i

BAHAN AJAR MATEMATIKA EKONOMI

DOSEN PENGAMPU

RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO

2015

ii

KATA PENGANTAR

حِيْماللهِبسِْمِ ا حْمٰنِ الرَّ الرَّ

Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kehidupan

bagi kita dan memberkahi kita dengan hidayah dan karunia-Nya yang

begitu melimpah.

Shalawat serta salam tetap tercurah kepada Nabi Besar Muhammad

SAW yang selalu menjadi panutan untuk kehidupan semua umat Islam.

Adapun isi bahan ajar ini meliputi materi Limit dan Aplikasi

dalam Bidang Ekonomi, Diferensial dan Aplikasi dalam Bidang Ekonomi

serta Integral dan Aplikasi dalam Bidang Ekonomi.

Semoga bahan ajar ini dapat memberikan manfaat dalam bidang

pendidikan khususnya dalam pembelajaran Matematika Ekonomi bagi

mahasiswa Pendidikan Matematika

Metro, September 2015

Penyusun

iii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL …….. ............................................................................. ……... i KATA PENGANTAR …….. ......................................................................... ……... ii DAFTAR ISI …….. ......................................................................................... ……... iii BAB I.FUNGSI LINEAR ……....................................................................... ……... 1

A. Pembentukan Persamaan Linear …….. ............................... ……... 1 B. Hubungan Garis Lurus……………………………………….………….. 2 C. Penyelesaian Akar-akar Fungsi ……………………………………… 6 D. Penerapan Ekonomi ………………………………………………………. 7

Latihan I ………………………………………………………………………………….. 25 BAB II.LIMIT FUNGSI …….. ....................................................................... ……... 25

A. Pengertian Limit …….. ............................................................... ……... 25 B. Limit Sisi-Kiri, Limit Sisi-Kanan ……………………………………… 26 C. Kaidah Limit ………………………………………………………………….. 29 D. Penerepan Ekonomi ……………………………………………………… 31

Latihan II ………………………………………………………………………………….. 36 BAB III. DIFERENSIAL …….. ..................................................................... ……... 38

A. Diferensial Parsial …….. ............................................................ ……... 38 B. Derivatid dari DIferensial Parsial …………………………………… 39 C. Nilai Ektrim …………………………………………………………………. 45 D. Penerepan Ekonomi ……………………………………………………… 42

Latihan III ………………………………………………………………………………… 53 BABIV. INTEGRAL …….. ............................................................................ ……... 55

A. Pengertian Integral …….. .......................................................... ……... 55 B. Integral Tak Tentu ………………….……………………………………… 55 C. Penerapan Ekonomi……………………………………………………….. 58 D. Integral Tertentu ….. ……………………………………………………… 62 E. Kaidah Integral Tertentu ……………………………………………….. 62 F. Penerapan Ekonomi ……………………………………………………… 65

Latihan IV ……………………………………………………………………………….. 68 DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………………. 69

1

BAB I FUNGSI LINEAR

A. Pembentukan Persamaan Linear

1. Metode “ dwi- kooordinat”

Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-

masing (x1, y1) dan (x2, y2), maka persamaan linearnya adalah:

Contoh:

Bentuklah persamaan linear yang memenuhi titik A (2, 3) dan B (6,

5)

Penyelesaian:

3

5 3 2

6 2

3

2 2

4

4 12 2 4

4 2 8

5 2

Y

5 y = 0,5x + 2 B(6,5)

3 A(2,3)

2

0 2 6 X

2

2. Metode “koordinat – lereng”

Apabila diketahui koordinat titik A(x1, y1) dan lereng garisnya

adalah a, maka persamaan gagrisnya adalah:

( )

Contoh :

Bentuklah persamaan linear yang memenuhi titik A(2, 3) dan

lereng garisnya a = 0,5.

y-y1 = a (x – x1)

y – 3 = 0,5 (x – 2)

y = 0,5x – 1 + 3

y = 0,5x + 2

B. Hubungan Dua Garis Lurus

1. Berimpit

Dua buah garis lurus akan berhinpit apabila persamaan garis yang

satu merupakan kelipatan dari persamaan garis yang lain. Dengan

demikian, garis ny = n(ax + b) akan berimpit dengan garis y = ax + b

untuk n = bilangan positif.

3

2. Sejajar

Dua buah garis lurus akan sejajar apabila lereng garis yang satu

sama dengan lereng garis yang lain. Dengan demikian, garis y = a1x + b1

akan sejajar dengan garis y = a2x + b jika a1 = a2. (tentu saja b1 harus

tidak sama dengan b2.

Jika b1 = b2 juga, kedua garis itu akan berimpit).

3. Berpotongan

Dua buah garis lurus akan berpotongan apabila lerang garis yang

satu tidak sama dengan lereng garis yang lain. Dengan demikian, garis y

= a1x + b1 akan berpotongan dengan garis y = a2x + b2 jika

4

4. Tegak lurus

Dua buah garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng garis

yang satu merupakan kebalikan dari lereng garis yang lain dengan tanda

yang berlawanan. Dengan demiikian, garis y = a1x + b1 akan tegak lurus

dengan garis y = a2x + b2 jika

atau 1.

C. Pencarian Akar-Akar Fungsi

Mencari akar-akar fungsi maksudnya ialah menghitung besarnya

nilai variabel-variabel tertentu di dalam persamaan sebuah fungsi.

Beberapa persamaa dapat diselsaikan dengan 3 macam cara yaitu:

cara substitusi, cara eliminasi dan cara determinan.

1. Cara substitusi

Contoh:

Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut:

2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23

Penyelsaian:

Selsaikanlah lebih dahulu persamaan kedua untuk variabel x,

diperoleh: x = 23 – 4y. Kemudian substitusikan hasil x ( yang

masih mengandung y) ini kedalam persamaan pertama:

2(23 – 4y) + 3y = 21

5

46 – 8y + 3y = 21

46 – 5y = 21

25 = 5y

y = 5

atau x + 4(5) = 23

x + 20 = 23

x = 3

Jadi akar-akar persamaan tersebut adalah x = 3 dan y = 5

2. Cara eliminasi

Dua persamaan dengan dua bilangan dapat diselsaikan dengan cara

menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari

bilangan yang ada, sehingga dapat dicari nilai atau harga dari bilangan

yang lain.

Contoh:

Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut:

2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23

Penyelsaian:

2x + 3y = 21 x 1 2x + 3y = 21

x + 4y = 23 x 2 2x + 8y = 46

2x + 3y = 21

2x + 8y = 46

-5y = - 25

y = 5

2x + 3y = 21

2x + 3(5) = 21

2x + 15 = 21

2x = 21 – 15

2x = 6

6

x = 3

Jadi akar-akar persamaan tersebut adalah x= 3 dan y = 5

3. Cara determinan

Secara umum suatu determinan dilambangkan dengan notasi

|

| di mana unsur-unsur a, b, d, e mencerminkan bilangan-bilangan

tertentu. Prinsip pengerjaan determinan adalah dengan mengalikan

unsur-unsurnya secara diagonal, dari kiri-atas menurunkan ke kanan-

bawah dan dari kiri-bawah menaiki ke kanan-atas, kemudian

mengurangkan hasil perkalian menaik dari hasil perkalian menurun.

|

| |

| ( )( )

Untuk determinan berderajat tiga:

|

|

Contoh:

|2 45 7

| (2)(7) (5)( 4) 14 2 34

|3 6 41 2 53 2 7

|

(3)( 2)(7) (6)(5)(3) (4)(2)(1)

(3)( 2)(4) (1)(6)(7) (3)(5)(2)

42 9 8 24 42 3 8

Dua persamaan dengan dua bilangan

ax + by = c

dx + ey = f

maka pencarian harga-harga variabel x dan varabel y dapat

dihitung sebagai berikut:

7

|

|

|

|

| |

|

|

Contoh:

Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan

berikut:

2x + 3y = 21

x + 4y = 23

Penyelsaian:

|21 323 4

|

|2 31 4

| (21) (4) (23)(3)

(2)(4) (1)(3) 84 69

8 3 15

5 3

|2 211 23

|

|2 31 4

| (2) (23) (1)(21)

(2)(4) (1)(3) 46 21

8 3 25

5 5

D. PENERAPAN EKONOMI

1. Fungsi Permintaan Dan Fungsi Penawaran

Fungsi permintaan menghubungkan antara variabel harga dengan

variabel jumlah (barang/jasa) yang diminta.

Bentuk umum fungsi permintaan

8

Grafik fungsi permintaan :

Dalam bentuk permintaan diatas terlihat bahwa variabel P ( Harga

/ Price ) dan variabel Q ( Jumlah / Quantity ) mempunyai tanda yang

berlawanan. Ini mencerminkan berlakunya hukum permintaan ,bahwa

apabila harga turun jumlah yang diminta akan naik . Variabel harga

berbanding terbalik dengan variabel jumlah , oleh karena itu kurva

permintaan berlereng negatif.

Sedangkan fungsi penawaran menghubungkan antara variabel

jumlah (barang / jasa) yang ditawarkan.

Bentuk umum fungsi penawaran

Grafik fungsi penawaran :

9

Dalam bentuk persmaan diatas terlihat bahwa variabel P (harga)

dan variabel Q (jumlah) mempunyai tanda yang sama yaitu sama –

sama positif . ini mencerminkan berlakunya hukumnya hukum

penawaran ,bahwa apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan

berkurang .jadi variabel harga berbanding lurus dengan variabel jumlah

,oleh karena itu kurva penawaran berlereng positif.

Rumus-rumus untuk mencari fungsi permintaan dan fungsi

penawaran:

a.

=

atau

=

b. P – P1 = m ( Q – Q1 )

Dimana

c. Syarat harga tertinggi adalah Q = 0

Contoh :

Suatu produk jika harganya Rp 100 maka produk itu terjual 10

unit dan jika harganya Rp 75 terjual 20 unit. Tentukan fungsi

permintaan dan grafiknya !

Penyelesaian :

Diketahui : Q1 = 10 Q2 = 20 P1 = 100 P2 = 75

10

Ditanya : Fungsi permintaan dan grafik

Penyelesaian :

=

=

=

Q – 10 =

(P – 100)

Q – 10 = 40 -

P

Q = 50 -

P

2. Keseimbangan Pasar

Pasar suatu barang berada dalam keseimbangan (equlibrium)

apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan

jumlah barang yang ditawarkan

Bentuk umum keseimbangan pasar :

Qd : jumlah permintaan Qs : jumlah penwaran

E : titik keseimbangan Pe : harga keseimbangan

11

Qe : jumlah keseimbangan

Grafik keseimbangan pasar :

3. Pengaruh Pajak terhadap Keseimbangan Pasar

Pengenaan pajak atas sesuatu barang akan mempengaruhi

keseimbangan pasar barang tersebut baik harga keseimbangan dan

jumlah keseimbangan.

Pajak yang dikenakan atas penjualan sesuatu barang menyebabkan

harga jual barang tersebut menjadi lebih mahal. Sebab setelah dikenakan

pajak, produsen akan berusaha mengalihkan beban pajak tersebut

kepada konsumen,yaitu dengan jalan menawarkan harga jual yang lebih

tinggi. Akibatnya harga keseimbangan sebelum pajak,dan jumlah

keseimbangan menjadi lebih sedikit. Pajak yang dikenakan hanya

mempengaruhi fungsi penawaran sehingga fungsi permintaan setelah

dikenakan pajak adalah tetap.

Fungsi permintaan : Pd = a – bQ

Fungsi penawaran sebelum pajak : Ps = a + bQ

12

fungsi penawaran sesudah pajak : Pst = Ps + t

Titik keseimbangan pasar sebelum pajak : E(Qe , Pe)

Harga keseimbangan sebelum pajak : Pe

Jumlah keseimbangan sebelum pajak : Qe

Titik keseimbangan pasar sesudah pajak : Et(Qt , Pt)

Harga keseimbangan sesudah pajak : Pt

Jumlah keseimbangan sesudah pajak : Qt

Penerimaan pajak total oleh pemerintah : T = t . Qt

Besarnya pajak yang ditanggung oleh konsumen : T = (Pt - P) . t

Besarnya pajak yang ditanggung oleh produsen : T = t . Qt - (Pt - P)

. t

Dimana :

T = jumlah penerimaan pajak oleh pemerintah

T = pajak yang ditanggung oleh konsumen

T = pajak yang ditanggung oleh produsen

t = pajak per unit produk

Qt = jumlah keseimbangan setelah dikenakan pajak

Grafik keseimbangan pasar mula-mula dan setelah dikenakan pajak

:

13

Contoh :

Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P = 15 – Q dan

fungsi penawarannya P = 0,5Q + 3. Produk tersebut dikenakan

pajak oleh pemerintah sebesar Rp 3 per unit.

a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan

sesudah kena pajak ?

b. Gambarkan harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan

setelah pajak dalam satu grafik !

Penyelesaian :

Diketahui : Pd = 15 – Q Ps = 0,5 Q + 3 t = 3

a. Jika Pd = Ps

15 – Q = 0,5 Q + 3

-1,5 Q = -12 maka Q = 8 sehingga P = 15 – 8 = 7

Jadi harga keseimbangan sebelum di kenakan pajak adalah 7 dan

jumlah keseimbangan pasar sebelum dikenakan pajak adalah 8.

Sehingga titik keseimbanganya adalah E (8,7).

Pst = Ps + t

14

Pst = 0,5 Q + 3 + 3 = 0,5 Q + 6

Jika Pd = Pst

15 – Q = 0,5 Q + 6

-1,5 Q = -9 maka Qt = 6 sehingga Pt = 15 – 6 = 9

Jadi jumlah keseimbangan pasar setelah di kenakan pajak adalah 6

dan hrga keseimbangan pasar setelah dikenakan pajak adalah 9.

Sehingga titik keseimbangan pasar setelah di kenakan pajak adalah Et

(6,9).

b. Gambar grafik

4. Keseimbangan Pasar Kasus Dua Komoditi

Permintaan suatu barang seringkali tidak hanya dipengaruhi oleh

harga barang yang bersangkutan, tetapi juga dipengaruhi oleh harga

barang lainnya. Contohnya seperti barang substitusi (kopi dan teh),

barang komplementer (gula dan teh)

Q x = f ( P x , Py ) dan Qy = g ( Py , P x )

15

Ketentuan: Qx bisa berubah menjadi Qdx atau Qsx tergantung jenis

fungsi tersebut fungsi permintaan atau fungsi penawaran dan begitu

pula dengan Px.

Dimana :

Qdx = jumlah permintaan x Qdy = jumlah permintan akan

y

Qsx = jumlah penawaran produk x Qsy = jumlah penawaran produk

y

P x = harga barang x Py = harga barang y

Contoh :

Permintaan akan barang x ditunjukkan oleh persamaan Qdx =10 –

4Px + 2Py , sedangkan penawarannya Qsx = -6 + 6Px. Sementara itu

permintaan akan barang y ditunjukkan oleh persamaan Qdy = 9 + 4Px –

3Py, sedangkan penawarannya Qsy = -3 + 7Py. Berapa harga

keseimbangan yang tercipta di pasar untuk masing-masing barang

tersebut? Dan berapa jumlah keseimbangan pasar yang tercipta untuk

masing-masing barang tersebut?

Pembahasan:

Keseimbangan pasar barang x :

Qdx = Qsx

10 – 4Px + 2Py = -6 + 6Px

-10Px + 2Py = -16 .............(1)

Keseimbnagan pasar barang y :

Qdy = Qsy

9 + 4Px – 3Py = -3 + 7Py

4Px – 10Py = -12 ............(2)

Dari (1) dan (2)

16

-10Px + 2Py = -16 x 1 -10Px + 2Py = -16

4Px – 10Py = -12 x 2,5 10Px – 25Py = -30

-23Py = -46

Py = 2

Substitusikan Py = 2 ke persamaan (1)

10Px – 2Py = 16

10Px -2.2 = 16

10Px= 16 + 4

10Px= 20

Px= 2

Subtitusikan Px = 2 ke persamaan Qsx

Qsx = -6 + 6 Px = -6 + 6(2) = 6

Subtitusikan Py = 2 ke persamaan Qsy

Qsy = -3 + 7 Py = -3 + 7 (2) = 11

Jadi harga keseimbangan pasar untuk barang x adalah Rp 2 per unit

dan jumlah keseimbanganya adalah 6 unit. Sedangkan harga

keseimbangan pasar untuk barang y adalah Rp 2 per unit dan jumlah

keseimbanganya adalah 11 unit.

5. Fungsi Biaya dan Fungsi Penerimaan

Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan

dalam operasi bisnisnya terdiri dari biaya tetap dan biaya variabel. Biaya

tetap adalah tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan.

Berapapun jumlah barang yang dihasilkan, jumlah biaya tetap senantiasa

tidak berubah.secara matematis biaya tetap bukan merupakan fungsi

jumlah barang yang dihasilkan, ia merupakan sebuah konstanta, dan

kurvanya berupa garis lurus sejajar sumbu jumlah. Sebaliknya biaya

variabel tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan. Semakin

banyak jumlah barang yang dihasilkan semakin besar pula biaya

17

variabelnya. Secara matematis biaya variabel merupakan fungsi jumlah

barang yang dihasilkan, kurvanya berupa garis lurus berlereng positif

dan bermula dari titik pangkal.

Ket :

FC = biaya tetap VC = biaya variabel

C = biaya total k = konstanta

Q = jumlah barang

Grafik fungsi biaya dan penerimaan

Contoh :

Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp

20rb, sedangkan biaya variabelnya ditunjukan oleh persamaan VC =

100Q. Tunjukkan persamaan dan kurva biaya toalnya ! berapa biaya total

FC = k

VC = f(Q) = vQ

C = f(Q) = FC +VC = k

+ vQ

18

yang dikeluarkan oleh perusahaan tersebut jika ia memproduksi 500

unit output?

Pembahasan:

FC = 20.000

VC = 100Q

C = FC +VC

= 20.000 + 100Q

Jika : Q = 500

C = 20.000 + (500)

= 70.000

Grafik

Penerimaan sebuah perusahaan dari hasil penjualan barangnya

merupakan fungsi dari jumlah barang yang terjual atau diproduksikan.

Semakin banyak barang yang diproduksi dan terjual semakin besar pula

penerimaannya. Penerimaan total adalah hasil kali jumlah barang yang

terjual dengan harga jual per unit barang tersebut.

R = f(Q) = Q

19

Contoh:

Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan Rp 200,

00 per unit. Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total

perusahaan ini. Berapa besar penerimaannya bila terjual barang

sebanyak 350 unit?

Pembahasan:

P = Rp 200,00

Q = 350

R = Q x P

= Q x 200

= 200Q

Bila Q = 350,

R = 200(350)

= 70.000

Grafik

20

6. Pendapatan Disposabel

Pendapatan disposabel (disposable income) adalah pendapatan

nasional yang secara nyata dapat dibelanjakan oleh masyarakat.

Pendapatan disposabel dilambangkan dengan Yd. Terdapat dua faktor

yang mempengaruhi pendapatan disposabel, yaitu faktor yang

memperkecil dan faktor yang memperbesar pendapatan disposabel.

Faktor yang memperkecil pendapatan disposabel adalah pajak.

Apabila tidak terdapat pajak maka besar pendapatan disposabel sama

dengan pendapatan nasional tetapi karena terdapat pajak maka besar

pendapatan disposabel lebih kecil dari pendapatan nasional.

Faktor yang memperbesar pendapatan disposabel adalah

pembayaran alihan (tunjangan pensiun, tunjangan hari raya, gajih bulan

ke-13, dll). Karena ada pembayaran alihan maka pendapatan disposabel

lebih besar dari pendapatan nasional.

Sehingga fungsi konsumsiyang riil adalah :

Uraian pendapatan disposabel berdasarkan ada tidaknya pajak

dan pembayaran alihan

Tidak ada pajak maupun pembayaran alihan

Ada pajak tapi tidak ada pembayaran alihan

Tidak ada pajak tapi ada pembayaran alihan

Ada pajak dan ada pembayaran alihan

C = a + bYd

Yd = Y

Yd = Y

Yd = Y + R

Yd = Y – T + R

21

Contoh :

Fungsi konsumsi masyarakat suatu negara ditunjukkan oleh C = 25

+ 0,5Yd. jika pemerintah menerima pembayaran pajak sebesar 16 dari

masyarakat tetapi juga memberikan pembayaran alihan sebesar 6

kepada warganya, berapa besar konsumsi pada waktu pendapatan

nasional negara tersebut berjumlah 300 ?

Penyelesaian :

C = 25 + 0,5Yd

T = 16

R = 6

Yd = Y – T + R → Yd = Y – 16 + 6 → Yd = Y – 10

C = 25 + 0,5(Y – 10)

C = 25 + 0,5Y – 5

C = 20 + 0,5Y

Jika Y = 300 maka :

C = 20 + 0,5(300) → C 2 15 → C 17

7. Pendapatan Nasional

Pendapatan nasional adalah jumlah seluruh nilai out-put (barang

dan jasa) yang dihasilkan oleh suatu negara selama jangka waktu

tertentu. Perhitungan pendapatan nasional dapat dilakukan dengan tiga

macam pendekatan yaitu pendekatan produksi, pendekatan

pendapatan, pendekatan pengeluaran.

Ditinjau dari pendekatan pengeluaran, pendapatan nasional adalah

jumlah pengeluaran yang dilakukan oleh seluruh sektor di dalam suatu

negara. Pengeluaran sektor rumah tangga dicerminkan oleh konsumsi

masyarakat (C), pengeluaran sektor badan usaha dicerminkan oleh

investasi yang dilakukan oleh badan-badan usaha (1), pengeluaran

sektor pemerintah dicerminkan oleh pengeluaran pemerintah (G),

22

sedangkan pengeluaran perdagangan internasional dicerminkan oleh

selisih antara ekspor dan impor negara tersebut (X – M).

Dengan demikian pendapatan nasional:

untuk perekonomian 2 sektor

untuk perekonomian 3 sektor

untuk perekonomian 4 sektor

dimana :

Y = pendapatan nasional C = konsumsi masyarakat

I = investasi nasional G = pengeluaran pemerintah

X = ekspor M = impor

Contoh :

Hitunglah pendapatan nasional suatu negara jika diketahui

autonomous consumption masyarakatnya sebesar 500, MPC = 0,8,

investasi yang di lakukan oleh sektor badan usaha sebesar 300 dan

pengeluaran pemerintahnya sebesar 250. Sedangkan nilai ekspor dan

impornya masing-masing 225 dan 175 !

Pembahasan :

a = 500 C = a + bYd Yd = Y – T +R

b = MPC = 0,08 C = 500 = 0,8Y Yd = Y – 0 + 0 = Y

Y = C + I + G + (X – M)

Y = 500 + 0,8Y + 300 + 250 (225 – 175)

Y = 1.100 + 0,8Y

Y – 0,8Y =N1.100

0,2Y = 1.100

Y = 5.500

Jadi pendapatan nasional negara tersebut adalah sebesar 5.500.

23

LATIHAN I

1. Pak Hendrian memiliki pendapatan sebesar Rp 300.000,00. Seluruh

pendapatannya akan dianggarkan untuk membeli barang a dan

barang b dengan harga masing-masing Rp 7.500,00 per unit dan Rp

5.000,00 per unit. Jika Pak Hendrian membeli barang a sebanyak 20

unit maka berapa unit barang b yang dapat dibeli pak Hendrian ?

2. Gejala penawaran sandal merek “Walet” ditunjukkan oleh data

sebagai berikut : pada harga Rp 35.000,00 ditawarkan sebanyak 50

buah tetapi bila harganya Rp 45.000,00 akan ditawarkan sejumlah

7 buah. Bagaimana fungsi penawaran sandal “Walet” itu ?

3. Di sebuah toko buah N, saat harga salak Rp 10.000,00 per kg

permintaan akan apel tersebut sebanyak 500kg, tetapi pada saat

harga salak meningkat menjadi Rp 12.000,00 per kg permintaan

akan salak menurun menjadi 300kg. Buatlah fungsi permintaannya

dan grafiknya !

4. Jumlah investasi yang terdapat di suatu negara sebesar 25. Ketika

tingkat bunga yang berlaku 20%, dan sebesar 100 ketika tingkat

bunga yang berlaku 5%. Bagaimana fungsi permintaan investasinya

dan berapa besar investasi jika tingkat bunga 15% ?

5. Bentuklah persamaan fungsi impor negara “Austria” bila diketahui

autonomous import dan marginal propensity to import-nya

masing-masing 50 dan 0,25 ! Berapa nilai impor jika pendapatan

nasional sebesar 1. 200 ?

6. Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar

Rp.10.000, sedangkan biaya variabelnya ditunjukan oleh

persamaan VC = 200 Q. Tunjukan persamaan dan kurva biaya

totalnya! Berapa biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan

tersebut jika ia memproduksi 400 unit output ?

24

7. Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P = 3.600 –

1,25Q dan fungsi penawarannya P = 0,75Q + 1.200. Produk

tersebut dikenakan pajak oleh pemerintah sebesar Rp 400 per unit.

Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan

sesudah kena pajak ? dan berapakah pajak yang diterima oleh

pemerintah ? serta berapa pajak yang ditanggung oleh konsumen

dan produsen ?

8. Permintaan akan barang x ditunjukan oleh persamaan Qdx = 5 - 2Px

+ 4Py, sedangkan penawarannya Qsx = -5 + Px. Sementara itu

permintaan akan barang y ditunjukan oleh persamaan Qdy = 6 +

2Px – 2Py. Sedangkan penawarannya Qsy = -4 + 4Py . berapa harga

keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta dipasar

untuk masing-masing barang tersebut ?

9. Fungsi konsumsi masyarakat negara B ditunjukkan oleh C = 1.500

+ 0,4Yd. jika pemerintah menerima pajak dari masyarakat sebesar

800 akan tetapi pemerintah juga memberi pembayaran alihan

kepada masyarakat sebesar 300. Berapakah konsumsi nasional jika

pendapatan nasional pada tahun tersebut 100.000 ? dan berapakah

tabungan yang terkumpul ?

10. Konsumsi masyarakat sebuah negara ditunjukkan oleh persamaan

C = 4.000 + 1,5Yd. investasi nasionalnya ditunjukkan oleh

persamaan I = 3.000 – 800i. pengeluaran pemerintahnya sebesar

1.400, di samping itu pemerintah juga mengeluarkan pembayaran

alihan sebesar 200, sedangkan pajak yang diterima pemerintah

dicerminkan oleh T = 600 + 0,4Y. besarnya ekspor adalah 3.200,

adapun impornya M = 1.800 + 0,1Y. tingkat bunga yang berlaku

30%. Hitunglah pendapatan nasional negara tersebut, konsumsi

nasional dan pajak yang diterima oleh pemerintahnya ! Berapa

pula nilai impornya ?

25

BAB II LIMIT FUNGSI

A. Pengertian Limit

Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan

berkembang apabila variabel didalamfungsi yang bersangkutan terus

menerus berkembang mendekati nilai tertentu. Sebagai gambaran : dari

y = f(x) akan dapat diketahui limit atau batas perkembangan f(x) ini

apabila variabel x terus menerus berkembang hingga mendekati suatu

nilai tertentu. Jika fungsi f(x) mendekati L manakala variabel x

mendekati a (a dan L keduanya konstanta), maka L disebut limit fungsi

f(x) untuk x mendekati a. Hubungan ini dilambangkan dengan notasi :

lim →

( )

dan dibaca “limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L”. Artinya

jika variabel x berkembang secara terus menerus hingga mendekati

bilangan tertentu a, maka nilai fungsi f(x) pun akan berkembang pula

hingga mendekati L. Atau sebaliknya, fungsi f(x) dapat dibuat mendekati

nilai tertentu yang diinginkan L dengan mengembangjan variabel x

sedemikian rupa hingga mendekati a.

Dua hal perlu diperhatikan dalam notasi atau pernyataan limit

diatas. Pertama, x→ ! Kedua, lim f(x) = L harus dibaca serta ditafsirkan

bahwa L adalah limit fungsi f(x), dan bukan berarti L adalah nilai fungsi

f(x) !

Ringkasnya,

→ ( ) bukan berarti f(a) = L

Contoh praktis berikut ini akan menjelaskan bagaimana bekerjanya

teori limit dan apa sesungguhnya yang dimaksud dengan limit.

Andaikan y = f(x) = 1 2

26

Maka lim → ( ) lim → (1 2 ) 7 lim → ( )

lim → (1 2 ) 17

Limit sebuah fungsi dapat dapat pula dianalisis untuk

perkembangan variabel yang menuju nilai-nilai negatif tertentu, menuju

0, bahkan menuju . Dengan demikian, untuk setiap fungsi

f(x) kita dapat menganalisi limit f(x) untuk x→ → → ,

x→ →

Seiring dengan itu dapat pula terjadi (untuk x mendekati sebarang

nilai tertentu) lim f(x) = + L, lim f(x) = lim f(x) = 0, lim f(x) = 0, lim

f(x) = atau lim f(x) = . Limit sesuatu fungsi hanya mempunyai

dua kemungkinan : ada (terdefinisi, terdefinisi; yakni jika limitnya

adalah L, atau – atau 0, atau ) atau tidak ada sama sekali

(tidak terdefinisi), dan tidak boleh taktentu (

).

Contoh:

1) lim → (1 2 ) 7

2) lim → (1 2 ) 1

3) lim → (1 2 )

4) lim → (1 2 )

B. Limit Sisi-Kiri, Limit Sisi-Kanan

Analisis mengenai limit sesuatu fungsi sesungguhnya dapat dipilih

menjadi dua bagian, tergantung dari sisi mana kita melihat gerakan

perkembangan variabelnya. Apabila kita menganalisislim → ( ) dari

nilai-nilai x yang lebih kecil daripada a (dari x <a ), berarti kita

melihatnya dari sisi kanan.

27

Jadi,

lim →

( )

terdiri atas

lim → ( ) lim → ( )

Limit sebelah kiri dari sebuah fungsi nilai yang didekati oleh fungsi

tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-

nilai yang membesar (x→a dari sisi kiri, melalui nilai-nilai x < a). Jadi,

jika lim → ( ) berarti merupakan limit sisi-kiri dari f(x)

untuk x →

Limit sisi-kanan dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh

fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui

nilai-nilai yang mengecil (x → dari sisi kanan, melalui nilai-nilai x > a).

Jadi, jika lim → ( ) berarti merupakan limit sisi-kanan dari

f(x) untuk x →

Limit sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit sisi-kiri

dan limit sisi-kananya ada serta sama. Dalam kasus semacam ini

lim →

( ) lim →

( ) lim →

( )

Apabila salah satu dari ketentuan-ketentuan tersebut diatas tidak

dipenuhi, maka limit dari fungsi yang bersangkutan tidak terdefinisi.

Dengan demikian limit sebuah fungsi dikatakan tidak ada jika limit salah

(analisis sisi

kanan)𝑥 → 𝑎 dilihat

dari nilai –nilai x> a

(analisis sisi

kiri)𝑥 → 𝑎 dilihat

dari nilai –nilai x< a

28

satu sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya tidak ada, atau limit kedua

sisinya ada tetapi tidak sama.

Contoh:

1) lim → (1 2 ) 7 (terdefinisi)

Sebab lim → (1 2 ) lim → (1 2

) 7

apabila tabel pada gambar 1.1 diperhatikan kembali dengan

seksama, akan terlihat bahwa gerakan x → 2 dari kiri (dari x = 1;

x = 1,50; x = 1,90 dan seterusnya) menyebabkab f(x) mendekati

nilai 7.

2) Andaikan y = f(x) =

maka

lim →

( ) lim →

3

lim

→ ( ) lim

→

3

Karena lim →

lim

→

lim

→

tidak terdefinisi.

-1

-2

-3

-4

-1 -2 -3 1 2 3

1

2

3

4

y=f(x)

f(x)= -3/x

x

29

Pada gambar tersebut, jika x mendekati 0 dari kiri ( dari x =

3 2, x = 1 dan seterusnya), maka f(x) akan menjadi positif tak

terhingga. Tetapi jika x mendekati 0 dari kana ( dari x = 3, x = 2, x = 1

dan seterusnya), maka f(x) akan menjadi negatif tak terhingga. Itulah

sebabnya untuk x → lim f .

/ ini tidak terdefinisi.

Konsep limit, yang secara matematik terasa samar-samar,

sebenarnya bukanlah sesuatu yang abstrak. Dalam kehidupan bisnis dan

ekonomi sehari-hari konsep ini cukup sering diterapkan. Ia

menggambarkan batas ideal tertentu (maksimum atau minimum) yang

dapat atau harus dipenuhi, dalam kondisi yang juga ideal. Ambillah

sebagai contoh tinggakt upah minimum. Ini menggambarkan batas upah

terendah yang harus dipenuhi. Kalaupun dalam kenyataan tingkat upah

minimum yang ideal ini tidak dipenuhi, karena kondisi ideal yang

mendukungnya tidak memadai, namun setidak-tidaknya upah minimum

yang langsung akan berkisar ditingkat ideal yang diharapkan (sedikit

diatasnya atau sedikit dibawahnya). Gambaran mengenai batas ideal ini

dapat pula kita temui dalam hal kapasitas produksi (maksimum), profit

(maksimum), biaya (minimum) dan sebagainya.

C. Kaidah-kaidah Limit

1. Jika y = f(x) = xn dan n > 0, maka lim → = .

Contoh : lim → 2 8 lim →

5 125

2. Limit dari suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri.

Contoh : lim → 3 3

3. Limit dari suatu penjumlahan (pengurangan) fungsi adalah

jumlah (selisih) dari limit fungsi- fungsinya.

lim →

* ( ) ( )+ lim →

( ) lim →

( )

30

Contoh : lim → *(1 2 ) ( ) + lim → (1 2

)

lim →

= (1 2. 2 ) 2 7 8 1

4. Limit dari suatu perkalian fungsi adalah perkalian dari limit

fungsi-fungsinya.

lim →

* ( ) . ( )+ lim →

( ) . lim →

( )

Contoh :

lim →

*(1 2 ) . ( ) + lim →

(1 2 ) . lim →

( 7)(8) 56

5. Limit dari suatu pembagian fungsi adalah pembagian dari limit

fungsi-fungsinya, dengan syarat limit fungsi pembagiannya tidak

sama dengan nol.

lim → ( )

( )

→ ( )

→ ( ) dengan syarat lim → ( )

Contoh : lim → ( )

( )

→ ( )

→ ( )

= → ( )( )

→ ( ) = lim → ( 5) 1

6. Limit dari suatu fungsi berpangkat n adalah pangkat n dari limit

fungsinya.

lim →

* ( )+ {lim →

( )}

Contoh :

lim →

(1 2 ) {lim →

(1 2 )}

( 7) 343

7. Limit dari suatu fungsi terakar berpangkat positif adalah akar

dari limit fungsinya.

lim → {√ ( ) } √lim → ( )

n > 0

Contoh :

lim →

√( 44)

√lim →

( 44) √64

4

31

D. Penerapan Ekonomi

Penerapan limit dalam bidang ekonomi terbagi menjadi 2 yaitu:

a. Produksi Marginal

Produksi fisik marginal (MPP) didefenisikan sebagai output

tambahan yang dihasilkan dari adanya penggunaan satu unit tambahan

input (

). Jika perubahan → , maka turunan pertama dari

fungsi produksi marginal dinyatakan sebagai:

lim →

……(19)

Produksi fisik rata-rata akan sama dengan marginal produksi

fisik ( ) yaitu pada saat produksi rata-rata mencapai

maksimum. Secara geometris, dapat ditunjukan oleh perpotongan kurva

produksi rata-rata pada posisi maksimum dengan kurva produksi

marginalnya.

Contoh:

1. Diketahui fungsi produksi pada persamaan 6 dimana

P output produksi dan Q input produksi.

a. Carilah fungsi produksi marginal dan fungsi produksi rata-

rata

b. Hitunglah produksi total, produksi marginal dan produksi

rata-rata jika digunakan input sebanyak Q=10 unit.

c. Berapa total biaya maksimumnya.

Penyelesaian:

6

a. Fungsi produksi marginal,

12 3

Fungsi produksi rata-rata,

6

b. Pada 1 unit, maka

6 6 (1 ) (1 ) 6 1 5

32

12 3 12 (1 ) 3(1 ) 12 3

9

6 6 (1 ) (1 ) 6 1 5

c. Total produksi maksimum (TPP) dicapai pada saat MPP=0,

yaitu:

12 3 → (12 3 ) diperoleh

4 unit

Jadi, TPP maksimum

6 6 (4 ) (4 ) 96. 64. 32.

b. Elastisitas

Elastisitas dari suatu fungsi ( ) berkenaan dengan x dapat

didefinisikan sebagai :

lim

→

( )

( )

.

…… (23)

Ini berarti bahwa elastisitas ( ) merupakan limit dari rasio

antara perubahan relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x,

untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol. Dengan

terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan sebagai

rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x.

Elastisitas terbagi menjadi 2 yaitu:

1. Elastisitas Permintaan

Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga

permintaan, price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang

menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat

adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase

perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan

harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka

elastisitas permintaannya :

33

lim →

(

)

( )

.

……(24)

Dimana

tak lain adalah Q'd atau f'(P)

Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila

| | 1, elastic – uniter jika | | 1, dan inelastic bila | | 1. Barang

yang permintaanya elastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang

tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka permintaan

terhadapnya akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase

yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.

Contoh:

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan

25 – 3 . tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat

harga P = 5.

25 – 3

.

6 .

.

6 6 (5).

3 ( )

ηd = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukan 5, harga naik

(turun) sebesar 1 % maka jumlah barang yang diminta akan

berkurang (bertambah) sebanyak 3 %.

2. Elastisitas Penawaran

Elastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga

penawaran, price elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang

menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan

berkenaan adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara

persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan

Qs = f(P), maka elastisitas penawarannya :

34

lim →

(

)

( )

.

……(25)

Dimana

tak lain adalah Q's atau f'(P).

Penawaran suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila 1,

elastic – uniter jika 1 dan inelastic bila 1. Barang yang

penawarannya inelastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang

tersebut (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada

persentase perubahan harganya.

Contoh :

Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh

2 7 . Berapa elastisitas penawarannya pada

tingkat harga P = 10 dan P = 15 ?

2 7

.

14 .

14

Pada 1 , 14 .

2 8

Pada 15, 21 .

2 3

2 8 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 10, harga naik

(turun) sebesar 1 % maka jumlah barang yang ditawarkan akan

bertambah (berkurang) sebanyak 2,8%. Dan 2 3 berarti

bahwa apabila dari kedudukan 15, harga naik (turun)

sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan

bertambah (berkurang) sebanyak 2,3%

3. Elastisitas Produksi

Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan

besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat

35

adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi,

merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran

terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan

jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah

factor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan

P = f(X), maka efisiensi produksinya :

lim

→

( )

( )

.

……(25)

Dimana

adalah produk marjinal dari X [P' atau f' (X)].

Contoh:

1. Fungsi produksi suatu barang ditunjukan oleh persamaan

6 – . Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat

penggunaan factor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit.

6 –

12 – 3

.

(12 3 ).

( )

Pada 3, (36 27) .

( ) 1

Pada 7, (84 147) .

( ) 9

1 berarti bahwa, dari kedudukan 3, maka jika jumlah

input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan

bertambah (berkurang) sebanyak 1 %. Dan 9 berarti bahwa,

dari kedudukan 7, maka jika jumlah input dinaikkan

(diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah

(berkurang) sebanyak 9 %.

36

LATIHAN II

1. Diketahui biaya tetap untuk produksi barang Q adalah sebesar 10,

dan biaya variabelnya 4 per unit. Tentukan persamaan total

biayanya (C) dan biaya rata-ratanya (AC)!

2. Perusahaan menaksir biaya memproduksi x unit barang (dalam

USD) adalah :C(x)=10.000+5x+0,01x2 .

a. Tulisakan biaya marginalnya!

b. Berapakah biaya marginalnya untuk 500 unit?

3. Diketahui FC = 8 dan AVC = 3 + 5Q. Tentukan total biaya produksi

Q, dan biaya rata-rata (AC). Dan hitung nilai limitnya

4. Pertambahan berat badan bayi dalam 30 hari pertama dinyatakan

dalam fungsi b(t) = (1400t2+2,5) kg dengan t dalam hari.

Tentukan kecepatan pertambahan berat badan bayi pada hari ke

20!

5. Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x –

0,0003x2 dengan jumlah persatuan x=1000. tentukan biaya rata-

rata dan biaya marjinal?

6. Dalam suatu pasar diketahui fungsi permintaannya Qd = 40 - 2P

dan fungsi penawarannya Ps = Q + 5, berdasarkan informasi

tersebut maka harga keseimbangan terjadi pada...

7. Permintaan akan durian di Medan ditunjukkan oleh persamaan Q =

80 - 2P, sedangkan penawarannya dicerminkan oleh persamaan Q

= -120 + 8P. Harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan pasar

durian di medan adalah...

8. Saat harga Rp . 15.000,00 permintaan lampu adalah untuk 4.000

untuk setiap barang , dan untuk setiap kenaikan harga Rp . 1.000,00

permintaan lampu turun 500 untuk setiap barang . Berdasarkan

data , fungsi permintaan adalah ....

37

9. Hitunglah elastisitas produksi dari fungsi produksi P = 5X2 – 5X3

pada tingkat faktor produksi sebanyak 2 unit!

10. Pada saat harga Jeruk Rp. 5.000 perKg permintaan akan jeruk

tersebut sebanyak 1000Kg, tetapi pada saat harga jeruk

meningkat menjadi Rp. 7.000 Per Kg permintaan akan jeruk

menurun menjadi 600Kg, buatlah fungsi permntaannya ?

38

BAB III DIFERENSIAL

A. Difernsiasi Parsial

Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya

akan memiliki satu macam turunan. Apabila y = f(x) maka turunanya

hanyalah turunan y terhadap x dengan kata lain y

.

Sedangkan jika sebuah fungsi mengadung lebih dari satu variabel

bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, sesuai dengan

jumlah macam variabel bebasnya. Jadi, jika sebuah fungsi mempunyai n

macam variabel bebas maka ia akan memiliki n macam turunan, yaitu

turunan y terhadap x atau

dan turunan y terhadap z atau

.

dengan demikian :

1. y = f(x,z)

a) fx(x,z) =

y

b) fz(x,z) =

dy =

dx +

dz .

p = f(q,r,s)

a) fq(q,r,s) =

p b) fr(q,r,s) =

b) fs(q,r,s) =

dp =

dq +

dr +

ds

dan

dalam kasus 1serta

,

, dan

dalam kasus 2 masing-

masing di namakan derivatif parsial. Sedangkan

dx ,

dz ,

dq ,

39

dr , dan

ds dinamakan diferensial parsial. Adapun dy dan dp

dinamakan diferensial total.

Contoh :

y = x3 + 5z2 4x2z 6xz2 + 8z – 7

(1)

= 3x2 – 8xz – 6z2

(2)

= 10z – 4x2 – 12xz + 8

Dalam menurunkan y terhadap x yang dilambangkan dengan

,

hanya suku-suku yang mengandung variabel x yang diperhitungkan ;

sedangkan suku-suku yang tidak mengandung variabel x dianggap

sebagai konstanta dan turunannya adalah nol. Di lain pihak dalam

menurunkan y terhadap z yang dilambangkan dengan

, hanya suku-

suku yang mengandung variabel z yang diperhitungkan ; sedangkan

suku-suku yang tidak mengandung variabel z dianggap sebagai

konstanta dan turunannya adalah nol.

B. Derivatif Dari Derivatif Parsial

Seperti halnya fungsi dengan satu variabel bebas, fungsi dengan

lebih dari satu variabel bebas pun dapat diturunkan lebih dari satu kali.

Dengan kata lain masing-masing turunan parsialnya masih mungkin

diturunkan lagi . Turunan berikut dari turunan parsial tadi sudah barang

tentu bias sangat bervariasi, tergantung dari bentuk turunan parsial

tersebut. Apabila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang

tinggal mengandung satu macam variabel bebas, maka turunan

berikutnya hanya ada satu macam. Akan tetapi bila suatu turunan parsial

berbentuk suatu fungsi yang masih mengandung beberapa macam

variabel bebas, maka turunan berikutnya masih dapat dipecah-pecah lagi

menjadi beberapa turunan parsial pula.

40

Contoh :

y = x3 + 5z2 4x2z 6xz2 + 8z – 7

(1)

= 3x2 – 8xz – 6z2

(2)

= 10z – 4x2 – 12xz + 8

Dalam contoh diatas ∂y/ ∂x maupun ∂y/ ∂z masih dapat

diturunkan secara parsial lagi baik terhadap x maupun terhadap z

(1a)

terhadap x :

= 6x – 8z

(1b)

terhadap z

= -8x – 12z

(2a)

terhadap x :

= -8x – 12z

(2b)

:

= 10 – 12x

Ternyata turuna parsial kedua (1a), (1b), (2a) dan (2b) masih

dapat di turunkan secara parsial lagi baik terhadap x maupun terhadap z.

(1a.1)

terhadap x :

= 6

(1a.2)

terhadap z :

= -8

(1b.1)

terhadap x :

= -8

(1b.2)

terhadap z :

= -12

(2a.1)

terhadap x :

= -8

(2a.2)

terhadap z :

= -12

(2b.1)

terhadap x :

= -12

(2b.2)

terhadap z :

= 0

Sekarang turunan-turunan parsial ketiga ini tidak dapat lagi

diturunkan secara parsial, karena masing-masing hanya tinggal

mengandung konstanta.

41

C. Nilai Ekstrim : Maksimum dan Minimum

Nilai-nilai ekstrim dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari

dua variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif

keduanya.

Syarat di atasadalah syarat yang diperlukan (necessary condition)

agar fungsi mencapai titik ekstrim. Guna mengetahui apakah titik

ekstrim itu berupa titik maksimum ataukahtitik minimu, dibutuhkan

syarat yang mencangkupkan (sufficient condition) , yakni:

Dalam hal

dan

= 0 , tak bias di tegaskan mengenai

nilaiekstrimnya. Untuk kasuasmacamini diperlukan penyelidikan

danpengujianlebih lanjut.

Contoh :

Fungsi permintaan akan dua macam barang a dan b, masing-

masing ditunjukkan oleh 1 2 4 dan 12

2 4

Hitunglah elastisitas permintaan masing-masing barang dan

jelaskan bentuk hubungan antara kedua macam barang tersebut,

jika harga a dan b masing-masing sebesar 4 dan 3 per unit.

Untuk y = f(x,y),

Maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika :

𝝏𝒚

𝝏𝒙 = 0 dan

𝝏𝒚

𝝏𝒛 = 0

Maksimum bila 𝝏2𝒚

𝝏𝒙2 0 dan

𝝏2𝒚

𝝏𝒛2 0

Minimum bila 𝝏2𝒚

𝝏𝒙2 0 dan

𝝏2𝒚

𝝏𝒛2 0

42

Penyelesaian :

1 2 4 12 2 4

2

4

2

2

Jika 4 1 2(4) 4(3) 14

3 12 2(4) 4(3) 8

.

2.

= -

.

4.

=

.

4.

= -

.

2.

= 1

Permintaan akan barang a bersifat inelastis karena 1,

sedangkan permintaaan akan barang b bersifat elastis 1.

Hubungan antara a dan b bersifat subtitutif karena elastisitas silang

permintaannya bertanda positif.

D. PENERAPAN EKONOMI

Pendekatan diferensial parsial sangat bermanfaat untuk diterapkan

pada model-model ekonomi yang mengandung lebih dari satu variabel

bebas,dalam hal kita hendak menelaah secara parsial pengaruh dari

salah satu variabel bebas tadi terhadap vaiabel berikutnya.

1. Permintaan Marjinal dan Elastisitas Permintaan Parsial

Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam

penggunaannya,maka permintaan akan masing-masing barang akan

fungsional terhadap harga kedua macam barang tersebut.Dengan

perkataan lain jika barang a dan barang b mempunyai hubungan

penggunaan,maka :

43

daQ = f ),( ba pp dan ),( badb ppfQ

Derivatif pertama dari daQ dan dbQ adalah fungsi – fungsi

permintaan

marjinalnya,dimana:

a

da

P

Q

adalah permintaan marjinal a berkenaan dengan

aP

b

da

P

Q

adalah permintaan marjinal a berkenaan dengan bP

a

db

P

Q

adalah permintaan marjinal b berkenaan dengan

aP

b

db

P

Q

adalah permintaan marjinal a berkenaan dengan bP

Dengan dapat diturunkannya fungsi permintaan marjinal

tersebut,dapatlah dihitung elastisitas permintaan parsialnya.Dalam hal

ini terdapat dua macam elastisitas permintaan,yaitu elastisitas yang

mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan

perubahan harga barang itu sendiri ( elastisitas harga-permintaan ),dan

elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan harga barang lain

(elastisitas silang – permintaan ).

dae a

da

P

Q

= da

a

a

da

a

da

Q

P

P

Q

EP

EQ.

db

b

b

db

b

db

b

db

dbQ

p

P

Q

EP

EQ

P

Qe .

da

b

b

da

b

da

b

da

abQ

P

EP

Q

EP

EQ

P

Qe .

44

db

a

a

db

a

db

a

db

baQ

P

P

Q

EP

EQ

P

Qe .

dbdadanee keduanya merupakan elastisitas harga permintaan.

Sedangkan abe dan

bae keduanya negatif (abe <0 dan

bae < 0 )

untuk Pa dan Pb tertentu ,berarti hubungan antara barang a dan

barang b adalah komplementer atau saling melengkapi; sebab

penurunan harga salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan

permintaan atas keduanya. Sedangkan jika baik eab maupun eba

keduannya positif (eab > 0 dan eba > 0) untuk Pa dan Pb tertentu , berarti

hubungan antara barang a dan b adalah kompotitif atausuftitutif atau

saling menggantikan; sebab penurunan harga salah satu barang akan

diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan penurunan

permintaaan atas barang tersebut.

Contoh :

Fungsi permintaan akan barang a dan barang b masing-masing

ditunjukkan

oleh . .

1 dan . . 1

Berapa elastisitas permintaan masing-masing barang dan

bagaimana

hubungan antara kedua barang tersebut?

. .

1

.

.

2 .

3 .

. . 1

45

1

.

.

.

3 .

=

.

= -2

. .

.

= 2

=

.

=

. .

.

= -1

=

.

= -3

. .

.

= -3

=

.

= -3

. .

.

= -3

Barang a adalah barang elastis karena eda >1. Sedangkan b adalah

barang yang unitary-elastic karena eda = 1 ( ingat: dalam dalam

menafsirkan elastisitas harga-permintaan cukup dengan melihat

besarnya angka hasil perhitungan, tandanya tak perlu dihiraukan ).

Adapun hubungan antara a dan b adalh bersifat komplementer

karena eab > 0 dan eba > 0 .

2. Perusahaan Dengan Dua Macam Output dan Biaya Produksi

Gabungan

Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan

biaya yang dikeluarkannya untuk memproduksi kedua macam output itu

Merupakan biaya produksi gabungan ( joint production cost ), maka

perhitungan keuntungan maksimum yang diperolehnya dapat

diselesaikan dengan pendekatan diferensiasi parsial. Dengan metode

46

serupa, pendekatan ini dpat pula digunakan untuk menganalisa kasus

perusahaan yang menghasilkan lebih dari dua macam output yang biaya

produksinya juga merupakan biaya produksi gabungan.

Andaikan sebuah perusahaan memproduksi dua macam barang, a

dan b, dimana fungsi permintaan akan masing-masing barang

dicerminkan oleh Qa dan Qb, serta biaya produksinya C = f ( Qa, Qb). Maka

Penerimaan dari memproduksi a : Ra = Qa . Pa = f (Qa)

Penerimaan dari memproduksi b : Rb = Qb . Pb = f (Qb)

Penerimaan total : R = Ra + Rb = f(Qa) + f(Qb)

Dengan biaya total C = f (Qa + Qb), fungsi keuntungannya :

= R – C = f(Qa) + f(Qb) – f (Qa, Qb) = g(Qa, Qb)

maksimum bila = 0

(1) Qa =

= 0

(2) Qb =

= 0

Dari (1) dan (2) nilai Qa dan Qb dapat diperoleh. Selanjutnya

nilai maksimum bisa dihitung.

Contoh :

Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaann yang

memproduksi dua macam barang, a dan b, ditunjukkan oleh C =

+ 3

+ Qa . Qb . harga jual masing-masing barang per unit

adalah Pa = 7 sedangkan Pb = 20. Hitunglah berapa unit masing-

masing barang harus diproduksi agar keuntungannya maksimum

dan besarnya keuntungan maksimum tersebut.

Penyelesaian :

Ra = Qa . Pa = 7 Qa

R = Ra + Rb = 7Qa + 20 Qb

Rb = Qb . Pb = 20 Qb

= R – C = 7 Qa + 20 Qb - + 3

+ Qa . Qb

47

Agar maksimum, = 0

(1)

= 0 → 7 2 Qa – Qb = 0

(2)

= 0 → 20 – 6 Qb – Qa = 0

Dari (10) dan (2) diperoleh Qa = 2 dan Qb = 3

maksimum = 7 Qa + 20 Qb - + 3

+ Qa . Qb

= 7(2) + 20(3) – 2 - 3(3) – (2) (3) = 37

Jadi agar keuntungan maksimum, perusahaan harus

memproduksi 2 unit a dn 3 unit b dengan keuntungan sebesar 37.

3. Produk Marjinal Parsial

Untuk memperoleh sesuatu barang pada dasarnya diperlukan

beberapa macam input atau faktor produksi seperti tanah, modal, tenaga

kerja, bahan baku, mesin-mesin dan sebagainya. Jika jumlah output yang

dihasilkan dilambangkan dengan P dan input-input yang digunakan

dilambangkan dengan xi (i = 1,2,....., n), maka fungsi produksinya dapat

dituliskan dengan notasi p = f (x1,x2,x3,.....,xn).

Sebagian dari input yang digunakan sudah barang tentu merupakan

input tetap, sementara sebagian lainnya adalah input variabel.

Selanjutnya jika untuk memproduksi suatu barang dianggap hanya ada

dua macam input variabel (katakanlah K dan L), maka fungsi

produksinya secara pasti dapat dinyatakan dengan :

P = f(K,L)

Derivatif pertama dari P merupakan produk marjinal parsialnya.

adalah produk marjinal berkenaan dengan input K.

adalah produk marjinal berkenaan dengan input L.

Untuk P= konstanta tertentu, fungsi produksi P = f (K,L)

merupakan suatu persamaan isoquant, yaitu kurva yang menunjukan

48

berbagai kombinasi penggunaan input K dan L yang menghasilkan

output dalam jumlah sama.

4. Keseimbangan produksi

Keseimbangan produksi maksudnya ialah suatu keadaan atau

tingkat penggunaaan kombinasi faktor-faktor produksi secara optimum,

yakni suatu tingkat pencapaian produksi dengan kombinasi biaya

terendah (least cost combination). Secara geometri, keseimbangan

produksi terjadi pada persinggungan isocost dengan isoquant. Isocost

adalah kurva yang mencerminkan kemampuan produsen membeli

berbagai macam input berkenaan dengan harga masing-masing input

dan jumlah uang yang dimilikinya. Jika jumlah dana yang dianggarkan

untuk membeli input K dan input L adalah sebesar M, serta harga input K

dan input L masing-masing Pk dan P1, Persamaan isocostnya dapat

dituliskan dengan notasi M = K. Pk +L.P1.

Tingkat kombinasi penggunaan input yang optimum atau “least

cost combination” dapat dicari dengan metode lagrange. Dalam hal ini

fungsi produksi P = f (K,L) di maksimumkan terhadap fungsi isocost M =

K.PK + L.P1.

Fungsi objektif yang hendak di optimumkan : P = f( K,L)

Fungsi kendala yang di hadapi : M = K. Pk +L.P1

K. Pk +L.P1-M = 0

Fungsi baru lagrange : F(K,L) + f(K,L) + (K. Pk +L.P - M)

Syarat yang diperlukan agar F(K,L) maksimum :

FK (K,L) = 0 → ( ) Pk = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1)

FL (K,L) = 0 → ( ) P1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

Dari (1) dan (2) nilai K dan nilai L dapat di peroleh. Selanjutnya

nilai P maksimum bisa dihitung.

Sekarang perhatikan :

49

Produk total : P = f (K,L)

(i) Produk marjinal input K : MPK = fK(K,L) =

(ii) Produk marjinal input L : MPL = fL (K,L) =

Pengembangan lebih lanjut persamaan (1) dan (2) diatas tadi akan

menghasilkan :

(1) fk (K,L) + Pk = 0 → fk (K,L) =- Pk, = ( )

(2) fl (K,L) + Pl = 0 → fl (K,L) =- Pl, = ( )

Dengan demikian, syarat keseimbangan produksi dapat juga

dirumuskan :

( )

=

( )

=

Jadi dalam rumusan lain dapat pula dinyatakan, bahwa produksi

optimum dengan kombinasi biaya terendah akan tercapai apabila hasil

bagi produk marjinal masing-masing input terhadap harganya bernilai

sama.

Contoh :

Fungsi produksi suatu barang dinyatakan dengan P = 6

.

Bentuklah

fungsi produk marjinal untuk masing-masing faktor produksi.

Berapa produk

marjinal tersebut jika digunakan 8 unit K dan 27 unit L ?

Penyelesaian :

P = 6

MPk = Pk =

= 4

=

Jika K = 8 dan L = 27,

50

MPk = ( )

= √

√ =

( )

= 6

MPl = ( )

= √

√ =

√

√ =

( )

=

5. Utilitas Marjinal Parsial dan Keseimbangan Konsumsi

Dalam kenyataan sehari-hari, seorang konsumen tidak hanya

mengkonsumsikan satu macam barang tetapi berbagai macam. Jika

kepuasan konsumen dilambangkan dengan U dan barang-barang yang

dikonsumsinya dilambangkan dengan Qi = (1,2,3,.....,n), maka fungsi

utilitas dapat dituliskan dengan notasi U = f (Qi, Q2,Q3,.....,Qn).

Seandainya untuk penyederhanaan dianggap bahwa seorang

konsumen hanya mengkonsumsi dua macam barang, katakanlah X dan Y,

maka fungsi utilitasnya adalah :

U = f( X,Y)

Derivatif pertama dari U merupakan utilitas marjinal parsialnya.

= utilitas marjinal berkenaan dengan barang X.

= utilitas marjinal berkenaan dengan barang Y.

Untuk U adalah konstanta tertentu, fungsi utilitas U = f(X,Y)

merupakan suatu persamaan kurva indiferens (indifference curve), yaitu

kurva yang menunjukan berbagai kombinasi konsumsi barang X dan Y

yang memberikan tingkat kepuasan sama.

Keseimbangan Konsumsi

Keseimbangan konsumsi maksudnya adalah suatu keadaan atau

tingkat kombinasi konsumsi beberapa macam barang yang memberikan

kepuasan optimum. Secara geometri, keseimbangan konsumsi terjadi

pada persinggungan kurva indiferens dengan garis anggaran konsumen

(budget line). Garis anggaran adalah garis yang mencerminkan

51

kemampuan konsumen membeli berbagai macam barang berkenaan

dengan harganya masing-masing dan pendapatan konsumen. Jika

pendapatan konsumen berjumlah M serta harga barang X dan Y masing-

masing Px dan Py per unit, persamaan budget line nya dapat dituliskan

dengan notasi M = x.Px + y.Py

Tingkat kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum

atau keseimbangan konsumsi dapat dicari dengan metode lagrange.

Dalam hal ini, fungsi utilitas U = f(X,Y) dimaksimumkan terhadap fungsi

anggaran

M = x.Px + y.Py. analog dengan penyelesaian keseimbangan produksi

sebagaimana diuraikan pada seksi sebelum ini, diperoleh fungsi lagrange

:F(X,Y) = f(X,Y) + (x.Px + y.Py – M)

Agar F maksimum :

Fx (X,Y) = 0→ fx(X,Y) + Px = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

Fy (X,Y) = 0→ fy(X,Y) + Py = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(2)

Dari (1) dan (2) nilai X dan Y dapat diperoleh, kemudian nilai U

maksimum bisa di hitung. Selanjutnya perhatikan :

Utilitas total : U = f(X,Y)

Utilitas marjinal : MU U f (X Y)

(i) Utilitas marjinal barang X : MUx = fx(X,Y) =

(ii) Utilitas marjinal barang Y : MUy = fy(X,Y) =

Menurut (1) : fx(X,Y) + Px = 0 → - = ( )

Menurut (2) : fy(X,Y) + Py = 0 → - = ( )

Dari (1) dan (2)

52

( )

=

( )

=

Jadi dalam rumusan lain dapat pula dinyatakan, bahwa

keseimbangan konsumsi akan tercapai apabila hasil bagi utilitas marjinal

seimbang masing-masing barang terhadap harganya bernilai sama.

Contoh :

Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsikan barang X

dan Y dicerminkan oleh fungsi utilitas U = X2Y3. Jumlah

pendapatan konsumen 1.000 rupiah, harga X dan Y perunit

masing-masing 25 rupiah dan 50 rupiah.

a). Bentuklah fungsi utilitas marjinal tiap masing-masing barang.

b). Berapa utilitas marjinal tersebut jika konsumen

mengkonsumsikan 14 unit X dan 13 unit Y?

Penyelesaian :

a) U = X2Y3

MUx = Ux =

2

MUy = Yy =

3

b) Jika X = 14 dan Y = 13,

MUx = 2 (14)(13)3 =1=61.516

MUy = 3 (14)2 (13)2 = 99.372

=

.

2.46 64

=

.

1.987 44

53

LATIHAN III

1. Andaikan kepuasaan total seorang konsumen dari mengkonsumsi

barang X dan Y dirumuskan oleh persamaan utilitas . Jika

konsumen tersebut menyediakan anggaran sebesar 4000 rupiah

untuk membeli X dan Y, sedangkan harga X dan Y masing-masing

150 rupiah dan 200 rupiah per unit, hitunglah berapa unit X dan Y

seharusnya ia beli agar kepusaan maksimum?

2. Fungsi permintaan akan dua macam barang a dan b, masing-masing

ditunjukkan oleh 1 2 4 dan 12 2 4 .

Hitunglah elastisitas permintaan masing-masing barang dan

jelaskan bentuk hubungan antara kedua macam barang tersebut,

jika harga a dan b masing-masing sebesar 4 dan 3 per unit.

3. Buktikan bawah fungsi produksi Cobb-Douglas P=6 K2/3 L1/3 adalah

fungsi homogen berderajat satu (Homogen linier)

4. Jelaskan termasuk fungsi homogen berderajat berapakah fungsi

fungsi produksi P = 0,75 K2 + 0,60 L2 – 0,50 KL ini.

5. Fungsi permintaan akan barang A dan barang B masing – masing

ditunjukkan oleh Qda . Pa2 . Pb4 – 1 = 0 dan Qdb . Pa . Pb2 – 1 = 0 ,

berapa elastisitas permintaan masing-masing barang

6. Fungsi permintaan akan barang A dan barang B masing – masing

ditunjukkan oleh Qda . Pa2 . Pb4 – 1 = 0 dan Qdb . Pa . Pb2 – 1 = 0 ,

bagaimanakah hubungan antara kedua barang tersebut?

7. Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang

memproduksi dua macam barang, A dan B ditunjukkan oleh C =

2Qa2 + Qb2 + Qa . Qb. Harga jual masing-masing barang perunit

adalah Pa = 6 sedangkan Pb = 20. Hitunglah berapa unit masing –

masing barang harus diproduksi agar keuntungannya maksimum

dan besarnya keuntungan maksimum tersebut?

54

8. Seorang produsen mencadangkan 96 rupiah untuk membeli input K

dan input L. Harga per unit input K adalah 4 rupiah dan input L

adalah 3 rupiah. Fungsi produksinya P = 12 KL. Berapa unit

masing-masing input seharusnya ia gunakan agar produksinya

optimum, dan berapa unit output yang dihasilkannya dari

kombinasi tersebut ?

9. kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsikan barang X dan

Y dicerminkan oleh fungsi utilitas U = XY2. Harga X dan Y perunit

masing masing 20 rupiah dan 50 rupiah.

10. Fungsi produksi suatu barang dinyatakan dengan P = 2X2 Y3.

Bentuklah fungsi produksi marjinal utnuk masing-masing factor

produksi. Berapa produk marjinal tersebut jika digunakan 6 unit X

dan 12 unit Y ?

55

BAB IV INTEGRAL

A. Pengertian Integral

Dalam kalkulus integral di kenal dua macam pengertian integral,

Yaitu integral tak tentu ( indefinite integral ) dan integral tertentu (

definite integral). Integral tak tentu adalah keblikan dari diferensial yaitu

suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungi

asal apabila turunan atau derivative dari fungsinya di ketahui.

Sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan

dengan proses pencarian luas suatu area yang batas-batas atau limit dari

area tersebut sudah tertentu .

B. Macam-Macam Integral

1. Integral tak Tentu

Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(X) berarti adalah mencari

integral atau turunan antinya, yaitu f(X) yang apabila di derefisiasikan

menghasilkan f(X) . Bentuk umum integral f(X) adalah

Di mana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertntu .

dalam rumusan di atas tanda ∫ adalah tanda integral f(X) dX adalah

diferensial dari f (X) ; f(X) sendirian di sebut integran , dX sendirian di

sebut diferensial , f(X) adalah integral particular, k adalah konstanta

pengintegralan dan F(X) + k merupakan fungsi asli atau fungsi asal.

Proses mengintegralkan di sebut juga integrasi. Dalam diferensial kita

menemukan , bahwa jika misalnya suatu fungsi asal di lambangkan

dengan f(X) dan fungsi turunya di lambangkan dengan f(X) maka,

Fungsi asal : F(X) = X2 + 5

Fungsi turunanya f(x) = ( )

2

𝑓(𝑋)𝑑𝑋 𝐹 (𝑋) 𝑘

56

Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(X) di

integralkan maka

∫ ( ) ( ) X2 + k

Karena derivative dari setiap konstantan adalah 0 , maka dalam

mengintegralkan setiap fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk

k. artinya nilai konstanta tersebut tidak dengan sendirinya bisa di isi

dengan bilangan tertentu, kecuali di dalam soal memang sudah di

tentukan nilai konstantanya.

a. Kaidah-kaidah Integrasi tak tentu

1. Formula Pangkat

Contoh : ∫ X4 dX =

+ k =

+ k

2. Formula Logaritmis

Contoh : ∫

dX = 3 ln x + k

3. Formula eksponensial

Contoh :

∫ ex+2 dX ∫ e x+2 d(x+2)

= e x+2 + k

∫

𝑥 dX = ln x + k

∫ ex dx = e

x + k

∫ eu du = e

u + k , u

∫ Xn dX =

𝑋𝑛

𝑛 + k , n

57

4. Formula Penjumlahan

Contoh :

∫ ( x4 + 3x2) dx ∫ x4 dx ∫ 3x2 dx

= 0,25 x5 + x3 + k

5. Formula perkalian

Contoh :

∫ 3x2 dx 3 ∫ x2 dx

= 3

+ k

= x3 + k

6. Formula Subtitusi

Contoh :

Selesaikanlah 1. ∫ 6x (3x2 – 1 ) dx …

∫ 6x (3x2 – 1 ) dx ∫ (18x3 – 60x) dx

= 4,5x4 – 30x2 + k

∫ { f(x) + g(x) } dx = ∫ f (x) dx + ∫ g(x) dx

= F(x) + G(x) + k

∫ nf (x) dx = n ∫ f( x ) dx n ≠ 0

∫ f( u) 𝑑𝑢

𝑑𝑥 dx = ∫ f(u) du = F (u) + k

Di mana u = g(x) , dan ∫ du merupakan substitusi

bagi ∫ dx

58

C. Penerapan Dalam Bidang Ekonomi

Sudah dijelaskan bahwa integral tak tentu dalam dunia ekonomi

fungsi sering diterapkan untuk mencari persamaan fungsi biaya,

penerimaan, fungsi produksi,fungsi utilitas,fungsi konsumsi dan

tabungan .

Berikut ini adalah langakah – langakah untuk cara penerapan

integral tak tentu :

1. Fungsi Biaya

Biaya total : C =f (Q)

Biaya marjinal : MC C

f (Q)

Biaya total tak lain adalah integral dari biaya marjinal

Contoh :

Biaya marjinal suatu perusahaan di tunjukkan oleh

MC = 3Q2- 6Q + 4

Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya?

Penyelesaian :

Biaya total : C ∫ MC dQ

∫ ( 3 Q2 – 6Q + 4) dQ

= Q3 – 3Q2 + 4Q + k

Biaya rata-rata : AC =

= Q2 – 3Q + 4 +K / Q

Konstanta k tak lain adalah biaya tetap . jika di ketahui biaya tetap

tersebut adalah 4 , maka:

C = Q3 – 3Q2 + 4Q + 4

AC = Q2 – 3Q + 4 + 4 / Q

C = ∫ MC dQ = ∫ f’ (Q)

59

2. Fungsi Penerimaan

fungsi penerimaan dapat kita cari dengan integral tak tentu dengan

langakah seperti berikut :

Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal

(MR).

Contoh :

Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q2 + 10Q – 5. Tentukan

penerimaan totalnya (TR), jika c = 0 ?

TR ∫ MR dQ

∫ 15Q2 + 10Q – 5 dQ

= 5Q3 + 5Q2 – 5Q + c

Jika c = 0

TR = 5Q3 + 5Q2 – 5Q

3. Fungsi Produksi

Fungsi produksi dapat kita cari dengan integaral tak tentu dapat

dilakukan dengan langkah – langakah sebagai berikut ini.

1. Produk Total : P = f(Q), dimana P = keluaran dan Q =

masukan

2. Produk Marjinal : MP P

f (Q)

3. Produk Total adalah integral dari produk marjinal.

F(Q) = ∫ f(Q) dQ

TR = ∫ MR dQ

P = ∫ MP dQ = ∫ f’(Q) dQ

60

Contoh: :

Diketahui produk marjinalnya 2Q2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ?

penyelesaian :

P ∫ MP dQ

∫ ( 2Q2 + 4 ) dQ

=

Q3 + 4Q + c

Jika c = 0

P =

Q3 + 4Q

Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi

total produksi adalah P = 2/3 Q3 + 4Q

4. Fungsi Utilitas

Utilitas total : U = f(Q)

Utilitas marjinal : MU U

f (Q)

Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal

Contoh :

Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas

marjinal MU = 90 – 10 Q ?

Penyelesaian :

Utilitas Total : U ∫ MU dQ

∫ ( 9 – 10Q) dQ

= 90Q – 5 Q2

U = ∫ MU dQ = ∫ f’ (Q) dQ

61

konstanta k = 0 , sebab tidak akan ada kepuasan atau untilitas yang

diperoleh seseorang jika tidak ada barang yg di konsumsi.

5. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

Dalam ekonomi makro, konsumi ( C ) dan tabungan (S) dinyatakan

fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).

C = f (Y) = a + bY

MPC C

f (Y) b

Karena Y = C + S , maka

S = g (Y) = -a + (1- b )Y

MPS C

g (Y) (1 – b)

Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi dan tabungan masing-

masing adalah integral dari marjinal propensity to consume dan

marginal propensity to save.

Contoh:

Carilah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat sebuah

negara jika diketahui autonomous consumptionnya sebesar 30

milyar dan MPC = 0,8 ?

Penyelesaian :

C ∫ MPC dY ∫ 8 dY 8 dY 3 milyar

S ∫ MPS dY ∫ 2 dY 2 dY - 30 milyar atau

S = Y – C = Y – ( 0,8Y + 30 milyar ) = 0,2Y – 30 milyar

C = ∫ MPC dY = F (Y) + k k ≡ a

S = ∫ MPS dY = G(Y) + k k ≡ -a

62

D. Integral Tertentu

Kalau ʃ f(x) dx disebut integral tak tentu yang merupakan fungsi F

(x) c yang turunannya F (x) f (x) maka yang dimaksud dengan

integral tertentu adalah integral yang mempunyai batas bawah dan batas

atas, yang tertulis dalam bentuk aʃb f(x).dx ; a adalah batas bawah dan b

adalah batas atas.

Harga integral ini adalah tertentu yang ditentukan oleh besarnya

harga a dan b, yang merupakan selisih antara F (b) dan F (a).

Menjadi :

Notasi [F(x)] berarti bahwa pada fungsi F(x), harga x harus

diganti dengan harga b dan a, kemudian hitunglah selisih antara F(b)

dengan F(a).

Dengan demikian pada perhitungan integral tertentu,

kita harus menentukan dulu hasil dari integral tak tentu, tetapi tidak

lagi memasukkan faktor konstan c pada perhitungan F(b) – F(a) karena

dari selisih F(b) – F(a) faktor c akan hilang.

Contoh:

2ʃ4 (3x2 + 4x – 2) dx = [x3 + 2x2 – 2x]

= (43 + 2.42 – 2.4) – (23 + 2.22 – 2.2)

= 88 – 12 = 76

E. Kaidah - kaidah Integral Tertentu

Untuk a < c < b, berlaku :

1. aʃb f(x)= [F(x)]

F(b) – F(a)

2. aʃbf(x).dx = 0

3. aʃbf(x).dx = -aʃbf(x).dx

aʃb f(x)= [F(x)] 𝑎

𝑏 F(b) – F(a)

63

4. aʃcf(x).dx + cʃbf(x).dx = aʃbf(x).dx

5. aʃb{f(x) + g(x)}.dx = aʃbf(x).dx + aʃbg(x).dx

6. aʃbk.f(x).dx = k.aʃbf(x).dx ; (k = bilangan konstan)

F. Aplikasi Integral Tertentu dalam Surplus Konsumen dan Surplus

Produsen

Operasi hitung integral dapat diterapkan dalam persoalan ekonomi,

misalnya dalam integral tak tentu digunakan menghitung fungsi total,

dan dalam integral tertentu digunakan untuk menghitung surplus

konsumen dan surplus produsen.

Jika diketahui fungsi demand dan supply suatu barang, operasi

hitung integral dapat dipakai untuk menghitung surplus konsumen dan

surplus produsen pada saat market equilibrium atau pada tingkat harga

tertentu.

1. Surplus Konsumen

Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih

tinggi (mahal) dari harga equilibrium Pe akan memperoleh kelebihan

(surplus) untuk tiap unit barang yang dibeli dengan harga Pe. Pada saat

equilibrium, jumlah total pengeluaran (total expenditure) konsumen =

Pe.Qe yang dalam gambar ini adalah luas empat persegi panjang OPeEQe,

sedangkan konsumen yang tadinya bersedia membeli barang ini lebih

tinggi dari harga Pe akan menyediakan uang yang banyaknya = luas

daerah yang dibatasi kurva demand yang sumbu tegak P, sumbu

mendatar Q, dan garis ordinat o = Qe .

64

Karena itu, besarnya surplus konsumen yakni selisih antara

jumlah uang yang disediakan dikurangi dengan jumlah pengeluaran

nyata konsumen sehingga surplus konsumen dapat dinyatakan sebagai

berikut:

Dalam hal fungsi permintaan berbentuk P = f (Q)

Atau Cs = ∫ ( )

dP

Dengan demikian

Jika dari fungsi demand p = f(x) maka hasil dari 0ʃa f(x).dx adalah

jumlah uang yang disediakan.

Contoh :

Fungsi permintaan akan suatu barang di tunjukan oleh persamaan

Q = 48 – 0,03 P2 . hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga pasar

30 ?

Cs =∫ 𝑓 (𝑄)𝑄𝑒

dQ –

QePe

Cs = ∫ 𝑓 (𝑄)𝑄𝑒

dQ – QePe =

∫ 𝑓 (𝑃)𝑝

𝑃𝑒 dP

65

Jawab :

Di ketahui : Q = 48- 0,03P2

Pe = 30

Di Tanya : Cs ….?

Penyelesaian :

Q = 48 – 0,03P2

Jika P = 0, Q = 48

Jika Q = 0 ,P = 40

Jika P ≡ Pe 3

Q ≡ Qe 21

Cs= ∫ ( )

dP = ∫ (48 3

P2) dP

= ,48 1 3-

= { 48 (40) – 0,01 (40)2} – { 48 (40) – 0,01 (30)3}

= (1920 – 640) – ( 1440 – 270) = 110

66

2. Surplus Produsen

Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang

dengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalam

penjualan sejumlah barang. Pada saat harga terjadi price equilibrium Pe

maka penjual barang yang bersedia menjual barang ini dibawah harga

pe akan memperoleh kelebihan harga jual untuk tiap unit barang yang

terjual yakni selisih antara po dengan harga kurang dari pe.

Surplus produsen atau Ps ( singkatan dari Producers surplus ) tak

lain adalah segitiga PeDE, dengan rentang wilayah yang dibatasi oleh Q =

o sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas.

Besar surplus produsen adalah :

Dalam hal fungsi penawaran berbentuk P = f (Q) atau

PS = ∫ ( )

Dalam hal fungsi penawaran berbentuk Q = f (P) ; P adalah nilai P

untuk Q = 0, atau penggal kurva penawaran pada sumbu harga.

PS = QePe - ∫ 𝑓 (𝑄)𝑄𝑒

𝑑𝑄

67

Dengan demikian

Contoh :

Seorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,50 Q + 3.

Berapa surplus produsen itu bila tingkat harga keseimbangan di pasar

adalah 10 ?

Penyelesaian :

Diketahui :

P = 0,50 Q + 3 jadi dirubah kedalam Q = -6 + 2P

Jika Q = 0 maka P = 3

Jika P = 0 maka Q = -6

Jika Pe = 10 maka Qe = 14

Jadi Ps nya PS = ∫ ( )

∫ ( 6 2 )

, 6 -

* 6 (1 ) 1 + * 6 (3) 3 +

4 ( 9) 49

PS = QePe - ∫ 𝑓 (𝑄)𝑄𝑒

𝑑𝑄 ∫ 𝑓 (𝑃)

𝑃𝑒

𝑃 𝑑𝑃

68

LATIHAN IV

1. Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukan oleh MC = 3Q2 – 6Q +

4. Carilah persamaan biaya totalnya jika di ketahui biaya tetapnya

Rp 2, tentukanlah besar biaya totalnya ?

2. Produk marjinal sebuah perusahaan di cerminkan olh MP = 14X –

6x2 . Carilah persamaan produk totalnya ?

3. Jika g (x) 2x – 3 dan g(2)=1 , tentukan g(x) !

4. Penawaran dan permintaan akan suatu barang di pasar masing –

masing ditunjukkan oleh Q = - 30 + 5 P dan Q = 60 – 4 P . hitunglah

masing – masing surplus

5. Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas

marjinal MU = 50Q – 3Q2?

6. Diketahui MR suatu perusahaan adalah 12Q2 + 10Q – 3. Tentukan

penerimaan totalnya (TR), jika c = 3 ?

7. Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukan oleh MC = 12Q2 – 3Q

+ 6. Carilah persamaan biaya totalnya jika di ketahui biaya

tetapnya Rp 2, tentukanlah besar biaya totalnya ?

8. Produk marjinal sebuah perusahaan di cerminkan oleh MP = 20X –

12X3 . Carilah persamaan produk totalnya ?

9. Fungsi marjinal dalam tabungan adalah , MPS = 0,25 , bila

pendapatan nasional 50, maka terjadi tabungan negative 5,

tentukanlah fungsi tabungan ,S= = f(y) dan tentukanlah fungsi

konsumsi ,C= f(y)

10. Diketahui fungsi permintaan dan penawaran

D: p = -1/2 x2 – 1/2 x + 33

S: p = 6 + x

Dapatkan besarnya surplus konsumen pada saat terjadi market

equilibrium (ME).

69

DAFTAR PUSTAKA

Bumolo, Husain dan Mursinto, Djoko. 2005. Matematika untuk Ekonomi

dan Aplikasinya Edisi 7.Malang: Bayumedia Publishing.

Ciang,Alpha C.2006.Dasar-dasar Matematika Ekonomi Edisi Keempat

Jilid 1.Jakarta:Erlangga

D.Sriyono.2009.Matematika Ekonomi dan Keuangan.Yogyakarta:

Dumairy.1998.Matematika Terapan untuk Bisnis dan

Ekonomi.Yogyakarta:BPFE.

J.Supranto.2005.Matematika untuk Ekonomi dan Bisnis.Jakarta: Ghalia

Indonesia.

Nababan M. 1988. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan

Bisnis. Jakarta: Erlangga.