Bahan Ajar Integral

www.briliantprivate.co.cc Page 1


INTEGRAL

A. INTEGRAL TENTU DAN INTEGRAL TAK TENTU

Integral adalah kebalikan dari turunan (diferensial). Oleh karena itu integral disebut juga anti

diferensial. Ada 2 macam integral, yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu

yaitu integral yang nilainya tertentu, sedangkan integral tak tentu, yaitu integral yang nilainya

tak tentu. Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk

menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali,

diantaranya menentukan luas suatu bidang, menentukan voluem benda putar, menentukan panjang

busur dan sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain

yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin

ilmu yang lain yang mempergunakannya.

1. INTEGRAL TAK TENTU

Karena integral merupakan kebalikan (invers) dari turunan, maka untuk menemukan rumus integral

kita beranjak dari turunan. Turunan suatu fungsi y = f(x) adalah y ‘ = f ‘ (x) atau dx

dy, sedangkan

notasi integral dari suatu fungsi y = f(x) adalah ∫ ∫= dxxfdxy )( yang dibaca “ integral y

terhadap x ”.

Turunan suatu fungsi konstan adalah 0 atau integral 0 adalah suatu fungsi konstan, biasanya

diwakili oleh notasi c.

Rumus umum integral dari naxy = adalah cxn

a n ++

+1

1 atau ditulis :

∫ ++

= + cxn

adxax nn 1

1 untuk 1−≠n

Contoh 1 : Tentukan :

( )

( )

∫

∫∫

∫

∫∫

−

−

−++−

dxx

xf

dxxe

dxxxd

dxx

c

dxxxxxb

dxxa

2

5

2

4

234

3

2

53.

35.

2.

3

8.

27635.

2.


Jawab :

( )

( )

............2

53.

............35.

...........2.

...........3

8.

...........27635.

........2.

2

5

2

4

234

3

=−

=−

=

=

=−++−

=

∫

∫∫

∫

∫∫

dxx

xf

dxxe

dxxxd

dxx

c

dxxxxxb

dxxa

LATIHAN SOAL

1. Integralkan !

( )( )( )

( )

( )

∫

∫

∫∫∫∫∫

∫

∫∫

−

−+

−

+

−

−+−

+−+−

dxxx

xxj

dxx

xxi

dxxxh

dxxxg

dxxf

dxxxxe

dxxxxxd

dxx

c

dxxb

dxxa

2

2

23

2

2

32

234

4

5

1.

45.

1.

6.

32.

8326.

75243.

1.

5.

2.

2. PEMAKAIAN INTEGRAL TAK TENTU

Pada integral tak tentu terdapat nilai konstanta c yang tidak tentu nilainya. Untuk menentukan

fungsi f dari suatu fungsi turunan, maka harus ada data yang lain sehingga harga c dapat

diketahui.

Contoh 1 : Diketahui f ‘(x) = 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !

Jawab : …….


Contoh 2 : Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang melalui titik (3,4)

ditentukan 583 2 +−= xxdx

dy, maka tentukan persamaan kurva tersebut !

Jawab : ………

LATIHAN SOAL

1. Tentukan rumus f(x) jika diketahui :

a. f ‘(x) = 2x dan f(4) = 10

b. f ‘(x) = 8x – 3 dan f(-1) = 10

c. f ‘(x) = 2

2 1

xx − dan f(1) =

3

1

d. f ‘(x) = x - x dan f(4) = -3

e. f ‘(x) = 1 - 2

1

x dan f(4) = 1

2. Diketahui titik (3,2) terletak pada kurva dan gradien garis singgung di titik (x,y) pada kurva

tersebut didefinisikan 2x – 3. Tentukan persamaan kurva tersebut !

3. Gradien suatu kurva pada setiap titik (x,y) ditentukan oleh xxdx

dy23 2 −= dan kurva itu melalui

titik (-3,2). Tentukan persamaan kurva itu !

4. Kecepatan suatu benda bergerak dinyatakan oleh 1612)( 2 +−= tttv . Setelah benda itu

bergerak 1 detik, jarak yang ditempuh 4 m. Tentukan persamaan gerak dari benda itu !

5. Diketahui rumus percepatan a(t)= 12 +t dan kecepatan v(0) = 6. Tentukanlah rumus kecepatan

v(t) jika a(t)=dt

dv

3. INTEGRAL TENTU

Perhatikan gambar di bawah ini :

Y

Y = f(x)

P Q

R S

f(x) f(x+h)

T h U X

0 a x x+h b


Luas daerah dari x = a hingga x = b adalah L(b) – L(a) ….. (1)

Luas RSUT < Luas RQUT < Luas PQUT

h.f(x) < L(x+h) – L(x) < h.f(x+h)

)()()(

)( hxfh

xLhxLxf +<

−+<

Untuk h → 0 maka :

0→h

Lim f(x) <

0→h

Lim

h

xLhxL )()( −+ <

0→h

Lim f(x+h)

)()(')()(')( xfxLxfxLxf =→<<

∫ +== cxFdxxfxL )()()(

Dari (1) maka :

)()())(())(()()()( aFbFcaFcbFaLbLdxxfL

b

a

−=+−+=−== ∫

Jadi :

[ ]∫ −==b

a

b

a aFbFxFdxxf )()()()(

Contoh 1 : Hitunglah ∫ +−3

1

2 )153( dxxx

Jawab : ………..

LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilai integral di bawah ini :

( )

∫

∫

∫

∫

∫

−

−−−

−

2

1

2

1

1

2

4

0

1

2

2

3

0

1.

625.

12.

6.

4.

dxx

xe

dxxxd

dxxxc

dxxb

dxxa

2. Tentukan nilai a jika diketahui :

2

11.

18.

2

1

2

0

=

=

∫

∫

−

a

a

dxx

b

dxxa


3. Tentukan a jika ( )∫−

−=+2

1

62 dxax

4. Tunjukkan dengan arsiran, luas daerah yang dinyatakan dengan integral berikut :

( )

∫

∫

∫

∫

−

−

−

−

2

2

3

3

3

2

3

2

2

4

0

.

4.

.

3.

dxxd

dxxc

dxxb

dxxa

4. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Kita telah mempelajari turunan fungsi trigonometri yang secara ringkas dapat digambarkan

sebagai berikut :

xxxxx sincossincossin →−→−→→

xecx

xx

2

2

coscot

sectan

−→

→

→ artinya turunan.

Pada integral jangan lupa selalu menambahkan konstanta c.


∫∫

+−−

+

dxxxb

dxxxa

)3sin4cos2(.

)cos2sin5(.

Jawab : ………….

LATIHAN SOAL

1. Tentukan integral fungsi berikut !

( )

( )

( )

( )∫∫∫∫∫

−

++

−

−

dxxxe

dxxxd

dxxxc

dxxxb

dxxa

sin2.

sin2.

sin6cos8.

cossin.

sin5.

2


2. Tentukan nilai integral berikut ini :

( )∫

∫

∫

∫

∫

−

+

+

π

π

π

π

π

π

π

π

2

1

3

1

2

0

0

2

1

2

1

0

1cos4.

)cos(sin.

3

1sin.

2cos2.

cos.

dxxe

dxxxd

dxxc

dxxb

dxxa

5. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI

Cara menentukan integral dengan menggunakan cara substitusi-1 yaitu dengan mengubah bentuk

integral tersebut ke bentuk lain dengan notasi lain yang lebih sederhana sehingga mudah

menyelesaikannya. Cara ini digunakan jika bagian yang satu ada kaitan turunan dari bagian yang

lain.

Contoh 1 : Tentukan integral dari :

∫∫ −

dxxxb

dxxxa

cossin2.

)14(2.

5

102

Jawab : a. Misal ux =−14 2 maka 8x dx = du atau 2x dx = 4

1du

∫ ∫ +−=+==− cxcuduudxxx 1121110102 )14(44

1

11

1.4

1

4

1.)14(2

b. Misal sin x = u maka cos x dx = du atau 2 cos x dx = 2 du

∫ ∫ +=+== cxcuduudxxx 6655 sin3

1

6

1.22.cossin2


LATIHAN SOAL

Tentukan integral dari fungsi –fungsi berikut dengan menggunakan metode substitusi !

( )

( )

( )( )

( )( )

∫∫∫∫∫∫∫

∫

∫∫

−

−

+

−

−

+

+

+

dxxx

dxxx

dxx

dxxx

dxxx

dxxx

dxx

dxx

dxx

dxx

sin1cos.10

sin.cos.9

5sin.8

66.7

512.6

44.5

42.4

15

2.3

46.2

32.1

3

2

432

62

5 3

4

5

5

6. INTEGRAL PARSIAL

Bagaimana jika dua bagian pada suatu integral tidak ada kaitan turunan antara bagian yang satu

dengan bagian lainnya ? Untuk itu perlu ada cara lain untuk menyelesaikannya yaitu dengan

integral parsial.

Seperti telah kita ketahui pada turunan jika y = uv maka y ‘ =u ’ v + uv ’. Jika kita integralkan

kedua rua, maka akan didapat :

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ −=−=⇔+= dxvuuvdxvuydxuvdxuvdxvudxy ''''''

Rumus di atas sering disingkat dengan :

∫ ∫−= duvuvdvu


∫∫ +

dxxxb

dxxxa

sin.

)15(2. 6

Jawab : a. Misal 2x = u maka 2 dx = du

Misal dv = ( ) ( ) 776 )15(35

115

7

1.5

115 +=+=→+ xxvdxx

cxxx

cxxx

dxxxxdxxx

++−+=

++−+=

+−+=+∫ ∫

87

87

726

)15(700

1)15(

35

2

)15(8

1.5

1.

35

2)15(

35

2

2.)15(35

1)15(

35

1.2)15(2


b. Misal x = u maka dx = du

Misal dv = sin x dx maka v = -cos x

∫ ∫ ++−=−−−= cxxxdxxxxdxxx sincoscoscos.sin

LATIHAN SOAL

Tentukan integral berikut dengan metode parsial !

( )

( )

( )

( )

( )∫∫∫∫∫∫

∫

∫∫∫

+

+

+

+

+

−

−

+

dxxx

dxxx

dxxx

dxxx

dxxx

dxxx

dxx

x

dxxx

dxxx

dxxx

523

23

2

3

5

62sin.10

13cos.9

16.8

2sin12.7

cos.6

sin.5

1.4

42.3

218.2

26.1

B. LUAS DAN VOLUME BENDA PUTAR

1. DAERAH ANTARA BEBERAPA KURVA

Daerah antara dua kurva yaitu daerah yang dibatasi oleh dua kurva tersebut dengan selang batas

tertentu. Selang batas tersebut bisa batas yang ditentukan atau titik potong kedua kurva

tersebut.

Contoh 1 : Lukislah daerah antara garis y = x dan kurva 2xy = !

Jawab : Y

0 X


Contoh 2 : Lukislah daerah antara kurva 22 xy −= dan 3−=y pada selang 21 ≤≤− x !

Jawab : Y

0 X

LATIHAN SOAL

Lukislah daerah antara beberapa kurva di bawah ini :

ππ

π

2,cos,sin.10

2

30,sin.9

54,,82.8

4,12.7

.6

44.5

.4

2.3

3,.2

32,3,2.1

2

2

22

3

22

≤≤==

≤≤=

=−=−−=

=−=

==

+−=−=

==

+−==

=−==

=−==−=

xxyxy

xxy

xdanxxxy

Xsumbudanxxy

xydanxy

xxydanxxy

xydanxy

xydanxy

ydanxyxy

ydanyxx

2. LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT

Luas daerah antara kurva y = f(x) dengan sumbu koordinat X pada selang bxa ≤≤ dimana

daerahnya ada di atas sumbu X adalah :

∫=b

a

dxxfL )(

Jika daerahnya ada di bawah sumbu X, maka untuk menghindari luas yang negatif harganya, maka

∫−=b

a

dxxfL )(


Begitupun untuk daerah dengan batas sumbu koordinat Y, yaitu :

∫=b

a

dyyfL )(

Contoh 1 : Tentukan luas daerah antara kurva y = 3x , sumbu X , x = -1 dan x = 1 !

Jawab : Y

-1 0 X

1

∫∫ =−+−−=

+

−=+−=−−

1

0

1

0

4

0

1

43

0

1

3

2

1)0

4

1()

4

10(

4

1

4

1xxdxxdxxL satuan luas.

LATIHAN SOAL

1. Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :

a. Y b. Y

y = x + 2 y = 2x

2

X X

-2 0 2 0 3

Y y = 3x

c.

-4 X

4

2. Tentukan luas daerah antara kurva berikut dan sumbu koordinat atau garis yang ditentukan :

a. 12 −= xy , sumbu X, x = -2 dan x = 3

b. 2xy = , sumbu X, x = 0 dan x = 2

c. 12 −= xy dan sumbu X

d. 28 xxy −= , sumbu X dan x = 4

e. 3xy = , sumbu X, x = -1 dan x = 3

f. xy = , sumbu X, x = 1 dan x = 4


3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva 23 3xxy −= , sumbu X, x = -1 dan x = 3

3. LUAS ANTARA DUA KURVA

Untuk menentukan luas daerah antara dua kurva, kita berdasarkan luas antara kurva dan sumbu

koordinat.

Perhatikan gambar di bawah ini :

Y y = f(x)

y = g(x)

0 a b X

Luas daerah yang diarsir adalah :

∫ ∫ ∫ −=−=b

a

b

a

b

a

dxxgxfdxxgdxxfL ))()(()()(

( )∫ −=b

a

xgxfL )()(

Contoh 1: Tentukan luas daerah antara kurva xxy 32 += dan y = 2x + 2 !

Jawab : Titik potong kedua kurva yaitu :

( ) 120)1(22232 =−=⇔=−+⇔+=+ xatauxxxxxx

Y

-2 1

0 X

[ ]2

14)2()3()22(

1

2

2

1

2

2 =−−=+−+= ∫∫−−

dxxxdxxxxL satuan luas.


LATIHAN SOAL

1. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :

a. b.

Y y = 2x y = 2x Y

Y = x

X X

0 2 0 1

y = x

2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva berikut :

0134.

.

6,.

02.

2.

039.

2.

2

2

2

2

22

2

2

=−−+−=

==

+==

=+−=

−==

=+−−=

+==

yxdanxxyg

xydanxyf

Ysumbudanxyxye

yxdanxyd

xxydanxyc

yxdanxyb

xydanxya

4. VOLUME BENDA PUTAR

4.1 VOLUME BENDA PUTAR ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT

Y

y = f(x)

0 X

a b

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x = b dan sumbu X yang diputar

sejauh o360 mengelilingi sumbu X adalah :

∫=b

a

dxyV 2π


Begitu juga pada kurva x = f(y) yang diputar mengelilingi sumbu Y sejauh o360 dan dibatasi oleh

y = a, y = b, sumbu Y dan kurva itu sendiri maka volumenya :

∫=b

adyxV 2π

Contoh 1 : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy = ,

sumbu X dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh o360 !

Jawab : Y

0 2 X

( )∫ ∫ =

−=

===2

0

4

0

2

0

5422

5

320

5

32

5

1πππππ xdxxdxxV satuan volume.

LATIHAN SOAL

1. Pada gambar di bawah ini, hitunglah volume benda putarnya jika diputar mengelilingi sumbu X

sejauh o360 !

a. Y b. Y

y = x + 2 Y= 2x

2

X X

-2 0 2 0 3

2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang

diketahui diputar mengelilingi sumbu X sejauh o360 !

a. y = x, x = 1 dan x = 10

b. y = 2x , sumbu X, sumbu Y dan x = 6

c. y = x , sumbu X, sumbu Y dan x = 9

d. y = 12 +x , x = 0 dan x = 1

e. y = 3x , sumbu X, x = -3 dan x = 3

3. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang

diketahui diputar mengelilingi sumbu Y sejauh o360 !

a. y = x dan y = 6

b. y = x dan y = 1

c. y = 12 −x , y = 0 dan y = 1


Quiss :

1. Tentukan rumus volume kerucut trV 2

3

1π= dari persamaan garis y = x

t

r yang diputar

mengelilingi sumbu X sejauh o360

2. Tentukan rumus volume bola 3

3

4rV π= dari persamaan seperempat lingkaran 222 ryx =+ yang

diputar mengelilingi sumbu X sejauh o360

4.2 VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUA KURVA

y y = f(x)

y = g(x)

0 a b X

Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh o360 yang dibatasi oleh kurva y =

f(x), y = g(x), x = a dan x = b adalah :

∫ −=b

adxyyV )(

2

2

2

1π dimana 2121 )(),( yydanxgyxfy >==

Begitupun untuk benda putar yang diputar mengelilingi sumbu Y.

Contoh 1: Hitunglah isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy = dan y =

2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh o360 !

Jawab : [ ] ( )∫∫ =

−=−=−=2

0

2

0

53422

0

222

15

64

5

1

3

44)()2( ππππ xxdxxxdxxxV

LATIHAN SOAL

1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh dua kurva diputar

sejauh o360 mengelilingi sumbu koordinat yang disebutkan !

a. y = x dan y = 2x mengelilingi sumbu X

b. y = 2x dan xy =2 mengelilingi sumbu Y

c. y = 2x , y = x , mengelilingi sumbu Y

d. y = 2x dan y = 4x mengelilingi sumbu X

e. y = 2x dan y = 26 xx − mengelilingi sumbu X

f. y = 21 x+ dan y = 29 x− mengelilingi sumbu X

Documents

Bahan Ajar Integral