Bachelorarbeit Uber die Kompensation von 3D-Raumreﬂexionen ... fileErkl¨arung Ich versichere, dass ich die vorliegende Arbeit ohne fremde Hilfe und ohne Benutzung anderer als der

Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nurnberg

Lehrstuhl fur Multimediakommunikation und

Signalverarbeitung

Prof. Dr.-Ing. Walter Kellermann

Bachelorarbeit

Uber die Kompensation von3D-Raumreflexionen mithilfe einer

2D-Lautsprecheranordnung

von Cornelius Frankenbach

August 2017

Betreuer: M.Sc. Michael Burger

Erklarung

Ich versichere, dass ich die vorliegende Arbeit ohne fremde Hilfe und

ohne Benutzung anderer als der angegebenen Quellen angefertigt habe,

und dass die Arbeit in gleicher oder ahnlicher Form noch keiner anderen

Prufungsbehorde vorgelegen hat und von dieser als Teil einer Prufungs-

leistung angenommen wurde. Alle Ausfuhrungen, die wortlich oder sinn-

gemaß ubernommen wurden, sind als solche gekennzeichnet.

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Ort, Datum

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Unterschrift

INHALTSVERZEICHNIS

Inhaltsverzeichnis

Kurzfassung I

Abkurzungsverzeichnis II

Formelzeichen III

1 Einleitung 1

2 Grundlagen 5

2.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Modellierung von Reflexionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Mathematische Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Iterative DFT-Domain Inverse Filter

Determination (IDI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Weiterfuhrende Betrachtungen 15

3.1 Varianten des IDI-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1 Update im Zeitbereich (Broadband-Verfahren) . . . . . . . . . . 15

3.1.2 Update im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Maß zur Performancemessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Simulationsergebnisse 23

4.1 Simulationsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Optimale Parameter fur den IDI-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2.1”Binwise-Scaled-Update“-Verfahren (BSU-Verfahren) . . . . . . 24

4.2.2”Binwise-Update-And-Scale“-Verfahren (BUAS-Verfahren) . . . 26

4.2.3”Broadband“-Verfahren (B-Verfahren) . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.4 Vergleich des B- BSU- und BUAS-Verfahrens . . . . . . . . . . 32

4.3 Performance außerhalb der Schallfeldzone . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Performance mit einer 3D-Schallfeldzone . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5 Variation der Reflexionsfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.6 Vertikale Verschiebung des Lautsprecherarrays . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Zusammenfassung 47

A Anhang Kapitel 4 49

A.1 Anhang Abschnitt 4.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

A.2 Anhang Abschnitt 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50




Abbildungsverzeichnis 57

Literaturverzeichnis 59

KURZFASSUNG I

Kurzfassung

In dieser Bachelorarbeit wird untersucht, wie gut dreidimensionale Raumreflexionen,

die bei der Schallwiedergabe in ublichen Umgebungen entstehen, mithilfe einer zweidi-

mensionalen Lautsprecheranordnung kompensiert werden konnen. Hierbei wird zunachst

ein raumlich begrenzter, zweidimensionaler Bereich (Schallfeldzone) betrachtet, inner-

halb dessen keine Reflexionen auftreten sollen. Das Schallfeld im Raum wird dabei

durch je einen Vorfilter pro Lautsprecher beeinflusst. Es wird beschrieben, wie Re-

flexionen von Schallwellen modelliert werden konnen. Außerdem wird ein mathemati-

scher Ansatz vorgestellt, bei dem ein lineares Gleichungssystem aufgestellt wird, dessen

Losung die Vorfilterubertragungsfunktionen sind, mit denen ein vordefiniertes Schall-

feld innerhalb einer Schallfeldzone erzeugt werden kann. Dieses Gleichungssystem wird

regularisiert und die Energie der Vorfilter-Impulsantworten zusatzlich beschrankt, um

ein robustes System zu erhalten. Es wird insbesondere auf den Trade-Off zwischen der

Robustheit des Systems und der Qualitat des Schallfelds eingegangen. Des Weiteren

wird ein quantitatives Maß fur die Abweichung zwischen vorgegebenem und tatsachli-

chem Schallfeld eingefuhrt und auf den Frequenzbereich erweitert. Es wird eine itera-

tives Verfahren vorgestellt, wodurch der beim Entwurf der Vorfilter-Impulsantworten

auftretende Fehler reduziert werden soll. Außerdem wird dieser Algorithmus durch

mehrere Alternativen zur Limitierung der Filterenergie erweitert. Anhand von Simu-

lationsergebnissen wird darauf eingegangen, welche Parameter die beste Performance

liefern, wie sich diese außerhalb der Schallfeldzone verandert, welchen Einfluss die aku-

stischen Eigenschaften des Raumes sowie die Positionen der Lautsprecher haben und

wie sich das Schallfeld im Fall einer dreidimensionalen Schallfeldzone verhalt.

ABKURZUNGSVERZEICHNIS II

Abkurzungsverzeichnis

DFT”Discrete Fourier Transform“

IDFT”Inverse Discrete Fourier Transform“

SMM”System Mismatch“

MSE”Mean Squared Error“

FIR”Finite Impulse Response“

RIR”Room Impulse Response“

IDI”Iterative DFT-Domain Inverse Filter Determination“

B-Verfahren”Broadband“-Verfahren

BSU-Verfahren”Binwise-Scaled-Update“-Verfahren

BUAS-Verfahren”Binwise-Update-And-Scale“-Verfahren

FORMELZEICHEN III

Formelzeichen

Operatoren

AH Adjungierung einer Matrix

AT Transposition eines Vektors

A−1 Inverse einer Matrix

DFT{·} Diskrete Fouriertransformation

IDFT{·} Inverse diskrete Fouriertransformation

‖A‖2 Euklidische Norm eines Vektors

arg(A) Argumente bzw. Phasen der Elemente des komplexwertigen Vektors A

0 Nullvektor

Symbole

a Skalare Große im Zeitbereich

A Skalare Große im Frequenzbereich

a Vektor im Zeitbereich

A Vektor im Frequenzbereich

a Matrix im Zeitbereich

A Matrix im Frequenzbereich

KAPITEL 1. EINLEITUNG 1

Kapitel 1

Einleitung

In den vergangenen Jahren ist die Anzahl der Lautsprecher in Wiedergabesystemen,

insbesondere durch die Forschung im Bereich der Wellenfeldsynthese stetig angestie-

gen, wodurch ganz neue Moglichkeiten entstanden sind. Eine solche Anwendung ist in

Abb. 1.1 zu sehen. In einer Messehalle mit mehreren Standen von verschiedenen Fir-

men, ermoglicht die an der Decke der Halle angebrachte Lautsprecheranordnung die

Synthese von mehreren (farblich hervorgehobenen) Schallfeldzonen, die sich jeweils auf

den Bereich eines Standes beschranken. So kann beispielsweise unterschiedliche Musik

in den Schallfeldzonen gespielt oder Durchsagen getatigt werden ohne, dass der Schall

in benachbarten Zonen wechselseitig wahrzunehmen ist. Ein anderes Anwendungsbei-

spiel ist in Abb. 1.2 dargestellt, wo ein Konferenzraum mit einer Diskussionsrunde zu

sehen ist. Mit der an der Wand angebrachten Lautsprecheranordnung ist es ebenfalls

wieder moglich mehrere Schallfeldzonen zu erzeugen um z.B. die Diskussion in mehre-

ren Sprachen an die Zuhorer auszugeben. Das sind nur zwei der vielen Anwendungen,

die die Synthese von Schallfeldern ermoglicht. Wie man bereits in den beiden Abbil-

dungen erkennen konnte, gibt es dabei verschiedene Moglichkeiten wie die Lautsprecher

angeordnet bzw. wo sie angebracht sein konnen. Die Synthese von mehreren Schallfeld-

zonen mit solch einer Anordnung wurde z.B. in [1], [2], [3], [4] und [5] diskutiert. Eine

der Schwierigkeiten besteht dabei in der Kompensation der, in jedem realen Raum, auf-

tretenden Reflexionen. Diese erweisen sich als storend, da sie in ungewunschte Bereiche

2

Abbildung 1.1: Messehalle1

des Raumes vordringen, wodurch die akustischen Szenen in den jeweiligen Zonen nicht

mehr vollstandig getrennt sind. Diese Reflexionen konnen entweder aktiv oder passiv

kompensiert werden. Bei der passiven Kompensation wird an bestimmten Oberflachen

im Raum ein Absorptionsmaterial angebracht, was aber z.B. aufgrund von Fenster-

scheiben nicht immer moglich ist. Eine aktive Kompensation erfordert eine moglichst

hohe Anzahl an Lautsprechern, die im Idealfall an Boden, Decke sowie den Wanden an-

gebracht sein sollten. Da eine solche Lautsprecheranordnung nicht praktikabel ist, wird

im Rahmen dieser Bachelorarbeit untersucht, wie gut dreidimensionale Reflexionen

mithilfe eines zweidimensionalen Lautsprecherarrays, bei der sich die Lautsprecher nur

an den Wanden befinden, kompensiert werden konnen. Um den Effekt von Reflexionen

isoliert betrachten zu konnen, wird in der Arbeit nur eine einzige Zone betrachtet.

Die Arbeit ist folgendermaßen aufgebaut: In Kapitel zwei wird auf die Grundlagen

eingegangen, wobei die Modellierung von Reflexionen im Allgemeinen sowie die ma-

thematische Formulierung der Problemstellung beleuchtet werden. Außerdem wird ein

iteratives Verfahren zur Verbesserung der Performance eingefuhrt. In Kapitel drei wer-

1URL: http://www.holoplot.com/img/apps/Messe_cam2_2.jpg [Stand: 15.06.17]

KAPITEL 1. EINLEITUNG 3

Abbildung 1.2: Konferenzraum2

den drei Varianten zur Erweiterung des Verfahrens vorgestellt und in Kapitel vier

wird die Performance anhand von Simulationsergebnissen in unterschiedlichen Szena-

rien getestet. Abschließend wird untersucht, wie sich das Schallfeld verandert wenn die

Lautsprecher in vertikaler Richtung verschoben werden.

2URL: http://www.holoplot.com/img/apps/Conference_room_cam2_4.jpg [Stand: 15.06.17]

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 5

Kapitel 2

Grundlagen

Zu Beginn wird in Abschnitt 2.1 die zugrundeliegende Anordnung beschrieben. In Ab-

schnitt 2.2 ist dargestellt, wie Reflexionen im Allgemeinen modelliert werden konnen. In

Abschnitt 2.3 wird das Problem mathematisch beschrieben und in Abschnitt 2.4 wird

ein iteratives Verfahren zur Verbesserung der Performance des Systems vorgestellt.

2.1 Einfuhrung

Schallfeldzone

mit NM Mikrofonen

virtuelle Quelle

Abbildung 2.1: Anordnung von oben

Es liegt ein dreidimensionaler Raum

mit einer planaren, rechteckigen Laut-

sprecheranordnung mit NL Lautspre-

chern vor. Die Anordnung befindet sich

an den Wanden. An einer beliebigen

Stelle im Raum wird auf gleicher Hohe

wie das Lautsprecherarray eine ebe-

ne Schallfeldzone definiert, in der NM

Mikrofone platziert werden. Nun soll

in dieser Zone ein beliebiges Wunsch-

schallfeld, definiert durch eine soge-

nannte virtuelle Quelle, synthetisiert werden. Wie man der Abb.2.1 entnehmen kann

6

wurde als virtuelle Quelle ein Lautsprecher aus dem Array gewahlt, um vergleichen

zu konnen um wie viel sich die Performance unter Verwendung des gesamten Laut-

sprecherarrays, relativ zu einem einzelnen Lautsprecher verbessert. Die rot gefarbten

Lautsprecher dienen also einzig dazu, die Energie, die in Form von Schallwellen in den

Raum geschickt wird, auf die Zone zu fokussieren und außerdem Reflexionen aktiv

zu kompensieren. Im Allgemeinen kann die virtuelle Quelle jedoch an einer beliebi-

gen Stelle im Raum platziert werden. Um die raumlichen Eigenschaften des Schallfelds

beeinflussen zu konnen, ist jedem Lautsprecher ein Vorfilter vorgeschaltet. Das Ziel

ist es, durch richtige Wahl der Vorfilter-Impulsantworten die auftretenden Reflexionen

an Wanden, Decke und Boden so weit wie moglich zu kompensieren und somit das

Wunschschallfeld moglichst gut zu approximieren, wobei der Schalldruckpegel außer-

halb der Zone moglichst gering bleiben soll. Im Rahmen dieser Arbeit wurden keine

Messungen in einem realen Raum durchgefuhrt, sondern stattdessen Simulationen aus-

gefuhrt. Das hat den Vorteil, dass eine Simulation sehr flexibel durchgefuhrt werden

kann. Es konnen beliebige Setups getestet werden ohne, dass diese erst aufwendig in

einem Audiolabor aufgebaut und gemessen werden mussen. Trotzdem folgen zur Ver-

deutlichung der zugrundeliegenden Anordnung zwei Aufnahmen aus dem Labor am

Lehrstuhl fur Multimediakommunikation und Signalverarbeitung in Erlangen.

Abbildung 2.2: Audiolabor (Fotos: Michael Burger)

2.2. MODELLIERUNG VON REFLEXIONEN 7

2.2 Modellierung von Reflexionen

Um die auftretenden Reflexionen kompensieren zu konnen, ist es notwendig, diese zu-

erst zu modellieren. Eine Moglichkeit besteht darin, diese mithilfe von sogenannten

Spiegelquellen darzustellen. Ein Ansatz wurde in [6] und [7] beschrieben und wird im

Folgenden kurz beleuchtet.

In Abb. 2.3 ist ein Raum mit einer Punktquelle Q1 zu sehen. Die Reflexionen von

Boden und Decke werden an dieser Stelle nicht berucksichtigt. Spiegelquellen erster

Ordnung werden durch grune und Spiegelquellen zweiter Ordnung durch blaue Punk-

te dargestellt. In der Abbildung ist einer der moglichen Reflexionspfade eingezeichnet.

Zuerst tritt eine Reflexion an der unteren Wand auf. Diese wird durch die Spiegelquelle

Q′1 modelliert, welche man durch Spiegelung von Q1 an der unteren Wand erhalt. Des

Weiteren wird die Schallwelle nochmals an der linken Wand reflektiert. Diese Refle-

xion wird durch die Quelle Q′′1 beschrieben. Q′′

1 erhalt man durch Spiegelung von Q′1

an der gestrichelten Spiegelachse durch die linke Wand. Dieses Prinzip kann fur eine

beliebige Anzahl Quellen und bis hin zu einer beliebig hohen Reflexionsordnung ange-

wandt werden. Das resultierende Schallfeld ergibt sich schließlich durch Uberlagerung

der Beitrage aller Spiegelquellen.

Q1

Q′1

Q′′1

Abbildung 2.3: Raum von oben (s. [7, Fig.3, Fig.4])

8

2.3 Mathematische Problemstellung

Wie bereits erwahnt, ist jedem Lautsprecher ein Vorfilter vorgeschaltet. Die Ubert-

ragungsfunktion eines solchen Filters wird durch Wl[µ] (l = 1, . . . , NL) reprasentiert,

wobei µ = 0, . . . ,M − 1 der Frequenzindex der”Discrete Fourier Transform“ (DFT)

der Lange M ist. An dieser Stelle sei angemerkt, dass im Folgenden alle Großen im

Frequenzbereich groß geschrieben werden. Der VektorW[µ] = [W1[µ], . . . ,WNL[µ]]T be-

schreibt die Ubertragungsfunktionen der Vorfilter aller NL Lautsprecher, wobei das Su-

perskript [·]T die Vektor-Transposition beschreibt. Das Wunschschallfeld wird in Form

des Vektors Gdes[µ] = [Gdes,1[µ], . . . , Gdes,NM[µ]]T definiert. Dieser Vektor reprasentiert

die Ubertragungsfunktionen von der virtuellen Quelle, die das Wunschschallfeld vor-

gibt, zu jeder derNM Mikrofonpositionen in der Schallfeldzone. Die MatrixH[µ] enthalt

die Ubertragungsfunktionen von allen Lautsprechern zu der jeweiligen Mikrofonpositi-

on in der Schallfeldzone und ist gegeben durch

H[µ] =

H11[µ] H12[µ] · · · H1NL[µ]

H21[µ] H22[µ] · · · H2NL[µ]

......

. . ....

HNM1[µ] HNM2[µ] · · · HNMNL[µ]

. (2.1)

Somit ist z.B. der Eintrag H12[µ] die Ubertragungsfunktion des zweiten Lautsprechers

zur Position des ersten Mikrofons in der Schallfeldzone. Die Ubertragungsfunktionen

des Gesamtsystems ergeben sich durch Multiplikation von H[µ] mit W[µ] und sind im

Vektor

Htrue[µ] = H[µ] ·W[µ] =

Htrue,1[µ]

Htrue,2[µ]...

Htrue,NM[µ]

=

2.3. MATHEMATISCHE PROBLEMSTELLUNG 9

=

H11[µ] ·W1[µ] + H12[µ] ·W2[µ]+ · · · +H1NL[µ] ·WNL

[µ]

H21[µ] ·W1[µ] + H22[µ] ·W2[µ]+ · · · +H2NL[µ] ·WNL

[µ]...

......

. . ....

HNM1[µ] ·W1[µ] + HNM2[µ] ·W2[µ]+ · · · +HNMNL[µ] ·WNL

[µ]

(2.2)

enthalten. Wie man der Gl. (2.2) entnehmen kann, setzt sich die jeweilige Ubertra-

gungsfunktion Htrue,m[µ] an der m-ten Mikrofonposition (m = 1, . . . , NM) also aus der

Uberlagerung der Beitrage aller Lautsprecher zusammen, da, wie man z.B. [8] entneh-

men kann, in der linearen Akustik das Superpositionsprinzip gilt. Anschaulich ergibt

sich also, innerhalb der Schallfeldzone, der Schalldruck

P[µ] = S[µ] ·Htrue[µ]. (2.3)

S[µ] ist die DFT-Transformierte eines beliebigen Eingangssignals, welches von jedem

der NL Lautsprecher wiedergegeben wird. Die Vorfilter mussen so entworfen werden,

dass, wie es bereits in [1] und [2] vorgestellt wurde, im Idealfall das synthetisierte

Schallfeld dem Wunschschallfeld entspricht. Diesen Losungsansatz, bei dem das Glei-

chungssystem

Htrue[µ] = H[µ] ·W[µ] = Gdes[µ]. (2.4)

idealerweise erfullt sein sollte, nennt man”Pressure-Matching“. Dieses Gleichungs-

system ist nur dann exakt losbar, falls die Matrix H[µ] invertierbar ist. Das ist im

Allgemeinen jedoch nur dann gegeben, falls die Anzahl der Mikrofone NM gleich der

Anzahl der Lautsprecher NL ist. Um eine allgemein gultige Losung zu erhalten, kann

man Gl. (2.4) als sogenanntes lineares Ausgleichsproblem definieren. Solch ein Problem

wurde beispielsweise in [9, S.73, Gl. (3.20)] oder in [10, S.143, Gl. (4.57)] auf folgende

Art und Weise formuliert:

10

Bestimme den Vektor W[µ] mit minimaler euklidischer Lange

fur den ‖H[µ]W[µ]−Gdes[µ]‖2 = minW[µ]′∈CNL

‖H[µ]W[µ]′ −Gdes[µ]‖2 gilt. (2.5)

Durch die zusatzliche Bedingung der minimalen euklidischen Lange, die ein Auswahl-

kriterium fur die Losung im Fall eines unterbestimmten Gleichungssystems darstellt,

hat Gl. (2.4), wie in [10, S.142 ff.] gezeigt wurde, eine eindeutige Losung. Diese Losung

ergibt sich, wie in [10, S.142, Gl. (4.54)] definiert, mithilfe der sogenannten Pseudoin-

verse, durch den Ausdruck

W[µ] = (H[µ]H ·H[µ])−1 ·H[µ]H ·Gdes[µ]. (2.6)

Das Superskript [·]H kennzeichnet dabei die Adjungierung einer Matrix. Wie in [10,

S.142 ff.] gezeigt wurde, ist die Pseudoinverse fur den Fall NM = NL gleich der ein-

fachen Inverse H[µ]−1 der Matrix H[µ]. Wie in [9, S.73 ff.] erlautert wird, wurde nun

also eine allgemein gultige Losung des Gleichungssystems aus Gl. (2.4) formuliert, die

im Falle eines unterbestimmten Gleichungssystems eine Losung mit minimaler Energie

liefert, solange rang(H[µ]) = rang(H[µ],Gdes[µ]) gilt und im Falle eines uberbestimm-

ten Gleichungssystems die sogenannte Bestapproximation liefert, also die Losung mit

kleinstem quadratischen Fehler.

In der Praxis gibt es immer eine gewisse Diskrepanz zwischen den Ubertragungsfunk-

tionen H[µ], die fur die Berechnung von W[µ] verwendet werden, und den Ubert-

ragungsfunktionen des realen Raumes. Das liegt daran, dass, durch Modellierung der

Reflexionen im Raum mithilfe des Spiegelquellenmodells, Reflexionen an Gegenstanden

sowie diffuse Reflexionen nicht berucksichtigt werden und die Reflexionsfaktoren von

Boden, Decke und Wanden normalerweise nicht genau bekannt sind. Außerdem wird in

der Simulation angenommen, dass die elektrischen und akustischen Eigenschaften der

Lautsprecher fur jedes Exemplar identisch sind und die Schallgeschwindigkeit konstant

2.3. MATHEMATISCHE PROBLEMSTELLUNG 11

ist, also nicht von Temperatur oder Druck abhangt. Diese Annahmen treffen in der Rea-

litat offensichtlich nicht zu. Um diese Probleme zu umgehen, konnen die Raumimpul-

santworten auch gemessen werden, um dann mit dem Messergebnis die Vorfilterubert-

ragungsfunktionen W[µ] zu berechnen, was jedoch das Problem der nicht-konstanten

Schallgeschwindigkeit ebenfalls nicht lost. Hinzu kommen mogliche Fehlplatzierungen

der Mikrofone, die sich jedoch mit entsprechend hohem Aufwand kontrollieren lassen.

Diese Abweichung der simulierten oder gemessenen Raumimpulsantworten von den rea-

len Raumimpulsantworten fuhrt dazu, dass die Vorfilterubertragungsfunktionen W[µ]

nicht vollstandig zum realen Raum passen, also in gewisser Weise fehlerbehaftet sind.

Um die Auswirkungen dieses Fehlers, der bei der Faltung des Eingangssignals mit den

Vorfilterimpulsantworten zum tragen kommt, klein zu halten und somit ein moglichst

robustes System zu erhalten, muss die Energie der Vorfiltubertragungsfunktionen

Efilter =1

M

M−1∑

µ=0

‖W[µ]‖22 (2.7)

limitiert werden. Deshalb wird an dieser Stelle ein sogenannter Regularisierungspara-

meter β eingefuhrt, mit dem sich die Kostenfunktion [11]

J = Eerror + β · Efilter, (2.8)

definieren lasst.

Eerror =

M−1∑

µ=0

‖Htrue[µ]−Gdes[µ]‖22 (2.9)

ist dabei die Fehlerenergie. Die Losung, die diese Kostenfunktion minimiert, ergibt sich

durch den Ausdruck [11]

W[µ] = (H[µ]H ·H[µ] + β · I)−1 ·H[µ]H ·Gdes[µ]. (2.10)

Dabei ist I die Einheitsmatrix. Im Folgenden wird auf die Bedeutung des Regularisie-

12

rungsparameters β eingegangen. Wahlt man β → 0 im Losungsansatz aus Gl. (2.10),

wird die Fehlerenergie Eerror minimal, wobei dann die Filterenergie Efilter beliebig groß

werden kann. Wahlt man β → ∞ wird die Losung hinsichtlich der Filterenergie opti-

mal, wobei dann die Fehlerenergie hoch wird und sich die triviale Losung W[µ] = 0

ergibt, wodurch das gesamte Schallfeld im Raum null wird. In der Praxis sollte also

einen Mittelweg zwischen diesen beiden Extremwerten von β gefunden werden, worauf

in Abschnitt 4.2 naher eingegangen wird.

2.4 Iterative DFT-Domain Inverse Filter

Determination (IDI)

Der”Iterative DFT-Domain Inverse Filter Determination“ (IDI)-Algorithmus wurde

in [12] vorgestellt und wird verwendet, um die Abweichung zwischen Htrue[µ] und

Gdes[µ] zu reduzieren. Die Ubertragungsfunktionen W[µ] aus Gl. (2.10) sind zwar

gemaß des Optimierungskriteriums optimal, jedoch mussen diese durch”Finite Impulse

Response“ (FIR)-Filter approximiert werden, um eine breitbandige Signalwiedergabe

zu ermoglichen. Der dabei entstehende Fehler soll durch den Algorithmus iterativ mi-

nimiert werden. Wurde man Gl. (2.4) im Zeitbereich aufstellen und losen, ware keine

FIR-Approximation notig. Die Losung des Optimierungsproblems im Zeitbereich erfor-

dert jedoch die Inversion von ggf. sehr großen Faltungsmatrizen. Da dies einen hohen

Rechenaufwand zur Folge hatte, lost man das Problem iterativ im Frequenzbereich.

Der IDI-Algorithmus soll im Folgenden kurz beschrieben werden, dazu mussen aber

erst einige Großen definiert werden. Die Matrix

h[k] = IDFTM{H[µ]} (2.11)

beschreibt die”Inverse Discrete Fourier Transform“ (IDFT)-Transformierte von H[µ]

aus Gl. (2.1). Der Vektor

2.4. ITERATIVE DFT-DOMAIN INVERSE FILTERDETERMINATION (IDI) 13

htrue[k] = IDFTM{Htrue[µ]} (2.12)

= [htrue,1[k], htrue,2[k], . . . , htrue,NM[k]]T, (2.13)

mit Htrue[µ] aus Gl. (2.2), beschreibt die IDFT-Transformierte von Htrue[µ]. Der Vektor

gdes[k] = IDFTM{Gdes[µ]} (2.14)

= [gdes,1[k], gdes,2[k], . . . , gdes,NM[k]]T (2.15)

mit Gdes[µ] = [Gdes,1[µ], Gdes,2[µ], . . . , Gdes,NM[µ]]T (2.16)

ergibt sich aus der IDFT-Transformation von Gdes[µ]. Der Vektor

w[k] = IDFTM{W[µ]} (2.17)

= [w1[k], w2[k], . . . , wNL[k]]T (2.18)

ist die IDFT-Transformierte von W[µ].

Der Algorithmus umfasst NIDI Iterationen. Der aktuelle Iterationsschritt wird mit dem

Index i gekennzeichnet (i = 1, . . . , NIDI). In jedem Iterationsschritt wird die Abwei-

chung zwischen Htrue[µ] und Gdes[µ] binweise durch den Ausdruck

Ei[µ] = Gdes[µ]−H[µ] ·Wi−1[µ] (2.19)

berechnet. Der Fehler Ei[µ] ergibt sich also aus den, wie spater gezeigt wird, durch FIR-

Approximation fehlerbehafteten Vorfilterubertragungsfunktionen Wi−1[µ] des vorher-

gehenden Iterationsschrittes. Der Vektor Wi[µ] wird nun auch mit dem Index i verse-

hen, da die Vorfilter sich mit jedem Iterationsschritt andern. Nun kann der sogenannte

Updatevektor

14

Wi[µ] =

(H[µ]H ·H[µ] + β · INL×NL)−1 ·H[µ]H · Ei[µ] fur NM > NL (2.20a)

H[µ]H · (H[µ] ·H[µ]H + β · INM×NM)−1 · Ei[µ] fur NM ≤ NL(2.20b)

berechnet werden. Er wird, wie der Fehler Ei[µ], pro Iterationsschritt jeweils fur jedes

einzelne Frequenzbin µ berechnet. Im ersten Iterationsschritt ist E1[µ] = Gdes[µ], da

W0[µ] = 0 dem Nullvektor entspricht. Die Gleichung (2.20a) entspricht dann Gl. (2.10).

Im Folgenden soll erklart werden, warum in Gl. (2.20) eine Fallunterscheidung gemacht

werden muss. Die folgenden Erlauterungen beruhen wieder auf dem in Gl. (2.5) defi-

nierten Problem, dessen Losung man in [10, Seite 120 ff.] und [9, Seite 73 ff.] nachlesen

kann. Im ersten Fall ist das Gleichungssystem aus Gl. (2.4) uberbestimmt, es gibt mehr

Mikrofone als Lautsprecher (Vorfilter). Es wird die Bestapproximation ermittelt, also

das Wi[µ], welches den Ausdruck

‖H[µ]Wi[µ]−Ei[µ]‖22 (2.21)

minimiert. Falls NM < NL ist, es also mehr Lautsprecher (Vorfilter) als Mikrofone

gibt, wird die Losung mit der kleinsten euklidischen Lange ‖Wi[µ]‖2 ermittelt, was

in diesem Fall der Losung mit minimaler Energie entspricht. Je großer man den Re-

gularisierungsparameter β wahlt, desto mehr weicht die Losung in Gl. (2.20) von der

numerisch optimalen Losung ab. Sie ist also optimal fur β → 0. Da man aber β 6= 0 aus

den bereits genannten Grunden der Robustheit wahlen sollte, mussen optimale Werte

fur β gefunden werden (s. Abschnitt 4.2).

KAPITEL 3. WEITERFUHRENDE BETRACHTUNGEN 15

Kapitel 3

Weiterfuhrende Betrachtungen

3.1 Varianten des IDI-Algorithmus

In [12] wurde nicht auf die Limitierung der Filterenergie Efilter in Form der Vorga-

be eines Maximalwerts fur diese, unabhangig von β, eingegangen. Das dient dazu die

Energiemenge, die in Form von Schallwellen durch die Lautsprecher in den Raum ge-

schickt wird zu limitieren. Dadurch soll der Schalldruckpegel außerhalb der Schall-

feldzone moglichst gering bleiben, wahrend gleichzeitig die Performance in der Zone

moglichst gut sein soll. Im folgenden Kapitel werden drei alternative Verfahren zur

Limitierung der Filterenergie vorgestellt.

3.1.1 Update im Zeitbereich (Broadband-Verfahren)

Zuerst wird auf das sogenannte B-Verfahren eingegangen. Der Updatevektor Wi[µ] aus

Gl. (2.20) wird dabei in den Zeitbereich transformiert und auf eine beliebige, endliche

Filterlange NF begrenzt (FIR-Approximation). Damit ergibt sich der Updateterm

wi[k] = rectNF[k] · IDFTM{Wi[µ]}, (3.1)

wobei

16

rectNF[k] =

{1 falls k = 0, . . . , NF − 1

0 sonst (3.2)

die Rechteckfunktion ist. Die maximale Filterenergie wird im Folgenden durch den Pa-

rameter δ reprasentiert, der eine obere Schranke fur die Filterenergie Efilter aus Gl. (2.7)

darstellt, die aufgrund des Parsevalschen Theorems auch im Zeitbereich durch den Aus-

druck

Efilter,i =

NF∑

k=0

‖wi[k]‖22 (3.3)

berechnet werden kann. Nun kann das Update nach

wi[k] = wi−1[k] + αi,j · γ · wi[k] (3.4)

berechnet werden, wobei w0[k] = 0. Der Parameter γ ist die sogenannte Schrittweite,

mit der der Updatevektor wi[k] gewichtet wird. Der Parameter αi,j (mit j ∈ N) muss

nun so ermittelt werden, dass die Filterenergie Efilter,i nach dem Update aus Gl. (3.4)

stets kleiner als die maximale Filterenergie δ ist. Dazu wird αi,j mit αi,1 = 1 initialisiert.

Falls Efilter,i > δ ( Efilter,i = Efilter,i | wi[k] = wi[k] ), wird αi,j um funf Prozent

verkleinert, d.h.:

αi,j+1 = 0.95 · αi,j . (3.5)

Nun werden Gl. (3.4) und Gl. (3.5) so lange berechnet bis ein αi,j gefunden wurde,

sodass Efilter,i ≤ δ. Anschließend wird mit diesem αi,j das Update gemaß

wi[k] = wi−1[k] + αi,j · γ · wi[k] (3.6)

durchgefuhrt. Da w0[k] = 0 ist, entspricht w1[k] genau dem mit der Schrittweite ge-

wichteten, in den Zeitbereich transformierten und gefensterten Updateterm w1[k]. Im

3.1. VARIANTEN DES IDI-ALGORITHMUS 17

nachsten Iterationsschritt i+ 1 ergeben sich die Vorfilterubertragungsfunktionen dann

durch den Ausdruck

Wi+1[µ] = DFTM{wi[k]}. (3.7)

Wi+1[µ] ist also aufgrund der Fensterung des Updatevektors wi[k] im Zeitbereich feh-

lerbehaftet. Dieser Fehler Ei+1[µ] aus Gl. (2.19) wird dann in Gl. (2.20) verwendet

um den Updatevektor zu berechnen. Durch die Addition dieses in den Zeitbereich

transformierten und gefensterten Updatevektors auf die fehlerbehafteten Vorfilterim-

pulsantworten in Gl. (3.6) soll die Abweichung zwischen Htrue[µ] und Gdes[µ] iterativ

minimiert werden.

3.1.2 Update im Frequenzbereich

Alternativ kann das Update auch im Frequenzbereich durchgefuhrt werden. Somit kann

der Updatevektor Wi[µ] aus Gl. (2.20), im Gegensatz zum B-Verfahren ohne vorherige

Transformation und Fensterung, verwendet werden. Im Nachfolgenden werden zwei

verschiedene Ansatze vorgestellt.

Binwise Scaled Update-Verfahren

Beim BSU-Verfahren wird das Update der Vorfilter im Frequenzbereich durchgefuhrt.

Dabei wird sichergestellt, dass nach dem Update die Filterenergie nicht zu groß ist.

Hierfur wird der Parameter αi,j im ersten Iterationsschritt zunachst auf α1,1 = 0.8

festgelegt. In den darauf folgenden Iterationsschritten ergibt sich

αi 6=1,1 =

{1 , falls ‖Wi−1[µ]‖

22 < δ. (3.8a)

0 , falls ‖Wi−1[µ]‖22 ≥ δ. (3.8b)

Falls αi,1 6= 0, wird folgender Term berechnet:

Wi[µ] = Wi−1[µ] + αi,j · γ · Wi[µ] (3.9)

18

wobei W0[µ] = 0 dem Nullvektor entspricht. Der Parameter αi,j wird wieder um funf

Prozent verkleinert, falls ‖Wi[µ]‖22 > δ, d.h.:

αi,j+1 = 0.95 · αi,j . (3.10)

Dieser Vorgang wird wieder solange wiederholt, bis ‖Wi[µ]‖22 ≤ δ. Sobald ein αi,j

gefunden wurde, kann Wi[µ] durch den Ausdruck

Wi[µ] = Wi−1[µ] + αi,j · γ · Wi[µ] , falls ‖Wi−1[µ]‖22 < δ (3.11)

aus Wi−1[µ] des vorhergehenden Iterationsschritts berechnet werden. Wobei

Wi[µ] = Wi−1[µ], falls αi,j = 0 (3.12)

Im Fall von Gl. (3.12) wird also kein Update durchgefuhrt, da die Energie im vorherigen

Iterationsschritt i− 1 bereits zu groß war.

Binwise Update and Scale-Verfahren

Beim BUAS-Verfahren wird das Update ebenfalls im Frequenzbereich durchgefuhrt. Im

Unterschied zum BSU-Verfahren wird jedoch das Update zuerst ausgefuhrt und erst

danach wird gepruft ob die Filterenergie zu hoch ist. Wenn das der Fall ist, werden

die Vorfilterubertragungsfunktionen herunterskaliert. Das Verfahren beginnt mit der

Berechnung des Ausdrucks

Wi[µ] = Wi−1[µ] + γ · Wi[µ] (3.13)

wobei W0[µ] = 0 der Nullvektor ist. Im Anschluss wird eine etwaige Skalierung gemaß

Wi[µ] =

Wi[µ] ·

√δ

‖Wi[µ]‖2, falls ‖Wi[µ]‖

22 > δ

Wi[µ] , falls ‖Wi[µ]‖22 ≤ δ

(3.14)

3.1. VARIANTEN DES IDI-ALGORITHMUS 19

durchgefuhrt. Zum Abschluss des BUAS-Verfahrens bzw. im Anschluss an Gl. (3.11) des

BSU-Verfahrens werden die Vorfilterimpulsantworten wi[k] durch FIR-Approximation

errechnet, d.h.:

wi[k] = rectNF[k] · IDFTM{Wi[µ]}. (3.15)

Im nachsten Iterationsschritt i + 1 ergeben sich die Vorfilterubertragungsfunktionen

dann durch den Ausdruck

Wi+1[µ] = DFTM{wi[k]}. (3.16)

Das bedeutet, dass Wi+1[µ] aufgrund der Fensterung im Zeitbereich fehlerbehaftet ist.

Dieser Fehler Ei+1[µ] aus Gl. (2.19) wird dann in Gl. (2.20) verwendet um den Update-

vektor zu berechnen. Durch die Addition dieses Updatevektors auf die fehlerbehafteten

Vorfilterubertragungsfunktionen in Gl. (3.11) bzw. in Gl. (3.14) soll die Abweichung

zwischen Htrue[µ] und Gdes[µ] iterativ minimiert werden.

20

3.2 Maß zur Performancemessung

Optimale Werte fur den Regularisierungsparameter β und die Schrittweite γ wurden in

mehreren Simulationen ermittelt und werden in Abschnitt 4.2 vorgestellt. Dort wird au-

ßerdem gezeigt welches der drei Verfahren aus Abschnitt 3.1 die beste Performance bie-

tet. Ein Maß dafur soll das in diesem Abschnitt definierte”System Mismatch“ (SMM )

sein. Das SMM wurde in [13, Seite 194] definiert. In dieser Arbeit wird es in einer mo-

difizierten Version durch den Ausdruck

SMMT =1

NM,e

NM,e∑

n=1

√√√√N−1∑

k=0

|htrue,n[k]− gdes,n[k]|2

|htrue,n[k]|2(3.17)

definiert, mit htrue,n[k] aus Gl. (2.12) und gdes,n[k] aus Gl. (2.14). N = NF +NRIR − 1

ergibt sich aus der Faltung der Elemente aus w[k] mit denen aus h[k], wobei NRIR

dabei die Lange der Impulsantworten aus h[k] ist. Da das SMM auch frequenzabhangig

ausgewertet werden soll wird ein DFT-basiertes, frequenzabhangiges SMMF[µ] durch

den Ausdruck

SMMF[µ] =1

NM,e

NM,e∑

n=1

√|Htrue,n[µ]−Gdes,n[µ]|2

1M

∑M−1η=0 |Htrue,n[η]|2

(3.18)

eingefuhrt, mitHtrue,n[µ] aus Gl. (2.2) und Gdes,n[µ] aus Gl. (2.16). Dabei wird die Diffe-

renz von Htrue,n[µ] und Gdes,n[µ] berechnet und anschließend auf die Energie von Htrue,n

normiert. Die Quadratwurzel wird gebildet, um den Zusammenhang zwischen Gl. (3.17)

und Gl. (3.18) herstellen zu konnen. Sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich, wird

das SMM an jeder Mikrofonposition berechnet und anschließend uber alle Werte ge-

mittelt. Wie man aus Gl. (3.17) und Gl. (3.18) entnehmen kann, wurde der Parameter

NM,e fur die Gesamtanzahl der Mikrofone benutzt. Das liegt daran, dass zur Berech-

nung des SMM mehr Mikrofone verwendet werden als beim”Pressure-Matching“ in

Gl. (2.4), d.h. NM < NM,e. Diese NM,e Mikrofone befinden sich alle innerhalb der

Schallfeldzone, man erhalt also lediglich ein feineres Mikrofongitter.

3.2. MASS ZUR PERFORMANCEMESSUNG 21

Der Zusammenhang zwischen dem SMM im Zeit- und Frequenzbereich wird, unter

Verwendung des Parsevalschen Theorems, durch den Ausdruck

N−1∑

k=0

|htrue,n[k]− gdes,n[k]|2

|htrue,n[k]|2=

∑N−1k=0 |htrue,n[k]− gdes,n[k]|

2

∑N−1k=0 |htrue,n[k]|2

1M

∑M−1µ=0 |Htrue,n[µ]−Gdes,n[µ]|

2

1M

∑M−1µ=0 |Htrue,n[µ]|2

=1

M

M−1∑

µ=0

|Htrue,n[µ]−Gdes,n[µ]|2

1M

∑M−1η=0 |Htrue,n[η]|2

(3.19)

beschrieben. Die frequenzabhangige Fehlerenergie sollte also nicht auf die Energie pro

Frequenzbin normiert werden, sondern auf die mittlere Energie aller M Frequenzbins.

Somit wird es ermoglicht das SMMT durch Mittelung des frequenzabhangigen SMMF

zu berechnen. Es wurde auch der mittlere quadratische Fehler

MSE =1

NM,e

NM,e∑

n=1

1

N

N−1∑

k=0

(htrue,n[k]− gdes,n[k])2 (3.20)

als Maß in Betracht gezogen. Bei der Gegenuberstellung des Grenzfalls htrue,n[k] → 0 ∀k

und einer verrauschten Version von gdes,n[k], liefert der ”Mean Squared Error“ (MSE)

jedoch fur den Fall htrue,n[k] → 0 ∀k einen besseren Wert als im Falle eines verrauschten

htrue,n[k]. Das ist sicherlich nicht das gewunschte Verhalten, was im Folgenden kurz fur

ein Mikrofon anhand eines Beispiels gezeigt werden soll.

In Abbildung 3.1 sind zwei Signale mit jeweils einer Lange von 2048 Abtastwerten zu

sehen. gdes[k] = δ[k − 100] ist ein verschobener Einheitsimpuls und htrue[k] ist eine

verrauschte Version von gdes[k]. Es ergeben sich folgende MSE-Werte:

MSEnoisy = 20 · log10

(1

2048

2048∑

1

(htrue[k]− gdes[k])2

)= −59.92dB, (3.21)

MSE0 = 20 · log10

(1

2048

2048∑

1

(0− gdes[k])2

)= −66.22 dB. (3.22)

Der MSE-Wert in Gl. 3.22 ist deutlich besser als in Gl. (3.21), obwohl gar kein Signal

vorhanden ist. Das SMMT hingegen hat den Vorteil, dass es, falls htrue,n[k] gegen null

22

0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zeitindex k

gdes[k]htrue[k]

Abbildung 3.1: Impulsantworten

geht, einen sehr hohen Wert liefert. Deshalb wurde in Gl. (3.17) auf htrue,n[k] normiert.

KAPITEL 4. ERGEBNISSE 23

Kapitel 4

Simulationsergebnisse

4.1 Simulationsbeschreibung

Alle Simulationen wurden in MATLAB durchgefuhrt. Fur die Modellierung und Be-

rechnung der Reflexionen mithilfe der in Abschnitt 2.2 beschriebenen Spiegelquellen-

methode wurde die Implementierung, wie in [7] beschrieben, verwendet. Dabei wurden

omnidirektionale Mikrofone angenommen und die Lautsprecher als Punktquellen simu-

liert. Die Lange der Raumimpulsantworten wurde auf NRIR = 256 festgelegt. Außer-

dem wurde eine Abtastfrequenz fsample = 4000Hz gewahlt. Die Anzahl der Iterationen

des IDI-Algorithmus umfasste stets NIDI = 100 Iterationen. Die Reflexionsfaktoren

der Wande werden im Folgenden als ρW bezeichnet. ρD ist der Reflexionsfaktor der

Decke und ρB ist der des Bodens. Die Lange der Vorfilter-Impulsantworten wurde auf

NF = 384 gesetzt.

24

4.2 Optimale Parameter fur den IDI-Algorithmus

y in m

x in m

1

1z

Abbildung 4.1: Versuchsaufbau von oben

Im Folgenden werden gunstige Wer-

te fur den Regularisierungsparameter β

und die Schrittweite γ vorgestellt. Au-

ßerdem wird gezeigt, welches der drei

Verfahren aus Abschnitt 3.1 die be-

ste Performance aufweist und wie die

maximale Filterenergie δ diese beein-

flusst. Als Maß hierfur, soll nun das in

Abschnitt 3.2 definierte SMM dienen.

Die Anzahl der Mikrofonpositionen, an

denen das Schallfeld optimiert werden

soll, wurde zu NM = 81 gewahlt, die Anzahl der Mikrofonpositionen zur Berechnung

des SMM zu NM,e = 317. Die Werte dieser beiden Parameter ergeben sich daraus, dass

die Mikrofone in Form eines kreisformigen Gitters (s. Abb. 4.1), mit einem Abstand

von 5 cm bzw. 2.5 cm zwischen den einzelnen Positionen, angeordnet sind. Wie man

in Abb. 4.1 sehen kann, wurde eine rechteckige Lautsprecheranordnung mit NL = 70

Lautsprechern verwendet. Die z-Achse verlauft aus der Zeichenebene heraus. Die Zone

befindet sich an der Position [0.6, 0.5, 0]m und die virtuelle Quelle an der Position

[1.97, 0.56, 0]m. Der Raum hat eine Lange von 3.9m, eine Breite von 3m und eine

Hohe von 2m. Das Lautsprecherarray und die Schallfeldzone befinden sich 80 cm uber

dem Boden. Es wurden folgende Reflexionsfaktoren gewahlt: ρW = ρD = ρB = 0.9 mit

einer Reflexionsordnung von vier.

4.2.1 BSU-Verfahren

Zuerst wird die Performance des in Abschnitt 3.1.2 beschriebenen BSU-Verfahrens un-

tersucht. Die maximale Filterenergie δ wurde auf einen Wert von δ = 0.75 beschrankt.

In Abbildung 4.2 ist das SMMF in Abhangigkeit der Frequenz aufgetragen. Die Fre-

4.2. OPTIMALE PARAMETER FUR DEN IDI-ALGORITHMUS 25

quenzachse reicht bis zu einem Wert von 2000Hz, was der halben Abtastfrequenz ent-

spricht. Das SMMT kann man aus der Legende entnommen werden.

0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000−100

−80

−60

−40

−20

0

20

Frequenz in Hz

SM

MF[µ]in

dB

β = 0.0001, SMMT = −11.28 dBβ = 0.1, SMMT = −21.34 dBβ = 0.5, SMMT = −24.3 dBβ = 1, SMMT = −24.94 dB

Abbildung 4.2: δ = 0.75, γ = 1

Der beste SMMT-Wert ergibt sich fur β = 1. Im Frequenzbereich ist das jedoch nicht

sofort erkennbar: Die grune und die orangefarbene Kurve, welche zu β = 0.1 und

β = 0.5 korrespondieren, liegen bis ca. 1500 Hz deutlich unterhalb der braunen Kurve

fur β = 1. Ab dieser Frequenz weist jedoch vor allem die grune Kurve hohe Peaks

auf, wohingegen die Braune deutlich flacher verlauft. Der Plot in Abb. 4.2 zeigt die

Kurven nur fur eine Schrittweite von γ = 1, da sich diese fur δ = 0.75 stets als

optimal erwiesen hat. Auffallig ist beim BSU-Verfahren zudem, dass das SMMF fur

β = 0.1 und fur β = 0.0001 starke Schwankungen aufweist. Solch ein Verhalten ist

als negativ zu bewerten, da man, unter Vernachlassigung psychoakustischer Effekte,

einen breitbandig konstanten Verlauf erstrebt. An dieser Stelle sei noch angemerkt,

dass fur die Praxis die Performance bei sehr niedrigen Frequenzen keine Rolle spielt,

da herkommliche Lautsprecher Signalfrequenzen unterhalb von ca. 20Hz nicht in Form

26

eines akustischen Signals darstellen konnen.

4.2.2 BUAS-Verfahren

Nun soll die Performance des BUAS-Verfahrens, was in Abschnitt 3.1.2 beschrieben

wurde, betrachtet werden. Die maximale Filterenergie δ wurde wieder auf einen Wert

von δ = 0.75 beschrankt. Aus Abbildung 4.3 kann man entnehmen, dass das SMMT fur

β = 0.2 den kleinsten Wert aufweist. Der optimale Regularisierungsparameter andert

sich also offensichtlich abhangig von dem Verfahren, das zur Begrenzung der Filter-

energie gewahlt wird. Auch der Verlauf des SMMF uber der Frequenzachse bestatigt

die Beobachtung, da die grune Kurve fur β = 0.2 ab einer Frequenz von ca. 20Hz

unterhalb der drei anderen Kurven verlauft. Auch fur das BUAS-Verfahren erwies sich

eine Schrittweite von γ = 1 als optimal, weswegen an dieser Stelle keine weiteren Plots

mit anderen Schrittweiten dargestellt sind.

0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000

−80

−60

−40

−20

0

Frequenz in Hz

SM

MF[µ]in

dB


Abbildung 4.3: δ = 0.75, γ = 1


4.2.3 B-Verfahren

Nun wird das B-Verfahren, welches in Abschnitt 3.1.1 beleuchtet wurde, naher unter-

sucht. Um Fairness beim Vergleich der drei Verfahren herzustellen, wurde im Folgenden

die maximale Filterenergie δ auf die Energie Efilter der Vorfilter-Impulsantworten be-

schrankt, die sich mit dem BUAS-Verfahren mit gleichem β und γ sowie δ = 0.75 erge-

ben. Das ist notig, da beim BSU-Verfahren und beim BUAS-Verfahren die Filterenergie

im Frequenzbereich beschrankt wird und diese sich durch die FIR-Approximation im

Zeitbereich wieder verringert. Das liegt daran, dass wi[k] in Gl. (3.15) auf eine Lange

von NF Samples verkurzt wird. In Abbildung 4.4 ist das SMMF fur eine Schrittweite

von γ = 1 aufgetragen. Der optimale Wert fur β liegt bei diesem Verfahren bei 0.1,

was sich auch deutlich im Frequenzbereich zeigt. Dort verlauft die grune Kurve, die zu

β = 0.1 korrespondiert ab ca. 380Hz stets unterhalb der drei anderen Graphen.

0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000

−80

−60

−40

−20

0

Frequenz in Hz

SM

MF[µ]in

dB


Abbildung 4.4: γ = 1

Nun soll noch der Einfluss der Schrittweite γ exemplarisch fur das B-Verfahren gezeigt

werden. In Abbildung 4.5 wurde dazu das SMMF fur verschiedene Schrittweiten auf-

28

getragen. Eine großere Schrittweite verbessert das SMMT dabei um bis zu ca. 6 dB.

Die orangefarbene Kurve, die zu γ = 1 korrespondiert, verlauft deutlich unterhalb der

beiden anderen Kurven. Dieses Verhalten ist reprasentativ fur alle drei Verfahren.

0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000

−80

−60

−40

−20

Frequenz in Hz

SM

MF[µ]in

dB

γ = 0.1, SMMT = −22.51 dBγ = 0.5, SMMT = −27.07 dBγ = 1, SMMT = −28.1 dB

Abbildung 4.5: β = 0.1

Nun soll an dieser Stelle noch gezeigt werden, wie die maximale Filterenergie δ, das

SMMT und die Schallenergie außerhalb der Schallfeldzone voneinander abhangen.

In Abbildung 4.6 wurde dazu das SMMT in Abhangigkeit von der maximalen Filter-

energie δ aufgetragen. Dabei wurden Bereiche, die weniger als 40 cm von den Lautspre-

chern entfernt sind, nicht berucksichtigt, da in unmittelbarer Nahe der Lautsprecher

der Schalldruckpegel sehr hoch und dieser Bereich fur die Praxis in der Regel weniger

relevant ist. Je großer δ, desto besser wird das SMMT. Die unerwunschte Schallenergie

außerhalb der Zone nimmt jedoch auch zu, was den Erwartungen entspricht, da mit

zunehmender Filterenergie Efilter auch die Energie ansteigt, die in Form von Schall-

wellen in den Raum geschickt wird. Diese hebt zwar die Energie in der Schallfeldzone

an, was das SMM verbessert, doch zwangslaufig vergroßert sich auch die Energie des

Schallfelds außerhalb der Zone. In der Praxis muss man deshalb einen Mittelweg finden,


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−30

−20

−10

0

10

Maximale Filterenergie δ

SM

MTin

dB

γ = 1, β = 0.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10

−5

0

5

10

Eundesin

dB

Abbildung 4.6: Plot des SMMT und Eundes in Abhangigkeit von δ

sodass das Schallfeld in der Zone nicht zu stark vom gewunschten abweicht und gleich-

zeitig außerhalb der Zone moglichst wenig zu horen ist. Ein interessanter Punkt ist bei

δ ≈ 0.12. Das SMMT ist an dieser Stelle bereits bei ca. −13 dB, die unerwunschte

Energie ist jedoch mit ca. 2.5dB noch relativ gering.

Nun soll Performance des Systems unter Verwendung des B-Verfahrens im Zeitbereich

untersucht werden. Dazu sind im unteren Teil der Abb. 4.7 die normierten Impulsant-

worten

htrue,n[k] =htrue,n[k]

argmax |gdes,n[k]|(4.1)

und im oberen Teil die normierten Wunschimpulsantworten

gdes,n[k] =gdes,n[k]

argmax |gdes,n[k]|(4.2)

dargestellt, mit n = 1 . . .NM und htrue,n[k] aus Gl. (2.12) sowie gdes,n[k] aus Gl. (2.14).

Man kann im unteren Teil der Abbildung noch relativ gut die Wunschimpulsantworten

erkennen. Diese werden jedoch naturlich durch die Beitrage verschiedener Reflexionen

30

uberlagert. Besonders positiv fallt auf, dass der Pegel der sogenannten”pre-echoes“

(Vorechos), im Bereich von k = 0 bis k ≈ 110 mit ca. −45 dB gering ausfallt. Das ist

eine wichtige Eigenschaft, da diese Reflexionen, die vor dem eigentlichen Wunschsignal

zu horen sind, typischerweise als besonders storend empfunden werden. Von k ≈ 120

bis k ≈ 400 nimmt der Pegel kontinuierlich ab, da die Reflexionen mit zunehmender

Ordnung immer mehr gedampft werden. Von k ≈ 400 bis k ≈ 420 erkennt man eine

Ausbeulung, in der sich der Pegel der Impulsantworten um ca. 20 dB erhoht. Dieses

Verhalten ist auf die Filterlange von NF = 384 zuruckzufuhren, die im Rahmen dieser

Simulation vorgegeben wurde. Das liegt daran, dass sich htrue[k] aus der Faltung von

h[k] mit w[k] ergibt. Stellt man sich die Faltung als das”Ubereinanderschieben“ zweier

Signale vor, so nehmen ab k = NF die Anzahl der Faltungsbeitrage ungleich null immer

weiter ab. Somit hat man mit zunehmender Zeit auch immer weniger Freiheitsgrade zur

Kompensation der Reflexionen zur Verfugung und das Schallfeld unterliegt zunehmend

allein den physikalischen Eigenschaften des Raumes.

0 100 200 300 400 500 600 700Zeitindex k

-120-100-80-60-40-200

0 100 200 300 400 500 600 700Zeitindex k

-120-100-80-60-40-200

htrue,n[k]in

dB

gdes,n[k]in

dB

Abbildung 4.7: Plot der Impulsantworten


0 20 40 60 80 100−30

−25

−20

−15

Iterationsschritt i

SM

MTin

dB

Abbildung 4.8: SMMT mit zunehmendemIterationsschritt

Abschließend wird untersucht, wie sich

das SMMT in Abhangigkeit der Itera-

tionen verandert. Dazu ist in Abb. 4.8

das SMMT in Abhangigkeit der Ite-

rationsschritte dargestellt. Es wurde

β = 0.1 und γ = 1 gewahlt. Das

SMMT nimmt mit steigender Iterati-

onszahl kontinuierlich ab und bleibt ab

40 Iterationen konstant auf einem Wert

von −28.1 dB.

0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000

−80

−60

−40

−20

0

Frequenz in Hz

SM

MF[µ]in

dB

NIDI = 100, SMMT = −28.1 dBNIDI = 1, SMMT = −12.7 dB

Abbildung 4.9: Performance mit 1 und 100 Iterationen

Außerdem ist in Abb. 4.9 das SMMF fur eine und fur 100 Iterationen aufgetragen.

Die blaue Kurve fur 100 Iterationen verlauft eindeutig unterhalb der blauen fur eine

Iteration. Das SMMT verbessert sich um ca. 15 dB.

32

4.2.4 Vergleich des B- BSU- und BUAS-Verfahrens

In diesem Abschnitt sollen die drei Verfahren zur Begrenzung der Filterenergie aus

Abschnitt 3.1 direkt miteinander verglichen werden. Dazu wurde δ = 0.75 und die fur

das jeweilige Verfahren optimalen Parameter gewahlt: Beim BSU-Verfahren ist β = 1,

beim BUAS-Verfahren ist β = 0.2 und beim B-Verfahren ist β = 0.1. γ = 1 ist bei

allen drei Verfahren optimal. In Abbildung 4.10 ist das SMMF fur die drei Verfahren

aufgetragen.

0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000

−80

−60

−40

−20

Frequenz in Hz

SM

MF[µ]in

dB

B-Verfahren, SMMT = −28.1 dBBSU-Verfahren, SMMT = −24.94 dBBUAS-Verfahren, SMMT = −27.26 dB

Abbildung 4.10: Vergleich der drei Verfahren mit optimalen Parametern

Mit dem B-Verfahren erzielt man beim SMMT ein um ca. 3 dB besseres Ergebnis als

beim BSU-Verfahren und ein um ca. 0.8 dB besseres Ergebnis als beim BUAS-Verfahren.

Die grune Kurve des BSU-Verfahrens verlauft im Frequenzbereich ab ca. 100Hz ober-

halb der beiden anderen. Die zum BUAS-Verfahren gehorende orangefarbene Kurve

verlauft bis ca. 1500Hz unterhalb der blauen Kurve des B-Verfahrens, erweist sich je-

doch im hohen Frequenzbereich ab ca. 1500Hz als deutlich schlechter als die blaue

Kurve. Da die Unterschiede zwischen zwei SMM -Werten mit zunehmenden Pegel im-

4.3. PERFORMANCE AUSSERHALB DER SCHALLFELDZONE 33

mer mehr ins Gewicht fallen, ist das B-Verfahren auch im Frequenzbereich als den bei-

den anderen Verfahren deutlich uberlegen zu bewerten. Zusammenfassend kann man

also sagen, dass das B-Verfahren des IDI-Algorithmus die beste Performance liefert.

Deshalb soll dieses Verfahren im Folgenden verwendet werden.

4.3 Performance außerhalb der Schallfeldzone

Bisher wurde nur die Performance des Systems innerhalb der definierten Schallfeldzo-

ne untersucht, in der sich die NM Mikrofonpositionen befinden, an denen das Schall-

feld, durch die Losung des Gleichungssystems aus Gl. (2.4), optimiert wird. Doch wie

verandert sich die Performance außerhalb dieser Optimierungspunkte? Diese fur die

Praxis doch sehr relevante Frage soll in diesem Abschnitt beantwortet werden. Es wird

wieder die Versuchsanordnung aus Abb. 4.1 angenommen, wobei das B-Verfahren mit

β = 0.1, γ = 1 und δ = 0.75 verwendet wird. Des Weiteren wird der Vektor xoff ein-

gefuhrt. Er beschreibt die Verschiebung des Mikrofongitters, mit NM,e Mikrofonen, in

kartesischen Koordinaten, welches zur Berechnung des SMM eingesetzt wird, nicht die

Verschiebung der Schallfeldzone an sich. Somit wird das SMM außerhalb des Bereichs

berechnet, in dem das Schallfeld optimiert wurde. An dieser Stelle sei angemerkt, dass

sich die Performance, bis auf minimale Abweichungen, symmetrisch zur z-Koordinate

des Vektors xoff = [xoff,1, xoff,2, xoff,3] verhalt. Das heißt, dass es fast keine Rolle spielt, ob

xoff,3 positiv oder negativ ist, solange der Betrag gleich bleibt. Deshalb ist in Abb. 4.11

das SMMF jeweils nur fur den negativen Wert von xoff,3 dargestellt. Das SMMT lasst

sich aus der Legende ablesen und verschlechtert sich schon fur |xoff,3| = 1 cm um ca.

12 dB. Je großer |xoff,3| wird, desto mehr verschlechtert sich das SMMT, bis auf einen

Wert von −5.1 dB fur |xoff,3| = 15 cm. Bei der Untersuchung der Performance in der

x-y-Ebene der Schallfeldzone wurde die Anzahl NM,e der Punkte zur Berechnung des

SMM auf 81 gesetzt, damit sich die Mikrofongitter zur Optimierung bzw. zur Evaluie-

rung des SMM nicht uberschneiden. In diesem Fall ist das SMM wesentlich besser, als

im Fall der vertikalen Verschiebung. Dieses Verhalten ist darauf zuruckzufuhren, dass

34

0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000

−80

−60

−40

−20

0

Frequenz in Hz

SM

MF[µ]in

dB

xoff = [0, 0,−5]cm, NM,e = 317, SMMT = −7.1 dBxoff = [0, 0,−15]cm, NM,e = 317, SMMT = −5.1 dBxoff = [0, 0,−1]cm, NM,e = 317, SMMT = −18.4 dBxoff = [0, 0, 0]cm, NM,e = 317, SMMT = −30.5 dBxoff = [−2.5, 0, 0]cm, NM,e = 81, SMMT = −29.3 dBxoff = [0,+2.5, 0]cm, NM,e = 81, SMMT = −29.8 dB

Abbildung 4.11: γ = 1, β = 0.1, δ = 0.75

sich die Lautsprecheranordnung in der selben Ebene wie die Schallfeldzone befindet.

4.4 Performance mit einer 3D-Schallfeldzone

Nun wird eine dreidimensionale Schallfeldzone definiert, die sich aus drei kreisformi-

gen Mikrofongittern zusammensetzt. Ein Gitter wird an der Position [0.6, 0.5, 0.05]m

definiert, eines bei der Position [0.6, 0.5, 0]m, die auch in den Abschnitten 4.2 und 4.3

verwendet wurde und das letzte an der Stelle [0.6, 0.5, −0.05]m. Es ergeben sich somit

insgesamt NM = 3 · 81 = 243 Mikrofonpositionen an denen das Schallfeld optimiert

wird. Das SMM wird an NM,e = 317 Positionen ausgewertet. Das Mikrofongitter zur

Berechnung des SMM bleibt gleich und wird wieder um den Vektor xoff verschoben.

In Abb. 4.12 ist das SMMF uber der Frequenz aufgetragen, wobei das SMM sich

wieder naherungsweise symmetrisch bezuglich der z-Koordinate xoff,3 des Vektors xoff

verhalt. Die blaue und die orangefarbene Kurve, die zu unterschiedlichen Mikrofonan-

4.4. PERFORMANCE MIT EINER 3D-SCHALLFELDZONE 35

zahlen NM korrespondieren, zeigen beide das SMMF, ausgewertet in der Schallfeldzone

an der Position [0.6, 0.5, 0]m. Die orangefarbene verlauft unterhalb der blauen Kurve,

da bei Letzterer mehr Mikrofone, also NM = 243 statt NM = 81 verwendet wurden.

Das liegt daran, dass sich durch Erhohung der Mikrofonanzahl, auch die Anzahl der zu

erfullenden Gleichungen in Gl. (2.2) erhoht, wobei die Anzahl der Freiheitsgrade, also

die Lautsprecheranzahl mit NL = 70 gleich bleibt. Beim Vergleich der Abbildungen

4.11 und 4.12, lasst sich feststellen, dass sich das Schallfeld, im Fall einer zweidimen-

sionalen Zone bereits bei einer Verschiebung von |xoff,3| = 1 cm bereits um ca. 12 dB

verschlechtert, wohingegen, im Fall der dreidimensionalen Zone, bei einer Verschiebung

von |xoff,3| = 2.5 cm sogar eine kleine Verbesserung des SMMT von ca. 0.1 dB zu be-

obachten ist. Das ist auf die Tatsache zuruckzufuhren, dass sich im letzteren Fall noch

weitere Optimierungspunkte ober- und unterhalb des Mikrofongitters zur Berechnung

des SMM befinden. Bei einer Verschiebung von |xoff,3| = 5 cm verschlechtert sich das

SMMT um den kleinen Wert von ca. 0.8 dB im Vergleich zum Wert bei |xoff,3| = 0 cm.

Erst bei einer Verschiebung von |zoff,3| = 7.5 cm steigt das SMMT auf den deutlich

schlechteren Wert von −16.4 dB an.

Abschließend kann man also sagen, dass es, falls die Performance auch ober- und unter-

halb einer zweidimensionalen Schallfeldzone moglichst gut bleiben soll, erforderlich ist

eine dreidimensionale Schallfeldzone zu definieren. Dadurch konnen Reflexionen auch

ober- und unterhalb einer 2D-Ebene kompensiert werden, jedoch verschlechtert sich

die Qualitat innerhalb des in der 3D-Zone liegenden zweidimensionalen Mikrofongit-

ters relativ zu einer 2D-Zone, aus den bereits genannten Grunden, um ca. 11 dB.

36

0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000

−80

−60

−40

−20

Frequenz in Hz

SM

MF[µ]in

dB

xoff = [0, 0, 0]cm, NM = 243, SMMT = −19, 29 dBxoff = [0, 0,−5]cm, NM = 243, SMMT = −18.51 dBxoff = [0, 0, 0]cm, NM = 81, SMMT = −30.53 dBxoff = [0, 0,−2.5]cm, NM = 243, SMMT = −19.40 dBxoff = [0, 0,−7.5]cm, NM = 243, SMMT = −16.40 dB

Abbildung 4.12: γ = 1, β = 0.1, δ = 0.75

4.5 Variation der Reflexionsfaktoren

In diesem Abschnitt wird die Performance getestet, wenn man den Reflexionsfaktor

der Wande ρW und die Reflexionsfaktoren von Boden (ρB) und Decke (ρD) variiert. Es

wurde die Anordnung aus Abb. 4.1 verwendet und das B-Verfahren mit optimalen Pa-

rametern eingesetzt. In Abbildung 4.13 ist das SMMT in Abhangigkeit der Reflexions-

faktoren aufgetragen. Das SMMT wird am schlechtesten, wenn die Reflexionsfaktoren

von Boden und Decke (ρB, ρD) einen hohen Wert haben und gleichzeitig der Reflexi-

onsfaktor der Wande (ρW) niedrig ist. Wahlt man also z.B. ρW = 0 und ρB = ρD = 1,

so werden die Schallwellen an den Wanden vollstandig absorbiert und an Boden und

Decke vollstandig reflektiert. Dies hat zur Folge, dass die Schallwellen zwischen Bo-

den und Decke hin- und herpendeln. Die Lautsprecher befinden sich jedoch nur an den

Wanden, weswegen diese Reflexionen nur sehr schlecht kompensiert werden konnen, da

eine Kompensation mittels Antischall (destruktive Interferenz) am besten funktioniert,

4.5. VARIATION DER REFLEXIONSFAKTOREN 37

wenn zwei Wellen sich innerhalb der selben Ebene ausbreiten. In der Praxis sollte ρW

also großer als 0.7 sein. Im blau gefarbten Bereich in Abb. 4.13 sind die SMMT-Werte

zwar gut, in typischen Wiedergaberaumen sind die Reflexionsfaktoren jedoch deutlich

großer als 0.1. Zusammenfassend kann man also sagen, dass die Performance eines 2D-

Lautsprecherarrays in einem dreidimensionalen Raum stark eingeschrankt ist, wenn die

Reflexionsfaktoren der Wande an denen sich die Lautsprecher befinden niedrig sind.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-40

-35

-30

-25

-20

-15

ρB = ρD

ρW

SM

MTin

dB

Abbildung 4.13: SMMT fur verschiedene Reflexionsfaktoren

38

4.6 Vertikale Verschiebung des Lautsprecherarrays

y in m

x in m

1

1z

Abbildung 4.14: Versuchsaufbau von oben

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden,

wie die z-Koordinate der Position der

Schallfeldzone und der Lautsprecheran-

ordnung die Reflexionen an Boden und

Decke bzw. deren Uberlagerung beein-

flusst und was sich daraus fur eine Per-

formance ergibt. Dazu wurden zu An-

fang, um die Komplexitat zu verrin-

gern, Simulationen mit einem einzigen

Lautsprecher durchgefuhrt. Dabei wur-

den die Reflexionen von den Wanden

vernachlassigt, d.h. ρW = 0, es wurde eine Reflexionsordnung von eins gewahlt und als

Vorfilterimpulsantwort des Lautsprechers der Einheitsimpuls gewahlt, d.h. w1[k] = δ[k].

Der an den Mikrofonpositionen ankommende Schall kann somit in drei Pfade aufgeteilt

werden: Der Direktpfad, also die kurzeste Strecke zwischen dem Lautsprecher und der

jeweiligen Mikrofonposition in der Zone sowie dem sogenannten Boden- bzw. Decken-

pfad, also dem Pfad vom Lautsprecher zum Boden bzw. zur Decke und zur jeweiligen

Mikrofonposition. Die Anordnung ist in Abb. 4.14 zu sehen. Der Raum wurde dabei

um zoff,L ∈ {−1.15,−1.14, ..., 0.75}m verschoben. Somit befinden sich der Lautsprecher

und die Schallfeldzone bei zoff,L = −0.2m genau auf der halben Hohe des Raumes, also

1m uber dem Boden. Um die Reflexionen von Boden und Decke vollstandig trennen

zu konnen, wurden vier Simulationen durchgefuhrt:

• In der ersten Simulation wurde ρB = 0 und ρD = 0.9 gewahlt, sodass keine

Reflexionen am Boden auftreten. Aus dieser Simulation ergibt sich der Vektor

HD,DI[µ], wobei die Subskripte D bzw. DI fur die Deckenreflexionen bzw. den

Direktpfad stehen.

• In der zweiten Simulation wurde ρB = 0.9 und ρD = 0 gewahlt, sodass keine

4.6. VERTIKALE VERSCHIEBUNG DES LAUTSPRECHERARRAYS 39

Reflexionen an der Decke auftreten. Es ergibt sich der Vektor HB,DI[µ]. Dabei

steht das Subskript B fur die Bodenreflexionen.

• In der dritten Simulation wurde ρB = ρD = 0 gewahlt, sodass keine Reflexionen

an Boden oder Decke auftreten. Das entspricht also dem Freifeldfall, da ρW = 0

fur alle Simulationen gilt. Es ergibt sich der Vektor HDI[µ].

• In der vierten Simulation wurde ρB = ρD = 0.9 gewahlt und das SMMT an allen

Verschiebungspositionen ermittelt.

Die Vektoren HD,DI[µ] ,HB,DI[µ] und HDI[µ] ergeben sich jeweils aus der Matrix H[µ]

aus Gl. (2.1) mit NL = 1. Da in der ersten und zweiten Simulation jeweils noch der Bei-

trag des Direktpfads enthalten ist, muss dieser noch abgezogen werden. Somit ergeben

sich die Vektoren

HD[µ] = HD,DI[µ]−HDI[µ] (4.3)

und

HB[µ] = HB,DI[µ]−HDI[µ]. (4.4)

Der Vektor HDI[µ] enthalt also die Ubertragungsfunktionen von dem Lautsprecher zu

den NM Mikrofonpositionen in der Zone ohne Reflexionen. Der Vektor HD[µ] enthalt

die Ubertragungsfunktionen vom Lautsprecher zu den Mikrofonpositionen mit

ρB = ρW = 0, abzuglich des Beitrags vom Direktpfad. Der Vektor HB[µ] enthalt die

Ubertragungsfunktionen vom Lautsprecher zu den Mikrofonpositionen mit

ρD = ρW = 0, abzuglich des Beitrags vom Direktpfad. Des Weiteren werden zur Aus-

wertung, mithilfe einer Mittelung sowohl uber die Frequenz, als auch uber die NM = 81

Mikrofonpositionen, einige Maße definiert. Die Großen

HB =1

NM

∥∥∥∥∥1

M

M−1∑

µ=0

HB[µ]

∥∥∥∥∥

2

2

(4.5)

40

und

HD =1

NM

∥∥∥∥∥1

M

M−1∑

µ=0

HD[µ]

∥∥∥∥∥

2

2

(4.6)

sind ein Maß dafur wie groß die mittlere Energie der in der Zone ankommenden Refle-

xionen vom Boden bzw. von der Decke ist. Die Große

HDI =1

NM

∥∥∥∥∥1

M

M−1∑

µ=0

HDI[µ]

∥∥∥∥∥

2

2

(4.7)

gibt an wie groß der Beitrag durch die direkte Freifeldubertragung vom Lautsprecher

in die Zone ist. Bei der Große

HD,B =1

NM

∥∥∥∥∥1

M

M−1∑

µ=0

HD[µ] +HB[µ]

∥∥∥∥∥

2

2

(4.8)

handelt es sich um ein Maß dafur wie groß der Betrag der komplexen Uberlagerung

der Reflexionen von Boden und Decke ist. Dementsprechend geben die Großen

HDI,B =1

NM

∥∥∥∥∥1

M

M−1∑

µ=0

HDI[µ] +HB[µ]

∥∥∥∥∥

2

2

(4.9)

und

HDI,D =1

NM

∥∥∥∥∥1

M

M−1∑

µ=0

HDI[µ] +HD[µ]

∥∥∥∥∥

2

2

(4.10)

an, wie groß der Betrag der komplexen Uberlagerung der Reflexionen am Boden bzw.

der Decke mit dem Beitrag vom Direktpfad ist.

Diese Werte werden fur alle Nz = 191 Verschiebungspositionen des Raums berechnet.

Somit ergibt sich jeweils ein Vektor, der die jeweiligen Werte an den verschiedenen

Positionen enthalt. So z.B. der Vektor HB = [HB,1, HB,2, . . . , HB,191].

Außerdem wird zur Interpretation der Ergebnisse der sogenannte Phasenfehler heran-

gezogen. Der gemittelte Phasenfehler zwischen den Beitragen vom Direktpfad und den

Reflexionen vom Boden ergibt sich zu


EDI,B =1

NM

∥∥∥∥∥1

M

M−1∑

µ=0

arg(HDI[µ])− arg(HB[µ])

∥∥∥∥∥

2

2

. (4.11)

Der arg(·)-Operator beschreibt dabei die Phasen der Elemente eines komplexwertigen

Vektors und liefert wieder einen Vektor gleicher Lange. Der gemittelte Phasenfehler

zwischen den Beitragen vom Direktpfad und den Reflexionen von der Decke ergibt sich

durch den Ausdruck

EDI,D =1

NM

∥∥∥∥∥1

M

M−1∑

µ=0

arg(HDI[µ])− arg(HD[µ])

∥∥∥∥∥

2

2

. (4.12)

Der gemittelte Phasenfehler zwischen den Reflexionen von Decke und Boden berechnet

sich nach

ED,B =1

NM

∥∥∥∥∥1

M

M−1∑

µ=0

arg(HD[µ])− arg(HB[µ])

∥∥∥∥∥

2

2

. (4.13)

Der gemittelte Phasenfehler aus der Uberlagerung der Reflexionen sowie dem Beitrag

vom Direktpfad ergibt sich zu

EB,D;DI =1

NM

∥∥∥∥∥1

M

M−1∑

µ=0

arg(HB[µ] +HD[µ])− arg(HDI[µ])

∥∥∥∥∥

2

2

. (4.14)

In den Abbildungen 4.15a und 4.15b sind die Großen aus den Gln. (4.5-4.14), sowie

das SMMT, aus der vierten Simulation, in Abhangigkeit von zoff,L aufgetragen.

Bei zoff,L = −1.15m ist das SMMT mit ca. 1 dB am niedrigsten. Das liegt daran, dass

sich an dieser Stelle der Beitrag vom Direktpfad und die Reflexionen von der Decke im

Mittel konstruktiv uberlagern. Das sieht man am Wert des Vektors HDI,D, der an dieser

Stelle maximal ist. Der Phasenfehler EDI,D ist hingegen minimal, was klar fur eine im

Mittel konstruktive Interferenz spricht. Das steht auch im Einklang mit der Tatsache,

dass sich die Lange des Direktpfads der des Deckenpfads immer mehr annahert, je

naher der Lautsprecher der Decke ist.

42

−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8−38

−36

−34

−32

−30

−28

−26

−24

−22

−20

−18

zoff,L in m

HB HD HDI HD,B HDI,B HDI,D HDI,B,D

−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.81

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

SMMT

(a) Betrage in dB

−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8−4

−3

−2

−1

0

1

2

zoff,L in m

EDI,B

EDI,D

ED,B

EB,D;DI

−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.81

1.25

1.5

1.75

2

2.25

2.5

SMMT

(b) Phasenfehler in dB

Abbildung 4.15: Plots fur 1 Lautsprecher


Bei zoff,L ≈ −0.9m ist das SMMT mit ca. 2.3 dB groß. Das liegt daran, dass eine

im Mittel destruktive Uberlagerung des Beitrags vom Direktpfad und den Reflexionen

von der Decke stattfindet. Man kann das wieder am Phasenfehler EDI,D, der bei dieser

Verschiebung einen Maximalwert aufweist, klar erkennen. Der Vektor HDI,D weist an

dieser Stelle ein lokales Minimum auf, was die Behauptung bestatigt. Hier ist der Bei-

trag der Reflexionen vom Boden also relativ hoch, was zu dem schlechten SMMT-Wert

fuhrt. An der Stelle zoff,L ≈ −0.8m verbessert sich das SMMT wieder. Der Phasen-

fehler EDI,D fallt ab und der Wert des Vektors HDI,D nimmt wieder zu. Das spricht

fur eine im Mittel konstruktive Interferenz des Beitrags vom Direktpfad und den Re-

flexionen von der Decke. Diese ist aber aufgrund des hoheren Phasenfehlers EDI,D als

bei zoff,L = −1.15m, wesentlich schwacher ausgepragt. Das Verhalten setzt sich bis

zoff,L ≈ −0.5m fort. Von zoff,L ≈ −0.5, . . . ,+0.3 m verlauft das SMMT genau in-

vers zur Kurve des Vektors HD,B. Dies bedeutet, dass sich eine im Mittel konstruktive

Uberlagerung der Beitrage von Decken- und Bodenpfad positiv auf das SMMT auswir-

ken, wohingegen eine im mittel destruktive das SMMT verschlechtert. Der Verlauf der

Kurve des Vektors ED,B bestatigt diese Beobachtung, da sie dem Verlauf des SMMT

folgt, wobei ein niedriger Phasenfehler fur eine im Mittel konstruktive und ein hoher

Phasenfehler fur eine im Mittel destruktive Uberlagerung sprechen. Bei zoff,L = −0.2m

ist der Phasenfehler ED,B genau null, was daran liegt, dass bei dieser Verschiebung der

Deckenpfad genau gleich lang wie der Bodenpfad ist. Die Beitrage von Deckenpfad und

Bodenpfad interferieren an dieser Stelle also im Mittel vollstandig konstruktiv, was im

Einklang mit dem lokalen Minimum des SMMT an dieser Stelle steht. Da der Verlauf

des SMMT symmetrisch zur Verschiebung zoff,L = −0.2m ist, bei der sich der Laut-

sprecher und die Schallfeldzone genau auf halber Hohe des Raumes befinden, sind diese

Erlauterungen analog auf den Bereich von zoff,L = 0.3m bis zoff,L = 0.75m anwendbar.

Hier sind dann ab zoff,L ≈ 0.3m die Werte des Vektors HDI,B bzw. der Phasenfehler

EDI,B maßgebend fur das SMMT.

Die Werte des Vektors HB bzw. HD fallen erwartungsgemaß mit zunehmendem Ab-

stand des Lautsprechers vom Boden bzw. von der Decke ab. Die Werte des Vektors

44

HDI,B,D folgen denen des Vektors HDI,D von zoff,L = −1.15m bis zoff,L ≈ −0.5m und

denen des Vektors HDI,B von zoff,L ≈ 0.3m bis zoff,L = 0.75m. Das verdeutlicht, dass

die bereits erlauterten konstruktiven und destruktiven Uberlagerungen der Beitrage

vom Direktpfad und den Reflexionen von der Decke bzw. vom Boden innerhalb der

genannten Bereiche auch fur den Gesamtbetrag des Schallfelds maßgebend sind.

Abschließend soll nun untersucht werden, wie sich die Performance andert, wenn man

nicht nur einen einzelnen Lautsprecher, sondern das gesamte rechteckige Lautspre-

cherarray mit NL = 70 Lautsprechern verwendet. Die Reflexionsordnung ist eins und

ρW = 0, d.h. es treten keine Reflexionen an den Wanden auf. In Abb. 4.16a und

Abb. 4.16b sind wieder die bereits definierten Großen aufgetragen. Der Verlauf des

SMMT ahnelt dem Verlauf mit einem Lautsprecher aus Abb. 4.15a mit dem Unter-

schied, dass das SMMT seine globalen Maxima bei zoff,L ≈ −0.9m bzw. 0.5m statt

bei zoff,L = −0.24m bzw. zoff,L = −0.16m hat. Vergleicht man nun die Abb. 4.15a und

die Abb. 4.16a, so kann man einige Gemeinsamkeiten erkennen. In beiden Abbildungen

weist HDI,B,D Maxima bei zoff,L = −1.15m, 0.75m und −0.2m auf. HDI,B und HDI,D

haben in beiden Fallen ihr Maximum bei zoff,L = −1.15m bzw. 0.75m. Auch HD,B hat

in beiden Fallen sein globales Maximum bei zoff,L = −0.2m. Zuletzt sollen noch die

Phasenfehler aus Abb. 4.15b und Abb. 4.16b miteinander verglichen werden. ED,B ist

bei zoff,L = −0.2m in beiden Fallen gleich null. Der Phasenfehler EDI,D wird in beiden

Fallen fur zoff,L = −1.15m sehr klein und der Phasenfehler EDI,B wird dementspre-

chend fur zoff,L = 0.75m sehr klein. Das bestatigt die Annahme einer konstruktiven

Uberlagerung vom Beitrag des Direktpfads und den Reflexionen von der Decke bzw.

vom Boden bei diesen Verschiebungen. Zusammenfassend lasst sich sagen, dass die fur

einen Lautsprecher beschriebenen und gut erkennbaren Effekte hochstwahrscheinlich

auch fur mehrere Lautsprecher gelten, wobei die Effekte, durch die Uberlagerung der

Beitrage aller Lautsprecher, nur noch stuckweise sichtbar sind und der exakte Verlauf

der SMMT-Kurve mit diesem Ansatz fur 70 Lautsprecher nicht mehr erklart werden

kann.


−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

zoff,L in m

HB HD HDI HD,B HDI,B HDI,D HDI,B,D

−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

SMMT

(a) Betrage in dB

−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8−4

−3

−2

−1

0

1

2

zoff,L in m

EDI,B EDI,D ED,B EB,D;DI

−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8−20

−18

−16

−14

−12

−10

−8

SMMT

(b) Phasenfehler in dB

Abbildung 4.16: Plots fur 70 Lautsprecher

46

Nun wird der Reflexionsfaktor ρW der Wande noch auf den Wert 0.9 gesetzt und

die Reflexionsordnung auf vier erhoht. Der Verlauf des SMMT fur diesen Fall kann

der Abb. 4.17 entnommen werden. Der Verlauf ahnelt wieder den Verlaufen aus den

Abbildungen 4.15a und 4.16a. Das deutet daraufhin, dass die bereits beschriebenen

Effekte zur Erklarung des SMMT-Verlaufs auch auf den praktisch relevanten Fall mit

mehreren Lautsprechern, reflektierenden Wanden und einer hoheren Reflexionsordnung

ubertragbar sind.

−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8−40

−38

−36

−34

−32

−30

−28

zoff,L in m

SM

MTin

dB

Abbildung 4.17: SMMT fur Reflexionsordnung vier und ρW = 0.9

KAPITEL 5. ZUSAMMENFASSUNG 47

Kapitel 5

Zusammenfassung

Die ursprungliche Problemstellung, bei der ein Schallfeld innerhalb eines raumlich be-

grenzten Bereichs synthetisiert werden soll, wurde durch ein Gleichungssystem be-

schrieben. Es wurde eine Losung dieses Gleichungssystems vorgestellt, wobei insbe-

sondere auf den Trade-Off zwischen der Qualitat des Schallfelds und der Energie der

Schallwellen, die den Raum außerhalb der Zone durchlaufen, eingegangen wurde. Des

Weiteren wurde der IDI-Algorithmus, ein iteratives Verfahren zur Reduktion des bei

der FIR-Approximation der Vorfilterimpulsantworten entstehenden Fehlers, beschrie-

ben und durch drei alternative Verfahren zur Limitierung der Energie der Vorfilte-

rimpulsantworten erweitert. Zusammenfassend lasst sich sagen, dass dreidimensionale

Raumreflexionen mithilfe einer zweidimensionalen Lautsprecheranordnung innerhalb

eines raumlich begrenzten, zweidimensionalen Bereichs relativ gut kompensiert werden

konnen, solange die Reflexionsfaktoren der Wande groß sind oder sowohl die Refle-

xionsfaktoren der Wande sowie von Decke und Boden klein sind. Um eine gute Per-

formance auch innerhalb eines dreidimensionalen Bereichs aufrecht zu erhalten, ist es

notwendig das Schallfeld innerhalb mehrerer ubereinanderliegender Ebenen zu opti-

mieren. Daruber hinaus gibt es noch eine Vielzahl an Moglichkeiten die Performance

des Systems zu verbessern. Eine davon besteht darin, auf eine andere Art und Weise zu

regularisieren und die Raumimpulsantworten als Wunschschallfeld zu wahlen (s. z.B.

[14]”Regularized MINT“). Außerdem wurde in [15] ein sehr interessantes und viel-

48

versprechendes Verfahren zur optimalen Limitierung der Filterenergie vorgestellt. Mit

diesem Verfahren sollte sich das SMM noch weiter reduzieren lassen, wobei eine Im-

plementierung, bei der psychoakustische Effekte berucksichtigt werden, an dieser Stelle

sinnvoll ware. Dabei wurde man die maximale Filterenergie δ frequenzabhangig z.B.

durch eine A-Bewertung gewichten. Dadurch sollten die Vorfilterubertragungsfunktio-

nen innerhalb der fur die menschliche Wahrnehmung wichtigen Frequenzbereiche eine

hohe Energie aufweisen, um somit das SMMF in diesen Bereichen besonders niedrig

zu halten.

ANHANG A. ANHANG KAPITEL 49

Anhang A

Anhang Kapitel 4

A.1 Anhang Abschnitt 4.2.3

0 0.5 1 1.5 2-0.5-1-2-0.5

0

0.5

x

z

-20

-16

-12

-8

-4

0

-1.5

Abbildung A.1: Wellenfeld mit 2D-Zone

50

A.2 Anhang Abschnitt 4.4

0 0.5 1 1.5 2-0.5-1-2-0.5

0

0.5

x

z

-20

-16

-12

-8

-4

0

-1.5

Abbildung A.2: Wellenfeld mit 3D-Zone

A.3. ANHANG ABSCHNITT 4.2.1 51


0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000−100

−80

−60

−40

−20

0

20

Frequenz in Hz

SM

MF[µ]in

dB


Abbildung A.3: δ = 0.5, γ = 1

0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000−100

−80

−60

−40

−20

0

Frequenz in Hz

SM

MF[µ]in

dB

β = 0.0001, SMMT = −12.45 dBβ = 0.1, SMMT = −23 dBβ = 0.6, SMMT = −26.73 dBβ = 1, SMMT = −26 dB

Abbildung A.4: δ = 1, γ = 1

52

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−30

−20

−10

0

10


SM

MTin

dB

γ = 1, β = 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10

−5

0

5

10

Eundesin

dB

Abbildung A.5: Plot des SMMT und Eundes in Abhangigkeit von δ

0 5 · 10−2 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35−30

−20

−10

0

10

Efilter

SM

MTin

dB

γ = 1, β = 1

0 5 · 10−2 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35−10

−5

0

5

10

Eundesin

dB

Abbildung A.6: Plot des SMMT und Eundes in Abhangigkeit von Efilter



0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000−100

−80

−60

−40

−20

0

Frequenz in Hz

SM

MF[µ]in

dB



0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000

−80

−60

−40

−20

0

Frequenz in Hz

SM

MF[µ]in

dB



54

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10


SM

MTin

dB

γ = 1, β = 0.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Eundesin

dB

Abbildung A.9: Plot des SMMT und Eundes in Abhangigkeit von δ

0 5 · 10−2 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

Efilter

SM

MTin

dB

γ = 1, β = 0.2

0 5 · 10−2 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Eundesin

dB




0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000−80

−60

−40

−20

Frequenz in Hz

SM

MF[µ]in

dB



0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000

−80

−60

−40

−20

0

Frequenz in Hz

SM

MF[µ]in

dB



56

0 5 · 10−2 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−30

−20

−10

0

10

Efilter

SM

MTin

dB

γ = 1, β = 0.1

0 5 · 10−2 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−10

−5

0

5

10

Eundesin

dB


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


Efilter

γ = 1 β = 0.1

Abbildung A.14: Efilter in Abhangigkeit der maximalen Filterenergie δ

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 57

Abbildungsverzeichnis

1.1 Messehalle1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Konferenzraum2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 Anordnung von oben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Audiolabor (Fotos: Michael Burger) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Raum von oben (s. [7, Fig.3, Fig.4]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 Impulsantworten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1 Versuchsaufbau von oben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 δ = 0.75, γ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 δ = 0.75, γ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.4 γ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.5 β = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.6 Plot des SMMT und Eundes in Abhangigkeit von δ . . . . . . . . . . . . 29

4.7 Plot der Impulsantworten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.8 SMMT mit zunehmendem Iterationsschritt . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.9 Performance mit 1 und 100 Iterationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.10 Vergleich der drei Verfahren mit optimalen Parametern . . . . . . . . . 32

4.11 γ = 1, β = 0.1, δ = 0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.12 γ = 1, β = 0.1, δ = 0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.13 SMMT fur verschiedene Reflexionsfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.14 Versuchsaufbau von oben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

58

4.15 Plots fur 1 Lautsprecher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.16 Plots fur 70 Lautsprecher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.17 SMMT fur Reflexionsordnung vier und ρW = 0.9 . . . . . . . . . . . . 46

A.1 Wellenfeld mit 2D-Zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

A.2 Wellenfeld mit 3D-Zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A.3 δ = 0.5, γ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A.4 δ = 1, γ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A.5 Plot des SMMT und Eundes in Abhangigkeit von δ . . . . . . . . . . . . 52

A.6 Plot des SMMT und Eundes in Abhangigkeit von Efilter . . . . . . . . . 52

A.7 δ = 0.5, γ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A.8 δ = 1, γ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A.9 Plot des SMMT und Eundes in Abhangigkeit von δ . . . . . . . . . . . . 54


A.11 δ = 0.5, γ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A.12 δ = 1, γ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


A.14 Efilter in Abhangigkeit der maximalen Filterenergie δ . . . . . . . . . . 56

LITERATURVERZEICHNIS 59

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