I : y = 2x maka x = ….

Substitusi x = …. ke 0352 =+− xx

…. = 0

…. = 0

Ganti y dengan x, maka diperoleh : ….

Cara II: ( ) 22112121

2 22dim0 xydanxyanayyxyyx ===++−

….

….

LATIHAN SOAL

1. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :

a. 3 dan 4 c. 5 dan –1/2

b. 2 dan –7 d. –3/2 dan 4/5

2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali akar-akar 0123 2 =+− xx


3. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1/2 kali akar-akar 0822 =−− xx

4. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar 0342 =−+ xx

5. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan akar-akar 0682 2 =+− xx

B. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Pertidaksamaan kuadrat diselesaikan dengan bantuan garis bilangan, yaitu dengan menguji pada

masing-masing daerah pada garis bilangan dengan mencantumkan akar-akar persamaan kuadrat.

Tentukan penyelesaiannya sesuai dengan soal dan tanda “+” atau “-“ pada garis bilangan.

Contoh 1: Tentukan HP dari :

a. 0822 <−− xx b. 062 2 ≥−+ xx c. 04

3>

+

−

x

x

Jawab : a. 0822 <−− xx ( )( ) 0.................... <⇔

… … …

… …

HP:{x/ … }

b. 062 2 ≥−+ xx ( )( ) 0.................... ≥⇔

… … …

… …

HP:{x/ … }

c. 04

3>

+

−

x

x

( )( ) 0......................... >

… … …

… …

HP:{x/ … }


LATIHAN SOAL

1. Tentukan HPnya dari pertidaksamaan :

a. 01832 <−+ xx e. xx 437 2 ≥−

b. 01682 >++ xx f. 12

8>

+x

c. 025102 ≤++ xx g. 051

≤−−x

x

d. 072 2 >+ xx

2. Tentukan n agar 0482 =++ xnx akar-akarnya imajiner

3. Tentukan n agar 01)4(2

1 2 =−−+ xnnx akar-akarnya real dan berlainan

4. Tentukan interval x sehingga f(x) = 652 ++ xx berada di atas sumbu X

5. Tentukan interval x sehingga f(x) = 8152 2 ++− xx berada di atas sumbu X

C. FUNGSI KUADRAT

1. MELUKIS PARABOLA

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = Rcbadanacbxax ∈≠++ ,,0,2 .

Kurvanya berupa Parabola.

Cara melukis sketsa Parabola, yaitu :

1. Tentukan titik-titik potong dengan sumbu koordinat

a. Dengan sumbu X syarat y = 0

b. Dengan sumbu Y syarat x = 0

2. Tentukan Titik Puncak dengan rumus TP:

−

−−

a

acb

a

b

4

4,

2

2

3. Jika a > 0, maka parabola menghadap ke atas

Jika a < 0, maka parabola menghadap ke bawah

4. Gunakan beberapa buah titik bantu jika perlu

5. Lukis kurvanya dengan menghubungkan titik-titik yang sudah diketahui

Contoh 1: Lukis parabola berikut :

a. 822 −+= xxy b. 62 2 ++−= xxy

Jawab : a. 822 −+= xxy

- Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka :

820 2 −+= xx

= ….

….

- Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, maka :

y = …

- Titik Puncak :

−

−−

a

acb

a

b

4

4,

2

2

= ….


- Karena a = … , maka parabola menghadap ke …

- Beberapa titik bantu :

x … … … … … …

y … … … … … …

- Gambar kurvanya :

Y

0 X

b. 62 2 ++−= xxy

- Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka :

620 2 ++−= xx

= ….

….

- Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, maka :

y = …

- Titik Puncak :

−

−−

a

acb

a

b

4

4,

2

2

= ….

- Karena a = … , maka parabola menghadap ke …

- Beberapa titik bantu :

x … … … … … …

y … … … … … …

- Gambar kurvanya :

Y

0 X


LATIHAN SOAL

1. Tentukan koordinat titik puncaknya dari :

a. 1832 −+= xxy c. 123 2 −= xy

b. 962 ++= xxy d. xxy 124 2 +=

2. Lukislah sketsa parabola berikut ini :

a. 672 2 ++= xxy e. 762 +−−= xxy

b. 25102 ++= xxy f. 584 2 ++−= xxy

c. xxy 123 2 −= g. 228 xxy −=

d. 164 2 −= xy h. 29 xy −=

2. MASALAH-MASALAH OPTIMUM

Jika suatu persoalan yang ada pada sehari-hari dapat dinyatakan dengan fungsi kuadrat, maka

tentulah ada batas tertinggi atau terendahnya, karena kurvanya berupa parabola. Maka nilai

optimum (maksimum/minimum) dari persoalan tersebut dapat ditentukan dengan nilai y pada

koordinat titik puncak, yaitu a

acb

4

42

−

−

Contoh 1: Suatu persegi panjang kelilingnya 24 cm. Tentukan luas maksimumnya !

Jawab : K = 2(p + l)

24 = 2(p + l) maka p + l = … sehingga p = …

L = p.l

Substitusi p = … ke L = p.l, maka :

L = …

= … merupakan fungsi kuadrat.

L maks = a

acb

4

42

−

− = ….

Contoh 2: Dua bilangan jumlahnya 10. Tentukan kedua bilangan itu, agar hasil kalinya maksimum

Jawab : Misal kedua bilangan itu x dan y, maka x + y = … atau x = …

Misal hasil kali x dan y dinyatakan dengan z, maka z = xy.

Substitusi x = … ke z = xy sehingga :

z = …

= … merupakan fungsi kuadrat

z maks = a

acb

4

42

−

− = …

Karena x + y = … dan xy = … maka x = … dan y = …

LATIHAN SOAL

1. Suatu persegi panjang kelilingnya 100 cm. Tentukan luas maksimumnya

2. Dua bilangan jumlahnya 16. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil kalinya maksimum

3. Dua bilangan selisihnya 6. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil kalinya minimum


4. Persamaan gerak bola yang dilempar ke atas yaitu tttS 7010)( 2 +−= . S(t) merupakan jarak yang

ditempuh setelah waktu t. S(t) dalam satuan meter dan t dalam satuan detik. Tentukan :

a. tinggi maksimum yang dapat dicapai bola

b. saat bola mencapai tinggi maksimum

c. saat bola mencapai tanah

5. Suatu kolam renang akan dikeringkan. Jika hubungan antara air di kolam dengan waktu adalah 2801600)( tttV +−= . V(t) yaitu isi air dalam kolam renang setiap waktunya ( 3dm ) dan t yaitu

waktu dalam satuan menit. Kapan isi air kolam itu minimum dan tentukan isi minimumnya !

Documents

Bahan Ajar Sistem Persamaan Kuadrat