Bab VI Ruang Hasilkali Dalam

07/03/2007 12:19 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear ElementerMA1223 3 SKS

Silabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen


Ruang Hasilkali Dalam (RHD)

Sub Pokok Bahasan– Definisi RHD– Himpunan Ortonormal– Proses Gramm Schmidt

Aplikasi RHD :bermanfaat dalam beberapa metode optimasi, seperti metode least square dalam peminimuman error dalam berbagai bidang rekayasa.


Definisi RHDMisalnya V adalah suatu ruang vektor, dan maka notasi < , > dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut:

1. (Simetris)

2. (Aditivitas)

3. untuk suatu k∈R,

(Sifat Homogenitas)

4. , untuk setiap

dan (Sifat Positifitas)

Vvu ∈,

=>< vu , >< uv ,

=>+< wvu , ><+>< wvwu ,,

=>< vuk , =>< vku , >< vuk ,

0, ≥>< uu

0, =>< uu 0=⇔ u

u


Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor dinyatakan oleh :

yang didefinisikan oleh :

Contoh 1 : Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn )Misalkan , ∈ Rn maka

= (u12 + u22 + …..+un2)½

0, 21≥>< uu=u

u

u

nnvuvuvuvu +++>=< ..., 2211u v

0, 21≥>< uu=u


Contoh 2 :

Misalnya W ⊆ R3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali , dimanaBuktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam

Jawab :

Misalkan

2u1v1 + u2v2 + 3u3v3

= 2 v1u1 + v2u2+ 3v3u3

(terbukti simetris)

332211 32, vuvuvuvu ++=><

Wvu ∈,

Wwvu ∈,,

=>< vu ,

><= uv ,


<(u1+v1, u2+v2, u3+v3), (w1, w2, w3)>

= 2(u1+ v1)w1 + (u2+v2)w2 + 3(u3+v3)w3

= 2u1w1+2v1w1+u2w2 +v2w2+3u3w3+3v3w3

= 2u1w1+u2w2+3u3w3+2v1w1+v2w2+3v3w3

(bersifat aditivitas)

(iii) untuk suatu k∈R,<(ku1, ku2, ku3), (v1, v2, v3)>

= 2ku1v1 + ku2v2 + 3ku3v3

= k2u1v1 + ku2v2 + k.3u3v3

(bersifat homogenitas)

=>+< wvu ,)ii(

><+><= wvwu ,,

=>< vuk ,

><= vku ,><= vuk ,


Jelas bahwadan

Contoh 3 :Tunjukan bahwa bukan merupakan hasil kali dalam

Jawab :Perhatikan

Pada saat 3u32 > u1

2 + 2u22

maka

23

22

21 32,)iv( uuuuu ++=><

uuu setiapuntuk 0, 21≥><

0jika hanya0, ==>< uuu

112211 32, vuvuvuvu −+=><

23

22

21 32, uuuuu −+=><

0, ≤>< uuTidak memenuhi

Sifat positivitas


cfadvu +>=< ,

),,( cbau = ),,( fedv =

>< vu ,

Contoh 4 :Diketahui

dimana dan

Apakah merupakan hasil kali dalam?

>< uu, 0≥

)0,2,0(=u 0, >=< uu

0≠u

=>< vu ,

Jelas bahwa = ( a2 + c2 )

Misalkan diperoleh

Padahal ada

Aksioma terakhir tidak terpenuhi.Jadi

ad + cf bukan merupakan hasil kali dalam.

Jawab :


Himpunan OrtonormalSebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam

dinamakan himpunan ortogonal

jika semua pasangan vektor yang berbeda dalamhimpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegaklurus).

Himpunan ortonormal himpunan ortogonal yang

setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.


Secara Operasional

Misalkan, pada suatuRHD

T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika

untuk setiap i ≠ j

Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal

jika untuk setiap i berlaku

{ }ncccT ,...,, 21=

0, =>< ji cc

1=ic


Contoh 5 :1.

Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal.

2.

Pada RHD Euclides, B merupakan himpunan ortonormal.

3.

Pada RHD Euclides, C merupakan himpunan ortonormal.

⎭⎬⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0 1-

0 1

,

A

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎭⎬⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1- 0

0 1

,

B

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

21

212

1

C


Misalkan

adalah basis ortonormal untuk RHD VJika adalah sembarang vektor pada V, maka

Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku :

Karena S merupakan himpunan ortonormal dan

{ }nvvvS ,...,, 21=

u

nnvkvkvku +++= ...2211

>+++<=>< inni vvkvkvkvu ,..., 2211

><++><++><+><= inniiiii vvkvvkvvkvvk ,...,...,, 2211

ivv ii setiapuntuk 1, =><jivv ji ≠>=< setiapuntuk 0, dan


Sehingga, untuk setiap i berlaku

ii kvu >=< ,

nn vvuvvuvvuu ><++><+>=< ,...,, 2211

nnvkvkvku +++= ...2211Kombinasi linear

Ditulis menjadi

Contoh 6 :Tentukan kombinasi linear dari ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

a

pada RHD Euclides berupa bidang yang dibangun

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

21

21

u⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

21

21

vdan


Jawab :

vvauuaa ><+>=< ,,

vua ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

21

21

21

,21

,21

21

( ) vua 21

21 −+=

Perhatikan …..u dan v mrp

Basis ortonormal

vkuka 21 +=


Proses Gramm-Schmidt

{ }ncccS K,, 21=

{ }nwwwB ,...,, 21=

basis bagi suatu RHD V

basis ortonormal bagi V

1

11.1

ccw =

Langkah yang dilakukan


2. Langkah kedua

2c

1w 1p

1q

2w

2w2c

1121

11221 ,

,1

wwcw

wwccproyp w >=<

><== 121 pcq −=

2122

11222

,,,

wwccwwccw

><

><−= Vektor satuan searah 1q


3. Langkah ketiga 3w3c

W

3c

1w 2w2p

2q

3w

22311332 ,, wwcwwccproyp W ><+>=<= 232 pcq −=

2231133

22311333 ,,

,,wwcwwccwwcwwcc

w><+><−><+><−

=Vektor satuan

Yang tegak lurusBidang W


Contoh 7 :Diketahui :

B merupakan basis pada RHD Euclides di R3.Transformasikan basis tersebut menjadi basis Ortonormal

Jawab :Langkah 1.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛==

100

,110

,111

321 uuuB

11

1 uuv =

( )3

1,1,1=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

313

13

1


Langkah 2

22

222

1

1

uproyu

uproyuv

v

v

−

−=

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=−

31,

31,

32

31,

31,

31

321,1,0

, 112222 1 vvuuuproyu v

36

91

91

94

22 1=++=− uproyu v

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

616

16

2

2v

Sementara itu,

Karena itu,

sehingga :


Langkah 3

Sementara itu,

sehingga :

33

333

uproyu

uproyuv

W

W

−

−=

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−−=−

21,

21,0

61,

61,

62

61

31,

31,

31

311,0,0

,, 223113333 vvuvvuuuproyu W

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

21

21

3

0v


Jadi,

{ }321 ,, vvv

merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R3

dengan hasil kali dalam Euclides

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

21

21

616

16

2

313

13

1 0,,=


Contoh 8 :

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

110

, 101

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

111

u

Diketahui bidang yang dibangun oleh

merupakan subruangdari RHD Euclides di R3

Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor

pada bidang tersebut.


Jawab :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

110

, 101

21 vv

Diketahui

Selain membangun subruang pada RHD

Karena

merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb.

himpunan tsb juga saling bebas linear (terlihat bahwa ia tidak saling berkelipatan).

{ }21 , vv

Langkah awal :Basis tersebut basis ortonormal.


( )( ) ( ) ( )

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

++=

=

21 , 0 ,

21

21 , 0 , 1

101

1 , 0 , 1

222

11

1 vvw

( )

21

2100

2

1 ,0 , 2

1 1 , 1 , 0, 12

=

++=

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<=wvPerhatikan bahwa :


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21 , 0 ,

21

21 , 0 ,

21

21 , 112 wwv ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−

21 , 1 ,

21

21 , 0 ,

211 , 1 , 0 , 1122 wwvv

( )

621

46

411

41

211

21 ,

22

21122

=

=

++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=− wwvv

Sehingga:

Akibatnya :


Akhirnya, diperoleh

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

−

−=

61 ,

62 ,

61

621

21 , 1 ,

21

, ,

1122

11222 wwvv

wwvvw

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

6162

61

,

2102

1

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb

=


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

111

u

uoy WPr 2211 , , wwuwwu +=

( )

22

22

1 0 2

12

1 , 0 , 2

1 1 , 1 , 1, 1

=

=

++=

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<=wu

Proyeksi Orthogonal Vektor

pada bidang tersebut adalah

Perhatikan bahwa :


Sementara itu :

62

61

62

61

,111

,

616

26

1

2

=

++−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=>< wu



⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3132 31

101

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

3432 32

Dengan demikian,

=


⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

110

, 101

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

111

u

Contoh 9 :Diketahui bidang yang dibangun oleh

merupakan subruang dari RHD Euclides

Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor

pada bidang tersebut.

{ }21 , vv

1v 2v

Jelas bahwa

merupakan basis bagi bidang tersebut, karena

dan saling bebas linear

Jawab


Basis tersebut akan ditransformasikan menjadi basis ortonormal.

( )( ) ( ) ( )

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

++=

=

21 , 0 ,

21

21 , 0 , 1

101

1 , 0 , 1

222

11

1 vvw


Perhatikan bahwa :( )

21

2100

2

1 ,0 , 2

1 1 , 1 , 0, 12

=

++=

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<=wv

Sehingga:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21 , 0 ,

21

21 , 0 ,

21

21 , 112 wwv

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−

21 , 1 ,

21

21 , 0 ,

211 , 1 , 0 , 1122 wwvv

akibatnya


u


Proyeksi Orthogonal Vektor pada bidang W adalah:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3132 31

101

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

3432 32

=


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

−

−=

61 ,

62 ,

61

621

21 , 1 ,

21

, ,

1122

11222 wwvv

wwvvw

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

6162

61

,

2102

1

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebut adalah :


Latihan Bab VI

>< vu ,

>< vu ,

>< vu ,

1. Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan

= u12v1 + u2v2

2 di R2

= u1v1 + 2u2v2 – u3v3 di R3

= u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3

a.

b.

c.

2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 ) adalah orthogonal dalam ruang Euclides !


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

011

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−101

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

211

3. W merupakan subruang RHD euclides di ℜ3

yang dibangun oleh vektor

dan

Tentukan proyeksi orthogonal vektor

pada W

Documents

Bab VI Ruang Hasilkali Dalam