Bahan Ajar Komposisi Fungsi

www.briliantprivate.co.cc Page 1


FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

1. RELASI DAN FUNGSI

Relasi himpunan A ke himpunan B yaitu korespondensi/hubungan semua anggota A dengan semua

anggota B.

Relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat ke satu anggota

himpunan B disebut fungsi/pemetaan dari himpunan A ke B.

Cara menyatakan relasi ada 4 cara, yaitu :

1. Dengan diagram panah

2. Dengan himpunan pasangan berurutan

3. Dengan grafik/diagram

4. Dengan rumus

Contoh 1: Diketahui himpunan A:{1,2,3) dan B:{1,2,3,4,5}. Nyatakan relasi “kurang satu dari” dari

himpunan A ke himpunan B dengan 4 cara di atas !

Jawab : 1. Dengan diagram panah

A B

1

1 2

2 3

3 4

5

2. Dengan himpunan pasangan berurutan

R:{(1,2),(2,3),(3,4)}

3. Dengan grafik/diagram

B

5

4

3

2

1

0 A

1 2 3

4. Dengan rumus

y = x + 1 jika y B∈ dan x A∈

A B Himpunan A disebut daerah asal (domain)

1 a Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain)

2 b

3 c Himpunan {a,b,c} disebut daerah hasil (Range)

d

e


Tidak semua daerah asal (Df) dan daerah hasil (Rf) terdefinisi. Misal a hanya terdefinisi jika

a ≥ 0 dan pecahan a

b terdefinisi jika b ≠ 0

Contoh 2: Tentukan Df dan Rf yang terdefinisi dari fungsi :

a) f(x) = x + 3 b) f(x) = x

x

+−1

2 3

Jawab : a) f(x) = x + 3 terdefinisi jika x + ≥3 0 atau .....

Jadi Df : {x/........…….. }

Karena a ≥ 0 maka Rf : {y/…….........}

b) f(x) = x

x

+−1

2 3 terdefinisi jika 2 3 0x − ≠ atau ......

Jadi Df:{x/.………...... }

f(x) = x

x

+−1

2 3 ⇔ y =

x

x

+−1

2 3

⇔ y(2x -3) = x + 1

⇔ 2xy - 3y = x + 1

⇔ 2xy - x = 3y + 1

⇔ x(2y - 1) = 3y + 1

⇔ x = 3 1

2 1

y

y

+−

Syarat pecahan di atas terdefinisi jika ...........≠ 0 atau y ≠ ...... Jadi Rf:{y/.....………. }

LATIHAN SOAL

1. Nyatakan relasi berikut dengan rumus !

A B

a. -1 -1

0 0

1 3

2 8

3

b. R : {(-3,-3),(-2,-1),(-1,1),(0,3),(1,5),(2,7)}

c. Y

17

11

7

3

X

2 4 7


2. Mana yang merupakan fungsi ? Beri alasannya !

A B A B

f A B f

a. 1 a b. 1 f c. 1 a

2 b 2 a 2 b

3 c 3 b 3 c

4 d 4 c 4 d

3. Mana yang merupakan fungsi di bawah ini ? Beri alasannya !

a. R : {(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)}

b. R : {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}

c. R : {(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)}

d. R : {(-1,1),(1,3),(2,4),(1,5)}

4. Mana yang merupakan fungsi di bawah ini ? Beri alasannya !

a. Y b. Y y = x2 1+

y = x + 1

X X

0 0

c. y x2 1= − + d. e

Y Y Y 3xy =

x y2 2 4+ =

0 X 0 X 0 X

5. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari :

a. y = x + 1 b. yx

x=

+

−

2

1 c. y = − +x2 5

d. y = x x2 2 4− + e. y = x − 2 f. 1

2

+

−=

x

xxy

2. MACAM-MACAM FUNGSI

a. Fungsi Konstan

Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi konstan jika setiap elemen

himpunan A berpasangan dengan tepat dengan sebuah elemen himpunan B.

Fungsi konstan secara umum dinyatakan dengan y = f(x) = c, dengan c konstanta dan Rx∈ .


Contoh 1: Lukislah garis y = 5

Jawab : Y

0 X

b. Fungsi Identitas

Suatu fungsi disebut fungsi identitas jika untuk setiap anggota daerah asal dipasangkan

dengan dirinya sendiri di daerah kawan.

Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = x

c. Fungsi Modulus (Mutlak)

Suatu fungsi disebut fungsi modulus jika setiap anggota daerah asal dipasangkan ke harga

modulus/mutlaknya di daerah kawan.

Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = x

x dibaca “harga mutlak x” yang besarnya :

<−

≥=

0,

0,

xjikax

xjikaxx

Misal : 22 =

00 =

3)3(3 =−−=−

Contoh 2: Lukislah kurva y = 52 −x

Jawab : Dengan menggunakan bantuan tabel :

x 0 1 2 2,5 3 4 5

y … … … … … … …

Kurvanya : Y

0 X

d. Fungsi Linear

Fungsi linear yaitu fungsi yang berderajat satu atau pangkat tertinggi dari

variabel/peubahnya hanya satu.

Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = mx + c, dimana m adalah

gradien/arah/kemiringan garis dan c adalah konstanta.

Fungsi linear berupa garis lurus.


Contoh 3: Lukislah garis y = 2x + 3

Jawab : Untuk melukis suatu garis tertentu syaratnya minimal diketahui dua titik.

Misal x = 0 maka y = …. atau melalui titik ( … , … )

Misal y = 0 maka x = …. atau melalui titik ( … , … )

Y

0 X

e. Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat yaitu suatu fungsi yang berderajat dua atau pangkat tertingi dari variabelnya

dua.

Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = cbxax ++2 , dimana Rcbaa ∈≠ ,,,0

Contoh 4: Lukislah kurva 822 −−= xxy

Jawab : Cara melukisnya :

1. Titik potong dengan sumbu X jika y = …

........)...)(.....(.........0820 2 =⇔−−= xx

x = … , x = …

2. Titik potong dengan sumbu Y jika x = …

y = ….

3. Titik Puncak = TP = ( …. , ….. ) = ….

4. Beberapa titik bantu jika perlu.

X -2 -1 0 1 2 3 4

Y … … … … … … …

Kurvanya :

Y

0 X

3. SIFAT-SIFAT FUNGSI

Sifat-sifat fungsi ada 4 , yaitu :

a. Fungsi Injektif (Satu-satu)

Jika )()(,, 212121 afafmakaaaAaa ≠≠∈

b. Fungsi Surjektif (Onto)

Jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B (daerah kawan).

c. Fungsi Into


Jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian dari himpunan B.

d. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

Jika dan hanya jika fungsi f bersifat injektif dan surjektif.

LATIHAN SOAL

1. Fungsi-fungsi berikut termasuk fungsi into, fungsi onto, fungsi satu-satu atau fungsi

korespondensi satu-satu dari :

a. 1 a b. 1 a c. 1 a d. 1 a

2 b 2 b 2 b 2 b

3 c 3 c 3 c 3 c

d 4

2. Lukislah fungsi-fungsi berikut ini :

a. 23 −= xy

b. 1234 =− yx

c. 5=y

d. y x x= − −2 2 8

e. y x x= − +2 4

f. y x= − 3

g. 142 +−= xy

h.

≥

<+=

5,6

5,1

xuntuk

xuntukxy

i.

≥−

<≤

<

=

6,1

63,

3,2

xuntukx

xuntukx

xuntukx

y

4. ALJABAR FUNGSI

Misalkan diketahui dua fungsi f(x) dan g(x) yang akan dioperasikan secara aljabar, maka berlaku

sifat-sifat sebagai berikut :

1. ( ) )()()( xgxfxgf +=+

2. )()())(( xgxfxgf −=−

3. )().())(.( xgxfxgf =

4. 0)(,)(

)()( ≠=

xg

xg

xfx

g

f

Contoh 1: Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x – 1. Tentukan :

a. (f + g)(x) b. (f – g)(x) c. (f x g)(x) d. )(xg

f

Jawab : a. (f + g)(x) = ….

b. (f – g)(x) = ….

c. (f x g)(x) = ….

d. )(xg

f

= ….


LATIHAN SOAL

1. Tentukan rumus f + g, f – g , g – f dan f x g untuk f dan g pada R dengan ketentuan sebagai

berikut :

f(x) = 2x + 3 , g(x) = 3 – 5x

2. Tentukan g

f lalu tentukan domainnya agar

g

f merupakan fungsi dari :

a. f(x) = 2 – 3x, g(x) = 3 + 5x

b. f(x) = x, g(x) = xx −2

c. f(x) = 12 −x , g(x) = x + 1

3. Jika f(x) = 2x – 5 dan g(x) = x + 7 dengan f dan g fungsi-fungsi pada bilangan real, maka tentukan

:

a. rumus f + g, g – f dan f x g

b. (f + g)(5), (f – g)(2) dan (f x g)(-1)

c. Gambar grafik f + g, g – f dan f x g

4. Fungsi f(x), g(x) dan h(x) di definisikan sebagai berikut :

f(x) = {(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

g(x) = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}

h(x) = {(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)}

Tentukan :

a. f + g, f + h dan g + h

b. f – g, f – h dan g – h

c. f x g, f x h dan g x h

5. FUNGSI KOMPOSISI

Fungsi komposisi berarti gabungan dari beberapa fungsi.

f g f memetakan x ke y ditulis y = f(x)

x y z g memetakan y ke z ditulis z = g(y)

h memetakan x ke z ditulis z = h(x)

h h merupakan komposisi dari fungsi f dilanjutkan g

ditulis h = g o f dibaca “g noktah f” atau “g bundaran f”

z = h(x) = g(y) = g(f(x))

Karena h(x) = (gof)(x), maka : (gof)(x) = g(f(x))

Begitupun untuk komposisi tiga fungsi akan berlaku :

(gofoh)(x) = g(f(h(x)))

Contoh 1: Jika f(x) = 2x-1 , g(x) = 3x+4 dan h(x) = 3 2x , maka tentukan :

a) (fog)(x) b) (fogoh)(x) c) (goh)(-2)

Jawab : a) (fog)(x) = …….

b) (fogoh)(x) = ……….

c) (goh)(-2) = g(h(-2)) = ....………..


Contoh 2: Diketahui f(x) = 2x-1 dan (fog)(x) = 6x+5, maka tentukan g(x) !

Jawab : (fog)(x) = f(g(x))

.... = ....

………….

Contoh 3: Diketahui f(x) = 3x-2 dan (gof)(x) = 7129 2 +− xx , maka tentukan g(x) !

Jawab : (gof)(x) = g(f(x))

... = ....

Misal y = .... ⇔ x = ....

Sehingga :

g(y) = .....

= .....

Jadi g(x) = ....

LATIHAN SOAL

1. Jika f(x) = 5x - 3, g(x) = 1

1

−x dan h(x) = 12 2 +x , maka tentukan :

a. (foh)(x) b. (hog)(2) c. (fogoh)(x)

d. (gofoh)(x) e. (hofog)(2) f. (gohof)(1

5)

2. Tentukan :

a. Jika f(x) = 4x + 3 dan (fog)(x) = 5x - 1, maka g(x) = ....

b. Jika g(x) = 2x - 3 dan (fog)(x) = 10x+7, maka f(x) = ....

c. Jika f(x) = 2x + 1 dan (gof)(x) = 12 12 12x x+ + , maka g(x) = ....

d. Jika g(x) = 3x - 5 dan (gof)(x) = 3 9 52x x+ − , maka f(x) = ....

e. Jika g(x) = x x2 1+ − dan (gof)(x) = x x2 5 5+ + , maka f(x) = ....

3. Jika f(x) = 3 - 2x, h(x) = x x2 2 2+ + dan (hof)(a) = 37, maka tentukan a !

4. Diketahui f(x) = 3x – 4 dan g(x) = 2x + p . Apabila f o g = g o f , maka tentukan nilai p !

5. Jika f(x) = x + 2 dan (gof) (x) = 142 2 ++ xx , maka tentukan g(2x) !

6. SIFAT-SIFAT FUNGSI KOMPOSISI

Untuk mengetahui sifat-sifat fungsi komposisi, kita gunakan contoh-contoh berikut :

Contoh 1: Misal f(x) = 3x + 2 dan g(x) = x – 1. Tentukan :

a. (fog)(x) b. (gof)(x)

Jawab : a. (fog)(x) = ….

b. (gof)(x) = ….

Jadi bersifat : ….


Contoh 2: Jika f(x) = 2x , g(x) = 2x – 2 dan h(x) = 3x, maka tentukan :

a. ((fog)oh)(x) b. (fo(goh))(x)

Jawab : a. (fog)(x) = …

((fog)oh)(x) = ….

b. (goh)(x) = ….

(fo(goh))(x) = ….

Jadi bersifat : ….

Contoh 3: Jika f(x) = 2x + 1 dan I(x) = x, maka tentukan :

a. (foI)(x) b. (Iof)(x)

Jawab : a. (foI)(x) = ….

b. (Iof)(x) = ….

Jadi bersifat : …..

LATIHAN SOAL

1. Jika f(x) = 4x - 3, g(x) = x

1, h(x) = 12 −x dan I(x) = x, maka buktikan :

a. fog ≠ gof b. foh ≠ hof c. fo(goh) = (fog)oh d. go(hof) = (goh)of e. goI = Iog = g f. hoI = Ioh = h

2. Jika f(x) = 10x - 1, g(x) = 3x + 4 dan h(x) = 1+x

x, maka buktikan :

a. (fog)(2) ≠ (gof)(2) b. (foh)(-1) ≠ (hof)(-1) c. ((fog)oh)(1) = (fo(goh))(1) d. (ho(gof))(m) = ((hog)of)(m)

3. Jika f(x) = 2x + 3, g(x) = 15 2 +x dan h(x) = 26 x− , maka buktikan :

a. (foh) (2) ≠ (hof) (2) b. (gof) (-1) ≠ (fog) (-1) c. ((hog)of) (3) = (ho(gof)) (3) d. (fo(goh)) (s) = ((fog)oh) (s)

7. INVERS SUATU FUNGSI

Perhatikan gambar berikut ini :

A B

y merupakan peta dari x oleh fungsi f dan x merupakan

f peta dari y oleh fungsi 1−f maka dikatakan fungsi f dan

x y 1−f saling invers.

1−f

Jadi y = f(x) dan x = )(1 yf −

Sifat invers : ( )( ) ( )( )fof x f of x I x− −= =1 1 ( )

Syarat fungsi mempunyai invers jika fungsi itu korespondensi satu-satu.


Cara menentukan invers dari y = f(x) :

1. Ubah y = f(x) menjadi x = g(y)

2. Ubah x = g(y) menjadi f y g y− =1( ) ( )

3. Ubah y dengan x

Contoh 1: Tentukan invers dari y = 5x + 3

Jawab : y = 5x + 3 ↔ 5x = ....

x = ....

=− )(1 yf ....

=− )(1 xf

Contoh 2: Tentukan invers dari x

xy

23

13

−

−=

Jawab : x

xy

23

13

−

−= ↔ y( ..... ) = 3x - 1

................ = ..........

................ = ..........

x ( ...... ) = .....

x = .....

........)(1 =− xf

Contoh 3: Jika f(x) = 1

5

−x, maka tentukan daerah asal dan daerah hasil f !

Jawab : f(x) = 1

5

−x ↔ y = .....

.... = ....

x = ....

Jadi daerah asal Df:{x/ ..... } dan daerah hasil Rf: {y/ ....... }

LATIHAN SOAL

1. Tentukan invers dari :

a. f(x) = 4x + 5 e. f(x) = 3

1

−

+

x

x

b. f(x) = 13

2+x f. f(x) =

x

x

23

15

−

−

c. f(x) = 2

3

−x g. f(x) = 4

3

5−

+x

d. f(x) = 4

52 +x h. f(x) = 3

54

12+

+

−

x

x

2. Jika f(x) = 3

25

+−x

, maka tentukan )2(1 −−f

3. Jika f(x) = )4(3

2+x dan 5)(1 =− af , maka tentukan a !

4. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari :

a. 2

5)(

+

−=x

xxf b. 1)( −= xxf c. xxxf 4)( 2 −=


8. INVERS FUNGSI KOMPOSISI

A g o f C

B ( ) 111 −−− = ogfgof

f g

x y z ( ) 111 −−− = ofgfog

f −1 g −1

( ) 1−gof

Contoh 1: Jika f(x) = 5x - 3 dan g(x) = 2 + 4x, maka tentukan :

a) ( ) ( )xfog1−

b) ( ) )(11 xofg −−

Jawab : a) ( )( ) ( )( )xgfxfog =

= f(...........)

= .......

y = ....

x = .....

( ) ( ) ......1 =−xfog

b) f(x) = 5x - 3 g(x) = 2 + 4x

y = 5x - 3 y = 2 + 4x

x = .... x = ....

.....)(1 =− xf .....)(1 =− xg

( ) )(11 xofg −− = .....

Contoh 2: Diketahui 1

3)(

+=x

xf dan g(x) = 4x - 1. Tentukan ( ) ( )fog−13

Jawab : ( )( ) ( )( )xgfxfog =

= ......

y = .....

...... = ....

x = .....

( ) ( ) ......1 =−xfog

( ) ( )fog−

=13 ......

LATIHAN SOAL

1. Jika f(x) = 2x + 1 dan g(x) = 6x - 7, maka tentukan :

a. )()( 1 xgof − b. ))(( 11 xofg −− c. ))(( 11 xogf −− d. )5()( 1−fog

2. Jika f(x) = 32

1−x dan 2)()( 1 +=− xxgof , maka tentukan g(x) !

3. Jika f(x) = 3 + 2x, g(x) = 2 + x dan h(x) = 2x, maka tentukan x jika ( ) ( )fogoh x− = −1 1


4. Diketahui f(x) = 55 2 −x dan g(x) = 2x - 3. Tentukan :

a. )()( 1 xfog − b. ))(( 11 xofg −−

5. Jika f(x) = 3x dan g(x) = 12

1+x , maka tentukan )3()( 1−fog

6. Jika f(x) = 1

1

+x dan g(x) =

x−3

2 maka tentukan ( ) )(

1xfog

−

Documents

Bahan Ajar Komposisi Fungsi