Upload
xxxito
View
106
Download
12
Embed Size (px)
DESCRIPTION
bahan ajar ini dibuat untuk membantu mempermudah pembelajaran metoode numerik
Citation preview
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Galat dalam Komputasi Numerik
• Pengantar
• Sumber Galat
• Penyajian Bilangan
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 1
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Pengantar
• Masalah matematika tidak selalu dapat
diselesaikan secara analitik, misalnya yang
melibatkan integral dari fungsi-fungsi yang
berbentuk kompleks
• Dalam kasus demikian, komputasi numerik
(penyelesaian masalah menggunakan metode
numerik) menjadi salah satu pendekatan
alternatif yang dapat digunakan
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 2
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Strategi yang digunakan dalam komputasi
numerik adalah menyederhanakan masalah
melalui transformasi berikut:
• infinite → finite
• differential → algebraic
• nonlinear → linear
• complicated → simple
• Dalam penyelesaian masalah, metode numerik
menggunakan operasi-operasi yang dapat
dilakukan oleh komputer, yaitu operasi aritmatika
dan logika.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 3
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Penggunaan komputer dapat memperpendek
waktu yang digunakan untuk penyelesaian
masalah-masalah yang membutuhkan waktu
sangat lama bila dikerjakan secara manual.
• Solusi yang diperoleh melalui komputasi numerik
biasanya berupa suatu hampiran, yang
mengandung kesalahan numerik
• Aspek penting dalam komputasi numerik selain
kecepatan proses adalah keakuratan hasil
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 4
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Metode numerik yang baik adalah yang bisa
memberikan solusi yang akurat dalam waktu
yang relatif cepat
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 5
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Sumber Galat
• Sebelum proses komputasi:
• Kesalahan akibat model yang salah
• Kesalahan karena hasil observasi yang salah/ pengukuran yang salah
• Kesalahan yang dibawa dari proses perhitungan yang sebelumnya
• Selama proses komputasi:
• Kesalahan karena hasil pendekatan/ hampiran
• Kesalahan karena proses pemangkasan atau pembulatan
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 6
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Contoh:
• Kesalahan yang terjadi dalam perhitungan luas
permukaan bumi menggunakan formula
A = 4 π r2 adalah:
• Memodelkan bumi sebagai bola dengan
permukaan yang rata
• Perhitungan jari-jari bumi
• Perhitungan nilai π
• Hasil komputasi yang melibatkan proses
pembulatan
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 7
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Penyajian Bilangan
• Sistem Bilangan:
� Sistem Desimal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
� Sistem Biner : 0, 1
� Sistem Oktal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
� Sistem Hexadesimal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,
B, C , D, E, F
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 8
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Sistem Biner
• Sistem bilangan yang mendasari operasi
komputer adalah sistem bilangan biner, sehingga
sistem bilangan ini perlu dibahas lebih lanjut.
• Suatu bilangan biner � adalah suatu sekuens
terbatas dari digit-digit 0 dan 1, serta dapat
dilambangkan sebagai berikut :
� = ���������� …����� �
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 9
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Konversi Sistem Biner ke Desimal
� = ���������� …����� �↓
� = ��2� + ����2��� +⋯+ ��2 + �Contoh:
� = 110101 � = 2� + 2� + 2� + 2 = 53
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 10
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Program MATLAB:
Pada Command Window, ketik
>> bin2dec(‘110101’)
Sehingga jawabannya
adalah:
ans =
53
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 11
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Konversi Sistem Desimal ke Biner
Algoritma:
� = 2� + �� = 2�� + ���� = 2�� + ��
⋮���� = 2���� + ����
���� = 2�� + ��, �� = 0dengan �� ∈ 0,1 .
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 12
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Selanjutnya, dalam sistem biner y dapat dinyatakan:
� = ���������� …����� �Contoh:
53 = 2 26 + 126 = 2 13 + 013 = 2 6 + 16 = 2 3 + 03 = 2 1 + 11 = 2 0 + 1
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 13
53 = 110101 �
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Program MATLAB:
Pada Command Window, ketik
>> dec2bin(53)
Sehingga jawabannya
adalah:
ans =
110101
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 14
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Pecahan Biner
• Suatu pecahan biner adalah bilangan biner �dalam bentuk pecahan yang berupa suatu
sekuens (bisa tak terbatas) dari digit-digit 0 dan 1
berikut :
� = . ������ …�� … �
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 15
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Konversi Pecahan Biner ke Pecahan Desimal
� = . ������ …�� … �↓
� = ��2�� + ��2�� + ��2�� +⋯
Contoh:
� = .1101 � = 2�� + 2�� + 2�� = .5 + .25 + .0625 = 0.8125
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 16
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Perhatikan deret geometrik berikut:
� !"
!#= 1 − "%�
1 − , ≠ 1
• Untuk ' mendekati takhingga, akan diperoleh:
� !(
!#= 1
1 − , ≠ 1
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 17
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Sifat ini dapat digunakan untuk menghitung
.0101010101010⋯ � = 2�� + 2�� + 2�) +⋯= 2�� 1 + 2�� + 2�� +⋯
sehingga menghasilkan 1/3.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 18
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Konversi Pecahan Desimal ke Pecahan Biner
Algoritma:
2� = �� + *�2*� = �� + *�2*� = �� + *�
⋮2*��� = �� + *�
⋮
Selanjutnya, dalam pecahan biner � dapat dinyatakan:
� = . ������ ⋯�� ⋯ �
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 19
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Contoh:
2 0.3 = 0 + 0.62 0.6 = 1 + 0.22 0.2 = 0 + 0.42 0.4 = 0 + 0.82 0.8 = 1 + 0.62 0.6 = 1 + 0.22 0.2 = 0 + 0.42 0.4 = 0 + 0.82 0.8 = 1 + 0.6
⋮
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 20
0.3 = .010011001⋯ �