www.briliantprivate.co.cc Page 1

www.briliantprivate.co.cc Page 2

LINGKARAN

PENDAHULUAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (himpunan titik-titik) yang berjarak sama

terhadap suatu titik tertentu. Titik tersebut disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak yang

sama tersebut sering disebut jari-jari (radius) dan dilambangkan dengan r.

1. LINGKARAN DENGAN PUSAT (0,0) Y

r P(x , y) OP = r

0 X

Dengan menggunakan rumus jarak ;

ryxrOP =+⇒= 22 atau 222 ryx =+

Persamaan di atas merupakan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan berjari-jari r.

Contoh 1 : Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 1022 =+ yx

Jawab : ……………….

Contoh 2 : Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0,0) dan melalui titik (-2,4)

Jawab : ………………..

LATIHAN SOAL

1. Gambarlah pada bidang Cartesius daerah dari himpunan berikut :

( ){ }( ){ }( ){ }16,.

16,.

16,.

22

22

22

>+

<+

=+

yxyxc

yxyxb

yxyxa

2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari :

a. 5

b. 10

3. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O dan melalui titik :

a. (5,0)

b. (-4,-3)

www.briliantprivate.co.cc Page 3

4. Tentukan jari-jari lingkaran :

3622.

32.

22

22

=+

=+

yxb

yxa

5. Tentukan nilai m jika titik (-2,m) terletak pada lingkaran 1322 =+ yx !

6. Tentukan nilai m jika titik (m,m) terletak pada lingkaran 20022 =+ yx !

7. Sisi-sisi persegi panjang mempunyai persamaan : y = 8, y = -8, x = 8 dan x = -8. Tentukan

persamaan lingkaran :

a. yang menyinggung semua sisi persegi tersebut

b. yang melalui semua titik sudut persegi tersebut

8. Tentukan koordinat titik potong lingkaran 10022 =+ yx dengan masing-masing garis berikut,

kemudian hitunglah panjang tiap tali busur yang terpotong dari :

a. x = 8

b. y = -6

2. PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI TITIK (a,b)

Y

r P(x,y)

M(a,b)

0 X

Dengan menggunakan rumus jarak akan didapat :

222 )()( rbyax =−+−

Persamaan di atas merupakan persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan berjari-jari r.

Rumus di atas bisa juga didapat dari pergeseran persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) sebesar

b

a.

Contoh 1 : Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran ( ) ( ) 10053 22 =++− yx

Jawab : ………………….

Contoh 2 : Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-2,3) dan melalui titik (4,5)

Jawab : ………………..

3. PERSAMAAN UMUM LINGKARAN

Pada persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan berjari-jari r jika diuraikan maka akan didapat

persamaan umum lingkaran.

022)()( 22222222 =−++−−+⇔=−+− rbabyaxyxrbyax

www.briliantprivate.co.cc Page 4

Misal : CrbadanBbAa =−+=−=− 2222,2 maka persamaan di atas menjadi :

022 =++++ CByAxyx

Yang merupakan persamaan umum lingkaran dengan pusat ( )BA2

1

2

1 ,−− dan berjari-jari

( ) ( ) CBAr −−+−= 2

2

12

2

1

Contoh 3 : Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 0881022 =−−++ yxyx

Jawab : ……………..

LATIHAN SOAL

1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (-5,2) dan berjari-jari 6 !

2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (-2,0) dan melalui titik (4,3) !

3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran :

( ) ( )( ) 25.

2531.

22

22

=+−

=++−

yxb

yxa

4. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu X dan sumbu Y serta mempunyai jari-jari

5 !

5. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3,-5) dan menyinggung sumbu Y !

6. Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 2 dan menyinggung sumbu X negatif dan sumbu Y

positif !

7. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran :

06.

0584.

22

22

=++

=−+−+

xyxb

yxyxa

8. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik A(3,1), B(-2,6) dan C(-5,-3) !

9. Diketahui segitiga ABC dengan A(0,-1), B(2,3) dan C(1,6). Tentukan persamaan lingkaran luar

segitiga ABC !

4. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

4.1 Persamaan Garis Singgung yang Melalui Titik Pada Lingkaran

Y

),( 11 yxP

0 X

g

www.briliantprivate.co.cc Page 5

Garis g menyinggung lingkaran dengan pusat 0 dan berjari-jari r.

Gradien garis OP adalah 1

1

x

y, sehingga gradien garis g karena tegak lurus dengan OP adalah -

1

1

y

x.

Jadi persamaan garis g dengan gradien -1

1

y

x dan melalui titik ),( 11 yxP adalah :

2

1

2

1111

1

11 )( yxyyxxxx

y

xyy +=+⇔−−=−

Karena 22

1

2

1 ryx =+ maka persamaan garis singgung g adalah :

2

11 ryyxx =+

Contoh 1 : Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 1022 =+ yx di titik (3,1)

Jawab : …………….

Persamaan garis singgung pada lingkaran 222 )()( rbyax =−+− di titik ),( 11 yxP adalah :

( )( ) ( )( ) 2

11 rbybyaxax =−−+−−

4.2 Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m

g

Y Persamaan garis g misalnya y = mx + c

disubstitusikan ke persamaan lingkaran

222 ryx =+ maka dengan syarat garis

menyinggung kurva yaitu D = 0 akan didapat

0 X 12 +±= mrc

Jadi persamaan garis singgung g adalah : 12 +±= mrmxy

Contoh 2 : Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 1622 =+ yx yang sejajar garis

12 −= xy

Jawab : Gradien 12 −= xy adalah =1m 2 maka gradien garis singgung pada lingkaran adalah

212 == mm

Persamaan garis singgung pada lingkaran 1622 =+ yx dengan gradien 2 adalah :

1242 2 +±= xy atau 542 ±= xy

www.briliantprivate.co.cc Page 6

4.3 Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Di Luar Lingkaran

Contoh 3 : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 1322 =+ yx yang melalui titik (5,1)

Jawab : Misal titik singgungnya ( )11, yx pada lingkaran 1322 =+ yx , maka persamaan garis

singgungnya adalah 1311 =+ yyxx .

Persamaan garis singgung tersebut melalui titik (5,1) maka 135 11 =+ yx ……… (1)

Titik ( )11, yx pada lingkaran 1322 =+ yx maka 132

1

2

1 =+ yx …………… (2)

Substitusi (1) ke (2) :

( ) ( ) 3203213)513( 2111

2

1

2

1 ==⇒=−−⇔=−+ xatauxxxxx

Substitusi 21 =x dan 32 =x ke 11 513 xy −= sehingga didapat titik singgung (2,3) dan

(3,-2).

Persamaan garis singgung di titik (2,3) adalah 2x + 3y = 13

Persamaan garis singgung di tiitk (3,-2) adalah 3x – 2y = 13

LATIHAN SOAL

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 1022 =+ yx di titik (-3,-1) !

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 16922 =+ yx yang berabsis 5 !

3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran ( ) ( ) 2532 22 =−++ yx di titik (2,6) !

4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 454622 =−++ yxyx di titik (2,6) !

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 2522 =+ yx yang bergradien 3

4 !

6. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 2522 =+ yx yang tegak lurus garis 4x – 3y = 6 !

7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran ( ) ( ) 1051 22 =−++ yx yang bergradien –3 !

8. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 062622 =−+−+ yxyx yang bergradien 2

1 !

9. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 2522 =+ yx yang melalui titik (7,1) !

10. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 020422 =−−+ yyx yang melalui titik (-2,4) !