Upload
abraham-umank-umank
View
217
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Tugas BAB 1
Citation preview
BAB I
BAB I
POLYNOMIAL DAN INTERPOLASISebagian besar fungsi dalam matematika tidak dapat dievaluasi dengan tepat dengan cara yang sederhana. Polynomial adalah bentuk yang paling sering digunakan untuk mengevaluasi suatu fungsi yang kontinu. Bentuk polynomial derajat n dalam aljabar yang telah kita kenal sebagai berikut :
pn(x) = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ..+ an xn
Semua fungsi matematik dapat didekati dengan bentuk polynomial diatas. Koefisien ao, a1, .., an dalam polynomial harus diketahui agar bentuk polynomial tersebut dapat digambar. Untuk itu kita ambil, katakan pada titik j yaitu xj, maka bentuk polynomial diatas ditulis :
pn(xj) = ao + a1 xj + a2 xj2 + a3 xj3 + ..+ an xjn
Bila j = 0,1,2,,n maka dapat ditulis dalam bentuk matrik berikut :Dalam bentuk matrik ditulis :
1x0 x0n-1x0na0
p0
1x1 x1n-1x1na1
p1
1x2 x2n-1x2na2=p2 (1-1)
.... ..
....
..
1xn xnn-1xnnan
pn
Dari (1-1) dapat dihitung ao, a1, a2, a3,, an Contoh :Cari polynomial derajat dua yang melalui titik (xj,pj) berikut :
j :012
xj :012
pj :149Solusi :
Dari rumus (1-1) maka didapatkan :
100 ao 1
111 . a1= 4
124 a2 9
Setelah dilakukan dengan eliminasi, maka didapatkan :
ao = 1
a1 = 2
a2 = 1dan persamaan polynomial didapat :
p2(x) = 1 + 2x + x21-1. Polynomial Taylor
Polynomial Taylor adalah identik dengan polynomial aljabar diatas, akan tetapi menyangkut dengan fungsi yang mempunyai turunan. Bentuk polynomial Taylor dengan aplikasi pada gambar 1-1a adalah sebagai berikut f(b) = f(a) + h(a) +
(a) +
(a) +...+
(a) (1-2)Dengan f(b) = f(a+h) dan h = b-a. Persamaan (1-1) menyatakan bahwa f(b) dapat dihitung berdasarkan fungsi pada titik x = a yaitu f(a) beserta turunannya.
f
f f(b) f(a)
f(a) f(b)
h
h
a b x b a x (a)
(b)
Gambar 1-1 : f(a+h) dan f(a-h)Dalam arah x, titik b terletak pada sebelah kanan dari a atau dengan kata lain dari f(a) bergerak ke kanan menuju f(a+h) seperti tanda panah pada Gambar 1-1(a). Apabila titik b berada pada sebelah kiri dari a (Gambar b) maka fungsi bergerak dari kanan ke kiri (tanda panah ke kiri). Pada Gambar (b) bahwa h = a-b. Dengan tetap menjaga seperti diatas bahwa h = b-a maka dalam hal ini untuk gambar (b) haruslah h = -(b-a) = (a-b). Oleh karena itu bentuk polynomial Taylor (1-2) berubah menjadi :f(b) = f(a) - h(a) +
(a) -
(a) +...-
(a) (1-3)Dengan f(b) = f(a-h). Persamaan (1-2) dan (1-3) merupakan bentuk dasar dari metode beda berhingga yang mana persamaan (1-1) adalah prinsip untuk beda kanan dan (1-2) adalah untuk beda kiri.Polynomial Taylor diatas dapat digeneralisir dengan membuat h = (x, a = x, b =(x+(x) pada gambar 1-2(a) dan b =(x-(x) pada gambar 1-2(b). Oleh karena itu persamaan (1-2) dan (1-3) masing-masing menjadi sebagai berikut :
f
f f(x+x) f(x)
f(x) f(x-x)
x
x 0 x x+x 0 x-x x (a)
(b)
Gambar 1-2 : f(x+x)dan f(x-x)f(x+(x) = f(x) + (x(x) +
(x) +
(x) + ..+
(x) (1-4)f(x-(x) = f(x) - (x(x) +
(x) -
(x) + .-
(x) (1-5)Persamaan (1-4) dan (1-5) adalah polynomial Taylor. Bila persamaan tersebut dirubah ke bentuk diskret dengan mengganti x menjadi i dan x menjadi 1 untuk mempermudah didalam pemrograman sehingga menjadi :f(x + x) = fi+1 , f(x-x) = fi-1, f(x) = fi , , dan . Dengan demikian maka persamaan (1-4) dan (1-5) menjadi :fi+1 = fi + (x +
+
+ ..+
(1-6)fi-1 = fi - (x +
-
+ ..-
(1-7)Gambar (1-2) menjadi sebagai berikut :
fi+1
fi fi-1
x
i-1 i i+1 x Gambar 1-3 : fi+1 dan fi-1Contoh : f(x) = , cari fungsi polynomial Taylor yang mendekati fungsi tersebut pada titik disekitar a = 1. Pendekatan pertama akan dilakukaan dengan polynomial Taylor derajat satu. Untuk derajat satu, persaamaan (1-2) menjadi :
P1(x) = f(a) + (x-a) (a)
Kita masukkan nilai f(x=a) = , (x=a) = dan dengan a = 1 maka didapatkan persamaan linier :
P1 = + (x-1) atauP1 = 1,359x
Pendekatan kedua dipilih polynomial Taylor derajat dua. Untuk derajat dua. persamaan (1-2) menjadi :
P2(x) = f(a) + (x-a) (a) + (a)Dengan (x=a) = dan (a) = maka persamaan menjadi :
P2 = + (x-1) +
EMBED Equation.3 atauP2 = 0,6795 + 0,6795x2 Gambar 1-4 : Fungsi
Nilai hasil perhitungan dapat dilihat pada tabel 1-1 dibawah ini.Tabel 1-1 : Nilai fungsi ex
xEksakP1P2
0,00,5000,0000,680
0,20,6110,2720,707
0,40,7460,5440,788
0,60,9110,8160,924
0,81,1131,0881,114
1,01,3591,3601,359
1,21,6601,6321,658
1,42,0281,9042,011
1,62,4772,1762,419
1,83,0252,4482,881
2,03,6952,7203,398
Untuk dua variabel, polynomial Taylor adalah sebagai berikut :
f(x+x,y+y) = f(x,y) + + +
(1-8)1-2 Polynomial LagrangePolynomial yang telah dipelajari diatas merupakan fungsi pendekatan dengan polynomial dengan suatu fungsi yang diberikan dan turunan-turunannya pada suatu titik. Polynomial ini digunakan untuk interval yang kecil dengan turunannya. Kita menentukan polynomial derajat satu yang melalui titik (xo,yo) dan (x1,y1). Tinjau polynomial berikut :
(1-9)Bila x = xo maka dari (1-9) :
P(xo) = 1.yo + 0.y1 = yo
dan bila x = x1 maka didapat :
P(x1) = 0.yo + 1.y1 = y1Metode untuk menentukan P adalah metode interpolasi.
Untuk generalisir konsep interpolasi linier, tinjau polynomial derajat n yang melalui titik n +1 yaitu (xo,f(xo)), (x1,f(x1),.., (xn,f(xn) (Gambar 1-5) yang dibuat dengan persamaan berikut :
Gambar 1-5 : Polynomial melalui tiga titik
dan
Bila x = xo , Lo(xo) = 1 sementara L1(x1) = 0 dan bila x = x1 , Lo(x1) = 0 sementara L1(x1) = 1.
Untuk generalisir kita membuat Ln,k(x), dengan k=0,1,2,,n, dengan sifat Ln,k(x) = 0 bila i k dan Ln,k(x) = 1 bila i = k. Untuk memenuhi agar Ln,k(x) = 0 maka numerator dari Ln,k harus mengandung :
(x xo)(x - x1) (x xk-1)(x - xk+1)(x - xn).
(1-10)Untuk memenuhi Ln,k(x) = 1, denominator Lk harus sama dengan (1-10) bila x = xk. Oleh karena itu maka :
(1-11)
Persamaan (1-11) disebut polynomial Lagrange.
1-3 Interpolasi Polynomial
Berikut ini bentuk polynomial yang dapat ditentukan ari titik-titikyang harus dilaluinya.Tinjau polynomial derajat satu (linier) yaitu persamaan (1-9) yang dapat ditulis dalam bentuk berikut :
(1-12)
Gambar 1-5 : Fungsi y = P1(x)Bila x = xo maka dari (1-9) didapat P1 = yo dan x = x1 maka P1 = y1.
Fungsi ini interpolasi nilai yi pada titik xi dimana i = 0,1 atau :
P1(xi) = yi, i = 0,1
Contoh :
Misalkan data (2,1/2) dan (4,1/4) maka menurut (1-9) didapat :
=
Adapun gambar dari masing-masing ditunjukkan pada gambar 1-6.Sebagian besar data dari suatu kurva berbentuk lengkung dan tak-linier. Untuk hal tersebut mari kita lihat polynomial derajat lebih besar satu. Katakan ada tiga titik (xo,yo), (x1,y1) dan (x2,y2).
Gambar 1-6 : Fungsi y = 1/x dan Kita membuat polynomial kuadrat yang melalui ketiga titik tersebut seperti berikut :
P2(x) = yoLo(x) + y1L1(x) + y2L2(x)
(1-13)
dengan : ,
Persamaan (1-13) disebut rumus Lagrange untuk interpolasi kuadrat polynomial dan Lo, L1, dan L2 disebut fungsi basis interpolasi Lagrange.
Setiap polynomial Li(xj) mempunyai derajat 2 dan oleh karena itu P2(x) mempunyai derajat 2 dengan :
Li(xj) = 0 bila i j dan
Li(xj) = 1 bila i = j Dengan demikian, kita dengan mudah bahwa P2(xi) interpolasi data P2(xi) = yi.
Untuk interpolasi derajat yang lebih besar yaitu derajat n diberikan oleh rumus (1-11) diatas.
Contoh : Interpolasi melalui titik (0,2), (0,5) dan (1,4)Dari (1-13) maka :
Lo(x) = 2x2 3x +1
L1(x) = -5x2 + 4x
L2(x) = 2x2 xSehingga P2(x) = -8x2 + 10x +2 (Gambar 1-7)
Gambar 1-7 : P2(x)Soal latihan : Buatlah pendekatan dengan polynomial Taylor derajat satu dan dua dari
1. f(x) = , a = 1
2. f(x) = sin(x) , a = /4
3. f(x) = log(1 + ex), a = 0
Hitung polynomial kuadrat P2(x) yang menginterpolasikan data berikut :
1. {(0,1), (1,2), (2,3)}, 2. {(0,1), (1,1), (2,1)}
PAGE 12
_1231953283.unknown
_1232006864.unknown
_1232122632.unknown
_1270310252.unknown
_1270606905.unknown
_1270613704.unknown
_1270613784.unknown
_1270613597.unknown
_1270310292.unknown
_1270204135.unknown
_1270308991.unknown
_1270204518.unknown
_1270201612.unknown
_1232006955.unknown
_1232122483.unknown
_1232121432.unknown
_1232006919.unknown
_1232005808.unknown
_1232006451.unknown
_1232006821.unknown
_1232006435.unknown
_1232006300.unknown
_1232006276.unknown
_1231953320.unknown
_1231953321.unknown
_1232005754.unknown
_1231953318.unknown
_1231952989.unknown
_1231953223.unknown
_1231953251.unknown
_1231953267.unknown
_1231953092.unknown
_1231953044.unknown
_1231912102.unknown
_1231912130.unknown
_1231912139.unknown
_1065721433.unknown
_1231908915.unknown
_1231908980.unknown
_1231908950.unknown
_1186933660.unknown
_1231908882.unknown
_1065721508.unknown
_1065721380.unknown