Upload
duongnga
View
245
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
BAHAN AJAR KALKULUS INTEGRALOleh: ENDANG LISTYANI
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Masalah:Tentukanlah persamaan suatu kurva y= f(x) yang melalui titik (1,3) dan kemiringan garis singgung di sebarang titik pada kurva samadengan empat kali absis titik itu
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Penyelesaian Misalkan persamaantersebut y = f(x) Kemiringan garis singgung kurva di (x,y)
Akan dicari suatu fungsi y=f(x) yang memenuhi persamaan
dengan syarat y=3 jika x=1
xdxdy 4
xdxdy 4
xdxdyxdxdy 44
CxyCxCy 22
21 22
C 21.23maka(1,3),titikmelaluiKurva
dimaksudyangkurvapersamaanJadi12xy 2
xdxdy 4
1C
PERSAMAAN DIFERENSIAL Sebarang persamaan dengan yang tidak
diketahui berupa suatu fungsi dan melibatkan turunan atau diferensial dari fungsi yang tidak diketahui tersebut
Menyelesaikan suatu persamaan diferensial berarti menentukan fungsi yang tidak diketahui tersebut
Persamaan Diferensial Contoh
0 xydxdy
yx
dxdy
Solusi 5.218) Diket: a = Ditanyakan v(2) dan S(2) Jawab:
10,0,)1( 04
oSvt
Cttvadtdvdtdva 3)1(
31)(
31)01(
310)0( 3 CCv
31)1(
31)( 3 ttv
Solusidet/
8126)2(
31)21(
31)2( 3 cmvv
dttSdvdtdSdtdSv ]
31)1(
31[ 3
PENDAHULUAN LUAS Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam
Misalkan Daerah R dibatasi kurva sumbu-x dan garis x = 2. Akan dicari luas
daerah R
Dibuat partisi pada [0,2] menjadi n selang bagian, dengan panjang selang bagian
2xy
nx 2
PENDAHULUAN LUAS Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam
nxx
nxxx 2.2.2,2,0 210
nxx 2.3.33
nixixi
2..
5.2 no 25 Laju perubahan volume
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam
)( 1ixf
1ix ix
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam
Luas daerah R dapat dihitung sbbxxfxxfxxfL nR )(...)()( 110
xxf i )( 23
22 82.2 i
nnnixxi
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam
23
23
23
23 )1(8...)2(8)1(8)0(8
nnnnn
LR
])1(...21[8 2223 n
n
]6
)12()1([83
nnnn
Rumus 2, hal, 323 dengan n diganti n-1
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam
2344
38
nnLR
2344
38limlim
nnL
nRn 38
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang luar
Dengan cara sama dibuat PP luar
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang luar
)( ixf
1ix ix
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang luar
xxfxxfxxfL nR )(...)()( 21
23
23
23
23 )(8...)3(8)2(8)1(8 n
nnnnLR
]...21[8 2223 n
n
PENDAHULUAN LUASLuas menurut persegipanjang-persegipanjang luar
]6
)12)(1([83
nnnn
LR
]132[68
2nnLR
2
13234limlim
nnL
nRn 38
INTEGRAL TENTUMisalkan fungsi f terdefinisi pada selang [a,b]Dibuat persegi panjang dengan lebar dan tinggi dan pada selang , seperti pada gambar
berikut:
ix )( *ixf
*ix ],[ 1 ii xx
*1x
*2x
*ix
INTEGRAL TENTU
Dibentuk pejumlahan
disebut jumlah Riemann
i
n
iinn xxfxxfxxfxxf
1
**2
*21
*1 )()(...)()(
Pi
n
ii Rxxf
1
*)(
INTEGRAL TENTU
DEFINISI INTEGRAL TENTUMisalkan f suatu fungsi terdefinisi pada selang [a,b]. Jika
maka dikatakan f terintegralkan di [a,b]Selanjutnya
disebut integral tentu atau integral Riemann f dari a ke b
adaxxfn
iii
P
1
*0
)(lim
b
a
dxxf )(
n
iiiPxxf
1
*
0)(lim
terpanjangbagianselangpanjangP
Contoh Integral tentu dengan definisiHitunglah integral tentu berikut dengan definisi.
1
2
2 )1( dxx
Penyelesaian
1
2
2 )1( dxx
menjadiselangpadapartisiDibuat ]1,2[xpanjangsamabagianselangn
n3
iiii xxgunakanxxselangtiapDalam *
1 ],[
2, 0 xMaka 1x nx 322
2x n322 ix n
i 32
)( ixf 12 ix 1)32( 2 n
i
Penyelesaian1)32(1)( 22
nixxf ii
xxfxxfSehinggan
ii
n
iii
11
* )()(nn
in
i
31321
2
1)9124(3
12
2
n
i ni
ni
n
n
i
n
i
n
ii
ni
nn 1 1
22
1
91253
1
2
2 )1( dxx
Penyelesaian
n
ii xxf
1)( n
n5.3
2)1(.12.3
nn
nn 6)12)(1(.9.3
2
nnnnn
15n1818 22
92279
nn
229
227186
nnn
1
2
2 )1( dxx
Penyelesaian
)29
227186(lim)(lim 2
1
*
0 nnnxxf
n
n
iiiP
6
1
2
2 )1( dxx
Hitunglah dengan menggunakan definisi integral tentu
2
1)12()1 dxx
1
2
2 )23()2 dxx
TEOREMA DASAR KALKULUSTEOREMAMisalkan f kontinu (shg f terintegralkan) pada
[a,b], dan misalkan F sebarang anti turunan dari f pada [a,b], maka
)()()( aFbFdxxfb
a
Bukti Teorema dasar kalkulusDibuat partisi pada selang [a,b]
bxxxxa ni ......10
)()()()( 0xFxFaFbF n )()(...)()()()( 01211 xFxFxFxFxFxF nnnn
)]()([ 11
i
n
ii xFxF
Bukti Teorema dasar kalkulus (lanjutan)
Menurut Teorema rata-rata pada turunanterdapat ],[ 1
*iii xxselangpadax
)).((')()( 1*
1 iiiii xxxFxFxFsehingga
ii xxf )( *
n
iii
n
iii xxfxFxFaFbFJadi
1
*
11 )(])()([)()(
Bukti Teorema dasar kalkulus (lanjutan)
ii
n
iPPxxfaFbF
)(lim)]()([lim *
100
b
a
dxxfaFbF )()()(terbukti
Teorema dasar kalkulusNotasiF(b) – F(a) =Contoh
baxF )(
71233)1()2(3 33
2
1
32
1
2
xFFdxx
Dibuat partisi pada selang menjadi n selang bagian dengan panjang
],0[ n
xi
nix
nx
nxxx i
,2,,0 210
22 )(sin)(sin)(n
ixxf ii
Soal 5.6 no 43.Menentukan Rumus Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau
sama dengan x
b
dxx0
x
Soal 5.6 no 43.Menentukan Rumus
b
b
1 2 3 4 b b -1
b
dxx0
Soal 5.6 no 43.Menentukan Rumus
b b
b b
Luas = {b - }( ) b
b
dxx0
Soal 5.6 no 43.Menentukan Rumus
bbbbdxxb
)()1(...3210
bbbbb
2
)1(
b
dxx0
Contoh: Hitunglah
2,3
3
3
2
2
1
1
0
2,3
03210 dxdxdxdxdxx
dxx2,3
0
2,333210 x 6,3
2,3)2,32,3(2
2,3)(12,3(2,3
0
x
rumusDengan
6,3)3)(32,3(2
)3)(13(
SIFAT-SIFAT INTEGRALTEOREMA A: PENAMBAHAN SELANG Jika f terintegralkan pada suatu selang
yang mengandung tiga titik a, b, dan c, maka
bagaimanapun urutan dari a, b, dan cContoh
c
b
b
a
c
adxxfdxxfdxxf )()()(
5
6
6
2
5
4
4
2
5
2
22
222
xdxxdxatau
xdxxdxxdx
SIFAT-SIFAT INTEGRALTEOREMA B: PEMBANDINGANJika f dan g terintegralkan pada [a , b] dan
jika f(x) g(x) untuk semua x dalam [a,b]Maka
b
a
b
adxxgdxxf )()(
SIFAT-SIFAT INTEGRALTEOREMA C: KETERBATASANJika f terintegralkan pada [a , b] dan jikam f(x) M untuk semua x dalam [a,b]Maka
)()()( abMdxxfabmb
a
SIFAT-SIFAT INTEGRALTEOREMA D: PENDIFERENSIALAN INTEGRAL TENTU
Andaikan f kontinu pada selang tertutup [a , b] dan x titik dalam (a , b)Maka
Carilah dengan dua cara
)()( xfdttfDx
ax
x
x dttD2
)1(
jawab Cara I
Jadi
x
x dttD2
)1(
421]
21[)1( 2
22
2 xxttdtt x
x
1]421[ 2 xxxDx
x
x dttD2
)1( 1x
jawab Cara II dengan teorema D
x
x dttD2
)1(
x
x dttD2
)1( 1x
Soal 1: tentukan JawabTeorema D hanya berlaku untuk variabel
batas yang linearMisalkan ,Menurut aturan rantai
2xu
]12[2
0dttD
x
x
dttDx
x 2
012[ )(].12[ 2
0xDdttD x
u
u
dttyu
0
12
uDyDyD xux .
Soal 2: tentukan Jawab
Misal
])(sin[2
3 dttDxx
xx
])(sin[2
3 dttDxx
xx
])(sin)(sin[2
0
30
3 dttdttDxx
xx
])(sin)(sin[2
0
3
0
3 dttdttDxxx
x
)(].)(sin[])(sin[ 2
0
32
0
3 xxDdttDdttD x
u
u
xx
x
xxu 2
)(].)(sin[])(sin[ 2
0
32
0
3 xxDdttDdttD x
u
u
xx
x
)(sin)12(
)12().(sin23
3
xxx
xu
Jadi
])(sin[2
3 dttDxx
xx
)(sin)12()(sin 233 xxxx
Bentuk Substitusi hasil22 xa tax sin tacos
tax tan22 xa tasec
22 ax tax sec ta tan
Contoh 1. dxx225
SUBSTITUSI YANG MERASIONALKAN
Bentuk Substitusi•
22 xa
PENGINTEGRALAN PARSIAL (548)
Metode ini didasarkan pada rumus turunan hasilkali dua fungsi
Misalkan )()( xvvxuu
)(')(' xvdxdvxu
dxdu
dxxvdvdxxudu )(')('
)(')()(')())()(( xvxuxuxvdx
xvxud
dxxvxudxxuxvxvxud )(')()(')())()(( udvvduuvd )(
udvvduuvd )(
udvvduuv
vduuvudv
Contohdxxln
vduuvudv
dxdvxuMisal ln
xvdxx
du 1
dxx
xxxdxx 1.lnln
Cxxxdxx lnln