Bahan Kuliah Kalkulus

Anwar Mutaqin

BAB 1

INTEGRAL

1.1 Integral Tak TentuPada bab sebelumnya kita sudah membahas turunan dan aplikasinya pada masalah-masalah sederhana. Sebagai kebalikan dari operasi turunan adalah integral taktentu (inde�nite integral). Perhatikan tabel berikut:

f (x) f 0 (x)x2 2x

x2 + 3 2xx2 � 5 2xx2 + 10 2x

Operasi dari kiri ke kanan disebut turunan, sedangkan kebalikannya dari kanan kekiri disebut integral tak tentu (cukup disebut integral) dengan notasi

Rf (x) dx.

Notasi tersebut diperkenalkan oleh Leibniz. Berdasarkan tabel, integral suatufungsi tidak tunggal, yaitu muncul suatu konstanta. Jadi, integral dari 2x adalahx2 + C, ditulis Z

2xdx = x2 + C

dengan C adalah suatu konstanta. Contoh-contoh lainnya adalah:

1.R3x2dx = x3 + C

2.R4x3dx = x4 + C

3.R5x4dx = x5 + C

Secara umum, kita mengetahui bahwa turunan f (x) = xn adalah f (x) = nxn�1.Oleh karena itu,

Rxn�1dx = 1

nxn +C. Jika kita ganti n dengan r + 1; maka kita

peroleh teorema berikut.

Teorema 1.1Untuk setiap r 2 Q dan r 6= 1, maka

Rxrdx = 1

r+1xr+1 + C

Bukti. Turunkan ruas kanan, maka akan didapat xr.

Contoh 1.Rx10dx = 1

11x11 + C

Contoh 2.Rdx = x+ C

Contoh 3.Rx23dx = 1

23+1x23+1 + C = 1

53

x53 + C = 3

5x53 + C

Contoh 4.Rx2pxdx =

Rx52 + C = 1

52+1x52+1 + C = 2

7x72 + C = 2

7x3px+ C.

Selanjutnya, untuk fungsi trigonometri, perhatikan tabel berikut.

1

2

f (x) f 0 (x)sin x cosxcosx � sin xtan x sec2 xcotx � csc2 x

Jadi kita dapatkan pengintegralan untuk fungsi trigonometri, sebagai berikut:Rsin xdx = � cosx+ C

Rsec2 xdx = tanx+ CR

cosxdx = sinx+ CRcsc2 xdx = � cotx+ C

Berdasarkan uraian dan contoh-contoh di atas, kita dapat membuat de�nisi in-tegral tak tentu.

De�nisi 1.2Jika F dan f masing-masing adalah fungsi yang terde�nisi pada suatu intervalI, dan F 0 (x) = f (x) pada I, makaZ

f (x) dx = F (x) + C. (1.1)

Beberapa penulis menggunakan notasi A untuk integral tak tentu. Sebagai con-toh, Ax (x2) = 1

3x3 + C, Ax (cosx) = sin x + C, dan lain-lain. Tetapi karena

notasi Leibniz lebih populer dan berkaitan erat dengan pembahasan berikutnyatentang integral tentu, maka kita memilih untuk menggunakan notasi Leibniz.Selanjutnya, sifat-sifat integral tak tentu adalah ebagai berikut.

Teorema 1.3 (Sifat Integral)Jika f dan g mempunyai anti turunan dan c adalah konstanta, maka

a.Rcf (x) dx = c

Rf (x) dx:

b.R[f (x)� g (x)] dx =

Rf (x) dx�

Rg (x) dx:

Contoh:Z �x2 � 5x+ 2

�dx =

Zx2dx� 5

Zxdx+ 2

Zdx

=1

3x3 + C1 � 5

�1

2x2 + C2

�+ 2 (x+ C3)

=1

3x3 � 5

2x2 + 2x+ C1 � 5C2 + 2C3

=1

3x3 � 5

2x2 + 2x+ C

Bagaimana jika kita akan menentukan integral berikutRx (x2 + 2)

5dx? In-

gat kembali aturan rantai untuk mencari turunan fungsi komposit. Jika kita

3

mempunyai y = (F � g) (x) = F (g (x)), maka turunan fungsi tersebut adalahy0 = F 0 (g (x)) :g0 (x). Hal ini berartiZ

F 0 (g (x)) :g0 (x) dx = f (g (x)) + C.

Jika f adalah anti turunan dari F , yakni F 0 = f , maka uraian di atas dapatdirangkum menjadi teorema berikut.

Teorema 1.4Jika F , g, dan f masing-masing adalah fungsi yang terde�nisi pada suatu intervalI, dan F 0 (x) = f (x) pada I, makaZ

f (g (x)) :g0 (x) dx = F (g (x)) + C.

Lebih lanjut, jika kita misalkan u = g (x), maka du = g0 (x) dx sehingga teoremadi atas dapat ditulis kembali menjadiZ

f (u) du = F (u) + C

yang konsisten dengan (1.1). Teorema tersebut merupakan teknik substitusidalam integral. Perhatikan kembali soal

Rx (x2 + 2)

5dx! Kita misalkan u =

x2 + 2, maka du = 2xdx atau 12du = xdx. Jadi,Z

x�x2 + 2

�5dx =

1

2

Zu5du =

1

2:1

6u6 + C

=1

12

�x2 + 2

�6+ C:

Contoh 5. Tentukan integral berikut!

1.Rcos 3xdx

2.Rx�p1 + x2

�dx

3.Rx�p2x� 1

�dx

4.Rsin4 x cosxdx

Solusi.

1. misal u = 3x, maka du = 3dx atau 13du = dx. Jadi,Z

cos 3xdx =1

3

Zcosudu

=1

3sinu+ C

=1

3sin 3x+ C

4

2. misal u = 1 + x2, maka du = 2xdx atau 12du = xdx. Jadi,Z

x�p1 + x2

�dx =

1

2

Z pudu

=1

2:2u

32 + C

=�1 + x2

� 32 + C

=�1 + x2

�p(1 + x2) + C

3. misal u = 2x� 1, maka x = 12(u+ 1) sehingga dx = 1

2du. Jadi,Z

x�p2x� 1

�dx =

Z1

2(u+ 1)

pu1

2du

=1

4

Z �u32 + u

12

�du

=1

4

�2

5u52 +

2

3u32

�+ C

=pu

�1

10u2 +

1

6u

�+ C

=p2x� 13 (2x� 1)

2 + 5 (2x� 1)30

+ C

=1

15

p2x� 1

�6x2 � x� 1

�+ C:

4. misal u = sinx, maka du = cos xdx. Jadi,Zsin4 x cosxdx =

Zu4du

=1

5u5 + C

=1

5sin5 x+ C:

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Buktikan!

a.Rsin axdx = � 1

acos ax+ C

b.Rcos axdx = � 1

asin ax+ C

c.Rsec2 axdx = 1

atan ax+ C

d.Rcsc2 axdx = � 1

acot ax+ C

2. Tentukan integral berikut!

5

a.R

1pxdx

b.R(x2 + sin 2x) dx

c.Rx2�4x+5p

xdx

d.Rx3 (x+ 2)2 dx

3. Gunakan substitusi untuk pengintegralan berikut!

a.R(2x� 3)3 dx

b.R(x+ 2) (x2 + 4x)

5dx

c.R

xp1�xdx

d.Rcos3 5x sin 5xdx

e.Rtan xdx (petunjuk, ingat tan x = sinx

cosx)