SISTEM PERSAMAAN LINIER

Dalam bagian ini, kita akan belajar bagaimana menentukan nilai-nilai variabel x1,

x2, x3, ....xn yang sekaligus memenuhi himpunan persamaan yang diberikan.

Sistem-sistem tersebut bisa berupa sistem linier maupun non linier. Bagian ini

dibatasi pada penyelesaian sistem persamaan aljabar linier saja. Sistem persamaan

aljabar linier sering timbul pada perumusan persoalan pada berbagai bidang.

Dalam bidang teknik kimia, sistem ini sering kita temui pada perumusan neraca

massa, neraca panas, optimasi proses dan sebagainya.

Ada tiga kemungkinan hasil dalam penyelesaian sistem persamaan aljabar linier :

1. Sistem mempunyai jawaban yang unik. (Determinan 0).

2. Sistem yang tidak mempunyai jawaban. (Determinan = 0)

3. Sistem yang mempunyai tak terhingga jawaban (Determinan = 0)

4. Sistem dalam kondisi buruk/ ill-conditioned system (Determinan 0)

Bentuk umum sistem persamaan aljabar linier :

1.4. Eliminasi Gauss

Teknik yang digunakan dalam metode ini yaitu dengan menghilangkan

(mengeliminasi) variabel-variabel sistem secara bertahap. Prosedur berikut

diberikan untuk sistem yang terdiri dari tiga persamaan saja untuk

penyederhanaan pembahasan saja.

Prosedur Penyelesaian Eliminasi Gauss :

1. Tuliskan sistem persamaan dalam bentuk matriks

2. Manipulasi matriks/ Eliminasi Maju sehingga dihasilkan matriks segitiga atas

3. Lakukan substitusi mundur sehingga didapatkan semua akar yang dicari

Contoh soal :

Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode eliminasi Gauss!

Penyelesaian :

Bentuk matriks dari sistem di atas,

Matriks ini kita manipulasi dengan dan

, yang bertujuan untuk menghilangkan a21 dan

a31. Selanjutnya operasikan

Hasil matriks di atas identik dengan sistem persamaan baru sebagai berikut

Yang dapat dengan mudah kita selesaikan dengan pensubtitusian mundur

dari x3 . dengan hasil seperti di atas.

Untuk memastikan kebenaran jawaban kita, setelah semua variabel kita

temukan, kita masukkan variabel-variabel tersebut ke dalam sistem

persamaan semula.

1.5. Eliminasi Gauss-Jordan

Metode Gauss-Jordan adalah variasi dari eliminasi Gauss. Perbedaan

utamanya terletak pada manipulasi matriksnya. Pada metode ini, manipulasi

diterapkan untuk mendapatkan matriks satuan (matriks diagonal yang semua

elemen diagonalnya bernilai satu).

Prosedur Penyelesaian Eliminasi Gauss-Jordan :

1. Tuliskan sistem persamaan dalam bentuk matriks

2. Manipulasi matriks sehingga dihasilkan matriks satuan

3. Akar yang dicari dapat langsung kita lihat pada matriks

2. Metode Tak Langsung (Metode Iteratif)

Metode Jacobi

Prosedur penyelesaian sistem persamaan aljabar linier dengan metode ini

dapat diuraikan sebagai berikut :

o Baris-baris persamaan diatur kembali sehingga elemen-elemen diagonal

mempunyai harga yang sebesar-besarnya dibanding elemen pada baris yang

sama.

o Dimulai dengan pendekatan awal xi(1), hitung masing-masing komponen xi

(k)

untuk i = 1, 2, 3, ..., n dengan persamaan :

di mana xi(k) adalah harga xi pada pendekatan ke-k.

o Iterasi dihentikan bila harga xi(k) mendekati harga xi

(k-1), yaitu bila :

, i = 1, 2, 3, ...., n

Metode ini konvergen bila : , i = 1, 2, 3, ...., n

Metode Gauss-Siedel

Metode ini hampir sama dengan metode di atas. Prosedur penyelesaiannya

adalah :

o Baris-baris diatur kembali sedemikian sehingga elemen-elemen diagonal

mempunyai harga yang sebesar-besarnya dibandingkan elemen lain pada baris

yang sama.

o Dimulai dengan pendekatan awal xi(1), hitung masing-masing komponen xi

(k)

untuk i = 1, 2, 3, ..., n dengan persamaan :

o Iterasi dihentikan bila harga xi(k) mendekati harga xi

(k-1), yaitu bila :

, i = 1, 2, 3, ...., n

Metode ini konvergen bila : , i = 1, 2, 3, ...., n

Contoh soal Metode Jacobi :

Selesaikan sistem persamaan berikut

Pertama. Susunlah kembali persamaan sehingga elemen-elemen diagonal

lebih besar dari elemen-elemen yang lain.

Kedua. Keluarkan variabel x1, x2, x3 mulai persamaan pertama hingga

terakhir.

Ketiga. Susunlah tabel sebagai berikut :

Contoh soal Metode Gauss- Siedel :

Selesaikan sistem persamaan berikut

Pertama. Susunlah kembali persamaan sehingga elemen-elemen diagonal

lebih besar dari elemen-elemen yang lain.

Kedua. Keluarkan variabel x1, x2, x3 mulai persamaan pertama hingga

terakhir.

Ketiga. Susunlah tabel sebagai berikut :