BAC 2007 Pro–Didactica - mathi.uni-heidelberg.dedan/TMP/pro-di/toate-variantele.pdf · 06 cartofi pr˘ajit¸i 07 ziar 08 pr˘ajitur˘a 09 neamt¸ 10 curcubeu 11 vac˘a 12 fântân˘a

BAC 2007

Pro–Didactica

exercitii si solutii

Redactia Pro–Didactica

Suportul pe net:

http://www.pro-didactica.ro/

Cuprins

1 Varianta 041 151.1 Subiectul I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Subiectul II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3 Subiectul III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 Subiectul IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21








1











2



3

Cu vantul ınainte

Se vantura de mult problema ınvatamantului matematic dintr–o tara sau alta, precum si a ınvatamintelor pe care le–am trassau nu din cele experimentate pe propria piele. Se pun ıntrebari de viata si de soarta de forma ce sa cumpar, de unde, catcosta, pe ce format de caiet sa scriem, sa bagam calculatorul ın scoala sau nu, dar cei ce nu au bani sunt ın mod nedemocraticafectati, se poarta uniforma, cordeluta si asa mai departe. Desi prima ıntrebare are strict de–a face cu ınvatamantul, ultimaare de–a face cu organizarea lui. Multe discutii ıncep si se termina asa.

Raspunsul meu la aceste dezbateri: Faceti oamenilor orice e permis de lege, important este ca elevii sa–si rezolve problemele.Deci, lucrul esential ın masurarea valorii ınvatamantului la nivel de om (nu de sistem national de ınvatamant) este poate:Cate probleme am rezolvat, cate tipuri de probleme am ınvata mai noi si mai noi, ce ne ramane din ele peste o zi, respectivpeste o saptamana, respectiv peste un an.

Incerc sa tin capitolul acesta minimal. Trebuie deci sa dau sfaturi. Si anume utile. Si anume sfaturi care chiar sunt un modde a “cuceri lumea cu mainile goale”, cam asa cum ısi imagineaza fiecare elev constient sau nu de singurul lui capital rational,gandirea si capacitatea de a o aplica ın urmatorii patruzeci de ani. (Celalalt capital, forta musculara, poate fi aplicat uneoricu mai multa siguranta ın practica. Dar atunci, de ce cititi aceste randuri?)Iata ce consider eu ca este esential pentru un elev din punctul de vedere al educatiei si ınvatamantului.

Face–ti–va clar daca vreti sa urmati o facultate sau ba. Mai ales daca vreti o nota sau cunostinte. Timpurile s–au schimbat,iar dezideratul de a merge la facultate nu mai este ca pe vremea odiosilor singurul mod de parvenire sociala. Deci, ıncercatisa vorbiti cu parintii (daca se poate vorbi cu ei) cu ceilalti elevi cu ınvatatorii si cu toate persoanele din toate ramurile sistilurile de viata. Argumente pro si contra sunt: In si prin facultate se pierd bani, se pierde timp, iar materiile ce se ınvata sunt uneori masuri de dare de lucru la

anumite cadre pseudo–stiintifice ce propaga cunostinte foarte utile pentru secolul XIX. Daca doriti sa fiti medic,vorbiti cu un medic. Sistemul nu este optimal facut, ca un student sa devina specialist ın boli ale aparatului deeliminat nicotina si alcool din corpul roman, dar se apropie aproximativ de modul ın care pot fi ıntelese daunelepricinuite corpului de lezarea acestui aparat prin nopti nedormite ın plus si basi puternici. Dar sa fim constienti camedicina din noul secol este mai mult (decat) tehnologie, nu este vorba de piramidonul ala amarat, sau de ıntrbarea“noi dam asta ın cazul asta, voi cedati?”, nici de campania de convingere ın masa a populatiei de caracterul benefical vaccinului.Problemele sunt, la un nivel mai mare: Cum se face rost de un coctail de (bucati genetice) de virusi mai virulentiın ultimii ani si cum se poate face acest coctail la scara nationala, cum se pot face artroscopii cu instrumente carenu invadeaza prin taiere si spanzurare tesutul uman, astfel ıncat omul sa fie pe picioare dupa timp scurt, cum se facradiografii cu aparate care nu–l transforma pe om ın Cernobal si cum se duc rezultatele direct pe computer, cumse fac operatii pe inima, cu ce riscuri si ce pregatiri pre si post-operatoriale trebuie neaparat satisfacute. Ma bucurdaca prin aceste linii v–am convins sa studiati medicina, din motive imediat clare parintii se vor bucura mai tare deaceasta alegere decat de cea ce favorizeaza matematica si fizica sau informatica si agricultura. Ei nu se vor bucuraprea tare ın timpul studiului propriu–zis, dar se vor bucura mai apoi de o sanatate mai buna. Daca doriti sa studiatimedicina, va recomand de pe acum urmatoarele lucruri.(i) Dezvoltati–va capacitatea mnemotehnica la maxim. Exista sisteme explicite si cunoscute de ajutare a Hard–

Discului uman, care uneori este mai mult hard decat disc, de a memora informatia. Mi–e greu sa descriucum este exact un astfel de sistem, dar o ıncercare nu strica.Sa zicem ca memoram o data pentru totdeauna tabelul urmator. (Va rog, nu–l memorati pe acesta, ci pecele ce le veti gasi ın carti specializate. . . )

01 caine02 pisica03 mama04 vodca05 contrsionist

4

06 cartofi prajiti07 ziar08 prajitura09 neamt10 curcubeu

11 vaca12 fantana13 cui14 fata15 rododendron16 doctor17 cucui...

...26 John Wayne27 plan28 carne29 Ilie30 gugustiuc31 ceapa...

...81 drojdie...

...97 testosteron98 parpalac99 ou

Ei, bine, mnemotehnica ne ajuta sa tinem minte numere folosind astfel de tabele. Si esential, imaginatie faragranite. Egal ce informatii detineti pe placa de baza, daca aveti sinapsele bine puse la punct, cu cele putinedar bine ınfipte lucruri veti reusi sa tineti minte pe de rost lucruri care nu au nici un fel de legatura cu“tabelele” deja de pe hard–disc. De exemplu, numarul meu de telefon este 813727. Cum ıl tineti minte? Saumai important, daca eu vreau sa va dau acest numar ca sa nu ıl mai uitati niciodata, cum “va vand prajitura”?

Prin formatia mea matematica, mi–e cel mai usor sa memorez si transmit acest numar ca 34 1113

33 si este

esential sa remarc ca “nu este nevoie sa tinem minte decat numarul trei, ei bine, patru e un defect, dar sepoate exprima afacerea drept trei la puterea urmatoare, de trei ori unu pe trei, trei la tot atat”.Fericirea cu acest cod este faptul ca orice matematician ıl va tine minte si orice alta persoana ma va ignoradin momentul ın care scriu 34 pe hartie.Dar acum este vorba despre altceva, anume cum putem noi pentru noi, individual sa stocam informatia.Presupun ca avem tabelul de mai sus ın cap. Atunici numarul ar putea sa aiba ceva de–a face cu drojdie,(mama, ziar), plan. (Sa zicem ca evitam 37 care este poate cuvantul ciorogarla. Folosim 03 drept 3, desilucrul acesta este strict interzis.) Atunci expertii ın mnemotehnica ne recomanda mai ıntai sa avem unmecanism de tinere minte a ordinii ın care apar aceste lucruri pe lume. Si apoi a modului ın care am grupatcele doua cuvinte (mama, ziar). Si anume ın aceasta ordine. Ordinea informatiei este poate mai importantadecat continutul ce trebuie inserat ın aceasta ordine.Ei bine, acesti experti ne recomanda sa ne uitam la un lucru noua bine cunoscut ce se desfasoara ın timp.De exemplu drumul spre scoala. In cazul meu, strada scurta pe care locuiam, la colt un copac amarat, apoistrada lunga cu masini, pe care se afla locul de unde ımi cumparam indescriptibilele “Eugenii”, un fel debiscuiti cu cacao, si apoi liniile de tren peste gara si apoi parcul cu depravati alcoolici ce ınjura de una sialta, aha, aici putem insera o parte de informatie, si apoi panta de ultimi metrii, pe care ıntalneam o singurapersoana care alerga mai transpirata decat mine si pe care din pacate ın patru ani ıntregi nu am interpelat–ocu “Buna, Simona, da bice!”Revin la mnemotehnica. Atunci numarul de telefon s–ar putea pe baza(conia) tabelului de mai sus memoradrept: “Ma scol sa ma duc la scoala si beau un ceai cu gust de drojdie, si ıncerc sa–mi imaginez culoareaceaiului, gustul de drojdie si strambatura mea, doar asa reproduc oricand acest cuvant ce cara informatia deınceput, plec, dau de betivii aia care ınjura de mama lor de ziaristi, si aici este permis sa gandesc asa ceva,pentru ca lucrurile corespundeau realitatii comuniste si servesc unui scop nobil, iar la sfarsitul drumului, la

5

faza cu transpiratia cam ies din plan, si trebuie sa–mi imaginez bine pe unde s–ar fi dus planul si cat detranspirat ajung din nou la scoala!”.Desigur, veti spune, chestia asta este o stupizenie absoluta! Da, asa este, dar daca aveti o idee mai bunatestati–o. Si anume trebuie sa gasim o metoda mai buna care sa ne ajute pe toata viata. Nu numai pentruun numar de telefon amarat. Sa zicem ca ıncercam sa tinem minte informatia urmatoare:[ Dimitrie Cantemir, ∗ 26 octombrie 1673; † 21 august 1723. ]Intre noi fie vorba, Dimitrie Cantemir trebuie tinut minte ınaintea lui Mihai Viteazul, dar istoria sangelui afost mereu mai importanta decat istoria culturii.Spargem informatia ın: [ Pisicocaine. Stea, John Wayne, curcubeu, doctor, (ziar,mama). Cruce, (pisica,caine), prajitura, cucui, (pisica, mama). ]Eu as putea–o memora cam asa. Este vorba despre cel ce ar fi putut inventa pisicocainele. (Nu cumva saam datele pentru o persoana necunoscuta, ca si cand as avea un numar de telefon, dar nestiind al cui e!)Ma scol, ma duc la scoala, la coltul strazii sta cainele ala care tot sta acolo, mananca pisica aia care stasi ea lui ın ciuda tot acolo si se transforma ın pisicocaine. Punct. Dau coltul. Incepe o noua poveste pedrum. La colt da sa stea domnu’ Bratu’ de vorba cu mine. Are trei stele pe epolet si trei stele coniac la borddeja. Vad stele verzi si eu cum ıl vad, simt duhoarea si ıi pun mana pe ınsemnele de general, pe umar, casa ma lase sa trec mai departe. Bratu’ asta este la fel de cracanat ın mers ca si John Wayne, parca ocupatrotuarul cu totul si nu ma lasa sa trec. In plus ımpusca cu lichide necontrolabile, ca si banditii ın filmele cuJohn Wayne. Ce duhnet, omule. Scap de el, ma lasa ın sfarsit, ın pace si rasare curcubeul. Omul asta chiarar trebui sa mearga la un doctor. Ca timp are, se duce, ia un ziar ce duhneste a cerneala tipografica si eusor rasfoit si rascolit si citeste si el de (B)ABA ce canta Mama Mia! Bun, afacerea urmatoare. Trec decide prima (ras)cruce de drumuri. Pisicocaine ma ajunge din urma. Ii arunc prajitura pe care o am cu minepentru pauza mare de fotbal, prajitura cu glazura si miros de prajitura, alerg sa scap de animal, ma–mpiedicsi ma aleg de un cucui. De cine ma–mpiedic? Desigur, de pisica–mama. Mama ei!Ma opresc aici din debordat. O stupizenie mai mare nu exista pe lume. In fine, e bine ca nu mi se vad scrisepe frunte astfel de ganduri.Ei bine, aceasta tehnica de tinere minte poate fi esential ımbunatatita prin adaugarea de tabele de memorareauxiliare pentru culori, luni ale anului, zile de saptamana si alte lucruri pe care trebuie sa le ,tinem minte sinu putem.Daca credeti ca astfel de sisteme de memorare prin asamblare aleatoare si dezgustatoare de lucruri incom-patibile nu au succes, va ınselati. Ele au succes si mai mult aplicatie directa ın viata de zi cu zi, ajunge sadeschideti televizorul pentru a va convinge!

(ii) Mult mai esential este sa realizati usor ce este informatie si ce este stocare de informatie. Cu timpul,informatia trebuie sa se lege cu informatie nu cu sistemul ei de stocare.Scoala face multe lucruri gresite punand ın mana elevului mai multa informatie decat legaturi ramificate.Sa zicem ca vrem sa memoram “propozitia” urmatoare:“Fie f : [a, b] → R o functie continua. Atunci pentru orice punct x0 ∈ [a, b] si pentru orice ε > 0 exista unδ = δ(x0, ε) > 0, astfel ıncat pentru orice x ∈ [a, b] cu |x− x0| < δ sa avem

| f(x)− f(x0) | < ε .

Este stupid sa credem ca stupizenia cu tabelul de mai sus ne poate ajuta sa tinem minte asa ceva. Stocarea deinformatie are nevoie de ıntelegere matematica. Nu dejaba se face asa ceva ın unele tari europene “avansate”abia ın facultate.

(iii) Ca sa fie clar ce este informatie si ce nu este informatie, ce este stocare si ce nu si ce este stiinta si ce nudau cateva exemple.

Multi oameni se considera fericiti cand la ıntrebarea “Cine a for Albert Einstein ?” pot raspunde imediat“cel ce a inventat teoria relativitatii!”. Este aproape natural ca cei mai multi dintre ei vor raspunde laıntrebarea “ce este teoria relativitatii ?” pur si simplu “teoria introdusa de catre Albert Einstein”.Remarcati lipsa de informatie, daca aceste lucruri sunt toate ce pot fi spuse de interlocutorul nostru ?Remarcati deosebirea de ceea ce europenii numesc stiinta. (In unele state, mai nou, data nasterii unortenismeni si a unor ’te–n–izmene sunt parte de istorie si cultura. Cum va place. Definiti aceste lucruri pentrudumneavoastra de acum ınainte.)

Cu totul alta ar fi situatia, daca la aceste ıntrebari interlocutorul ar spune de cate ori a fost casatorit Einstein,care a fost rolul lui ın chestia cu bomba atomica aruncata de americani, ce cetatenie a avut Einstein lanastere, unde a lucrat ınainte de a deveni cunoscut, etc, ca sa mentionam numai partea istorica a lucrurilor,sau daca ne–ar trage o mica introducere ın geometria riemanniana si/sau geometria minkowskiana, cucateva remarci despre cat este fizica si cat este matematica din teorie. Aceste lucruri sunt informatie sistiinta. Ele au valoare pentru ca formeaza “filmul ıntreg”. (Altfel, ıncercati de exemplu sa vizionati filmul

6

“Liceenii” dintre minutele 30 si 31 ale filmului, pentru a va convinge cat de utile sunt crampeie de informatie.Sau acelasi lucru cu meciul Steaua–Dinamo, minutele 30 si 31, si ıncercati sa faceti impresie a do’a zi ınclasa!)

In privinta stocarii de informatie, medicina si matematica au parti comune. In medicina (sau anatomiaomului), lucrurile capata sens doar cand cititorul pe de rost trece la partea de sinteza, de legare a cunostintelorıntre ele.In matematica, legaturile sunt mai usor de stabilit din punct de vedere logic. De exemplu: Exista o formulapentru cos(x + y). (In functie de functii trigonometrice de x si y.) Este lipsit de sens sa ınvatam aceastaformula pe de rost. In examen o vom aplica de multe ori fals, daca doar memoria este unicul jalon, deoarecesunt “multe formule asemanatoare”. (Acest lucru este mult mai dramatic ın medicina.) Sansa ın matematicaeste de a ne deduce singuri aceasta formula, o data, a doua oara, a treia oara, pana ce se impregneaza drumuldeducerii ca un drum normal. Cum se deduce? Simplu, folosim:

cos(x + y) + i sin(x + y) = ( cos x + i sinx ) ( cos y + i sin y )= cos x cos y MINUS sinx sin y + ceva cu i .

Apoi identificam partile reale ın relatia de ınceput si cea de sfarsit. Formula folosita este mult mai usor detinut minte, deoarece este “structurala”. MINUS–ul se tine minte ca i2, iar i–ul sta de obicei pe langa sinus.Formula cos(x + y) = cos x cos y− sinx sin y este mai putin structurala, multi elevi si profesori se ıncurca laacel semn, sau daca tin minte semnul nu mai tin minte daca formula era cu “cosinusuri minus sinusuri” sauinvers. Sau poate apareau de unele si de altele?Multi explica acest lucru prin cuvantul “blocada”. Anume: Toate sistemele de memorare functioneaza, dacaavem voie uneori sa ne uitam ın caietul “rosu” de matematica, ın care am facut aceste lucruri acum catevaluni. (Scenariu imaginar.) Din pacate, lucruri asemanatoare au fost facute ıntr–un caiet albastru. In caietulalbastru era undeva un minus, ıın cel rosu un plus. dar care era formula din cel rosu. Si asa mai departe.Situatia se aseamana foarte cu metoda stupida de memorare prezentata la ınceput. Aceasta metoda infailibilapentru memoria de scurta durata da rezultate proaste ın cazuri ın acre un volum mai mare de cunostintetrebuie sa se ımbine la un loc. Iar cadrul cu timpul este la fel de util pentru a ajunge la blocada ın examen.Incercati asadar sa rezolvati probleme “sub presiunea timpului”, de exemplu cateva minute ınainte deınceperea unui film “interesant”.Stocarea informatiei ar fi ın acest caz un lucru cu mai multe componente, este necesar un mod propriu de atine minte ca pentru cos(x+y) formula involva un minus si siguranta ın a sti cine minus cine. (Apar termeni“micsti” sau produsuri numai de cosinusuri si respectiv numai de sinusuri.) Intelegeti ordinea obiectelor dinmatematica (sau medicina) si creati jaloane astfel ıncat sa puteti reconstrui cele de memorat prin cel putindoua cai.Deoarece cu mica deprindere de calcul aceasta formula se poate deduce usor, stocarea este mai putin eficaceın acest caz. De fapt, matematica ajuta foarte mult omul ın a stoca cat mai putin si a deduce cat mai mult.Exista si “carti cu tabele cu formule”, eu recomand mai bine calculatorul pentru acest secol, programulmaxima are aceasta formula (si multe altele) implementata prin

(%i11) trigexpand( cos(x+y) );

(%o11) cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y)

cei ce dau la informatica sunt rugati sa insiste pe aceasta cale. (Desigur, apar probleme: De unde facem rostde maxima, cum tinem minte trigexpand si cum sa folosim acest lucru complet inutil ın conditii de bac?)Acesta este motivul principal pentru care matematica nu este considerata a fi o chestie simpla. Trebuie decisa ne fie clar. Daca vrem sa devenim jucatori de fotbal buni pe terenul scolii, trebuie sa–l batem aproapezilnic. mai mult, daca vrem sa ne ımbunatatim tehnica de tragere la poarta, trebuie sa ne luam timp saexersam exact acest lucru, pana merge. De ce avem atunci nevoie de meditatori sau profesori saptamani larand langa noi, pentru a ınvata sa derivam, sa zicem. In matematica, raspunderea omului de rand este maiputin clara, mai ales pentru ca ne putem de obicei ascunde ıntr–o clasa de treizeci de oameni foarte usor.dar la fotbal, daca tot alergam dupa minge, parca trebuie ca putinele suturi sa fie si bine sau macar esteticplasate. Pentru a deriva, aveti nevoie de o singura explicare (completa) pentru o singura data. Si va rog caın aceeasi zi sa exersati. In definitiv, daca antrenorul ıi spune unui fotbalist ın ce punct sa loveasca mingea,ın ce pozitie a corpului, fotbalistul nu raspunde cu “gata am tinut minte, la meciul de sambata viitoare voiaplica aceasta lovitura”.Incercati deci sa tineti minte formule cu “toate sensurile si nonsensurile”, deci prin cererea lor de pe tasta-tura computerului, din cartile de scoala, din cartile mostenite, vorbind despre ele cu colegii, scriindu–le sidesenandu–le, mirosindu–le si deducandu–le.

7

Sper ca acum va este clar care este efortul de memorie si cel de stiinta si informatie din matematica si dinmedicina, aceste eforturi vor creste exponential din primul an de facultate, ıncercati deci de pe acum sa vaexersati memoria cu tehnici bune de memorare, iar gandirea cu fundamente solide si metode (a)curate dedeductie.Si sper ca acum va decideti mai usor pentru matematica (sau fizica sau informatica sau orice alt mod deıncercare de a ajunge la cunostintele lui Leonardo da Vinci) sau respectiv pentru medicina (sau chimiesau drept sau orice alt mod de facut bani legali pe baza celor ınvatate pe branci).

Pro facultate: In alte secole, oamenii au fost avizi de cultura si prosperitate, de un cerc “elitar” unde oamenii sase ıntalneasca pentru a discuta de exemplu deosebirea dintre impresionism si expresionism. Daca acest lucru nuva spune nimic, putem ıncepe discutia despre depresionism, dar va spun de pe acum ca ati pierdut ceva din viata.(Exista un proverb englez care spune ceva de forma: “daca un jucator de biliard ın varsta de 19 ani reuseste ınsnooker un ¡¡century break¿¿ la primul lui turneu international, putem deduce de aici o copilarie pierduta”. In parte,aceste lucruri se aplica si pentru cei ce–si dau bacalaureatul cu mult prea mult succes. Asa ca atentie, sunt multelucruri ce trebuie facute paralel cu bac’ul.)Deci, un principal lucru bun la facultate este cadrul relativ select intelectual al noilor si vechilor prieteni si prietene.Din pacate, materia de studiu nu va fi mereu la acelasi nivel. Unele materii trebuie bine periate si tratate ımpotrivamoliilor.Si principalele probleme la facultate, precum si ın orice alt scenariu de dupa bacalaureat, sunt pur existentiale: Cinecalca camasa, cine o spala, unde se ia micul dejun repede, cu ce se ajunge la scoala sau munca, la ce musterii dammeditatii si care sunt florile cele mai sclipitoare.

Inchei prin a indica un mod de a ne ajuta ın caz de “exercitii standard” cu calculatorul.In primul rand, ınstala–ti–va un sistem de operare “fiabil”. Si ıncepand cu acest moment din viata ıncercati sa numai furati. Este relativ simplu si viata este mai lunga. Recomand sistemul de operare linux. Nu numai ca esteliber, aveti acces la codul sursa, pe care sa–l schimbati ın cativa ani (dupa studiul informaticii) dupa voie ın propriaintreprindere. (Pe bune.) Aveti acces la o droaie de soft liber. (Pe care puteti sa–l preluati.) Din pacate, acele jocuriın trei dimensiuni, de care nimeni nu a aflat ınca unde se cumpara pe bune, nu functioneaza chiar asa. Dar putemjuca fotbal ın lumea reala (fetele) sau sa exersam putin balet (baietii), pentru a vedea care este dimensiunea reala ajocului si a transpiratiei.Bun. Presupun ca va instalati Ubuntu-linux. (Sau orice alt sistem de tip debian.)dati drumul la sinaptic si instalati tot soft–ul liber oferit gratuit:

Jocuri: La mine pe computer se afla de exemplu

dan@4[games]$ lsace_canfield boggle gnect kshisen primes spiderace_freecell brot gnibbles ksirtet pxboard spruchace_golf caesar gnobots2 ksudoku pydance suppeace_mastermind canfield gnometris ksudoku_client quiz teachgammonace_merlin cfscores gnomine kuchen rain tetris-bsdace_minesweeper childsplay gnotravex letters-trans random trekace_pegged cmail gnotski lgeneral regeln tuxkartace_solitaire countmail gnuchess lletters robots tuxmathace_taipedit cribbage gnuchessx mahjongg rot13 tuxtypeace_taipei cuyo go-fish mille round.spider vorspeiseace_thornq dab gomoku mj-player sail wargamesadventure deal gtali mj-server salat wormamph dealer hack monop same-gnome wormsarithmetic dealer.dpp hangman morse sauce wtfasciijump dessert hauptgericht number scrabble wumpatc eboard hunt phalanx sjeng xboardbackgammon eboard-addtheme iagno phantasia small.spider xlettersbanner enigma kalt pig snake xletters-duelbattlestar fortune kmahjongg plaetzchen snscore xmahjonggbb fruit kpat polyglot sol xmjbcd games-server.py kpoker pom spellcast xphalanxbeilagen gataxx kreversi ppracer spellcast1024 zic2xpmblackjack glines ksame ppt spellcast800dan@4[games]$

Incercati neaparat enigma. Dau o mostra de ceea ce este fortune, pentru a va schimba parerea despre jocuri,

8

almanahuri si brosuri cu bancuri cu Bula:

dan@4[games]$ for n in 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9; do echo; echo $n; echo; fortune; done

0

Let him choose out of my files, his projects to accomplish.-- Shakespeare, "Coriolanus"

1

Por que as estrelas nao fazem miau?

Porque Astro-no-mia.

2

Al mejor caballo, se le van las patas.

3

Quante bionde ci vogliono per cambiare una lampadina?Risposta 1:

Cos’e’ una lampadina?Risposta 2:

Una. Lei regge la lampadina ed aspetta che il mondo le giriintorno.

Risposta 3:Due. Una per reggere la Diet Pepsi, ed una per chiamare:"Papaaaa’!".

-- Da it.hobby.umorismo

4

A feature is nothing more than a bug with seniority.-- Unknown source

5

Distance doesn’t make you any smaller, but it does make you part of alarger picture.

6

I have often regretted my speech, never my silence.-- Publilius Syrus

7

If voting could change the system, it would be illegal. If not votingcould change the system, it would be illegal.

8

Occhio per occhio, sessantaquacchio.-- Toto’ [o Aldo Fabrizi?]

9

9

_*_ _*_ _*_ _*_\ / _*_ \ / !\ / \ /

)>==O \ / )>==O \ O )>===O\/ )>==O \/ ___ \| :======== || \/ | / \/| \/|| | | | ./|| |

/ \ |\ / \ \___/ /\ / \ejm97 / \ | \ \ \ / \ \ \

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~-----------------------------------------------------------------------

Editare si publicare: LATEX (pentru a scrie lucruri ca cele ce se vad aici), emacs si multe, multe altele.

Matematica: Maxima, octave, PARI/GP, Singular si multe altele. Adio probleme cu problemele la care la “sfarsitulcartii” este scris raspunsul “sapte” care nu iese de nici un fel.Toate aceste programe sunt libere.Monstre de ceea ce poate maxima sunt:

Calculam cateva sume: sum( k^2, k, 1, n ), simpsum; se citeste de exemplu ın limbaj uman, suma din k2

pentru k plecand de la unu la n.(%i12) sum( k, k, 1, n );

n

====

\

(%o12) > k

/

====

k = 1

(%i13) sum( k, k, 1, n ), simpsum;

2

n + n

(%o13) ------

2

(%i14) factor(%);

n (n + 1)

(%o14) ---------

2

(%i15) sum( k^2, k, 1, n );

n

====

\ 2

(%o15) > k

/

====

k = 1

(%i16) sum( k^2, k, 1, n ), simpsum;

3 2

2 n + 3 n + n

(%o16) ---------------

6

(%i17) factor(%);

n (n + 1) (2 n + 1)

(%o17) -------------------

6

(%i18) sum( k^3, k, 1, n );

n

====

\ 3

(%o18) > k

/

====

k = 1

(%i19) sum( k^3, k, 1, n ), simpsum;

4 3 2

n + 2 n + n

(%o19) --------------

4

(%i20) factor(%);

10

2 2

n (n + 1)

(%o20) -----------

4(%i21) sum( (k-1)*k*(k+1), k, 1, n );

n

====

\

(%o21) > (k - 1) k (k + 1)

/

====

k = 1

(%i22) sum( (k-1)*k*(k+1), k, 1, n ), simpsum;

4 3 2 2

n + 2 n + n n + n

(%o22) -------------- - ------

4 2

(%i23) factor(%);

(n - 1) n (n + 1) (n + 2)

(%o23) -------------------------

4

Calculam cateva derivate. Aici diff( x*log(x), x ) se citeste “deriveaza–mi x lnx dupa x (si nu cumva dupay).

(%i26) diff( x^3, x );

2

(%o26) 3 x

(%i27) diff( x*log(x), x );

(%o27) log(x) + 1

(%i28) diff( atan(x^3+1)/(x^2+1), x );

2 3

3 x 2 x atan(x + 1)

(%o28) ------------------------ - ----------------

2 3 2 2 2

(x + 1) ((x + 1) + 1) (x + 1)

Calculam cateva integrale.

(%i29) ’integrate( 1/(x^3+1), x, 0, 1 );

1

/

[ 1

(%o29) I ------ dx

] 3

/ x + 1

0

(%i30) integrate( 1/(x^3+1), x, 0, 1 );

sqrt(3) sqrt(3)

sqrt(3) atan(-------) + log(2) sqrt(3) atan(-------)

3 3

(%o30) ------------------------------ + ---------------------

3 3

(%i31) %, numer;

(%o31) 0.83564884826472

Sa zicem ca vrem sa calculam

∫ π

0

sinx

2 + cos xdx . Bun, la sfarsitul carsii sta ln 5. Este bine sau nu. Si altceva nu sta?

In fine, dupa o mica acomodare cu maxima putem sa ne facem rost de cativa pasi pe drum. . . (Linia ce u-cos(x)se traduce uman drept: fa schimbarea implicita de variabile, ce rezulta daca punem u-cos(x) sa fie zero. Este clarca vrem u = cosx.(%i47) I: ’integrate( sin(x)/(2+cos(x)), x, 0, %pi );

%pi

/

11

[ sin(x)

(%o47) I ---------- dx

] cos(x) + 2

/

0

(%i48) changevar( I, u-cos(x), u, x );

1

/

[ 1

(%o48) I ----- du

] u + 2

/

- 1

(%i49) integrate( sin(x)/(2+cos(x)), x, 0, %pi );

(%o49) log(3)

Uneori, avand masina la dispozitie, poate va va veni si ideea de a lua

(%i50) changevar( I, u-(cos(x)+2), u, x );

3

/

[ 1

(%o50) I - du

] u

/

1

Pentru unii, acest lucru este o mica surpriza. In fine, putine calcule cu matrici ar trebui sa fie de asemenea ilustrate:

(%i51) A: matrix( [1,5,1], [5,7,1], [1,1,2] );

[ 1 5 1 ]

[ ]

(%o51) [ 5 7 1 ]

[ ]

[ 1 1 2 ]

(%i52) determinant(A);

(%o52) - 34

(%i53) A ^^ (-1);

[ 13 9 1 ]

[ - -- -- -- ]

[ 34 34 17 ]

[ ]

[ 9 1 2 ]

(%o53) [ -- - -- - -- ]

[ 34 34 17 ]

[ ]

[ 1 2 9 ]

[ -- - -- -- ]

[ 17 17 17 ]

(%i54) rank(A);

(%o54) 3

La facultate veti avea zile negre daca nu stiti de

(%i59) charpoly(A, x), expand;

3 2

(%o59) - x + 10 x + 4 x - 34

Inchei aici.

Bafta si inteligenta!

danaka [email protected] Daniel aus Siebenburgenaka df

12

P.S. Nu uitati sa cititi mult, mult, mult. Fara limba romana, un unic cadru de a va aranja gandurile si viata, nicimedicina nici matematica nu vor functiona normal.

dan@3[solutii]$ for n in 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9; do echo; echo $n; echo; fortune; done

0

"Non so ancora in quale strada stia il Canada."-- Al Capone

1

Lamonte Cranston once hired a new Chinese manservant. While describing hisduties to the new man, Lamonte pointed to a bowl of candy on the coffeetable and warned him that he was not to take any. Some days later, the newmanservant was cleaning up, with no one at home, and decided to sample someof the candy. Just than, Cranston walked in, spied the manservant at thecandy, and said:

"Pardon me Choy, is that the Shadow’s nugate you chew?"

2

"No, I understand now," Auberon said, calm in the woods -- it was sosimple, really. "I didn’t, for a long time, but I do now. You just can’thold people, you can’t own them. I mean it’s only natural, a natural processreally. Meet. Love. Part. Life goes on. There was never any reason toexpect her to stay always the same -- I mean ‘in love,’ you know." There werethose doubt-quotes of Smoky’s, heavily indicated. "I don’t hold a grudge. Ican’t."

"You do," Grandfather Trout said. "And you don’t understand."-- Little, Big, "John Crowley"

3

Would you care to view the ruins of my good intentions?

4

No pig should go sky diving during monsoonFor this isn’t really the norm.But should a fat swine try to soar like a loon,So what? Any pork in a storm.

No pig should go sky diving during monsoon,It’s risky enough when the weather is fine.But to have a pig soar when the monsoon doth roarCast even more perils before swine.

5

Gli esseri umani sono stati creati dall’acqua per trasportarla in salita.

6

Hofstadter’s Law:It always takes longer than you expect, even when you takeHofstadter’s Law into account.

13

7

Spirtle, n.:The fine stream from a grapefruit that always lands right in your eye.

-- Sniglets, "Rich Hall & Friends"

8

Un obeso, leggendo il giornale trova l’annuncio: "Dieta rapida,risultato garantito". Si reca sul posto, dove un commesso gli dice cheesistono due metodi: il metodo A che costa 500.000 lire e che faperdere 5 Kg alla volta, e il metodo B che costa 5 milioni, ma faperdere 25 Kg alla volta. Il signore vuol provare prima il metodo A.Il commesso gli dice di scendere giu’ per le scale e prendere la primaporta a sinistra. Il signore scende le scale, apre la porta e siritrova in una stanza tutta buia. Quando i suoi occhi si abituano albuio, vede una stupenda brunetta, nuda, con al collo un cartello con lascritta: "Se mi prendi... puoi violentarmi". Il signore la insegue, mala brunetta, quando il signore e’ a portata di seno, sguscia via escompare. Naturalmente i 5 chili sono stati smaltiti. Cosi’ il signoreritorna dal commesso e decide di provare il metodo B per perdere 25 Kg.E il commesso: "Scenda giu’ e prenda la porta a destra". Il signore siprecipita giu’, entra nella stanza designata e appena i suoi occhi siabituano al buio, intravede un enorme gorilla, con appeso al collo uncartello con su scritto: "Se ti prendo...".

-- Da it.hobby.umorismo

9

Siente el pensamiento; piensa el sentimiento.-- Miguel de Unamuno. (1864-1936) Filosofo y escritor espanol.

14

Capitolul 1

Varianta 041

1.1 Subiectul I

Exercitiul 1 (b) Calculati (1− i)20 ∈ C .(c) Pentru care m ∈ R punctul (1, 0,m) se afla ın planul de ecuatie x + y + z = 3 ?(d) Care este aria totala a cubului de latura 2 ?(e) Evaluati cos(7π/3) in R.(f) Cate solutii reale are sistemul

x = y

x2

4+

y2

9= 1

?

(g) Care este ecuatia dreptei din plan pe care se afla punctele A(−1, 1) si B(2,−2) ?

Solutie:(b) Prima solutie (solutie algebrica): Facem calcule ın C:

(1− i)2 = 12 − 2i + i2 = 12 − 2i− 1 = −2i .

(1− i)4 = (−2i)2 = (−2)2i2 = 4i2 = −4 .

(1− i)20 = ( (1− i)4 )5 = (−4)5 = −45 = −210 = −1024 .

A doua solutie (solutie trigonometrica): Reprezentarea geometrica a numarului complex z = 1 − i de modul |z| =√12 + (−1)2 =

√2 este

z =√

2(

1√2− i

1√2

)=√

2

(√2

2− i

√2

2

)=√

2(cos

π

4− i sin

π

4

)=√

2(

cos3π

4+ i sin

3π

4

).

Rezulta, aplicand formula lui de Moivre:

z20 = (√

2)20(

cos3π

4+ i sin

3π

4

)20

= 210

(cos(

20 · 3π

4

)+ i sin

(20 · 3π

4

) )= 210 ( cos(5π) + i sin(5π) )

= 210 ( cos(π) + i sin(π) )

= 210 ( −1 + 0i ) = −210 = −1024 .

15

A treia solutie (solutie ın afara examenului, dar ın cadrul vietii): Folosind soft(ware) liber, maxima, putem ıntr-adevar sacerem calculul acesta computerului. Desigur, lucrul acesta nu e util ın “concurs” dar este foarte util ın pregatirea lui. Calculatide exemplu, pentru pregatire cateva expresii asemanatoare si ıncercati a va verifica. Verificare? Cum? Cu computerul!Cod si raspuns ın limbajul maxima:

(%i3) expand( (1-%i)^20 );

(%o3) - 1024

(c) Punctul dat se afla ın planul specificat, daca ınlocuind corespunzator componentele obtinem o egalitate:

1 + 0 + m = 3 .

Solutia este m = 2.

(d) Cubul de latura 2 are sase fete, fiecare de arie 22 = 4. Deci aria totala a cubului este

6 · 22 = 6 · 4 = 24 .

(e) Reducem 7π/3 la primul cadran, scadem (multiplul corespunzator de) 2π, dam de 7π/3 = 2π + π/3. Deoarece functiacos este periodica cu perioada 2π, avem

cos7π

3= cos

π

3=

12

.

Cod si raspuns ın limbajul maxima:

(%i4) cos( (7*%pi) /3 );

1(%o4) -

2

(f) Sistemul dat este echivalent, dupa ce ınlocuim (substituim) variabila y cu x (ın conformitate cu prima ecuatie) ın a douaecuatie, cu sistemul format din cele doua ecuatii:

x = y

x2

4+

x2

9= 1

A doua ecuatie, x2 · 134·9 = 1, are exact doua solutii,

x = ± 2 · 3√13

,

(pe care nu le mai aducem la forma “didactic ceruta” ın examene, deoarece intereseaza doar numarul solutiilor). Deci sistemulare exact doua solutii.Cod si raspuns ın limbajul maxima:

(%i5) eq_1: x-y = 0$(%i6) eq_2: x^2/4 + y^2/9 = 1$(%i7) solve ([eq_1, eq_2]);

6 6 6 6(%o7) [[y = - --------, x = - --------], [y = --------, x = --------]]

sqrt(13) sqrt(13) sqrt(13) sqrt(13)

Tot doua solutii, nici maxima nu insista sa “rationalizeze” numitorii, lucru ramas de pe vremea cand oamenii calculauımpartirile cu mana. . . (si se temeau de numitorul

√13 ca de sarpe. . . )

(g) Pe dreapta x+y = 0 se gasesc ambele puncte. (Cum am gasit–o? Nu divulg! Nici nu trebuie, eventual se ıncurca corec-torul ın ceea ce–i explic.) Trebuie ınsa sa chiar verificam ca ambele puncte sunt pe dreapta. (Altfel pierdem punctelele. . . )Ajunge deci sa mentionam:

(−1) + 1 = 0 ,

2 + (−2) = 0 .

16

1.2 Subiectul II

Exercitiul 2 (a) Care este determinantul matricii

[2 1−1 3

]?

(b) Care este termenul lui a5 ın dezvoltarea binomului (1 + a)12 ?(c) Sa se rezolve ecuatia (n + 1)! = 30n! ın necunoscuta n, numar natural.(d) Se arunca un zar cu fetele 1, 2, 3, 4, 5, 6 considerat perfect o singura data. Se lasa sa cada pe o suprafata perfect

orizontala si se citeste numarul de pe fata de deasupra. Cu ce probabilitate satisface acest numar ecuatia

x2 − 5x + 4 = 0 ?

(e) Fie f : [0,∞) → [0,∞) functia f(x) = x207. Care este valoarea functiei f f ın 1 ?

Solutie: (a)

∣∣∣∣ 2 1−1 3

∣∣∣∣ = 2 · 3− 1 · (−1) = 6− (−1) = 6 + 1 = 7.

(%i11) a: matrix ([2, 1], [-1, 3]);

[ 2 1 ](%o11) [ ]

[ - 1 3 ](%i12) determinant(a);

(%o12) 7

(b) Acest coeficient este “(numarul de) combinari de 12 (elemente) luate cate 5”,

C512 =

12!5!7!

=12 · 11 · 10 · 9 · 8

5 · 4 · 3 · 2 · 1=

11 · 10 · 9 · 85 · 2 · 1

= 11 · 9 · 8 = 99 · 8 = (100− 1) · 8 = 800− 8 = 792 .

(%i19) expand( (1+a)^12 );

12 11 10 9 8 7 6 5(%o19) a + 12 a + 66 a + 220 a + 495 a + 792 a + 924 a + 792 a

4 3 2+ 495 a + 220 a + 66 a + 12 a + 1

(%i20)

(c) Simplificand cu n! > 1 (tinand cont de (n + 1)! = n! · (n + 1)) obtinem ecuatia echivalenta:

n + 1 = 30

cu solutia n = 29.

(d) Radacinile ecuatiei date sunt 1, 4. De ce? (Calcul explicit sau. . . )Deoarece relatiile lui Vieta sunt verificate: 1 · 4 = 4 si 1 + 4 = 5. Probabilitatea cautata P este:

P =Numarul cazurilor favorabile

Numarul tuturor cazurilor=

26

= 13 .

(e) (f f)(1) = f(f(1)) = f(1207) = f(1) = 1207 = 1 .

Exercitiul 3 Se considera functia f : (e,∞) → R, f(x) =lnx

x.

(a) Care este derivata functiei date ?

(b) Care este valoarea limitei limx→e2

f(x)− f(e2)x− e2

?

(c) Sa se studieze monotonia functie date.(d) Care sunt toate primitivele functie date ?(e) Care este valoarea limitei lim

x→∞f(x) ?

17

Solutie: (a)f ′(x) = ((lnx) · x−1)′

= (lnx)′ · x−1) + (lnx) · (x−1)′

=1x· 1x

+ (lnx) · (−x−2)

=1x2

(1− lnx) =1− lnx

x2.

Cod maxima, unde log este ıntotdeauna ln:

(%i21) diff( log(x)/x , x);

1 log(x)(%o21) -- - ------

2 2x x

(b) Din definitia derivatei rezulta

limx→e2

f(x)− f(e2)x− e2

= f ′(e2) =1− ln(e2)

(e2)2=

1− 2e4

= −e−4 .

(%i33) asume( x>%e );(%o33) asume(x > %e)(%i34) ff(x) := (1-log(x))/x^2;

1 - log(x)(%o34) ff(x) := ----------

2x

(%i35) ff(%e^2);- 4

(%o35) - %e

(c) Pentru x ∈ (e,∞) avem x > e. Aplicand functia strict crescatoare ln obtinem echivalent lnx > ln e = 1. Decinumaratorul din expresia lui f ′(x) obtinuta este < 0 iar numitorul este x2 > e2 > 0. Rezulta f ′ < 0 pe ıntreg domeniul dedefinitie.Deci functia f este strict descrescatoare.

(d) Aplicam tehnica formala a integrarii prin substitutie:∫f(x) dx =

∫lnx · x−1 dx

=∫

lnx · (lnx)′ dx Substitutie formala: y = ln x

=∫

y dy =12y2 + C si inversand procesul de substitutie. . .

=12(lnx)2 + C .

Daca nu am fi avut nici un punct de sprijin ın faza de pregatire, am fi putut ıntreba/ruga maxima: “Integreaza–mi, te rog,log(x)/x dupa variabila x”.

(%i38) integrate( log(x)/x, x );2

log (x)(%o38) -------

2

18

(e) Aplicam regula lui l’Hospital: Functiile x → log(x) si x → x sunt derivabile pe (e,∞) si au limita ∞ pentru x →∞.Atunci, limita ceruta exista, daca exista

limx→∞

(lnx)′

x′= lim

x→∞

1/x

1= lim

x→∞

1x

= 0 .

Da, limita aceasta exista, deci si limita ceruta exista si este egala cu 0. Acest lucru se scrie “deseori” sub forma foarteprescurtata

limx→∞

f(x) = limx→∞

lnx

x

cazul ∞∞===== limx→∞

(lnx)′

x′= lim

x→∞

1/x

1= lim

x→∞

1x

= 0 ,

dar se recomanda ın plus fata de acest calcul specificarea faptului ca functiile din numarator si numitor sunt derivabile (peun domeniu, pe care se poate considera limita cu x → ∞, ın termeni tehnici, pe o “vecinatate a lui ∞”). De asemenea serecomanda mentionarea faptului ca numitorul nu se anuleaza, ceea ce este si la noi cazul pe ıntreg domeniul de definitie alfunctiei f .

1.3 Subiectul III

Exercitiul 4 Se considera polinomul f = X4 +X3 +X2 +X +1 cu radacinile complexe x1, x2, x3, x4. Se considera pentruorice x ∈ R cunoscute formulele:

cos(2x) = 2 cos2 x− 1 ,

sin(2x) = 2 sinx cos x .

(a) Sa se arate ca are loc identitatea: (X − 1)f = X5 − 1.(b) Sa se arate ca are loc identitatea: f = (X − x1)(X − x2)(X − x3)(X − x4).(c) Sa se arate ca radacinile polinomului f sunt

xk = cos2kπ

5+ i sin 2kπ5 ,

unde k ia valorile 1, 2, 3, 4.(d) Sa se demonstreze relatia:

cos2π

5+ cos

4π

5+ cos

6π

5+ cos

8π

5= −1 .

(e) Sa se deduca din relatia anterioara ca are loc:

cos2π

5=√

5− 14

.

(f) Sa se arate ca are loc relatia (1 + x1)(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4) = 1.(g) Sa se arate ca daca polinoamele f1, f2, f3, f4, f5 ∈ C[X] satisfac relatia

f1(X5) + Xf2(X5) + X2f3(X5) + X3f4(X5) = f(X) f5(X5) ,

atunci polinomul (X − 1) divide fiecare dintre polinoamele f1, f2, f3, f4.

Solutie: (a) Calculam brut:

(X − 1)f = (X − 1)(X4 + X3 + X2 + X + 1) = X5 + X4 + X3 + X2 + X

−X4 −X3 −X2 −X − 1

= X5 − 1 .

De observat, ca formula data rezulta si din formula bine cunoscuta pentru suma unei progresii geometrice finite:

1 + q + q2 + q3 + q4 =q5 − 1q − 1

,

ınlocuind variabila reala q cu necunoscuta X. (Acest lucru este posibil din cauza proprietatilor inelului de polinoame pestecorpul numerelor reale. Aceasta observatie am scris–o pentru mine.)Cod maxima:

19

(%i3) f: X^4+X^3+X^2+X+1$(%i4) expand( (X-1)*f );

5(%o4) X - 1

(b) De la manual la manual se stie ıntr–un fel sau altul, ca daca un polinom g(X) de grad N are radacinile z1, . . . , zM

(distincte sau luate cu multiplicitatile corespunzatoare) si coeficientul dominant (al termenului de grad maxim M) egal cua, atunci se stie relatia:

g(X) = a(X − z1) · · · (X − zM ) .

Rezultatul cerut la (b) este exact aceasta relatie, avem doar de observat ca polinomul f are coeficientul principal (dominant,de grad maxim) egal cu 1.(N.B. La o privire mai stricta si pedanta am avea de observat ca radacinile lui f sunt distincte. De ce? Daca nu f si f ′ aravea o radacina comuna, ceea ce conduce curand la o contradictie aplicand algoritmul lui Euclid acestor polinoame. Darnoi consideram afirmatia “Se considera polinomul f = X4 + X3 + X2 + X + 1 cu radacinile complexe x1, x2, x3, x4” ıinsensul afirmatiei “Se considera polinomul f = X4 + X3 + X2 + X + 1 cu radacinile complexe x1, x2, x3, x4 considerate cumultiplicitatile corespunzatoare”.)

(c) Fie x o radacina a polinomului f(X). Demonstram ca x este unul dintre cele patru numere complexe din enunt.Mai ıntai observam ca x 6= 1 deoarece f(1) = 14 + · · ·+ 1 = 5 6= 0. Echivalent rezulta ca x este o radacina a polinomuluif(X)(X − 1) = X5 − 1. Deci x satisface echivalent

x5 = 1 .

Din trigonometrie stim ca toate solutiile complexe ale acestei ecuatii sunt

zk = cos2kπ

5+ i sin 2kπ5 , k ∈ 0, 1, 2, 3, 4 .

Pentru k = 0 obtinem z0 = cos 0 + i sin 0 = 1, solutie pe care trebuie sa o excludem dintre radacinile lui f . (Ea a fostintrodusa prin ınmul tire cu (X − 1).)

Am dedus: [ x este radacina a lui f ] este o propozitie echivalenta cu [ x se afla ıntre numerele cos2kπ

5+ i sin 2kπ5 pentru

k ıntre 1, 2, 3, 4. ]Aceasta trebuia sa demonstram.

(d) ıntre coeficientul de grad 3 = 4− 1 al polinomului f , care este 1, si radacinile acestui polinom are loc relatia (Vieta):

(−1)1 · 1 = x1 + x2 + x3 + x4 .

La punctul precedent am calculat cele patru radacini. Identificand partile reala respectiv imaginara a relatiei de mai susrezulta:

−1 = cos2π

5+ cos

4π

5+ cos

6π

5+ cos

8π

5,

0 = sin2π

5+ sin

4π

5+ sin

6π

5+ sin

8π

5.

Prima relatie a fost cereuta doar. (A doua este mai mult sau mai putin triviala, deoarece avem de exemplu sin2π

5+sin

8π

5=

sin2π

5+sin

−2π

5= 0. Acest exemplu ne spune si ce trebuie sa facem cu suma de valori ale cosinusului la punctul (e) urmator.)

(e) Introducem notatia

y := cos2π

5.

Deoarece cos este o functie para de perioada 2π si din relatia unghiului dublu data ın enunt rezulta:

cos2π

5= y ,

cos4π

5= cos

(2 · 2π

5

)= 2 cos2

2π

5− 1 = 2y2 − 1 ,

cos6π

5= cos

−6π

5= cos

(2π − 6π

5

)= cos

4π

5= 2y2 − 1 ,

cos8π

5= cos

−2π

5= cos

(2π − 2π

5

)= cos

8π

5= y .

20

Combinand cu cele obtinute ın (d) rezulta2y + 2(2y2 − 1) = −1 .

Rezolvam aceasta ecuatie de gradul doi. Forma ei canonica este:

4y2 + 2y − 1 = 0 .

Discriminantul acestei ecuatii este

∆ := 22 − 4 · 4 · (−1) = 4 + 15 = 20 = 4 · 5 , iar√

∆ = 2√

5 .

Radacinile ecuatiei ın y sunt deci: y1,2 =18(−2± 2

√5) = (−1±

√5)/4. Deoarece cos(2π/5) > 0 identificam cos(2π/5) a

fi radacina pozitiva dintre cele doua:

cos(2π/5) =−1 +

√5

4,

ceea ce trebuia aratat.

(f) Am dedus deja la punctul (b) relatia (X − x1)(X − x2)(X − x3)(X − x4) = X4 + X3 + X2 + X1 + 1.Inlocuind X cu valoarea −1 rezulta:

(−1− x1)(−1− x2)(−1− x3)(−1− x4) = (−1)4 + (−1)3 + (−1)2 + (−1)1 + 1 .

Schimband semnul ın cele patru paranteze din partea stanga, egalitatea nu se schimba. (Aceasta schimbare corespunde cuınmultirea partii stangi cu (−1)4 = 1.) Rezulta

(1 + x1)(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4) = 1 ,

ceea ce trebui aratat. (Morala: Daca nu stim unul dintre subpuncte, trebuie sa ıncercam sa le rezolvam pe urmatoarele, casi cand l–am fi rezolvat.)

(g) Presupunem ca avem (exista) cinci polinoame cu coeficienti complecsi ca ın enunt, astfel ıncat sa fie adevarata identitateadata:

f1(X5) + Xf2(X5) + X2f3(X5) + X3f4(X5)− f(X)f5(X5) = 0 .

Atunci ın aceasta identitate, dupa ce scriem explicit polinoamele f1, f2, f3, f4, f5 ca suma de monoame si expandam paran-tezele, termenii involvati au proprietatile: In f1(X5) apar doar puterile 1, X5, X10, . . . , X5k, . . . unde k ∈ N. In f2(X5) apar doar puterile X, X6, X11, . . . , X5k+1, . . . unde k ∈ N. In f3(X5) apar doar puterile X2, X7, X12, . . . , X5k+2, . . . unde k ∈ N. In f4(X5) apar doar puterile X3, X8, X13, . . . , X5k+3, . . . unde k ∈ N.? In membrul stang nu apar puterile X4, X9, X14, . . . , X5k+4, . . . unde k ∈ N.• In (1 + X + X2 + X3 + X4)f5(X5) apar puterile lui 1, X,X2, X3, X4 cu acelasi coeficient, coeficientul liber al lui

f5. Dar ın membrul drept nu apare (i.e. apare cu coeficient nul) X4. Deci coeficientul liber al lui f5 este zero.In (1 + X + X2 + X3 + X4)f5(X5) apar puterile lui X5, X6, X7, X8, X9 cu acelasi coeficient, coeficientul ın X allui f5. Dar ın membrul drept nu apare (i.e. apare cu coeficient nul) X9. Deci coeficientul ın X1 al lui f5 este zero.Procedand astfel, adica identificand coeficientii ın X4, X9, . . . , X5k+4, . . . rezulta ca toti coeficientii lui f5 se anu-leaza, deci

f5 = 0 .

Dar atunci, identificand toti ceilalti coeficienti din membrul stang cu zero, rezulta f1(X5) = Xf2(X5) = X2f3(X5) =X3f4(X5) = 0, deci

f1 = f2 = f3 = f4 = 0 .

Deoarece polinomul nul, 0 se divide prin f , rezulta cele afirmate ın enunt.

1.4 Subiectul IV

21

Exercitiul 5 Fixam sirul (cn)n>1 de numere reale, astfel ca membrii acestui sir sunt din multimea −1,+1 .Se considera sirurile de numere reale (an)n>1 si (xn)n>1 de termenii generali:

an =112

+122

+ · · ·+ 1n2

.

xn =c1

12+

c2

22+ · · ·+ cn

n2, c1, c2, . . . , cn ∈ −1,+1 .

(a) Sa se arate ca pentru orice k > 2 are loc dubla inegalitate:1

k(k + 1)<

1k2

<1

(k − 1)k.

(b) Sa se arate ca1

1(1 + 1)+

12(2 + 1)

+ · · ·+ 1n(n + 1)

.

(c) Sa se arate ca sirul (an)n>1 este monoton si marginit.(d) Sa se arate ca pentru orice p > 1 numar natural si pentru orice numar natural n cu 2p 6 n < 2p+1 si exista numere

naturale impare An, Bn cu proprietatea:

22pxn =An

Bn.

(e) Sa se arate ca pentru orice n > 2 numarul xn nu este numar ıntreg.(f) Sa se arate ca pentru orice numar natural n > 1 exista yn, zn ∈ [0,∞) astfel ıncat xn = yn − zn.(g) Sa se arate ca sirul (xn)n>1 este convergent.

Solutie: (a) Fie k > 2. Atunci avem egalitatea ıntre numerele strict pozitive:

k − 1 < k < k + 1 .

Aplicand functia strict descrescatoare [0,∞) → [0,∞), x → 1/x, rezulta

1k − 1

>1k

>1

k + 1.

Inmultind cu 1/k > 0 aceasta dubla inegalitate rezulta

1(k − 1)k

>1k2

>1

k(k + 1),

ceea ce trebuia demonstrat.

(b) Pentru orice k > 1 se verifica usor egalitatea:

1k− 1

k + 1=

(k + 1)− k

k(k + 1)=

1k(k + 1)

.

Suma data se reduce, folosind aceasta identitate la o suma telescopica:

11(1 + 1)

+1

2(2 + 1)+ · · ·+ 1

n(n + 1)=

11− 1

2+

12− 1

3+ · · ·+ 1

n− 1

n + 1

= 1− 1n + 1

.

Din motive “pedant pedagogice” ın unele judete, ın unele scoli “mai elitare”, unii profesori mai profunzi nu vor acceptaaceasta solutie. Ei insista din motive pe care eu nu le pot explica aici ca demonstratia sa se faca prin inductie sau folosindsume. Dau explicit a doua demonstratie, ce face apel la transpunerea formala a relatiei cerute cu “sume”. (Ca aparare, ınsa,a demonstratiei de mai sus, am o ıntrebare: Ce ınseamna cele trei puncte de suspans ın suma data?) Deci, demonstratiebeton din punct de vedere “formal ”:

11(1 + 1)

+1

2(2 + 1)+ · · ·+ 1

n(n + 1)=

∑16k6n

1k(k + 1)

=∑

16k6n

(1k− 1

k + 1

)=

∑16k6n

1k

−

∑16k6n

1k + 1

=

11

+

∑26k6n

1k

−

∑16k6n−1

1k + 1

− 1n + 1

=11− 1

n + 1.

22

La ultimul pas am folosit reducerea celor doua sume, ceea ce se vede cel mai usor prin substitutia variabilei k+1 cu l. Atuncil se va plimba ıntre 2 si n (ın timp ce k se plimba paralel ıntre 1 si n− 1) si sumantul (termenul) 1/(k + 1) corespunzatordevine dup3 substitutie 1/l.

(c) Deoarece pentru orice n > 1 numar natural avem an+1 − an = 1/(n + 1)2 > 0 rezulta an+1 > an, deci sirul dat este(strict) crescator. Pentru a vedea ca este marginit observam pentru n > 2 majorarea cere ne sta la ındemana dupa primiipasi:

an =112

+(

122

+ · · ·+ 1n2

)6 1 +

(1

1(1 + 1)+ · · ·+ 1

(n− 1)(n− 1 + 1)

)= 1 +

(1− 1

(n− 1) + 1

)< 2 .

Deci sirul (an)n>1 este marginit de constanta 2 ca margine superioara. Veti pierde puncte daca nu mentionati ca 0 este omargine inferioara (sau ca avem de–a face cu un sir crescator. . . ) !Mai exact: Are loc 1 = a1 < a2 < · · · < an < 2 pentru orice n > 3.

(d) Discutie premergatoare: Acest punct (ın valoare de doua puncte de concurs) este ın mod evident inutil pentru urmatoarelepuncte. (In bacalaureat este deci bine sa redactati si clarificati mai ıntai celelalte puncte. Doar eu consideram ca e bine sama apuc de astfel de puncte cat timp nu eram obosit de impresii.)Ce vrea acest subpunct de la noi?Sa consideram de exemplu valoarea speciala p = 2. Atunci problema se leaga de cele cateva valori posibile ale lui n naturalıntre 22 si 23 − 1, deci 4 6 n 6 7. In conditii de bacalaureat nu e recomandabil urmatorul calcul cu mana, dar eu tai aicinodul gordian pentr a explica de ce natura e problema: Cele cateva valori xn corespunzatoare sunt:

x4 =205144

, x5 =52693600

, x6 =53693600

, x7 =266681176400

.

Se observa ca toti numaratorii involvati sunt impari si ca puterea lui doi egala cu 22p = 26 = 64 divide exact numitorii.Exact acesta este mesajul exercitiului, plasat ıntr–un caz general. Avem deci de–a face cu o problema de divizibilitate.Solutia subpunctului (d): Fie p > 1 un numar natural. Fie n ∈ [2p, 2p+1) numar natural. Atunci avem:

xn = ± 112± 1

22± . . .± 1

(2p)2± · · · ± 1

n2.

Aici, am specificat explicit termenul 1/22p care va juca rolul cheie. (Eventual, pentru n = 2 sau pentru n = 2p prezentapunctuletelor de suspans este deplasata.) Diferitele semne ± corespund alegerilor numerelor c1, c2, . . .Inmultim ın ambele parti cu 22(p−1) si obtinem:

22(p−1)an = ±22(p−1) 112± 22(p−1) 1

22± · · · ± 22(p−1) 1

(2p)2︸︷︷︸=

122

± · · · ± 22(p−1) 1n2

.

Observatia salvatoare (esentiala) este ca dupa simplificari cu puteri ale lui doi ın randul termenilor prezenti ın membrul drept

al egaliatii de mai sus doar fractia122

=14

are numitor par. Aceasta se ıntampla deoarece ıntre 1 si n < 2p+1 doar

numarul 2p se divide cu 2p. (Urmatorul multiplu de 2p este 2 · 2p = 2p+1 > n.)Efectuam suma din partea dreapta a tuturor fractiilor cu exceptia fractiei 1/2. Toate aceste fractii au numitor impar. Celmai mic numitor comun al lor (sau pur si simplu produsul lor, pentru cei ce aduna brut fractiile) este impar. Rezulta

22(p−1)xn =Pn

Qn±1

4, Pn, Qn ∈ N ,

unde numitorul Qn este impar. Rezulta acum imediat:

22pan =4Pn

Qn±1 =

4Pn ±Qn

Qn,

si e clar ca numerele naturale An := 4Pn ±Qn si Bb := Qn sunt ambele impare. Gata.Exemplificare: Alegem toti coeficientii c1, c2, . . . egali cu +1. Atunci sirul (xn) corespunzator este sirul (an). Exemplificamideea folosind p = 2, n = 6,

a6 =112

+122

+132

+142

+152

+162

.

23

Atunci

22·1a6 = 26a6 =22

1+

11

+22

32+

14

+22

52+

132

=?

32 · 52+

14

.

Deci 24a6 =4·?

9 · 25+ 1 ceea ce conduce la o fractie simplificata cu numaratorul si numitorul impari.

(e) Din punctul (d) rezulta ca 22p divide exact numitorul lui xn, ın scrierea ca fractie ireductibila a lui, pentru orice p, ncum au fost specificate ın (d). Rezulta ca 22 divide numitorul lui xn (n > 2,) ın scrierea ca fractie ireductibila a lui xn. ınparticular, xn nu este numar ıntreg pentru n > 2.

(f) (Tiparitorul solutiei suspecteaza o puternica greseala de tiparire a acestui subpunct.)Orice numar real r se scrie ca diferenta a doua numere reale > 0, daca r este > 0 ıl scriem ca r− 0, daca este < 0 ıl scriemca 0− (−r).Aplicand aceasta afirmatie banala pe fiecare termen al sirului (xn) rezulta cele cerute.

(g) Fie (yn)n>1 si (zn)n>1 cele doua siruri asociate la subpunctul (f). Avem:

0 6 yn :=∑

16k6nck=+1

1k2

6∑

16k6n

1k2

= an 6 2 ,

0 6 zn :=∑

16k6nck=−1

1k2

6∑

16k6n

1k2

= an 6 2 .

Sirurile (yn) si (zn) definite mai sus (unde := semnifica “definit prin”) sunt evident monotone si marginite (margine inferioaraeste 0, margine superioara este 2), deci convergente.Rezulta convergenta sirului (xn) ca diferenta de doua siruri convergente.

24

Capitolul 2

Varianta 042

2.1 Subiectul I

Exercitiul 6 (a) Sa se calculeze modulul vectorului→v = 2

→i − 3

→j .

(b) Sa se calculeze distanta de la punctul D(−1,−2, 3) la planul x + y + z − 4 = 0.(c) Sa se determine ecuatia tangentei la parabola y2 = 6x dusa prin punctul P (6, 6).(d) Sa se determine aria triunghiului cu varfurile ın punctele L(1, 2), M(2, 3), P (0, 4).

(e) Sa se calculeze cosinusul unghiului dintre vectorii→v = 2

→i − 3

→j si

→w = 3

→i + 2

→j .

(f) Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat sa avem egalitatea de numere complexe

(1 + i)10 = a + bi .

Solutie:(a) Modulul vectorului dat este

√22 + (−3)2 =

√4 + 9 =

√13 .

(b) Prima solutie: Ecuatia planului dat (P ) se poate scrie si sub formaxyz

·1

11

= 4 ,

Unde produsul · semnifica produsul scalar al vectorilor specificati. (Renuntam la paranteze ın notatie.)Rezulta ca vectorul (1, 1, 1) este perpendicular pe acest plan. Ecuatia parametrica a dreptei (d) perpendiculare pe planul datse extrage din scrierea acestei drepte ca multimea

(−1,−2, 3) + t(1, 1, 1)∣∣∣ t ∈ R

.

Un punct “generic” pe dreapta (d) are deci forma (−1 + t,−2 + t, 3 + t). Acest punct se afla pe (P ) pentru valoarea lui tpentru care este satisfacuta ecuatia planului:

(−1 + t) + (−2 + t) + (3 + t) = 4 .

Rezulta imediat t = 4/3. Proiectia Punctului D dat pe plan este deci punctul E( −1 + 4/3, −2 + 4/3, 3 + 4/3 ) pe carenu-l mai calculam mai ındeaproape, deoarece trebuie sa calculam distanta ıntre punctele D si E, deci modululul vectorului(diferenta)

43

111

.

Modulul acestui vector este43

√12 + 12 + 12 =

4√

33

.

A doua solutie: Un vector perpendicular pe plan este, ca si ın prima solutie, vectorul (1, 1, 1).

25

Vectorul normal planului, deci vectorul perpendicular de modul 1, este deci 1√3

(1, 1, 1

), ın scriere ca vector coloana deci

−→n =1√3

111

.

Un punct din plan este de exemplu A(0, 0, 4), vectorul asociat −→a =−→OA fiind ın scriere ca vector coloana

−→a =

004

.

Fie−→d =

−−→OD. Distanta de la punctul dat la plan este data de modulul produsului scalar

−→n · (−→d −−→a ) =

1√3

111

·

−1−23

−0

04

=1√3

111

·

−1−2−1

= − 4√3

= −4√

33

.

Modulul acestui numar si distanta cautata este deci4√

33

.

A treia solutie: (Formula)Distanta de la punctul (x0, y0, z0) la planul de ecuatie ax + by + cz + d = 0 este dat de:

| ax0 + by0 + cz0 + d |√a2 + b2 + c2

.

Aplicand aceasta formula rezulta ca distanta cautata este:

| − 1− 2 + 3− 4 |√12 + 12 + 12

=4√3

.

(Este bine sa se rationalizeze aceasta expresie la 4√

3/3 ın examen.)

(c) Prima solutie: (Solutia din analiza.) Consideram functia f(y) = y2/6, f : R → R. Panta tangentei ın punctul decoordonate (6, f(6)) = (6, 6) la graficul functiei este f ′(6) = (2 · 6)/6 = 2.Ecuatia tangentei este deci (x− 6) = 2(y − 6) care dupa simplificari devine

x = 2y − 6 .

A doua solutie: (Solutia din geometria algebrica.) Ecuatia parabolei date se scrie “ın jurul punctului (6, 6)” sub forma

((y − 6) + 6)2 = 6((x− 6) + 6) adica

(y − 6)2 + 2 · 6 · (y − 6) = 6(x− 6) .

Tangenta este “partea liniara” din aceasta rescriere ın jurul punctului (6, 6), deci partea ın care nu intervin monoame degrad > 2 ın (x− 6) si (y − 6), anume:

2 · 6 · (y − 6) = 6(x− 6) .

Simplificand obtinem 2(y− 6) = (x− 6), ecuati a tangentei care e de preferat formei mai reduse 2y− 6 = x, dar nu insistamsa convingem corectorii, e bine sa le furnizam si forma x− 2y + 6 = 0 a acestei drepte.

(d) Prima solutie: Unghiul α dintre vectorii−−→LM si

−→LP este dat de formula

cos α =−−→LM ·

−→LP

|LM | |LP |, unde

−−→LM ·

−→LP =

[11

]·[−12

]= 1 · (−1) + 1 · 2 = 1 ,

|LM | =√

12 + 12 =√

2 ,

|LP | =√

(−1)2 + 22 =√

5 .

26

Rezulta:

cos α =1√10

,

sinα =√

1− cos2 α =

√1− 1

10=

3√10

,

Aria(LMP ) =12|LM | · |LP | · sinα =

12·√

2 ·√

5 · 3√10

=32

.

A doua solutie: Desenam si ıncercam sa folosim cunostintele din ciclul gimnazial:

//

OO

•L

•M

•P

////////////

OOOOOOOOOOOO

1

2

3

1

2

3

Am ınscris ca ın desen triunghiul dat ıntr–un patrat de latura doi. Trebuie sa decupam din patrat trei triunghiuri pentru aramane triunghiul LMP . Rezulta ca aria este cu cunostinte primare:

22 − 121 · 2− 1

21 · 2− 1

21 · 1 = 4− 2− 1

2=

32

.

A treia solutie: Ca si mai ınainte se calculeaza imediat lungimile laturilor triunghiului:

|LM | =√

2 ,

|PL| =√

5 ,

|PM | =√

5 .

Triunghiul nostru este deci un triunghi isoscel, iar ınaltimea lui se calculeaza imediat din figura:

•L

P ′ •

M

•P ////

////

////

√2

2

√5

|PP ′|2 = 5− 12

=92

,

|PP ′| =√

92

=3√2

,

Rezulta:

Aria(LMP ) =12|LM | · |PP ′| = |LP ′| · |PP ′| =

1√2· 1√

2=

32

.

A patra solutie: (Formula.)Aria cu semn a triunghiului cu varfurile ın (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) este

12

∣∣∣∣∣∣1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3

∣∣∣∣∣∣ .

27

In cazul problemei de fata, calculam mai ıntai determinantul∣∣∣∣∣∣1 1 21 2 31 0 4

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 1 20 1 10 −1 2

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣ 1 1−1 2

∣∣∣∣ = 3 .

Deci aria triunghiului este

12|3| =

32

.

(%i1) abs( determinant( matrix( [1,1,2], [1,2,3], [1,0,4] ) ) ) /2 ;

3(%o1) -

2

Aceasta solutie arata ca aria unui triunghi cu coordonatele ıntregi este jumatatea unui numar natural.

(e) Produsul scalar al celor doi vectori este2 · 3 + (−3) · 2 = 0 ,

deci cei doi vectori sunt perpendiculari (unul pe celalalt). Unghiul dintre ei este π/2 (sau 90).

(f) Avem (1 + i)10 = ( (1 + i)2 )5 = ( 2i )5 = 25 · i5 = 32 · i4 · i = 32 · 1 · i = 32i. Din egalitatea a + bi = 0 + 32i rezultaidentificand partile reala si imaginara:

a = 0 , b = 32 .

Cod maxima si o verificare pentru un calcul intermediar:

(%i13) expand( (1+%i)^10 );(%o13) 32 %i(%i14) expand( (1+%i)^2 );(%o14) 2 %i

2.2 Subiectul II

Exercitiul 7 (a) Daca a, b, c, d ∈ Q si a + b√

2 = c + d√

2, sa se arate ca a = c si b = d.(b) Sa se calculeze probabilitatea ca un element x ∈ Z10 sa verifice relatia 5x = 0 ın Z10.(c) Daca functia f : R → R, f(x) = 5x + 1 are inversa g : R → R, sa se calculeze g(6).(d) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia log2(x2 + 7) = 3.(e) Sa se calculeze suma patratelor radacinilor polinomului X4 −X2 + 24.

Solutie: (a) Din a + b√

2 = c + d√

2 rezulta echivalent

(a− c)︸︷︷︸x∈Q

+(b− d)︸︷︷︸y∈Q

√2 = 0 .

Pentru a arata afirmatia facuta, ajunge deci sa aratam ca din x, y ∈ Q, x + y√

2 = 0, rezulta x = y = 0.Presupunem ca y 6= 0. Rezulta x 6= 0 si √

2 = −x

y∈ Q . Contradictie!

(Numarul√

2 nu este rational.) Presupunerea facuta este falsa. Deci y = 0, ceea ce implica x = 0.Din a− c = b− d = 0 rezulta afirmatia facuta ın enunt.

(b) Ecuatia 5x = 0 se rescrie, luand reprezentantul x ∈ Z, 0 6 x 6 9 al lui x ∈ Z10 ca:

5x este divizibil prin 10 .

daca x este par, atunci 5x se divide prin 10 = 2 · x.

28

Invers, daca 5x se divide prin 10 atunci se divide prin numarul prim 2, dar ın produsul 5x numarul 5 nu se divide prin 2, decix se divide prin 2, deci x este par. Multimea solutiilor ecuatiei date este deci:

0, 2, 4, 6, 8 .

Probabilitatea P cautata este deci:



510

=12

.

(c) Inversa functie date este g : R → R, g(y) = (y − 1)/5, dupa cum se verifica calculand compunerile f g si g f :

(f g)(y) = f(g(y)) = f( (y − 1)/5 ) = 5 · (y − 1)/5 + 1 = (y − 1) + 1 = y ,

(g f)(x) = g(f(x)) = g( 5x + 1 ) =15( 5x + 1− 1 ) =

15( 5x ) = x .

Deci f este inversabila. Deci avem de calculat g(6). Evaluam imediat:

g(6) = (6− 1)/5 = 5/5 = 1 .

Observatie: Scriind f(1) = 6 se iau toate punctele, specificand ca 1 este numarul cautat daca f este inversabila. (S–acerut ceva de la noi doar daca f este inversabila.)

(d) Tranformam echivalent de la linie la linie:

log2(x2 + 7) = 3 ,

2log2(x2+7) = 23 , x → 2x este injectiva ca functie R → R,

x2 + 7 = 8 ,

x2 = 8− 7 ,

x2 = 1 ,

x ∈ −1, +1 .

Solutiile ecuatiei date sunt deci 1 si −1.

(e) Prima solutie: (Solutia bruta.)Rezolvam complet ecuatia (bipatratica) data. Substitutie: Y = X2. Obtinem ecutia ın Y :

Y 2 − Y + 24 = 0 .

Discriminantul acestei ecuatii este ∆ = 1− 4 · 1 · 24 = 1 + 4 · 24 = 1− 96 = −95. Radacinile ecuatiei sunt:

Y1 = (1 +√−95)/2 ,

Y2 = (1−√−95)/2 .

Solutiile ecuatiei ın X de la care am plecat sunt:

X1 =√

Y1 , X2 = −√

Y1 ,

X3 =√

Y2 , X4 = −√

Y2 .

Rezulta:

X21 + X2

2 + X23 + X2

4 = Y1 + Y1 + Y2 + Y2 = 2Y1 + 2Y2 = (1 +√−95) + (1−

√−95) = 2 .

A doua solutie: (Solutia economica ın care trebuie sa ne alegem bine cuvintele.)Fie X1, X2, X3, X4 cele patru solutii ale ecuatiei bipatratice date. Deoarece odata cu X si −X este solutie a ecuatiei date,rezulta ca radacinile X1, X2, X3, X4 apar ın perechi, si eventual dupa reordonare (reindexare) putem presupune X2 = −X1,X4 = −X3.Suma celor patru patrate este deci 2(X2

1 + 2X23 ), X1 6= ±X3. Observam mai departe ca X2

1 si X23 sunt solutiile ecuatiei

Y 2 − Y + 24 = 0, care are radacini distincte. (24 6= 1/4.)Din relatiile lui Vieta suma celor doua radacini ale ecuatiei Y 2 − Y + 24 = 0 este −(−1). Deci X2

1 + X23 = 1. Deci suma

patratelor radacinilor ecuatiei ıin X date este 2.(Exista corectori care mi-ar taia din puncte pe a doua solutie oricat de atent as mai formula propozitiile. Nu stiu de ce, ınsa,la aceleasi chichite transpuse ın prima solutie nu se taie aceleasi puncte.)

29

Exercitiul 8 Se considera functia f : R → R,f(x) = 4x + x + 1 .

(a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R.

(b) Sa se calculeze∫ 1

0f ′(x) dx .

(c) Sa se arate ca functia f este convexa pe R.

(d) Sa se calculeze limx→1

f(x)− f(1)x− 1

(e) Sa se calculeze

∫ 1

0

x3

x4 + 10dx .

Solutie: (a) f ′(x) = 4x ln 4 + 1 pentru orice x ∈ R.

(b) Deoarece f este o primitiva a lui f ′ avem:∫ 1

0

f ′(x) dx = f(1)− f(0) = (4 + 1 + 1)− (1 + 0 + 1) = 4 .

(c) Derivata a doua a functiei f exista pe R si este 4x ln2 4 > 0 pentru orice x ∈ R. Doarece a doua derivata a lui f este> 0, functia f este (strict) convexa.

(d) Deoarece f este derivabila pe R din definitia derivatei si formula luif ′ din (a) rezulta imediat:

limx→1

f(x)− f(1)x− 1

= f ′(1) = 41 ln 4 + 1 = 4 ln 22 + 1 = 8 ln 2 + 1 .

(%i18) f(x) := 4^x +x+1 $(%i19) limit( (f(x)-f(1)) / (x-1) , x , 1 );(%o19) 4 log(4) + 1

(e) Substituim y = x4. (Functia f : [0, 1] → [0, 1], f(x) = x4, este continua si derivabila pe (0, 1).) Punctul x− = 0corespunde lui y = 04 = 0, iar x = 1 corespunde lui y = 14 = 1. Formal are loc dy = d(x4) = 4x3 dx. Rezulta:∫ 1

0

x3

x4 + 10dx =

14

∫ 1

0

1x4 + 10

(4x3 dx)

=14

∫ 1

0

1y + 10

dy =[

14

ln(y + 10)]10

=14( ln 11− ln 10 ) .

(%i33) integrate( x^3/(x^4+10), x );4

log(x + 10)(%o33) ------------

4

2.3 Subiectul III

Exercitiul 9 Se considera matricile A =

0 1 00 0 11 0 0

si O3 =

0 0 00 0 00 0 0

si multimea

C(A) =

X ∈ M3(C) | XA = AX

.

30

(a) Sa se calculeze determinantul matricei A.(b) Sa se calculeze matricile A2 si A3.(c) Sa se arate ca matricea A este inversabila si sa se calculeze inversa ei.(d) Sa se arate ca daca U, V ∈ C(A), atunci U · V ∈ C(A).(e) Sa se arate ca daca X ∈ C(A), atunci exista a, b, c ∈ C astfel ıncat

X =

a b cc a bb c a

.

(f) Sa se arate ca daca Y ∈ C(A) si Y 3 = O3, atunci Y = O3.(g) Sa se arate ca daca Z ∈ C(A) si Z2007 = O3, atunci Z = O3.

Solutie: (a) Dezvoltand dupa prima coloana si neglijand termenii intrarilor nule avem:

det A =

∣∣∣∣∣∣0 1 00 0 11 0 0

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣ = 1 · 1 = 1 .

(b)

A2 =

0 1 00 0 11 0 0

0 1 00 0 11 0 0

=

0 0 11 0 00 1 0

.

A3 = A ·A2 =

0 1 00 0 11 0 0

0 0 11 0 00 1 0

=

1 0 00 1 00 0 1

= I3 ,

unde I3 este matricea unitate, elementru neutru ın inelul de matrici 3× 3 peste C.

(c) A este inversabila si inversa ei este A2, calculata la (b), deoarece A ·A2 = A2 ·A = A3 = I3.

(d) Fie U, V ∈ C(A), deci avem relatiile UA = AU si V A = AV . De aici rezulta:

(UV )A = UV A = U(V A) = U(AV ) = UAV = (UA)V = (AU)V = AUV

= A(UV ) .

Deci matricea A “comuta” si cu produsul UV (de aici sau de la cuvantul “centralizator” este litera C din notatia C(A)),deci din definitia lui C(A) avem

UV ∈ A .

(e) Fie X ∈ C(A) o matrice cu intrarile (xij), 1 6 i, j 6 3. Un calcul brut al matricilor AX si XA si rezolvarea ecuatieiAX = XA ın necunoscultele x11, x12, . . . , x33 conduce la forma ceruta. Din motive structurale prefer aici sa rezolv ecuatiaechivalenta X = AXA−1, deci, deoarece A−1 = A2, rezolvam ecuatia:

X = AXA−1 .

Calculam deci mai ıntai:

AXA−1 = AXA2 =

0 1 00 0 11 0 0

x11 x12 x13

x21 x22 x23

x31 x32 x33

0 0 11 0 00 1 0

=

x21 x22 x23

x31 x32 x33

x11 x12 x13

0 0 11 0 00 1 0

=

x22 x23 x21

x32 x33 x31

x12 x13 x11

.

In si dupa acest calcul sunt de facut urmatoarele observatii, utile ın general:Matricea A este o asa–zisa matrice “de permutare”.Inmultind din stanga cu A se efectueaza o permutare a liniilor ıntre ele.Inmultind din dreapta cu A se efectueaza o permutare a coloanelor ıntre ele.Permutarea raspunzatoare de schimbarile de linii si respectiv de coloane de mai sus este σ := ( 1 2 3

2 3 1 ) .Conjugand cu A (la stanga), deci trecand e la X la AXA−1, se obtine din X = (xij)16i,j63 matricea cu intrarile X =(xσ(i)σ(j))16i,j63 .

31

Aceste observatii sunt utile si ın alte probleme. (Matricile de permutare apar des ın exercitii.)Rezolvand ecuatia X = AXA−1, echivalenta cu apartenenta X ∈ C(A), obtinem:x11 x12 x13

x21 x22 x23

x31 x32 x33

=

x22 x23 x21

x32 x33 x31

x12 x13 x11

⇐⇒

x11 = x22 = x33 si

x12 = x23 = x31 si

x13 = x21 = x32 .

Deci, notand cu a, b, c valorile comune pentru x11 = x22 = x33 si respectiv x12 = x23 = x31 si respectiv x13 = x21 = x32

obtinem ce s–a cerut.Uneori este bine sa ne ajutam ın calcule (si tiparit solutii) de sisteme de calcul algebric cu computerul. Cod maxima auxiliar:

(%i35) A: matrix( [0,1,0], [0,0,1], [1,0,0] );

[ 0 1 0 ]

[ ]

(%o35) [ 0 0 1 ]

[ ]

[ 1 0 0 ]

(%i36) X: matrix( [x11,x12,x13], [x21,x22,x23], [x31,x32,x33] );

[ x11 x12 x13 ]

[ ]

(%o36) [ x21 x22 x23 ]

[ ]

[ x31 x32 x33 ]

(%i37) A.X;

[ x21 x22 x23 ]

[ ]

(%o37) [ x31 x32 x33 ]

[ ]

[ x11 x12 x13 ]

(%i38) A.X.invert(A);

[ x22 x23 x21 ]

[ ]

(%o38) [ x32 x33 x31 ]

[ ]

[ x12 x13 x11 ]

(f) si (g) Digresiune premergatoare:Am observat deci la punctul anterior, ca fiecare matrice X din C(A) este de forma X = aI3 +bA+cA2. Ridicarea la putereaa treia (sau la puterea de ordin 2007, pentru cei cu simtul umorului,) a lui X se face mult mai usor ın scrierea aceasta maicompacta.Imi este greu sa–mi imaginez, care este solutia “scurta si artificiala” a acestor subpuncte. Motivul este faptul ca, fiind nevoitsa termin o facultate pentru a profesa matematica, ınca din primul an de studiu am fost educat sa calculez puteri mari alematricilor “algoritmic”, prin a le diagonaliza (dupa o schimbare de baza, egal ce–o mai fi si asta,) si a le ridica la putereaaceea “gata diagonalizate”.Cel ce a propus problema cunoaste de asemenea aceasta “instanta” a ıntelegerii matematice, gaseste totusi ıntamplator un“alt mod” de a rezolva “elementar”, deci cu cunoastintele de clasa a XII-a, aceeasi problema. (Nu exclud o faza de calculbrut, fara a cunoaste “natura” rezultatului din partea elevului din examen sau din faza de pregatire. In conditii de examen,o astfel de “trimitere a glontului ın marele cer albastru” nu este de recomandat. . . )

Bazat pe aceasta prima solutie, am putut reformula solutia ın alti termeni matematici, pentru a da de o a doua. (Este, insa,mai mult sau mai putin tot prima.)Apoi am cautat si solutia de tipul: “Calculeaza pana dai de o soultie elementara!”Am avut noroc. . .

Recomand, ın acest loc o data ın plus, ca elevii ce vor chiar toate punctele, sa ınvete procedeul (algoritmic, simplu si eficient)de diagonalizare al matricilor (care se lasa diagonalizate). Ei vor trebui cel tarziu ın facultate sa–l ınvete.

Bine, bine, ma gat aici si trec la solutie.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prima solutie: Fie ε 6= 1 o radacina a ecuatiei X3 = 1. Explicit, ε este radacina a ecuatiei X2 + X + 1 = 0, deoarece(X3 − 1) = (X − 1)(X2 + X + 1), deci

ε =12(−1± i

√3) .

32

Fie matricea S definita prin

S :=

1 1 11 ε ε2

1 ε2 ε

.

(De unde vine S ? Cititi digresiunea initiala!) Se verifica imediat relatia:

AS =

0 1 00 0 11 0 0

1 1 11 ε ε2

1 ε2 ε

=

1 ε ε2

1 ε2 ε1 1 1

=

1 1 11 ε ε2

1 ε2 ε

1 0 00 ε 11 0 ε2

︸︷︷︸

=Λ

= SΛ .

Rezulta relatia simpla, observand ın prealabil ca S est inversabila, (ıntr–adevar, ea avand determinantul det S = ε2 + ε2 +ε2 − ε− ε− ε = 3ε(ε− 1) 6= 0, deoarece ε 6= 0, 1,)

A = SΛS−1 .

Fie acum X = aI + bA + cA2 o matrice din C(A). Aici am notat cu I matricea “identitate” I3 din inelul matricilor 3× 3peste C. Un alt I nu mai apare ın aceasta problema. Rezulta imediat tot tacamul:

I = SIS−1 ,

A = SΛS−1 ,

A2 = SΛS−1 · SλS−1 = SΛΛS−1 ,

X = aI + bA + cA2

= a · SIS−1 + b · SΛS−1 + c · SΛ2S−1

= S( aI + bΛ + cΛ2 )S−1 .

Prin inductie, folosind asociativitatea ın inelul de matrici, sau ochiometric, scriind mai putin pedant cu puncte–puncte–punctesi aducand S · S−1 la fiecare coliziune de gradul trei la forma simpla I, rezulta imediat pentru orice numar natural n > 1:

Xn = S( aI + bΛ + cΛ2 )S−1 · S( aI + bΛ + cΛ2 )S−1 · · · ·S( aI + bΛ + cΛ2 )S−1·︸︷︷︸n ori

= S · ( aI + bΛ + cΛ2 )( aI + bΛ + cΛ2 ) · · · ( aI + bΛ + cΛ2 )︸︷︷︸n ori

·S−1

= S · ( aI + bΛ + cΛ2 )n · S−1

= S

a + b + c 0 00 a + bε + cε2 00 0 a + bε2 + cε

n

S−1 = S

(a + b + c)n 0 00 (a + bε + cε2)n 00 0 (a + bε2 + cε)n

S−1 .

De aici, din Xn = O3 rezulta echivalent, ınmultind din stanga cu S−1 si din dreapta cu S, ca matricea diagonala cuelementele de pe diagonala

(a + b + c)n , (a + bε + cε2)n , (a + bε2 + cε)n ,

este O3, deci echivalent pe diagonala ei se afla 0, 0, 0, deci echivalent cele trei numere de mai sus sunt 0, 0, 0, deci echivalenta + b + c = 0

a + bε + cε2 = 0

a + bε2 + cε = 0

⇐⇒

1 1 11 ε ε2

1 ε2 ε

︸︷︷︸

=S

abc

=

000

.

Deoarece matricea S este inversabila, unica solutie a sistemului homogen de mai sus este solutia triviala, deci a = b = c = 0,deci X = 0I + 0A + 0A2 = O3.

A doua solutie: Fie ξ o soultie a ecuatiei X3 = 1, deci ξ este unul dintre numerele 1 sau (−1± i√

3)/2. Notam

ε := (−1 + i√

3)/2 .

33

Atunci ε2 este cealalta radacina, ε2 = (−1− i√

3)/2. Orice element din C(A) se scrie unic sub forma X = aI + bA + cA2,unde I := I3 pentru simplificarea notatiei, explicita b c

c a bb c a

= a

1 0 00 1 00 0 1

+ b

0 1 00 0 11 0 0

+ c

0 0 11 0 00 1 0

= aI + bA + cA2 .

Se verifica usor, ca aplicatia Fξ : C(A) → C definita prin

Fξ( aI + bA + cA2 ) := a + bξ + cξ2 ,

este un morfism de inele. Din pacate, ın conditii de concurs, veti pierde puncte daca nu inserati si liniile birocratice caredemonstreaza acest lucru, aratand compatibilitatea lui Fξ cu adunarea (de pe C(A) si respectiv C) si ınmultirea (de pe C(A)si respectiv C):

Fξ

((aI + bA + cA2) + (a′I + b′A + c′A2)

)=

= Fξ

((a + a′)I + (b + b′)A + (c + c′)A2

)= (a + a′) + (b + b′)ξ + (c + c′)ξ2

= (a + bξ + cξ2) + (a′ + b′ξ + c′ξ2)

= Fξ

((a + bA + cA2)

)+ Fξ

((a′ + b′A + c′A2)

).

Am clarificat chestia cu adunarea. . . Compatibilitatea cu ınmultirea este, folosind acum esential relatiile A3 = I (la dus) siparalel ξ3 = 1 (la “intors”):

Fξ

((aI + bA + cA2) · (a′I + b′A + c′A2)

)=

= Fξ

((aa′ + bc′ + cb′)I + (ab′ + ba′ + cc′)A + (ac′ + bb′ + ca′)A2

)= (aa′ + bc′ + cb′)ξ + (ab′ + ba′ + cc′)ξ + (ac′ + bb′ + ca′)ξ2

= (a + bξ + cξ2) · (a′ + b′ξ + c′ξ2)

= Fξ

((a + bA + cA2)

)· Fξ

((a′ + b′A + c′A2)

).

(Nu–i asa ca este ca la un joc pe computer? Ma refer la jocurile “inteligente” sau la cele mai vechi.)Partea birocratica s–a terminat. Putem trece la rezolvarea problemeni.Presupunem ca X = aI + bA + cA2 (ın punctele (f) si (g) din enunt se folosesc literele diferite Y si Z) satisface o ecuatiede forma

Xn = O3

Aplicand morfismul de inele Fξ pentru cele trei valori ξ specificate, obtinem din Fξ( Xn ) = Fξ(X)n = (a + bξ + cξ2)n,

(a + b + c)n = 0

(a + bε + cε2)n = 0

(a + bε2 + cε)n = 0

Deoarece C este un corp, rezultaa + b + c = 0

a + bε + cε2 = 0

a + bε2 + cε = 0

⇐⇒

1 1 11 ε ε2

1 ε2 ε

︸︷︷︸

=S

abc

=

000

.

Deoarece matricea S de mai sus este inversabila, ea evand determinantul = ε2 + ε2 + ε2 − ε− ε− ε = 3ε(ε− 1) 6= 0, unicasolutie a sistemului homogen de mai sus este solutia triviala, deci a = b = c = 0, deci X = 0I + 0A + 0A2 = O3.

A treia solutie: (Solutia lui Cipi.)(f) Presupunem ca exista o solutie nenula a ecuatiei matriciale date, Y 3 = O3, unde Y = aI +bA+cA2 ∈ C(A), a, b, c ∈ Cnu toate trei nule. Introducem polinoamele P (X) = (X3 − 1) si Q(X) = (a + bX + cX2)3 ın inelul C[X]. Atunci avem:

P (A) = 0 ,

Q(A) = 0 .

34

Fie R(X) = m + nX + pX2 ∈ C[X] restul ımpartirii polinomului Q la polinomului P ın inelul polinoamelor.(Aplicand repetat aceasta diviziune cu rest ın cadrul algoritmului lui Euclid de detectare al c.m.m.d.c. al polinoamelor,solutia se simplifica usor, presupunand ca R este c.m.m.d.c al lui P si Q.)Rezulta o relatie de forma

P (X) = Q(X)·? + R(X) , deci si

P (A) = Q(A)·? + R(A) , deci

O3 = R(A) = m + nA + pA2 .

Rezulta m = n = p = 0, deci R(X) = 0, deci P (X) = (X3− 1) divide Q(X) = (a + bX + cX2)3, deci Q(X) are radacinile1, ε, ε2, deci si polinomul nnenul (a + bX + cX2) are aceste trei radacini distincte, contradictie cu faptul ca un polinom degrad doi are cel mult doua radacini distincte.Presupunerea facuta este falsa. Deci singura solutie a ecuatiei Y 3 = O3 ın C(A) este solutia triviala O3 = 0I +0A+0A2.

2.4 Subiectul IV

Exercitiul 10 Se considera functiile f : R → R, f(x) = 13+cos x , si F : R → R, F (x) =

∫ x

0f(t) dt .

(a) Sa se verifice ca f(x + 2π) = f(x), ∀x ∈ R.(b) Sa se arate ca nu exista lim

x→∞f(x) .

(c) Sa se arate ca14

6 f(x) 612, ∀x ∈ R.

(d) Sa se arate ca orice primitiva a functiei f este strict crescatoare pe R.

(e) Sa se verifice ca F (x) =1√2

arctg(

tg x2√2

), ∀x ∈ [0, π).

(f) Sa se calculeze limx→∞

F (x).

(g) Sa se arate ca graficul functiei F nu are asimptota catre +∞.

Solutie: (a) Deoarece functia cos : R → R este periodica de perioada 2π rezulta pentru orice x ∈ R:

f(x + 2π) =1

3 + cos(x + 2π)=

13 + cos x

= f(x) .

(b) Fie sirul xn = n · 2π care tinde la ∞ pentru n →∞. Atunci, din periodicitatea lui f , rezulta ca avem

f(xn) = f(0) =1

3 + cos 0=

14

.

Fie sirul yn = π + n · 2π care tinde la ∞ pentru n →∞. Atunci, din periodicitatea lui f , rezulta ca avem

f(yn) = f(0) =1

3 + cos π=

13− 1

=12

.

Deoarece cele doua limite nu sunt egale, functia f nu are limita la +∞.(De fapt, cu acelasi argument se arata ca o functie periodica R → R are limita la ∞ daca si numai daca este constanta.)

(c) Avem succesiv pentru orice x ∈ R:

−1 6 cos x 6 1 ,

3− 1 6 cos x 6 3 + 1 , si aplicand functia (0,∞) → (0,∞) strict data de x → 1x

,

12

>1

3 + cos x>

14

,


(d) Fie G o primitiva a lui f pe R. (F este ocupat la (a). . . )Atunci G este derivabila si G′(x) = f(x) > 1/2 > 0 pentru orice x ∈ R.Rezulta ca G este o functie strict crescatoare pe R.

(e) Prima solutie: (Ne opunem sa integram, dar luam ın calcul cunostinte de trigonometrie.)

35

Notam cu G functia G : [0, π) → R,

G(x) =1√2

arctg(

1√2

tgx

2

).

Exercitiul cere sa aratam ca pentru orice x ∈ [0, π) avem F (x) = G(x).O prima observatie importanta este faptul ca F (0) si G(0) sunt egale:

F (0) =∫ 0

0

f(x) dx = 0 ,

G(0) =1√2

arctg(

1√2

tg 0)

=1√2

arctg 0 =1√20 = 0 .

Ajunge de aceea sa demonstram ca derivatele celor doua functii F si G coincid ın fiecare x ∈ (0, π). Derivata lui F este f(pe ıntreg R).Calculam derivata lui G. Fie x ∈ (0, π). Atunci. . .

G′(x) =1√2· arctg′

(1√2

tgx

2

)·(

1√2

tgx

2

)′=

1√2·(

1 +12

tg2 x

2

)−1

· 1√2

tg′x

2·(x

2

)′=

12· 22 + tg2(x/2)

· 1cos2(x/2)

· 12

=12· 1

2 cos2(x/2) + sin2(x/2)cos2(x/2)

· 1cos2(x/2)

=12· 12 cos2(x/2) + sin2(x/2)

=1

4 cos2(x/2) + 2 sin2(x/2)

=1

3(sin2(x/2) + cos2(x/2))︸︷︷︸=3

+cos2(x/2)− sin2(x/2)︸︷︷︸=cos(2(x/2))

=1

3 + cos x,

ceea ce trebuia demonstrat. (Am folosit formula cos(2y) = Im (cosy + i sin y)2 = cos2 y − sin2 y cu y ınlocuit prin x/2.)

A doua solutie: (Integram pur si simplu.)Integrarea functiilor trigonometrice de x, care sunt fractii “rationale” de expresii polinomiale ın sinx, cos x, etc ın x sau 2xsau mai multi x, se efectueaza “algoritmic” prin substitutia formala

t ∈ R ↔ x

2∈(−π

2,π

2

),

t = tgx

2,

2 arctg t = x ,

2 dt

1 + t2= dx .

au loc de asemenea:

sinx =2t

1 + t2,

cos x =1− t2

1 + t2.

Avem atunci, ın cadrul unui calcul formal (pe care unii corectori din unele licee pedante ciupesc minimal din puncte) pentrufiecare x ∈ [0, π), interval pe care functia t(x) = tg(x/2) este definita, bijectiva, derivabila, cu derivata continua:

F (x) =∫ x

0

f(x) dx =∫ x

0

13 + cos x

dx si substituind. . .

=∫ tg(x/2)

tg(0/2)

1

3 +1− t2

1 + t2

2 dt

1 + t2=∫ tg(x/2)

0

13(1 + t2) + (1− t2)

1 + t2

2 dt

1 + t2

=∫ tg(x/2)

0

14 + 2t2

2 dt =∫ tg(x/2)

0

12 + t2

dt =[

1√2

arctgt√2

]t=tg(x/2)

t=0

=1√2

arctgtg(x/2)√

2,

ceea ce trebuia sa aratam.

(f) Fie x ∈ R, x 6= 0.Din teorema lui Lagrange aplicata functiei F , o functie derivabila, cu derivata f continua pe R, cu punctele de aplicare 0si x, rezulta cu exista un punct intermediar ξ (care depinde de x desigur) ın intervalul dintre 0 si x, cu proprietatea:

f(ξ) = F ′(ξ) =F (x)− F (0)

x− 0=

1x· F (x) =

1x

∫ x

0

f(x) dx .

36

Deoarece f(ξ) se afla ıintre 1/4 si 1/2 rezulta pentru orice x > 0 inegalitatea:

14

61x

F (x) 612

,

x

46 F (x) 6

x

2.

Deoarece x/4 si x/2 converg catre +∞ pentru x →∞, rezulta din lema (criteriul) clestelui

limx→∞

F (x) = ∞ .

(g) Daca graficul lui F ar avea o asimptota (oblica, horizontala fiind exclusa din (f),) la +∞, aceasta asimptota ar fi o

dreapta de forma y = mx + n, m,n ∈ R. Atunci m se calculeaza ca m = limx→∞

F (x)x

. In aceasta expresie, atat numaratorul

cat si numitorul sunt functii derivabile, cu derivata fiecareia continua, “converg” (tind) la +∞ pentr x →∞, iar regula luil’Hospital afirma ca exista ın acelasi timp limitele

limx→∞

F (x)x

si limx→∞

F ′(x)x′

= limx→∞

f(x)1

.

Dar ultima limita nu exista din (b). Deci F nu are asimptota la plus infinit. De fapt, mult se elucideaza, daca inseramgraficul lui f mai la infinit: Cod PARI:

f(x)=1/(3.+cos(x));F(x)=intnum(t=0,x,f(x));plot( x=0,100, F(x), 0,25 ); \\ x in [0, 100]=I, y intre 0 si 25plot( x=980,1000,F(x) ); \\ x in [980, 1000]=J, y intre min F si max F pe J

Ce rezulta este o bucata de arta ASCII:25 |’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’"’’_:’’:’::’’::’’::’’:x’’x’’’|

| : :: : :: :: :: _ |

| x :: : : : :: :: :" |

| : x: : :: :: :_ " |

| _ :: : :: :: :: x |

| : :: : :: :: x_ |

| :: " : : :: _: |

| " :: : :: :: " |

| : x : : :: "_ |

| _ :: : :: x: |

| : _ : : :: x |

| : : : :: "_ |

| " : :: x: |

| : " _: x |

| : : : _ |

| " x x: |

| " |

| _ x "_ |

| _ |

| x " |

| xxx |

0 _x,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

0 100

497.91901 |’’’’’’’’’xx’’’’’’’’’’’’’’’’’’xx’’’’’’’’’’’’’’’’’_"x’’’’’’’’’’’|

| x x " _ |

| x " " |

| " " x _ |

| x " |

| " " x _ _ |

| _ _ x |

| _ " x x |

| " x x _ _ |

| x x " x _ _ x

| _x x_ _" x_ _x x___x|

"" "" " |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

0 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

980 1000

Sper ca afacerea e clara, F “oscileaza” nehotarat ıntre dreptele y = x/4 si y = x/2. . .Prefer sa dau pozele ın format ASCII, (litere, semne si cifre,) pentru a mai salva din numarul de fisiere grafice ce se creazaabsurd pentru scopuri greu de definit.

37

Capitolul 3

Varianta 043

3.1 Subiectul I

Exercitiul 11 (a) Sa se calculeze sin(π/3).(b) Sa se calculeze produsul scalar al vectorilor −→u = 2

−→i − 3

−→j si −→v = 3

−→i +

−→j .

(c) Sa se determine a ∈ R stiind ca dreptele x− 2y + 1 = 0 si ax + 3y = 0 sunt paralele.(d) Sa se calculeze cos A daca laturile triunghiului ABC sunt:

AB = 5 , BC = 12 , CA = 13 .

(e) Sa se calculeze numarul de elemente ale multimii M2 ∪M4, daca

Mn =

z ∈ C∣∣∣ zn = 1

, ∀n ∈ N .

(f) Sa se determine un punct pe cercul x2 + y2 = 13 care are ambele coordinate numere ıntregi.

Solutie:

(a) sinπ

3=

√3

2.

(b) −→u · −→v = 2 · 3 + (−3) · 1 = 6− 3 = 3 .

(c) Prima solutie: Panta primei drepte este 1/2, panta celei de–a doua drepte este −a/3.Aceste lucruri se recunosc din rescrierile: y = 1

2x + 12 si respectiv y = −

a 3x.Cele doua drepte sunt paralele, daca pantele coincid (iar ın unele carti, tari, manuale, se cere ca dreptele sa nu coincida).Obtinem ecuatia ın necunoscuta a:

12

= −a

3.

Solutia acestei ecuatii este a = −32. (Intr–adevar, cele doua drepte sunt atunci x− 2y +1 = 0 si x− 2y = 0, ambele ecuatii

nu pot fi satisfacute ın acelasi timp, rezulta ca dreptele corespunzatoare nu se intersecteaza, deci sunt paralele.)

A doua solutie: Cele doua drepte sunt paralele, daca sistemulx− 2y + 1 = 0

ax + 3y = 0

nu are nici o solutie. Inlocuind y = −ax/3 din a doua ecuatie ıin prima ecuatie, aceasta devine:

x

(1 +

2a

3

)+ 1 = 0 .

Aceasta ecuatie nu are nici o solutie daca si numai daca coeficientul lui x este nul, deci daca si numai daca 1 + 2a/3 = 0,

deci daca si numai daca a este −32.

38

(d) Deoarece 52 +122 = 122 rezulta, din reciproca teoremei lui Pitagora, ca triunghiul dat este dreptunghic, unghiul dreptfiind opus laturii celei mai mari, care este CA = 13. Triunghiul date este

•A

•C

•B

13

5

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

cos A =|AB||AC|

=513

.

(e) Ecuatia z2 = 1 are doua solutii ın C, acestea sunt (verificare imediata) ±1.Ecuatia z4 = 1 are patru solutii ın C, acestea sunt (verificare imediata) ±1,±i.Rezulta:

M2 = −1,+1 | ,

M4 = −1,+1, −i,+i ,

M2 ∪M4 = M4 = −1,+1, −i,+i .

Aceasta multime are patru elemente, ceea ce s–a cerut.

(f) Punctul A(2, 3) se afla pe cercul dat si are coordonate ıntregi:

22 + 32 = 4 + 9 = 13 .

(De fapt, singurele puncte de coordonate ıntregi de pe acest cerc sunt (±2,±3), ın total patru puncte. Acest subiect estesimplu, numarul de ıncercari este redus, nici o coordonata nu poate fi > 4 de exemplu.)

3.2 Subiectul II

Exercitiul 12 (a) Sa se determine cate numere de trei cifre de forma a0b exista, unde a si b sunt cifre.(b) Sa se calculeze valoarea sumei 1 + 3 + 5 + · · ·+ 15 ın grupul (Z16,+).(c) Sa se determine numarul elementelor de ordinul patru ale grupului (Z8,+).(d) Sa se determine numarul functiilor injective f : 1, 2 → 1, 2, 3.(e) S3 se rezolve x3 = x ın inelul (Z8),+, ·).

Solutie: (a) (Presupunem ca numarul este scris ın baza zece.)Numarul (cifra) a poate lua doar valorile 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , ın total noua valori.Independent de o alegere a lui a numarul (cifra) b poate lua valorile 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , ın total zece valori.In total sunt deci 9 · 10 = 90 de numere de forma data scrise ın baza zece.Intr–o baza oarecare b > 2 exista cu acelasi rationament (b−1)b numere de forma data. (Scrieti neaparat astfel de precizari,daca simtiti ca problema este neclar sau incomplet pusa! Puncte ın plus. . . )

(b) Prima solutie: Avem foarte explicit:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = (1 + 15) + (3 + 13) + (5 + 11) + (7 + 9)

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0 .

A doua solutie: Calculam mai ıntai 1 + 3 + 5 + · · ·+ 15 ın Z si consideram apoi rezultatul modulo 16.Avem 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 8 + (0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14) = 8 + 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) =8 + 7 · 8 = 8(t + 1) = 8 · 8 = 16 · 4. Considerand acest rezultat modul 16 obtinem 0.

(c) Fie x un element de ordin 4 al grupului aditiv Z8. Echivalent are loc x + x + x + x = 0, dar nu au loc x = 0 saux + x = 0 (sau x + x + x = 0).Fie x reprezentantul lui x ıntre numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Echivalent cu [ x este un element de ordin 4 ] putem afirma:4x este divizibil cu 8, dar numerele x si 2x nu sunt divizibile cu 8.Echivalent: x este divizibil cu 2 dar nu este divizibil cu 4.Elementele de ordin patru ale grupului aditiv Z8 sunt deci:

2 , 6 .

39

(d) Fie f o functie 1, 2 → 1, 2, 3. Numarul acestor functii este 3 · 3, deci noua, deoarece avem 3 posibilitati sa–l“trimitem” pe 1 ın multimea de valori si independent de aceasta, avem 3 posibilitati sa–l “trimitem” pe 2 ın multimea devalori. Dintre aceste functii exact trei nu sunt injective, cele pentru care f(1) = f(2) = k ∈ 1, 2, 3.Exista deci exact

9− 3 = 6

functii injective f ca ın enunt.

Observatie: Cu cunostinte de combinatorica se stie ca numarul functiilor injective dintr–o multime cu k elemente ıntr–omultime cu n elemente, n > k, este numarul de aranjamente:

Akn =

n!(n− k)!

.

(Deci numarul de permutari ale unei multimi de n elemente, este Ann = n!/0! = n! .) ın cazul nostru, o a doua solutie este

identificarea numarului cautat cu

A23 =

3!(3− 2)!

=61

= 6 .

(e) Cel mai simplu ımi este sa fac un tabel al functiei x → x3. In calcule este util sa observam ca (−x)3 = −(x3), deci dacastim 33 = 27 = 3, atunci 53 = (−3)3 = −3 = 5. Analog 73 = (−13) = −1 = 7.

x 0 1 2 3 4 5 6 7x3 0 1 0 3 0 5 0 7

Soultie? DA DA nu DA nu DA nu DA

Multimea solutiilor este: 0, 1, 3, 5, 7

.

(%i22) for x: 0 thru 7 do if mod(x^3,8) = mod(x,8) then if mod(x^3,8) = mod(x,8) then print(x);

0

1

3

5

7

(%o22) done

Exercitiul 13 Se considera functia f : R → R, f(x) = arctg x.(a) Sa se calculeze lim

x→∞f(x) .

(b) Sa se calculeze f ′(x) pentru orice x ∈ R.(c) Sa se arate ca functia f este concava pe intervalul (0,∞).(d) Sa se determine numarul solutiilor ecuatiei f(x) = 2.(e) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinsa ıntre graficul functiei f , axa Ox si dreptele x = 0 si x = 1.

Solutie:

(a) Are loc limx→∞

arctg x =π

2.

Cod maxima: limit( atan(x), x, inf ); tex(%); .

(b) Pentru orice x ∈ R avem formula standard f ′(x) = (arctg x)′ =1

x2 + 1.

Cod maxima: diff( atan(x), x); tex(%); .

(c) Pentru orice x ∈ R calculam derivata a doua a functiei f ,

f ′′(x) =(

1x2 + 1

)′= − 1

(x2 + 1)2· (x2 + 1)′ = − 2x

(x2 + 1)2.

Pentru x > 0 avem atunci f ′′(x) < 0, deci f este o functie concava.(Numitorul din expresia de mai sus a lui f ′′(x) este > 1, deci > 0.)Cod maxima:

40

(%i10) diff(atan(x), x,2 );

2 x

(%o10) - ---------

2 2

(x + 1)

(d) Functia f este prin definitie inversa functiei bijective tg : ( −π/2 , π/2 ) → R.Deci f = arctg : R → ( −π/2 , π/2 ). Numarul 2 nu se afla ın domeniul de valori al lui f .(2 > π/2 deoarece 4 > π.)Ecuatia data nu are nici o solutie.

(e) Aria ceruta este, folosind interpretarea geometrica a integralei definite, data de∫ 1

0

f(x) dx =∫ 1

0

arctg x dx =∫ 1

0

x′ · arctg x dx si integrand prin parti

=[

x · arctg x]10−∫ 1

0

x · 1x2 + 1

dx = arctg 1−∫ 1

0

1x2 + 1

12

d(x2) =π

4− 1

2

[ln(x2 + 1)

]10

=π

4− 1

2(ln 2− ln 1) =

π

4− 1

2ln 2 .

Cod maxima:

(%i23) integrate( atan(x), x, 0, 1 );

2 log(2) - %pi

(%o23) - --------------

4

(%i24) %, numer;

(%o24) 0.43882457311748

(%i25) integrate( atan(x), x );

2

log(x + 1)

(%o25) x atan(x) - -----------

2

Valoarea numerica a integralei este deci 0.4388 . . . .O primitiva a lui f este explicit functia x arctg x− 1

2 ln(x2 + 1), vazuta ca functie de variabila x.

3.3 Subiectul III

Exercitiul 14 In inelul Z4[X] se considera submultimile

U =

f ∈ Z4[X]∣∣∣ ∃g ∈ Z4 astfel ıncat f · g = 1

si

N =

f ∈ Z4[X]∣∣∣ ∃n ∈ N∗ astfel ıncat fn = 0

.

(a) Sa se verifice ca 1 ∈ U , 3 ∈ U , 0 ∈ N , 2 ∈ N .(b) Sa se verifice ca 2X + 1 ∈ U si 2X + 2 ∈ N .(c) Sa se arate ca U ∩N = 0.(d) Sa se arate ca, daca u, v ∈ N , atunci u + v ∈ N .(e) Sa se arate ca, daca u ∈ U si n ∈ N , atunci u + n ∈ U .(f) Sa se arate ca, daca f ∈ U , atunci termenul liber al polinomului f este 1 sau 3.(g) Sa se arate ca, daca f ∈ N , atunci toti coeficientii polinomului f sunt ın multimea 0, 2 .(h) Sa se arate ca fiecare dintre multimile U si N contine cel putin 2007 de elemente.

Solutie: Terminologie: U este multimea unitatilor inelului dat si N este multimea elementelor nilpotente ale ineluluidat.(a) Din 1 · 1 = 1 rezulta 1 ∈ U .Din 3 · 3 = 9 = 1 rezulta 3 ∈ U .Din 01 = 0 rezulta 0 ∈ N .

41

Din 22 = 4 = 0 rezulta 2 ∈ N .

(b) Din (2X + 1) · (2X + 1) = 4X2 + 4X + 1 = 1 rezulta 2X + 1 ∈ U .Din (2X + 2)2 = 4X2 + 8X + 4 = 0 rezulta 2X + 2 ∈ N .

(c) Presupunem prin absurd ca exista un element f ∈ U ∩N .Din f ∈ U rezulta existenta unui g ın inelul dat cu fg = 1.Din f ∈ N rezulta existenta unui numar natural n > 1 cu fn = 0.De aici si din comutativitatea (ınmultirii) inelului dat deducem:

1 = 1n = (fg)n = fngn = 0 · gn = 0 . Contradictie!

Presupunerea facuta este falsa. Rezulta U ∩N = ∅.

(d) Fie u, v ∈ N . Atunci exista puteri naturale m,n > 1 cu proprietatea ca um = vn = 0.Aplicand formula binomiala ın inelul dat pentru puterea de ordin m + n a lui u + v,

(u + v)m+n =∑

06p,q6m+np+q=(m+n)

Cpm+n up vq ,

observam ca in aceasta suma, toti termenii se anuleaza, deoarece are loc fie p > m, fie q > n, deci are loc fie up = 0 fievq = 0.(In caz contrar, p < m si q < n, am avea anume p + q < m + n ın contradictie cu rularea sumei dupa indici p, q cup + q = (m + n).Deoarece toti termenii sumei se anuleaza, rezulta ca si (u + v)m+n = 0 ın inelul dat.

(e) Fie u ∈ U “unitate” si α ∈ N “element nilpotent”. (Refuz sa ocup litera n, ca ın enunt, cel putin din motive didactice.)Atunci exista v ∈ U cu u · v = 1 si exista un k > 1 natural cu αk = 0. Vrem sa aratam ca are loc apartenenta marcata cu(!)

u + α(!)∈ U .

Consideram mai ıntai elementul ajutator

v(u + α) = uv + αv = 1− β , unde definim β = −αv ∈ N .

(Elementul β = αv se afla ın N deoarece ridicat la puterea k livreaza βk = (−αv)k = ±αkvk = ±0 · vk = 0.)Observam acum, ca elementul 1 + β este o unitate:

(1− β)(

1 + β + β2 + · · ·+ βk−1)

︸︷︷︸Notatie: w

= 1k − βk = 1− 0 = 1 .

De aici:(u + α) · (vw) = (u + α)v · w = (1− β) · w = 1 ,

deci u + α ∈ U , ceea ce trebuia demonstrat.

(f) Fie f ∈ U . Fie g un polinom din inelul dat Z4[X] cu fg = 1. Scriind explicit

f = f0 + f1X + · · ·+ fnXn ,

g = g0 + g1X + · · ·+ gmXm ,

cu coeficienti f0, f1, . . . , fn si g0, g1, . . . , gm corespunzatori, obtinem:

fg = f0g0 + X · (. . . ) . Dar avem si. . .

fg = 1 + X · 0 .

Din unicitatea scrierii polinomului fg ın inelul de polinoame dat, rezulta f0g0 = 1, deci f0 nu poate fi 0 sau 2.(Multiplii lui 0 si 2 ın Z4 sunt printre 0, 2. Deci 1 nu se afla printre acesti multiplii.)Rezulta imediat ca coeficientul liber f0 al lui f poate fi doar 1 sau 3.

Observatie: Aceasta solutie poate fi prezentata mai structural prin cuvintele:Morfismul de inele Z4[X] → Z4, f → f(0), duce unitati (din domeniul de definitie) ın unitati (din domeniul de valori), iarunitatile lui Z4 sunt 1 si 3.

42

Nu recomand, totusi aceasta demonstratie ın “concurs”, fara a pune accentul pe faptul ca trebuie demonstrate urmatoarelefapte “evidente”:

f → f(0) e morfism de inele. (Proprietatea de universalitate a inelului de polinoame.) f(0) este coeficientul liber al lui f . Un morfism de inele aplica unitatile pe unitati Unitatile lui Z4 sunt 1 si 3.

Recomand, ınsa, ıntelegerea acestei “solutii scurte”, pentru ca ea se aplica ın multe probleme asemanatoare. (In general,unitatile lui Zn sunt numerele de forma x, unde x este prim cu n. Incercati ın acest sens sa studiati problema asemanatoareınlocuind Z4 cu Z8 sau Z12.)(g) Presupunem prin absurd ca afirmatia din enunt este falsa.Atunci exista un f ın N care are cel putin un coeficient 6∈ 0, 2 .Scriem mai ıntai

f = f1,3 + f2 ,

unde f2 este un polinom cu toti coeficientii egali cu 2, iat f1,3 este un polinom cu toti coeficientii egali cu 1 sau 3. (Scriereaaceasta exista si este unica.)Atunci f2 = 2 · g1 pentru un polinom g1 corespunzator. (Toti coeficientii lui g1 sunt egali cu 1.)Observam ca ±f2 este niloptent, f2 ∈ N , deoarece puterea a doua a lui f2 este 4 · g2

1 = 0 · g21 = 0.

Din (d) rezulta ca f − f2 = f1,3 este de asemenea un polinom nilpotent, care are cel putin un coeficient 6∈ 0, 2 .Vom obtine imediat o contradictie focusandu–ne interesul pe coeficientul principal (sau pe cel minimal ce nu se anuleaza) allui f1,3.Coeficientul principal al unei puteri a lui f1,3 este o putere a coeficientului principal al lui f1,3, adica a lui 1 sau 3 = −1.Acesta nu se anuleaza, deoarece puterile lui ±1 sunt tot de forma ±1.Deci puterile lui f1,3 nu se pot anula (nici una dintre ele).Deci f1,3 nu este nilpotent, i.e. f1,3 6∈ N . Contradictie.Presupunerea facuta este falsa. Rezulta afirmatia din enunt.

(h) Multimea N contine o infinitate de elemente, de exemplu elementele de forma 2Xn, n > 1, se afla ın N . (Puterea adoua a lui 2Xn este 4Xn = 0Xn = 0.)Multimea U contine o infinitate de elemente, de exemplu elementele de forma 1 + 2Xn, n > 1, se afla ın U . (Aceasta areloc deoarece 1 ∈ U , (a), si 2Xn ∈ N , cum tocmai am stabilit, si aplicam (e).)

3.4 Subiectul IV

Exercitiul 15 Se considera sirurile (an)n∈N∗ si (an)n∈N∗ ,

an =1

21!+

122!

+ · · ·+ 12n!

, bn = an +1

n · 2n!, ∀n ∈ N∗ .

(a) Sa se verifice ca sirul (an)n∈N∗ este strict crescator.(b) Sa se arate ca sirul (bn)n∈N∗ este strict descrescator.(c) Sa se arate ca sirurile (an)n∈N∗ si (bn)n∈N∗ sunt marginite.(d) Sa se arate ca sirurile (an)n∈N∗ si (bn)n∈N∗ sunt convergente si au aceeasi limita.(e) Notam cu a limita sirului (an)n∈N∗ . Sa se arate ca a este irational.

(f) Sa se arate ca limn→∞

n2007

2n!= 0.

(g) Sa se arate ca nu exista polinoame nenule f, g ∈ R[X], cu proprietatea ca an =f(n)g(n)

, ∀n ∈ N∗ .

Solutie:(a) Deoarece an+1 − an = 1/2(n+1)! > 0, n > 1, rezulta an+1 > an, deci sirul (an)n>1 este strict crescator.

43

(b) Calculam diferenta bn+1 − bn, n > 1, obtinand. . .

bn+1 − bn = (an+1 − an) +1

(n + 1) · 2(n+1)!− 1

n · 2n!

=1

2(n+1)!+

1(n + 1) · 2(n+1)!

− 1n · 2n!

<1

2(n+1)!+

12(n+1)!

− 1n · 2n!

= 2−(n+1)! · 2− 1n

2−n! =1n

2−(n+1)!(

2n− 2(n+1)!−n!)

.

Pentru n = 1 paranteza rotunda se evalueaza la 2− 21 = 0.Pentru n > 2 avem majorarea bruta (n+1)!−n! = n!((n+1)−1) = n! ·n > 2n si apoi 22n = (1+1)2n = 1+2n+ · · · > 2n.Paranteza rotunda de mai sus este deci 6 0.Rezulta bn+1 − bn < 0, deci sirul (bn)n>1 este strict descrescator.

(c) Ambele siruri sunt siruri de numere pozitive, deci marginite inferior de zero.Marginea superioara:Din minorarea n 6 n! pentru n > 1 rezulta majorarea 1/2n > 1/2n!. De aci putem majora:

an 6121

+122

+ . . . |+ 12n

=12· 1− 2−n

1− 2−1

612· 11− 2−1

= 1 ,

bn 6 an + 1 6 1 + 1 6 2 .

Deci ambele siruri sunt marginite superior.

(d) Deoarece ambele siruri ın discutie sunt monotone si marginite ele sunt convergente. Diferenta limitelor este

limn→∞

bn − limn→∞

an = limn→∞

(bn − an) = limn→∞

1n · 2n!

= 0 ,

(deoarece 0 6 1/(n · 2n!) 6 1/n si sirurile (0) si (1/n) converg la zero, apoi aplicand criteriul clestelui) deci limitele suntegale.

(e) Scrierea ın baza doi a numarului a este:

0.1100010000000000000000010000 . . . 0000100000 . . .(2)

unde cifra 1 se afla pe pozitiile 1!, 2!, 3!, . . . , n!, . . . .Este evident ca aceasta scriere nu este periodica. (Daca ar fi periodica de perioada N , atunci, deoarece ıntre pozitiile (2N)!si (2N + 1)! se afla cel putin N zerouri, ar ınsemna ca perioada este formata din N zerouri. Dar asta ar ınsemna ca de laun index nu mai apare cifra 1. Contradictie!)Deoarece reprezentarea ın baza doi al lui a nu este periodica, a nu este numar rational.

(f) Realizam cateva majorari grosiere mai ıntai. Fara sa ne deranjeze ın caluclul limitei presupunem n > 2007 de acumıncolo.Deoarece 2n! = (1 + 1)n! = 1 + n! + . . . > n! (aplicand formula binomiala, ın care intervin doar termeni pozitivi, cel putinn > 2,) rezulta ca avem:

0 6n2007

2n!6

n2007

n!=: dn .

Sirul dn satisface, pentru n > 2007:

dn+1

dn=

(n + 1)2007

n2007· n!(n + 1)!

=(

1 +1n

)2007

· 1n + 1

6

(1 +

1n

)n

· 1n + 1

6 e · 1n + 1

61002008

6100200

612

.

De aici rezulta

0 6 d2007+n 6 d2007 ·(

12

)n

.

44

Trecand la limita cu n →∞ rezulta din 0 → 0 si 2−n → 0 cu criteriul clestelui d2007+n → 0, deci dn → 0.

(g) Presupunem prin absurd ca exista doua polinoame f, g cu proprietatea din enunt. Atunci avem pentru orice numarnatural n > 1:

12(n+1)!

= an+1 − an =f(n + 1)

g(n + 1)− f(n)g(n)

=f(n + 1)g(n)− f(n)g(n + 1)

g(n)g(n + 1)=

P (n)Q(n)

pentru doua polinoame convenabile cu coeficienti reali. (Explicit putem lua P (X) = f(X + 1)g(X)− f(X)g(X + 1) siQ(X) = g(X)g(X + 1).)Fie atunci k ∈ Z diferenta dintre gradul polinomului Q si gradul polinomului P . De aici rezulta

2(n+1)!

nk+1=

Q(n)nk+1 · P (n)

, pentru orice n > 1 .

In partea dreapta se afla o expresie rationala de polinoame ın n, ın care numitorul are grad strict mai mare decat numaratorul.Deci expresia din partea dreapta converge la 0 pentru n →∞.Cu un rationament asemanator celui de la (f) se demonstreaza ca partea stanga a egalitatii de mai sus converge la ∞.Contradictie.Presupunerea facuta este falsa. Rezulta afirmatia din enunt.

45

Capitolul 4

Varianta 044

4.1 Subiectul I

Exercitiul 16 (a) Sa se calculeze 2 sinπ

4cos

π

4.

(b) Sa se calculeze modulul vectorului −→v = 6−→i + 8

−→j .

(c) Sa se calculeze partea reala a numarului complex z = (1 + i)2 − (1− i)2 .(d) Sa se calculeze aria triunghiului cu varfurile ın punctele

A(−2, 0) , B(0, 5) , C(−2, 5) .

(e) Sa se calculeze cosinusul unghiului determinat de planele

x + y + z − 1 = 0 si z = 0 .

(f) Sa se calculeze distanta dintre dreptele x + 2y − 1 = 0 si 2x + 4y = 3.

Solutie:

(a) 2 sinπ

4cos

π

4= 2 ·

√2

2·√

22

=44

= 1.

Solutie alternativa: Aplicand formula 2 sinx cos x = sin(2x) rezulta 2 sinπ

4cos

π

4= sin

(2 · π

4

)= sin

π

2= 1.

(b) |−→v | =√

62 + 82 =√

36 + 64 =√

100 = 10 .

(c) Calculam explicit:

z = (1 + i)2 − (1− i)2 = (1 + 2i + i2)− (1− 2i + i2) = 4i = 0 + 4i .

Partea reala a lui z este deci egala cu zero.Generalizare: Pentru orice numar natural (sau ıntreg) n avem ca partea reala a lui zn := (1 + i)n − (1− i)n este zero. Defapt,

zn = (1 + i)n − (1− i)n = (1 + i)n − (1− i)n = (1 + i)n− (1− i)

n(1− i)n − (1 + i)n

= −zn .

Partea reala a lui zn este deci (zn + zn)/2 = 0.

(d) Triunghiul dat este evident un triunghi dreptunghic (cu unghiul drept ın c) si cu laturile perpendiculare de lungimi 2 si5. Aria acestui triunghi este

122 · 5 = 5 .

Observatie: Acest rezultat este ın conformitate cu calculul ariei prin formula (ariei cu semn):

12

∣∣∣∣∣∣1 −2 01 0 51 −2 5

∣∣∣∣∣∣ = 12

∣∣∣∣∣∣1 −2 01 0 50 0 5

∣∣∣∣∣∣ = 12· 5∣∣∣∣1 −21 0

∣∣∣∣ = 5 .

46

(e) Normalele la cele doua plane sunt (scrtise ca vectori coloana)

−→n 1 =

111

si

001

.

Unghiul α dintre cele doua plane este egal cu unghiul dintre cele doua normale la cele doua plane, deci cosinusul acestuiunghi satisface

cos α =−→n 1 · −→n 2

|−→n 1| · |−→n 2|=

1 · 0 + 1 · 0 + 1 · 1√12 + 12 + 12 ·

√02 + 02 + 12

=1√3

=√

33

.

(f) Cele doua drepte sunt paralele, deoarece ambele au panta

m = −1/2 .

Consideram dreapta prin origine care este perpendiculara pe dreptele date. Aceasta are panta m′ = −1/m = 2, deci areecuatia y = 2x. Aceasta perpendiculara taie cele doua drepte ın cele doua puncte ce corespund solutiilor sistemelor:

x + 2y = 1y = 2x

si

2x + 4y = 3y = 2x

care, dupa substitutia lui x cu valoarea 2y din a doua ecuatie ın prima, se calculeaza imediat a fi:

( 1/3, 2/3 ) si ( 1/2, 1 ) .

Distanta dintre cele doua drepte paralele date este (din considerente geometrice si prin definitie) egala cu distanta dintrecele doua puncte de mai sus, deci√ (

12− 1

3

)2

+(

1− 23

)2

=

√162

+132

=

√1 + 462

=√

56

.

4.2 Subiectul II

Exercitiul 17 (a) Daca f : R → R, f(x) = xx+1 , sa se calculeze f(1) · f(2) · · · · · f(10) .

(b) Cate numere de forma abc exista cu a, b, c ∈ 1, 2 ?(c) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia

24x − 3 · 22x − 4 = 0 .

(d) Sa se rezolve ın multimea Z4 ecuatia x4 = x .

(e) Sa se determine probabilitatea ca un element al multimii 1, 2, 3, 4 sa fie solutie a inecuatiei log2 n >n− 1

2.

Solutie: (a) Avem mult prea explicit:

f(1) · f(2) · · · · · f(10) =12· 23· 34· 45· 56· 67· 78· 89· 910· 1011

=111

.

(b) Deoarece a are doua posibilitati,independent de care b are doua posibilitati,independent de care c are doua posibilitati,rezulta ca sunt ın total

2 · 2 · 2 = 8

posibilitati de alegere ale numarului abc ın conditiile descrise ın enunt.Explicit, acestea sunt (livrate de cod maxima):

47

(%i39)

for a:1 thru 2 do

for b:1 thru 2 do

for c:1 thru 2 do

print(a,b,c);

1 1 1

1 1 2

1 2 1

1 2 2

2 1 1

2 1 2

2 2 1

2 2 2

(%o39) done

(c) Substituim y = 22x si botinem din ecuatia data ın x o ecuatie ın y, pe care o rezolvam (ın multimea (0,∞)):

y2 − 3y − 4 = 0 .

Discriminantul acestei ecuatii este ∆ = 32 − 4 · 1 · (−4)2 = 9 + 16 = 25, deci radacinile ei sunt

12( 3±

√∆ ) =

12(3± 5) ,

deci 4 si −1. (Verificare prin relatiile lui Vieta: 4 · −1 = −4 este coeficientul liber, 4 + (−1) = 3 este opus coeficientuluilui y. Acestea deoarece coeficientul principal este unu!)Valoarea −1 este exclusa ca valoare pentru 22x > 0, deci ecuatia data este echivalenta cu

22x = 4 = 22 .

Solutia este unica, si anume x = 1 . (Deoarece functia x → 22x este strict crescatoare, deci injectiva, si 1 verifica ecuatia.)(Alternativ, putem aplica log2, pentru a obtine ecutia echivalenta 2x = 2, deci x = 1.)

(d) Cel mai simplu ımi este sa fac un tabel al functiei x → x4. Observam ca (−x)4 = −(x4), deci 34 = (−1)4 = 1.

x 0 1 2 3x4 0 1 0 1

Soultie? DA DA nu nu

Multimea solutiilor este: 0, 1 .

(e) Inecuatia data este echivalenta cu n > 2(n−1)/2, dupa aplicarea functiei (strict) crescatoare x → 2x, si verificam ın parte:1 > 2(1−1)/2, inegalitate adevarata, deoarece 1 > 1,

2 > 2(2−1)/2, inegalitate adevarata, deoarece 2 >√

2, deoarece 22 = 4 > 2 =√

22.

3 > 2(3−1)/2, inegalitate adevarata, deoarece 3 > 2,4 > 2(4−1)/2, inegalitate adevarata, deoarece 4 > 2

√2.

Probabilitatea cautata este deci 1 .

(%i50)

for n:1 thru 4 do

print(n, float(log(n)/log(2)), float((n-1)/2) );

1 0.0 0.0

2 1.0 0.5

3 1.584962500721156 1.0

4 2.0 1.5

(%o50) done

Exercitiul 18 se considera functia f : R → R, f(x) =1

x2 + 4.

(a) Sa se determine ecuatia asimptotei orizontale a functiei f la +∞ .(b) Sa se calculeze derivata f ′(x) pentru orice x ∈ R .

48

(c) Sa se arate ca f(x) > 0, 25, ∀x ∈ R.


f(x)− f(1)x− 1

.

(e) Sa se calculeze

∫ 2

0

f(t); dt .

Solutie: (a) Deoarece limx→∞

f(x) = limx→∞

1x4 + 1

= 0, axa Ox, de ecuatie y = 0 , este asimptota orizontala a graficului

lui f la +∞.

(b)

f ′(x) = − 1(x2 + 4)2

· (x2 + 4)′ = − 2x

(x2 + 4).

Cod maxima:

(%i59) diff( 1/(x^2+4), x );

2 x

(%o59) - ---------

2 2

(x + 4)

tex(%);

$$-2\,x\over\left(x^2+4\right)^2$$

(%o60) false

Linia tex(%); am plasat–o pentru cei ce vor sa preia rezultatul pentru a–l publica cu TEX si LATEX. (Nu numai profesori sitiparitori de carti, ci si studenti ce–si scriu referate si elevi ce vor sa documenteze cateva lucruri ın mod “frumos”.)

(c) Deoarece x2 > 0 pentru orice x ∈ R, rezulta x2 + 4 > 4 > 0, deci

f(x) =1

x2 + 46

14

= 0, 25 .

(d) Deoarece functia data este derivabila ın 1, avem prin definitia derivatei si calculul ei de la (b):

limx→1

f(x)− f(1)x− 1

= f ′(1) = − 2(1 + 4)2

= − 225

.

(%i74) ff(x):= -2*x/(x^2+4)^2$

(%i75) box( ff(1) );

""""""

" 2 "

(%o75) "- --"

" 25"

""""""

box( ff(1) );

(e) Deoarece integrala se calculeaza direct printr–o formula standard,

∫dx

x2 + a2=

1a

arctgx

a, ajunge sa pun computerul

la tiparit:

(%i78) integrate( 1/(x^2+4), x);

x

atan(-)

2

(%o78) -------

2

(%i79) box( integrate( 1/(x^2+4), x, 0, 2) );

"""""

"%pi"

(%o79) "---"

" 8 "

"""""

4.3 Subiectul III

49

Exercitiul 19 Se considera matricile

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

, E =

0 1 00 0 11 0 0

, M(a, b, c) =

a b cc a bb c a

, a, b, c ∈ R ,

si multimea M =

M(a, b, c) |Big| a, b, c ∈ R

.

(a) Sa se verifice ca E ∈ M, E2 ∈ M, E3 ∈ M.(b) Sa se arate ca E este inversabila si sa se calculeze inversa sa.(c) Sa se arate ca M(a, b, c) = aI3 + bE + cE2, ∀a, b, c ∈ R.(d) Sa se arate ca det M(a, b, c) = a3 + b3 + c3 − 3abc pentru toti a, b, c ∈ R.(e) Sa se arate ca, daca a + b + c > 0, atunci det M(a, b, c) > 0 .(f) Sa se arate ca, daca X ∈ M3(R) si X · E = E ·X, atunci X ∈ M.(g) Utilizand metoda inductiei matematice sa se arate ca

(M(a, b, c))n = M(an, bn, cn) si

(an + bn + cn) = (a + b + c)n , ∀n ∈ N∗ , ∀a, b, c ∈ R .

(h) Sa se rezolve ecuatia X2007 = E ın multimea M3(Z).

Solutie: (a) Un calcul brut arata ca avem:

E =

0 1 00 0 11 0 0

= M(0, 1, 0) ∈ M ,

E2 =

0 0 11 0 00 1 0

= M(0, 0, 1) ∈ M ,

E3 =

1 0 00 1 00 0 1

= I3 = M(1, 0, 0, 1) ∈ M .

(b) Din (a) rezulta ca E2 este inversa lui E, deoarece avem E ·E2 = E2 ·E = E3 = I3, matricea unitate din inelul M3(R).

(c) Fie a, b, c ∈ R. Atunci are loc:

aI3 + bE + cE2 = a

1 0 00 1 00 0 1

+ b

0 1 00 0 11 0 0

+ c

0 0 11 0 00 1 0

=

a 0 00 a 00 0 a

+

0 b 00 0 bb 0 0

+

0 0 cc 0 00 c 0

=

a b cc a bb c a

= M(a, b, c) .

(d) Folosind regula de calcul a determinantilor matricilor 3× 3, rezulta

det M(a, b, c) = a · a · a + b · b · b + c · c · c− a · b · c− a · b · c− a · b · c= a3 + b3 + c3 − 3abc .

(e) Avem descompunerea:

a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca) .

(Aceasta descompunere este “cunoscuta”, ea se verifica pur si simplu prin evaluarea bruta a membrului drept.) Cod maxima:

(%i81) factor( a^3+b^3+c^3-3*a*b*c );

2 2 2

(%o81) (c + b + a) (c - b c - a c + b - a b + a )

50

Observam mai departe inegalitatea “clasica”

2(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca) = (a2 − 2ab + b2) + (b2 − 2bc + c2) + (c2 − 2ca + a2)

= (a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2

> 0 .

Rezulta ca, ın conditiile din enunt, avem ca det M(a, b, c) > 0, deoarece det M(a, b, c) se scrie ca produsul celor doi factori> 0 care sunt (a + b + c) si (a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca).

(f) Presupunem ca X ∈ M3(R) cu coordinatele (xij) satisface XE = EX. Un calcul matricial brut arata ca diferenta este,ca si ın cazul subiectului III din varianta 042:

(%i82) E: matrix( [0,1,0], [0,0,1], [1,0,0] )$

(%i83) X: genmatrix( x, 3, 3 )$

(%i84) E.X-X.E;

[ x - x x - x x - x ]

[ 2, 1 1, 3 2, 2 1, 1 2, 3 1, 2 ]

[ ]

(%o84) [ x - x x - x x - x ]

[ 3, 1 2, 3 3, 2 2, 1 3, 3 2, 2 ]

[ ]

[ x - x x - x x - x ]

[ 1, 1 3, 3 1, 2 3, 1 1, 3 3, 2 ]

Deci egalitatea XE = EX implicax11 = x22 = x33, valoare comuna pe care o notam cu a, six12 = x23 = x31, valoare comuna pe care o notam cu b, six13 = x21 = x32, valoare comuna pe care o notam cu c.

Rezulta X = M(a, b, c) ∈ M .

(g) Observam mai ıntai, ca multimea M a matricilor de forma M(a, b, c) cu a, b, c ∈ R formeaza un subinel al ineluluiM3(R).Pentru aceasta avem de aratat ca M este parte stabila pentru adunare, scadere si ınmultire de matrici.Lucrul acesta este evident, deoarece pentru orice a, b, c ∈ R si a′, b′, c′ ∈ R, notand simplu I = I3,

M(a, b, c) + M(a′, b′, c′) = (aI + bE + cE2) + (a′I + b′E + c′E2) = (a + a′)I + (b + b′)E + (c + c′)E2

= M(a + a′, b + b′, c + c′) ,

M(a, b, c)−M(a′, b′, c′) = (aI + bE + cE2)− (a′I + b′E + c′E2) = (a− a′)I + (b− b′)E + (c− c′)E2

= M(a− a′, b− b′, c− c′) ,

M(a, b, c) ·M(a′, b′, c′) = (aI + bE + cE2) · (a′I + b′E + c′E2)

= aa′I + (ab′ + ba′)E + (ac′ + bb′ + ca′)E2 + (bc′ + cb′)E3 + cc′E4

= aa′I + (ab′ + ba′)E + (ac′ + bb′ + ca′)E2 + (bc′ + cb′)I + cc′E

= M( aa′ + bc′ + cb′ , ab′ + ba′ + cc′ , ac′ + bb′ + ca′ ) .

De aceea, puterea de ordinul n a unei matrici M(a, b, c) ∈ M este tot ın M, deci exista numerele reale an, bn, cn, si anumeunic determinate de a, b, c;n, astfel ıncat

M(a, b, c)n = M(an, bn, cn) .

Fixam a, b, c ∈ R.Demonstram prin inductie dupa n propozitia P (n), n > 1, urmatoare:

P (n) : [ Are loc egalitatea: (an + bn + cn) = (a + b + c)n .]

Startul inductiei: Pentru n = 1 avem evident M(a1, b1, c1) = M(a, b, c)1 = M(a, b, c), deci a1 = a si b1 = b si c1 = c, deune rezulta:

(a1 + b1 + c1) = (a + b + c)1 .

Deci propozitia P (1) este adevarata.Pasul inductiv: Fie n > 1 fixat. Presupunem ca propozitia P (n) este adevarata. Atunci avem:

M(an+1, bn+1, cn+1) = M(a, b, c) ·M(an, bn, cn)= M( aan + bcn + cbn , abn + ban + ccn , acn + bbn + can ) .

51

Din unicitatea scrierii unei matrici din M ın forma M(·, ·, ·) rezulta

an+1 = aan + bcn + cbn ,

bn+1 = abn + ban + ccn ,

cn+1 = acn + bbn + can ,

an+1 + bn+1 + cn+1 = (aan + bcn + cbn) + (abn + ban + ccn) + (acn + bbn + can)= (a + b + c)(an + bn + cn)= (a + b + c)(a + b + c)n , folosind ipoteza de inductie, i.e. validitatea lui P (n),

= (a + b + c)n+1 .

Deci propozitia P (n+1) este adevarata. Aceasta ıncheie realizarea pasului inductiv, adica demonstrarea implicatiei P (n) ⇒P (n + 1) pentru toti n > 1 naturali.In virtutea principiului inductiei matematice, afirmatia din enunt a fost demonstrata.

(h) Demonstram ca nu exista solutii ale ecuatiei date.Reducere la absurd: Presupunem ce exista X o solutie a ecuatiei date.Deoarece X2007 = E,

1 = det E = det(X2007) = (det X)2007 ,

rezulta ca X are determinatul egal cu unu.Reamintim ca X este o matrice 3×3 cu elementele intregi. Matricile (inversabile) cu elemente ıntregi sunt infinite la numar.Ar fi poate bine sa obtinem contradictia ıntr–un cadru “finit”.Pentru aceasta, reducem intrarile matricii X de la Z la Z2, corpul cu doua elemente. Obtinem o matrice X cu intrari 0 sau1.Atunci X ∈ M3(Z2) este de asemenea o matrice inversabila, (de determinat 1, ce altceva?). Notam cu

G = GL3(Z2)

(notatie internationala, GL sta poate pentru grup liniar) grupul multiplicativ al matricilor inversabile 3× 3 cu intrari ın Z2.Atunci X ∈ G. Cate elemente are G ?Fie Y un element “generic”, considerat la ınceput ca o matrice “goala”.Prima coloana a lui Y putem sa o umplem ın

23 − 1

moduri, dintre cele 23 posibilitati de plasare de 0, 1 in cele trei intrari ale coloanei trebuie sa excludem una, coloana cu 0, 0, 0,altfel Y pierde sansa de a mai avea determinant nenul.Fixam o umplere Y1 = yi116i63 a primei coloane, astfel ıncat asiguram deja ca rangul lui Y este (va fi) > 1.A doua coloana a lui Y putem sa o umplem ın

23 − 21

moduri, dintre cele 23 posibilitati de plasare de 0, 1 in cele trei intrari ale coloanei trebuie sa excludem doua, coloana cu0, 0, 0, si coloana egala cu prima coloana deja umpluta, altfel Y pierde sansa de a mai avea determinant nenul.Fixam o umplere Y2 = yi216i63 a celei de–a doua coloane, astfel ıncat asiguram deja ca rangul lui Y este (va fi) > 2.A treia coloana a lui Y putem sa o umplem ın

23 − 22

moduri, dintre cele 23 posibilitati de plasare de 0, 1 in cele trei intrari ale coloanei trebuie sa excludem patru, cele de formaa1Y1 + a2Y2, a1, a2 ∈ Z2, altfel Y pierde sansa de a mai avea determinant nenul.Fixam o umplere Y2 = yi216i63 a celei de–a doua coloane, astfel ıncat asiguram deja ca rangul lui Y este (va fi) > 3.Asiguram, deci, ca procedura noastra de “umplere” conduce la o matrice inversabila.Rezulta ca avem ın total

|G| = (23 − 1)(23 − 21)(23 − 22) = 7 · 6 · 4

elemente ın G.Dar Z = X2007/3 este un element din G cu proprietatile:

Z3 = E 6= I ,

Z9 = E3 = I ,

deci este un element de ordin9

52

ın G. Obtinem o contradictie cu teorema lui Lagrange, care afirma ca ordinul oricarui element ıntr–un grup divide ordinulgrupului, dar ın cazul de fata

9 nu divide 7 · 6 · 4 = |G| .

Presupunerea facuta este falsa, deci ecutia data nu are nici o solutie ın M3(Z) (si nici macar ın M3(Z2)).

4.4 Subiectul IV

Exercitiul 20 Se considera integrala In(x) =∫ x

0

tn

1 + tdt unde x ∈ [0, 1] si n ∈ N .

(a) Sa se calculeze I0(x) =∫ x

0

11 + t

dt .

(b) Sa se arate ca 0 6tn

1 + t6 tn, ∀t ∈ [0, 1].

(c) Sa se arate ca 0 6 In(x) 61

n + 1, ∀x ∈ [0, 1], ∀n ∈ N.

(d) Sa se arate ca limn→∞

In(x) = 0 (pentru orice x ∈ [0, 1]).

(e) Sa se arate ca In(x) + In−1(x) =xn

n, ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ [0, 1].

(f) Sa se arate ca In(x) =xn

n− xn−1

n− 1+

xn−2

n− 2− · · ·+ (−1)n−1 x

1+ (−1)nI0(x), ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ [0, 1] .

(g) Sa se arate ca ln(1 + x) = limn→∞

(x− x2

2+

x3

3− · · ·+ (−1)n−1 xn

n

), ∀x ∈ [0, 1] .

Solutie: (a) I0(x) =∫ x

0

11 + t

dt =[

ln(1 + t)]x0

= ln(1 + x)− ln(1 + 0) = ln(1 + x) .

(b) Fie t ∈ [0, 1]. Atunci avem:

1 6 1 + t 6 2 . Aceasta implica aplicand x → 1/x, functie descrescatoare pe (0,∞):11

>1

1 + t>

12

. Aceasta implica ınmultind cu tn > 0:

tn

1>

tn

1 + t>

tn

2> 0 .

Din ultima relatie rezulta ceea ce trebuia demonstrat.

(c) Fixam x ∈ [0, 1]. Deoarece pentru t ∈ [0, x] avem si t ∈ [0, 1], din dubla inegalitate de la (b) si monotonia (saupozitivitatea) integralei rezulta succesiv: ∫ x

0

0 dt 6∫ x

0

tn

1 + tdt 6

∫ x

0

tn dt ,

0 6 In(x) 61

n + 1.

(d) Fixam x ∈ [0, 1]. Deoarece sirurile cu termenul general de ordin n egali cu 0 si respectiv1

n + 1converg la zero pentru

n →∞, din criteriul clestelui aplicat pe inegalitatea dubla de la (c) rezulta si limn→∞

In(x) = 0.

(e) Fie x ∈ [0, 1] fixat. Fie n > 1 numar natural. Atunci:

In(x) + In−1(x) =∫ x

0

tn

1 + tdt +

∫ x

0

tn−1

1 + tdt =

∫ x

0

tn + tn−1

1 + tdt =

∫ x

0

tn−1(1 + t)1 + t

dt

=∫ x

0

tn−1 dt =[ tn

n

]x0

=xn

n.

53

(f) Din (e) rezulta

xn

n− xn−1

n− 1+

xn−2

n− 2− · · ·+ (−1)n−1 x

1

=∑

16k6n

(−1)n−k xk

k

(e)==

∑16k6n

(−1)n−k( Ik(x) + Ik−1(x) )

= (In(x) + In−1(x))− (In−1(x) + In−2(x)) + (In−2(x) + In−3(x))− . . . + (−1)n−1(I1(x) + I0(x))

= In(x) + (−1)n−1I0(x) .

Aruncandu–ne privirea la explesia de plecare si la cea obtinuta final, dupa ce “mutam termenul (−1)n−1I0(x) cu semnschimbat pe cealalta parte” (adica scadem acest termen din ambii membrii) obtinem relatia ceruta.

(g) Fie x ∈ [0, 1] fixat. Fie n ∈ N∗.

Diferenta dintre constanta In(x) si expresia

(x− x2

2+

x3

3− · · ·+ (−1)n−1 xn

n

)de sub limita din enunt este egala cu

In(x), din (f), iar sirul (In(x))n>1 converge la zero, din (d).

Rezulta existenta limitei limn→∞

(x− x2

2+

x3

3− · · ·+ (−1)n−1 xn

n

)si faptul ca valoarea limitei este egala cu ln(1 + x).

De fapt, acest rezultat este un rezultat standard ın analiza matematica. O relatie de forma cele de la (g) se numestedezvoltare ın serie Taylor si este un obiect ubicuu ın “calculus”. De exemplu. . .

(%i13) taylor( log(1+x), x , 0, 10 );

2 3 4 5 6 7 8 9 10

x x x x x x x x x

(%o13)/T/ x - -- + -- - -- + -- - -- + -- - -- + -- - --- + . . .

2 3 4 5 6 7 8 9 10

(Seria Taylor a functiei ln(1 + x) considerata ca functi de x (si nu de y, de exemplu), ın jurul lui x = 0 de ordin 10(puterile superioare se neglijeaza).

54

Capitolul 5

Varianta 045

5.1 Subiectul I

Exercitiul 21 (a) Sa se calculeze modulul vectorului −→v =−→i +

−→j .

(b) Sa se calculeze distanta de la punctul D(4, 3, 2) la planul x + y + z + 10 = 0.(c) Sa se determine ecuatia tangentei la elipsa x2 + 4y2 = 40 dusa prin punctul P (2,−3).(d) Sa se arate ca triunghiul cu varfurile ın punctele A(3, 0), B(0, 4) si C(3, 4) este dreptunghic.(e) Sa se calculeze aria triunghiului cu varfurile ın punctele A(3, 0), B(0, 4) si C(3, 4) .

(f) Sa se determine a ∈ R, astfel ıncat vectorul −→v =−→i + 2

−→j sa fie perpendicular pe vectorul −→w = a

−→i +

−→j .

Solutie:

(a) |−→v | =√

12 + 12 =√

2 .

(b) Distanta de la punctul A(x0, y0, z0) la planul de ecuatie l(x, y, z) = 0 cu l(x, y, z) = ax + by + cz + d este dat de:

| l(x0, y0, z0) |√a2 + b2 + c2

.

Aplicand aceasta formula rezulta ca distanta cautata este:

| 4 + 3 + 2 + 10‖√12 + 12 + 12

=19√

3=

19√

33

.

(c) Prima solutie: Local ın jurul punctului P (2,−3), elipsa are ecuatia

y = −12(40− x2)1/2 .

Derivata functiei f : (−√

40,√

40) → R, f(x) = − 12 (40 − x2)1/2 este egala cu f ′(x) = − 1

4 (40 − x2)−1/2 · (−2x) =12x(40− x2)−1/2.

Rezulta f ′(2) = (40− 4)−1/2 = 36−1/2 = 1/6 .Panta tangentei cautate este deci f ′(2) = 1/6. De aceea ecuatia tangentei este:

(y − (−3)) =16(x− 2) , id est

6y + 18 = x− 2 , id est

x− 6y − 20 = 0 .

(Personal prefer forma 12(y + 3) = (x− 2), care face clar faptul ca avem o dreapta ce trece prin P (2,−3).)

A doua solutie: Ecuatia data se scrie “ın jurul punctului P (2,−3) sub forma:

((x− 2) + 2)2 + 4((y + 3)− 3)2 = 40 .

55

Desfacınd parantezele, obtinem(x− 2)2 + 4(x− 2) + 4(y + 3)2 − 24(y + 3) = 0 .

Ecuatia tangentei se obtine consierand doar partea liniara a expresiei din membrul stang, care dupa simplificare cu factorul4 devine:

(x− 2)− 6(y + 3) = 0 .

(d)Dreapta x = 3 ce trece prin A,C este verticala, adica este paralela cu Oy.Dreapta y = 4 ce trece prin B,C este orizontala, adica este paralela cu Ox.Deoarece Ox si Oy sunt perpendiculare, rezulta ca si dreptele x = 3 si y = 4 sunt perpendiculare, deci unghiul din C estedrept.

(e) Acest triunghi este dreptunghic, unghiul drept este situat ın C, catetele sunt de lungimi |AC| = 4 si |BC| = 3, deci ariacautata este

123 · 4 = 6 .

Observatie: Acest rezultat este ın conformitate cu calculul ariei prin formula (ariei cu semn):

12

∣∣∣∣∣∣1 0 41 3 01 3 4

∣∣∣∣∣∣ = 12

∣∣∣∣∣∣1 0 41 3 00 0 4

∣∣∣∣∣∣ = 12· 4∣∣∣∣1 01 3

∣∣∣∣ = 6 .

(f) Produsul scalar al celor doi vectori este

−→v · −→w = 1 · a + 2 · 1 = a + 2 .

Cei doi vectori sunt perpendiculari, daca si numai daca produsul lor scalar este nul, deci daca si numai daca a = 2 .

5.2 Subiectul II

Exercitiul 22 (a) Sa se calculeze determinantul

∣∣∣∣∣∣1 3 57 9 112 4 6

∣∣∣∣∣∣ .

(b) Sa se calculeze probabilitatea ca un element x ∈ Z12 sa verifice relatia x2 = 1.

(c) Sa se calculeze numarul termenilor irationali ai binomului (1 +√

2)4 .(d) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia x3 + x2 − 2 = 0 .

(e) Sa se calculeze inversa matricei A =[1 23 7

].

Solutie: (a) Prima solutie: Efectuam urmatoarele operatii:Inlocuim linia a treia cu linia a treia minus prima linie.Eliminam apoi intrarile de pe locurile (1, 1) si (2, 1) folosind intrarea unu de pe pozitia (3, 1):∣∣∣∣∣∣

1 3 57 9 112 4 6

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 3 57 9 111 1 1

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣0 2 40 2 41 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 0 ,

deoarece primele doua linii sunt egale. (Inlocuind prima linie cu diferenta lor obtinem o linie ıntrega nula.)

A doua solutie: Calcul brut:∣∣∣∣∣∣1 3 57 9 112 4 6

∣∣∣∣∣∣ = 1 · 9 · ·6 + 3 · 11 · 2 + 5 · 7 · 4− 1 · 4 · 11− 3 · 7 · 6− 5 · 9 · 2

= 54 + 66 + 140− 44− 126− 90 = 260− 260 = 0 .

56

(%i7) determinant( matrix( [1,3,5], [7,9,11], [2,4,6] ) );

(%o7) 0

(b) Rezolvam mai ıntai ecuatia x2 = 1 ın Z12. Aceasta e echivalenta cu: [ x2 − 1 se divide prin 12 ].Numerele pare x se exclud ca solutie, deoarece atunci x2, dar nu si x2 − 1 se divide prin 4.Numerele x divizibile prin 3 se exclud ca solutie, deoarece atunci x2, dar nu si x2 − 1 se divide prin 3.Singurele “numere” ramase sunt 1, 5, 7 = −5 si 11 = −1. Toate aceste patru elemente sunt solutii.Probabilitatea P cautata este:



412

=13

.

(c)

(1 +√

2)4 = 1 + 4 ·√

2 + 6 · 2 + 4 · 2√

2 + 1 · 4 .

Exact doi termeni sunt nerationali. Rezultatul, care aici nu intereseaza este

(%i8) expand( (1+sqrt(2))^4 );(%o8) 12 sqrt(2) + 17

(d) Observam mai ıntai ca 1 este o radacina a ecuatiei. Pentru a gasi catul ımpartirii (x3 + x2 − 2) / (x − 1) aplicam deexemplu schema lui Hormer:

1 1 0 21 1 2 2 0

Rezulta: (x3 + x2 − 2)/(x− 1) = x2 + 2x + 2. Ecuatia x2 + 2x + 2 = 0 nu are nici o radacina reala. (Discriminantul estestrict negativ. Sau scrierea x2 + 2x + 2 = (x + 1)+1 > 1 > 0 clarifica mai convingator.)Singura solutie a ecuatiei date ın R este deci x = 1 .

(%i15) solve( x^3+x^2-2 = 0 );(%o15) [x = - %i - 1, x = %i - 1, x = 1]

(Solutiile complexe sunt 1 si −1± i.)

(e) Determinantul matricii date este det A = 1 · 7 − 2 · 3 = 1. Inversa lui A este egala deci cu matricea adjuncta (saucomplementara la unii autori): [

7 −2−3 1

].

(%i22) A: matrix( [1,2], [3,7] )$(%i23) invert(A);

[ 7 - 2 ](%o23) [ ]

[ - 3 1 ]

Exercitiul 23 Se considera functia f : R → R, f(x) = ex − 1− x.(a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R .


0f(x) dx .

(c) Sa se arate ca f este convexa pe R.


f(x)− f(1)x− 1

.

(e) Sa se arate ca f(x) > 0, ∀x ∈ R .

Solutie: (a) f ′(x) = ex − 1, x ∈ R .

(%i24) diff( exp(x)-x-1, x );x

(%o24) %e - 1

57

(b)∫ 1

0f(x) dx =

∫ 1

0(ex − x− 1) dx =

[ex − 1

2x2 − x]10

= (e− 1)− 1/2− 1 = e− 5/2 .

O verificare e mereu binevenita!

(%i30) a: integrate( exp(x)-x-1, x, 0, 1 );

2 %e - 5(%o30) --------

2(%i31) a, numer;(%o31) 0.21828182845905

(c) Derivata a doua a lui f , f ′′(x) = ex este > 0 pentru orice x ∈ R, deci f este convexa pe R.

(d) Deoarece f este derivabila, folosind definitia derivatei rezulta

limx→1

f(x)− f(1)x− 1

= f ′(1) = e− 1 .

(e) Ecuatia f ′(x) = 0, adica ex − 1 = 0 are o unica solutie, x = 0.Se observa din monotonia functiei exponentiale, ca f(x) < 0 pe intervalul (−∞, 0), si ca f(x) > 0 pe intervalul (0,∞).Deci f este descrescatoare pe intervalul (−∞, 0], si crescatoare pe intervalul [0,∞).Deci 0 este un punct de minim cu valoarea f(0) = e0 − 1− 0 = 0. Rezulta

f(x) > f(0) = 0 ,

pentru orice x ∈ R, ceea ce s–a cerut.

5.3 Subiectul III

Exercitiul 24 Se considera polinoamele fn ∈ C[X], definite prin

f0 = 1 , f1 = X , f2 =X(X − 1)

2, . . . , fn =

X(X − 1) · · · (X − n + 1)n!

, . . . ∀n ∈ N∗ .

(a) Sa se arate ca fn(k) = Ckn, ∀n ∈ N∗, ∀k > n .

(b) Sa se arate ca fn(k) ∈ Z, ∀n ∈ N, ∀k ∈ Z .(c) Sa se gaseasca un polinom g de gradul trei, cu coeficienti rationali, celputin unul neıntreg, astfel ıncat g(k) ∈ Z,

∀k ∈ Z.(d) Sa se arate ca grad(fn) = n, ∀n ∈ N.(e) Sa se arate ca daca h ∈ C[X] este un polinom de grad 3, atunci exista a0, a1, a2, a3 ∈ C unice, astfel ıncat

h = a0f0 + a1f1 + a2f2 + a3f3 .

(f) Sa se arate ca daca w ∈ C[X] este un polinom de grad 3, astfel ıncat w(k) ∈ Z, ∀k ∈ 0, 1, 2, 3, atunci w(k) ∈ Z,∀k ∈ Z .

(g) Sa se arate ca daca u ∈ C[X] este un polinom de grad 3, astfel ıncat u(k) ∈ Z, ∀k ∈ 0, 1, 2, 3, atunci existap ∈ Z, astfel ıncat u(k) 6= p, ∀k ∈ Z .

Solutie: (a) Fie k, n ∈ N cu k > n > 1. Atunci:

fn(k) =k(k − 1) · · · (k − n + 1)

n!=

k(k − 1) · · · (k − n + 1)n!

· (k − n)!(k − n)!

=k!

n!(k − n)!= Cn

k .

(b) Fixam n ∈ N.Daca n = 0 afirmatia este triviala, f0(k) = 1 ∈ Z pentru orice k.Consideram doar n > 1.Fie acum k ∈ Z. Avem trei cazuri:

58

Daca k > n, atunci, cum am vazut la punctul (a), fn(k) = Cnk ∈ Z.

Daca 0 6 k < n, atunci fn(k) = 0 ∈ Z. (In numaratorul lui fn(k) un factor se anuleaza.) Daca k < 0, atunci observand ca

fn( (n− 1)−X ) = ±fn(X) ,

(factorii de la numaratorul celor doua expresii se corespund ın ordine inversa la o aplicare a formulei “asa cum escrisa ın enunt”,)acest caz se reduce la primul:

fn(k) = ±fn( (n− 1)− k︸︷︷︸>n

) ∈ Z .

(c) g = f3 sau g = f1f2 sunt doua astfel de polinoame cu coeficientii principali 1/3! si respectiv 1/2!, care nu sunt ıntregi.(Se aplica (b), desigur.)

(d) In definitia lui fn, ın numarator se afla un produs de n polinoame de grad 1, deci fn are grad 1 + 1 + · · ·+ 1︸︷︷︸ori

= n.

(e) Avem trecerea de la “baza” f0, f1, f2, f3 (spatiului vectorial al polinoamelor de grad 6 3) la “baza” 1, X,X2, X3

(aceluiasi spatiu): f0

f1

f2

f3

=

1 0 0 00 1 0 00 −1/2 1/2 00 −1/3 −1/2 1/6

︸︷︷︸

Notatie: S

1XX2

X3

.

Matricea S este evident inversabila, determinantul acestei matrici triangulare fiind 1 · 1 · (1/2) · (1/6) 6= 0 (sau vazand carangul este patru, maximal).Deci avem si reprezentarea:

S−1

f0

f1

f2

f3

=

1XX2

X3

.

Deoarece pentru orice polinom de grad trei se scrie unic sub forma

h = h0 + h1X + h2X2 + h3X

3 = [ h0 h1 h2 h3 ]

1XX2

X3

, h0, h1, h2, h3 ∈ C ,

rezulta existenta unei unice forme:

h = h0 + h1X + h2X2 + h3X

3 = [ h0 h1 h2 h3 ]

1XX2

X3

= [ h0 h1 h2 h3 ]S−1︸︷︷︸[ a0 a1 a2 a3 ]

f0

f1

f2

f3

.

(f) Fie u ∈ C[X] un polinom ce ia valori ıntregi pentru argumentele 0, 1, 2, 3.Atunci, din (e), rezulta existenta numerelor a0, a1, a2, a3 ∈ C (unice), astfel ıncat

u = a0f0 + a1f1 + a2f2 + a3f3 .

Atunci:u(0) = a0 + 0 + 0 + 0 ,

u(1) = a0 + a1 + 0 + 0 ,

u(2) = a0 + a1 + a2 + 0 ,

u(3) = a0 + a1 + a2 + a3 ,

deci

a0 = u(0) ∈ Z ,

a1 = u(1)− u(0) ∈ Z ,

a2 = u(2)− u(1) ∈ Z ,

a3 = u(3)− u(2) ∈ Z ,

deci pentru orice k ∈ Z, din (b),

u(k) = a0 f0(k)︸︷︷︸∈Z

+a1 f1(k)︸︷︷︸∈Z

+a2 f2(k)︸︷︷︸∈Z

+a3 f3(k)︸︷︷︸∈Z

∈ Z .

59

(g) Fie u un polinom cu proprietatile specificate ın enunt. Presupunem prin absurd, ca u(Z) este (contine) Z.Fara a restrange generalitatea putem presupune a0 > 0, altfel ınlocuim u cu −u. (Este exclus ca sa avem a0 = 0, doareceu are grad 4.)Atunci u′(x) converge la +∞ pentru x →∞, deci exista un numar natural N , astfel ıncat f ′(x) > 2 pentru orice x > N .Deoarece u converge la −∞ pentru x → −∞, rezulta ca u este marginita superior pe intervalul (−∞, N ].Fie T ∈ N o astfel de margine superioara. Alegem acum un numar natural k > T cu k > N .Atunci valoarea k nu a fost luata pe (−∞, N ] ca valoare a lui u.Din presupunere, exista n > N cu f(n) = k.Dar atunci f(n + 1) = f(n) + f ′(ξ) > f(n) + 2 (teorema lui Lagrange) cu un punct intermediar ıntre n si n + 1.In particular, p := n + 1 nu este luat ca valoare a lui u nici “ınainte de n”, nici “dupa” (n + 1)”.Contradictie. Presupunerea facuta este falsa. Rezulta cele afirmate ın enunt.

5.4 Subiectul IV

Exercitiul 25 Se considera functiile fn : R → R, definite prin f0(x) = 1−cos x, si fn+1(x) =∫ x

0

fn(t) dt, ∀n ∈ N, ∀x ∈ R.(a) Sa se verifice ca f1(x) = x− sinx, ∀x ∈ R .(b) Sa se calculeze f2(x), x ∈ R .

(c) Sa se arate ca limn→∞

xn

n!= 0, ∀x > 0 .

(d) Sa see arate ca graficul lui f nu are asimptota catre ∞.(e) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca, ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R,

f2n(x) =x2n

(2n)!− x2n−2

(2n− 2)!+ · · ·+ (−1)n−1 x2

2!+ (−1)n + (−1)n+1 cos x .

(f) Sa se arate ca 0 6 fn(x) 6 2 · xn

n! , ∀n ∈ N∗, ∀x > 0.

(g) Sa se arate ca limn→∞

(1− x2

2!+

x4

4!+ · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!

)= cos x, ∀x ∈ R .

Solutie: (a) f1(x) =∫ x

0

f0(t) dt =∫ x

0

(1− cos t) dt =[

t− sin t]x0

= x− sinx pentru orice x ∈ R.

(b) f2(x) =∫ x

0

f1(t) dt =∫ x

0

(t− sin t) dt =[ 1

2t2 + cos t

]x0

=x2

2+ cos x− 1 pentru orice x ∈ R.

(%i43) integrate( t-sin(t), t, 0, x );2

2 cos(x) + x - 2(%o43) -----------------

2

(c) Fixam x real. Fie an := xn

n! . Atunci pentru orice n > [2|x|] + 1 := N0 avem:∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = |x|n + 1

612

.

Rezulta inductiv majorarea

0 6 |aN0+n| 612n

.

Din criteriul clestelui rezulta |aN0+n| → 0 pentru n →∞, deci si an → 0 pentru n →∞, ceea ce trebuia demonstrat.

(d) Presupunem prin absurd, ca graficul lui f1 ar avea o asimptota oblica de ecuatie y = mx + n la +∞.Atunci, f1(x) − x, ca functie de x, ar avea asimptota oblica de ecuatie y = (m − 1)x + n la +∞. dar f1(x) − x = sinxeste o functie marginita. Rezulta m− 1− 0 si faptul ca sinx ar avea o asimptota orizontala la +∞, lucru fals, deoarece nuexista lim

x→∞sinx.

Presupunerea facuta este falsa. Rezulta cele afirmate ın enunt.

60

(e) Consideram propozitia P (n):

[ Pentru orice x ∈ R are loc relatia f2n(x) =x2n

(2n)!− x2n−2

(2n− 2)!+ · · ·+ (−1)n−1 x2

2!+ (−1)n + (−1)n+1 cos x ] .

Atunci P (0) este adevarata, din definitia lui f0.Pasul inductiv: Fie n in N fixat. Presupunem ca propozitia P (n) este adevarata.Atunci integrand de doua ori relatia data si folosind monotonia integralei, rezulta pentru variabile x, y, z ∈ R

f2n+1(y) =∫ y

0

f2n(x) dx

=∫ y

0

(x2n

(2n)!− x2n−2

(2n− 2)!+ · · ·+ (−1)n−1 x2

2!+ (−1)n + (−1)n+1 cos x

)dx

=y2n+1

(2n + 1)!− y2n−1

(2n− 1)!+ · · ·+ (−1)n−1 y3

3!+ (−1)n y

1!+ (−1)n+1 sin y ,

f2n+2(z) =∫ z

0

f2n+1(y) dy

=∫ z

0

(y2n+1

(2n + 1)!− y2n−1

(2n− 1)!+ · · ·+ (−1)n−1 y3

3!+ (−1)n y

1!+ (−1)n+1 sin y

)dy

=z2n+2

(2n + 2)!− z2n

(2n)!+ · · ·+ (−1)n−1 z4

4!+ (−1)n z2

2!+ (−1)n+1(1− cos z) .

De aici rezulta, ca P (n + 1) este adevarata.

(f) Consideram propozitia P (n):

[ Pentru orice x > 0 are loc relatia 0 6 fn(x) 6 2 · xn

n!] .

Atunci P (0) este adevarata, deoarece 0 = 1− 1 6 f0(x) = 1− cos x 6 2 = 1− (−1), deoarece 1 > cos x > −1.Pasul inductiv: Fie n in N fixat. Presupunem ca propozitia P (n) este adevarata.Fie y > 0. Atunci integrand ıntre 0 si y inegalitatea dubla livrata de P (n) obtinem:∫ y

0

0 dx 6∫ y

0

fn(x) dx 6 2 ·∫ y

0

xn

n!dx , i.e.

0 6 fn+1(y) 6 2 · yn+1

(n + 1!).

Rezulta ca P (n + 1) este adevarata. Am demonstrat deci, ca afirmatia P (n) ⇒ P (n + 1) este adevarata.Conform cu principiul inductiei matematice, P (n) este o propozitie adevarata pentru orice n > 0.

(g) Deoarece expresiile din membrul stang si cel drept sunt functii pare de x, ajunge sa ne marginim la cazul x > 0. (Cazulx = 0 este trivial.)Fie x > 0 fixat.Diferenta dintre cos x si termenul general al sirului de sub limita, este, ın conformitate cu (e) ±f2n(x).Din criteriul clestelui aplicat inegalitatii 0 6 | ± f2n(x) | le2 · x2n/(2n)!, pe care o avem din (f), si ın care sirurile (0) si(2 · x2n/(2n)!) converg la zero, (c), rezulta ±f2n(x) → 0 pentru n →∞.De aici rezulta relatia ceruta.

61

Capitolul 6

Varianta 046

6.1 Subiectul I

Exercitiul 26 (a) Sa se calculeze modulul numarului complex4− 3i

4 + 3i.

(b) Sa se calculeze lungimea segmentului cu capetele ın punctele A(3,−2) si C(4,−3) .(c) Sa se calculeze produsul de numere complexe p = i · i3 · i5 · i7.(d) Sa se determine a, b ∈ R, astfel ıncat punctele A(3,−2) si C(4,−3) sa fie pe dreapta de ecuatie x + ay + b = 0.(e) Sa se calculeze aria triunghiului cu varfurile ın punctele A(3,−2), B(2, 2) si C(4,−3) .(f) Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat sa avem egalitatea de numere complexe: (5 + 6i)2 = a + bi.

Solutie: (a)

∣∣∣∣4− 3i

4 + 3i

∣∣∣∣ = |4− 3i||4 + 3i|

= 1, deoarece doua numere complexe, complex conjugate, (de exemplu 4±3i,) au acelasi

modul. De fapt, |4 +±3i| =√

42 + (±3)2 =√

25 = 5.

(b) Lungimea segmentului AC este |AC| =√

(3− 4)2 + (−2− (−3))2 =√

12 + 12 =√

2 .

(c) p = i · i3 · i5 · i7 = i1+3+5+7 = i16 = (i4)4 = 14 = 1.

(d) Daca A,C se afla pe dreapta data, atunci coordonatele lor, introduse ın ecuatie o verifica. Obtinem echivalent sistemul3− 2a + b = 04− 3a + b = 0

cu solutia

a = 1b = −1

.

Intr-adevar, punctele date se afla pe dreapta x + y − 1 = 0, iar aceasta dreapta este unic determinata de A,C cu A 6= C.

(e) Prima solutie: Distanta de la punctul B(2, 2) la dreapta AC de ecuatie x + y − 1 = 0 este

1 · 2 + 1 · 2− 1√12 + 12

=3√2

.

Aceasta valoare, (ın modul,) este lungimea ınaltimii hb din B a triunghiului ABC. Aria triunghiului este deci

12hb · b =

12· 3√

2·√

2 =32

.

(Am folosit b = AC =√

2, punctul (b).)

A doua solutie: (Formula.)Aria cu semn a triunghiului cu varfurile ın (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) este

12

∣∣∣∣∣∣1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3

∣∣∣∣∣∣ .

62

In cazul problemei de fata, calculam mai ıntai determinantul∣∣∣∣∣∣1 3 −21 2 21 4 −3

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 3 −20 −1 40 1 −1

∣∣∣∣∣∣ = ∣∣−1 41 −1∣∣ = −3 .

Deci aria triunghiului este

12| − 3| =

32

.

(%i1) abs( determinant( matrix( [1,3,-2], [1,2,2], [1,4,-3]) ) ) /2 ;

3

(%o1) -

2

Aceasta solutie arata ca aria unui triunghi cu coordonatele ıntregi este jumatatea unui numar natural.

(f) (5 + 6i)2 = 52 + 2 · 5 · 6i + (6i)2 = 25 + 60i − 36 = −11 + 60i. Rezulta ca valorile numerelor a, b din enunt, unicdeterminate, sunt

a = −11 , b = 60 .

(%i3) expand( (5 + 6* %i)^2 );(%o3) 60 %i - 11

6.2 Subiectul II

Exercitiul 27 (a) Sa se calculeze elementul 22006 ın (Z8, ·).(b) Sa se calculeze expresia E = C3

10 − C710 + C8

8 .(c) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale strict pozitive ecuatia log5 x = −2.(d) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 16x − 2 = 0.(e) Sa se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ 1, 2, 3, 4, 5 sa verifice relatia 3n > 10 .

Solutie: (a) Deoarece 23 = 8− 0 ın Z8, rezulta 22006 = 22003+3 = 22003 · 23 = 22003 · 0 = 0 .

(b) Deoarece 3 + 7 = 10, C310 = C7

10. Deoarece C88 = 1, rezulta imediat E = 1 .

(%i5) E: binom(10,3)-binom(10,7)+binom(8,8);(%o5) 1

(c) Aplicand functia bijectiva y → 5y, R → (0,∞), rezulta ca ecuatia data este echivalenta cu ecuatia x = 5−2.

Deci x = 1/25 .

(%i6) solve( log(x)/log(5) = -2 );1

(%o6) [x = --]25

(d) Ecuatia data se rescrie echivalent 16x = 21, sau echivalent 24x = 21.

Deoarece functia exponentiala (aici, de baza doi,) este injectiva, ecuatia data este deci echivalenta cu 4x = 1, deci x = 1/4 .

(%i9) 16^(1/4)-2;(%o9) 0

(e) Relatia 3n > 10 este satisfacuta pentru 3, 4, 5, dar nu este satisfacuta pentru 1, 2. Probabilitatea P ceruta este deci:



35

=610

= 0, 6 .

63

Exercitiul 28 Se considera functia f : R → R, f(x) = x5 + 7x− 3 .(a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R .

(b) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx .

(c) Sa se calculeze limx→0

f(x)− f(0)x

.

(d) Sa se arate ca f este strict crescatoare pe R .

(e) Sa se calculeze limn→∞

lnn + 3lnn− 2

.

Solutie: (a) f ′(x) = 5x4 + 7 > 7 > 0 pentru orice x ∈ R.

(b)

∫ 1

0

f(x) dx =∫ 1

0

(x5 + 7x− 3) dx =[ 1

6x6 +

72x2 − 3x

]10

=16

+72− 3 =

23

.

Cod maxima (verificare):

(%i11) integrate( x^5+7*x-3, x, 0, 1 );2

(%o11) -3

(c) Functia f este derivabila, cu derivata din (a). Din formula de definitia pentru f ′(0), rezulta ca exista

limx→0

f(x)− f(0)x

= limx→0

f(x)− f(0)x− 0

= f ′(0) = 7 .

(d) Deoarece derivata lui f este > 0 (cum am vazut, chiar > 7), rezulta ca f este strict crescatoare pe ıntreg domeniul dedefinitie.

(e) Pentru n ∈ N notam k(n) = lnn. Pentru n →∞ atunci si k(n) →∞. Rezulta:

limn→∞

lnn + 3lnn− 2

= limk→∞

k + 3k − 2

= 1 .

(Pentru o argumentatie mai riguroasa, pentru cei mai pedanti corectori, trebuie sa observam ca, folosind regula lui l’Hospitalavem: limx→∞ x + 3x− 2 = limx→∞ 11 = 1, unde functiile din numitor si numarator sunt bine definite, derivabile, cu de-rivata continua, pe (2007,∞).)

6.3 Subiectul III

Exercitiul 29 Pe M2(R) se considera legea de compozitie ∗ data de

X ∗ Y = XY + X + Y , X, Y ∈ M2(R) ,

si multimea

G =

A ∈ M2(R)∣∣∣ A =

[a b0 a

], a 6= 1

.

(a) Sa se arate ca legea este asociativa.(b) Sa se determine elementul neutru E din M2(R) fata de legea ∗ .(c) Sa se arate ca multimea G este parte stabila ın raport cu legea ∗ .

(d) Sa se determine simetrica matricii I2 =[1 00 1

]ın raport cu legea ∗ .

(e) Sa se determine matricile X ∈ G, care verifica ecuatia X ∗X = 3I2.

(f) Sa se determine

[a b0 a

]n

, unde n ∈ N, a, b ∈ R.

(g) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca

I2 ∗ I2 ∗ · · · ∗ I2︸︷︷︸n ori

= (2n − 1)I2 , n > 2.

64

Solutie: Inainte sa ne apucam de rezolvare observam un lucru, care este util ın asemenea cazur. De asemenea se poateintui cum sunt construire astfel de probleme.Notam cu I matricea unitate I2 (fata de ınmultirea uzuala a matricilor) de marime 2× 2.Consideram aplicatia

F : (M2(R), ∗) → (M2(R), ·) , F (X) := X + I .

Atunci aceasta aplicatie este morfism de structuri algebrice (anume de monoizi sau semigrupuri) dupa cum se verifica usor:

(M2(R), ∗) F // (M2(R), ·)X // X + I

Y // Y + I

X ∗ Y // (X + I) · (Y + I) = X ∗ Y + I

adica F (X ∗ Y ) = F (X) · F (Y ) .

Evident, F este o functie bijectiva, inversa ei fiind Y → F−1(Y ),

F−1(Y ) = Y − I .

De aceea, prin transport de structura algebrica, problemele date se pot “muta” (transporta) de pe (M2(R), ∗) pa(M2(R), ·), cum o sa vedem ın continuare.(a) Deoarece ın (M2(R), ·) are loc asociativitatea, ea are loc si ın (M2(R), ∗).

(b) Elementul neutru fata de ınmultirea uzuala a matricilor este I = I2, deci, prin F−1 (si F ), acesta se corespunde cuelementul neutru E fata de ınmultirea ∗ a matricilor, deci

E = F−1(I) = O ,

unde O = O2 este matricea nula de marime 2× 2.

(c) Izomorfismul F de monoizi trimite G ın mutimea U = F (G) a matricilor superior triangulare, de determinant nenul, cuelemente diagonale egale, cum usor se poate stabili:

U =

B ∈ M2(R)∣∣∣ B =

[a′ b0 a′

], a′ 6= 0

.

Multimea aceasta este evident stabila la ınmultirea uzuala a matricilor.

(d) F (I2) = F (I) = 2I. Inversa uzuala a lui 2I este (1/2)I.Aplicam F−1 pentru a obtine −(1/2)I. Explicit, inversa lui I fata de ∗, este[

−1/2 00 1/2

].

(e) Fie X ın G o matrice, X =[a b0 a

], a 6= −1, a, b ∈ R.

Atunci X ′ := F (X) = X + I =[a′ b0 a′

], a′ = a + 1 6= 0.

Ecuatia data se transporta prin F ıntr–o ecuatie ın X ′, anume X ′ ·X ′ = 4I. Elementele de pe diagonala lui X ′ sunt decifie ambele +2, fie ambele −2. Un calcul simplu arata anularea lui b. Deci singurele solutii pentru X ′ sunt:

X ′ ∈ 2I, −2I .

(Ele verifica evident (X ′)2 = 4I.)Deci, aplicand F−1, singurele solutii ale ecuatiei date X ∗X = 3I sunt:

X ∈ I, −3I .

(f) Notam cu N matricea “nilpotenta”

N =[0 10 0

].

65

Avem N2 = O. Atunci, folosind formula binomului pentru matricile (ce comuta intr ele) I si N , rezulta pentru n > 0:[a b0 a

]n

= (aI + bN)n

= (aI)n + C1n(aI)n−1(bN)1 + C2

n(aI)n−2(bN)2 + . . .︸︷︷︸=O

= anI + nan−1bN = an−1(aI + nbN) = an−1

[a nb0 a

].

(g) Fie P (n) propozitia I ∗ I ∗ · · · ∗ I︸︷︷︸n ori

= (2n − 1)I, unde n > 1.

Propozitia P (0) este adevarata, deoarece I = (21 − 1)I, deoarece 21 − 1 = 1.Fien n > 1. Presupunem P (n) adevarata. Atunci

I ∗ I ∗ · · · ∗ I︸︷︷︸(n+1) ori

= I ∗ I ∗ I ∗ · · · ∗ I︸︷︷︸n ori

= I ∗ ((2n − 1)I)= I · (2n − 1)I + I + (2n − 1)I= ( 2 · (2n − 1) + 1 )I

= (2n+1 − 1)I ,

deci P (n + 1) este adevarata. Am demonstrat astfel ca implicatia P (n) ⇒ P (n + 1) este adevarata pentru orice n > 1.In conformitate cu principiul inductiei matematice, propozitia P (n) este adevarata pentru orice n > 1 natural.Observatie: Daca nu eram obligat de chestia cu inductia, demonstratia se facea usor, observand ca sunt succesiv echivalente:

I ∗ I ∗ · · · ∗ I︸︷︷︸n ori

= (2n − 1)I ,

F ( I ∗ I ∗ · · · ∗ I︸︷︷︸n ori

) = F ( (2n − 1)I ) ,

F (I) · F (I) · · · · · F (I)︸︷︷︸n ori

) = F ( (2n − 1)I ) ,

(2I)n = 2nI .

Speeer ca importanta (izo)morfismelor de structuri algebrice a fost accentuata destul. Se merita sa se ınteleaga principiul detransport de structura.

6.4 Subiectul IV

Exercitiul 30 Se considera functia f : R → R, f(x) = x + cos x, x ∈ R, si sirurile (an)n∈N, an+1 = f(an), n ∈ N,a0 ∈ (0, π), si (bn)n∈N, unde bn este unica solutie a ecuatiei f(x) = n, n ∈ N.(a) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare si bijectiva.(b) Sa se arate ca sirul (bn)n∈N este strict crescator.(c) Sa se arate ca lim

n→∞bn = ∞ .

(d) Sa se arate ca limn→∞

bn

n= 1 .

(e) Sa se arate ca daca a0 ∈(0,

π

2

), atunci sirul (an)n∈N este strict crescator.

(f) Sa se arate ca daca a0 ∈(π

2, π), atunci sirul (an)n∈N este strict descrescator.

(g) Sa se arate ca pentru orice an ∈ (0, π) sirul (an)n∈N este convergent si are loc limn→∞

an =π

2.

Solutie: Poate ca ınainte de a rezolva problema este bine sa “vedem” cum arata cele doua siruri. De fapt al doilea sir are“doua sanse”.Cod PARI:

66

for( n=0, 10,bn=solve( x=-100, 100, \\ deci cauta radacina in acest interval pentru

x+cos(x)-n \\ egal cu zero);print( "b(", n, ") = ", bn );

);b(0) = -0.7390851332151606416553120876b(1) = 3.79822709 E-65b(2) = 2.988268925590497338261630118b(3) = 3.794388612677284801459595555b(4) = 4.352329706704882343204409289b(5) = 4.856443345780255388914532104b(6) = 5.380497615538349774838057035b(7) = 6.031504728246854981685985529b(8) = 8.826057319621622041816189663b(9) = 9.892567290880467589483494433b(10) = 10.48696395301079251667802724

Apoi, pentru sirul (an), in ambele variante:

f(x)=x+cos(x);a=1.11; aa=Pi-1.11;for( n=0, 5,print1( "a(", n, ") = ", a, " " );print ( "aa(", n, ") = ", aa);a=f(a); aa=f(aa);

);

a(0) = 1.110000000000000000000000000000000000000 aa(0) = 2.031592653589793238462643383279502884197a(1) = 1.554661516741706848643737511933571372142 aa(1) = 1.586931136848086389818905871345931512054a(2) = 1.570795626735857260665272715507112925886 aa(2) = 1.570797026853935977797370667772389958310a(3) = 1.570796326794896619174140559110227145262 aa(3) = 1.570796326794896619288502824169275738934a(4) = 1.570796326794896619231321691639751442098 aa(4) = 1.570796326794896619231321691639751442098a(5) = 1.570796326794896619231321691639751442098 aa(5) = 1.570796326794896619231321691639751442098

Asta da rapiditate de convergenta. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(a) Functia f este derivabila, cu derivata continua. Derivata functiei f este f ′(x) = 1− sinx.Avem f ′ > 0 pe fiecare dintre intervalurile

(π2 + n · 2π, π

2 + (n + 1) · 2π), n ∈ Z.

Atunci f este strict crescatoare pe fiecare dintre intervalurile [ n · 2π, (n + 1) · 2π ], n ∈ Z.Deci f este strict crescatoare pe R.

(b) Presupunem prin absurd, ca sirul dat nu este strict crescator. Atunci exista k, n ∈ N cu k < n dar bk > bn.Aplicand functia strict crescatoare f , rezulta

k = f(bk) > f(bn) = n .

Contradictie. Presupunerea facuta este falsa. Rezulta afirmatia din enunt.

(c) Observam mai ıntai relatia f(2π · k) = 2πk + 1, pentru orice k ∈ Z. Deci

f−1( 2πk + 1 ) = 2πk .

Fie n ∈ N. Numarul (n−1)/(2π) ∈ R are partea ıntreaga [(n−1)/(2π)] si satisface evident [(n−1)/(2π)] 6 (n−1)/(2π) <[(n− 1)/(2π)] + 1 . Inmultind cu (2π) > 0, rezulta

2π

[n− 12π

]6 n− 1 < 2π

[n− 12π

]+ 2π ,

2π

[n− 12π

]+ 1 6 n < 2π

[n− 12π

]+ 2π + 1 .

67

Aplicand f−1, functie strict crescatoare, drept inversa a unei functii strict crescatoare, rezulta cu observatia de mai suspentru k pe post de

[n−12π

]si[

n−12π

]+ 1:

2π

[n− 12π

]6 f−1(n)︸︷︷︸

=bn

< 2π

[n− 12π

]+ 1 .

De aici rezulta cu criteriul clestelui ca bn → ∞ pentru n → ∞. Mai explicit, putem folosi inegalitatea x − 1 6 [x] 6 x,pentru a obtine

n− π + 1 = 2π

(n− 12π

− 1)

6 bn 6 2π · n− 12π

+ 1 = n + 1 .

(d) Rezulta cu criteriul clestelui din dubla inegalitate de mai sus.

(e) Fie a0 ∈ ( 0 , π/2 ). Atunci cos(a0) > 0, deci

a1 = f(a0) = a0 + cos a0 > a0 .

Deoarece f este strict crescatoare, si compunerile repetate f · · · f = f (n) sunt strict crescatoare, n ∈ N, deci aplicandf (n) pe inegalitatea a0 < a1 rezulta an = f (n)(a0) < f (n)(a1) = f (n)(f(a0)) = f (n+1)(a0) = an+1. Deci an < an+1. Amdemonstrat cele enuntate.

(f) Fie a0 ∈ ( π/2 , π ). Atunci cos(a0) < 0, deci

a1 = f(a0) = a0 + cos a0 < a0 ,

deci aplicand f (n) pe inegalitatea a0 > a1 rezulta an > an+1 ca la punctul (e). Am demonstrat cele enuntate.

(g) Functia (continua) f , crescatoare, duce intervalul [0, π] ın el ınsusi deoarece din

0 6 x 6 π rezulta 1 = f(0) 6 f(x) 6 f(π) = π − 1 ,

deci f( [0, π] ) ⊆ [0, π]. In ambele cazuri (e) si (f), sirul (an) este deci continut ın [0, π], deci este marginit. Din (e) si (f)el este si monoton.Rezulta ca el este convergent. Fie α ∈ [0, π] limita lui.Trecand la limita ın relatia de definitie, an+1 = f(an), si folosind continuitatea lui f rezulta:

α = limn→∞

an+1

= limn→∞

f(an)

= f( limn→∞

an)

= f(α) .

dar singura solutie α a ecuatiei α = f(α), id est cos α = 0, ın intervalul [0, π] este α = π/2, ceea ce s–a cerut ın ultimainstanta de la noi.

68

Capitolul 7

Varianta 047

7.1 Subiectul I

Exercitiul 31

(a) Sa se determine a ∈ R pentru care dreptele d1 : x + y − 1 = 0 si d2 : 2x + ay + 3 = 0 sunt paralele.(b) Sa se determine numarul diagonalelor unui poligon convex cu 5 laturi.(c) Sa se calculeze modulul numarului comlplex z = i + i2 + i3 + · · ·+ i7 .(d) Sa se calculeze raza cercului de ecuatie x2 + y2 − 2x = 3.

(e) Sa se calculeze suma sinπ

4+ sin

5π

4.

(f) Sa se calculeze aria unui patrat care are perimetrul egal cu 8.

Solutie:(a) Dreapta d1 are panta −1, dreapta d2 are panta −2/a (unde, desigur, a 6= 0,), cele doua drepte sunt paralele, daca sinumai daca au aceeasi panta, deci daca si numai daca −1 = −2/a, i.e.

a = 2 .

(b) Un poligon cu 5 laturi are 5 varfuri.Din fiecare varf pot pleca 5− 1 = 4 segmente de legatura cu celelalte varfuri. Doar 5− 1− 2 dintre acestea sunt diagonale(si nu cumva laturi).In modul acesta am desemnat 5 · (5 − 3) perechi de forma (A,B), unde A,B sunt varfuri. Unei astfel de perechi i secorespunde diagonala AB. Dar si perechii (B,A) i se coresponde aceeasi diagonala. Deci numarul 5 · (5−3) trebuie ımpartitla 2, pentru a obtine numarul de diagonale

2 .

Observatie: In conditii de examen sau concurs este indicat a se da formula generala, daca ea este intuita. De fapt, cuacelasi rationament, rezulta formula pentru numarul de diagonale al unui poligon (convex) cu n laturi, anume:

12n(n− 3) .

In pearticular, aplicand aceasta formula pentru valori “mici” alei lui n obtinem:Un triunghi are 0 diagonale. Un patrulater are 2 diagonale. Un pentagon are 5 diagonale. Un hexagon are 9 diagonale.Observatie: A se face neaparat schita, ın care segmentele desenate punctat sunt diagonalele.

• •

• •

•

PPPPPPPPPnnnnnnnnn

++++

+++

(c) Calculam explicit (si scriem repede):

z = i + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 + i7

= i + (−1) + (−i) + 1 + i + (−1) + (−i)

= −1 .

69

Verificare cu calculatorul: Cod maxima:

(%i3) sum( %i^k, k, 1, 7 );

(%o3) - 1

Aici, (%i3) si (%o3) se refera la “inputul al treilea ” si output-ul al treilea, iar %i din codul rulat este numarul complex i,si nu cumva o variabila preferata de ciclat.

(d) Grupand patrate, ecuatia cercului se mai scrie:

(x2 − 2x + 1) + y2 = 3 + 1 , i.e.

(x− 1)2 + y2 = 22 .

Raza cercului dat este 2 .

(e) Avem sin π4 = − sin 5π

4 =√

2/2. Prima valoare este cunoscuta, cea de–a doua se deduce prin reducere la primul cadran,

sin5π

4= sin

(π

+5π

4

)= sinπ︸︷︷︸

=0

cos5π

4+ cos π︸︷︷︸

=−1

sin5π

4= − sin

π

4.

Suma ceruta are deci valoarea 0 .

(%i4) sin( %pi/4 ) + sin( 5*%pi/4 );

(%o4) 0

(%i5) sin(%pi/4);

sqrt(2)

(%o5) -------

2

(%i6) sin(5*%pi/4);

sqrt(2)

(%o6) - -------

2

(f) Suma lungimilor celor patru laturi egale ale patratului fiind (perimetrul egal cu) 8, fiecare latura are lungimea 2. Aria

patratului este deci 22 = 4 .

7.2 Subiectul II

Exercitiul 32 Se considera functia f : R → R, f(x) = x2 − 3x + 2 si se noteaza cu a, b radacinile ecuatiei f(x) = 0.(a) Sa se determine valoarea minima a functiei considerate.

(b) Sa se calculeze valoarea sumei1a

+1b

.

(c) Sa se determine numerele reale y pentru care f(3y) = 0.(d) Sa se calculeze produsul radacinilor ecuatiei f(log2 t) = 11.

(e) Sa se calculeze determinantul

∣∣∣∣3a 2ba b

∣∣∣∣ .

Solutie:(a) Prima solutie: Grupand patrate, avem:

x2 − 3x + 2 =(

x2 − 2 · 32x +

94

)− 9

4+ 2 =

(x− 3

2

)2

︸︷︷︸>0

−14

>14

.

Rezulta f(x) > 1/4 cu egalitate pentru x = 3/2. Valoarea minima este deci14

.

A doua solutie: Derivata functiei date (care este derivabila, cu derivata continua) este f ′(x) = 2x − 3. Aceasta functieeste < 0 pe intervalul (−∞, 3/2) si este > 0 pe intervalul (3/2,+∞) . Deci, f este descrescatoare pe (−∞, 3/2) si estecrescatoare pe (3/2,+∞) . Deci 3/2 este punct de minim pentru f , valoarea ın acest punct este f(3/2) = 1/4 .

70

A treia solutie: (Solutia medicinista.) Functia data are coeficientul principal > 0, deci, adusa la forma ax2 + bx + c are ungrafic cu minim ın (

− b

2a, −∆

4a

), ∆ = b2 − 4ac .

La noi:

(%i9) a: 1;

(%o9) 1

(%i10) b: -3;

(%o10) - 3

(%i11) c: 2;

(%o11) 2

(%i12) Delta: b^2-4*a*c;

(%o12) 1

(%i13) [ -b/2/a , -Delta/4/a ];

3 1

(%o13) [-, -]

2 4

(b) Radacinile ecuatiei x2 − 3x + 2 = 0 sunt 1, 2, deoarece relatiile lui Vieta 1 + 2 = 3 si 1 · 2 = 2 sunt satisfacute.(Sau, calculand mai ıntai ∆ = (−3)2 − 4 · 1 · 2 = 9− 8 = 1, avem pentru ele valorile (−(−3)±

√1)/2 = (3± 1)/2.)

(Avem deci a = 1, b = 2 sau b = 1, a = 2.)

Atunci1a

+1b

=11

+12

=32

.

De fapt, soutia “scurta” (si oarba) este, folosind relatiile lui Vieta, pentru cei grabiti si artificiosi

1a

+1b

=a + b

ab=

32

.

Calculul radacinilor se recomanda totusi, pentru ca mai devreme sau mai tarziu trebuie sa ne punem ochelari.

(c) Ecuatia data este echivalenta cu3y = 1 sau 3y = 2 .

Solutiile ecuatie date sunt deci log3 1 = 0 si log3 2 = ln 3ln 2 .

(%i15) f(x):= x^2-3*x+2;

2

(%o15) f(x) := x - 3 x + 2

(%i16) f(1);

(%o16) 0

(%i17) f(3^y);

2 y y

(%o17) 3 - 3 3 + 2

(%i18) solve( f(3^y)=0 );

log(2)

(%o18) [y = 0, y = ------]

log(3)

(d) Rezolvam mai ıntai ecuatia f(x) = 11, care se scrie echivalent

x2 − 3x + 2 = 11 , i.e.

x2 − 3x− 9 = 0 , i.e.

Nu doresc sa rezolv aceasta ecuatie, ajunge sa stim pentru ceea ce urmeaza, ca radacinile x1, x2 satisfac relatiile lui Vieta:

x1 + x2 = 3 ,

x1 · x2 = −9 .

(Lucram o vreme ca “orbii”, asa cum se lucra pe vremuri in cartea “Orbis Romanum”.) Fie t1 si t2 solutiile ecuatiilor

log2 t1 = x1 ,

log2 t2 = x2 .

71

Ni se cere t1t2. Cum putem “compune” acest produs? Obtinem imediat o ecuatie pentru acest produs:

log2(t1t2) = log2 t1 + log2 t2 = x1 + x2 = 3 .

Rezulta de aici:t1t2 = 23 = 8 .

(%i43) f(x):= x^2-3*x+2$

(%i44) solutii: solve( f(log(t)/log(2))=11 );

3 log(2) 3 sqrt(5) log(2) 3 sqrt(5) log(2) 3 log(2)

-------- - ---------------- ---------------- + --------

2 2 2 2

(%o44) [t = %e , t = %e ]

(%i45) rhs(solutii[1]) * rhs(solutii[2]);

(%o45)

Aici, rhs este functia “right hand side” care pescuieste partea din dreapta a “ecuatiei” de descriere a solutiei explicite:[t = 3

2 ln 2− 3√

52 ln 2

], adica pescuieste numarul 3

2 ln 2− 3√

52 ln 2 .

(e) Avem

∣∣∣∣3a 2ba b

∣∣∣∣ = 3a · b− 2b · a = ab = 2 . (Relatiile lui Vieta ajung din nou.)

Exercitiul 33 Se considera functia f : R → R, f(x) =1

1 + x2.

(a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R.

(b) Sa se rezolve inecuatia f(x) 612, x ∈ R.

(c) Sa se determine ecuatia asimptotei la +∞ la graficul functiei f .

(d) Sa se calculeze limn→∞

(n2 · f(n)

)2n.

(e) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx .

Solutie:

(a) f ′(x) =(

(1 + x2)−1)′

= (−1) · (1 + x2)−1 · (1 + x2)′ = −2x/(1 + x2)2 . Derivata functiei date (ın punctul x ∈ R)

este

− 2x

(1 + x2)2 .

(%i7) diff( 1/(1+x^2), x );

2 x

(%o7) - ---------

2 2

(x + 1)

(%i8) tex(%);

$$-2\,x\over\left(x^2+1\right)^2$$

(%o8) false

(b) Fie x ∈ R. Atunci ecuatia f(x) 612

este echivalenta cu1

1 + x26

12, care, fiind o inegalitate ıntre numere reale pozitive

(adica > 0), este echivalenta cu1 + x2 > 2 .

Echivalent x2 > 1, echivalent |x|2 > 1, echivalent |x| > 1, echivalent x 6 −1 sau x > 1 .

(c) Deoarece limx→∞

= 0, functia f are ca asimptota axa Ox la +∞, care este dreapta de ecuatie y = 0 .

72

(d) Prima solutie: O solutie bazata pe faptul ca sirul standard(1 + 1

k

)kconverge la e ∈ [2, 3] pentru k →∞ este urmatoarea:

Fie n ∈ N∗. Atunci:

(n2 · f(n))2n =(

n2

1 + n2

)2n

=1(

1 + n2

n2

)n2·(2/n)=

1[ (1 +

1n2

)n2 ]2/n∈ [ 3−2/n , 2−2/n ] .

Deoarece sirurile ( 3−2/n ) cu 3−2/n = n√

(1/9) si ( 2−2/n ) cu 2−2/n = n√

(1/4) converg la 1, din criteriul clestelui sirul

dat converge la 1 .

A doua solutie: Folosind metodele analizei matematice, astfel de siruri sunt dezbracate de mister. Pentru aceasta, consideramfunctia g : (0,∞) → R,

g(x) = (x2 · f(x))2x =(

x2

1 + x2

)2x

= exp ln(

x2

1 + x2

)2x

= exp(

(2x) · ln(

x2

1 + x2

) )= exp

ln(

x2

1+x2

)1/(2x)

.

(De observat ca rescrierile de mai sus au redus cazul “1∞” la cazul “exp ln 1∞”, adica “exp(∞· ln 1)”, adica “exp(∞· 0)”,adica “exp((1/0) · 0)”, adica “exp(0/0)”. Rescrierile nu au fost “ıntamplatoare” si au avut ca tel aplicarea regulii luil’Hospital ımntr–un mod cat se poate de simplu.)

In situatia obtinuta, doarece functiile din numitorul si numaratorul de sub exp sunt derivabile pe (0,∞), cu derivata continuasi cu limite ambele egale cu 0 la +∞, rezulta ca putem aplica regula lui l’Hospital:

limx→∞

g(x) = limx→∞

expln(

x2

1+x2

)1/(2x)

= exp limx→∞

ln(

x2

1+x2

)1/(2x)

(exp este continua)

= exp limx→∞

(x2

1+x2

)−1

·(

x2

1+x2

)′−1/(2x2)

(Regula lui l’Hospital)

= exp limx→∞

−2x2 · 1 + x2

x2·(

1− 11 + x2

)′= exp lim

x→∞−2(1 + x2) ·

(− 1

1 + x2

)′= exp lim

x→∞−2(1 + x2) · (1 + x2)−2 · (2x)

= exp limx→∞

− 4x

1 + x2= exp 0 = 1 .

Ne verificam (acasa cu computerul) calculele facute pe drum:

(%i74) g1(x) := log( x^2/(1+x^2) )$

(%i75) g2(x) := 1/(2*x)$

(%i76) CatLHospital: diff( g1(x) ,x ) / diff( g2(x) ,x ) ;

3

2 2 x 2 x

(%o76) - 2 (x + 1) (------ - ---------)

2 2 2

x + 1 (x + 1)

(%i77) factor( CatLHospital );

4 x

(%o77) - ------

2

x + 1

(%i78) limit( exp(g1(x)/g2(x)), x, inf );

(%o78) 1

(%i79) limit( (x^2/(1+x^2))^(2*x), x, inf );

(%o79) 1

73

(e)

∫ 1

0

f(x) dx =∫ 1

0

11 + x2

dx =[

arctg x]10

= arctg 1− arctg 0 =π

4− 0 =

π

4.

integrate( 1/(1+x^2), x, 0, 1 );

%pi

(%o80) ---

4

7.3 Subiectul III

Exercitiul 34 Se considera polinomul f = X3 + 2X + 2.(a) Sa se arate ca polinomul f nu are radacini rationale.(b) Sa se arate ca polinomul f are o singura radacina reala.Notam cu a ∈ R unica radacina reala a polinomului f si cu

Q(a) =

g(a)∣∣∣ g ∈ Q[X]

.

(c) Sa se verifice ca 0 ∈ Q(a) si 1 ∈ Q(a).(d) Sa se arate ca daca α, β ∈ Q(a), atunci α + β ∈ Q(a) si α · β ∈ Q(a).(e) Sa se arate ca Q(a) = p + qa + ra2 | p, q, r ∈ Q .(f) Sa se arate ca daca p, q, r ∈ Q si p + qa + ra2 = 0, atunci p = q = r = 0.(g) Sa se arate ca a2006 ∈ R \Q (adica ca a2006 este un numar real, care nu este rational).

Solutie: (a) Radacinile rationale ale unui polinom cu coeficienti ıntregi sunt de forma

Divizor ıntreg al coeficientului liber

Divizor natural al coeficientului principal.

La noi, pentru polinomul f dat, radacinile rationale se cauta deci ıntre numerele±11

si±21

. Calculam explicit:

f(1) = +1 + 2 + 2 = +5 6= 0 ,

f(−1) = −1− 2 + 2 = −1 6= 0 ,

f(2) = +8 + 4 + 2 = +14 6= 0 ,

f(−2) = −8− 4 + 2 = −10 6= 0 .

Deci polinomul dat nu are radacini rationale.

(%i84) f(x):=x^3+2*x+2$

(%i85) [f(1),f(-1),f(2),f(-2)];

(%o85) [5, - 1, 14, - 10]

(b) f este o functie derivabila cu derivata f ′(x) = 3x2 + 2 > 0 continua. Din f ′ > 0 rezulta ca functia f este strictcrescatoare pe R, deci injectiva, deci f(x) = 0 are cel mult o soultie.Din continuitatea lui f si f(−1) = −1 < si f(0) = 2 > 0 rezulta (teorema lui Rolle) ca f are o radacina reala ın intervalul[−1, 0].

Cod maxima, care livreaza solutia, asa cum e ea prescrisa de formulele lui Tartaglia, Nicolo, ∗ 1499/1500 ın Brescia (subnumele de familie initial Fontana), † 1557 ın Venetia. El si–a castigat existenta drept “calculator”, cunoasterea unei formulepentru solutionarea ecuatiilor de gradul trei fiind pentru el un principal atu ın a obtine o slujba ınaintea unui concurent.Formula este implementata, desigur, usor cateva sute de ani mai tarziu: Cod maxima:

(%i142) solve( x^3+2*x+2=0, x )$

(%i143) tex(%);

74

Obtin codul TEX, pe care pot sa–l inserez ın acest document, usor schimbat, ınsa, astfel ıncat structura solutiilor sa fie clara.

x1 =

(√35

3√

3− 1

) 13(−√

3 i

2− 1

2

)−

2(+√

3 i2 − 1

2

)3(√

353√

3− 1) 1

3,

x2 =

(√35

3√

3− 1

) 13(

+√

3 i

2− 1

2

)−

2(−√

3 i2 − 1

2

)3(√

353√

3− 1) 1

3,

a = x3 =

(√35

3√

3− 1

) 13

− 2

3(√

353√

3− 1) 1

3

Cod Pari, care livreaza solutia aproximativa:

? \p100

realprecision = 105 significant digits (100 digits displayed)

? solve(x=-1,0,x^3+2*x+2)

%4 = -0.7709169970592481008251463693070269672550531193633286151005984929767351032820534076249331528876148594

? plot(x=-1,0,x^3+2*x+2)

2 |’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’_xx"

| _x"" |

| __x"" |

| __x" |

| __x" |

| _x" |

| _xx" |

| _x" |

| _x" |

| _x" |

| _x" |

| _x" |

| _" |

| _x" |

--------------_x------------------------------------------------

| _" |

| x" |

| x" |

| x" |

| x" |

| _" |

-1 _".............................................................|

-1 0

Desigur ca nu trebuie sa ıntelegeti direct aceste formule, e bine ınsa sa observam ca este mai bine sa lucram “orb” cu literaa, decat cu expresia monstruoasa livrata de formulele lui Tartaglia.Calculul numeric al lui a se face, desigur, cu metodele analizei matematice, mult mai usor, metoda tangentei, a secantei,sau (adica) metoda de iterare a lui Newton, ∗ 4 ianuarie 1643 ın Woolsthorpe-by-Colsterworth ın Lincolnshire; † 31 martie1727 ın Kensington.

Va rog sa raportati anii 1500 si 1700 la istoria culturii si respectiv la istoria “cu razboaie” europeana si respectiv romana.Un nume trebuie sa mentionez aici, Dimitrie Cantemir, ∗ 26 octombrie 1673 ın Silisteni; † 21 august 1723, si ıntelegetidimensiunile reale ale istoriei culturii care “conteaza”.

(c) Deoarece polinoamele constante 0, 1 ∈ Q[X] iau valorile 0 si respectiv 1 evaluate ın orice punct, deci inclusiv ın a, rezultaca aceste valori sunt ın Q(a).

(d) Direct de la definitie aratam:Fie α, β ∈ Q(a). Atunci exista polinoame P,Q ∈ Q[X] cu

α = P (a) ,

β = Q(a) ,deci

α + β = (P + Q)(a) ∈ Q(a)

,

α · β = (P ·Q)(a) ∈ Q(a) ,

deoarece P + Q si PQ sunt ın Q[X].

75

(e) Sa consideram un element din Q(a) arbitrar, atunci acesta poate fi scris sub forma P (a) ∈ R pentru un polinom adecvatP ∈ Q[X].Din algoritmul de diviziune cu rest pentru inelul de polinoame Q[X], rezulta ca exista polinoame C (cat) si R (rest) cuproprietatea:

P (X) = (X3 + 2x + 2) · C(X) + R(X) ,

unde gradul lui R est < 3. Exista deci coeficienti p, q, r ∈ Q cu R(X) = p + qX + rX2 Substituind a ın locul lui X rezulta

P (a) = R(a)

= p + qa + ra2 .

(f) Presupunem (prin absurd) ca exista coeficienti p, q, r ∈ Q, nu toti nuli, cu proprietatea p + qa + ra2 = 0.Observam mai ıntai ca din r = 0 rezulta a = −p/q ∈ Q, unde q 6= 0. (Altfel, din q = r = 0, rezulta p = q = r = 0, ceea ceam exclus de la ınceput.) Obtinem o contradictie cu (a). Deci r 6= 0.Impartind cu r ın relatia p + qa + ra2 = 0 obtinem

a2 + m · a + n = 0 ,

unde m = q/r ∈ Q si n = p/r ∈ Q. Consideram polinomul Q(X) = X2 + mX + n ∈ Q[X] cu proprietatea Q(a) = 0.Notam cu P polinomul dat P (X) = X3 + 2X + 2.Fie R ∈ Q[X] restul la ımpartirea cu rest a polinomului P (X) la Q(X) ın inelul Q[X]. Gradul lui R este 1 sau R este oconstanta si avem relatia ın Q[X]

P (X) = Q(X) · C(X) + R(X) ,

unde am notat cu C un polinom cat. Atunci din P (a) = Q(a) = 0 rezulta R(a) = 0. Din teorema lui Bezout, R estedivizibil prin (X − a), deci este de forma R(X) = m(X − a) ∈ Q[X], deci m,−ma ∈ Q. Deoarece a 6∈ Q, rezulta ca avemm = 0. (Altfel putem considera a = −(−ma)/m.)Rezulta ca restul R este nul.Consideram relatia P = CQ mai ındeaproape. Deoarece coeficientii principali ın P,Q sunt egali cu 1, rezulta ca si coeficientulprincipal ın C este 1. Deci C este un polinom de forma C(X) = X + s cu s ∈ Q. Din egalitatea P = QR rezulta egalitateade polinoame rationale

X3 + 2X + 2 = (X + s)(X2 + mX + n)

= X3 + (m + s)X2 + (sm + n)X + ns .

Obtinem sistemul de ecuatiim + s = 0

ms + n = 2ns = 2

i.e.

s = −m

−m2 + n = 2−mn = 2

i.e.

s = −m

n = 2 + m2

0 = 2 + m(2 + m2)

(Sistemele au fost echivalent reformulate.)Ultima ecuatie din ultimul sistem este echivalenta cu m3 + 2m + 2 = 0, deci cu P (m) = 0. Dar P (X) = X3 + 2X + 2 nuare radacini rationale din (a). Contradictie.Presupunerea facuta este falsa. Rezulta cele afirmate ın enunt.

(g) Deoarece a ∈ R rezulta ca a2006 ∈ R.Presupunem prin absurd ca numarul a2006 este un numar rational, pe care ıl notam cu q.Consideram polinomul T (X) = X2006 − q ∈ Q[X] si polinomul dat P (X) = X3 + 2X + 2. Pentru a mai scurta expunerea,afirmam aici ca exista un cel mai mare divizor ın inelul de polinoame Q[X]. Acest lucru este motivat de existenta algoritmuluilui Euclid de ımpartire cu rest aplicat repetat.Fie D ∈ Q[X] divizorul comun ın Q[X] al polinoamelor P si T . Se stie ca exista polinoame A,B ∈ Q[X] cu AP +BT = D.(Aceste polinoame se pot calcula explicit aplicand algoritmul lui Euclid.)Observamm ca P este polinom ireductibil ın Q[X], adica ca nu se poate scrie ca produs P = P1P2 de polinoame P1, P2 ∈Q[X] de grade > 1. Intr–adevar, altfel unul dintre polinoamele P1, P2 ar avea grad = 1, deci ar fi liniar, deci ar avea oradacina rationala, deci P ar avea o radacina rationala. Contradictie.Daca D ar fi o constanta, atunci din D(a) = (AP + BT )(a) = A(a)P (a)B(a)T (a) = A(a) · 0 + B(a) · 0 = 0, ceea ce esteabsurd. (0 nu divide nici un polinom 6= 0.)Deci D este de grad 3. Putem presupune, dupa ce eventual ımpartim cu coeficientul principal, ca D este monic, deciD = P = X3 + 2X + 2. Rezulta

T (X) = X2006 − q = (X3 + 2X + 2) · C(X) ,

76

unde C est un polinom cat rational.Fie a, b, c cele trei radacini ın C ale lui P = X3 + 2X + 2. Atunci aceste numere complexe sunt si radacini ale polinomuluiT . Rezulta

abc = −2(Vieta)

si

a2006 = q

a2006 = q

a2006 = q

deci, de aici:22006 = (−2)2006 = (abc)2006 = a2006b2006c2006 = qqq = q3 .

Rezulta de aicia = 22006/3 = 22004/3+2/3 = 2668 · 3

√9 6∈ Q .

Contradictie.Presupunerea facuta este falsa. Deci afirmatia din enunt este adevarata.

Observatie: Aceasta problema este “asemanatoare” cu cea de aceeasi culoare din varianta 084.

Observatie: De fapt, restul ımpartirii polinomului X2006 la polinomul P (X) = X3 + 2X + 2 este, calculat cu computerul,

Mod(X^2006,X^3+2*X+2)

%23 = Mod(57283300804880907185156149159188506907249760353557924894909961063557429238734454368420647

195661624208240865164507972904752500745639612507081613332013045458435472477605539081264339026932195

494589769407124458891460456994494001980860211020499228936914144016007239376089452403000810180650207

083995669698897570945208578472909782900162322847307030585409718903192726924878147606305926856828123

15799814000288835950035861504*X^2 + 522265170851646129993063686263708194804382130327055163738836315

639376536901765976457268271956455818256596743237639579203209615344765676901714274594472394416390915

031141225517022915287001558727613274807263718723743332725964251077004872876254489902785023324662840

739851671246511351436250745817481195390947465561831135092724701564863021017154708995347066081934749

1251292074922374791777561876488556688465327518287659008*X + 621809843004771178769037126148408933861

166537940614877792332884964280684163983016035954739499060243934989760791003642396393992051861959460

079838111572732913782094507662900343455691380171494109996980426320732277617719151498565649344145111

114571653861467915714198097200329142439467503244830865396593399398321769908150902697804930857175538

537579230386245987861663477524953392380114275694719672740309499141383996309504, X^3 + 2*X + 2)

?

7.4 Subiectul IV

Exercitiul 35 Se considera functiile fn : R → R, fn(x) = 1 +x

1!+

x2

2!+ · · ·+ xn

n!, ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R, .

(a) Sa se verifice ca f ′n(x) = fn−1(x), ∀n ∈ N, n > 2, ∀x ∈ R, .

(b) Sa se verifice ca fn+1(x) =xn+1

(n + 1)!+ fn(x), ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R, .

(c) Sa se arate ca f2(x) >12, ∀x ∈ R.

(d) Sa se verifice ca 1 +∫ x

0

fn(t) dt = fn+1(x), ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R, .

(e) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca f2n(x) > 0, ∀x ∈ R, ∀n ∈ N.(f) Sa se arate ca functia f2007 este bijectiva.(g) Sa se arate ca functia f2006 este convexa pe R.

Solutie:(a) Avem pentru n > 2 si pentru x ∈ R

f ′n(x) =

∑06k6n

xk

k!

′

=∑

06k6n

(xk

k!

)′=

∑16k6n

(xk

k!

)′=

∑16k6n

k · xk−1

k!

=∑

16k6n

k · xk−1

k · (k − 1)!=

∑16k6n

xk−1

(k − 1)!=

∑06l6n−1

xl

l!

= fn−1(x) .

77

(Am folosit substitutia l = k − 1, astfel ıncat indicele l variaza de la 0 la (n − 1). De asemenea, pentru l = 0, termenulx0/0! este 1.)

(b) fn+1(x) =∑

06k6n+1

xk

k!=

∑06k6n

xk

k!

︸︷︷︸

=fn(x)

+xn+1

(n + 1)!= fn(x) +

xn+1

(n + 1)!pentru orice n > 1 si orice x ∈ R.

(c) Deoarece f2(x)− 12

=(

1 + x +x2

2

)− 1

2=

12(1 + 2x + x2) =

12(1 + x)2 > 0 rezulta ca avem f2(x) >

12.

(d) Functiile de variabila x date de formulele 1 +∫ x

0

fn(x) dx si fn+1(x)

• coincid ın 0, unde au valoarea 1,• si au aceeasi derivata f ′n(x) = fn+1(x) din (a).De aceea ele sunt egale.

(e) Demonstram prin inductie propozitia P (n), n > 0,

P (n) : [ Pentru orice x ∈ R are loc f2n(x) > 0 ].

Propozitia P (0) este adevarata, deoarece 1 > 0.Fie acum n ∈ N. Presupunem ca propozitia P (n) este adevarata.(Incercam sa aratam ca P (n + 1) este adevarata.)Privim ındeaproape functia polinomiala f2(n+1) = f2n+2. Derivata ei este functia polinomiala

f2n+1 .

Aceasta functie este strict crescatoare pe R, deoarece derivata ei, f2n, este > 0, din P (n).Deoarece f2n+1 este un polinom de grad impar cu coeficientul principal 1/(2n + 1)! > 0, exista limitele

limx→−∞

f(x) = −∞ ,

limx→+∞

f(x) = +∞ .

Din continuitate, f2n+1 este bijectiva, are o singura radacina reala ξ = ξn, este negativa pe intervalul (−∞, ξn) si estepozitiva pe intervalul (ξn,∞).Rezulta ca f2n+2 are ın ξ = ξn punctul de minim, de valoare:

f2n+2(ξ) = f2n+1(ξ)︸︷︷︸=0

+ξ2n+2

(2n + 2)!=

ξ2n+2

(2n + 2)!> 0 .

Deoarece aceasta valoare este valoarea minima a lui f rezulta f2n+2 > f2n+2(ξn) > 0, deci propozitia P (n + 1) esteadevarata.Am demonstrat astfel implicatia P (n) ⇒ P (n + 1) pentru toti n ∈ N.Conform principiului inductiei matematice, propozitia P (n) este adevarata pentru toti n ∈ N.

(f) Derivata functiei f2007 este functia f2006 > 0, deci f2007 este o functie strict crescatoare.Deoarece f2007 este un polinom de grad impar 2007 cu coeficientul principal 1/2007! > 0, rezulta ca lim

x→−∞f2007(x) = −∞

si limx→∞

f2007(x) = ∞ .

Deoarece f2007, o functie polinomiala, este o functie continua, ea ia si fiecare valoare din intervalul(lim

x→−∞f2007(x) , lim

x→∞f2007(x)

)= (−∞,∞) = R ,

deci f2007 este si surjectiva.Deci f2007 este bijectiva.

(g) Deoarece f ′′2006 = f2004 > 0 (aplicand punctul (e) pentru 2n = 2004, n = 1002 ∈ N), rezulta ca f este o functieconvexa.

78

Capitolul 8

Varianta 048

8.1 Subiectul I

Exercitiul 36 (a) Sa se calculeze modulul vectorului −→v = 3−→i − 4

−→j .

(b) Sa se calculeze distanta de la punctul E(−1, 1) la dreapta x− y + 1 = 0.(c) Sa se scrie ecuatia cercului cu centrul ın E(−1, 1) care este tangent la dreapta x− y + 1 = 0.(d) Sa se calculeze aria triunghiului cu varfurile n punctele L(1, 2), M(2, 4) si N(3, 8) .

(e) Sa se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ABC cu AB = 2, AC = 3 si m(BAC) = 60 .(f) Sa se determine a, b, c ∈ R astfel ıncat punctele A(1, 2, 3), A(3, 1, 2) si A(2, 3, 1) sa apartina planului x+ay+bz+c =

0.

Solutie:(a) |−→v | =

√32 + (−4)2 =

√9 + 16 =

√25 = 5 .

(b) Prima solutie: Folosind formula de calcul, aceasta distanta este:

| (−1)− 1 + 1 |√12 + (−1)2

=1√2

=√

22

.

Prima solutie: Un calcul explicit duce la acelasi rezultat. Dreapta data are panta 1. Orice perpendiculara pe ea are panta−1/1 = −1. Cautam deci o dreapta de ecuatie de forma x + y + a = 0, pe care se afla E. Desigur, a = 0. Intersectiadreptelor x− y + 1 = 0 si x + y = 0 este ın punctul A(−1/2, 1/2), a carui distanta de E este tot

√2/2.

Intr–o schita:

//

OO

•(−1,0)

• (0,1)

•E(−1,1)

•A(− 12 , 1

2 )

(c) Prima solutie: Cum amm vazut ın a doua soultie (geometrica) a punctului (b), dreapta AE este perpendiculara pedreapta data. Deci cercul cautat este cercul cu centrul ın E si raza AE = 1/

√2. Ecuatia lui este:

(x + 1)2 + (y − 1)2 =12

.

A doua solutie: Ecuatia unui cerc cu centrul ın punctul E si raza (necunoscuta) R este:

(x− (−1))2 + (y − 1)2 = R2 .

79

Explicit, (x + 1)2 + (y − 1)2 = R2. Dreapta data este tangenta la acest cerc, daca si numai daca sistemul format din celedoua ecuatii

x− y + 1 = 0

(x + 1)2 + (y − 1)2 = R2i.e.

y = x + 1

(x + 1)2 + ((x + 1)− 1)2 = R2i.e.

y = x + 1

(x + 1)2 + x2 = R2

are o solutie unica (sau o soultie dubla).Aceasta se ıntampla daca si numai daca discriminantul ecuatiei (x + 1)2 + x2 − R2 = 0 de gradul doi ın variabila x seanuleaza. Avem ecuatia echivalenta 2x2 + 2x + (1−R2) = 0, rescrisa:

x2 + x +1−R2

2= 0 .

Deoarece numai x2 +x+frac14 =(

x +12

)2

singura posibilitate de anulare a discriminantul poate fi, rezulta1−R2

2=

14,

adica R2 = 1/2. Cercul cautat are deci ecuatia

(x + 1)2 + (y − 1)2 =12

.

El are raza 1/√

2.

(d) Prima solutie: (Formula.)Folosind formula ariei, aceasta este:

12

∣∣∣∣∣∣1 1 21 2 41 3 8

∣∣∣∣∣∣ = 12

∣∣∣∣∣∣1 1 20 1 20 2 6

∣∣∣∣∣∣ = 12· 1 ·

∣∣∣∣1 22 6

∣∣∣∣ = 12(6 · 1− 2 · 2) = 1 .

A doua solutie: Este absurd sa credem ca un elev de casa a cincea estelipsit de sansa sa rezolve aceasta problema. . .Aria cautata se scrie ca diferenta dintre aria unui “dreptunghi mare” cu laturile de 2 si 6 si cateva arii “mai mici”, anume un dreptunghi de laturi 1 si 2 si treitriunghiuri dreptunghice care se extrag din figura.Aria este:

2 · 6 −(

1 · 2 +121 · 2 +

122 · 6 +

121 · 4

)= 12− 11 = 1 .

//

OO

0

1

2

3

4

012345678

•L

•M

•N

(e) Folosind relatia lui Pitagora generalizata (care nu mai este a lui, probabil,) notand laturile cu a, b, c ın mod traditional,avem:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos m(A)

= 32 + 22 − 2 · 2 · 3 · 12

= 13− 6 = 7 .

(f) Prima solutie: Punctele date sunt “nu tocmai la ıntamplare”. In astfel de cazuri, orice observatie care face mai precisasituatia (coincidenta) poate duce la o solutie rapida. Astfel observam aici:Cele trei puncte se afla pe planul de ecuatie

x + y + z − 6 = 0 ,

deoarece verifica fiecare aceasta ecuatie. Valorile lui a, b, c sunt deci:

a = 1 , b = 1 , c = −6 .

dA doua solutie: Se calculeaza determinantul de mai jos si se impune ecuatia planului:∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 2 31 3 1 21 2 3 11 x y z

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ,

pe care se afla desigur cele trei puncte. (Inlocuind componentele se obtin doua linii egale.) Pentru asa ceva avem masini:

80

(%i147) A: matrix( [1,1,2,3], [1,3,1,2], [1,2,3,1], [1,x,y,z] )$

(%i148) factor( determinant(A) );

(%o148) 3 (z + y + x - 6)

Mai departe procedam ca ın prima solutie.

8.2 Subiectul II

Exercitiul 37 (a) Sa se calculeze a7 daca17

= 0, a1a2 . . . an . . . (scriere zecimala ın baza zece a lui 1/7).

(b) Sa se calculeze probabilitatea ca un element x ∈ Z3 sa verifice relatia x2007 = 1.(c) Sa se calculeze suma C0

5 + C15 + · · ·+ C5

5 .(d) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 3x + 9x = 12 .(e) Sa se calculeze suma termenilor rationali ai binomului (2 +

√3)3.

Solutie:(a) Avem cu computerul sau cu mana 1

7 = 0, (142857) = 0, 142857 142857 142857 . . . Cifra cautata este a7 = 1 .

Verificam (cod maxima), cu o mica “gluma”:

(%i1) 1/7, numer;

(%o1) 0.14285714285714

(%i2) 999999 / 7;

(%o2) 142857

(b)Elementul 0 cu 02007 = 0 6= 1 nu este solutie a ecuatiei date.Elementul 1 cu 12007 = 1 este solutie a ecuatiei date.Elementul 2 = −1 cu 22007 = (−1)2007 = −1 6= 1 nu este solutie a ecuatiei date.Probabilitatea P ceruta este deci:



13

.

(c) Avem din formula binomiala C05 + C1

5 + · · ·+ C55 = (1 + 1)5 = 25 = 32 .

Dar si solutia cu mana este perfect acceptabila, ea trebuie sa documenteze ce documentez eu cu computerul:

(%i3) sum( binom(5,k), k, 0, 5 );

(%o3) 32

(%i4) for k:0 thru 5 do print( k, " -> ", binom(5,k) ); done;

0 -> 1

1 -> 5

2 -> 10

3 -> 10

4 -> 5

5 -> 1

De exemplu, mentionarea triunghiului lui Pascal, ar trebui sa aduca toate punctele, ımpreuna cu calculul 1+5+10+10+5 + 1 = 32.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

(d) Prima solutie: Substituim 3x = y > 0. Ecuatia data ın x se transforma ın ecuatia ın necunoscuta y > 0

y + y2 = 12 , i.e. y2 + y − 12 = 0 .

Radacinile sunt y = −4 si y = 3, deoarece ele satisfac relatiile lui Vieta. valoarea −4 < 0 este exclusa ca valoare a functieiexponentiale x → 3x.Ecuatia data este deci echivalenta cu 3x = 3 cu solutia x = 1 .

81

A doua solutie: Data doar ca exemplificare a unui stil economic (nedidactic, nepedagogic, nepretuit) de redactare a solutiilor:Ecuatia data este echivalenta cu

(3x − 3) · (3x + 4)︸︷︷︸>4>0

= 0 ,

ın care se poate anula doar primul factor, deci solutia este x = 1 .

(e)

(2 +√

3)3 = 23 + 3 · 22 ·√

3 + 3 · 2 · 3 + 3√

3 = 26 + 15√

3 .

Suma termenilor rationali este deci 26 .

(%i6) (2+sqrt(3))^3;

3

(%o6) (sqrt(3) + 2)

(%i7) expand(%);

(%o7) 15 sqrt(3) + 26

Exercitiul 38 Se considera functia f : (0,∞) → (0,∞),

f(x) = ln(x + 1)− lnx .

(a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ (0,∞).(b) Sa se calculeze lim

n→∞

(f(1) + f(2) + · · ·+ f(n)

).

(c) Sa se arate ca functia f este convexa pe intervalul (0,∞).(d) Sa se arate ca functia f este bijectiva.

(e) Sa se calculeze

∫ 1

0

ln(x + 1) dx .

Solutie:(a) Functia data este derivabila cu derivata ın punctul x ∈ R, x > 0, egala cu

1x + 1

− 1x

=x− (x + 1)

x(x + 1= − 1

x(x + 1)< 0 .

(%i10) diff( log(x+1)-log(x), x );

1 1

(%o10) ----- - -

x + 1 x

(%i11) factor(%);

1

(%o11) - ---------

x (x + 1)

(b) Suma data sub limita este “telescopica”, ea are valoarea ln(n + 1)− ln(1) = ln(n + 1) si tinde la +∞ pentru n →∞.

(c) Derivata a doua a functiei f este ın punctul x ∈ R, x > 0,(1

x + 1− 1

x

)′= − 1

(x + 1)2+

1x2

=(x + 1)2 − x2

x2(x + 1)2=

2x + 1x2(x + 1)2

> 0

Deci f este o functie convexa pe domeniul de definitie.

(%i12) factor( diff( log(x+1)-log(x), x, 2 ) );

2 x + 1

(%o12) -----------

2 2

x (x + 1)

82

(d) Cum am observat la (a) avem f ′ < 0, deci f este o functie strict descrescatoare, deci injectiva.Limitele functiei f la capetele intervalului sunt:

limx→0x>0

f(x) = limx→0x>0

ln(x + 1)− ln(x) = limx→0x>0

− ln(x) = −(−∞) = +∞ ,

limx→∞

f(x) = limx→∞

ln(x + 1)− ln(x) = limx→∞

lnx + 1

x= ln lim

x→∞

(1 +

1x

)= ln(1 + 0) = ln 1 = 0 .

Imaginea lui f este din cauza continuitatii intervalul (0,∞), deci f este surjectiva.Deci f este bijectiva.

(e) Integrare prin parti:∫ 1

0

ln(x + 1) dx =∫ 1

0

(x + 1)′ · ln(x + 1) dx =[

(x + 1) · ln(x + 1)]10−∫ 1

0

(x + 1) · 1x + 1 dx︸︷︷︸=1

= 2 ln 2− 1 .

Cod maxima:

(%i13) integrate( log(x+1), x, 0, 1 );

(%o13) 2 log(2) - 1

(%i14) integrate( log(x+1), x );

(%o14) (x + 1) log(x + 1) - x - 1

8.3 Subiectul III

Exercitiul 39 Se considera polinomul f = X3 + aX + b, unde a, b ∈ R, cu radacinile x1, x2, x3 ∈ C. Notam Sk =xk

1 + xk2 + xk

3 , ∀k ∈ N∗, S0 = 3,

A =

1 1 1x1 x2 x3

x21 x2

2 x23

, ∆ = det(A ·AT ) ,

unde prin AT am notat transpusa matricii A. Se stie ca det(X · Y ) = det(X) · det(Y ), ∀X, Y ∈ M3(C).(a) Sa se verifice ca S1 = 0 si S2 = −2a.(b) Sa se arate ca Sn+3 + aSn+1 + bSn = 0, ∀n ∈ N.(c) Sa se calculeze S3 si S4 numai ın functie de a si b.

(d) Sa se verifice ca A ·AT =

S0 S1 S2

S1 S2 S3

S2 S3 S4

.

(e) Sa se calculeze ∆ numai ın functie de a si b.(f) Sa se arate ca daca x1, x2, x3 ∈ R, atunci ∆ > 0.

Solutie: Inainte de toate scriem relatiile lui Vieta pentru radacinile polinomului dat:

x1 + x2 + x3 = −0 ,

x1x2 + x2x3 + x3x1 = +a ,

x1x2x3 = −b .

(a) De mai sus rezulta S1 = x1 + x2 + x3 = 0 si apoi, din relatiile lui Vieta,

S2 = x21 + x2

2 + x23

= (x1 + x2 + x3)2 − 2(x1x2 + x2x3 + x3x1)

= 02 − 2a = −2a .

83

(b) Deoarece x1, x2, x3 sunt radacinile polinomului f , avem:x3

1 + ax1 + b = 0 ,

x32 + ax2 + b = 0 ,

x33 + ax3 + b = 0 ,

de unde rezulta

(x3

1 + ax1 + b)xn1 = 0 ,

(x32 + ax2 + b)xn

2 = 0 ,

(x33 + ax3 + b)xn

3 = 0 .

Adunand ultimele trei egalitati si folosind definitiile pentru Sn+3, Sn+1, Sn rezulta:

Sn+3 + aSn+1 + bSn = 0 .

(c) Din (b) rezulta

S3 = −aS1 − bS0 = −3b ,

S4 = −aS2 − bS1 = −a(−2a)− 0 = 2a2 .

(d)

A ·AT =

1 1 1x1 x2 x3

x21 x2

2 x23

1 x1 x21

1 x2 x22

1 x3 x23

=

1 + 1 + 1 x1 + x2 + x3 x21 + x2

2 + x23

x1 + x2 + x3 x21 + x2

2 + x23 x3

1 + x32 + x3

3

x21 + x2

2 + x23 x3

1 + x32 + x3

3 x41 + x4

2 + x43

=

S0 S1 S2

S1 S2 S3

S2 S3 S4

.

(e) Cu cele de pana acum putem scrie:

∆ =

∣∣∣∣∣∣3 0 −2a0 −2a −3b−2a −3b 2a2

∣∣∣∣∣∣ = −12a3 + 8a3 − 27b2

= −(4a3 + 27b2) .

(f) Daca radacinile lui f sunt reale, atunci matricea A are intrari reale, deci det A ∈ R. Rezulta din det A = det(AT ) simultiplicativitatea functiei determinant:

∆ = det(A ·AT ) = (det A)(detAT ) = (det A)(detA) = (det A)2 > 0 .

Observatie: Deoarece A este o matrice Vandermonde, avme

det A = (x3 − x2)(x3 − x1)(x2 − x1) ,

∆ = (x3 − x2)2(x3 − x1)2(x2 − x1)2 .

Problema ne–a oferit o solutie scurta pentru exprimarea discriminantului ∆ al polinomului f ın termenii coeficientilor lui f .Din formula de produs de mai sus, vedem ca discriminantul se anuleaza, daca si numai daca doua radacini coincid.Exaplu numeric cu x1 = 1, x2 = 2, x3 = −3, astfel ıncat S1 = x1 + x2 + x3 = 0:

(%i20) expand( (x-1)*(x-2)*(x+3) );

3

(%o20) x - 7 x + 6

(%i21) a: -7$

(%i22) b: 6$

(%i23) -(4*a^3+27*b^2);

(%o23) 400

8.4 Subiectul IV

Exercitiul 40 Se considera pentru orice n ∈ N∗ integralele

In =∫ 2π

0

cos x cos(2x) · · · cos(nx) dx ,

si formula 2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a− b), ∀a, b ∈ R.

84

(a) Sa se calculeze

∫ 2π

0

cos(kx) dx, ∀k ∈ N∗.

(b) Sa se calculeze integrala I2.(c) Sa se arate ca, daca n ∈ 5, 6, atunci ±1± 2± · · · ± n 6= 0 , pentru orice alegere a semnelor.(d) Sa se arate ca exista o alegere a semnelor astfel ıncat ±1 ± 2 ± · · · ± n = 0 , daca si numai daca n ∈ N∗ este un

numar de forma 4k sau 4k + 3.(e) Sa se arate ca In 6= 0 daca si numai daca n este un numar de forma 4k sau 4k + 3.

(f) Sa se calculeze limn→∞

In

n.

(g) Notam cu An =

k ∈ 1, 2, . . . , n∣∣∣ Ik 6= 0

si cu an numarul de elemente ale lui An. Sa se calculeze lim

n→∞

an

n.

Solutie:

(a) Deoarece k 6= 0, si deoarece primitiva functiei R → R, x → cos(kx) care este1k

sin(kx), este periodica cu perioada

(neminimala) 2π, rezulta ∫ 2π

0

cos(kx) dx =[ 1

ksin(kx)

]2π

0= 0 .

(b) Avem folosind (a) si formula data, prin care transformam un prods de cosinusuri ıntr–o suma,

I2 =∫ 2π

0

cosx cos(2x) dx =∫ 2π

0

12( cos(3x)− cos(x) ) dx =

12

∫ 2π

0

cos(3x) dx︸︷︷︸=0

+∫ 2π

0

cos(x) dx︸︷︷︸=0

= 0 .

(%i32) integrate( cos(x)*cos(2*x), x, 0, 2*%pi );

(%o32) 0

(c) Valoarea ın Z2 (deci modulo 2) a numarului dat este

± 1± 2± 3± 4± 5(±6) modulo 2

= 1 + 0 + 1 + 0 + 1+0 = 1 6= 0 ,

deci acesta este un numar ıntreg impar, deci 6= 0.

(d) Cu acelasi argument ca si la (c), pentru n de forma 4k + 1 sau 4k + 2 avem modulo doi:

± 1± 2± 3± · · · ± (4k + 1)(±(4k + 2)) modulo 2= ±1± 3± · · · ± (4k + 1) modulo 2= 1 + 1 + · · ·+ 1︸︷︷︸

2k+1 ori

= (2k + 1) = 1 modulo 2

deci acesta este un numar ıntreg impar, deci 6= 0.In cazul n = 4k avem realizarea lui 0:

(1− 2− 3 + 4) + (5− 6− 7 + 8) + · · ·+ ((4k − 3)− (4k − 2)− (4k − 1) + (4k)) = 0 .

In cazul n = 4k + 3 avem realizarea lui 0:

(1 + 2− 3) + (4− 5− 6 + 7) + (8− 9− 10 + 11) · · ·+ ((4k)− (4k + 1)− (4k + 2) + (4k + 3)) = 0 .

(e) Pentru a ne explica ideea mai bine consideram mai ıntai procesul de spargere totala a produsului cos x cos(2x) · · · cos(nx)ın suma de cosinusuri ın kx, k ∈ Z. In primul rand doresc sa rescriu formula data de descompunene sub forma

cos(x) · cos(y) =12

(cos(x + y) + cos(x− y)

)=

14

(cos(x + y) + cos(−x− y)︸︷︷︸

termeni egali

+cos(x− y) + cos(−x + y)︸︷︷︸termeni egali

)

=14

∑ε,δ∈−1,+1

cos(εx + δy) .

85

De aceea avem inductiv pentru orice x1, x2, . . . , xn ∈ R spargerea

cos(x1) · cos(x2) · . . . · cos(xn) =12n

∑ε1∈−1,+1ε2∈−1,+1

...εn∈−1,+1

cos(ε1x1 + ε2x2 + · · ·+ εnxn) .

Suma are 2n termeni. Aplicand ın cazul problemei noastre pentru x ∈ R, n ∈ N∗:

cos(x) cos(2x) · · · cos(nx) =12n

∑cos( ±x± 2x± · · · ± nx )

=12n

∑k∈Z

R(k, n) · cos(kx) , unde

R(k, n) este numarul de reprezentari ale lui k de forma ±1± 2 · · · ± n .

Prin integrare pe [0, 2π], stim ca doar termenul cos(0x) = 1 (pentru k = 0) contribuie (nenul) la valoarea integralei.Integrand 1 pe [0, 2π] obtinem 2π. De aici si din liniaritatea integralei obtinem pentru orice n ∈ N∗:

In =12n

∑k∈Z

R(k, n) ·∫ 2π

0

cos(kx) dx

=12n

∑k=0

R(k, n) · 2π =12n

R(0, n) · 2π .

Din (d) stim ca

R(0, n) este

> 0 daca n = 4k, n = 4k + 3 , k ∈ Z ,

= 0 altfel ,In este

> 0 daca n = 4k, n = 4k + 3 , k ∈ Z ,

= 0 altfel .

Suport al computerului: Incercam sa calculam ın cazuri de n “mic” valorile lui In si ale lui R(0, n). Cod maxima:

/* rezultatul calculelor de integrale */

/* vor fi stocat in lista Rezultate */

/* fiecare intrare fiind [n,In] */

Rezultate: [];

for n: 1 thru 20 do(

In: integrate( product( cos(k*x), k, 1, n ), x, 0, 2*%pi ),

Rezultate: append( Rezultate, [ [n,In] ] )

);

“Ruland” acest cod, deci luandu-l ın mouse si lasandu–l ın fereastra maxima (nici o compilare sau link-editare. . . ), obtinemdupa un protocol neinteresant rezultatele:

(%i22) Rezultate ;

%pi %pi %pi

(%o22) [[1, 0], [2, 0], [3, ---], [4, ---], [5, 0], [6, 0], [7, ---],

2 4 8

7 %pi 35 %pi 31 %pi

[8, -----], [9, 0], [10, 0], [11, ------], [12, ------], [13, 0], [14, 0],

64 512 512

361 %pi 657 %pi 2055 %pi 1909 %pi

[15, -------], [16, -------], [17, 0], [18, 0], [19, --------], [20, --------]]

8192 16384 65536 65536

(%i23)

De aici deducem de exemplu ca I7 = π/8. Cate reprezentari are 0 sub forma ±1± 2 · · · ± 7 ? Scriem un program mic. Eualeg pari, deoarece un “multiciclu” este deja implementat:

nr_rep=0;

forvec( v=vector( 7, i, [0,1] ),

suma=sum( i=1,7, (-1)^v[i]*i );

if( suma == 0,

for(i=1, 7, print1( if(v[i],"-","+"), i ) );

nr_rep=nr_rep+1; print( " = 0 (", nr_rep,")" );

);

);

86

Desigur, un programator nu ar scrie atat de des cifra 7, mai ales daca ar fi fost vorba de scopuri didactice. Sorii! “Ruland”acest program se obtine:

+1+2-3+4-5-6+7 = 0 (1)

+1+2-3-4+5+6-7 = 0 (2)

+1-2+3+4-5+6-7 = 0 (3)

+1-2-3-4-5+6+7 = 0 (4)

-1+2+3+4+5-6-7 = 0 (5)

-1+2-3-4+5-6+7 = 0 (6)

-1-2+3+4-5-6+7 = 0 (7)

-1-2+3-4+5+6-7 = 0 (8)

Avem 8 reprezentari, formula 127 ·R(0, 7) · 2π livreaza π/8, ın concordanta cu calculul din maxima, facut, desigur, prin “alte

metode”. Se ınchide un mic cerc. Iata ca matematica si informatica merg o buna bucata de vreme mana ın mana.

(f) Deoarece functia de sub integrala definitorie a lui In este un produs de functii cosinus (de argumente diferite), aceastaia valori ın intervalul [−1, 1]. Deci

−2π =∫ 2π

0

−1 dx 6 In 6∫ 2π

0

1 dx = 2π .

Rezulta

−2π

n6

In

n6

2π

n,

de unde, aplicand criteriul clestelui rezulta ca limn→∞

In

n= 0 .

(g) Pentru k ∈ N∗ avem subsirurile

a4k

4k=

2k

4k=

12

care tinde pentru k →∞ la12

,

a4k+1

4k + 1=

2k

4k + 1care tinde pentru k →∞ la

12

,

a4k+2

4k + 2=

2k

4k + 2care tinde pentru k →∞ la

12

,

a4k+3

4k + 3=

2k + 14k + 3

care tinde pentru k →∞ la12

.

Deoarece cele patru siruri “epuizeaza” sirul dar (an/n), n ∈ N∗, rezulta

limn→∞

an

n=

12

.

Deoarece mai e loc, iata pozele functiilor cos x cos(2x) cos(3x) si cos x cos(2x) cos(3x) cos(4x) obtinute ın PARI prin codul:

f(n,x)=prod(k=1,n,cos(k*x));

plot( x=0,2*Pi, f(3,x) );

plot( x=0,2*Pi, f(34x) );

Arta ASCII, titlurile tablourilor sunt: “Inside New York” si respectiv “New York from the Ocean”.1 "’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’xx’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’"

|x :: x|

|: : : :|

| : " " : |

| : : : : |

| " : : " |

| : : : : |

| : _ _ : |

| : : : : |

| : : : : |

| x : : x |

| : : : : |

| : : : : |

| : " " : |

| : _ : : _ : |

| x _ x "" : : "" x _ x |

| : _ " _ : : _ " _ : |

| : _ _ _ _ _ _ : |

| : x _ : : _ x : |

| x _ _ x : : x _ _ x |

‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘"‘‘‘‘‘‘‘_‘_‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘_‘_‘‘‘‘‘‘‘"‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘

-0.078876 |.....xx................._............_.................xx.....|

0 6.283185

1 "’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’__’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’"

| :: |

|_ :: _|

|: : : :|

|: : : :|

|: _ _ :|

| : : : : |

| : : : : |

| : : : : |

| " : : " |

| : : : : |

| : : : : |

| : _ _ : |

| : : : : |

| : : : : |

| _ : : _ |

| : : : : |

| : _ x_ x_ _ _ _ _ _x _x _ : |

| : " _ _ x x _ _ x x _ _ " : |

‘‘‘‘"x‘‘"‘‘‘‘‘‘‘"‘‘‘_‘‘‘‘‘‘x‘‘‘‘‘‘‘‘x‘‘‘‘‘‘_‘‘‘"‘‘‘‘‘‘‘"‘‘x"‘‘‘‘

| x " " x |

-0.146001 |........"_..........x_.................._x.........._"........|

0 6.283185

87

Capitolul 9

Varianta 049

9.1 Subiectul I

Exercitiul 41 (a) Sa se determine partea reala a numarului complex z = i6 + i7.(b) Sa se calculeze lungimea medianei din A a triunghiului cu varfurile ın punctele A(−2,−2), B(2, 0), C(0, 4).(c) Sa se calculeze cos2(75) + cos2(15).(d) Sa se determine ın cate puncte se intersecteaza dreapta de ecuatie y = 1 cu cercul de centru O(0, 0) si de raza egala

cu 1.(e) Sa se determine cate puncte cu ambele coordonate ıntregi sunt situate ın discul cu centrul ın O(0, 0) si de raza egala

cu 1. (Acesta are ecuatia x2 + y2 6 1.)(f) Sa se scrie ecuatia unei drepte paralele cu dreapta de ecuatie 3x− y − 2 = 0 care trece prin punctul O(0, 0).

Solutie:(a) Deoarece i4 = 1, avem z = i6 + i7 = i2 + (i2)i = −1− i. Partea reala a acestui numar este −1 .

(%i25) realpart( %i^6 + %i^7 );

(%o25) - 1

(b) A′, mijlocul laturii BC are coordonatele(

12 (2 + 0) , 1

2 (0 + 4))

= (1, 2), Distanta |AA′|, lungimea cautata, este√(−2− 1)2 + (−2− 2)2 =

√32 + 42 =

√25 = 5 .

(c) Deoarece 75 si 15 sunt (masuri de) unghiuri complementare, avem cos(75) = sin(15). De aici rezulta

cos2(75) + cos2(15) = sin2(15) + cos2(15) = 1 .

(%i37) trigreduce( cos(5*%pi/12)^2 + cos(%pi/12)^2 );

sqrt(3) + 2 2 - sqrt(3)

(%o37) ----------- + -----------

4 4

(%i38) expand(%);

(%o38) 1

(Nici maxima nu a vazut direct raspunsul. . . )

(d) Sistemul de ecuatii corespunzator este: y = 1 ,

x2 + y2 = 1 .

Introducand prima ecuatie ın cea de–a doua, obtinem x2 = 0, deci x = 0. Singurul punct de intersectie este (0, 1). Pentrucorector trebuie sa scriem explicit (pentru a nu pierde puncte) Dreapta si cercul date se intersecteaza ıntr–un punct.

88

(e) Fie (x, y) un punct cu coordonatele ıntregi ın disc, deci satisfacand x2 + y2 6 1. Rezulta x2, y2 6 1, deci |x|, |y| 6 1,deci

x, y ∈ −1, 0, 1 .

Exista 3 ·3 posibilitati de alegere a perechii (x, y), satisfacand relatia de mai sus. Punctele de forma (±1,±1) trebuie excluse,deoarece ele au distanta

√1 + 1 =

√2 > 1 fata de origine.

deci doar urmatoarele puncte au sansa sa se afle ın disc,

(0, 0) , (1, 0) , (−1, 0) , (0, 1) , (0,−1) ,

verificandu–se usor ca ele sunt ıntr–adevar ın disc. Raspunsul la ıntrebarea din enunt este: Cinci puncte de coordonate ıntregise afla ın discul dat.

(f) Raspuns: 3x− y = 0 . Punctul (0, 0) se afla pe aceasta dreapta, deoarece verifica ecuatia, 3 · 0 − 0 = 0. Ea este

paralela cu dreapta data pentru ca are aceeasi panta, 3.

9.2 Subiectul II

Exercitiul 42 (a) Sa se determine cel mai mare dintre numerele a =√

2 si b = 3√

3(b) Sa se determine cate numere de 2 cifre scrise ın baza zece nu contin cifrele 2, 3, 4, 5.(c) Sa se determine cate numere ıntregi c satisfac 2 < log2 c < 3 .

(d) Sa se determine cate numere ıntregi d satisfac

[2d

3

]= 2 . (Aici, [x] reprezinta partea ıntreaga a numarului real x.)

(e) Sa se dea exemplu de un polinom de gradul al treilea cu coeficienti ıntregi pentru care produsul radacinilor sale esteegal cu 2.

Solutie:(a) Deoarece a, b > 0, aplicand functia strict crescatoare g(x) = x6, (0,∞) → (0,∞), cu inversa strict crescatoareg−1(x) = x1/6, comparam echivalent g(a) = g(2) = 23 = 8 si g(b) = g( 3

√3) = 32 = 9. Deoarece avem 8 < 9, avem si

a < b. Cel mai mare dintre cele doua numere este deci b .

(%i39) 2^(1/2), numer;

(%o39) 1.414213562373095

(%i40) 3^(1/3), numer;

(%o40) 1.442249570307408

(Acest cod maxima nu este desigur legal ın conditii de examen, astazi.)

(b) Fie ab un numar de doua cifre scris ın baza zece, care satisface conditiile impuse ın enunt.Atunci exista 5 posibilitati de alegere a cifrei a, anume 1, 6, 7, 8, 9, si exista independent de alegerea facuta 6 posibilitati dealegere a cifrei b, anume 0, 1, 6, 7, 8, 9.Numarul total de posibilitati este deci 5 · 6 = 30 .

(c) Inecuatia data este echivalenta (dupa aplicarea functiei strict crescatoare x → 2x) cu

4 = 22 < 2log2 c = c < 23 = 8 .

Solutiile sunt 5, 6, 7, ın numar de trei.

(d) Din proprietatile functiei parte ıntreaga rezulta ca egalitatea data este echivalenta cu

2 62d

3< 3 ,

adica echivalent 6 6 2d < 9, echivalent 6 6 2d 6 8, echivalent 3 6 d 6 4. Solutiile sunt 3, 4, ın numar de doua.

(e) Orice polinom de forma X3 + aX2 + bX − 2, a, b ∈ C, are, potrivit relatiilor lui Vieta, produsul radacinilor egal cu 2.Ei au vrut ın problema un exemplu cu coeficienti ıntregi. Deci ne restrangem la a, b ∈ Z. Ei au vrut ın enunt unul explicit.

Bine. Putem sa luam a = b = 0. Un exemplu este deci X3 − 2 .Un alt exemplu se poate construi cu mana imediat. Alegem trei numere ıntregi de produs 2, calculam produsul factorilor liniari

corespunzatori. Alegand 1, 1, 2 ca radacini, polinomul corespunzator este (X−1)(X−1)(X−2) = X3 − 4X2 + 5X − 2

89

(%i41) expand( (X-1)*(X-1)*(X-2) );

3 2

(%o41) X - 4 X + 5 X - 2

Exercitiul 43 Se considera functia f : R → R, f(x) =2x

x2 + 3.

(a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R.(b) Sa se determine punctele de extrem local ale functiei f .(c) Sa se determine cel mai mare dintre numerele a = f(

√3) si b = f(2).

(d) Sa se determine ecuatia asimptotei spre +∞ la graficul functiei f .

(e) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx .

Solutie:(a)

f ′(x) =(2x)′(x2 + 3)− (2x)(x2 + 3)′

(x2 + 3)2=

2(x2 + 3)− (2x)(2x)(x2 + 3)2

= −2(x2 − 3)(x2 + 3)2

.

(%i42) diff( 2*x/(x^2+3), x );

2

2 4 x

(%o42) ------ - ---------

2 2 2

x + 3 (x + 3)

(%i43) factor(%);

2

2 (x - 3)

(%o43) - ----------

2 2

(x + 3)

(b) Punctele de extrem local ale lui f sunt punctele x pentru care avem f ′(x) = 0, si ın plus pentru care f ′ “ısi schimbasemnul” ıntr–un interval deschis (suficient de mic) ın jurul lui x. (Trebuie sa eliminam punctele de inflexiune.)In cazul nostru, f ′(x) = 0 este o ecuatie echivalenta cu ecuatia (x2 − 3) = 0 din (a). Unicele solutii ale acestei ecuatii

de gradul doi sunt +√

3, −√

3 , iar f ′ ısi schimba semnul ıntr–un interval convenabil ın jurul fiecaruia din aceste doua

puncte, deoarece (x2 − 3) si–l schimba (iar ceilalti factori au semn constant).Poza ASCII a functiei date, obtinuta prin comanda PARI:plot( x=-4, 4, 2*x/(x^2+3) ); respectiv plot(x=-18,18,2*x/(x^2+3));0.5773196 |’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’_x"""""xxx_’’’’’’’’’’’|

| _" ""xx__ |

| x "xx__|

| x "

| x |

| _ |

| |

| " |

| x |

| |

| " |

‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘_‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘

| |

| x |

| _ |

| |

| " |

| x |

_ x |

|""xx_ x |

| ""xx__ _" |

-0.57732 |..........."xxx_____x"........................................|

-4 4

0.5714286 |’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’""_’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’|

| _ |

| " x |

| : x |

| : "x |

| : "x_ |

| : "x_ |

| x ""x___ |

| : """xxx____

| : |

| : |

‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘:‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘

| : |

""""xxx___ : |

| """x__ x |

| "x_ : |

| "x_ : |

| x_ : |

| x : |

| x _ |

| " |

-0.571429 |.........................."__.................................|

-18 18

(c) Am observat ca√

3 este un extrem local. In cadrul aceleiasi discutii, observam ca f ′(x) < 0 pentru orice x >√

3,deoarece (x2 − 3) > 0 pentru aceste numere reale x. Deci f este strict descrescatoare pe intervalul (

√3,∞). Rezulta din√

3 < 2:a = f(

√3) > f(2) = b .

Numarul mai mare este a .

90

(%i14) f(x) := 2*x/(x^2+3)$

(%i15) f(sqrt(3)), numer;

(%o15) 0.57735026918963

(%i16) f(2), numer;

(%o16) 0.57142857142857

(d) Avem:

limx→∞

f(x) = limx→∞

2/x

1 + (3/x2)=

01 + 0

= 0 .

Deci axa Ox este asimptota orizontala a functiei f le +∞, ecuatia ei este y = 0 .

(e) ∫ 1

0

f(x) dx =∫ 1

0

1x2 + 3

d(x2 + 3) =[

ln(x2 + 3)]10

= ln 4− ln 3 = ln43

.

(%i18) integrate( 2*x/(x^2+3), x, 0, 1 )$

(%i19) expand(%);

(%o19) log(4) - log(3)

9.3 Subiectul III

Exercitiul 44 Se considera a ∈ R, n ∈ N∗, n > 3, si polinomul

f = Xn − (cos 2na + i sin 2na)

cu radacinile notate x0, x1, . . . , xn−1 ∈ C, si formulele 1− cos 2a = 2 sin2 a, 1 + cos 2a = 2 cos2 a si 2 sin a cos a = sin 2a,a ∈ R.(a) Sa se calculeze f(1) si f(−1).(b) Sa se verifice identitatea 1− cos 2x− i sin 2x = −2i sinx(cos x + i sinx), ∀x ∈ R.(c) Sa se verifice identitatea 1 + cos 2x + i sin 2x = 2 cos x(cos x + i sinx), ∀x ∈ R.(d) Sa se arate ca

xk = cos(

2a +2kπ

n

)+ i sin

(2a +

2kπ

n

), ∀k ∈ 0, 1, . . . , (n− 1) .

(e) Sa se arate ca:

f =∏

06k<n

[X −

(cos(

2a +2kπ

n

)+ i sin

(2a +

2kπ

n

) ) ].

(f) Sa se arate ca

sinna = 2n−1∏

06k<n

sin(

a +kπ

n

), ∀a ∈ R , ∀n ∈ N , n > 3 .

(g) Sa se arate ca

cos(2p + 1)a = 22p(−1)p∏

06k62p

cos(

a +kπ

2p + 1

), ∀a ∈ R , ∀p ∈ N∗ .

Solutie:(a)

f(1) = 1− cos 2na− i sin 2na ,

f(−1) = −1− cos 2na− i sin 2na .

(b) si (c)−2i sinx(cos x + i sinx) = −2i sinx cos x + 2 sin2 x = −i sin 2x + (1− cos 2x)

= 1− cos 2x− i sin 2x ,

2 cos x(cos x + i sinx) = 2 cos2 x + i2 sinx cos x = (1 + cos 2x) + i sin 2x

= 1 + cos 2x + i sin 2x .

91

(d) Folosind formula lui de Moivre rezulta ca pentru orice k ∈ 0, 1, . . . , n − 1 numarul complex din dreapta egalitatiiproclamate ın enunt (si de demonstrat) este solutie a ecuatiei date:[

cos(

2a +2kπ

n

)+ i sin

(2a +

2kπ

n

) ]n

= cos n ·(

2a +2kπ

n

)+ i sinn ·

(2a +

2kπ

n

)= cos(2an + 2kπ) + i sin(2an + 2kπ)= cos(2an) + i sin(2an) ,

iar cele n numere obtinute astfel pentru cele n valori ale lui k sunt diferite, deoarece ele au argumente (unghiuri) diferite,ceea ce trebuia demonstrat din partea mea. Egalitatea proclamata ın enunt este (neclara, deci) falsa. Cine ne–a spus nouaca radacinile apar ın ordinea corecta? (De ce sa nu fie x1 egal cu ceea ce se proclama a fi x0 si invers? Hmm.)Deci, afirmatia din enunt este adevarata dupa o rearanjare a indicilor ın x0, x1, . . . xn−1.

(e) Rezulta direct din faptul urmator: faca g este un polinom de grad n peste corpul C cu radacinile z1, z2, . . . , zn si dacael are coeficientul principal a, atunci are loc:

g(X) = a(X − z1)(X − z2) . . . (X − zn) .

Atunci (e) rezulta din reprezentarea radacinilor explicita din (d) si din faptul ca f are coeficientul principal unu.

(f) Din cele deja demonstrate putem face urmatorii pasi:

−2i sin(na) cos(na) = 1− cos 2na− i sin 2na

= f(1)

=∏

06k<n

[1 − cos

(2a +

2kπ

n

)− i sin

(2a +

2kπ

n

) ]

=∏

06k<n

[1 − cos 2 ·

(a +

kπ

n

)− i sin 2 ·

(a +

kπ

n

) ]

=∏

06k<n

−2i sin(

a +kπ

n

)·(

cos(

a +kπ

n

)+ i sin

(a +

kπ

n

) )︸︷︷︸

=(cos a+i sin a)(cos πn +i sin π

n )k

= (−2i)n ·

∏06k<n

sin(

a +kπ

n

) · (cos a + i sin a)n ·(cos

π

n+ i sin

π

n

)P06k<n k

= 2n(−i)n ·

∏06k<n

sin(

a +kπ

n

) · (cos na + i sinna) ·(cos

π

n+ i sin

π

n

)(n−1)n/2

︸︷︷︸=(cos π

n ·n(n−1)

2 +i sin πn ·

n(n−1)2 )

= (−2i)2n−1(−i)n−1 ·

∏06k<n

sin(

a +kπ

n

) · (cos na + i sinna) ·(cos

π

2+ i sin

π

2

)︸︷︷︸

=i

n−1

= (−2i)2n−1 ·

∏06k<n

sin(

a +kπ

n

) · (cos na + i sinna) .

Presupunem acum ca cos(na) 6= 0. Atunci, identificand partea imaginara din expresia de la ınceputul respectiv de la sfarsitulcalculului, si simplificand cu (−2i) cos(na) 6= 0, rezulta

sin(na) = 2n−1 ·

∏06k<n

sin(

a +kπ

n

) .

Deoarece functiile din membrul stang si drept sunt continue, printr–un proces de trecere la limita (ın punctele unde cunoastemaceasta identitate), rezulta ca ea este adevarata si ın punctele (izolate) cu cos na = 0.

92

Aceasta ıncheie demonstratia formulei cerute ın enunt.

(g) Sa presupunem acum ca n = 2p + 1 cu p ∈ N. Atunci putem proceda ca la (f) pentru a obtine egalitatea dorita.Prefer aici sa reduc (g) la cele demonstrate ın (f) ın modul urmator:

cos na = − sin(π

2− na

)= sin

(na− π

2

)= sinn ·

(a− π

2n

)si acum cu (f)

= 2n−1∏

06k<n

sin(

a− π

2n+

kπ

n

)

= 2n−1 (−1)n−1︸︷︷︸=(−1)2p=1

∏06k<n

sin(−a +

π

2n− kπ

n

)︸︷︷︸

=cos( π2 +a− π

2n + kπn )

= 2n−1∏

06k<n

cos(

a +π

2− π

2n︸︷︷︸= pπ

n

+kπ

n

)

= 2n−1∏

06k<n

cos(

a +(k + p)π

n

).

Spargem acest produs ın cele doua produse ce corespund valorilor lui k cu 0 6 k 6 p si respectiv cu p < k < n.In primul caz, p + k ia valorile p, p + 1, . . . , 2p. Le “pastram” as cum sunt, nu aplicam transformari trigonometrice.In al doilea caz, p+k ia valorile n = 2p+1, n+1, . . . , 3p = n+(p−1). Aplicam transformarea trigonometrica cos(x+π) =− cos x.Aceasta explica aparitia semnului (−1)p−1 ın formula finala. (Atentie, ın membrul drept la plecare era de asemenea un semnminus.)Detaliile sunt lasate pe seama cititorului (cu prea mult timp).

9.4 Subiectul IV

Exercitiul 45 Se considera functiile g : R → R, g(x) =ex

e− 1+ 1 si o functie f : R → R continua ın x = 0 astfel ıncat

f(0) = 1 si f(x)− f(x/e) = x, ∀x ∈ R.(a) Sa se arate ca functia g verifica relatiile g(0) = 1 si g(x)− g(x/e) = x, ∀x ∈ R.

(b) Sa se arate ca 1 +1e

+1e2

+ · · ·+ 1en

=e

e− 1

(1− 1

en+1

), ∀n ∈ N∗.

(c) Sa se calculeze limn→∞

(1 +

1e

+1e2

+ · · ·+ 1en

).

(d) Sa se calculeze limn→∞

f(

x · e−n−1), x ∈ R.

(e) Sa se arate ca f(x

e

)− f

( x

e2

)=

x

e, ∀x ∈ R.

(f) Sa se arate ca f( x

en

)− f

( x

en+1

)=

x

en, ∀x ∈ R, ∀n ∈ N∗.

(g) Sa se determine f(x), x ∈ R.

Solutie: (a) g(0) = 0 + 1 = 1, g(x)− g(x/e) =ex

e− 1− ex/e

e− 1=

x

e− 1(e− 1) = x.

(b) Reamintim formula sumei primilor termeni ai unei proportii geometrice: 1+ q + · · ·+ qn =1− qn+1

1− q. Inlocuind q = 1/e

ın aceasta formula rezulta

1 +1e

+1e2

+ · · ·+ 1en

=1− 1

en+1

1− 1e

,

iar relatia data si ceruta rezulta din calculul numitorului 1 − 1e

=e− 1

e, care apare inversat dupa deezafectaruea fractiilor

suprapuse.

93

(c) Din (b) si din limn→∞

(1− 1

en+1

)= 1− 0 = 1 rezulta ca limitat cautata este

e

1− e.

(d) Din continuitatea lui f rezulta ca putem schimba procesul lim de trecere la limita cu procesul de aplicare a lui f , deci

limn→∞

f(

x · e−n−1)

= f(

limn→∞

x · e−n−1)

= f(

x · limn→∞

e−n−1)

= f(x · 0) = f(0) = 1 .

(e) Din ecuatia functionala f(x)− f(x/e) = x a lui f , substituind x/e ın loc de x rezulta cele cerute.

(f) Din ecuatia functionala f(x)− f(x/e) = x a lui f , substituind x/en ın loc de x rezulta cele cerute.

(g) Avem “tricul telescopic” pentru orice x ∈ R si n ∈ N

f(x)− f( x

en

)=

∑06k<n

[f( x

ek

)− f

( x

ek+1

) ]︸︷︷︸

= x

ek din ((f)

=∑

06k<n

x

ek= x ·

∑06k<n

1ek

.

Trecand la limita ın relatia obtinuta ıntre expresia de plecare si cea obtinuta, rezulta

f(x) = limn→∞

(f(x)− f

( x

en

) )= x · lim

n→∞

(1 +

1e

+1e2

+ · · ·+ 1en

)= x · e

e− 1= g(x) ,

ceea ce trebuia determinant.

94

Capitolul 10

Varianta 050

10.1 Subiectul I

Exercitiul 46 (a) Sa se calculeze modulul numarului complex −4− 3i .(b) Sa de calculeze lungimea segmentului cu capetele ın punctele A(3,−2) si C(4,−3) .(c) Sa se capetele suma de numere complexe S = i + i3 + i5 + i7 .(d) Sa se determine a, b ∈ R, astfel ıncat punctele A(3−, 2) si C(4,−3) sa fie pe dreapta de ecuatie x + ay + b = 0 .(e) Sa se calculeze aria triunghiului cu varfurile ın punctele A(3,−2), B(2, 2) si C(4,−3) .(f) Sa se determine distanta de la punctul O(0, 0) la dreapta x + y − 1 = 0 .

Solutie:(a) | − 4− 3i| =

√(−4)2 + (−3)2 =

√16 + 9 =

√25 = 5 .

(b) Lungimea cautata este

√(4− 3)2 + (−3− (−2))2 =

√1 + 1 =

√2 .

//

OO

•A •

C

???

(c) S = i + i3 + i5 + i7 = i + (−i) + i + (−i) = 0 .

(d) Cele doua puncte se afla pe dreapta de ecuatie x + y− 1 = 0, deoarece coordonatele celor doua puncte satisfac aceastaecuatie:

3 + (−2)− 1 = 0 ,

4 + (−3)− 1 = 0 .

A se mentiona acest lucru! A se verifica acest calcul banal!Deoarece doua puncte distincte determina o dreapta aceasta este ecuatia singurei dreapte, iar deoarece orice alta ecuatie aacestei drepte este de forma λx + λy − λ = 0 rezulta imediat:

a = 1 , b = −1 .

(Alternativ se poate rezolva sistemul. . . )

(e) Prima solutie: Aria “cu semn” (sau aria care prevede de asemenea si orientarea triunghiului) este data de formula:

12

∣∣∣∣∣∣1 3 −21 4 −31 2 2

∣∣∣∣∣∣ = 12

∣∣∣∣∣∣0 1 −40 2 −51 2 2

∣∣∣∣∣∣ = 12( 1 · (−5)− 2 · (−4) ) =

12(−5 + 8) =

32

.

95

Aria cautata este modulul acestui numar, deci (tot) 3/2 .

A doua solutie: Punctele A,C se afla pe dreapta de ecuatie

x + y = 1 ,

care taie axele de coordonate ın (1, 0) si (0, 1).Dreapta (de ecuatie) x = y (si panta 1) este perpendiculara pe dreapta (de ecuatie) x+y = 1(si panta −1) si pe prima se afla B(2, 2). Calculam atunci (unde eu folosesc pentru |BB′|din motive exotice proportinalitatea |BB′| : |OB| ca fiind aceeasi cu proiectiile celor douasegmente pe una din axe):

|BB′| = 34|OB| = 3

4· 2√

2 =3√2

,

|AC| =√

2 ,

Aria(ABC) =12|AC| · |BB′| = 1

2·√

2 · 3√2

=32

.

//

OO

•A

•B

•C

'''''''''''

???

,,,,,,,,,,,,,,,

B′

(f) Folosind formula distantei de la un punct la o dreapta, distanta cautata este

| 0 + 0− 1 |√12 + 12

=1√2

=√

22

.

10.2 Subiectul II

Exercitiul 47 (a) Sa se calculeze elementul 210 ın (Z8, ·) .(b) Sa se calculeze expresia E = C3

8 − C58 .

(c) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale strict pozitive ecuatia log5 x = 1 .(d) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 16x − 32 = 0 .(e) Sa se calculeze probabilitatea ca un element n ∈ 1, 2, 3, 4, 5 sa verifice relatia 3n > 19 .

Solutie:(a) Avem calculul ın Z8:

210 = 23 · 27 = 8 · 27 = 0 · 27 = 0 .

(b) Avem C38 = C5

8 (formula de combinari complementare, de fapt ambele numere fiind egale cu 8!/(3!5!)), deci E = 0 .Completare: Numerele care apar sunt:

(%i37) binom(8,3);

(%o37) 56

(%i38) binom(8,5);

(%o38) 56

(%i39) 8*7*6 / (3*2*1);

(%o39) 56

(c) Ecuatia data este echivalenta cu 5log5 x = 51, deci echivalenta cu x = 5, deci 5 > 0 este solutia ecuatiei date.

(%i40) solve( log(x)/log(5)=1 );

(%o40) [x = 5]

(d) Ecuatia data este echivalenta cu 24x = 25, deci echivalenta cu 4x = 5, deci 5/4 este solutia ecuatiei date.

(Am folosit faptul ca functia putere de baza doi este bijectiva ca functie R → (0,∞).)

(%i50) solve( 16^x-32 = 0 );

log(32)

(%o50) [x = -------]

log(16)

(%i51) %, numer;

(%o51) [x = 1.25]

96

(e) Avem 31 < 32 = 9 < 19 si 19 < 27 = 33 < 34 < 35. Cazurile 3, 4, 5 ın numar de trei sunt favorabile. Probabilitatea Pcautata este:



35

=610

= 0, 6 .

Exercitiul 48 Se considera functia f : R → R, f(x) = x15 + 2x− 1 .(a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R.


0f(x) dx .


f(x)− f(0)x

.

(d) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe R.

(e) Sa se calculeze limn→∞

2√

n + 35√

n− 2.

Solutie:(a) Functia f este (de o infinitate de ori) derivabila, fiind o functie polinomiala, derivata ei fiind:

f ′(x) = 15x14 + 2 > 2 > 0 .

dan@0[~]$ maxima

Maxima restarted.

(%i1) diff( x^15+2*x-1, x );

14

(%o1) 15 x + 2

(b) ∫ 1

0

f(x) dx =∫ 1

0

(x15 + 2x− 1) dx =[

115 + 1

x15+1 + x2 − x

]10

=116

+ 1− 1 =116

.

(%i3) integrate( x^15+2*x-1, x, 0, 1 );

1

(%o3) --

16

(c) Deoarece f este derivabila, folosind definitia derivatei lui f in 0, f ′(0), rezulta ca limita ceruta este egala cu

limx→0

f(x)− f(0)x− 0

= f ′(0) = 15 · 014 + 2 = 2 .

In cazul acestei probleme, deoarece propozitia cu “definitia derivatei” trebuie sa apara ın solutia de mai sus, este poate maisimpla si mai sigura solutia explicita:

limx→0

f(x)− f(0)x

= limx→0

(x15 + 2x− 1)− (015 + 2 · 0− 1)x

= limx→0

x15 + 2x

x= lim

x→0(x14 + 2) = 2 .

(Desi, si ın acest caz ar trebui specificat faptul ca functia x → (x14 + 2) este continua ın zero.)

(%i4) f(x) := x^15 +2*x-1$

(%i5) limit( (f(x)-f(0))/x , x, 0 );

(%o5) 2

(d) In (a) am vazut deja inegalitatea f ′ > 0. Rezulta ca f este strict crescatoare pe R.

(e) Aplicam, dupa reformularea expresiei de sub limita, proprietatile standard ale calculului cu limite:

limn→∞

2√

n + 35√

n− 2= lim

n→∞

(2√

n + 3)/√

n

(5√

n− 2)/√

n= lim

n→∞

2 + 3/√

n

5√

n− 2/√

n

=lim

n→∞(2 + 3/

√n)

limn→∞

(5− 2/√

n)=

limn→∞

2 + limn→∞

(3/√

n)

limn→∞

5− limn→∞

(2/√

n)=

2 + 05− 0

=25

.

97

(Nota: In situatii de calcul de limite de fractii “de forma” celei din problema, cazul ∞∞ , se recomanda diviziunea fortata cu“seful fractiei”, acesta fiind expresia care tinde “cel mai puternic” la ∞.)

O solutie paralela poate fi data aplicand regula lui l’Hospital. Mai ıntai trebuie ınsa sa inventam functiile derivabileg, h : [0,∞) → R, g(x) = 2x + 3, h(x) = 5x − 2. (Birocratie pentru convingerea corectorilor ca aplicam regula luil’Hospital ın totala constientizare a faptului ca nu putem deriva functii N → R.) Avem lim

x→∞g(x) = lim

x→∞h(x) = ∞,

g′(x) = 2, h′(x) = 5. Regula lui l’Hospital se aplica. Atunci deoarece exista

limx→∞

2x + 35x− 2

= limx→∞

g(x)h(x)

= limx→∞

g′(x)h′(x)

= limx→∞

25

,

rezulta ca exista si limita data ın problema, substituind√

n = x, cu x → ∞ pentru n → ∞, si este de asemenea egala cu

2/5 .

10.3 Subiectul III

Exercitiul 49 Se considera matricile I2 =[1 00 1

], C =

[1 00 −1

]si G =

A ∈ M2(R)

∣∣∣ A ·AT = I2

, unde prin AT am

notat transpusa matricii A .(a) Sa se arate ca I2 ∈ G si C ∈ G.(b) Sa se arate ca daca A,B ∈ G, atunci A ·B ∈ G.(c) Sa se arate ca daca A ∈ G, atunci matricea A este inversabila si A−1 ∈ G.(d) Sa se arate ca (G, ·) este grup. (Operatia pe G este ınmultirea matricilor.)(e) Sa se arate ca f : G → −1, 1, f(A) = det(A), este surjectiva dar nu este injectiva.

(f) Sa se arate ca multimea H = [

cos a − sin asin a cos a

] ∣∣∣ a ∈ [0, 2π)

este subgrup al lui G.

(g) Sa se dea exemplu de subgrup al lui G care are 2007 elemente.

Solutie:O informatie probabil inutila: Grupul G care apare ın problema este asa–zisul grup ortogonal peste R al matricilor 2× 2, ınliteratura uzual notat cu

O2(R) .

Problema clarifica mai mult sau mai putin structura acestui grup.

(a) Aratam pentru I2 si C relatia definitorie de apartenenta la G:

I2 · IT2 =

[1 00 1

] [1 00 1

]T

=[1 00 1

] [1 00 1

]=[1 00 1

]= I2 ,

C · CT =[1 00 −1

] [1 00 −1

]T

=[1 00 −1

] [1 00 −1

]=[1 00 1

]= I2 .

(b) Fie acum A,B ∈ G. Atunci avem, ıncercand sa dovedim relatia definitorie de apartenenta a lui AB la G:

(AB) · (AB)T = (AB) · (BT AT ) proprietate a transpunerii de matrici,

= A(BBT )AT ınmultirea de matrici este asociativa,

= A · I2 ·AT deoarece B ∈ G,

= A ·AT deoarece I2 ∈ M2(R) este element neutru fata de ınmultire,

= I2 deoarece A ∈ G.

Rezulta AB ∈ G.

(c) Observam ca daca A ∈ G, atunci A ·AT = I2, deci A este inversabila iar inversa matricii A este A−1 = AT . Deoareceo matrice comuta ıntotdeauna cu inversa ei (ın caz de existenta), rezulta ca pentru A ∈ G avem A ·AT = I2 = AT ·A .

(d) In acest caz avem doua sanse de a rezolva problema:

98

fie aratam ca G are operatia asociativa (lucru clar deoarece ınmultirea matricilor patrate de marime fixata esteasociativa), gasim si aratam ca elementul lui neutru este I2 (lucru clar deoarece I2 este element neutru pentru ınmultireamatricilor marime 2× 2) si aratam ca orice element A ∈ G admite un invers A = A−1 ∈ G. Acest ultim lucru rezulta astfel:Fie A ∈ G. Atunci, din (c), A−1 = AT si AAT = AT A = I2, deci AT A = I2, deci AT (AT )T = I2, deci AT ∈ G, deciA−1 = AT ∈ G.

fie mentionam ca G este o submultime a grupului GL2(R) al matricilor inversabile de marime 2× 2 peste R, si stiindfaptul ca GL2(R) este ıntr–adevar un grup, deci satisface cele trei axiome definitorii, asociativitatea, existenta elementuluineutru, existenta pentru orice A ∈ GL2(R) a simetricului A−1, mai avem nevoie sa aratam doar:

. stabilitatea operatiei, id est1 A,B ∈ G implica AB ∈ G, lucru clarificat ın (b) deja, si

. faptul ca pentru A ∈ G, elementul A−1 calculat ın GL2(R) se afla de fapt ın G. Acest ultim lucru rezulta astfel(ca ın prima solutie): Fie A ∈ G. Atunci, din (c), A−1 = AT si A−1 · (A−1)T = AT · (AT )T = AT ·A = A−1 ·A = I2, deciAT ∈ G, deci A−1 = AT ∈ G.

Am dat “doua solutii”. In multe probleme ce au de–a face cu structuri algebrice, structura data este des “ochita” ca osubstructura a unei structuri deja cunoscute, deja etablate, ın acest caz fiind inutil sa mai demonstram o data proprietatiledeja “cunoscute”. (Nu are sens sa mai inventam o data roata norocului.)

(e) Mai ıntai observam ca functia f data chiar ia valori ın multimea −1,+1, deoarece pentru A ∈ G avem

1 = det I2 = det(A ·AT ) = (det A) · (detAT ) = (det A) · (detA) = (det A)2 ,

deci det A ∈ −1,+1. (Din enunt nu transpare de nici un fel, daca trebuie sa aratam asa ceva sau nu. Sunt tare curioscum ar fi etablat baremul ın astfel de cazuri. Eu as, cere sa se arate, dar as reformula enuntul sub forma:(e)] Sa se arate ca f : G → −1, 1, f(A) = det(A), este bine definita, surjectiva dar ne–injectiva. Daca nu, totul este lanivel de contestatie, ceea ce diminueaza ceva din democratie. Cei ce au trecut vama romana prin 1991 ma ınteleg. Eu amıncercat sa trec cu cateva carti cu stampila de anticariat, nu am reusit.)

Aratam ca f este surjectiva. Intr–adevar, din (a), I2 ∈ G si f(I2) = det I2 = 1, si de asemenea din (a), C ∈ G sif(C) = det C = −1. Deci f este surjectiva.f nu este injectiva, deoarece toate elementele din H de la punctul urmator, o infinitate de elemente, deci cel putin doua,sunt duse prin f ın 1,

f

( [cos a − sin asin a cos a

] )= det

[cos a − sin asin a cos a

]= cos2 a + sin2 a = 1 ,

pentru orice a ∈ R. Pentru a = π/2 avem de exemplu (foarte explicit) f

( [0 −11 0

] )= det

[0 −11 0

]= 0− (−1) = 1 .

(f) Introducem notatia

Ra =[cos a − sin asin a cos a

].

(Ra se “citeste” drept “rotatia corespunzatoare unghiului a”.) Orice element din H este de forma Ra pentru un a ∈ Rconvenabil.

Aratam mai ıntai ca H este submultime a lui G. Fie deci a ∈ R. Atunci det Ra = cos2 a + sin2 a = 1, iar inversa lui Ra

este folosind matricea “adjuncta” sau “complementara”2

R−1a =

1det Ra

Rada =

11

[cos a −(− sin a)

− sin a cos a

]=[

cos a sin a− sin a cos a

]= RT

a .

Rezulta RaRTa = RaR−1

a = I2, deci Ra ∈ G.

Aratam apoi ca H este parte stabila fata de operatia lui G, deci fata de ınmultirea de matrici. Fie deci a, b ∈ R. Aratam caRaRb = Ra+b ∈ H:

RaRb =[cos a − sin asin a cos a

] [cos b − sin bsin b cos b

]=[cos a cos b− sin a sin b −(cos a sin b + sin a cos b)cos a sin b + sin a cos b cos a cos b− sin a sin b

]=[cos(a + b) − sin(a + b)sin(a + b) cos(a + b)

]= Ra+b ∈ H .

1adica adica

2 In general avem

»a bc d

–ad

=

»d −b−c a

–.

99

Mai aratam ca simetricul R−1a al lui Ra, calculat ın G (sau ın GL2(R) sau ın M2(R)) este de asemenea ın H. Acest lucru

rezulta din:Ra ·R−a = Ra+(−a) = R0 = I2, deci R−1

a = R−a ∈ H.(g) Submultimea L a lui H a tuturor elementelor de forma R2πk/2007 cu (k ∈ Z sau fara redundanta cu) k ∈ 0, 1, 2, . . . , 2006are proprietatile:

L are 2007 de elementele. L este parte stabila a lui H (sau G) fata de operatia de ınmultire a matricilor. Aceasta are loc deoarece pentru

k, l ∈ Z, 0 6 k, l < 2007 avem R2πk/2007R2πl/2007 = R2π(k+l)/2007 si putem ınlocui k + l cu restul lui la ımpartirea cu 2007pentru a vedea ca R2π(k+l)/2007 se afla ın L.

Inversul lui R2πk/2007 este R−2πk/2007 = R2π−2πk/2007 = R2π(2007−k)/2007 ∈ L.Deci L este parte stabila a lui H, astfel ıncat orice element din L are inversul (i.e. simetricul) tot ın L. Rezulta ca L esteun subgrup cu 2007 de elemente al lui H.

10.4 Subiectul IV

Exercitiul 50 Se considera functiile

f : [0, 1] → R ,

g : [0, 1] → R ,

h : [0, 1] → R ,

G : [0, 1] → R ,

f(x) = ln(1 + x)− x , pentru orice x ∈ [0, 1] ,

g(x) =

ln(1 + x)

xpentru orice x ∈ (0, 1] ,

1 pentru x = 0 ,

h(x) = f(x) +x2

2, pentru orice x ∈ [0, 1] ,

G(x) =∫ x

0

g(t) dt , pentru orice x ∈ [0, 1] .

Fie (an)n>1 sirul definit prin an =∫ 1

0

ln(1 + xn) dx , ∀n > 1 .

(a) Sa se calculeze f ′(x) si h′(x), ∀x ∈ [0, 1] .(b) Sa se arate ca f ′(x) 6 0 si h′(x) > 0, ∀x ∈ [0, 1] .

(c) Sa se arate ca x− x2

26 ln(1 + x) 6 x, ∀x ∈ [0, 1] .

(d) Sa se arate ca functia g este continua pe intervalul [0, 1] .

(e) Sa se arate ca 0 6 an 61

n + 1, ∀n ∈ N∗, si ca lim

n→∞an = 0 .

(f) Utilizand metoda integrarii prin parti, sa se arate ca n · an = G(1)−∫ 1

0

G(xn) dx , ∀n > 1 .


n · an = G(1) .

Solutie:(a) si (b) Avem pentru orice x ∈ [0, 1] relatiile

f ′(x) = ln′(1 + x) · (1 + x)′ − x′ =1

1 + x− 1 = − x

1 + x

6 0 deoarece x > 0 , 1 + x > 1 > 0 .

h′(x) = f ′(x) +12(x2)′ = f ′(x) + x = x− x

1 + x= x

(1− 1

1 + x

)=

x2

1 + x

> 0 deoarece x2 > 0 , 1 + x > 1 > 0 .

(Aici, derivatele ın punctlele “de margine” 0 si 1 sunt ıntelese ca derivate laterale, la dreapta respectiv la stanga. Nu estefrumos ca acest lucru este trecut cu vederea ın enunt.)

(c) Deoarece f ′ < 0 si h′ > 0 pe intervalul (0, 1), rezulta ca f, h sunt functii (strict) descrescatoare pe [0, 1], deci:

ln(1 + x)− x = f(x) > f(0) = ln 1− 0 = 0 ,

ln(1 + x)− x− 12x2 = h(x) 6 h(0) = f(0)− 02/2 = 0 .

100

De aici rezulta imediat dubla inegalitate din enunt.

(d) Restrictia lui g la (pe) intervalul (0, 1] este continua, deoarece functiile x → ln(1 + x) si x → x > 0 sunt continue (sichiar infinit derivabile) ca functii de pe intervalul (0, 1] cu valori reale. Ramane sa aratam continuitatea lui g ın 0. Functiiledin numitor si respectiv numarator sunt derivabile si tind la 0 pentru argumentul lor x → 0. Regula lui l’Hospital esteaplicabila si avem:

limx→0x>0

g(x) = limx→0x>0

g(x)ln(1 + x)

x= lim

x→0x>0

g(x) =(ln(1 + x))′

(x)′limx→0x>0

g(x) =1/(1 + x)

1= g(0) .

Deci g este continua si ın 0.

(e) Din monotonia integralei, integrand inegalitatea dubla evidenta pe [0, 1]:

0 6 ln(1 + xn) 6 xn , x ∈ [0, 1] ,

ce rezulta imediat din 1 + xn > 0 si f(xn) 6 xn (din (c)) rezulta

0 =∫ 1

0

0 dx6∫ x

0

ln(1 + xn) dx︸︷︷︸=an

6∫ 1

0

xn dx =[

1n + 1

xn+1

]10

=1

n + 1.

Folosind criteriul clestelui pentru sirurile (0)n∈N si (1/(n + 1))n∈N care tind la zero, rezulta ca an → 0 pentru n →∞.

(f) Fie n > 1 numar natural. Folosind integrarea prin parti (dupa ce ochim singurul termen al expresiei de demonstrat carese poate prelucra astfel) avem succesiv:∫ 1

0

G(xn) dx =∫ 1

0

(x)′ ·G(xn) dx

=[

x ·G(xn)]10−∫ 1

0

x · (G(xn))′ dx

= 1 ·G(1)− 0 ·G(0) −∫ 1

0

x · nxn−1 G′(xn) dx︸︷︷︸=n xn g(xn)=n ln(1+xn)

= G(1)− n

∫ 1

0

ln(1 + xn) dx

= G(1)− n an .

O privire la expresia de plecare si la cea la care am ajuns arata ca egalitatea ceruta ın enunt are loc.

(g) Aceasta problema apeleaza la abilitatile elevilor (si ale profesorilor) de a majora si minora. Lucrul cu inegalitati sedovedeste des a fi mai usor decat cel cu egalitati. Cu atat mai mult cu cat integralele ce apar nu pot fi calculate explicit.Plecam cu cele stabilite la punctul (c) si “transformam” succesiv. De la o linie la alta avem implicatii (nu echivalente) caremerg ın directia citirii normale a unei carti. Relatiile listate au sens si loc pentru orice x ∈ [0, 1]. (La ınceput, cazul x = 0trebuie tratat separat. Trebuie sa–i aratam ıntotdeauna corectorului ca evitam ımpartirea cu zero.)

x− x2

26 ln(1 + x) 6 x din (c) pentru x ∈ [0, 1], de unde rezulta

1− x

26

ln(1 + x)x

6 1 pentru x ∈ (0, 1], de unde rezulta

1− x

26 g(x) 6 1 pentru x ∈ (0, 1], de unde rezulta

1− x

26 g(x) 6 1 pentru x ∈ [0, 1], de unde rezulta∫ x

0

(1− t

2

)dt 6

∫ x

0

g(t) dt 6∫ x

0

dt pentru x ∈ [0, 1], de unde rezulta

x− 14x 6 x− 1

4x2 6 G(x) 6 x pentru x ∈ [0, 1], de unde rezulta luand xn ∈ [0, 1] ın loc de x

34xn 6 G(xn) 6 xn pentru x ∈ [0, 1], de unde rezulta integrand pe [0, 1]:

34· 1n + 1

6∫ 1

0

G(xn) dx 61

n + 1.

101

Folosind criteriul clestelui, din 1/(n + 1) → 0 si 3/(4(n + 1)) → 0 pentru n →∞ rezulta

limn→∞

∫ 1

0

G(xn) = 0 .

De aici si din (f) rezulta existenta limiteilim

n→∞n · an = G(1) .

Observatie: Astfel de probleme sunt un bun punct de ınceput pentru a explica unui spirit critic ce este matematica, ceeste matematica pura si mai ales ce nu este matematica. Sa privim mai ındeaproape valoarea lui G(1). Este de datoriaoricarui profesor sa indice ce probleme sunt “ınceput de alte chestionari”. (Multe probleme sunt neinteresante sau absurdesau neumane sau, desi ıntelese, nu duc la nici o satisfactie sau sunt ınfundaturi sau se pun pur si simplu la bataie pentru unpublic larg si neinteresat.)Ce valoare are G(1) ? Un prim raspuns la aceasta ıntrebare este usor dat cu ajutorul calculatorului. Prima ıncercare estefolosind PARI. PARI se pricepe la integrare numerica, intnum”, are ınsa cevasilea probleme cu functia de integrat pe langazero. Asa ca integram plecand “putin pe langa zero” pana la unu:

? aproape_zero = 10.^(-40);

? intnum( x =aproape_zero, 1, log(1+x)/x )

%1 = 0.8224670334241132182362075801

Obtinem un rezultat aproximativ. (Acest rezultat este o parte de matematica. El se bazeaza pe calculul diferential si integralde la Newton si Leibniz pana la implementarea lui numerica ın ultimele decenii.) Ca sa nu-mi pierd rabdarea si cititorii,calculez cu aceleasi mijloace valoarea aproximativa a lui π2/12,

? Pi^2/12

%3 = 0.8224670334241132182362075832

Sper ca ıntelegeti aproximativ despre ce este vorba. Pentru un fizician, “avem deja egalitatea” G(1) ≈ π2/12, la ce bunsa ne mai pierdem vremea. . . Din fericire, matematica are resurse de a demonstra ıntr–adevar acesta egalitate. Puteti saconsiderati acest lucru ca un sport al mintii. Este ınsa bine sa observati ca matematica ofera metode clare de calcul, valoareaaproximativa se poate de exemplu implementa ıntr–un computer (care nu va trece niciodata de clasa a cincea si nici macarnu va putea sa ajunga conducator de circulatie), si ofera pentru cei de rea credinta o buna credinta. Ar depasi cadrul acestuiinstructaj de trecut de bac (si uitat definitiv matematica, din pacate numai pana la primul examen de mate de la facultate)sa chiar demonstrez ca G(1) = π2/12. Ma folosesc de calculator, pentru a arata ca acest lucru este de partea noastra aorizontului. Mai ıntai, undeva ın matematica a fost un oarecare Taylor, care ne spune ca functia x → ln(1 + x) se poateaproxima din ce ın ce mai bine cu (cod maxima)

(%i62) for k: 1 thru 5 do disp( taylor( log(1+x), x, 0, k ) );

x + . . .

2

x

x - -- + . . .

2

2 3

x x

x - -- + -- + . . .

2 3

2 3 4

x x x

x - -- + -- - -- + . . .

2 3 4

2 3 4 5

x x x x

x - -- + -- - -- + -- + . . .

2 3 4 5

(%o62) done

102

Sper ca vedeti legatura cu punctul (c) al problemei. Se poate demonstra ca are loc ln(1 + x) =∞∑

n=0

(−1)n−1 xn

n. Rezulta

pentru x > 0 egalitatea g(x) =ln(1 + x)

x=

∞∑n=0

(−1)n−1 xn−1

n= 1− 1

2x +

13x2 − 1

4x3 + . . . . Ar trebui sa devina clar de

ce g(x) se extinde continuu cu valoarea unu ın x = 0. Aplicam ın ambele parti∫ 1

0etc dx.

Se poate apoi demonstra ca putem integra “termen cu termen ın partea dreapta”. Rezulta

G(1) =∫ 1

0

g(x) dx =( ∫ 1

0

1 dx

)−(

12

∫ 1

0

x dx

)+(

13

∫ 1

0

x2 dx

)−(

14

∫ 1

0

x3 dx

)+ . . .

= 1− 122

+132− 1

42+ . . .

=(

1 +122

+132

+142

+ . . .

)− 2

(122

+142

+ . . .

)=(

1 +122

+132

+142

+ . . .

)− 2 · 1

2

(112

+122

+ . . .

)=

12

(1 +

122

+132

+142

+ . . .

)︸︷︷︸

=ζ(2)

.

Suma din paranteza este o “suma standard”, prin definitie fiind suma inverselor puterilor de ordinul 2 ale numerelor naturale.(Ar trebui sa fie clar ce este de exemplu prin definitie ζ(4).) Ca sa va convingeti ca este o treaba standard, sa ıntrebamcomputerul (cod maxima) care sunt valorile pentru ζ(2), ζ(4), ζ(6), ζ(8), ζ(10), ζ(12), ζ(14), ζ(16) :

(%i75) [zeta(2), zeta(4), zeta(6), zeta(8), zeta(10), zeta(12), zeta(14), zeta(16)] ;

2 4 6 8 10 12 14 16

%pi %pi %pi %pi %pi 691 %pi 2 %pi 3617 %pi

(%o75) [----, ----, ----, ----, -----, ---------, --------, ------------]

6 90 945 9450 93555 638512875 18243225 325641566250

(Valorile de sus ıi erau cunoscute cu demonstrati cu tot lui Leonard Euler pe vremea cand era nepusa ıntrebarea, dacaomul se trage din maimuta.) Si putem de exemplu sa cerem si

∑∞n=1

1n2 , desi tare ma tem ca vom fi trisati ıntr–un anumit

sens. . . (cod maxima)

(%i76) sum( 1/n^2, n, 1, inf ), simpsum;

2

%pi

(%o76) ----

6

In fine, sper ca am putut sugera cum se ajunge la G(1) =12ζ(2) =

π2

12.

103

Capitolul 11

Varianta 051

11.1 Subiectul I

Exercitiul 51 (a) Sa se calculeze modulul numarului complex√

5 + i√

3.(b) Sa se calculeze distanta de la punctul E(1, 2) la dreapta x + y + 1 = 0 .(c) Sa se scrie ecuatia cercului cu centrul ın E(1, 2), care este tangent la dreapta x + y + 1 = 0 .(d) Sa se arate ca punctele L(1, 2), M(3, 3) si N(5, 4) sunt coliniare.(e) Sa se calculeze volumul tetraedrului cu varfurile ın punctele

A(1, 1, 4) ,

B(1, 4, 1) ,

C(4, 1, 1) ,

D(−1, 0,−3) .

(f) Sa se determine a, b ∈ R, astfel ıncat sa avem egalitatea de numere complexe (2 + 3i)(4 + 5i) = a + bi .

Solutie:

(a) |√

5 + i√

3 | =√

5 + 3 =√

8 = 2√

2 .

(%i3) abs( sqrt(5)+%i*sqrt(3) );

(%o3) 2 sqrt(2)

(b) Prima solutie: Aplicam formula pe care am mai tot aplicat–o, distanta cautata este:

| 1 + 2 + 1 |√12 + 12

=4√2

= 2√

2 .

A doua solutie: De fapt, putem face calcule explicite pentru a determina piciorul perpendicularei din E pe dreapta data, notatF , si sa calculam distanta |EF |. Dreapta data are panta (−1). O dreapta perpendiculara pe ea are panta −1/(−1) = 1.Deci aceasta perpendiculara are o ecuatie de forma y = x + c, c ∈ R, iar deoarece cautam de fapt perpendiculara prin Emai ındeaproape, E trebuiie sa verifice ecuatia, deci perpendiculara prin E este y = x + 1. Rezolvand sistemul:

x + y = −1x− y = −1

obtinem intersectia F (−1, 0). Distanta |EF | este

|EF | =√

(1− (−1))2 + (2− 0)2 =√

8 = 2√

2 .

(c) A doua solutie de mai sus, (b), arata ca cercul cautat esste cercul de centru E si raza |EF | = 2√

2. In formula cerculuiintervine patratul acestei raze, |EF |2 = 8, ca la (b). Ecuatia acestui cerc este:

(x− 1)2 + (y − 2)2 = 8 .

104

Depinzand de ideile corectorilor si ale baremurilor posibile despre ecuatia unui cerc, este poate bine sa desfacem parantezelesi sa scriem aceasta ecuatie sub forma:

x2 + y2 − 2x− 4y − 3 = 0 .

Ma verific scurt:

(%i4) (x-1)^2+(y-2)^2-8, expand;

2 2

(%o4) y - 4 y + x - 2 x - 3

(d) Prima solutie: Ajunge sa observam ca cele trei puncte sunt pe dreapta 2y = x + 3 si cel mai bine sa si mentionamverificarile: 2 · 2 = 1 + 3, 2 · 3 = 3 + 3 si 2 · 4 = 5 + 3.

O a doua solutie este observatia ca avem identitatea vectoriala−−→MN = −

−−→ML, deci L este simetricul lui N fata de M , deci

L se afla ın particular pe dreapta MN .O a treia solutie este legata de calculul urmatorului determinant si de observatia ca el se anuleaza (deci aria triunghiuluiLMN este nula, deci cele trei puncte sunt coliniare):∣∣∣∣∣∣

1 1 21 3 31 5 4

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 1 20 2 10 4 2

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣2 14 2

∣∣∣∣ = 2∣∣∣∣2 12 1

∣∣∣∣ = 2 · 0 = 0 .

(e) Volumul tetraedrului dat se obtine calculand valoarea absoluta (modulul) pentru (volumul “orientat”):

13!

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 41 1 4 11 4 1 11 −1 0 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =16

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 40 0 3 −30 3 0 −30 −2 −1 −7

∣∣∣∣∣∣∣∣ =16

∣∣∣∣∣∣0 3 −33 0 −3−2 −1 −7

∣∣∣∣∣∣ = 16· 3 · 3

∣∣∣∣∣∣0 1 −11 0 −1−2 −1 −7

∣∣∣∣∣∣=

32

∣∣∣∣∣∣0 1 −11 0 −10 −1 −9

∣∣∣∣∣∣ = −32

∣∣∣∣ 1 −1−1 −9

∣∣∣∣− 32(−9− 1) = 15 .

Incerc sa ma verific:

(%i7) (1/3!)*determinant( matrix( [1,1,1,4], [1,1,4,1], [1,4,1,1], [1,-1,0,-3] ) );

(%o7) 15

(f) Calculam mai ıntai:

(2 + 3i)(4 + 5i) = 8 + 10i + 12i + 15i2 = (8− 15) + (10 + 12)i = −7 + 22i .

Din unicitatea scrierii unui numar complex sub forma A + Bi cu A,B ∈ R rezulta ca valorile cerute a, b sunt:

a = −7 , b = 22 .

Cod maxima:

(%i8) (2+3*%i) * (4+5*%i) ;

(%o8) (3 %i + 2) (5 %i + 4)

(%i9) expand(%);

(%o9) 22 %i - 7

11.2 Subiectul II

Exercitiul 52 (a) Sa se arate ca Cy+1x+1 =

x + 1y + 1

Cyx , ∀x, y ∈ N∗, x > y .

(b) Sa se calculeze probabilitatea ca un element x ∈ Z8 sa verifice relatia x2 = 1 .(c) Daca functia f : R → R, f(x) = x3 + 10 are inversa g : R → R, sa se calculeze g(11).(d) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 2 · 3x − 1 = 9x.(e) Sa se calculeze produsul tuturor radacinilor polinomului f = X3 −X2 − 2X + 1 .

105

Solutie:(a) Pentru valori naturale ale lui x si y avem (foarte explicit):

x + 1y + 1

Cyx =

x + 1y + 1

· x!y! · (x− y)!

=x! · (x + 1)

y! · (y + 1) · (x− y)!=

(x + 1)!(y + 1)! · (x− y)!

=(x + 1)!

(y + 1)! · ((x + 1)− (y + 1))!= Cy+1

x+1 .

(b) Pentru elementele lui Z8, pe care cel mai bine le enumeram ca 0,±1,±2,±3, 4 avem:

02 = 0 6= 1 ,

(±1)2 = 1 OK

(±2)2 = 4 6= 1 ,

(±3)2 = 9 = 1 OK

42 = 16 = 0 6= 1 ,

Cazurile favorabile sunt ±1 si ±3 ın numar de patru. Probabilitatea P cautata este:



48

=12

.

(c) Enuntul este “putin interpretabil”. Cred ca cea mai buna interpretare este daca reformulam:Se stie ca functia f : R → R, f(x) = x3 + 10 este inversabila si fie prin notatie g : R → R inversa lui f . Sa se calculezeg(11).In acest caz, din egalitatea banala f(1) = 13 + 10 = 11 rezulta imediat 1 = g(11).Mai exista o interpretare a enuntului:Sa se studieze daca functia f : R → R, f(x) = x3 +10 este inversabila si ın cazul ın care este, notandprin g : R → R inversalui f , sa se calculeze g(11).In acest caz, daca am demara doar calculul de mai sus, am pierde puncte din barem. (Nu am aratat ca f este inversabila!)Aratam, deci, pentru a multumi orice corector p[oosibil: Functia f este ıntr–adevar inversabila cu inversa g : R → R,g(y) = (y − 10)1/3, ceea ce se demonstreaza calculand compunerile:

f(g(y)) = f( (y − 10)1/3 ) = ( (y − 10)1/3 )3 + 10 = (y − 10) + 10 = y ,

g(f(x)) = g(x3 + 10) = (x3 + 10)− 10)1/3 = (x3)1/3 = x .

A se ıntreba ıntotdeauna ın cazul ın care nuante semantice nu descriu corect sau descriu discutabil enuntul problemelor!(Nu se pot adresa ıntrebari, totusi, ın ceea ce priveste logica matematica sau obiectele matematice involvate.)

(d) Ecuatia data se scrie echivalent 9x−2 ·3x +1 = 0, echivalent (3x)2−2 ·3x +1 = 0, echivalent (3x−1)2 = 0, echivalent3x − 1 = 0, echivalent 3x = 1, echivalent x = 0.

(e) Polinomul dat are gradul 3, coeficientul liber egal cu 1 si coeficientul principal egal cu 1. Relatiile lui Vieta afirma caprodusul radacinilor este

(−1)3 · 11

= −1 .

De fapt, ın afara conditiilor de concurs este bine sa “vedem cu ochii” acest lucru, de exemplu printr–un calcul numeric. Codmaxima care calculeaza radacinile aproximativ:

(%i12) allroots( X^3-X^2-2*X+1 );

(%o12) [X = 0.44504186791263, X = - 1.246979603717467, X = 1.801937735804838]

Exercitiul 53 Se considera functia f : R → R, f(x) = ( 3√

x)7 + 1 .(a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R.


0f(x) dx .



f(x)− f(1)x− 1

.

(e) Sa se calculeze∫ 1

0( ex + sinx ) dx .

106

Solutie:

(a) f ′(x) =(

x7/3 + 1)′

=73x7/3−1 =

73x4/3 .

(%i13) diff( x^(7/3)+1, x );

4/3

7 x

(%o13) ------

3

(b)∫ 1

0

f(x) dx =∫ 1

0

(x7/3 + 1

)dx =

[ 17/3 + 1

x7/3+1 + x]10

=1

7/3 + 117/3+1 + 1− 0− 0 =

110/3

+ 1 =1310

.

(%i14) integrate( x^(7/3)+1, x, 0, 1 );

13

(%o14) --

10

(c) Functia f este de doua ori derivabila cu derivata a doua continua pe R, care este

f ′′(x) =( 7

3x4/3

)′=

73· 13· x1/3 .

Functia data este deci convexa pe intervalul [0,∞) si este concava pe intervalul (−∞, 0]. Punctul 0 este punct de inflexiune.Afirmatia din enunt este falsa.Cod maxima pentru calculul derivatei de ordinul 2:

(%i21) diff( x^(7/3)+1, x, 2 );

1/3

28 x

(%o21) -------

9

(d) Deoarece f este derivabila, din definitia derivatei lui f ın 1 avem:

limx→1

f(x)− f(1)x− 1

= f ′(1) =( 7

314/3

)=

73

.

(e) O primitiva a functiei date se scrie imediat (formulele standard), asadar∫ 1

0

( ex + sinx ) dx =[

ex − cos x]10

= (e1 − e0)− (cos 1− cos 0) = e− cos 1 .

Cod maxima pentru o verificare simpla si pentru a vedea “cine este” cos 1. (Astfel de ıntrebari apar des, raspund la ele faraa fi ıntrebat. . . )

(%i34) I: integrate( exp(x)+sin(x), x, 0, 1 );

(%o34) %e - cos(1)

(%i35) cos(1), numer;

(%o35) 0.54030230586814

(%i36) cos(%pi/3), numer;

(%o36) 0.5

11.3 Subiectul III

107

Exercitiul 54 In multimea M3(C) se considera matricile A =

0 0 01 0 00 1 0

, O3 =

0 0 00 0 00 0 0

si functia f : M3(C) →

M3(C), f(X) = X2007 .(a) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A.(b) Sa se calculeze A2 si A3.(c) Sa se arate ca, daca Y ∈ M3(C) si Y A = AY , atunci exista a, b, c ∈ C, astfel ıncat

Y =

a 0 0b a 0c b a

.

(d) Sa se arate ca, daca matricea f(X) este inversabila, atunci matricea X ∈ M3(C) este inversabila.

(e) Sa se arate ca, daca Z =

a 0 0b a 0c b a

unde a, b, c ∈ C si det(Z) = 0, atunci Z3 = O3 .

(f) Sa se gaseasca doua matrici U, V ∈ M3(C), U 6= V , astfel ıncat f(U) = f(V ).(g) Sa se demonstreze ca ecuatia f(X) = A nu are solutie ın multimea M3(C).

Solutie:(a) Determinantul matricii A este 0 , deoarece A are o linie (si/sau o coloana) nula. (Adica cele trei intrari sunt nule.)De aici rezulta ın particular ca rangul lui A este < 3, deci 6 2.Minorul lui a format din liniile cu numerele de ordine 2, 3 si coloanele 1, 2 este[

1 00 1

]avand determinantul 1 6= 0. De aceea rangul lui A este > 2. Rezulta ca rangul matricii A este 2 . Ne putem verifica usorcu calculatorul, cod maxima:

(%i6) A: matrix( [0,0,0], [1,0,0], [0,1,0] );

[ 0 0 0 ]

[ ]

(%o6) [ 1 0 0 ]

[ ]

[ 0 1 0 ]

(%i7) rank(A);

(%o7) 2

(b) In loc sa listez eu raspunsurile, ıntreb direct computerul. (Dolarul de la sfarsitul primei linii de cod evita und display almatricii A.)

(%i8) A: matrix( [0,0,0], [1,0,0], [0,1,0] )$

(%i9) A.A;

[ 0 0 0 ]

[ ]

(%o9) [ 0 0 0 ]

[ ]

[ 1 0 0 ]

(%i10) A.A.A;

[ 0 0 0 ]

[ ]

(%o10) [ 0 0 0 ]

[ ]

[ 0 0 0 ]

Rezulta ca A2 este o matrice cu o singura intrare nenula si ca A3 = O3 este matricea nula, elementul neutru ın inelul dematrici M3(C).

(c) Fie Y o matrice cu intrarile yjk ∈ C, 1 6 j, k 6 3. Atunci conditia Y A = AY se rescrie echivalent:y11 y12 y13

y21 y22 y23

y31 y32 y33

0 0 01 0 00 1 0

=

0 0 01 0 00 1 0

y11 y12 y13

y21 y22 y23

y31 y32 y33

, echivalent cu

108

y12 = 0 y13 = 0 0 = 0y22 = y11 y23 = y12 0 = y13

y32 = y21 y33 = y22 0 = y23

Notand cu a, b, c ∈ C valorile (comune)a = y11 = y22 = y33 ,

b = y21 = y32 ,

c = y31 ,

rezulta cele cerute ın enunt.

(d) Fie X ∈ M3(C) cu proprietatea ca f(X) = X2007 este inversabila.Prima solutie: Rezulta 0 6= det f(X) = det(X2007) = (det X)2007 folosind multiplicativitatea functiei determinant (de lasemigrupul (M3(C), ·) cu valori ın (C, ·)).Din 0 6= (det X)2007 rezulta 0 6= detX, de unde rezulta ca X este o matrice inversabila.

A doua solutie: Fie Z inversa lui f(X) = X2007. Atunci are loc

Z X2007 = X2007 Z = I ,

unde I = I3 este matricea unitate din inelul (M3(C),+, ·). De aici, folosind asociativitatea acestui inel (adica reordonareaparantezelor tacit omise, fara schimbarea ordinii factorilor), avem

(ZX2006) X = I .

deci X este inversabila cu inversa (ZX2006).

(e) Folosind notatia I ca la (d), matricea Z din enunt se rescrie

Z = aI + bA + cA2 .

Din a3 = detZ = 0 rezulta a = 0, deciZ = bA + cA2 .

Folosind formula binomiala avem atunci

Z3 = (bA + cA2)3

= b3 A3 + 3 b2c A4 + 3 bc2 A5 + c3 A6

= O3

deoarece A3 = O3 este matricea nula, deci A3 = A4 = A5 = A6 = O3.

(f) Fie ζ 6= 1 radacina de ordinul 2007 a unitatii data de

ζ = cos2π

2007+ i sin

2π

2007.

Fie U = I matricea unitate si V = ζI matricea diagonala cu trei intrari ζ, ζ, ζ pe diagonala. Atunci f(U) = f(I) = I2007 = Isi f(V ) = (ζI)2007 = ζ2007I2007 = 1 · I = I. De aici, f(U) = f(V ), i.e.

f(I) = f(ζI) .

(g) Presupunem prin absurd ca exista o solutie X a ecuatiei date X2007 = A. Atunci (detX)2007 = det(X2007) = det A = 0,deci det X = 0.Observam mai departe ca are loc relatia de comutare AX = XA, deoarece

AX = X2007 ·X = X2008 = X ·X2007 = XA .

Din (c) rezulta ca X este o matrice de forma specificata ın (c), iar din (e) rezulta ca avem X3 = O3. De aici obtinemimediat contradictia A = X2007 = X3 ·X2004 = O3 ·X2004 = O3, dar A 6= O3.

11.4 Subiectul IV

109

Exercitiul 55 Se considera sirul (In)n∈N∗ definit prin

In =∫ 1

0

(x− x2)n dx , ∀n ∈ N∗ .

(a) Sa se calculeze I1 .

(b) Sa se arate ca 0 6 x− x2 614

, ∀x ∈ [0, 1] .

(c) Sa se deduca inegalitatile 0 6 In 614n

, ∀n ∈ N∗ .

(d) Utilizand metoda integrarii prin parti, sa se arate ca

In =14· 2n

2n + 1In−1 , ∀n ∈ N∗ , n > 2 .

(e) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca

23· 45· . . . 2n

2n + 1<

√3

2n + 3, ∀n ∈ N∗ .

(f) Sa se arate ca

In =23· 45· . . . 2n

2n + 1·(

14

)n

, ∀n ∈ N∗ .

(g) Sa se calculeze limn→∞

( n · 4n · In ) .

Solutie:(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

110

Capitolul 12

Varianta 052

12.1 Subiectul I

Exercitiul 56 (a) Sa se calculeze 2 sinπ

4cos

π

4.

(b) Sa se calculeze modulul vectorului −→v = 6−→i + 8

−→j .

(c) Sa se calculeze partea reala a numarului complex z = (1 + i)2 − (1− i)2 .(d) Sa se calculeze lungimea ınaltimii din B a triunghiului ABC, daca

AB = 10 ,

BC = 24 ,

CA = 26 .

(e) Sa se calculeze cosinusul unghiului dintre vectorii

−→u =−→i +

−→j si

−→w =−→i −−→j .

(f) Sa se calculeze distanta de la punctul A(1, 2) la dreapta 2x + 4y = 3 .

Solutie:

(a) 2 sinπ

4cos

π

4= sin

(2 · π

4

)= sin

π

2= 1 .

(%i52) 2*sin(%pi/4)*cos(%pi/4);

(%o52) 1

(b) Modulul vectorului −→v este √62 + 82 =

√36 + 64 =

√100 = 10 .

(c) Avem z = (1 + i)2 − (1− i)2 = (1 + 2i + i2)− (1− 2i + i2) = 2i− (−2i) = 4i. Acest numar are partea reala egala cu

zero, 0 .

(%i55) z: (1+%i)^2-(1-%i)^2;

2 2

(%o55) (%i + 1) - (1 - %i)

(%i56) expand(z);

(%o56) 4 %i

(%i57) realpart(z);

(%o57) 0

(d) Se observa ca triunghiul dat este dreptunghic, deoarece 262 = 242 +102, deoarece (2 ·13)2 = (2 ·122)+(2 ·5)2, deoarece132 = 122 + 52, deoarece 169 = 144 + 25. Aici am folosit reciproca teoremei lui Pitagora.Ipotenuza acestui triunghi este latura CA (de lungime maxima, corespunzand unghiului maxim al triunghiului).

111

Notam cu hB lungimea ınaltimii din B. Atunci putem calcula aria triunghiului ABC ın doua moduri:

12|AC| · hB = Aria(ABC) =

12|AB| · |BC| .

Obtinem ecuatia 26 · hB = 10 · 24, de unde:

hB =10 · 24

26=

12013

.

(e) Cosinusul unghiului dintre cei doi vectori este dat de formula:

−→u · −→w|−→u | · |−→w |

=1 · 1 + 1 · (−1)√

12 + 12 ·√

12 + 12=

0√2 ·√

2= 0 .

Unghiul dintre cei doi vectori este π/2 sau 90, cum se poate usor observa de peschita.

−→v??

−→w?

????

????

(f) Dreapta data are ecuatia canonica 2x + 4y − 3 = 0. Aplicand formula distantei de la un punct la o dreapta, obtinem:

| 2 · 1 + 4 · 2− 3 |√22 + 42

=|2 + 8− 3|√

4 + 16=

7√4 · 5

=7

2√

5=

7√

52 · 5

=7√

510

.

12.2 Subiectul II

Exercitiul 57 (a) Sa se calculeze f(1) · f(2) · · · · · f(10), daca f : R → R, f(x) =x

x + 1.

(b) Sa se determine numarul de numere de forma abc, unde a, b, c ∈ 1, 2 .(c) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 24x − 3 · 22x + 4 = 0 .(d) Sa se rezolve ın Z3 ecuatia x4 = x, unde x ∈ Z3 .(e) Sa se determine probabilitatea ca un element al multimii 1, 2, 3, 4, 5 sa verifice relatia

log2 n >n− 1

2.

Solutie:(a) Produsul de calculat este “telescopic” (ın sensul ca apar simplificari de fractii dupa un “model telescopic”)

f(1) · f(2) · · · · · f(10) =12· 23· 34· · · · · 10

11=

111

.

(%i60) prod( x/(x+1), x, 1, 10 );

1

(%o60) --

11

(b) Exista ın total 23 = 8 astfel de numere.(Ele sunt: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222.)

(c) (In mod normal, se pace substitutia y = 22x. Deoarece mersul solutiei dupa acest punct este foarte previzibil, putem dasolutia direct:)

Functia f : R → R, f(y) = y2 − 3y + 4 = y2 − 2 · 32y +

94− 9

4+ 4 =

(y − 3

2

)+

74

>74

> 0 nu are nici o radacina reala.

De aceea ecuatia data, care este echivalenta cu f(22x) = 0 nu are ın particular nici o radacina reala.

(%i61) solve( 2^(4*x)-3*2^(2*x)+4 = 0 );

(%o61) []

112

(d) Avem ın Z3 calculele: 04 = 0, (±1)4 = 14 = 1.

Deci solutiile ecuatiei date sunt 0 , 1 . (Elementul 2 = −1 nu este solutie a ecuatiei date.)

(e) Relatia specificata este echivalenta (aplicand functia strict crescatoare x → 2x, R → R,) cu

n > 2(n−1)/2 .

Relatia 1 > 20/2 este adevarata, deoarece 1 > 1.Relatia 2 > 21/2 este adevarata, deoarece 2 >

√2, deoarece ridicand la patrat 4 >

√2.

Relatia 3 > 22/2 este adevarata, deoarece 3 > 2.Relatia 4 > 23/2 este adevarata, deoarece 4 > 2

√2, deoarece 2 >

√2.

Relatia 5 > 24/2 este adevarata, deoarece 5 > 4.

Orice element al multimii date verifica relatia data. Probabilitatea ceruta este deci 1 .

Exercitiul 58 Se considera functia f : R → R, f(x) = 1x2+4 .

(a) Sa se determine ecuatia asimptotei catre +∞ la graficul functiei f .(b) Sa se calculeze f ′(x).(c) Sa se arate ca maximul functiei f este egal cu 0, 25 .


f(x)− f(1)x− 1

.

(e) Sa se calculeze limx→∞

∫ x

0

f(t) dt .

Solutie:

(a) Deoarece limx→∞

f(x) = limx→∞

1x2 + 4

= 0 functia f are asimptota la +∞ de ecuatie y = 0 .

(b) f ′(x) =(

(x2 + 4)−1)′

= (−1)(x2 + 4)−2 · (x2 + 4)′ = − 2x

(x2 + 4)2).

Verificare. Cod maxima:

(%i62) diff( 1/(x^2+4), x );

2 x

(%o62) - ---------

2 2

(x + 4)

(c) Pentru orice x ∈ R avem x2 > 0, de unde rezulta x2 + 4 > 4 > 0, de unde rezulta 1/(x2 + 4) 6 1/4. Deci maximulfunctiei date este 1/4, fiind atind doar ın x = 0.Graficul lui f , obtinut ın PARI prin comanda simpla si autoexplicativa plot(x=-10,10, 1/(x^2+4)); (unde masina trebuiescuzata ca nu a dat de maximul 0, 25) este:

0.2484352 |’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’""’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’|

| " " |

| _ _ |

| : : |

| : : |

| " " |

| |

| x x |

| |

| x x |

| |

| " " |

| _ _ |

| |

| " " |

| " " |

| _" "_ |

| _x x_ |

| _x x_ |

| __x"" ""x__ |

______xxx"" ""xxx______

0 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

-10 10

113

(d) Deoarece f este derivabila, din definitia derivatei lui f ın 1 avem:

limx→1

f(x)− f(1)x− 1

= f ′(1) = − 2 · 1(12 + 4)2

= − 225

.

(e) Fie x ∈ R. Atunci

∫ x

0

f(t) dt =∫ x

0

1t2 + 22

dt =[

12

arctgt

2

]x

0

=12

arctgx

2.

(Am folosit arctg 0 = 0, care are loc deoarece 0 = tg 0.) Rezulta:

limx→∞

∫ x

0

f(t) dt = limx→∞

12

arctgx

2=

12· π

2=

π

4.

(%i75) integrate( 1/(t^2+4), t, 0, inf );

%pi

(%o75) ---

4

12.3 Subiectul III

Exercitiul 59 Se considera multimea A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 si notam cu P (A) multimea tuturor submultimilorsale. Daca X, Y ∈ P (A), notam prin

X∆Y = (X ∪ Y )− (X ∩ Y ) .

(a) Sa se arate ca, daca X, Y ∈ P (A), atunci (X ∪ Y )− (X ∩ Y ) ∈ P (A) .(b) Sa se verifice ca X∆X = ∅, ∀X ∈ P (A) .(c) Sa se verifice ca X∆∅ = ∅∆X = X, ∀X ∈ P (A) .(d) Sa se arate ca X∆Y = Y ∆X, ∀X, Y ∈ P (A) .(e) Sa se arate ca (X∆Y )∆Z = X∆(Y ∆Z), ∀X, Y, Z ∈ P (A) .(f) Sa se arate ca ( P (A) , ∆ ) formeaza o structura de grup comutativ.(g) Sa se determine numarul de elemente ale multimii P (A).(h) Daca P (A) = X1, X2, . . . , Xn, sa se calculeze X1∆X2∆ . . .∆Xn .

Solutie: Sunt obligat sa dau doua solutii la aceasta problema “birocratica” si bine conoscuta, chiar daca cea de–a douasolutie cu greu atrage dupa sine toate punctele, deoarece nu exista (cu probabilitate maxima) un barem pentru ea si fiecarecorector si–l va ıncropi la locul faptei (mai mult sau mai putin bucuros de a citi compuneri inedite.Prima solutie trebuie s–o dau, deoarece arata modul standard de lucru cu multimi si de documentat solutia.A doua solutie trebuie s–o dau, deoarece este cea structurala, cea care ar trebui sa fie pe placul oricarui (informatician sau)matematician purist.

Prima solutie:(a) P (A) este multimea submultimilor lui A (incluzand ∅ si A). Deci X ∈ P (A) daca si numai daca X este o multime cuX ⊆ A (relatie citita drept X este inclusa ın sau egala cu A). (Trivialitati.)Fie X, Y ∈ P (A). Din X, Y ⊆ A rezulta (X ∩ Y ) ⊆ (X ∪ Y ) ⊆ A, deci (X ∪ Y ), (X ∩ Y ) ∈ P (A), deci si

(X ∪ Y )− (X ∩ Y ) ∈ P (A) .

(b) De la definitie avem pentru orice X ∈ P (A)

X∆X = (X ∪X)− (X ∩X) = X −X = ∅ .

(c) De la definitie avem pentru orice X ∈ P (A)

X∆∅ = (X ∪ ∅)− (X ∩ ∅) = X − ∅ = X ,

∅∆X = (∅ ∪X)− (∅ ∩X) = X − ∅ = X .

114

(d) De la definitie avem pentru orice X, Y ∈ P (A), folosind proprietatile intersectiei si ale reuniunii

X∆Y = (X ∪ Y )− (X ∩ Y )= (Y ∪X)− (Y ∩X) deoarece X ∪ Y = Y ∪X , X ∩ Y = Y ∩X ,

= Y ∆X .

(Mai intuitiva, dar greu de explicat si demonstrat pe computer, este “solutia” folosind diagrame Venn–Euler. Chiar dacao astfel de solutie nu este strict riguroasa, ea ar trebui la nivel de bac sa ıncaseze toate punctele. In cazul de fata este chairfoarte greu de explicat, deoarece este greu de specificat diferentele. Cineva tot trebuie sa faca propozitiile de explicare adesenelor.)

(e) Dau solutia ın sensul “celei de–a doua solutii”: Consideram urmatorul tabel, pe care–l vom explica ulterior:

X Y X ∪ Y X ∩ Y X∆Y = (X ∪ Y )− (X ∩ Y )0 0 0 0 00 1 1 0 11 0 1 0 11 1 1 1 0

Consideram un element a ∈ A. Atunci avem doua cazuri pentru a, clasificat dupa apartenenta la X, anume cazul ın care aeste ın X –si atunci scrien un 1 ın coloana lui X– si cazul ın care a nu este ın X –si atunci scrien un 0 ın coloana lui X.Tot asa exista doua cazuri, relativ la apartenenta lui a la Y . Astfel apar patru cazuri, care au fost listate pe linii ın tabel.Avand clarificata apartenenta lui a la X si Y , putem usor stabili apartenenta lui a la celelalte multimi din capul tabelului,care se completeaza usor.(Observam ca rezultatul din coloana cu X∆Y este operatia “adunare modulo doi” sau operatia XOR, pe romana SAUdisjunctiv, pe engleza eXclusive OR, sau ın cuvinte zero daca apar 1–uri ın numar par si respectiv unu daca apar 1–uri ınnumar impar. De ce este important sa avem descrieri ın cuvinte? Pentru ca trebuie sa completam un tabel cu aceastainformatie mai departe si nu e bine sa depindem de un alt tabel cu “numere fara sens”. Asadar, le dam sens. . . )Acum putem completa tabelul:

X Y Z X∆Y (X∆Y )∆Z Y ∆Z X∆(Y ∆Z)0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 1 10 1 0 1 1 1 10 1 1 1 0 0 01 0 0 1 1 0 11 0 1 1 0 1 01 1 0 0 0 1 01 1 1 0 1 0 1

Deoarece coloanele cu cap de coloana (X∆Y )∆Z si respectiv X∆(Y ∆Z) coincid respectiv, relatia ceruta a fost demonstrataprintr–o discutie ın opt cazuri pentru un element dat a ∈ A. (Cele opt= 23 cazuri corespund liniilor tabelului, primele treicoloane au fost completate mai ıntai.)

(f) Asociativitatea structurii date ( P (A) , ∆ ) rezulta din (e). Structura data are elementul neutru ∅ ∈ P (A), dupacum rezulta din (c). Dat X ∈ P (A), inversul (simetricul) lui X fata de operatia ∆ exista si este X, deoarece X∆X = ∅,din (c). Operatia ∆ este comutativa, dupa cum rezulta din (d).Deoarece aceste proprietati sunt verificate, structura data este un grup abelian sau un grup comutativ.

(g) Multimea A are 210 = 1024 submultimi. Le putem numara cel mai usor folosind “indicatorul” lor. In loc sa scriemmultimea 1, 3, 5, 10 ∈ P (A) putem sa–i scriem indicatorul 1010100001, care semnifica (citind cifrele de la stınga ladreapta): unu este ın A, doi nu este, trei este, patru nu este, cinci este, sase, sapte, opt, noua nu sunt, zece este ın A. Cifra1 reprezinta deci “este ın A”, iar cifra 0 reprezinta “nu este ın A”.) Atunci putem enumera elementele lui A ca si cand am“numara pe un kilometraj de masina ın baza doi” (sau numere de telefon ın loc de kilometraj, vreau ın orice caz ca zerourile

115

“din fata sa fie specificate”). Elementele lui A sunt deci

0000000000 ,

0000000001 ,

0000000010 ,

0000000011 ,

...

1111111111 .

Pentru informaticieni, aceasta traducere este o transformare structurala standard, care trebuie asimilata, deoarece apare ınpractica (ce–i drept niciodata sub forma “sa se genereze submultimile lui A”).

Mai mult, operatia ∆ corespunde “adunarii pe componente modulo doi”.(h) Traducem mai ıntai pe ıntelesul omului de rand si al omului normal cele afirmate si respectiv cerute ın enunt. (Nu estefrumos ca o litera sa pice ın enunt din cer! Aici e vorba de litera n). Expresia laconica “daca P (A) = X1, X2, . . . , Xn”se traduce ın limba romana astfel: “fie n numarul de elemente ale multimii A si fie X1, X2, . . . , Xn o listare (ce include oprealabila ordonare) a elementelor multimii P (A), astfel ıncat fiecare element din P (A) apare o singura data”. (Daca vi separe matematica uneori complicata este probabil doar din motive asemanatoare.) Ni se cere apoi “compunerea prin ∆” atuturor elementelor astfel listate. (Chestia asta n–ar avea sens, daca operatia ∆ n–ar fi comutativa, id est (d). Un enuntcorect ar trebui sa se lege si de aceasta buna definire. In olimpiade se dau puncte suplimentare uneori pe asigurarea benevolaa bunei definiri ın astfel de situatii.)Sa trecem la solutie.

Grupam multimile date ın perechi de forma X, X. Aici, X = A−X este complementul lui X ın A.Desigur, X 6= X, astfel ıncat fiecare astfel de grupare are (exact) doua elemente. Atunci, deoarece

X ∆ X = (X ∪ X)− (X ∩ X) = A− ∅ = A ,

si deoarece exista 210/2 = 512 astfel de perechi si deoarece operatia ∆ est comutativa si deoarece A∆A = ∅ din (b) sideoarece ∅ este elementul neutru fata de ∆, avem:

X1∆X2∆ . . .∆Xn = (X1∆X1)∆ . . . = A∆ . . .∆A︸︷︷︸512 ori

= ∅∆ . . .∆∅︸︷︷︸256 ori

= ∅ .

A doua solutie: (Pe aceasta “solutie” nu veti primi toate punctele ın bac, veti primi mai multe la Olimpiade, iar pe toate leprimiti numai la facultate. Toate trei cazurile sunt verosimile.)Fie F2 = Z2 corpul cu doua elemente 0, 1. (Aici notam 0, 1 ın loc de 0 si 1, deoarece cand omul intra ın institutii superioareısi ma da jos caciula. Operatiile sunt unic determinate de faptul ca 0 este element neutru pentru adunarea +, iar 1 elementneutru pentru ınmultirea · .)Fie F10

2 spatiul vectorial al tupletelor (x1, . . . , x10), x1, . . . , x10 ∈ F2, care este un spatiu vectorial peste corpul F2. Inparticular, F10

2 este grup abelian.Se verifica “usor” ca functia ıntre multimi ϕ : P (A) → F10

2 cu

ϕ(X) = (x1, . . . , x10) cu xj =

1 daca j ∈ A

0 daca j 6∈ A

este bijectiva si compatibila cu structurile (P (A),∆) si (F102 ,+). De aceea proprietatile cerute reies “usor” din proprietatile

de grup abelian ale lui (F102 ,+) prin teorema transportului de structura algebrica.

Explicit:

(a) are loc oricum, unde sa “aterizeze” altfel rezultatul?

(b) Relatia/propozitia data se transporta echivalent prin ϕ din P (A) ın F102 astfel:

[ Pentru orice x = (x1, . . . , x10) ∈ F102 are loc x + x = 0 ].

(Aici am notat cu 0 = 0F102

tupletul (0, 0, . . . , 0) = (0F2 , 0F2 , . . . , 0F2).)Demonstratia acestui fapt este imediata folosind proprietatile de spatiu vectorial peste F2 ale lui F10

2 :

x + x = 1 · x + 1 · x = (1 + 1) · x = 0 · x = 0 .

116

(A se face din nou distinctia corespunzatoare ıntre 0 = 0F2 si 0 = 0F102

folosite mai sus prin abuz de notatie “uzual”.)

(c) Relatia/propozitia data se transporta echivalent prin ϕ din P (A) ın F102 astfel:

[ Pentru orice x = (x1, . . . , x10) ∈ F102 are loc x + 0 = 0 + x = x ].

Aceasta relatie este adevarata, deoarece 0 este elementul neutru fata de adunarea + ın spatiul vectorial F102 .

(d) se traduce ın comutativitatea adunarii + ın spatiul vectorial F102 . Lucru adevarat.

(e) se traduce prin asociativitatea adunarii + ın spatiul vectorial F102 . Lucru adevarat.

(f) se traduce prin faptul ca ( F102 , + ) este grup abelian. Lucru adevarat.

(g) F102 are 210 elemente, deci si P (A).

(h) Rezultatul operatiei X1∆X2∆ . . .∆Xn ın (P (A),∆) se traduce (adica se trimite) prin ϕ ın

s =∑

x∈F102

x ∈ F102 ,

ın cuvinte, suma tuturor vectorilor spatiului vectorial F102 . Aceasta suma se face pe componente. Deci ne ıntrebam care este

mai ıntai prima componenta s1 a acestei sume s = (s1, s2, . . . , s10).Exista 29 = 512 elemente x ∈ F10

2 cu prima componenta 0 si tot atatea cu prima componenta 1. Suma acestor componenteeste (ın F2)

0 + 0 + · · ·+ 0︸︷︷︸512 ori

+1 + 1 + · · ·+ 1︸︷︷︸512 ori

= 0 .

(Folosim faptul ca ın F2 = Z2 avem 512 = 0, ne amintim ca ne–am dat caciulile jos din politete pentru notatie.)Cu acelasi argument se arata ca de fapt toate componentele lui s sunt 0. Explicit:∑

x∈F102

x = s = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) .

Acest element corespunde prin ϕ−1 lui ∅ ∈ P (A), deci “∆–suma” ceruta ın enunt este

∅ .

12.4 Subiectul IV

Exercitiul 60 Se considera n ∈ N∗, x1, x2, . . . , xn, a ∈ (0,∞),

hk =k

1x1

+ · · ·+ 1xk

, ∀k ∈ 1, 2, . . . , n

si functia f : (0,∞) → R definita prin

f(x) = n2x2 − (4n− 1)ax + 4a2 , ∀x > 0 .

(a) Sa se calculeze f ′(x), x > 0 .(b) Sa se arate ca f(x) > 0, ∀x > 0 .

(c) Sa se arate ca4x

+n2

a>

(n + 1)(n + 3)a + x

, ∀x > 0 .

(d) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca

1x1

+2

x1 + x2+ · · ·+ n

x1 + · · ·+ xn+

n2

2(x1 + · · ·+ xn)< 2

(1x1

+1x2

+ · · ·+ 1xn

), ∀n ∈ N∗ .

(e) Sa se deduca inegalitatea

h1 + h2 + · · ·+ hn < 2(x1 + x2 + · · ·+ xn) , ∀n ∈ N∗ .

117


12 + 1

3 + · · ·+ 1n+1

1 + 12 + · · ·+ 1

n

= 1 .

(g) Sa se determine cel mai mic c > 0, astfel ıncat pentru orice sir (xn)n∈N de numere strict pozitive si pentru oricen ∈ N∗ sa avem

h1 + h2 + · · ·+ hn < c(x1 + x2 + · · ·+ xn) , ∀n ∈ N∗ .

Solutie:(a)Avem f ′(x) = 2n2x− (4n− 1)a.

(b) Pentru orice x > 0 si a > 0 avem

n2x2 − (4n− 1)ax + 4a2 = n2x2 − 4nax + 4a2 + ax = (nx− 2a)2︸︷︷︸>0

+ ax︸︷︷︸>0

> 0 .

(c) Fie a, x > 0 si n ∈ N. Atunci avem implicatiile (si echivalentele) specificate mai jos, deoarece a, x, a + x > 0:

(n + 1)(n + 3)a + x

<n2

a+

4x

este echivalent (din a, x, a + x > 0) cu

(n + 1)(n + 3)ax < n2x(a + x) + 4a(a + x) ceea ce este echivalent cu

(n2 + 4n + 3)ax < n2x2 + n2ax + 4nax + 4a2 ceea ce este echivalent dupa simplificari cu

3ax < n2x2 + 4a2 ceea ce este echivalent cu

0 < ax + (nx− 2a)2 .

Ultima relatie este adevarata, deoarece (nx− 2a)2 > 0 si ax > 0. De aici rezulta inegalitatea din enunt.

(d) (Este mai mult sau mai putin clar ca vom aplica (c) pentru a demonstra pasul inductiv. Mai ıntai trebuie facut clar cepropozitie demonstram prin inductie. Pentru claritate este bine sa scriem aceasta propozitie explicit.)Consideram propozitia P (n), (care ın principiu poate fi adevarata pentru unele valori ale lui n ∈ N∗ si falsa pentru celelaltevalori)

P (n) :[

Pentru orice x1, x2, . . . , xn > 0 are loc inegalitatea

1x1

+2

x1 + x2+ · · ·+ n

x1 + · · ·+ xn+

n2

2(x1 + · · ·+ xn)< 2

(1x1

+1x2

+ · · ·+ 1xn

) ].

Declansarea inductiei: Aratam mai ıntai ca propozitia P (1) este adevarata:

Fie pentru aceasta x > 0. Atunci avem:1x1

+12

2(x1)=

32· 1x1

< 2(

1x1

).

Rezulta ca propozitia P (1) este adevarata.Pasul inductiv: Fie n > 1 natural arbitrar. Aratam ca implicatia P (n) ⇒ P (n + 1) este adevarata. Considerand tabelalogica pentru doua propozitii p, q

q falsa q adevarata

p falsa (p ⇒ q) adevarata (p ⇒ q) adevarata

p adevarata (p ⇒ q) falsa (p ⇒ q) adevarata

pe scurt:

p ⇒ q q : 0 q : 1p : 0 1 1p : 1 0 1

Rezulta ca trebuie sa excludem un singur caz, cel ın care propozitia P (n) este adevarata, iar P (n + 1) este falsa. De aceeapresupunem “prin inductie” ca propozitia P (n) este adevarata. (Demonstram ca propozitia P (n + 1) este adevarata.)

Fie deci x1, x2, . . . , xn, xn+1 > 0. Atunci avem dupa ce introducem (dupa cativa pasi va deveni clar de ce) notatiile

118

simplificatoare a = x1 + · · ·+ xn > 0 si x = xn+1 > 0:

1x1

+2

x1 + x2+ · · ·+ n

x1 + · · ·+ xn+

n + 1x1 + · · ·+ xn + xn+1

+(n + 1)2

2(x1 + · · ·+ xn + xn+1)

< 2(

1x1

+1x2

+ · · ·+ 1xn

)− n2

2(x1 + · · ·+ xn)+

n + 1x1 + · · ·+ xn + xn+1

+(n + 1)2

2(x1 + · · ·+ xn + xn+1)deoarece P (n) adevarata

< 2(

1x1

+1x2

+ · · ·+ 1xn

)− n2

2a+

n + 1a + x

+(n + 1)2

2(a + x)folosind notatiile introduse

= 2(

1x1

+1x2

+ · · ·+ 1xn

)− n2

2a+

(n + 1)(n + 3)2(a + x)

< 2(

1x1

+1x2

+ · · ·+ 1xn

)− n2

2a+

12

(n2

a+

4x

)din (c)

= 2(

1x1

+1x2

+ · · ·+ 1xn

)+

2x

= 2(

1x1

+1x2

+ · · ·+ 1xn

+1

xn+1

).

O privire la ınceputul si sfarsitul lantului de majorari arata ca propozitia P (n + 1) este adevarata.Prin aceasta am demonstrat prin inductie, faptul ca propozitia P (n) este adevarata pentru toti n ∈ N∗.

(e) Se aplica (d) pentru numerele1x1

,1x2

, . . . ,1xn

> 0 ın locul numerelor x1, x2, . . . , xn > 0 care apar ın (d). Explicit:

h1 + h2 + · · ·+ hn =11x1

+2

1x1

+1x2

+ · · ·+ n1x1

+1x2

+ · · ·+ 1xn

<11x1

+2

1x1

+1x2

+ · · ·+ n1x1

+1x2

+ · · ·+ 1xn

+n2

2(

1x1

+1x2

+ · · ·+ 1xn

)

< 2

11x1

+11x2

+ · · ·+ 11xn

din (d)

= 2(x1 + x2 + · · ·+ xn) .

(f) Limita ceruta este 1, deoarece diferenta dintre termenul general de sub limita si unu (sau invers) este

1−12 + 1

3 + · · ·+ 1n+1

1 + 12 + · · ·+ 1

n

=1− 1

n+1

1 + 12 + · · ·+ 1

n

iar ın fractia din membrul drept numaratorul converge la 1 iar numitorul tinde la +∞ pentru n → ∞. Pentru a vedea canumitorul converge la infinit observam ca din teorema lui Lagrange aplicata functiei logaritm (pe subintervale finite incluseın (1,∞) unde logaritmul este diferentiabil, cu derivata continua) avem

ln 2− ln 12− 1

= ln′(ξ1) =1ξ1

612

pentru un ξ1 ∈ (1, 2) convenabil,

ln 3− ln 23− 2

= ln′(ξ2) =1ξ2

613

pentru un ξ2 ∈ (2, 3) convenabil,

...

ln(n + 1)− lnn

(n + 1)− n= ln′(ξn) =

1ξn

61n

pentru un ξn ∈ (n, n + 1) convenabil,

si de aceea adunand obtinem

1 +12

+ · · ·+ 1n

> 1 +(

ln 1︸︷︷︸=0

+(ln 2− ln 1) + · · ·+ (ln(n + 1)− lnn))

= 1 + ln(n + 1) ,

119

de aceea, folosind criteriul minorantei (criteriul clestelui ıntr–o versiune “de impostor”) rezulta din 1 + ln(n + 1) →∞ ca simembrul stang converge la infinit.

(g) Observam ca din (e) numarul 2 este un candidat pentru “pozitia” lui c din enunt. Aratam ca, intr–adevar, c = 2 estenumarul minim cautat.Demonstram prin reducere la absurd acest lucru.Presupunem astfel ca exista un c < 2 pentru care inegalitatea din enunt este adevarata pentru alegerei arbitrare ale siruluidin enunt. Atunci acest lucru este adevarat si pentru alegerea 1, 1

2 , 13 , . . . , 1

n , . . . a acestui sir. Inegalitatea din enunt devinepentru fiecare n ∈ N∗:

11

+2

1 + 2+ · · ·+ n

1 + 2 + · · ·+ (n + 1)︸︷︷︸=

11 · 2/2

+2

2 · 3/2+ · · ·+ n

n · (n + 1)/2

= 2(

12

+13

+ · · ·+ 1n + 1

)< c

(11

+12

+ · · ·+ 1n

).

Impartind cu membrul drept (care e desigur > 0) si apoi cu 2 obtinem:

12 + 1

3 + · · ·+ 1n+1

1 + 12 + · · ·+ 1

n

<c

2.

Din (f) rezulta ca putem trece cu n la limita la infinit, obtinand

1 6c

2.

Acest lucru este ın contradictie cu presupunerea c < 2. Presupunerea facuta este falsa. Rezulta cele afirmate ın enunt.

120

Capitolul 13

Varianta 053

13.1 Subiectul I

Exercitiul 61 (a) Sa se determine aria unui triunghi cu varfurile ın punctele A(2, 1), B(3, 4), C(5, 3) .(b) Sa se calculeze aria patratului cu diagonala

√2.

(c) Sa se determine partea reala a numarului complex z =1

3− 4i.

(d) Sa se calculeze sin2 π

3+ cos2

π

6.

(e) Sa se calculeze ecuatia tangentei la cercul de ecuatie x2 + y2 = 25 ın punctul A(3, 4).(f) Sa se determine distanta de la punctul M(1, 2, 3) la planul de ecuatie x + y + z = 7 .

Solutie:(a) Folosind formula ariei cu semn, exprimata printr–un determinant al unei matrici 3× 3 ın care prima coloana este 1, 1, 1,iar celelalte coloane contin abscisele respectiv ordonatele punctelor date, obtinem:

±Aria(ABC) =12

∣∣∣∣∣∣1 2 11 3 41 5 3

∣∣∣∣∣∣ = 12

∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 30 3 2

∣∣∣∣∣∣ = 12

∣∣∣∣1 33 2

∣∣∣∣ = 12(1 · 2− 3 · 3) = −7

2,

Aria(ABC) =72

.

(%i76) (1/2)*determinant( matrix( [1,2,1], [1,3,4], [1,5,3] ) );

7

(%o76) - -

2

(b) Latura patratului dat este 1, deoarece pentru acest patrat avem lungimea diagonalei calculata drept√

12 + 12 = 2.(Patrate de latura mai mica au diagonala mai mica, iar patrate de latura mai mare au diagonala mai mare.)

Aria patratului de latura 1 este 12 = 1 .

(c) Numarul z =1

3− 4i=

3 + 4i

(3− 4i)(3 + 4i)=

3 + 4i

32 + 42=

3 + 4i

25=

325

+ i425

are partea reala325

.

(%i77) realpart( 1/(3-4*%i) );

3

(%o77) --

25

(d) sin2 π

3+ cos2

π

6=

(√3

2

)2

+

(√3

2

)2

=34

+34

=32

.

121

(%i78) sin(%pi/3)^2+cos(%pi/6)^2;

3

(%o78) -

2

(e) “Dezvoltam” ecuatia data “ın jurul punctului” A, avem echivalent succesiv:

x2 + y2 = 25 ,

((x− 3) + 3)2 + ((y − 4) + 4)2 = 25 ,

(x− 3)2 + 6(x− 3) + 9 + (y − 4)2 + 8(y − 4) + 16 = 25 ,

(x− 3)2 + 6(x− 3) + (y − 4)2 + 8(y − 4) = 0 .

(Am obtinut o ecuatie echivalenta, pe care “se vede imediat” ca A(3, 4) o verifica!)Ecuatia dreptei prin A(3, 4) tangenta la cerc este “partea liniara” (partea cu monoame de grad unu) a membrului stang, deci6(x− 3) + 8(y − 4) = 0, deci

3(x− 3) + 4(y − 4) = 0 .

In examene veti ıntalni si corectori care, spre deosebire de mine, vor forma expandata a afacerii:

3x + 4y − 25 = 0 .

Nota: Pentru a vedea si a ne convinge ca acest procedeu de rezolvare prin “izolarea partii liniare” livreaza tangenta, sacalculam numarul de puncte (de coordonate reale) ale intersectiei cercului cu drepta calculata. (O intersectie “dubla”ınseamna ca dreapta este tangenta, doua intersectii ar ınsemna de exemplu ca dreapta este secanta.)Din sistemul

3(x− 3) + 4(y − 4) = 0

x2 + y2 = 25

rezulta ın lumina calculelor premergatoare ca avem (prin scaderea ecuatiilor) (x − 3)2 + (y − 4)2 = 0, de unde x = 3 siy = 4, deci exista un singur punct de intersectie.(f) Ecuatia standard a planului este x + y + z − 7 = 0. Folosind formula de calculare a distantei de la un punct la un plan,rezulta ca distanta ceruta este:

| 1 + 2 + 3− 7 |√12 + 12 + 12

=| − 1|√

3=

1√3

=√

33

.

13.2 Subiectul II

Exercitiul 62 (a) Sa se calculeze 12

+

22

+

32

,

unde prin x ıntelegem partea fractionara a numarului real x.(b) Sa se determine cel mai mare numar natural n pentru care 2n < 2007.(c) Se considera functia f : R → R, f(x) = x2 − 5x + 6. Sa se calculeze

f(1) · f(2) · · · · · f(10) .

(d) Sa se determine restul ımpartirii polinomului f = X3 + 3X + 1 la g = X − 1.(e) Sa se determine probabilitatea ca un element din Z9 sa fie simetrizabil fata de ınmultire.

Solutie:(a)

12

+

22

+

32

=

12

+ 0 +12

= 1 .

(b) Avem 210 = 1024 (lucru de stiut!), 211 = 2048. Deoarece functia exponentiala cu baza doi este strict crescatoare,

rezulta ca n = 10 este numarul natural cautat.

122

(c) Deoarece f(2) = 4 − 10 + 6 = 0, rezulta ca produsul dat se anuleaza, deoarece unul dintre factorii lui se anuleaza.

valoarea produsului este 0 .

(d) Potrivit teoremei lui Bezout restul ımpartirii lui f la X − 1 este

f(1) = 13 + 3 · 1 + 1 = 5 .

(%i81) partfrac( (X^3+3*X+1)/(X-1), X );

2 5

(%o81) X + X + ----- + 4

X - 1

Din aceasta descompunere ın fractii simple (partial fraction decomposition), rezulta ca la ımpartirea lui f la g = X−1 restuleste 5 si catul X2 + X + 4.Acelasi lucru rezulta prin aplicarea schemei lui Horner pentru polinomul f care are coeficientii 1, 0, 3, 1:

1 0 3 11 1 1 4 5

(e) Elementele din ZN , N ∈ N∗, care admit simetric fata de ınmultire (adica invers multiplicativ) sunt exact cele de forma

k, unde k este prim cu N , i.e. c.m.m.d.c al numerelor k, N este 1.Numerele prime cu 9 ıntre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sunt 1, 2, 4, 5, 7, 8 ın numar de sase. (In general, ıntre 1, 2, . . . , (N − 1) se aflaϕ(N) numere prime cu N . Aici ϕ(N) este indicatorul lui Euler aplicat pe N .)Intr–un tabel dau pentru completitudine inversele ın cazul nostru:

x 1 2 4 5 7 8x−1 1 5 7 2 4 8

Probabilitatea P cautata este



69

=23

.

(%i1) for k: 0 thru 8 do if gcd(k,9)=1 then print("Inversul lui ", k, " modulo 9 este ", mod( 1/k, 9 ) );

Inversul lui 1 modulo 9 este 1

Inversul lui 2 modulo 9 este - 4





(%o1) done

Exercitiul 63 Se considera functia f : R → R, f(x) = x2007 + 1.(a) Sa se calculeze f(1).(b) Sa se calculeze f ′(x).


f(x)− f(1)x− 1

.

(d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx .

(e) Sa se calculeze limx→∞

f(x)x · f ′(x)

.

Solutie:(a) f(1) = 12007 + 1 = 1 + 1 = 2 .

(b) f ′(x) = 2007x2006 pentru orice x ∈ R.

123

(c) Deoarece f este derivabila, din definitia derivatei lui f ın 1 avem:

limx→1

f(x)− f(1)x− 1

= f ′(1) = 2007 · 12006 = 2007 · 1 = 2007 .

(d)∫ 1

−1

f(x) dx =∫ 1

−1

(x2007 + 1

)dx =

[1

2007 + 1x2007+1 + x

]1−1

=1

2008(12008− (−1)2008)+(1− (−1)) = 0+2 = 2 .

(%i2) integrate( x^2007+1, x, -1, 1 );

(%o2) 2

(e)

limx→∞

f(x)x · f ′(x)

= limx→∞

x2007 + 1x · 2007x2006

=1

2007lim

x→∞

x2007 + 1x2007

=1

2007lim

x→∞(1 + x−2007) =

12007

(1 + 0) =1

2007.

(%i12) f: x^2007+1;

2007

(%o12) x + 1

(%i13) g: diff( f, x );

2006

(%o13) 2007 x

(%i14) limit( f/(x*g), x, inf );

1

(%o14) ----

2007

13.3 Subiectul III

Exercitiul 64 In multimea M2(C) se considera matricile

A =[2 −14 −2

], O2 =

[0 00 0

], I2 =

[1 00 1

]si multimea M =

X ∈ M2(C)

∣∣∣ ∃k ∈ N , k > 2 , Xk = O2

.

(a) Sa se arate ca A ∈ M .

(b) Sa se arate ca pentru orice matrice B =[a bc d

]∈ M2(C), avem

B2 − (a + d)B + (ad− bc)I2 = O2 .

(c) Sa se verifice ca det(XY ) = det(X) det(Y ), ∀X, Y ∈ M2(C).(d) Sa se arate ca daca X ∈ M , atunci X2 = O2.(e) Sa se arate ca ecuatia Zn = A nu are solutie ın M2(C), pentru n ∈ N, n > 2.(f) Sa se arate ca functia f : M2(C) → M2(C), f(X) = X2007, nu este surjectiva.(g) Sa se arate ca daca B ∈ M , atunci

det(

I2 + B + B2 + · · ·+ B2007)

= 1 .

Solutie:(a) Avem

A2 = AA =[2 −14 −2

] [2 −14 −2

]=[0 00 0

].

Deci A ∈ M . (Numarul k minim corespunzator lui A, ce apare ın definitia lui M , este k = 2.)

124

(b) Fie B ca ın enunt. Atunci avem:

B2 − (a + d)B + (ad− bc)I2 =[a bc d

] [a bc d

]− (a + d)

[a bc d

]+ (ad− bc)

[1 00 1

]=[a2 + bc ab + bdca + dc cb + d2

]−[(a + d)a (a + d)b(a + d)c (a + d)d

]+[(ad− bc) 0

0 (ad− bc)

]=[0 00 0

]= O2 .

(c) Notam intrarile ın X, Y , matricile involvate ın enunt, prin a, b, c, d si p, q, r, s, deci

X =[a bc d

], Y =

[p qr s

].

Atunci avem:

det(XY ) = det[ap + br aq + bscp + dr cq + ds

]= (ap + br)(cq + ds)− (aq + bs)(cp + dr)= ac pq + ad ps + bc qr + bd rs − ac pq − ad qr − bc ps− bd rs

= ad ps + bc qr − ad qr − bc ps

= ad(ps− qr) + bc(qr − ps)= ad(ps− qr)− bc(ps− qr)= (ad− bc)(ps− qr)= (det X)(detY ) .

(d) Fie X =[a bc d

]∈ M ⊆ M2(C), a, b, c, d ∈ C. Rezulta din definitia lui M ca exista k > 2 ın N cu Xk = O2.

Atunci (detX)k = det(Xk) = det O2 = 0, deci (ad− bc) = det X = 0.(Aici am folosit (c), ın forma generalizata inductiv (detX1)(detX2) . . . (detXn) = det(X1X2 . . . Xn), luand apoi X =X1 = X2 = · · · = Xk si n = k.)Rezulta X2 = (a + d)X. De aici (inductiv) rezulta O2 = Xk = (a + d)k−1X.Avem doua cazuri:

Fie este a + d = 0, ceea ce implica X2 = (a + d)X = 0 ·X = O2,fie a + d 6= 0, deci X = (a + d)−(k−1) · (a + d)k−1X = (a + d)−(k−1) · O2 = O2, deci X = O2, deci a = d = 0, deci

a + d = 0, contradictie.

Rezulta cele afirmate ın enunt.

(e) Presupunem ca exista o matrice Z =[a bc d

]∈ M2(C), a, b, c, d ∈ C si un numar natural n > 2 cu Zn = A.

Atunci (detZ)n = det(Zn) = det A = 0, deci (ad − bc) = det Z = 0. (Aici am folosit (c), ın forma generalizata inductiv(detX1)(detX2) . . . (detXn) = det(X1X2 . . . Xn).)Din (b) rezulta Z2 − (a + d)Z + 0 · I2 = O2, deci

Z2 = (a + d)Z

si excludem deja cazul a + d = 0, deoarece atunci am avea Z2 = 0 · Z = O2, deci atunci O2 = Zn = A, contradictie.Rezulta de asemenea imediat (inductiv)

Zn = (a + d)n−1Z .

Deci A = Zn = (a + d)n−1Z, de unde (folosind efectiv n > 2)

O2 = A2 ·An−2 = An = ((a + d)n−1Z)n = (a + d)n(n−1)Zn = (a + d)n(n−1)A ,

ın contradictie cu a + d 6= 0 si A 6= O2.Presupunerea facuta este falsa. Rezulta cele afirmate ın enunt.

(f) Functia f nu este surjectiva, deoarece nu exista X ∈ M2(C) cu f(X) = A, deoarece din (e) ecuatia Z2007 = A nu aresolutii.

125

(g) Fie B =[a bc d

]∈ M . Atunci

det(

I2 + B + B2 + · · ·+ B2007)

= det ( I2 + B + O2 + · · ·+ O2 )

= det(I + B) =∣∣∣∣1 + a b

c 1 + d

∣∣∣∣ = (1 + a)(1 + d)− bc

= 1 + (a + d) + (ad− bc) .

Din B2 = O2 rezulta (ad−bc)2 = (det B)2 = det(B2) = det O2 = 0, deci ad−bc = 0. Mai ramane sa aratam ca a+d = 0.Acest lucru a fost aratat ın (d).Rezulta cele afirmate ın enunt.

13.4 Subiectul IV

Exercitiul 65 Se considera functiile f : (0,∞) → R, f(x) = lnx, g : (0, 1) → R, g(x) = tg x − x si sirurile cu termenulgeneral

cn = 1 +12

+13

+ · · ·+ 1n− lnn , n ∈ N∗ ,

an = tg1

n + 1+ tg

1n + 2

+ · · ·+ tg1

n + n, n ∈ N∗ .

(a) Sa se calculeze g′(x).(b) Sa se arate ca functia g este strict crescatoare pe intervalul (0, 1).(c) Sa se arate ca

tg12n

− 12n

6 tg1

n + k− 1

n + k6 tg

1n + 1

− 1n + 1

, k ∈ 1, 2, . . . , n .

(d) Aplicand teorema lui Lagrange functiei f pe intervalul [k, k + 1], k ∈ N∗, sa se arate ca

1k + 1

< ln(k + 1)− ln k <1k

.

(e) Sa se arate ca sirul (cn)n∈N∗ este monoton si marginit.


(1

n + 1+

1n + 2

+ · · ·+ 12n

)= ln 2 .


an = ln 2 .

Solutie:(a) Exista formula “bine cunoscuta” pentru derivata functiei tangenta, nu este rau ınsa ca macar o data sa chair calculam.(Cine vede calculul are sanse maxime sa ınteleaga si calculul derivatei cotangente si si tina mai usor minte care este diferenta.)Avem:

tg′ x =(

sinx

cos x

)′=

(sinx)′ · (cos x)− (sinx) · (cos x)′

cos2 x=

sin2 x + cos2 x

cos2 x=

1cos2 x

.

De aici rezulta usor ce ne spune calculatorul:

(%i6) diff( tan(x)-x, x );

2

(%o6) sec (x) - 1

Dar este bine sa mai evaluam si cu mana:

g′(x) = (tg x− x)′ =1

cos2 x− 1 =

1− cos2 x

cos2 x=

sin2 x

cos2 x= (tg x)2 = tg2 x > 0 .

Deoarece numitorul lui g este 6= 0 pentru x ∈ (0, 1), (cum nu este pe intervalul mai mare (−π/2, π/2), care nu mai poatefi “conex” extins,) calculele de mai sus au sens. (Trebuie ıntotdeauna sa asiguram corectorul ca nu ımpartim cu zero, chiar

126

si “linia criptica” 0 < x < 1 < π/2, o mica aluzie la faptul ca stim unde e zeroul urmator al functiei cosinus, aduce puncte,chiar mai mult, ın coditii de olimpiada aceste “tacamuri” aduc departajarea ıntre candidati.)

(b) Deoarece tg x > 0 (sau pur si simplu doar 6= 0) pentru x ∈ (0, 1) (si chiar pentru x ∈ (0, π/2),) rezulta ca avemg′(x) = tg2 x > 0, deci g este strict crescatoare pe domeniul de definitie.

(c) Deoarece au loc inegalitatile

0 <12n

61

n + k6

1n + 1

< 1

pentru orice k cu 1 6 k 6 n, si deoarece g este (strict) crescatoare pe (0, 1), rezulta

g(1/(2n)) 6 g(1/(n + k)) 6 g(1/(n + 1)) ,

care este exact relatia ceruta ın enunt.

(d) Functia f este derivabila cu derivata continua pe (0,∞), deci aceste proprietati se mostenesc corespunzator pe intervalele[k, k + 1] cu k ∈ N∗.Din teorema lui Lagrange, rezulta atunci ca pentru orice k ∈ N∗ exista un “punct intermediar” ξk ∈ (k, k + 1) cu

ln(k + 1)− ln k =f(k + 1)− f(k)

(k + 1)− k= f ′(ξk) =

1ξk

∈(

1k + 1

,1k

).

O privire la ınceputul si sfarsitul relatiei de mai sus arata cele cerute ın enunt. (Aici folosim verbul arata ın sens figurativ.Matematica cere o anumita (im)pedanta, dar limba noastra i–o omoara ın adancuri ınfundata.)

(e) Prin adunarea relatiilor deduse la (d)

1/2 < ln 2− ln 1 < 1/11/3 < ln 3− ln 2 < 1/21/4 < ln 4− ln 3 < 1/3

......1/n < lnn− ln(n− 1) < 1/(n− 1)

si folosind ln 1 = 0, rezulta

12

+13

+14

+ · · ·+ 1n

< lnn < 1 +12

+13

+ · · ·+ 1n− 1

,

de unde, scazand termenul din mijloc, avem cn − 1 < 0 < cn − 1n , deci 0 < 1

n < cn < 1.Sirul (cn) este astfel un sir marginit.Pentru a–i vedea monotonia, observam ca diferenta

cn+1 − cn =1

n + 1− ln(n + 1) + lnn < 0

este strict negativa din (d), inegalitatea stanga, deci sirul dat este strict descrescator. Sa ne convingem (cod maxima):

(%i12) for n: 1 thru 10 do print( ev( sum(1/k, k, 1, n) - log(n) , numer ) );

1

0.80685281944005

0.73472104466522

0.69703897221344

0.67389542089923

0.65824053077194

0.64694699380183

0.63841560117731

0.63174367663203

0.62638316097421

(%o12) done

(f) Deoarece sirul (cn) este monoton si marginit, el are o limita, pe care o notam cu γ. (Aceasta notatie se poate urmariistoric ınapoi pana la Euler.) Avem, ca sa avem o idee, folosind PARI:

\p 100

realprecision = 105 significant digits (100 digits displayed)

? Euler

%2 = 0.5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495

127

Si acum sa ne ocupam de problema data. Avem:

0 = γ − γ = limn→∞

c2n − limn→∞

cn = limn→∞

(c2n − cn)

= limn→∞

( 1n + 1

+1

n + 2+ · · ·+ 1

2n

)− (ln(2n)− lnn)︸︷︷︸

=ln 2

= lim

n→∞

(1

n + 1+

1n + 2

+ · · ·+ 12n

)− ln 2 .

Rezulta existenta limitei din enunt, precum si valoarea pentru ea proclamata colea.

(g) Fie n natural > 1 fixat. Adunand toate inegalitatile duble din (c) pentru toate cele n valori diferite ale lui k, rezultainegalitatea

n g(1/(2n))︸︷︷︸→0

6

(tg

1n + 1

+ tg1

n + 2+ · · ·+ tg

12n

)︸︷︷︸

=an

−(

1n + 1

+1

n + 2+ · · ·+ 1

2n

)︸︷︷︸

→ln 2 , (c)

6 n g(1/(n + 1)) 6 n g(1/n)︸︷︷︸ ,

de unde rezulta prin criteriul clestelui cele cerute ın enunt daca demonstram ca are (au) loc limn→∞

n g(n) = 0 (si respectiv

acelasi lucru prin ınlocuirea lui n cu 2n).

Substituim, cel mai usor, 1/n cu x ∈ (0, 1). Limita pe care ne–am izolat–o mai sus exista, daca aratam ca exista si estenula limita urmatoare. De fapt, o si calculam folosind regula lui l’Hospital, care este aplicabila:

limx→0x>0

1x

g(x) = limx→0x>0

g(x)x

= limx→0x>0

g′(x)x

′= lim

x→0x>0

g′(x) = tg2 0 = 0 .

Gata!O mica verificare si o mica digresiune care se poate dovedi utila foarte (cu ıntelegerea sau pentru ıntelegerea materiei de lafacultate), si pentru a vedea ca exista (finita, ce–i drept, nu nula) limita expresiei (tgx− x)/x3 pentru x → 0, cod maxima:

(%i20) limit( (tan(x)-x)/x , x, 0 );

(%o20) 0

(%i21) taylor( (tan(x)-x)/x , x, 0, 6 );

2 4 6

x 2 x 17 x

(%o21)/T/ -- + ---- + ----- + . . .

3 15 315

(%i22) limit( (tan(x)-x)/x^3 , x, 0 );

1

(%o22) -

3

Intelegerea “aproximarii cu polinoame Taylor” este foarte utila! Intrebati pe cei ce au facut (sau fac) ceva pe la fac(ultate).Din pacate, multe probleme de bacalaureat se “inspira” din lucruri care devin triviale dupa ınca un semestru de matematici(speciale) la facultate.

128

Capitolul 14

Varianta 054

14.1 Subiectul I

Exercitiul 66 (a) Sa se calculeze modulul numarului complex cos 1 + i sin 1 .(b) Sa se calculeze distanta de la punctul D(1, 2) la punctul C(0, 1) .(c) Sa se calculeze coordonatele punctului de intersectie dintre cercul de ecuatie x2 + y2 = 25 si dreapta de ecuatie

x + y = 0.(d) Sa se arate ca punctele L(5, 2), M(6, 3) si N(7, 4) sunt coliniare.(e) Sa se calculeze volumul tetraedrului cu varfurile ın punctele

A(4, 3, 2) ,

B(3, 2, 4) ,

C(2, 4, 3) ,

D(1, 2, 3) .

(f) Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat sa avem egalitatea de numere complexe(√3 + i

)4

= a + bi .

Solutie:(a) Modulul oricarui numar de forma cos x + i sinx, x ∈ R, este

| cos x + i sinx | = sin2 x + cos2 x = 1 .

(b) |CD| =√

(1− 0)2 + (2− 1)2 =√

12 + 12 =√

1 + 1 =√

2 .

(c) Un cerc si o dreapta se intersecteaza ın cel mult doua puncte. Cele doua puncte de coordonate ( 5/√

2 , −5/√

2 ) si( −5/

√2 , 5/

√2 ) se afla atat pe cerc cat si pe dreapta, deoarece ele satisfac cele doua ecuatii.

Cele doua puncte sunt diferite. Din punct de vedere gramatical, autorul problemei este rugat sa–si corecteze cerinta, casa stim si noi ce sa raspundem ın examen. Daca apare o astfel de situatie ın bac, ıntrebarea “Mie ımi ies doua puncte deintersectie, ce fac?” nu este admisibila, dar ıntrebarea “Ce se face ın cazul ın care numarul de puncte de intersectie nu esteunu?” este admisibila si foarte repede raspunsul la aceasta ıntrebare se va comunica telefonic de la liceu la liceu si se vascrie pe table.

(d) Cele trei puncte sunt situate pe dreapta x− y = 3, deci sunt coliniare, deoarece coordonatele celor trei puncte satisfacaceasta ecuatie:

5− 2 = 3 ,

6− 3 = 3 ,

7− 4 = 3 .

129


13!

∣∣∣∣∣∣∣∣1 4 3 21 3 2 41 2 4 31 1 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =16

∣∣∣∣∣∣∣∣0 3 1 −10 2 0 10 1 2 01 1 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −16

∣∣∣∣∣∣3 1 −12 0 11 2 0

∣∣∣∣∣∣ = −16

∣∣∣∣∣∣5 1 02 0 11 2 0

∣∣∣∣∣∣= +

16

∣∣∣∣5 11 2

∣∣∣∣ = +16(5 · 2− 1 · 1) =

16· 9 =

32

.

(Volumul cu semn este 3/2, deci si volumul “geometric”, care se obtine luand modulul din cele obtine.) Incerc sa ma verific:

(%i15) (1/3!)*determinant( matrix( [1,4,3,2], [1,3,2,4], [1,2,4,3], [1,1,2,3] ) );

3

(%o15) -

2

(f) Din formula binomiala (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 rezulta(√3 + i

)4

= (√

3)4 + 4 · (√

3)3i + 6 · (√

3)i2 + 4 ·√

3i3 + i4

= 9 + 12i√

3− 18− 4i√

3 + 1

= −8 + 8i√

3 .

Identificand partea reala si cea imaginara ın a + ib = −8 + 8i√

3 rezulta

a = −8 , b = 8√

3 .

(%i16) (sqrt(3)+%i)^4, expand;

(%o16) 8 sqrt(3) %i - 8

14.2 Subiectul II

Exercitiul 67 (a) Sa se verifice identitatea

(x− y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = 2(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx

), ∀x, y, z ∈ R .

(b) Sa se arate ca, daca x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx, unde x, y, z ∈ R, atunci x = y = z.(c) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia

4x + 9x + 25x = 6x + 10x + 15x .

(d) Sa se calculeze probabilitatea ca un element x ∈ Z6 sa verifice relatia x3 = x .(e) Sa se calculeze suma radacinilor polinomului f = X4 + X3 −X2 + 1 .

Solutie:(a) Pentru orice x, y, z ∈ R avem:

(x− y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = (x2 − 2xy + y2) + (y2 − 2yz + z2) + (z2 − 2zx + x2)

= 2(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx

).

(b) Presupunand ca are loc identitatea din enunt, rezulta din (a) ca numerele reale x, y, z satisfac

(x− y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = 2 · 0 = 0 .

Dar (x−y)2+(y−z)2+(z−x)2 > 0 deoarece (x−y)2 , (y−z)2 , (z−x)2 > 0, iar egalitatea ın (x−y)2+(y−z)2+(z−x)2 > 0are loc daca si numai daca avem egalitate ın fiecare dintre inegalitatile (x − y)2 > 0 , (y − z)2 > 0 , (z − x)2 > 0, decidaca si numai daca (x− y) = (y − z) = (z − x) = 0, deci daca si numai daca x = y = z.

130

(c) Rescriem ecuatia data sub forma:

( 2x︸︷︷︸X

)2 + ( 3x︸︷︷︸Y

)2 + ( 5x︸︷︷︸Z

)2 = ( 2x︸︷︷︸X

)( 3x︸︷︷︸Y

) + ( 3x︸︷︷︸Y

)( 5x︸︷︷︸Z

) + ( 5x︸︷︷︸Z

)( 2x︸︷︷︸X

) ,

unde am introdus notatiile X = 2x, Y = 3x, Z = 5x.Din (b) rezulta ca singura modalitate de a avea egalitatea X2 + Y 2 + Z2 = XY + Y Z + ZX este daca X = Y = Z.Rezulta deci echivalent cu ecuatia data urmatoarea ecuatie:

2x = 3x = 5x ,

care are evident solutia unica x = 0 . (De exemplu, din 2x = 3x rezulta (3/2)x = 1, deci x = 0, care verifica “si restul”. . . )

(d) Tabelul de valori al functiei x → x3 ın Z6 este:

03 = 0 , relatia x3 = x este verificata.

13 = 1 , relatia x3 = x este verificata.

23 = 8 = 2 , relatia x3 = x este verificata.

33 = 27 = 3 , relatia x3 = x este verificata.

43 = (−2)3 = −23 = −2 = 4 , relatia x3 = x este verificata.

53 = (−1)3 = −13 = −1 = 5 , relatia x3 = x este verificata.

Probabilitatea ceruta este 1, cu siguranta are loc egalitatea x3 = x pentru x ∈ Z6.

Nota: Reformuland x3 = x ca o conditie de divizibilitate, anume echivalent x3−x se divide cu 6, echivalent x(x−1)(x+1)se divide cu 6, este clar de ce ecuatia initiala este ıntotdeauna satisfacuta:Produsul a doua numere ıntregi consecutive se divide cu 2.Produsul a trei numere ıntregi consecutive se divide cu 3.Deci: Produsul a trei numere ıntregi consecutive se divide cu 2 · 3 = 6. (Numerele 2, 3 sunt prime (ıntre ele).)

(e) Din relatiile lui Vieta, suma radacinilor polinomului f este −1 . GATA!

Urmeaza partea didactica.Explicit, daca a, b, c, d sunt cele patru radacini, atunci relatiile lui Vieta pentru f se scriu:

a + b + c + d = (−1)1 · (Coeficientul lui X4−1) = −1 ,

ab + ac + ad + bc + bd + cd = (−1)2 · (Coeficientul lui X4−2) = −1 ,

abc + abd + acd + bcd = (−1)3 · (Coeficientul lui X4−3) = 0 ,

abcd = (−1)4 · (Coeficientul lui X4−4) = 1 .

Din codul urmator, ne putem face o idee maibuna despre radacinile lui f si mai ales despre “latura psihologica” a lucrurilor.Nu avem nici o sansa ın examen sa determinam radacinile “explicit”, si apoi sa le ınmultim. Radacinile lui f sunt doua realesi doua nereale (complex conjugate), ele nu sunt definitiv numere rationale. (Singurele radacini rationale posibile ar fi decautat printre ±1/1. Dar ±1 nu sunt radacini.) Deci, care sunt radacinile?

(%i23)

for i: 1 thru 4 do

print( rhs(radacini[i]) );

0.5622795120623 %i + 0.66235897862237

0.66235897862237 - 0.5622795120623 %i

- 1.000000000000001

- 1.324717957244745

(%o23) done

(%i24) sum( rhs(radacini[i]), i, 1, 4 );

(%o24) - 1.0

131

Exercitiul 68 Se considera functia f : R → R, f(x) = x sinx2 .(a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R .


0f(x) dx .

(c) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe intervalul [0, 1] .


f(x)− f(0)x

.

(e) Sa se calculeze limx→0

f(x)x3

.

Solutie:Atentie: Functia data ascunde o mica “neclaritate”. Pentru a o “rezolva” rezolvam doua probleme. Cea cu f(x) =x sin(x2), ceea ce este ceea ce vrea problema, si cea cu g : R → R, g(x) = x sin2 x = x(sinx)2.Nu ma ıntrebati de ce n–au pus baietii parantezele! (Matematica ar trebui sa aibe examene de ıntelegere, nu examene decolectare de conventii.)(a) Cod maxima (si cod ajutator):

(%i23) diff( x*sin(x)^2, x );

2

(%o23) sin (x) + 2 x cos(x) sin(x)

(%i24) diff( sin(x)^2, x );

(%o24) 2 cos(x) sin(x)

(b) Cod maxima (mai ıntai fara cod ajutator):

(%i31) integrate( x*sin(x)^2, x, 0, 1 );

1 2 sin(2) + cos(2) - 2

(%o31) - - ---------------------

8 8

(%i32) expand(%);

sin(2) cos(2) 3

(%o32) - ------ - ------ + -

4 8 8

(%i33) %, numer;

(%o33) 0.19969399786197

(%i34) integrate( x*sin(x^2), x, 0, 1 );

1 cos(1)

(%o34) - - ------

2 2

(%i35) %, numer;

(%o35) 0.22984884706593

No ce fain, stim ce ne da (si care este valoarea numerica aproximativa), dar cum ajungem la acest rezultat ın conditie debac sau de amareala trista, daca nu avam la mana, trei fituici de buzunar, batista si celular?Atentie asadar la “orele de meditatie” ın care se afla raspunsuri si nu metode. . .

Incercam sa ne ajutam cu maxima. Avem

(%i30) trigreduce(sin(x)^2 );

1 - cos(2 x)

(%o30) ------------

2

(Unii oameni ınca mai cumpara carti cu formule trigonometrice. Acest lucru este de exemplu util ın tren. Dar acolo e nevoiede alte biletele.) In fine:∫ 1

0

x sin(x2) dx =12

∫ 1

0

sin(x2) d(x2) =[

12

cos(x2)]10

=12(1− cos 1) .

132

Problema “cealalta”: ∫ 1

0

x sin2(x) dx =∫ 1

0

x12(1− cos 2x) dx

=12

∫ 1

0

x dx− 14

∫ 1

0

x (sin(2x))′ dx

=14

∫ 1

0

(x2)′ dx−[

14x sin(2x)

]10

+∫ 1

0

(x)′ sin(2x) dx

=14− sin 2

4+∫ 1

0

sin(2x) dx =14− sin 2

4+[

18

cos(2x)]10

=14− sin 2

4+

18− 1

8cos(2) =

38− sin 2

4− cos(2)

8.

(c) g este prdusul functiilor strict crescatoare x → x si x → sinx si x → sinx (ca functii strict crescatoare [0, π/2] → R,restrictionate la [0, 1]).Aceasta se ıntampla deoarece derivatele x′ = 1 si (sinx)′ = cos x (si (sinx)′ = cos x) sunt > 0 pe (0, 1).

Iar f este prdusul functiilor strict crescatoare x → x si a compunerii de functii crescatoare x → sinx si [0, 1] → [0, 1],x → x2.

(d) Din definitia derivatei ın 0 a functiei (derivabile) f (si la fel pentru g) rezulta existenta limitei

limx→0

f(x)− f(0)x

= limx→0

f(x)− f(0)x− 0

= f ′(0) = 0 .

(e) Avem aplicand regula lui l’Hospital limx→0

sinx

x= lim

x→0

sin′ xx

′

= limx→0

cos x = cos 0 = 1 . De aici:

limx→0

f(x) = limx→0

x sin(x2)x · x2

= limx→0

sin(x2)x2

= limy→0

sin y

y= 1 ,

limx→0

g(x) = limx→0

x sinx sinx

x · x · x= lim

x→0

sinx

x· lim

x→0

sinx

x= 1 · 1 = 1 .

14.3 Subiectul III

Exercitiul 69 In multimea M3(C) se considera matricile

A =

0 1 00 0 10 0 0

, O3 =

0 0 00 0 00 0 0

, I3 =

1 0 00 1 00 0 1

si functia f : M3(C) → M3(C), f(X) = X2007 .(a) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A.(b) Sa se calculeze A2 si A3.(c) Sa se verifice ca matricea I3 + A este inversabila si ca inversa sa este I3 −A + A2 .(d) Sa se arate ca, daca Y ∈ M3(C) si Y ·A = A · Y , atunci exista a, b, c ∈ C, astfel ıncat

Y =

a b c0 a b0 0 a

.

(e) Sa se arate ca, daca Z =

a b c0 a b0 0 a

unde a, b, c ∈ C si det(Z) = 0, atunci Z3 = O3 .

(f) Sa se demonstreze ca functia f nu este injectiva.(g) Sa se demonstreze ca functia f nu este surjectiva.

133

Solutie:(a) Determinantul matricii A este 0 , deoarece A are o linie (si/sau o coloana) nula. Rangul lui A este deci < 3, deci celmult 2.

Deoarece A are minorul 2×2 format din liniile 1, 2 si coloanele 2, 3 cu determinantul nenul

∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣ = 1 6= 0 rezulta ca rangul

lui A este > 2. Deci rangul lui A este 2 .

(b) Avem

A2 =

0 0 10 0 00 0 0

, A3 =

0 0 00 0 00 0 0

= O3 .

(c) Avem:(I3 + A)(I3 −A + A2) = I3 −A + A2

+ A−A2 −A3 = I3 −A3 = I3 −O3 = I3 .

De aici rezulta din definitia inversei (ıntr–un grup) cele cerute ın enunt.

(d) Fie Y =

y11 y12 y13

y21 y22 y23

y31 y32 y33

∈ M3(C) o matrice cu proprietatea Y A = AY . (Aici, intrarile y11, y12, . . . , y33 din matricea

Y sunt numere complexe.)Conditia data, Y A = AY se rescrie echivalent,0 y11 y12

0 y21 y22

0 y31 y32

=

y21 y22 y23

y31 y32 y33

0 0 0

.

Cer scuze pentru modul ın care prezint “calculele” prin care am ajuns la aceste rezultate, dar presupun ca odata ajunsi laacest puncy stim sa ınmultim matrici. (De fapt, odata ce stim acest lucru, parca nu ne vine usor sa–l aplicam.) Iata calcululprin prisma computerului, cod maxima:

(%i5) Y: genmatrix( y, 3, 3 );

[ y y y ]

[ 1, 1 1, 2 1, 3 ]

[ ]

(%o5) [ y y y ]

[ 2, 1 2, 2 2, 3 ]

[ ]

[ y y y ]

[ 3, 1 3, 2 3, 3 ]

(%i6) A: matrix( [0,1,0], [0,0,1], [0,0,0] );

[ 0 1 0 ]

[ ]

(%o6) [ 0 0 1 ]

[ ]

[ 0 0 0 ]

(%i7) Y.A;

[ 0 y y ]

[ 1, 1 1, 2 ]

[ ]

(%o7) [ 0 y y ]

[ 2, 1 2, 2 ]

[ ]

[ 0 y y ]

[ 3, 1 3, 2 ]

(%i8) A.Y;

[ y y y ]

[ 2, 1 2, 2 2, 3 ]

[ ]

(%o8) [ y y y ]

[ 3, 1 3, 2 3, 3 ]

[ ]

[ 0 0 0 ]

134

Sunt sigur ca puteti reolva sistemul de mai sus, iata varianta de programator:

Y: genmatrix( y, 3, 3 ) $

A: matrix( [0,1,0], [0,0,1], [0,0,0] ) $

ecuatii: [] $

necunoscute: [] $

for i:1 thru 3 do

for j:1 thru 3 do (

ecuatii: append( ecuatii, [ (Y.A)[i,j] = (A.Y)[i,j] ] ),

necunoscute: append( necunoscute, [ y[i,j] ] )

);

ecuatii;

necunoscute;

linsolve( ecuatii, necunoscute );

O parte din cele livrate de program este:

(%o12) [0 = y , y = y , y = y , 0 = y , y = y ,

2, 1 1, 1 2, 2 1, 2 2, 3 3, 1 2, 1 3, 2

y = y , 0 = 0, y = 0, y = 0]

2, 2 3, 3 3, 1 3, 2

(%i13) necunoscute;

(%o13) [y , y , y , y , y , y , y , y , y ]

1, 1 1, 2 1, 3 2, 1 2, 2 2, 3 3, 1 3, 2 3, 3

(%i14) linsolve( ecuatii, necunoscute );

Dependent equations eliminated: (7 8 9)

(%o14) [y = %r1, y = %r3, y = %r2, y = 0, y = %r1,

1, 1 1, 2 1, 3 2, 1 2, 2

y = %r3, y = 0, y = 0, y = %r1]

2, 3 3, 1 3, 2 3, 3

Luand a = y11 (ın loc de %r1, ca prim parametru liber din raspunsul de mai sus) si b = y12 si c = y13 rezulta

Y =

a b c0 a b0 0 a

.

(e) Fie Z = aI3 + bA + cA2, a, b, c ∈ C, ca ın enunt. Daca a3 = det Z = 0, atunci rezulta a = 0, deci Z = bA + cA2. Deaici, folosind formula bimomiala:

Z3 = (bA + cA2)3 = b3A3 + 3b2cA4 + 3bc2A5 + c3A6 = O3 + O3 + O3 + O3 = O3 .

(f) f ia aceleasi valori pentru argumentele A si O3,

f(A) = O3 = f(O3) ,

iar A 6= O3. Rezulta ca f nu este injectiva.

(g) Aratam ca f nu ia valoarea A. Intr–adevar, sa presupunem prin absurd ca exista Z ∈ M3(C) cu A = f(Z) = Z2007.Atunci matricile A si Z “comuta”, adica are loc AZ = ZA, deoarece

AZ = Z2007Z = Z2008 = ZZ2007 = ZA .

Din (d) rezulta ca Z este de forma specificata acolo (adica ın (d)), Z = aI3 + bA + cA2.Deoarece determinantul este o functie multiplicativa, avem 0 = det A = det(Z2007

= (detZ)2007, deci det Z = 0.Matricea Z satisface deci ipoteza enuntului din (e), deci Z3 = O3. Obtinem imediat o contradictie: O3 = O3 · Z2004 =Z3 · Z2004 = Z2007 = f(Z) = A .Presupunerea facuta este falsa. Rezulta afirmatia din enunt.

14.4 Subiectul IV

135

Exercitiul 70 Se considera functia f : R → R,

f(x) =2x3 + x

x2 + 1.

(a) Sa se verifice ca f(x) = 2x− x

x2 + 1, ∀x ∈ R .

(b) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R .(c) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe R.

(d) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx .

(e) Sa se determine ecuatia asimptotei catre ∞ la graficul functiei f .(f) Sa se arate ca functia f este bijectiva.(g) Daca notam cu g : R → R inversa functiei f , sa se calculeze∫ 3/2

0

g(x) dx .

Solutie:(a) Fie x ∈ R. Avem

2x− x

x2 + 1=

2x(x2 + 1)− x

x2 + 1=

2x3 + 2x− x

x2 + 1=

2x3 + x

x2 + 1= f(x) .

(b)

f ′(x) =(

2x− x

x2 + 1

)′= 2− x′(x2 + 1)− x(x2 + 1)′

(x2 + 1)2= 2− (x2 + 1)− 2x2

(x2 + 1)2= 2 +

x2 − 1(x2 + 1)2

.

(%i108) diff( (2*x^3+x) / (x^2+1), x );

2 3

6 x + 1 2 x (2 x + x)

(%o108) -------- - --------------

2 2 2

x + 1 (x + 1)

(%i109) factor(%);

4 2

2 x + 5 x + 1

(%o109) ---------------

2 2

(x + 1)

(%i110) partfrac(%, x);

1 2

(%o110) ------ - --------- + 2

2 2 2

x + 1 (x + 1)

(c) Din f ′(x) = 2x4+5x2+1(x2+1)2 si 2x4 + 5x2 + 1 > 1 > 0 si (x2 + 1)2 > 0 pentru orice x ∈ R, rezulta f ′(x) > 0, deci f este o

functie strict crescatoare.

(d) ∫ 1

0

f(x) =∫ 1

0

2x dx− 12

∫ 1

0

(x2 + 1)′

x2 + 1dx =

[x2]10− 1

2

[ln(x2 + 1)

]10

= (1− 0) − 12

(ln(12 + 1)− ln(02 + 1)

)= 1− 1

2ln 2 .

(%i111) integrate( (2*x^3+x)/(x^2+1), x, 0, 1 );

log(2) - 2

(%o111) - ----------

2

(%i112) %, numer;

(%o112) 0.65342640972003

136

(e) Din (a) se “vede” ca functia liniara x → 2x este asimptota oblica la graficul lui f la = pm∞, deoarece

limx→±∞

(f(x)− 2x) = limx→±∞

x

x2 + 1= lim

x→±∞

x/x2

1 + 1/x2=

limx→±∞

1/x

limx→±∞

(1 + 1/x2)=

01

= 0 .

(f) Functia f este injectiva, deoarece este strict crescatoare pe R, (c).Functia f este surjectiva, deoarece este continua si satisface (dupa cum am vazut din studiul asimptotei ın (e))

lim±∞

f(x) = lim±∞

2x = ±∞ .

(Explicit: Daca o functie continua definita pe un interval ia valorile f(a) si f(b) ın punctele a, b ale intervalului de definitie,atunci f ia orice valoare intermediara η, adica “ıntre f(a) si f(b)” pentru argumente ce se afla “ıintr a si b”.Fie η ∈ R. Cum gasim “teoretic” un c ∈ R cu f(c) = η? Astfel:Deoarece limx→−∞ f(x) = −∞, exista a ∈ R cu f(a) < η.Deoarece limx→+∞ f(x) = +∞, exista b ∈ R cu f(a) > η.Astfel, η este plasat ıntre f(a) si f(b). Rezulta ca exista c ıntre a si b cu f(c) = η.)

(g) Sa facem graficul lui f pe intervalul [0, 1]: Cod PARI:

? f(x)=(2*x^3+x)/(x^2+1);

? plot( x=0,1, f(x) );

1.5 |’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’x"

| _x" |

| _x |

| _" |

| x" |

| _x" |

| _x |

| x" |

| _x" |

| x" |

| _x" |

| _x" |

| _x" |

| _x |

| _x" |

| _x"" |

| _x" |

| __x" |

| __x" |

| __x" |

| __x" |

0 _xx",,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

0 1

Cer scuze pentru faptul ca proportiile pe cele doua axe nu corespund, dar sper sa ne descurcam.ın primul rand vedem un dreptunghi cu laturile de lungime 1 = (1 − 0) si 3/2 = (f(1) − f(0)). (OK, a trebuit sa calculezg(3/2) = f−1(3/2) si am vazut ca f(1) = 3/2, prima valoare pe care am avut ideea s–o ıncerc, dupa ce m–am uitat ladefinitia lui f din enunt si nu din (a).)

O parte din aria acestui dreptunghi este “aria de sub graficul lui f”, care este

∫ 1

0

f(x) dx. “Intamplator”, am calculat deja

aceasta arie la (d). (Un argument ın plus pentru a fi ıncercat mai ınainte ın f(?) = 3/2 valoarea 1 ın loc de “?”.)Ce este “restul” ariei (ca portiune din desen)?(Ganditi–va la acest lucru! Intoarceti lucrurile pe toate fetele. Mai ales ınvartiti hartia cu desenul dreptunghiului ın toatedirectiile! Daca aveti o hartie subtire, ceea ce este foarte probabil la calitatea de azi a lucrurilor si la bugetul alocatınvatamantului, veti recunoaste pe “fata din dos” a hartiei dupa rasucire cu 90 lucrul urmator:)Restul ariei se deconspira a fi: ∫ 3/2

0

g(x) dx .

(Graficul lui g este “exact graficul lui f privit din directia axei verticale ın desenul de mai sus.)Rezulta: ∫ 3/2

0

g(x) dx = (1− 0) · (3/2− 0)︸︷︷︸aria dreptunghiului

−∫ 1

0

f(x) dx =32−(

1− 12

ln 2)

=12(1 + ln 2) .

137

(%i115) 3/2 - integrate( (2*x^3+x)/(x^2+1), x, 0, 1 ), expand;

log(2) 1

(%o115) ------ + -

2 2

In sfarsit, poate este util sa dam graficul functiei f si pe alt interval, cel mai bine unul simetric si mai mare: Cod PARI:

? f(x)=(2*x^3+x)/(x^2+1);

? plot( x=-0.9, 0.9, f(x) );

1.3027624 |’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’x"

| _x" |

| _x |

| _" |

| _x" |

| x" |

| _x" |

| _x" |

| _x"" |

| _xx" |

| _xx" |

‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘_xx"‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘

| _xx" |

| __x" |

| _x" |

| _x" |

| _x |

| _x" |

| _" |

| x" |

| _x" |

-1.302762 _x.............................................................|

-0.9 0.9

138

Capitolul 15

Varianta 055

15.1 Subiectul I

Exercitiul 71 (a) Sa se verifice ca punctul M(1, 0, 1) apartine planului x + y + z = 2 .

(b) Daca ın triunghiul ascutitunghic ABC avem sinA =12, sa se determine m(B + C).

(c) Sa se determine ecuatia dreptei care trece prin O(0, 0) si mijlocul segmentului [AB], unde A(4, 0) si B(0, 2).(d) Sa se determine numarul punctelor de intersectie dintre cercul de ecuatie x2 + y2 = 4 si hiperbola de ecuatie

x2 − y2 = 1.(e) Sa se determine numarul solutiilor din intervalul [0, 3π] ale ecuatiei sinx = 1.(f) Sa se determine a ∈ R astfel ıncat numarul complex z = a + (1− a) · i sa aiba modulul 1 .

Solutie:(a) Coordonatele punctului M verifica ecuatia planului:

1 + 0 + 1 = 2 .

(b) Din sinm(A) = 1/2 si m(A) ∈ [ 0 , π/2 ) rezulta m(A) = π6 . (In grade, m(A) = 30.)

(%i25) asin( 1/2 );

%pi

(%o25) ---

6

Atunci:

m(B) + m(C) = π −m(A) = π − π

6=

5π

6.

In grade: m(B) + m(C) = 180 − 30 = 150.Observatie: Daca tot se aplica criteriul de pendata maxima cu scrierea de m(?) pentru masura unghiului “?”, atunci trebuiesa observam ca nu exista o aplicatie de adunare pentru unghiurile B, C. (Daca asa ceva “ar exista”, atunci toata materiade scoala si liceu cu diferentele ıntre congruent si egal ar trebui rescrisa.)Ceea ce exista este suma numerelor reale m(B) si m(C).Astfel de observatii sunt utile cand corectorii se asteapta la mai multa rigurozitate (adica birocratie si literatura) decat ınenunturi. Cei ce au fost pe la Olimpiade cunosc problema.

(c) Mijlocul segmentului AB are coordinatele (4 + 0

2,

0 + 22

).

Explicit, (2, 1). Dreapta prin (0, 0) si (2, 1) are ecuatia x = 2y .

(d) Substituind X = x2 si Y = y2 si observand ca sistemulX + Y = 4X − Y = 1

139

are solutia unica X = 5/2 (adunand ecuatiile), Y = X − 1 = 3/2, rezulta ca exista patru puncte de intersectie ale celordoua cuadrice, anume ( ±

√5/2 , ±

√3/2 ), unde semnele ± se aleg independent.

Explicit, cu maxima, care ne scrie rezultatele ın format LATEX:

eq1: x^2+y^2=4 $

eq2: x^2-y^2=1 $

solve( [eq1,eq2], [x,y] );

tex(%);

[ [x = −

√5√2, y = −

√3√2

],

[x = −

√5√2, y =

√3√2

],

[x =

√5√2, y = −

√3√2

],

[x =

√5√2, y =

√3√2

] ]

(e) Solutiile ın R ale ecuatiei sinx = 1 sunt de forma π/2 + 2kπ, k ∈ Z.

Dintre acestea, ın intervalul [0, 3π] se afla doarπ

2, 2π +

π

2. (Explicit: π/2 si 5π/2.)

(f) Modulul numarului z = a + (1− a) · i, a ∈ R, este a2 + (1− a)2. Rezolvand ecuatia

a2 + (1− a)2 = 1 ,

echivalent 2a2 − 2a = 0, echivalent 2a(a− 1) = obtinem solutiile a = 0 , a = 1 .

(%i42) solve( a^2+(1-a)^2 = 1 );

(%o42) [a = 0, a = 1]

15.2 Subiectul II

Exercitiul 72 (a) Sa se calculeze 1 + 3 + 5 + · · ·+ 49 .(b) Sa se calculeze 1 + C2

3 + C24 + C2

5 .(c) Sa se determine solutiile din multimea N∗ ale inecuatiei

2x < 24x .

(d) Sa se rezolve ın intervalul (0,∞) ecuatia log2 x = 2 .

(e) Sa se demonstreze ca functia f : R∗ → R, f(x) =1x

, este injectiva.

Solutie:(a) Notam cu S suma ceruta. In aceasta suma se afla (49+1)/2 = 25 de termeni, ei pot fi scrisi ca 2k−1, k 1, 2, . . . , 25 .Prima solutie: Avem:

2S = S + S = (1 + 3 + 5 + · · ·+ 49) + (49 + 47 + 45 + · · ·+ 1) = (1 + 49) + (3 + 47) + (5 + 45) + · · ·+ (49 + 1)= 50 + 50 + 50 + · · ·+ 50︸︷︷︸

25 de ori

= 25 · 50 .

Deci S = 1225 · 50 = 25 · 25 = 625 .

A doua solutie: Avem:

S =25∑

k=1

(2k − 1) = 2

(25∑

k=1

k

)−

(25∑

k=1

1

)

= 2 · 12· 25 · 26− 25 = 25 · 26− 25 = 25 · (26− 1) = 25 · 25 = 625 .

(%i43) sum( 2*k-1, k, 1, 25 );

(%o43) 625

140

(b) O bucata din triunghiul lui Pascal este:

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

Ni se cere suma elementelor prezentate ın rosu. Aceasta este 1 + 3 + 6 + 10 = 20 .

Intrebare suplimentara: “Unde se afla (ın mod inteligent) raspunsul obtinut ın triunghiul lui Pascal (extins) ?” Este clarcum se calculeaza ((1 + 3) + 6) + 10 ? Este clar de ce (. . . (1 + Ck

k+1) + . . . ) + Ckk+n = Ck+1

k+n+1 ? Sper ca da!

(%i44) sum( binom(k,2), k, 2, 5 );

(%o44) 20

(c) Deoarece functia exponentiala (de baza doi) este strict crescatoare, rezulta ca ecuatia data este echivalenta cu x < 4/x,x ∈ N∗.Echivalent, x2 < 4.Echivalent, x < 2.Dar x alori ın multimea NN∗ = 1, 2, 3, . . . , deci exista o singura solutie a inecuatiei date, care este x = 1 .

(d) Ecuatia data este echivalenta cu 2log2 x = 22. Am folosit faptul ca y → 2y este o functie bijectiva ca functie R → (0,∞).Obtinem ecuatia echivalenta x = 22 cu solutia x = 4 .

(e) Presupunem ca pentru numerele x, y ∈ R∗ avem f(x) = f(y).(Demonstram scurt ca avem x = y.)

Rezulta 0 = f(x)− f(y) =1x− 1

y=

y − x

xy, de unde y − x = 0, de unde rezulta y = x.

Deci functia data este injectiva.

Exercitiul 73 Se considera functia f : (−1,∞) → R, f(x) =x2

x + 1.

(a) Sa se calculeze f ′(x), pentru x > −1 .(b) Sa se determine punctele de minim local ale functiei f .(c) Sa se determine numarul asimptotelor verticale ale functiei f .

(d) Sa se calculeze

∫ 2

0

f(x) dx .

(e) Sa se calculeze

limx→∞

∫ x

0f(t) dt

x2.

Solutie:(a) Fie x ∈ R, x > −1. Este util sa rescriem

f(x) =x2

x + 1=

x2 − 1 + 1x + 1

=x2 − 1x + 1

+1

x + 1= x− 1 +

1x + 1

.

De aici rezulta usor f ′(x) = 1− 1(x + 1)2

.

(%i48) f: x^2/(x+1)$

(%i49) diff(f,x);

2

2 x x

(%o49) ----- - --------

x + 1 2

(x + 1)

(%i50) partfrac(%, x);

1

(%o50) 1 - --------

2

(x + 1)

141

(b) Pentru un punct de minim local este satisfacuta conditia f ′(x) = 0. (Conditie necesara. Nu este suficienta, ın general,dar dupa ıngradirea cazurilor putem sa le studiem ın parte.)Ecuatia f(x) = 0, echivalent 1 = 1/(x + 1)2, echivalent 1 = (x + 1)2, echivalent 1 = (x + 1), are solutia unica x = 0.

Deci 0 este un candidat de punct de extrem local. Avem ın plus f ′′(x) =(

1− (x + 1)−2)′

= 2(x + 1)−3 > 0, deci functia

f este convexa pe (−1,∞), deci 0 este minim local.

(c)Functia f are o singura asimptota verticala, dreapta

x = −1 . De fapt,

limx→−1x>−1

f(x) = limx→−1x>−1

x2

x + 1

= limx→−1x>−1

(−1)2

x + 1

= limx→−1x>−1

1x + 1

= +∞ .

Cod PARI: plot(x=-0.9,2,x^2/(x+1));

8.1 "’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’|

: |

: |

: |

|: |

|: |

|: |

|: |

|x |

|: |

| : |

| : |

| _ |

| : |

| : |

| " |

| |

| " |

| " ___xxx"

| "_ ___xxxx""" |

| "x_ ____xxxx""" |

0 ,,,,,,,,,,,"xxx___________xxxxxx"""",,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

-0.9 2

Functia data are astfel o singura asimptota verticala.

(d) ∫ 2

0

f(x) dx =∫ 2

0

(x− 1 +

1x + 1

)dx =

[12(x− 1)2 + ln(x + 1)

]20

=12(12 − (−1)2 − 0) + (ln3− ln 1) = 0 + ln 3 = ln 3 .

(%i51) integrate( x^2/(x+1), x, 0, 2 );

(%o51) log(3)

(e) Deoarece f(t) > t− 1 si∫ x

0(t− 1) dt = 1

2 (x− 1)2 tinde la +∞ pentru x →∞, rezulta ca sunt satisfacute conditiile deaplicare a regulii lui l’Hospital. Avem:

limx→∞

∫ x

0f(t) dt

x2= lim

x→∞

(∫ x

0f(t) dt

)′(x2)′

= limx→∞

f(x)2x

= limx→∞

x2

2x(x + 1)= lim

x→∞

12(x + 1)/x

= limx→∞

12(1 + 1/x)

=1

2(1 + 0)=

12

.

(%i52) f: x^2/(x+1)$

(%i53) F: integrate( f, x );

2

x - 2 x

(%o53) log(x + 1) + --------

2

(%i54) limit( F/x^2, x, inf );

1

(%o54) -

2

15.3 Subiectul III

142

Exercitiul 74 In multimea M2(Z5) se considera matricile I2 =[1 00 1

], B =

[0 22 0

]si multimea

M =

A(a) = a · I2 + B∣∣∣ a ∈ Z5

.

(a) Sa se demonstreze ca B4 = I2 .(b) Sa se determine toate elementele a ∈ Z5, astfel ıncat det(A(a)) = 0 .(c) Sa se demonstreze ca ∀x ∈ Z5, x5 = x .

(d) Sa se arate ca, daca k ∈ 1, 2, 3, 4, atunci Ck5 = 0 ın Z5 .

(e) Sa se demonstreze ca ∀a ∈ Z5, (A(a))5 = A(a) .(f) Sa se determine numarul solutiilor din multimea M ale ecuatiei X2007 = X3 .(g) Sa se demonstreze ca ecuatia X5 −X = I2 nu are solutii de forma

X =[

x 20072007 x

]∈ M2(Z) .

(h)

Solutie:Observatie: Inelul Z5 este un corp, tabela adunarii si a ınmultirii ın F5 := Z5 este

+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

· 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

(a) Avem:

B2 =[0 22 0

] [0 22 0

]=[4 00 4

]=[−1 0

0 −1

],

B4 = (B2)2 =[−1 0

0 −1

] [−1 0

0 −1

]=[1 00 1

]= I2 .

(b) Fie a ∈ Z5. (Prefer notatia a. Mi–e greu sa bat caciulile si caciulile nu au nici un sens, daca nu ni se spune cine estea. . . )

Atunci det A(a) = det[a22 a

]= a2 − 22 = (a − 2)(a + 2) = (a − 2)(a − 3). Ecatia (a − 2)(a − 3) = 0 are ın (corpul)

F5 = Z5 doar solutiile a = 2 , a = 3 . Aceste elemente auf fost cerute ın enunt.

(c) Prima solutie: Calculam explicit pentru fiecare valoare posibila a lui x ∈ F5 = Z5:

Cazul x = 0 : 05 = 0 ,

Cazul x = 1 : 15 = 1 ,

Cazul x = 2 : 25 = 2 · 24 = 2 · 42 = 2 · (−1)2 = 2 · 1 = 2 ,

Cazul x = 3 : 35 = 3 · 34 = 3 · 92 = 3 · (−1)2 = 3 · 1 = 3 ,

Cazul x = 4 : 45 = (−1)5 = −1 = 4 .

A doua solutie: Fie p un numar prim. Atunci din mica teorema a lui Fermat pentru orice numar (ıntreg) a ∈ Z avem: [Numarul ıntreg ap − a se divide cu p. ]Pentru p = 5, dar si pentru orice al numar prim, rezulta ap − a = 0 pentru orice a ∈ Fp = Zp.

(d) Generalizare: Fie p numar prim. Atunci, pentru orice k natural cu 0 < k < p, numarul de combinatii

Ckp =

p!k!(p− k)!

143

se divide cu p, deoarece p apare ca factor ın numaratorul fractiei de mai sus, dar nu se afla (si nu divide) nici unul dintrefactorii numitorului, care sunt printre 1, 2, . . . , (p− 1).De aici rezulta Ck

p = 0 ın Fp = Zp.

(e) Fie a ∈ F5 = Z5. E clar ca notez I := I2. (Indiciada ma ınnebuneste, mai ales ca nu are sens aici.)Atunci, folosind formula binomiala, (si structura de Z–modul a lui F5 = Z5, chestie care o scriu pentru mine, cel ce a propusproblema sa se gandeasca ce ar fi trebuit sa scriu ın loc de aceste lucruri pentru completitudine. . . )

A(a)5 = (aI + B)5 = C05 (aI)5 + C1

5 (aI)4B + C25 (aI)3B2 + C3

5 (aI)2B3 + C45 (aI)B4 + C5

5B5

= C05 (aI)5 + C1

5 (aI)4B + C25 (aI)3B2 + C3

5 (aI)2B3 + C45 (aI)B4 + C5

5B5

= C05 (aI)5 + C5

5B5 = a5I + B5 = aI + B4B(a)== aI + IB .

(f) Fie a ∈ F5 = Z5. Din A(a)1+4 = A(a) rezulta A(a)1+4+4 = A(a)1+4A(a)4 = A(a)A(a)4 = A(a)1+4 = A(a) si ın modanalog, prin inductie, (lucru lasat pe seama cititorului)

A(a)1+4n = A(a)

pentru orice n ∈ N. De aici, A(a)1+4·501 = A(a), deci, dupa ınmultirea cu A(a)2,

A(a)2007 = A(a)3 .

Acest lucru are loc pentru orice a ∈ F5 = Z5. Orice element din M este prin definitie de forma A(a), a ∈ F5 = Z5. De

aceea, ecuatia data este satisfacuta de orice element din M , si are exact 5 solutii.

(g) Presupunem prin absurd ca ecuatia X5 −X = IZ are o solutie, notata tot cu X, cu coeficienti ıntregi, de forma

X =[

x 20072007 x

]∈ M2(Z) ,

deci cu coeficienti ıntregi x, 2007 ∈ Z. (Aici, unde chiar conteaza, se foloseste ın enunt tot notatia I2 pentru matriceaunitate din inelul M2(Z). Aici preferam sa plasam indicele Z, pentru a face clar ca ea traieste peste Z.)Atunci considerand aceasta ecuatie “modulo cinci”, mai precis, aplicand morfismul de inele M2(Z) → M2(Z5) dat de

X → X, explicit

[a bc d

]→

[a b

c d

], a, b, c, d ∈ Z, obtinem din X5 −X = IZ relatia din M2(Z5):

X5 − X = I .

Aici este esential sa se pomeneasca ceva de inele, sau macar de faptul ca trecand la clase de resturi modulo cinci (si la ceeace se obtine natural/functorial din aceasta trecere la nivel de matrici) este o operati compatibila cu adunarea si ınmultirea(de pe diferitele structuri Z, Z5, M2(Z) si M2(Z5). Dar

X =

[x 2007

2007 x

]=[x 22 x

]=[x 00 x

]+[0 22 0

]= x · I + B ∈ M .

Deoarece orice matrice din M satisface ecuatia din (e), rezulta X5 = X. Contradictie cu X5 − X = I.Presupunerea existentei solutiilor pentru ecuatia din enunt este falsa. Rezulta cele afirmate ın enunt.

15.4 Subiectul IV

Exercitiul 75 Se considera functiile f, F : R → R,

f(x) = esin2 x , F (x) =∫ x

0

f(t) dt , ∀x ∈ R ,

si sirul (xn)n∈N∗ cu xn = F

(11

)+ F

(12

)+ · · ·+ F

(1n

), n ∈ N∗.

Se admite cunoscut faptul ca sirul (cn)n∈N∗ cu cn =11

+12

+ · · ·+ 1n− lnn, n ∈ N∗, este convergent.

(a) Sa se demonstreze ca F ′(x) > 0, ∀x ∈ R .

144

(b) Aplicand teorema lui Lagrange functiei F pe intervalul [0, x], sa se demonstreze ca ∀x > 0, ∃cx ∈ (0, x) astfelıncat

F (x) = x · f(cx) .

(c) Sa se demonstreze ca limx→0

F (x)x

= 1 .

(d) Sa se demonstreze ca limx→∞

F (x) = +∞ si limx→−∞

F (x) = −∞ .

(e) Sa se demonstreze ca functia F este bijectiva.(f) Sa se demonstreze ca lim

n→∞xn = +∞ .

(g) Sa se arate ca ∀α > 0, limn→∞

xn

nα= 0 .

Solutie:(a) Prin definitie (teorema fundamentala a calculului diferentiial si integral), F este o primitiva a lui f , deci

F ′(x) = f(x) = exp( sin2 x ) > exp(0) = 1 > 0 ,

pentru orice x ∈ R.

(b) Teorema lui Lagrange este aplicabila, ın sensul celor dorite ın enunt, deoarece F este derivabila cu derivata F ′(x) =f(x) = esin2 x continua. Rezulta existenta unui cx ∈ (0, x) cu

F (x)− F (0)x− 0

= F ′(cx) = f(cx) .

Din x > 0, F (0) =∫ 0

0f(x) dx = 0 rezulta cele cerute.

(c) Putem aplica teorema lui l’Hospital, “cazul 0 pe 0”, pentru a obtine

limx→0

F (x)x != limx→0

F ′(x)x′ = limx→0

f(x)1 = f(0) = exp(sin2 0) = exp(0) = 1 .

(d) Observatia esentiala este faptul ca f este o functie periodica. Perioada ei este 2π. (Deja se primesc puncte pentru acestlucru.)

Urmatoarea observatie, care aduce puncte, fara sa fi facut ceva “util”, este faptul ca f este o functie para, adica f(x) = f(−x)pentru orice x ∈ R. (Aceasta rezulta din faptul ca sin2 x est o functie para, aplicandu–se apoi exponentiala exp pentru a dade f .) In plus, integrala unei functii pare, ce se anuleaza ın origine, este impara. Deci F este impara.Aceste observatii arata ca lim

x→−∞F (x) = − lim

x→∞F (x).

Ne ocupam ın sfarsit de aceasta ultima integrala. Fie x ∈ R (gandit a fi “mare”). Fie 2π N = 2π Nx cel mai mare multipluale perioadei 2π, care este 6 x. (Aici N depinde de x, ceea ce se noteaza uneori “aluziv” N = Nx.)Atunci

F (x) =∫ x

0

f(x) dx

=∫ 2π

0

f(x) dx +∫ 4π

2π

f(x) dx + · · ·+∫ 2π N

2π (N−1)

+∫ x

2π N

f(x) dx︸︷︷︸>0 deoarece f(x)>0

>∫ 2π

0

f(x) dx +∫ 4π

2π

f(x) dx + · · ·+∫ 2π N

2π (N−1)

=∫ 2π

0

f(x) dx +∫ 2π

0

f(x) dx + · · ·+∫ 2π

0

f(x) dx︸︷︷︸de N ori

= N

∫ 2π

0

f(x)︸︷︷︸>1

dx

> N ·∫ 2π

0

1 dx = 2π N .

145

Deoarece Nx → ∞ pentru x → ∞ rezulta din criteriul clestelui (de fapt din criteriul minorantei sau al sirului minorant) sidin F (x) > 2π Nx relatia

limx→∞

F (x) = ∞ .

(e) Functia F este bijectiva, deoareceeste injectiva fiind strict crescatoare,si este surjectiva fiind continua si cu limitele ±∞ la ±∞.

(A se vedea discutia pe aceleasi teme de la subiectul IV al variantei precedente.)

(f) Deoarece f > 1 rezulta F (x) >∫ 1

01 dx = x. De aici putem minora:

xn = F

(11

)+ F

(12

)+ · · ·+ F

(1n

)>

11

+12

+ · · ·+ 1n︸︷︷︸

→∞ pentru n→∞

.

(Convergenta termenului din dreapta la ∞ este motivata de convergenta la o valoare finita a sirului (cn) dat ın enunt, deunde cn + lnn →∞ pentru n →∞.)

Din criteriul minorantei, avem xn →∞ pentru n →∞.

(g) Fie α > 0. Din 0 6 sin2 x 6 1 pentru x ∈ R rezulta

1 = e0 6 f(x) 6 e1 = e .

Integrand pe [0, 1] rezultax 6 F (x) 6 ex .

De aici:1

nα

(11

+12

+ · · ·+ 1n

)6

xn

nα6 e · 1

nα

(11

+12

+ · · ·+ 1n

).

Deoarece limn→∞

lnn

nα= 0, ce rezulta imediat aplicand teorema lui l’Hospital, cazul infinit pe infinit, lim

x→∞

lnx

xα= lim

x→∞

1/x

αxα−1=

limx→∞

1αxα

= 0, rezulta ca putem “perturba cu zero” partile stanga si dreapta a inegalitatii duble de mei sus pentru a da de:

cn

nα=

1nα

(11

+12

+ · · ·+ 1n− lnn

)6

xn

nα6 e · 1

nα

(11

+12

+ · · ·+ 1n− lnn

)= e

cn

nα.

Din limn→∞cn

nα = 0 rezulta prin criteriul clestelui:

0 = limn→∞

cn

nα6 lim

n→∞

xn

nα6 e lim

n→∞

cn

nα= 0

si existenta limitei “din mijloc”, deci limn→∞

xn

nα= 0, ceea ce trebuia ambutisat.

146

Capitolul 16

Varianta 056

16.1 Subiectul I

Exercitiul 76 In sistemul de coordonate Oxy se considera punctele A(−1, 1), B(1,−1), C(2, 0).(a) Sa se determine lungimea segmentului BC.(b) Sa se determine aria triunghiului ABC.(c) Sa se determine coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC.(d) Sa se calculeze cos(A) .(e) Sa se determine panta dreptei AB.(f) Sa se arate ca punctele A,B, C apartin cercului de ecuatie

(2x− 1)2 + (2y − 1)2 − 10 = 0 .

Solutie:

(a) |BC| =√

(2− 1)2 + (0− (−1))2 =√

12 + 12 =√

2 .

(b) Folosind formula ariei avem:

±Aria(ABC) =12

∣∣∣∣∣∣1 −1 11 1 −11 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 12

∣∣∣∣∣∣1 −1 12 0 01 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 12

∣∣∣∣2 01 2

∣∣∣∣ = 12(4− 0) = 2 ,

Aria(ABC) = 2 .

(%i55) abs( determinant( matrix( [1,-1,1], [1,1,-1], [1,2,0] ) ) ) /2 ;

(%o55) 2

(c) Centrul de greutate al triunghiului ABC este(−1 + 1 + 2

3,1 + (−1) + 0

3

)=

(23

, 0)

.

(d) Vectorii−−→AB si

−→AC sunt:

−−→AB = (

−→i −−→j )︸︷︷︸−→OB

− (−−→i +−→j )︸︷︷︸

−→OA

= 2−→i − 2

−→j ,

−→AC = (2

−→i + 0

−→j )︸︷︷︸

−→OC

− (−−→i +−→j )︸︷︷︸

−→OA

= 3−→i −−→j .

Unghiul A dintre vectorii−−→AB si

−→AC satisface

cos A =−−→AB ·

−→AC

|AB| · |AC|=

2 · 3 + (−2) · (−1)√22 + (−2)2 ·

√32 + (−1)2

=6 + 2√8 ·√

10=

√8√10

=√

4√5

=√

205

.

147

(e) Prima solutie: Deoarece−−→AB = 2

−→i − 2

−→j , panta dreptei AB este (−2)/(+2) = −1 .

A doua solutie: Dreapta AB are ecuatia y = (−1) · x, deci panta ei este −1 .

(f) Avem de aratat ca ınlocuind (x, y) cu coordonatele punctelor A,B, C ın ecuatia cercului dat, ecuatia devine o egalitate.Explicit:

(2 · (−1)− 1)2 + (2 · 1− 1)2 = (−3)2 + 12 = 9 + 1 = 10 ,

(2 · 1− 1)2 + (2 · (−1)− 1)2 = 12 + (−3)2 = 9 + 1 = 10 ,

(2 · 2− 1)2 + (2 · 0− 1)2 = (+3)2 + 12 = 9 + 1 = 10 .

Toate cele trei ecuatii sunt deci satisfacute dupa ınlocuirea coordinatelor.

16.2 Subiectul II

Exercitiul 77 Se considera functia f : R → R, f(x) = (1 + x)9.(a) Sa se calculeze f(−1).(b) Sa se calculeze suma C0

9 − C19 + C2

9 − · · · − C99 .

(c) Sa se determine numarul de termeni irationali din dezvoltarea binomului f(√

2) .(d) Sa se determine al treilea termen al dezvoltarii binomului f(

√2) .

(e) Sa se calculeze 57 ın Z7 .

Solutie:(a) f(−1) = (1− 1)9 = 09 = 0 .

(b) Din formula binomiala pentru binomul (1− 1)9 avem

C09 − C1

9 + C29 − · · · − C9

9 = (1− 1)9 = 09 = 0 .

(c) Avem, notand pentru simplitate√

2 = a:

f(√

2) = f(a) = (1 + a)9 = C09 + C1

9a + C29a2 + · · ·+ C9

9a9 .

Dintre termenii involvati, sunt irationali doar cei cu puteri impare ale lui a, deci cei ce contin monoamele a, a3, a5, a7, a9.Sunt ın total cinci termeni irationali ın dezvoltarea binomului.

(d) Dupa cum numaratoarea termenilor ıncepe de la zero sau de la unu avem raspunsuri diferite.Daca numaratoarea ıncepe de la zero (cum ar face orice programator si orice om normal care scrie formula (1 + a)9 =∑06k69

Ck9 ak considerand iteratorul k drept cel ce face contabilitatea,) atunci termenul al treilea este C3

9a3 = (9 · 8 · 7)/(3 ·

2 · 1)a3 = 3 · 4 · 7a3 = 3 · 4 · 7 · 2√

2 = 168√

2 .Daca numaratoarea ıncepe de la unu (cum ar face orice om care nu stie formula binomiala, atunci termenul al treilea esteC2

9a2 = (9 · 8)/(2 · 1)a2 = 9 · 4 · a2 = 9 · 4 · 2 = 72 .

(e) In Z7 calculam 57 = (−2)7 = −27 = −23 · 23 · 2 = −8 · 8 · 2 = −1 · 1 · 2 = −2 = 5 .

(%i58) mod( 5^7, 7 );

(%o58) - 2

Exercitiul 78 Se considera functia f : R → R, f(x) = xx2+1 .

(a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R .(b) Sa se verifice ca f(−x) = −f(x), ∀x ∈ R .


f(x)− 25

x− 2.

(d) Daca F este primitiva lui f care verifica relatia F (0) = 1, sa se calculeze F (1).

(e) Sa se calculeze

∫ 2

−2

f(x) dx .

148

Solutie:(a) Observam ca functia data este bine definita pe R, deoarece numitorul nu se anuleaza pe R. Deci f este derivabila cafunctie rationala (cat de functii polinomiale) cu numitorul nenul ın orice punct.Avem apoi:

f ′(x) =x′ · (x2 + 1)− x · (x2 + 1)′

(x2 + 1)2=

(x2 + 1)− x · (2x)(x2 + 1)2

= − x2 − 1(x2 + 1)2

= − (x− 1)(x + 1)(x2 + 1)2

.

(%i59) diff( x/(x^2+1), x ), factor;

(x - 1) (x + 1)

(%o59) - ---------------

2 2

(x + 1)

(b) Avem pentru orice x ∈ R:

f(−x) =(−x)

(−x)2 + 1= − x

x2 + 1= −f(x) .

(c) Observam mai ıntai ca f(2) = 2/(22 + 1) = 2/(4 + 1) = 2/5. De aceea, folosind definitia derivatei unei functii (aici f ,derivabila,) ıntr–un punct (aici, 2,) avem:

limx→2

f(x)− 25

x− 2= lim

x→2

f(x)− f(2)x− 2

= f ′(2) = − (2− 1)(2 + 1)(22 + 1)2

= − 325

.

(d) Daca F este primitiva lui f care verifica relatia F (0) = 1, atunci avem

F (x) = 1 +∫ x

0

f(t) dt = 1 +∫ x

0

t

t2 + 1dt = 1 +

12

∫ x

0

1t2 + 1

d(t2)

= 1 +12

[ln(t2 + 1)

]x0

= 1 +12( ln(x2 + 1)− ln 1 ) = 1 +

12

ln(x2 + 1) .

F (1) = 1 +12

ln 2 .

(e) Am calculat deja la punctul (d) o primitiva F a lui f , care este o functie para (ca functie convenabila de x2). O folosimın continuare, obtinand ∫ 2

−2

f(x) dx = F (2)− F (−2) = 0 .

In general este integrala unei functii impare pe un interval de forma [−a, a], a > 0, nula. (La noi, f este impara din (b).)

16.3 Subiectul III

Exercitiul 79 Se considera matricile

A =

1 2 32 4 63 6 9

, I3 =

1 0 00 1 00 0 1

, J =

1 1 11 1 11 1 1

.

(a) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A.(b) Sa se determine a ∈ R astfel ıncat A2 = a ·A .(c) Sa se arate ca exista a ∈ R, astfel ıncat An = an−1 ·A, ∀n ∈ N∗ .(d) Sa se arate ca exista o matrice coloana C ∈ M3,1(R) si o matrice linie L ∈ M1,3(R) astfel ca

A = C · L .

(e) Sa se arate ca matricea I3 + A este inversabila si sa se determine b, c ∈ R astfel ıncat

(I3 + A)−1 = bI3 + cA .

149

(f) Sa se arate ca pentru x, y ∈ R, n ∈ N∗, avem

(xI3 + yJ)n = xnI3 +13

( (x + 3y)n − xn ) J .

(g) Sa se arate ca daca x 6= 0 si x+3y 6= 0, atunci matricea xI3 +yJ este inversabila si sa se determine inversa acesteia.

Solutie:(a) Rangul matricii A este unu, doarece toate liniile matricii se obtin din prima (sau din a doua sau din a treia) prin ınmultireacu scalari corespunzatori. Este util sa observam aici egalitatea:

A =

123

[1 2 3]

,

ce rescrie A ca un produs de matrici (3×1) si respectiv (1×3). Deoarece ın general rang(XY ) 6 max( rang(X) , rang(Y ) )obtinem o a doua solutie pentru afirmatia rang(A) = 1.Verificare cu maxima:

(%i116) A: matrix( [1,2,3], [2,4,6], [3,6,9] );

[ 1 2 3 ]

[ ]

(%o116) [ 2 4 6 ]

[ ]

[ 3 6 9 ]

(%i117) rank(A);

(%o117) 1

(b) Desigur ca solutia pe care o dau este “trasa de par” si nimeni nu o va prefera ın conditii de examen unui calcul brut,dar ea arata “de ce ceea ce gasim este ceea ce gasim”:

A2 = AA =

123

[1 2 3] 1

23

︸︷︷︸=12+22+32=14

[1 2 3

]=

123

[14] [

1 2 3]

= 14 ·

123

[1 2 3]

= 14 ·A .

Deci valoarea ceruta de problema este a = 14. Calcul explicit al matricii A2, cod maxima, a se vedea ce e intrarea de pepozitia (1, 1) ın A, respectiv ın A2:

(%i119) A.A;

[ 14 28 42 ]

[ ]

(%o119) [ 28 56 84 ]

[ ]

[ 42 84 126 ]

(c) Fie a = 14 ca ın (b). Atunci relatia An = an−1A este satisfacuta pentru n = 1, si inductiv, presupunand pentru unn ∈ N∗ ca avem An = an−1A rezulta (inductiv)

An+1 = AnA = (an−1A)A = an−1A2 = an−1aA = anA = a(n+1)−1A ,

de unde rezulta prin inductie ca pentru orice n ∈ N∗ avem An = an−1A.Asa ceva s–a cerut.

(d) O alegere posibila pentru matricile C si L a fost listata deja,

C =

123

, L =[1 2 3

].

(Alte alegeri apar ınmultind C de mai sus cu un numar 6= 0 si ımpartind L de mai sus cu acelasi numar.)

150

(%i7) C: matrix( [1], [2], [3] )$

(%i8) L: matrix( [1,2,3] ) $

(%i9) print( "C=",C, " si L=", L, " si CL=", C.L ) $

[ 1 ] [ 1 2 3 ]

[ ] [ ]

C= [ 2 ] si L= [ 1 2 3 ] si CL= [ 2 4 6 ]

[ ] [ ]

[ 3 ] [ 3 6 9 ]

(e) Din modul ın care e formulata problema, rezulta ca este cel mai bine sa cautam direct b, c ∈ R cu (I +A)−1 = bI +cA,unde notez pentru simplitate I := I3, sau echivalent

(I + A)(bI + cA) = I .

Un calcul simplu arata ca avem

(I + A)(bI + cA) = bI + (b + c)A + cA2 = bI + (b + c)A + caA = bI + (b + c + ac)A .

Alegem b, c astfel ıncat bI = I, deci b = 1 si (b + c + ac) = 0, deci 1 + c + 14c = 0, deci c = −1/15 .

Ne verificam cu un mic programel:

(%i24) I: matrix( [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] ) $

(%i25) A: matrix( [1,2,3], [2,4,6], [3,6,9] ) $

(%i26) print( "Inversa lui (I+A) este ", (I+A) ^^ -1 ) $

[ 14 2 1 ]

[ -- - -- - - ]

[ 15 15 5 ]

[ ]

[ 2 11 2 ]

Inversa lui (I+A) este [ - -- -- - - ]

[ 15 15 5 ]

[ ]

[ 1 2 2 ]

[ - - - - - ]

[ 5 5 5 ]

(%i27) print( "Matricea I-1/15*A este ", I-1/15*A ) $

[ 14 2 1 ]

[ -- - -- - - ]

[ 15 15 5 ]

[ ]

[ 2 11 2 ]

Matricea I-1/15*A este [ - -- -- - - ]

[ 15 15 5 ]

[ ]

[ 1 2 2 ]

[ - - - - - ]

[ 5 5 5 ]

(f) Matricea J satisface desigur J2 = 3J . Analog cu cele demonstrate la (b), rezulta pentru orice n ∈ N∗ relatia

Jn = 3n−1J .

De aici, folosind formula binomiala pentru (xI + yJ)n si (x + 3y)n si faptul ca I = I3 este matricea unitate, rezulta

(xI + yJ)n = C0nxnI + C1

nxn−1J + C2nxn−2y2J2 + · · ·+ Ck

nxn−kykJk + · · ·+ CnnynJn

= xnI +(C1

nxn−130J + C2nxn−2y231J + · · ·+ Ck

nxn−kyk3k−1J + · · ·+ Cnnyn3n−1J

)= xnI +

13

(C1

nxn−131 + C2nxn−2y232 + · · ·+ Ck

nxn−kyk3k + · · ·+ Cnnyn3n

)J

= xnI +13

((x + 3y)n − xn

)J .

151

(g) Fie deci x, y ∈ R cu x 6= 0 si x+3y 6= 0. (Foarte curand ne asteptam sa dam de numerele acestea ın numitori. . . Uneori,cel ce propune problema trebuie sa ne dea anumite jaloane ın rezolvare, altfel problema n–ar fi bine pusa. In jumatate decazuri, cei ce propun problemele chiar vor sa ne dea jaloane ın rezolvare.)Deoarece xI + yJ = x(I +(y/x)J), ajunge sa ne legam de matricea de forma I + zJ , unde z = y/x ∈ R (este bine definit).Cautam inversa sub forma sI + tJ , cu necunoscutele st ∈ R. (Motivati de cele experimentate la (e). Deja suspectam cas = 1). Calculam de aceea:

(I + zJ)(sI + tJ) = sI + (sz + t) + tzJ2 = sI + (sz + t + 3tz)J .

Rezolvam sistemul s = 1

sz + t + 3tz = 0

ın necunoscutele s, t, obtinand imediat s = 1, t = −z/(1 + 3z) = −x/(x + 3y). Explicit avem:

(xI + yJ)−1 = (x(I + zJ))−1 = x−1(I + zJ)−1 = x−1

(I − x

x + 3yJ

)=

1x

I − 1x + 3y

J .

16.4 Subiectul IV

[Dorian Popa]

Exercitiul 80 Se considera functia f : [1,∞) → R, f(x) =1xα

pentru α > 0 si sirurile (an)n∈N∗ , (bn)n∈N∗ definite prin

relatiile

an = 1 +12α

+ · · ·+ 1nα

, bn =∫ n

1

f(x) dx , ∀n ∈ N∗ .

(a) Sa se arate ca sirul (an)n∈N∗ este crescator.(b) Sa se arate ca functia f este descrescatoare.

(c) Sa se demonstreze ca f(k + 1) 6∫ k+1

k

f(x) dx 6 f(k), ∀k ∈ N∗ .

(d) Sa se demonstreze inegalitatile an − 1 6 bn 6 an−1, ∀k ∈ N, n > 2 .(e) Pentru α > 1 sa se calculeze lim

n→∞bn .

(f) Sa se arate ca (an)n∈N∗ este convergent pentru α > 1 si divergent pentru α 6 1.(g) Sa se arate ca sirul (an − bn)n∈N∗ este convergent pentru orice α > 0 .

Solutie:(a) Fie n > 1 natural. Atunci

an+1 − an =1

(n + 1)α> 0 ,

deci an+1 > an pentru orice n ∈ N∗, deci sirul (an) este crescator.

(b) Fie x < y doua numere reale strict pozitive. Atunci xα < yα, deci 1/xα > 1/yα, deci f(x) > f(y), deci f este strictdescrescatoare.

(c) Pentru orice x ∈ [k, k + 1] avem dubla inegalitate

1(k + 1)α

= f(k + 1) 6 f(x) 6 f(k) =1kα

.

Integrand pe [k, k + 1] obtinem

f(k + 1) =∫ k+1

k

f(k + 1) dx 6∫ k+1

k

f(x) 6∫ k+1

k

f(k) dx = f(k) .

Rezulta cele afirmate ın enunt.

152

(d) Din (c) rezulta

f(2) 6∫ 2

1

f(x) dx 6 f(1)

f(3) 6∫ 3

2

f(x) dx 6 f(2)

...f(n) 6∫ n

n−1

f(x) dx 6 f(n− 1)

Adunand aceste duble inegalitati obtinem via an − 1 = f(2) + f(3) + · · · + f(n) si f(1) + f(2) + · · · + f(n − 1) = an−1

cele cerute:

an − 1 6∫ 2

1

f(x) dx +∫ 3

2

f(x) dx + · · ·+∫ n

n−1

f(x) dx︸︷︷︸=

R n1 f(x) dx=bn

6 an−1 .

(e) Fie α > 1 Din

bn =∫ n

1

f(x) dx =∫ n

1

x−α dx =[ 1

1− αx1−α

]n1

,

rezulta

limn→∞

bn = − 11− α

=1

α− 1,

deoarece ın n1−α puterea 1− α este strict negativa, deci n1−α → 0 pentru n →∞.

(f)Cazul α > 1.Sirul (an) este monoton crescator si marginit superior (din cauza inegalitatii prime din (d), an 6 bn + 1 6 lim bn + 1 < ∞),deci convergent.

Cazul 0 < α 6 1.Din (c) rezulta

an−1 >∫ n

1

f(x) dx =∫ n

1

1xα

dx >∫ n

1

1x

dx = ln n− ln 1 = lnn ,

deci sirul (an) este nemarginit, deci diverge. (Convergenta la +∞ este considerata o divergenta.)

(g) Fie n > 1 natural. Atunci, pentru a compara an+1 − bn+1 cu an − bn, pentru a vedea monotonia sirului de studiat,calculam si minoram sau majoram

(an+1 − bn+1)− (an − bn) = (an+1 − an)− (bn+1 − bn)

=1

(n + 1)α−∫ n+1

n

1xα︸︷︷︸

>1/(n+1)α

dx

61

(n + 1)α−∫ n+1

n

1(n + 1)α

dx = 0 .

De aici rezulta (an+1 − bn+1) 6 (an − bn), deci sirul din enunt este strict descrescator.Aratam ca acest sir este marginit inferior. (Marginirea superioara rezulta imediat din (d), prima inegalitate, care se rescriean − bn 6 1. Oare de unde facem rost de marginirea inferioara?) Avem de fapt, folosind (d),

an − bn = (an − an−1) + (an−1 − bn)︸︷︷︸>0

> (an − an−1) =1

nα

> 0 .

Deoarece sirul dat este monoton si marginit, el este convergent.

Nu pot sa ınchei aceasta problema fara a da cateva jaloane numerice, deoarece mai ales ın practica (pentru cei ce ıncepandcu peste cinci ani si terminand cu cam peste treizeci de ani ısi vor castiga painea din matematica si implementarea ei ın

153

practica) exact acesta este modul de a testa succesiv ipoteze despre ceea ce urmeaza sa fie facut. (Sa nu uitam ca ın viatade zi cu zi si taci ca vorbeste sefu’ problemele nu sunt exact de bine si consistent definite ca–n bac’ul de mate’ !)

Consideram mai ıntai cazul “frumos”, α = 2 > 1. Putem ın Pari sa ne dam primele valori ale sirului (an) si respectiv alesirului (bn). Deoarece convergenta este “relativ lenta” mai trimitem prin posta si valorile “pentru cativa indici mari”. Daravem imediat surpriza sa nu putem calcula efectiv “peste o valoare” a lui n. . .

? alpha = 2;

? for( N=1, 40,

print( "N=", N,

" a(", N, ")= ", sum(k=1, N, 1./kâlpha),

" b(", N, ")= ", intnum(x=1, N, 1./xâlpha) );

);

N=1 a(1)= 1.00000000000000000000000000000 b(1)= 0

N=2 a(2)= 1.25000000000000000000000000000 b(2)= 0.500000000000000000000000000000

N=3 a(3)= 1.36111111111111111111111111111 b(3)= 0.666666666666666666666666666666

N=4 a(4)= 1.42361111111111111111111111111 b(4)= 0.750000000000000000000000000000

N=5 a(5)= 1.46361111111111111111111111111 b(5)= 0.800000000000000000000000000000

N=6 a(6)= 1.49138888888888888888888888888 b(6)= 0.833333333333333333333333333333

N=7 a(7)= 1.51179705215419501133786848072 b(7)= 0.857142857142857142857142857143

N=8 a(8)= 1.52742205215419501133786848072 b(8)= 0.875000000000000000000000000000

N=9 a(9)= 1.53976773116654069035021415973 b(9)= 0.888888888888888888888888888889

N=10 a(10)= 1.54976773116654069035021415973 b(10)= 0.900000000000000000000000000000

N=11 a(11)= 1.55803219397645804572211498618 b(11)= 0.909090909090909090909090909091

N=12 a(12)= 1.56497663842090249016655943062 b(12)= 0.916666666666666666666666666666

N=13 a(13)= 1.57089379818421609963401505193 b(13)= 0.923076923076923076923076923077

N=14 a(14)= 1.57599583900054263024625994988 b(14)= 0.928571428571428571428571428571

N=15 a(15)= 1.58044028344498707469070439433 b(15)= 0.933333333333333333333333333333

N=16 a(16)= 1.58434653344498707469070439433 b(16)= 0.937500000000000000000000000000

N=17 a(17)= 1.58780674105744382209554868499 b(17)= 0.941176470588235294117647058823

N=18 a(18)= 1.59089316081053024184863510474 b(18)= 0.944444444444444444444444444444

N=19 a(19)= 1.59366324391302331664087887205 b(19)= 0.947368421052631578947368421052

N=20 a(20)= 1.59616324391302331664087887205 b(20)= 0.950000000000000000000000000000

N=21 a(21)= 1.59843081760916844135743216003 b(21)= 0.952380952380952380952380952381

N=22 a(22)= 1.60049693331164778020040736665 b(22)= 0.954545454545454545454545454545

N=23 a(23)= 1.60238729247988974617394233829 b(23)= 0.956521739130434782608695652174

N=24 a(24)= 1.60412340359100085728505344940 b(24)= 0.958333333333333333333333333333

N=25 a(25)= 1.60572340359100085728505344940 b(25)= 0.960000000000000000000000000000

N=26 a(26)= 1.60720269353182925965191735473 b(26)= 0.961538461538461538461538461538

N=27 a(27)= 1.60857443564431211287551131906 b(27)= 0.962962962962962962962962962963

N=28 a(28)= 1.60984994584839374552857254355 b(28)= 0.964285714285714285714285714285

N=29 a(29)= 1.61103900649048649225865577780 b(29)= 0.965517241379310344827586206896

N=30 a(30)= 1.61215011760159760336976688891 b(30)= 0.966666666666666666666666666666

N=31 a(31)= 1.61319070032792434634583348620 b(31)= 0.967741935483870967741935483871

N=32 a(32)= 1.61416726282792434634583348620 b(32)= 0.968750000000000000000000000000

N=33 a(33)= 1.61508553647347071916493357803 b(33)= 0.969696969696969696969696969697

N=34 a(34)= 1.61595058837658490601614465069 b(34)= 0.970588235294117647058823529411

N=35 a(35)= 1.61676691490719715091410383437 b(35)= 0.971428571428571428571428571428

*** the PARI stack overflows !

current stack size: 32.0 Mbytes

[hint] you can increase GP stack with allocatemem()

Am vazut cum stau lucrurile folosind o masina pur numerica. Eu am ales α = 2, deoarece pentru aceasta valoare aveminformatie “ıntamplator” si din teoria (analitica) a numerelor, anume, folosind o masina de calcul simbolic cu valente maicalitative, maxima,

(%i3) sum( 1/n^2, n, 1, inf);

inf

====

\ 1

(%o3) > --

/ 2

==== n

n = 1

(%i4) sum( 1/n^2, n, 1, inf), simpsum;

2

%pi

(%o4) ----

6

154

(%i5) %, numer;

(%o5) 1.644934066848226

Chestia “calitativa” si “caritativa” este obtinuta prin cererea “simplificarii sumei”, urmata de cererea valorii numerice a“ultimului lucru calculat”, adica a lui π2/6. Convergenta relativ lenta o vedem din faptul ca de la valoarea lui a35 calculatade PARI pana la π2/6 mai e “o paine de mancat”.

Alegerea lui α = 2 face de asemenea lucrurile simple si ın calculul (cu mana) al integralei ce defineste bn. Este clar ca sirul

(bn) converge, iar limita lui se noteaza cu

∫ 1

0

1x2

dx, care are valoarea (- urmeaza cod maxima -)

(%i6) integrate( 1/x^2, x, 1, inf );

(%o6) 1

Pentru α 6 1, calculele numerice sunt mult mai “dramatice”, “convergenta” sirurilor date fiind improprie (adica convergentacatre infinit, adica divergenta!), iar diferenta sirurilor date fiind foarte lenta! Pentru α = 1 situatia este relativ cunoscuta,

alpha = 1;

for( N=1, 40,

aN = sum(k=1, N, 1./kâlpha);

bN = intnum(x=1, N, 1./xâlpha);

print( " a(", N, ")= ", aN,

" b(", N, ")= ", bN,

" a(", N, ")-b(", N, ")= ", aN-bN

);

);

a(1)= 1.000000000000000000000000000 b(1)= 0 a(1)-b(1)= 1.000000000000000000000000000

a(2)= 1.500000000000000000000000000 b(2)= 0.6931471805599453094172321185 a(2)-b(2)= 0.8068528194400546905827678814

a(3)= 1.833333333333333333333333333 b(3)= 1.098612288668109691395245227 a(3)-b(3)= 0.7347210446652236419380881056

a(4)= 2.083333333333333333333333333 b(4)= 1.386294361119890618834464231 a(4)-b(4)= 0.6970389722134427144988691020

a(5)= 2.283333333333333333333333333 b(5)= 1.609437912434100374600759303 a(5)-b(5)= 0.6738954208992329587325740296

a(6)= 2.449999999999999999999999999 b(6)= 1.791759469228055000812477322 a(6)-b(6)= 0.6582405307719449991875226770

a(7)= 2.592857142857142857142857142 b(7)= 1.945910149055313305105352703 a(7)-b(7)= 0.6469469938018295520375044394

a(8)= 2.717857142857142857142857142 b(8)= 2.079441541679835928251696322 a(8)-b(8)= 0.6384156011773069288911608206

a(9)= 2.828968253968253968253968253 b(9)= 2.197224577336219382790490386 a(9)-b(9)= 0.6317436766320345854634778675

a(10)= 2.928968253968253968253968253 b(10)= 2.302585092994045684017991369 a(10)-b(10)= 0.6263831609742082842359768843

a(11)= 3.019877344877344877344877344 b(11)= 2.397895272798370544061943490 a(11)-b(11)= 0.6219820720789743332829338541

a(12)= 3.103210678210678210678210678 b(12)= 2.484906649788000310229709383 a(12)-b(12)= 0.6183040284226779004485012941

a(13)= 3.180133755133755133755133754 b(13)= 2.564949357461536736053487339 a(13)-b(13)= 0.6151843976722183977016464156

a(14)= 3.251562326562326562326562326 b(14)= 2.639057329615258614522584755 a(14)-b(14)= 0.6125049969470679478039775705

a(15)= 3.318228993228993228993228992 b(15)= 2.708050201102210065996004454 a(15)-b(15)= 0.6101787921267831629972245382

a(16)= 3.380728993228993228993228992 b(16)= 2.772588722239781237668928366 a(16)-b(16)= 0.6081402709892119913243006266

a(17)= 3.439552522640757934875581934 b(17)= 2.833213344056216080249534497 a(17)-b(17)= 0.6063391785845418546260474367

a(18)= 3.495108078196313490431137489 b(18)= 2.890371757896164692207722473 a(18)-b(18)= 0.6047363203001487982234150158

a(19)= 3.547739657143681911483769068 b(19)= 2.944438979166440460009027156 a(19)-b(19)= 0.6033006779772414514747419119

a(20)= 3.597739657143681911483769068 b(20)= 2.995732273553990993435223292 a(20)-b(20)= 0.6020073835896909180485457758

a(21)= 3.645358704762729530531388116 b(21)= 3.044522437723422996500597694 a(21)-b(21)= 0.6008362670393065340307904216

a(22)= 3.690813250217274985076842661 b(22)= 3.091042453358315853479175411 a(22)-b(22)= 0.5997707968589591315976672500

a(23)= 3.734291511086840202468147009 b(23)= 3.135494215929149690806752542 a(23)-b(23)= 0.5987972951576905116613944665

a(24)= 3.775958177753506869134813675 b(24)= 3.178053830347945619646941313 a(24)-b(24)= 0.5979043474055612494878723620

a(25)= 3.815958177753506869134813675 b(25)= 3.218875824868200749201518388 a(25)-b(25)= 0.5970823528853061199332952874

a(26)= 3.854419716215045330673275214 b(26)= 3.258096538021482045470719292 a(26)-b(26)= 0.5963231781935632852025559214

a(27)= 3.891456753252082367710312251 b(27)= 3.295836866004329074185735452 a(27)-b(27)= 0.5956198872477532935245767987

a(28)= 3.927171038966368081996026537 b(28)= 3.332204510175203923939816732 a(28)-b(28)= 0.5949665287911641580562098044

a(29)= 3.961653797587057737168440330 b(29)= 3.367295829986474027183271771 a(29)-b(29)= 0.5943579676005837099851685584

a(30)= 3.994987130920391070501773663 b(30)= 3.401197381662155375413236421 a(30)-b(30)= 0.5937897492582356950885372416

a(31)= 4.027245195436520102759838179 b(31)= 3.433987204485146245929164048 a(31)-b(31)= 0.5932579909513738568306741313

a(32)= 4.058495195436520102759838179 b(32)= 3.465735902799726547086160324 a(32)-b(32)= 0.5927592926367935556736778548

a(33)= 4.088798225739550405790141209 b(33)= 3.496507561466480235457188529 a(33)-b(33)= 0.5922906642730701703329526807

a(34)= 4.118209990445432758731317680 b(34)= 3.526360524616161389666766442 a(34)-b(34)= 0.5918494658292713690645512375

a(35)= 4.146781419016861330159889108 b(35)= 3.555348061489413679706111774 a(35)-b(35)= 0.5914333575274476504537773339

a(36)= 4.174559196794639107937666886 b(36)= 3.583518938456110001624954415 a(36)-b(36)= 0.5910402583385291063127124714

a(37)= 4.201586223821666134964693913 b(37)= 3.610917912644224444368095364 a(37)-b(37)= 0.5906683111774416905965985486

a(38)= 4.227902013295350345491009702 b(38)= 3.637586159726385769426259249 a(38)-b(38)= 0.5903158535689645760647504539

a(39)= 4.253543038936375986516650728 b(39)= 3.663561646129646427448731997 a(39)-b(39)= 0.5899813928067295590679187311

a(40)= 4.278543038936375986516650728 b(40)= 3.688879454113936302852455004 a(40)-b(40)= 0.5896635848224396836641957242

De fapt, este bine stiut ca pentru α = 1, sirul diferenta cu termenul general(11

+12

+ · · ·+ 1n

)− lnn

converge la γ, o constanta renumita, despre care putem afla minimal, car de cat ceva cu maxima,

dan@5[~]$ maxima

Maxima restarted.

(%i1)

? %gamma

Info from file /usr/share/info/maxima.info:

-- Constant: %gamma

The Euler-Mascheroni constant, 0.5772156649015329 ....

155

Capitolul 17

Varianta 057

17.1 Subiectul I

Exercitiul 81 (a) Sa se calculeze modulul numarului complex z = 35 + i · 4

5 .

(b) Sa se calculeze distanta de la punctul O(0, 0) la punctul A

(35,45

).

(c) Sa se arate ca punctul A

(35,45

)este situat pe cercul de ecuatie x2 + y2 = 1 .

(d) Sa se determine ecuatia tangentei ın punctul A

(35,45

)la cercul de ecuatie x2 + y2 = 1 .

(e) Sa se calculeze volumul tetraedrului cu varfurile ın punctele

A(0, 1, 2) ,

A(1, 0, 2) ,

A(2, 1, 0) ,

A(0, 0, 0) .

(f) Sa se determine a, b ∈ R, astfel ıncat P (2, 3) si Q(3, 2) sa fie situate pe dreapta x + ay + b = 0 .

Solutie:

(a) |z| =∣∣∣∣ 1

5(3 + 4i)

∣∣∣∣ = 15|3 + 4i| = 1

5

√32 + 42 =

15· 5 = 1 .

(b) Reprezentarea geometrica (complexa) a punctelor O,A este zero respectiv z = (3 + 4i)/5 (de la (a)). Distanta |OA|este atunci |z − 0| = |z| = 1 .

(c) Ecuatia x2 + y2 = 1 este ecuatia cercului de centru O si raza 1. Deoarece |OA| = 1, punctul A se afla pe acest cerc.De fapt, coordonatele punctului A satisfac ecuatia cercului:(

35

)2

+(

45

)2

=925

+1625

=2525

= 1 .

(d) Fie (a, b) un punct pe cercul x2 + y2 − 1 = 0, adica a2 + b2 = 1. Putem rescrie aceasta ecuatie a cercului folosind“dezvoltarea” ın jurul lui (a, b):

x2 + y2 − 1 = ((x− a) + a)2 + ((y − b) + b)2 − 1

= (x− a)2 + 2a(x− a) + a2 + (y − b)2 + 2b(y − b) + b2 − 1

= (x− a)2 + 2a(x− a) + (y − b)2 + 2b(y − b) + (a2 + b2 − 1)︸︷︷︸=0

.

Ecuatia dreptei tangente ın (a, b) este partea liniara (a tuturor monoamelor de grad unu) ce apar mai sus, egalizata cu zero:

2a(x− a) + 2b(y − b) = 0 .

156

La noi, dupa simplificari ın ecuatia35

(x− 3

5

)+

45

(x− 4

5

)= 0 obtinem forma 3(5x−3)+4(5y−4) = 0, sau echivalent

15x + 20y − 25 = 0 .

Eu nu prefer ultima forma, dar barem daca baremul va fi cum vreau eu ın cinzeci de ani, tot ma declar multumit.


13!

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 1 21 1 0 21 2 1 01 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −16

∣∣∣∣∣∣0 1 21 0 22 1 0

∣∣∣∣∣∣ = −16· 2

∣∣∣∣∣∣0 1 11 0 12 1 0

∣∣∣∣∣∣ = −13( 0 + 2 + 1 − 0− 0− 0 ) = −1 .

Volumul cu semn este −1, deci volumul “geometric”, care se obtine luand modulul, este | − 1| = 1 . Incerc sa ma verific:

(%i60) (1/3!)*determinant( matrix( [1,0,1,2], [1,1,0,2], [1,2,1,0], [1,0,0,0] ) );

(%o60) - 1

(f) Ambele puncte se afla pe drepta x+y−5 = 0, deci, din cauza “normarii” coordonatei x cu coeficientul 1 ın x+ay+b = 0ın form ecuatiei cautate, rezulta

a = 1 , b = −5 .

17.2 Subiectul II

Exercitiul 82 (a) Sa se rezolve ecuatia x3 = x, unde x ∈ Z4 .(b) Sa se determine probabilitatea ca un element al multimii Z6 sa verifice egalitatea

(x + 1)3 = x3 + 1 .

(c) Daca functia f : R → R, f(x) = x7 + 1, are inversa g : R → R, sa se calculeze g(1).(d) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia

log2(x2 + 7) = log2(2x2 + 3x + 7) .

(e) Sa se calculeze suma radacinilor polinomului f = 3X3 − 6X2 + 24X + 1 .

Solutie:(a) Avem calculand explicit ın Z4:

03 = 0 ,

13 = 1 ,

23 = 8 = 0 ,

33 = (−1)3 = −13 = −1 = 3 .

Solutiile ecuatiei date ın Z4 sunt 0 , 1 , 3 .

(b) Egalitatea data, (x + 1)3 = x3 + 1 ın Z6,este echivalenta cu [ (x + 1)3 − (x3 + 1) se divide cu 6 ], x ∈ Z,deci cu [ 3x2 + 3x se divide cu 6 ], x ∈ Z,deci cu [ 3x(x + 1) se divide cu 2 si cu 3 ], x ∈ Z,deci cu [ x(x + 1) se divide cu 2 ], x ∈ Z.Deoarece un produs de doua numere ıntregi consecutive se divide cu 2, ultima propozitie este adevarata pentru orice xc ∈ Z.Deci si relatia de plecare, (x + 1)3 = x3 + 1 este adevarata ın Z6 pentru orice x ∈ Z6.

Probabilitatea ceruta este deci 1 .

157

(c) (Si daca functia nu este inversabila, ce facem? Trebuie sa aratam ca f este inversabila? Aceeasi discutie a mai fostfacuta. . . )

Stiind ca f este inversabila cu inversa g, din f(0) = 1 rezulta imediat 0 = g(f(0)) = g(1), deci g(1) = 0 .

Se observa, pentru completitudine, ca ıntr–adevar, f este inversabila cu inversa g : R → R, g(y) = (y − 1)1/7, deoarecepentru orice x, y ∈ R avem:

g(f(x)) = g(x7 + 1) = ((x7 + 1)− 1)1/7 = (x7)1/7 = x ,

f(g(y)) = g(y)7 + 1 = ( (y − 1)1/7 )7 + 1 = (y − 1) + 1 = y .

(d) Fie x ∈ R astfel ıncat sa avem log2(x2 +7) = log2(2x2 +3x+7) . (In particular, argumentele logaritmilor sunt > 0. De

fapt, pentru orice y ∈ R avem y2+7 > 7 > 0 si 2x2+3x+7 > x2+3x+7 = (x+3/2)2−9/4+7 > 7−9/4 > 7−3 = 4 > 0.Deci din acest punct de vedere nu avem probleme de ne–definire a logaritmilor.)Aplicand functia bijectiva R → (0,∞), z → 2z, ecuatia data devine echivalenta cu

x2 + 7 = 2x2 + 3x + 7 .

Echivalent, 0 = x2 + 3x. Echivalent 0 = x(x + 3). Echivalent x = 0 sau x = −3. Solutiile ecuatiei date sunt deci 0 , 3 .

(%i64) solve( (x^2+7) = (2*x^2+3*x+7) );

(%o64) [x = - 3, x = 0]

(e) Folosind relatiile lui Vieta, suma radacinilor lui f este

−−63

= 2 .

Pentru a afla mai mult, folosim codul maxima:

radacini: allroots( 3*X^3-6*X^2+24*X+1 )$

tex(radacini);

sum( rhs(radacini[i]), i, 1, 3 );

Radacinile sunt (numeric aproximativ):

X1 ≈ −0.04123286659124 ,

X2 ≈ +1.02061643329562 + 2.653772405191662 i ,

X3 ≈ +1.02061643329562 − 2.653772405191662 i . (X3 = X2)

Exercitiul 83 Se considera functia f : R → R, f(x) = ln(x2 + 9)− ln(x2 + 4) .(a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R .

(b) Sa se calculeze

∫ 1

0

f ′(x) dx .

(c) Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe intervalul (−∞, 0] si strict descrescatoare pe intervalul [0,∞).


f(x)− f(1)x− 1

.

(e) Sa se arate ca

0 < f(x) 6 ln94

, ∀x ∈ R .

Solutie:(a)

f ′(x) =1

x2 + 9· (x2 + 9)′ − 1

x2 + 4· (x2 + 4)′ =

2x

x2 + 9− 2x

x2 + 4= − 10x

(x2 + 9)(x2 + 4).

158

(%i85) diff( log(x^2+9)-log(x^2+4) , x );

2 x 2 x

(%o85) ------ - ------

2 2

x + 9 x + 4

(%i86) factor(%);

10 x

(%o86) - -----------------

2 2

(x + 4) (x + 9)

(b) Deoarece f este o primitiva a lui f ′ avem:∫ 1

0

f ′(x) dx = f(1)− f(0) = (ln 10− ln 9)− (ln 5− ln 4) = ln 2 + ln 5− 2 ln 3− ln 5 + 2 ln 2 = 3 ln 2− 2 ln 3 .

(%i100)

f(x) := log(x^2+9)-log(x^2+4)$

(%i101) f(1)-f(0);

(%o101) log(10) - log(9) - log(5) + log(4)

(%i102) f(1)-f(0), numer;

(%o102) - 0.11778303565638

(%i103) 3*log(2)-2*log(3), numer;

(%o103) - 0.11778303565638

(c) Din formula de la (a) si din faptul ca (x2 +9) > 0, (x2 +4) > 0, rezulta ca semnul lui f ′ este aceeasi cu semnul functiei−10x, deci f ′(x) este strict pozitiv pentru x ∈ (−∞, 0) si este strict negativ pentru x ∈ (0,∞).Deci functia f este strict crescatoare pe intervalul (−∞, 0] si strict descrescatoare pe intervalul [0,∞), ceea ce trebuia aratat.

(d) Din definitia lui f ′(1) pentru functia derivabila f , rezulta

limx→1

f(x)− f(1)x− 1

= f ′(1) = − 10 · 1(1 + 9)(1 + 4)

= − 1010 · 5

= −15

.

(%i110) f(x) := log(x^2+9)-log(x^2+4)$

(%i111) limit( (f(x)-f(1))/(x-1), x, 1 );

1

(%o111) - -

5

(%i112)

g: diff( log(x^2+9)-log(x^2+4) , x )$

(%i113) subst( 1,x,g );

1

(%o113) - -

5

(e) Prima inegalitate rezulta din: f(x) = lnx2 + 9x2 + 4

= ln(

1 +5

x2 + 4︸︷︷︸>1

)> ln 1 = 0 . A doua inegalitate rezulta din

f(x) = lnx2 + 9x2 + 4

= ln(

1 +5

x2 + 4︸︷︷︸65/4

)6 ln

(1 +

54

)= ln

94

.

17.3 Subiectul III

Exercitiul 84 In multimea M2(C) se considera matricile I2 =[1 00 1

], O2 =

[0 00 0

]precum si submultimea

G = [

z w−w z

] ∣∣∣ z, w ∈ C

,

unde am notat prin z conjugatul numarului complex z.

159

(a) Sa se verifice ca I2 ∈ G si O2 ∈ G.(b) Sa se demonstreze ca daca z = a + bi, a, b ∈ R, atunci z · z este un numar real.

(c) Sa se arate ca determinantul

[z w

−w z

]este un numar real.

(d) Sa se gaseasca o matrice X ∈ G, cu proprietatea ca X · J 6= J ·X, unde J =[i 00 −i

].

(e) Sa se arate ca, daca A ∈ G si A 6= O2, atunci A este o matrice inversabila si A−1 ∈ G .(f) Sa se arate ca ecuatia X2 = −I2 are o infinitate de solutii ın multimea G .(g) Sa se dea exemplu de corp necomutativ.

Solutie:

(a) Avem I2 =[

1 0−0 1

]si O2 =

[0 0−0 0

], de unde rezulta prin definitia lui G cele cerute.

(b) Fie z = a + ib ca ın enunt, deci a, b sunt reale. Atunci

z · z = (a + ib)(a− ib) = a2 − (ib)2 = a2 + b2 ∈ R .

(c) Determinantul matricii din enunt este folosind (c) pentru z, w,∣∣∣∣ z w−w z

∣∣∣∣ = zz︸︷︷︸∈R

+ ww︸︷︷︸∈R

∈ R .

(d) Consideram matricea K =[0 11 0

]. Atunci:

(%i5) J: matrix( [%i, 0], [0, -%i]) $

(%i6) K: matrix( [0, 1], [1, 0]) $

(%i7) print( K, " . ", J , " = " , K.J ) $

[ 0 1 ] [ %i 0 ] [ 0 - %i ]

[ ] . [ ] = [ ]

[ 1 0 ] [ 0 - %i ] [ %i 0 ]

(%i8) print( J, " . ", K , " = " , J.K ) $

[ %i 0 ] [ 0 1 ] [ 0 %i ]

[ ] . [ ] = [ ]

[ 0 - %i ] [ 1 0 ] [ - %i 0 ]

Matricea K nu comuta deci cu J , o astfel de matrice ni s–a cerut. (O notez cu K din motive proprii. Cei ce au auzit decorpul cuaternionilor poate ma ınteleg.)

(e) In general, daca

[a bc d

]este o matrice inversabila cu coeficientii ıntr–un corp fixat, de exemplu Q sau R sau C sau un

corp finit Fp = Zp cu p elemente, p prim, sau orice alt corp, determinantul ei este nenul, ad− bc 6= 0 ın respectivul corp, iarinversa ei este [

a bc d

]−1

=1

ad− bc

[d −b−c a

]=[

d/(ad− bc) −b/(ad− bc)−c/(ad− bc) a/(ad− bc)

].

In cazul nostru, o matrice A =[

z w−w z

]∈ G cu z, w ∈ C este inversabila daca si numai daca determinantul ei D :=

|z|2 + |w|2 ∈ R este nenul, iar ın cazul ın care D 6= 0 avem

A−1 =1D

[z −ww z

]=[z/D −w/Dw/D z/D

]=[z/D −w/D

w/D z/D

]=[z1 −w1

w1 z1

]cu

z1 = z/D

w1 = −w/D

De aici rezulta A−1 ∈ G.

(f) O soultie a ecuatiei date este J . (Scrieti acest lucru ın ultimele secunde, daca abia acum cititi ıntamplator acest enuntın examen. Daca mai scrieti si propozitia “Odata cu J se afla ın G si conjugatele AJA−1, A ∈ G inversabila, si ele satisfacaceeasi ecuatie” aveti deja jumatate de puncte. Iar cel ce le va da nu se va ıncadra ın nici un barem.)

160

Cautam ordonat toate solutiile. Rezolvam deci ecuatia ın necunoscutele z, w ∈ C:[z w

−w z

] [z w

−w z

]=[1 00 1

],

care revine la cele patru ecuatii z2 − ww = −1w(z + z) = 0

−w(z + z) = 0

z2 − ww = −1

A patra ecuatie rezulta din prima prin conjugare complexa.A treia ecuatie rezulta din a doua prin conjugare complexa.Sistemul de mai sus se rescrie:

z2 = |w|2 − 1w(z + z) = 0

Noi nu trebuie sa–l rezolvam ın totalitate, ci doar sa indicam o infinitate de solutii. Observam ca a doua ecuatie estesatisfacuta pentru z pur imaginar, de aceea consideram pentru o vreme z = iu cu u ∈ R. Rezulta −u2 = |w|2 − 1.Echivalent: u2 + |w|2 = 1.Rezulta ca exista un “unghi” a ∈ R (sau a ∈ [0, 2π)) cu u = sin a si |w| = cos a. (Putem alege mai general acum|w| = cos a(cos b + i sin b) cu b ∈ [0, 2π), dar este mai bine sa listam direct pentru b = 0 infinitatea de solutii:)

X =[

i sin a cos a− cos a −i sin a

].

Ne putem verifica cu computerul ca am dat ıntr–adevar de solutii ale ecuatiei matriciale date: Cod maxima:

dan@5[~]$ maxima

Maxima restarted.

(%i1) X: matrix( [ %i * sin(a), cos(a) ], [ -cos(a), -%i * sin(a) ]) ;

[ %i sin(a) cos(a) ]

(%o1) [ ]

[ - cos(a) - %i sin(a) ]

(%i2) X.X;

[ 2 2 ]

[ - sin (a) - cos (a) 0 ]

(%o2) [ ]

[ 2 2 ]

[ 0 - sin (a) - cos (a) ]

(%i3) trigreduce(%);

[ - 1 0 ]

(%o3) [ ]

[ 0 - 1 ]

(g) Un exemplu de corp necomutativ este (G, +, ·). Sa argumentam acest lucru:Aratam ca G este un subinel al inelului de matrici M2(C) de marime 2 × 2 peste corpul C. Pentru aceasta trebuie saobservam doar stabilitatea operatiilor de adunare, scadere si ınmultire de pe M2(C) la nivelul submultimii G. Fie pentruaceasta matricile

A1 =[

z1 w1

−w1 z1

], A2 =

[z2 w2

−w2 z2

], z1, z2;w1, w2 ∈ C .

Trebuie sa aratam ca au loc relatiile A1 + A2 ∈ G, −A1 ∈ G si A1A2 ∈ G. Pentru aceasta calculam aceste matrici si leaducem la forma definitorie pentru apartenenta la G data ın enunt:

A1 + A2 =[

z1 w1

−w1 z1

]+[

z2 w2

−w2 z2

]=[

z1 + z2 w1 + w2

−w1 − w2 z1 + z2

]=

[(z1 + z2) (w1 + w2)

−(w1 + w2) (z1 + z2)

]∈ G ,

−A1 =[−z1 −w1

w1 −z1

]=

[(−z1) (−w1)

−(−w1) (−z1)

]∈ G ,

A1A2 =[

z1 w1

−w1 z1

] [z2 w2

−w2 z2

]=[

z1z2 − w1w2 z1w2 + w1z2

−w1z2 − z1w2 −w1w2 + z1z2

]=

[z1z2 − w1w2 z1w2 + w1z2

−z1w2 + w1z2 −z1z2 − w1w2

]∈ G .

161

De aici rezulta ca G este un inel.

Elementul neutri fata de adunare ın G este O2 ∈ G. Din (e) rezulta ca orice element 6= O2 este inversabil fata de ınmultireadin G (care este ınmultirea de matrici). Deci G este un corp. (Are loc si axioma O2 6= I2 pentru cei foarte pedanti ce nuaccepta ca pe aceasta lume exista “corpul cu un element”, de exemplu pentru mine.)

In sfarsit, din (d) rezulta ca G este necomutativ (ca inel si corp).

N.B. Corpul construit se numeste corpul cuaternionilor. El va fi ıntalnit de matematicieni, fizicieni si de cei ce fac animatiepe computer ın facultate.

17.4 Subiectul IV

Exercitiul 85 Se considera functia f : (−1,∞) → R, f(x) = ln(1 + x)− x, si sirul (In)n>1, cu termenul general

In = n

∫ 1

0

xn

a + xndx , ∀n > 1 ,

unde a este o constanta pozitiva fixata o data pentru ıntreaga problema.(a) Sa se calculeze f ′(x), x > −1.(b) Sa se calculeze f(0) si f ′(0).(c) Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei f .(d) Sa se deduca inegalitatea

ln(1 + x) 6 x , ∀x > −1 .

(e) Sa se demonstreze cax

a + x6

x

a, ∀x > 0, si apoi sa se calculeze lim

n→∞

In

n.

(f) Utilizand metoda integrarii prin parti, sa se arate ca

In = lna + 1

a−∫ 1

0

ln(

1 +xn

a

)dx , ∀n > 1 .

(g) Sa se calculeze limn→∞

In .

Solutie:(a) Este clar ca f este o functie bine definita pe intervalul de definitie specificat, apoi ca este derivabila (de o infinitate deori) pe acest interval. Derivata f ′ se calculeaza imediat. Cod maxima:

(%i4) diff( log(1+x)-x, x );

1

(%o4) ----- - 1

x + 1

(%i5) factor(%);

x

(%o5) - -----

x + 1

(b) f(0) = ln(1 + 0)− 0 = ln 1 = 0 , f ′(0) = −0/(0 + 1) = 0 .

(c) Deoarece f ′(x) = −x/(x + 1) este > 0 pentru x ın intervalul (−1, 0), functia f este strict crescatoare pe (−1, 0].Deoarece f ′(x) = −x/(x + 1) este < 0 pentru x ın intervalul (0,∞), functia f este strict descrescatoare pe [0,∞).

(d) Din (c) rezulta ca ıin punctul 0 se atinge maximul functiei f , deci f(x) 6 f(0) = 0 pentru orice x ın domeniul dedefinitie al lui f , deci

ln(1 + x)− x 6 0 pentru orice x > −1

de unde rezulta cele afirmate ın enunt.

(e) Fie a > 0 si x > 0 arbitrari. Atunci 0 < a 6 a + x, de unde rezulta

1a + x

61a

,

162

(deoarece functia y → 1/y este strict descrescatoare pe (0,∞),) de unde rezulta inegalitatea din enunt dupa ınmultirea cux > 0.Calculam limita ceruta ınca la (e). Fie x ∈ [0, 1]. Atunci xn ∈ [0, 1] si aplicand inegalitatea tocmai demonstrata (cu xn ınlocul lui x, desigur,) rezulta

0 6xn

a + xn6

xn

a.

Integrand aceasta dubla inegalitate pe [0, 1], rezulta

0 6∫ 1

0

xn

a + xndx︸︷︷︸

=In/n

6∫ 1

0

xn

adx =

1a(n + 1)

.

Din criteriul clestelui si 0 → 0, 1/(a(n + 1)) → 0 pentru n →∞ rezulta

limn→∞

In

n= 1 .

(f) Avem, folosind integrare prin parti pentru termenul “cel mai urat” din enunt,∫ 1

0

ln(

1 +xn

a

)dx =

∫ 1

0

x′ · ln(

1 +xn

a

)dx

=[

x · ln(

1 +xn

a

) ]10

−∫ 1

0

x ·(

ln(

1 +xn

a

))′dx

= ln(

1 +1a

)−∫ 1

0

x ·(

1 +xn

a

)−1

·(

1 +xn

a

)′dx

= lna + 1

a−∫ 1

0

x · a

a + xn· nxn−1

adx

= lna + 1

a− In .

De aici rezulta prin simpla reformatare cele cerute ın enunt.(g) Plecam cu inegalitatea dubla (ın care partea dreapta rezulta din (d)):

0 = ln(

1 +0a

)6 ln

(1 +

xn

a

)6

xn

a.

Integrand pe intervalul [0, 1] dupa x obtinem:

0 6∫ 1

0

ln(

1 +xn

a

)dx 6

∫ 1

0

xn

adx =

1a(n + 1)

.

Din criteriul clestelui rezulta existenta limitei termenului facut sandwich, si anume mai exact, valoarea acestei limite estezero. De aici si din (f) exista

limn→∞

In = limn→∞

[ln

a + 1a

−∫ 1

0

ln(

1 +xn

a

)dx

]= ln

a + 1a

− 0 = lna + 1

a= ln(a + 1)− ln a .

163

Capitolul 18

Varianta 058

18.1 Subiectul I

Exercitiul 86 (a) Sa se calculeze conjugatul numarului complex z = i10 + i11 .(b) Sa se determine x ∈ R, stiind ca are loc egalitatea de numere complexe (1 + x · i)2 = 1 .

(c) Sa se calculeze cosπ

4+ cos

π

2.

(d) Sa se calculeze sinπ

4· sin π

2.

(e) Sa se determine c, d ∈ R stiind ca punctele P (c, 1) si Q(2, d) sunt situate pe dreapta 2x− y − 3 = 0 .(f) Sa se dea un exemplu de punct M(a, b) situat pe parabola de ecuatie y2 = 9x.

Solutie:(a) Avem explicit i4 = 1, deci z = i10 + i11 = i4 · i4 · i2 + i4 · i4 · i3 = i2 + i3 = −1− i. Conjugatul acestui numar complex

este z = −1 + i .

(%i2) load(conjugate);

(%o2) /usr/share/maxima/5.9.2/share/linearalgebra/conjugate.lisp

(%i3) conjugate( %i^10 + %i^11 );

(%o3) %i - 1

(b) Relatia (1 + x · i)2 = 1, x ∈ R, este echivalenta cu (1 + x · i)2 − 1 = 0, deci cu

(1 + x · i− 1)(1 + x · i + 1) = 0 .

Prima paranteza se anuleaza pentru x = 0 ∈ R, a doua paranteza se anuleaza pentru x = −2/i = 2i 6∈ R. Singura solutie

este deci 0 .

(c) cosπ

4+ cos

π

2=√

22

+ 0 =√

22

.

(%i4) cos(%pi/4) + cos(%pi/2);

sqrt(2)

(%o4) -------

2

(d) sinπ

4· sin π

2=√

22· 1 =

√2

2.

(%i5) sin(%pi/4) * sin(%pi/2);

sqrt(2)

(%o5) -------

2

(e) P se afla pe dreapta data, daca si numai daca 2c− 1− 3 = 0, deci echivalent c = 2 .

Q se afla pe dreapta data, daca si numai daca 2 · 2− d− 3 = 0, deci echivalent d = 1 .

(f) Punctele (0, 0), (1, 3), (1,−3) sunt cateva puncte simple de pe parabola. Ca sa nu ni se taie puncte ın unele ocazii (canu am citit enuntul si am dat trei ın loc de unul, deci nu am trecut de clasa I-a), e bine sa facem propozitia:Punctul (0, 0) este un exemplu de punct de pe parabola, deoarece 02 = 9 · 0.

164

18.2 Subiectul II

Exercitiul 87 (a) Stiind ca a = log2 24 si b = log2 6, sa se arate ca a− b este un numar natural.

(b) Sa se calculeze determinantul:

∣∣∣∣ 7 414 8

∣∣∣∣ .

(c) Daca A =[

7 414 8

]si B =

[2 6a 3

], sa se determine a ∈ R, astfel ıncat rang(A) =rang(B) .

(d) Daca f : R∗ → R, f(x) = x +1x

, sa se calculeze (f f)(1) .

(e) Sa se dea exemplu de multime care are exact 4 submultimi.

Solutie:(a) a− b = log2 24− log2 6 = log2

246 = log2 4 = log2 22 = 2 ∈ N .

(b) ∣∣∣∣ 7 414 8

∣∣∣∣ = 7∣∣∣∣1 42 8

∣∣∣∣ = 7 · 4∣∣∣∣1 12 2

∣∣∣∣ == 7 · 4 · 0 = 0 .

Am folosit faptul ca determinantul unei matrici se anuleaza, daca doua coloane coincid. Alternativ puteam calcula

∣∣∣∣1 12 2

∣∣∣∣ =1 · 2− 1 · 2 = 0. Alternativ puteam calcula de la ınceput:

∣∣∣∣ 7 414 8

∣∣∣∣ = 7 · 8− 4 · 14 = 7 · 4 · 2− 4 · 2 · 7 = 0 .

(c) Rangul lui A este 1, deoarece det A = 0 si minorul [7], o (sub)matrice 1× 1 a lui A, nu este [0].Rangul lui B este > 1, deoarece minorul [2], o (sub)matrice 1× 1 a lui B, nu este [0].Pentru ca rangul lui B sa fie 1 este necesar ca toti minorii 2 × 2 ai lui B, (ei bine exista doar unul, anume B,) sa aibedeterminantul nul. Deci impunem conditia:

0 = det B = 2 · 3− 6 · a .

Solutia acestei ecuatii de gradul I ın a, anume 6− 6a = 0, este a = 1 .

(d) Avem mai ıntai: f(1) = 1 + 1/1 = 1 + 1 = 2. De aici:

(f f)(1) = f(f(1)) = f(2) = 2 +12

=52

.

(%i6) f(x) := x+1/x $

(%i7) f(1);

(%o7) 2

(%i8) f(f(1));

5

(%o8) -

2

(e) Orice multime cu N elemente, N ∈ N, are exact 2N submultimi. Rezulta ca orice multime cu 2 elemente are 22 = 4submultimi. Un exemplu de multime ce satisface cerintele din enunt este:

A = 0, 1 .

Submultimile lui A sunt explicit:∅ = , 0 , 1 , 0, 1 = A .

Exercitiul 88 (a) Sa se calculeze limn→∞

sinn

n.

(b) daca f, g : (0,∞) → R, f(x) = x3 + x, g(x) = f (2007)

(1x

), sa se calculeze g(1).

(c) Se extrag doua numere din multimea 1, 2, 3, . . . , 10 . Sa se calculeze probabilitatea ca acestea sa fie pare.(d) Sa se determine punctele de extrem local ale functiei f : [0, 3] → R, f(x) = |x− 2| .

(e) Sa se calculeze

∫ 1

0

2x + 1x2 + x + 1

dx .

165

Solutie:(a) Din dubla inegalitate

− 1n

6sinn

n6

1n

si din convergentele −1/n → 0 si 1/n → 0 pentru n →∞, rezulta din criteriul clestelui: limn→∞

sinn

n= 0 .

(b) Un cuvant despre notatie. Ce este f (2007) ?Daca f (2007) este derivata de ordinul 2007 a functiei polinomiale f , atunci desigur f (2007) = 0 (gradul lui f fiind 3 < 2007),

deci g(1) = 0 deoarece g ≡ 0. (g este functia identic egala cu zero.)

Daca f (2007) este f · · · f︸︷︷︸2007 de ori

, atunci avem o problema greu de rezolvat. A se ıntreba astfel de lucruri ın examen (ınainte de

a trece la munca cu probabilitatea 1/2 de considerare a directiei gresite sau nedorite ın realitate) !Ambele notatii sunt folosite ın contexte diferite international de catre diferiti autori, f (3) este de exemplu mai des f f fdecat derivata de ordinul 3, care se noteaza uzual cu f ′′′. De exemplu, ca sa se vada cat de “grea” este aceasta cealaltaproblema, calculam f · · · f︸︷︷︸

n de ori

(1) pentru n ıntre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Programam: Pentru 1, 2, 3 putem chiar sa vedem “explicit”

ce se ıntampla. Consideram codul.

f(x) := x^3+x;

tex( f(x) );

tex( f(f(x)) );

tex( f(f(f(x))) );

El livreaza ın format TEX usor prelucrat:

f(x) = x3 + x ,

f(f(x)) =(x3 + x

)3+ x3 + x,

f(f(f(x))) =((

x3 + x)3

+ x3 + x)3

+(x3 + x

)3+ x3 + x , . . .

Substituind x = 1 ın cele trei formule obtinem 2 = f(1), 10 = f(2) si 1010 = f(10). Este clar ca, ın acest sens, f (2007)(1)ar fi un numar urias, care, pentru a fi scris, ar rapi ceva din bugetul national. De fapt primii termeni ai sirului (an)n∈N,definit recursiv prin a0 = 1 si an+1 = f(an), n ∈ N, sunt produsi de:

(%i36) a: 1;

(%o36) 1

(%i37) for n:1 thru 7 do (a: a^3+a, print( "a(", n, ") = ", a ));

a( 1 ) = 2

a( 2 ) = 10

a( 3 ) = 1010

a( 4 ) = 1030302010

a( 5 ) = 1093688489093570254240903010

a( 6 ) = 13082204200502931402073085683432755586102757542463908529042596307561#

88515781804010

a( 7 ) = 22389416288450176704197917839784945755102223578574355397257959922095#

605809640646780898153391917316583599437301630913347477567578078721250009777066#

625550285229345845260987660511677832278278800615728587508260670301666441708977#

51537274546803005010

(%o37) done

De fapt se poate demonstra inductiv usor ca an+2 > 103n

, deci a2007, numarul cerut (ın “cealalta” acceptie a notatiei

f (2007)), are fi > 1032007, un numar cu cel putin

(%i39) 3^2007;

(%o39) 38225944275174390703263644921131126677470596600207572884545990818299708#

642390514950804809095940575899223567751724697198996429827692597374121140238599#

787873598560593752567800913074052974820869849367509650444501754179316168991125#

949167690776359905100671154981937226277119138790210934797985925538744234434372#

816969112521688496911037140183820458773309039894142797762054308372476069844960#

457936332765862744819070451994515696715467625174394465113910069060757121901857#

783864733542559182248418858313564514042038205849489705017901624380672057633992#

468349323932821539534070286017292233405135527523289170848657225034947081945002#

532955920130387432638998429463706635867838151843946308704533099364718082253381#

241246829924999320640504907370596706359237497325596717919353017506478102208931#

200564450497583238540482793066407729203262956707812209570276029242282190933876#

107031348798338465631026776464808538481421005024078772401317388582603795462881#

79928131790642271339532282187

166

de cifre.

(c) Multimea rezultatelor posibile este:

Ω = (a, b) | 1 6 a, b 6 10 , a, b ∈ N , a 6= b .

Aceasta multime are |Ω| = 10 · 9 elemente.Multimea rezultatelor favorabile este:

A =

(a, b) | a, b ∈ 2, 4, 6, 8, 10 , a 6= b

.

Aceasta multime are |A| = 5 · 4 elemente. Probabilitatea cautata este

|A||Ω|

=5 · 410 · 9

=4

2 · 9=

29

.

(d) Functia data este pe intervalul [0, 2] data de formula f(x) = −(x− 2), x ∈ [0, 2] deci este strict descrescatoare pe acestinterval. Ea este pe intervalul [2, 3] data de formula f(x) = +(x−2), x ∈ [2, 3] deci este strict crescatoare pe acest interval.

Rezulta ca singurul extrem local (si global) este ın 2 .

(e) ∫ 1

0

2x + 1x2 + x + 1

dx =∫ 1

0

(x2 + x + 1)′

x2 + x + 1dx =

[ln(x2 + x + 1)

]10

= ln(1 + 1 + 1)− ln(0 + 0 + 1) = ln 3 .

(%i40) integrate( (2*x+1)/(x^2+x+1), x, 0, 1 );

(%o40) log(3)

18.3 Subiectul III

Exercitiul 89 Se considera matricile A =[

a + ib c + id−c + id a− ib

]∈ M2(C), unde a, b, c, d ∈ R, (i2 = −1) si notam

E =[1 00 1

], I =

[i 00 −i

], J =

[0 1

−1 0

], K =

[0 ii 0

], O2 =

[0 00 0

].

(a) Sa se arate ca exista x, y, z, t ∈ R astfel ca A = xE + yI + zJ + tK .(b) Sa se arate ca det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 .(c) Sa se arate ca, daca det(A) = 0, atunci A = O2.(d) Sa se arate ca

I2 = J2 = K2 = −E ,

IJ = −JI = K ,

JK = −KJ = I ,

KI = −IK = J .

(e) Sa se arate ca, daca A 6= O2, atunci A este inversabila si sa se determine A−1.

(f) Daca A′ =[

a′ + ib′ c′ + id′

−c′ + id′ a′ − ib′

]∈ M2(C), unde a′, b′, c′, d′ ∈ R, sa se arate ca

A ·A′ = (aa′ − bb′ − cc′ − dd′)E + (ab′ + ba′ + cd′ − dc′)I+(ac′ − bd′ + ca′ + db′)J + (ad′ + bc′ − cb′ + da′)K .

(g) Stiind ca det(X · Y ) = det(X) · det(Y ), ∀X, Y ∈ M2(C), sa se deduca relatia(a2 + b2 + c2 + d2

) (a′

2 + b′2 + c′

2 + d′2)

=(

aa′ − bb′ − cc′ − dd′)2

+(

ab′ + ba′ + cd′ − dc′)2

+(

ac′ − bd′ + ca′ + db′)2

+(

ad′ + bc′ − cb′ + da′)2

.

167

Solutie:(a) Dat A ca ın enunt alegem x = a, y = b, z = c, t = d.

(b) Avem:det A = (a + ib)(a− ib)− (id + c)(id− c) = (a2 − (ib)2)− ((id)2 − c2)

= (a2 + b2)− (−d2 − c2) = a2 + b2 + c2 + d2 > 0 .

(c) Deoarece egalitatea ın a2 + b2 + c2 + d2 > 0 se obtine pentru a, b, c, d ∈ R ın cazul si doar ın cazul a = b = c = d = 0,rezulta ca sunt echivalente:

A = O2 sidet A = 0 .

(d) Si eu ce sa fac?! Sa scriu I2 =[i 00 −i

] [i 00 −i

]=[−1 0

0 −1

]= −I ?

(A se considera ca am scris asa ceva si ca am luat toate punctele.) De fapt, ne putem verifica ın viata normala (din afaraconcursurilor), cod maxima:

I: matrix( [ %i, 0 ], [ 0, -%i ] ) $

J: matrix( [ 0, 1 ], [ -1, 0 ] ) $

K: matrix( [ 0, %i ], [ %i, 0 ] ) $

print( "I.I = ", I.I ) $

print( "J.J = ", I.I ) $

print( "K.K = ", I.I ) $

print( "I.J = ", I.J, " si J.I = ", J.I , " si K = ", K ) $

print( "J.K = ", J.K, " si K.J = ", K.J , " si I = ", I ) $

print( "K.I = ", K.I, " si I.K = ", I.K , " si J = ", J ) $

Ruland acest cod obtinem:

(%i51) I: matrix( [ %i, 0 ], [ 0, -%i ] ) $

(%i52) J: matrix( [ 0, 1 ], [ -1, 0 ] ) $

(%i53) K: matrix( [ 0, %i ], [ %i, 0 ] ) $

(%i54) print( "I.I = ", I.I ) $

[ - 1 0 ]

I.I = [ ]

[ 0 - 1 ]

(%i55) print( "J.J = ", I.I ) $

[ - 1 0 ]

J.J = [ ]

[ 0 - 1 ]

(%i56) print( "K.K = ", I.I ) $

[ - 1 0 ]

K.K = [ ]

[ 0 - 1 ]

(%i57) print( "I.J = ", I.J, " si J.I = ", J.I , " si K = ", K ) $

[ 0 %i ] [ 0 - %i ] [ 0 %i ]

I.J = [ ] si J.I = [ ] si K = [ ]

[ %i 0 ] [ - %i 0 ] [ %i 0 ]

(%i58) print( "J.K = ", J.K, " si K.J = ", K.J , " si I = ", I ) $

[ %i 0 ] [ - %i 0 ] [ %i 0 ]

J.K = [ ] si K.J = [ ] si I = [ ]

[ 0 - %i ] [ 0 %i ] [ 0 - %i ]

(%i59) print( "K.I = ", K.I, " si I.K = ", I.K , " si J = ", J ) $

[ 0 1 ] [ 0 - 1 ] [ 0 1 ]

K.I = [ ] si I.K = [ ] si J = [ ]

[ - 1 0 ] [ 1 0 ] [ - 1 0 ]

168

(e) Daca A 6= O2, atunci asa cum am clarificat ın (c) avem det A 6= 0, deci matricea A este inversabila, inversa ei fiind casi ın problema III din Varianta 57

A−1 =1

a2 + b2 + c2 + d2

[a− ib −c− idc− id a + ib

].

(f) Iar avem lucruri de calculat. Si eu ce sa fac?Prefer varianta de calcul cu calculatorul, motiv pentru care calculatorul si nu omul se numeste calculator si nu om.

E: matrix( [ 1, 0 ], [ 0, 1 ] ) $

I: matrix( [ %i, 0 ], [ 0, -%i ] ) $

J: matrix( [ 0, 1 ], [ -1, 0 ] ) $

K: matrix( [ 0, %i ], [ %i, 0 ] ) $

A: a*E+b*I+c*J+d*K;

S: s*E+t*I+u*J+v*K;

(%i1) E: matrix( [ 1, 0 ], [ 0, 1 ] ) $

(%i2) I: matrix( [ %i, 0 ], [ 0, -%i ] ) $

(%i3) J: matrix( [ 0, 1 ], [ -1, 0 ] ) $

(%i4) K: matrix( [ 0, %i ], [ %i, 0 ] ) $

(%i5) A: a*E+b*I+c*J+d*K ;

[ %i b + a %i d + c ]

(%o5) [ ]

[ %i d - c a - %i b ]

(%i6) S: s*E+t*I+u*J+v*K ;

[ %i t + s %i v + u ]

(%o6) [ ]

[ %i v - u s - %i t ]

for i:1 thru 2 do

for j: 1thru 2 do

print( "AS are intrarea ", i,j, " egala cu ", expand( (A.S)[i,j] ) ) ;

AS are intrarea 1 1 egala cu - d v + %i c v - %i d u - c u - b t + %i a t + %i b s + a s

AS are intrarea 1 2 egala cu - b v + %i a v + %i b u + a u + d t - %i c t + %i d s + c s

AS are intrarea 2 1 egala cu b v + %i a v + %i b u - a u - d t - %i c t + %i d s - c s

AS are intrarea 2 2 egala cu - d v - %i c v + %i d u - c u - b t - %i a t - %i b s + a s

(g) Aceasta rezulta direct din relatia data de multiplicativitate a determinantului, luand

X =[

a + ib c + id−c + id a− ib

], Y =

[a′ + ib′ c′ + id′

−c′ + id′ a′ − ib′

].

Membrul stang al identitatii de demonstrat este ce este deoarece

det X = a2 + b2 + c2 + d2 ,

det Y = a′2 + a′

2 + a′2 + a′

2.

Membrul drept al identitatii de demonstrat este ce este din formula analoaga pentru determinant si din calculul facut la (f).

Morala: Cine nu ınvata matematica, asa–i trebuie. Cine vrea sa ınvete, asa–i trebuie. Cine chiar ınveta, asa–i trebuie. Darchiar trebuie sa trecem de asa ceva?

18.4 Subiectul IV

Exercitiul 90 Fie a ∈ R. Se considera functia fa : R → R,

fa(x) =

sinx

xpentru x 6= 0 ,

a pentru x = 0 .

(a) Sa se calculeze limx→∞

fa(x) .

(b) Sa se demonstreze ca fa este continua pe R daca si numai daca a = 1.(c) Sa se calculeze f ′a(x), x ∈ R∗.

169

(d) Sa se demonstreze ca fa este derivabila pe R, daca si numai daca a = 1.

(e) Sa se demonstreze inegalitatea 2π 6 fa(x) < 1 pentru orice x ∈

(0,

π

2

]si orice a ∈ R.

(f) Sa se demonstreze inegalitatea 1 <

∫ π/2

0

f1(x) dx < 1 + cos 1 .

(g) Sa se calculeze limx→0

∫ 2x

x

f1(t)t

dt .

Solutie:(a) Din inegalitatea dubla pentru x > 0,

− 1x

6sinx

x︸︷︷︸=fa(x)

61x

,

si din faptul ca termeni extremi converg catre zero pentru x → ∞ rezulta prin criteriul clestelui ca termenul din mijlocconverge de asemenea la 0 pentru x →∞.

(b) Regula lui l’Hospital este aplicabila ın calculul limitei

limx→0x6=0

fa(x) = limx→0x6=0

sinx

x= lim

x→0x6=0

sin′ xx′

= limx→0x6=0

cos x

1= cos 0 = 1 .

Deoarece o functie este continua ıntr–un punct, daca si numai daca limitele laterale ale functiei ın acest punct coincid cuvaloarea functiei ın acel punct, rezulta ca a = 1 este o conditie necesara pentru continuitatea functiei fa. Reciproc, dacaa = 1 functia este continua ın orice punct x 6= 0 (ca un cat de functii continue cu numitor local nenul) si este continua si ınzero din calculul limitelor laterale de mai sus, deci este continua (peste tot, pe ıntreg domeniul de definitie R).

(c) Pentru x 6= 0 avem fa(x) = sin x/x, derivata acestei functii fiind:

(%i19) diff( sin(x)/x , x );

cos(x) sin(x)

(%o19) ------ - ------

x 2

x

(d) Cum am vazut la (c), fa este derivabila ın orice punct 6= 0. Este clar ca o conditie necesara pentru derivabilitate estecontinuitatea, deci ın mod necesar avem a = 1 (din (b)).Calculam de la definitie valoarea pentru f ′1(0) (daca exista):

f ′a(0) := limx→0x6=0

f1(x)− f1(0)x− 0

= limx→0x6=0

(sinx)/x− 1x

= limx→0x6=0

sinx− x

x2

= limx→0x6=0

(sinx− x)′

(x2)′= lim

x→0x6=0

cos x− 12x

= limx→0x6=0

(cos x− 1)′

(2x)′= lim

x→0x6=0

− sinx

2

= 0 .

(%i20) fa(x) := sin(x)/x;

sin(x)

(%o20) fa(x) := ------

x

(%i21) limit( (fa(x)-1)/(x-0) , x, 0 );

(%o21) 0

(%i22) taylor( sin(x)/x, x, 0, 8 );

2 4 6 8

x x x x

(%o22)/T/ 1 - -- + --- - ---- + ------ + . . .

6 120 5040 362880

170

(e) Avem deci de demonstrat inegalitatea2π

6sinx

x< 1

pentru orice x ∈(0,

π

2

]. Din (c) si (d) rezulta ca functia f1 este derivabila pe ıntregul ei domeniu de definitie. Restrictia ei

la intervalul[0, π

2

]este continua si derivabila ın interiorul acestui interval (adica dupa ce omitem capetele intervalului), deci

este strict crescatoare pe ıntregul interval. Rezulta din

0 < x 6 π/2 atunci imediat1 = f1(0) > x > f1(π/2) = 2/π .

(f) Am observat deja ca sin(x)/x < 1 pentru x > 0. Din pacate, exista o anumita finete legata de continuitatea functiei f1

pentru a vedea ca ın inegalitatea dedusa la (e) avem ın∫ π/2

0

2π

dx︸︷︷︸=1

!6∫ π/2

0

f1(x) dx 6∫ π/2

0

1 dx︸︷︷︸=π/2

pe pozitia!6 de fapt inegalitatea stricta < . Aceasta rezulta de exemplu din faptul ca pe intervalul [0, π/6] avem f1(x) >

f1(π/6) = sin(π/6) / (π/6) = 3/π > 2/π, de unde rezulta mai exact prin spargere si folosirea monotoniei lui f1∫ π/2

0

f1(x) dx =∫ π/6

0

f1(x) dx +∫ π/2

π/6

f1(x) dx

>∫ π/6

0

f1(π/6) dx +∫ π/2

π/6

f1(π/2) dx

= ( π/6− 0 ) · f1(π/6) + ( π/2− π/6 ) · f1(π/2)> ( π/6− 0 ) · f1(π/2) + ( π/2− π/6 ) · f1(π/2) = (π/2) · f1(π/2) = 1 .

Pozitia cu > ne ajunge acum pentru a deduce

∫ π/2

0

f1(x) dx > 1, ceea ce este jumatate din cele cerute. Cealalta inegalitate:

Am dedus deja ca integrala lui f1 pe [0, π/2] este majorata de π/2, din pacate ni se cere ceva mai “acurat”, deoarece calculenumerice (ce nu pot fi efectuate ın conditii de examen, lucru care poate conduce la ıncercari inutile,) arata ca avem:

(%i6) %pi/2, numer;

(%o6) 1.570796326794897

(%i7) 1+cos(1), numer;

(%o7) 1.54030230586814

Ce idei mai putem avea? O idee principala ın minorarea sau majorarea de integrale este spargerea lor si minorarea respectivmajorarea lucrurilor de integrat ın mod cat se poate mai simplu cu expresii pe care le putem calcula. In acest sens, vazand ınce trebuie sa obtinem acel cos(1) trebuie sa suspectam o spargere ın unu a integralei. Macar din motive psihologice! Solutiapentru cea de–a doua inegalitate este acum “imediata”:∫ π/2

0

f1(x) dx =∫ 1

0

sinx

x︸︷︷︸61

dx +∫ π/2

1

sinx

x︸︷︷︸6sin x

dx

= 1−[

cos x]π/2

1= 1− (cos(π/2)− cos(1)) = 1 + cos 1 .

Am demonstrat din nou doar inegalitatea cu 6 . Printr–un argument de analiza matematica (pe care cel ce a propus problemainsista sa–l includem sau macar sa–l observam,) sau prin spargerea si mai explicita a uneia din integrale, de exemplu:Din f1(x) 6 f1(0) = 1 pentru x ∈ [0, 1/2] si f1(x) 6 f1(1/2) < f1(0) = 1 pentru x ∈ [1/2, 1] rezulta∫ 1

0

sinx

xdx =

∫ 1/2

0

sinx

xdx +

∫ 1

1/2

sinx

xdx 6

∫ 1/2

0

f1(0) dx +∫ 1

1/2

f1(1/2) dx =12(f1(0) + f1(1/2))

<12(f1(0) + f1(0)) =

12(1 + 1) = 1 .

171

Scopul acestui exercitiu nu este sa ıntelegem ca inegalitatile stricte ıntre functii continue pe un interval deschis (pe careintegram) dau nastere la inegalitati stricte ıntre integralele corespunzatoare, ci este sa ıntelegem ca autorul problemei aınteles acest lucru si ca daca si–ar mai da o data bac–ul va gasi timpul sa clarifice mai ıntai acest detaliu calitativ. (De ce nuo fi pus omul asta de doua ori 6 ın loc de de doua ori < ın enunt este o tema larga despre sicane si locul lor ın ınvatamantulın masa fara prindere la masa.)

(g) Am vazut deja ca functia f1 este continua pe intervalul (0,∞). O idee posibila de demonstratie este usor de concentratıntr–o singura linie:∫ 2x

x

f1(t)t

dt =∫ 2x

x

f1(t)− 1t︸︷︷︸

functiecontinua

dt

︸︷︷︸→0 pentru x→0

+∫ 2x

x

1t

dt︸︷︷︸=[

ln t]2x

x=ln 2

cand x→0−−−−−−−→ 0 + ln 2 = ln 2 .

Trebuie doar sa mai motivam continuitatea functiei mentionate a fi continua, ca functie R → R, extinsa deci pe tot R,deoarece autorul nu ne spune ca x ar fi mai > 0, si completata ın zero cu valoarea zero. De fapt avem, aplicand succesivregula lui l’Hospital, cazul “zero pe zero”:

limt→0

sin(t)/t − 1t

= limt→0

sin t− t

t2= lim

t→0

(sin t− t)′

(t2)′= lim

t→0

cos t− 12t

= limt→0

(cos t− 1)′

(2t)′= lim

t→0

− sin t

2= 0 .

Fie atunci G primitiva functiei continue (ın zero din calculul de mai sus, ın rest din motive de cat de doua functii continue,unde numitorul nu se anuleaza ıntr–o vecinatate convenabila a punctului considerat ın rest)

g(t) =

(f1(t)− 1) / t pentru t 6= 00 pentru t = 0 .

Deci G′ = g. Atunci avem, pentru a ıncheia un ultim detaliu

limx→0

∫ 2x

x

f1(t)− 1t

dt = limx→0

∫ 2x

x

g(t) dt

= limx→0

(G(2x)−G(x)) = limx→0

G(2x)− limx→0

G(x)

= G( limx→0

2x)−G( limx→0

x) deoarece G este continua,

= G(0)−G(0) = 0 .

172

Capitolul 19

Varianta 059

19.1 Subiectul I

Exercitiul 91 In sistemul cartezian de coordonate Oxyz se considera punctele A(4, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0, 0, 4).(a) Sa se determine lungimea segmentului (AC).(b) Sa se determine distanta de la punctul B la planul (xOz).(c) Sa se calculeze i2007.(d) Sa se calculeze ecuatia tangentei ın punctul M(6,−6) la parabola de ecuatie y2 = 6x.(e) Sa se arate ca punctele A(4, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0, 0, 4) apartin planului x + y + z = 4 .(f) Sa se rezolve ın multimea C ecuatia z2 − 6z + 25 = 0.

Solutie:

(a) |AC| =√

(0− 4)2 + (0− 0)2 + (4− 0)2 =√

2 · 42 = 4√

2 .

(b) Aceasta distanta este 4 , valoarea coordonatei “y” din B. De fapt, si calea lunga de folosire a formulei, tot aici duce.Planul (xOz) are desigur ecuatia y = 0, explicit 0x + 1y + 0z + 0 = 0, deci cu formula distantei de la un punct la un plan:

| 0 · 0 + 1 · 4 + 0 · 0 + 0 |√02 + 12 + 02

=41

= 4 .

(c) Deoarece i4 = 1 avem:

i2007 = i2004 · i3 = (i4)501 · i3 = 1501 · i3 = 1 · i3 = −i .

(%i41) %i^2007;

(%o41) - %i

(d) Ecuatia parabolei se poate rescrie folosind relatia

y2 − 6x = ((y + 6)− 6)2 − 6((x− 6) + 6) = (y + 6)2 − 12(y − 6) + 62 − 6(x− 6)− 62

= (y + 6)2 − 12(y − 6)− 6(x− 6) .

Ecuatia tangentei ın M(6,−6) la parabola data este

−12(y + 6)− 6(x− 6) = 0 ,

obtinuta considerand doar partea liniara din dezvoltarea ın jurul lui (6,−6) a polinomului y2 − 6x. Putem simplifica aceasta

ecuatie, obtinand: 2(y + 6) + (x− 6) = 0 sau 2y + x + 6 = 0 .

(e) Punctele date verifica ecuatia planului, ıntr–adevar:

4 + 0 + 0 = 4 , deci A se afla ın planul de ecuatie x + y + z = 4,

0 + 4 + 0 = 4 , deci B se afla ın planul de ecuatie x + y + z = 4,

0 + 0 + 4 = 4 , deci C se afla ın planul de ecuatie x + y + z = 4.

173

(f) Ecuatia data se rescrie (z − 3)2 + 16 = 0, echivalent (z − 3)2 = −16, echivalent (z − 3) = ±4i. Solutiile ecuatiei datesunt:

3 + 4i , 3− 4i .

La acelasi solutii se ajunge aplicand “orb” formula radacinilor unei ecuatii de gradul doi. Discriminantul ecuatiei date este

∆ = 62 − 4 · 1 · 25 = 36− 100 = −64. Radacinile sunt12(6±

√−64) =

12(6± 8i) = 3± 4i .

19.2 Subiectul II

Exercitiul 92 (a) Sa se calculeze C15 + C3

5 + C55 .

(b) Sa se calculeze log2(log3 9) .(c) Sa se calculeze 1− 2 + 22 − 23 + · · ·+ 28 .(d) Se considera functia f : R → R, f(x) = 2x− 3. Sa se rezolve ecuatia

f(f(x)) = x .

(e) Sa se determine numarul functiilor surjective f : 1, 2, 3 → 4, 5.

Solutie:(a) C1

5 + C35 + C5

5 = 5 + 10 + 1 = 16 .

(%i46) binom(5,1) + binom(5,3) + binom(5,5);

(%o46) 16

(b) log2(log3 9) = log2(log3 32) = log2 2 = log2 21 = 1 .

(c) Suma data este suma primilor (noua) termeni ai progresiei geometrice cu primul termen 1 si factorul de multiplicareq = (−2). Aplicand formula

1 + q + q2 + · · ·+ qN =1− qN+1

1− q,

rezulta ın cazul nostru special:

1− 2 + 22 − 23 + · · ·+ 28 =1− (−2)9

1− (−2)=

1− (−29)1− (−2)

=1 + 29

1 + 2)=

1 + 5121 + 2

=5133

= 171 .

(%i47) sum( (-2)^k, k, 0, 8 );

(%o47) 171

(d) Calculam mai ıntaif(f(x)) = f(2x + 3) = 2(2x + 3) + 3 = 4x + 6 + 3 = 4x + 9 .

Ecuatia f(f(x)) = x, echivalent 4x + 9 = x, echivalent 3x = −9, are unica solutie x = −3 .

(%i48) f(x) := 2*x-3$

(%i49) solve( f(f(x))=x );

(%o49) [x = 3]

(e) Numarul total de functii 1, 2, 3 → 4, 5 este 23. Dintre acestea exact doua nu sunt surjective, anume functiaconstanta egala cu 4 si functia constanta egala cu 5.Numarul de functii surjective 1, 2, 3 → 4, 5 este deci 23 − 2 = 8− 2 = 6 .

Exercitiul 93 Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = x− 1− lnx .(a) Sa se calculeze f ′(x), pentru x > 0 .(b) Sa se determine punctele de extrem ale functiei f .

174

(c) Sa se determine limx→∞

f(x)x

.

(d) Sa se arate ca functia f este convexa pe (0,∞) .

(e) Sa se calculeze

∫ e

1

(x− 1− f(x)) dx .

Solutie:

(a) f ′(x) = 1− 1x

=x− 1

x, pentru orice x > 0.

(b) Semnul functiei f ′(x) = (x− 1)/x este “minus” pentru x ∈ (0, 1) si “plus” pentru x ∈ (1,∞). De aceea f este strictdescrescatoare pe (0, 1] si strict crescatoare pe [1,∞).Rezulta ca 1 este unicul punct de extrem (local sau/si global) al lui f . El este un minim (local si global).

(c)

limx→∞

f(x)x

= limx→∞

x− 1− lnx

x= lim

x→∞

(1− 1

x− lnx

x

)= 1− 0− 0 = 1 .

Am folosit existenta limitei limx→∞

lnx

x= lim

x→∞

(lnx)′

x′= lim

x→∞

1/x

1= 0, calculata prin aplicarea regulii lui l’Hospital (cazul

∞∞ ).

(d) f este convexa pe ıntreg domeniul de definitie deoarece derivata a doua a lui f este > 0 pe (0,∞),

f ′′(x) =(

1− 1x

)=

1x2

> 0 pentru orice x > 0 .

(e) Folosind regula integrarii prin parti avem:∫ e

1

(x− 1− f(x)) dx =∫ e

1

(x− 1− (x− 1− lnx)) dx =∫ e

1

lnx dx =∫ e

1

x′ · lnx dx

=[

x · lnx]e1−∫ e

1

x · (lnx)′︸︷︷︸=1/x

dx =[

x · lnx]e1−∫ e

1

dx

= (e ln e− 1 ln 1)− (e− 1) = (e− 0)− (e− 1) = 1 .

(%i50) f: x-1-log(x)$

(%i51) integrate( x-1-f, x, 1, %e );

(%o51) 1

19.3 Subiectul III

Exercitiul 94 Se considera matricile O3, I3, A ∈ M3(Z),

O3 =

0 0 00 0 00 0 0

, I3 =

1 0 00 1 00 0 1

, A =

1 2 30 0 −21 0 1

,

functia fA : R → R, fA(x) = det(A + xI3) precum si polinomul g ∈ Z[X].(a) Sa se calculeze det(A) .(b) Pentru x ∈ R, sa se calculeze fA(x) .(c) Sa se demonstreze ca (A2 − 2I3)(A− 2I3) = O3 .(d) Sa se demonstreze ca ∀k ∈ N, ∀n ∈ N∗, are loc relatia:

(k + 1)(k + 2) · · · · · (k + n) = n! · Ckk+n .

(e) Sa se demonstreze ca ∀n ∈ N∗, produsul a n numere ıntregi consecutive este divizibil cu n! .

175

(f) Daca polinomul g are o radacina ıntreaga, sa se demonstreze ca numarul

g(0) · g(1) · g(2) · · · · · g(n)

este divizibil cu (n + 1)! .(g) Sa sse demonstreze ca numarul

det(A) · det(A + I3) · det(A + 2I3) · · · · · det(A + 2006I3)

este divizibil cu 2007! .

Solutie:(a)

det A =

∣∣∣∣∣∣1 2 30 0 −21 0 1

∣∣∣∣∣∣ = −(−2)∣∣∣∣1 21 0

∣∣∣∣ = 2(1 · 0− 1 · 2) = −4 .

(%i54) A: matrix( [1,2,3], [0,0,-2], [1,0,1] )$

(%i55) determinant(A);

(%o55) - 4

(b) Fie x ∈ R. Atunci:

fA(x) = det(A + xI3) =

∣∣∣∣∣∣1 + x 2 3

0 x −21 0 1 + x

∣∣∣∣∣∣ = (1 + x) ·∣∣∣∣x −20 1 + x

∣∣∣∣+ 0 + 1 ·∣∣∣∣2 3x −2

∣∣∣∣= (1 + x)(x2 + x) + (−4− 3x) = (x3 + x2) + (x2 + x)− (3x + 4)

= x3 + 2x2 − 2x− 4 .

(%i56) fA: matrix( [1+x,2,3], [0,0+x,-2], [1,0,1+x] )$

(%i57) determinant(fA);

2

(%o57) x (x + 1) - 3 x - 4

(%i58) expand(%);

3 2

(%o58) x + 2 x - 2 x - 4

(%i59) factor(%);

2

(%o59) (x + 2) (x - 2)

(c) Aceasta relatie rezulta din teorema cayley–Hamilton, care se va face la facultate. Ea afirma ca ınlocuind pe x cu Aın fA(−x) (ın notatiile acestei probleme) se obtine matricea nula O3.Sa demonstram cele cerute:

A2 =

1 2 30 0 −21 0 1

1 2 30 0 −21 0 1

=

4 2 2−2 0 −22 2 4

,

A2 − 2I3 =

2 2 2−2 −2 −22 2 2

,

A− 2I3 =

−1 2 30 −2 −21 0 −1

si se verifica ca (A2 − 2I3)(A− 2I3) = O3 . (Suma elementelor de pe fiecare coloana a lui A− 2I3 este nula.)

(%i82) A: matrix( [1,2,3], [0,0,-2], [1,0,1] )$

(%i83) I: matrix( [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] )$

(%i84) (A.A-2*I).(A-2*I);

[ 0 0 0 ]

176

[ ]

(%o84) [ 0 0 0 ]

[ ]

[ 0 0 0 ]

(d)

n! · Ckk+n = n! · (k + n)!

k!n!=

(k + n)!k!

= (k + 1)(k + 2) · · · · · (k + n)

dupa simplificare cu k!.

(e) Produsul a n numere naturale consecutive este de forma (k + 1)(k + 2) · · · · · (k + n) cu k ∈ N, iar potrivit lui (d) acestnumar este divizibil cu n!. (Avem chiar informatii despre cat, care este Ck

k+n.)Consideram acum n numere ıntregi consecutive. Daca 0 se afla printre ele, produsul lor este 0, un numar divizibil prin n!.Daca 0 nu se afla printre ele si apar si numere negative ıntre factori, atunci toti factorii sunt negativi. Inmultind cu (−1)fiecare din factori, deci ınmultind produsul cu (−1)n, (ceea ce nu schimba proprietatea de a fi divizibil cu n!,) obtinem unprodus de n numere naturale, care, cum am vazut deja, se divide cu n!. Afirmatia din enunt este deci ıntotdeauna adevarata.

(f) Fie g un polinom ın Z[X] cu radacina ıntreaga a. Atunci g se divide prin (X − a) ın inelul Z[X], adica

g(X) = (X − a)h(X) ,

unde h ∈ Z[X] este un polinom convenabil. (Ela are coeficientii ıntregi.) Atunci

g(0) · g(1) · g(2) · · · · · g(n)= (0− a)(1− a)(2− a) · · · · · (n− a)︸︷︷︸

produs de (n + 1) numere ıntregi consecutive

·h(0) · h(1) · h(2) · · · · · h(n)︸︷︷︸∈Z

,

este un numar ıntreg divizibil prin (n + 1)! din (e).

(g) Deoarece

det(A) · det(A + I3) · det(A + 2I3) · · · · · det(A + 2006I3) = = fA(0) · fA(1) · fA(2) · · · · · fA(2006)

si deoarece fA(x) = x3 + 2x2 − 2x− 4 = (x− 2)(x2 − 2) are radacina ıntreaga −2 rezulta din (f) ca det(A) · det(A + I3) ·det(A + 2I3) · · · · · det(A + 2006I3) se divide cu (2006 + 1)!, ceea ce trebuia demonstrat.

19.4 Subiectul IV

Exercitiul 95 Se considera functiile f, g : R → R,

f(x) =cos x

1 + sin2 x, g(x) =

∫ x

0

f(t) dt , pentru x ∈ R .

(a) Sa se demonstreze ca ∀x ∈ R, f(−x) = f(x) si f(x + 2π) = f(x) .(b) Sa se calculeze g(x) si g′(x), pentru x ∈ R .(c) Sa se demonstreze ca functia g este periodica.(d) Sa se demonstreze ca ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R, g(2nπ − x) = −g(x)) .

(e) Sa se calculeze

∫ 2π

0

t · f(t) dt .

(f) Pentru n ∈ N∗ sa se calculeze

∫ 2nπ

0

t · f(t) dt .

(g) Sa se demonstreze ca nu exista limx→∞

∫ x

0

t · f(t) dt .

Solutie:(a) Deoarece functiile cos x si 1 + sin2 x sunt pare ca functii de variabila x, rezulta ca si catul lor este o functie para.Deoarece functiile cos x si 1 + sin2 x sunt periodice ca functii de variabila x, avand perioada 2π, rezulta ca si catul lor esteo functie periodica de perioada 2π.

177

(b)

g(x) =∫ x

0

cos t

1 + sin2 tdt =

∫ x

0

(sin t)′

1 + sin2 tdt =

[arctg(sin t)

]x0

= arctg(sinx) .

(%i91) integrate( cos(t)/(1+sin(t)^2), t, 0, x );

(%o91) atan(sin(x))

Desigur, g este o primitiva a lui f , din teorema fundamentala a calcului diferentia si integral, deci g′ = f , g′(x) = f(x) =cos x/(1 + sin2 x).

(c) Functia g este periodica de perioada 2π, deoarece pentru orice x ∈ R avem

g(x + 2π) = arctg(sin(x + 2π)) = arctg(sinx) = g(x) .

(d) Fie n ∈ N si fie x ∈ R arbitrari. Atunci:

g(2nπ − x) = g(−x) deoarece g are perioada 2π,

= arctg(sin(−x)) din (b),

= arctg(− sin(x)) deoarece sin este o functie impara,

= − arctg(sin(x)) deoarece arctg este o functie impara,

= −g(x) .

(e) si (f) Folosim integrarea prin parti:∫ 2nπ

0

t · f(t) dt =∫ 2nπ

0

t · g′(t) dt

=[

t · g(t)]2nπ

0−∫ 2nπ

0

g(t) dt

= (2nπ arctg(sin(2nπ))− 0)︸︷︷︸=0

−∫ nπ

−nπ

g(t) dt

= 0 .

Am folosit:• arctg(sin(2nπ)) = arctg(sin(0)) = arctg(0) = 0,• faptul ca g este periodica de perioada 2π, deci si de perioada 2nπ, deci integrala lui g pe intervalul [0, 2nπ] este egala cuintegrala lui g pe intervalul [−nπ, nπ], ambele intervale avand lungimea 2nπ,• si faptul ca integrala unei functii impare, la noi g, pe un interval simetric, la noi [−nπ, nπ] se anuleaza.

(f) Solutie alternativa, plecand de la (e) Folosind schimbari de variabila si periodicitatea lui f , avem:∫ 2nπ

0

t · f(t) dt =∫ 2π

0

t · f(t) dt +∫ 4π

2π

t · f(t) dt + · · ·+∫ 2nπ

2(n−1)π

t · f(t) dt

=∑

06k<n

∫ 2(k+1)π

2kπ

t · f(t) dt Substitutie: t = 2kπ + s,

=∑

06k<n

∫ 2π

0

(2kπ + s) · f(2kπ + s)︸︷︷︸=f(s)

ds

=∑

06k<n

(2kπ

∫ 2π

0

f(s) ds︸︷︷︸=(g(2π)−g(0))=0

+∫ 2π

0

s f(s) ds︸︷︷︸= 0 din (e)

)

= 0 .

178

(g) Consideram un punct x ∈ R, x > 0, de forma x =(2n + 1

2

)π, n ∈ N. Atunci, printr–un calcul paralel cu cel din (e)

avem: ∫ 2nπ+π/2

0

t · f(t) dt =∫ 2nπ+π/2

0

t · g′(t) dt

=[

t · g(t)]2nπ+π/2

0−∫ 2nπ+π/2

0

g(t) dt

=(

2n +12

)π · arctg

(sin(2nπ +

π

2

)−∫ 2nπ

0

g(t) dt −∫ 2nπ+π/2

2nπ

g(t) dt

=(

2n +12

)π · arctg 1 − 0 −

∫ π/2

0

g(t) dt︸︷︷︸Constanta

=(

2n +12

)π · π

4− Constanta

iar ultima expresie converge la +∞ pentru n →∞.Considerand x ca parcurgand sirurile (2nπ)n∈N si respectiv (2nπ + π/2)n∈N, obtinem pentru expresia

∫ x

0t · f(t) dt limitele

0 si respectiv +∞.Deci limita din enunt nu exista.

179

Capitolul 20

Varianta 060

20.1 Subiectul I

Exercitiul 96 (a) Sa se calculeze modulul numarului complex4 + 5i

6 + 7i.

(b) Sa se calculeze distanta de la punctul D(4, 5, 6) la planul x + y + z − 4 = 0(c) Sa se gaseasca un punct cu coordonatele ıntregi situat pe cercul x2 + y2 = 13.(d) Sa se arate ca punctele L(0, 1, 2), M(0, 2, 3) si N(0, 3, 4) sunt coliniare.(e) Sa se calculeze volumul tetraedrului cu varfurile ın punctele A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) si D(4, 5, 6).

Sa se calculeze apoi volumul tetraedrului cu varfurile ın punctele C(0, 0, 1), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) si D(4, 5, 6).

(f) Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat sa avem egalitatea de numere complexe3 + 4i

5 + 6i= a + bi .

Solutie:(a) Deoarece rezultatul este facut “sa fie urat”, trebuie sa avem grija cum ajungem mai repede la rezultat. Folosimmultiplicativitatea modulului (deci si compatibilitatea lui cu catul):∣∣∣∣ 4 + 5i

6 + 7i

∣∣∣∣ = |4 + 5i||6 + 7i|

=√

42 + 52

√62 + 72

=16 + 2536 + 49

=4185

.

Cateva verifcari pentru alte idei de calcul:

(%i8) abs( (4+5*%i) / (6+7*%i) );

sqrt(41)

(%o8) --------

sqrt(85)

(%i9) realpart( (4+5*%i) / (6+7*%i) );

59

(%o9) --

85

(%i10) imagpart( (4+5*%i) / (6+7*%i) );

2

(%o10) --

85

(%i11) expand( (4+5*%i) * (6-7*%i) );

(%o11) 2 %i + 59

(Toate drumurile duc la aceeasi solutie.)

(b) Distanta ceruta este, folosind formula adecvata:

| 4 + 5 + 6− 4 |√12 + 12 + 12

=11√

3=

11√

33

.

(c) Iata patru puncte cu coordonatele ıntregi pe cerc: ( ±2, ±3 ) , unde semnele se pot alege independent unul de altul.

180

Uneori trebuie sa–i explicam corectorului ca noi stim diferenta ıntre unu si patru (am trecut de clasa Ia), deci trebuie sa–idam un punct si sa argumentam de ce este pe cercul dat. Linia

22 + 32 = 4 + 9 = 13

aduce toate punctele. (Baremul prevede uneori, deseori ca cele afirmate sa fie si motivate, verificate, demonstrate. Asa canoi trebuie sa avem grija sa oferim “tot tacamul” ın masura timpului liber.

(d) Prima solutie: Vectorii−−→LM si

−−→LN satisfac

2−−→LM =

−−→LN =

−→j +

−→k ,

deci vectorul−−→LM are aceeasi directie si acelasi punct de plecare cu vectorul

−−→LN , deci L,M,N se afla pe aceeasi dreapta.

A doua solutie: Cele trei puncte date se afla evident atat ın planul x = 0 cat si ın planul z− y = 0. (Intr–adevar, 2− 1 = 1,3− 2 = 1, 4− 3 = 1.) Cele doua plane nu coincid, deci cele trei puncte sunt coliniare, aflandu–se pe intersectia celor douaplane, care este o dreapta. (Desigur ca planele nu sunt paralele, avem deja trei puncte de intersectie!)

(e) Calculam mai ıntai determinantul urmator:∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 0 01 0 1 01 0 0 11 4 5 6

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·

∣∣∣∣∣∣0 1 00 0 14 5 6

∣∣∣∣∣∣− 1 ·

∣∣∣∣∣∣1 1 01 0 11 5 6

∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 1 · (0 + 0 + 1− 0− 6− 5) = 14 .

(%i12) determinant( matrix( [1,1,0,0], [1,0,1,0], [1,0,0,1], [1,4,5,6] ) );

(%o12) 14

Volumul tetraedrului ABCD este deci 13!14 = 14

6 =73

.

Volumul tetraedrului CBCD este desigur zero.

(f) Calculam mai ıntai explicit:

3 + 4i

5 + 6i=

(3 + 4i)(5− 6i)(5 + 6i)(5− 6i)

=15− 18i + 20i− 24i2

52 + 62=

(15 + 24) + (20− 18)i25 + 36

=39 + 2i

61=

3961

+ i261

Identificand partile reala si respectiv imaginara din egalitatea data3 + 4i

5 + 6i= a + bi, a, b ∈ R, rezulta:

a =3961

, b =261

.

(%i18) z: (3+4*%i)/(5+6*%i); a: realpart(z); b: imagpart(z);

4 %i + 3

(%o18) --------

6 %i + 5

39

(%o19) --

61

2

(%o20) --

61

20.2 Subiectul II

Exercitiul 97 (a) Sa se calculeze 22007 ın Z7.(b) Sa se calculeze probabilitatea ca un element x ∈ Z12 sa verifice relatia x2 = 1.(c) Daca functia f : R → R, f(x) = x5 + x + 1 are inversa g : R → R, sa se calculeze g(3).(d) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia x3 − x = 6.(e) Sa se calculeze produsul tuturor radacinilor polinomului f = X4 + X3 + X + 1 .

181

Solutie:(a) Deoarece 23 = 8 = 7 + 1 = 0 + 1 = 1 ın Z7, rezulta ca avem:

22007 = 23·669 =(23)669

= 1669 = 1 .

(b) Exista doua moduri de a documenta solutia completa: facem tabel de valori ale functiei x → x2 ca functie Z12 → Z12,si trebuie sa calculam uneori si chestii care nu dau ceva impar (deci nu au nici o sansa din start), sau formulam propozitii,si atunci nu e voie sa ramana nici un dubiu sau valoare eventual neacoperita de aceste propozitii. Deoarece ın examen sepastreaza “viziunea de ansamblu” mai usor la lucruri succinte, mai greu la propozitii ımbarligate, solutia cu tabelul estepsihologic ın examen mai buna, iar solutia cu ıntelegerea faptului ca 0, 2, 4, 6, . . . si respectiv 0, 3, 6, 9 (cu caciuli pe ele) nuau nici o sansa la patrat sa ne dea 1 este buna pentru viata. Deci:

Prima solutie (ınceputul): Tabelul de valori ale functiei Z12 → Z12, x → x2 este:

x 0 ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 6

x2 0 1 4 9 16 = 4 25 = 1 0

Exista exact patru valori “favorabile”, anume ±1 si ±5. Dam acum o alta metoda de a ajunge la acest rezultat:

A doua solutie (ınceputul): Elementele 0, 2, 4, 6, 8, 10 din Z12 au reprezentanti pari 0, 2, 4, 6, 8, 10 ın Z, deci patrateleelementelor 0, 2, 4, 6, 8, 10 din Z12 au reprezentanti pari ın Z, deci nu dau restul 1 la ımpartirea cu 12, deci aceste “numere”nu pot fi solutii ale ecuatiei date.Elementele 0, 3, 6, 9 din Z12 au reprezentanti pari 0, 3, 6, 9 ın Z, deci patratele elementelor 0, 3, 6, 9 din Z12 au reprezentantidivizibili cu 3 ın Z, deci nu dau restul 1 la ımpartirea cu 12, deci aceste “numere” nu pot fi solutii ale ecuatiei date.Mai raman de studiat numerele 1, 5, 7, 11 si se vede usor ca ele satisfac ecuatia data, explicit:12 = 1,52 = 25 = 24 + 1 = 0 + 1 = 1,72 = 49 = 48 + 1 = 0 + 1 = 1,

112

= 121 = 120 + 1 = 0 + 1 = 1.

De acum solutiile se continua ın acelasi mod: Probabilitatea P cautata este:



412

=13

.

(c) Presupunem ca f este inversabila cu inversa g. Din f(1) = 15 + 11 + 1 = 3 rezulta

g(3) = g(f(1)) = (g f)︸︷︷︸identitatea

(1) .

(d) Ecuatia data este echivalenta cux3 − x− 6 = 0 .

Aceasta este o ecuatie polinomiala. Cautam mai ıntai macar o solutie rationala. Solutiile rationale se afla printre numerele±1, ±2, ±3, ±6.Le ıncercam pe rand. Cel mai bine ın cadrul schemei lui Horner. Destul de repede descoperim ca 2 este o radacina:

1 0 −1 −6

2 1 2 · 1 + 0 = 2 2 · 2− 1 = 3 2 · 3− 6 = 0

De fapt, aceasta schema arata ca avem (x3 − x − 6) = (x − 2)(x2 + 2x + 3). (Numerele 1, 2, 3 din a doua linie sunt dejapregatite pentru o noua ıncercare de a descoperi radacini.)Desigur, x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 > 2 > 0 ppentru x ∈ R, nu mai are radacini reale. Singura solutie ın R a ecuatiei date

este deci x = 2 .Cu masina de calculat avem viata usoara:

(%i23) solve( x^3-x = 6 );

(%o23) [x = - sqrt(2) %i - 1, x = sqrt(2) %i - 1, x = 2]

(%i24) f: x^3-x-6$

(%i25) factor(f);

2

(%o25) (x - 2) (x + 2 x + 3)

182

(e) Din relatiile lui Viaeta stim ca produsul radacinilor este

(−1)4 · 11

= 1 .

De fapt, ın cazul de fata se pot calcula explicit radacinile. . .

(%i27) factor( x^4+x^3+x+1= 0 );

2 2

(%o27) (x + 1) (x - x + 1) = 0

(%i28) allroots( x^4+x^3+x+1 );

(%o28) [x = 0.86602540378444 %i + 0.5, x = 0.5 - 0.86602540378444 %i,

x = - 0.99999996349976, x = - 1.000000036500241]

. . . deoarece putem factoriza f = (x+1)2(x2−x+1), cu radacinile −1, −1, cos(π/3)+i sin(π/3), cos(−π/3)+i sin(−π/3)care au produsul 1.

Exercitiul 98 Se considera functia f : R → R, f(x) = 3x + x.(a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ R.

(b) Sa se calculeze

∫ 1

0

f(x) dx .



f(x)− f(1)x− 1

.

(e) Sa se calculeze

∫ 1

0

x3

x4 + 10dx .

Solutie:(a) f ′(x) = 3x ln 3 + x, pentru orice x ∈ R.

(%i33) diff( 3^x+x , x );

x

(%o33) log(3) 3 + 1

(b) ∫ 1

0

f(x) dx =∫ 1

0

(3x + x) dx =[

3x

ln 3+

12x2

]10

=1

ln 3(31 − 30) +

12(12 − 02) =

8ln 3

+12

.

(%i34) integrate( 3^x+x , x );

x 2

3 x

(%o34) ------ + --

log(3) 2

(%i35) integrate( 3^x+x , x, 0, 1 );

log(3) + 4

(%o35) ----------

2 log(3)

(c) f este de doua ori derivabila cu

f ′′(x) =(

3x ln 3 + 1)′

= 3x(ln 3)2 > 0

pentru orice x ∈ R, deci f este o functie convexa pe R.

(d) Din definitia lui f ′(1) avem (fara a mai aplica regula lui l’Hospital, care generalizeaza de fapt acest fenomen,)

limx→1

f(x)− f(1)x− 1

= f ′(1) = 31 ln 3 + 1 = 3 ln 3 + 1 .

183

(%i36) f(x) := 3^x+x$

(%i37) limit( (f(x)-f(1))/(x-1), x, 1 );

(%o37) 3 log(3) + 1

(e) ∫ 1

0

x3

x4 + 10dx =

14

∫ 1

0

(x4 + 10)′

x4 + 10dx =

14

[ln(x4 + 10)

]10

=14( ln 11− ln 10 ) =

14

ln1110

.

De fapt, putem cere programului maxima sa “faca pentru noi substitutia” (pe care eu am comprimat–o si suprimat–o)y = x4 + 10.Pentru a preveni o calculare a integralei, se foloseste ın maxima ’integrate ın loc de integrate. Apoi changevar faceschimbare de variabile corespunzatoare ecuatiei y-(x^4+10)=0. Cei ce nu au mai vazut asa ceva sunt rugati sa–si redefineascaparerea despre matematica si despre informatica.

(%i1) I: ’integrate( x^3/(x^4+10), x, 0, 1 );

1

/ 3

[ x

(%o1) I ------- dx

] 4

/ x + 10

0

(%i2) changevar( I, y-(x^4+10), y, x );

11

/

[ 1

I - dy

] y

/

10

(%o2) --------

4

(S–a notat cu I integrala de mai sus “neevaluata”.)

20.3 Subiectul III

Exercitiul 99 Se considera multimea M formata din toate matricile cu 3 linii si 3 coloane si care au toate elementele dinmultimea 1, 3, 5 .

(a) Sa se arate ca matricea

5 5 55 1 55 5 3

este din multimea M .

(b) Sa se calculeze determinantul matricii

5 5 55 1 55 5 3

.

(c) Sa se gaseasca doua matrici P,Q ∈ M , astfel ıncat rang(P ) = 1 si rang(Q) = 2 .(d) Sa se arate ca, daca A ∈ M , atunci determinantul matricei A se divide cu 4.(e) Sa se arate ca, daca B ∈ M este o matrice inversabila, atunci B−1 6∈ M .(f) Sa se arate ca, daca A ∈ M , atunci matricea A2007 are toate elementele nenule.(g) Sa se determine numarul de elemente al multimii M .

Solutie:(a) Matricea data are 3 linii, 3 coloane si toate intrarile ei sunt din multimea 1, 3, 5, deci aceasta matrice este ın M (maifrumos, apartine lui M , pentru prozatori,) din definitia lui M .

(b) ∣∣∣∣∣∣5 5 55 1 55 5 3

∣∣∣∣∣∣ = 5

∣∣∣∣∣∣1 5 51 1 51 5 3

∣∣∣∣∣∣ = 5

∣∣∣∣∣∣0 4 01 1 50 4 −2

∣∣∣∣∣∣ = −5∣∣∣∣4 04 −2

∣∣∣∣ = (−5) · 4 · (−2) = 40 .

184

(%i4) determinant( matrix( [5,5,5], [5,1,5], [5,5,3] ) );

(%o4) 40

(c) Consideram matricile

P =

1 1 11 1 11 1 1

si Q =

1 1 11 1 11 3 3

.

Atunci rangul lui P este > 1, deoarece minorul [1] este nenul. Rangul lui P este < 2, deoarece orice minor 2 × 2 este de

forma

[1 11 1

], deci are determinantul nul.

Rangul lui Q este < 3, deoarece determinantul lui Q este zero, deoarece Q are doua linii (si/sau coloane) ce coincid. Rangul

lui Q este > 2, deoarece minorul 2× 2[1 11 3

]are determinantul 3− 1 = 2 nenul.

P,Q ca mai sus satisfac deci cerintele din enunt.

(d) Fie A ∈ M . Determinantul lui M se poate calcula de exemplu “pur algebric” prin regula lui Sarrus, explicit

det A = det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= +a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a33a22a11 − a23a12a31 − a13a32a21 .

Ne intereseaza doar restul lui det A la ımpartirea cu 4. De aceea putem sa ınlocuim valorile 1, 3, 5 respectiv cu valorile1,−1, 1, obtinand acelasi rezultat “modulo 4”.Ne intereseaza sa vedem daca acest determinant este zero sau nu (modulo partu). De aceea, putem ınmulti fiecare linie cu±1 pentru ca sa vedem ca

det A = det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= ±det

1 ? ?1 ? ?1 ? ?

∈ Z4 .

(Semnul ± este exact a11a11a11 ∈ 1,−1 ⊂ Z4.) Inmultind pe coloane(le a doua si a treia) cu ±1, ne putem reduce lastudiul anularii sau neanularii pentru mai putine cazuri (anume 24), deoarece

det A == ±det

1 1 11 ? ?1 ? ?

= ±

∣∣∣∣∣∣1 1 11 b c

1 d e

∣∣∣∣∣∣ ∈ Z4 .

Aici am notat cu b, c, d, e ∈ Z4 intrarile care stau pe cele patru locuri ?, ?, ?, ?, ele putand fi fie +1 fie −1. Prin abuz mic,le ridicam la a, b, c, d ∈ −1,+1 ⊂ Z . Rezulta

±det A ≡

∣∣∣∣∣∣1 1 11 b c1 d e

∣∣∣∣∣∣ ≡∣∣∣∣∣∣1 1 10 b− 1 c− 10 d− 1 e− 1

∣∣∣∣∣∣ ≡ (b− 1)(e− 1)− (c− 1)(d− 1) modulo 4 .

Consideram primul produs, (b− 1)(e− 1) ∈ Z4. Daca unul dintre factori este 0, atunci si produsul este zero modulo patru.Altfel, cei doi factori sunt fiecare 2, deci produsul este de asemenea 0 ∈ Z4. La fel se demonstreaza ca si cel de–al doileaprodus este zero modulo patru. Rezulta ±det A = 0 ın Z4, de unde rezulta cele afirmate ın enunt.

(e) Fie B ∈ M o matrice, care este inversabila ca matrice din M2(Q) (sau M2(R), dar este de vazut deja ca intrarile dinB−1, ın cazul existentei, sunt toate rationale. De fapt, numitorii intrarilor din B−1 divid det A ın Z).Nu facem nici un pas ın rezolvarea acestei probleme fara sa facem rost de cateva exemple. (Din moment ce nu rezolvamproblema aceasta ın conditii de examen, ci cu scopuri didactice pe termen lung, dau rezolvarea cu suportul pe care ıl areomul de rand ın viata de zi cu zi. ın definitiv, vom lucra si vom avea ıntotdeauna pe cineva sa ıntrebam langa noi si uncomputer cu toate formulele si programele auxiliare pe el. De ce sa rezolvam “ca orbii”?)

Incercati sa va formati o parere (grosiera) despre modul cum s–ar putea rezolva aceasta problema. Curand ne vom verificacu cateva date “statistice” despre multimea M .

Solutia este simpla, se bazeaza pe “pozitivitatea” din coeficientii posibili”:

185

Presupunem prin absurd ca exista B ∈ M astfel ıncat inversa ei, notata cu C, sa se afle de asemenea ın M . Atunci BC = I3

pe de o parte, dar calculand intrarea (1, 2) a acestei matrici (care trebuie sa fie 0 ca si intrarea corespunzatoare a lui I3)obtinem

b11c12 + b12c22 + b13c32 > 1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 = 3 > 0 .

Contradictie! Rezulta cele afirmate ın enunt. GATA!

Pentru cei ce vor sa experimenteze mai mult cu multimea M , computerul ofera cateva sanse de joc cu mingea la perete. Maiıntai o ıntrebare: Cate matrici sunt ın multimea M ? Cate sunt inversabile ? Cam ce numitori apar ın inversele matricilordin M ? Scriu un mic programel ın PARI, nu este aici locul ın care sa explic exact ce face, dar rezultatele ne intereseaza:

M = vector( 3^9, iM, matrix(3,3) );

iM=0; \\ iM este indexul care parcurge, care indexeaza multimea M

forvec( index=[ [1,3],[1,3],[1,3],[1,3],[1,3],[1,3],[1,3],[1,3],[1,3] ],

iM=iM+1;

for( i=1, 3,

for( j=1, 3,

k=3*(i-1)+j;

M[iM][i,j] = 2*index[k]-1; \\

);

);

);

\\ Multimea M a fost generata, un element aleator este:

print( M[random(3^9+1)-1] );

\\ Cate matrici nu au determinantul zero? <contor> num\u ar\u a c\âte.

\\ Ce determinanti apar in acest cadru?

contor=0;

ListaDeterminanti = [];

for( iM=1,3^9, if( matdet(M[iM]) != 0,

contor=contor+1;

ListaDeterminanti = concat( ListaDeterminanti, [matdet(M[iM])] );

);

);

print( "Exista ", contor, " elemente inversabile in M." );

MultimeDeterminanti = vecsort( Set( ListaDeterminanti ) );

nDet = length( MultimeDeterminanti );

countDet = vector(nDet);

for(iM=1,3^9,

for(i=1, nDet,

if( Str(matdet(M[iM])) == MultimeDeterminanti[i], countDet[i]=countDet[i]+1 );

);

);

print( "Urmatorii determinanti apar pentru matrici din M:");

for(i=1,nDet, print( MultimeDeterminanti[i], " apare de ", countDet[i], " ori." ););

Exista 15744 elemente inversabile in M.

Urmatorii determinanti apar pentru matrici din M:

-100 apare de 18 ori.





















186












100 apare de 18 ori.



112 apare de 3 ori.



128 apare de 9 ori.



176 apare de 3 ori.






4 apare de 792 ori.






60 apare de 81 ori.



72 apare de 72 ori.

76 apare de 36 ori.

8 apare de 864 ori.


84 apare de 27 ori.


92 apare de 27 ori.


Inchei aici digresiunea.

(f) Se poate usor demonstra prin inductie matematica, faptul ca pentru orice n ∈ N∗ si orice matrice A ∈ M , fiecare dinintrarile lui An este un ıntreg > 3n−1 > 1.Acest lucru este evident adevarat pentru n = 1, deoarece intrarile unei matrici A ∈ M sunt printre 1, 3, 5, deci > 1 = 30 =31−1.Presupunem prin inductie, ca pentru un n ∈ N∗ intrarile matricii An sunt ıntregi > 3n−1, notam explicit aceste intrari pentrua ne fixa ideile, astfel ıncat

An =

R11 R12 R13

R21 R22 R23

R31 R32 R33

.

Atunci

An+1 = AAn =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

R11 R12 R13

R21 R22 R23

R31 R32 R33

are intrarile pe fiecare dintre pozitiile (i, j), 1 6 i, j 6 3, ıntregi de forma

ai1︸︷︷︸>1

· R1j︸︷︷︸>3n−1

+ ai2︸︷︷︸>1

· R2j︸︷︷︸>3n−1

+ ai3︸︷︷︸>1

· R3j︸︷︷︸>3n−1

> 1 · 3n−1 + 1 · 3n−1 + 1 · 3n−1 = 3n = 3(n+1)−1 .

De aici rezulta prin principiul inductiei matematice faptul ca cele afirmate au loc, deci intrarile lui A2007, unde A ∈ M , sunt> 32006 > 1, deci nenule.

(g) Numarul de elemente ale multimii M este 39 ,

187

(%i1) 3^9;

(%o1) 19683

deoarece pentru fiecare din cele noua intrari ale unei matrici “generice” din M exista exact trei posibilitati de completare aleacestei intrari. (Aceste posibilitati de completare sunt independente ıntre ele.)

(h)

20.4 Subiectul IV

Exercitiul 100 Se considera functia f : (0,∞) → R, f(x) = xa, unde a ∈ R.(a) Sa se calculeze f ′(x), x ∈ (0,∞).(b) Sa se arate ca, daca a > 1, atunci functia f este convexa pe (0,∞).(c) Utilizand teorema lui Lagrange, sa se arate ca exista c(a) (care depinde de a) cu c(a) ∈ (3, 4) si d(a) (care depinde

de a) cu d(a) ∈ (5, 6), astfel ıncat

4a − 3a = a · c(a)a−1 si 6a − 5a = a · d(a)a−1 .

(d) Sa se arate ca pentru orice functii g : R → (3, 4) si h : R → (5, 6), ecuatia

x · g(x)x−1 = x · h(x)x−1 , x ∈ R ,

are numai solutiile x = 0 si x = 1.(e) Sa se rezolve ın multimea numerelor reale ecuatia 3x + 6x = 4x + 5x .(f) Sa se arate ca √

4 +√

5 >√

3 +√

6 si

42 + 52 < 32 + 62 .

(g) Sa se arate ca3 · 4ln 4

+4 · 5ln 5

<2 · 3ln 3

+5 · 6ln 6

.

Solutie:(a) f ′(x) = axa−1 pentru orice x > 0.

(b) Presupunem ca a > 1. Atunci derivata a doua a lui f dupa x este

f ′′(x) = a(a− 1)︸︷︷︸>0

xa−2︸︷︷︸>0

> 0 ,

pentru orice x > 0, deci f este o functie (strict) convexa pe (0,∞).

(c) Din teorema lui Lagrange aplicata functiei f pe intervalele [3, 4] si respectiv [5, 6] rezulta ca exista c(c) ∈ (3, 4) sid(a) ∈ (5, 6) puncte intermediare cu

4a − 3a =4a − 3a

4− 3=

f(4)− f(3)4− 3

= f ′(c(a)) = a c(a)a−1 ,

6a − 5a =6a − 5a

6− 5=

f(6)− f(5)6− 5

= f ′(d(a)) = a d(a)a−1 .

(d) Valorile x = 0 si x = 1 sunt evident solutii ale ecuatiei date. Cautam acum toate solutiile nenule (si diferite de unu).Din x 6= 0, ecuatia data este succesiv echivalenta cu

x · g(x)x−1 = x · h(x)x−1 ,

g(x)x−1 = h(x)x−1 ,

1 =h(x)x−1

g(x)x−1,

1 =(

h(x)g(x)

)x−1

.

188

Deoarece baza h(x)/g(x) este un numar din intervalul

[ 5/4 , 6/3 ] ,

rezulta din ultima ecuatie (5/4)x−1 6 1 6 (6/3)x−1, ceea ce este posibil doar daca x − 1 6 0, pentru ca prima ecuatie safie satisfacuta si ın acelasi timp daca x− 1 > 0, pentru ca a doua ecuatie sa fie satisfacuta. Rezulta x = 1.Deci cele afirmate ın enunt sunt adevarate.

(e) Este util sa reformulam ecuatia din enunt sun forma:

4x − 3x = 6x − 5x .

Fie x o solutie a ecuatiei date. (De fapt, 0, 1 sunt doua soultii vizibile cu ochiul liber. Mentionarea lor ın examen aducedeja puncte. Aratam ca acestea sunt toate. Mentionarea acestui lucru “cu nerusinare” ın examen, fara nici o demonstratie,aduce uneori puncte.)

Din (c) exista doua numere C,D ın intervalele (3, 4) si respectiv (5, 6) cu proprietatea

x Cx−1 = 4x − 3x = 6x − 5x = x Dx−1 .

Cu argumentul din (d), sau luand explicit ın (d) pe post de g, h functiile c, d ce apar ın (c) rezulta ca x = 0 sau x = 1. Severifica ıntr–adevar ca 0, 1 sunt solutii ale ecuatiei date.

(f) Relatia 42 + 52 < 32 + 62 trebuie sa o vedeti chiar daca nu ati ajuns pana la acest punct din problema (rezolvand ınordine toate subpunctele), ea este desigur o prada usoara, din

42 + 52 = 16 + 25 = 41 < 45 = 9 + 36 = 32 + 62 .

(Nu vad de ce trebuie sa aplicam teorema lui Lagrange, cum poate ca vrea autorul, pentru a “demonstra” acest lucru. Il“calculam”, frate–soro!)

Si pentru a doua relatie mi–ar fi jena sa nu dau solutia de clasa a VI-a:Deoarece numerele ce apar ın inegalitatea cealalta din enunt sunt > 0, ridicarea la patrat transforma o inegalitate (ce poatefi adevarata sau falsa) ın alta inegalitate, care este adevarata sau falsa simultan.Avem deci: √

4 +√

5 >√

3 +√

6 este echivalent cu:

(√

4 +√

5)2 > (√

3 +√

6)2 ceea ce este echivalent cu:

4 + 5 + 2 ·√

4 ·√

5 > 3 + 6 + 2 ·√

3 ·√

6 ceea ce este echivalent cu:

2 ·√

4 ·√

5 > 2 ·√

3 ·√

6 ceea ce este echivalent cu:√

4 ·√

5 >√

3 ·√

6 ceea ce este echivalent cu:√

20 >√

18 ceea ce este echivalent cu:

20 > 18 .

Deoarece ultima inegalitate este adevarata, si prima inegalitate din lantul de mai sus este adevarata.

(g) Consideram functia auxiliara

g : (1,∞) → (0,∞) , g(x) =x(x− 1)

lnx=

x2 − x

lnx.

Atunci g este derivabila pe domeniul de definitie si aratam ca g′(x) este > 0 pentru orice x > 1. Intr–adevar,

g′(x) =1

ln2x(2x− 1) ln x− (x− 1) ,

si a arata ca g′(x) > 0 este echivalent cu

h(x) > 0 , pentru x > 1, unde h : [1,∞) → R , h(x) = lnx− x− 12x− 1

= h(x)− 12

+1

2(2x− 1).

Aratam acest ultim lucru. Derivata lui h pe (1,∞) este

h′(x) =1x− 1

(2x− 1)2=

(2x− 1)2 − x

x(2x− 1)2=

4x2 − 5x + 1x(2x− 1)2

=(4x− 1)(x− 1)

x(2x− 1)2> 0 .

189

Din h′ > 0 rezulta ca h este strict crescatoare, deci h(x) > h(0) = 0 pentru orice x > 1. Cum am vazut, aceasta implicag′ > 0, deci g este o functie strict crescatoare.

Aplicam acum teorema lui Lagrange pentru g pe intervalele [3, 4] si [5, 6] pentru a obtine existenta numerelor intermediare

ξ ∈ (3, 4) , η ∈ (5, 6) ,

cu proprietatile:

g(4)− g(3) =g(4)− g(3)

4− 3= g′(ξ) < g′(η) =

g(6)− g(5)6− 5

= g(6)− g(5) .

Rezulta de aicig(4) + g(5) < g(3) + g(6) ,


190

Documents

BAC 2007 Pro–Didactica - mathi.uni-heidelberg.dedan/TMP/pro-di/toate-variantele.pdf · 06 cartofi pr˘ajit¸i 07 ziar 08 pr˘ajitur˘a 09 neamt¸ 10 curcubeu 11 vac˘a 12 fântân˘a