bab4-analisis_varians

5/9/2018 bab4-analisis_varians - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/bab4-analisisvarians 1/44

ANALISIS VAR IANS

4.1. PENDAHULUAN

Analisis Varians merupakan suatu uji perhitungan yang diterapkan untuk data yang

dihasilkan oleh eksperim en yang dirancang atau pada kasus dim ana data dikumpul pada

v ariab el yang terk on trol.

Tujuan analisis varians adalah untuk m elokalisasi variabel-variabcl bebas yang penting

dalam suatu penelitian dan m enentukan bagaim ana m ereka berinteraksi dan m em pengaruhi

respons.

K eragam an (variabilitas) sehim punan n pengukuran adalah prop osion al terh ad ap jum lah

k ua dra t simpa ng an (square of deviations) :

nSS =I( - X )2 -->ntuk sampel tunggal

x i= l I

Kuatitas ini digunakan untuk menghitung varians sampel. Analisis varians memecah

keragaman SS " atau total jum lah kuadrat simpangan, m enjadi bagian-bagian, yang m asing-

m asingnya dikaitkan dengan satu dari variabel-variabel bebas dalam eksperim en (percobaan),

dan sisanya dikaitkan dengan kesalahan random (galat acak = rand om erro r).

74



M SE

4.2. ANALISIS VARIANS SATU ARAH (Anova sederhana)

Analisis satu arah untuk menganalisis satu macam karakteristik dari populasi yang diambil

~s~~. .

Membandingkan 2 rerata sampeJ dari sampeJ n1dan n

2

Uji Hipotcsis nol Ho : III = Il~

Uji Hipo tc sis a lte rn atif H ,: III '# Il~

M STF=---

Total jumlah kuadrat simpangan dari semua nilai (nl+ n)x di sekitar rerata Wl1W11

adalah :

S~ ~ -,

STotoll= L. L. ( X'I - x): '

i=l j=i

dimana x adalah rata-rata (average) dari semua (nl+ n) pengamatan yang berada dalam dua

sampcl itu. Rumus total kuadrat simpangan dapat dijabarkan sbb :

2 n,= L L (x - xy

i=i j=i II

2 n[I I x F

2 n, i=l j=l II

=L L x ------i=i I = i II kn

2 n, 2 n,= L L XC - eM = L L x 2 -

. 1 . 1II •

1 . 1'.I

1= J= 1= J=

GT2

kn

2 2 n,= L n (x - x , ) 2 + II (x - X )2

I:::} I 1 1 ; ; : ; 1 je l IJ 1

SST SSE

75



dimana :-x =I

SST =

SSE =

adalah rata-rata dari pengamatan dalam sampel ke-i, i = 1, 2.

jumlah kuadrat perlakuan (sum of squares for treatm ent), berfungsi untuk

mengukur keragaman antara rerata sampel.

jumlah kuadrat kesalahan (s um o f s qu ar es fo r e rro r), berfungsi untuk mengukurkeragaman dalam sampel.

eM = Correction Mean (koreksi untuk nilai rata-rata).

GT = General Total (total seluruh nilai observasi).

k = banyakoya treatment/perlakuan

Rumus SST bisa dibuktikan dengan :

nln,

SST = . - ( x I - x " )2nl+ n

2

* SSE = SS, - SSTrot.).!

* MST =SST

k-J

MST

MSE

SSE

F =rtung

SST

MSE

F =utung

* MSE=-----

Bila FI ;::::FbI' dapat diinterpretasikan bahwa hipotesiss nol ditolak. Ada perbedaan yangmung t.i e

nyata diantara kedua rerata sampel, ada pengaruh terhadap respons.

76



2 I1, 2 n, GT2

SS'lot.ll = I I x 2 - CM = II x 2 _i=l

. 1 11 • 1 . 1 11

kn= 1= J= '

2 n 2 n1

GT2

= I f x 2 - CM = I L x2

i=l. 1 1) • 1

j=l1)

2n= 1=

Ulangan Treatment

n Xl X l

1 Xll X12

2 X21 X22

n Xnl X,n.;

Total Tl T2 = GT

n, n,SST = --- (XI - X2 )2

nl+ n

2

2= I

i=l

GT2

T2 _1

2n

SSE = SSTotal SST

Contoh 4.1 . .

Scorang investor mgin mengetahui apakah ada perbedaan yang nyata antara rata-rata

kcuntungan yang diberikan oleh Bank dan industri. Investor tersebut melihat data rata-rata

bunga yang diberikan oleh Bank dan industri sesuai dengan jatuh temponya. Adapun data

yang diperolch terlihat pada Tabel 4.1.

Tabel 4.1. Rata-rata bunga yang diberikan sesuai jatuh tempo

Jatuh tempo Bank Industri

1 9.14 9.69

2 8,85 8l~4

3 9.52 8,85

4 10,16 9,45

5 8,90 9,15

77



Hipotesis nol

Hipotesis alt.

Ho : ~l = ~2 -->idak berbeda nyata

H, : ~l = 1 = 1 1 2 -->da perbedaan nyata

Penyelesaian :

Langkah pertama, mencntukan uji hiporesisnya, yaitu :

Langkah kedua, melengkapi Tabel 4.1. dengan total masing-masing dan total

keseluruhannya.

Tabel 4.2. Total rerata yang diberikan sesuai dengan jatuh tempo

2

Bank Industri

9.14 9,69

8,85 8,94

9,52 8,85

10,16 9.45

8,90 9,15

46,57 46,08 GT = 92,65

Jatuh tempo

3

4

5

Total

2 n, 2 n GT,SSTOI.ll = I I x 2 - Clvl = I I'x 2 - -

i=l j=l '1 i=l j=I 'I kn

(92,65r= (9,14)" + (9,69)2 + ... + (9,15)2 - ---

(2) (5)

= 860,0953 - 858.40225 = 1,69305

Ix2 + Ix2 GT2

SST = _ ~ ~ 2~J_

5

kn

(92,65)2

(2) (5)

n

(46,57)2 + (46,08)2=-------

SSE

= 858.42626 - 858,40225 = 0,02401

= S STO lal- S ST

= 1,69305 - 0,02401 = 1,66904

SST 0,02401M ST = = = 0,02401

k-l 1

1,66904M SE = ---- = = 0,20863

SSE

5+5-2

78



0,05

DaerahPenerimaan

I

I

~I

0,11508 5,32

Nilai kritis dari statistik F untuk C I. = 0.05 dengan derajad bebas sebesar k-l: (n, + nlY

- 2. atau FO •05 :1.8 = 5.32.

Karena nilai FlllnlllgFt.lbletau 0.11508 < 5.32. maka Ho diterima. Dengan demikian rata-.

rata bunga yang diberikan oleh Bank maupun industri tidak ada perbedaan nyata. Jadi inves-

tor bisa memilih diantara keduanya yang mana saja.

Membandingkan Lebih 2 Rerata Populasi

Jumlah Sampel sarna

Ulangan

n

Treatment

X2

X...

2

Xl2

Xlk

X2 2

X2,

n XIl2

••..••••.. Xllh

Total r, Tk = GT

k k GTSS = I I; x2 - eM = I r x2 ---

'lotal • . 1 'I • 1 . 1 IJ kn1=1 .1= 1= .1=

7 9



k GT2SST = L T2_

i=l1

kn

SSE = SSTotal SST

Uji F untuk membandingkan rerata populasi p

H : Il, = u, = Il, = .... Il_ _ p

Hipotesis altematif H : satu atau lebih pasangan rerata populasi berbeda.• 1

Hipotesis nol

MSTStatistik uji F = , dimana F didasarkan pada derajad bebas k-1; ktn-I),

MSE

Untuk memudahkan, biasanya perhitungan analisis varians ditunjukkan atau disajikan

dalam Tabel ANOV A. Perhatikan Tabel 4.3. yang merupakan Tabel ANOV A untuk lebih

dari 2 rerata dengan jumlah sampel sama.

Tabel 4.3. Tabel ANOVA untuk > 2 rerata dengan jumlah sampel sarna

Sumber df SS MS FhUung

Treatment k-l SST SST/k-l MST/MSE

Error km-I) SSE SSE/k(n-l)

TOTAL nk-l SSToial

Jumlah sampel tidak sarna

Ulangan Treatment

n X l X, ........... X,

1 XII X,2 .......... X

2 X2] X~2.......... X

3 X3l X

3k

n Xnk

Total Tl T2 ........... Tk = GT

80



k n k n GTlSSTotal= I- I- x - eM = I- I-I X - ---

i=1 j=I IJ i=1 j=1 IJ N

dimana :k

N = I- n = jumlah seluruh sampeli=1 J

kSST = I-

i=l nI

--- ; SSE = SSTotal SSTN

Uji F untuk membandingkan rerat~.populasi p

Hipotesis nol Ho : I I I = 1 1 2 = 1 1 3 = .... I I p

Hipotesis altematif HI : satu atau lebih pasangan rerata populasi berbeda.

MSTStatistik uji F = , dimana F didasarkan pada derajad bebas k--l ; N - k.

MSE

Tabel 4.4. Tabel ANOVA untuk > 2 rerata dengan jumlah sampel tidak sarna

Sumber df SS M S

Treatment

Error

k-l

N-k

SST

SSE

SST/k-l

SSE/N-k

MST/MSE

TOTAL N-l S S T o t a l

Contoh 4.2. :

Empat kelompok karyawan bagian penjualan (salesman) sebuah agen penjualan majalah

diharuskan mengikuti program pelatihan penjualan yang berbeda. Karena ada beberapa yangkeluar (drop-out) selama program pelatihan, jumlah orang yang dilatih berbeda-beda dalam

setiap kelompok. Pada akhir program pelatihan setiap karyawan penjualan secara random

diberi tugas di suatu wilayah penjualan dari sekelompok wilayah penjualan yang dinilai

mempunyai potensi penjualan yang sama, Jumlah penjualan yang dibuat oleh setiap orang

dari empat kelompok karyawan penjualan selama minggu pertama setelah menyelesaikan

program pelatihan dituliskan dalam Tabel 4.5. Apakah data tersebut menyajikan bukti yang

cukup untuk menunjukkan perbedaaan dalam rerata prestasi kerja untuk empat program

pelatihan itu?

81



_ _

2 3

P en yelesaian :

SSTota l = t r X2 - eM = t r X2 _ GTli= 1 j= l u i= 1 j=I IJ N

(1779)2

= (65)2 + (87)2 + (73)2 + ...+ (88)2 - --

= 139.51 1 - 1 37.601 ,8 = 1 .909,2

k r- GTlS S T L

1

=i= 1 n N

1

(454)2 (459)2 (425)2 (351 )2 (1 .779)2= + + +

6 7 6 4 2 3

= 1 38.31 4,4 - 1 37.601 ,8 = 71 2 ,6

S S E = S S Tot_ l S S T = 1 .1 96,6

Tabel 4.5. Banyaknya penjualan yang dibuat oleh setiap orang dari setiap kelom pok

pelatihan

Ke lompok Pela tihan

1 2 3 4

65 75 59 94

87 69 78 89

73 83 67 80

79 81 62 88

81 '72 83

69 79 76

90

Total 4 5 4 5 4 9 4 2 5 3 5 1

82



+--Daerah • I+--Daerah ---.Penerimaan I Penolakan

SST 712,6MST = = = 237,5

k-l 3

SSE 1.96,6MSE = = = 63,0

N-K 19

Maka:MST 237,6

F = = = 3,77lurung

MSE 63,0

3,13 3,77

Nilai kritis F untuk a = 0,05, adalah FO,05,k-l,N-k = 3,13. Karena nilai F yang dihitung =3,77, me1ebihi atau 1ebih besar dari FO,05,k-l;N-k = 3,13, maka kita meno1ak hipotesis no1 dan

menyimpulkan bahwa bukti tersebut cukup untuk menunjukkan perbedaan dalam rerata prestasi

kerja untuk keempat program pe1atihan.

Tabel 4.6. Tabel ANOVA untuk Contoh 4.2.

Sumber d f SS MSFhllung

Treatment 3 172,6 237,5 3,77

Error 19 1.196,6 63,0

TOTAL 22 1.909,2

83



4.3. ANALISIS VARIANS DUA ARAH (Rancangan Blok Acak)

Analisis Varians Dua Arah, adalah suatu bentuk analisis dengan menggunakan rancangan

Blok teracak. Disini yang akan dianalisis adalah 2 karakter saja dalam populasi yang diambil

dengan cara sampling. Maksud dari rancangan (desain) ini adalah membuat perbandingan

antara sehimpunan perlakuan dalam kelompok (blok) yang mengandung bahan eksperimenyang relatif homogen. Perbedaan antara rancangan blok teracak dengan rancangan yang

teracak (Analisis satu arah) secara lengkap dapat didemonstrasikan dengan memperhatikan

eksperimen yang membandingkan efek dari peragaan produk (yaitu perlakuan) terhadap

penjualan dalam suatu analisis pemasaran Peragaan produk (product display) dapat didefmisikan

sebagai keragaman pengemasan atau pengaturan di pasar.

Misalkan empat rancangan kemasan dipilih sebagai perlakuan (treatment) dan kita ingin

mempelajari efek pengaruh mereka terhadap penjualan dengan menggunakan 12 pasar

swalayan. Setiap pasar swalayan akan memperagakan hanya satu dari empat rancangan

kemasan. Jadi kedua belas pasar swalayan tersebut secara random dapat dianggap sebagaipenyalur, 3 penyalur untuk setiap dari empat rancangan kemasan, seperti yang diperlihatkan

pada tabel di bawah ini, yaitu tabel 4.7.

Tabel 4.7. Rancangan eksperimen yang teracak secara lengkap

Perlakuan Pasar Swalayan

1 4 .9 . 1

2 11. 3 • 5

3 2 .6. 12

4 8 ,7, 10

Penetapan random dari pasar swalayan bagi perlakuan (atau sebaliknya) akan menyebarkan

kesalahan secara random karena adanya keragaman dari pasar swalayan terhadap empat

perlakuan dan menghasilkan empat contoh (sampel) yang untuk praktisnya adalah random

dan independen. Ini merupakan rancangan eksperimen yang didesain secara lengkap. Kesalahan

eksperimen random terdiri dari sejumiah komponen. Beberapa di antaranya disebabkan olehperbedaan-perbedaan diantara pasar-pasar swalayan, kegagalan catatan penjualan yang

berturutan untuk produk tersebut dalam satu pasar swalayan agar menjadi identik (disebabkan

oleh keragaman dalam periklanan dan perubahan pola kelakuan membeli dari pelanggan

pasar swalayan). kegagalan direktur peneliti pemasaran untuk mengatur program secara

konsisten dari suatu pasar swalayan ke pasar swalayan Iainnya, dsb.

Keragaman/variasi dari toko ke toko daiam eksperimen dapat dihapus dengan

menggunakan pasar swalayan sebagai blok (kelompok). Jadi setiap pasar swalayan akan

menerima setiap dari empat rancangan kemasan (perlakuan) yang disusun dalam suatu urutan

random.

84



3

Perhatikan diagram di bawah ini :

1 2 3 4

2 4 1 1

1 2 3 4

4 1 2 3

3 3 4 2

12

2

4

1

Perhatikan bahwa setiap perlakuan hanya muneul satu kali dalam setiap kelompok. Blok

(kelompok) dapat mewakili waktu, lokasi, atau bahan eksperimen. Jika tiga perlakuan akan

dibandingkan dan terdapat keeenderungan dalam rerata respons dengan berjalannya waktu,

bagian terbesar dari keragaman akibat waktu dapat dihilangkan dengan pengelompokkan.

Seluruh tiga perlakuan tersebut dapat diterapkan seeara aeak (random) pada unit-unit eksperimen

dalam kelompok waktu yang keeil. Prosedur ini dapat diulang dalam kelompok-kelompok

waktu berikutnya sampai jumlah data yang diperlukan terkumpul.

Adapun bentuk raneangan blok teraeak yang berulang-ulang dapat dilihat pada bentuk

raneangan

B10k Ulangan

n

2

Treatment Total

X I X l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Xk Blok

X II X I2 ........................... Xlk BII

X21 X " ........................... X

2 k BI2

Xnl

Xn2

........................... Xnk BIn

TIL Tn ........................... Tlk GT1

X II Xl2

........................... Xlk Blll

X2 1 X " ........................... X 2k BII2

Xnl

Xn2

........................... Xnk

Blln

Tll1 Tll2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tllk GTll

n

Total Treatment

II

2

n

Total Treatment

• •

85



N XII XI2 ........................... x., BN:

2 ~I XII ................ ~......... x, BNI

n Xnl

Xnl

........................... Xnk

BNn

Total Treatment TNI TN2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TNk GTN

Narnun bentuk tabel seperti di atas, dapat disederhanakan setelah seluruh nilai yang sarna

dari hasi l pengu langan , kita cari nilai rata-ratanya. Setelah diperoleh nilai rata-rata untuk

seluruh karakteristik, baru dapat disajikan dalam bentuk tabel yang lebih sederhana dan

mudah dibaca untuk tujuan analisis selanjutnya.

Adapun bentuk rancangannya dapat dirubah sebagai berikut :

Treatm ent Total

Blok Xl X2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Xk Blok

I X li XI2

........................... Xlk BI

II XlIi XIII ........................... XIIk BII

N XNI XN2 ........................... XNK BB

To ta l T reatment TI T2 ........................... Tk GT

Maka , untuk mencari rumus keragaman masing-masing adalah :

b k b k GT2

SS =L L x 2 - eM = L L x 2 -Total

i=l j=I1) • 1 . 1 1)

kb= J=

k GT

2

SST = L TI-. 1 1 kb= _"

b

b B2 GTI

SSB =L1

i=l k kb

SSE = SS - SST - SSBTotal

86



Tabel 4.8. Tabel ANOV A untuk Rancangan Blok Teracak (Dua Arah)

Sumber df SS MS Fhltung

Treatment k-l SST SST/k-l MSTjMSE

Blok b-I SSB SSB/b-l MSB/MSE

Error (k-l)(b-l) SSE SSE/(k-l)(b-l)

TOTAL kn-l SSTotai

Dari Tabel 4.8. tampak jelas perbedaan antara Anova satu arah dan Anova dua arah.

Dalam Anova dua arah, FIl1tw,gda dua. MST/MSE adalah untuk melihat pengaruh dari perlakuan

dan MSBjMSE untuk melihat pengaruh dari blok.

Uji F untuk membandingkan rerata populasi p

Hipotesis nol Ho: rerata perlakuan dan blok populasi adalah sama

Hipotesis altematif H, satu atau lebih pasangan rerata perlakuan dan blok dalam

populasi berbeda.

MSTStatistik uji F =

MSE

MSBStatistik uji'F =

MSE

dimana F'abeldidasarkan pada derajad bebas k-l; (k-l)(b-l)

dimana Frobeldidasarkan pada derajat bebas b-l; (k-l)(b-l).

Contoh 4.3. :

Suatu studi tentang preferensi konsumen yang melibatkan tiga rancangan kemasan yang

berbeda (perlakuan) diatur dalam rancangan blok yang teracak di antara empat pasa r swalayan

(blok/kelompok),

Data diperoleh merupakan jumlah unit yang dijual untuk setiap rancangan kemasandalam setiap pasar swalayan selama masing-masing tiga minggu yang ditetapkan. Aapakah

data pada Tabel 4.6. menyajikan bukti yang cukup untuk menunjukkan perbedaan dalam

rer~ta penjualan untuk setiap rancangankemasan (perlakuan)?

Apakah cukup bukti untuk menunjukkan perbedaan dalam rerata penjualan untuk pasar-

pasar swalayan?

87



,---------~------

Tabel 4.9. Data Jumlah unit terjuan dari Rancangan Blok Teracak

Pasar SwalayanKemasan TOTAL

A B C BLOK

1 17 34 23 74

2 15 26 21 62

3 1 23 8 32

4 6 22 16 44

Total 39 105 68 212 = GT

Penyelesaian :

b k b k GT2

= I I x2 - eM = I I x2 ---

i= l j=1 IJ i=1 j=I IJ kb

(212)2= (17)2 + (23)2 + ... + (16)2-

12

= 4.686 - 3.745,33 = 940,67

S STk= I T2j=I __ J

b

(39)2 + (l05)" + (68)" (212)2

GT"

kb

=4 12

S SB

b B2

= I--I-i=1 k

= 4.292,5 - 3.745,33 = 547,17

GT2

kb

(212)2

12

= 4.093,33 - 3.745,33 = 348,00

S SE = S STot.ll- S ST - S SB

= 940.67 -; 547,17 - 348,00=45,50.

88



Tabel 4.10. Tabel ANOVA untuk Rancangan Blok Teracak (Dua Arah)

Sumber df SS MS Fhllung

Treatment 2 547,17 273,58 36,09

Blok 3 348,00 116,00 15,30

Error 6 45,50 7,58

TOTAL 11 940,67

I

Daerah I ..

P. I

enerirnaan I

hitung

Treatment

5,14 15,30 36,09

Nilai kritis statistik F ( e x . = 0,05) untuk perlakuan dengan derajad bebas 2;6 adalah 5,14.

Karena FhlUlDg

> Ftabel ' terdapat cukup bukti untuk menolak hipotesis nol dan menyimpulkan

bahwa perbedaan yang nyata memang ada dalam penjualan yang diharapkan untuk ketiga

rancangan kemasan tersebut.

Nilai kritis statistik F ( e x . = 0,05) rerata penjualan untuk pasar-pasar swalayan dengan

derajad bebas 3;6 adalah 4,76, kita menolak hipotesis nol dan menyimpulkan bahwa perbedaan

yang nyata ada dalam penjualan yang diharapkan dalam empat pasar swalayan, yaitu data

tersebut menyajikan bukti yang cukup untuk mendukung keputusan kita untuk

mengelompokkan pasar-pasar swalayan.

89



LATIHAN SOAL

1. Dalam kondisi bagaimana kita dapat melakukan suatu analisis varians?

2. Apakah yang dimaksud dengan kata "teracak" pada rancangan teracak lengkap maupunrancangan blok teracak ?

3. Sebutkan asumsi yang mendasari model-model rancangan eksperimen berikut :

a. Rancangan acak (random)

b. Rancangan blok (kelompok) yang teracak

4. Pada waktu memilih rancangan eksperimen :

a. Bahas keuntungan dari bloking (pengelompokkan)

b. Apa yang terjadi pada keuntungan tersebut jika anda menambah ukuran kelompok

(banyaknya unit eksperimen per kelompok) !

5. Ketahuilah, IlA dan Ils tnelambangkan rerata biaya variabel per km pengoperasian sebuah

truk merek A dan merek B.

a. Cari selang keyakinan 95 % untuk Il A

b. Cari selang keyakinan 95 % untuk Ils

c. Carl selang keyakinan 95 % untuk (I lA

- Ils )d. Apakah tepat untuk mengasumsikan bahwa selang keyakinan yang dihitung dalam

butir c adalah sama dengan perbedaan antara selang-selang keyakinan yang ditemukan

dalam butir a dan b ?

Jelaskan !

6. Sebuah perusahaan transportasi ingin membandingkan tiga merek truk sebelum memesan

satu armada lengkap dari salah satu merek itu. Harga beli masing-masing buatan itu

sama dan dengan demikian diabaikan dalam perbandingan ini. Lima truk dari masing-

masing buatan dijalankan 5.000 kmdan rata-rata biaya variabel operasi per km dicatat

per setiap truk. Namun, karena kerusakan ban, kecelakaan dan supir yang sakit, dua truk

merek B dan dua truk merek C tidak dapat menyelesaikan uji 5.000 knl ini. Untuk

mereka yang berl1asil menyelesaikan 5.000 km, hasilnya dicatat dalam tabel.

Merek A Merek B Merek C

27,3 25,4 27,9

28,3 27,4 29.5

27,6 27,1 28,7

26,8

28,0

a. Lakukan analisis varians untuk eksperimen ini !

90



b. Apakah data ini memberikan bukti yang cukup untuk menunjukkan perbedaan dalarn

rata-rata biaya variabel per-km operasi untuk tiga merek truk tersebut ?

c. Apakah ada keuntungannya dalam menggunakan jumlah pengukuran yang sarna

dalam setiap perlakuan dalam rancangan yang teracak secara lengkap ? Jelaskan !

7. Suatu telaah dilakukan untuk menentukan kecepatan relatif mengetik yang dapat dicapai

dengan menggunakan empat merk mesin tik yang berbeda. Setiap mesin tik diberikan

kepada masing-masing dari delapan sekretaris, urutan pemberian tugas dilakukan secara

random. Kecepatan mengetik, yang diukur dalam kata per-menit untuk 10menit pengetikan

dicatat untuk setiap kombinasi mesin tik-sekretaris. Data yang diperoleh dicantumkan

dalam tabel di bawah ini :

Mesin Sekretaris

Tik 1 2 3 4 5 6 7 8.

A 79 80 77 75 82 77 78 76

B 74 .79 73 70 76 78 72 74

C 82 86 80 79 81 80 80 84

D 79 81 77 78 82 77 77 78

a. Identifikasikan rancangan yang digunakan dan jelaskan diagnosa anda!

b. Lakukan analisis varians terhadap data tersebut.

c. Apakah data tersebut memberikan bukti yang cukup untuk menunjukkan bahwa

rerata kecepatan mengetik sekretaris bervariasi dari merk ke merk mesin tik?Ujilah dengan menggunakan 0.=0,10.

8. Suatu komisi penetapan wilayah dibentuk untuk menghitung rata-rata basil peniIaian atas

rumah-rumah di daerah pemukiman luar kota. Komisi itu mempertimbangkan untuk

menggunakan salah satu dari tiga model penilaian yang berbeda dalarn upaya itu. Dalarn

salah satu uji untuk adanya konsistensi anatara tiga model penilaian, setiap model

digunakan secara terpisah untuk mendapatkan hasil penilaian dari masing-masing dari

tiga daerah pemukiman yang berbeda. Hasilnya sebagai berikut :

Model Daerah ( $ 1.000)

Penilaian 1 2 3

A 50 77 68

B 42 69 47

C 39 47 66

I

I

Saudara diminta untuk membuat analisis varians (a = 0,10) dan buatlah kesimpulan

saudara l

91



setelah diberikan suatu paket program sadar lingkungan selama lima tahun. Disini tidak bisa

kita dapatkan langsung suatu data yang berupa angka-angka, tetapi mungkin hanya suatu data

yang berisi ya dan tidak, naik turun dan tetap, dan sebagainya yang biasanya digunakan

dengan jawaban berupa kata-kata dari responden. Data kualitatip semacam ini dapat dianalisis

bila data tersebut dirubah ke dalam bentuk data kuantitatip dengan cara memberikan suaturangking/urutan. Dengan dimikian akan diperoleh suatu data yang berupa angka-angka.

D efinisi :

Statistik nonparametrik adalah statistik yang tidak memerlukan pembuatan asumsi

tentang bentuk distribusi dan karena itu merupakan statistik yang bebas distribusi.

5.2. UJI TANDA (Sign Test)Uji tanda digunakan untuk membandingkan dua populasi apakah dua populasi tersebut

berbeda atau tidak. Uji tanda didasarkan atas tanda-tanda, positip atau negatip, dari perbedaan

antara pasangan pengamatan. Bukan didasarkan atas besamya perbedaan. Uji tanda dapat

dipergunakan untuk mengevaluasi efek dari suatu eksperimen (treatment) tertentu. Efek dari

variabel ekperimen tidak dapat diukur melainkan hanya dapat diberi tanda positip atau negatip

saja. Sebagai contoh : apakah penerangan tentang kebersihan dan kesehatan ada manfaatnya

untuk menyadarkan penduduk dalam hal kebersihan dan kesehatan. Untuk ini perlu diamati

sebelum dan sesudah beberapa minggu diadakan penerangan. Efek penerangan terhadap

kesadaran penduduk tidak dapat diukur, tatapi hanya diberi tanda positip dan negatip saja.

5.2.1. PENGUJIAN DENGAN SAMPEL KECIL

Misalkan X, dan ~ merupakan variabel random dan kita mengemukakan sebuah hipotesis

bahwa distribusi populasi Xl identik dengan distribusi X, Guna menguji hipotesis di atas,

kita memilih dua sampel random yang memiliki besaran n yang sama (n, = ~ ) masing-masingdari populasi X, dan X

2• Andaikan hlpotesis hipotesis nol yang menyatakan bahwa distribusi

populasi X, dart ~ identik memang benar, maka kita dapat mengharapkan beda antara hasil

observasi sampel X. dan X, atau X, - X2akan memiliki jumlah tanda positip dan negatip

yang sarna. Hal tersebut bahwa proporsi tanda + dan - seharusnya sama dan sebesar 0.50 atau

50 %, sehingga bisa digunakan pendekatan pengujian proporsi populasi binomial dimana

H o : p = P o atau H o : p = 0.50.

Contoh S.l.:

Pada suatu eksperimen penelitian pasar sebuah perusahaan pengolah pangan melakukan

studi/telaah untuk menentukan mengenai dapat diterimanya bahan pengganti gula pada air

jeruk dalam kaleng yang diproduksi mereka. Kepada sebelas keluarga diberikan sejumlah

produk yang sekarang ini ada (~) dan satunya lagi yang barn (Xl) dan meminta mereka untuk

menggunakannya selama periode 4 minggu dan menyatakan preferensi mereka dengan

96



Produksi

Keluarga Tanda

XI X2 XI - X 2

1 10 7 +

2 7 5 +

3 5 7 -

4 8 5 +

5 6 6 a

6 7 6 +

7 9 6 +

8 8 7 +

9 6 7 -

10 9 7 +

II 9 5+

menilainya ke dalam bentuk ranking (pada skala I sampai 10) . Nilai 1 0 adalah nilai yang

"paling disukai". Hasilnya ditunjukkan pada Tabel 5.2.1.

Tabel 5.1. Data preferensi dari sebelas keluarga terhadap dua jenis minuman jeruk dalarn

jumlah + dan -.

Penyelesaian :

Andaikan jumlahnya memang sama besamya. maka tanda + sarna banyak dengan

tanda -. Sccara singkat, andaikan Po = probabilitas (proporsi) hipotesis untuk memperoleh

tanda +. maka hipotesis nol-nya dapat dinyatakan sebagai Ho : p = Po atau Ho : p = 0,50 dan

hipotesis altematifnya sebagai HI : p -:;:.0,50.

Sesuai contoh di atas, preferensi masyarakat terhadap prod uk baru temyata lebih besar,

maka jumlah tanda + diharapkan lebih banyak daripada tanda - sehingga Ho : p = 0,50

sedangkan hipotesis altematifuya dapat dinyatakan sebagai HI : p > 0,50.

Proses pengujian langkah demi langkah adalah sebagai berikut :

l. Ho: p = 0.50 HI : p > 0.50

2. ex = 0.05

3. Statistik uji r = s = jumlah tanda positip (+) .~'

4. Daerah kritis ditentukan oleh nilai-nilai X yang sesuai dengan luas distribusi binomial

kumulatif dim ana ex= 0.05 dalam uji searah atas bagi n = 10 ( karena terdapat 10 beda

bertanda. angka a ditiadakan). Pada label binomial kumulatif, luas probabilitas binomial

secara kumulatif dengan n = 10 dan yang mendekati ex= 0,05 searah atas ialah ex= 0,033.

97



Bagi luas probabilitas binomial kumulatif sebesar 0,055, nilai r kumulatif ialah ~ 8 sehingga

daerah kritis ialah r ~ 8.

5. Hasil observasi sampel r = 8

Karena 8 ~ 8 maka Ho : P = 0,50' ditolak. Hal tersebut berarti cukup beralasan guna

menerima hipotesis yang menyatakan bahwa preferensi konsumen terhadap produk barn

lebih tinggi dibanding dengan produk yang ada.

5.2.2. PENGUJIAN DENGAN SAMPEL BESAR

Andaikan besaran sampel cukup besar, katakanlah lebih besar dari 30, maka cara perkiraan

distribusi binomial dengan distribusi normal dapat digunakan untuk menguji hipotesis proporsi

populasi p. Dalam banyak hal, jika n > 10 dan p = 0,50, penggunaan distribusi normal u ntu k

memperkirakan distribusi binomial sudah akan mempcroleh hasil yang memuaskan.

Contoh 5.2.:

Suatu telaah terhadap keefektifan 2 tipe kclas dalam tes panel: kelas yang besar dengan

seorang profesor yang berupa diskusi umum dan kelas yang kecil dengan tenaga pengajar

asisten senior yang berupa diskusi kelompok terbatas. Pengukuran diukur secara ranking dari

4 sampai I. Nilai 4 adalah yang terbaik dan 1 adalah nilai yang terjelek. Evaluasi dilakukan

ternadap 40 mahasiswa. Misalkan tanda + berarti kelas besar yang disukai mahasiswa, tanda

- berarti preferensi mahasiswa terhadap kelas kecil, dan ° berarti tidak ada yang disukai.

Hasil dari Tabel 5.2.3. adalah :

Jumlah tanda + = 19

Jumlah tanda - = 11

Jumlah nilai ° = 10

Total sampel = 40

Jumlah sampel yang digunakan adalah yang bertanda, yaitu 19 ditambah 11 = 30.

pH = 0,5 6 ~ hipotesis proposi populasi yang merasa bahwa dua tipe kelas terse but adalah

sama

qH = 0,5 6 ~ hipotesis proposi populasi yang merasa bahwa dua tipe kelas terse but adalah

berbeda (qHo = 1 - pH)

n = 30 ~ jumlah sampel

12 = 0,633 ~ proporsi sukses dalam sampel ( 19/30 )

q = 0,367 ~ proporsi kegagalan dalam sampel ( 11/30 )

98



Tabel 5.2. Evaluasi 40 mahasiswa terhadap 2 tipe kelas

jumlah skor kelas skor kelas uji tanda

mahasiswa besar (1) keeil (2) 1 - 2

1 2 3 -2 1 2 -3 4 2 +4 4 3 +5 3 4 -

6 3 2 +7 4 2 +8 2 1 +9 4 3 +10 1 1 0

11 3 2 +12 3 3 0

13 4 4 0

14 4 4 0

15 4 3 +16 1 2 -

17 1 3 -

18 2 2 0

19 2 3 -

20 4 3 +21 4 1 +22 4 4 0

23 4 3 +24 3 3 0

25 3 2 +26 2 2 0

27 3 1 +28 4 1 +29 3 1 +30 4 3 +31 3 2 +32 1 2 -

33 4 4 0

34 3 4 -

35 2 3 -

36 2 3 -

37 2 1 +38 1 1 0

39 3 4 -

40 3 2+

99



Proporsi sampel

= 0,633

Penyelesaian :

Statistik uji diberikan dengan pendekatan kedalam distribusi normal standard, dengan

standar error proporsi :

o-=A~ =p .~~

(0,50) (0,50)

30

= ~0,OO833 ~=091 (st~dar error proporsi)

I

+-Daerah Penerimaan __. I

I

0,322 P =05Ho

0,678

Dengan menggunakan distribusi normal a = 0,05, diketahui nilai z adalah 1,96 pada two

tailed test. Maka bisa kita tentukan daerah penerimaan Ho yang terletak pada interval pHo +1,96 O r

pH + 1.96 C 5 - = 0,50 + (1,96) (0,091)o p

= 0,50 + 0,178

= 0,678 (batas atas)

pH - 1,96 C 5 - = 0,50 - (1,96) (0,091)o p

= 0,50 - 0,178

= 0,322 (batas bawah)

Karena proporsi sampel adalah 0,633, maka masuk daerah penerimaan Ho. Hipotesis nol

diterima dengan kata lain tidak ada perbedaan antara dua tipe ke1as menurut mahasiswa

tersebut.

100



LATIHAN SOAL

l. Apakah bedanya statistik parametrik dengan statistik non parametrik ?

2. Apakah kegunaan dari statistik nonparametrik ?

3. Apakah yang dimaksud dengan prosedur uji tanda ?

4. Apakah yang dimaksud dengan hipotesis nol dalam prosedur uji tanda ?

5. Distribusi probabilitas apa yang digunakan dalam menguji hipotesis pada prosedur uji

tanda. jika jumlah sampel kecil ?

Dan jika sampel besar ?

6. Setiap n = 27 ekonom yang terkemuka ditanyai apakah dia percaya pengendalian

pemerintah terhadap perusahaan-perusahaan minyak dalam negeri akan membantu

perekonomian Amerika, Empat belas ekonom menyatakan bahwa mereka menyetujui

pengendalian terhadap perusahaan minyak, 11 menentang adanya pengendalian. dan dua

orang mengatakan tidak menentukan sikap. Apakah respons tersebut menunjukkan bahwa

para ekonom secara umum menyetujui adanya pengendalian pemerintah terhadap

perusahaan demi membantu perekonomian Amerika ? Ujilah dengan menggunakan taraf

nyata sedekat mungkin dengan 5 % !

7. Dari data di bawah ini ujilah hipotesis nihil bahwa periode liburan tidak mempunyai efek

yang favorable atas produktivitas kerja.

Output MingguanPekerja Sebelum liburan Sesudah liburan

A 83 79

B 85 87

C 75 70

D 91 93

E 80 85

F 75 75

G 90 80H 65 71

I 78 80

J 85 88

K 83 71

L 75 75

M 78 85

N 80 86

Pergunakan uji tanda dengan (J. = 0.05.

101



Keluarga Nilai Sebelum Nilai Sesudah

.'

1 2 4

2 3 4

3 1 2

4 3 3

5 2 3

6 2 4

7 1 2

8 3 4

9 2 2

10 1 2

11 1 3

12 2 3

13 2 4

14 3 5

15 4 5

16 3 2

17 2 3

18 2 3

19 4 3

20 3 2

8. Di suatu daerah pedalaman telah diadakan kampanye tentang makanan bergizi. Untuk

meneliti apakah kampanye tersebut mempunyai efek positip, diadakan pengamatan

terhadap 20 keluarga yang dipilih secara acak. Penilaian sebelum dan sesudah kampanye

memberikan informasi sebagai berikut :

Pergunakan uji tanda dengan a = 0.01.

9. Kita ingin menentukan efektivitas suatu diet yang dinamakan diet harimau. Tujuh belas

orang dicoba untuk melaksanakan diet tersebut. Berat badan mereka sebelum dan sesudah

menjalankan diet adalah :

102



a. Ujilah hipotesis nihil bahwa diet tersebut tidak efektif (P = 0.5) lawan hipotesis

altematip bahwa diet tersebut efektip (P > 0,5) dengan menggunakan uji tanda pada

e x . = 0,01

b. Seperti pertanyaan a, tetapi pergunakan metode pendekatan kurva normal.

Berat Berat Berat Berat

Orang Sebelum Sesudah Orang Sebelum Sesudah

A 110 108 J 95 85

B 97 96 K 54 50C 103 95 L 79 73

D 75 75 M 143 135

E 134 129 N 95 104

F 78 70 0 98 93

G 152 142 P 69 69

H 130 121 Q 117 110

I 90 113

103



,-------- ----~---

5.3. VJI MANN - WHITNEY ( UteM

)

Ini merupakan uji nonparametrik yang digunakan untuk mcmbandingkan dua populasi

didasarkan pada sampel acak yang bebas dengan menggunakan jumlah peringkat dari kcdua

sampel tersebut. Asumsikan bahwa kita mempunyai sampcl acak yang independen berukuran

n, dan n2 dari dua populasi, A dan B. Langkah pertama untuk mencari statistik Mann-Whitney (Utes)' adalah membuat peringkat (menjenjang) sernua (n

l+ n

2) pengamatan scsuai

dengan urutan besarannya. Peringkat ke-l untuk pengamatan yang terkccil, 2 untuk yang

kedua, dan seterusnya. Kemudian hitunglah jumlah dari peringkat RI dan R2 untuk kcdua

sampel.

Uji Mann-Whitney: Untuk uji dua arah gunakan U t e s , ' mana yang lebih kccil dan :

n, (n, + I)UI = n,n. +

2- RI

dann. (n. + I)

U2 = n.n. + - R,2

dimana :

n, = jumlah observasi dalam sampel

~ = jumlah observasi dalam sampcl 2

R, = jumlah seluruh ranking dalam sampelR2 = jumlah seluruh ranking dalam sampel 2

Contoh 5.3. :

Tabe15.3. merupakan data jumlah akuntan yang lulus ujian negara dari 8 Kantor akuntan

yang masing-masing dipilih 50 akuntan yunior. Para akuntan dari 4 Kantor dilatih dcngan

program A dan akuntan dari 4 kantor lainnya dilatih dengan program B.

Tabel 5.3. Jumlah akuntan yang lulus ujian negara

A B

28 33

31 29

27 35

25 30

104



A B

28 (3) 33 (7)

31 (6) 29 (4)

27 (2) 35 ( 8 )

25 (1) 30 (5)

RI =12 R2 =24

Untuk mcmberikan cukup bukti bahwa ada perbedaan dalam distribusi populasi latihan

program A dan B, digunakan uji Mann-Whitney dengan melakukan peringkat setiap nilai

observasi dengan mengurut data dari yang terkecil sampai yang terbesar.

Tabel 5.4. Data dan peringkat untuk contoh 5.3

Penyelesaian :

Peringkat (rank) ditunjukkan pada Tabel 5.4. bersama-sama dengan (n, + 02) = 8

pengukuran. Jumlah peringkat untuk. kedua sampel juga diperlihatkan.

Maka:(4) (4 + 1)

VI = (4) (4) + - 12 = 142

U2= nl~ - VI = 16 - 14 = 2

Misalkan kita menginginkan suatu nilai a yang dekat dengan 0,05, maka pada Tabel

Mann- Whitney untuk nl

= n2

= 4, kita peroleh nilai V"ble sebesar 1. Temyata nilai Utes, Iebih

besar dari nilai U ,maka dapat dikatakan bahwa ada kecenderungan perbedaan dalamtest

distribusi popuJasi antara latihan program A dan program B.

Uji Mann-Whitney (Ute,t)

Hipotesis nol H, : 1 - 1 1 = 1 - 1 2

a = 0,15

->Tidak ada perbedaan antara kedua populasi, dan

memiliki rata-rata yang sama.

->Ada perbedaan antara kedua populasi, dan

memiliki rata-rata yang berbeda.

->evel significance

Hipotesis altematif H,: 1 - 1 1 * 1 - 1 2

105



Contoh 5.4. :

Kita ambil contoh 5.3. Kita anggap sampel yang digunakan adalah lebih besar dari 10,

sehingga distribusinya mendekati normal. Buktikan apakah benar pendapat yang mengatakan

bahwa kedua program tersebut ada perberbedaan yang nyata. Gunakan significant level sebesar

a=,15.

PenyeJesaian :

Sebelum melakukan suatu hipotesis, kita cari terlebih dahulu nilai rata-rata U statistic

dan standard error dari U statistic, dengan mencari dari :

4+4Rerata

n, + n,~u=---=---=4

2 2

Standard error

au=~ (4)(4)(4 + 4 + 1)

12

au = -V12 = 3,464

Setelah itu, kita lakukan langkah-Iangkah sebagai berikut :

1. Bentuk uji hipotesis.

Hipotesis nol : Ho : ~l = ~2 tidak ada perbedaan nyata antara keduaprogram A dan B.

ada perbedaan nyata antara kedua program

A dan B.

2. a = 0.15 ->evel significance

3. Daerah penerimaan Ho adalah ~u ± Za!2 . a u

atau 4 ± (1,44) (3,464)

4 ± 4,98816 atau 4 ± 4,988



I I

I + - - 11-1.440 _. + - - 11-1.440 ~I II U 11 11 I

4. Harga U t " " t tenyata masuk dalam daerah penerimaan R o . Atau kata lain U t e s t = 2. terletak

diantara nilai 4 + 4,988. Jadi masuk daerah penerimaan R o .

5. Kesimpulan yang bisa diambil adalah tidaklah benar yang mengatakan bahwa kedua

progranl A dan B ada perbedaan yang nyata. Kedua program tersebut temyata tidak

berbeda.

107



LATIHAN SOAL

1 . Apakah yang dimaksud dengan uji U atau uji Mann-Whitney?

Bagaimanakah prosedur menganalisis data dengan uji U ?

2. Suatu perusahaan akuntansi rubrik yang besar, dengan kantor-kantor cabang pada ibu

kota propinsi, merencanakan dua program lokakarya akuntansi yang berbeda untuk

membimbing akuntan yunior dalam menghadapi ujian ujian negara yang akan datang.

Untuk membandingkan keefektivitasan dari program studi ini, perusahaan memilih 8

kantor cabang utama, dan 50 akuntan yunior dipilih dari setiap kantor. Para akuntan dari

4 yunior dilatih dengan program A. akuntan dari 4 kantor lainnya dengan program B.

Setelah menyelesaikan ujian, jumlah akuntan yang lulus dicatat sebagai berikut :

A B

28 3 3

31 2 9

27 35

25 30

Apakah data di atas memberikan cukup bukti untuk menunjukkan adanya perbedaan

dalam distribusi populasi latihan program A dan B ?

3. Misalkan dari dua sampel I dan II, menunjukkan data sebagai berikut :IUjilah dengan U!",,!!

Sampel I Sampel D

3 \ 7

8 1

2 11

5 9

4 1 0

108



12K= I

n (n+ 1)- 3(n + 1)

5.4. UJI KRUSKAL - WALLIS

Metode nonparametrik ini merupakan kelanjutan dati uji Mann-Whitney. tetapi yang

diuji adalah lebih dati 2 populasi. Atau dengan kata lain. uji Kruskal-Wallis digunakan untuk

melihat apakah 3 atau lebih sampel acak yang independen berasal dati populasi yang sarna.

Uji Kruskal- Wallis juga tergantung pada jumlah ranking tiap-tiap sampel, seperti halnyadengan uji Mann-Whitney.

Rumus yang digunakan :

dimana:

~ = jumlah nilai/unit dalam sampel ke-j

RJ

= jumlah ranking dalam sampel ke-j

n = jumlah seluruh nilai observasi seluruh sampel.

Contoh 5.5.:

Pimpinan sekolah ingin mengevaluasi keefektifan dati 3 metode perkuliahan, yaitu dengan

menggunakan video cassette, Audio cassette, dan metode tatap muka. Untuk itu pimpinan

mengambil secara random nilai ujian akhir semester dati 20 orang mahasiswa yang mewakiliketiga metode perkuliahan tersebut. Nilai ujian akhir semester dati 20 orang mahasiswa

disajikan dalam Tabel 5.5.

Tabel 5.5. Nilai ujian akhir semester 20 mahasiswa dengan perbedaan metode

perkuliahan.

V id eo c asse tte

A ud io ca ssetteTatap muka

74

78

68

88

80

83

82

65

50

93

5791

7 05

89

84 77 94 81 92

Penyelesaian :

Langkah pertama adalah kita membuat rangking untuk masing-masing nilai sesuai dengan

urutan nilai yang terkecil seperti pada Tabel 5.6.

109



Tabel 5.6. Rangking nilai ujian dari keeil ke besar

Rangking Nilai Metode Rangking Nilai Metode

1 5 0 TM 11 8 1 TM

2 5 5 VC 1 2 8 2 VC

3 5 7 AC 13 8 3 TM

4 6 5 AC 1 4 8 4 TM

5 6 8 TM 1 5 8 8 VC

6 7 0 VC 1 6 8 9 AC

7 7 4 VC 1 7 9 1 TM

8 77 TM 1 8 9 2 TM

9 7 8 AC 1 9 9 3 VC

1 0 8 0 AC 2 0 9 4 TM

L a n g k a h k e d u a a d a l a h m e n c a r i j u m l a h r a n g k i n g u n t u k m a s i n g - m a s i n g m e t o d e perkuliahan.

U n t u k m e m u d a h k a n b i s a k i t a g u n a k a n T a b e l 5 . 6 .

Tabel 5.7. Susunan data dan rangking untuk setiap metode

Video Rangking Audio Rangking Tatap Rangkingcassette cassette muka

7 4 7 7 8 9 6 8 5

8 8 1 5 , 8 0 1 0 8 3 13

8 2 1 2 6 5 4 5 0 1

9 3 1 9 5 7 3 9 1 1 7

5 5 2 8 9 1 6 8 4 1 4

7 0 6 ~ = 4 2 77 8

R, = 6 1 9 4 2 0

8 1 11

9 2 1 8

R 3 = 1 0 7

110



12 R2K= L J - 3 (n + 1)

n (n + 1) n1

p (62)2 (42)2 (107)2

] - 3(20 +1)= 20 (2~ + 1 [ + +6 5 9

Langkah ketiga, mencari nilai Uji Kruskal Wallis (K-statistik) dengan mums:

K = (0,2857)(620,2 + 352,8 + 1272,1) - 63

K = 1,143

Uji Hipotesis :

Langkah terakhir, menentukan uji hipotesis sebagai berikut :

1. Hipotesis no] Ho: II I = III = 1 1 3 tidak ada perbedaan diantara antara ketigapopulasi, atau ketiganya rnernpunyai rata-rata

yang sarna.

ketiga

2. Hipotesis alt. HI: I I I '" 1 1 2 '" 1 1 3 ada perbedaan nyata antara ketiga populasi. Atau

ketiganya rnernpunyai rerata yang tidak sarna.

3. ex= 0,10 ->evel sginificance.

4. Daerah kritis dicari pada tabe1 chi-square (X2) dengan derajat bebas k-l (dalam hal ini,

k = 3), yaitu X2o . lO.k_1 =

X20.lO:3_1

=X20.l0.

2 = 4,605.

~ Daerah Penerimaan -- ..

K = 1,143 4,605

5. Karena ni1ai K-statistik < X10,IO;1 atau ·1.143 < 4,605, maka hipotesis nol kita terima.

6. Kesimpulannya, tidak ada perbedaan yang nyata antara ketiga metode perkuliahan yang

diterapkan di seko1ah tersebut. Jadi, tidak efektif menerapkan tiga metode perkuliahan

di sekolah tersebut.

111



.

LATIHAN SOAL

1 . Apakah yang dimaksud dengan uji Kruskal- Wallis? Bagaimana konsep dasar uji statistik.. ,Illl .

2. Empat kelompok A, B, C, dan D dilibatkan dalam suatu eksperimen. Data-data sctiap

kelompok dipilih secara random.

Hasil eksperimen adalah seperti di bawah ini :

A B C D

57 43 H7 60

81 61 69 70

67 42 58 75

64 45 82 72

96 39 90 7 1 . )

80 91 91

68

56

Pergunakan uji Kruskal- Wallis untuk mcncntukan apakah populasi cmpat kclompok itu

mempunyai mean yang sarna pada c : = 0,05

3. Suatu percobaan untuk mcmbandingkan llI1111rrata-rata tiga merck bola lampu tclahdilakukan serta mcmbcrikan data sebagai bcrikut :

Merck X n 64 67 62 7() 6k

Merck Y 84 80 HI 77 ~n -Merck Z 82 79 71 75 74 -

Dengan ex= 0,05,ujilah hipotesis nihil bahwa rata-rata 11l11urkctiga merck bola lampu

itu tidak berbeda !

4. Lima club olah raga A, B, C, D, dan E ditcliti rata-rata umur para pcmainnya. Pemain

setiap club diambil secara random. Data tentang umur pcmainnya adalah :

A 20 18 16 17

B 21 15 17 18 29 16

C 24 23 25 20 26 25

D 17 21 16 18 19 20 18

E 22 23 26 20 24 25

Dengan ex= 0,05 ujilah hipotesis nihil yang mengatakan umur rata-rata pemain lima club

olah raga tcrscbut sama.

112



5.5. UJI SPEARMAN (Rank Correlation Coefficient)

Uji Spearman digunakan untuk melihat derajat hubungan antara 2 variabel dalam bentuk

ranking. Selain itu juga, uji Spea rman banyak digunakan oleh para statistisi, karena lebih

mudah penghitungannya daripada menggunakan analisis korelasi biasa apabila jumlah datanya

sangat besar setiap variabel. Di sini penghitungan berdasarkan ranking, bukan nilai angkadalam data. Koefisien korelasi beIjenjang disimbolkan dengan r s '

Nilai r terletak antara -I dan +I atau dirumuskan sebagai -1::;}.::;+l.s s

Rumus:

r=----S n (n' - 1)

dimana :

- , . , = koefisien korelasi berjenjang

- n = jumlah pasangan observasi

- d = selisih jenjang (ranking) dari pasangan observasi.

Contoh 5.6. :

Misalkan kita ingin mengetahui hubungan ranking dari dua variabel dari 5 orang siswa.Ranking diperoleh dari sekolah dan dari perusahaan dimana mereka kerja 10 tahun kemudian.

Data diperoleh pada tabel 5.8.

Tabel 5.8. Perbandingan ranking dari 5 orang siswa

Siswa ranking di sekolah ranking di perusahaan

John 4 4

M argareth 3 3

Debbie 1 1

Steve 2 2

Lisa 5 5

Penyelesaian :

Data pada tabel 5.8. dapat kita hitung dengan mudah dalam bentuk data tabulasi seperti

pada tabel 5.9.

113



Ranking Ranking di Selisih Selisih kuadrat

Siswa di sekolah perusahaan 2 ranking

( 1 ) ( 2 ) (1) - (2) 1 (1 ) - (2);'Z

John 4 4 0 0

Margaretb 3 3 0 0

Debbie 1 1 0 0

Steve 2 2 0 0

Lisa 5 5 0 0

Ld 2 =0

Tabel 5.9. Informasi umum perhitungan untuk koefisien korelasi berjenjang

Maka koefisien korelasi berjenjang dapat dieari dengan :

6 L d1

r =1:_s

n (n' - 1)

=1-6 ( 0 )

5 (25 - 1)

0= 1----

120

= 1-->oefisen korelasi berjenjang

Koefisien korelasi adalah 1 atau positip, hal ini berarti korelasinya sempuma. Atau

dengan kata lain kedua ranking untuk setiap siswa adalah identik.

5.5.1. PENGUJIAN DENGAN SAMPEL KECIL

Untukjumlah sampel keeil (n < 30). distribusi " 3 tidak normal. Untuk itu hasil perhitungan

kita bandingkan dengan tabel " 3 (tabel Spearman). Untuk pengujian kita anggap koefisien

korelasi populasi (P s = rho-sub-s) adalah mendekati O. Tabel Spearman digunakan untuk

menentukan daerah penerimaan dan penolakan hipotesis nol (HJ

Contoh 5.7 :

Misalkan kita ingin menentukan apakah nilai dalam suatu test tertentu yang diperoleh

pekerja-pekerja mempunyai hubungan dengan hasil pekeIjaan yang dinyatakan dengan jumlah

satuan yang diprodusir dalam jangka waktu tertentu. Sepuluh pekerja telah dipilih. Nilai test

dinyatakan dengan X dan jumlah satuan yang diprodusir dinyatakan dengan Y. Hasil penelitian

ditunjukkan dalam tabel 5.10.

114



Tabel 5.10. I1ustrasi untuk metode korelasi berjenjang

Nilai Test Satuan yang diprodusirPekerja d tP

X Jenjang y Jenjang (X- Y)

A 65 1 30 2 -1 1

B 70 2 25 1 1 1

C 76 4 35 3 1 1

D 75 3 40 5 -2 4

E 80 6 38 4 2 4

F 78 5 42 6 -1 1

G 83 7 48 8 -1 1

H 84 8 50 9 -1 1I 85 9 55 10 -1 1

J 9 0 1 0 45 7 3 9

L J 2 = 24

Penyelesaian :

Dan data di atas koefisien korelasi Spearman dapat dihitung :

6 (24)

r = 1------, 10 (1()2 - 1)

144

990

= 0,855 ->oefisien korelasi berjenjang

= 1-

Uji hipotesis no1 He : Ps

= ° ->Tidak ada kore1asi dalam data beIjenjang dari populasi

Uji hipotesis alt HI: p , . : ; : . ° ->Ada kore1asi dalam data berjenjang dari populasiex = 0,05

Kemudian kita lihat pada tabe1 Spearman dengan baris untuk n = 10 dan ko1om untuk

ex= 0,05. Pada tabel kita temukan harga ". sebesar ± 0,6364. Daerah penerimaan hipotesis

no1 terletak antara -D,6364 (batas bawah) dan 0,6364 (batas atas). Jadi bisa disimpulkan

bahwa r hasil perhitungan temyata lebiL cesar dari batas atas penerimaan H , maka kita.' o

menolak hipotesis nol yang menyatakan tidak ada korelasi antara dua jenjang dalam populasi.

115



I

I~ -r---+ ~ +r---+IIS S I

0,05rs hitung= 0,855

-0,6364 +0,6364

5.5.2. PENGUJIAN DENGAN SAMPEL BESARJika n > 30 distribusi sampel dari r s akan mendekati normal dengan nilai tengah nol dan

standard deviasi 1 / 1n - 1 . Jadi standard error untuk r s

1<J rs = ---===-

'\}n-l

Uji Hipotesis Uji Korelasi Berjenjang :

Ho: p, = 0->idak ada korelasi di dalam data berjenjang Spearman.HI Ps:t; 0->ada korelasi nyata dalam data berjenjang Spearman.

Contoh 5.S. :

Kita ambil contoh 5.7. dimana dianggap sampel yang ditarik jum1ahnya besar

dengan r s = 0,855. Dengan a = 0,01, ujilah apakah ada korelasi positip antara nilai test

dengan jumlah yang diprodusir dari se1uruh pekerja-pekerja.

Penyelesaian :1. Menentukan bentuk uji hipotesis :

Ho: Ps = 0 tidak ada korelasi antara nilai test dengan jumlah yang diprodusir

setiap pekerja.

ada korelasi positip antara nilai test dengan jumlah yang diprodusir

setiap pekerja.

(Bentuk uji hipotesis satu arah)

a = 0.01

116



I

+- O+2.33crr~

2. Mencari standard error dari uji Spearman :

Ic r = ----=-c==_ - . = 0.333S '\fil=l V 10 - 1

3. Mencari nilai z pada Tabel Distribusi Normal dengan a = 0.01, yaitu 2.33.

4. Interval atau batas limit daerah penerimaan Ho adalah :

P ~ H o± 2,33 0\ = 0 ± (2,33) (0,333)

= 0 ± 0.77589 = 0 ± 0.776

5. Karena r, hitung lebih besar dari batas penerimaan Ho' atau r, = 0,855 lebih besar dari

batas penerimaan Ho' maka hipotesis altematif dapat diterima. Dengan kata lain ada

korelasi positip antara nilai test dengan jumlah yang diprodusir setiap pekerja. Jar ' ,

hipotesis nol kita tolak.

117



LATIHAN SOAL

1. Apakah kegunaan daripada uji koefisien korelasi berperingkat ?

2. Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut ini benar atau salah, jika salah betulkanpemyataan tersebut !

a. Jika '', = 1, maka r yang dihitung dari data yang sama akan sama dengan I.

b. Jika r = -1, maka '', yang dihitung dari data yang sama akan sarna dengan -1.

c. Jika suatu analisis terhadap dua variabel memberikan petunjuk bahwa ada hubungan

antara dua variabel pada taraf nyata a. = = 0,10, hubungan tersebut juga akan terbukti

nyata pada taraf nyata a. = = 0,05.

d. Rumus pintas untuk '', dapat digunakan untuk menentukan ada atau tidaknya pasangan

untuk x pengamatan dan y pengamatan.

3. Pembantu Dekan I Fakultas Ekonomi sebuah universitas swasta di Jakarta ingin menguji

apakah terdapat korelasi positip antara kemarnpuan matematika di SMA dengan indeks

prestasi (lP) mahasiswa-mahasiswa tingkat persiapan. Untuk itu diambil sebuah sampel

random sebanyak 10 orang mahasiswa tingkat persiapan.

Tabel : Kemampuan Matematika dan IP

Mahasiswa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Math 7 5 84 78 68 69 88 72 92 91 74

IP 1,70 1.81 1,84 2,17 2.42 2.45 2,32 3.41 3,64 3,69

Saudara diminta untuk menguji korelasi antara kedua variabel tersebut dengan metode

spearman (a . = = 0,1). Bagaimana kesimpulan suadara ?

118



a. 10

b. 12,5

c. 7,5

d. Tidak bisa dihitung

MULTIPLE CHO ICE

1 . Suatu uji Mann-Whitney (Utest

) mempunyai rata-rata U = 15.

n, (n, + 1)

Hasil pernitungan dari Utest dengan n.n, + , - R = 22,5 dengan cepat bisan-, (n, + 1)

n22 (n, + 1) -

kita hitung nilai n,n, + - R, adalah :

2

2. Uji Kruskal Wallis (Kstat

","') bisa dilakukan pendekatan dengan distribusi sampel dari chi

square, bila :

a. Ukuran sampel minimal 5 c. Ukuran sarnpel tidak ditentukanb. Ukuran sampel kurang dari 5 d. Tidak ada pemyataan yang benar

3. Ukuran sampel > 30 distribusi dari koefisien korelasi berperingkat bisa dilakukan

pendekatan dengan distribusi :

a. t c. chi square

b. binomial d. normal

4. Suatu uji Kruskal Wallis dari k sampel, nilai derajat bebas adalah :

a. k c. I\ - 1

~ k-l d n-k

5. Jika dibandingkan dengan metode parametrik, metode non parametrik :

a. kurang akurat c. mudah dihitung

b. kurang efisien d. semua benar

6. Korelasi sempuma apabila keofisien korelasi berperingkat (r):

a. 1 c. sama dengan 0

b. antara 0 dan -1 d. Tidak ada yang benar

7. Mana dari 3 sampel yang memiliki jumlah rangking paling tinggi bila diumt dari besar

ke kecil (descending) :

Sampel A 1 3 9

Sampel B : 5 1 8

Sampel C : 9 4 2

a. C dengan jumlah rangking = 15

b. C dengan jumlah rangking = 20,5

c. A dengan jumlah rangking = 16

d. B dengan jumlah rangking = 14,5

119



9. Berapa hasil dari (RI - Rl )?

a. - 1 /2

b. 0

c. 1/2

d. 2 1/2

(Data di bawah ini berlaku untuk soal 110.8 sid 110. 9)

5 pasien dari bangsal A dan 4 pasien dari bangsal B sebuah rumah sakit swasta diambil

sebagai sampe1 secara random. Yang diperhatikan adalah lamanya masing-masing sampel

dirawat di rumah sakit tersebut (dalam hari). Data yang diperoleh sebagai berikut :

Bangsal A 13 4 2 10 6

Bangsal B: 10 9 7 8

8. Uji Mann-Whitney dilakukan untuk melihat adanya pengaruh perbedaan lamanya dirawat

di rumah sakit untuk kedua bangsal tersebut. Kalau 1amanya hari dirawat dirangking

dari keeil ke besar, berapa rangking untuk sampcl yang dirawat selama 13 hari di

bangsal A ?

a. 9 c. 9 1/2

b. 8 d. 7 1/2

10. Uji tanda dilakukan dari 800 siswa untuk mcmberikan peni1aian terhadap dua macam

test, yaitu : benar salah dan pilihan berganda. Sete1ah dirangking tcmyata ada 138 siswa

memberikan respon kepada dua macam test terscbut sebesar O. Ini menunjukkan bahwa

138 siswa tersebut :

a. Tidak menyukai kedua macam test tersebut

b. Tidak memberikan peni1aian terhadap kedua macam testc. Rangking untuk kedua macam tipe test sama

d. Berfikir bahwa salah satu ada yang baik dan ada yang tidak

11. 2 sampel dengan ukuran nldan ~ digunakan da1am perlritungan uji Mann-Whitney.

Distribusi sampel dari U .r, bisa digunakan pendekatan dengan distribusi normal dimanastatrsttk

ukuran kedua sampe1 nldan ~ :

a. 1ebih besar dari 10

b. 1ebih kecil dari 10

c. sama dengan 10

~1O.

12. Distribusi sampe1 dari Kruska1 Wallis Kstallstlkapat digunakan pendekatan distribusi chi-

square, jika seluruh ukuran sampel :

a. 1ebih keci1 dari 5

b. lebih kecil dari 3

c.

d.

paling sedikit 5

paling sedikit 3

13. Koefisien korelasi berperingkat = -1, menunjukkan bahwa :

a. Korelasinya sempuma c. Tidak ada korelasi

b. Korelasi tidak sempurna d. Tidak ada yang benar

120



14. Koefisien kore1asi berperingkat = 1 menujukkan bahwa

a. Korelasinya sempuma c. Tidak ada korelasi

b. Korelasi tidak sempuma d. Tidak ada yang benar

(Data di bawah in i berlaku untuk soal no. 15 sId no.17)

Data di bawah ini adalah data pendapatan setahun dari 7 eksekutif (A - G) yang dirangking

dari 1 sampai 7 dimana rangking 1 diberikan untuk eksekutif yang memiliki pendapatan

paling tinggi :

ABC D E F G

264 1 357

15. Mana pernyataan di bawah ini yang benar :

a. E pendapatannya lebih tinggi dar i 4 eksekutif 1ainnya

b. C dan F mempero1eh pendapatan yang sarna

c. C penaapatannya lebih sedikit dati 4 eksekutif 1ainnyad. a dan c benar

16. Survai k.edua dilakukan untuk melihat hubungan pendapatan dengan kegembiraan yang

dimiliki oleh ketujuh eksekutif tersebut, dimana rangking 1 diberikan untuk perasaan

gembrra yang lebih tinggi. Apabila korelasi antara pendapatan dan kegembiraan adalah

sempuma, maka rangking kegembiraan untuk eksekutif A bernilai :

a. 1 c. 3

b. 2 d. 6

17. Narnun bila korelasi antara pendapatan dan perasaan gembira adalah tidak sempuma,

maka rangking kegembiraan untuk eksekutif F bernilai :

a. 7 c. 5

b. 2 d. 3

18. Apabila ta k 4,1a perbedaan antara 2 populasi, maka hipotesis nol (nihil) dalarn uji tanda

(sign test) :

a Ho;' J . 1 = 0

b. Ho: p = 0

c. Ho: p = 0,5

d. Tidak ada yang benar

19. Jika n > 30 distribusi sarnpel '', akan mendekati nonnal dengan nilai tengah no1 dan

standard deviasi sebesar :

a. 1 / V r i " _

b. 1 / " n - 1

c. n/'(rl-ld.~

20. Bentuk uji hipotesis dari koefisien korelasi berperingkat (1) untuk menguji apakah ada

korelasi antara dua karakteristik yang ingin diteliti adalah :

a. Ho: P. = 0 c. Ho: P. = 0,5

b. Ho: P. > 0 d. Ho: P ± 0

121

Documents

bab4-analisis_varians